2018年秋九年级数学上册 第24章 解直角三角形 24.2 直角三角形的性质练习课件 (新版)华东
九年级数学上册 第24章 解直角三角形24.2直角三角形的性质备选课件
BC=1 AB 2 证明(zhèngmíng)： 作斜边上的中线CD，
1
则CD=AD=BD= AB
2 （在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半）
∵ ∠A=30°
A
∴ ∠B=60°
∴ △CDB是等边三角形 对此，你能得出
∴ BC=BD= AB
什么结论？
D
1
2
12/12/2021
B
C
第九页，共十五页。
新课导入
1、已知△ABC中，∠A= ∠B， ∠B = ∠C，
则∠A =____， ∠B =_2_0__°，∠C =____.
1 2
40°
1 3
120°
2、 在△ABC中， ∠ACB=90 °，CE是AB边上的中线，那么与CE相等(xiāngděng)的线段有_________，与 ∠A相等的角有_________，若∠A=35°，那么∠ECB= _________。
C
B
D
A
12/12/2021
第六页，共十五页。
1、已知Rt△ABC中，斜边AB=10cm，则斜边上 的中线(zhōngxiàn)的长5为cm______
2、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中 线，∠CDA=80°，则∠A50=°_____ ∠B4=0°_____
12/12/2021
D
B
C
之间有什么关系？
12/12/2021
第二页，共十五页。
说一说
1. 在Rt△ABC中，两锐角的和∠A＋∠B=？ ∠A＋∠B=90°
2. 在△ABC中，如果∠A＋∠B= 90º，那么△ABC是直角三角形吗？
是
3. 在Rt△ABC中，AB、AC、BC之间
九年级数学上册第24章 解直角三角形汇总
第24章 解直角三角形24、1 测量导学目标：利用前面学习的相似三角形的有关知识，探索测量距离的几种方法，初步接触直角三角形的边角关系。
教学重点：探索测量距离的几种方法。
导学难点：选择适当的方法测量物体的高度或长度。
一：学习准备：当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许想知道操场旗杆有多高？我们知道可以利用相似三角形的对应边成比例，首先请同学量出太阳下自己的影子长度，旗杆的影子长度，再根据自己的身高，计算出旗杆的高度。
如果在阴天，你一个人能测量出旗杆的高度吗？二：合作学习：问题一例1，如图所示，站在离旗杆BE 底部10米处的D 点，目测旗杆的顶部，视线AB 与水平线的夹角∠BAC=34°，并已知目高AD 为1米。
现在请你按1：500的比例得△ABC 画在纸上，并记为△A 1B 1C 1,用刻度尺量出纸上B 1C 1的长度，便可以算出旗杆的实际高度。
你知道计算的方法吗？ 解：说明：利用相似三角形的性质测量物体高度或宽度时，关键是构造和实物相似的三角形，且能直接测量出这个三角形各条线段的长，再列式计算出实物的高或宽等。
问题二、例 2.为了测出旗杆的高度，设计了如图所示的三种方案，并测得图(a)中BO=6m,OD=3.4m,CD=1.7m 图(b)中CD=1m,FD=0.6m,EB=1.8m 图(c)中BD=9m,EF=0.2；此人的臂长为0.6m 。
（1） 说明其中运用的主要知识；（2）分别计算出旗杆的高度。
（a ） （b ） （c ） 分析：图(a)和图(c)都运用了相似三角形对应边成比例的性质，图(b)运用了同一时刻的物高与影长成正比的性质。
O DCB A F ED CB A FEB CD AE DCBA 111C B A方法技巧：测量物体的高度可利用自己的身高、臂长等长度结合相似形的性质求出物高，也可以运用同一时刻的物高与影长成正比的性质测量物体的高度。
三、引申提高：例3。
九年级上《24.2直角三角形的性质》同步练习含答案解析
华师大版数学九年级上册第24章解直角三角形24.2直角三角形的性质同步练习一、选择题1、将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD=20°，则∠BOC的大小为（）A、140°B、160°C、170°D、150°2、Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=46°，则∠A=（）A、44°B、34°C、54°D、64°3、若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形一定是（）A、等腰三角形B、等边三角形C、等腰直角三角形D、直角三角形4、在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是（）A、120°B、90°C、60°D、30°5、直角三角形的一个锐角是23°，则另一个锐角等于（）A、23°B、63°C、67°D、77°6、在直角三角形中，其中一个锐角是另一个锐角的2倍，则此三角形中最小的角是（）C、60°D、90°7、满足下列条件的△ABC ，不是直角三角形的是（）A、∠C=∠A+∠BB、a：b：c=3：4：5C、∠C=∠A-∠BD、∠A：∠B：∠C=3：4：58、在直角三角形中，两个锐角的度数比为2：3，则较小锐角的度数为（）A、20°B、32°C、36°D、72°9、已知△ABC是直角三角形，且∠C=Rt∠，若∠A=34°，则∠B=（）A、66°B、56°C、46°D、146°10、若直角三角形中的两个锐角之差为16°，则较大的一个锐角的度数是（）A、37°B、53°C、26°D、63°11、如果直角三角形的一个锐角是另一个锐角的4倍，那么这个直角三角形中一个锐角的度数是（）A、9°B、18°C、27°D、36°12、△ABC中，∠C=90°，∠A：∠B=2：3，则∠A的度数为（）A、18°B、36°C、54°D、72°13、若直角三角形中的两个锐角之差为22°，则较小的一个锐角的度数是（）A、24°B、34°14、Rt△ABC中，∠A=90°，角平分线AE、中线AD、高线AH的大小关系是（）A、AH＜AE＜ADB、AH＜AD＜AEC、AH≤AD≤AED、AH≤AE≤AD15、直角三角形两锐角的平分线相交得到的钝角为（）A、150oB、135oC、120oD、120o或135o二、填空题16、如图所示的三角板中的两个锐角的和等于________度.17、Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=35°30′，则∠B=________.18、如图所示，在△ABC中，∠C=90°，EF∥AB ，∠1=50°，则∠B的度数是________度.19、如图所示，BD⊥AC于点D ， DE∥AB ， EF⊥AC于点F ，若BD平分∠ABC ，则与∠CEF相等的角（不包括∠CEF）的个数是________.20、已知Rt△ABC的两直角边长分别为3cm ， 4cm ，斜边长为5cm ，则斜边上的高等于________cm.三、综合题21、如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B.求证：CD⊥AB.22、在直角三角形中，有一个锐角是另一个锐角的4倍，求这个直角三角形各个角的度数.23、如图所示，在△ACB中，∠ACB=90゜，CD⊥AB于D.(1)求证：∠ACD=∠B；(2)若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F ，求证：∠CEF=∠CFE.24、如图，△ABC中，AD是BC边上的高线，BE是一条角平分线，它们相交于点P ，已知∠EPD=125°，求∠BAD的度数.25、在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD⊥AB于D ， CE是△ABC的角平分线.(1)求∠DCE的度数.(2)若∠CEF=135°，求证：EF∥BC.答案解析部分一、选择题1、【答案】B【考点】解直角三角形【解析】【解答】∵将一副直角三角尺如图放置，∠AOD=20°，∴∠COA=90°-20°=70°，∴∠BOC=90°+70°=160°.故选：B.【分析】利用直角三角形的性质以及互余的关系，进而得出∠COA的度数，即可得出答案.2、【答案】A【考点】解直角三角形【解析】【解答】∵∠C=90°，∠B=46°，∴∠A=90°-46°=44°.故选A.【分析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解.3、【答案】D【考点】解直角三角形【解析】【解答】A、等腰三角形，三条高线交点在三角形内或外或某一顶点处，故A错误；B、等边三角形，三条高线交点在三角形内，故B错误；C、因为已知无法确定其两腰相等，而只要是直角三角形就行了，不一定非得是等腰直角三角形，故C错误；D、因为直角三角形的直角所在的顶点正好是三条高线的交点，所以可以得出这个三角形是直角三角形，故D正确.故选：D.【分析】根据直角三角形的判定方法，对选项进行一一分析，排除错误答案.4、【答案】D【考点】解直角三角形【解析】【解答】∵直角三角形中，一个锐角等于60°，∴另一个锐角的度数=90°-60°=30°.故选：D.【分析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解.5、【答案】C【考点】解直角三角形【解析】【解答】∵直角三角形的一个锐角是23°，∴另一个锐角是：90°-23°=67°.故选：C.【分析】直角三角形的两个锐角互余.6、【答案】B【考点】解直角三角形【解析】【解答】设较小的锐角是x ，则另一个锐角是2x ，由题意得，x+2x=90°，解得x=30°，即此三角形中最小的角是30°.故选B.【分析】设较小的锐角是x ，然后根据直角三角形两锐角互余列出方程求解即可.7、【答案】D【考点】解直角三角形【解析】【解答】A.∵∠C=∠A+∠B ，∴∠C=90°，是直角三角形，故本选项错误；B.∵32+42=25=52，∴△ABC是直角三角形，故本选项错误；C.∵∠C=∠A-∠B ，∴∠C+∠B=∠A ，∴∠A=90°，是直角三角形，故本选项错误；D.∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∴最大的角∠C=180°× ＜90°，是锐角三角形，故本选项正确.故选D.【分析】根据三角形的内角和定理和勾股定理逆定理对各选项分析判断利用排除法求解.8、【答案】C【考点】解直角三角形【解析】【解答】设两锐角分别为2k、3k ，由题意得，2k+3k=90°，解得k=18，所以，较小锐角的度数为18×2=36°.故选C.【分析】根据比例设两锐角分别为2k、3k ，然后利用直角三角形两锐角互余列方程求解即可.9、【答案】B【考点】解直角三角形【解析】【解答】∵∠C=Rt∠，∠A=34°，∴∠B=90°-∠A=90°-34°=56°.故选B.【分析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解.10、【答案】B【考点】解直角三角形【解析】【解答】设两个锐角分别为x、y ，根据题意得，x+y＝90°①x−y＝16°②①+②得，2x=106°，解得x=53°，①-②得，2y=74°，解得y=37°，所以方程组的解为x＝53°y＝37°故较大的一个锐角的度数是53°.故选B.【分析】设两个锐角分别为x、y ，然后根据直角三角形两锐角互余列出一个方程，再根据题意列出方程另一个方程，解方程组即可.11、【答案】B【考点】解直角三角形【解析】【解答】设较小的锐角是x度，则另一角是4x度.则x+4x=90，解得：x=18°.故选B.【分析】根据直角三角形的两个角互余即可求解.12、【答案】B【考点】解直角三角形【解析】【解答】∵∠A：∠B=2：3，∴设∠A=2k ，∠B=3k ，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，即2k+3k=90°，解得k=18°，∴∠A=36°.故选B.【分析】根据比例设∠A=2k ，∠B=3k ，然后根据直角三角形两锐角互余列出方程求出k ，即可得解.13、【答案】B【考点】解直角三角形【解析】【解答】∵两个锐角和是90°，∴一个直角三角形两个锐角的差为22°，设一个锐角为x ，则另一个锐角为90°-x ，得：90°-x-x=22°，得：x=34°.故选B.【分析】根据直角三角形中两锐角和为90°，再根据两个锐角之差为22°，设其中一个角为x ，则另一个为90°-x ，即可求出最小的锐角度数.14、【答案】D【考点】解直角三角形【解析】【解答】①Rt△ABC中，AB=AC；（图①）根据等腰三角形三线合一的性质知：AD、AH、AE互相重合，此时AD=AH=AE；②Rt△ABC中，AB≠AC；（设AC＞AB ，如图②）在Rt△AHE中，由于AE是斜边，故AE＞AH；同理可证AD＞AH；∵∠AED＞∠AHD=90°，∠ADH＜∠AHE=90°∴∠AED＞∠ADE；根据大角对大边知：AD＞AE；即AD＞AE＞AH；综上所述，角平分线AE、中线AD、高线AH的大小关系是AH≤AE≤AD；故选D.【分析】此题应分两种情况讨论：①等腰直角三角形，②普通的直角三角形.然后根据各边所对角的大小来判断各线段的大小关系.15、【答案】B【考点】解直角三角形【解析】【解答】直角三角形中，两锐角三角形度数和为90°，则两锐角的各一半度数和为45°，根据三角形内角和为180°，可得钝角度数为135°，故选B.【分析】本题可根据直角三角形内角的性质和三角形内角和为180°进行求解.二、填空题16、【答案】90【考点】解直角三角形【解析】【解答】直角三角板中的两个锐角的和等于90度.故答案为：90.【分析】根据直角三角形两锐角互余解答.17、【答案】54.5°【考点】解直角三角形【解析】【解答】Rt△ABC中，∵∠C=90°，∠A=35°30′，∴∠B=90°-∠A=90°-35°30′=54°30′=54.5°.故答案为：54.5°.【分析】根据直角三角形两锐角互余，即可求出∠B的度数.18、【答案】40【考点】解直角三角形【解析】【解答】∵∠1=50°，∴∠CEF=50°，∵EF∥AB ，∴∠A=∠CEF=50°，∵△ABC是直角三角形，∴∠B=90°-∠A=90°-50°=40°.故答案为：40.【分析】先根据∠1=50°得出∠CEF的度数，再由平行线的性质求出∠A的度数，根据直角三角形两锐角互余的性质即可求出∠B的度数.19、【答案】4【考点】解直角三角形【解析】【解答】如图，∵BD⊥AC ， EF⊥AC ，∴BD∥EF ，∵BD平分∠ABC ，∴∠1=∠2，∴与∠CEF相等的角有∠1、∠2、∠3、∠4共4个.故答案为：4.【分析】根据两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等以及角平分线的定义找出与∠CEF相等的角即可.20、【答案】2.4【考点】解直角三角形【解析】【解答】如图，AC=3cm ， BC=4cm ， AB=5cm ， CD为斜边AB上的高∵S△ABC= AC•BC= CD•AB ，∴×3×4= ×5•CD∴CD=2.4cm.【分析】根据两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等以及角平分线的定义找出与∠CEF相等的角即可.三、综合题21、【答案】证明：∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵∠ACD=∠B ，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠ADC=90°，∴CD⊥AB.【考点】解直角三角形【解析】根据∠ACB=90°，得出∠A+∠B=90°，根据∠ACD=∠B ，得出∠A+∠ACD=90°，再根据两锐角互余的三角形是直角三角形即可得出答案.22、【答案】解答：设设一个锐角为x度，则另一个锐角为4x度，那么根据三角形内角和定理：三角形内角之和为180°，所以x+4x+90°=180°，x=18°，4x=72°，答：三角分别为18°，72°，90°.【考点】解直角三角形【解析】设一个锐角为x度，则另一个锐角为4x度，然后根据三角形的内角和定理列方程求解即可.23、【答案】（1）证明：∵∠ACB=90゜，CD⊥AB于D ，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠ACD=∠B；（2）在Rt△AFC中，∠CFA=90°-∠CAF ，同理在Rt△AED中，∠AED=90°-∠DAE.又∵AF平分∠CAB ，∴∠CAF=∠DAE ，∴∠AED=∠CFE ，又∵∠CEF=∠AED ，∴∠CEF=∠CFE.【考点】解直角三角形【解析】（1）由于∠ACD与∠B都是∠BCD的余角，根据同角的余角相等即可得（2）根据直角三角形两锐角互余得出∠CFA=90°-∠CAF ，∠AED=90°-∠DAE ，再根据角平分线的定义得出∠CAF=∠DAE ，然后由对顶角相等的性质，等量代换即可证明∠CEF=∠CFE.24、【答案】解答：∵AD是BC边上的高线，∠EPD=125°，∴∠CBE=∠EPD-∠ADB=125°-90°=35°，∵BE是一条角平分线，∴∠ABD=2∠CBE=2×35°=70°，在Rt△ABD中，∠BAD=90°-∠ABD=90°-70°=20°.故答案为：20°.【考点】解直角三角形【解析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CBE的度数，再根据角平分线的定义求出∠ABC的度数，然后利用直角三角形的两锐角互余列式计算即可得解.25、【答案】（1）解答：∵∠B=30°，CD⊥AB于D ，∴∠DCB=90°-∠B=60°.∵CE平分∠ACB ，∠ACB=90°，∴∠ECB= ∠ACB=45°，∴∠DCE=∠DCB-∠ECB=60°-45°=15°；（2）∵∠CEF=135°，∠ECB= ∠ACB=45°，∴∠CEF+∠ECB=180°，∴EF∥BC.【考点】平行线的判定，解直角三角形【解析】（1）由图示知∠DCE=∠DCB-∠ECB ，由∠B=30°，CD⊥AB于D ，利用内角和定理，求出∠DCB的度数，又由角平分线定义得∠ECB= ∠ACB ，则∠DCE的度数可求；（2）根据∠CEF+∠ECB=180°，由同旁内角互补，两直线平行可以证明EF∥BC.11 / 11。
华东师大版九年级数学上册《24章 解直角三角形 直角三角形斜边中线性质》精品课件_5
则BC=__9____.
A
B
D
C
2、如图， ∠C=90°，∠B=15°，DE垂直平 分AB，垂足为点E，交BC边于点D,
BD=16cm，则AC的长为___8_c__m
A E
B
D
C
知识小结
性质 1
直角三角形两个锐角互余
性质 2
直角三角形的勾股定理
性质 直角三角形斜边上的中线等
3
于斜边的一半
性质 在直角三角形中，30⁰所对
BC= 1 AB 2
证明： 作斜边上的中线CD，
则CD=AD=BD= 1 AB 2
（在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半）
∵ ∠A=30° ∴ ∠B=60°
A
对此，你能得出 什么结论？
∴ △CDB是等边三角形
D
∴ BC=BD= 1 AB 2
B
C
1、如图在△ABC中，若∠BAC=120°
，AB=AC,AD⊥AC于点A，BD=3，
D
又∵∠ACB=90⁰，
∴四边形ACBE是矩形，
∟
∴ CE=AB.
B
C
1、已知Rt△ABC中，斜边AB=10cm，则斜边上 的中线的长为_5_c_m___
2、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线， ∠CDA=80°，则∠A=__5_0_°_ ∠B=__4_0_°_
D
B
C
例 Rt△ABC中，∠ACB=90 ° ，∠A=30°，求证：
A
C
推进新课
画任意Rt △ABC，并画出斜边AB上的中线 CD， 量一量，看看CD与AB有什么数量关系？
B
D
A
C
思路引导：中线辅助线作法：将中线延长一倍.
九年级数学上册第24章解直角三角形24.2直角三角形的性质作业ppt课件新版华东师大版
16．(上蔡月考)如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点
，AH是边BC上的高．
(1)求证：四边形ADEF是平行四边形；
(2)求证：∠DHF＝∠DEF. 解：(1)∵D，E 分别为 AB，BC 的中点，∴DE∥ AC，即 DE∥AF，同理 EF∥AD，∴四边形 ADEF 为平行四边形 (2)由(1)得∠DEF＝∠BAC，又 ∵DH 为 Rt△AHB 斜边 AB 的中线，∴AD＝DH， ∴∠AHD＝∠DAH，同理∠AHF＝∠HAF，∴∠ DHF＝∠BAC，∴∠DHF＝∠DEF
＝DF，∴DF＝12 ×4＝2
知识点❷：含30°角的直角三角形的性质 6．(习题3变式)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，∠B＝30°，点P 是BC边上的动点，则AP的长不可能是( D ) A．6.5 B．7 C．8.9 D．13
第6题图
7．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAD＝15°，AD＝8，则CD 等于( A ) A．4 B．3 C．2 D．5
第7题图
8．如图，在△ABC 中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB， 垂足为 D，CD＝1，则 AB 的长为( D )
A.2 B．2 3
C．3Biblioteka 3＋1D． 3 ＋1
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB的垂直平分线交BC于 点D，交AB于点E.如果DE＝1，求BC的长．
解：连结AD，BC＝6
17．如图，在△ABC中，CF⊥AB，垂足为F，M为BC的中点，E为AC上一 点，且ME＝MF. (1)求证：BE⊥AC； (2)若∠A＝50°，求∠FME的度数．
解：(1)∵CF⊥AB，垂足为 F，M 为 BC 的中点，∴MF＝
九年级数学上册 第24章 解直角三角形24.2直角三角形的性质作业课件
证明(zhèngmíng)：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，∴DC＝DA，∴∠A ＝∠DCA.∵CF∥AB，∴∠A＝∠FCE，∴∠DCA＝∠FCE，∴CE平分
∠DCF.∵DE∥BC，∴∠CED＝∠CEF＝∠ACB＝90°，∴DE＝EF.
第六页，共二十四页。
∠A＝30°，AB＝8，则DE的长度是____．
2
第八页，共二十四页。
6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝15°，过点C作CD⊥BA，交BA的延长线于点D， 求△ACD的周长(zhōu chánɡ)．
解：在△ABC 中，AB＝AC＝2，∠B＝15°，∴∠B＝∠ACB＝15°， ∴∠DAC＝30°.又∵CD⊥BA，∴CD＝12AC＝1.根据勾股定理得 AD＝
的中点，∴MN⊥EF.
第十七C平分(píngfēn)∠AOB，点P为OC上的一点，PD∥OA交OB于点D， PE⊥OA于点E，若OD＝4 cm，求PE的长．
第十八页，共二十四页。
解：过点 P 作 PF⊥OB，
∵∠AOB＝30°，PD∥OA，
∴∠FDP＝∠AOB＝30°，∠DPO＝∠AOC.∵OP 平分∠AOB，∴∠DOC ＝∠AOC，PE＝PF，∴∠DPO＝∠DOC，∴DP＝OD＝4 cm.∵∠FDP＝30
的长为_____1_9____． 2
第十四页，共二十四页。
11．台风是一种自然灾害，如图，气象部门观测到距离A市正北方向200千米的B处有 一台风中心，其中心最大风力为12级，该台风中心正以18千米/时的速度沿直线向C 移动，且台风中心风力不变，已知每远离台风中心20千米，风力就减弱一级，若A 市所受风力不到4级，则称不受台风影响，根据以上信息回答下列问题(wèntí)：