一元微积分几何应用

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工科数学分析基础

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微元的求法
记Q( x)为分布在区间[a, x] ( x ∈[a,b])的量Q，则
∫ Q( x) =
x
f (t)dt
( x ∈[a,b])，
a
dQ = f ( x)dx
ΔQ = dQ + o(dx)
求微元dQ, 就是寻求与 dx成线性关系的 Adx , 且使
ΔQ − Adx = o(dx).
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特别 , 当考虑连续曲线段 y = f ( x) (a ≤ x ≤ b)绕 x 轴
轴旋转一周围成 π[ f ( x)]2 dx a
当考虑连续曲线段
yy oo aa x bb xx
x = ϕ( y) (c ≤ y ≤ d )
5
x
dw = π ⋅ 32 ⋅ dx ⋅ 9.8 ⋅ x = 88.2π x ⋅ dx,
w
=
∫ 5 88.2π 0
⋅ x ⋅ dx
≈
3462
(千焦)．
定积分的应用
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例 2 一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，设桶的底
半径为 R，水的比重为γ ，计算桶的一端面上所受的压力．
3
定积分的应用
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实际问题中，如何求得非均匀连续分布量的微分？
（1）针对所给问题，分析非均匀产生的原因，它往往是由于某一相关量 f 变动所引起的。
（2）确定如何将其局部量均匀化从而可以利用乘法得到此局部量的线性形式的近似值.
通常是通过对 f 以不变代变来得到。
这样得到的近似值往往就是所需要的微分，而不必也难以逐一加以验证.

高中物理微积分应用(完美)

我们解决物理问题。
导数
㈠物理量的变化率
我们经常对物理量函数关系的图像处理，比如v-t图像，求其斜率可
以得出加速度a，求其面积可以得出位移s，而斜率和面积是几何意义上
的微积分。我们知道，过v-t图像中某个点作出切线，其斜率即a=.
t
v
下面我们从代数上考察物理量的变化率：
【例】若某质点做直线运动，其位移与时间的函数关系为上s=3t+2t2,
式：
⑴ 导数的四则运算
①=±
③=
②=·v + u·
⑵ 常见函数的导数
①=0(C为常数)； ④=-sint；
②=ntn-1 (n为实数)； ⑤=et；
③=cost；
⑶ 复合函数的导数
在数学上，把u=u(v(t))称为复合函数，即以函数v(t)为u(x)的自
变量。
=·
复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以
L（弧长）=α(弧度)x r(半径) (弧度制)
又因为车在A、B两点以速率v作圆周运动，所以：
综合以上各式得： F= 圆周运动向心力公式故摩擦力对车所做的功：【微积分解】物体在轨道上受到的摩擦力，从最低点运动到最高点摩擦力所做的功为小结：这题是一个复杂的变力做功问题，利用公式直接求功是难以办到
小结：此题是一个简单的匀变速直线运动求位移问题。对一般的变速直线运动，只要结合物理知识求速度关于时间的函数，画出v－t图像，找“面积”就可以。或者，利用定积分就可解决.
2、解决变力做功问题
v 恒力做功，我们可以利用公式直接求出；但对于变力做功，我们如
何求解呢？例2：如图所示，质量为m的物体以恒定速率v沿半径为R的竖直圆轨道运动，已知物体与竖直圆轨道间的摩擦因数为，求物体从轨道最低点运动到最高点的过程中，摩擦力做了多少功。

微积分

极限的产生
公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理论来说，早在古代以有比较清楚的论述。比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。
编辑本段一阶微分与高阶微分
函数一阶导数对应的微分称为一阶微分; 一阶微分的微分称为二阶微分; ....... n阶微分的微分称为(n+1)阶微分即：d(n)y=f(n)(x)*dx^n (f(n)(x)指n阶导数，d(n)y指n阶微分,dx^n指dx的n次方) 含有未知函数yt=f(t)以及yt的差分Dyt， D2yt，…的函数方程，称为常差分方程(简称差分方程)；出现在差分方程中的差分的最高阶数，称为差分方程的阶。n阶差分方程的一般形式为 F(t，yt，Dyt，…， Dnyt)=0，其中F是t，yt, Dyt，…， Dnyt的已知函数，且Dnyt一定要在方程中出现。含有两个或两个以上函数值yt，yt+1，…的函数方程，称为(常)差分方程，出现在差分方程中未知函数下标的最大差，称为差分方程的阶。n阶差分方程的一般形式为 F(t，yt，yt+1，…，yt+n)=0, 其中F为t，yt，yt+1，…，yt+n的已知函数，且yt和yt+n一定要在差分方程中出现。常微分方程与偏微分方程的总称。含自变量、未知函数和它的微商（或偏微商）的方程称为常（或偏）微分方程。未知函数为一元函数的微分方程，称为常微分方程。未知函数为多元函，从而出现多元函数的偏导数的方程，称为偏微分方程。

一元函数微积分学在物理学上的应用(1)

一元函数微积分学在物理学上的应用速度、加速度、功、引力、压力、形心、质心[][]1.(),()().3.00(),t t t t T t x m m x θθωθ='='=用导数描述某些物理量速度是路程对时间的导数.加速度是速度对时间的导数。

2.设物体绕定轴旋转，在时间间隔0，t 内转过的角度则物体在时刻的角速度当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就不断冷却，若物体的温度与时间的函数关系为T=T(t),则物体在时刻t 的冷却速度为T (t).3.一根杆从一端点算起，，段干的质量为则杆在点x 处的线密[][](),().5.T C (T )=q (T ).6. (),().Q Q t Q t T w w t t w t ρ'='''=度是(x)=m (x).4.一根导线在0,t 这段时间内通过导线横截面的电量为则导线在时刻t 的电流强度I(t)=某单位质量的物体从某确定的温度升高到温度时所需的热量为q(T),则物体在温度时的比热某力在0,t 时间内作的功则时刻的功率为例1 .2212,5360,(),2M 55,12,360,(),()522cm AB AM M A x g m x xx m k m x x m x xρρ='=====2设有长为的非均匀杆部分的质量与动点到端点的距离的平方成正比，杆的全部质量为则杆的质量的表达式杆在任一点处的线密度(x)=5x解：m(x)=kx 令得所以(x)=变力作功：变力()F x 沿直线运动从a 到b 所作的功()ba w F x dx =⎰51.53[05][05][,]29.83,8828828m m x x x x dx dx x m dx kN dw dx xw x dx πππ+⋅⋅=⋅⋅∴=⋅=⎰例2(1)（功）一圆柱形的注水桶高为，底圆半径为，桶内盛满了水，试问要把桶内的水全部吸出需作多少功？解：作轴如图所示取深度为积分变量，它的变化区间为，相应于，上任一小区间的一薄层水的高度为，因此如的单位为，这薄层水的重力为把这层水吸出桶外需作的功近似为所求的功为25823462()2kJ π⋅⋅≈2.21,2[,1][2,2]R l Rx R x x Rx R x dx x xdx ρρ>=+++++例2(2)（功）设有一半径为，长度为的圆柱体平放在深度为的水池中，（圆柱体的侧面与水面相切，设圆柱体的比重为（））现将圆柱体从水中移出水面，问需作多少功？解：分析：依题意就是把圆柱体的中心轴移至处，计算位于上的体积微元移至时所作的微元功。

高等数学(一元微积分)02-7.2定积分的定义与几何意义

b
b
与积分变量使用的字母的选取无关，即有 a f (x)dx a f (t)dt ．
3．在定积分的定义中，有 a b ，为了今后计算方便，我们规定：
a
b
a
f (x)dx f (x)dx 及 f (x)dx 0 ．
b
a
a
2.定积分的几何意义
设 f (x) 是 a,b上的连续函数，由曲线 y f (x) 及直线 x a, x b, y 0 所围
1
2
证明令 y 1 x 2 , x [1,1] ，显然 y 0 ，则由 y 1 x2 和直线
x 1, x 1， y 0 所围成的曲边梯形是单位圆位于 x 轴上方的半圆．如图 5.1.4
所示．因为单位圆的面积 A ，所以半圆的面积为．
2
由定积分的几何意义知： 1 1 x2 dx ．
a
0
f (i )xi ，
i 1
(5.1.3)
其中， f (x) 称为被积函数， f (x)dx 称为被积表达式， x 称为积分变量，a 称为积
分下限， b 称为积分上限，[a,b]称为积分区间．
根据定积分的定义，前面所讨论的两个实例可分别叙述为：
b
曲边梯形面积 A 是曲线 y f (x) 在区间 [a,b] 上的定积分 A a f (x)dx
于 x 轴的上方或下方．这时定积分在几何上表示上述这些部分曲边梯形面积的代数和，如图 5.1.3 所示，有
b
a f (x)dx A1 A2 A3
其中 A1, A2 , A3 分别是图中三部分曲边梯形的面积，它们都是正数．
图 5.1.3
图 5.1.4
例 1 利用定积分的几何意义，证明 1 1 x2 dx ．

微积分学 P.P.t 标准课件29-第29讲一元微积分应用(二)

第六章一元微积分的应用
第三节曲线的凹凸性, 函数图形的描绘
一,曲线的凹凸性,拐点二,曲线的渐近线三,函数图形的描绘
一,曲线的凹凸性,拐点
我们说一个函数单调增加, 你能画出函数所对应的曲线的图形吗? y
?!
.
A
B
.
x
O
f ( x) ↑ ( a , b ) 时 , 它的图形的形式不尽相同. 一般说来, 对于一个区间上单调的函数的图形都存在一个需要判别弧段位于相应的弦线的"上方"或"下方"的问题 .
在 (∞, 0) 上 ,
x1 + x2 1 f( ) < ( f ( x1 ) + f ( x2 ) ) , 2 2
y = x 3 是凸的 .
在 (0, + ∞ ) 上 ,
f(
x1 + x2 1 ) > ( f ( x1 ) + f ( x2 ) ) , 2 2
y = x 3 是凹的 .
y
在 (∞, 0) 上 ,
f ′′(ξ ) ( x x0 ) 2 2!
f ( x1 ) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x1 x0 ) +
f ′′(ξ1 ) ( x1 x0 ) 2 2!
f ′′(ξ 2 ) f ( x2 ) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x2 x0 ) + ( x2 x0 ) 2 2!
其中 , ξ1 在 x0 与 x1 之间, ξ 2 在 x0 与 x2 之间.
于是 f ( x1 ) + f ( x2 ) = 2 f ( x0 ) + ( f ′′(ξ1 ) + f ′′(ξ 2 ))( x1 x0 ) 2

在一元函数微积分中

在一元函数微积分中在一元函数微积分中，常见的是以下几类问题:1.第一类是已知物体移动的距离表示为时间的函数方式，求物体在任意时刻的速度和加速度。

也就是数学中的导数问题。

2.第二类问题是求曲线的切线。

3.第三类问题是求函数的最值，如大炮的最大射程等。

4.第四类问题是求曲线的长度，曲线围成的面积，曲线围成的体积。

在上面四个问题的驱使下，我们的先辈们为了解决这些问题，经过几百年的努力成功地创造了微积分学。

整个微积分的内容基本上是围绕这几个问题在展开的，当然在具体的学习过程中还有很多一些问题和内容，但在学习的主线上可以按照这个线条来把握，在学习一元微积分的过程中，应当掌握以下几个重要的概念1(函数函数是我们微积分的研究对象，也是我们利用数学这个工具去解决实际问题的基础根本，它揭示了我们要解决的问题的几个方面的数量关系，通过数学符号和式子体现出来。

2.极限极限是学习微积分碰到的第一个重要的概念，也是以后学习微积分的重要基础，因此深入理解领会极限的概念是很重要的。

判断数列{}是否有极限有很多方法，但从数列{}本身的特征直接判断是XXnn 否收敛是很有意义的，即Cauchy收敛准则。

Cauchy收敛准则:数列{}收敛的充要条件是:对任意ε>0, 存在n,m.>N Xn 有|Xn-Xm|<ε总成立.这个准则说明了收敛数列的基本特点和本质特征.对于帮助我们更好的理解极限的本质有很好的意义。

3( 导数导数概念的本质特征是函数的变化量和自变量的变化量的比的极限，也就是理解为两个微分的商，所以也称为“微商”。

深刻理解这个概念对于解决对于相关变化率的问题是十分重要的。

4(黎曼和式黎蔓和的概念是定积分概念的本质内容，也就是定积分就是黎曼和式的极限，是前面我们提到的函数的概念和极限思想的综合，深刻理解定积分的定义即黎曼和式的极限的深刻意义，是我们用数学解决很多实际问题的一个强有力的武器，具体就体现在会用元素法解决一些简单的实际问题。

经济数学一元微积分第四章导数及应用第一节微分中值定理

经济数学一元微积分第四章导数及应用第一节微分中值定理本次练习有4题，你已做4题，已提交4题，其中答对4题。

当前页有4题，你已做4题，已提交4题，其中答对4题。

1.不用求出函数的导数，分析方程有几个实根？()A．0B．1C．2D．3答题：A.B.C.D.（已提交）参考答案：D问题解析：2.=？（）A．0B．1C．-1D．2答题：A.B.C.D.（已提交）参考答案：B问题解析：3.=？，（）A．0B．1C．-1D．2答题：A.B.C.D.（已提交）参考答案：A问题解析：4.求不能使用洛必塔法则。

（）答题：对.错.（已提交）参考答案：√问题解析：元微积分·第四章导数的应用·第二节函数单调性、极值和渐近线本次练习有4题，你已做4题，已提交4题，其中答对4题。

当前页有4题，你已做4题，已提交4题，其中答对4题。

1.下面关于函数的描述，那两句话是正确的？（）上单调递减上单调递增上单调递减上单调递增A．函数在B．函数在C．函数在D．函数在答题：A.B.C.D.（已提交）参考答案：AC问题解析：2.在上是单调递增的。

（）答题：对.错.（已提交）参考答案：√问题解析：3.函数的极大值就是函数的最大值。

（）答题：对.错.（已提交）参考答案：某问题解析：4.如果函数在点。

（）处二阶可导，且=0，若，则在点处取得极小值答题：对.错.（已提交）参考答案：√问题解析：一元微积分·第四章导数的应用·第三节经济中的优化模型本次练习有2题，你已做2题，已提交2题，其中答对2题。

当前页有2题，你已做2题，已提交2题，其中答对2题。

1.某厂生产某产品，每批生产台得费用为，得到的收入为，则利润为？（）A．B．C．D．答题：A.B.C.D.（已提交）参考答案：A问题解析：2.在上题中，请问生产多少台才能使得利润最大？（）A．220B．230C．240D．250答题：A.B.C.D.（已提交）参考答案：D问题解析：一元微积分·第四章导数的应用·第四节函数的作图本次练习有1题，你已做1题，已提交1题，其中答对1题。

微积分中的积分公式及其应用

微积分中的积分公式及其应用微积分是数学中的一门重要学科，主要研究函数的变化和求解问题的方法。

在微积分中，积分是一个核心概念，它有着广泛的应用。

本文将介绍微积分中的积分公式及其应用。

一、不定积分与定积分在微积分中，积分分为不定积分和定积分两种形式。

不定积分是指对函数进行积分，得到的结果是一个不含有具体数值的表达式，通常用符号C表示。

定积分是指对函数在某个区间上的积分，得到的结果是一个具体的数值。

二、基本积分公式微积分中有一些基本的积分公式，它们是进行积分计算的基础。

下面是一些常用的基本积分公式：1. 常数函数积分公式对于常数函数f(x) = C，其中C为常数，它的不定积分为F(x) = Cx + C。

2. 幂函数积分公式对于幂函数f(x) = x^n，其中n不等于-1，它的不定积分为F(x) = (1/(n+1)) *x^(n+1) + C。

3. 指数函数积分公式对于指数函数f(x) = e^x，它的不定积分为F(x) = e^x + C。

4. 三角函数积分公式对于正弦函数f(x) = sin(x)，它的不定积分为F(x) = -cos(x) + C。

对于余弦函数f(x) = cos(x)，它的不定积分为F(x) = sin(x) + C。

5. 对数函数积分公式对于自然对数函数f(x) = ln(x)，其中x大于0，它的不定积分为F(x) = xln(x) - x + C。

三、积分的应用积分在微积分中有着广泛的应用，下面将介绍一些常见的应用领域。

1. 几何应用积分可以用来计算曲线与坐标轴所围成的面积。

通过将曲线划分为无穷小的小矩形，然后对这些小矩形的面积进行求和，可以得到曲线所围成的面积。

2. 物理应用积分在物理学中有着重要的应用，可以用来计算物体的质量、重心、力学作用等。

通过对物体的密度、速度、加速度等进行积分运算，可以得到物体的相关物理量。

3. 统计学应用积分在统计学中也有着应用，可以用来计算概率密度函数、累积分布函数等。

一元函数微积分学知识点总结

一元函数微积分学知识点总结
学习数学能使人们更符合逻辑、更有条理、更严密、更准确、更深入地思考和解决问题，能增强人们的好奇心、想象力和创造性。

导数
微分
不定积分
定积分
变限积分
反常积分
求导数
1.复合函数求导
2.分段函数求导
3.隐函数求导
4.高阶导数求导
求积分
1.凑积分法
2.换元法
3.分部积分法
4.有理函数积分法
5.运用牛顿-莱布尼茨公式
几何应用（数一、数二、数三）
1.导数的几何应用：“三点两性一线”（极值点、最值点、拐点、单调性、凹凸性、渐近线）
2.积分的几何应用：利用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积和函数的平均值
物理应用（数一、数二）
1.变化率问题
2.静水压力
3.抽水作功
4.质点引力
经济应用（数三）
1.边际
2.弹性
3.积分的简单经济应用
中值定理的证明
求方程的根
不等式的证明
等式的证明
【注】整个高数上册就是在讲一元函数微积分，复习这部分要整体把握，先把整个知识框架了熟于心，在复习过程中多总结知识点之间的联系。

由于最近五一集训营和真题大全解的事情比较忙，知识点精讲一直没有更新，真题出来之后五月份我会重点多讲解知识点，把整个一元函数部分每个知识点梳理一遍，希望同学们多多体谅！。

(完整word版)微积分在物理学上的应用

微积分在物理学上的应用1 引言微积分是数学的一个基本学科，内容包括微分学，积分学，极限及其应用，其中微分学包括导数的运算,因此使速度，加速度等物理元素可以使用一套通用的符号来进行讨论。

而在大学物理中，使用微积分去解决问题是及其普遍的.对于大学物理问题，可是使其化整为零,将其分成许多在较小的时间或空间里的局部问题来进行分析.只要这些局部问题分的足够小，足以使用简单,可研究的方法来解决，再把这些局部问题的结果整合起来啊，就可以得到问题的结果。

而这种将问题无限的分割下去，局部问题无限的小下去的方法，即称为微分，而把这些无限个微分元中的结果进行求和的方法，即是积分。

这种解决物理问题的思想和方法即是微积分的思想和方法。

2 微积分的基本概念及微分的物理含义微积分是一种数学思想，其建立在函数,实数和极限的基础上，其主要探讨的就是连续变量。

在运用微积分去解决物理问题时，可以将我们所需要得出的结果看成是一个整体,再将这个整体先微分,即将其分成足够小的个体,我们可以将这个个体的变量看成衡量，得出个体结果后，再将其积分，即把个体的结果累积起来进行求和.例如，在我们研究匀变速直线运动时，我们就可以在其运动过程中选取一个微小的时间dt，而这一时间内的位移为dt，在每一段时间内速度的变化量非常小，可以近似忽略，那么我们就可以将这段时间内的运动近似看成匀速直线运动，再把每段时间内的位移相加,无限求和，就可以得出总的位移。

在物理学中，每个物理公式都是某些物理现象和规律的数学表示，因此，我们在使用这些公式时，面对物理量和公式的微分形式我们不能仅仅从数学方面去考虑，更要从物理含义上去考虑.在我们使用微分符号时，不能只从数学角度去理解其为无限小，更要结合具体的物理量和角度去判断他的正确含义。

例:如图所示,一通有交流电流i=的长直导线旁有一共面的单匝矩形线圈ABCD，试求线圈中的感应电动势大小。

解：设在某个时刻,长直导线电流产生的磁场为B=在图中做一个微元面dS，dS=ldx，则该面元上的磁场可以近似于均匀磁场,微元面dS上的磁通量为d线圈围成的面上通过的磁通量为线圈中的感应电动势为在这个例题中，微元面dS的磁通量与线圈的感应电动势都有，但他们的物理含义却是不一样的，前者的表示微元面dS上的磁通量，是一个微小量,而后者的表示的是微笑时间内的磁通量变化量,是一个微小变化量。

微积分的基本计算方法与应用解析与归纳

微积分的基本计算方法与应用解析与归纳微积分是数学中的一个重要分支，研究函数的变化和物理问题的相关性。

它不仅是理论数学的基础，也是应用数学的重要工具。

本文将介绍微积分的基本计算方法及其在实际应用中的解析与归纳。

一、导数的计算方法导数是微积分的重要概念，表示函数在某一点处的变化率。

常用的导数计算方法有：1. 函数极限法：通过计算函数在某一点的极限来求导数。

2. 基本导数法则：包括常数规则、幂函数规则、指数函数规则、对数函数规则、三角函数规则等，可以简化导数的计算过程。

3. 链式法则：应用于复合函数的导数计算，通过链式法则可以将复杂函数的导数分解为多个简单函数的导数相乘。

4. 隐函数求导：用于求解含有隐含变量的方程的导数。

二、积分的计算方法积分是导数的逆运算，表示函数的累积变化量。

常用的积分计算方法有：1. 不定积分法：不定积分是求导的逆运算，可以还原出原始函数。

通过基本积分法则和换元法等，可以求解各种类型的不定积分。

2. 定积分法：定积分计算具体区间内的函数累积变化量，通过定积分的定义和牛顿-莱布尼茨公式可以进行计算。

3. 分部积分法：应用于乘积函数的积分计算，通过分部积分法可以将复杂函数的积分分解为两个简单函数的乘积。

4. 曲线长度与旋转体积的计算：通过定积分的方法可以计算曲线长度和旋转体积等几何问题。

三、微积分的应用解析微积分在科学、经济、工程等领域具有广泛的应用。

下面将介绍微积分在几个常见领域的应用解析：1. 物理学中的运动学问题：微积分可以应用于物体运动的速度、加速度和位移等问题的分析与求解。

2. 经济学中的优化问题：微积分可以应用于经济学中的最优化问题，如求解成本最小、收益最大等问题。

3. 工程学中的电路分析：微积分可以应用于电路中电流、电压和功率等问题的计算与分析。

4. 生物学中的生物动力学问题：微积分可以应用于生物学中的生物种群增长、食物链模型等问题的建模与研究。

四、微积分的应用归纳微积分的应用广泛且多样，可以总结为以下几个方面：1. 函数分析与优化：微积分可以用于研究函数的性质、极值问题和最优化等。

空间解析几何基本知识《微积分》

空间解析几何是研究空间图形性质的数学分支，它借助空间直角坐标系来描述空系的基本概念，为后续讨论曲面及其方程提供了基础。接着，详细阐述了平面的基本方程Ax+By+Cz+D=0及其特殊情况，如平面通过坐标原点、平面平行于坐标轴等。此外，还探讨了柱面的相关知识，包括柱面的定义、柱面方程的特征以及柱面的形成过程。柱面是由平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面，其准线和母线是构成柱面的两个关键要素。通过观察柱面的形成过程，可以更加深入地理解柱面的几何特性。本文所介绍的空间解析几何基本知识，不仅有助于理解空间图形的性质，还为后续学习一元微积分在空间解析几何中的应用打下了坚实的基础。

微积分在生活的应用

微积分在生活中的应用摘要:微积分作为一种重要的数学工具,在解决实际问题时并不是一开始就得心应手的,在开始应用微积分解决间题时,常常会感到困惑，主要表现在:积分元的选取，积分限的确定及模型的建立等等.比如，利用微积分来确定一些简单的学习方法、投资决策、对实际问题进行数学建模等，这些问题都可以通过微积分的知识和方法来进行分析，并找出其中的规律，从而做出决策.本文将结合它在几何、物理与经济等方面的应用，利用理论知识付诸于实践中，有利于于人们更好的学习了解微积分的应用。

关键词：微积分物理经济应用摘要字数偏多，再去掉两三行。

摘要是反映你文章中的内容,前面两句介绍微积分,后面直接说文章通过哪些内容反映你的主题引言通过微积分可以描述运动的事物,描述一种变化的过程,可以说,微积分的创立极大地推动了生活的进步.由于微积分是研究变化规律的方法,因此只要与变化、运动有关的研究都要与微积分发生联系，都需要运用微积分的基本原理和方法.随着现代科学的发展和各学科之间的相互交融，微积分仍会进一步丰富和发展人们的生活，进一步将微积分的理论应用于实践,从而为人类社会的进步作出更大的贡献.无论是在生活中还是学习中，微积分都能实现其最大化、最优化的作用.在学习数学中，利用微积分能很好的计算平面上那些不规则图形的面积、曲线的弧长、三维空间中旋转曲面的表面积、旋转体的体积及在我们生活中“切菜”的物体的体积等;在物理上，利用微积分可以研究物体做匀速直线运动的位移问题、研究匀速圆周向心加速度的方向问题及研究物体的变力做功等;在经济中,利用微积分能分析边际分析在经济中的应用、弹性在经济中的应用及学会用微积分解决实际中的最优问题与投资决策等。

可见，微积分存在于生活中的方方面面，是解决实际问题最方便的工具.如果没有微积分的出现,生活中遇到的问题就不能转化为数学语言来进行研究，生活中存在的大量的实际问题就不能够解决，因此,要想解决这些问题我们就必须学好微积分的有关知识，好好利用微积分这个工具。

简述一元函数在一点的导数、一元函数的定积分、二元函数的二重积分的几何意义。

简述一元函数在一点的导数、一元函数的定积分、二元函数的二重积分的几何意义一元函数在一点的导数、一元函数的定积分和二元函数的二重积分都是微积分中重要的概念和工具。

它们都有着深刻的几何意义，下面将对它们进行简述并解释其几何意义。

1.一元函数在一点的导数：一元函数在一点的导数表示了该函数在该点处的变化率。

更具体地说，给定一个一元函数f(x)，在某一点x=a处的导数f'(a)可以理解为在x=a附近的极小变化量与x-a的比值。

几何意义：-导数可以表示函数曲线在某一点处的切线的斜率。

具体而言，如果一个函数在某一点的导数为正，那么函数曲线在该点上升；如果导数为负，则函数曲线在该点下降。

-导数还可以表示函数曲线在某一点的瞬时速度。

以时间为自变量的位移函数的导数，即速度函数，可以告诉我们物体在某一时刻的瞬时速度。

2.一元函数的定积分：一元函数的定积分表示了函数曲线与x轴之间的面积。

如果给定一个定义在区间[a,b]上的函数f(x)，那么它的定积分∫[a,b]f(x)dx可以理解为函数曲线与x轴之间的有向面积，其中dx表示一个无穷小的宽度。

几何意义：-定积分可以计算函数曲线下方的面积。

如果函数f(x)在区间[a,b]上是正值，那么定积分的结果就是曲线下方的面积；如果函数在某些区间上是负值，则这些区间的面积被视为负值。

-定积分还可以表示曲线围成的区域的面积。

例如，在平面几何中，通过计算两条曲线之间的定积分，我们可以得到这两条曲线所围成的区域的面积。

3.二元函数的二重积分：二元函数的二重积分表示了函数曲面在某个特定区域上的体积或质量。

给定一个定义在二维区域D上的函数f(x,y)，其二重积分∬Df(x,y)dA可以理解为函数曲面在区域D上的体积，其中dA表示一个无穷小的面积元素。

几何意义：-二重积分可以表示空间中某个区域的体积。

将二维区域D映射到三维空间中，然后计算函数曲面在该区域上的体积。

-二重积分还可以表示质量。

微积分在实际中的应用

微积分在实际中的应用一、微积分的发明历程如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分。

微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。

微积分是微分学和积分学的总称。

它是一种数学思想，“无限细分”就是微分，“无限求合”就是积分。

微分学包括求导的运算，是一套关于变化的理论。

它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可以用一套通用的符号进行讨论。

积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。

微积分的产生一般分为三个阶段：极限概念、求面积的无限小方法、积分与微分的互逆关系。

前两阶段的工作，欧洲及中国的大批数学家都做出了各自的贡献。

从17 世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学时代，即微积分不断完善成为一门学科。

整个17 世纪有数十位科学家为微积分的创立做了开创性的研究，但使微积分成为数学的一个重要分枝还是牛顿和莱布尼茨。

二、微积分的思想从微积分成为一门学科来说，是在17 世纪，但是，微分和积分的思想早在古代就已经产生了。

公元前3 世纪，古希腊的数学家、力学家阿基米德（公元前287~ 前212）的著作《圆的测量》和《论球与圆柱》中就已含有微积分的萌芽，他在研究解决抛物线下的弓形面积、球和球冠面积、螺线下的面积和旋转双曲线的体积的问题中就隐含着近代积分的思想。

作为微积分的基础极限理论来说，早在我国的古代就有非常详尽的论述，与此同时，战国时期庄子在《庄子•天下篇》中说“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，体现了无限可分性及极限思想。

公元3 世纪,刘徽在《九章算术》中提及割圆术“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣”用正多边形来逼近圆周。

这是极限论思想的成功运用。

他的极限思想和无穷小方法，也是世界古代极限思想的深刻体现。

虽然最后是欧洲人真正的研究和完成了微积分的创立工作，但中国古代数学对于微积分的出色工作也是不可忽视的。