数学课本-(二元一次联立方程式)

有括号时，可利用分配律去括号，再合并同类项。
随堂练习 化简下列各式： (1)（4x－5y－9）＋（3x＋4y－8） 解 ＝7x－y－17
(2) 4（－2x＋y＋3）＋3（x－2y－5） 解 ＝－5x－2y－3
例题 5 的第(1)小题，也可以将同类项上下对齐，用直式运算：
2x
＋4y
－5
＋） 4x
－5y
5000－3x－5y 与 5000－（3x＋5y） 两个式子代表的 水量相等。
所以桶内剩下 5000－（3x＋5y）毫升的水。
随堂练习 1. 志忠有 83 元，买文具花掉了 x 枚壹元硬币与 y 枚拾元硬币，则志忠剩下
83－x－10y 元。 2. 佩君有 200 元，买了每枝 x 元的原子笔 2 枝与每枝 y 元的铅笔 3 枝后，剩下
化简下列各式：
(1)（3x－2y－1）－（2x＋y－3） 解
(2) 3 （2x－y＋2）－ 1 （3x＋y＋6）
2
3
(1)（3x－2y－1）－（2x＋y－3） ＝3x－2y－1－2x－y＋3 ＝ x－3y＋2
(2) 3 （2x－y＋2）－ 1 （3x＋y＋6）
2
3
＝ 3x－ 3 y＋3－x－ 1 y－2
＝6x＋3y ←6x 与 3y 不是同类项，不能再合并。
(2) 3x－4y＋9＋5x＋y－7
＝3x＋5x－4y＋y＋9－7
＝8x－3y＋2
随堂练习 化简下列各式： (1) x＋4y－3x＋2 解 ＝－2x＋4y＋2
(2) 5x－6y－4－6x－2y＋4 解 ＝－x－8y
P10
例 5 去括号再合并 搭配习作 P4 基础题 3(2)
例 1 列二元一次式 搭配习作 P4 基础题 1 志宏为了响应爱心活动，想要将扑满中的拾元及伍元硬币全部捐出来。如果拾 元硬币有 x 枚，伍元硬币有 y 枚，则志宏总共捐出多少元？ 解 拾元硬币有 x 枚，共 10x 元； 伍元硬币有 y 枚，共 5y 元； 所以志宏总共捐出（10x＋5y）元。
随堂练习 心怡买每张 15 元的卡片 x 张及每张 12 元的卡片 y 张，回答下列问题： (1) 买 15 元的卡片 x 张需 15x 元，12 元的卡片 y 张需 12y 元。 (2) 心怡共付 15x＋12y 元。
(2) 当 x＝－2，y＝3 时，
3x－4y＝3 × 5－4 × 2
3x－4y＝3 ×（－2）－4 × 3
＝15－8
＝（－6）－12
＝7
＝－18
(3) 当 x＝－ 2 ，y＝－ 5 时，
3
2
3x－4y＝3 ×（－ 2 ）－4 ×（－ 5 ）
3
2
＝（－2）＋10
＝8
也可以用表格的方式来呈现例题 3，如下表：
得 2 × 1＋3y＝12
3y＝12
3y＝10
y＝4
y＝ 10
3
(3) x＝2 代入 2x＋3y＝12 得 2 × 2＋3y＝12 3y＝8
y＝ 8 3
(4) x＝3 代入 2x＋3y＝12， 得 2 × 3＋3y＝12 3y＝6 y＝2
因此(1) x＝0，y＝4
(2) x＝1，y＝ 10 3
(3) x＝2，y＝ 8 3
可列出二元一次方程式： 83－x－10y＝21 或 83－（x＋10y）＝21 。
当二元一次方程式中的未知数（例如：x 与 y），以一组特定的数代入，可 使等号左右两边的值相等时，称该组 x、y 所代表的数为此方程式的一组解。
例如：判别(1) x＝3，y＝4、(2) x＝1，y＝2，是否为二元一次方程式 5x＋8y ＝47 的一组解
化简下列各式：
(1)（2x＋4y－5）＋（4x－5y＋6）
(2) 2（3x－y＋9）＋3（x－2y－5）
解
(1)（2x＋4y－5）＋（4x－5y＋6） ＝2x＋4y－5＋4x－5y＋6 ＝6x－y＋1
(2)2（3x－y＋9）＋3（x－2y－5） ＝6x－2y＋18＋3x－6y－15 ＝9x－8y＋3
200－2x－3y 元。
在例题 1 与例题 2 中，像 10x＋5y、5000－3x－5y 这种只含有两种文字符号 （二元），且这两种文字符号的最高次方都是一次的式子，称为二元一次式。
例题 1 中，志宏捐出 x 枚拾元硬币，y 枚伍元硬币，总共捐出（10x＋5y） 元。如果捐出的硬币中，拾元硬币有 64 枚及伍元硬币有 17 枚，即表示 x＝64， y＝17，所以总共捐出 10x＋5y＝10 × 64＋5 × 17＝640＋85＝725（元）。
x
－2
3
3
－5
2
－18
8
随堂练习 在下表空格中，填入各二元一次式的值。
x
1
2
二元一次式
y 3
－1
x＋4y
13
－2
3x－5y－2
－14
9
0 －2.5 －10 10.5
－1 2
5 2 19 2
－16
P9
2 二元一次式的化简 对应能力指标 7-a-06
学习二元一次式时，同类项须先合并化简，如果含有不同文字符号就不是 同类项，是不能合并的。 例如：(1) 2x＋3x 中，2x 与 3x 是同类项，可以合并为 5x。
x
0
1
2
3
……
y
－8
－6
－4
－2
……
x
4
9
5
11
……
2
2
y
0
1
2
3
……
2. 在下列空格中填入适当的数，使 x、y 的值是二元一次方程式 3x－y＝12 的解。
16
17
x
4
3
5
6
3
3
y
0
－3
3
4
5
6
当 x 继续以 4、5、6、……依序代入随堂练习第 1 题的方程式时，y 的值都 能由方程式求得。
同理，当 y 继续以 4、5、6、……依序代入随堂练习第 1 题的方程式时，也 都能由方程式求得 x 的值。
x、y 的值 x＝3，y＝4 x＝1，y＝2
5x＋8y 的值 5 × 3＋8 × 4＝47 5 × 1＋8 × 2＝21
是否为解 是 否
P13
例 7 解的判别 搭配习作 P5 基础题 4
判别下列各组 x、y 所代表的数，是否为方程式－2x＋y＝3 的解。
(1) x＝0，y＝3
(2) x＝－1，y＝－1
(4) x＝3，y＝2
为方程式 2x＋3y＝12 的四组解。
每个人所假设的特定数 可以不一样。
在上述的解法中，也可以假设 y 是一个特定的数，代入方程式中求 x 的值。
P15
随堂练习 1. 小星求二元一次方程式 2x－y＝8 的解，他选定四个 x 值与四个 y 值。完成下
列两个表格，使各组 x、y 的值是此方程式的解。
第1章
二元一次联立方程式
1-1 二元一次方程式 1-2 解二元一次联立方程式 1-3 应用问题
温故学习
1. 化简下列各式：
(1) 6x＋（－6x）＝ 0 。
(2) 5x－（－2x）＝ 7x _。
(3) －6x－8x＝ －14x 。
(4) 5x－x＝ 4x 。
2. 已知 x＝－5，求下列各式的值：
(1) 3x＋10＝ －5 。
2
3
＝ 2x－ 11 y＋1 6
括号前面有「－」号，则去括号时，要将括号内的每一项都变号。
随堂练习 化简下列各式： (1)（5x＋2y－8）－（2x－4y＋3） 解 ＝3x＋6y－11
(2) 1 （2x－6y＋3）－ 3 （3x＋5y－1）
4
2
解
＝－4x－9y＋ 9 4
例题 6 的第(1)小题中，也可以将同类项上下对齐，用直式运算：
(2) 25x＋18y 中，25x 与 18y 不是同类项，所以不能合并。
例 4 合并同类项 搭配习作 P4 基础题 3(1)
化简下列各式：
(1) 2x＋2y＋4x＋y
(2) 3x－4y＋9＋5x＋y－7
解
(1) 2x＋2y＋4x＋y
＝2x＋4x＋2y＋y ←2x 与 4x 为同类项，2y 与 y 为同类项。
＋6
6x
－y
＋1
↑
↑
↑
（2x＋4x） 〔4y＋（－5y）〕 〔（－5）＋6〕
随堂练习 搭配习作 P5 基础题 3(3) 化简下列各式：
(1)
解
7x － y ＋5
＋） 3x －5y －9
10x －6y －4
(2)
解
3x －5y －7
＋） －x ＋8y ＋8
2x ＋3y ＋1
P11
例 6 去括号再合并 搭配习作 P5 基础题 3(5)、(6)
由上面的说明，可以发现二元一次式的值，须由 x 与 y 分别所代表的数为 多少来决定。
P8
例 3 代入求值 搭配习作 P4 基础题 2
依据下列各小题的 x、y 值，分别求出二元一次式 3x－4y 的值。
(1) x＝5，y＝2
(2) x＝－2，y＝3
(3) x＝－ 2 ，y＝－ 5
3
2
解
(1) 当 x＝5，y＝2 时，
解
(1) 以 x＝0，y＝3 代入时，
－2x＋y＝－2 × 0＋3＝3，
所以 x＝0，y＝3 是方程式－2x＋y＝3 的一组解。
(2) 以 x＝－1，y＝－1 代入时，
－2x＋y＝－2 ×（－1）＋（－1）＝1，不等于 3，
所以 x＝－1，y＝－1 不是方程式－2x＋y＝3 的一组解。
随堂练习
1. 判别下列各组 x、y 所代表的数，是否为方程式－2x－3y＝8 的解。
P12
3 二元一次方程式 对应能力指标 7-a-06
现在练习将一个二元一次式进一步列成含等号的式子。例如： ●1 可晴买了每个 25 元的面包 x 个和每瓶 18 元的果汁 y 瓶，共花了 147 元。可
列得等式： 25x＋18y＝147
●2 一桶 5000 毫升的水，倒满每杯容量 x 毫升的杯子 3 杯，及每杯容量 y 毫升的 杯子 5 杯后，桶内还剩 2000 毫升的水。 可列得等式： 5000－3x－5y＝2000 像 25x＋18y＝147 和 5000－3x－5y＝2000 这种含有两种未知数，且这两种
P6
1-1 二元一次方程式
次式
2. 二元一次式的化简 3. 二元一次方程式
1 二元一次式
对应能力指标 7-a-06 在第一册第 3 章的一元一次方程式 中，已学过根据题意列出含有 x 的一次 式。例如：买每个 25 元的面包 x 个，一 共需付 25x 元。 现在我们要学习含有两个未知数 （如 x、y）的一次式，例如：买每个 25 元的面包 x 个和每瓶 18 元的果汁 y 瓶， 一共要付（25x＋18y）元。
未知数的最高次方都是一次的等式，称为二元一次方程式。
随堂练习 根据下列各问题，列出二元一次方程式︰ (1) 佳怡买了每枝 15 元的铅笔 x 枝及每个 12 元的橡皮擦 y 个，一共花了 120 元。
可列出二元一次方程式： 15x＋12y＝120 。 (2) 建成有 83 元，买文具花了 x 枚壹元硬币和 y 枚拾元硬币后，还剩下 21 元。
解
3 × 1＋2 × a＝5
2a＝2
a＝1
P14
例 8 代入法求解 搭配习作 P5 基础题 4
找出二元一次方程式 2x＋3y＝12 的任意四组解。
解
假设 x 是一个特定的数，代入 2x＋3y＝12 求 y。
(1) x＝0 代入 2x＋3y＝12
(2) x＝1 代入 2x＋3y＝12
得 2 × 0＋3y＝12
(1) x＝－1，y＝－2
(2) x＝1，y＝－4
(3) x＝－4，y＝0
解
(1)是
(2)否
(3)是
2. x＝2、y＝－3 是下列哪些二元一次方程式的解？（复选）
(1) 3x＋4y＝－6
(2)－5x－6y＝－28 (3)－3x＋y＝－9
解
(1)、(3)
3. 已知 x＝1、y＝a 是二元一次方程式 3x＋2y＝5 的解，则 a＝？
3x
－2y
－1
＋） 2x
＋y
－3
x
－3y
＋2
↑
↑
↑
（3x－2x） 〔（－2y）－y〕 〔（－1）－（－3）〕
随堂练习 搭配习作 P5 基础题 3(4)
化简下列各式：
解
(1)
3x －5y ＋2
－）
6x －2y －7
－3x －3y ＋9
(2)
－2x ＋5y －7
－） 4x －y －9
－6x ＋6y ＋2
P7
例 2 列二元一次式 搭配习作 P4 基础题 1
一桶 5000 毫升的水，倒满每杯容量 x 毫升的杯子 3 杯，及每杯容量 y 毫升的杯
子 5 杯后，桶内剩下多少毫升的水？
解一 逐一减去先后倒出的量
倒满每杯容量 x 毫升的杯子 3 杯，就是倒出了 3x 毫升的水；
倒满每杯容量 y 毫升的杯子 5 杯，就是倒出了 5y 毫升的水； 所以桶内剩下（5000－3x－5y）毫升的水。 解二 一次减去全部倒出的量 因为分别倒出了 3x 毫升及 5y 毫升的水， 也就是共倒出（3x＋5y）毫升的水，
(2) －2x－6＝ 4 。
3. 解下列各一元一次方程式：
(1) －7x＋9＝－5
x＝2
(2) 8x－2（3x－1）＝8 x＝3
P5
篮球一直是大家热爱的运动之一，阿豪在一场 NBA 篮球比赛中，投进 2 分 球或 3 分球共 16 球，总共得到 38 分。你知道阿豪投进了 2 分球与 3 分球各多 少个吗？