单向轴压下压电矩形薄板的后屈曲问题
第九章弹性薄板弯曲问题
§ 9-4
边界条件 扭矩的等效剪力
(u , v) z =0 = 0
§ 9-2
弹性曲面的微分方程
1、取w=w(x,y)为基本未知量。 为基本未知量。 2、用w来表示u,v。 来表示u
∂w u=− z ∂x
∂w v=− z ∂y
3、用w来表示主要应变：ε x , ε y , γ xy 来表示主要应变：
∂ w ∂ w ∂ w ε x = − 2 z, ε y = − 2 z, γ xy = −2 z ∂x ∂y ∂x∂y
§ 9-1
概念和假定
小挠度理论 薄板：1 8 ~ 1 5) > δ b ≥ (1 80 ~ 1 100) 薄板： ( 大挠度理论 薄膜： δ b < (1 80 ~ 1 100) 薄膜：
本章研究小挠度薄板的弯曲问题。 本章研究小挠度薄板的弯曲问题。
厚板： δ 厚板：பைடு நூலகம்
b ≥ (1 8 ~ 1 5)
由平衡方程 得
Eδ 3 D= 12(1 − µ 2 )
D∇ w = q
4
∂ w ∂ w ∂ w ∇ = 4 + 2 2+ 4 ∂x ∂x ∂y ∂y
4 4 4 4
§ 9-3
薄板横截面上的内力
梁的内力是指梁横截面上的内力合力和合力矩。 梁的内力是指梁横截面上的内力合力和合力矩。 板的内力是指单位宽度的横截面( x1)上的内力合力 板的内力是指单位宽度的横截面(δx1)上的内力合力 和合力矩。应力向中面简化合成的主矢量和主矩。 和合力矩。应力向中面简化合成的主矢量和主矩。 弯曲应力 σ x , σ y ,τ xy = τ yx 沿z方向线性分布，合成 方向线性分布，
薄板的屈曲
115第六章 薄板的屈曲钢结构大型梁、柱等构件，通常都由板件组合而成，为了节省材料，板件通常宽而薄，薄板在面内压力作用下就可能失稳，并由此导致整个构件的承载力下降；另外，在构件连接的节点也存在板件失稳的可能性。
因此，对板件失稳和失稳后性态的研究也是钢结构稳定的重要问题。
板根据其厚度分为厚板、薄板和薄膜三种。
设板的最小宽度为b ，厚度为t 。
当t /b >1/5~1/8时称为厚板，这时横向剪力引起的剪切变形与弯曲变形大小同阶，分析时不能忽略剪切变形的影响。
当1/80~1/100<t /b <1/5~1/8时称为薄板，此时横向剪力引起的剪切变形与弯曲变形相比可以忽略不计。
当板极薄，t /b <1/80~1/100时，称为薄膜，薄膜没有抗弯刚度，靠薄膜拉力与横向荷载平衡。
平分板的厚度且与板的两个面平行的平面称为中面。
本章只介绍等厚度薄板中面内受力的板的弹性失稳。
与前面所介绍过的失稳问题比较，板的失稳有如下几个特点： ⑴作用于板中面的外力，不论是一个方向作用有外力还是在两个方向同时作用有外力，屈曲时板产生的都是出平面的凸曲现象，产生双向弯曲变形，因此在板的任何一点的弯矩x M 、y M 和扭矩xy M 以及板的挠度w 都与此点的坐标（x ，y ）有关。
⑵板的平衡方程属于二维偏微分方程，除了均匀受压的四边简支的理想矩形板可以直接求解其分岔屈曲荷载外，对于其他受力条件和边界条件的板，用平衡法很难求解。
可以用能量法（如瑞利—里兹法，伽辽金法）或者数值法（如差分法、有限元法等）求解屈曲荷载，在弹塑性阶段，用数值法可以得到精度很高的板屈曲荷载。
⑶理想薄板失稳属于稳定分岔失稳。
对于有刚强侧边支承的板，凸屈后板的中面会产生薄膜应变，从而产生薄膜应力。
如果在板的一个方向有外力作用而凸曲时，在另一个方向的薄膜拉力会对它产生支持作用，增强板的抗弯刚度进而提高板的强度，这种凸屈后的强度提高称为屈曲后强度。
1.板件的稳定和屈曲后强度的利用
均匀受压板件的屈曲现象
（一）薄板屈曲基本原理
1、单向均匀受压薄板弹性屈曲
对于四边简支单向均匀受压薄板，弹性屈曲时，由小挠度 理论，可得其平衡微分方程:
4w
4w 4w
2w
D
x4
2 x2y2
y4
Nx
x 2
0
(4 100)
四边简支单向均匀受压薄板的屈曲
求解上式，并引入边界条件： 当x 0和x a时：w 0 当y 0和y b时：w 0
cr
2E 12(1 2
)
t b
2
式中：
屈曲系数； 板边缘的弹性约束系数；
弹性模量折减系数; 其余符号同前。
将
E
=206X103
N/mm2，ν=0.3代入上式，得：
σcr 18.6 βχ
100t b
2
并视受压翼缘悬伸部分，为三边简支，且板长趋于无
穷大，故β=0.425；不考虑腹板对翼缘的约束作用，
K=4 K=5.42 K=6.97 K=0.425 K=1.277
综上所述，单向均匀受压薄板弹性阶段的临界力 及临界应力的计算公式统一表达为：
N cr
2D
b2 K
cr
N cr 1 t
2 D
b2t
2 E 12 1 2
t
2
b
(4 107)
2、单向均匀受压薄板弹塑性屈曲应力
板件进入弹塑性状态后，在受力方向的变形遵循切线模 量规律，而垂直受力方向则保持弹性，因此板件属于正交 异性板。其屈曲应力可用下式表达：
根据局部屈曲不先于整体屈曲的原则，即板件的屈曲 临界应力大于或等于构件的整体稳定临界应力即可确 定出构件的腹板高厚比（式4-115）和翼缘的宽厚比 （式4-113）。
表面效应对矩形纳米薄板的屈曲和振动的影响
１ 引 言
现在我 们讨 论只有 方向受轴压 力 Ｎｘ，有 ：
传统 的连续模 型没有考虑到表面效应的影响。 这将导致在微纳米材料 性能的预测方面 不准确性 。 在微纳米材 料， 物体表面与体积 比很大 ， 因此 引 起 的 表 面 力 不 容 忽 视 。为 了 引入 表 面 效 应 的 影 响 ， Ｇｕ ｒ ｔ ｉ ｎ和 Ｍ ｕ ｒ ｄ ｏ ｃ ｈ建 立 了反映表面弹性的通用模 型， 将 表面看作和体 不同性 质的二维膜， 无滑移 的 黏附在体上， 由于表面应力存在导致了非经典的边界条件， 它与表面经 典的
Ｎ
和 ， 是 拉压 力，
薄板受 己知横 载荷并在 边界上 受 已知纵 向荷 载作用时 ， 可 先按平面 应力 问题 由已 知 纵向 载荷求 出 平面应 力 ｒ 、Ｏ ＇ ｙ、 ，从而求 出 、
Ｊ ｖ
Ｇｈ＋
， ｒ ㈢ ｈ
Ｅ
Ｅ
ｈ
由于表面弹性模量 Ｅ 和残余应力ｒ 可正可负， 由上式可 以看 出正的表面
。
（ ６ ）
法计算 了一些材料的表面特征常数 。 Ｗａ ｎ ｇ和 Ｆ ｅ ｎ ｇ ￣ 分析了表面应力对轴 向屈曲的纳米线 的影响 。 Ｇｕ ｒ ｔ ｉ ｎ ｔ Ｔ ￣ 和Ｌ ｕ Ｉ ｓ ］ 考虑表面弹性对纳米粱共振频率的 影 响 进 行 了研 究 。通 过 Ｌ ａ ｐ ｌ ａ ｃ ｅ － Ｙｏ ｕ ｎ ｇ方 程 ， Ｗａ ． ｎｇ和 Ｆ ｅ ｎ ｇ ￣ ， Ｈｅ和 Ｌ ｉ ｌ ｌ ｅ ｙ ｌ 涉及到对具有表面 的残余应力和表面弹性纳米梁的振动分析。Ｐ ａ ｒ ｋ ｔ “ 】 利用 表 面 Ｃａ ｕ ｃ ｈ ｖ— Ｂｏ ｒ ｎ模 型 分 析 了在 有 限 变 形 情 况 下 尺 寸 效应 对 具 有 表 面 残 余应力 的硅纳米线 的共振频率 的影响 。 Ｗａ ｎ ｇ和 Ｆ ｅ ｎ ｇ ｌ 利用 Ｔ ｉ ｍｏ ｓ ｈ ｅ ｎ ｋ ｏ梁 模型分析表面 应力对 纳米梁 的屈曲和振动的影响进行了分析。黄殿武 对 表面效应影响的弹性 条带状 薄膜非线性尺寸相关屈 曲行为进行 了分析。 但 对纳米 薄板的屈曲和震动频率 的影响研究的 比较少 。 对于微小 的纳米薄板 来 说表 面 积 与 体 积 的 比值 很 大 ， 引起 的表 面 效 应 不 可 忽 略 。 本 文 主 要 是 考 虑 表 面 效 应 对 矩 形 纳 米 薄板 的 屈 曲和 震动 频 率 的影 响 。 ２ 表面效应对薄板屈 曲的影响
船舶结构力学：第七章薄板的弯曲理论
由上式可见，板发生筒形弯曲时，沿不弯曲方向
有正应力y，但始终小于弯曲方向的正应力x 。再将 式（7-3）代入式（7-2）中的第一式，解得
x
E
1 2
x
E1 x
（7-4）
式中：
E
E1 1 2
（7-5）
式（7-4）是板条梁的x与x 之间的关系式，它与 普通梁的关系式x=Ex 相比，仅仅在于用E1代替了E。 此外，若认为板条梁弯曲时也符合平面假设，则必然
可导出与普通梁同样的弯曲微分方程式以及基本关系
式。
§7-2 矩形薄板的筒形弯曲
E1Iw IV E1Iw
q N
E1Iw
M
（7-6）
式中，I=t3/12——板条梁的横截面惯性矩；
w=w(x)——板条梁的挠度；M、N——板条梁横截面
上的弯矩与剪力；q——单位面积上的载荷：
令
D
E1I
12
Et 3
最早有关板的重要论述是在十九世纪作出的。从 那时起，关于板弯曲的基础理论（主要由Navier， Kirchhoff和Levy作出的）和数值方法（由 Galerkin和Wahl及其他人作出），已经在许多方面 作出了大量工作。关于板文献和著作是很广泛的。
§ 7－1 概述
o
x
t/2
b
Z
y
a
t/2
（7-1）
图7－1
中面
(1/80~1/100)<t/b(t/a)<(1/5~1/8)
的板——薄板
Min(a,b)
船体结构中的板，多半 属于薄板的范畴
§ 7－1 概述
弹性体内任意一点的位移、应力、应变之间的相
互关系式：
位移分量、应 变分量应当满 足下列6个几 何方程式
薄板弯曲问题
略不计。取 εz =0
，因而有：
• 因此，板内各点的挠度w 与z 坐标无关，只是x、y 的函数。
• 2. 直线假设
• 在薄板弯曲变形前垂直于板中面的直线，在簿板弯曲变形后仍为直线， 且垂直于弯曲后的中面。这说明在平行于中面的面上没有剪应变，即：
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7.1 薄板的弯曲变形
• 3. 正应力假设 • 中面上的正应力远小于其他应力分量的假设：平行于中面的各层相互
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7.2 矩形薄板单元分析
• 最后两项的选取是使单元在边界上有三次式的形式。按照式（7.20） 可以算出转角，即：
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7.2 矩形薄板单元分析
• 将矩形单元的4 个节点坐标(ξ i , η i ) 分别代入式（7.20），就可以得 到用12 个参数来表示的节点位移分量的联立方程组，求解这12 个方 程，从中解出a1～a12，再代入式（7.21），经归纳并整理后就可以改 写成如下的形式：
• 或者写成标准形式，即：
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7.2 矩形薄板单元分析
• 其中 • 如果把形函数写成通式，即：
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7.2 矩形薄板单元分析
• 于是有：
• 其中，
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第八章 班级气氛的经营与管理
• 知道最好的一切，且将之发挥至极致，才 是成功的生活。
• 未来我们会创造一个更经济、更有效率的 世界，但是让人担心的是，人们却没有现 在过得幸福。
• 为学生营造良好的班级气氛，提供给学生优质的 学习和生活环境，让学生快乐、健康地在班级中 成长是班级管理者的义务和责任。
2022/8/29
24
一、班级气氛的涵义与作用
1.板件的稳定和屈曲后强度的利用
5、配置加劲肋的腹板稳定计算 （1）仅用横向加劲肋的腹板
h0
a
a
式中: σ—计算区格，平均弯矩作用下，腹板计算高度边缘的弯曲压应力； τ--计算区格，平均剪力作用下，腹板截面剪应力； V σc—腹板计算高度边缘的局部压应力，计算时取ψ=1.0。 hw t w
c cr c ,cr
a 短向加劲肋的间距a1 为0.75h1。
hc为腹板受压区高度
h２
h0 235 ( 3) 任何情况下， 250 ； tw fy
(4) 梁的支座处和上翼缘受有较大固定集中荷载
处，宜设置支承加劲肋。
以上公式中h0为腹板的计算高度，tw为腹板厚度；
4、加劲肋的构造要求
（1）宜成对布置，对于静力荷载下的梁可单侧布置。支 承加劲肋和重级工作制的吊车梁不应单侧布置。
规范规定对长细比在100以上的压弯构件以及当构件强度和稳定计算中取时翼缘外伸宽厚比的容许值的限值规范规定如果构件的截面尺寸由平面内的稳定控制且长细比小于100应力又用得较足2351523513464板件屈曲后的强度利用四边有支承的薄板发生屈曲时其强度并不降低仍能继续承载也就是说具有屈曲后强度
4.6 板件的稳定和屈曲后强度的利用
2
(4 39
我们将板件的非弹性屈曲应力值控制在什么范围 内才认为板件是稳定的？
一种是不允许板件的屈曲先于构件的整体屈曲， 《钢结构设计规范》（GB 50017）对轴心压杆 就是这样规定的。 另一种是允许板件先屈曲。虽然板件屈曲会降低 构件的承载能力，但由于构件的截面较宽，整 体刚度好，从节省钢材来说反而合算，《冷弯 薄壁型钢结构技术规范》（GB 50018）就有这 方面的条款。轻型门式刚架结构的刚架梁腹板 就是这样考虑的。有时对于一般钢结构的部分 板件，如大尺寸的焊接工字形截面的腹板，也 允许其先有局部屈曲。
弹性压应力波作用下矩形薄板动力屈曲解析解
1 2 4 4 2 ) ， (1 1 2 1 2 14 4 2 ) (1 2 2 2 1 12 22 ， 1 2
1
(13) (14)
屈曲瞬间对板微元进行动力平衡分析，忽略转 动惯性项，得板的动力屈曲平衡方程：
将式 (12) 代入边界条件式 (7)~ 边界条件式 (10) 和波前附加约束条件式(11)，得出： 1 L1 (n 2) π ， 2 L1 nπ ， n 1, 2,3, (15)
b
y h
Fig.1
图 1 冲击载荷作用下的矩形薄板 The rectangular thin plate subject to the impulsive loading
x
C3 cos( 2 x) C4 sin( 2 x)
(12)
其中：
0 px
Fig.2
图 2 应力波的传播 The transmission of the stresswave
a x px h
Y (0) 0 (7) Y (0) 0 (8) Y ( L1 ) 0 (9) Y ( L1 ) 0 (10) 式中， L1 表示板沿 x 方向的临界屈曲长度， L1 ctcr ， tcr 表示临界屈曲时间。由屈曲瞬间能量转化
率守恒条件可导出压缩波前附加约束条件[11]： Y ( L1 ) 0 (11) 式(6)有满足边界条件和波前 当 2 2 时， 约束条件的解： Y ( x) C1 cos( 1 x) C2 sin( 1 x)
图 6 二阶模态 The second step mode
1 1.0
wmax Ww // Wmax
1.5 1.4 1.3 B
-0.5 0.5
弹性力学第九章 薄板弯曲问题_OK
（9－12）
20弹21/7性/6 力学简明教程
28
§9－3
NORTHEASTERN
薄板横截面上的内力
UNIVERSITY
讨论： （1）内力是作用在薄板单位宽度上的内力，
§9－3
NORTHEASTERN
薄板横截面上的内力
UNIVERSITY
同理，在xz面上（y为常量） y , yx , yz 也分别合成弯矩、扭矩和横向剪力。
M y
2 2
z
y dz
12
E 3 1 2
2w y 2
2w x2
M yx
2 2
z yxdz
E 3
121
2w xy
M xy
UNIVERSITY
（2）应力分量 xz
应力分量 xz 只可能合成横向剪力，在单位宽度上
2
Fsx
2
xz
dz
将（9－5）的第一式代入，并对z积分
E
Fsx 2 1 2
x
2w
2 2
z
2
2
4
dz
E 3 2w
12 1 2 x
（c）
20弹21/7性/6 力学简明教程
23
2w y 2
2w x2
M xy
M yx
D 1
2w xy
FSx
D
x
2w,
FSy
D
y
2w
（9－10）
20弹21/7性/6 力学简明教程
25
§9－3
NORTHEASTERN
薄板横截面上的内力
UNIVERSITY
薄板内力正负方向的规定
My
0
Mx
单向轴压下压电矩形薄板的动态后屈曲问题
续 传 感 器 的 叠 层 板 的 屈 曲控 制 问题 进 行 研 究 ［ 。 ７ ］
Ｔｚ ｕ和 Ｚ ｏ ｏ ｈ ｕ建立 了一种 基 于一 阶剪切 变形 效 应 的 非线 性 压 电薄板 理 论［ 。 用 幂级 数 展 开 和摄 动 ８ ， 。 并 法分 析了静 态 电荷 载下 压 电圆板 的屈 曲 问题 和 压 电
建立 了一 种 基 于 ５自由度 一 阶剪 切 变形 理 论 和 ｙ ｎ ｏ Ｋ ｒ ｎ非 线 性 应 变理 论 的 非 线 性 压 电 薄 板 理论 ， ａｍａ
由于压 电材料 在航 空航 天 、 电子机 械系统 、 微 机
械 以及 生物 工程 等 领 域 的广 泛应 用 ， 电材 料 的应 压 用 研 究 非 常 活 跃 ［ 。在 压 电 结 构 的 屈 曲 方 面 ， １ ］
振 ａ
动
压 电 薄板 动 态 后 屈 曲 的共 振 特 性 曲线 ， 动 态 后 屈 曲 的跳 跃 现 象 进 行 了研 究 。 值 分 析 表 明 ， 何 参 数 和 材料 参 数 对 数 几
都 对 压 电板 的跳 跃 特 性 有 显 著 影 响 。
Ｖ
关 键 词 ：动 态后 屈 曲 ； 电薄 板 ；非 线 性 共 振 ； 跃 压 跳
电薄 板 的 动态后 屈 曲是 一 个 力 、 、 电 非线 性 、 时间 高
度耦 合 的偏 微 分方 程 组 ， 用 Ｇ ｌ ｋｎ法则 可 以转 利 ａｅ ｉ ｒ
化为具 有参 数激 励 和一般 激励 共 同作用 下 的非线性 常 微 分方 程 ， 学行 为 极 其 丰 富 ， 有 多 种 分叉 形 力 具 态 ， 学求 解非 常 困难 。 由于传感 器 、 数 作动器 和微 电 子机 械系统 等结 构 的工作 环境 往往 复 杂 、 载多样 ， 荷
薄板弯曲问题弹性理论分析及数值计算资料
薄板弯曲问题弹性理论分析及数值计算课程设计指导教师：孙秦学院：航空学院姓名：程云鹤学号： 2011300092班级： 01011105薄板弯曲问题弹性理论分析及数值计算一、一般三维体弹性系统求解微分方程体系总结1、弹性力学中的基本假定（1）连续性，即假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满。
（2）完全弹性，物体在引起形变的外力被除去后可完全恢复原形 （3）均匀性，即假定物体是由同一材料组成的。
（4）各向同性，物体的弹性在所有各个方向都相同。
（5）和小变形假定，即假定位移和形变是微小的。
2、平衡微分方程在一般空间问题中，包含15个未知函数，即6个应力分量、6个形变分量和3个位移分量，它们都是x,y,z 坐标变量的函数。
对于空间问题，在弹性体区域内部，考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立平衡微分方程、几何方程和物理方程；并在给定约束面或面力的边界上，建立位移边界条件或应力边界条件。
然后在边界条件下根据所建立的三套方程求解应力分量、形变分量和位移分量。
在物体内的任一点P ，割取一个微小的平行六面体，如图1-1所示。
根据平衡条件即可建立方程。
(1)分别以连接六面体三对相对面中心的直线为矩轴，列出力矩的平衡方程0=∑M ，可证明切应力的互等性：yx xy xz zx zy yz ττττττ===,,(2)分别以轴轴、轴、z y x 为投影轴，列出投影的平衡方程0=∑x F ，0=∑y F ，0=∑z F ，对方程进行约简和整理后，得到空间问题的平衡微分方程如下⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=+∂∂+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂000z yzxz z y xyzy y x zx yx x f y x z f x z y f z y x ττσττσττσ (1-1)3、物体内任一点的应力状态现在，假定物体在任一点P 的6个直角坐标面上的应力分量 ,,z y x ，σσσyx xy xz zx zy yz ττττττ===,,为已知，试求经过P 点的任一斜面上的应力。
薄板结构的屈曲承载能力分析
薄板结构的屈曲承载能力分析薄板结构是指在一个平面内，一侧的长度远大于另一侧的结构。
它具有较高的刚度和承载能力，广泛应用于建筑、航空航天、交通运输等领域。
然而，在长时间使用或者遭受外力作用时，薄板结构可能发生屈曲，使其失去原来的刚度和承载能力。
因此，对薄板结构的屈曲承载能力进行分析和评估是非常重要的。
1. 薄板结构的屈曲现象屈曲是指杆件在受到外力作用时，由于其自身的不稳定性而发生的形状变化。
对于薄板结构而言，由于其一侧长度远大于另一侧，产生的扭矩和弯曲力会使其在某一方向上发生屈曲。
当结构失去了原来的刚度和承载能力时，就会发生屈曲现象。
2. 薄板结构的屈曲挠度计算在进行薄板结构的屈曲承载能力分析时，首先需要计算其屈曲挠度。
常用的屈曲挠度计算公式如下：\[ \delta = \frac{{5 \times p \times L^4}}{{384 \times E \times I}} \]其中，\[ \delta \]表示屈曲挠度，\[ p \]表示作用在结构上的外力，\[ L \]表示结构的长度，\[ E \]表示结构的弹性模量，\[ I \]表示结构的截面惯性矩。
3. 薄板结构的屈曲承载能力薄板结构的屈曲承载能力是指结构在屈曲前可以承受的最大外力。
根据欧拉公式，可以计算薄板结构的屈曲临界载荷。
欧拉公式如下：\[ P_{cr} = \frac{{\pi^2 \times E \times I}}{{L^2}} \]其中，\[ P_{cr} \]表示屈曲临界载荷。
4. 影响薄板结构屈曲承载能力的因素薄板结构的屈曲承载能力受到多种因素的影响。
主要的因素包括结构的几何形状、材料的弹性模量、荷载的大小和方向等。
当结构的几何形状不规则、材料弹性模量较小、荷载过大或方向不合理时，薄板结构的屈曲承载能力会大大降低。
5. 提高薄板结构屈曲承载能力的方法为了提高薄板结构的屈曲承载能力，可以采取一些措施。
首先是合理选择材料，使用强度高、刚度大的材料制作结构。
薄板弯曲问题-浙江大学共36页PPT资料
从薄板内取出一个平行六面体，
它的三边长度分别为d x , d y和板的厚度
图（9－2）
在x为常量的横截面上，作用着 x , y , xz 在该截面的每单位宽度上，应力分量 x
a
对中面合成为弯矩 M x
2 a
z
x
dz
2
将式（9－4）中的第一式代入并对z进行积分，得
M x 1 E 2 2 x w 2 2 y w 2 a 2 a 2 z 2 d z 1 2 ( 1 E 32 ) 2 x w 2 2 y w 2
0 取 z
由几何方程的第三式得 w0wwx,y
z
结论：中面的任一根法线上的各点都有相同的横向位移，也就等于挠度
2）应力分量 xz , yz , z 远小于其余的3个应力分量
所引起的形变可以忽略不计
z 0,zx 0,yz 0
从而有 u w,v w z x z y
可见：中面的法线在薄板弯曲时保持不伸缩，并且成为弹性曲面的法线
x
12M 3
x
z,
y
12M 3
y
z,
xy
yx
12M 3
xy
z,
zx
6 FSx 3
2
4
z2
,
yz
6 FSy 3
2 4
z2
,
z
2
q
1 2
z
2
1
z
。
（9－11）
• 由内力表示的平衡微分方程
Qx Qy q0 x y
Mx x
M yyxQx
0
MxyMy x y
Qy
0
2M x2x22x M yxy 2M y2yq0
薄板的物
最新-矩形薄板的屈曲
3.142 2.06 105
121 0.32
18.6 104
p x ,cr
18.6K
t
2
104
x ,cr
t
b
由公式
p x ,cr
18 .6 K
t
2
10 4ຫໍສະໝຸດ ax ,crt
b
px
b
px
可见，板屈曲临界应力的大小：
1）与所受应力分布情况、板的支承条件及长宽比（a/b）有关， 与板的宽厚比（b/t）的平方成反比。
不是铰支又不是嵌固边，而是广义的弹性约束边。应考虑板组间
的 约束因素。引入板组约束系数 ，则板的弹性屈曲临界应力为
：
2
x ,cr
p x ,cr t
K2E 12 1 2
t b
取 E=2.06×105N/mm2、μ=0.3， 则：
2E
121 2
2、矩形薄板的屈曲
根据弹性力学小挠度理论，四边简支矩形薄板在单向中面压力 Px 作用下弹性屈曲时的临界应力为：
2
x ,cr
p x ,cr t
K2E
12 1 2
t b
K — 弹性屈曲系数，与荷载种类、应力分布状态、板的边长比 例、边界条件等相关
钢梁是由几块板件组成的，各板件之间存在相互约束作用。既
2）减小板宽可有效地提高临界应力，而减小板长的效果不大。 3）与钢材强度无关，采用高强度钢材并不能提高板的局部稳定
性能。
弹塑性临界应力：
x ,cr
p x ,cr t
薄板弯曲问题
（板面）上，三个应力边界条件也已精
确满足。
⑷ 只有板边的边界条件尚未考虑，它 们将作为求解微分方程（f）的边界条件。
第九章 薄板弯曲问题
思考题
试比较梁的弯曲问题和薄板弯曲
问题的异同。
第九章 薄板弯曲问题
薄板内力
§9-3 薄板横截面上的内力
薄板内力，是薄板每单位宽度的横截面 上 ( 1) ,由应力合成的主矢量和主矩。 求薄板内力的目的：
故
( x , y , xy ) z 0 0.
因此，中面在变形后，其线段和面积 在xy面上的投影形状保持不变。
第九章 薄板弯曲问题
类似于梁的弯曲理论，在薄板弯曲问 题中提出了上述三个计算假定，并应用这 三个计算假定,简化空间问题的基本方程， 建立了小挠度薄板弯曲理论。 实践证明，只要是小挠度的薄板，薄 板的弯曲理论就可以应用，并具有足够的 精度。
第九章 薄板弯曲问题
内力符号
My
x
Mx
M yx M xy
M xy
M yx M yx dy y
Mx
z
M y My dy y
M x dx x
M xy dx x
y
FSy
FSx
FSy FSy dy y
FSx FSx dx x
第九章 薄板弯曲问题
中面内力平衡条件
w 取 εz 0 ，由 z 0 ，得 z
w w( x, y).
故中面法线上各点，都具有相同 的横向位移，即挠度w。（直法线假设）
第九章 薄板弯曲问题
2. 次要应力分量 zx , zy 和 z 远小于其他应力 分量，它们引起的形变可以不计。 薄板中的应力，与梁相似，也分为三个 数量级： 弯应力 ζ x ,ζ（合成弯矩 M x ,M y） y
薄板弯曲问题的理论分析
薄板弯曲问题的理论分析洪兵胡小仙薄板弯曲问题的理论分析薄板弯曲问题的理论分析汽车工程研究院洪兵?胡小仙问题研究?【摘要]本文主要讨论汽车车身上常用的薄板材料的弯曲问题,分析其变形的特征,平衡方程以及相应的边界条件,为薄板的结构分析提供理论基础.主题词:薄板弯曲平衡方程边界条件薄钢板在汽车车身上的使用相当普遍,如顶盖,侧围,地板,门板,前罩板,横梁,纵梁及各种加强件等车身上的主要结构零件均由薄钢板冲压而成,重量占汽车车身总重量的70%以上,在车身结构中,薄钢板具有承载作用,负荷使薄钢板产生扭转,弯曲等变形,其中以弯曲变形最为常见.因此,从理论上分析薄板的弯曲变形问题,对于分析车身结构强度和受力状况是相当必要的.1薄板弯曲变形的基本特征利用材料力学和弹性力学的知识,可以得到三维弹性体的边界平衡方程为_1,2㈣1.1aQ:i(u)nj=&i=1,2,3第一式为弹性体Q内部,第二式为Q的边界.其中,为应力,nj为各面法向,u为应变位移,￡为体积载荷,gi为边界载荷.方程(1)适用于包括薄板在内的一般性三维弹性体,而薄板具有其自身的特点,从这一方程出发可以得到薄板变形的一些特殊性.以薄板的中性面(即弯曲前后无变化的面)作为x,_x平面建立坐标系进行分析.下面就先分别给出两个显着的特征,再进行证明.(1)3】==33=0在薄板弯曲过程中,板的厚度远小于其他两个方向的几何尺寸(如汽车顶盖厚度与长,宽尺寸的差别可以达到200倍以上),因此为了得到弯曲变形,只需要在板平面上加上一个不大的载荷,这一载荷远小于由此而产生的内部的纵向伸缩应力.因此,在平衡方程(1)中,可以略去载荷gi,从而得到3∑(o)n:o()j2ii=gO()j=l此处n=(n,n,n)为边界面的外法向.在车身的结构设计中,不可能允许薄板由于承载产生较大的变形,这对于汽车的安全是有极大隐患的,所以,这里只考虑小变形,可以认为弯曲后薄板的外法向与坐标轴X3平行,即n一(0,0,±1).因此,在板面上有3ni±j3O(3)j=l由于是薄板,可以认为式(3)在板内部也是成立的,于是就得到第一个特征.当然,这个特征是近似的,但至少相对于其他应力分量是极小量.(2)薄板的弯曲变形完全取决于横向位移(即所谓挠度,它只依赖于纵向坐标xl,x),而纵向位移LII~.U2以及应变(~11TM.￡￡12,￡2l则完全由挠度决定.薄板在弯曲变形时,内部的纵向纤维产生拉伸或压缩.在板受载荷向内凹的一面是压收稿日期:2005—08—21问题研究?长安科技2005年第11卷第4期缩,向外凸的一面是拉伸.形变在整个厚度方向连续地从压缩方向变到拉伸方向,根据数学上连续函数的罗尔定理,可知必然存在—个既没有压缩,又没有拉伸的中性面,在中性面两侧的变形方向相反.由于是均质材料,所以中性面x,-J-~,于上下板面,即位于板厚的中间.根据坐标设定,可知变形前的中性面为Xl--X平面,即x3=O.在中性面上,三个方向的位移分别为u=u=0,u=u(XI,x2)(4)由于板厚度很小,可以认为挠度u沿着薄板厚度方向是一致的,即u3(x1,x2,x3)≈u(xl'x2)(5)根据推导出的第一个特征,考虑到是小变形,并记中性面的横向位移(即挠度),w=u于是有变关系)一)-lT(11)==l2此即三维弹性问题的Hook定理.其中,E为材料的弹性模量,为材料的泊松比,仅为线膨胀系数,下为温升.同时也可以得到薄板弯曲的应变能体密度w一~-1-琳e22.2](12)(6)2薄板弯曲变形的变分形式和平衡方程由此即可得到应变s与无穷小旋转角通过挠度W的表达式20xi一袅2(7)lq=争磬一争磬+磬{产等一=等一磬(8)}:=争一如杂令曲率一},i,j=l,2,这就是中性面经过弯曲后的曲率张量的一阶近似,容易得到s----X3KⅡ,Kij=Kjii,j=l,2(9)对式(8)分别求X1xX的偏导,可以得到一Kl2,一I(22(10):K根据以卜分析.可以得到薄板弯曲的府力府F面便用变分原理分析薄板的弯曲变形.不考虑热效应(即温升下=0),于是Ho0k 定理式(11)和应变能式(12)通过关系式(9), 可用曲率K表示为],f(1-v)ZKi2i+(ZKk)l(14)1-vlk=l"其中,符号函数6ij:{:--≠ji.由于中性面对称于上下板面,设板厚为h,令MijJ—Il,2X3%dx,,i,j=1,2(15)将式(14)代入式(15)雷得到MD【(1一)K+(∑k=lKkk)6J(16)其中,D:—.进一步写为2啦一Ⅳ洪兵胡小仙薄板弯曲问题的理论分析M11=D(K11+1JK22),M22=D(vK11+),M12=M21=D(1一r)K12(17)此即薄板弯曲变形的Hook定理,此处刻画"应变"的是曲率K刻画"应力"的是M根据式(15)可知M的力学意义即为力矩,其中M..表示x.方向断面上绕+x轴的弯矩,M表示x方向断面上绕一x.轴的弯矩,M.表示x:方向断面上绕+x轴的扭矩, M.表示x.方向断面上绕一x.轴的扭矩.比例常数D即为材料的抗弯刚度.类似地计算应变能面积密度,可得到外功势能F(w)=』P3wdx1dx2+Iq3wdl+IⅡ,dl(18)要从变分原理导出薄板弯曲的平衡方程,就需要建立Green公式,即运用Gauss积分公式把Dw,v1变为区域Q上只含v本身而不含其导数的表达式.由于此处D(w,v1中含有v的二阶导数,因此需要两次运用Gauss积分公式.汽车车身上使用的薄板一般为成品钢板材,可以认为是等厚均质材料,即在Q内E,P.h等为常数,于是相应的平衡解W有足够的光滑度以保证Gauss积分公式的合法性.经过理论推导可得到Green公式1.1D(w,V):llMij(w)Kj(v)dx.d】【2:一』喜+讪一l(w)dl+[(w)】=-)(19)由式(18),式(19)可得附一:一I(窆dxd】【2+In(Q)+i=1d]【i.J砸l. -q3)vdI+dll(w)+m-)dl问题研究?+∑[M(w)】):0(20)其中ft:Q3i:喜警J'a:∑iJ=12(21)1一aQ:MZMij,ninjFIaQ:M=∑M1n.(22)可以从力学意义上理解各个系数,P,表示作用在板Q上的横向载荷,q,表示作用在边界aQ上的横向载荷,m.表示作用在边界aQ上的弯矩载荷,Q,i表示xi方向断面上的横向剪力,Q,表示法向为n的断面上的横向剪力,M表示法向为n的断面上绕切向t的弯矩,一M表示同一断面上绕法向n的扭矩. 由于v在Q内部,边界aQ以及点P;上的任意性,根据式(20)可以得到薄板弯曲的平衡方程和边界条件Q:一2-P.(23)IQ,n(w)+-q3aQ:lM(w):ml(24)l[M(w)】;=0i=l2一,m将式(21),Hook定理(17)以及曲率K的定义代人式(23),得到用挠度W表示的薄板弯曲方程毒OX蔷0誓OX)+2矗1D(卜1X1,…～l2 最告誓+警p(25)这是关于挠度的四阶椭圆型偏微分方程. 对于{习质等厚度的薄板,由于D,1J均为常数,方程可以简化为双调和方程Q:DAw=p3(26)29问题研究?长安科技2005年第11卷第4期3薄板弯曲变形的边界条件根据以上分析可知,薄板弯曲的平衡方程(25)或(26)是关于挠度w的四阶椭圆型偏微分方程,在定解时一般要在边界上规定两个边界条件.根据汽车车身的具体情况, 可以将边界条件分为三类.第一类边界条件是规定几何约束,又可分两种情况.(1-1)规定横向位移,即:已知.f27)(1-2)规定切向转角,即F"60,(W)=CD已知,或:一已知.(28)对于这两种几何约束,变分问题中的虚位移v必须满足相应的化零约束条件F】:v=0,F:=0(29)dn而应变能泛函照旧,但外功势能则改为一fq,vdl+m-dOvdl}(30)于是可以利用Green公式,由变分原理得到平衡方程(23),而边界条件则改为F:Q3n+:q,(31)aft—F:M咖(w)=ml(32)恰好补足了几何约束(27),(28)式以外的边界条件.也就是说,当在边界某段上规定了横向位移w后,当地的任何横向载荷q 就不起作用了,同理,规定了切向转角(1)i后, 当地的切向弯矩mi也不起作用了.第二类边界条件是规定载荷即力学边界条件,也分两种情况.(2—1)F上规定横向载荷q,.由式(36),边界条件的数学形式为Qn(w)+_q3(33)它表示在边界上的横向剪力平衡,包含有w 的三阶导数,此处可以认为是板边界上的扭30矩落差产生有效的横向剪力,和Q一al起与外载荷q平衡.(2—2)r上规定弯矩载荷m..由式(24),边界条件的数学形式为r2:M(w)=ml(34)它表示边界上的弯矩平衡.此外,从式(24)还可以看出,当边界aQ的角点Pi不受载荷时,扭矩M在该点为连续.若在Pi有点载荷,则在外功势能一F(v) 中应增加"点项"v(pi),此时可导出Pi点的平衡方程Pi:[M(w)]:=(35)它表示扭矩在点Pi处必有跳跃,以产生有效的横向点力而与点载荷ri平衡.需要指出的是,力学边界条件是变分问题的自然边界条件,与内部平衡方程一样都是在势能达到极小值时自动得到满足的,它们其实就是边界上的平衡方程.在这里,自然边界条件包含w的二阶或三阶导数,解析形式非常复杂,变分原理的优越性在此就得到了充分的体现.第三类边界条件是弹性支承,出现于板在边界上或板面上与外界有弹性耦合时,可分为三种情况.(3一1)r3上除横向载荷q外,还承受正比于挠度w的横向弹性反力一CoW,co>O为弹性耦合常数.此时r上单位长度有弹性能,对外功势能和虚功泛函均有贡献,此时上的平衡方程为Q3~(w)++c0w-q3(36)(3-2)F3~I~,T弯矩载荷In.外,还承受正比于切向转角的弹性反矩一cco=c,el>0为弹性耦合常数.此时上F3上单位长度有弹性能,对外功洪兵胡小仙薄板弯曲问题的理论分析势能和虚功泛函均有贡献,此时上的平衡方程为r3:M(w)--C1m-(37)f3—31板面上与外界有弹性耦合,即弹性地基板.设在Q的子域Q上承受正比于挠度的横向弹性反力一cw,c>0为弹性耦合常数. 此时板面Q,的单位面积上有弹性能,对总势能和虚功泛函均有贡献,可以得到板体Q 内的平衡方程为Q～Q:Q:在工程实际中,可以根据材料的受力状态,在上述三类边界条件中任取两个,并且在不同的区段上可以有不同的取法,因此可能出现很复杂的组合.应该注意,边界条件(1—1)对(2—1)或(3—1),(1—2)对(2—2)或(3—2)是互相矛盾的,不能同时选取.另外,在实际的结构中,由于形状和受力状态复杂,计算量非常巨大,必须使用有限元软件进行分析处理.运用有限元对薄问题研究?板进行分析,常使用以下三种板元:不完全双三次矩形~(Adini—Clough—Melosh元),不完全三次三角形元(Zienkiewicz元)和完全二次三角形元(Morley元).4结束语经过一系列的理论分析,推导出了薄板弯曲变形的平衡方程及边界条件,为实践中对薄板材料的结构和受力状态进行分析提供了理论基础.当然,在工程实际中,各种材料的结构和受力非常复杂,仅依靠理论的分析计算是不够的,必须有相关试验进行实际的验证和调整.参考文献[1】冯康.弹性结构的数学理论.上海交通大学出版社.1996年4月第1版[2】钱伟长.弹性力学.科学出版社,1980年9月第1版[3】孙国钧.材料力学.上海交通大学出版社,2002年6月第1版[4】章仰文,邵国年.数学分析.上海交通大学出版社, 2000年7月第1版责任编辑曾莉(上接第26页)建模,并用非线性接触算法求解.在本文中,利用非线性有限元软件ABAQUS实现.(3)通过仿真表明,后端盖刚度过低,导致在螺栓力作用下发生较大翘曲变形,使得与密封垫失去接触,导致密封失效,仿真结果与试验现象相符合.(4)优化后的结构在后端盖边缘处增加了加强筋,并适当调整了中间加强筋的位置和大小,经仿真和试验验证,达到密封要求.参考文献I1]BelytschoT.,"uw.K.,MoranB.NonlinearFinite ElementsforContinuaandStructl?res,JohnWileyand SonsLtd,2000【2】王勖成有限单元法.北京:清华大学出版}土2o03 【3】ABAQUSInc.ABAQUS有限元软件6.4版入门指南.北京:清华大学出版社,2004【4】ABAQUSInc.ABAQUSAnalysisUsersManua1. ABAQUSInc.2003责任编辑曾莉31,托监啦: ∑:∑。
薄板弯曲问题
M xy zdzdy
' xy - h/2
- h/2 h/2
- h/2 h/2
扭矩
M
' yx
yx zdzdx
- h/2
h/2
内力与应力的关系
Mx 3 Eh M My 2 12 1 M xy 1 0
2
x y z xy
弯扭变形列阵
几何方程
2w 2 2 4 6 7 x 2 8 y 611xy x 2 w 2 2 6 2 9 x 610 y 612 xy x 2 w 2 x 2 y 3 x 2 3 y 2 5 8 9 11 12 xy
N x1 i 1 0
b2 c2 d 2 0 N x1 1 N x1 0 (2) y b i 2 a2 e2 N x1 最后利用本点1，确 0 (3) , (4) x i 4,1 定a2=b/8，代回
(1)
弹性薄板矩形（R12）单元
弹性薄板矩形（R12）单元
薄板的形函数可以用 广义坐标法，也可以用试 凑法得到。由于单元自由 度为12，因此可有12个广 义坐标，位移模式可设为 如下不完全四次多项式
Q1 1 Mx1 4
My1
w3 2 y z 3
x
x3 y3
w a1 a2 x a3 y a4 x 2 a5 xy a6 y 2 a7 x 3 2 2 3 3 3 a8 x y a9 xy a10 y a11 x y a12 xy
物理方程
应变
位移函数
薄板在弯曲变形后，薄板的法线没有伸缩；
矩形薄板在面内撞击下动力屈曲的实验研究
矩形薄板在面内撞击下动力屈曲的实验研究韩大伟;王安稳【摘要】The dynamic buckling of thin rectangular plates subjected to in-plane impact was investigated experimentally.The result indicates that after buckling the plate can be in-plane loaded further and is of postbuckling strength.The critical buckling length of the thin rectangular plate was obtained by recording the buckling time.The experimental model was also analysed by using theoretical method.By comparing the results it is indicated that partial buckling occurs in the thin rectangular plate when the compression wave propagates a certain distance.The critical buckling length obtained in the experiment is in reasonable agreement with the analytical calculation result.%利用 Hopkinson 压杆系统对矩形薄板在面内撞击下的动力屈曲进行了实验研究。
结果表明矩形薄板存在屈曲后强度，在屈曲发生后面内载荷可以继续增加，通过记录屈曲发生的时间求得临界屈曲长度，并对实验模型进行了理论分析。
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收稿日期:20032022283基金项目:广东省自然科学基金资助项目(011602) 作者简介:陈炎(1963-),男,博士生,华南理工大学交通学院讲师,主要从事板壳非线性力学、非线性随机振动等方面的研究.文章编号:10002565X(2003)0820045205单向轴压下压电矩形薄板的后屈曲问题3陈 炎1 黄小清2 马友发2(1.南京航空航天大学航空宇航学院,江苏南京210016;2.华南理工大学交通学院,广东广州510640)摘 要:利用双重F ourier级数展开和G alerkin方法获得单向轴压和简支边界条件下压电矩形薄板后屈曲问题的解析解.发现几何参数对屈曲路径的影响与各向同性板类似,后屈曲荷载与压电-电介质综合参数有线性关系,后屈曲路径中存在材料共振现象.最后分析材料参数和几何参数对后屈曲路径的影响.关键词:压电材料;后屈曲;薄板;非线性中图分类号:O343.9;O313;V214.3 文献标识码:A 对压电力学的研究已有50多年历史,其中线性问题已经研究得较充分[1～4].由于压电材料在航空航天、微电子机械系统、机械以及生物工程等领域的广泛应用,对压电材料的应用研究非常活跃[5～8].在压电结构的屈曲方面,Chandrashekhara[9]利用一阶剪切变形理论和有限元法对集成有离散或连续传感器的迭层板的屈曲控制问题进行研究,该文求电场时,只是简单地用电压除以板厚进行处理.T h om ps on[10]等对阶梯柱条的屈曲控制进行了实验研究,并与弯曲理论的结果作了比较,分析了作动器的控制效果.T z ou[11]等用级数展开法分析了压电圆板的静态、屈曲和动力问题.Chase[12]等结合最优控制理论和有限元法,求出了集成有传感器和作动器板的临界荷载和屈曲模态.W ang[13,14]利用直接差分法分析了中间粘贴有一对压电层的柱状结构的颤振和屈曲问题,其所建立的模型考虑了极化方向和轴向的电场作用.丁浩江[3]等把位移和应力进行分解并利用状态空间法,获得了层合压电矩形板线性稳定问题的三维精确解.田晓耕[15]、赵国忠[16]、姚林泉[17]等分别对压电薄板屈曲和后屈曲问题进行了有限元分析.Shen[18,19]在只考虑极化-横向压电效应的情况下,利用高阶剪切变形理论和摄动法对复杂荷载和边界条件下集成有作动器的层合板的后屈曲问题进行了研究,对电场的处理与文献[9]相同.但压电结构的屈曲研究是近10年的事情,前述研究在处理压电层时作了许多简化,有些则没有考虑电场与机械场间的相互耦合作用,所以现有的研究远远没有满足工程应用的要求.由于传感器、作动器和M icr oelectr oM echanical系统等结构的工作环境往往复杂,荷载多样,所以,对压电结构的非线性后屈曲问题进行研究,具有重要的理论和工程意义.作者在原有研究的基础上,利用双重F ourier级数展开和G alerkin方法求得压电矩形薄板非线性后屈曲问题的解析解.1 基本方程考虑横观各向同性压电矩形薄板,几何尺寸如图1所示.图1 板的几何结构Fig.1 G eometry of the plate根据文献[20],简支边界条件下压电板的非线性动力问题可以简化为92W9τ2=f cosωτ+3λ2χ 1(W,Φ)+～4Γ(1)～4Φ=- ～2Q-λ221(W,W)(2)华南理工大学学报(自然科学版)第31卷第8期Journal of S outh China University of T echnology V ol.31 N o.8 2003年8月(Natural Science Edition)August 2003ξ=±1时,92Φ9ξ9η=0Γ=092Γ9ξ2=0θ=0∫1-192Φ9η2d x =-q x (3)η=±1时,92Φ9ξ9η=0Γ=092Γ9η2=0θ=0∫1-192Φ9ξ2d x =0(4)其中算子W = ～2Γ-Γ(5)～2=929ξ2+λ2929η2(6) 1(W ,Φ)=92W 9ξ292Φ9η2+92W 9η292Φ9ξ2-292W 9ξ9η92Φ9ξ9η(7)基本方程中引入了如下的无量纲量:λ=a b,λ1=h b,ξ=x a,η=yb,χ=I I +I 1,γ=h +2h 1h +h 1(1+υ),ζ=a 2γ23I ,W =2γ1-υ2hw ,Φ=4(1-υ2)Yh2Ψ,Γ=2γ1-υ2hψ,k =(I +I 1)G ha 2,τ=I +I 1ρha4t ,μ=c2a 4ρh (I +I 1),f =2γa 41-υ2(I +I 1)h q z ,x =4(1-υ2)Yh2q x ,=ζQ ω=ωρha4I +I 1.基本变量定义如下:Y =(c 11-c 12)[c 33(c 11+c 12)-2c 213](c 11c 33-c 213),υ=(c 12c 33-c 213)(c 11c 33-c 213),G =c 44,N e=∫ze 31E z d z ,M e=∫ze 31E z z d z ,I =Yh312(1-υ2),h 1=e 231ε331-υY h ,h 2=e 31h ε33,I 1=e 231ε33h312,<x =9ψ9x +9θ9y ,<y =9ψ9y -9θ9x ,σxx 0=92Ψ9y 2+N eh ,σyy 0=92Ψ9x2+N e h ,σxy 0=-92Ψ9x 9y .其中ρ是压电薄板的密度,c 是阻尼系数,c ij 是弹性系数,e ij 是压电常数,εij 是电介质常数.σij 0是纯力学薄膜应力分量,Ψ是薄膜力应力函数,N e 是电膜力,M e 是电膜力弯矩,w 是薄板的挠度,<x 、<y 分别是中面法线沿x 、y 方向的转角.E i 是电场强度分量,D i 是电位移分量,Q (x ,y ,t )是压电薄板上下表面的电荷,q z 、ω分别是法向荷载的幅值和频率,q x 是单向轴压均布荷载.Y 、υ、G 分别是材料的当量杨氏模量、泊松系数和剪切模量.根据文献[20],θ恒等于零.2 方程的求解我们考虑无电荷、无法向荷载的静态后屈曲情况(W ..,f ,Q =0),可取满足边界条件Γ=0,92Γ9ξ2=0和Γ=0,92Γ9η2=0的位移模式Γ=F cos πξ2cosπη2(8)其中F 是待定常数.将式(8)代入式(5)得W =eΓ(9)e =-14k π2(1+λ2)+1(10)把式(9)代入式(2),并把齐次解展开为双重F ourier 级数,利用边界条件92Φ9ξ9η=0,∫1-192Φ9η2d x =-q x 和92Φ9ξ9η=0,∫1-192Φ9ξ2d x =0,可得方程(2)的解为Φ=e 2F 2∑∞m =0∑∞n =0d mn cos (m πξ)cos (n πη)-q x η22(11)其中d mn 可根据文献[21]的方法求得.将式(8)、(9)和(11)代入方程(1),利用G alerkin 方法,可得∫1-1∫1-1(3λ2χ 1(Φ,W )+ ～Γ)Γd ξd η=0(12)通过计算,上式变为π2F 21612eq x χλ2+π2(1+λ2)2+ 6π2e 3F 2χ(d 01+d 10)=0(13)因F ≠0,所以由上式可得到后屈曲荷载q 3x =-π212e χ(λ+1λ)2-W 2mπ22d(14)46 华南理工大学学报(自然科学版)第31卷 其中W m =eF 是最大挠度,而d =d 01+d 10可按文献[21]的方法解出d =-132(λ2+1λ2)+λ4sinh 2πλ16π2(1+λ2πsinh 2πλ)(15)3 算例我们现在讨论四边简支的压电矩形薄板的后屈曲问题.定义材料无量纲参数为f 1=c 11/c 44,f 2=c 12/c 44,f 3=c 13/c 44,f 4=c 33/c 44,f 5=e 15/e 33,f 6=e 31/e 33,f 7=ε11/ε33,f 8=e 233/(c 44ε33).考虑PZT -4陶瓷材料板的非线性后屈曲,其材料参数为[22]f 1=5.43,f 2=3.04,f 3=2.90,f 4=4.49,f 5=0.84,f 6=-0.34,f 7=1.15,f 8=1.585.计算结果如图2～9所示.由图2可知,对于每一个λ,后屈曲荷载随着屈曲位移的增加而增加;当λ<1时,λ越小,后屈曲荷载越大,其随着屈曲位移增加的梯度也越大;当λ>1时,λ越大,后屈曲荷载越大,但其随着屈曲位移增加的梯度越小.这是合乎物理规律的,因为当λ<1时,受压边比较长,需要较大的后屈曲荷载.图2 几何参数λ对后屈曲荷载的影响Fig.2 E ffect of λon the post 2bucklingload图3 材料参数f 8对后屈曲荷载的影响Fig.3 E ffect of f 8on the post 2buckling load 由图3知,一定屈曲位移条件下,后屈曲荷载与极化压电-电介质综合参数f 8有近似线性关系.由图4、5知,弹性系数f 1较小时,q 3x 随f 1的增大而增大,f 1达到一定值后,q 3x 随f 1的增大而减小.在材料共振点附近,q 3x 随f 1的增加而急剧减少,远离共振区后,q 3x 随f 1的变化平缓.图4 弹性参数f 1对后屈曲荷载的影响Fig.4 E ffect of f 1on the post 2bucklingload图5 后屈曲荷载q 3x 与弹性参数f 1的关系Fig.5 Relation between q 3x and f 1 从图6可见,弹性系数f 3越大,后屈曲荷载也越大.在材料共振点附近,后屈曲荷载随f 3的增加而急剧增加,远离共振区后,后屈曲荷载随f 3的变化不大.从图7知,相对压电系数f 6的绝对值越大,后屈曲荷载也越大.图6 后屈曲荷载q 3x 与弹性参数f 3的关系Fig.6 Relation between q 3x and f 3 第8期陈 炎等:单向轴压下压电矩形薄板的后屈曲问题47图7 压电参数f 6对后屈曲荷载的影响Fig.7 E ffect of f 6on the post 2buckling load 由图8知,弹性系数f 4对后屈曲荷载的影响显著,其变化趋势与f 1对后屈曲荷载的影响相似.从图9则知,当板厚系数较小时λ1<0.051时,对应于各种板厚的后屈曲荷载变化甚微,说明本文的方法对压电矩形薄板是适用的.图8 后屈曲荷载q 3x 与材料参数f 4的关系Fig.8 Relation between 3x and f4图9 板厚系数λ1对后屈曲荷载的影响(λ=1)Fig.9 E ffect of λ1on the post 2buckling load (λ=1)图5、6和8表明,当f 32=f 1f 4时,后屈曲荷载无穷大,这种现象可称为材料共振,如果实际结构存在此种现象,那么对屈曲控制是非常有用的.对此现象还须深入研究.4 结论压电矩形板后屈曲问题可简化为V on K amen 类非线性方程.利用双重F ourier 展开和G alerkin 方法,得到了压电矩形板后屈曲的解析解.数值结果表明,板的几何形状对后屈曲路径的影响与弹性板类似.对于薄板,板厚对后屈曲路径的影响较小,极化-横向压电系数f 6的绝对值越大,后屈曲荷载也越大,极化压电-电介质综合系数f 8与后屈曲荷载存在近似线性关系.研究发现,压电矩形板后屈曲中会出现材料共振现象,其机理和作用需深入研究.因解中不出现f 2,f 5和f 7,所以模型仍可改进.参考文献:[1] T iersten H F.Linear piez oelectric plate vibrations [M].NewY ork :P lenum Press ,1969.[2] T zou H S.A linear theory of piezoelectric shell vibrations[J ].J of S ound and Vibration ,1994,175:77-88.[3] 丁浩江,陈伟球,徐荣桥.横观各向同性层合矩形板弯曲、振动和稳定的三维精确分析[J ].应用数学和力学,2001,22(1):16-22.[4] 张福学,王丽坤.现代压电学[M].上册.北京:科学出版社,2001.[5] G iurgiutiu V.Review of smart 2materials actuation s olutionsfor aeroelastic and vibration control [J ].Journal of Intelli 2gent Material Systems and S tructures ,2000,11(7):525-544.[6] Wetherhold R C ,Aldraihem O S.Bending and twisting vi 2bration control of flexible structures using piezoelectric materi 2als [J ].The Shock and Vibration Digest ,2001,33(3):187-197.[7] Niezrecki C ,Brei D ,Balakrishnan S ,et al.Piezoelectric ac 2tuation:state of the art [J ].The Shock and Vibration Di 2gest ,2001,33(4):269-280.[8] G iurgiutiu V ,Bay oumi A 2M E ,Nall G.Mechatronics andsmart structures :emerging 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pace Navigation ,Nanjiang University of Aeronautics and Astronautics ,Nanjing 210016,China ;2.C ollege of T raffic and C ommunications ,S outh China Univ.of T ech.,G uangzhou 510640,China )A bst ract :By applying the double F ourier series as the displacement m ode and the G alerkin procedure ,the exact s olu 2tion of the non 2linear post 2buckling of transversely is otropic piezoelectric rectangular thin plates under sim ply supported boundary conditions and unilateral pressure is obtained.Numerical results show that the effect of geo 2metry parameters on the post 2buckling path are similar to those of hom ogenous material thin plates ,the post 2buckling loads is proportional to the piezoelectric 2dielectric parameter ,and the material res onance phenomena is observed as well.The effects of parame 2ters of the material and geometry on the characteristics of the post 2buckling path are als o presented.Key wor ds :piezoelectric material ;post 2buckling ;thin plates ;nonlinear 第8期陈 炎等:单向轴压下压电矩形薄板的后屈曲问题49。