人教A版数学选修2-2 学业质量标准检测2
高中数学人教A版选修2-2综合检测二.docx
综合检测(二)一、选择题1．“金导电、银导电、铜导电、锡导电，所以一切金属都导电”．此推理方法是() A．完全归纳推理B．归纳推理C．类比推理D．演绎推理2．复数21－i等于() A．1＋i B．1－iC．－1＋i D．－1－i3．设f(x)＝10x＋lg x，则f′(1)等于()A．10 B．10ln 10＋lg eC.10ln 10＋ln 10 D．11ln 104．若大前提：任何实数的平方都大于0，小前提：a∈R，结论：a2>0，那么这个演绎推理出错在() A．大前提B．小前提C．推理形式D．没有出错5．观察下列数表规律2→36→710→11↑↓↑↓↑↓0→1 4→58→912→…则数2 007的箭头方向是() A．2 007→B．↓↑ 2 007→C ．↑D ．→2 007→2 007 ↓6． 函数f (x )＝x 3－ax 2－bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则a ，b 的值为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3b ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4b ＝11 B.⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4b ＝11 C.⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝5D ．以上都不对7． 给出下列命题：①ʃa b d x ＝ʃba d t ＝b －a (a ，b 为常数且a <b )； ②ʃ0－1x 2d x ＝ʃ10x 2d x ；③曲线y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与直线y ＝0围成的两个封闭区域面积之和为2， 其中正确命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．38． 用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >12(n >1，n ∈N *)的过程中，从n ＝k 到n ＝k ＋1时左边需增加的代数式是( )A.12k ＋2B.12k ＋1－12k ＋2C.12k ＋1＋12k ＋2D.12k ＋19． 已知结论：“在正三角形ABC 中，若D 是BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则AG GD＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体A —BCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等，则AO OM 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．410．曲线y ＝e 12x 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.92e 2 B ．4e 2 C ．2e 2D ．e 211．设x ，y ，z 都是正数，则三个数x ＋1y ，y ＋1z ，z ＋1x的值( )A ．都小于2B ．至少有一个不大于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于2二、填空题12．若复数z 满足z (1＋i)＝1－i(i 是虚数单位)，则其共轭复数z ＝________.13．通过类比长方形，由命题“周长为定值l 的长方形中，正方形的面积最大，最大值为l 216”，可猜想关于长方体的相应命题为______________________________________ ________________________________________________________________________. 14．某物体做直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋3t(t 的单位是秒，s 的单位是米)，则它在4秒末的瞬时速度为________．15．如图所示的数阵中，第20行第2个数字是________．1 12 12 13 14 13 14 17 17 14 15 111 111 111 15三、解答题16．已知复数z 1＝2－3i ，z 2＝15－5i(2＋i )2. 求：(1)z 1＋z 2；(2)z 1·z 2；(3)z 1z 2.17．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤0，cos x －1，x >0，试求ʃπ2－1f (x )d x .18．已知a ，b ，c >0，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1)a 2＋b 2＋c 2≥13；(2)a ＋b ＋c ≤ 3.19．如图，已知平面α∩平面β＝直线a ，直线b ⊂α，直线c ⊂β，b ∩a ＝A ，c ∥a .求证：b 与c 是异面直线．20．已知函数f (x )＝4ln(x －1)＋12x 2－(m ＋2)x ＋32－m (m 为常数)，(1)当m ＝4时，求函数的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )有两个极值点，求实数m 的取值范围．21．是否存在常数a ，b ，使等式121×3＋223×5＋…＋n 2(2n －1)(2n ＋1)＝an 2＋n bn ＋2对一切n ∈N ＋都成立？若不存在，说明理由；若存在，请用数学归纳法证明．答案1．B 2．A 3．B 4．A 5．D 6．B 7．B 8．B 9．C 10．D 11．C 12．i13．表面积为定值S 的长方体中，正方体的体积最大，最大值为(S 6)3214.12516米/秒 15.119116．解 z 2＝15－5i (2＋i )2＝15－5i 3＋4i ＝5(3－i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝5－15i5＝1－3i.(1)z 1＋z 2＝(2－3i)＋(1＋3i)＝3.(2)z 1·z 2＝(2－3i)(1－3i)＝2－9－9i ＝－7－9i. (3)z 1z 2＝2－3i 1－3i ＝(2－3i )(1＋3i )(1－3i )(1＋3i )＝2＋9＋3i 10＝1110＋310i. 17．解 ʃπ2－1f (x )d x ＝ʃ0－1f (x )d x ＋ʃπ20f (x )d x ＝ʃ0－1x 2d x ＋ʃπ20(cos x －1)d x ＝13x 3|0－1＋(sin x －x )|π20 ＝13＋1－π2＝43－π2. 18．证明 (1)∵a 2＋19≥23a ，b 2＋19≥23b ，c 2＋19≥23c ，∴(a 2＋19)＋(b 2＋19)＋(c 2＋19)≥23a ＋23b ＋23c ＝23. ∴a 2＋b 2＋c 2≥13.(2)∵a ·13≤a ＋132， b ·13≤b ＋132，c ·13≤c ＋132， 三式相加得a 3＋b 3＋c 3≤12(a ＋b ＋c )＋12＝1，∴a ＋b ＋c ≤ 3.19．证明 假设b ，c 不是异面直线，即b 与c 共面，设b 与c 确定的平面为γ，则γ∩α＝b ，γ∩β＝c . ∵a ∥c ，∴a ∥γ.又∵a ⊂α，且α∩γ＝b ，∴a ∥b ，这与a ∩b ＝A 矛盾． 因此b 与c 不可能共面，故b 与c 是异面直线． 20．解 依题意得，函数的定义域为(1，＋∞)．(1)当m ＝4时，f (x )＝4ln(x －1)＋12x 2－6x －52.f ′(x )＝4x －1＋x －6＝x 2－7x ＋10x －1＝(x －2)(x －5)x －1.令f ′(x )>0，解得x >5，或1<x <2. 令f ′(x )<0，解得2<x <5.可知函数f (x )的单调递增区间为(1,2)和(5，＋∞)，单调递减区间为(2,5)． (2)f ′(x )＝4x －1＋x －(m ＋2)＝x 2－(m ＋3)x ＋m ＋6x －1若函数y ＝f (x )有两个极值点，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝[－(m ＋3)]2－4(m ＋6)>0，1－(m ＋3)＋m ＋6>0，m ＋32>1.解得m >3.21．解 若存在常数a ，b 使等式成立，则将n ＝1，n ＝2代入上式，有⎩⎪⎨⎪⎧13＝a ＋1b ＋2，13＋415＝4a ＋22b ＋2.得a ＝1，b ＝4，即有121×3＋223×5＋…＋n 2(2n －1)(2n ＋1)＝n 2＋n 4n ＋2对于一切n ∈N ＋都成立． 证明如下：(1)当n ＝1时，左边＝121×3＝13，右边＝1＋14×1＋2＝13，所以等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥1，且k ∈N ＋)时等式成立，即 121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1) ＝k 2＋k 4k ＋2， 当n ＝k ＋1时，121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3) ＝k 2＋k 4k ＋2＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3) ＝k ＋12k ＋1·(k 2＋k ＋12k ＋3) ＝k ＋12k ＋1·2k 2＋5k ＋22(2k ＋3) ＝k ＋12k ＋1·(2k ＋1)(k ＋2)2(2k ＋3) ＝(k ＋1)(k ＋2)4k ＋6＝(k ＋1)2＋(k ＋1)4(k ＋1)＋2，也就是说，当n ＝k ＋1时，等式成立， 综上所述，等式对任何n ∈N ＋都成立．。
2019-2020学年高中数学人教A版选修2-2学业测评：2.2.2 反证法 Word版含解析
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．实数a，b，c不全为0等价于( )A．a，b，c均不为0B．a，b，c中至多有一个为0C．a，b，c中至少有一个为0D．a，b，c中至少有一个不为0【解析】“不全为0”的对立面为“全为0”，故“不全为0”的含义为“至少有一个不为0”．【答案】 D2．(2014·山东高考)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根【解析】依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，直接写出命题的否定．方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故应选A.【答案】 A3．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为( )A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线【解析】假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线，故应选C.【答案】 C4．设a，b，c大于0，则3个数：a＋1b，b＋1c，c＋1a的值( ) 【导学号：60030059】A．都大于2 B．至少有一个不大于2 C．都小于2 D．至少有一个不小于2【解析】 假设a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a 三个数都小于2，则必有a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a <6，而⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c ≥2a·1a ＋2b·1b ＋2c·1c ＝6，故二者相矛盾．所以假设不成立．【答案】 D5．用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是( )A ．有两个内角是钝角B ．有三个内角是钝角C ．至少有两个内角是钝角D ．没有一个内角是钝角【解析】 “最多只有一个”的否定是“至少有两个”，故选C.【答案】 C二、填空题6．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是___________________________________________________________．【解析】 “至少有一个”的否定是“一个也没有”，故结论的否定是：没有一个面是三角形或四边形或五边形．【答案】 没有一个面是三角形或四边形或五边形7．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b ＝1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2. 其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是________(填序号)．【解析】 假设a ，b 均不大于1，即a ≤1，b ≤1.则①②④均有可能成立，故①②④不能推出“a ，b 中至少有一个大于1”，故选③.【答案】 ③8．(2016·开原模拟)如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2分别是________．(填三角形的种类)【解析】 由条件知，△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形，假设△A 2B 2C 2是锐角三角形．由⎩⎪⎨⎪⎧ sin A2＝cos A1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A1，sin B2＝cos B1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B1，sin C2＝cos C1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C1， 得⎩⎪⎨⎪⎧ A2＝π2－A1，B2＝π2－B1，C2＝π2－C1.那么，A 2＋B 2＋C 2＝π2，这与三角形内角和为180°相矛盾．所以假设不成立，又显然△A 2B 2C 2不是直角三角形，所以△A 2B 2C 2是钝角三角形．【答案】 锐角三角形，纯角三角形三、解答题9．已知f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)，证明：方程f (x )＝0没有负数根．【证明】 假设x 0是f (x )＝0的负数根，则x 0<0且x 0≠－1且ax 0＝－x0－2x0＋1， 由0<ax 0<1⇒0<－x0－2x0＋1<1， 解得12<x 0<2，这与x 0<0矛盾，所以假设不成立，故方程f (x )＝0没有负数根．10．已知a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝0，abc ＝1，求证：a ，b ，c 中至少有一个大于32.【证明】 假设a ，b ，c 都小于等于32，即a ≤32，b ≤32，c ≤32.∵abc ＝1，∴a ，b ，c 三数同为正或一正两负．又a ＋b ＋c ＝0，∴a ，b ，c 只能是一正两负，不妨设a ＞0，b ＜0，c ＜0.则b ＋c ＝－a ，bc ＝1a ，∴b ，c 为方程x 2＋ax ＋1a ＝0的两根，∴Δ＝a 2－4a ≥0，即a 3≥4.∴a ≥ 34＞3278＝32，这与a ≤32矛盾，∴a ，b ，c 中至少有一个大于32.[能力提升]1．下列命题运用“反证法”证明正确的是( )A ．命题：若a >b >0，则a >b .用反证法证明：假设a >b 不成立，则a <b .若a <b ，则a <b ，与已知a >b 矛盾．故假设不成立，结论a>b 成立B ．命题：已知二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c∈R ，且a ≠0)有实根，求证：Δ＝b 2－4ac ≥0.用反证法证明：假设Δ＝b 2－4ac <0，则ax 2＋bx ＋c ＝0无实根，与已知方程有实根矛盾，∴Δ≥0C ．命题：已知实数p 满足不等式(2p ＋1)(p ＋2)<0，证明：关于x 的方程x 2－2x ＋5－p 2＝0无实数根．用反证法证明：假设方程x 2－2x ＋5－p 2＝0有实数根，由已知实数p 满足不等式(2p ＋1)(p ＋2)<0，解得－2<p <－12，而关于x 的方程x 2－2x ＋5－p 2＝0的根的判别式Δ＝4(p 2－4)，∵－2<p <－12，∴14<p 2<4，∴Δ<0，即关于x 的方程x 2－2x ＋5－p 2＝0无实数根D ．命题：已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b∈R .“若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0”．用反证法证明：假设a ＋b <0，则a <－b ，b <－a .∵f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，则f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )，∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )．这与已知相矛盾．∴原命题成立【解析】 A ．反证法中的反证不全面，“a>b ”的否定应为“a ≤b ”．B ．本题犯了“循环论证”的错误，实质上没有求出该题．C．在解题的过程中并没有用到假设的结论，故不是反证法．【答案】 D2．设a，b，c均为正实数，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是“P，Q，R同时大于0”的( ) 【导学号：60030060】A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】首先，若P，Q，R同时大于0，则必有PQR>0成立．其次，若PQR>0，且P，Q，R不都大于0，则必有两个为负，不妨设P<0，Q<0，即a＋b－c<0，b＋c－a<0，所以b<0，与b>0矛盾．故P，Q，R都大于0.【答案】 C3．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误；②所以一个三角形不能有两个直角；③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.上述步骤的正确顺序为__________．【解析】由反证法证明数学命题的步骤可知，上述步骤的顺序应为③①②.【答案】③①②4．已知函数f(x)＝x22x－2，如果数列{a n}满足a1＝4，a n＋1＝f(a n)，求证：当n≥2时，恒有a n<3成立．【证明】假设a n≥3(n≥2)，则由已知得a n＋1＝f(a n)＝a2n2an－2，所以当n≥2时，an＋1an＝an2an－2＝12·⎝⎛⎭⎪⎫1＋1an－1≤12⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＝34＜1(因为a n－1≥3－1)，又易证a n>0，所以当n≥2时，a n＋1<a n，所以当n＞2时，a n<a n－1<…<a2；而当n＝2时，a2＝a212a1－2＝168－2＝83＜3，所以当n≥2时，a n<3；这与假设矛盾，故假设不成立，所以当n≥2时，恒有a n<3成立.。
2019-2020学年同步人教A版高中数学选修2-2培优阶段质量检测(二) Word版含解析
姓名，年级：时间：阶段质量检测（二）(时间：120分钟满分：150分）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1．用反证法证明命题：“已知a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根"时，要做的假设是（)A．方程x2＋ax＋b＝0没有实根B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析：选A 反证法的步骤第一步是假设命题反面成立，而“方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”的反面是“方程x2＋ax＋b＝0没有实根”，故选A.2．观察下列各等式：22－4＋66－4＝2,55－4＋33－4＝2,错误!＋错误!＝2，错误!＋错误!＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( ）A．错误!＋错误!＝2 B．错误!＋错误!＝2C．错误!＋错误!＝2 D．错误!＋错误!＝2解析:选A 观察分子中2＋6＝5＋3＝7＋1＝10＋（－2）＝8.3．观察下面图形的规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )A．■B．△C．□D．○解析：选A 由每一行中图形的形状及黑色图形的个数，则知A正确．4．观察下列各式:3错误!＝22×3错误!，3错误!＝32×3错误!，3错误!＝42×3错误!，……,若3错误!＝92×3错误!,则m＝（）A．80 B．81 C．728 D．729解析：选C 3错误!＝22×3错误!＝22×3错误!，3错误!＝32×3错误!＝32×3错误!，3错误!＝42×3错误!＝42×3错误!,…，所以3错误!＝n2×3错误!，所以3错误!＝92×3错误!＝92×3错误!,所以m＝93－1＝729－1＝728，故选C。
人教A版数学选修2-2阶段质量检测(二) A卷 Word版含解析
阶段质量检测（二）(卷学业水平达标)(时间分钟，满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分)．观察下列各等式：＋＝，＋＝，＋＝，＋＝，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( )＋＝＋＝＋＝＋＝解析：选观察分子中＋＝＋＝＋＝＋(－)＝.．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是( )①＝ (∈)是三角函数；②三角函数是周期函数；③＝ (∈)是周期函数．．①②③．②①③．②③①．③②①解析：选按“三段论”的模式，排列顺序正确的是②①③.．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个面．”( )．各正三角形内一点．各正三角形的某高线上的点．各正三角形的中心．各正三角形外的某点解析：选正三角形的边对应正四面体的面，边的中点对应正四面体的面正三角形的中心．．(山东高考)用反证法证明命题“设，为实数，则方程＋＋＝至少有一个实根”时，要做的假设是()．方程＋＋＝没有实根．方程＋＋＝至多有一个实根．方程＋＋＝至多有两个实根．方程＋＋＝恰好有两个实根解析：选因为“方程＋＋＝至少有一个实根”等价于“方程＋＋＝的实根的个数大于或等于”，因此，要做的假设是“方程＋＋＝没有实根”．．将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：( )①·＝·；②(·)·＝·(·)；③·(＋)＝·＋·；④由·＝·(≠)，可得＝.则正确的结论有( )．个．个．个．个解析：选平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律，不满足结合律，故①③正确，②错误；由·＝·(≠)得·(－)＝，从而－＝或⊥(－)，故④错误．．用数学归纳法证明(＋)(＋)(＋)…(＋)＝···…·(－)(∈*)时，从＝到＝＋时，左边需增乘的代数式是( )．＋．(＋)解析：选增乘的代数式为＝(＋)．．已知，∈，＝，＝－＋，则下列结论正确的是( )．≤．≥．>．<解析：选＝＝＝≤＝，＝－＋＝＋≥，所以≥，故选.．用火柴棒摆“金鱼”，如下图所示：按照上面的规律，第个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为( )．－．－．＋．＋解析：选归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为，公差是的等差数列，通项公式为＝＋.．观察下列各式：＋＝，＋＝，＋＝，＋＝，＋＝，…，则＋等于( )．．．．解析：选记＋＝()，则()＝()＋()＝＋＝；()＝()＋()＝＋＝；()＝()＋()＝.通过观察不难发现()＝(－)＋(－)(∈*，≥)，则()＝()＋()＝；()＝()＋()＝；()＝()＋()＝；()＝()＋()＝；()＝()＋()＝.所以＋＝.．数列{}满足＝，＋＝－，则等于( ).－．．解析：选∵＝，＋＝－，。
(人教版)高中数学选修2-2检测章末质量评估2 Word版含答案
第二章一、选择题(本大题共小题．每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．“π是无限不循环小数，所以π是无理数”．以上推理的大前提是( )．实数分为有理数和无理数．π不是有理数．无理数都是无限不循环小数．有理数都是有限循环小数解析：演绎推理的结论是蕴含于前提之中的特殊事实，本题中由小前提及结论知选.答案：．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数，，中至少有一个偶数．”正确的反设为( )．，，中至少有两个偶数．，，都是奇数．，，中至少有两个偶数或都是奇数．，，都是偶数解析：“至少有一个”的反面是“一个也没有”，∴“，，中至少有一个是偶数”应反设为：，，都是奇数．答案：．某个命题与正整数有关，如果当＝(∈*)时，该命题成立，那么可推得当＝＋时命题也成立．现在已知当＝时，该命题不成立，那么可推得( )．当＝时该命题不成立．当＝时该命题成立．当＝时该命题不成立．当＝时该命题成立解析：依题意，若＝时该命题成立，则＝时该命题成立；而＝时该命题不成立，却无法判断＝时该命题成立还是不成立，故选.答案：．下列表述正确的是( )①归纳推理是由特殊到一般的推理；②演绎推理是由一般到特殊的推理；③类比推理是由特殊到一般的推理；④分析法是一种间接证明法；⑤若∈，且＋－＝，则－－的最小值是.．①②③④．②③④．①②④⑤．①②⑤解析：归纳推理是由部分到整体、特殊到一般的推理，故①正确；演绎推理是由一般到特殊的推理，故②正确；类比推理是由特殊到特殊的推理，故③错误；分析法是一种直接证明法，故④错误；＋－＝表示复平面上的点到(－)的距离为的圆，－－就是圆上的点，到()的距离的最小值，就是圆心到()的距离减去半径，即：－(－)－＝，故⑤正确．故选.答案：．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为( )．－．－．＋．＋解析：归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为，公差是的等差数列，通项公式为＝＋.答案：．将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：①·＝·；②(·)·＝·(·)；③·(＋)＝·＋·；④由·＝·(≠)可得＝，则正确的结论有( )．个．个．个．个解析：平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律，不满足结合律，故①③正确，②错误；由·＝·(≠)得·(－)＝，从而－＝或⊥(－)，故④错误．答案：．观察下列各式：＋＝，＋＝，＋＝，＋＝，＋＝，…，则＋＝( )．．．．解析：记＋＝()，则()＝()＋()＝＋＝；()＝()＋()＝＋＝；()＝()＋()＝.通过观察不难发现()＝(－)＋(－)(∈*，≥)，则()＝()＋()＝；()＝()＋()＝；()＝()＋()＝；()＝()＋()＝；()＝()＋()＝.所以＋＝.答案：．数列{}满足＝，＋＝－，则等于( )。
2019-2020学年人教A版数学选修2-2阶段质量检测(二) A卷 Word版含解析
阶段质量检测（二）(A卷学业水平达标)(时间120分钟，满分150分) 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．观察下列各等式：22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( )A.nn－4＋错误!＝2 B.错误!＋错误!＝2C.nn－4＋错误!＝2D.错误!＋错误!＝2解析：选A观察分子中2＋6＝5＋3＝7＋1＝10＋(－2)＝8.2．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是( )①y＝cos x(x∈R)是三角函数；②三角函数是周期函数；③y＝cos x(x∈R)是周期函数．A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①解析：选B按“三段论”的模式，排列顺序正确的是②①③.3．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个面________．”( )A．各正三角形内一点B．各正三角形的某高线上的点C．各正三角形的中心D．各正三角形外的某点解析：选C正三角形的边对应正四面体的面，边的中点对应正四面体的面正三角形的中心．4．(山东高考)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( ) A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析：选A因为“方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”等价于“方程x3＋ax＋b＝0的实根的个数大于或等于1”，因此，要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”．5．将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：( ) ①a·b ＝b·a ；②(a·b )·c ＝a·(b·c )；③a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c ；④由a·b ＝a·c (a ≠0)，可得b ＝c . 则正确的结论有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选B 平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律，不满足结合律，故①③正确，②错误；由a·b ＝a·c (a ≠0)得a·(b －c)＝0，从而b －c ＝0或a ⊥(b －c)，故④错误．6．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N *)时，从n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边需增乘的代数式是( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1D.2k ＋3k ＋1解析：选B 增乘的代数式为错误!＝2(2k ＋1)．7．已知a ，b ∈R ，m ＝6a 36a ＋1＋1，n ＝13b 2－b ＋56，则下列结论正确的是( )A ．m ≤nB ．m ≥nC ．m >nD ．m <n解析：选A m ＝6a36a ＋1＋1＝6a62a ＋2＋1＝1626a ＋6－a ≤1262＝112，n ＝13b 2－b ＋56＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫b －322＋112≥112，所以n ≥m ，故选A. 8．用火柴棒摆“金鱼”，如下图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为( ) A ．6n －2 B ．8n －2 C ．6n ＋2 D ．8n ＋2解析：选C归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，通项公式为a n ＝6n ＋2.9．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10等于( )A ．28B ．76C ．123D ．199解析：选C记a n ＋b n ＝f (n )，则f (3)＝f (1)＋f (2)＝1＋3＝4；f (4)＝f (2)＋f (3)＝3＋4＝7；f (5)＝f (3)＋f (4)＝11.通过观察不难发现f (n )＝f (n －1)＋f (n －2)(n ∈N *，n ≥3)，则f (6)＝f (4)＋f (5)＝18；f (7)＝f (5)＋f (6)＝29；f (8)＝f (6)＋f (7)＝47；f (9)＝f (7)＋f (8)＝76；f (10)＝f (8)＋f (9)＝123.所以a 10＋b 10＝123.10．数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝1－1an ，则a 2 017等于( )A.12 B.－1 C ．2D ．3解析：选A ∵a 1＝12，a n ＋1＝1－1an，∴a 2＝1－1a1＝－1，a 3＝1－1a2＝2，a 4＝1－1a3＝12，a 5＝1－1a4＝－1，a 6＝1－1a5＝2，∴a n ＋3k ＝a n (n ∈N *，k ∈N *)， ∴a 2 017＝a 1＋3×672＝a 1＝12.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 11．设函数f (x )＝12x ＋2，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得S ＝f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为________．解析：∵f (x )＝12x ＋2，f (1－x )＝121－x ＋2＝2x 2＋2·2x＝12·2x2＋2x. ∴f (x )＋f (1－x )＝1＋12·2x 2＋2x＝22，发现f (x )＋f (1－x )正好是一个定值，∴2S ＝22×12，∴S ＝32.答案：3212．已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，若6＋ab＝6a b(a ，b 均为实数)，请推测a ＝________，b ＝________.解析：由前面三个等式，推测归纳被平方数的整数与分数的关系，发现规律，由三个等式知，整数和这个分数的分子相同，而分母是这个分子的平方减1，由此推测 6＋ab中：a ＝6，b ＝62－1＝35，即a ＝6，b ＝35.答案：6 3513．若定义在区间D 上的函数f (x )对于D 上的n 个值x 1，x 2，…，x n ，总满足1n[f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )]≤f ⎝⎛⎭⎪⎫x1＋x2＋…＋xn n ，称函数f (x )为D 上的凸函数．现已知f (x )＝sin x 在(0，π)上是凸函数，则△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________．解析：因为f (x )＝sin x 在(0，π)上是凸函数(小前提)， 所以13(sin A ＋sin B ＋sin C )≤sin A ＋B ＋C3(结论)，即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332.因此sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是332.答案：33214．观察下图：12 3 4 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 10 …则第________行的各数之和等于2 0152.解析：观察知，图中的第n 行各数构成一个首项为n ，公差为1，共2n －1项的等差数列，其各项和为 S n ＝(2n －1)n ＋错误!＝(2n －1)n ＋(2n －1)·(n －1)＝(2n －1)2， 令(2n －1)2＝2 0152，得2n －1＝2 015，解得n ＝1 008. 答案：1 008三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或运算步骤．) 15．(本小题满分12分)观察：①sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝34；②sin 26°＋cos 236°＋sin 6°cos36°＝34. 由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？证明你的猜想． 解：猜想：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α) ＝1－cos 2α2＋错误!＋错误![sin(30°＋2α)＋sin(－30°)]＝1＋错误!＋错误!sin(2α＋30°)－错误!＝34＋12[cos 60°cos 2α－sin 60°sin 2α－cos 2α]＋12sin(2α＋30°) ＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12cos 2α＋32sin 2α＋12sin(2α＋30°) ＝34－12sin(2α＋30°)＋12sin(2α＋30°)＝34， 即sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝34.16．(本小题满分12分)已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且其中任意两边长均不相等，若1a，1b，1c成等差数列．(1)比较b a 与c b的大小，并证明你的结论；(2)求证：角B 不可能是钝角． 解：(1)b a ＜c b.证明如下：要证b a＜c b，只需证b a ＜cb.∵a ，b ，c ＞0，∴只需证b 2＜ac . ∵1a ，1b ，1c 成等差数列， ∴2b ＝1a ＋1c≥2 1ac，∴b 2≤ac . 又∵a ，b ，c 均不相等，∴b 2＜ac ， 故所得大小关系正确．(2)证明：法一：假设角B 是钝角，则cos B ＜0. 由余弦定理得，cos B ＝a2＋c2－b22ac ≥2ac －b22ac ＞ac －b22ac ＞0，这与cos B ＜0矛盾，故假设不成立， 所以角B 不可能是钝角．法二：假设角B 是钝角，则角B 的对边b 为最大边，即b ＞a ，b ＞c ，所以1a ＞1b ＞0，1c ＞1b ＞0，则1a ＋1c ＞1b ＋1b ＝2b ，这与1a ＋1c ＝2b矛盾，故假设不成立， 所以角B 不可能是钝角．17．(本小题满分12分)先解答(1)，再通过结构类比解答(2)： (1)求证：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1＋tan x1－tan x.(2)设x ∈R ，a 为非零常数，且f (x ＋a )＝错误!，试问：f (x )是周期函数吗？证明你的结论．解：(1)根据两角和的正切公式得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝tan x ＋tanπ41－tan xtanπ4＝tan x ＋11－tan x ＝1＋tan x 1－tan x， 即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1＋tan x 1－tan x ，命题得证．(2)猜想f (x )是以4a 为周期的周期函数．证明：因为f (x ＋2a )＝f ((x ＋a )＋a )＝错误!＝错误!＝－错误!， 所以f (x ＋4a )＝f ((x ＋2a )＋2a )＝－错误!＝f (x )．所以f(x)是以4a为周期的周期函数．18．(本小题满分14分)在各项为正的数列{a n}中，数列的前n项和S n满足S n＝12⎝⎛⎭⎪⎫an＋1an.(1)求a1，a2，a3；(2)由(1)猜想到数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．解：(1)S1＝a1＝12⎝⎛⎭⎪⎫a1＋1a1，得a21＝1，因为a n＞0，所以a1＝1.S2＝a1＋a2＝12⎝⎛⎭⎪⎫a2＋1a2，得a2＋2a2－1＝0，所以a2＝2－1.S3＝a1＋a2＋a3＝12⎝⎛⎭⎪⎫a3＋1a3，得a23＋22a3－1＝0，所以a3＝3－2.(2)猜想a n＝n－n－1(n∈N*)．证明如下：①n＝1时，a1＝1－0＝1，命题成立．②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，a k＝k－k－1成立，则n＝k＋1时，a k＋1＝S k＋1－S k＝12⎝⎛⎭⎪⎫ak＋1＋1ak＋1－12⎝⎛⎭⎪⎫ak＋1ak，即a k＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫ak＋1＋1ak＋1－12k－k－1＋1k－k－1＝12⎝⎛⎭⎪⎫ak＋1＋1ak＋1－k，所以a2k＋1＋2k a k＋1－1＝0，所以a k＋1＝k＋1－k，则n＝k＋1时，命题成立．由①②知，n∈N*，a n＝n－n－1.。
人教A版选修2-2 全册质量评估检测
选修2－2 全册质量评估检测时间：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数⎝ ⎛⎭⎪⎫3－i 1＋i 2＝( ) A ．－3－4i B ．－3＋4iC ．3－4iD ．3＋4i解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫3－i 1＋i 2＝8－6i 2i ＝－3－4i. 答案：A2．函数y ＝(sin x 2)3的导数是( )A ．y ′＝3x sin x 2·sin2x 2B ．y ′＝3(sin x 2)2C ．y ′＝3(sin x 2)2cos x 2D ．y ′＝6sin x 2cos x 2解析：y ′＝[(sin x 2)3]′＝3(sin x 2)2·(sin x 2)′＝3(sin x 2)2·cos x 2·2x ＝3×2sin x 2·cos x 2·x ·sin x 2＝3x ·sin x 2·sin2x 2，故选A.答案：A3．设函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f (x )＝x 2＋2x ·f ′(1)．则f ′(0)等于( )A ．0B ．－4C ．－2D ．2解析：因为f (x )＝x 2＋2x ·f ′(1)，所以f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，f ′(0)＝2f ′(1)．因为f ′(1)＝2＋2f ′(1)，所以f ′(1)＝－2，故f ′(0)＝－4.答案：B4．下面几种推理中是演绎推理的为( )A ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电B ．猜想数列11×2，12×3，13×4，…的通项公式为a n ＝1n (n ＋1)(n ∈N ＋) C ．半径为r 的圆的面积S ＝πr 2，则单位圆的面积S ＝πD ．由平面直角坐标系中圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，推测空间直角坐标系中球的方程为(x －a )2＋(y －b )2＋(z －c )2＝r 2答案：C5．观察下列等式，13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，根据上述规律，13＋23＋33＋43＋53＋63＝( )A ．192B ．202C ．212D ．222解析：归纳得13＋23＋33＋43＋53＋63＝()1＋2＋…＋62＝212.答案：C6．已知函数f (x )＝a sin2x －13sin3x (a 为常数)在x ＝π3处取得极值，则a 等于( ) A ．0 B ．1C.12 D ．－12解析：因为f ′(x )＝2a cos2x －cos3x ，。
2017-2018学年人教A版数学选修2-2模块综合检测(二)含解析
模块综合检测(二)（时间120分钟，满分150分）一、选择题(本大题共10小题,每小题5分，共50分)1．（辽宁高考)设复数z满足（z－2i)(2－i）＝5，则z＝（）A．2＋3i B．2－3iC．3＋2i D．3－2i解析：选A z＝错误!＋2i＝错误!＋2i＝2＋i＋2i＝2＋3i.2．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r,则r＝错误!；类比这个结论可知:四面体PABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为r，四面体PABC的体积为V，则r＝（）A.错误!B。
错误!C.错误!D.错误!解析:选C 将△ABC的三条边长a，b，c类比到四面体PABC 的四个面面积S1,S2，S3,S4,将三角形面积公式中系数错误!，类比到三棱锥体积公式中系数错误!，从而可知选C。
证明如下：以四面体各面为底，内切球心O为顶点的各三棱锥体积的和为V，∴V＝错误!S1r＋错误! S2r＋错误!S3r＋错误!S4r，∴r＝错误!.3．三段论：“①所有的中国人都坚强不屈;②雅安人是中国人;③雅安人一定坚强不屈"中,其中“大前提”和“小前提”分别是（)A．①②B．①③C．②③D．②①解析:选A 解本题的关键是透彻理解三段论推理的形式和实质：大前提是一个“一般性的命题(①所有的中国人都坚强不屈）”，小前提是“这个特殊事例是否满足一般性命题的条件(②雅安人是中国人)"，结论是“这个特殊事例是否具有一般性命题的结论（③雅安人一定坚强不屈）”．故选A.4．设函数f（x）＝x m＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则错误!错误!f(－x）d x的值等于（)A。
错误! B.错误!C。
错误!D。
错误!解析：选A 由于f(x）＝x m＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，所以f（x)＝x2＋x,于是错误!错误!f（－x)d x＝错误!错误!（x2－x)d x＝错误!错误!＝错误!.5．在数列{a n}中，a1＝错误!,且S n＝n（2n－1)a n,通过求a2，a3，a4,猜想a n的表达式为( )A。
高中数学人教A版选修2-2：阶段质量检测(二) 推理与证明 Word版含解析
阶段质量检测（二）推理与证明(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．根据偶函数定义可推得“函数f(x)＝x2在R上是偶函数”的推理过程是()A．归纳推理B．类比推理C．演绎推理D．非以上答案解析：选C根据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理，故选C.2．自然数是整数，4是自然数，所以4是整数．以上三段论推理()A．正确B．推理形式不正确C．两个“自然数”概念不一致D．“两个整数”概念不一致解析：选A三段论中的大前提、小前提及推理形式都是正确的．3．设a，b，c都是非零实数，则关于a，bc，ac，－b四个数，有以下说法：①四个数可能都是正数；②四个数可能都是负数；③四个数中既有正数又有负数．则说法中正确的个数有()A．0 B．1C．2 D．3解析：选B可用反证法推出①，②不正确，因此③正确．4．下列推理正确的是()A．把a(b＋c)与log a(x＋y)类比，则有log a(x＋y)＝log a x＋log a yB．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sin x＋sin yC．把a(b＋c)与a x＋y类比，则有a x＋y＝a x＋a yD．把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则有(xy)z＝x(yz)解析：选D(xy)z＝x(yz)是乘法的结合律，正确．5．已知f(x＋1)＝2f(x)f(x)＋2，f(1)＝1(x∈N*)，猜想f(x)的表达式为()A．f(x)＝42x＋2B．f(x)＝2x＋1C．f(x)＝1x＋1D．f(x)＝22x＋1解析：选B f (2)＝22＋1，f (3)＝23＋1，f (4)＝24＋1，猜想f (x )＝2x ＋1.6．求证：2＋3> 5.证明：因为2＋3和5都是正数， 所以为了证明2＋3>5，只需证明(2＋3)2>(5)2，展开得5＋26>5，即26>0，此式显然成立，所以不等式2＋3>5成立． 上述证明过程应用了( ) A ．综合法 B ．分析法C ．综合法、分析法配合使用D ．间接证法解析：选B 证明过程中的“为了证明……”，“只需证明……”这样的语句是分析法所特有的，是分析法的证明模式．7．已知{b n }为等比数列，b 5＝2，则b 1b 2b 3…b 9＝29.若{a n }为等差数列，a 5＝2，则{a n }的类似结论为( )A ．a 1a 2a 3…a 9＝29B ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝29C ．a 1a 2…a 9＝2×9D ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝2×9解析：选D 由等差数列性质，有a 1＋a 9＝a 2＋a 8＝…＝2a 5.易知D 成立． 8．若数列{a n }是等比数列，则数列{a n ＋a n ＋1}( ) A ．一定是等比数列 B ．一定是等差数列C ．可能是等比数列也可能是等差数列D ．一定不是等比数列解析：选C 设等比数列{a n }的公比为q ，则a n ＋a n ＋1＝a n (1＋q )．∴当q ≠－1时，{a n＋a n ＋1}一定是等比数列；当q ＝－1时，a n ＋a n ＋1＝0，此时为等差数列． 9．已知a ＋b ＋c ＝0，则ab ＋bc ＋ca 的值( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．不小于0D ．不大于0解析：选D 法一：∵a ＋b ＋c ＝0，∴a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0，∴ab ＋ac ＋bc＝－a 2＋b 2＋c 22≤0.法二：令c ＝0，若b ＝0，则ab ＋bc ＋ac ＝0，否则a ，b 异号，∴ab ＋bc ＋ac ＝ab <0，排除A 、B 、C ，选D.10．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，那么a ，b ，c 的值为( )A ．a ＝12，b ＝c ＝14B ．a ＝b ＝c ＝14C ．a ＝0，b ＝c ＝14D ．不存在这样的a ，b ，c解析：选A 令n ＝1,2,3， 得⎩⎪⎨⎪⎧3(a －b )＋c ＝1，9(2a －b )＋c ＝7，27(3a －b )＋c ＝34.所以a ＝12，b ＝c ＝14.11．已知数列{a n }的前n 项和S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)，可归纳猜想出S n 的表达式为( )A ．S n ＝2nn ＋1B ．S n ＝3n －1n ＋1 C ．S n ＝2n ＋1n ＋2D ．S n ＝2nn ＋2解析：选A 由a 1＝1，得a 1＋a 2＝22a 2，∴a 2＝13，S 2＝43；又1＋13＋a 3＝32a 3，∴a 3＝16，S 3＝32＝64；又1＋13＋16＋a 4＝16a 4，得a 4＝110，S 4＝85.由S 1＝22，S 2＝43，S 3＝64，S 4＝85可以猜想S n ＝2n n ＋1.12．设函数f (x )定义如下表，数列{x n }满足x 0＝5，且对任意的自然数均有x n ＋1＝f (x n )，则x 2 016＝( )A.1 B ．2 C ．4D ．5解析：选D x 1＝f (x 0)＝f (5)＝2，x 2＝f (2)＝1，x 3＝f (1)＝4，x 4＝f (4)＝5，x 5＝f (5)＝2，…，数列{x n }是周期为4的数列，所以x 2 016＝x 4＝5，故应选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中的横线上) 13．已知x ，y ∈R ，且x ＋y <2，则x ，y 中至多有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________．解析：“至多有一个大于1”包括“都不大于1和有且仅有一个大于1”，故其对立面为“x ，y 都大于1”．答案：x ，y 都大于1 14．已知a >0，b >0，m ＝lga ＋b 2，n ＝lg a ＋b2，则m ，n 的大小关系是________． 解析：ab >0⇒ab >0⇒a ＋b ＋2ab >a ＋b ⇒ (a ＋b )2>(a ＋b )2⇒a ＋b >a ＋b ⇒ a ＋b2>a ＋b 2⇒lg a ＋b2>lg a ＋b2. 答案：m >n 15．已知 2＋23＝223， 3＋38＝338， 4＋415＝ 4415，…， 6＋a b ＝6ab ，a ，b 均为正实数，由以上规律可推测出a ，b 的值，则a ＋b ＝________.解析：由题意归纳推理得6＋a b ＝6a b，b ＝62－1 ＝35，a ＝6.∴a ＋b ＝6＋35＝41. 答案：4116．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a 24.类比到空间，有两个棱长为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．解析：解法的类比(特殊化)，易得两个正方体重叠部分的体积为a 38.答案：a 38三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)用综合法或分析法证明： (1)如果a ，b >0，则lg a ＋b 2≥lg a ＋lg b2； (2)6＋10>23＋2.证明：(1)当a ，b >0时，有a ＋b2≥ab ，∴lg a ＋b 2≥lg ab ，∴lg a ＋b 2≥12lg ab ＝lg a ＋lg b 2.(2)要证 6＋10>23＋2， 只要证(6＋10)2>(23＋2)2， 即260>248，这是显然成立的， 所以，原不等式成立．18．(本小题满分12分)若a 1>0，a 1≠1，a n ＋1＝2a n1＋a n(n ＝1,2，…)． (1)求证：a n ＋1≠a n ；(2)令a 1＝12，写出a 2，a 3，a 4，a 5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式a n (不要求证明)．解：(1)证明：若a n ＋1＝a n ，即2a n1＋a n ＝a n ，解得a n ＝0或1.从而a n ＝a n －1＝…＝a 2＝a 1＝0或1， 这与题设a 1>0，a 1≠1相矛盾， 所以a n ＋1＝a n 不成立． 故a n ＋1≠a n 成立．(2)由题意得a 1＝12，a 2＝23，a 3＝45，a 4＝89，a 5＝1617，由此猜想：a n ＝2n －12n －1＋1.19．(本小题满分12分)下列推理是否正确？若不正确，指出错误之处．(1)求证：四边形的内角和等于360°.证明：设四边形ABCD 是矩形，则它的四个角都是直角，有∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＝90°＋90°＋90°＋90°＝360°，所以四边形的内角和为360°.(2)已知 2 和 3 都是无理数，试证：2＋3也是无理数．证明：依题设2和3都是无理数，而无理数与无理数之和是无理数，所以2＋3必是无理数．(3)已知实数m 满足不等式(2m ＋1)(m ＋2)<0，用反证法证明：关于x 的方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0无实根．证明：假设方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0有实根．由已知实数m 满足不等式(2m ＋1)(m ＋2)＜0，解得－2＜m ＜－12，而关于x 的方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0的判别式Δ＝4(m 2－4)，∵－2<m <－12，∴14＜m 2＜4，∴Δ<0，即关于x 的方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0无实根．解：(1)犯了偷换论题的错误，在证明过程中，把论题中的四边形改为矩形．(2)使用的论据是“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，因为两个无理数的和不一定是无理数，因此原题的真实性仍无法判定．(3)利用反证法进行证明时，要把假设作为条件进行推理，得出矛盾，本题在证明过程中并没有用到假设的结论，也没有推出矛盾，所以不是反证法．20．(本小题满分12分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ； (2)设b n ＝S nn (n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2.故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)由(1)得b n ＝S nn ＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ， 即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， ∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0，∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0. ∴p ＝r ，与p ≠r 矛盾．∴数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列． 21．(本小题满分12分)设f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)．求证：f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n [f (n )－1](n ≥2，n ∈N *)． 证明：当n ＝2时，左边＝f (1)＝1，右边＝2⎝⎛⎭⎫1＋12－1＝1，左边＝右边，等式成立． 假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，结论成立，即 f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＝k [f (k )－1]， 那么，当n ＝k ＋1时， f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＋f (k ) ＝k [f (k )－1]＋f (k ) ＝(k ＋1)f (k )－k＝(k ＋1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (k ＋1)－1k ＋1－k ＝(k ＋1)f (k ＋1)－(k ＋1) ＝(k ＋1)[f (k ＋1)－1]，∴当n ＝k ＋1时结论仍然成立．∴f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n [f (n )－1](n ≥2，n ∈N *)． 22．(本小题满分12分)已知f (x )＝bx ＋1(ax ＋1)2⎝⎛⎭⎫x ≠－1a ，a ＞0，且f (1)＝log 162，f (－2)＝1.(1)求函数f (x )的表达式；(2)已知数列{x n }的项满足x n ＝(1－f (1))(1－f (2))…(1－f (n ))，试求x 1，x 2，x 3，x 4； (3)猜想{x n }的通项公式，并用数学归纳法证明．解：(1)把f (1)＝log 162＝14，f (－2)＝1，代入函数表达式得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1(a ＋1)2＝14，－2b ＋1(1－2a )2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧4b ＋4＝a 2＋2a ＋1，－2b ＋1＝4a 2－4a ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，(舍去a ＝－13)，∴f (x )＝1(x ＋1)2(x ≠－1)． (2)x 1＝1－f (1)＝1－14＝34，x 2＝34(1－f (2))＝34×⎝⎛⎭⎫1－19＝23， x 3＝23(1－f (3))＝23×⎝⎛⎭⎫1－116＝58， x 4＝58×⎝⎛⎭⎫1－125＝35. (3)由(2)知，x 1＝34，x 2＝23＝46，x 3＝58，x 4＝35＝610，…，由此可以猜想x n ＝n ＋22(n ＋1).证明：①当n ＝1时，∵x 1＝34，而1＋22(1＋1)＝34，∴猜想成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，x n ＝n ＋22(n ＋1)成立， 即x k ＝k ＋22(k ＋1)，则n ＝k ＋1时，x k ＋1＝(1－f (1))(1－f (2))…(1－f (k ))·(1－f (k ＋1)) ＝x k ·(1－f (k ＋1))＝k ＋22(k ＋1)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1(k ＋1＋1)2＝k＋22(k＋1)·(k＋1)(k＋3)(k＋2)2＝12·k＋3k＋2＝(k＋1)＋2 2[(k＋1)＋1].∴当n＝k＋1时，猜想也成立，根据①②可知，对一切n∈N*，猜想x n＝n＋22(n＋1)都成立．。
人教A版选修2-2—第二学期质量检测高二数学(理)试卷答案.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2009—2010学年度第二学期期中质量检测 高二数学试题（理）参考答案及评分意见一、选择题（每题5分）1~4 D A B C 4~8 C A C C 二、填空题（每题5分）9. 2 10. π 11. -1 12. 332π+ 13. 214. 在直角三棱锥中，斜面的“中面”的面积等于斜面面积的14三、解答题15．证明：取BD 的中点E,连接AE,CE. 在ABD ∆中，因为，,AB AD BE DE ==所以，AE BD ⊥---------------------------4分 在BCD ∆中，同理可得：CE BD ⊥ AE CE E = -----------------8分 ∴BD ⊥面AECAC ⊂面AECBD AC ∴⊥--------------------------12分16、解：由,,A B C 成等差数列， 在ABD ∆中，由余弦定理得，有 ，2B A C =+. ① 222cos AD AB BD AB BD B =+-∙,,A B C 为ABC ∆的内角， 212212cos3π=+-⨯⨯A B C π∴++= ② 3=------------------------------11分由①②，得3B π=--------------5分 答：BC 边上的中线为3--------12分D 是BC 的中点122BD BC ∴== ------------6分17.解：（Ⅰ）11,215n n n a a a a +==+ 12133532111215a a a ∴===+⨯+ 3317a = 4323a =-------------------------3分；（Ⅱ）由⑴知分子是3，分母是以首项为5公差为6的等差数列∴猜想数列{}n a 通项公式：361n a n =----------------------5分 用数学归纳法证明如下：① 当1n =时，由题意可知135a =，命题成立.------6分 ② 假设当n k =(1,)k k N ≥∈时命题成立， 即361k a k =-，----7分那么，当1n k =+时，133361321656(1)12161k k k a k a a k k k +-====+++-⨯-- 也就说，当1n k =+时命题也成立----------------------------------------------13分综上所述，数列{}n a 的通项公式为361n a n =----------------------------14分18、解（Ⅰ）因为3()44()f x ax x a R =-+∈，所以'2()34f x ax =-----------------------------------2分 因为函数()f x 在2x =时有极值 ，所以'(2)0f =，即3440a ⨯-=A BD C E得 13a =------------------------------------------------3 分 所以31()443f x x x =-+所以'2()4(2)(2)f x x x x =-=+-令，'()0f x = 得， 2,x =或2x =-----------4分 当x 变化时'()f x ，()f x 变化如下表：所以()f x 的单调增区间为(,2)-∞-，(2,)+∞；()f x 的单调减区间为(2,2)-。
人教A版选修2-2高二期中数学选修2-2质量检测试题(卷).04.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作高二期中数学选修2－2质量检测试题（卷）2012.04命题：区教研室 检测：石油中学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页.第Ⅱ卷3至6页.考试结束后. 只将第Ⅱ卷和答题卡一并交回.参考公式： (sin )cos x x '=，(cos )sin x x '=-，1(ln )x x'=， 1()x x ααα-'=（α为实数） 第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将姓名、准考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.一、选择题：本大题共10个小题，每小题6分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知153z i =+，254z i =+，下列各式中正确的是A ．12z z >B ．12z z <C ．12||||z z >D ．12||||z z < 2. 归纳推理与类比推理的相似之处为A ．都是从一般到一般B ．都是从一般到特殊C ．都是从特殊到特殊D ．都不一定正确 3. 函数2cos y x x =的导数为 A ．22cos sin y x x x x '=-B ．22cos sin y x x x x '=+C ．2cos 2sin y x x x x '=- D ．2cos sin y x x x x '=- 4. 复数512ii-在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 5. 过曲线32y x x =+-上的点0P 的切线平行于直线41y x =-，则切点0P 的坐标为A ．(0,1)-或(1,0)B ．(1,0)或(1,4)--C ．(0,2)-或(1,4)--D ．(2,8)或(1,0)6. 已知()f x x α=，若(1)4f '-=-，则α的值为A ．4B ．4-C ．5D ．5- 7．函数x x y ln =的单调递减区间是 A ．),(1+∞-eB ．),(1--∞eC ．),0(1-eD ．),(+∞e8．若函数3()33f x x bx b =-+在(01)，内有极小值，则 A ．01b << B ．1b <C ．0b >D ．0b <9. 定积分120(1)x dx π-⎰表示A ．单位圆面积的一半B ．以1为半径的球的表面积的一半C ．以1为半径的球的体积的一半D ．以1为半径的球的体积10. 已知32()26f x x x m =-++（m 为常数）在[]-22，上有最小值3，那么此函数在[]-22，上的最大值为 A ．5B ．11C ．29D ．43二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分.把本大题答案填在第Ⅱ卷题中横线上.11. 计算：2(21)122++=，3(31)1232+++=，4(41)12342++++=， ……，(1)1232n n n +++++=．以上运用的是什么形式的推理？__ ★ __ ．12. 下列表述：①综合法是执因导果法；②分析法是间接证法；③分析法是执果索因法；④反证法是直接证法． 正确的语句有是__ ★ __ (填序号)． 13．计算1(2)x e x dx +⎰所得的结果为__ ★ __ ．14．若复数2(32)(1)a a a i -++-是纯虚数，则实数a 的值为__ ★ __ ． 15．曲线3cos (0)2y x x π=≤≤与坐标轴所围成的图形的面积是__ ★ __ ． 16．观察下列三个三角恒等式：tan10tan 20tan 20tan60tan60tan101++=；tan 5tan100tan100tan(15)tan(15)tan 51+-+-=；tan13tan 35tan 35tan42tan42tan131++=.一般地，若tan ,tan ,tan αβγ都有意义，你从这三个恒等式中猜想得到的一个结论为__ ★ __ ．高二数学选修2－2质量检测试题（卷）2012.04命题：马晶（区教研室） 检测：齐宗锁（石油中学） 题号 二 三总分总分人17 18 19 20得分复核人第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分. 把答案填在题中横线上.11． ； 12． ； 13． ； 14． ； 15． ；16． .三、解答题：本大题共4小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分14分）（1）用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角大于或等于60°.（2）已知0,n ≥试用分析法证明：211n n n n +-+<+- .18．(本小题满分12分)已知数列{}n a 满足112n na a +=-，10a =. （1）计算2a ，3a ，4a ，5a 的值；（2）根据以上计算结果猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想.19．（本小题满分14分）某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y （升）关于行驶速度x （km/h ）的函数解析式可以表示为880312800013+-=x x y )1200(≤≤x ，已知甲、乙两地相距100km .（1）当汽车以40km/h 的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？20．（本小题满分14分）设32()1f x x ax bx =+++的导数()f x '满足(1)2f a '=，(2)f b '=-，其中常数a ，b R ∈.（1）求曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线方程；（2）设()()x g x f x e -'=，求函数()g x 的极值.高二数学选修2－2质量检测参考答案2012.04命题：马晶（区教研室） 检测：齐宗锁（石油中学）一、选择题：本大题共10个小题，每小题6分，共60分.1. D2. D3. A4. B 5．B 6．A 7. C 8. A 9．C 10. D 二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分.11．归纳推理 12. ①③ 13．e 14. 2 15．316．tan tan tan tan tan tan 1αββγγα++=,其中90αβγ++= 三、解答题：本大题共4小题，共54分. 17.（本小题满分14分）（1）证明：假设在一个三角形中，没有一个内角大于或等于60°， 即均小于60°， （2分） 则三内角和小于180°，与三角形中三内角和等于180°矛盾，故假设不成立 .原命题成立 .（6分）（2）证明：要证上式成立，需证221n n n ++<+ （8分）需证22(2)(21)n n n ++<+需证n n n 212+>+ （10分） 需证n n n 2)1(22+>+需证n n n n 21222+>++， （12分）只需证1>0因为1>0显然成立，所以原命题成立 . （14分） 18．(本小题满分12分)解：（1）由112n na a +=-和10a =，得 211202a ==-，3121322a ==-， 4132423a ==-，5143524a ==-. （4分） （2）由以上结果猜测： 1n n a n -= （6分）用数学归纳法证明如下：（Ⅰ）当1n =时 ，左边10a ==，右边1101-==，等式成立. （8分）（Ⅱ）假设当(1)n k k =≥时,命题成立，即1k k a k -=成立.那么，当1n k =+时，111(1)112112k k k k a k a k k k++-====--++-这就是说，当1n k =+时等式成立.由（Ⅰ）和（Ⅱ），可知猜测1n n a n -=对于任意正整数n 都成立.（12分）19．（本小题满分14分）解: (1)当40=x km/h 时，汽车从甲地到乙地行驶了5.240100=h （2分） 要耗油5.175.2)840803401280001(3=⨯+⨯-⨯(升) （4分）(2)当速度为x km/h ，汽车从甲地到乙地行驶了x100h ，耗油量为)(x f 升，依题意得 313100()(8)12800080f x x x x=-+415800128012-+=x x （7分）233264080800640)('x x x x x f -=-=(0120)x <≤令0)('=x f ，得80=x （10分） 当)80,0(∈x 时，0)('<x f ，)(x f 是减函数当)12080(，∈x 时，0)('>x f ，)(x f 是增函数 （12分） ∴当80=x 时，)(x f 取得极小值：45)880803801280001()80(3⨯+⨯-⨯=f 25.11445==(升) （13分）因此，当汽车以80 km/h 的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油量少，最少为11.25升。
人教A版数学选修2-2 综合学业质量标准检测2
综合学业质量标准检测(二)本检测仅供教师备用，学生书中没有 时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(2019·衡水中学高二检测)已知a ，b ∈R ，且2＋a i ，b ＋i(i 是虚数单位)是实系数一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根，那么p ，q 的值分别是( A )A ．p ＝－4，q ＝5B ．p ＝－4，q ＝3C ．p ＝4，q ＝5D ．p ＝4，q ＝3[解析] 分别将2＋a i ，b ＋i 代入方程得：⎩⎪⎨⎪⎧(2＋a i )2＋p (2＋a i )＋q ＝0①(b ＋i )2＋p (b ＋i )＋q ＝0② 对①②整理由复数相等的条件得：⎩⎪⎨⎪⎧2p ＋q －a 2＋4＝0，(p ＋4)a ＝0，pb ＋q ＋b 2－1＝0，p ＋2b ＝0.解得p ＝－4，q ＝5.本题也可以用“韦达定理”求解： 2＋a i ＋b ＋i ＝－p ③，(2＋a i)(b ＋i)＝q ④ 由复数相等的条件对③④整理得：⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋b ＝－p ，a ＋1＝0，2b －a ＝q ，ab ＋2＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，p ＝－4，q ＝5.故选A ．2．曲线y ＝4x －x 3在点(－1，－3)处的切线方程是( D ) A ．y ＝7x ＋4 B ．y ＝x －4 C ．y ＝7x ＋2D ．y ＝x －2[解析] y ′|x ＝－1＝(4－3x 2)|x ＝－1＝1， ∴切线方程为y ＋3＝x ＋1，即y ＝x －2.3．用反证法证明“若a ＋b ＋c <3，则a ，b ，c 中至少有一个小于1”时，应( D ) A ．假设a ，b ，c 至少有一个大于1 B ．假设a ，b ，c 都大于1 C ．假设a ，b ，c 至少有两个大于1 D ．假设a ，b ，c 都不小于1[解析] 假设a ，b ，c 中至少有一个小于1不成立，即a ，b ，c 都不小于1，故选D ． 4．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n (2n 2＋1)3时，从n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是( B )A ．(k －1)2＋2k 2B ．(k ＋1)2＋k 2C ．(k ＋1)2D ．13(k ＋1)[2(k ＋1)2＋1][解析] n ＝k 时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12，n ＝k ＋1时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12，∴从n ＝k 到n ＝k ＋1，左边应添加的式子为(k ＋1)2＋k 2.5．定义在R 上的可导函数f (x )，已知y ＝e f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的增区间是( B )A ．(－∞，1)B ．(－∞，2)C ．(0,1)D ．(1,2)[解析] 由题中图象知e f ′(x )≥1，即f ′(x )≥0时，x ≤2， ∴y ＝f (x )的增区间为(－∞，2)．6．在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点．若函数图象恰好经过k 个格点，则称函数为k 阶格点函数．已知函数：①y ＝sin x; ②y ＝cos(x ＋π6)；③y ＝e x －1; ④y ＝x 2.其中为一阶格点函数的序号为( C ) A ．①② B ．②③ C ．①③D ．②④[解析] 对于①，注意到y ＝sin x 的值域是[－1,1]；当sin x ＝0时，x ＝k π(k ∈Z )，此时相应的整数x ＝0；当sin x ＝±1时，x ＝k π＋π2(k ∈Z )，此时没有相应的整数x ，因此函数y ＝sin x仅过唯一的整点(0,0)，该函数是一阶格点函数．同理可知，对于②，函数y ＝cos(x ＋π6)不是一阶格点函数．对于③，令y ＝e x －1＝k (k ∈Z )得e x ＝k ＋1>0，x ＝ln(k ＋1)，仅当k ＝0时，x ＝0∈Z ，因此函数y ＝e x －1是一阶格点函数．对于④，注意到函数y ＝x 2的图象经过多个整点，如点(0,0)，(1,1)，因此函数y ＝x 2不是一阶格点函数．综上所述知选C ．7．设f (x )＝x (ax 2＋bx ＋c )(a ≠0)在x ＝1和x ＝－1处均有极值，则下列各点一定在y 轴上的是( A )A ．(b ，a )B ．(a ，c )C ．(c ，b )D ．(a ＋b ，c )[解析] f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由题意知1，－1是方程3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根，则1－1＝－2b3a＝0，所以b ＝0.故选A ．8．已知函数f (x )(x ∈R )满足f (2)＝3，且f (x )在R 上的导数满足f ′(x )－1<0，则不等式f (x 2)<x 2＋1的解集为( C )A ．(－∞，－2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2，2)[解析] 令g (x )＝f (x )－x ，则g ′(x )＝f ′(x )－1<0，∴g (x )在R 上单调递减．由f (x 2)<x 2＋1，得f (x 2)－x 2<1，即g (x 2)<1.又g (2)＝f (2)－2＝1，∴g (x 2)<g (2)，∴x 2>2，解得x >2或x <－ 2.故选C ．9．设a ，b 是两个实数，给出下列条件： ①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2； ⑤ab >1.其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是( C ) A ．②③ B ．①②③ C ．③D ．③④⑤[解析] 若a ＝12，b ＝23，则a ＋b >1，但a <1，b <1，故①推不出；若a ＝b ＝1，则a ＋b＝2，故②推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2>2，故④推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则ab >1，故⑤推不出；对于③，若a ＋b >2，则a ，b 中至少有一个大于1.可用反证法证明：假设a ≤1且b ≤1，则a ＋b ≤2，与a ＋b >2矛盾，因此假设不成立，故a ，b 中至少有一个大于1，故选C ．10．定义复数的一种运算z 1]|z 1|＋|z 2|,2)(等式右边为普通运算)，若复数z ＝a ＋b i ，且正实数a ，b 满足a ＋b ＝3，则z *z 的最小值为( B )A ．92B ．322C ．32D ．94[解析] z *z ＝|z |＋|z |2＝2a 2＋b 22＝a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ，又∵ab ≤(a ＋b 2)2＝94，∴－ab ≥－94，z *z ≥9－2×94＝92＝322. 11．若0<x <π2，则2x 与3sin x 的大小关系( D )A ．2x >3sin xB ．2x <3sin xC ．2x ＝3sin xD ．与x 的取值有关[解析] 令f (x )＝2x －3sin x ，则f ′(x )＝2－3cos x .当cos x <23时，f ′(x )>0，当cos x ＝23时，f ′(x )＝0，当cos x >23时，f ′(x )<0.即当0<x <π2时，f (x )先递减再递增，而f (0)＝0，f (π2)＝π－3>0.故f (x )的值与x 取值有关，即2x 与sin x 的大小关系与x 取值有关．故选D ．12．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则log 2017x 1＋log 2017x 2＋…＋log 2017x 2016的值为( B )A ．－log 2017x 2016B ．－1C ．log 2017x 2016－1D ．1[解析] ∵y ′|x ＝1＝n ＋1，∴切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，即x n ＝n n ＋1.所以log 2017x 1＋log 2017x 2＋…＋log 2017x 2016 ＝log 2017(x 1·x 2·…·x 2016)＝log 2017(12×23×…×20162017)＝－1.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．(2019·浙江卷，11)复数z ＝11＋i (i 为虚数单位)，则|z |2[解析] z ＝11＋i ＝1－i (1＋i )(1－i )＝1－i 1－i 2＝12－12i ， 易得|z |＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫－122＝22. 14．(2019·天津卷文，11)曲线y ＝cos x －x 2在点(0,1)处的切线方程为y ＝－12x ＋1.[解析] y ′＝－sin x －12，将x ＝0代入，可得切线斜率为－12.所以切线方程为y －1＝－12x ，即y ＝－12x ＋1.15．请阅读下列材料：若两个正实数a 1、a 2满足a 21＋a 22＝1，那么a 1＋a 2≤ 2.证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＝2x 2－2(a 1＋a 2)x ＋1.因为对一切实数x ，恒有f (x )≥0，所以Δ≤0，从而得4(a 1＋a 2)2－8≤0，所以a 1＋a 2≤ 2.类比上述结论，若n 个正实数满足a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，你能得到的结论为[解析] 构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2＝nx 2－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋1， ∵f (x )≥0对任意实数x 都成立， ∴Δ＝4(a 1＋a 2＋…＋a n )2－4n ≤0，∵a 1，a 2，…，a n 都是正数，∴a 1＋a 2＋…＋a n ≤n .16．若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝1－ln2.[解析] 设y ＝kx ＋b 与y ＝ln x ＋2和y ＝ln(x ＋1)的切点分别为(x 1，ln x 1＋2)和(x 2，ln(x 2＋1))．则切线分别为y －ln x 1－2＝1x 1(x －x 1)，y －ln(x 2＋1)＝1x 2＋1(x －x 2)，化简得y ＝1x 1x ＋ln x 1＋1，y ＝1x 2＋1x －x 2x 2＋1＋ln(x 2＋1)，依题意，⎩⎪⎨⎪⎧1x 1＝1x 2＋1ln x 1＋1＝－x 2x 2＋1＋ln (x 2＋1)，解得x 1＝12，从而b ＝ln x 1＋1＝1－ln2.三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)设z 为复数z 的共轭复数，满足|z －z |＝2 3. (1)若z 为纯虚数，求z ； (2)若z －z2为实数，求|z |.[解析] (1)设z ＝b i(b ∈R ，且b ≠0)，则z ＝－b i ， 因为|z －z |＝23，则|2b i|＝23， 即|b |＝3，所以b ＝±3，所以z ＝±3i.(2)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，因为|z －z |＝23，则|2b i|＝23，即|b |＝3，z －z 2＝a ＋b i －(a －b i)2＝a －a 2＋b 2＋(b ＋2ab )i.因为z －z2为实数，所以b ＋2ab ＝0，因为|b |＝3，所以a ＝－12，所以|z |＝(－12)2＋(±3)2＝132. 18．(本题满分12分)已知非零实数a 、b 、c 构成公差不为0的等差数列，求证：1a ，1b ，1c不可能构成等差数列． [解析] 假设1a ，1b ，1c 能构成等差数列，则得2b ＝1a ＋1c ，于是得bc ＋ab ＝2ac .①而由于a ，b ，c 构成等差数列，即2b ＝a ＋c .②所以由①②两式得，(a ＋c )2＝4ac ，即(a －c )2＝0，于是得a ＝b ＝c ，这与a ，b ，c 构成公差不为0的等差数列矛盾．故假设不成立，因此1a ，1b ，1c不能构成等差数列．19．(本题满分12分)设函数f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1,0<x <2π，求函数f (x )的单调区间与极值．[解析] f ′(x )＝cos x ＋sin x ＋1＝2sin(x ＋π4)＋1 (0<x <2π)，令f ′(x )＝0，即sin(x ＋π4)＝－22，解之得x ＝π或x ＝3π2.x ，f ′(x )以及f (x )变化情况如下表：∴f (x )的单调增区间为(0，π)和(3π2，2π)，单调减区间为(π，3π2)．f (x )极大＝f (π)＝π＋2，f (x )极小＝f (3π2)＝3π2.20．(本题满分12分)已知A n (n ，a n )为函数y 1＝x 2＋1图象上的点，B n (n ，b n )为函数y 2＝x 的图象上的点，设c n ＝a n －b n ，其中n ∈N *.(1)求证：数列{c n }既不是等差数列也不是等比数列； (2)试比较c n 与c n ＋1的大小． [解析] (1)证明：依题意，a n ＝n 2＋1，b n ＝n ，c n ＝n 2＋1－n .假设{c n }是等差数列，则2c 2＝c 1＋c 3，∴2(5－2)＝2－1＋10－3. ∴25＝2＋10，产生矛盾， ∴{c n }不是等差数列．假设{c n }是等比数列，则c 22＝c 1c 3，即(5－2)2＝(2－1)(10－3)．有6＝65－32－10，产生矛盾， ∴{c n }也不是等比数列． (2)解：∵c n ＋1＝(n ＋1)2＋1－(n ＋1)>0，c n ＝n 2＋1－n >0，∴c n ＋1c n＝(n ＋1)2＋1－(n ＋1)n 2＋1－n＝n 2＋1＋n(n ＋1)2＋1＋(n ＋1)，0<n 2＋1<(n ＋1)2＋1，又0<n <n ＋1， ∴n 2＋1＋n <(n ＋1)2＋1＋n ＋1，∴0<n 2＋1＋n(n ＋1)2＋1＋(n ＋1)<1，∴c n ＋1c n<1，即c n ＋1<c n . 21．(本题满分12分)已知函数f (x )＝12x 2－ax ＋(a －1)ln x .(1)若a >2，讨论函数f (x )的单调性；(2)已知a ＝1，g (x )＝2f (x )＋x 3，若数列{a n }的前n 项和为S n ＝g (n )，证明：1a 2＋1a 3＋…＋1a n <13(n ≥2，n ∈N ＋)． [解析] (1)可知f (x )的定义域为(0，＋∞)．有 f ′(x )＝x －a ＋a －1x ＝x 2－ax ＋a －1x＝(x －1)[x －(a －1)]x，因为a >2，所以a －1>1.故当1<x <a －1时f ′(x )<0；当0<x <1或x >a －1时f ′(x )>0.∴函数f (x )在区间(1，a －1)上单调递减，在区间(0,1)和(a －1，＋∞)上单调递增． (2)由a ＝1知g (x )＝x 3＋x 2－2x ， 所以S n ＝n 3＋n 2－2n .可得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n 2－n －2，(n ≥2)，0，(n ＝1).∴a n ＝3n 2－n －2(n ≥2)． 所以1a n ＝1(3n ＋2)(n －1)(n ≥2)．因为1(3n ＋2)(n －1)<13n (n －1)＝13(1n －1－1n)，所以1a 2＋1a 3＋…＋1a n <13[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1－1n )]＝13(1－1n )＝13－13n <13，综上，不等式得证．22．(本题满分12分)(2019·北京卷理，19)已知函数f (x )＝14x 3－x 2＋x .(1)求曲线y ＝f (x )的斜率为1的切线方程． (2)当x ∈[－2,4]时，求证：x －6≤f (x )≤x .(3)设F (x )＝|f (x )－(x ＋a )|(a ∈R )，记F (x )在区间[－2,4]上的最大值为M (a )．当M (a )最小时，求a 的值．[解析] (1)由f (x )＝14x 3－x 2＋x 得f ′(x )＝34x 2－2x ＋1.令f ′(x )＝1，即34x 2－2x ＋1＝1，得x ＝0或x ＝83.又f(0)＝0，f⎝⎛⎭⎫83＝8 27，所以曲线y＝f(x)的斜率为1的切线方程是y＝x与y－827＝x－83，即y＝x与y＝x－6427.(2)证明：令g(x)＝f(x)－x，x∈[－2,4]．由g(x)＝14x3－x2得g′(x)＝34x2－2x.令g′(x)＝0得x＝0或x＝83.当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下：故－6≤g(x)≤0，即x－6≤f(x)≤x.(3)由(2)知，当a<－3时，M(a)＝F(0)＝|g(0)－a|＝－a>3；当a>－3时，M(a)＝F(－2)＝|g(－2)－a|＝6＋a>3；当a＝－3时，M(a)＝3.综上，当M(a)最小时，a＝－3.。
人教A版数学选修2-2 学业质量标准检测1、2
第一、二章 学业质量标准检测本检测仅供教师备用，学生书中没有 时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．设1a <1b <0，则在①a 2>b 2；②a ＋b >2ab ；③ab <b 2；④a 2＋b 2>|a |＋|b |.这4个不等式中恒成立的有( B )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个[解析] ∵1a <1b<0，∴0>a >b ，∴a 2<b 2，ab <b 2，②④显然不正确．2．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x －1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围是( D )A ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)B ．(－3，3)C ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)D ．[－3，3][解析] f ′(x )＝－3x 2＋2ax －1，∵f (x )在(－∞，＋∞)上是单调函数，且f ′(x )的图象是开口向下的抛物线，∴f ′(x )≤0恒成立，∴Δ＝4a 2－12≤0，∴－3≤a ≤3，故选D ．3．观察下列各等式：22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( A )A ．nn －4＋8－n (8－n )－4＝2B ．n ＋1(n ＋1)－4＋(n ＋1)＋5(n ＋1)－4＝2C ．nn －4＋n ＋4(n ＋4)－4＝2D ．n ＋1(n ＋1)－4＋n ＋5(n ＋5)－4＝2[解析] 观察分子中2＋6＝5＋3＝7＋1＝10＋(－2)＝8.4．观察下面图形的规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( A )A．■C．□D．○[解析]由每一行中图形的形状及黑色图形的个数，则知A正确．5．(2019·淄博三模)在平面几何里有射影定理：设三角形ABC的两边AB⊥AC，D是A 点在BC上的射影，则AB2＝BD·BC．拓展到空间，在四面体A－BCD中，AD⊥面ABC，点O是A在面BCD内的射影，且O在△BCD内，类比平面三角形射影定理，得出正确的结论是(A)A．(S△ABC)2＝S△BCO·S△BCDB．(S△ABD)2＝S△BOD·S△BOCC．(S△ADC)2＝S△DOC·S△BOCD．(S△BDC)2＝S△ABD·S△ABC[解析]由已知在平面几何中，若△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，D是垂足，则AB2＝BD·BC，我们可以类比这一性质，推理出：若三棱锥A－BCD中，AD⊥面ABC，AO⊥面BCD，O为垂足，则(S△ABC)2＝S△BOC·S△BDC．故选A．6．已知a n ＝(13)n ，把数列{a n }的各项排成如下的三角形：a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9…记A (s ，t )表示第s 行的第t 个数，则A (11,12)等于( D ) A ．(13)67B ．(13)68C ．(13)111D ．(13)112[解析] 该三角形每行所对应元素的个数分别为1,3,5，…那么第10行的最后一个数为a 100，第11行的第12个数为a 112，即A (11,12)＝(13)112.故选D ．7．函数f (x )在其定义域内可导，其图象如图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能为( C )[解析]由图象知，f(x)在x<0时，图象增→减→增，x>0时，单调递增，故f′(x)在x<0时，其值为＋→－→＋，在x>0时为＋，故选C．8．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于(D)A．f(x) B．－f(x)C．g(x) D．－g(x)[解析]观察可知偶函数的导函数是奇函数，由f(－x)＝f(x)知f(x)为偶函数，故g(x)为奇函数，从而g(－x)＝－g(x)．9．已知函数f(x)＝ln x，则函数g(x)＝f(x)－f′(x)的零点所在的区间是(B)A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)[解析] 由题可知g (x )＝ln x －1x ，∵g (1)＝－1<0，g (2)＝ln2－12＝ln2－ln e>0，∴选B ．10．定义一种运算“*”；对于自然数n 满足以下运算性质：(i)1]( A ) A ．n B ．n ＋1 C ．n －1D ．n 2[解析] 令a n ＝n *1，则由(ii)得，a n ＋1＝a n ＋1，由(i)得，a 1＝1，∴{a n }是首项a 1＝1，公差为1的等差数列，∴a n ＝n ，即n *1＝n ，故选A ．11．已知函数f (x )＝13x 3＋12mx 2＋m ＋n 2x 的两个极值点分别为x 1、x 2，且0<x 1<1<x 2，点P (m ，n )表示的平面区域内存在点(x 0，y 0)满足y 0＝log a (x 0＋4)，则实数a 的取值范围是( B )A ．(0，12)∪(1,3)B ．(0,1)∪(1,3)C ．(12，1)∪(1,3]D ．(0,1)∪[3，＋∞)[解析] f ′(x )＝x 2＋mx ＋m ＋n2，由条件知，方程f ′(x )＝0的两实根为x 1、x 2且0<x 1<1<x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′(0)>0，f ′(1)<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n2>0，1＋m ＋m ＋n2<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n >0，3m ＋n <－2， 由⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝0，3m ＋n ＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝1，∴⎩⎨⎧x 0<－1，y 0>1.由y 0＝log a (x 0＋4)知，当a >1时，1<y 0<log a 3，∴1<a <3；当0<a <1时，y 0＝log a (x 0＋4)>log a 3，由于y 0>1，log a 3<0，∴对∀a ∈(0,1)，此式都成立，从而0<a <1，综上知0<a <1或1<a <3，故选B ．12．设函数f (x )定义如下表，数列{x n }满足x 0＝5，且对任意的自然数均有x n ＋1＝f (x n )，则x 2017＝( B )A ．1 C ．4D ．5[解析] x 1＝f (x 0)＝f (5)＝2，x 2＝f (2)＝1，x 3＝f (1)＝4，x 4＝f (4)＝5，x 5＝f (5)＝2，…，数列{x n }是周期为4的数列，所以x 2017＝x 1＝2，故应选B ．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知1＋2×3＋3×32＋4×32＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，则a ＝12，b ＝14，c ＝14.[解析] 令n ＝1,2,3，得⎩⎪⎨⎪⎧3(a －b )＋c ＝1，9(2a －b )＋c ＝7，27(3a －b )＋c ＝34.所以a ＝12，b ＝c ＝14.14．已知f (x )＝x 3＋3x 2＋a (a 为常数)，在[－3,3]上有最小值3，那么在[－3,3]上f (x )的最大值是57.[解析] f ′(x )＝3x 2＋6x ＝3x (x ＋2)，当x ∈[－3，－2)和x ∈(0,3]时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(－2,0)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴极大值为f (－2)＝a ＋4，极小值为f (0)＝a ，又f (－3)＝a ，f (3)＝54＋a ，由条件知a ＝3，∴最大值为f (3)＝54＋3＝57.15．现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a 24.类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为a 38.[解析] 平面内⎝⎛⎭⎫a 22类比到空间⎝⎛⎭⎫a 23＝a 38. 16．若下列两个方程x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是{a |a ≤－2或a ≥－1}.[解析] 假设两个一元二次方程均无实根，则有⎩⎪⎨⎪⎧ Δ1＝(a －1)2－4a 2<0，Δ2＝(2a )2－4(－2a )<0，即⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＋2a －1>0，a 2＋2a <0，解得{a |－2<a <－1}，所以其补集{a |a ≤－2或a ≥－1}即为所求的a 的取值范围．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)已知a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac a < 3.[解析] 因为a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0， 所以a >0，c <0.要证明原不等式成立，只需证明b 2－ac <3a ，即证b 2－ac <3a 2，从而只需证明(a ＋c )2－ac <3a 2， 即(a －c )(2a ＋c )>0，因为a －c >0,2a ＋c ＝a ＋c ＋a ＝a －b >0， 所以(a －c )(2a ＋c )>0成立，故原不等式成立．18．(本题满分12分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－3bx ＋c (b >0)，且g (x )＝f (x )－2是奇函数． (1)求a 、c 的值；(2)若函数f (x )有三个零点，求b 的取值范围． [解析] (1)∵g (x )＝f (x )－2是奇函数， ∴g (－x )＝－g (x )对x ∈R 成立， ∴f (－x )－2＝－f (x )＋2对x ∈R 成立， ∴ax 2＋c －2＝0对x ∈R 成立， ∴a ＝0且c ＝2.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3bx ＋2(b >0)，∴f ′(x )＝3x 2－3b ＝3(x －b )(x ＋b )， 令f ′(x )＝0得x ＝±b ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧f (－b )>0，f (b )<0，∴b >1，故正数b 的取值范围是(1，＋∞)．19．(本题满分12分)已知函数f (x )＝a 23x 3－2ax 2＋bx ，其中a 、b ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线斜率为3.(1)求b 的值；(2)若函数f (x )在x ＝1处取得极大值，求a 的值． [解析] (1)f ′(x )＝a 2x 2－4ax ＋b ， 由题意f ′(0)＝b ＝3.(2)∵函数f (x )在x ＝1处取得极大值， ∴f ′(1)＝a 2－4a ＋3＝0，解得a ＝1或a ＝3. ①当a ＝1时，f ′(x )＝x 2－4x ＋3＝(x －1)(x －3)， x 、 f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：②当a ＝3时，f ′(x )＝9x 2－12x ＋3＝3(3x －1)(x －1)， x 、f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：由上表知，函数f (x )在x ＝1处取得极小值，不符合题意． 综上所述，若函数f (x )在x ＝1处取得极大值，a 的值为1.20．(本题满分12分)若x >0，y >0，用分析法证明：(x 2＋y 2)12>(x 3＋y 3)13.[证明] 要证(x 2＋y 2)12>(x 3＋y 3)13，只需证(x 2＋y 2)3>(x 3＋y 3)2，即证x 6＋3x 4y 2＋3x 2y 4＋y 6>x 6＋2x 3y 3＋y 6， 即证3x 4y 2＋3y 4x 2>2x 3y 3. 又因为x >0，y >0，所以x 2y 2>0， 故只需证3x 2＋3y 2>2xy . 而3x 2＋3y 2>x 2＋y 2≥2xy 成立， 所以(x 2＋y 2)12>(x 3＋y 3)13成立．21．(本题满分12分)已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)．(1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数； (2)用反证法证明：方程f (x )＝0没有负数根．[解析] (1)证法1：任取x 1、x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，ax 2－x 1>1且ax 1>0，∴ax 2－ax 1＝ax 1(ax 2－x 1－1)>0， 又∵x 1＋1>0，x 2＋1>0， ∴x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝(x 2－2)(x 1＋1)－(x 1－2)(x 2＋1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝3(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1)>0，于是f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0，故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．证法2：f ′(x )＝a x ln a ＋x ＋1－(x －2)(x ＋1)2＝a xln a ＋3(x ＋1)2∵a >1，∴ln a >0，∴a x ln a ＋3(x ＋1)2>0，f ′(x )>0在(－1，＋∞)上恒成立， 即f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)解法1：设存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0， 则ax 0＝－x 0－2x 0＋1，且0<ax 0<1.∴0<－x 0－2x 0＋1<1，即12<x 0<2，与假设x 0<0矛盾．故方程f (x )＝0没有负数根． 解法2：设x 0<0(x 0≠－1)，①若－1<x 0<0，则x 0－2x 0＋1<－2，ax 0<1，∴f (x 0)<－1.②若x 0<－1则x 0－2x 0＋1>0，ax 0>0，∴f (x 0)>0.综上，x <0(x ≠－1)时，f (x )<－1或f (x )>0，即方程f (x )＝0无负数根．22．(本题满分12分)(2019·全国Ⅰ卷理，20)已知函数f (x )＝sin x －ln(1＋x )，f ′(x )为f (x )的导数．证明：(1)f ′(x )在区间⎝⎛⎭⎫－1，π2存在唯一极大值点； (2)f (x )有且仅有2个零点． [解析] (1)证明：设g (x )＝f ′(x )， 则g (x )＝cos x －11＋x ，g ′(x )＝－sin x ＋1(1＋x )2. 当x ∈⎝⎛⎭⎫－1，π2时，g ′(x )单调递减，而g ′(0)＞0，g ′⎝⎛⎭⎫π2＜0，可得g ′(x )在⎝⎛⎭⎫－1，π2有唯一零点，设为α.则当x ∈(－1，α)时，g ′(x )＞0；当x ∈⎝⎛⎭⎫α，π2时， g ′(x )＜0.所以g (x )在(－1，α)单调递增，在⎝⎛⎭⎫α，π2单调递减，故g (x )在⎝⎛⎭⎫－1，π2存在唯一极大值点，即f ′(x )在⎝⎛⎭⎫－1，π2存在唯一极大值点． (2)证明：f (x )的定义域为(－1，＋∞)．①当x ∈(－1,0]时，由(1)知，f ′(x )在(－1,0)单调递增，而f ′(0)＝0，所以当x ∈(－1,0)时，f ′(x )＜0，故f (x )在(－1,0)单调递减．又f (0)＝0，从而x ＝0是f (x )在(－1,0]的唯一零点．②当x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2时，由(1)知，f ′(x )在(0，α)单调递增，在⎝⎛⎭⎫α，π2单调递减，而f ′(0)＝0，f ′⎝⎛⎭⎫π2＜0，所以存在β∈⎝⎛⎭⎫α，π2，使得f ′(β)＝0，且当x ∈(0，β)时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝⎛⎭⎫β，π2时，f ′(x )＜0.故f (x )在(0，β)单调递增，在⎝⎛⎭⎫β，π2单调递减．又f (0)＝0，f ⎝⎛⎭⎫π2＝1－ln ⎝⎛⎭⎫1＋π2＞0，所以当x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2时，f (x )＞0.从而，f (x )在⎝⎛⎦⎤0，π2没有零点． ③当x ∈⎝⎛⎦⎤π2，π时，f ′(x )＜0，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π单调递减．而f ⎝⎛⎭⎫π2＞0，f (π)＜0，所以f (x )在⎝⎛⎦⎤π2，π有唯一零点．④当x ∈(π，＋∞)时，ln(x ＋1)＞1.所以f (x )＜0，从而f (x )在(π，＋∞)没有零点．综上，f (x )有且仅有2个零点．。
2022秋高中数学 学业质量标准检测3课时作业(含解析)新人教A版选修2-2
第三章 学业质量标准检测时间120分钟，总分值150分．一、单项选择题(本大题共8个小题，每题5分，共40分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1．(1＋i)20－(1－i)20的值是( C ) A ．－1024 B ．1024 C ．0D ．51.2[解析] (1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝(2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0. 故答案为：C ．2．以下各式的运算结果为纯虚数的是( A ) A ．(1＋i)2 B ．i 2(1－i) C ．i(1＋i)2D ．i(1＋i)[解析] 由题意，对于A 中，复数(1＋i)2＝2i 为纯虚数，所以正确； 对于B 中，复数i 2·(1－i)＝－1＋i 不是纯虚数，所以不正确； 对于C 中，复数i·(1＋i)2＝－2不是纯虚数，所以不正确；对于D 中，复数i·(1＋i)＝－1＋i 不是纯虚数，所以不正确，应选A ． 3．假设复数z ＝i(3－2i)(i 是虚数单位)，那么z ＝( A ) A ．2－3i B ．2＋3i C ．3＋2iD ．3－2i[解析] 因为z ＝i(3－2i)＝3i －2i 2＝2＋3i ，所以z ＝2－3i. 4．假设a 为实数，且(2＋a i)·(a －2i)＝－4i ，那么a ＝( B ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2[解析] ∵(2＋a i)(a －2i)＝4a ＋(a 2－4)i ＝－4i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝0，a 2－4＝－4，解之得a ＝0.5．如果复数z ＝2－1＋i，那么( C ) A ．|z |＝2 B ．z 的实部为1 C ．z 的虚部为－1 D ．z 的共轭复数为1＋i[解析] 因为z ＝2－1＋i＝2(－1－i )2＝－1－i ，所以|z |＝2，z 的实部为－1，虚部为－1，共轭复数为－1＋i ，因此选C ．6．假设复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，那么z ＝z 1·z 2在复平面内的对应点位于( D ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限[解析] ∵z 1·z 2＝(3＋i)(1－i)＝3－3i ＋i －i 2＝4－2i ， ∴z ＝z 1·z 2在复平面内的对应点位于第四象限． 7．对于以下四个命题：①任何复数的绝对值都是非负数；②如果复数z 1＝5i ，z 2＝2－3i ，z 3＝－5i ，z 4＝2－i ，那么这些复数的对应点共圆； ③|cos θ＋isin θ|的最大值是2，最小值为0； ④x 轴是复平面的实数，y 轴是虚轴． 其中正确的有( D ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个[解析] ①正确．因为假设z ∈R ，那么|z |≥0，假设z ＝a ＋b i(b ≠0，a ，b ∈R )，|z |＝a 2＋b 2>0.②正确．因为|z 1|＝5，|z 2|＝(2)2＋(3)2＝5，|z 3|＝5，|z 4|＝5，这些复数的对应点均在以原点为圆心，5为半径的圆上．③错．因为|cos θ＋isin θ|＝cos 2θ＋sin 2θ＝1为定值，最大、最小值相等都是1.④正确．应选D ．8．复数z 1＝(1－i 1＋i )2，z 2＝2－i 3分别对应复平面内的点P ，Q ，那么向量PQ →对应的复数是( D )A ．10B ．－3－iC ．1＋iD ．3＋i[解析] ∵z 1＝(－i)2＝－1，z 2＝2＋i ，∴PQ →对应的复数是z 2－z 1＝2＋i －(－1)＝3＋i.应选D ． 二、多项选择题(本大题共4个小题，每题5分，共20分，在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，局部选对的得3分，有选错的得0分)9．z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，假设z 1＋z 2是纯虚数，那么有( AD ) A ．a ＋c ＝0 B ．a －c ＝0 C ．b －d ≠0D ．b ＋d ≠0[解析] z 1＋z 2＝a ＋c ＋(b ＋d )i 为纯虚数，那么需a ＋c ＝0且b ＋d ≠0.应选AD ． 10．i 为虚数单位，z 为复数，那么以下表达不正确的选项是( ABC )A ．z －z 为纯虚数B ．任何数的偶数次幂均为非负数C ．i ＋1的共轭复数为i －1D ．2＋3i 的虚部为3[解析] 当z 为实数时，z －z 不为纯虚数，A 错误；由i 2＝－1，知B 错误；由共轭复数的定义，知1＋i 的共轭复数为1－i ，C 错误；D 正确，应选ABC ．11．以下命题是真命题的是( ABC ) A ．复数的模是非负实数B ．复数等于零的充要条件是它的模等于零C ．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件D ．复数z 1>z 2的充要条件是|z 1|>|z 2|[解析] ①任意复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模|z |＝a 2＋b 2≥0总成立，故A 为真命题；②由复数相等的条件z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝0⇔|z |＝0，故B 为真命题；③令z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i(a 1，b 1，a 2，b 2∈R )．假设z 1＝z 2，那么有a 1＝a 2，b 1＝b 2，所以|z 1|＝|z 2|，反之由|z 1|＝|z 2|，推不出z 1＝z 2，如当z 1＝1＋3i ，z 2＝1－3i 时，|z 1|＝|z 2|，而z 1≠z 2，故C 为真命题；④不全为实数的两个复数不能比拟大小，但任意两个复数的模总能比拟大小，故D 为假命题．应选ABC ．12．复数z ＝3＋3i 化为三角形式正确的选项是( AD ) A ．z ＝23(cos π6＋isin π6)B ．z ＝23(cos π6－isin π6)C ．z ＝23(cos 76π＋isin 7π6)D ．z ＝23(cos 136π＋isin 13π6)[解析] z ＝3＋3i ＝23(32＋12i) ＝23(cos π6＋isin π6)＝23(cos 13π6＋isin 13π6)，应选AD ．三、填空题(本大题共4个小题，每题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．z 、ω为复数，(1＋3i)z 为纯虚数，ω＝z2＋i ，且|ω|＝52，那么ω＝__±(7－i)__.[解析] 解法1：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，那么 (1＋3i)z ＝a －3b ＋(3a ＋b )i. 由题意，得a ＝3b ≠0. ∵|ω|＝|z2＋i|＝52，∴|z |＝a 2＋b 2＝510.将a ＝3b 代入，解得a ＝±15，b ＝±5. 故ω＝±15＋5i 2＋i＝±(7－i)．解法2：由题意，设(1＋3i)z ＝k i ，k ≠0，且k ∈R ，那么ω＝k i(2＋i )(1＋3i ).∵|ω|＝5 2.∴k ＝±50.故ω＝±(7－i)．14．下面四个命题：①0比－i 大；②两个复数当且仅当其和为实数时，互为共轭复数；③x ＋y i ＝1＋i 的充要条件为x ＝y ＝1；④任何纯虚数的平方都是负实数．其中错误命题的序号是__①②③__.[解析] ①实数与虚数不能比拟大小；②两个复数互为共轭复数时其和为实数，但是两个复数的和为实数时，这两个复数不一定是共轭复数；③x ＋y i ＝1＋i 的充要条件为x ＝y ＝1是错误的，因为没有说明x ，y 是否是实数；④假设z ＝b i(b ≠0)为纯虚数，那么z 2＝－b 2<0，①②③均是错误命题，④是正确的．15．(2021·天津卷)i 是虚数单位，复数8－i 2＋i ＝__3－2i__.[解析]8－i 2＋i ＝(8－i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝15－10i5＝3－2i.16．复数z ＝2⎝⎛⎭⎫cos π5－isin π5的三角形式是__2⎝⎛⎭⎫cos 9π5＋isin 9π5__. [解析] z ＝2⎝⎛⎭⎫cos π5－isin π5 ＝2⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2π－π5＋isin ⎝⎛⎭⎫2π－π5 ＝2⎝⎛⎭⎫cos 9π5＋isin 9π5.四、解答题(本大题共6个大题，共70分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(此题总分值10分)复数z ＝(1－i )2＋3(1＋i )2－i .(1)求复数z .(2)假设z 2＋az ＋b ＝1－i ，求实数a ，b 的值． [解析] (1)z ＝－2i ＋3＋3i 2－i ＝3＋i 2－i ＝(3＋i )(2＋i )5＝1＋i.(2)把z ＝1＋i 代入z 2＋az ＋b ＝1－i ， 得(1＋i)2＋a (1＋i)＋b ＝1－i ， 整理得a ＋b ＋(2＋a )i ＝1－i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，2＋a ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝418．(此题总分值12分)(1)复数z ＝3＋i (1－3i )2，z 是z 的共轭复数，求z ·z 的值；(2)计算⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2021＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6(i 是虚数单位)．[解析] (1) 复数z ＝3＋i (1－3i )2＝3＋i －2－23i ＝－3＋i4，z ＝－3－i4.∴z ·z ＝14.(2)(21－i )2021＋(1＋i1－i)6 ＝⎝⎛⎭⎫22(1＋i )2021＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2i －126 ＝i 1008＋i 6 ＝1－1 ＝0.19．(此题总分值12分)z ＝a －i1－i，其中i 为虚数单位，a >0，复数ω＝z (z ＋i)的虚部减去它的实部所得的差等于32，求复数ω的模．[解析] ∵z ＝a －i1－i ，代入ω＝z (z ＋i)，得ω＝a －i 1－i (a －i 1－i ＋i)＝(a －i )(a ＋1)(1－i )2＝(a －i )(a ＋1)－2i＝(1＋a i )(a ＋1)2＝a ＋12＋a (a ＋1)2i ，∴ω的实部为a ＋12，虚部为a (a ＋1)2，由得a (a ＋1)2－a ＋12＝32，解得a 2＝4，∴a ＝±2. 又a >0，故a ＝2.|ω|＝|a ＋12＋a (a ＋1)2i|＝|2＋12＋2(2＋1)2i|＝|32＋3i|＝352. 20．(此题总分值12分)复数z ＝(－1＋3i )(1－i )－(1＋3i )i ，ω＝z ＋a i(a ∈R )，当|ωz |≤2时，求a 的取值范围．[解析] ∵z ＝(－1＋3i )(1－i )－(1＋3i )i ＝1＋ii ＝1－i ，∴|z |＝ 2.又|ωz |＝|ω||z |≤2，∴|ω|≤2.而ω＝z ＋a i ＝(1－i)＋a i ＝1＋(a －1)i ，(a ∈R )， 那么12＋(a －1)2≤2⇒(a －1)2≤3，∴－3≤a －1≤3，1－3≤a ≤1＋ 3.即a 的取值范围为[1－3，1＋3]．21．(此题总分值12分)设O 为坐标原点，向量OZ 1→，OZ 2→分别对应复数z 1，z 2，且z 1＝3a ＋5－(10－a 2)i ，z 2＝21－a ＋(2a －5)i ，a ∈R ，假设z 1＋z 2可以与任意实数比拟大小，求OZ 1→·OZ 2→的值．[解析] 依题意得z 1＋z 2为实数，因为z 1＋z 2＝3a ＋5＋21－a ＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2a －15＝0，a ＋5≠0，1－a ≠0.所以a ＝3.此时z 1＝38－i ，z 2＝－1＋i ，即OZ 1→＝(38，－1)，OZ 2→＝(－1,1)．所以OZ 1→·OZ 2→＝38×(－1)＋(－1)×1＝－118.22．(此题总分值12分)将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1、2、3、4、5、6)先后抛掷两次，记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b .(1)设复数z ＝a ＋b i(i 为虚数单位)，求事件“z －3i 为实数〞的概率； (2)求点P (a ，b )落在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋2≥0，0≤a ≤4，b ≥0.表示的平面区域内(含边界)的概率．[解析] (1)z ＝a ＋b i(i 为虚数单位)，z －3i 为实数，那么a ＋b i －3i ＝a ＋(b －3)i 为实数，那么b ＝3.依题意得b 的可能取值为1、2、3、4、5、6， 故b ＝3的概率为16.即事件“z －3i 为实数〞的概率为16.(2)连续抛掷两次骰子所得结果如下表： 1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)由上表知，连续抛掷两次骰子共有36种不同的结果． 不等式组所表示的平面区域如图中阴影局部所示(含边界)．由图知，点P (a ，b )落在四边形ABCD 内的结果有：(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(3,5)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)、(4,5)、(4,6)，共18种．所以点P (a ，b )落在四边形ABCD 内(含边界)的概率为P ＝1836＝12.。
2022秋高中数学 学业质量标准检测1课时作业(含解析)新人教A版选修2-2
第一章 学业质量标准检测时间120分钟，总分值150分．一、单项选择题(本大题共8个小题，每题5分，共40分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1．假设物体的运动规律是s ＝f (t )，那么物体在时刻t 0的瞬时速度可以表示为( B ) (1)lim Δt →0 f (t 0＋Δt )－f (t 0)Δt ；(2)lim Δt →0f (t 0)－f (t 0＋Δt )Δt；(3)f ′(t 0)； (4)f ′(t )． A ．(1)(2) B ．(1)(3) C ．(2)(3)D ．(2)(4)2．假设函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，那么实数k 的取值范围是( D ) A ．(－∞，－2] B ．(－∞，－1] C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)[解析] f ′(x )＝k －1x ，∵函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，∴f ′(x )≥0在区间(1，＋∞)上恒成立．∴k ≥1x ，而y ＝1x 在区间(1，＋∞)上单调递减，∴k ≥1，∴k 的取值范围是[1，＋∞)．应选D ．3．(2021·全国Ⅱ卷文，8)假设x 1＝π4，x 2＝3π4是函数f (x )＝sin ωx (ω>0)两个相邻的极值点，那么ω＝( A )A ．2B ．32C ．1D ．12[解析] 由题意及函数y ＝sin ωx 的图象与性质可知， 12T ＝3π4－π4，∴ T ＝π，∴ 2πω＝π，∴ ω＝2. 应选A ．4．函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，那么f (1)＋f ′(1)的值等于( D )A ．0B ．1C ．52D ．3[解析] 点M (1，f (1))在切线上， 所以f (1)＝12×1＋2＝52根据导数几何意义，所以f ′(1)＝12所以f (1)＋f ′(1)＝52＋12＝3.5．函数f (x )＝x 2x －1( B )A ．在(0,2)上单调递减B ．在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增C ．在(0,2)上单调递增D ．在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递减 [解析] f ′(x )＝2x (x －1)－x 2(x －1)2＝x 2－2x (x －1)2＝x (x －2)(x －1)2.令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝2.∴x ∈(－∞，0)和x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0， x ∈(0,1)和x ∈(1,2)时，f ′(x )<0，应选B ． 6．函数y ＝ln x 2x图象大致为( C )A ．B ．C ．D ．[解析] 由题意，函数y ＝ln x 2x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f (－x )＝ln (－x 2)－x ＝－ln x 2x ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，排除A ，B ；当x ＞0时，函数y ＝2ln xx ，那么y ′＝2(1－ln x )x 2，当0＜x ＜e 时，y ′＞0，函数单调递增，当x ＞e 时，y ′＜0，函数单调递减，排除D ． 7．y ＝f (x )是定义在R 上的函数，且f (1)＝1，f ′(x )>1，那么f (x )>x 的解集是( C )A ．(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)[解析] 不等式f (x )>x 可化为f (x )－x >0， 设g (x )＝f (x )－x ，那么g ′(x )＝f ′(x )－1， 由题意g ′(x )＝f ′(x )－1>0，∴函数g (x )在R 上单调递增，又g (1)＝f (1)－1＝0， ∴原不等式⇔g (x )>0⇔g (x )>g (1)． ∴x >1，应选C ．8．曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离为( A ) A ．5 B ．2 5 C ．35D ．2[解析] 设曲线上的点A (x 0，ln(2x 0－1))到直线2x －y ＋3＝0的距离最短， 那么曲线上过点A 的切线与直线2x －y ＋3＝0平行． 因为y ′＝12x －1·(2x －1)′＝22x －1，所以y ′|x ＝x 0＝22x 0－1＝2，解得x 0＝1.所以点A 的坐标为(1,0)．所以点A 到直线2x －y ＋3＝0的距离为d ＝|2×1－0＋3|22＋(－1)2＝55＝ 5.二、多项选择题(本大题共4个小题，每题5分，共20分，在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，局部选对的得3分，有选错的得0分)9．函数f (x )＝x ln x ＋12x 2，x 0是函数f (x )的极值点，以下选项正确的选项是( AC )A ．0<x 0<1eB ．x 0>1eC ．f (x 0)＋x 0＜0D ．f (x 0)＋x 0＞0[解析] ∵函数f (x )＝x ln x ＋12x 2，(x ＞0)∴f ′(x )＝ln x ＋1＋x ，易得f ′(x )＝ln x ＋1＋x 在(0，＋∞)递增， ∴f ′(1e )＝1e ＞0，∵x →0，f ′(x )→－∞，∴0＜x 0＜1e，即A 正确，B 不正确； ∵ln x 0＋1＋x 0＝0，∴f (x 0)＋x 0＝x 0ln x 0＋12x 20＋x 0＝x 0⎝⎛⎭⎫ln x 0＋12x 0＋1＝－12x 20＜0，即C 正确，D 不正确． 应选AC ．10．二次函数f (x )的图象如下图，那么其导函数 f ′(x )的图象大致形状不可能的是( ACD )[解析] 依题意可设f (x )＝ax 2＋c (a <0且c >0)，于是f ′(x )＝2ax ，显然f ′(x )的图象为直线，过原点，且斜率2a <0，应选ACD ．11．假设函数f (x )的导函数的图象关于y 轴对称，那么f (x )的解析式可能为( ABC ) A ．f (x )＝tan2x B ．f (x )＝x 5＋sin2x C ．f (x )＝1＋sin2xD ．f (x )＝e x －x[解析] 对于A ，由f (x )＝tan2x 可得f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫sin2x cos2x ′＝2cos 22x ＋2sin 22x cos 22x ＝2cos 22x ，那么f ′(x )为偶函数，关于y 轴对称，故A 满足题意；对于B ，由f (x )＝x 5＋sin2x 可得f ′(x )＝5x 4＋2cos2x, f ′(x )为偶函数，关于y 轴对称，故B 满足题意；对于C ，由f (x )＝1＋sin2x 可得f ′(x )＝2cos2x (x ∈R )，那么f ′(x )为偶函数，关于y 轴对称，故C 满足题意；对于D ，由f (x )＝e x －x 可得f ′(x )＝e x －1(x ∈R )，那么f ′(－x )＝e －x －1，所以f ′(x )是非奇非偶函数，不关于y 轴对称，故D 不满足题意；应选ABC ．12．设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，f ′(x )，g ′(x )为其导函数，当x ＜0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )＜0且g (－3)＝0，那么使得不等式f (x )g (x )＜0成立的x 的取值范围是( BD )A ．(－∞，－3)B ．(－3,0)C ．(0,3)D ．(3，＋∞)[解析] ∵f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数， ∴f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )， 令h (x )＝f (x )·g (x )， 那么h (－x )＝－h (x )，故h (x )＝f (x )·g (x )为R 上的奇函数，∵当x ＜0时，f ′(x )·g (x )＋f (x )·g ′(x )＜0，即x ＜0时，h ′(x )＝f ′(x )·g (x )＋f (x )·g ′(x )＜0， ∴h (x )＝f (x )·g (x )在区间(－∞，0)上单调递减， ∴奇函数h (x )在区间(0，＋∞)上也单调递减，又g (－3)＝0， ∴h (－3)＝－h (3)＝0，∴当x ∈(－3,0)∪(3，＋∞)时，h (x )＝f (x )·g (x )＜0， 应选BD ．三、填空题(本大题共4个小题，每题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．函数y ＝x e x 在其极值点处的切线方程为__y ＝－1e__.[解析] y ＝f (x )＝x e x ⇒f ′(x )＝(1＋x )e x ，令f ′(x )＝0⇒x ＝－1，此时f (－1)＝－1e .函数y ＝x e x 在其极值点处的切线方程为y ＝－1e.14．假设函数f (x )＝x (x －a )2在x ＝2处取得极小值，那么a ＝__2__.[解析] 求导函数可得f ′(x )＝3x 2－4ax ＋a 2，所以f ′(2)＝12－8a ＋a 2＝0，解得a ＝2或a ＝6，当a ＝2时，f ′(x )＝3x 2－8x ＋4＝(x －2)(3x －2)，函数在x ＝2处取得极小值，符合题意； 当a ＝6时，f ′(x )＝3x 3－24x ＋36＝3(x －2)(x －6)，函数在x ＝2处取得极大值，不符合题意，所以a ＝2.15．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(2a －3)x －1.(1)假设f (x )的单调减区间为(－1,1)，那么a 的取值集合为__{0}__. (2)假设f (x )在区间(－1,1)内单调递减，那么a 的取值集合为__{a |a <0}__. [解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋2a －3＝(x ＋1)(3x ＋2a －3)． (1)∵f (x )的单调减区间为(－1,1)， ∴－1和1是方程f ′(x )＝0的两根， ∴3－2a 3＝1，∴a ＝0，∴a 的取值集合为{0}．(2)∵f (x )在区间(－1,1)内单调递减，∴f ′(x )≤0在(－1,1)内恒成立，又二次函数y ＝f ′(x )开口向上，一根为－1，∴必有3－2a3≥1，∴a ≤0，∴a 的取值集合为{a |a ≤0}．16．a <0，函数f (x )＝ax 3＋12a ln x ，且f ′(1)的最大值为－12，那么实数a 的值为__－2__.[解析] f ′(x )＝3ax 2＋12ax ，那么f ′(1)＝3a ＋12a .∵a <0，∴f ′(1)＝－[(－3a )＋12－a]≤－2(－3a )×12－a＝－12.当－3a ＝12－a，即a ＝－2，取“＝〞．四、解答题(本大题共6个大题，共70分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(此题总分值10分)函数f (x )＝x 3－2ax 2＋bx ＋c ，(1)当c ＝0时，f (x )在点P (1,3)处的切线平行于直线y ＝x ＋2，求a ，b 的值； (2)假设f (x )在点A (－1,8)，B (3，－24)处有极值，求f (x )的表达式． [解析] (1)当c ＝0时，f (x )＝x 3－2ax 2＋bx . 所以f ′(x )＝3x 2－4ax ＋b . 依题意可得f (1)＝3，f ′(1)＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2a ＋b ＝3，3－4a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝6.(2)f (x )＝x 3－2ax 2＋bx ＋c ， 所以f ′(x )＝3x 2－4ax ＋b .由题意知－1,3是方程3x 2－4ax ＋b ＝0的两根，所以⎩⎨⎧－1＋3＝4a3，－1×3＝b3，解得a ＝32，b ＝－9，由f (－1)＝－1－2a －b ＋c ＝8，a ＝32，b ＝－9，可得c ＝3，所以f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋3. 检验知，合题意．18．(此题总分值12分)设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＋ax (a >0)． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)假设f (x )在(0,1]上 的最大值为12，求a 的值．[解析] 函数f (x )的定义域为(0,2)， f ′(x )＝1x －12－x＋a ，(1)当a ＝1时，f ′(x )＝－x 2＋2x (2－x )，∴当x ∈(0，2)时，f ′(x )>0，当x ∈(2，2)时，f ′(x )<0，所以f (x )的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，2)；(2)当x ∈(0,1]时，f ′(x )＝2－2xx (2－x )＋a >0，即f (x )在(0,1]上单调递增，故f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)＝a ，因此a ＝12.19．(此题总分值12分)设函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)设a ＝b ＝4，假设函数f (x )有三个不同零点，求c 的取值范围． [解析] (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 因为f (0)＝c ，f ′(0)＝b ，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝bx ＋c . (2)当a ＝b ＝4时，f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c ， 所以f ′(x )＝3x 2＋8x ＋4.令f ′(x )＝0，得3x 2＋8x ＋4＝0，解得x ＝－2或x ＝－23.f (x )与f ′(x )在区间(－∞，＋∞)上的情况如下：x (－∞，－2)－2 ⎝⎛⎭⎫－2，－23－23 ⎝⎛⎭⎫－23，＋∞ f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )↗c↘c －3227↗所以，当c ＞0且c －3227＜0时，存在x 1∈(－4，－2)，x 2∈⎝⎛⎭⎫－2，－23， x 3∈⎝⎛⎭⎫－23，0，使得f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝0. 由f (x )的单调性知，当且仅当c ∈⎝⎛⎭⎫0，3227时，函数f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c 有三个不同零点． 20．(此题总分值12分)a 为实数，函数f (x )＝x 2－2a ln x . (1)求函数f (x )的单调区间；(2)求函数f (x )在[1，＋∞)上的最小值g (a )；(3)假设a ＞0，求使方程f (x )＝2ax 有唯一解的a 的值． [解析] (1)由题意，函数f (x )＝x 2－2a ln x ，可得f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝2(x 2－a )x ，当a ≤0时，f ′(x )＞0，那么f (x )在(0，＋∞)上是增函数；当a ＞0时，令f ′(x )＜0，解得0＜x ＜a ；令f ′(x )＞0，得x ＞a ， 所以f (x )在(0，a )上是减函数，在(a ，＋∞)上是增函数. (2)由(Ⅰ)可知，①当a ≤0时，f (x )在[1，＋∞)上是增函数，所以g (a )＝f (x )mi n ＝f (1)＝1； ②当a ＞0时，f (x )在(0，a )上是减函数，在(a ，＋∞)上是增函数，假设0＜a ≤1，即0＜a ≤1时，f (x )在[1，＋∞)上是增函数，所以g (a )＝f (x )mi n ＝f (1)＝1；假设a ＞1，即a ＞1时，f (x )在(1，a )上是减函数，在(a ，＋∞)上是增函数，所以g (a )＝f (x )mi n ＝f (a )＝a －a ln a ，综上可得g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， a ≤1a －a ln a ，a ＞1.(3)假设方程f (x )＝2ax 有唯一解， 设g (x )＝f (x )－2ax ＝0有唯一解， 令g ′(x )＝0，可得x 2－ax －a ＝0，因为a ＞0，x ＞0， 所以x 1＝a ＋a 2＋4a 2或x 1＝a －a 2＋4a2(舍去)， 当x ∈(0，x 1)时，g ′(x )＜0，g (x )在(0，x 1)上是单调递减函数； 当x ∈(x 1，＋∞)时，g ′(x )＞0，g (x )在(x 1，＋∞)上是单调递增函数， 所以当x ＝x 1时，函数取得最小值，最小值为g (x )min ＝g (x 1)，因为g (x )＝0有唯一解，所以g (x 1)＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ g (x 1)＝0g ′(x 1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 21－2a ln x 1－2ax 1＝0x 21－ax 1－a ＝0，所以2a ln x 1＋ax 1－a ＝0，因为a ＞0，所以2ln x 1＋x 1－1＝0，设函数h (x )＝2ln x ＋x －1，∵x ＞0时，h (x )是增函数， 所以h (x )＝0至多有一个解，且h (1)＝0，所以方程2ln x 1＋x 1－1＝0得解为x 1＝1，即x 1＝a ＋a 2＋4a 2＝1，解得a ＝12， 所以当a ＞0时，方程f (x )＝2ax 有唯一解时a 的值为12.21．(此题总分值12分)某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率P 与日产量x (万件)之间大体满足关系：P ＝⎩⎨⎧16－x ，1≤x ≤c ，23，x >c ，(其中c 为小于6的正常数)(注：次品率＝次品数/生产量，如P ＝0.1表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品)每生产1万件合格的仪器可盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出适宜的日产量．(1)试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T (万元)表示为日产量x (万件)的函数． (2)当日产量为多少时，可获得最大利润？ [解析] (1)当x >c 时，P ＝23，所以T ＝13x ·2－23x ·1＝0.当1≤x ≤c 时，P ＝16－x，所以T ＝(1－16－x )·x ·2－(16－x )·x ·1＝9x －2x 26－x.综上，日盈利额T (万元)与日产量x (万件)的函数关系为：T ＝⎩⎪⎨⎪⎧9x －2x 26－x，1≤x ≤c ，0，x >c .(2)由(1)知，当x >c 时，每天的盈利额为0，当1≤x ≤c 时，T ′＝(9－4x )(6－x )＋(9x －2x 2)(6－x )2＝2(x －3)(x －9)(6－x )2，令T ′＝0，解得x ＝3或x ＝9. 因为1<x <c ，c <6，所以(ⅰ)当3≤c <6时，T m ax ＝3，此时x ＝3. (ⅱ)当1≤c <3时，由T ′＝2x 2－24x ＋54(6－x )2＝2(x －3)(x －9)(6－x )2知函数T ＝9x －2x 26－x 在[1,3]上递增，所以T m ax ＝9c －2c 26－c，此时x ＝c .综上，假设3≤c <6，那么当日产量为3万件时，可获得最大利润； 假设1≤c <3，那么当日产量为c 万件时，可获得最大利润． 22．(此题总分值14分)函数f (x )＝ln x ＋2ax ＋1＋bx (a ∈R ，b ∈R )．(1)当a ＝0时，假设函数f (x )在(0，＋∞)上有两个零点，求b 的取值范围；(2)当b ＝0时，是否存在a ∈R ，使得不等式f (x )≤a2(x ＋1)恒成立？假设存在，求出a 的取值集合；假设不存在，请说明理由．[解析] (1)当a ＝0时，f (x )＝ln x ＋bx ， f ′(x )＝1x ＋b ＝1＋bx x(x ＞0)，当b ≥0时，f ′(x )＞0，f (x )在(0，＋∞)上单递增，不合题意，舍去； 当b ＜0时，f ′(x )＝0，x ＝－1b，进而f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－1b 上单调递增， 在⎝⎛⎭⎫－1b ，＋∞上单调递减， 依题意有f ⎝⎛⎭⎫－1b ＞0， ln ⎝⎛⎭⎫－1b －1＞0，－1b ＞e ，解得－1e＜b ＜0， 又f (1)＝b ＜0，且－1b＞e ＞1， f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－1b 上单调递增， 进而由零点存在定理可知，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－1b 上存在唯一零点； 下面先证ln x ＜1ex (x ＞0)恒成立， 令φ(x )＝1e x －ln x ，那么φ′(x )＝1e －1x ＝x －e e x， 当x ∈(0，e)时，φ′(x )＜0，函数φ(x )单调递减，当x ∈(e ，＋∞)时，φ′(x )＞0，函数φ(x )单调递增，进而φ(x )≥φ(e)＝0，∴1ex ≥ln x ， ∴ln x ＝2ln x 12 ≤2ex 12 ＜x 12 ， 可得f (x )＝ln x ＋bx ＜x 12 ＋bx ，假设x 12 ＋bx ＝0，得x ＝1b 2， 因为－1b ＞e ，那么1b 2＞e 2，即当x ∈⎝⎛⎭⎫－1b ，＋∞时，取x 0＝1b 2，有f ⎝⎛⎭⎫1b 2＜⎝⎛⎭⎫1b 212 ＋b b 2＝0， 即存在x 0＝1b 2使得f (x 0)＜0， 进而由零点存在定理可知f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－1b 上存在唯一零点； (2)当b ＝0时，存在a ＝1，使得不等式f (x )≤a 2(x ＋1)恒成立． 证明如下：当b ＝0时，设g (x )＝ln x ＋2a x ＋1－a 2(x ＋1)， 那么g ′(x )＝1x －2a (x ＋1)2－a 2， 依题意，函数g (x )≤0恒成立，又由g (1)＝0，进而条件转化为不等式g (x )≤g (1)对x ＞0恒成立，所以g (1)是函数g (x )的最大值，也是函数g (x )的极大值，故g ′(1)＝0，解得a ＝1. 当a ＝1时，g ′(x )＝2－x 3－x2x (x ＋1)2＝－(x －1)(x 2＋x ＋2)2x (x ＋1)2(x ＞0)， 令g ′(x )＞0可得0＜x ＜1，令g ′(x )＜0可得x ＞1.故g (x )在(0,1)上递增，在(1，＋∞)上递减．因此g (x )≤g (1)＝0，即不等式f (x )≤a 2(x ＋1)恒成立． 综上，存在且a 的取值集合为{1}．。
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高二期中数学选修2－2质量检测试题（卷）2012.04命题：区教研室 检测：石油中学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页.第Ⅱ卷3至6页.考试结束后. 只将第Ⅱ卷和答题卡一并交回.参考公式： (sin )cos x x '=，(cos )sin x x '=-，1(ln )x x'=， 1()x x ααα-'=（α为实数） 第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将姓名、准考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.一、选择题：本大题共10个小题，每小题6分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知153z i =+，254z i =+，下列各式中正确的是A ．12z z >B ．12z z <C ．12||||z z >D ．12||||z z < 2. 归纳推理与类比推理的相似之处为A ．都是从一般到一般B ．都是从一般到特殊C ．都是从特殊到特殊D ．都不一定正确 3. 函数2cos y x x =的导数为 A ．22cos sin y x x x x '=-B ．22cos sin y x x x x '=+C ．2cos 2sin y x x x x '=- D ．2cos sin y x x x x '=- 4. 复数512ii-在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限5. 过曲线32y x x =+-上的点0P 的切线平行于直线41y x =-，则切点0P 的坐 标为A ．(0,1)-或(1,0)B ．(1,0)或(1,4)--C ．(0,2)-或(1,4)--D ．(2,8)或(1,0) 6. 已知()f x x α=，若(1)4f '-=-，则α的值为 A ．4 B ．4- C ．5 D ．5- 7．函数x x y ln =的单调递减区间是 A ．),(1+∞-eB ．),(1--∞eC ．),0(1-eD ．),(+∞e8．若函数3()33f x x bx b =-+在(01)，内有极小值，则 A ．01b << B ．1b <C ．0b >D ．0b <9. 定积分12(1)xdx π-⎰表示A ．单位圆面积的一半B ．以1为半径的球的表面积的一半C ．以1为半径的球的体积的一半D ．以1为半径的球的体积10. 已知32()26f x x x m =-++（m 为常数）在[]-22，上有最小值3，那么此函数在[]-22，上的最大值为 A ．5B ．11C ．29D ．43二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分.把本大题答案填在第Ⅱ卷题中横线上.11. 计算：2(21)122++=，3(31)1232+++=，4(41)12342++++=， ……，(1)1232n n n +++++=．以上运用的是什么形式的推理？__ ★ __ ．12. 下列表述：①综合法是执因导果法；②分析法是间接证法；③分析法是执果索因法；④反证法是直接证法． 正确的语句有是__ ★ __ (填序号)． 13．计算1(2)x e x dx +⎰所得的结果为__ ★ __ ．14．若复数2(32)(1)a a a i -++-是纯虚数，则实数a 的值为__ ★ __ ． 15．曲线3cos (0)2y x x π=≤≤与坐标轴所围成的图形的面积是__ ★ __ ． 16．观察下列三个三角恒等式：tan10tan 20tan 20tan60tan60tan101++=；tan 5tan100tan100tan(15)tan(15)tan 51+-+-=；tan13tan 35tan 35tan42tan42tan131++=.一般地，若tan ,tan ,tan αβγ都有意义，你从这三个恒等式中猜想得到的一个结论为__ ★ __ ．高二数学选修2－2质量检测试题（卷）2012.04命题：马晶（区教研室） 检测：齐宗锁（石油中学） 题号 二 三总分总分人17 18 19 20得分复核人第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分. 把答案填在题中横线上.11． ； 12． ； 13． ； 14． ； 15． ；16． .三、解答题：本大题共4小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分14分）（1）用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角大于或等于60°.（2）已知0,n ≥试用分析法证明：211n n n n +-+<+- .18．(本小题满分12分)已知数列{}n a 满足112n na a +=-，10a =. （1）计算2a ，3a ，4a ，5a 的值；（2）根据以上计算结果猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想.19．（本小题满分14分）某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y （升）关于行驶速度x （km/h ）的函数解析式可以表示为880312800013+-=x x y )1200(≤≤x ，已知甲、乙两地相距100km .（1）当汽车以40km/h 的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？20．（本小题满分14分）设32()1f x x ax bx =+++的导数()f x '满足(1)2f a '=，(2)f b '=-，其中常数a ，b R ∈.（1）求曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线方程；（2）设()()x g x f x e -'=，求函数()g x 的极值.高二数学选修2－2质量检测参考答案2012.04命题：马晶（区教研室） 检测：齐宗锁（石油中学）一、选择题：本大题共10个小题，每小题6分，共60分.1. D2. D3. A4. B 5．B 6．A 7. C 8. A 9．C 10. D 二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分.11．归纳推理 12. ①③ 13．e 14. 2 15．316．tan tan tan tan tan tan 1αββγγα++=,其中90αβγ++= 三、解答题：本大题共4小题，共54分. 17.（本小题满分14分）（1）证明：假设在一个三角形中，没有一个内角大于或等于60°， 即均小于60°， （2分） 则三内角和小于180°，与三角形中三内角和等于180°矛盾，故假设不成立 .原命题成立 .（6分）（2）证明：要证上式成立，需证221n n n ++<+ （8分）需证22(2)(21)n n n ++<+需证n n n 212+>+ （10分） 需证n n n 2)1(22+>+需证n n n n 21222+>++， （12分）只需证1>0因为1>0显然成立，所以原命题成立 . （14分） 18．(本小题满分12分)解：（1）由112n na a +=-和10a =，得 211202a ==-，3121322a ==-， 4132423a ==-，5143524a ==-. （4分） （2）由以上结果猜测： 1n n a n -= （6分）用数学归纳法证明如下：（Ⅰ）当1n =时 ，左边10a ==，右边1101-==，等式成立. （8分）（Ⅱ）假设当(1)n k k =≥时,命题成立，即1k k a k -=成立.那么，当1n k =+时，111(1)112112k k k k a k a k k k++-====--++-这就是说，当1n k =+时等式成立.由（Ⅰ）和（Ⅱ），可知猜测1n n a n -=对于任意正整数n 都成立.（12分）19．（本小题满分14分）解: (1)当40=x km/h 时，汽车从甲地到乙地行驶了5.240100=h （2分） 要耗油5.175.2)840803401280001(3=⨯+⨯-⨯(升) （4分）(2)当速度为x km/h ，汽车从甲地到乙地行驶了x100h ，耗油量为)(x f 升，依题意得 313100()(8)12800080f x x x x=-+415800128012-+=x x （7分）233264080800640)('x x x x x f -=-=(0120)x <≤令0)('=x f ，得80=x （10分） 当)80,0(∈x 时，0)('<x f ，)(x f 是减函数当)12080(，∈x 时，0)('>x f ，)(x f 是增函数 （12分） ∴当80=x 时，)(x f 取得极小值：45)880803801280001()80(3⨯+⨯-⨯=f 25.11445==(升) （13分）因此，当汽车以80 km/h 的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油量少，最少为11.25升。
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第二章学业质量标准检测时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(2019·运城期中)下列表述正确的是(D)①归纳推理是由特殊到一般的推理；②演绎推理是由一般到特殊的推理；③类比推理是由特殊到一般的推理；④分析法是一种间接证明法．A．①②③④B．②③④C．①②④D．①②[解析]根据题意，依次分析4个命题：对于①、归纳推理是由特殊到一般的推理，符合归纳推理的定义，正确；对于②、演绎推理是由一般到特殊的推理，符合演绎推理的定义，正确；对于③、类比推理是由特殊到特殊的推理，错误；对于④、分析法、综合法是常见的直接证明法，④错误；则正确的是①②.故选D．2．(2019·全国Ⅱ卷文，5)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为(A)A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙[解析]由于三人成绩互不相同且只有一个人预测正确．若甲预测正确，则乙、丙预测错误，于是三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若甲预测错误，则甲、乙按成绩由高到低的次序为乙、甲，又假设丙预测正确，则乙、丙按成绩由高到低的次序为丙、乙，于是甲、乙、丙按成绩由高到低排序为丙、乙、甲，从而乙的预测也正确，与事实矛盾；若甲、丙预测错误，则可推出乙的预测也错误. 综上所述，三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙．故选A ．3．设f (x )(x ∈R )为奇函数，f (1)＝12，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (5)等于( C )A ．0B ．1C ．52D ．5[解析] ∵f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)， ∴令x ＝－1，则有f (1)＝f (－1)＋f (2)， ∴f (2)＝2f (1)．又∵f (1)＝12，∴f (2)＝1，∴f (5)＝f (3＋2)＝f (3)＋f (2) ＝2f (2)＋f (1) ＝2＋12＝52.4．已知c ＞1，a ＝c ＋1－c ，b ＝c －c －1，则正确的结论是( B ) A ．a ＞b B ．a ＜bC ．a ＝bD ．a 、b 大小不定 [解析] a ＝c ＋1－c ＝1c ＋1＋c， b ＝c －c －1＝1c ＋c －1， 因为c ＋1>c >0，c >c －1>0， 所以c ＋1＋c >c ＋c －1>0，所以a <b .5．已知x 1>0，x 1≠1且x n ＋1＝x n (x 2n ＋3)3x 2n ＋1(n ＝1,2，…)，试证“数列{x n }对任意正整数n 都满足x n <x n ＋1，或者对任意正整数n 都满足x n >x n ＋1”，当此题用反证法否定结论时，应为( D )A ．对任意的正整数n ，都有x n ＝x n ＋1B．存在正整数n，使x n＝x n＋1C．存在正整数n，使x n≥x n＋1且x n≤x n－1D．存在正整数n，使(x n－x n－1)(x n－x n＋1)≥0[解析]命题的结论是“数列{x n}是递增数列或是递减数列”，其反设是“数列{x n}既不是递增数列，也不是递减数列”，即“存在正整数n，使(x n－x n－1)(x n－x n＋1)≥0.”故应选D．6．如果p(n)对n＝k(k∈N*)成立，则它对n＝k＋2也成立．已知p(n)对n＝2成立，则下列结论正确的是(B)A．p(n)对所有正整数n都成立B．p(n)对所有正偶数n都成立C．p(n)对大于或等于2的正整数n都成立D．p(n)对所有自然数n都成立[解析]∵p(n)对n＝2成立，2为偶函数，∴根据题意知p(n)对所有正偶数n都成立．故选B．7．将自然数0,1,2，…按照如下形式进行摆列：根据以上规律判定，从2016到2018的箭头方向是(A)[解析]从所给的图形中观察得到规律：每隔四个单位，箭头的走向是一样的，比如说，0→1，箭头垂直指下，4→5，箭头也是垂直指下，8→9也是如此，而2016＝4×504，所以2016→2017也是箭头垂直指下，之后2017→2018的箭头是水平向右，故选A ．8．(2017·全国Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( D )A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩[解析] 由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀，1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．故选D ．9．用数学归纳法证明“1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)”时，由n ＝k (k >1)不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项数是( C )A ．2k －1 B ．2k －1 C ．2kD ．2k ＋1[解析] 左边的特点是分母逐渐增加1，末项为12n －1；由n ＝k 时，末项为12k －1到n ＝k ＋1时末项为12k ＋1－1＝12k －1＋2k，∴应增加的项数为2k . 故选C ．10．如图，在所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性，应为( A )[解析] 每一行三个图形的变化规律：第一个图形逆时针旋转90°得到第二个图形，第二个图形上下翻折得到第三个图形，所以选A ．11．已知a ，b >0，且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( D ) A ．(a －1)(b －1)<0 B ．(a －1)(a －b )>0 C ．(b －1)(b －a )<0D ．(b －1)(b －a )>0[解析] 根据题意，log a b >1⇔log a b －log a a >0⇔log a ba >0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <10<b a <1或⎩⎪⎨⎪⎧a >1b a>1，即⎩⎨⎧ 0<a <10<b <a 或⎩⎨⎧a >1b >a . 当⎩⎨⎧0<a <10<b <a时，0<b <a <1，∴b －1<0，b －a <0；当⎩⎨⎧a >1b >a时，b >a >1，∴b －1>0，b －a >0. ∴(b －1)(b －a )>0，故选D ．12．某人在上楼梯时，一步上一个台阶或两个台阶，设他从平面上到第一级台阶时有f (1)种走法，从平地上到第二级台阶时有f (2)种走法，……则他从平地上到第n (n ≥3)级台阶时的走法f (n )等于( D )A ．f (n －1)＋1B ．f (n －2)＋2C ．f (n －2)＋1D ．f (n －1)＋f (n －2)[解析] 到第n 级台阶可分两类：从第n －2级一步到第n 级有f (n －2)种走法，从第n －1级到第n 级有f (n －1)种走法，共有f (n －1)＋f (n －2)种走法．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．(2019·大武口区校级一模)甲、乙、丙、丁四人分别从一个装有编号为1,2,3,4的四个完全相同的小球的袋中依次取出一个小球．现知道：①甲取出的小球编号为偶数；②乙取出的小球编号比甲大；③乙、丙取出的小球编号差的绝对值比甲大．则丁取出的小球编号是3.[解析] 由①②可知，甲取出的小球编号为2，乙取出的小球编号可能是3或4.又|1－4|＝3＞2，|1－3|＝2，所以由③可知，乙取出的小球编号是4，丙取出的小球编号是1， 故丁取出的小球编号是3. 故答案为3.14．在等差数列{a n }中，若公差为d ，且a 1＝d ，那么有a m ＋a n ＝a m ＋n ，类比上述性质，写出在等比数列{a n }中类似的性质：在等比数列{a n }中，若公比为q ，且a 1＝q ，则a m ·a n ＝a m ＋n .[解析] 等差数列中两项之和类比等比数列中两项之积，故在等比数列中，类似的性质是“在等比数列{a n }中，若公比为q ，且a 1＝q ，则a m ·a n ＝a m ＋n .”15．观察分析下表中的数据：F ＋V －E ＝2. [解析] 本题考查归纳推理． 5＋6－9＝2， 6＋6－10＝2， 6＋8－12＝2， ∴F ＋V －E ＝2.16．一个二元码是由0和1组成的数字串x 1x 2…x n (n ∈N *)，其中x k (k ＝1，2，…，n )称为第k 位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0)．已知某种二元码x 1x 2…x 7的码元满足如下校验方程组： ⎩⎪⎨⎪⎧x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝0，x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝0，x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝0，其中运算⊕定义为：0⊕0＝0,0⊕1＝1,1⊕0＝1,1⊕1＝0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1 101 101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于5.[解析] 根据题意，列出检验方程组， ⎩⎪⎨⎪⎧1⊕1⊕0⊕1＝1，1⊕0⊕0⊕1＝0，1⊕0⊕1⊕1＝1，显然第一个式子和第三个式子错误，第二个式子没有影响，所以错误的应该出现在第一个式子和第三个式子都有而第二个式子没有的码元，只有x 5，验证一下把x 5换成0，上式检验方程组都成立，所以x 5出错了，即k ＝5.三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)已知n ≥0，试用分析法证明：n ＋2－n ＋1<n ＋1－n . [解析] 要证n ＋2－n ＋1<n ＋1－n 成立，需证明n ＋2＋n <2n ＋1.只需证明(n ＋2＋n )2<(2n ＋1)2，只需证明n ＋1>n 2＋2n ，只需证明(n ＋1)2>n 2＋2n ， 只需证明n 2＋2n ＋1>n 2＋2n ， 只需证明1>0.因为1>0显然成立，所以原命题成立．18．(本题满分12分)已知函数f (x )满足下列条件：(1)f (12)＝1，(2)f (xy )＝f (x )＋f (y )，(3)f (x )的值域为[－1,1]．试证明：14不在f (x )的定义域内．[证明] 假设14在f (x )的定义域内，因为f (xy )＝f (x )＋f (y )，所以f (14)＝f (12×12)＝f (12)＋f (12)＝2.又f (x )的值域为[－1,1]，2∉[－1,1]， 所以14不在函数f (x )的定义域内．19．(本题满分12分)先解答(1)，再通过结构类比解答(2)． (1)求证：tan(x ＋π4)＝1＋tan x1－tan x；(2)设x ∈R ，a 为非零常数，且f (x ＋a )＝1＋f (x )1－f (x )，试问：f (x )是周期函数吗？证明你的结论．[解析] (1)证明：根据两角和的正切公式得 tan(x ＋π4)＝tan x ＋tanπ41－tan x tanπ4＝tan x ＋11－tan x ＝1＋tan x 1－tan x，即tan(x ＋π4)＝1＋tan x1－tan x ，命题得证．(2)猜想f (x )是以4a 为周期的周期函数．因为f (x ＋2a )＝f [(x ＋a )＋a ]＝1＋f (x ＋a )1－f (x ＋a )＝1＋1＋f (x )1－f (x )1－1＋f (x )1－f (x )＝－1f (x ).所以f (x ＋4a )＝f [(x ＋2a )＋2a ]＝－1f (x ＋2a )＝f (x )．所以f (x )是以4a 为周期的周期函数．20．(本题满分12分)我们知道，在△ABC 中，若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是直角三角形．现在请你研究：若c n ＝a n ＋b n (n ＞2)，问△ABC 为何种三角形？为什么？[解析] 锐角三角形 ∵c n ＝a n ＋b n (n ＞2)，∴c ＞a, c ＞b ，由c 是△ABC 的最大边，所以要证△ABC 是锐角三角形，只需证角C 为锐角，即证cos C ＞0.∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，∴要证cos C ＞0，只要证a 2＋b 2＞c 2， ①注意到条件：a n ＋b n ＝c n ，于是将①等价变形为：(a 2＋b 2)c n －2＞c n .②∵c ＞a ，c ＞b ，n ＞2，∴c n －2＞a n －2，c n －2＞b n －2， 即c n －2－a n －2＞0，c n －2－b n －2＞0， 从而(a 2＋b 2)c n －2－c n ＝(a 2＋b 2)c n －2－a n －b n ＝a 2(c n －2－a n －2)＋b 2(c n －2－b n －2)＞0， 这说明②式成立，从而①式也成立．故cos C ＞0，C 是锐角，△ABC 为锐角三角形．21．(本题满分12分)椭圆与双曲线有许多优美的对称性质．对于椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)有如下命题：AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB的中点，则k OM ·k AB ＝－b 2a 2为定值．那么对于双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则有命题：AB是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB 的中点，猜想k OM ·k AB 的值，并证明．[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋x22，y 0＝y 1＋y 22.k OM ＝y 0x 0＝y 1＋y 2x 1＋x 2，k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2，即k OM ·k AB ＝(y 1－y 2)(y 1＋y 2)(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝y 21－y 22x 21－x 22. 将A 、B 坐标代入双曲线方程x 2a 2－y 2b 2＝1中可得：x 21a 2－y 21b 2＝1 ① x 22a 2－y 22b2＝1②①－②得：x 21－x 22a 2＝y 21－y 22b 2，∴y 21－y 22x 21－x 22＝b 2a2，即k OM ·k AB ＝b 2a 2.22．(本题满分12分)(2019·马鞍山高二检测)已知数列{x n }满足x 1＝12，x n ＋1＝11＋x n，n∈N * .猜想数列{x 2n }的单调性，并证明你的结论．[解析] 由x 1＝12及x n ＋1＝11＋x n ，得x 2＝23，x 4＝58，x 6＝1321，由x 2>x 4>x 6猜想：数列{x 2n }是递减数列． 下面用数学归纳法证明： (1)当n ＝1时，已证命题成立．(2)假设当n ＝k 时命题成立，即x 2k >x 2k ＋2，那么x 2k ＋2－x 2k ＋4＝11＋x 2k ＋1－11＋x 2k ＋3＝x 2k ＋3－x 2k ＋1(1＋x 2k ＋1)(1＋x 2k ＋3)＝11＋x 2k ＋2－11＋x 2k(1＋x 2k ＋1)(1＋x 2k ＋3)＝x 2k －x 2k ＋2(1＋x 2k )(1＋x 2k ＋1)(1＋x 2k ＋2)(1＋x 2k ＋3)>0，即x 2(k ＋1)>x 2(k ＋1)＋2，也就是说，当n ＝k ＋1时命题也成立．结合(1)和(2)知命题成立．。