选修1-2第二章圆锥曲线导学案

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高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.2.3 双曲线的简单几何性质(二)导学案新人教A版选修1-1

§2.2.3双曲线的简单几何性质（二）【自主学习】阅读课本P-P 内容，完成导学案自主学习内容.一．学习目标1. 掌握双曲线几何性质的简单应用；2．掌握直线与双曲线的位置关系及其应用二．自主学习1.复习回顾：（1）双曲线的定义：()212122F F a a PF PF <=-方程为双曲线；（2）双曲线标准方程：();012222>=-b a b y a x 、();012222>=-b a bx a y 、（3）常用性质[()0012222>>=b a by a x ，－为例]： ①等轴双曲线：当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为;0,22≠=-k k y x ②离心率：ac e =，双曲线,1>⇔e 等轴双曲线2=⇔e ③两条渐近线：x a b y ±=2. 直线与双曲线的位置关系三．自主检测 1．双曲线2221kx ky -=的一焦点是(0,4)F ，则k 等于( )A.332-B.332C.316-D.3162、在双曲线中2c a =且双曲线与椭圆224936x y +=有公共焦点，则双曲线的方程为。

答案：1.A; 2.2214x y -= §2.2.3双曲线的简单几何性质（二）【课堂检测】1. 双曲线24x -212y =1的焦点到渐近线的距离为（A ）（B ）2 （C （D ）12. 双曲线221mx y +=的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列,则m 的值为【拓展探究】探究一：过双曲线C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的一个焦点作圆222x y a +=的两条切线，切点分别为A ，B ，若120AOB ∠=（O 是坐标原点），求双曲线C 的离心率。

探究二：已知双曲线方程2x 2－y 2＝2.(1) 求以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在直线方程；(2) 过点B(1,1)能否作直线l ，使l 与所给双曲线交于Q 1、Q 2两点，且点B 是弦Q 1Q 2的中点？这样的直线l 如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．【当堂训练】1. 已知圆22:6480C x y x y +--+=．以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为．2.设1F 和2F 为双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>)的两个焦点, 若12F F ，，(0,2)P b 是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为( )A ．32B ．2C ．52D ．33.椭圆22221x y a b +=()0a b >>的离心率为2，则双曲线22221x y a b -=的离心率为小结与反馈：直线与双曲线问题的常用解题思路有：①从方程的观点出发，利用根与系数的关系来进行讨论，这是用代数方法来解决几何问题的基础．要重视通过设而不求与弦长公式简化计算，并同时注意在适当时利用图形的平面几何性质．②以向量为工具，利用向量的坐标运算解决与中点、弦长、角度相关的问题． ③解题时注意应用数形结合的数学思想方法。

(新课程)高中数学《第二章圆锥曲线与方程》导学案新人教A版选修21

1．掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程；2．掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质；3．能解决直线与圆锥曲线的一些问题．7881，文P 66~ P 69找出疑惑之处）复习2：① 若椭圆221x my +=，则它的长半轴长为__________；②双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，则双曲线的方程为；③以椭圆2212516x y +=的右焦点为焦点的抛物线方程为．二、新课导学※ 典型例题例1 当α从0到180变化时，方程22cos 1x y α+=表示的曲线的形状怎样变化？变式：若曲线2211x y k k+=+表示椭圆，则k 的取值范围是．小结：掌握好每类标准方程的形式．例2设1F ，2F 分别为椭圆C ：2222x y a b+ =1 (0)a b >>的左、右两个焦点．⑴若椭圆C 上的点A （1，32）到F 1、F 2两点的距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标； ⑵设点K 是（1）中所得椭圆上的动点，求线段1F K 的中点的轨迹方程．变式：双曲线与椭圆2212736x y +=有相同焦点，且经过点4)，求双曲线的方程．※ 动手试试练1．已知ABC ∆的两个顶点A ，B 坐标分别是(5,0)-，(5,0)，且AC ，BC 所在直线的斜率之积等于m (0)m ≠，试探求顶点C 的轨迹．练2．斜率为2的直线l与双曲线22132x y-=交于A，B两点，且4AB=，求直线l的方程．三、总结提升※学习小结1．椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程；2．椭圆、双曲线、抛物线的几何性质；3．直线与圆锥曲线．※知识拓展圆锥曲线具有统一性：⑴它们都是平面截圆锥得到的截口曲线；⑵它们都是平面内到一个定点的距离和到一条定直线（不经过定点）距离的比值是一个常数的点的轨迹，比值的取值范围不同形成了不同的曲线；⑶它们的方程都是关于x，y的二次方程．※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1．曲线221259x y +=与曲线221259x y k k+=-- (9)k <的（）． A ．长轴长相等 B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等2．与圆221x y +=及圆228120x y x +-+=都外切的圆的圆心在（）．A ．一个椭圆上B ．双曲线的一支上C ．一条抛物线上D ．一个圆上3．过抛物线28y x =的焦点作直线l ，交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则AB 等于（）．A ．10B ．8C ．6D ．44．直线1y kx =-与双曲线224x y -=没有公共点，则k 的取值范围．5．到直线3y x =+的距离最短的抛物线24y x =上的点的坐标是．1．就m 的不同取值，指出方程22(1)(3)(1)(3)m x m y m m -+-=--所表示的曲线的形状．2．抛物线22x y =-与过点(0,1)M -的直线l 相交于A ，B 两点，O 为原点，若OA 和OB 的斜率之和为1，求直线l 的方程．。

2019-2020学年高中数学第2章《圆锥曲线与方程》导学案北师大版选修1-1.doc

2019-2020学年高中数学第2章《圆锥曲线与方程》导学案北师大版选修1-1一、椭圆知识点回顾：椭圆的定义：__________________________ ________________焦点：___________焦距__________表示椭圆的集合______________________ 椭圆的标准方程：(焦点在x 轴上)__________________(焦点坐标)________________________(焦点在y 轴上)________________ _(焦点坐标)_________________________a 、b 、c 的关系：a_____b ；c 2___a 2___b 2如何区分焦点在哪个轴上？___________________________________________椭圆的图象：(焦点在x 轴)(焦点在y 轴)几何性质：范围：(焦点在x 轴)___________________(焦点在y 轴)___________________对称性：___________________________________________________________顶点坐标：_________________________________________________________长轴______长半轴______短轴______短半轴______焦距______半焦距_______离心率：____________离心率的范围：____________e 越大椭圆越____e 越小椭圆越______。

常规练习中层练习1.设椭圆191622=+y x 的焦点为F 1、F 2 , 直线L 经过点F 1且与椭圆相交于M, N 两点, 则求△MNF 2的周长2.已知点P 是椭圆142022=+y x 上的一点，且以点P 及焦点F 1、F 2为顶点的三角形面积等于4，求点P 的坐标。

2019-2020学年高中数学第二章《圆锥曲线》复习导学案新人教版选修1-1.doc

2019-2020学年高中数学第二章《圆锥曲线》复习导学案新人教版选修1-1【知识归纳】一、椭圆、双曲线、抛物线性质注意：1．涉及圆锥曲线的焦点三角形（圆锥曲线上一点与两个焦点构成的三角形）问题首选圆锥曲线的第一定义解题2．与双曲线22221x y a b -=共渐近线的双曲线标准方程为2222x y a bλ-=（0λ≠），（其中0λ>是焦点在x 轴上的双曲线；0λ<是焦点在y 轴上的双曲线）3．椭圆方程的一般形式：221(0,0,)+=>>≠mx ny m n m n 4．双曲线方程的一般形式：221(0)+=<mx ny mn二．点00(,)P x y 与圆锥曲线的位置关系 1. 点00(,)P x y 与椭圆22221x y +=的位置关系：2. 点00(,)P x y 与抛物线的位置关系：三．直线与圆锥曲线的位置关系 1.2.直线与双曲线的位置关系注：与渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点； 3.直线与抛物线的位置关系注：与抛物线对称轴平行或重合的直线与抛物线只有一个交点.4、其它：（1）弦长问题：若斜率为k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB ，设1122(,),(,)A x y B x y ，则弦长21=-=AB x 或12y =-=（2）焦点弦（即过焦点的弦）1）计算焦点弦长的方法：①利用弦长公式21-AB x ；②利用焦半径公式； 2）抛物线22(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦）为AB ，1122(,),(,)A x y B x y ，则有①12=++AB x x p ；②212y y p =-，2124p x x =；③112AF BF p+=四．求轨迹的常用方法（一般步骤：①建系；②设点；③列式；④化简；⑤证明）1．直接法：直接通过建立,x y 之间的关系，构成(,)0F x y =，是求轨迹的最基本的方法； 2．坐标转移法：若动点(,)P x y 依赖于另一动点00(,)Q x y 的变化而变化，并且00(,)Q x y 又在某已知曲线上，则可先用,x y 的代数式表示00,x y ，再将00,x y 代入已知曲线得到要求的轨迹方程；3．定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线定义，则可由曲线的定义直接写出方程；4．参数法：当动点(,)P x y 坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将,x y 均用一个中间变量（如斜率k 等）表示，得参数方程，再消去参数得关于,x y 的方程. 【基础自测】1、与⊙O ：22x y +=1及⊙C ：22(4)x y -+=4都外切的动圆M 的圆心的轨迹是( )A 、椭圆B 、抛物线C 、双曲线D 、双曲线的一支2、若9k <，则椭圆22+1259x y =与椭圆22+1259x y k k=--的( ) A 、长轴长相等 B 、短轴长相等 C 、离心率e 相等 D 、焦距相等 3、顶点是原点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线3412x y -=上的抛物线的方程是 . 4、双曲线13622=-y x 的渐近线与圆)0()3(222>=+-r r y x 相切，则r = . 【典例复习】例1、椭圆的中心在原点，左焦点F 1 (0)，右顶点A 2(2，0)，设点A(1，12).（1）求该椭圆的标准方程；（2）若P 是椭圆上的动点，求线段PA 的中点M 的轨迹方程。

选修1-1&2-1__第二章_圆锥曲线与方程_导学案 (最新修改的)

§2.1.1 曲线与方程（1）1．理解曲线的方程、方程的曲线；2．求曲线的方程．一、课前准备复习1：画出函数2y x=(12)2-≤≤的图象．x复习2：画出两坐标轴所成的角在第一、三象限的平分线，并写出其方程．二、新课导学※学习探究探究任务一：到两坐标轴距离相等的点的集合是什么？写出它的方程．问题：能否写成y x=，为什么？新知：曲线与方程的关系：一般地，在坐标平面内的一条曲线C 与一个二元方程(,)0F x y =之间，如果具有以下两个关系：1．曲线C 上的点的坐标，都是的解；2．以方程(,)0F x y =的解为坐标的点，都是的点，注意：1︒ 如果……，那么……；2︒ “点”与“解”的两个关系，缺一不可；3︒ 曲线的方程和方程的曲线是同一个概念，相对不同角度的两种说法；4︒ 曲线与方程的这种对应关系，是通过坐标平面建立的．试试：1．点(1,)P a 在曲线2250x xy y +-=上，则a =___ ．2．曲线220x xy by +-=上有点(1,2)Q ，则b = ．新知：根据已知条件，求出表示曲线的方程．※ 典型例题例1 证明与两条坐标轴的距离的积是常数(0)k k >的点的轨迹方程式是xy k =±．变式：到x 轴距离等于5的点所组成的曲线的方程是50y -=吗？例2设,A B两点的坐标分别是(1,1)--，(3,7)，求线段AB的垂直平分线的方程．变式：已知等腰三角形三个顶点的坐标分别是(0,3)C．中线AO（O为原点）B-，(2,0)A，(2,0)所在直线的方程是0x=吗？为什么？反思：BC边的中线的方程是0x=吗？小结：求曲线的方程的步骤：①建立适当的坐标系，用(,)M x y表示曲线上的任意一点的坐标；②写出适合条件P的点M的集合{|()}=；P M p M③用坐标表示条件P，列出方程(,)0f x y=；④将方程(,)0f x y=化为最简形式；⑤说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．1练1．下列方程的曲线分别是什么？(1) 2x y x= (2) 222x y x x -=- (3) log a x y a =练2．离原点距离为2的点的轨迹是什么？它的方程是什么？为什么？三、总结提升※ 学习小结1．曲线的方程、方程的曲线；2．求曲线的方程的步骤：①建系，设点；②写出点的集合；③列出方程；④化简方程；⑤验证．21. 与曲线y x =相同的曲线方程是（）．A ．2x y x= B ．y ．y = D ．2log 2x y = 2 ．直角坐标系中，已知两点(3,1)A ，(1,3)B -，若点C 满足OC =αOA +βOB ，其中α，β∈R ，α+β=1，则点C 的轨迹为 ( ) ．A ．射线B ．直线C ．圆D ．线段3．(1,0)A ，(0,1)B ，线段AB 的方程是（）．A ．10x y -+=B ．10x y -+=(01)x ≤≤C ．10x y +-=D ．10x y -+=(01)x ≤≤4．已知方程222ax by +=的曲线经过点5(0,)3A 和点(1,1)B ，则a = ，b = ．5．已知两定点(1,0)A -，(2,0)B ，动点p 满足12PA PB =，则点p 的轨迹方程是． 6.点(1,2)A -，(2,3)B -，(3,10)C 是否在方程2210x xy y -++=表示的曲线上？为什么？7. 求和点(0,0)O ，(,0)A c 距离的平方差为常数c 的点的轨迹方程．§2.1.2 曲线与方程（2）1. 求曲线的方程；2. 通过曲线的方程，研究曲线的性质．一、课前准备复习1：已知曲线C 的方程为 22y x = ，曲线C 上有点(1,2)A ，A 的坐标是不是22y x = 的解？点(0.5,)t 在曲线C 上,则t =___ ．复习2：曲线（包括直线）与其所对应的方程(,)0f x y =之间有哪些关系?二、新课导学※ 学习探究引入：圆心C 的坐标为(6,0)，半径为4r =，求此圆的方程．问题：此圆有一半埋在地下，求其在地表面的部分的方程．探究：若4AB =，如何建立坐标系求AB 的垂直平分线的方程．※ 典型例题例1 有一曲线,曲线上的每一点到x 轴的距离等于这点到(0,3)A 的距离的2倍，试求曲线的方程．变式：现有一曲线在x 轴的下方，曲线上的每一点到x 轴的距离减去这点到点(0,2)A ，的距离的差是2，求曲线的方程．小结：点(,)P a b 到x 轴的距离是；点(,)P a b 到y 轴的距离是；点(1,)P b 到直线10x y +-=的距离是例2已知一条直线l 和它上方的一个点F ，点F 到l 的距离是2，一条曲线也在l 的上方，它上面的每一点到F 的距离减去到l 的距离的差都是2，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程．练1．有一曲线,曲线上的每一点到x轴的距离等于这点到直线10+-=的距离的2倍，试x y求曲线的方程．练2. 曲线上的任意一点到(3,0)B两点距离的平方和为常数26,求曲线的方程．A-,(3,0)三、总结提升※学习小结1. 求曲线的方程；2. 通过曲线的方程，研究曲线的性质．※知识拓展1．方程[]2(3412)log (2)30x y x y --+-=的曲线经过点(0,3)A -，(0,4)B ，(4,0)C ，57(,)34D -中的（）.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．已知(1,0)A ，(1,0)B -，动点满足2MA MB -=,则点M 的轨迹方程是（）.A ．0(11)y x =-≤≤B ．0(1)y x =≥C ．0(1)y x =≤-D ．0(1)y x =≥3．曲线y =0y x +=的交点个数一定是（）．A ．0个B ．2个C ．4个D ．3个4．若定点(1,2)A 与动点(,)P x y 满足4OP OA ∙= ,则点P 的轨迹方程是． 5．由方程111x y -+-=确定的曲线所围成的图形的面积是．6.以O 为圆心，2为半径，上半圆弧的方程是什么？在第二象限的圆弧的方程是什么？7．已知点C 的坐标是(2,2)，过点C 的直线CA 与x 轴交于点A ，过点C 且与直线CA 垂直的直线CB 与y 轴交于点B ．设点M 是线段AB 的中点，求点M 的轨迹方程．课后作业一、选择题1．方程(x－2)2＋(y＋2)2＝0表示的图形是( )A．圆B．两条直线C．一个点D．两个点2．已知直线l：x＋y－3＝0和曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2,1)满足( ) A．在直线l上，但不在曲线C上B．既在直线l上，也在曲线C上C．既不在直线l上，也不在曲线C上D．不在直线l上，但在曲线C上3．方程1－|x|＝1－y表示的曲线是( )A．两条线段B．两条直线C．两条射线D．一条射线和一条线段4．以(5,0)和(0,5)为端点的线段的方程是( )A．x＋y＝5 B．x＋y＝5(x≥0)C．x＋y＝5(y≥0) D．x＋y＝5(0≤x≤5) 5．方程|x|＋|y|＝1表示的曲线是图中的( )6．若曲线y＝x2－x＋2与直线y＝x＋m有两个交点，则( )A．m∈R B．m∈(－∞，1) C．m＝1 D．m∈(1，＋∞)7．若点M到两坐标轴的距离的积为2008，则点M的轨迹方程是( ) A．xy＝2008 B．xy＝－2008 C．xy＝±2008 D．xy＝±2008(x>0)8．已知点O(0,0)，A(1，－2)，动点P满足|PA|＝3|PO|，则点P的轨迹方程是( ) A．8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0 B．8x2＋8y2－2x－4y－5＝0C．8x2＋8y2＋2x＋4y－5＝0 D．8x2＋8y2－2x＋4y－5＝09．已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程是( )A ．x 2＋y 2＝2B ．x 2＋y 2＝4C ．x 2＋y 2＝2(x≠±2)D ．x 2＋y 2＝4(x≠±2) 10．已知A 、B 两点的坐标分别为(0，－5)和(0,5)，直线MA 与MB 的斜率之积为－49，则M的轨迹方程是( )A .x 225＋y 21009＝1B .x 225＋y 21009＝1(x≠±5)C .x 22254＋y 225＝1D .x 22254＋y 225＝1(x≠0) 11．一条线段的长等于10，两端点A 、B 分别在x 轴和y 轴上滑动，M 在线段AB 上且AM →＝4MB→，则点M 的轨迹方程是( )A ．x 2＋16y 2＝64B ．16x 2＋y 2＝64C ．x 2＋16y 2＝8D ．16x 2＋y 2＝812．平面上有三点A(－2，y)，B(0，y2)，C(x ，y)，若AB →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程是( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x 二、填空题13．若P (2，－3)在曲线x 2－ay 2＝1上，则a 的值为________． 14．方程x 2－y 2＝0表示的图形是________．15．曲线y ＝|x |－1与x 轴围成的图形的面积是________．16．圆心为(1,2)且与直线5x －12y －7＝0相切的圆的方程是________． 17题图 17．已知点A(－a,0)、B(a,0)，a>0，若动点M 与两定点A 、B 构成直角三角形，则直角顶点M 的轨迹方程是________．18．已知直线l ：2x ＋4y ＋3＝0，P 为l 上的动点，O 为坐标原点，点Q 分线段OP 为1∶2两部分，则点Q 的轨迹方程为__________．三、解答题19．已知方程x 2＋(y －1)2＝10.(1)判断P (1，－2)，Q (2，3)两点是否在此方程表示的曲线上； (2)若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，－m 在此方程表示的曲线上，求m 的值．20．求曲线x2－xy－y2－3x＋4y－4＝0与x轴的交点坐标．21．已知点M到点F(0,1)和直线l：y＝－1的距离相等，求点M的轨迹方程．22．已知线段AB与CD互相垂直平分于点O，|AB|＝8，|CD|＝4，动点M满足|MA|²|MB|＝|MC|²|MD|.求动点M的轨迹方程．23．如图所示，已知A(－3,0)，B 、C 两点分别在y 轴和x 轴上运动，点P 为BC 延长线上一点，并且满足AB →⊥BP →，BC →＝12CP →，试求动点P 的轨迹方程．24．求证：对任意m∈R，曲线mx －y －m ＋1＝0和曲线(x －2)2＋y 2＝4恒有交点．参考答案1答案：C 解析：由已知得⎩⎨⎧x －2＝0，y ＋2＝0，即⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－2.所以方程表示点(2，－2)．2答案：B 解析：把M 的坐标代入直线方程和曲线方程验证即可． 3答案：A 解析：由已知得1－|x|＝1－y,1－y≥0，所以y ＝|x|(y≤1)． 4答案：D5答案：D 解析：分x≥0，y≥0；x≥0，y≤0；x≤0，y≥0；x≤0，y≤0四种情形去绝对值号，即可作出判断．6答案：D 解析：联立y ＝x 2－x ＋2与y ＝x ＋m 得x 2－2x ＋2－m ＝0.由Δ＝4－4(2－m )>0，得m >1. 7答案：C8答案：A 解析：设P 点的坐标为(x ，y)，则x －12＋y ＋22＝3x 2＋y 2，整理得8x 2＋8y 2＋2x －4y －5＝0.9答案：D 解析：设P(x ，y)，因为△MPN 为直角三角形，∴MP 2＋NP 2＝MN 2，∴(x＋2)2＋y 2＋(x －2)2＋y 2＝16，整理得：x 2＋y 2＝4. ∵M、N 、P 不共线，∴x≠±2， ∴轨迹方程为x 2＋y 2＝4(x≠±2)．10答案：D 解析：设M 的坐标为(x ，y)，则k MA ＝y ＋5x ，k MB ＝y －5x . 由题知y ＋5x ²y －5x ＝－49(x≠0)，即x 22254＋y 225＝1(x≠0)．11答案：B 解析：设M(x ，y)、A(a,0)、B(0，b)，则a 2＋b 2＝100.∵AM →＝4MB→，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a1＋4，y ＝4b 1＋4，即⎩⎨⎧a ＝5x ，b ＝54y.代入a 2＋b 2＝100，得25x 2＋2516y 2＝100，即16x 2＋y 2＝64.12答案：A 解析：∵A(－2，y)，B(0，y 2)，C(x ，y)∴AB →＝(2，－y 2)，BC →＝(x ，y2)．∵AB →⊥BC →，∴AB →²BC →＝0. 得2²x－y 2²y2＝0得y 2＝8x.13答案：13 解析：由22－a (－3)2＝1，得a ＝13.14答案：两条直线解析：由x 2－y 2＝0得y ＝±x ，所以方程x 2－y 2＝0表示的图形是两条直线．15答案：1 解析：在y ＝|x |－1中令x ＝0得y ＝－1，令y ＝0得x ＝±1，所以曲线y ＝|x |－1与x 轴围成的图形的面积为12³2³1＝1.16答案：(x －1)2＋(y －2)2＝4 解析：圆心到直线的距离等于半径，则r ＝|5³1－12³2－7|52＋122＝2613＝2，∴圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝4. 17答案：x 2＋y 2＝a 2(x≠±a) 解析：设点M 的坐标为(x ，y)．由AM⊥BM，得k AM ²k BM ＝－1，即y x ＋a ² yx －a＝－1，化简得x 2＋y 2＝a 2.因为M 、A 、B 三点不共线，点M 的纵坐标y≠0，从而x≠±a，所以所求轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2(x≠±a)．18答案：2x ＋4y ＋1＝0解析：设点Q 的坐标为(x ，y)，点P 的坐标为(x 1，y 1)．∵Q 分线段OP 为1∶2，∴OQ →＝12QP →.∴⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x ＝12x 11＋12，y ＝12y 11＋12，即⎩⎨⎧x 1＝3x ，y 1＝3y.∵点P 在直线l 上，∴2x 1＋4y 1＋3＝0.把x 1＝3x ，y 1＝3y 代入上式并化简，得2x ＋4y ＋1＝0为所求轨迹方程．19解：(1)因为12＋(－2－1)2＝10，而(2)2＋(3－1)2≠10.所以点P (1，－2)在方程表示的曲线上，点Q (2，3)不在方程表示的曲线上．(2)因为点M (m2，－m )在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＋(－m －1)2＝10，解得m ＝2或m ＝－185.20解：在方程x 2－xy －y 2－3x ＋4y －4＝0中，令y ＝0，得x 2－3x －4＝0，x ＝4或x ＝－1.∴曲线与x 轴的交点为(4,0)和(－1,0)．21解：设点M 的坐标为(x ，y)，点M 的轨迹就是集合P ＝{M||MF|＝|MQ|}，其中Q 是点M 到直线y ＝－1的垂线的垂足．由两点间距离公式及点到直线的距离公式，得x 2＋y －12＝|y ＋1|，将上式两边平方，得x 2＋(y －1)2＝(y ＋1)2，化简，得y ＝14x 2.①下面证明方程①是所求轨迹的方程．(1)由求方程的过程，可知曲线上的点的坐标都是方程①的解；(2)设点M 1的坐标(x 1，y 1)是方程①的解，那么y 1＝14x 21，即x 21＋(y 1－1)2＝(y 1＋1)2，x 21＋y 1－12＝|y 1＋1|，|M 1F|＝|M 1Q 1|.其中Q 1是点M 1到直线y ＝－1的垂线的垂足，因此点M 1是曲线上的点．由(1)(2)，可知方程①是所求轨迹的方程，图形如图所示．22解：以O 为原点，分别以直线AB ，CD 为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则A(－4,0)，B(4,0)，C(0,2)，D(0，－2)，设M(x ，y)为轨迹上任意一点，则|MA|²|MB|＝|MC|²|MD|.因为|MA|＝x ＋42＋y 2，|MB|＝x －42＋y 2，|MC|＝x 2＋y －22，|MD|＝x 2＋y ＋22. 所以[x ＋42＋y 2][x －42＋y 2] ＝[x 2＋y －22][x 2＋y ＋22].化简，得y 2－x 2＋6＝0.所以所求轨迹方程为y 2－x 2＋6＝0. 23解：设P(x ，y)，B(0，y′)，C(x′，0)，则BC →＝(x′，－y′)，CP →＝(x －x′，y)，由BC →＝12CP →，得(x′，－y′)＝12(x －x′，y)，即x′＝x 3，y′＝－y 2，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－y 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3，0.又A(－3,0)，∴AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－y 2，BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，3y 2.由AB →⊥BP →，得AB →²BP →＝0，∴3x－34y 2＝0，得y 2＝4x ，即为动点P 的轨迹方程．24证明：联立方程⎩⎨⎧mx －y －m ＋1＝0 ①x－22＋y 2＝4 ②由①得y ＝mx －m ＋1.代入②得，(x －2)2＋[mx －(m －1)]2＝4， ∴(m 2＋1)x 2－[2m (m －1)＋4]x ＋(m －1)2＝0，Δ＝4(m 2－m ＋2)2－4(m 2＋1)(m －1)2＝4(3m 2－2m ＋3)＝4[3(m －13)2＋83]>0，对任意m ∈R成立，所以两曲线对任意m ∈R 恒有交点．§2.2.1椭圆及其标准方程(1)1．从具体情境中抽象出椭圆的模型； 2．掌握椭圆的定义； 3．掌握椭圆的标准方程．一、课前准备复习1：过两点(0,1),(2,0)的直线方程．复习2：方程22(3)(1)4x y -++= 表示以为圆心, 为半径的．二、新课导学 ※ 学习探究取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？思考：移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？经过观察后思考：在移动笔尖的过程中，细绳的保持不变，即笔尖等于常数．新知１：反思：若将常数记为2a ，为什么122a F F >？当122a F F =时，其轨迹为；当122a F F <时，其轨迹为．试试：已知1(4,0)F -，2(4,0)F ，到1F ，2F 两点的距离之和等于8的点的轨迹是．小结：应用椭圆的定义注意两点：①分清动点和定点； ②看是否满足常数122a F F >．新知２若焦点在y 轴上，两个焦点坐标，则椭圆的标准方程是． ※ 典型例题例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴ 4,1a b ==，焦点在x 轴上；⑵ 4,a c ==y 轴上；⑶10,a b c +==．变式：方程214x ym+=表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的范围．小结：椭圆标准方程中：222a b c =+ ；a b > ．例2 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-，(2,0)，并且经过点53,22⎛⎫-⎪⎝⎭，求它的标准方程．变式：椭圆过点()2,0-，(2,0)，(0,3)，求它的标准方程．小结：由椭圆的定义出发，得椭圆标准方程．1练 1. 已知ABC∆的顶点B、C在椭圆2213xy+=上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC∆的周长是（）．A．．6 C． D．12练2 ．方程219x ym-=表示焦点在y轴上的椭圆，求实数m的范围．三、总结提升※学习小结1. 椭圆的定义：2. 椭圆的标准方程：21．平面内一动点M到两定点1F、2F距离之和为常数2a，则点M的轨迹为（）．A．椭圆 B．圆 C．无轨迹 D．椭圆或线段或无轨迹2．如果方程222x ky+=表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）．A．(0,)+∞ B．(0,2) C．(1,)+∞ D．(0,1)3．如果椭圆22110036x y+=上一点P到焦点1F的距离等于6，那么点P到另一个焦点2F的距离是（）．A．4 B．14 C．12 D．84．椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15，则椭圆的标准方程是．5．如果点(,)M x y在运动过程中，总满足关系式10，点M的轨迹是，它的方程是．6. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在x轴上，焦距等于4，并且经过点(3,P-；（2）2点坐标分别为()()0,4,0,4-，5a=；（3）10,4a c a c+=-=．7. 椭圆2214x yn+=的焦距为2，求n的值．§2.2.1 椭圆及其标准方程(2)1．掌握点的轨迹的求法；2．进一步掌握椭圆的定义及标准方程．一、课前准备复习1：椭圆上221259x y+=一点P到椭圆的左焦点1F的距离为3，则P到椭圆右焦点2F的距离是．复习2：在椭圆的标准方程中,6a=,b=,则椭圆的标准方程是．二、新课导学※学习探究问题：圆22650x y x+++=的圆心和半径分别是什么?问题：圆上的所有点到 (圆心)的距离都等于 (半径) ；反之,到点(3,0)-的距离等于2的所有点都在圆上．※典型例题例1在圆224x y+=上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足.当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？变式：若点M 在DP 的延长线上，且32DM DP =，则点M 的轨迹又是什么？小结：椭圆与圆的关系：圆上每一点的横（纵）坐标不变，而纵（横）坐标伸长或缩短就可得到椭圆．例2设点,A B 的坐标分别为()()5,0,5,0-，.直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是49-，求点M 的轨迹方程．变式：点,A B 的坐标是()()1,0,1,0-，直线,AM BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线BM的斜率的商是2，点M 的轨迹是什么？练1．求到定点()2,0A 与到定直线8x =的动点的轨迹方程．练2．一动圆与圆22650x y x +++=外切，同时与圆226910x y x +--=内切，求动圆圆心的轨迹方程式，并说明它是什么曲线．三、总结提升 ※ 学习小结1. ①注意求哪个点的轨迹，设哪个点的坐标，然后找出含有点相关等式；②相关点法：寻求点M 的坐标,x y 与中间00,x y 的关系，然后消去00,x y ，得到点M 的轨迹方程．1．若关于,x y 的方程22sin cos 1x y αα-=所表示的曲线是椭圆，则α在（）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．若ABC ∆的个顶点坐标(4,0)A -、(4,0)B ，ABC ∆的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为（）．A ．221259x y +=B ．221259y x += (0)y ≠C ．221169x y +=(0)y ≠D ．221259x y +=(0)y ≠3．设定点1(0,2)F - ，2(0,2)F ，动点P 满足条件124(0)PF PF m m m+=+>，则点P 的轨迹是（）． A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段4．与y 轴相切且和半圆224(02)x y x +=≤≤内切的动圆圆心的轨迹方程是． 5. 设12,F F 为定点，|12F F |=6，动点M 满足12||||6MF MF +=，则动点M 的轨迹是． 6．已知三角形ABC 的一边长为6，周长为16，求顶点A 的轨迹方程．7．点M 与定点(0,2)F 的距离和它到定直线8y =的距离的比是1:2，求点的轨迹方程式，并说明轨迹是什么图形．课后作业一．选择题1．若F 1（3，0），F 2（﹣3，0），点P 到F 1，F 2距离之和为10，则P 点的轨迹方程是（） ABCD或2．一动圆与圆x 2+y 2+6x+5=0及圆x 2+y 2﹣6x ﹣91=0都内切，则动圆圆心的轨迹是（） A 椭圆 B ．双曲线C ．抛物线D ．圆3．椭圆上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（）A 4B 5C 6D 104．已知坐标平面上的两点A （﹣1，0）和B （1，0），动点P 到A 、B 两点距离之和为常数2，则动点P 的轨迹是（）A 椭圆B 双曲线C 抛物线D 线段 5．椭圆上一动点P 到两焦点距离之和为（）A 10B 8C 6D 不确定6．已知两点F 1（﹣1，0）、F 2（1，0），且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则动点P 的轨迹方程是（） ABCD7．已知F 1、F 2是椭圆=1的两焦点，经点F 2的直线交椭圆于点A 、B ，若|AB|=5，则|AF 1|+|BF 1|等于（） A ． 16B ． 11C ． 8D ． 38．设集合A={1，2，3，4，5}，a ，b ∈A ，则方程表示焦点位于y 轴上的椭圆（） A ． 5个 B ． 10个C ． 20个D ． 25个9．方程=10，化简的结果是（）A BCD10．平面内有一长度为2的线段AB和一动点P，若满足|PA|+|PB|=8，则|PA|的取值范围是（）A．[1，4] B．[2，6] C．[3，5] D．[3，6]11．设定点F1（0，﹣3），F2（0，3），满足条件|PF1|+|PF2|=6，则动点P的轨迹是（）A．椭圆B．线段C．椭圆或线段或不存在D．不存在12．已知△ABC的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A的轨迹方程是（）A．（x≠0）B．（x≠0）C．（x≠0）D．（x≠0）13．已知P是椭圆上的一点，则P到一条准线的距离与P到相应焦点的距离之比为（）A．B．C．D．14．平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以A．B为焦点的椭圆”，那么（）A．甲是乙成立的充分不必要条件B．甲是乙成立的必要不充分条件C．甲是乙成立的充要条件D．甲是乙成立的非充分非必要条件15．如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（）A．3＜m＜4 B．C．D．16．“mn＞0”是“mx2+ny2=mn为椭圆”的（）条件．A．必要不充分 B．充分不必要C．充要 D．既不充分又不必要17．已知动点P（x、y）满足10=|3x+4y+2|，则动点P的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．无法确定18．已知A（﹣1，0），B（1，0），若点C（x，y）满足=（）A．6B．4C．2D．与x，y取值有关19．在椭圆中，F1，F2分别是其左右焦点，若|PF1|=2|PF2|，则该椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．二．填空题20．方程+=1表示椭圆，则k的取值范围是_________ ．21．已知A（﹣1，0），B（1，0），点C（x，y）满足：，则|AC|+|BC|= _________ ．22．设P是椭圆上的点．若F1、F2是椭圆的两个焦点，则PF1+PF2= _________ ．23．若k∈Z，则椭圆的离心率是_________ ．24．P为椭圆=1上一点，M、N分别是圆（x+3）2+y2=4和（x﹣3）2+y2=1上的点，则|PM|+|PN|的取值范围是_________ ．25．在椭圆+=1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标是_________ ．26．已知⊙Q：（x﹣1）2+y2=16，动⊙M过定点P（﹣1，0）且与⊙Q相切，则M点的轨迹方程是_________ ．课后作业参考答案与解析一．选择题1．解：设点P的坐标为（x，y），∵|PF1|+|PF2|=10＞|F1F2|=6，∴点P的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆，其中，故点M的轨迹方程为，故选A．2．解：x2+y2+6x+5=0配方得：（x+3）2+y2=4；x2+y2﹣6x﹣91=0配方得：（x﹣3）2+y2=100；设动圆的半径为r，动圆圆心为P（x，y），因为动圆与圆A：x2+y2+6x+5=0及圆B：x2+y2﹣6x﹣91=0都内切，则PA=r﹣2，PB=10﹣r．∴PA+PB=8＞AB=6因此点的轨迹是焦点为A、B，中心在（ 0，0）的椭圆．故选A．3．解：∵，∴a=5，由于点P到一个焦点的距离为5，由椭圆的定义知，P到另一个焦点的距离为2a﹣5=5．故选B．4．解：由题意可得：A（﹣1，0）、B（1，0）两点之间的距离为2，又因为动点P到A、B 两点距离之和为常数2，所以|AB|=|AP|+|AP|，即动点P在线段AB上运动，所以动点P 的轨迹是线段．故选D．5．解：根据椭圆的定义，可知动点P到两焦点距离之和为2a=8，故选B．6．解：∵F1（﹣1，0）、F2（1，0），∴|F1F2|=2，∵|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，∴2|F1F2|=|PF1|+|PF2|，即|PF1|+|PF2|=4，∴点P在以F1，F2为焦点的椭圆上，∵2a=4，a=2c=1∴b2=3，∴椭圆的方程是故选C．7．解：∵直线交椭圆于点A、B，∴由椭圆的定义可知：|AF1|+|BF1|+|AB|=4a，∴|AF1|+|BF1|=16﹣5=11，故选B8．解：焦点位于y轴上的椭圆则，a＜b，当b=2时，a=1；当b=3时，a=1，2；当b=4时，a=1，2，3；当b=5时，a=1，2，3，4；共10个故选B．9．解：根据两点间的距离公式可得：表示点P（x，y）与点F1（2，0）的距离，表示点P（x，y）与点F2（﹣2，0）的距离，所以原等式化简为|PF1|+|PF2|=10，因为|F1F2|=2＜10，所以由椭圆的定义可得：点P的轨迹是椭圆，并且a=5，c=2，所以b2=21．所以椭圆的方程为：．故选D．10．解：动点P的轨迹是以A，B为左，右焦点，定长2a=8的椭圆∵2c=2，∴c=1，∴2a=8，∴a=4 ∵P为椭圆长轴端点时，|PA|分别取最大，最小值∴|PA|≥a﹣c=4﹣1=3，|PA|≤a+c=4+1=5 ∴|PA|的取值范围是：3≤|PA|≤5故选C．11．解：由题意可得：动点P满足条件|PF1|+|PF2|=6，又因为|F1F2|=6，所以点P的轨迹是线段F1F2．故选B．12．解：∵△ABC的周长为20，顶点B （0，﹣4），C （0，4），∴BC=8，AB+AC=20﹣8=12，∵12＞8∴点A到两个定点的距离之和等于定值，∴点A的轨迹是椭圆，∵a=6，c=4∴b2=20，∴椭圆的方程是故选B．13．解：根据椭圆方程可知a=4，b=3，c==∴e==由椭圆的定义可知P到焦点的距离与P到一条准线的距离之比为离心率故P到一条准线的距离与P到相应焦点的距离之比为=故选D．14．解：命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以A．B为焦点的椭圆∵当一个动点到两个顶点距离之和等于定值时，再加上这个和大于两个定点之间的距离，可以得到动点的轨迹是椭圆，没有加上的条件不一定推出，而点P的轨迹是以A．B 为焦点的椭圆，一定能够推出|PA|+|PB|是定值，∴甲是乙成立的必要不充分条件故选B．15．解：由题意可得：方程表示焦点在y轴上的椭圆，所以4﹣m＞0，m﹣3＞0并且m﹣3＞4﹣m，解得：．故选D．16．解：当mn＞0时．方程mx2+ny2=mn可化为=1，当n＜0，m＜0时方程不是椭圆的方程，故“mn＞0”是“mx2+ny2=mn为椭圆”的不充分条件；当mx2+ny2=mn为椭圆时，方程可化为=1，则m＞0，n＞0，故mn＞0成立，综合可知“mn＞0”是“mx2+ny2=mn为椭圆”的必要不充分条件．故选A17．解：∵10=|3x+4y+2|，，即，其几何意义为点M（x，y）到定点（1，2）的距离等于到定直线3x+4y+2=0的距离的，由椭圆的定义，点M的轨迹为以（1，2）为焦点，以直线3x+4y+2=0为准线的椭圆，故选A．18．解：∵点C（x，y）满足，∴两边平方，得4（x﹣1）2+4y2=（x﹣4）2，整理得：3x2+4y2=12．∴点C（x，y）满足的方程可化为：．所以点C的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，满足a2=4，b2=3，得c=．因此该椭圆的焦点坐标为A（﹣1，0），B（1，0），根据椭圆的定义，得|AC|+|BC|=2a=4．故选B19．解：根据椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a，将设|PF1|=2|PF2|代入得，根据椭圆的几何性质，|PF2|≥a﹣c，故，即a≤3c，故，即，又e ＜1，故该椭圆离心率的取值范围是．故选B．二．填空题（共7小题）20．解：方程+=1表示椭圆，则，解可得 k＞3，故答案]为k＞3．21．解：由条件，可得，即点C（x，y）到点B（1，0）的距离比上到x=4的距离，等于常数，按照椭圆的第二定义，点C（x，y）在以点B为焦点，以直线x=4为准线的椭圆上，故 c=1，=，∴a=2，|AC|+|BC|=2a=4，故答案为：4．22．解：椭圆中a2=25，a=5，2a=10∵P是椭圆上的点，F1、F2是椭圆的两个焦点，∴根据椭圆的定义，PF1+PF2=2a=10 故答案为：1023．解：依题意可知解得﹣1＜k＜且k≠1∵k∈Z，∴k=0∴a=，c==，e==故答案为24．解：依题意，椭圆的焦点分别是两圆（x+3）2+y2=4和（x﹣3）2+y2=1的圆心，所以（|PM|+|PN|）max =2³5+3=13，（|PM|+|PN|）min=2³5﹣3=7，则|PM|+|PN|的取值范围是[7，13] 故答案为：[7，13]．25．解：由椭圆+=1易得椭圆的左准线方程为：x=，右准线方程为：x=∵P点到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则P点到左准线的距离是它到右准线距离的二倍，即x+=2（﹣x）解得：x=故答案为：26．解：P（﹣1，0）在⊙Q内，故⊙M与⊙Q内切，记：M（x，y），⊙M的半径是为r，则：|MQ|=4﹣r，又⊙M过点P，∴|MP|=r，∴|MQ|=4﹣|MP|，即|MQ|+|MP|=4，可见M点的轨迹是以P、Q为焦点（c=1）的椭圆，a=2．∴b==∴椭圆方程为：=1 故答案为：=1§2.2.2 椭圆及其简单几何性质（1）1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形；2．根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质，画图．一、课前准备复习1：椭圆2211612x y+=上一点P到左焦点的距离是2，那么它到右焦点的距离是．复习2：方程2215x ym+=表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是．二、新课导学※学习探究问题1：椭圆的标准方程22221x ya b+=(0)a b>>，它有哪些几何性质呢？图形：范围：x：y：对称性：椭圆关于轴、轴和都对称；顶点：（），（），（），（）；长轴，其长为；短轴，其长为；离心率：刻画椭圆程度．椭圆的焦距与长轴长的比ca 称为离心率，记cea=，且01e<<．试试：椭圆221169y x+=的几何性质呢？图形：范围：x：y：对称性：椭圆关于轴、轴和都对称；顶点：（），（），（），（）；长轴，其长为；短轴，其长为；离心率：cea== ．反思：ba 或cb的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？※典型例题例1 求椭圆221625400x y+=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．变式：若椭圆是22981x y+=呢？小结：①先化为标准方程，找出,a b ，求出c ； ②注意焦点所在坐标轴．例2 点(,)M x y 与定点(4,0)F 的距离和它到直线25:4l x =的距离的比是常数45，求点M 的轨迹．小结：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数（小于1）的点的轨迹是椭圆．※ 动手试试练1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴ 点在x 轴上，6a =，13e =； ⑵ 点在y 轴上，3c =，35e =； ⑶ 过点(3,0)P -，(0,2)Q -；⑷长轴长等到于20，离心率等于35．三、总结提升 ※ 学习小结1 ．椭圆的几何性质：图形、范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率；2 ．理解椭圆的离心率．1．若椭圆2215x y m+=的离心率e =，则m 的值是（）．A ．3 B ．3或253C 2．若椭圆经过原点，且焦点分别为1(1,0)F ，2(3,0)F ，则其离心率为（）． A ．34B ．23C ．12D ．143．，离心率23e =的椭圆两焦点为12,F F ，过1F 作直线交椭圆于,A B 两点，则2ABF ∆ 的周长为（）．A ．3B ．6C ．12D ．244．已知点P 是椭圆22154x y +=上的一点，且以点P 及焦点12,F F 为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标是．5．某椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是．6.比较下列每组椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？⑴22936x y +=与2211612x y += ；22936x y +=与221610x y += ．7．求适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴经过点(P -，Q ；⑵长轴长是短轴长的3倍，且经过点(3,0)P ； ⑶焦距是8，离心率等于0.8．§2.2.2 椭圆及其简单几何性质(2)1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质；2．椭圆与直线的关系．一、课前准备复习1：椭圆221 1612x y+=的焦点坐标是（）（）；长轴长、短轴长；离心率．复习2：直线与圆的位置关系有哪几种？如何判定？二、新课导学※学习探究问题1：想想生活中哪些地方会有椭圆的应用呢？问题2：椭圆与直线有几种位置关系？又是如何确定？反思：点与椭圆的位置如何判定？※ 典型例题例 1 一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1F 上，片门位于另一个焦点2F 上，由椭圆一个焦点1F 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点2F ，已知12BC F F ⊥，1 2.8F B cm =，12 4.5F F cm =，试建立适当的坐标系，求截口BAC 所在椭圆的方程．变式：若图形的开口向上，则方程是什么？小结：①先化为标准方程，找出,a b ，求出c ； ②注意焦点所在坐标轴．例 2 已知椭圆221259x y+=，直线l：45400x y-+=。

高中数学第二章圆锥曲线复习(一)复习导学案理新人教A版选修2-1

高二数学学案(理科）
课题：第二章复习圆锥曲线复习（一）
一．学习目标：
1、构建圆锥曲线知识网；
2、会用圆锥曲线的定义解题；
3. 会求圆锥曲线的标准方程，并研究其几何性质。

二、重点，难点：
1.理解圆锥曲线的定义；
2.求圆锥曲线的标准方程，及几何性质的应用。

三、知识网：
⎪⎪⎪⎪
⎪⎩
⎪⎪⎪⎪
⎪⎨⎧⎩⎨⎧→⎩⎨⎧→⎪⎭⎪⎬⎫⎩⎨
⎧→→相交弦问题位置关系直线与圆锥曲线几何性质
定义
抛物线双曲线椭圆求曲线方程曲线与方程曲线与方程圆锥曲线
四、导思探究：
1.在理解椭圆，双曲线，抛物线定义时，应注意的问题有哪些？
2.求圆锥曲线的标准方程有几种方法?
3.说明三种圆锥曲线几何性质的联系与区别
五、导练展示：
1.21,F F 是椭圆122
22=+b
y a x （0>>b a ）的两焦点，P 是椭圆上任一点，从
任一焦点引21PF F ∠的外角平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹为
A 圆
B 椭圆
C 双曲线
D 抛物线
2.已知椭圆C ：12222=+b
y a x （0>>b a ）的离心率为23
，双曲线122=-y x
的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面
积为16，求椭圆的方程。

3.设双曲线的左准线与两条渐近线交于A,B 两点，左焦点在以AB 为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为 A ()2,0 B ()
2,1 C ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛1,22 D (
)
+∞,2
六、达标检测：
81P B 组 1题
七、反思小结：。

高中数学第二章圆锥曲线与方程2-1-2椭圆的几何性质预习导学案新人教B版选修1

高中数学第二章圆锥曲线与方程2-1-2椭圆的几何性质预习导学案新人教B版选修1
预习导航
课程目标
学习脉络
1.掌握椭圆的几何性质，掌握a，b，c，e的几何意义及a，b，c，e之间的相互关系．
2．尝试利用椭圆的方程研究椭圆的几何性质．
3．尝试利用椭圆的知识解决简单的实际问题.
椭圆的几何性质
焦点的位置
焦点在x轴上
提示：因为a＞c＞0，所以离心率e的取值范围是0＜e＜1.
离心率的大小对椭圆形状的影响：
①当e趋近于1时，c趋近于a，从而b＝越小，因此椭圆越扁平；
②当e趋近于0时，c趋近于0，从而b趋近于a，因此椭圆越接近于圆．
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
2c(c2＝a2－b2)
对称性
对称轴为x轴、y轴，对称中心为原点
离心率
e＝ ∈(0,1)，其中c＝
思考1焦点分别在x轴和y轴上的椭圆的几何性质的不同点有哪些？
提示：两种位置的椭圆范围不同，交换了x，y的取值范围；顶点也发生了改变．
思考2如何根据e的大小变化确定椭圆的形状？
焦点在y轴上
图形
标准
方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
范围
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－a≤y≤a，－b≤x≤b
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长
长轴长为20)

高中数学第2章圆锥曲线与方程复习一导学案苏教版选修11

江苏省响水中学高中数学第2章《圆锥曲线与方程》复习一导学案苏教版选修1-1一、学习方针：1、巩固椭圆的定义和标准方程；2、能运用椭圆的标准方程以及椭圆的定义(①②)处理一些简单的实际问题二、课前预学：1、求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)a=4, b=3，焦点在x 轴上；(2)b=1, c=15 ，焦点在y 轴上；(3)两个焦点分别是F1(-2, 0)，F2(2, 0)，并且过点P(52 , -32 ) ；2、椭圆x29＋y22＝1的焦点为F1，F2，点P 在椭圆上，若|PF1|＝4，则∠F1PF2的大小为________．三、课堂探究：1、已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为45和25，过P 作长轴的垂线刚好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程.2、在椭圆2218x y t +=内有一点(2,1)A ，过点A 的直线l 的斜率为1-，且与椭圆交于,B C 两点，线段BC 的中点刚好是A ，试求椭圆的方程.3、（1）已知椭圆中心在原点，求经过两点A（0，2）和1(3)2B的椭圆的标准方程.（2）已知椭圆中心在原点，它在x轴上的一个焦点与短轴两个端点连线互相垂直，且此焦点和x轴较近端点的距离为4(21),求椭圆方程和准线方程.4、已知椭圆C: 2222:1(0)x y C a b a b +=>>的摆布焦点分别为12,F F ,其上的动点M 到一个焦点的距离最大为3,点M 对F1F2的张角最大为60︒.(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆C 在X 轴上的两个顶点分别为A,B,点P 是椭圆C 内的动点,且2PA PB PO =,求PA PB ⋅的取值范围.5、已知点,A B 分别是椭圆2213620x y +=长轴的摆布端点，点F 是椭圆的右焦点，P 在椭圆上，且位于x 轴上方， PA PF ⊥.（1）求P 点的坐标；（2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于MB ，求椭圆上的点到M 的距离d 的最小值.四、课堂检测：1、点.P 在椭圆192522=+y x 上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P 的横坐标是。

高中数学第2章圆锥曲线与方程圆锥曲线的一路性质导学案1苏教版选修11

江苏省响水中学高中数学第2章《圆锥曲线与方程》圆锥曲线的一路性质导学案1 苏教版选修1-1学习目标：1. 掌握椭圆、双曲线的第二概念和准线的概念2. 类比抛物线的概念引出椭圆和双曲线的第二概念，借助几何画板等多媒体手腕探讨出轨迹的形成，进一步推导出椭圆和双曲线的方程。

3.培育学生类比推理的能力,探讨能力，激发学习兴趣。

教学重点：圆锥曲线的统一概念的形成教学难点：圆锥曲线方程的推导课前预习：1.抛物线的概念：2.思考:1≠d PF 呢 3.圆锥曲线的统一概念:平面内到必然点F 与到一条定直线l 的距离之比为常数 e 的点的轨迹.( 点F 不在直线l 上）(1)当 0< e <1 时, 点的轨迹是 (2)当 e >1 时, 点的轨迹是(3)当 e = 1 时, 点的轨迹是其中常数e 叫做圆锥曲线的离心率,定点F 叫做圆锥曲线的核心,定直线l 就是该圆锥曲线的准线.4. (1) 上述概念中只给出了一个核心，一条准线，还有另一核心，是不是还有另一准线？(2) 另一核心的坐标和准线的方程是什么？课堂探讨：1.已知点P(x,y)到定点F(c,0)的距离与它到定直线c a x l 2:=的距离的比是常数 c a (a>c>0),求P 的轨迹.变题:已知点P(x,y)到定点F(c,0)的距离与它到定直线c a x l 2:= 的距离的比是常数 c a (c>a>0),求P 点的轨迹.２.求下列曲线的核心坐标与准线方程:22(1) 1259x y 22(2) 416x y 22(3) 1259x y22(4) 416y x2(5) 16y x2(6) 16x y课堂检测：1.椭圆22|348|(2)(2)25x yx y++-+-=的离心率为2、椭圆长轴长为10,短轴长为8,则椭圆上点到椭圆中心距离的取值范围是3、P是椭圆22143x y+=上点,F1、F2是两核心,则PF1·PF2的最大值是。

高中数学第二章(圆锥曲线)学案苏教版选修2-1 学案

圆锥曲线【知识网络】3．1 椭圆【考点透视】一、考纲指要1．熟练掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质及参数方程．2．考查椭圆的离心率，直线的方程，平面向量的坐标表示，方程思想等数学思想方法和综合解题能力.二、命题落点圆锥曲线是解析几何的重点，也是高中数学的重点内容，高考中主要出现三种类型的试题：①考查圆锥曲线的概念与性质；②求曲线方程和轨迹；③关于直线与圆锥曲线的位置关系的问题，主要考查直线方程,平面向量及椭圆的几何性质等基本知识,考查综合运用数学知识解决问题以及推理能力.【典例精析】例1：已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，+与)1,3(-=共线．（1）求椭圆的离心率；（2）设M 为椭圆上任意一点，且),( R ∈+=μλμλ，证明22μλ+为定值．解析:（1）设椭圆方程为22221(0),(,0)x ya b F c a b +=>>,则直线AB 的方程y x c =-代入22221x y a b+=,化简得22222222()20a b x a cx a c a b +-+-=．令1122(,),(,)A x y B x y ,则22222222212122,a c a c a bx x x x a b a b-+==++．由1212(,),(3,1),OA OB x x y y a OA OB +=++=-+与a 共线, 得 12123()()0y y x x +++=,又1122,y x c y x c =-=-，12121233(2)()0,2cx x c x x x x ∴+-++=∴+=．即222232a c c a b=+,所以223a b = ，c ∴==故离心率c e a ==．（2）由（１）知223a b =,所以椭圆22221x y a b+=可化为22233x y b +=设(,)OM x y =,由已知得1122(,)(,)(,)x y x y x y λμ=+，1212,.x x x y y y λμλμ=+⎧⎪∴⎨=+⎪⎩ (,)M x y 在椭圆上,2221212()3()3x x y y b λμλμ∴+++=，即222222211221212(3)(3)2(3)3x y x y x x y y b λμλμ+++++= ① 由（1）知222212331,,222x x c a c b c +===， 222222212121212123,833()()a c ab x xc a bx x y y x x x c x c -∴==+∴+=+--2121222243()3393220.x x x x c c c c c =-++=-+=又222222112233,33x y b x y b +=+=代入①，得221λμ+=．故22μλ+为定值,定值为1 ．例2：如图，点A 、B 分别是椭圆2213620x y +=长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PA PF ⊥．（1）求点P 的坐标；（2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于MB ，求椭圆上的点到点M的距离d 的最小值．解析:（1）由已知可得点A （－6，0），F （4，0）设点P 的坐标是},4{},,6{),,(y x FP y x AP y x -=+=则，x由已知得.623,018920)4)(6(120362222-===-+⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=+x x x x y x x y x 或则由于).325,23(,325,23,0的坐标是点于是只能P y x y ∴==> （2）直线AP 的方程是.063=+-y x 设点M 的坐标是（m ，0），则M 到直线AP 的距离是2|6|+m ，于是,2,66|,6|2|6|=≤≤--=+m m m m 解得又椭圆上的点),(y x 到点M 的距离d ，有,1529(94952044)2(222222+-=-++-=+-=x x x x y x d由于.15,29,66取得最小值时当d x x =∴≤≤-例3：已知方向向量为)3,1(=v 的直线l 过点（32,0-）和椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的焦点，且椭圆C 的中心关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上.（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在过点E （－2，0）的直线m 交椭圆C 满足43OM ON ⋅=cot∠MON≠0（O 为原点）.若存在，求直线m 的方程；若不存在，请说明理由. 解析:（1）直线:l y =- ①过原点垂直l 的直线方程为x y 33-=， ② 解①②得.23=x ∵椭圆中心（0，0）关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上，.32322=⨯=∴c a∵直线l 过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）..2,6,222===∴b a c 故椭圆C 的方程为.12622=+y x ③（2）设M （11,y x ），N （22,y x ）.当直线m 不垂直x 轴时，直线)2(:+=x k y m 代入③，整理得,061212)13(2222=-+++k x k x k,13612,131222212221+-=⋅+-=+∴k k x x k k x x,13)1(62136124)1312(14)(1||22222222212212++=+-⋅-+-+=-++=k k k k k k kx x x x kMN点O 到直线MN 的距离21|2|kk d +=．,cot 634MON ON OM ∠=⋅ ||||cos 0,OM ON MON ⋅∠≠ ||.632,634sin ||||⋅∴=∴=∠⋅∴∆d MN S MON ON OM OMN 即).13(6341||6422+=+k k k整理得.33,312±=∴=k k 当直线m 垂直x 轴时，也满足632=∆OMN S . 故直线m 的方程为,33233+=x y 或,33233--=x y 或.2-=x 经检验上述直线均满足0≠⋅OM .所以所求直线方程为,33233+=x y 或,33233--=x y 或.2-=x 【常见误区】解析几何问题，基本上都与方程思想相结合，因而要注意直线方程与曲线方程联立起来，结合根与系数的关系，或直接解出根，是高考常用的方法，要注意有关方法的练习、归纳，要注意运算的优化，要注意利用数形结合，挖掘隐含性质,这也是考生思维的一个障碍点.【基础演练】1．若焦点在x 轴上的椭圆1222=+m y x 的离心率为21，则m=（） A ．3B ．23C ．38D ．322．设b a b a b a +=+∈则,62,,22R 的最小值是（）A ．22-B ．335-C ．－3D ．27-3．设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）A ．22B ．212C ．22D 21 4．点)1,3(-P 在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左准线上，过点P 且方向为)5,2(-=的光线经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为（）A ．33B ．31C ．22D ．215．已知B A ),0,21(-是圆221:()4(2F x y F -+=为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为.6．如图所示, 底面直径为12cm 的圆柱被与底面成30的平面所截，其截口是一个椭圆，则这个椭圆的长轴长，短轴长，离心率为．7．已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左、右焦点分别是 )0,(1c F -、)0,(2c F ，Q 是椭圆外的动点，满足a Q F ||1=，ＱyxO1F 2F P点Ｐ是线段Q F 1与该椭圆的交点，点Ｔ在线段Q F 2上，并且满足0||,022≠=⋅TF TF ．（1）设x 为点Ｐ的横坐标，证明 x aca F +=||1；（2）求点Ｔ的轨迹Ｃ的方程；（3）试问：在点Ｔ的轨迹Ｃ上，是否存在点Ｍ，使△21MF F 的面积2b S =．若存在，求∠21MF F 的正切值；若不存在，请说明理由．8．已知椭圆C ：22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为e. 直线l ：y ＝e x ＋a 与x 轴．y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设AM ＝λAB . （1）证明：λ＝1－e 2；（2）若43=λ，△PF 1F 2的周长为6，写出椭圆C 的方程；（3）确定λ的值，使得△PF 1F 2是等腰三角形.9．设A 、B 是椭圆λ=+223y x 上的两点，点N （1，3）是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点.（1）确定λ的取值X 围，并求直线AB 的方程；（2）试判断是否存在这样的λ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由.3．2 双曲线【考点透视】一、考纲指要熟练掌握双曲线的定义、标准方程、简单的几何性质．二、命题落点1．考查了圆锥曲线中双曲线的渐近线方程与准线方程，以及标准方程中a,b,c 之间的关系,两渐近线间的夹角的求法，如例1.2．双曲线的第一、第二定义在解题中的灵活运用,如例2;3．考查等边三角形的性质，焦点三角形公式及离心率公式，灵活运用焦点三角形公式避免了繁琐的运算，突出观察研究能力的考查，如例3.【典例精析】例1：已知双曲线22a x －22b y ＝1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，△OAF 的面积为22a （O 为原点），则两条渐近线的夹角（）A ．30ºB ．45ºC ．60ºD ．90º解析:双曲线的右焦点F(c,0)，右准线方程为x=c a 2,一条渐近线方程为y=a bx ，可得点A的坐标（c a 2，c ab ），△OAF 的面积S △OAF =21OF│Y A │=21c ab c ⋅=21ab,又题意已知S △OAF =21a 2,所以a=b,两条渐近线间的夹角为900.答案： D例2：已知双曲线2212yx-=的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且120,MF MF ⋅=则点M 到x 轴的距离为（）A ．43B ．53C．3D解析: 设M 到x 轴的距离为h，∵1,a b c ==∴=，又∵222121212012(2)MF MF MF MF c MFMF ⋅=⇒⊥⇒+==，由双曲线定义得22121212||224MF MF MF MF MFMF ⋅-=⇒+-=，再由1212121122MF F MF MF F F h S ⋅∆=⨯=⨯⋅，∴h =答案： C例3：已知F 1、F 2是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是( )A ．324+B ．13-C ．213+ D ．13+解析:令12(,0),(,0)F c F c ，边MF 1交双曲线于点N ，连结2F N 易知的边长，且点必在轴上，可得的坐标（0，3C ）又为正三角形由焦点三角形面积公式121122121290MF F F FC M y M MF F F NMF F NF又又c 又e=a1212122212222222222cot211132322223(1)242313NF F NF F MF F F NF Sb b S S C Cb c b c a a cc ea答案： D例4.设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，右准线l 与两条渐近线交于P 、Q两点，如果PQF ∆是直角三角形，则双曲线的离心率___________e =.解析:如图所示，PF QF ⊥且PF QF =，2(,0)(,)aab F c P c c ,在PFQ ∆中MF =，OF OM -=． ①(PF = ②2,a OF c OM c== ③将②③代入①式化简得：,2a c e c a=== 答案【常见误区】1．对双曲线离心率、双曲线渐近线等基本知识考察时, 应想法利用已知曲线构造等式,从而解出,c a 的比值,即双曲线的离心率.这一点考生常不能注意到,致使离心率求解出错,如例3、例4.2．解题过程中,特别是客观题中,应注意双曲线第一第二定义的应用,此问题考生常会忽视,如例1、例2.【基础演练】1．已知双曲线2239x y -=，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于（）A B ．3C ．2D ． 4 2．设双曲线以椭圆192522=+y x 长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为（） A ．2±B ．34±C ．21±D ．43± 3．平面内有两个定点12,F F 和一动点M ，设命题甲，12||||||MF MF -是定值，命题乙：点M 的轨迹是双曲线，则命题甲是命题乙的（）A ．充分但不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．双曲线和它的共轭双曲线的离心率分别为12,e e ，则12,e e 应满足的关系是（） A ．22121e e +=B ．22121e e -= C ．1112221=-e e D ．1112221=+e e 5．过双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_________． 6．以下几个关于圆锥曲线的命题中：①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，||||PA PB k -=，则动点P 的轨迹为双曲线；②设定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ，O 为坐标原点，若1(),2OP OA OB =+则动点P 的轨迹为椭圆；③方程22520x x -+=的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线221259x y -=与椭圆22135x y +=（写出所有真命题的序号） 7．已知双曲线22125144x y -=的左右焦点分别为12,F F ，左准线为l ，能否在双曲线的左支上求一点P ，使1||PF 是P 到l 的距离d 与2||PF 的等比中项？若能，求出P 的坐标，若不能，说明理由．8．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F 作双曲线在第一、第三象限的渐近线的垂线l ，垂足为P ，l 与双曲线的左、右支的交点分别为,A B ．（1）求证：P 在双曲线的右准线上；（2）求双曲线离心率的取值X 围．9．是否同时存在满足下列条件的双曲线，若存在，求出其方程，若不存在，说明理由．（1）渐近线方程为20,20x y x y +=-=，（2）点(5,0)A 到双曲线上动点P ．3．3 抛物线【考点透视】一、考纲指要掌握抛物线的定义、标准方程和简单的几何性质．二、命题落点1．考察抛物线过焦点的性质,如例1;2．抛物线上X 直角问题的探究, 考察抛物线上互相垂直的弦的应用，如例2;3．定值及定点问题是解几问题研究的重点内容,此类问题在各类考试中是一个热点，如例3.【典例精析】例1：设1122(,),(,)A x y B x y 两点在抛物线22y x =上，l 是AB 的垂直平分线，（1）当且仅当12x x +取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论；（2）当直线l 的斜率为2时，求l 在y 轴上截距的取值X 围.解析:（1）∵抛物线22y x=，即22y x=，∴14p =， ∴焦点为1(0,)8F（i ）直线l 的斜率不存在时，显然有12x x+=0;（ii ）直线l 的斜率存在时，设为k ，截距为b, 即直线l ：y=kx+B ．由已知得：12121212221k b k y y x x y y x x ⎧++⎪=⋅+⎪⎨-⎪=-⎪-⎩2212122212122212222k b k x x x x x x x x ⎧++=⋅+⎪⎪⇒⎨-⎪=-⎪-⎩22121212212k b k x x x x x x +⎧+=⋅+⎪⎪⇒⎨⎪+=-⎪⎩ 2212104b x x ⇒+=-+≥14b ⇒≥即l 的斜率存在时，不可能经过焦点1(0,)8F 所以当且仅当12x x+=0时，直线l 经过抛物线的焦点F（2）设l 在y 轴上截距为b ，即直线l ：y=2x+b ，AB ：12y x m =-+．由2122y x m y x ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩得2420x m x +-=，∴1214x x +=-，且10,32m ∆>>-即， ∴121211222164b m b y y x x ++=⋅+⇒+=-+， ∴551916163232b m =+>-=．所以l 在y 轴上截距的取值X 围为9(,)32+∞例2：在平面直角坐标系xoy 中，抛物线2x y =满足BO AO ⊥（如图所示）（1）求AOB ∆得重心G （即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；（2）AOB ∆的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．解析:（1）∵直线AB 的斜率显然存在， ∴设直线AB 的方程为b kx y +=，),(),,(2211y x B y x A ，依题意得0,,22=--⎩⎨⎧=+=b kx x y xy b kx y 得消去由，①∴k x x =+21，② b x x -=21 ③∵OB OA ⊥，∴02121=+y y x x ，即 0222121=+x x x x ，④ 由③④得，02=+-b b ，∴)(01舍去或==b b ∴设直线AB 的方程为1+=kx y∴①可化为 012=--kx x ，∴121-=x x ⑤，设AOB ∆的重心G 为),(y x ，则33021k x x x =++= ⑥ ， 3232)(3022121+=++=++=k x x k y y y ⑦，由⑥⑦得 32)3(2+=x y ，即3232+=x y ，这就是AOB ∆的重心G 的轨迹方程．（2）由弦长公式得2122124)(1||x x x x k AB -+⋅+=把②⑤代入上式，得 41||22+⋅+=k k AB ，设点O 到直线AB 的距离为d ，则112+=k d ，∴ 24||212+=⋅⋅=∆k d AB S AOB， ∴ 当0=k ，AOB S ∆有最小值，∴AOB ∆的面积存在最小值，最小值是1 ．例3： M 是抛物线上y 2=x 上的一点，动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点，且MA=MB ．（1）若M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值；（2）若M 为动点，且∠EMF=90°，求△EMF 的重心G 的轨迹方程.解析：（1）设M （y 20,y 0），直线ME 的斜率为k(k>0)，则直线MF 的斜率为－k ，方程为200().y y k x y -=-∴由2002()y y k x y y x⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，消200(1)0x ky y y ky -+-=得，解得20021(1),F F ky ky y x k k --=∴=， ∴0022000022211214(1)(1)2E F EFE F ky ky y y k k k k ky ky ky x x y k k k -+---====---+--(定值)．所以直线EF 的斜率为定值．（2）90,45,1,EMF MAB k ∠=∠==当时所以直线ME 的方程为200()y y k x y -=-由2002y y x y y x ⎧-=-⎪⎨=⎪⎩得200((1),1)E y y --同理可得200((1),(1)).F y y +-+设重心G （x , y ），则有222200000000(1)(1)23,333(1)(1),333M E F M E F y y y y x x x x y y y y y y y y ⎧+-+++++===⎪⎪⎨+--+++⎪===-⎪⎩消去参数0y 得2122().9273y x x =->【常见误区】1．运算正确率太低, 这是考生在解解析几何问题中常出现的问题, 即会而不对. 2．抛物线中的焦点坐标与准线方程求解过程中常误求出二倍关系;3．定点与定值问题总体思路不能定位,引入参变量过多,没有求简意识,使问题复杂化.【基础演练】1．双曲线)0(122≠=-mn ny m x 的离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为（） A ．163B ．83C ．316D ．38 2．已知双曲线的中心在原点，离心率为3．若它的一条准线与抛物线x y 42=的准线重合，则该双曲线与抛物线x y 42=的交点到原点的距离是（）A ．632+B ．21C ．21218+D ．213．已知双曲线)0( 1222>=-a y ax 的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为（）A ．23B ．23C ．26D ．332 4．抛物线24x y =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（）A ．1617B ．1615C ．87D ．0 5．过抛物线x y 42=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线条.6．连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是（填写所有正确选项的序号）. ①菱形 ②有3条边相等的四边形 ③梯形④平行四边形⑤有一组对角相等的四边形7．抛物线以y 轴为准线，且过点(,)(0)M a b a ≠，证明：不论M 点在坐标平面内的位置如何变化，抛物线顶点的轨迹的离心率是定值．8. 已知抛物线22(0)y px p =>，过动点(,0)M a 且斜率为1的直线l 与该抛物线交于不同两点,A B ，||2AB p ≤，（1）求a 取值X 围；（2）若线段AB 垂直平分线交x 轴于点N ，求NAB ∆面积的最大值9．已知动圆过定点P(1,0),且与定直线:1l x =-相切,点C 在l 上. （1）求动圆圆心的轨迹M 的方程；（2）设过点P,M 相交于A,B 两点. (i)问：△ABC 能否为正三角形？若能,求点C 的坐标；若不能,说明理由； (ii)当△ABC 为钝角三角形时,求这种点C 的纵坐标的取值X 围.3．4直线与圆锥曲线的位置关系【考点透视】一、考纲指要1．掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法，能够把研究直线与圆锥曲线的位置关系的问题转化为研究方程组的解的问题；2．会利用直线与圆锥曲线的方程所组成的方程组消去一个变量，将交点问题转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数关系及判别式解决问题;3．能利用弦长公式解决直线与圆锥曲线相交所得的弦长的有关问题，会运用圆锥曲线的第二定义求焦点弦长；4．体会“设而不求”、“方程思想”和“待定系数”等方法. 二、命题落点1．考查直线与椭圆相切、直线方程、直线到直线的距离等知识，如例1;2．考查直线与圆、圆锥曲线的位置关系.处理直线与曲线的位置关系的一般方法是方程思想:由直线方程与曲线方程联立方程组,通过判别式△确定解的个数(交点个数),而直线与圆可以用圆心到直线距离与半径的大小关系进行判定,如例2;3．考查椭圆的几何性质、椭圆方程，两条直线的夹角、点的坐标等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力，如例3.【典例精析】例1：设直线:220l x y ++=关于原点对称的直线为l '，若l '与椭圆2214y x +=的交点为A 、B 、，点P 为椭圆上的动点，则使PAB ∆的面积为12的点P 的个数为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析:如右图,根据题意易得AB ='l 与l 关系O 对称':220l x y ∴+-=设过圆上一点且平行与'l 的直线方程为'':l 2y x b =-+22244y x b y x=-+⎧⎨=-⎩联立得：228440x bx b -+-= 若''l 与椭圆相切则0∆=可求得：b =±即'':20l y x +±=,''l 到'l<① ''l 到'l>② 1122PAB S AB h ∆==⨯⨯，（h 为P 到AB 的距离），5AB =，h ∴=．由①②式可知满足条件的点有两个.答案: B 例2：若直线mx+ ny -3=0与圆x 2+y 2=3没有公共点,则m,n 满足的关系式为_______;以(m,n )为点P 的坐标,过点P 的一条直线与椭圆x 27+y 23=1的公共点有____个.解析: ∵直线mx+ny -3=0与圆x 2+y 2=3没有公共点,∴3m 2+n2>3,解得0<m 2+n 2<3.∴m 27+n 23< m 23+n 23<1,即点P(m ,n )在椭圆内部,故过P 的直线必与椭圆有两个交点.x =答案: 0<m 2+n 2<3,2.例3.已知动圆过定点,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，且与直线2p x =-相切，其中0p >.（1）求动圆圆心C 的轨迹的方程；（2）设A 、B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当,αβ变化且αβ+=4π时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标. 解析：（1）如图，设M 为动圆圆心，记,02p ⎛⎫⎪⎝⎭为F ，过点M 作直线2p x =-的垂线，垂足为N ，由题意知：MF MN =即动点M 到定点F与定直线2px =-的距离相等由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭为焦点，2px =-为准线 ∴轨迹方程为22(0)y px p =>；（2）如图，设()()1122,,,A x y B x y ，由题意得12,0x x ≠ 又直线OA 、OB 的倾斜角α、β满足α+β=4π，故0<α，β<4π． ∴直线AB 的斜率存在，否则OA 、OB 直线的倾斜角之和为π，从而设其方程为y kx b =+．显然221212,22y y x x p p==．将y kx b =+与22(0)y px P =>联立消去x ，得2220ky py pb -+=．由韦达定理知121222,p pby y y y k k +=⋅=． (*) 由4παβ+=，得tantan()4παβ=+=tan tan 1tan tan αβαβ+-=122122()4p y y y y p +-．将(*)式代入上式整理化简可得：22b p pk =+，此时，直线AB 的方程可表示为y kx =+22p pk +即()(2)20k x p y p +--=， ∴直线AB 恒过定点()2,2p p -．【常见误区】1．注意数形结合思想的应用,比如直线过定点时,要考虑定点与曲线的位置关系;2．考查直线和双曲线的概念和性质,平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.向量的知识考生常不能灵活应用。

2016高中数学人教A版选修21第二章圆锥曲线的方程与性

圆锥曲线的方程与性质【利用说明及学法指导】1．先自学讲义，明白得概念，完成导学提纲；2．小组合作，动手实践。

【学习目标】1．把握椭圆、双曲线、抛物线的概念及标准方程；2．把握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质；【重点】椭圆、双曲线、抛物线的概念、标准方程及几何性质【难点】椭圆、双曲线、抛物线的概念、标准方程及几何性质一、自主学习预习教材P 76- P 79, 找出疑惑的地方2.（1）假设椭圆221x my +=，那么它的长半轴长为__________；（2）双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，那么双曲线的方程为；（3）以椭圆2212516x y +=的右核心为核心的抛物线方程为．二、典型例题1．方程22520x x -+=的两个根可别离作为（）Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率Ｂ．两抛物线的离心率Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率Ｄ．两椭圆的离心率2．以双曲线116922=-y x 的右核心为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（） A .B. C .D.3．双曲线)0(122≠=-mn ny m x 离心率为2，有一个核心与抛物线x y 42=的核心重合，那么mn 的值为（）A ．163 B ．83 C ．316 D ．38 4．已知椭圆1532222=+n y m x 和双曲线1322222=-n y m x 有公共的核心，那么双曲线的渐近线方程是（）A ．y x 215±= B ．x y 215±= C ．y x 43±= D ．x y 43±= 5．以椭圆的右核心F ２为圆心的圆恰好于椭圆的中心，交椭圆于点M 、N ，椭圆的左核心为F １，且直线ＭＦ１与此圆相切，那么椭圆的离心率ｅ为（ D ） A ．22 B ．23 C ．２－3 D ．3－１ 6．以双曲线15422=-y x 的中心为极点，且以该双曲线的右核心为核心的抛物线方程是．7．当α从0到180转变时，方程22cos 1x y α+=表示的曲线的形状如何转变？变式：假设曲线2211x y k k +=+表示椭圆，那么k 的取值范围是．三、拓展探讨8．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线方程为3y x =，若极点到渐近线的距离为1，那么双曲线方程为．9．.已知圆C 的圆心与抛物线x y 42=的核心关于直线x y =对称.直线0234=--y x 与圆C相交于B A ,两点，且6=AB ,那么圆C 的方程为 .10．教材80页12题四、课堂小结1．知识：2．数学思想、方式：五、课后巩固1．教材80页3题2．教材80页2题3．教材81页2题4．教材81页3题。

高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.2 双曲线的习题课导学案新人教A版选修1-1(2021年整

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双曲线的习题课1.根据双曲线的标准方程,双曲线的几何性质解决一些简单的问题．重点：双曲线的几何性质．难点：双曲线性质的应用，渐近线的理解．方法:合作探究小测试一、选择题1．以椭圆错误!＋错误!＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程为（)A．错误!－错误!＝1 B．错误!－错误!＝1C．错误!－错误!＝1或错误!－错误!＝1 D．以上都不对2．双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( ） A．错误! B．错误! C．1 D．错误!3．椭圆错误!＋错误!＝1和双曲线错误!－错误!＝1有共同的焦点，则实数n的值是( ）A．±5 B．±3 C．25 D．94．若实数k满足0<k<5，则曲线错误!－错误!＝1与曲线错误!－错误!＝1的( )A．实半轴长相等 B．虚半轴长相等C．离心率相等 D．焦距相等5。

（2015·全国）已知M（x0，y0）是双曲线C：错误!－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点．若错误!·错误!〈0，则y0的取值范围是( ）A．(－错误!，错误!) B．（－错误!，错误!） C．（－错误!，错误!) D．(－错误!，错误!)6．双曲线x2－错误!＝1的离心率大于错误!的充分必要条件是( ）A．m>错误! B．m≥1 C．m>1 D．m〉2二、填空题课堂随笔：7．双曲线错误!－错误!＝1上一点P到右焦点的距离是实轴两端点到右焦点距离的等差中项，则P点到左焦点的距离为__________ ________.8．已知双曲线C1:错误!－错误!＝1(a〉0，b>0）与双曲线C2:错误!－错误!＝1有相同的渐近线,且C1的右焦点为F（错误!，0），则a ＝_______,b＝______。

选修1-2第二章 圆锥曲线导学案

高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.3 双曲线的简单几何性质(二)导学案新人教A版选修1-1

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