离散完整ppt课件7.2-3
合集下载
离散数学 群与半群
1 2 显然，a是<{a，a2，a3，…}，⊙>的生成元。
2 给定群<G，⊙>，若G是有限集，则称<G，⊙>是有限群。
1
<T，○，e >是独异点，则<S×T，，<e ， 假若群<G，⊙>为有限群，其子群是<H，⊙>，且|G|=n，|H|=m，则G的对于H的左陪集划分可表为G=a1H∪a2H∪···∪akH，其中k为不
为置换中的反置换，记为p-1。特别把置换
பைடு நூலகம்
x1 x1
x2 x2
xxnn称 为 X 中 的 幺 置 换 或
恒等置换，记为pe。
此外，用PX表示集合X中的所有置换的集 合。
为了说明n个元素的集合可以有多少不同的 置换，特给出如下定理：
定 理 7.5.1 若 X={x1 ， x2 ， … ， xn} ， 则 |PX|=n!
在正式讨论置换群以前，需要先作些 必要的准备。
定义7.5.1 令X是非空有穷集合，从X到X的 双射，称为集合X中的置换，并称|X|为置换的 阶。
若X={x1，x2，…，xn}，则n阶置换表为
pp(xx11)
x2 p(x2)
xn p(xn)
并称
p(x1)
x1
p(x2) x2
p(xn)
xn
定义7.2.1 给定两个半群<S，⊙>与<T， ○>，则
半群<S，⊙>半群<T， ○>:=(f)(f∈TS∧(x)( y)(x， y∈S→f(x⊙y)=f(x) f(y))
并称f为从<S，⊙>到<T，○>的半群同态 映射。
由定义可以知道，半群同态映射f可以不是 唯一的。
第七章7.2离散型随机变量及其分布列PPT课件(人教版)
若随机变量Y＝X－2，则P(Y＝2)等于
√A.0.3
B.0.4
C.0.6
D.0.7
解析 由0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3. 所以P(Y＝2)＝P(X＝4)＝0.3.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
3.某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射
12345
5.若随机变量X服从两点散布，且P(X＝0)＝0.8，P(X＝1)＝0.2.令Y＝3X －2，则P(Y＝－2)＝__0_.8__. 解析 因为Y＝3X－2，所以当Y＝－2时，X＝0， 所以P(Y＝－2)＝P(X＝0)＝0.8.
12345
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单： (1)随机变量的概念、特征. (2)离散型随机变量的概念. (3)离散型随机变量的散布列的概念及其性质. (4)两点散布. 2.方法归纳：转化化归. 3.常见误区：随机变量的取值不明确导致散布列求解错误.
二、求离散型随机变量的散布列
例2 一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸 出2个球. (1)求摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率；
解 一个箱子里装有 5 个大小相同的球，有 3 个白球，2 个红球，从中摸 出 2 个球，有 C25＝10(种)情况. 设摸出的2个球中有1个白球和1个红球的事件为A，P(A)＝C113C0 12＝35， 即摸出的 2 个球中有 1 个白球和 1 个红球的概率为35.
解析 ABD中随机变量X所有可能取的值我们都可以按一定次序一一 列出， 因此它们都是离散型随机变量，C中X可以取某一区间内的一切值， 无法一一列出， 故不是离散型随机变量.
自动控制理论课件第七章离散系统的时域分析
y(n) y(n 1) 0
已知起始状态y(1) 2,试求零输入响应。
解：在无外加输入时系统的零输入响应通常
是指n 0以后的响应起始状态是值y(1),
y(2), 各值。
y(n) y(n 1)
故有 y(n) y(1) y(2)
y(n 1) y(0) y(1)
y(n)是公比为的等比级数，故零输入响应有如下形式
是一阶非齐次差分方程。
梯形电阻网络，设各点 对地电压为 u(n), n 0,1,2,...为各节点
序号，为常数，则求其差分方程。
根据KCL, 有
u(n 1) u(n) u(n) u(n) u(n 1)
R
R
R
整理可得
u(n 1) u(n 1) (2a 1)u(n) 0
是关于节点电压的齐次差分方程。
u(n) (2a 1)u(n 1) u(n 2) 0
差分方程的阶数为未知 序列(响应序列)的最大序号与
最小序号之差。上式为 二阶差分方程。
对于一个线性是不变离散系统，若响应信号为y(n)，
输入信号为f (n)，则描述系统输入- 输出关系的
N阶差分方程为
y(n) a1y(n 1) a2 y(n 2) aN-1y(n N 1) aN y(n N )
an n 1 a 0
1 1 O 1
23
4n
5．正弦序列
xn sinnω0
余弦序列：xn cosn0
sinnω0
1
sin 0 t
O
1
5
10 n
1
0 : 正弦序列的频率, 序列值依次周期性重复的速率。
当
＝2π 0 10
,
则序列每10个重复一次正弦包络的数值。
已知起始状态y(1) 2,试求零输入响应。
解：在无外加输入时系统的零输入响应通常
是指n 0以后的响应起始状态是值y(1),
y(2), 各值。
y(n) y(n 1)
故有 y(n) y(1) y(2)
y(n 1) y(0) y(1)
y(n)是公比为的等比级数，故零输入响应有如下形式
是一阶非齐次差分方程。
梯形电阻网络，设各点 对地电压为 u(n), n 0,1,2,...为各节点
序号，为常数，则求其差分方程。
根据KCL, 有
u(n 1) u(n) u(n) u(n) u(n 1)
R
R
R
整理可得
u(n 1) u(n 1) (2a 1)u(n) 0
是关于节点电压的齐次差分方程。
u(n) (2a 1)u(n 1) u(n 2) 0
差分方程的阶数为未知 序列(响应序列)的最大序号与
最小序号之差。上式为 二阶差分方程。
对于一个线性是不变离散系统，若响应信号为y(n)，
输入信号为f (n)，则描述系统输入- 输出关系的
N阶差分方程为
y(n) a1y(n 1) a2 y(n 2) aN-1y(n N 1) aN y(n N )
an n 1 a 0
1 1 O 1
23
4n
5．正弦序列
xn sinnω0
余弦序列：xn cosn0
sinnω0
1
sin 0 t
O
1
5
10 n
1
0 : 正弦序列的频率, 序列值依次周期性重复的速率。
当
＝2π 0 10
,
则序列每10个重复一次正弦包络的数值。
7.2 离散型随机变量及其分布列 课件-2021-2022学年高二下学期数学人教A版(2019)选择
八、教学过程分析：
环节一、复习回顾：
1.随机试验的概念和特点； 2.样本点和样本空间，及有限样本空间； 3.随机事件的定义； 4.随机事件的概率定义； 5.古典概型的特征，及古典概型的概率 公式。
• 【设计意图】通过复习回顾随机事件、样本点和样 本空间的概念，古典概型的公式，为本节课学习分
布列打下基础。
【第二层】随机变量与离散型随机变量的概念
一般的，对于随机试验样本空间中的每个样本点， 都有唯一的实数X（）与之对应，我们称X为随机变量。
可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，叫做 离散型随机变量。
例如，探究中的试验1随机变量X的可能取值为 0，1，2，3. 试验2中随机变量Y的可能取值为1，2，3，..., 有无限个，但可一一列举。
试验的样本点与实数的关 本节的考查主要为离散型随
系。
机变量的分布列的求法，分
2.通过具体实例，理解取有 布列的性质、服从两点分布
限个值的离散型随机变量 的随机变量的概率求法。
及其分布列的概念。
2.从考查形式看，常以选择
3.认识分布列对于刻画随机 题、填空题的形式考查分布
现象的重要性。
列的性质及两点分布，另外
如：1.掷一枚骰子时掷出的点数；样本空间 1，2，3，4，5，6
2.掷两枚骰子时，两枚骰子的点数之和。
样本空间 2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12
【第二类】随机试验的样本点与数值没有直接 关系，可以根据问题的需要为每个样本点指定 一个数值。 例如：随机抽取一件产品，有“抽到次品”和“抽到 正品”两种可能，它们与数值无关；
习统计学的理论基础。本节课不仅是“生活化” 数学的集中体现，也为学生在大学进一步的深入 学习打下理论基础，因此它起到了承前启后的核 心作用。教材是教学的主媒体。
离散数学7-树
(b)
(a)
V5
2
1
V7
8
9
V2
V4
2
3
V8
5
V1
V1
V4
V5
1
3
V7
V6
8
V4
2
V8
5
6
V1
1
V5
6
V7
V6
8
3
V8
5
6
V7
9
V3
(e)
V3
(f)
(g)
22
V2
V3
(h)
五.应用举例——求最小生成树
例3 用管梅谷算法求下图的最小生成树。
23
五.应用举例——求最小生成树
例3 用管梅谷算法求下图的最小生成树。
成圈。
首先证明T无简单回路。对n作归纳证明。
(i) n=1时,m=n-1=0,显然无简单回路；
(ii)假设顶点数为n-1时无简单回路，现考察顶点数是n的情况：此时至少有一
个顶点v其次数d(v)=1。因为若n个顶点的次数都大于等于2，则不少于n条边，但这与
m=n-1矛盾。
删去v及其关联边得到新图T’，根据归纳假设T’无简单回路，再加回v及其关联
边又得到图T，则T也无简单回路。
再由图的连通性可知，加入任何一边后就会形成圈，且只有一个圈，否则原图
中会含圈。
9
二. 基本定理——证明
证明(4):(3)(4)，即证一个无圈图若加入任一边就形成圈，
则该图连通，且其任何一边都是桥。
若图不连通,则存在两个顶点vi和vj，在vi和vj之间没有路，若
加边(vi,vj)不会产生简单回路，但这与假设矛盾。由于T无简单回
7-2离散型随机变量及其分布列(教学课件)——高中数学人教A版(2019)选择性必修第三册
4
10
5
X的分布列为：
X
1
2
3
4
5
P
1
10
1
4
3
10
1
5
3
20
例3 一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台.如果从中随机挑
选2台，求这2台电脑中A品牌台数的分布列.
解：设随机挑选的2台电脑中A品牌的台数为X，则X的可能取值为0, 1, 2.
根据古典概型的知识，可得
C30C72 3
C31C71 7
离散变量的分布列可以用表格表示，如下表所示.
X
x1
x2
‧‧‧
xn
P
p1
p2
‧‧‧
pn
分布列的构成
离散型随机变量的分布列的性质：
(1)列出了随机变量X的所有取值xi；
(1)Pi ≥0，i=1，2， …，n，
(2)求出了的每一个取值xi的概率pi ．
(2) P1+P2+ … +Pn =1．
练习 某位同学求得一个离散型随机变量的分布列为
本点与一个实数对应. 即通过引人一个取值依赖
于样本点的变量X，来刻画样本点和实数的对应
关系，实现样本点的数量化.
试验1，从100个电子元件(至少含3个以上次品)中随机抽取三个进行检验
，变量X表示三个元件中的次品数；
用0表示“元件为合格品”，1表示“元件为次品”，用0和1构成的长
度为3的字符串表示样本点:
数集，随机变量的取值X（ω）随着试验结果ω的变化而变化，使得我们
可以利用数学工具研究随机事件。
随机变量的概念是俄国数学家切比雪夫
(Chebyshev，1821-1894)在19世纪中
10
5
X的分布列为：
X
1
2
3
4
5
P
1
10
1
4
3
10
1
5
3
20
例3 一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台.如果从中随机挑
选2台，求这2台电脑中A品牌台数的分布列.
解：设随机挑选的2台电脑中A品牌的台数为X，则X的可能取值为0, 1, 2.
根据古典概型的知识，可得
C30C72 3
C31C71 7
离散变量的分布列可以用表格表示，如下表所示.
X
x1
x2
‧‧‧
xn
P
p1
p2
‧‧‧
pn
分布列的构成
离散型随机变量的分布列的性质：
(1)列出了随机变量X的所有取值xi；
(1)Pi ≥0，i=1，2， …，n，
(2)求出了的每一个取值xi的概率pi ．
(2) P1+P2+ … +Pn =1．
练习 某位同学求得一个离散型随机变量的分布列为
本点与一个实数对应. 即通过引人一个取值依赖
于样本点的变量X，来刻画样本点和实数的对应
关系，实现样本点的数量化.
试验1，从100个电子元件(至少含3个以上次品)中随机抽取三个进行检验
，变量X表示三个元件中的次品数；
用0表示“元件为合格品”，1表示“元件为次品”，用0和1构成的长
度为3的字符串表示样本点:
数集，随机变量的取值X（ω）随着试验结果ω的变化而变化，使得我们
可以利用数学工具研究随机事件。
随机变量的概念是俄国数学家切比雪夫
(Chebyshev，1821-1894)在19世纪中
2025高考数学一轮复习-7.2.3-排列的应用【课件】
例1 (1)有5个不同的科研小课题，从中选3个由高二(6)班的3个学习兴 趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少种不同的安排方法？
解 从5个不同的科研小课题中选出3个，由3个学习兴趣小组进行研究， 对应于从5个不同元素中取出3个元素的一个排列. 因此不同的安排方法有 A35＝5×4×3＝60(种).
求调查顺序中，圆形要排在第一个或最后一个，方形、五角形相邻，
则共有________种不同的排法.
√A.480
C.384
B.240 D.1 440
解析 当圆形排在第一个，因为方形、五角形相邻，
所以捆在一起与其他图形全排列，且方形、五角形内部排列，有 A55A22＝ 240(种)不同的排法，同理当圆形排在最后一个时，有 A55A22＝240(种)不同 的排法. 综上，圆形要排在第一个或最后一个，方形、五角形相邻，则共有480 种不同的排法.
第7章 7.2 排列
第3课时 排列的应用
学习目标
1.进一步加深对排列概念的理解. 2.掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简单的实
际问题.
内容索引
一、无限制条件的排列问题 二、 “相邻”与“不相邻”问题 三、元素“在”与“不在”问题 四、定序问题
随堂练习
对点练习
一、无限制条件的排列问题
所以甲不跑第一棒和第四棒的参赛方法有 A25A24＝240(种). 方法三 (间接法)不考虑对甲的约束，6 个人占 4 个位置，有 A46种安排方 法，甲跑第一棒或第四棒的参赛方法有 2A35种，所以甲不跑第一棒和第四 棒的参赛方法有 A46－2A35＝240(种).
(2)甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒.
(4)男生互不相邻，且女生也互不相邻.
解 先排男生有 A33种排法.让女生插空， 有 A33A44＝144(种)不同的排法.
离散数学第7章群、环和域
所以，(x∗y)∗z=x∗(y∗z)，故<R,*>是一个半群。 7.1.2 独异点 定义7.1.3 设G,*是半群，如果运算*的单位元eG，
则称半群G,*为含幺半群或独异点。
第7章 群、环和域
若G,*为独异点，且*是可交换的，则称G,*为可换 的独异点。
例如，设A是任一集合，P (A)是A的幂集合。集合并运算 ∪在P (A)上是封闭的，并运算∪的单位元P (A)，所以半 群<P (A),∪>是独异点；交运算∩在P (A)上也是封闭的，交运 算∩的单位元AP (A)，所以半群<P (A),∩>也是独异点。显
第7章 群、环和域
⑴ (a–1)–1=a ⑵ a*b有逆元，且(a*b)–1=b–1*a–1 证明：⑴ 因a*a–1=a–1*a =e，故(a–1)–1=a ⑵ 因(a*b)*(b–1* a–1)=(a*(b*b–1)*a–1
=a*e*a–1=a*a–1=e 又
(b–1* a–1)*(a*b)=(b–1*a–1)*(a*b) =b–1*(a–1*a)*b=b–1*e*b=b–1*b=e
第7章 群、环和域
返回总目录
第7章 群、环和域
第7章 群、环和域
7.1半群和独异点
7.1.1广群和半群 代数系统<S,*>又称为广群。 定义7.1.1 设<S,*>是代数系统，*是S上的二元运算，如 果*满足结合律，则称代数系统<S,*>为半群。
例如，代数系统<I,＋>、R,·、<P(a),∪>、<P(a),∩>、
则称该群为阿贝尔(Abel)群，或称可交换群。 整数加法群I,＋中的加法运算是可交换的，所以，整
数加法群是阿贝尔群，群R-0,·中的乘法运算也是可交 换的，所以，R-0,·也是阿贝尔群。
则称半群G,*为含幺半群或独异点。
第7章 群、环和域
若G,*为独异点，且*是可交换的，则称G,*为可换 的独异点。
例如，设A是任一集合，P (A)是A的幂集合。集合并运算 ∪在P (A)上是封闭的，并运算∪的单位元P (A)，所以半 群<P (A),∪>是独异点；交运算∩在P (A)上也是封闭的，交运 算∩的单位元AP (A)，所以半群<P (A),∩>也是独异点。显
第7章 群、环和域
⑴ (a–1)–1=a ⑵ a*b有逆元，且(a*b)–1=b–1*a–1 证明：⑴ 因a*a–1=a–1*a =e，故(a–1)–1=a ⑵ 因(a*b)*(b–1* a–1)=(a*(b*b–1)*a–1
=a*e*a–1=a*a–1=e 又
(b–1* a–1)*(a*b)=(b–1*a–1)*(a*b) =b–1*(a–1*a)*b=b–1*e*b=b–1*b=e
第7章 群、环和域
返回总目录
第7章 群、环和域
第7章 群、环和域
7.1半群和独异点
7.1.1广群和半群 代数系统<S,*>又称为广群。 定义7.1.1 设<S,*>是代数系统，*是S上的二元运算，如 果*满足结合律，则称代数系统<S,*>为半群。
例如，代数系统<I,＋>、R,·、<P(a),∪>、<P(a),∩>、
则称该群为阿贝尔(Abel)群，或称可交换群。 整数加法群I,＋中的加法运算是可交换的，所以，整
数加法群是阿贝尔群，群R-0,·中的乘法运算也是可交 换的，所以，R-0,·也是阿贝尔群。
离散数学--第7章 图论-2(路与连通)
u1 v4 v1 v4 v3 u4 v2 u4 u3 G2 v3 u u13 v1 u2 v2 u2
15
连通图可以看成是只有一个连通分支的图，即 w(G ) 1 。
返回 结束
7.2.2 图的连通性
4、有向图的连通
强连通—— G 中任一对顶点都互相可达 (双向) 连通 单向连通—— G 中任一对顶点至少一 向可达
路
10
(vi v j ) ，则从 vi 到 v j 存在长度小于等于
n 1的路。
证明思路：多于n-1条边的路中必有重复出现的结点，反 复删去夹在两个重复结点之间的边之后，剩余的边数不会 超过n-1条边。
v n 在一个 阶图中，若从顶点 i 到 v j 存在 推论：
通路(vi v j ) ，则从 vi 到 v j 存在长度小于等于
返回 结束
7.2.2 图的连通性
7.2.2 图的j 存在路，称 有向图中，从 vi 到 v j 存在路，称 (注意方向) 2、短程线，距离。 短程线——连通或可达的两点间长度最短的 路。 距离——短程线的长度，
12
vi 到 v j 是 连通的(双向)。 vi 可达 v j 。
1 v1e1v2e5v5e7v6 2 v1e1v2e2v3e3v4e4v2e5v5e7v6
3 v1e1v2e5v5e6v4e4v2e5v5e7v6
…………
初级通路
简单通路
复杂通路
返回 结束
7.2.1 路
例1、(2)
7
图(2)中过 v 2 的回路 (从 v 2 到 v 2 )有：
1 v2e4v4e3v3e2v2 2 v2e5v5e6v4e3v3e2v2
7.2 路与连通
内容：图的通路，回路，连通性。 重点：
15
连通图可以看成是只有一个连通分支的图，即 w(G ) 1 。
返回 结束
7.2.2 图的连通性
4、有向图的连通
强连通—— G 中任一对顶点都互相可达 (双向) 连通 单向连通—— G 中任一对顶点至少一 向可达
路
10
(vi v j ) ，则从 vi 到 v j 存在长度小于等于
n 1的路。
证明思路：多于n-1条边的路中必有重复出现的结点，反 复删去夹在两个重复结点之间的边之后，剩余的边数不会 超过n-1条边。
v n 在一个 阶图中，若从顶点 i 到 v j 存在 推论：
通路(vi v j ) ，则从 vi 到 v j 存在长度小于等于
返回 结束
7.2.2 图的连通性
7.2.2 图的j 存在路，称 有向图中，从 vi 到 v j 存在路，称 (注意方向) 2、短程线，距离。 短程线——连通或可达的两点间长度最短的 路。 距离——短程线的长度，
12
vi 到 v j 是 连通的(双向)。 vi 可达 v j 。
1 v1e1v2e5v5e7v6 2 v1e1v2e2v3e3v4e4v2e5v5e7v6
3 v1e1v2e5v5e6v4e4v2e5v5e7v6
…………
初级通路
简单通路
复杂通路
返回 结束
7.2.1 路
例1、(2)
7
图(2)中过 v 2 的回路 (从 v 2 到 v 2 )有：
1 v2e4v4e3v3e2v2 2 v2e5v5e6v4e3v3e2v2
7.2 路与连通
内容：图的通路，回路，连通性。 重点：
离散型随机变量及其分布列 课件 高中数学人教A版(2019)选择性必修第三册
自学新教材，提炼知识要点
1．随机变量 一般地，对于随机试验样本空间 Ω 中的每个样本点 ω，都有唯一 的 实数 X(ω)与之对应，我们称 X 为随机变量．可能取值为有限个或可 以 一一列举 的随机变量，我们称之为离散型随机变量．通常用大写 英文字母表示随机变量，例如 X，Y，Z ；用小写英文字母表示随机 变量的取值，例如 x，y，z .
变式训练
设随机变量 X 的概率分布列为
X1 2 34
P
1 3
m
1 4
1 6
则 P(|X－3|＝1)＝( )
7 A.12
B．152
C．14
D．16
变式训练
B 解析：根据概率分布列的性质得出：13＋m＋14＋16＝1，所以m＝ 1 4. 所以P(|X－3|＝1)＝P(X＝4)＋P(X＝2)＝152.
变式训练
【例 4】从装有除颜色外完全相同的 6 个白球，4 个黑球，2 个黄球 的箱中随机地取出 2 个球，规定每取出 1 个黑球赢 2 元，而每取出 1 个白球输 1 元，取出黄球无输赢． (1)以 X 表示赢得的钱数，随机变量 X 可以取哪些值？求 X 的分布列； (2)求出赢钱(即 X>0 时)的概率．
方法总结
判定离散型随机变量的方法 (1)明确随机试验的所有可能结果． (2)将随机试验的结果数量化． (3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，如能一一列出， 则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．
例题剖析
【例 3】设随机变量 X 的分布列为 P(X＝k)＝kkC＋1，k＝1,2,3，C 为常数，则 P(0.5<X<2.5)＝________.
变式训练
所以随机变量ξ的分布列为
ξ －1 0 1
离散数学图论公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
b
c
g
d
a
h
b
c
g
d h
b
c
g
d
a
h
f （a）
f e
e
（b）
f
（c） 19
第19页
7.1 图基本概念
• （13）生成子图: 假如G子图包含G全部结点，则称 该子图为G生成子图。
• 以下图，（b）、（c）都是（a）生成子图。
（a）
（c）
20
第20页
7.1 图基本概念
（14）．定义: 设图G =<V，E>及图G =<V ，E >， 假如存在一一相应映射g: vi→v i且e=（vi，vj）是G 一条边，当且仅当e =（g（vi ），g（vj））是 G 一条边，则称G与G 同构，记作G≌G 。 两个图同构充要条件是: 两个图结点和边分别存在着 一一相应关系，且保持关联关系。
7.1 图基本概念
（1）定义: 一个图G是一个三元组<V(G),E(G), ΦG>, 其 中V(G)为顶点集合, E(G)是边集合，ΦG是从边集E到 结点偶对集合上函数。
讨论定义:
(a) V(G) ={V1，V2，…，Vn}为有限非空集合,
Vi称为结点,简称V是点集。
(b) E(G)={e1，…，em}为有限边集合,ei称为边，每 个ei是连结V中某两个顶点,称E为边集。
（8）入度，出度: 在有向图中，射入一个结点边数称 为该结点入度。由一个结点射出边数称为该结点出 度。 结点出度与入度和是该结点度数。
定理: 在任何有向图中，所有结点入度和等于所有结 点出度之和。
14
第14页
7.1 图基本概念
证: ∵每一条有向边必相应一个入度和出度，若一个结点含 有一个入度或出度，则必关联一条有向边，因此，有向图 中各结点入度和等于边数，各结点出度和也是等于边数， 因此，任何有向图中，入度之和等于出度和。
课件1：§7.2 离散型随机变量及其分布列
或 X～两点分布 ，此处“～”表示“ 服从 ”．
归纳总结 1．随机变量是将随机试验的结果数量化； 2．随机变量是随机试验结果和实数之间的一个对应关系， 这种对应是人为的，但又是客观存在的； 3．随机变量的分布列不仅能清楚地反映随机变量的所有 可能取值，而且能清楚地看到取每一个值的概率的大小， 从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况；
入门答辩 1．抛掷一个骰子，用 X 表示骰子向上一面的点数． 问题 1：X 的可能取值是什么？ 提示：X＝1,2,3,4,5,6. 问题 2：X 取不同值时，其概率分别是多少？ 提示：都等于16.
2．一袋中装有 5 只球，编号为 1,2,3,4,5，在袋中同时 取 3 只，以 X 表示取出的 3 只球中的最大号码． 问题 3：随机变量的可能取值是什么？ 提示：X＝3,4,5.
§7.2 离散型随机变量及其分布列
学习目标 1.理解随机变量及离散型随机变量的含义. 2.了解随机变量与函数的区别与联系. 3.掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质. 4.理解两点分布.
知识梳理 入门答辩 1．在一块地里种下 10 颗树苗，成活的树苗棵树为 X. 问题 1：X 取什么数字？ 提示：X＝0,1,2，…，10.
问题 4：试求 X 取不同值的概率． 提示：P(X＝3)＝CC3335＝110；P(X＝4)＝CC2335＝130； P(X＝5)＝CC2435＝160＝53.
问题 5：试用表格表示 X 和 P 的对应关系． 提示：
X3 4 5
P
1 10
3 10
6 10
问题 6：试求概率和．
提示：其和等于 1.
通常将上表称为随机变量 X 的概率分布表，它和①都叫做 随机变量 X 的概率分布．显然，这里的 pi(i＝1,2，…，n) 满足条件 pi ≥ 0，p1＋p2＋…＋pn＝ 1 .
归纳总结 1．随机变量是将随机试验的结果数量化； 2．随机变量是随机试验结果和实数之间的一个对应关系， 这种对应是人为的，但又是客观存在的； 3．随机变量的分布列不仅能清楚地反映随机变量的所有 可能取值，而且能清楚地看到取每一个值的概率的大小， 从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况；
入门答辩 1．抛掷一个骰子，用 X 表示骰子向上一面的点数． 问题 1：X 的可能取值是什么？ 提示：X＝1,2,3,4,5,6. 问题 2：X 取不同值时，其概率分别是多少？ 提示：都等于16.
2．一袋中装有 5 只球，编号为 1,2,3,4,5，在袋中同时 取 3 只，以 X 表示取出的 3 只球中的最大号码． 问题 3：随机变量的可能取值是什么？ 提示：X＝3,4,5.
§7.2 离散型随机变量及其分布列
学习目标 1.理解随机变量及离散型随机变量的含义. 2.了解随机变量与函数的区别与联系. 3.掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质. 4.理解两点分布.
知识梳理 入门答辩 1．在一块地里种下 10 颗树苗，成活的树苗棵树为 X. 问题 1：X 取什么数字？ 提示：X＝0,1,2，…，10.
问题 4：试求 X 取不同值的概率． 提示：P(X＝3)＝CC3335＝110；P(X＝4)＝CC2335＝130； P(X＝5)＝CC2435＝160＝53.
问题 5：试用表格表示 X 和 P 的对应关系． 提示：
X3 4 5
P
1 10
3 10
6 10
问题 6：试求概率和．
提示：其和等于 1.
通常将上表称为随机变量 X 的概率分布表，它和①都叫做 随机变量 X 的概率分布．显然，这里的 pi(i＝1,2，…，n) 满足条件 pi ≥ 0，p1＋p2＋…＋pn＝ 1 .
§7.2 离散时间信号——序列
退出
二.量化
采样过程就是对模拟信号的时间取 量化的过程—得到离散信号 得到离散信号。 量化的过程 得到离散信号。
幅值量化——幅值只能分级变化； 幅值只能分级变化； 幅值量化 幅值只能分级变化 数字信号：离散信号在各离散点的幅值被量化的信号。 数字信号：离散信号在各离散点的幅值被量化的信号。
退出
三.离散信号的表示方法 离散信号的表示方法
单位样值信号 矩形序列 单边指数序列 复指数序列 •难点：信号的周期 难点： 难点
一.离散时间信号
只在一系列分隔的时间点上才有意义， 只在一系列分隔的时间点上才有意义，而在其它的时间上无 意义，因此它在时间上是不连续的序列。 意义，因此它在时间上是不连续的序列。是离散时间变量t k 的函数。 的函数。
f (t k ) 在L t − 2 , t −1 ,0, t1 , t 2 , t 3 L 瞬间具有相应的数值，在 瞬间具有相应的数值， L t1 → t 2 , t 2 → t 3 , L 间无定义。间隔可以是均匀的，也可 间无定义。间隔可以是均匀的，
以是不均匀的，一般为均匀的。 以是不均匀的，一般为均匀的。
若给出函数值的离散时刻的间隔是均匀的， 若给出函数值的离散时刻的间隔是均匀的，间隔为 T，表示为 ， n 取整数： n = 0,±1,±2,L 取整数： 离散时间信号在用数字计算机或数字化设备处理时， 离散时间信号在用数字计算机或数字化设备处理时，常寄存
在存储器中待取。信号一般是先记录后分析 因此，不必以 存储器中待取。信号一般是先记录后分析。因此 中待取 先记录后分析 因此，
n= 0
n= 0
例1: x( n) = { 1 ,2,3,4,5,6} 则 x( 2n) = { 1 ,3,5} ↑ ↑ 例2:
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
达 vj 否则
称(pij)nn为D的可达矩阵, 记作P(D), 简记为P.
性质: P(D)主对角线上的元素全为1. D强连通当且仅当P(D)的元素全为1.
22
有向图的可达矩阵(续)
例 右图所示的有向图D的可达矩阵为
1 0 0 0
P 1
1
1
1
1 0 1 1
1
0
1
1
23
(2)
a n (1)
i1 ij
d(vj ),
j 1,2,...,n
(3)
a(1) ij
m
D中长度为1的通路数
i, j
(4)
a n (1)
i1 ii
D中长度为1的回路数
18
D中的通路及回路数
定理 设A为n阶有向图D的邻接矩阵, 则Al(l1)中
元素
a
( ij
l
)
为D中vi到vj长度为
l
的通路数，
性质
(1) 每一列恰好有两个1或一个2
(2)
m m
j1 ij
d(vi
)
(i 1,2,...,n)
(3) mij 2m
i, j
(4) 平 行 边 的 列 相 同
15
有向图的关联矩阵
定义 设无环有向图D=<V,E>, V={v1, v2, …, vn}, E={e1, e2, …, em}, 令
1 , mij 0，
7.2 通路、回路、图的连通性
▪ 简单通(回)路, 初级通(回)路, 复杂通(回)路 ▪ 无向连通图, 连通分支 ▪ 弱连通图, 单向连通图, 强连通图 ▪ 点割集与割点 ▪ 边割集与割边(桥)
1
通路与回路
定义 给定图G=<V,E>（无向或有向的），G中顶点与边的交
替序列=v0e1v1e2…elvl，
a
( ii
l
)为vi到自身长度为
l
的回路数，
nn
a(l) ij
为D中长度为
l
的通路总数，
i1 j1
n
a
(l ii
)
为D中长度为
l
的回路总数.
i1
19
D中的通路及回路数(续)
推论 设Bl=A+A2+…+Al(l1), 则Bl中元素 nn
b
( ij
l
)
为D中长度小于或等于l
的通路数，
i1 j1
n
b
点割集(续)
例 {v1,v4}, {v6}是点割集, v6是割点. {v2,v5}是点割集吗？
9
边割集
定义 设无向图G=<V,E>, E E, 若p(GE )>p(G)且E E , p(GE )=p(G), 则称E 为G的边割集. 若{e}为边割集, 则称e 为割边或桥. 在上一页的图中，{e1,e2}，{e1,e3,e5,e6}，{e8}等是边割集， e8是桥，{e7,e9,e5,e6}是边割集吗？ 几点说明： Kn无点割集 n阶零图既无点割集，也无边割集. 若G连通，E 为边割集，则p(GE )=2 若G连通，V 为点割集，则p(GV )2
6
短程线与距离
u与v之间的短程线: u与v之间长度最短的通路 (u与v连通) u与v之间的距离d(u,v): u与v之间短程线的长度 若u与v不连通, 规定d(u,v)=∞.
性质：
d(u,v)0, 且d(u,v)=0 u=v
d(u,v)=d(v,u) d(u,v)+d(v,w)d(u,w)
7
点割集
(3) 若通路(回路)中所有边各异, 则称为简单通路(简单回路), 否则称为复杂通路(复杂回路).
2
通路与回路(续)
说明: 表示方法
① 用顶点和边的交替序列(定义), 如=v0e1v1e2…elvl ② 用边的序列, 如=e1e2…el ③ 简单图中, 用顶点的序列, 如=v0v1…vl ④ 非简单图中,可用混合表示法,如=v0v1e2v2e5v3v4v5 环是长度为1的圈, 两条平行边构成长度为2的圈. 在无向简单图中, 所有圈的长度3; 在有向简单图 中, 所有圈的长度2.
4
通路与回路(续)
定理 在n阶图G中，若从顶点vi到vj（vivj）存在通 路，则从vi到vj存在长度小于等于n1的通路. 推论 在n阶图G中，若从顶点vi到vj（vivj）存在通 路，则从vi到vj存在长度小于等于n1的初级通路.
定理 在一个n阶图G中，若存在vi到自身的回路，则 一定存在vi到自身长度小于等于n的回路. 推论 在一个n阶图G中，若存在vi到自身的简单回 路，则一定存在长度小于等于n的初级回路.
( ii
l
)
为D中长度小于或等于l
的回路数.
i1
例 有向图D如图所示, 求A, A2, A3, A4, 并回答诸问题：
(1) D中长度为1, 2, 3, 4的通路各有多 少条？其中回路分别为多少条？
(2) D中长度小于或等于4的通路为多 少条？其中有多少条回路？
20
例(续)
1 0 0 0
1 0 0 0
A
2
1
0 0
1 0
0
1
A2
3
2
0 0
0 1
1
0
长度 通路 回路 1 81
1
0
1
0
2
0
0
1
2 3
11 3 14 1
1
A3
4
0 0
0 1
0
0
1
A4
5
0 0
0 0
0
1
4 合计
17 50
3 8
3 0 0 1
4 0 1 0
3
0
1
0
4
0
0
1
21
有向图的可达矩阵
定义 设D=<V,E>为有向图, V={v1, v2, …, vn}, 令
5
无向图的连通性
设无向图G=<V,E>, u与v连通: 若u与v之间有通路. 规定u与自身总连通. 连通关系 R={<u,v>| u,v V且uv}是V上的等价关系 连通图:任意两点都连通的图. 平凡图是连通图. 连通分支: V关于连通关系R的等价类的导出子图
设V/R={V1,V2,…,Vk}, G[V1], G[V2], …,G[Vk]是G的 连通分支, 其个数记作p(G)=k. G是连通图 p(G)=1
3
通路与回路(续)
在两种意义下计算的圈个数 ① 定义意义下 在无向图中, 一个长度为l(l3)的圈看作2l个不同的 圈. 如v0v1v2v0 , v1v2v0v1 , v2v0v1v2, v0v2v1v0 , v1v0v2v1 , v2v1v0v2看作6个不同的圈. 在有向图中, 一个长度为l(l3)的圈看作l个不同的 圈. ② 同构意义下 所有长度相同的圈都是同构的, 因而是1个圈.
记 Gv: 从G中删除v及关联的边 GV : 从G中删除V 中所有的顶点及关联的边 Ge : 从G中删除e GE: 从G中删除E中所有边
定义 设无向图G=<V,E>, V V, 若p(GV )>p(G)且
V V , p(GV )=p(G), 则称V 为G的点割集.
若{v}为点割集, 则称v为割点.
8
定理(单向连通判别法) D单向连通当且仅当D中存在 经过每个顶点至少一次的通路
例 下图(1)强连通, (2)单连通, (3) 弱连通
(1)
(2)
(3)
12
有向图的短程线与距离
u到v的短程线: u到v长度最短的通路 (u可达v) u与v之间的距离d<u,v>: u到v的短程线的长度 若u不可达v, 规定d<u,v>=∞.
10
有向图的连通性
设有向图D=<V,E> u可达v: u到v有通路. 规定u到自身总是可达的. 可达具有自反性和传递性
D弱连通(连通): 基图为无向连通图 D单向连通: u,vV，u可达v 或v可达u D强连通: u,vV，u与v相互可达
强连通单向连通弱连通
11
有向图的连通性(续)
定理(强连通判别法) D强连通当且仅当D中存在经过 每个顶点至少一次的回路
(1) 若i(1il), vi1, vi是ei的端点(对于有向图, 要求vi1是始点,
vi是终点), 则称为通路, v0是通路的起点, vl是通路的终点, l为通路的长度. 又若v0=vl，则称为回路.
(2) 若通路(回路)中所有顶点(对于回路, 除v0=vl)各异，则称为 初级通路(初级回路).初级通路又称作路径, 初级回路又称 作圈.
17
有向图的邻接矩阵
定义 设有向图D=<V,E>, V={v1, v2, …, vn}, E={e1,
e2,
…,
em},
令
a
(1 ij
)
为顶点vi邻接到顶点vj边的条数，
称(
a
(1) ij
)mn为D的邻接矩阵,
记作A(D),
简记为A.
性质
(1)
a n (1)
j1 ij
d(vi ),
i 1,2,...,n
性质： d<u,v>0, 且d<u,v>=0 u=v d<u,v>+d<v,w> d<u,w>
注意: 没有对称性
13
7.3 图的矩阵表示
▪ 无向图的关联矩阵 ▪ 有向图的关联矩阵 ▪ 有向图的邻接矩阵 ▪ 有向图的可达矩阵
14
无向图的关联矩阵
定义 设无向图G=<V,E>, V={v1, v2, …, vn}, E={e1, e2, …, em}, 令mij为vi与ej的关联次数，称(mij)nm为G 的关联矩阵，记为M(G).
称(pij)nn为D的可达矩阵, 记作P(D), 简记为P.
性质: P(D)主对角线上的元素全为1. D强连通当且仅当P(D)的元素全为1.
22
有向图的可达矩阵(续)
例 右图所示的有向图D的可达矩阵为
1 0 0 0
P 1
1
1
1
1 0 1 1
1
0
1
1
23
(2)
a n (1)
i1 ij
d(vj ),
j 1,2,...,n
(3)
a(1) ij
m
D中长度为1的通路数
i, j
(4)
a n (1)
i1 ii
D中长度为1的回路数
18
D中的通路及回路数
定理 设A为n阶有向图D的邻接矩阵, 则Al(l1)中
元素
a
( ij
l
)
为D中vi到vj长度为
l
的通路数，
性质
(1) 每一列恰好有两个1或一个2
(2)
m m
j1 ij
d(vi
)
(i 1,2,...,n)
(3) mij 2m
i, j
(4) 平 行 边 的 列 相 同
15
有向图的关联矩阵
定义 设无环有向图D=<V,E>, V={v1, v2, …, vn}, E={e1, e2, …, em}, 令
1 , mij 0，
7.2 通路、回路、图的连通性
▪ 简单通(回)路, 初级通(回)路, 复杂通(回)路 ▪ 无向连通图, 连通分支 ▪ 弱连通图, 单向连通图, 强连通图 ▪ 点割集与割点 ▪ 边割集与割边(桥)
1
通路与回路
定义 给定图G=<V,E>（无向或有向的），G中顶点与边的交
替序列=v0e1v1e2…elvl，
a
( ii
l
)为vi到自身长度为
l
的回路数，
nn
a(l) ij
为D中长度为
l
的通路总数，
i1 j1
n
a
(l ii
)
为D中长度为
l
的回路总数.
i1
19
D中的通路及回路数(续)
推论 设Bl=A+A2+…+Al(l1), 则Bl中元素 nn
b
( ij
l
)
为D中长度小于或等于l
的通路数，
i1 j1
n
b
点割集(续)
例 {v1,v4}, {v6}是点割集, v6是割点. {v2,v5}是点割集吗？
9
边割集
定义 设无向图G=<V,E>, E E, 若p(GE )>p(G)且E E , p(GE )=p(G), 则称E 为G的边割集. 若{e}为边割集, 则称e 为割边或桥. 在上一页的图中，{e1,e2}，{e1,e3,e5,e6}，{e8}等是边割集， e8是桥，{e7,e9,e5,e6}是边割集吗？ 几点说明： Kn无点割集 n阶零图既无点割集，也无边割集. 若G连通，E 为边割集，则p(GE )=2 若G连通，V 为点割集，则p(GV )2
6
短程线与距离
u与v之间的短程线: u与v之间长度最短的通路 (u与v连通) u与v之间的距离d(u,v): u与v之间短程线的长度 若u与v不连通, 规定d(u,v)=∞.
性质：
d(u,v)0, 且d(u,v)=0 u=v
d(u,v)=d(v,u) d(u,v)+d(v,w)d(u,w)
7
点割集
(3) 若通路(回路)中所有边各异, 则称为简单通路(简单回路), 否则称为复杂通路(复杂回路).
2
通路与回路(续)
说明: 表示方法
① 用顶点和边的交替序列(定义), 如=v0e1v1e2…elvl ② 用边的序列, 如=e1e2…el ③ 简单图中, 用顶点的序列, 如=v0v1…vl ④ 非简单图中,可用混合表示法,如=v0v1e2v2e5v3v4v5 环是长度为1的圈, 两条平行边构成长度为2的圈. 在无向简单图中, 所有圈的长度3; 在有向简单图 中, 所有圈的长度2.
4
通路与回路(续)
定理 在n阶图G中，若从顶点vi到vj（vivj）存在通 路，则从vi到vj存在长度小于等于n1的通路. 推论 在n阶图G中，若从顶点vi到vj（vivj）存在通 路，则从vi到vj存在长度小于等于n1的初级通路.
定理 在一个n阶图G中，若存在vi到自身的回路，则 一定存在vi到自身长度小于等于n的回路. 推论 在一个n阶图G中，若存在vi到自身的简单回 路，则一定存在长度小于等于n的初级回路.
( ii
l
)
为D中长度小于或等于l
的回路数.
i1
例 有向图D如图所示, 求A, A2, A3, A4, 并回答诸问题：
(1) D中长度为1, 2, 3, 4的通路各有多 少条？其中回路分别为多少条？
(2) D中长度小于或等于4的通路为多 少条？其中有多少条回路？
20
例(续)
1 0 0 0
1 0 0 0
A
2
1
0 0
1 0
0
1
A2
3
2
0 0
0 1
1
0
长度 通路 回路 1 81
1
0
1
0
2
0
0
1
2 3
11 3 14 1
1
A3
4
0 0
0 1
0
0
1
A4
5
0 0
0 0
0
1
4 合计
17 50
3 8
3 0 0 1
4 0 1 0
3
0
1
0
4
0
0
1
21
有向图的可达矩阵
定义 设D=<V,E>为有向图, V={v1, v2, …, vn}, 令
5
无向图的连通性
设无向图G=<V,E>, u与v连通: 若u与v之间有通路. 规定u与自身总连通. 连通关系 R={<u,v>| u,v V且uv}是V上的等价关系 连通图:任意两点都连通的图. 平凡图是连通图. 连通分支: V关于连通关系R的等价类的导出子图
设V/R={V1,V2,…,Vk}, G[V1], G[V2], …,G[Vk]是G的 连通分支, 其个数记作p(G)=k. G是连通图 p(G)=1
3
通路与回路(续)
在两种意义下计算的圈个数 ① 定义意义下 在无向图中, 一个长度为l(l3)的圈看作2l个不同的 圈. 如v0v1v2v0 , v1v2v0v1 , v2v0v1v2, v0v2v1v0 , v1v0v2v1 , v2v1v0v2看作6个不同的圈. 在有向图中, 一个长度为l(l3)的圈看作l个不同的 圈. ② 同构意义下 所有长度相同的圈都是同构的, 因而是1个圈.
记 Gv: 从G中删除v及关联的边 GV : 从G中删除V 中所有的顶点及关联的边 Ge : 从G中删除e GE: 从G中删除E中所有边
定义 设无向图G=<V,E>, V V, 若p(GV )>p(G)且
V V , p(GV )=p(G), 则称V 为G的点割集.
若{v}为点割集, 则称v为割点.
8
定理(单向连通判别法) D单向连通当且仅当D中存在 经过每个顶点至少一次的通路
例 下图(1)强连通, (2)单连通, (3) 弱连通
(1)
(2)
(3)
12
有向图的短程线与距离
u到v的短程线: u到v长度最短的通路 (u可达v) u与v之间的距离d<u,v>: u到v的短程线的长度 若u不可达v, 规定d<u,v>=∞.
10
有向图的连通性
设有向图D=<V,E> u可达v: u到v有通路. 规定u到自身总是可达的. 可达具有自反性和传递性
D弱连通(连通): 基图为无向连通图 D单向连通: u,vV，u可达v 或v可达u D强连通: u,vV，u与v相互可达
强连通单向连通弱连通
11
有向图的连通性(续)
定理(强连通判别法) D强连通当且仅当D中存在经过 每个顶点至少一次的回路
(1) 若i(1il), vi1, vi是ei的端点(对于有向图, 要求vi1是始点,
vi是终点), 则称为通路, v0是通路的起点, vl是通路的终点, l为通路的长度. 又若v0=vl，则称为回路.
(2) 若通路(回路)中所有顶点(对于回路, 除v0=vl)各异，则称为 初级通路(初级回路).初级通路又称作路径, 初级回路又称 作圈.
17
有向图的邻接矩阵
定义 设有向图D=<V,E>, V={v1, v2, …, vn}, E={e1,
e2,
…,
em},
令
a
(1 ij
)
为顶点vi邻接到顶点vj边的条数，
称(
a
(1) ij
)mn为D的邻接矩阵,
记作A(D),
简记为A.
性质
(1)
a n (1)
j1 ij
d(vi ),
i 1,2,...,n
性质： d<u,v>0, 且d<u,v>=0 u=v d<u,v>+d<v,w> d<u,w>
注意: 没有对称性
13
7.3 图的矩阵表示
▪ 无向图的关联矩阵 ▪ 有向图的关联矩阵 ▪ 有向图的邻接矩阵 ▪ 有向图的可达矩阵
14
无向图的关联矩阵
定义 设无向图G=<V,E>, V={v1, v2, …, vn}, E={e1, e2, …, em}, 令mij为vi与ej的关联次数，称(mij)nm为G 的关联矩阵，记为M(G).