高中数学基础知识典型例题4——三角函数
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高中数学基础知识典型例题4——三角函数
数学基础知识与典型例题
第四章三角函数
三
角
函
数
相
关
知
识
关
系
表
角的概念1.①与α（0°≤α<360°）终边相
同的角的集合
（角α与角β的终边重
合）:{}Z
k
k∈
+
⨯
=,
360
|α
β
β ;
②终边在x轴上的角的集
合:{}Z
k
k∈
⨯
=,
180
|
β
β;
③终边在y轴上的角的集合：
{}Z
k
k∈
+
⨯
=,
90
180
|
β
β;
④终边在坐标轴上的角的集
合：{}Z
k
k∈
⨯
=,
90
|
β
β.
2. 角度与弧度的互换关系：
360°=2π180°=π
1°=0.01745 1=57.30°=57°18′
注意：正角的弧度数为正数，
例1.已知2弧度的圆心
角所对的弦长为2,那么
这个圆心角所对的弧长
为( )
()2
A
()sin2
B
2
()
sin1
C
()2sin1
D
例 2. 已知α为第三象
限角,则
2
α
所在的象限
是( )
(A)第一或第二象限
(B)第二或第三象限
(C)第一或第三象限
(D)第二或第四象限
负角的弧度数为负数，零角的
弧度数为零,熟记特殊角的弧度制.
3.弧度制下，扇形弧长公式
1
2
r
α
=，扇形面积公
式2
11
||
22
S R Rα
==，其中α为弧所对圆心角的弧
度数。
三
角
函
数
的
定
义
1.三角函数定义:利用直角坐标系，可以把直角三角
形中的三角函数推广到任意角的三角数.在α终边
上任取一点(,)
P x y（与原点不重合），记
22
||
r OP x y
==+，
则sin y
r
α=，cos x
r
α=，tan y
x
α=，cot x
y
α=。
注: ⑴三角函数值只与角α的终边的位置有关，由
角α的大小唯一确定,∴三角函数是以角为自变量,
以比值为函数值的函数.
⑵根据三角函数定义可以推出一些三角公式:
①诱导公式：即
2
kπ
αα
±→或
90
2
k
αα
±→
之间函数值关系()
k Z
∈，其规律是“奇变偶不变，
符号看象限”；如sin(270)
α
-=cosα
-
②同角三角函数关系式：平方关系，倒数关系，商
数关系.
⑶重视用定义解题.
⑷三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各
种三角函数值的一种图示方法.如单位圆
例 3.已知角α的终边经
过P(4,-3),求
2sinα+cosα的值.
例 4.若α是第三象限
角,且cos cos
22
θθ
=-,
则
2
θ
是( )
()A第一象限角
()B第二象限角
()
C第三象限角
()
D第四象限角
例5.
若cos0,
θ>sin20,
θ<
且
;;
MP OM AT 正弦线:余弦线:正切线:
2. 各象限角的各种三角函数值符号:
一全二正弦,三切四余弦
sin
y
r
α=cos
x
r
α=tan y
x
α=,cot
x
y
α=
(纵坐标y的符号) (横坐标x的符号)
θ
则角的终边所在象限是（）
(A)第一象限
(B)第二象限
(C)第三象限
(D)第四象限
三角函数公式三角函数的公式：（一）基本关系
公式组二(k Z
∈)
sin(2)sin,cos(2)cos
tan(2)tan,cot(2)cot
k x x k x x
k x x k x x
ππ
ππ
+=+=
+=+=
公式组三
sin()sin tan()tan
cos()cos cot()cot
x x x x
x x x x
-=--=-
-=-=-
公式组四公式组五
x
x
x
x
x
x
x
x
cot
)
cot(
tan
)
tan(
cos
)
cos(
sin
)
sin(
=
+
=
+
-
=
+
-
=
+
π
π
π
π
x
x
x
x
x
x
x
x
cot
)
2
cot(
tan
)
2
tan(
cos
)
2
cos(
sin
)
2
sin(
-
=
-
-
=
-
=
-
-
=
-
π
π
π
π
公式组六
sin()sin tan()tan
cos()cos cot()cot
x x x x
x x x x
ππ
ππ
-=-=-
-=--=-
(二)两角和与差公式
公式组一
β
α
β
α
β
αsin
sin
cos
cos
)
cos(-
=
+
β
α
β
α
β
αsin
sin
cos
cos
)
cos(+
=
-
β
α
β
α
β
αsin
cos
cos
sin
)
sin(+
=
+
β
α
β
α
β
αsin
cos
cos
sin
)
sin(-
=
-
例 6.化简：
440
sin
12
-
例7.已知tanα，tanβ是
方程23340
x x
++=两
根，且α，β)
2
,
2
(
π
π
-
∈，
则α+β等于( )
(A)π
-
3
2
(B)π
-
3
2或
3
π
(C)
3
π
-或π
3
2
(D)
3
π
例8.︒
+
︒15
cot
15
tan
的值是（）
β
α
β
α
β
α
tan
tan
1
tan
tan
)
tan(
-
+
=
+
β
α
β
α
β
α
tan
tan
1
tan
tan
)
tan(
+
-
=
-
公式组二: α
α
αcos
sin
2
2
sin=
α
α
α
α
α2
2
2
2sin
2
1
1
cos
2
sin
cos
2
cos-
=
-
=
-
=
α
α
α
2
tan
1
tan
2
2
tan
-
=
2
cos
1
2
sin
α
α-
±
=
2
cos
1
2
cos
α
α+
±
=,
1cos sin1cos
tan
21cos1cos sin
αααα
ααα
--
=±==
++
公式组三
1
cos()sin
2
παα
-=
,
1
cos()sin
2
παα
+=-
,
1
sin()cos
2
παα
-=
1
sin()cos
2
παα
+=
,
1
tan()cot
2
παα
-=
,
1
tan()cot
2
παα
+=-
常用数据:
30456090
、、、的三角函数值
62
sin15cos75
4
-
==
,
4
2
6
15
cos
75
sin
+
=
=
3
2
75
cot
15
tan-
=
=
,3
2
15
cot
75
tan+
=
=
(A)2 (B)2+3
(C)4 (D)
3
3
4
三
角
函
数
公
式
注: ⑴以上公式务必要知道其推导思路，从而清晰
地“看出”它们之间的联系，它们的变化形式.
如tan()(1tan tan)tan tan
αβαβαβ
+-=+
22
1cos1cos
cos,sin
2222
αααα
+-
==等.
从而可做到:正用、逆用、变形用自如使用各公式.
⑵三角变换公式除用来化简三角函数式外，还为研
究三角函数图象及性质做准备.
⑶三角函数恒等变形的基本策略。
①常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2θ+sin2
θ=tanx·cotx=tan45°等。
②项的分拆与角的配凑。
如分拆项：222222
sin2cos(sin cos)cos1cos
x x x x x x
+=++=+;
配凑角(常用角变换):
2()()
ααβαβ
=++-、2()()
βαβαβ
=+--、
22
αβαβ
α
+-
=+、
22
αβαβ
β
+-
=-、
()
ααββ
=+-等.
③降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。
④化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函
数基本关系化成弦（切）。
⑤引入辅助角。asinθ+bcosθ=2
2b
a+sin(θ+ϕ)，
这里辅助角ϕ所在象限由a、b的符号确定，ϕ角的
例9. 设)
2
,0(
π
α∈,若
,
5
3
sin=
α则)
4
cos(
2
π
α+=
（）
(A)
5
7
(B)
5
1
(C)
2
7
(D)4
例10.sin163sin223+
sin253sin313=( )
1
()
2
A-
1
()
2
B
3
()
2
C-
3
()
2
D
例11. 求下列各式的
值：⑴
75
tan
1
75
tan
1
-
+;
⑵
tan17︒+tan28︒+tan17︒tan28︒
例12.已知α为锐角，且
1
tan
2
α=，求