第二章 球面和共轴球面系统
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第2章球面和球面系统
作业： 作业：
双胶合透镜
视场 2W = 6 入瞳直径 2a = 20 第一近轴光线： 第一近轴光线： h1 i1 = = 0.16 l1 = −∞ u1 = 0 h1 =10 r1 第二近轴光线： 第二近轴光线：l1 = 0 u1 = sin (− 3o ) = −0.052336
o
n1 =1 n = n2 = 1.51637 ' ' n2 = n3 = 1.67268 n3 = 1
可得
nyu = n' y' u' = J
一对共轭面内， 成像的物高、 一对共轭面内 ， 成像的物高 、 成像光束的 孔径角和所在介质的折射率三者的乘积为 一常数。 一常数。 它是表征光学系统性能的重要参数
§3-3 反射球面—球面镜 反射球面— 一、物像公式
1 1 2 + = l' l r 1、r<0, φ>0会聚 φ>0会聚 − 2n φ= r
§2-3 物平面以细光束经折射球面成像 一、物平面以细光束成像
细光束， 细光束，A—》A’ 完善成像 同心球面A 曲面A 同心球面A1AA2—》曲面A1’A’A2’ 完善成像 由公式， 变小， 也变小，平面B 由公式，l变小，l’也变小，平面B1AB2—》 曲面B 曲面B1’A’B2’ n' n n'−n − = 不再是平面： 不再是平面：像面弯曲 l' l r
L−r sin I = sin U r
n sin I = ' sin I n
'
U =U + I − I
'
'
sin I L = r +r sin U '
'
第二章 共轴球面系统(二)
= l2u2 l'1 u'1d1u'1 ,l3u3 l'2 u'2 d2u'2 , lkuk l'k1 uk1 dk1uk1
共轴球面系统的过渡公式（3-2）
lu l'u' h
l1u1 l'1 u'1 h1 ,l2u2 l'2 u'2 h2 ,
l2u2 l'1 u'1d1u'1 ,l3u3 l'2 u'2 d2u'2 , lkuk l'k1 uk1 dk1uk1
拉格朗日- 赫姆霍兹恒等式
y' nl'
y n'l
lu l'u'
J为拉赫不变量 nuy n'u' y' J
题 例 1：在一直径为30cm的球形玻璃鱼缸内盛满水，鱼缸中
心处有一条小鱼，求缸外观察者看到鱼的位置及放大率！
解： n n n n l' l r
n' 4 ,l 15, r 15代入 3
定义：通过一定光学系统所成的像对光轴的 垂直高度与物本身对光轴的垂直高度的比。
公式：
y'
y
近轴区的放大率
-u
u’
近轴区的放大率----横向放大率
y'
y
y' l'r y l r
n(1 1) n'(1 1)
rl
r l'
物像位置关系式
n l r n' l' r
rl
rl'
l r l' r n' l nl'
n'k 2
共轴球面系统的过渡公式（3-2）
lu l'u' h
l1u1 l'1 u'1 h1 ,l2u2 l'2 u'2 h2 ,
l2u2 l'1 u'1d1u'1 ,l3u3 l'2 u'2 d2u'2 , lkuk l'k1 uk1 dk1uk1
拉格朗日- 赫姆霍兹恒等式
y' nl'
y n'l
lu l'u'
J为拉赫不变量 nuy n'u' y' J
题 例 1：在一直径为30cm的球形玻璃鱼缸内盛满水，鱼缸中
心处有一条小鱼，求缸外观察者看到鱼的位置及放大率！
解： n n n n l' l r
n' 4 ,l 15, r 15代入 3
定义：通过一定光学系统所成的像对光轴的 垂直高度与物本身对光轴的垂直高度的比。
公式：
y'
y
近轴区的放大率
-u
u’
近轴区的放大率----横向放大率
y'
y
y' l'r y l r
n(1 1) n'(1 1)
rl
r l'
物像位置关系式
n l r n' l' r
rl
rl'
l r l' r n' l nl'
n'k 2
球面和共轴球面系统的理想成像
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yy
54
n
n'
F
H
UJ
xH = - f xJ = f '
H'
UJ '
F'
J J'
xJ' = f xH' = - f '
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节面(Nodal Planes)
分为物方节平面（也称前节面）和 像方节平面（也称后节面）。
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过节点的光线 平行出射
yy
22
概 念
5、屈光力（光焦度）F
光焦度表征光学系统偏折光线的能力。
光焦度F （-）表起发散作用 （+）表示起 会聚作用
单位：屈光度D——以米为单位的焦距的倒 数。
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眼镜的度数=屈光度数×100
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二、转面（过渡）公式：
1
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于是，高斯公式可表示为 V′– V = F
即光学系统的光焦度等于一对共轭点之间的光 束会聚度之差值，单位为屈光度（D）。
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光学系统的光焦度：
光学系统中折合焦距的倒数 以F 表示，也称屈光力或焦度或度数
n' n F= =-
f' f
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在空气中，n′= n = 1，此时，光焦度则是
yy
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演示一下
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yy
30
这里F与F’是不是共轭点呢？
第2章 共轴球面系统
2.2 单个折射球面的成像放 大率及拉赫不变量
如果在轴上点A附近从球面上取一小块面积 ds并 把它的细光束像记为ds′ ，当面积足够小时，可 近似认为物和像均为在两球面的切平面上。 结论： 结论：当物体以细光束成像时，只有位于近轴 只有位于近轴 区的物体才能成完善像。 区的物体才能成完善像。 二、单个折射球面成像的放大率及拉赫不变量
y′ nl′ β= = y n′l
lu = l ′u ′ = h
nyu = n′y ′u ′ = J
——拉格朗日赫姆霍兹定理，J为拉赫不变量 拉赫不变量 结论：实际光学系统在近轴区内成像时，对于一 对共轭平面来说，物高、物方孔径角和物方介质 折射率的乘积是一个常数。 阿贝不变量： 1 1 阿贝不变量 1 1
2.2单个折射球面的成像放大率 2.2单个折射球面的成像放大率 及拉赫不变量
主要内容： 垂轴平面物体以细光束经折射球面成像 单个折射球面的近轴光线成像放大率 三种放大率的关系 拉赫不变量
2.2单个折射球面的成像放大率 2.2单个折射球面的成像放大率 及拉赫不变量
一、垂轴平面物体以细光束成像
A’是A的完善像点 是 的完善像点，根据物像之间等光程性，可 知 ∑′ 面是 ∑ 面的细光束像。 根据物像位置关系公式知，B点的像在 ∑′ 面左侧 面左侧. B 结论： 结论：如果物是垂轴平面物体，则它经过单个 折射球面折射后，它的细光束像不再是平面， 而是一个比 ∑′ 面更弯曲的曲面，成像不完善 成像不完善— 成像不完善 —像面弯曲 像面弯曲。 像面弯曲
结论：位于近轴区的轴外物点，利用近轴光线 成像时，符合点对点的理想成像关系。
2.1光线经单个折射球面的折射 2.1光线经单个折射球面的折射
4.物像位置关系公式（ 4.物像位置关系公式（l ′与l ) 物像位置关系公式
第二章球面和共轴球面系统分析
要讨论成像规律，即像的虚实，成像的位置、正倒和大 小问题，必须计算出光线的走向，所以我们先讨论计算公式。 光线经过单个折射球面的情况如图所示。 包含光轴和物点的平面称为含轴面（纸面）或子午面。 计算的目的：光从何处来，经何处到哪里去（由此得出由物 点发出的光线经过系统后能否交到一点完善成像）？
首要问题：用什么量（怎样）来决定光线在空间中的位置？
对AEC应用正弦定理得 L r r Lr 即 sin I sin U 可求出I sin I sin （ U） r n 据折射定律 sin I ` sin I 可求出I ` n` 对AEC和A`EC应用外角定理 U I U ` I ` U ` U I I ` 可得到U ` sin I ' sin U ' sin I 在A ' EC中 ，利用正弦定律 L ' rr L ' r r sin U
从光轴起算，光轴转向光线（按锐角方向）， 顺时针为正，逆时针为负。
入射角、折射角 从光线起算，光线转向法线（按锐角方向）， 顺时针为正，逆时针为负。 ③ 光轴与法线的夹角（如） 从光轴起算，光轴转向法线（按锐角方向）， 顺时针为正，逆时针为负。
二、实际光线经过单个折射球面的光路计算
已知：折射球面曲率半径r，介质折射率n和n′，及物方坐标L和U。 求：像方L ′和 U ′。
共轴球面系统由许多单个球面构成，当计算出第一面后， 其折射光线就是第二面的入射光线。
U 2 U1; L2 L1 d1
再由相邻两折射球面间的关系，求出下一个球面的折 射光线。
第四节 球面反射镜成像
n n n n 成像公式： l l r
n n
1 1 2 l l r
首要问题：用什么量（怎样）来决定光线在空间中的位置？
对AEC应用正弦定理得 L r r Lr 即 sin I sin U 可求出I sin I sin （ U） r n 据折射定律 sin I ` sin I 可求出I ` n` 对AEC和A`EC应用外角定理 U I U ` I ` U ` U I I ` 可得到U ` sin I ' sin U ' sin I 在A ' EC中 ，利用正弦定律 L ' rr L ' r r sin U
从光轴起算，光轴转向光线（按锐角方向）， 顺时针为正，逆时针为负。
入射角、折射角 从光线起算，光线转向法线（按锐角方向）， 顺时针为正，逆时针为负。 ③ 光轴与法线的夹角（如） 从光轴起算，光轴转向法线（按锐角方向）， 顺时针为正，逆时针为负。
二、实际光线经过单个折射球面的光路计算
已知：折射球面曲率半径r，介质折射率n和n′，及物方坐标L和U。 求：像方L ′和 U ′。
共轴球面系统由许多单个球面构成，当计算出第一面后， 其折射光线就是第二面的入射光线。
U 2 U1; L2 L1 d1
再由相邻两折射球面间的关系，求出下一个球面的折 射光线。
第四节 球面反射镜成像
n n n n 成像公式： l l r
n n
1 1 2 l l r
第二章 球面和球面系统
（4）r = -40mm, L’ = 200mm, U’ = -10° （5）r = -40mm, L = -100mm, U = 10°, L’= -200mm
符号规则是人为规定 的，一经定下，就要 严格遵守，只有这样 才能导出正确结果
不同版本的书符号规则可能不同，使用公 式时必须要注意。
二.光线经折射球面的光路计算公式
1、已知一折射球面其r =36.48mm，n =1， n’ =1.5163。轴上点A的截距 L=-240mm，由它发出一 同心光束，今取U为-1°、-2 °、 -3 °的三条光线， 分别求它们经折射球面后的光路。（即求像方截距L’ 和 像方倾斜角U’ ） 2：仍用上例的参数，r = 36.48mm, n=1, n’=1.5163 l = - 240mm, sinU= u = - 0.017， 求：l ’, u’
与单个折射球面一样有如下关系：
对于拉赫不变量：
J n1u1 y1 n2u2 y2 nkuk yk nk ' uk ' yk '
成像计算中有两种方法：
方法1： 对每一面用追迹公式
lr u r n i' i n' i
u' u i i'
l ' r( 1 i' ) u'
（3）若|β| >1, 则| y’ | > | y |，成放大 像， 反之 |y’ | < | y |，成缩小 像
y' nl' y n' l
还可发现，当物体由远而近时，即 l 变小， 则β增大
！ ！
成像的位置、大小、虚实、倒正极为 重要！！！
若β＜０，成倒像 ，l 和 l '异号。对实物成实像， 对虚物成虚像。
符号规则是人为规定 的，一经定下，就要 严格遵守，只有这样 才能导出正确结果
不同版本的书符号规则可能不同，使用公 式时必须要注意。
二.光线经折射球面的光路计算公式
1、已知一折射球面其r =36.48mm，n =1， n’ =1.5163。轴上点A的截距 L=-240mm，由它发出一 同心光束，今取U为-1°、-2 °、 -3 °的三条光线， 分别求它们经折射球面后的光路。（即求像方截距L’ 和 像方倾斜角U’ ） 2：仍用上例的参数，r = 36.48mm, n=1, n’=1.5163 l = - 240mm, sinU= u = - 0.017， 求：l ’, u’
与单个折射球面一样有如下关系：
对于拉赫不变量：
J n1u1 y1 n2u2 y2 nkuk yk nk ' uk ' yk '
成像计算中有两种方法：
方法1： 对每一面用追迹公式
lr u r n i' i n' i
u' u i i'
l ' r( 1 i' ) u'
（3）若|β| >1, 则| y’ | > | y |，成放大 像， 反之 |y’ | < | y |，成缩小 像
y' nl' y n' l
还可发现，当物体由远而近时，即 l 变小， 则β增大
！ ！
成像的位置、大小、虚实、倒正极为 重要！！！
若β＜０，成倒像 ，l 和 l '异号。对实物成实像， 对虚物成虚像。
应用光学第二章球面与共轴球面系统
sin I L r sinU r
n
IE
n′
I′
sin I n sin I n
h
-U
φ
U′
A
O
C
A′
U U I I r
L r r sin I
-L
L′
sinU
说明：
1）L′＝f (U、L、n、n′、r) 2）当L为定值时，L′随U变化而变化，象方光束失去同心性， 成不完善象，形成球差。
d）光线与法线夹角I、I′ 以光线转向法线成的锐角来度量，顺时针为“＋”
逆时针为“－” e）光轴与法线的夹角φ 以光轴转向法线成的锐角来度量，顺时针为“＋”
逆时针为“－” f）折射面的间隔d，一般取“＋” g）所有参量是含符号的量，但图示标为参量的大小。
二、 远轴光的计算公式（实际光线光路计算） 给定n、 n′、r，已知L、U，求解L′、 U′ 其中U、 U′较大，远轴光线成像（大光路）
1
4）三者关系：
nk 2 n1 1 n1 nk
4. 拉赫不变量： J n1u1 y1 nk uk yk
意义： J对整个光学系统的每个折射面的物象空间都是不变量，可用J来
校对光路计算是否正确。
例：厚透镜：
例：一玻璃棒（n=1.5），长500mm，两端面为半球 面，半径分别为50mm和100mm，一箭头高1mm，垂 直位于左端球面顶点之前200mm处的轴线上，求箭头 经玻璃棒成像后像的位置、大小、正倒、虚实。
§ 2－3 共轴球面系统
探讨方法— 将光线的光路计算公式及放大率公式反复应 用于各个折射面，分别求出各面的u、 u′、l 、 l′、 β、α、γ、y、y′J、J′、Q、 Q′。 转面公式— 前后相邻面之间的基本量的转化关系。
工程光学 章节2 球面系统
3. 光路计算是根据给定的光学系统，由物求像或由像 求物的过程。 4. 光路计算是根据几何光学的基本定律利用成像光路 图建立起的物象计算式。
光线经球面折射时的光路计算
要讨论成像规律，即像的虚实，成像的位置、正倒和大小问题，必须 计算出光线的走向，所以我们先讨论计算公式。 包含光轴和物点的平面称为含轴面（纸面）或子午面。
第一种情况
求光束经过两次成像后的会聚，图 已知系统 r1 R r2 R n1 1 n2 1.5 n3 1
•第一次成像
n1 1
n'1 1.5
r R
l1
1.5 1 1 .5 1 l '1 R
l1 '求得
A′ -Y′ B′
规则： 以球面的顶点为原点 2-1 沿轴量向右取正，向左取负 垂轴量向上取正，向下取负
单个球面的折射光路
B Y
A -U -L n E I
h I′ O C U′ r L′
n′
A′ -Y′ B′
2-1
角度的符号
• 角度量：U、U′、I、 I ′、φ
规则： 角度正切值为正时该角度为正，反 之为负
第二章 共轴球面光学系统
第一节 光路计算
• • • • 一、概述 二、符号规则 三、单个球面的成像计算 四、共轴球面的成像计算
一、概述
1. 绝大多数光学系统由球面、平面或非球面组成，如 果各曲面的曲率中心在一条直线上，则称该光学系 统为共轴光学系统，该直线为光轴。
2. 非球面, 如抛物面、椭球面等对某些位置等光程的 像质不错, 但加工检验有一定困难。因此，后面的讨 论主要是由球面和平面组成的光学系统。
• 实际光线的光路计算
严格按照几何光学基本定律的光线计算，这类 光线称为实际光线
光线经球面折射时的光路计算
要讨论成像规律，即像的虚实，成像的位置、正倒和大小问题，必须 计算出光线的走向，所以我们先讨论计算公式。 包含光轴和物点的平面称为含轴面（纸面）或子午面。
第一种情况
求光束经过两次成像后的会聚，图 已知系统 r1 R r2 R n1 1 n2 1.5 n3 1
•第一次成像
n1 1
n'1 1.5
r R
l1
1.5 1 1 .5 1 l '1 R
l1 '求得
A′ -Y′ B′
规则： 以球面的顶点为原点 2-1 沿轴量向右取正，向左取负 垂轴量向上取正，向下取负
单个球面的折射光路
B Y
A -U -L n E I
h I′ O C U′ r L′
n′
A′ -Y′ B′
2-1
角度的符号
• 角度量：U、U′、I、 I ′、φ
规则： 角度正切值为正时该角度为正，反 之为负
第二章 共轴球面光学系统
第一节 光路计算
• • • • 一、概述 二、符号规则 三、单个球面的成像计算 四、共轴球面的成像计算
一、概述
1. 绝大多数光学系统由球面、平面或非球面组成，如 果各曲面的曲率中心在一条直线上，则称该光学系 统为共轴光学系统，该直线为光轴。
2. 非球面, 如抛物面、椭球面等对某些位置等光程的 像质不错, 但加工检验有一定困难。因此，后面的讨 论主要是由球面和平面组成的光学系统。
• 实际光线的光路计算
严格按照几何光学基本定律的光线计算，这类 光线称为实际光线
球面与共轴球面系统
y l r n l
y l r n l
说明：a) β取决于n、 n′、l′、l b) β> 0，l 、l′同号，物象同侧，虚实相反 β< 0，l 、l′异号，物象异侧，虚实相同 c) β> 0，成正象 β< 0，成倒象 d) β> 1，成放大象 β< 1，成缩小象
2. 轴向放大率：光轴上一对共轭点沿轴移动量之间的比值
§ 2－3 共轴球面系统
探讨方法：将光线的光路计算公式及放大率公式反复应用于各个 折射面，分别求出各面的u、 u′、l 、 l′、Q、Q ′、β、α、γ、 y、y′J、J′。 转面公式— 前后相邻面之间的基本量的转化关系。 主要内容：1、结构参量；
sin I L r sin U r
sin I n sin I n
U U I I
L r r sin I sin U
（点成象）
小结：
5、近轴光计算公式：
i lru r
i n i n
u u i i
l r r i u
6、四个常用的推导公式：
h lu lu
Q n(1 1) n(1 1 )
3、四线：截距：顶点到光线与光轴交点的距离（L、L′－物方截距、 象方截距）；r－球面曲率半径； h－入射高度；
4、界面：n 、n′－物象方空间折射率；OE－折射球面 。
三、 符号法则（线段和角度，便于统一计算）
1、线段：规定光线从左向右传播 a）沿轴线段 L、L′、r、d
以O为原点， 与光线传播方向相同，为“＋” 与光线传播方向相反，为“－”
逆时针为“－” 夹角的优先级：“光轴－光线－法线” 3、所有参量是含符号的量，但图示标为参量的大小。
四、 远轴光的计算公式（实际光线光路计算）（点成象）
y l r n l
说明：a) β取决于n、 n′、l′、l b) β> 0，l 、l′同号，物象同侧，虚实相反 β< 0，l 、l′异号，物象异侧，虚实相同 c) β> 0，成正象 β< 0，成倒象 d) β> 1，成放大象 β< 1，成缩小象
2. 轴向放大率：光轴上一对共轭点沿轴移动量之间的比值
§ 2－3 共轴球面系统
探讨方法：将光线的光路计算公式及放大率公式反复应用于各个 折射面，分别求出各面的u、 u′、l 、 l′、Q、Q ′、β、α、γ、 y、y′J、J′。 转面公式— 前后相邻面之间的基本量的转化关系。 主要内容：1、结构参量；
sin I L r sin U r
sin I n sin I n
U U I I
L r r sin I sin U
（点成象）
小结：
5、近轴光计算公式：
i lru r
i n i n
u u i i
l r r i u
6、四个常用的推导公式：
h lu lu
Q n(1 1) n(1 1 )
3、四线：截距：顶点到光线与光轴交点的距离（L、L′－物方截距、 象方截距）；r－球面曲率半径； h－入射高度；
4、界面：n 、n′－物象方空间折射率；OE－折射球面 。
三、 符号法则（线段和角度，便于统一计算）
1、线段：规定光线从左向右传播 a）沿轴线段 L、L′、r、d
以O为原点， 与光线传播方向相同，为“＋” 与光线传播方向相反，为“－”
逆时针为“－” 夹角的优先级：“光轴－光线－法线” 3、所有参量是含符号的量，但图示标为参量的大小。
四、 远轴光的计算公式（实际光线光路计算）（点成象）
第二章共轴球面系统
dx' x' α= = dx x
讨论: ① α恒为正,当物点沿轴向移动时,像点沿轴同 向移动 ②一般α≠ β,即空间物体成像后要变形,如正方 体. ③只有在dl 很小时才适用
3. 角放大率
共轭光线与光轴夹角u ′和u 的比值,称为角放大率.
B' K B K'
H
A F
H'
F'
A'
对共轴理想光学系统性质第三点的解释: 一个共轴理想光学系统,如果已知两对共轭面的位置和放 大率,或者一对共轭面的位置和放大率,以及轴上两对共 轭点的位置,则其他一切物点的像点都可以根据这些已知 的共轭面和点确定
§2.8 理想光学系统的物像关系式
I I' B'
2.近轴光路计算公式 在近轴几何光学中,经常用到以下近似公式(一 级泰勒展开)
sin U ≈ U ≈ tan U
1 1 (sin θ = θ θ 3 + θ 5 ......) 3! 5!
U为物方孔径角,是个很小值(<<1rad),当 U<5°,近似代替误差大约为1%.
代入到(2-1)-(2-3),并用小写字母表示,得到以下公式:
dl ′ α = dl
(1)高斯公式求解:
f' f + =1 l' l
f ' dl ' fdl '2 2 = 0 l l
fl ' α = 2 f 'l
dl ′ nl ′2 n′ 2 = 2 = β α= dl n′l n
2
(2)牛顿公式求解:
xx' = ff '
xdx'+ x' dx = 0
讨论: ① α恒为正,当物点沿轴向移动时,像点沿轴同 向移动 ②一般α≠ β,即空间物体成像后要变形,如正方 体. ③只有在dl 很小时才适用
3. 角放大率
共轭光线与光轴夹角u ′和u 的比值,称为角放大率.
B' K B K'
H
A F
H'
F'
A'
对共轴理想光学系统性质第三点的解释: 一个共轴理想光学系统,如果已知两对共轭面的位置和放 大率,或者一对共轭面的位置和放大率,以及轴上两对共 轭点的位置,则其他一切物点的像点都可以根据这些已知 的共轭面和点确定
§2.8 理想光学系统的物像关系式
I I' B'
2.近轴光路计算公式 在近轴几何光学中,经常用到以下近似公式(一 级泰勒展开)
sin U ≈ U ≈ tan U
1 1 (sin θ = θ θ 3 + θ 5 ......) 3! 5!
U为物方孔径角,是个很小值(<<1rad),当 U<5°,近似代替误差大约为1%.
代入到(2-1)-(2-3),并用小写字母表示,得到以下公式:
dl ′ α = dl
(1)高斯公式求解:
f' f + =1 l' l
f ' dl ' fdl '2 2 = 0 l l
fl ' α = 2 f 'l
dl ′ nl ′2 n′ 2 = 2 = β α= dl n′l n
2
(2)牛顿公式求解:
xx' = ff '
xdx'+ x' dx = 0
第二章 球面和共轴球面系统
2）物体移动有限距离
此时轴向倍率可以表示为：
α＝
l2 '− l1 ' l2 − l1
高斯公式
β1为第一位置处的垂轴放大率；β2为第二位置处的垂轴放大率。
2.2.3 角倍率γ
角放大率γ ：近轴区内，一对共轭光线的像方孔径 角u与物方孔径角u’之比， 即：
2.2.4
三个倍率之间的关系
即轴向放大率与角放大率之积与垂轴放大率相等。 即轴向放大率与角放大率之积与垂轴放大率相等。
2.2.1 垂轴倍率β 2.2.2 轴向倍率α 2.2.3 角倍率γ 2.2.4 三个倍率之间的关系 2.2.5 拉格朗日-赫姆霍兹不变量
2.2.1 垂轴倍率β
定义：像的大小与物的大小比值。 其数学表示形式为：β=y' /y
近轴区有限大小的物体 经过单个折射球面的成像
从图中可见，根据三角形ABC与A’B’C相似有：
现在对于已知的现在对于已知的ll和和uu值无论值无论uu为何值为何值l表明表明轴上点在近轴区成像轴上点在近轴区成像时其像可认为是时其像可认为是完善完善的称为称为高斯像点高斯像点过高斯像点垂直于光轴的面称为过高斯像点垂直于光轴的面称为高斯像面高斯像面构成物像关系的一对点称为构成物像关系的一对点称为共轭点共轭点
2.4 球面反射镜
前面指出，反射定律可认为是折射定律在n’=-n时的 特例，因此，将之前的折射球面的计算公式代以 n’=-n，可以得到相应的反射球面计算公式。 2.4.1 球面反射镜的物像位置公式 2.4.2 球面反射镜的成像倍率 2.4.3 球面反射镜的拉赫不变量
2.4.1 球面反射镜的物像位置公式
以上三式是我们计算单折射球面物像之间关系的基本公式
2.1.3 近轴光的光路计算公式
此时轴向倍率可以表示为：
α＝
l2 '− l1 ' l2 − l1
高斯公式
β1为第一位置处的垂轴放大率；β2为第二位置处的垂轴放大率。
2.2.3 角倍率γ
角放大率γ ：近轴区内，一对共轭光线的像方孔径 角u与物方孔径角u’之比， 即：
2.2.4
三个倍率之间的关系
即轴向放大率与角放大率之积与垂轴放大率相等。 即轴向放大率与角放大率之积与垂轴放大率相等。
2.2.1 垂轴倍率β 2.2.2 轴向倍率α 2.2.3 角倍率γ 2.2.4 三个倍率之间的关系 2.2.5 拉格朗日-赫姆霍兹不变量
2.2.1 垂轴倍率β
定义：像的大小与物的大小比值。 其数学表示形式为：β=y' /y
近轴区有限大小的物体 经过单个折射球面的成像
从图中可见，根据三角形ABC与A’B’C相似有：
现在对于已知的现在对于已知的ll和和uu值无论值无论uu为何值为何值l表明表明轴上点在近轴区成像轴上点在近轴区成像时其像可认为是时其像可认为是完善完善的称为称为高斯像点高斯像点过高斯像点垂直于光轴的面称为过高斯像点垂直于光轴的面称为高斯像面高斯像面构成物像关系的一对点称为构成物像关系的一对点称为共轭点共轭点
2.4 球面反射镜
前面指出，反射定律可认为是折射定律在n’=-n时的 特例，因此，将之前的折射球面的计算公式代以 n’=-n，可以得到相应的反射球面计算公式。 2.4.1 球面反射镜的物像位置公式 2.4.2 球面反射镜的成像倍率 2.4.3 球面反射镜的拉赫不变量
2.4.1 球面反射镜的物像位置公式
以上三式是我们计算单折射球面物像之间关系的基本公式
2.1.3 近轴光的光路计算公式
应光第二章 球面系统 答案
第二章球面和共轴球面系统2.1某一透镜结构参数如下：r/mm d/mm n100300 1.5∞当l=-∞时，求l'，在第二个面（平面）上刻十字线，试问通过球面的共轭像在何处？当入射高度h=10mm时，实际光线和光轴的交点应在何处？在高斯面上的交点高度是多少？这个值说明了什么问题？解：l'=0，在第二面上十字线其共轭像在无限远。
H=10mm，实际光线与广州交点l'=299.33203mm，这说明了该光线经球面折射后不交于锦州光像点，所以一个物点得到的1像是一个弥散斑。
2.2一个玻璃球的直径为400mm，玻璃折射率n=1.5，球中有两个小气泡，一个正在球心，另一个在1/2半径处，沿两气泡的连线方向在球的两边观察两个气泡，它们应在什么位置？如果在水中（n=1.33）观察。
则它们应在什么位置？解：设一个气泡在中心处，另一个在第二面和中心之间。
（1）从右侧观察时，如图a：a b（2）从左侧观察时如图b：（3）在水中时： 中心气泡所成像： ，n '=1.33 n=1.5，r=200mm ，l=200mm 得到：l'=200mm 仍在圆心处1/2半径处气泡所成像：，n '=1.33 ，n=1.5，r=200mm ，l=100mm 时 ， l'=94mml=-300mm 时 ， l'=-320mm2.3一个玻璃球直径为60mm ，玻璃折射率n=1.5，一束平行光射在玻璃球上，其会聚点应在什么位置？解：首先考虑光束射入玻璃球第一面时的状态，使用高斯公式：由 1n '=1.5 1r =30mm 1n =1 1l =∞得到：1l '=90mm对于第二面，d=60mm ，2l =1l '-d=30mm由 22'222'22'r n n l n l n -=- 2n =1.5 2n '=1 2r =-30mm 1n =1 2l =30mm 得到：2l '=15mm会聚点位于第二面后15mm 处。
工程光学第二章知识点
第二章共轴球面光学系统第一节符号规则●常见的光学系统有多个光学零件组成，每个光学零件往往由多个球面组成●这些球面的球心在一条直线上即为“共轴球面系统”●这条直线称为“光轴”●折射球面的结构参数：曲率半径r、物方折射率n、像方折射率n'●入射光线的参数：物方截距L、物方孔径角U●像方量在相应的物方量字母旁加“ ’ ”区分●光线的传播方向为自左向右●规定符号规则如下：●1）沿轴线段（如L、L’和r）●以顶点为原点，与光线方向相同为正，相反为负●2）垂轴线段（如h、y和y’）●以光轴为基准，光轴以上为正，以下为负●3）光线与光轴的夹角（如U、U’）●光轴转向光线；角量均以锐角计、顺时针为正、逆时针为负●4）光线与法线的夹角（如I、I’、I”）●光线转向法线●5）光轴与法线的夹角（如φ）●光轴转向法线●6）折射面间隔d●前一面顶点到后一面顶点，与光线方向相同为正，相反为负；在折射系统中，d恒为正●物方截距、像方截距、物方孔径角、像方孔径角等物理量是可以有正负的，但作为几何量AO、OA’、∠EAO、∠EA’O等应为正值；在负值物理量前加负号，以保证相应几何量为正●根据物像的位置判断物像的虚实●负（正）物距对应实（虚）物●正（负）像距对应实（虚）像第二节物体经过单个折射球面的成像1，单球面成像的光路计算已知折射球面的结构参数曲率半径r ，物方折射率n ，像方折射率n ’已知入射光线AE 的参数物方截距L ，物方孔径角U （轴上物点）求出射光线参数像方截距L ’，像方孔径角U ’（轴上像点）光路计算2在ΔAEC 中用正弦定律，有 sin sin()I U r L r -=-导出求入射角I 的公式sin sin L r I U r -=（2-1）由折射定律可以求得折射角I ’sin sin n I I n '=='（2-2）由角度关系，可以求得像方孔径角U ’U U I I ''=+-（2-3） 在ΔA ’EC 中应用正弦定律，得像方截距L ’ sin sin I L r r U ''=+' （2-4）式（2-1）至（2-4）就是子午面内实际光线的光路计算公式，利用这组公式可以由已知的L 和U 求L ’和U ’ sin sin L r I U r -= sin sin n I I n '=='U U I I ''=+-sin sin I L r r U ''=+'当物点A 位于轴上无限远处时，相应的L=∞，U=0，则式（2-1）须改变为sin hI r =（2-5）●若L 是定值，L ’是U 的函数，即从同一点发出的光线，孔径角不同，将在像方交在不同的点上 ● 同心光束经过单球面后不再是同心光束●这种误差被称为“球差” ●球差是各种像差中最常见的一种●如果把孔径角U 限制在很小的范围内，光线距光轴很近，称为“近轴光”，U 、U ’、I 和I ’都很小，式（2-1）~（2-4）中的正弦值用弧度来表示 ● 用小写字母u 、u ’、i 、i ’、l 和l ’表示近轴量● l r i u r n ii n u u i i i l r r u -='='''=+-''=+'（2-6）~（2-9） ● 当入射光线平行于光轴时，也以h 作为入射光线的参数，有●h i r =（2-10） ●近轴光线l ’与u 无关，即当物点位置确定后，其像点位置与孔径角u 无关，物点发出的同心光束经折射后在近轴区仍为同心光束 ●在近轴区成的是完善像，这个完善像通常称为“高斯像” ● 近轴区最常用的物像位置公式●n n n n l l r ''--='（2-14） ●已知物点位置l 求像点位置l ’时（或反过来）十分方便 ●1、轴上物点：轴上同一物点发出的近轴光线，经过球面折射以后聚交一点，即轴上物点近轴成像时是符合理想成像条件的。
第二章球面与共轴球面系统
第九页，编辑于星期二：二十三点 八分。Biblioteka 十页，编辑于星期二：二十三点 八分。
第十一页，编辑于星期二：二十三点 八分。
第十二页，编辑于星期二：二十三点 八分。
第十三页，编辑于星期二：二十三点 八分。
第十四页，编辑于星期二：二十三点 八分。
第十五页，编辑于星期二：二十三点 八分。
第十六页，编辑于星期二：二十三点 八分。
第一页，编辑于星期二：二十三点 八分。
第二页，编辑于星期二：二十三点 八分。
第三页，编辑于星期二：二十三点 八分。
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几何光学 第二章 球面和球面系统
1 反射面只是折射面在 n ' n 的特殊情况 2 平面是半径为无穷大的球面
因此首先讨论球面系统是最有意义的 本章我们首先讨论光线经单个折射球面时的计算方法， 有了这个方法就可以方便的解决光线经过整个球面系统的 计算问题
图2-1
如图所示是一条在纸平面上的光经球面折射的光路。对于单个球面，凡经过 球心的直线就是其光轴，光轴与球面的交点成为顶点，球面的半径用r表示。 物方截距：从顶点O到入射光线与光轴交点A的距离L 物方倾斜角：入射光线与光轴的夹角U 相应的L‘、U’称为像方截距和像方倾斜角
图2-3
n ' n n ' n 对于公式 l' l r
分别另l 和l ' 可得
n' f ' r n ' n n f r n ' n
根据光焦度定义式和以上两式，可得出光焦度和焦 距之间有如下关系：
n' n f' f f' f n' n f ' f r
C
F’
O
O
F’
C
-f ’
f’
-r
r
2.5 共轴球面系统
B1 n1 n’1=n2 u’1 r1 C1 A’1 A2 u 2 -y’1 -y2 B’ B2
1
n’2=n3
O2 r2 C2 -u’2 B’2 B3 A’2 A3 O3 h3
y1
A1 -u1
O1 h1
-l1
l’1 d1
-l2
l’2 d2
-l3
在公式中
lr i u r n i' i n' u' u i i' i' l' rr u'
因此首先讨论球面系统是最有意义的 本章我们首先讨论光线经单个折射球面时的计算方法， 有了这个方法就可以方便的解决光线经过整个球面系统的 计算问题
图2-1
如图所示是一条在纸平面上的光经球面折射的光路。对于单个球面，凡经过 球心的直线就是其光轴，光轴与球面的交点成为顶点，球面的半径用r表示。 物方截距：从顶点O到入射光线与光轴交点A的距离L 物方倾斜角：入射光线与光轴的夹角U 相应的L‘、U’称为像方截距和像方倾斜角
图2-3
n ' n n ' n 对于公式 l' l r
分别另l 和l ' 可得
n' f ' r n ' n n f r n ' n
根据光焦度定义式和以上两式，可得出光焦度和焦 距之间有如下关系：
n' n f' f f' f n' n f ' f r
C
F’
O
O
F’
C
-f ’
f’
-r
r
2.5 共轴球面系统
B1 n1 n’1=n2 u’1 r1 C1 A’1 A2 u 2 -y’1 -y2 B’ B2
1
n’2=n3
O2 r2 C2 -u’2 B’2 B3 A’2 A3 O3 h3
y1
A1 -u1
O1 h1
-l1
l’1 d1
-l2
l’2 d2
-l3
在公式中
lr i u r n i' i n' u' u i i' i' l' rr u'
应用光第二章 共轴球面系统的物像关系
2
➢符号规则
• 光线的传播方向：自左向右为正 • 线段
• 沿轴:以球面顶点o为起点，自左向右为正，－L，r，L′ • 垂轴 h，光轴为起点，向上为正，向下为负。 • 球面的曲率半径：球心在球面顶点的右方为正，反之为负
• 角度(一律以锐角来度量，顺时针转为正，反之为负；正切方法）
• 光线与光轴的夹角：光轴转向光线 -U，U′ • 光线与法线的夹角：光线转向法线 I，I′
近轴条件有
h lu lu
8
光焦度
物理意义
n' n r
>0 会聚 ＝0 平面折射 <0 发散
l l'
l'
f
'
n,
n' /(
n)
n,
/
r
l f -n /(n' n) -n / r
f ' n' fn
n n n n l l r
n, / f ' -n / f
第二章 共轴球面系统的物像关系 Coaxial Spherical System
1
➢基本概念
•光轴：若光学系统由球面组成，它们的球心位于同一直线上，
则称为共轴球面系统，这条直线为该光学系统的光轴。实际 上，光学系统的光轴是系统的对称轴
•子午面：通过物点和光轴的截面 • 物方截距 •像方截距 •物方孔径角 •像方孔径角
1) r2
(n 1)2 d nr1r2
1 f
4. 计算主平面位置。
lH
n(r2
r1d r1) (n 1)d
lH'
n(r2
r2d r1) (n 1)d
63
5. 两个主平面之间的距离。
➢符号规则
• 光线的传播方向：自左向右为正 • 线段
• 沿轴:以球面顶点o为起点，自左向右为正，－L，r，L′ • 垂轴 h，光轴为起点，向上为正，向下为负。 • 球面的曲率半径：球心在球面顶点的右方为正，反之为负
• 角度(一律以锐角来度量，顺时针转为正，反之为负；正切方法）
• 光线与光轴的夹角：光轴转向光线 -U，U′ • 光线与法线的夹角：光线转向法线 I，I′
近轴条件有
h lu lu
8
光焦度
物理意义
n' n r
>0 会聚 ＝0 平面折射 <0 发散
l l'
l'
f
'
n,
n' /(
n)
n,
/
r
l f -n /(n' n) -n / r
f ' n' fn
n n n n l l r
n, / f ' -n / f
第二章 共轴球面系统的物像关系 Coaxial Spherical System
1
➢基本概念
•光轴：若光学系统由球面组成，它们的球心位于同一直线上，
则称为共轴球面系统，这条直线为该光学系统的光轴。实际 上，光学系统的光轴是系统的对称轴
•子午面：通过物点和光轴的截面 • 物方截距 •像方截距 •物方孔径角 •像方孔径角
1) r2
(n 1)2 d nr1r2
1 f
4. 计算主平面位置。
lH
n(r2
r1d r1) (n 1)d
lH'
n(r2
r2d r1) (n 1)d
63
5. 两个主平面之间的距离。
+第2章球面和共轴系统
说明：1）β>0，y与y’同号，成正像，反之倒像。
2）β>0，l与l’同号，物像虚实相反，反之相同。
3）|β|>1,放大像，反之为缩小像。
利用公式就可以由任意位置和大小的物体，求得单个折射球面所成的近轴像的大小和位置。
2.2
推导：如图所示，ΔABC～ΔA’B’C 。则 -y/y’=(l’-r)/(-l+r)
该式说明：在近轴区域内，l’是l的函数，与u无关，这 表明轴上物点在近轴区域内成完善像。这个像点称为高 斯像点。
2.1
• 使用变换公式的优缺点：
• （1）方便
• （2）在一定条件下是方便的，实际当中有的光 线的孔径角U比较小，至少中心部分是如此。 • （3）将用上式算出 l ' 作为像点位置作为标准位 置，称为高斯像点，设法使 U 角的光线与光轴
k n 2 ' 2 n3 ' 2 2 3 n2 n3
2.3 3.球面反射镜成像
凹面镜成像
凸面镜成像
2.3
1）球面反射镜的物像 位置关系 由 n' n n' n l' l r 当 n' n, 1 1 2 l' l r 2）成像倍率
2.1 2.实际光线经过单个折射球面的光路计算公式
已知：折射球面曲率半径r，介质折射率n和n’， 物方坐标L和U。 求：像方坐标L’和U’。
三角形AEC中应用正弦定律，得到
0 sin( 180 I) sin( U ) L r r
则
sin U sin I (Lr) r
根据折射定律
2.3 2.共轭球面系统的倍率计算
1）.垂轴倍率β
y 2 y y k k 1 y y y y 1 1 y 3 k
2）β>0，l与l’同号，物像虚实相反，反之相同。
3）|β|>1,放大像，反之为缩小像。
利用公式就可以由任意位置和大小的物体，求得单个折射球面所成的近轴像的大小和位置。
2.2
推导：如图所示，ΔABC～ΔA’B’C 。则 -y/y’=(l’-r)/(-l+r)
该式说明：在近轴区域内，l’是l的函数，与u无关，这 表明轴上物点在近轴区域内成完善像。这个像点称为高 斯像点。
2.1
• 使用变换公式的优缺点：
• （1）方便
• （2）在一定条件下是方便的，实际当中有的光 线的孔径角U比较小，至少中心部分是如此。 • （3）将用上式算出 l ' 作为像点位置作为标准位 置，称为高斯像点，设法使 U 角的光线与光轴
k n 2 ' 2 n3 ' 2 2 3 n2 n3
2.3 3.球面反射镜成像
凹面镜成像
凸面镜成像
2.3
1）球面反射镜的物像 位置关系 由 n' n n' n l' l r 当 n' n, 1 1 2 l' l r 2）成像倍率
2.1 2.实际光线经过单个折射球面的光路计算公式
已知：折射球面曲率半径r，介质折射率n和n’， 物方坐标L和U。 求：像方坐标L’和U’。
三角形AEC中应用正弦定律，得到
0 sin( 180 I) sin( U ) L r r
则
sin U sin I (Lr) r
根据折射定律
2.3 2.共轭球面系统的倍率计算
1）.垂轴倍率β
y 2 y y k k 1 y y y y 1 1 y 3 k
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是有符号数：
1)
0 系统成正像，即l和l '同号，此时物和像位于折射球面的
同一侧；物和像的虚实相反：实物成虚像，虚物成实像。
0 系统成倒像，即l和l ' 异号，此时物和像位于折射球面的
的两侧；物和像的虚实相同：实物成实像，虚物成虚像。
2)
1 1 1 ＝
注意： 起点？ 终点？ 顶点？
图2-1 单个折射球面的有关参量
2.1.1 符号规则
实际计算中，仅仅了解这些参量的大小是不够的，我们 需要知道物（像）点在折射面的左右，折射面的凹凸，光线 在光轴的上下。。。等等信息，所以必须再人为给出一些符 号法则来完善这些信息。 具体规则如下：
一般规定光是自左向右传播 (基准） 1、对垂轴线段：以光轴为准，在光轴之上为“＋”，光轴之 下为“－”； 2、对沿轴线段：以折射面顶点O为原点，顶点到光线与光轴 交点的方向，与光的传播方向相同则为“＋”，反之则为 “－”； 3、光线与光轴夹角（物方孔径角为U，像方孔径角为U‘）： 由光轴转向光线，以锐角方向进行度量，顺时针为“＋”， 逆时针为“－”；
2.2.5
拉格朗日-赫姆霍兹不变量
J称为拉赫不变量，说明在一对共轭空间内，y、u 和n的乘积为常数。 J用于描述物高、像高（反映的是视场的大小）； 物方孔径角、像方孔径角（反映进入系统的能量 多少）之间关系的物理量。
例题2.1
（课后习题第一题）平凸透镜r1=100mm， r2=，d=300mm，n=1.5，当物体在-∞时候 1）求高斯像面的位置； 2）在平面上刻十字，问其共轭像在什么位 置； 3）当入射高度为h=10mm，问光线的像方 截距是多少？和高斯像面相比相差多少？ 说明什么问题？
同时我们有三个重要的推论公式： 1、 2、 3、 1 1 1 1 n n' Q r l r l' n ' n n ' u '- nu h r n ' n n ' n - = (单折射球面的高斯公式） l' l r
以上三式是我们计算单折射球面物像之间关系的基本公式
解答
2.3 共轴球面系统
单个折射球面不能作为一个基本成像元件 （反射镜例外，可以单面成像），基本成像元件 是至少两个球面或非球面所构成的透镜。大部分 透镜都由球面构成，加工方便，成本降低。
2.3.1 共轴球面系统的转面（或过渡）公式 2.3.2 共轴球面系统的拉赫不变量 2.3.3 共轴球面系统的倍率计算
第二章 球面和共轴球面系统
2.1 2.2 2.3 2.4
光经过单个折射球面的折射 单个折射球面的成像倍率、拉赫不变量 共轴球面系统 球面反射镜
2.1 光线经过单个折射球面的折射
一个物体经过特定光学系统的成像过程，实际是光线经过 光学系统各个折射面折射后的综合效果。要知道具体的成像关系， 需要逐个面进行光路计算。因此本章我们首先讨论单个折射球面 的折射成像关系的计算，然后再过渡到整个系统的计算。 本章主要讨论共轴折射球面子午面内的光路计算。
球面反射镜有二种：一为凸面镜；一为凹面镜。
1、物像位置关系式： 我们已知道折射面的物像位置关系式：
由于反射是折射的特例，是n' = − n时的情况，代入上式就可 得到： 此公式需 牢记！
2.4.2 球面反射镜的成像倍率
同样将n’=-n代入折射球面倍率计算公式，有：
由以上公式： 1、因为沿轴倍率恒为负，物体与像运动的方向相反； 2、特殊位置：当物体位于反射面球心时，像也在球心， 此时反射球面为二者的等光程面。
2.1.2 实际光线经过单个折射球面 的光路计算公式
由上面提供的公式，我们可以由已知的r，L和U求出L’和 U’。 由以上公式可知，当r，L一定的时候，L’是U的函数，所 以A点发出的同心光束，以不同的U角射到折射面再出射 时，已经不再是同心光束了，同光轴有多个不同交点，说 明成像已经不完善了，这就是所谓“球差”。 可见，球差是折射球面的原理性误差。
2.1.3 近轴光的光路计算公式
我们假设A点发出的光线与
此时的光路计算公式变为：
光轴夹角U很小，则相应的角 l r i u 度I、I’和U’都很小，那么这些 r n' l r 角度的正弦值就可以用弧度 n' u i' i n r 值来替代了，用小写字母i、i’、 n l' rr l r n' l r u u u u和u’来表示。 u' u i i' r n r i' 我们定义可以做这样近似的 l' rr u' 区域为“近轴区”或“傍轴 区”。
2.1.2 实际光线经过单个折射球面 物体位于 的光路计算公式
有限远处
已知：r，L，U 未知：L’=? U’=?
sin I sin( U ) rL r Lr 由此推出入射角I公式：sin I sin U r 三角形AEC中应用正弦定律有： n sin I n' 由图可知：＝U I U ' I ', 所以有：U ' U I I ' sin I ' sin U ' 在三角形A ' EC使用正弦定律得： L ' r r sin I ' 则像方截距为： L ' r r 书P19 公式2.1～2.4 sin U ' 再由折射定律可以求得折射角I '的公式：sin I '
2.1.3 近轴光的光路计算公式
1、
该公式表示为不变量的形式，Q称为阿贝不变量，对于一 个折射球面，物空间和像空间的Q值是相同的。 不同的共轭关系点会对应不同的Q值，在日后的像差理论 学习中有重要意义。 n ' n 2、 n ' u '- nu h r 该公式表示近轴光折射前后的孔径角u和u’之间的关系。
2.4.3 球面反射镜的拉赫不变量
同样代入n’=-n，有：
例题2.3
凹面反射镜半径为（-400）mm，物体放在 何处能成放大两倍的实像?放在何处能成放 大两倍的虚像？
练习：
现有一球面反射镜，曲率半径为 r ，请问无 穷远物体发出的光成像在什么位置处？
2.4 球面反射镜
前面指出，反射定律可认为是折射定律在n’=-n时的 特例，因此，将之前的折射球面的计算公式代以 n’=-n，可以得到相应的反射球面计算公式。 2.4.1 球面反射镜的物像位置公式 2.4.2 球面反射镜的成像倍率 2.4.3 球面反射镜的拉赫不变量
2.4.1 球面反射镜的物像位置公式
2.2.1 垂轴倍率β
定义：像的大小与物的大小比值。 其数学表示形式为：β=y' /y
近轴区有限大小的物体 经过单个折射球面的成像
从图中可见，根据三角形ABC与A’B’C相似有：
2.2.1 垂轴倍率β
又根据阿贝不变量有：
最常使用的公式 要牢记！
2.2.1 垂轴倍率β
由之前的公式，可以计算出β的具体数值， β的大小和符号 有着十分重要的意义，我们用其来判断成像的状况！
1 1 1 1 n n ' Q r l r l'
3、
n ' n n ' n - = l' l r
(高斯公式） 记
该公式表示折射球面的物像位置l和l’之间的关系，是求高 斯像面位置的公式。
2.2 单个折射球面的成像倍率、拉赫不 变量
2.2.1 垂轴倍率β 2.2.2 轴向倍率α 2.2.3 角倍率γ 2.2.4 三个倍率之间的关系 2.2.5 拉格朗日-赫姆霍兹不变量
凸球面曲率半径为正，凹球面曲率半径为负 （也可以用法则2来判断）
注意
2.1.1 符号规则
1、符号规则是人为规定的，不同的书上可 能有所不同，但是在使用时只能使用其中 一种，不能混淆。 2、在同一次光路计算当中，正方向的规定 也最好是唯一的，不建议更换方向（注意： 不要随着光线传播方向的变化而不停变 化）。
2.1.1 符号规则（重点） 2.1.2 实际光线经过单个折射球面的光路计算公式 2.1.3 近轴光的光路计算公式
2.1.1 符号规则
图中OE为n和n’的分界面（球面）；C为球心；OC为球面曲率 半径，大小为r；通过球心的直线是光轴，和球面的交点为定 点O。 OA大小为L，称为物方截距；角EAO，大小为U，称为物方孔 径角； OA’大小为L’，称为像方截距；角EA’O，大小为U’，称为像方 孔径角。
求导数
上式就是沿轴向放大倍率的表示形式，显然其形式与垂轴 放大率很相似，从而我们可以将此式再进行一下变换，得 到β , α之间的关系：
从上式可见， 2，所以有 0，意味着像与物的移动方向相同； 同时又有： ，即轴向放大率与垂轴放大率不相等，二者放大效果不同。
2.2.2 轴向倍率α
以上结论可以用于在光路计算过程中， 验证每个成像空间的计算是否正确！
2.3.3 共轴球面系统的倍率计算
对于共轴球面系统，利用转面公式很容易证明三 种倍率等于各个折射面相应倍率的乘积。
证明过程在课本P26， 请课后自行复习！
三者的关系：
例题2.2
一个玻璃棒（n=1.5）长500mm，两端为半 球面，半径分别是50mm和100mm，物体高 1mm，垂直于左端球面顶点之前200mm处的 轴线上，试求： 1）物体经过整个玻璃棒后成像的位置； 2）整个玻璃棒的垂轴放大率是多少？
4、法线与光轴的夹角（ϕ）：由光轴以锐角转向法 线，顺时针为“＋”，逆时针为“－”； 5、光线与法线的夹角（入射角I、反射角I’’、折射 角I’）：由光线以锐角转向法线， 顺时针为“＋”， 逆时针为“－”； 6、折射面之间的间隔（d）：由前一折射面的顶点 到后一折射面的顶点方向与光线的传播方向一致为 “＋”，反之为“－”。
1)
0 系统成正像，即l和l '同号，此时物和像位于折射球面的
同一侧；物和像的虚实相反：实物成虚像，虚物成实像。
0 系统成倒像，即l和l ' 异号，此时物和像位于折射球面的
的两侧；物和像的虚实相同：实物成实像，虚物成虚像。
2)
1 1 1 ＝
注意： 起点？ 终点？ 顶点？
图2-1 单个折射球面的有关参量
2.1.1 符号规则
实际计算中，仅仅了解这些参量的大小是不够的，我们 需要知道物（像）点在折射面的左右，折射面的凹凸，光线 在光轴的上下。。。等等信息，所以必须再人为给出一些符 号法则来完善这些信息。 具体规则如下：
一般规定光是自左向右传播 (基准） 1、对垂轴线段：以光轴为准，在光轴之上为“＋”，光轴之 下为“－”； 2、对沿轴线段：以折射面顶点O为原点，顶点到光线与光轴 交点的方向，与光的传播方向相同则为“＋”，反之则为 “－”； 3、光线与光轴夹角（物方孔径角为U，像方孔径角为U‘）： 由光轴转向光线，以锐角方向进行度量，顺时针为“＋”， 逆时针为“－”；
2.2.5
拉格朗日-赫姆霍兹不变量
J称为拉赫不变量，说明在一对共轭空间内，y、u 和n的乘积为常数。 J用于描述物高、像高（反映的是视场的大小）； 物方孔径角、像方孔径角（反映进入系统的能量 多少）之间关系的物理量。
例题2.1
（课后习题第一题）平凸透镜r1=100mm， r2=，d=300mm，n=1.5，当物体在-∞时候 1）求高斯像面的位置； 2）在平面上刻十字，问其共轭像在什么位 置； 3）当入射高度为h=10mm，问光线的像方 截距是多少？和高斯像面相比相差多少？ 说明什么问题？
同时我们有三个重要的推论公式： 1、 2、 3、 1 1 1 1 n n' Q r l r l' n ' n n ' u '- nu h r n ' n n ' n - = (单折射球面的高斯公式） l' l r
以上三式是我们计算单折射球面物像之间关系的基本公式
解答
2.3 共轴球面系统
单个折射球面不能作为一个基本成像元件 （反射镜例外，可以单面成像），基本成像元件 是至少两个球面或非球面所构成的透镜。大部分 透镜都由球面构成，加工方便，成本降低。
2.3.1 共轴球面系统的转面（或过渡）公式 2.3.2 共轴球面系统的拉赫不变量 2.3.3 共轴球面系统的倍率计算
第二章 球面和共轴球面系统
2.1 2.2 2.3 2.4
光经过单个折射球面的折射 单个折射球面的成像倍率、拉赫不变量 共轴球面系统 球面反射镜
2.1 光线经过单个折射球面的折射
一个物体经过特定光学系统的成像过程，实际是光线经过 光学系统各个折射面折射后的综合效果。要知道具体的成像关系， 需要逐个面进行光路计算。因此本章我们首先讨论单个折射球面 的折射成像关系的计算，然后再过渡到整个系统的计算。 本章主要讨论共轴折射球面子午面内的光路计算。
球面反射镜有二种：一为凸面镜；一为凹面镜。
1、物像位置关系式： 我们已知道折射面的物像位置关系式：
由于反射是折射的特例，是n' = − n时的情况，代入上式就可 得到： 此公式需 牢记！
2.4.2 球面反射镜的成像倍率
同样将n’=-n代入折射球面倍率计算公式，有：
由以上公式： 1、因为沿轴倍率恒为负，物体与像运动的方向相反； 2、特殊位置：当物体位于反射面球心时，像也在球心， 此时反射球面为二者的等光程面。
2.1.2 实际光线经过单个折射球面 的光路计算公式
由上面提供的公式，我们可以由已知的r，L和U求出L’和 U’。 由以上公式可知，当r，L一定的时候，L’是U的函数，所 以A点发出的同心光束，以不同的U角射到折射面再出射 时，已经不再是同心光束了，同光轴有多个不同交点，说 明成像已经不完善了，这就是所谓“球差”。 可见，球差是折射球面的原理性误差。
2.1.3 近轴光的光路计算公式
我们假设A点发出的光线与
此时的光路计算公式变为：
光轴夹角U很小，则相应的角 l r i u 度I、I’和U’都很小，那么这些 r n' l r 角度的正弦值就可以用弧度 n' u i' i n r 值来替代了，用小写字母i、i’、 n l' rr l r n' l r u u u u和u’来表示。 u' u i i' r n r i' 我们定义可以做这样近似的 l' rr u' 区域为“近轴区”或“傍轴 区”。
2.1.2 实际光线经过单个折射球面 物体位于 的光路计算公式
有限远处
已知：r，L，U 未知：L’=? U’=?
sin I sin( U ) rL r Lr 由此推出入射角I公式：sin I sin U r 三角形AEC中应用正弦定律有： n sin I n' 由图可知：＝U I U ' I ', 所以有：U ' U I I ' sin I ' sin U ' 在三角形A ' EC使用正弦定律得： L ' r r sin I ' 则像方截距为： L ' r r 书P19 公式2.1～2.4 sin U ' 再由折射定律可以求得折射角I '的公式：sin I '
2.1.3 近轴光的光路计算公式
1、
该公式表示为不变量的形式，Q称为阿贝不变量，对于一 个折射球面，物空间和像空间的Q值是相同的。 不同的共轭关系点会对应不同的Q值，在日后的像差理论 学习中有重要意义。 n ' n 2、 n ' u '- nu h r 该公式表示近轴光折射前后的孔径角u和u’之间的关系。
2.4.3 球面反射镜的拉赫不变量
同样代入n’=-n，有：
例题2.3
凹面反射镜半径为（-400）mm，物体放在 何处能成放大两倍的实像?放在何处能成放 大两倍的虚像？
练习：
现有一球面反射镜，曲率半径为 r ，请问无 穷远物体发出的光成像在什么位置处？
2.4 球面反射镜
前面指出，反射定律可认为是折射定律在n’=-n时的 特例，因此，将之前的折射球面的计算公式代以 n’=-n，可以得到相应的反射球面计算公式。 2.4.1 球面反射镜的物像位置公式 2.4.2 球面反射镜的成像倍率 2.4.3 球面反射镜的拉赫不变量
2.4.1 球面反射镜的物像位置公式
2.2.1 垂轴倍率β
定义：像的大小与物的大小比值。 其数学表示形式为：β=y' /y
近轴区有限大小的物体 经过单个折射球面的成像
从图中可见，根据三角形ABC与A’B’C相似有：
2.2.1 垂轴倍率β
又根据阿贝不变量有：
最常使用的公式 要牢记！
2.2.1 垂轴倍率β
由之前的公式，可以计算出β的具体数值， β的大小和符号 有着十分重要的意义，我们用其来判断成像的状况！
1 1 1 1 n n ' Q r l r l'
3、
n ' n n ' n - = l' l r
(高斯公式） 记
该公式表示折射球面的物像位置l和l’之间的关系，是求高 斯像面位置的公式。
2.2 单个折射球面的成像倍率、拉赫不 变量
2.2.1 垂轴倍率β 2.2.2 轴向倍率α 2.2.3 角倍率γ 2.2.4 三个倍率之间的关系 2.2.5 拉格朗日-赫姆霍兹不变量
凸球面曲率半径为正，凹球面曲率半径为负 （也可以用法则2来判断）
注意
2.1.1 符号规则
1、符号规则是人为规定的，不同的书上可 能有所不同，但是在使用时只能使用其中 一种，不能混淆。 2、在同一次光路计算当中，正方向的规定 也最好是唯一的，不建议更换方向（注意： 不要随着光线传播方向的变化而不停变 化）。
2.1.1 符号规则（重点） 2.1.2 实际光线经过单个折射球面的光路计算公式 2.1.3 近轴光的光路计算公式
2.1.1 符号规则
图中OE为n和n’的分界面（球面）；C为球心；OC为球面曲率 半径，大小为r；通过球心的直线是光轴，和球面的交点为定 点O。 OA大小为L，称为物方截距；角EAO，大小为U，称为物方孔 径角； OA’大小为L’，称为像方截距；角EA’O，大小为U’，称为像方 孔径角。
求导数
上式就是沿轴向放大倍率的表示形式，显然其形式与垂轴 放大率很相似，从而我们可以将此式再进行一下变换，得 到β , α之间的关系：
从上式可见， 2，所以有 0，意味着像与物的移动方向相同； 同时又有： ，即轴向放大率与垂轴放大率不相等，二者放大效果不同。
2.2.2 轴向倍率α
以上结论可以用于在光路计算过程中， 验证每个成像空间的计算是否正确！
2.3.3 共轴球面系统的倍率计算
对于共轴球面系统，利用转面公式很容易证明三 种倍率等于各个折射面相应倍率的乘积。
证明过程在课本P26， 请课后自行复习！
三者的关系：
例题2.2
一个玻璃棒（n=1.5）长500mm，两端为半 球面，半径分别是50mm和100mm，物体高 1mm，垂直于左端球面顶点之前200mm处的 轴线上，试求： 1）物体经过整个玻璃棒后成像的位置； 2）整个玻璃棒的垂轴放大率是多少？
4、法线与光轴的夹角（ϕ）：由光轴以锐角转向法 线，顺时针为“＋”，逆时针为“－”； 5、光线与法线的夹角（入射角I、反射角I’’、折射 角I’）：由光线以锐角转向法线， 顺时针为“＋”， 逆时针为“－”； 6、折射面之间的间隔（d）：由前一折射面的顶点 到后一折射面的顶点方向与光线的传播方向一致为 “＋”，反之为“－”。