12-19北京高考数学汇编8：解析几何(教师版)
12-19北京高考数学汇编7：立体几何(教师版)
数学（文）（北京卷）参考答案 第 1 页（共 23 页）【解析分类汇编：北京高考数学理】7：立体几何（2012文/理）（7）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是B （A ）2865+ （B ）3065+ （C ）56125+ （D ）60125+（2013文）（10）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱 锥的体积为 3 ．（2013理）（14）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E为BC 的中点，点P 在线段1D E 上．点P 到直线1CC 的距离的最小值 为25．正（主）视图侧（左）视图俯视图42 3 4数学（文）（北京卷）参考答案 第 2 页（共 23 页）（2014文）（11）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为（2014理）（7）在空间直角坐标系Oxyz 中，已知(2,0,0)A ,(2,2,0)B ,(0,2,0)C ,(1,1,D ．若1S ,2S ,3S 分别是三棱锥D ABC –在,,xOy yOz zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则D（A ）123S S S == （B ）21S S =且23S S ≠ （C ）31S S =且32S S ≠（D ）32S S =且31S S ≠（2015文）（7）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为C（A ）1（B （C （D ）2（2015理）（4）设,αβ是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α．“m β∥”是“αβ∥”的B （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件正（主）视图侧（左）视图俯视图1俯视图数学（文）（北京卷）参考答案 第 3 页（共 23 页）（2015理）（5）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是C（A）2（B）4（C）2+（D ）5（2012文）（16）（本小题共14分）如图1，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，D E ，分别为AC AB ，的中点，点F 为线段CD 上的一点．将ADE △沿DE 折起到1A DE △的位置，使1A F CD ⊥，如图2．（Ⅰ）求证：//DE 平面1A CB ； （Ⅱ）求证：1A F BE ⊥；（Ⅲ）线段1A B 上是否存在点Q ，使1A C ⊥平面DEQ ？说明理由．解：（Ⅰ）因为D ，E 分别为AC ，AB 的中点，所以//DE BC ．又因为DE ⊄平面1A CB ， 所以//DE 平面1A CB ． （Ⅱ）由已知得AC BC ⊥且//DE BC ，所以DE AC ⊥．所以1DE A D ⊥，DE CD ⊥． 所以DE ⊥平面1A DC ． 而1A F ⊂平面1A DC ， 所以1DE A F ⊥． 又因为1A F CD ⊥， 所以1A F ⊥平面BCDE ． 所以1A F BE ⊥．（Ⅲ）线段1A B 上存在点Q ，使1A C ⊥平面DEQ ．理由如下：俯视图 11 A 1BCFD E 图1图2数学（文）（北京卷）参考答案 第 4 页（共 23 页）BD EFC A 1PQ如图，分别取11A C A B ，的中点P Q ，，则//PQ BC ． 又因为//DE BC ， 所以//DE PQ ．所以平面DEQ 即为平面DEP ． 由（Ⅱ）知，DE ⊥平面1A DC ， 所以1DE A C ⊥．又因为P 是等腰三角形1DA C 底边1A C 的中点， 所以1A C DP ⊥． 所以1A C ⊥平面DEP ． 从而1A C ⊥平面DEQ ．故线段1A B 上存在点Q ，使得1A C ⊥平面DEQ ．（2012理）（16）（本小题共14分）如图1，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，3BC =，6AC =．D E ，分别是AC AB ，上的点，且//=2DE BC DE ，．将ADE △沿DE 折起到1A DE △的位置，使1A C CD ⊥，如图2． （Ⅰ）求证：1A C ⊥平面BCDE ；（Ⅱ）若M 是1A D 的中点，求CM 与平面1A BE所成角的大小；（Ⅲ）线段BC 上是否存在点P ，使平面1A DP与平面1A BE 垂直？说明理由． 解：（Ⅰ）因为 AC BC ⊥，//DE BC ，所以 DE AC ⊥．所以 1DE A D ⊥，DE CD ⊥． 所以 DE ⊥平面1A DC ． 所以 1DE A C ⊥． 又因为 1A C CD ⊥， 所以 1A C ⊥平面BCDE ．（Ⅱ）如图，以C 为坐标原点，建立空间直角坐标系C x yz -，ACDEA 1BCE DM 图1图2数学（文）（北京卷）参考答案 第 5 页（共 23 页）则1(0,0,A ，(0,2,0)D，(0,1,M ，(3,0,0)B ，(2,2,0)E ．设平面1A BE 的法向量为n =(,,)x y z ，则n 10A B ⋅=u u u u r, n 0BE ⋅=u u u r ．又1(3,0,A B =-u u u u r，(1,2,0)BE =-u u u r ，所以30,20.x x y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩令1y =，则2,x z == 所以n (2,1,=．设CM 与平面1A BE 所成的角为θ．因为(0,1,CM =u u u u r，所以sin cos ,||||CM CM CM θ⋅=〈〉===u u u u ru u u u r u u u u r n n n ．所以CM 与平面1A BE 所成角的大小为4π． （Ⅲ）线段BC 上不存在点P ，使平面1A DP 与平面1A BE 垂直．理由如下：假设这样的点P 存在，设其坐标为(,0,0)p ，其中[0,3]p ∈． 设平面1A DP 的法向量为m =(,,)x y z ，则m 10A D ⋅=u u u u r，m0DP ⋅=u u u r ．又1(0,2,A D =-u u u u r，(,2,0)DP p =-u u u r ，所以20,20.y px y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩令2x =，则y p =，z =．所以(2,,p =m ． 平面1A DP ⊥平面1A BE ，当且仅当0⋅=m n ， 即40p p ++=．解得2p =-，与[0,3]p ∈矛盾．所以线段BC 上不存在点P ，使平面1A DP 与平面1A BE 垂直．Cz（2013文）（17）（本小题共14分）如图，在四棱锥P ABCD∥，AB AD-中，AB CD⊥，=，平面PAD⊥底面ABCD，PA AD2CD AB⊥．E和F分别是CD和PC的中点．求证：（Ⅰ）PA⊥底面ABCD；（Ⅱ）BE∥平面PAD；（Ⅲ）平面BEF⊥平面PCD．证明：（Ⅰ）因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥底面ABCD．（Ⅱ）因为AB CD=，E为CD的中点，∥，2CD AB所以AB DE=．∥，且AB DE所以ABED为平行四边形．所以BE AD∥．又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BE∥平面PAD．（Ⅲ）因为AB AD⊥，而且ABED为平行四边形，所以BE CD⊥．⊥，AD CD由（Ⅰ）知PA⊥底面ABCD．所以PA CD⊥．所以CD⊥平面PAD．所以CD PD⊥．因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD EF∥．所以CD EF⊥．所以CD⊥平面BEF．所以平面BEF⊥平面PCD．数学（文）（北京卷）参考答案第 6 页（共23 页）（2013理）（17）（本小题共14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11AA C C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AA C C ，3AB =，5BC =． （Ⅰ）求证：1AA ⊥平面ABC ； （Ⅱ）求二面角111A BC B --的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段1BC 上存在点D ，使得1AD A B ⊥．并求1BDBC 的值． 解：（Ⅰ）因为11AA C C 为正方形，所以1AA AC ⊥．因为平面ABC ⊥平面11AA C C ，且1AA 垂直于这两个平面的交线AC ， 所以1AA ⊥平面ABC ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知1AA AC ⊥，1AA AB ⊥．由题知3AB =，5BC =，4AC =，所以AB AC ⊥． 如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A x yz -，则(0,3,0)B ，1(0,0,4)A ，1(0,3,4)B ，1(4,0,4)C ．设平面11A BC 的法向量为(,,)x y z =n ，则1110,0.A B A C −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n 即 340,40.y z x -=⎧⎨=⎩令3z =，则0x =，4y =，所以(0,4,3)=n ． 同理可得，平面11B BC 的法向量为(3,4,0)=m ． 所以16cos ,||||25⋅〈〉==n m n m n m ． 由题知二面角111A BC B --为锐角， 所以二面角111A BC B --的余弦值为1625． （Ⅲ）设(,,)D x y z 是直线1BC 上一点，且1BD BC λ−−→−−→=．所以(,3,)(4,3,4)x y z λ-=-． 解得4x λ=，33y λ=-，4z λ=． 所以(4,33,4)AD λλλ−−→=-． 由10AD A B −−→−−→⋅=，即9250λ-=，解得925λ=． 因为9[0,1]25∈，所以在线段1BC 上存在点D ，使得1AD A B ⊥． 此时，1925BD BC λ==． （2014文）（17）（本小题14分）如图，在三棱柱111ABC A B C –中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥，12AA AC ==，1BC =，,E F 分别是11,A C BC 的中点．（Ⅰ）求证：平面ABE ⊥平面11B BCC ； （Ⅱ）求证：1//C F 平面ABE ； （Ⅲ）求三棱锥E ABC –的体积．解：（Ⅰ）在三棱柱111ABC A B C –中，1BB ⊥底面ABC ．所以1BB AB ⊥． 又因为AB BC ⊥， 所以AB ⊥平面11B BCC ． 所以平面ABE ⊥平面11B BCC ． （Ⅱ）取AB 中点G ，连结EG FG ，．因为E F ，分别是11A C BC ，的中点， 所以//FG AC ，且12FG AC =． 因为11//AC A C ，且11AC A C =， 所以1//FG EC ，且1FG EC =． 所以四边形1FGEC 为平行四边形． 所以1//C F EG ．又因为EG ⊂平面ABE ，1C F ⊄平面ABE ， 所以1//C F 平面ABE ．A 1EC 1B 1C FBAA 1C 1E B 1ACFBG（Ⅲ）因为12AA AC ==，1BC =，AB BC ⊥，所以AB = 所以三棱锥E ABC –的体积111112332ABC V S AA =⋅=⨯⨯=△． （2014理）（17）（本小题14分）如图，正方形AMDE 的边长为2，,B C 分别为,AM MD 的中点．在五棱锥P ABCDE –中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱,PD PC 分别交于点,GH ．（Ⅰ）求证：//AB FG ；（Ⅱ）若PA ⊥底面ABCDE ，且PA AE =，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并求线段PH 的长．解：（Ⅰ）在正方形AMDE 中，因为B 是AM 的中点，所以//AB DE ．又因为AB ⊄平面PDE ， 所以//AB 平面PDE ．因为AB ⊂平面ABF ，且平面ABF I 平面PDE FG =， 所以//AB FG ．（Ⅱ）因为PA ⊥底面ABCDE ，所以PA AB ⊥，PA AE ⊥．如图建立空间直角坐标系Axyz ，则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(2,1,0)C ，(0,0,2)P ，(0,1,1)F ，(1,1,0)BC −−→=．设平面ABF 的法向量为(,,)n x y z =，则0,0,AB AF −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n 即0,0.x y z =⎧⎨+=⎩ 令1z =，则1y =-．所以(0,1,1)=-n ． 设直线BC 与平面ABF 所成角为α，则 sin |cos ,|||||BCBC BC α−−→−−→−−→⋅=〈〉=n n n 12=． 因此直线BC 与平面ABF 所成角的大小为π6．设点H 的坐标为(,,)u v w ．PF GE AMCDB HVMACO因为点H在棱PC上，所以可设PH PCλ−−→−−→= (01λ<<)，即(,,2)(2,1,2)u v wλ-=-．所以2uλ=，vλ=，22wλ=-．因为n是平面ABF的法向量，所以0AH−−→⋅=n，即(0,1,1)(2,,22)0λλλ-⋅-=．解得23λ=，所以点H的坐标为422(,,)333．所以2PH=．（2015文）（18）（本小题14分）如图，在三棱锥V ABC-中，平面VAB ABC⊥平面，VAB△为等边三角形，AC BC⊥且AC BC=,O M分别为,AB VA的中点．（Ⅰ）求证：//VB平面MOC；（Ⅱ）求证：平面MOC⊥平面VAB；（Ⅲ）求三棱锥V ABC-的体积．解：（Ⅰ）因为,O M分别为,AB VA的中点，所以//OM VB．又因为VB⊄平面MOC，所以//VB平面MOC．（Ⅱ）因为AC BC=，O为AB的中点，所以OC AB⊥．又因为平面VAB ABC⊥平面，且OC⊂平面ABC，所以OC⊥平面VAB．所以平面MOC⊥平面VAB．（Ⅲ）在等腰直角三角形ACB中，AC BC==所以2AB=，1OC=．所以等边三角形VAB的面积VABS=△又因为OC⊥平面VAB，所以三棱锥C VAB-的体积等于13VABOC S⋅△又因为三棱锥V ABC-的体积与三棱锥C VAB-的体积相等，VMA O所以三棱锥V ABC -． （2015理）（17）（本小题14分）如图，在四棱锥A EFCB -中，AEF △为等边三角形，平面AEF EFCB ⊥平面，//EF BC ，4BC =，2EF a =，60EBC FCB ∠=∠=o ，O 为EF 的中点．（Ⅰ）求证：AO ⊥BE ；（Ⅱ）求二面角F AE B --的余弦值； （Ⅲ）若BE ⊥平面AOC ，求a 的值．解：（Ⅰ）因为AEF △是等边三角形，O 为EF 的中点，所以AO EF ⊥．又因为平面AEF ⊥平面EFCB ，AO ⊂平面AEF ， 所以AO ⊥平面EFCB ． 所以AO BE ⊥． （Ⅱ）取BC 中点G ，连结OG ．由题设知EFCB 是等腰梯形， 所以OG EF ⊥．由（Ⅰ）知AO ⊥平面EFCB ， 又OG ⊂平面EFCB ， 所以OA OG ⊥．如图建立空间直角坐标系O xyz -， 则(,0,0)E a，(0,0,)A ，(2,),0)B a -，(,0,)EA a −−→=-，(2,2),0)BE a a −−→=--．设平面AEB 的法向量为(,,)x y z =n ，则 0,0,EA BE −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n 即0,(2)2)0.ax a x a y ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩ 令1z =，则x 1y =-．于是1,1)=-n ．AEF 平面的法向量为(0,1,0)=p ．所以cos ,⋅〈〉==n p n p n p 由题知二面角F AE B --为钝角，所以它的余弦值为 AEFCOPDA B（Ⅲ）因为BE ⊥平面AOC ，所以BE OC ⊥，即0BE OC −−→−−→⋅=．因为(2,2),0)BE a a −−→=--，(2,),0)OC a −−→=--， 所以22(2)3(2)BE OC a a −−→−−→⋅=----．由0BE OC −−→−−→⋅=及02a <<，解得43a =． （2016理）（6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A ）16（B ）13（C ）12（D ）1 【答案】A（2016理）（17）（本小题14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，1AB =，2AD =，AC CD ==（Ⅰ）求证：PD ⊥平面PAB ；（Ⅱ）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱PA 上是否存在点M ，使得//BM 平面PCD ？若存在，求AMAP 的值；若不存在，说明理由．解：（Ⅰ）因为平面PAD ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，所以AB ⊥平面PAD ． 所以AB PD ⊥． 又因为PA PD ⊥， 所以PD ⊥平面PAB ．（Ⅱ）取AD 的中点O ，连结,PO CO ．因为PA PD =， 所以PO AD ⊥．又因为PO ⊂平面PAD ，平面PAD ⊥平面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD ． 因为CO ⊂平面ABCD ， 所以PO CO ⊥．正（主）视图因为AC CD =， 所以CO AD ⊥．如图建立空间直角坐标系O xyz -．由题意得，(0,1,0)A ，(1,1,0)B ，(2,0,0)C ，(0,1,0)D -，(0,0,1)P ．设平面PCD 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0,PD PC −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n即0,20.y z x z --=⎧⎨-=⎩令2z =，则1x =，2y =-． 所以(1,2,2)=-n ． 又(1,1,1)PB −−→=-，所以cos ,||||PBPB PB −−→−−→−−→⋅〈〉==n n n ． 所以直线PB 与平面PCD． （Ⅲ）设M 是棱PA 上一点，则存在[0,1]λ∈使得AM AP λ−−→−−→=．因此点(0,1,)M λλ-，(1,,)BM λλ−−→=--．因为BM ⊄平面PCD ，所以//BM 平面PCD 当且仅当0BM −−→⋅=n ， 即(1,,)(1,2,2)0λλ--⋅-=． 解得14λ=． 所以在棱PA 上存在点M 使得//BM 平面PCD ，此时14AM AP =． （2016文）（11）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为 ．DA【答案】32（2016文）（18）（本小题14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面ABCD ，//AB DC ，DC AC ⊥．（Ⅰ）求证：DC ⊥平面PAC ； （Ⅱ）求证：平面PAB ⊥平面PAC ；（Ⅲ）设点E 为AB 的中点．在棱PB 上是否存在点F ，使得//PA 平面CEF ？说明理由． 解：（Ⅰ）因为PC ⊥平面ABCD ，所以PC DC ⊥． 又因为DC AC ⊥，所以DC ⊥平面PAC ． （Ⅱ）因为//AB DC ，DC AC ⊥，所以AB AC ⊥． 因为PC ⊥平面ABCD ， 所以PC AB ⊥． 所以AB ⊥平面PAC ． 所以平面PAB ⊥平面PAC ．（Ⅲ）棱PB 上存在点F ，使得//PA 平面CEF ．证明如下：取PB 中点F ，连结,,EF CE CF ． 又因为E 为AB 的中点， 所以//EF PA ． 又因为PA ⊄平面CEF ，俯视图正（主）视图侧（左）视图PFBEADC正（主）视图侧（左）视图俯视图所以//PA 平面CEF ．(2017理)（7的长度为 （A）（B ）（C ）（D ）2【答案】B（2017理）（16）（本小题14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，点M 在线段PB 上，//PD 平面MAC ，PA PD =，4AB =． （Ⅰ）求证：M 为PB 的中点； （Ⅱ）求二面角B PD A --的大小；（Ⅲ）求直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值．解：（Ⅰ）设,AC BD 交点为E ，连接ME ．因为//PD 平面MAC ， 平面MAC I 平面PDB ME =， 所以//PD ME ． 因为ABCD 是正方形， 所以E 为BD 的中点． 所以M 为PB 的中点．（Ⅱ）取AD 的中点O ，连接,OP OE ．因为PA PD =， 所以OP AD ⊥．又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，且OP ⊂平面PAD ， 所以OP ⊥平面ABCD ．因为OE ⊂平面ABCD ，所以OPOE ⊥． 因为ABCD 是正方形，所以OE AD ⊥．如图建立空间直角坐标系O xyz -，则P ，(2,0,0)D ，(2,4,0)B -，PMBACDPMBEACD俯视图(4,4,0)BD −−→=-，(2,0,PD −−→=．设平面BDP 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0,BD PD −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n 即440,20.x y x -=⎧⎪⎨=⎪⎩令1x =，则1y =，z 于是(1,1,=n ．平面PAD 的法向量为(0,1,0)=p ． 所以1cos 2⋅〈〉==n p n,p n p ． 由题知二面角B PDA --为锐角，所以它的大小为π3． （Ⅲ）由题意知(1,M -，(2,4,0)C ，(3,2,MC −−→=． 设直线MC 与平面BDP 所成角为α，则 ||sin |cos ,|||||MC MC MC α−−→−−→−−→⋅=〈〉==n n n ． 所以直线MC 与平面BDP ． （2017文）（6体积为 （A ）60 （B ）30 （C ）20 （D ）10【答案】D（2017文）（18）（本小题14分）如图，在三棱锥P ABC -中，PA AB ⊥，PA BC ⊥，AB BC ⊥，2PA AB BC ===，D 为线段AC 的中点，E为PE线段PC 上一点． （Ⅰ）求证：PA BD ⊥；（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面PAC ；（Ⅲ）当//PA 平面BDE 时，求三棱锥E BCD -的体积．解：（Ⅰ）因为PA AB ⊥，PA BC ⊥，所以PA ⊥平面ABC ． 又因为BD ⊂平面ABC ， 所以PA BD ⊥．（Ⅱ）因为AB BC =，D 为AC 中点，所以BD AC ⊥． 由（Ⅰ）知，PA BD ⊥， 所以BD ⊥平面PAC ． 所以平面BDE ⊥平面PAC ．（Ⅲ）因为//PA 平面BDE ，平面PAC I 平面BDE DE =，所以//PA DE ． 因为D 为AC 的中点，所以112DE PA ==，BD DC ==由（Ⅰ）知，PA ⊥平面ABC ， 所以DE ⊥平面ABC ．所以三棱锥E BCD -的体积1163V BD DC DE =⋅⋅=．（2018理）（5）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4【答案】C（2018理）（16）（本小题14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，,,,D E F G 分别为1111,,,AA AC AC BB 的中点，AB BC =12AC AA ==．PECDBA2正（主）视图 11 俯视图 侧（左）视图F1A 1（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BEF ； （Ⅱ）求二面角1B CD C --的余弦值； （Ⅲ）证明：直线FG 与平面BCD 相交．解：（Ⅰ）在三棱柱111ABC A B C -中，因为1CC ⊥平面ABC ， 所以四边形11A ACC 为矩形． 又,E F 分别为11,AC A C 的中点， 所以AC EF ⊥． 因为AB BC =， 所以AC BE ⊥． 所以AC ⊥平面BEF ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知AC EF ⊥，AC BE ⊥，1//EF CC ．又1CC ⊥平面ABC ， 所以EF ⊥平面ABC ． 因为BE ⊂平面ABC ， 所以EF BE ⊥．如图建立空间直角坐标系E x yz -．由题意得(0,2,0)B ，(1,0,0)C -，(1,0,1)D ， (0,0,2)F ，(0,2,1)G ．所以(1,2,0)BC =--u u u r ，(1,2,1)BD =-u u u r ． 设平面BCD 的法向量为000(,,)x y z =n ，则 0,0,BC BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n 即0000020,20.x y x y z +=⎧⎨-+=⎩ 令01y =-，则02x =，04z =-． 于是(2,1,4)=--n ．又因为平面1CC D 的法向量为(0,2,0)EB =u u u r，所以cos ,||||EB EB EB ⋅〈〉==u u u ru u u r u u u r n n n ．由题知二面角1B CD C --为钝角，所以其余弦值为 （Ⅲ）由（Ⅱ）知平面BCD 的法向量为(2,1,4)=--n ，(0,2,1)FG =-u u u r．因为20(1)2(4)(1)20FG ⋅=⨯+-⨯+-⨯-=≠u u u rn ，所以直线FG 与平面BCD 相交．2正（主）视图 1俯视图侧（左）视图（2018文）（6）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4【答案】C（2018文）（18）（本小题14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥， PA PD =，,E F 分别为,AD PB 的中点．（Ⅰ）求证：PE BC ⊥；（Ⅱ）求证：平面PAB ⊥平面PCD ；（Ⅲ）求证：//EF 平面PCD ． 解：（Ⅰ）因为PA PD =，E 为AD 的中点，所以PE AD ⊥． 因为底面ABCD 为矩形， 所以//BC AD ． 所以PE BC ⊥． （Ⅱ）因为底面ABCD 为矩形，所以AB AD ⊥．又因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 所以AB ⊥平面PAD ． 所以AB PD ⊥． 又因为PA PD ⊥， 所以PD ⊥平面PAB ． 所以平面PAB ⊥平面PCD ． （Ⅲ）取PC 中点G ，连结,FG DG ．因为,F G 分别为,PB PC 的中点，P ABCDEFPABCDE GF所以//FG BC ，12FG BC =． 因为ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点， 所以//DE BC ，12DE BC =． 所以//DE FG ，DE FG =． 所以四边形DEFG 为平行四边形． 所以//EF DG ．又因为EF ⊄平面PCD ，DG ⊂平面PCD ， 所以EF //平面PCD ．（2019理）（11）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为________． 【答案】40（2019理）（12）已知,l m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：① l m ⊥； ② //m α； ③ l α⊥．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________．【答案】 若l m ⊥，l α⊥，则//m α．（答案不唯一） （2019理）（16）（本小题14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，//AD BC ，2PA AD CD ===，3BC =．E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且PF PC =（Ⅰ）求证：CD ⊥平面PAD ； （Ⅱ）求二面角F AE P --的余弦值； （Ⅲ）设点G 在PB 上，且23PG PB =．判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由． 解：（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA CD ⊥．又因为AD CD ⊥， 所以CD ⊥平面PAD ．（Ⅱ）过A 作AD 的垂线交BC 于点M ．因为PA ⊥平面ABCD ， 所以PA AM ⊥，PA AD ⊥．如图建立空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0)A ，(2,1,0)B -，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P ． 因为E 为PD 的中点，所以(0,1,1)E ．所以(0,1,1)AE =u u u r ，(2,2,2)PC =-u u u r ，(0,0,2)AP =u u u r．所以1222(,,)3333PF PC ==-u u u r u u u r ，224(,,)333AF AP PF =+=u u u r u u u r u u u r ．设平面AEF 的法向量为(,,)x y z =n ，则 0,0,AE AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n 即 0,2240.333y z x y z +=⎧⎪⎨++=⎪⎩ 令1z =，则1y =-，1x =-． 于是(1,1,1)=--n ．又因为平面PAD 的法向量为(1,0,0)=p ，所以cos ,||||⋅〈〉==n p n p n p ． 由题知，二面角F AE P --． （Ⅲ）直线AG 在平面AEF 内．因为点G 在PB 上，且23PG PB =，(2,1,2)PB =--u u ur ， 所以2424(,,)3333PG PB ==--u u u r u u u r ,422(,,)333AG AP PG =+=-u u u r u u u r u u u r ．由（Ⅱ）知，平面AEF 的法向量(1,1,1)=--n ．所以4220333AG ⋅=-++=u u u r n ．所以直线AG 在平面AEF 内．（2019文）（12）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为________． 【答案】40（2019文）（13）已知,l m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：① l m ⊥； ② //m α； ③ l α⊥．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________．【答案】若l m ⊥，l α⊥，则//m α．（答案不唯一） （2019文）（18）（本小题14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，E 为CD 的中点． （Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若60ABC ∠=︒，求证：平面PAB ⊥平面PAE ； （Ⅲ）棱PB 上是否存在点F ，使得//CF 平面PAE ？说明理由．解：（Ⅰ）因为 PA ^平面 ABCD ，所以PA BD ⊥．又因为底面 ABCD 为菱形， 所以BD AC ⊥．所以BD ⊥平面PAC ．（Ⅱ）因为 PA ^平面 ABCD ，AE ⊂平面 ABCD ， 所以PA AE ⊥．因为底面 ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，且E 为CD 的中点， 所以AE CD ⊥． 所以AB AE ⊥． 所以AE ⊥平面PAB ． 所以平面PAB ⊥平面PAE ．（Ⅲ）棱PB 上存在点F ，使得//CF 平面PAE ．取F 为PB 的中点，取G 为PA 的中点，连结CF ，FG ，EG ．PA BCDEAPBCDEFG则//FG AB ，且12FG AB =． 因为底面 ABCD 为菱形，且E 为CD 的中点， 所以//CE AB ，且12CE AB =． 所以//FG CE ，且FG CE =． 所以四边形CEGF 为平行四边形． 所以//CF EG ．因为CF ⊄平面PAE ，EG ⊂平面PAE ， 所以//CF 平面PAE ．。
解析几何易错题(教师版)
解析几何易错题练习例1 求过点（2，1）且与两坐标所围成的三角形面积为4的直线方程。
错解：设所求直线方程为1=+bya x 。
∵（2，1）在直线上，∴112=+ba ， ①又4ab 21＝，即ab = 8 ， ② 由①、②得a = 4，b = 2。
故所求直线方程为x + 2 y = 4 。
剖析：本题的“陷阱”是直线与两坐标轴所围成的三角形面积的表示。
上述解法中，由于对截距概念模糊不清，误将直线在x 轴和y 轴上的截距作距离使用而掉入“陷阱”。
事实上，直线与两坐标轴所围成的三角形面积为21b a ，而不是21ab 。
故所求直线方程应为：x + 2 y = 4，或（2+1）x - 2（2-1）y – 4 = 0，或（2- 1）x - 2（2+1）y +4 = 0。
例2 已知三角形的三个顶点为A （6，3），B （9，3），C （3，6），求∠A 。
错解：∵ k AB = 0 ，k AC =6336-- = -1，∴ tan ∠A=AB AC AC k k k k ⋅+-1AB =)1(01)1(0-⋅+--=1.又0＜∠A ＜1800，∴ ∠A=450。
剖析：本题的“陷阱”是公式的选取，上述解法中把“到角”与“夹角”的概念混为一谈，错误地选用了夹角公式。
事实上，所求角应是直线AB 到AC （注意：AC 到AB ）的角。
因此，∴ tan ∠A=ABAC ABAC k k k k ⋅+-1= - 1，∠A=1350。
例3 求过点A （-4，2）且与x 轴的交点到（1，0）的距离是5的直线方程。
错解：设直线斜率为k ，其方程为y – 2 = k （x + 4），则与x 轴的交点为（-4-k2，0）， ∴5124=---k ，解得k = -51。
故所求直线的方程为x + 5y – 6 = 0 。
剖析：题中仅考虑了斜率存在的情况，忽视了斜率不存在的情况，即经过A 且垂直于x 轴的直线，落入“陷阱”。
解析几何2020教师版
化简得 c2 a2
3(3 2
2) ，所以 e c a
3( 2 1)
6
3 .故选：A.
12．已知椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
的左、右焦点分别为 F1 ， F2 ，B
为椭圆的上顶点，若 △BF1F2 的外接圆的
2b
半径为 ，则椭圆 C 的离心率为（ ）
3
A． 2 2
B． 3 2
7．椭圆 x2 a2
y2 b2
1a b
0 的右焦点为 F
，过点 F
的直线交椭圆于
A ，B 两点，C 是点 A 关于原点的对称点，
若 CF AB ， CF AB ，则椭圆的离心率为（ ）
A． 3 1
B． 2 3
C． 6 3
D． 6 3
【答案】C
作另一焦点为 F ，连接 AF ， BF,CF ，则四边形 FAFC 为平行四边形
点．若 AF 3FB ，则 k
A．1
B． 2
C． 3
D．2
【答案】B
因为 e c a
3 ，所以 c 2
3 2
a ，从而 b2
a2
c2
a2 4
，则椭圆方程为
x2 a2
4y2 a2
1 ．依题意可得直线方程为
y k(x 3 a)
y k(x
3 2
a) ，联立{ x2 a2
4y2 a2
A1 ， A2 ，上、下顶点分别为且 B1 ， B2 ，右焦点为 F
，直
线 A1B1 与直线 B2F 相交于点 T ．若 A2T 垂直于 x 轴，则椭圆的离心率 e （ ）
1
A．
3
北京高考近十年解析几何汇总
2005-2014北京高考数学解析几何汇总北京高考2014 3.曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨==⎩，（θ为参数）的对称中心（ ）A ．在直线2y x =上B ．在直线2y x =-上C ．在直线1y x =-上D ．在直线1y x =+上【答案】B【解析】试题分析：参数方程⎩⎨⎧+=+-=θθsin 2cos 1y x 所表示的曲线为圆心在)2,1(-，半径为1的圆，其对称中心为)2,1(-，逐个代入选项可知，点)2,1(-满足x y 2-=，故选B.11.设双曲线C 经过点（2,2），且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为 ；渐近线方程为 .【答案】112322=-y x ；x y 2±= 19．（14分）已知椭圆C ：x 2+2y 2=4， （1）求椭圆C 的离心率（2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线y=2上，且OA ⊥OB ，求直线AB 与圆x 2+y 2=2的位置关系，并证明你的结论．解：（1）由x 2+2y 2=4，得椭圆C 的标准方程为．∴a 2=4，b 2=2，从而c 2=a 2﹣b 2=2．因此a=2，c=． 故椭圆C 的离心率e=；（2）直线AB 与圆x 2+y 2=2相切． 证明如下：设点A ，B 的坐标分别为（x 0，y 0），（t ，2），其中x 0≠0． ∵OA ⊥OB ， ∴，即tx 0+2y 0=0，解得．当x 0=t 时，，代入椭圆C 的方程，得．故直线AB 的方程为x=，圆心O 到直线AB 的距离d=．此时直线AB 与圆x 2+y 2=2相切．20136.若双曲线22221x y a b -=的离心率为3，则其渐近线方程为BA.y=±2xB.y=2x ±C.12y x =± D.22y x=± 7.直线l 过抛物线C:x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于CA.43B.2C.83D.162319.已知A 、B 、C 是椭圆W ：2214x y +=上的三个点，O 是坐标原点.(I)当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积.(II)当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由.解析：(1)椭圆W ：24x ＋y 2＝1的右顶点B 的坐标为(2,0)．因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直平分．所以可设A (1，m )，代入椭圆方程得14＋m 2＝1，即m ＝32±. 所以菱形OABC 的面积是12|OB |·|AC |＝12×2×2|m |＝3.(2)假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的顶点，且直线AC 不过原点，所以可设AC 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)．当x 0≠t 时，直线AB 的方程为，即（y 0﹣2）x ﹣（x 0﹣t ）y+2x 0﹣ty 0=0． 圆心O 到直线AB 的距离d=．又，t=．故=．此时直线AB 与圆x 2+y 2=2相切．由2244,x y y kx m⎧+=⎨=+⎩消y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则1224214x x km k +=-+，121222214y y x x mk m k ++=⋅+=+. 所以AC 的中点为M 224,1414kmm k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭. 因为M 为AC 和OB 的交点，所以直线OB 的斜率为14k-.因为k ·14k ⎛⎫- ⎪⎝⎭≠－1，所以AC 与OB 不垂直．所以OABC 不是菱形，与假设矛盾．所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形． 201212.在直角坐标系xOy 中.直线l 过抛物线24y x =的焦点F.且与该撇物线相交于A 、B 两点.其中点A 在x 轴上方.若直线l 的倾斜角为60º.则△OAF 的面积为 [答案]3[解析]根据y 2=4x 得焦点坐标F （1,0），因为直线l 的倾斜角为60º，所以直线的斜率为K=tan600=3,利用点斜式，直线方程为y=3x-3,将直线和曲线联立⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=xy x y 4)1(32A （3,23）B （332,31-），因此33212121=⨯⨯=⨯⨯=∆A OAF y OF S19.已知曲线C:(5-m)x 2+(m-2)y 2=8(m ∈R)（1） 若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的取值范围；（2） 设m=4，曲线c 与y 轴的交点为A ，B （点A 位于点B 的上方），直线y=kx+4与曲线C 交于不同的两点M 、N ,直线y=1与直线BM 交于点G.求证：A ，G ，N 三点共线.[解析]（1）利用椭圆的标准方程，易解得27<m<5 (2) 由得消去y y x kx y ⎩⎨⎧=++=82422（2k 2+1）x 2-16kx+24=0 ∴1224,1216222211+=+=+k x x k k x x 直线BM 的方程为)1,23(221111+⇒+=+y x G x x y y三点共线可以用2211223x y y x k k AN AG -=+⇒=,结合韦达定理代入化简可得结 2011（14）曲线C 是平面内与两个定点F 1（-1，0）和F 2（1，0）的距离的积等于常数 a 2 (a >1)的点的轨迹.给出下列三个结论：① 曲线C 过坐标原点；[来源:学_科_网Z_X_X_K][来源:学&科&网Z&X&X&K] ② 曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积大于21a 2。
2019-2020年高考数学一轮复习第8章平面解析几何课件文北师大版
3．加强纵横联系，强化综合应用意识：在知识的交汇处命题，已成为高考 的一大亮点，尤其应加强该部分知识与向量、函数、方程及不等式间的内在联 系，同时解题中立足通性、通法、淡化技巧以达到优化解题思路，简化解题过程 的目的．
4．突出重点，热点考查内容的复习：如弦长问题，对称问题，定值(点)问 题、范围问题，开放和探索性问题及向量与解析几何的综合应用问题等等．
2019/7/20
最新中小学教学课件
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2019/7/20
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第八章 平面解析几何
[卷高考试题，我们发现高考命题在本章呈现以下规律： 1．从考查题型看：一般有2个客观题，1个解答题；从考查分值看，在22分 左右．基础题主要考查对基础知识和基本方法的掌握程度，中档题主要考查运算 能力和逻辑推理能力，难题考查综合应用能力． 2．从考查知识来看：主要考查直线的方程、圆的方程、直线与圆、圆与圆 的位置关系、圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)的定义、标准方程及性质、直线 与圆锥曲线的位置关系、圆锥曲线的综合应用．突出对数形结合思想、函数与方 程思想、转化与化归思想、分类讨论思想以及探究、创新能力的考查．
经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。 • 二、补笔记 • 上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一
遍自己写的笔记，既可以起到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己 对讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。 • 三、课后“静思2分钟”大有学问 • 我们还要注意课后的及时思考。利用课间休息时间，在心中快速把刚才上课时刚讲过的一些关键思路理一遍，把老师讲解的题目从题意到解答整个过 程详细审视一遍，这样，不仅可以加深知识的理解和记忆，还可以轻而易举地掌握一些关键的解题技巧。所以，2分钟的课后静思等于同一学科知识的 课后复习30分钟。
2019年高考数学试题分类汇编解析几何附答案详解
2019年高考数学试题分类汇编解析几何一、选择题.1、（2019年高考全国I 卷理科10）双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为 A ．2sin40° B ．2cos40°C ．1sin50︒D ．1cos50︒答案：C解析：由题可知,130tan ︒=-a b 即,50tan ︒=a b 则有︒︒=50cos 50sin 2222a b ，即︒︒=-50cos 50sin 22222a a c 所以︒︒=-50cos 50sin 1222e ，︒=50cos 12e ，故选D 2、（2019年高考全国I 卷理科10，文科12）已知椭圆C 的焦点为12(1,0),(1,0)F F -，过F 2的直线与C交于A ，B 两点.若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=答案：B解析：设x B F =||2，则x B F B F AF AB B F 3||3||||||||2221==+== 由椭圆定义得x a B F B F 42||||21==+，故,23||,2||12aB F a B F ==a AF a AF a AF =-==||2||,||212在21F AF ∆和21F BF ∆中，由余弦定理得a c a a c a F AF 1224cos 22221=⨯⨯-+=∠ a a c a a c a F BF 2222212221249441cos -=⨯⨯-+=∠ 21F AF ∠、21F BF ∠互补得a a a 122=-，解得32=a ，22=b ，方程为12322=+y x 。
故选B 3、（2019年高考全国II 卷理科8，文科9）若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p=A ．2B ．3C ．4D ．8 答案：D解析：易知抛物线的焦点为)0,2(p,故椭圆焦点在x 轴上 由p p p b a c 23222=-=-=,则p p 2)2(2=,解得p=8。
高考数学 必过关题8 解析几何 试题
2021届高三数学过关题8——解析几何本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
一．填空题 【考点一】直线方程1.点(2,3),(4,2)A B -，直线l 斜率存在且过点(0,2)P -，假设l 与线段AB 相交，那么l 的斜率k 的取值范围是 .【答案】5(,][1,)2-∞-+∞[解析] 51,2PB PA k k ==-，由斜率和倾斜角的关系可得.2.过点(2,1)P 作直线l 分别交x 、y 正半轴于A 、B 两点，当AOB ∆面积最小时，直线l 的方程为____________. 【答案】240x y +-=[解析] 法一：由题意斜率存在，可设直线方程为1(2)(0)y k x k -=-< 令0,12x y k ==-；令10,2y x k ==-.所以1111(12)(2)(44)422AOB S k k k k∆=--=--≥， 当且仅当12k =-时取等号，此时直线方程为240x y +-=.法二：由题意截距不为0，可设直线方程为1(,0)x ya b a b+=>，过点(2,1)P ，有211a b+=，所以211a b =+≥，解得8ab ≥， 所以142AOB S ab ∆=≥，此时2112a b ==，即4,2a b == 3.过点P (1,2)作直线l ，使直线l 与点M (2,3)和点N (4，－5)间隔 相等，那么直线l的方程为________________．【答案】3x ＋2y －7＝0或者4x ＋y －6＝0[解析] 法一：斜率不存在不满足题意，可设直线方程为2(1)y k x -=-，所以=，那么有137k k -=+或者137k k -=--，那么32k =-或者4k =-法二：直线l 为与MN 平行或者经过MN 的中点的直线，当l 与MN 平行时，斜率为－4，故直线方程为y －2=－4(x －1)，即4x ＋y －6＝0；当l 经过MN 的中点时，MN 的中点为(3，－1)，直线l 的斜率为－32，故直线方程为y －2=－32(x －1)，即3x ＋2y －7=0【考点二】圆的方程4.经过点(2,4)A --，且与直线:3260l x y +-=相切于点(8,6)B 的圆的方程是______. 【答案】22113125()()222x y -++=[解析] 法一：设圆心为(,)a b ，那么有2222(2)(4)(8)(6)638a b a b b a ⎧+++=-+-⎪⎨-=⎪-⎩，解得11232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 又可得21252r =.法二：AB 中垂线方程为40x y +-=，过点B 且与直线l 垂直的直线方程为3180x y --=，它们的交点即为圆心.【考点三】直线和圆的位置关系5.过定点〔1,0〕一定可以作两条直线与圆2222290x y x ky k +++-+=相切，那么k 的取值范围为 . 【答案】(2,23)(23,2)--[解析] 点〔1,0〕在圆2222290x y x ky k +++-+=外，还要注意构成圆的条件. 6. 直线20ax y +-=与圆心为C 的圆22(1)()4x y a -+-=相交于,A B 两点，且ABC ∆为等边三角形，那么实数a =________.【答案】415± [解析]由题设圆心到直线20ax y +-=的间隔 3， 2|2|31a a a +-=+415a =.7.假设曲线y =1＋4－x 2与直线y =k (x －2)＋4有两个不同交点，那么实数k 的取值范围是____． 【答案】512＜k ≤34[解析]半圆x 2＋(y －1)2＝4(y ≥1)与过P (2,4)点，斜率为k 的直线有两个交点， 如图：A (－2,1)，k PA ＝34，过P 与半圆相切时，k ＝512，∴512<k ≤34.【考点四】圆和圆的位置关系8.假如圆()()224x a y a -+-=上总存在两个点到原点的间隔 为1，那么实数a 的取值范围____________.【答案】23((,22[解析]由题设圆()()224x a y a -+-=与圆221x y +=有两个交点，那么13<<.【考点五】圆中的最值问题22:4C x y +=分别交x 轴正半轴及y 轴负半轴于M 、N 两点，点P 为圆C 上任意一点，那么PM PN ⋅的最大值为__________.【答案】4+[解析](2,0),(0,2)M N -，设(,)P x y ，那么2222PM PN x x y y ⋅=-++，法一：222222(1)(1)2PM PN x x y y x y ⋅=-++=-++-，22(1)(1)x y -++可理解为点P 到(1,1)-间隔 的平方，那么22(1)(1)x y -++的最大值为2(2，所以PM PN ⋅的最大值为4+法二：222242()PM PN x x y y y x ⋅=-++=+-，令2cos ,2sin x y θθ==，可得. 10. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为2240x y x +-=．假设直线(1)y k x =+上存在点P ，使过P 所作的圆的两条切线互相垂直，那么实数k 的取值范围是 .【答案】[-[解析]由题设可得，直线上存在点P ，使得PC =即可，那么min PC ≤，那么≤k -≤≤.【考点六】圆锥曲线的定义、方程、性质11.12,F F 是椭圆221123x y +=的两个焦点，P 在椭圆上，且1260F PF ∠=︒，那么12F PF ∆的面积是 .[解析]由椭圆的定义可得12PF PF +=124PF PF ⋅=. 12.假设双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的一个焦点坐标是),那么双曲线方程是___.【答案】2219y x -=[解析]设方程为2222221(0,0),3,10x y ba b a b a b a-=>>=+=则，解得1,3a b ==.13.椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为12,F F ,焦距为2c ,假设直线)y x c =+与椭圆C 的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠,__________.1[解析]如图，直线过椭圆的左焦点F 1，且∠MF 1F 2=60°，所以 ∠MF 2F 1=30°，且∠F 1MF 2=90°，那么F 1F 2=2c ，MF 1=c ，MF 2， 所以2a+c，所以离心率1c e a ===. 14. B 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左准线与x 轴的交点，点(0,)A b ，假设满足2AP AB =的点P 在双曲线上，那么该双曲线的离心率为 .[解析]设点(,)P x y ，由2AP AB =得22(,2)a P b c--，将点P 坐标代入双曲线方程中，整理得22,2e e ==.15. 椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，那么椭圆离心率的取值范围是____________.【答案】1[,1)2[解析]由题意，椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ，即F 点到P 点与A 点的间隔 相等 而FA =2a cc -PF ∈[a －c ,a ＋c ]，于是2aa c c a c c-≤-≤+，左边不等式恒成立，解右边不等式可得112e ≤< 16. 直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的间隔 之和的最小值是 . 【答案】2[解析]如下图，动点P 到l 2：x =－1的间隔 可转化为P 到F 的间隔 ， 由图可知，间隔 和的最小值即F 到直线l 1的间隔 d = |4＋6|32＋42=2.【考点七】圆锥曲线中的最值问题 17. 设,P Q 分别为()2262x y +-=和椭圆22110x y +=上的点，那么,P Q 两点间的最大间隔 是_____________. 【答案】62[解析]由题意,P Q 两点间的最大间隔 可转化为圆心到椭圆上的点的最大间隔 再加上2，设(,)Q x y ，那么d===≤，那么,P Q两点间的最大间隔是.18. 点A(2-，设点F为椭圆2211612x y+=的右焦点，点M为椭圆上一动点，那么2MA MF+的最小值为 .【答案】10[解析]设点M到右准线的间隔为d，那么12MFed==，那么2MF d=，那么右几何意义可得MA d+的最小值为10.二．解答题19.如图，平面直角坐标系xOy中，AOB∆和COD∆为两等腰直角三角形，(2,0)A-，C(a,0)(a>0)．设AOB∆和COD∆的外接圆圆心分别为M,N〔1〕假设⊙M与直线CD相切，求直线CD的方程；〔2〕假设直线AB截⊙N所得弦长为4，求⊙N的HY方程；〔3〕是否存在这样的⊙N，使得⊙NAB的间隔，假设存在，求此时⊙N的HY方程；假设不存在，说明理由．[解析]〔1〕圆心(1,1)M-．∴圆M方程为22(1)(1)2x y++-=，直线CD方程为0x y a=＋－．∵⊙M 与直线CD 相切,∴圆心M 到直线CD 的间隔化简得： 2a =±〔舍去负值〕．∴直线CD 的方程为20x y =＋－． 〔2〕直线AB 方程为：20x y -+=，圆心N (,)22a a．∴圆心N 到直线AB 间隔∵直线AB 截⊙N 的所得弦长为4，∴22222a +=．∴a =±(舍去负值) ．∴⊙N 的HY方程为22((6x y +-=． 〔3〕存在．由〔2〕知，圆心N 到直线AB 间隔 定值)，且AB ⊥CD始终成立， ∴当且仅当圆N=,即a =4时，⊙N 上有且只有三个点到直线AB 的间隔此时， ⊙N 的HY 方程为22(2)(2)8x y -+-=．20.如图，O(0，0)，E (0)，F，0)，圆F ：22(5x y +=．动点P 满足PE ＋PF =4．以P 为圆心，OP 为半径的圆P 与圆F 的一个公一共点为Q ． 〔1〕求点P 的轨迹方程；〔2〕证明：点Q 到直线PF 的间隔 为定值，并求此值． [解析]〔1〕由椭圆的定义可知点P 的轨迹方程2214x y +=〔2〕设圆P 与圆F 的另一个交点为T ，设00(,)P x y ， 那么圆P 方程为22220000()()x x y y x y -+-=+那么两圆公一共弦QT 的方程为00(10x x y y -+-=，点Q 到直线PF 的间隔 即为12QT ，点F 到QT 的间隔为d ===2，所以点Q 到直线PF 的间隔 为1.21. m ＞1，直线2:02m l x my --=，椭圆222:1x C y m+=，1,2F F 分别为椭圆C 的左、右焦点.〔1〕当直线l 过右焦点2F 时，求直线l 的方程；〔2〕设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，1212,AF F BF F ∆∆O 在以线段GH 为直径的圆内，务实数m 的取值范围. [解析]〔1〕因为直线:l 202m x my --=经过2F 22m=,得22m =，又因为1m >，所以m =， 故直线l 的方程为10x -=.〔2〕解：设1122(,),(,)A x y B x y .由222221m x my x y m ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去x 得222104m y my ++-=那么由2228(1)804m m m ∆=--=-+>，知28m <，且有212121,282m m y y y y +=-⋅=-.由于12(,0),(,0)F c F c -，可知1122(,),(,),3333x y x yG H由题意假设原点O 在以线段GH 为直径的圆内，可得0OG OH ⋅< 即12120x x y y +<而2212121212()()22m m x x y y my my y y +=+++221(1()82m m =+-）所以21082m -<，即24m <又因为1m >且0∆>，所以12m <<.22.椭圆22221(0)x y a b a b+=>> 的右焦点为(2,0)F ，离心率为e .〔1〕假设e =〔2〕设A ，B 为椭圆上关于原点对称的两点，AF 的中点为M ，BF 的中点为N ，假设原点O 在以线段MN 为直径的圆上．①证明点A 在定圆上；②设直线AB 的斜率为k，假设k ≥e 的取值范围． [解析]〔1〕由e =，c=2，得a=b =2．所求椭圆方程为22184x y +=．〔2〕设00()A x y ，，那么00()B x y -，-，故00222x y M +⎛⎫ ⎪⎝⎭，，00222x y N -⎛⎫- ⎪⎝⎭，． ① 由题意，得0OM ON ⋅=．化简，得22004x y +=，所以点A 在以原点为圆心，2为半径的圆上．② 设00()A x y ，，那么00220022220014y kx x y a b x y =⎧⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎩⇒22200222220014x k x ab x k x ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩⇒222211(1)4k k a b +=+． 将2c e a a ==，222244b a c e=-=-，代入上式整理，得2242(21)21k e e e -=-+ 因为42210e e -+>，k 2>0，所以 2210e ->，e >． 所以 422221321e e k e -+=-≥．化简，得422840,210.e e e ⎧-+⎪⎨->⎪⎩≥解之，得21<42e -≤<1e -，故离心率的取值范围是1⎤-⎥⎦.23.椭圆E ：2214x y 的左、右顶点分别为A 、B ，圆x 2＋y 2=4上有一动点P ，P 在x 轴上方，C (1，0)，直线PA 交椭圆E 于点D ，连结DC 、PB . 〔1〕假设∠ADC =90°，求△ADC 的面积S ；〔2〕设直线PB 、DC 的斜率存在且分别为k 1、k 2，假设k 1=λk 2，求λ的取值范围． [解析]〔1〕 设D (x ，y )，∵ ∠ADC =90°，∴0DC DA ⋅=. 即x 2＋y 2＋x －2=0.①∵ 点D 在椭圆E 上，∴2214x y .②联立①②，消去y ，得3x 2＋4x －4=0， ∵ －2<x <2，∴ x =23.代入椭圆方程，得y =223.∴ △ADC 的面积S =12×3×223= 2.〔2〕设D (x 0，y 0)，那么0200(1)1DC y k k x x ==≠-，002DA y k x =+ ∴0102PB x k k y +==-0000012202000(2)(1)(2)(1)1144(1)2214x x x x x k x k y x x λ+-+--∴==-=-==+---022x -<<且01x ≠所以λ的取值范围为(－∞，0)∪(0，3)．法二：设直线PA 方程为(2)y k x =+，与椭圆联立方程组22(2)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(41)161640k x k x k +++-=， 22222164284,,414141A D D Dk k k x x x y k k k --∴⋅=∴==+++，21112D x k ≠∴≠241,112DC PBk k k k k∴==--， 212222112113444112k k k k k k k k λ--∴====--所以λ的取值范围为(－∞，0)∪(0，3)．24. 椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为,过点1)2P , 记椭圆的左顶点为A .〔1〕求椭圆的方程；〔2〕设垂直于y 轴的直线l 交椭圆于,B C 两点, 试求ABC ∆面积的最大值； 〔3〕过点A 作两条斜率分别为12,k k 的直线交椭圆于,D E 两点，且122k k =, 求证: 直线DE 恒过一个定点.[解析]〔1〕由222222211124c aa b a b c ，解得221,,22a bc 所以椭圆C 的方程为x 2＋2y 2＝1.〔2〕 解：设B (m ，n )，C (－m ，n )，那么S △ABC ＝12×2|m |×|n |＝|m |·|n |，又1＝m 2＋2n 2≥22m 2n 2＝22|m |·|n |，所以|m |·|n |≤24， 当且仅当|m |＝2|n |时取等号， 从而S △ABC ≤24，即△ABC 面积的最大值为24. 〔3〕证明：因为A (－1,0)，所以AB ：y ＝k 1(x ＋1)，AC ：y ＝k 2(x ＋1)，由122(1)21y k x x y 消去y ，得(1＋2k 21)x 2＋4k 21x ＋2k 21－1＝0，解得x ＝－1或者21211212k xk∴ 点2112211122(,)1212k k B k k ，同理，有2222222122(,)1212k k C k k ，而k 1k 2＝2， ∴ 211221184(,)88k k C k k∴ 直线BC 的方程为11222111122221111221142281212()8121212812k k k k k k yxk k k k k k即21112221112312()122(2)12k k k yxk k k ，即112211352(2)2(2)k k yxk k ，所以，得直线BC 恒过定点5(,0)3.三．课本改编题1.课本原题〔必修2第112页习题2.2第12题〕：点(,)M x y 与两个定点(0,0),(3,0)O A 的间隔 之比为12，那么点M 的坐标应满足什么关系？画出满足条件的点M 所构成的曲线.改编1：〔2021高考卷第13题〕满足条件2,2ABAC BC 的三角形ABC 的面积的最大值为 .改编2：〔2021高考卷第18题〕如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A y=2xC 的半径为1，圆心在l 上.〔1〕假设圆心C 也在直线y =x －1上，过点A 作圆C 〔2〕假设圆C 上存在点M ，使MA =2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围[说明]：利用阿波罗尼斯圆进展命题的经典考题很多，最著名的当属高考中出现的这两题.课本上虽未出现阿波罗尼斯圆的字眼，但是必修2教材上的这道习题已经表达了这类问题的本质.假如我们平时能钻研教材，对这道习题有所研究，那么我们的数学意识就会有所增强，再碰到此类问题时就会得心应手.2.课本原题〔1〕〔选修2-1第42页习题第5题〕在ABC 中，(6,0),(6,0)B C ，直线AB 、AC 的斜率乘积为94，求顶点A 的轨迹.原题〔2〕〔选修2-2第105页复习题第14题〕：椭圆具有如下性质：设M 、N 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上关于原点对称的两点，点PPM 、PN 的斜率都存在并分别记为,PM PN k k ，那么PM PN k k 是与点P 的位置无关的定值.试类比椭圆，写出双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一个类似性质，并加以证明.ABMPOlxym改编1：〔2021年高三数学第二次模拟考试第13题〕 如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，B 、C 分别为椭圆的上、下顶点，直线BF 2与椭圆的另一交点为D .假设cos∠F 1BF 2=725，那么直线CD 的斜率为____．改编2：〔2021苏北四期末18题第2、3问〕如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E的方程为22143x y +=．假设点A ，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，直线l 经过点B 且垂直于x 轴，点P 是椭圆 上异于A ，B 的任意一点，直线AP 交l 于点.M 〔1〕设直线OM 的斜率为,1k 直线BP 的斜率为2k ，求证：21k k 为定值；〔2〕设过点M 垂直于PB 的直线为m .求证：直线m 过定点，并求出定点的坐标．改编3：〔2021年高考卷第18题〕如图，在平面直角坐标系xOy 中，M 、N 分别是椭圆22142x y 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k .〔1〕当直线PA平分线段MN，求k的值；〔2〕当k=2时，求点P到直线AB的间隔d；〔3〕对任意k>0，求证：PA⊥PB.改编4：过椭圆上的点P作PQ⊥x直线BQ与直线AP交于M，试探求M的轨迹方程．[说明]原题是推理与证明中的复习题，教学中可以把握教材前后的联络，在椭圆的学习中就可以对该结论进展探究.利用该结论进展命题的经典考题非常多，以上几例利用这个结论会大大降低运算的难度.平时我们要多留意课本上的常见结论，加强知识储藏，这对进步我们的解题才能大有帮助.本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
三年高考(2019-2021)数学(理)试题分项汇编——专题08 平面解析几何(解答题)(教师版)
专题08 平面解析几何（解答题）1．【2021·北京高考真题】已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点(0,2)A -，以四个顶点围成的四边形面积为45． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）过点P (0，-3)的直线l 斜率为k ，交椭圆E 于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 交y =-3于点M 、N ，直线AC 交y =-3于点N ，若|PM |+|PN |≤15，求k 的取值范围．【答案】（1）22154x y +=；（2）[3,1)(1,3]--⋃． 【分析】（1）根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求,a b ，从而可求椭圆的标准方程.（2）设()()1122,,,B x y C x y ，求出直线,AB AC 的方程后可得,M N 的横坐标，从而可得PM PN +，联立直线BC 的方程和椭圆的方程，结合韦达定理化简PM PN +，从而可求k 的范围，注意判别式的要求.【详解】（1）因为椭圆过()0,2A -，故2b =， 因为四个顶点围成的四边形的面积为45，故122452a b ⨯⨯=，即5a =， 故椭圆的标准方程为：22154x y +=.（2）设()()1122,,,B x y C x y ，因为直线BC 的斜率存在，故120x x ≠， 故直线112:2y AB y x x +=-，令3y =-，则112M x x y =-+，同理222N xx y =-+. 直线:3BC y kx =-，由2234520y kx x y =-⎧⎨+=⎩可得()224530250k x kx +-+=， 故()22900100450k k ∆=-+>，解得1k <-或1k >.又1212223025,4545k x x x x k k +==++，故120x x >，所以0M N x x > 又1212=22M N x xPM PN x x y y +=++++ ()()2212121222212121222503024545=5253011114545k kkx x x x x x k k k k k kx kx k x x k x x k k --++++===---++-+++故515k ≤即3k ≤，综上，31k -≤<-或13k <≤.2．【2021·全国高考真题】在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1F、)2122F MF MF -=，，点M 的轨迹为C .（1）求C 的方程； （2）设点T 在直线12x =上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.【答案】（1）()221116y x x -=≥；（2）0. 【分析】（1）利用双曲线的定义可知轨迹C 是以点1F 、2F 为左、右焦点双曲线的右支，求出a 、b 的值，即可得出轨迹C 的方程；（2）设点1,2T t ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线AB 的方程为112y t k x ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立直线AB 与曲线C 的方程，列出韦达定理，求出TA TB ⋅的表达式，设直线PQ 的斜率为2k ，同理可得出TP TQ ⋅的表达式，由TA TB TP TQ ⋅=⋅化简可得12k k +的值.【详解】因为12122MF MF F F -=<=所以，轨迹C 是以点1F 、2F 为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹C 的方程为()222210,0x y a b a b -=>>，则22a =，可得1a =，4b ==，所以，轨迹C 的方程为()221116y x x -=≥；（2）设点1,2T t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若过点T 的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线C 无公共点， 不妨直线AB 的方程为112y t k x ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，即1112y k x t k =+-， 联立1122121616y k x t k x y ⎧=+-⎪⎨⎪-=⎩，消去y 并整理可得()()222111111621602k x k t k x t k ⎛⎫-+-+-+=⎪⎝⎭， 设点()11,A x y 、()22,B x y ，则112x >且212x >. 由韦达定理可得2111221216k k t x x k -+=-，211221116216t k x x k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-， 所以，()()()()22122121121122112111*********t k x x TA TB k x x k x x k +++⎛⎫⋅=+⋅-⋅-=+⋅-+= ⎪-⎝⎭， 设直线PQ 的斜率为2k ，同理可得()()2222212116t k TP TQ k ++⋅=-，因为TA TB TP TQ ⋅=⋅，即()()()()22221222121211211616t k t k k k ++++=--，整理可得2212k k =，即()()12120k k k k -+=，显然120k k -≠，故120k k +=. 因此，直线AB 与直线PQ 的斜率之和为0.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．3．【2021·浙江高考真题】如图，已知F 是抛物线()220y px p =>的焦点，M 是抛物线的准线与x 轴的交点，且2MF =，（1）求抛物线的方程；（2）设过点F 的直线交抛物线与A ､B 两点，斜率为2的直线l 与直线,,MA MB AB ，x 轴依次交于点P ，Q ，R ，N ，且2RNPN QN =⋅，求直线l 在x 轴上截距的范围.【答案】（1）24y x =；（2）()(),743743,11,⎡-∞---++∞⎣.【分析】（1）求出p 的值后可求抛物线的方程.（2）设:1AB x ty =+，()()1122,,,A x y B x y ，(),0N n ，联立直线AB 的方程和抛物线的方程后可得12124,4y y y y t =-+=，求出直线,MA MB 的方程，联立各直线方程可求出,,P Q R y y y ，根据题设条件可得()222134121n t n t ++⎛⎫= ⎪-⎝⎭-，从而可求n 的范围.【详解】（1）因为2MF =，故2p =，故抛物线的方程为：24y x =.（2）设:1AB x ty =+，()()1122,,,A x y B x y ，(),0N n ， 所以直线:2y l x n =+，由题设可得1n ≠且12t ≠.由214x ty y x=+⎧⎨=⎩可得2440y ty --=，故12124,4y y y y t =-+=， 因为2RN PN QN =⋅，故2R P Q y ⎫=⎪⎪⎭，故2R P Q y y y =⋅. 又()11:11y MA y x x =++，由()11112y y x x y x n⎧=+⎪+⎪⎨⎪=+⎪⎩可得()1112122P n y y x y +=+-，同理()2222122Q n y y x y +=+-，由12x ty yx n =+⎧⎪⎨=+⎪⎩可得()2121R n y t -=-， 所以()()()2212211212121=212222n n y n y t x y x y -++⎡⎤⨯⎢⎥-+-+-⎣⎦， 整理得到()()()2212221112112222y y n t n x y x y -⎛⎫=- ⎪++-+-⎝⎭， ()22221214212222t y y y y -=⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()()()2222222121212112214212134+++2+442t t t y y y y y y y y y y y y --==+--⨯-+故()222134121n t n t ++⎛⎫= ⎪-⎝⎭-，令21s t =-，则12s t +=且0s ≠，故()22222234242411331+444421t s s s s s s t +++⎛⎫==+=++≥ ⎪⎝⎭-， 故213141n n n ⎧+⎛⎫≥⎪ ⎪-⎨⎝⎭⎪≠⎩即214101n n n ⎧++≥⎨≠⎩，解得7n ≤--71n -+≤<或1n >.故直线l 在x轴上的截距的范围为7n ≤--71n -+≤<或1n >.【点睛】方法点睛：直线与抛物线中的位置关系中的最值问题，往往需要根据问题的特征合理假设直线方程的形式，从而便于代数量的计算，对于构建出的函数关系式，注意利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围问题. 4．【2021·全国高考真题（理）】在直角坐标系xOy 中，C 的圆心为()2,1C ，半径为1．（1）写出C 的一个参数方程;（2）过点()4,1F 作C 的两条切线．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程． 【答案】（1）2cos 1sin x y αα=+⎧⎨=+⎩，（α为参数）；（2）2cos()43πρθ+=-2cos()43πρθ-=+【分析】（1）直接利用圆心及半径可得的圆的参数方程；（2）先求得过（4，1）的圆的切线方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式化简即可. 【详解】（1）由题意，C 的普通方程为22(2)(1)1x y -+-=，所以C 的参数方程为2cos 1sin x y αα=+⎧⎨=+⎩，（α为参数）（2）由题意，切线的斜率一定存在，设切线方程为1(4)y k x -=-，即140kx y k -+-=，由圆心到直线的距离等于11=，解得k =330y -+-=330y +--=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入化简得2cos()43πρθ+=-2cos()43πρθ-=【点晴】本题主要考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.5．【2021·全国高考真题（理）】已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，且F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4．（1）求p ；（2）若点P 在M 上，,PA PB 是C 的两条切线，,A B 是切点，求PAB △面积的最大值． 【答案】（1）2p =；（2）【分析】（1）根据圆的几何性质可得出关于p 的等式，即可解出p 的值；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y 、()00,P x y ，利用导数求出直线PA 、PB ，进一步可求得直线AB 的方程，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，求出AB 以及点P 到直线AB 的距离，利用三角形的面积公式结合二次函数的基本性质可求得PAB △面积的最大值. 【详解】（1）抛物线C 的焦点为0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，42pFM =+， 所以，F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4142p+-=，解得2p =； （2）抛物线C 的方程为24x y =，即24x y =，对该函数求导得2x y '=，设点()11,A x y 、()22,B x y 、()00,P x y ， 直线PA 的方程为()1112x y y x x -=-，即112x xy y =-，即11220x x y y --=， 同理可知，直线PB 的方程为22220x x y y --=，由于点P 为这两条直线的公共点，则10102020220220x x y y x x y y --=⎧⎨--=⎩，所以，点A 、B 的坐标满足方程00220x x y y --=，所以，直线AB 的方程为00220x x y y --=，联立0022204x x y y x y --=⎧⎪⎨=⎪⎩，可得200240x x x y -+=， 由韦达定理可得1202x x x +=，1204x x y =，所以，AB ===，点P 到直线AB的距离为d =所以，()3220011422PABS AB d x y =⋅==-△， ()()2222000000041441215621x y y y y y y -=-+-=---=-++，由已知可得053y -≤≤-，所以，当05y =-时，PAB△的面积取最大值321202⨯=【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．6．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程； （2）证明：直线CD 过定点.【解析】（1）由题设得A （–a ，0），B （a ，0），G （0，1）. 则(,1)AG a =，GB =（a ，–1）.由AG GB ⋅=8得a 2–1=8，即a =3.所以E 的方程为29x +y 2=1．（2）设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），P （6，t ）.若t ≠0，设直线CD 的方程为x =my +n ，由题意可知–3<n <3. 由于直线PA 的方程为y =9t （x +3），所以y 1=9t （x 1+3）.直线PB 的方程为y =3t （x –3），所以y 2=3t（x 2–3）.可得3y 1（x 2–3）=y 2（x 1+3）.由于222219x y +=，故2222(3)(3)9x x y +-=-，可得121227(3)(3)y y x x =-++， 即221212(27)(3)()(3)0.m y y m n y y n ++++++=①将x my n =+代入2219xy +=得222(9)290.m y mny n +++-=所以12229mn y y m +=-+，212299n y y m -=+．代入①式得2222(27)(9)2(3)(3)(9)0.m n m n mn n m +--++++= 解得n =–3（含去），n =32.故直线CD 的方程为3=2x my +，即直线CD 过定点（32，0）． 若t =0，则直线CD 的方程为y =0，过点（32，0）.综上，直线CD 过定点（32，0）.【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属于难题.7．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且43CD AB =． （1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程．【解析】（1）由已知可设2C 的方程为24y cx =，其中c不妨设,A C 在第一象限，由题设得,A B 的纵坐标分别为2b a ，2b a -；,C D 的纵坐标分别为2c ，2c -，故22||b AB a=，||4CD c =.由4||||3CD AB =得2843b c a=，即2322()c c a a ⨯=-，解得2c a =-（舍去），12c a =.所以1C 的离心率为12. （2）由（1）知2a c =，b =，故22122:143x y C c c+=，设00(,)M x y ，则220022143x y c c +=，2004y cx =，故20024143x x c c+=.①由于2C 的准线为x c =-，所以0||MF x c =+，而||5MF =，故05x c =-，代入①得22(5)4(5)143c c c c --+=，即2230c c --=，解得1c =-（舍去），3c =. 所以1C 的标准方程为2213627x y +=，2C 的标准方程为212y x =.8．【2020年高考全国Ⅲ卷理数】已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<，A ，B 分别为C 的左、右顶点． （1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ △的面积．【解析】（1=22516m =， 所以C 的方程为221252516x y +=. （2）设(,),(6,)P P Q P x y Q y ，根据对称性可设0Q y >，由题意知0P y >， 由已知可得(5,0)B ，直线BP 的方程为1(5)Qy x y =--，所以||BP y =，||BQ =， 因为||||BP BQ =，所以1P y =，将1P y =代入C 的方程，解得3P x =或3-. 由直线BP 的方程得2Q y =或8.所以点,P Q 的坐标分别为1122(3,1),(6,2);(3,1),(6,8)P Q P Q -.11||PQ 11PQ 的方程为13y x =，点(5,0)A -到直线11PQ的距离为2，故11APQ △的面积为15222⨯=. 22||PQ =22P Q 的方程为71093y x =+，点A 到直线22P Q故22AP Q △的面积为1522=. 综上，APQ △的面积为52. 【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.9．【2020年高考北京】已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,1)A --，且2a b =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅱ）过点(4,0)B -的直线l 交椭圆C 于点,M N ,直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ．求||||PB BQ 的值． 【解析】 (1)设椭圆方程为：()222210x y a b a b+=>>，由题意可得：224112a ba b⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得：2282a b ⎧=⎨=⎩， 故椭圆方程为：22182x y +=.(2)设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为：()4y k x =+，与椭圆方程22182x y +=联立可得：()222448x k x ++=，即：()()222241326480k x k x k +++-=，则：2212122232648,4141k k x x x x k k --+==++. 直线MA 的方程为：()111122y y x x ++=++， 令4x =-可得：()()()1111111141214122122222P k x k x y x y x x x x ++-++++=-⨯-=-⨯-=++++， 同理可得：()()222142Q k x y x -++=+.很明显0P Q y y <，且：PQPB y PQy =，注意到： ()()()()()()()()122112121242424421212222P Q x x x x x x y y k k x x x x +++++⎛⎫+++=-++=-+⨯ ⎪++++⎝⎭，而：()()()()()122112124242238x x x x x x x x +++++=+++⎡⎤⎣⎦2222648322384141k k k k ⎡⎤⎛⎫--=+⨯+⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦()()()22226483328412041k k k k -+⨯-++=⨯=+，故0,P Q P Q y y y y +==-.从而1PQPB y PQy ==. 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．10．【2020年高考浙江】如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于点M （B ，M 不同于A ）． （Ⅰ）若116p =，求抛物线2C 的焦点坐标； （Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．【解析】（Ⅰ）由116p =得2C 的焦点坐标是1(,0)32．（Ⅱ）由题意可设直线:(0,0)l x my t m t =+≠≠，点00(,)A x y ．将直线l 的方程代入椭圆221:12x C y +=得222(2)220m y mty t +++-=，所以点M 的纵坐标22M mty m =-+．将直线l 的方程代入抛物线22:2C y px =得2220y pmy pt --=，所以02M y y pt =-，解得202(2)p m y m+=，因此22022(2)p m x m +=．由220012x y +=得2421224()2()160m m p m m =+++≥，所以当2m ，10t =时，p 10． 【点晴】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用，涉及到求函数的最值，考查学生的数学运算能力，是一道有一定难度的题.11．【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求12AF F △的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记OAB △与MAB △的面积分别为S 1，S 2，若213S S =，求点M 的坐标．【解析】（1）椭圆22:143x y E +=的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ，则2224,3,1a b c ===.所以12AF F △的周长为226a c +=. （2）椭圆E 的右准线为4x =. 设(,0),(4,)P x Q y ，则(,0),(4,)OP x QP x y ==--， 2(4)(2)44,OP QP x x x ⋅=-=--≥-在2x =时取等号.所以OP QP ⋅的最小值为4-.（3）因为椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为12,F F ，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，212AF F F ⊥，则123(1,0),(1,0),(1,)2F F A -.所以直线:3430.AB x y -+=设(,)M x y ，因为213S S =，所以点M 到直线AB 距离等于点O 到直线AB 距离的3倍. 由此得|343||30403|355x y -+⨯-⨯+=⨯， 则34120x y -+=或3460x y --=.由2234120,143x y x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得2724320x x ++=，此方程无解；由223460,143x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩得271240x x --=，所以2x =或27x =-.代入直线:3460l x y --=，对应分别得0y =或127y =-. 因此点M 的坐标为(2,0)或212(,)77--.【点睛】本题考查了椭圆的定义，直线与椭圆相交问题、点到直线距离公式的运用，熟悉运用公式以及根据213S S =推出95d =是解答本题的关键. 12．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，且过点A （2，1）．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．【解析】（1）由题设得22411a b +=，22212a b a -=，解得26a =，23b =． 所以C 的方程为22163x y +=． （2）设11(,)M x y ，22(,)N x y ．若直线MN 与x 轴不垂直，设直线MN 的方程为y kx m =+，代入22163x y +=得222(12)4260k x kmx m +++-=． 于是2121222426,1212km m x x x x k k-+=-=++．① 由AM AN ⊥知0AM AN ⋅=，故1212(2)(2)(1)(1)0x x y y --+--=， 可得221212(1)(2)()(1)40k x x km k x x m ++--++-+=．将①代入上式可得22222264(1)(2)(1)401212m kmk km k m k k-+---+-+=++． 整理得(231)(21)0k m k m +++-=．因为(2,1)A 不在直线MN 上，所以210k m +-≠，故2310k m ++=，1k ≠． 于是MN 的方程为21()(1)33y k x k =--≠.所以直线MN 过点21(,)33P -.若直线MN 与x 轴垂直，可得11(,)N x y -.由0AM AN ⋅=得1111(2)(2)(1)(1)0x x y y --+---=.又2211163x y +=，可得2113840x x -+=.解得12x =（舍去），123x =. 此时直线MN 过点21(,)33P -.令Q 为AP 的中点，即41(,)33Q .若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt ADP △的斜边，故1||||2DQ AP ==. 若D 与P 重合，则1||||2DQ AP =. 综上，存在点41(,)33Q ，使得||DQ 为定值.【点睛】本题考查椭圆的标准方程和性质，圆锥曲线中的定点定值问题，关键是第二问中证明直线MN 经过定点，并求得定点的坐标,属综合题，难度较大.13．【2020年新高考全国Ⅱ卷】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点M （2，3）,点A为其左顶点，且AM 的斜率为12， （1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.【解析】(1)由题意可知直线AM 的方程为：13(2)2y x -=-，即24-=-x y . 当y =0时，解得4x =-，所以a =4，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点M (2，3)，可得249116b +=， 解得b 2=12.所以C 的方程：2211612x y +=.(2)设与直线AM 平行的直线方程为：2x y m -=，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为N ，此时△AMN 的面积取得最大值.联立直线方程2x y m -=与椭圆方程2211612x y +=，可得：()2232448m y y ++=，化简可得：2216123480y my m ++-=，所以()221444163480m m ∆=-⨯-=，即m 2=64，解得m =±8， 与AM 距离比较远的直线方程：28x y -=， 直线AM 方程为：24-=-x y ，点N 到直线AM 的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得：d==由两点之间距离公式可得||AM==.所以△AMN的面积的最大值：1182⨯=.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．14．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为32的直线l与C 的交点为A，B，与x轴的交点为P．（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若3AP PB=，求|AB|．【答案】（1）3728y x=-；（2）3.【解析】设直线()()11223:,,,,2l y x t A x y B x y=+．（1）由题设得3,04F⎛⎫⎪⎝⎭，故123||||2AF BF x x+=++，由题设可得1252x x+=．由2323y x ty x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得22912(1)40x t x t+-+=，则1212(1)9tx x-+=-．从而12(1)592t--=，得78t=-．所以l的方程为3728y x=-．（2）由3AP PB=可得123y y=-．由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得2220y y t -+=． 所以122y y +=．从而2232y y -+=，故211,3y y =-=． 代入C 的方程得1213,3x x ==．故||3AB =． 【名师点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及平面向量、弦长的求解方法，解题关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，利用根与系数的关系构造等量关系.15．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知点A (−2，0)，B (2，0)，动点M (x ，y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG △是直角三角形； （ii ）求PQG △面积的最大值.【答案】（1）见解析；（2）（i ）见解析；（ii ）169. 【解析】（1）由题设得1222y y x x ⋅=-+-，化简得221(||2)42x y x +=≠，所以C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点． （2）（i ）设直线PQ 的斜率为k ，则其方程为(0)y kx k =>．由22142y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得x =记u =，则(,),(,),(,0)P u uk Q u uk E u --．于是直线QG 的斜率为2k ，方程为()2ky x u =-． 由22(),2142k y x u x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得 22222(2)280k x uk x k u +-+-=．①设(,)G G G x y ，则u -和G x 是方程①的解，故22(32)2G u k x k +=+，由此得322G uky k=+． 从而直线PG 的斜率为322212(32)2uk uk k u k kuk -+=-+-+．所以PQ PG ⊥，即PQG △是直角三角形．（ii ）由（i）得||2PQ =||PG =△PQG 的面积222218()18(1)||12(12)(2)12()k k k k S PQ PG k k k k++===++++‖． 设t =k +1k，则由k >0得t ≥2，当且仅当k =1时取等号． 因为2812tS t=+在[2，+∞）单调递减，所以当t =2，即k =1时，S 取得最大值，最大值为169． 因此，△PQG 面积的最大值为169． 【名师点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，以及利用直线与椭圆的位置关系，判断三角形形状以及三角形面积最大值问题，考查了数学运算能力，考查了求函数最大值问题.16．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.【答案】（1）见详解；（2）3或【解析】（1）设()111,,,2D t A x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2112x y =.由于y'x =，所以切线DA 的斜率为1x ，故11112y x x t+=- .整理得112 2 +1=0. tx y -设()22,B x y ，同理可得222 2 +1=0tx y -. 故直线AB 的方程为2210tx y -+=. 所以直线AB 过定点1(0,)2.（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+. 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=. 于是()2121212122,1,121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+，()212||21AB x t =-==+.设12,d d 分别为点D ，E 到直线AB的距离，则12d d ==因此，四边形ADBE 的面积()(2121||32S AB d d t =+=+设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭. 由于EM AB ⊥，而()2,2EM t t =-，AB 与向量(1, )t 平行，所以()220t t t +-=.解得t =0或1t =±.当t =0时，S =3；当1t =±时，S =因此，四边形ADBE 的面积为3或【名师点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题，第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班地求解就可以，思路较为清晰，但计算量不小.17．【2019年高考北京卷理数】已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）．（1）求抛物线C 的方程及其准线方程；（2）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．【答案】（1）抛物线C 的方程为24x y =-，准线方程为1y =；（2）见解析.【解析】（1）由抛物线2:2C x py =-经过点(2,1)-，得2p =.所以抛物线C 的方程为24x y =-，其准线方程为1y =. （2）抛物线C 的焦点为(0,1)F -. 设直线l 的方程为1(0)y kx k =-≠.由21,4y kx x y=-⎧⎨=-⎩得2440x kx +-=. 设()()1122,,,M x y N x y ，则124x x =-. 直线OM 的方程为11y y x x =. 令1y =-，得点A 的横坐标11A x x y =-. 同理得点B 的横坐标22B x x y =-. 设点(0, )D n ，则1212,1,,1x x DA n DB n y y ⎛⎫⎛⎫=---=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 21212(1)x x DA DB n y y ⋅=++2122212(1)44x x n x x =++⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 21216(1)n x x =++ 24(1)n =-++.令0DA DB ⋅=，即24(1)0n -++=，则1n =或3n =-. 综上，以AB 为直径的圆经过y 轴上的定点(0,1)和(0,3)-.【名师点睛】本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定，直线与抛物线的位置关系，圆的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18．【2019年高考天津卷理数】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的短轴长为4（1）求椭圆的方程；（2）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上．若||||ON OF =（O 为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率．【答案】（1）22154x y +=；（2或． 【解析】（1）设椭圆的半焦距为c，依题意，24,c b a ==222a b c =+，可得a =2,b =1c =．所以，椭圆的方程为22154x y +=．（2）由题意，设()()()0,,0P P p M P x y x M x ≠，．设直线PB 的斜率为()0k k ≠， 又()0,2B ，则直线PB 的方程为2y kx =+，与椭圆方程联立222,1,54y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()2245200k x kx ++=，可得22045P k x k =-+，代入2y kx =+得2281045P k y k-=+， 进而直线OP 的斜率24510P p y k x k-=-． 在2y kx =+中，令0y =，得2M x k=-． 由题意得()0,1N -，所以直线MN 的斜率为2k -． 由OP MN ⊥，得2451102k k k-⎛⎫⋅-=- ⎪-⎝⎭，化简得2245k =，从而k =所以，直线PB或． 【名师点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识．考查用代数方法研究圆锥曲线的性质．考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力．19．【2019年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1． 已知DF 1=52． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．【答案】（1）22143x y +=；（2）3(1,)2E --. 【解析】（1）设椭圆C 的焦距为2c . 因为F 1(−1，0)，F 2(1，0)，所以F 1F 2=2，c =1. 又因为DF 1=52，AF 2⊥x 轴，所以DF 2222211253()222DF F F -=-=， 因此2a =DF 1+DF 2=4，从而a =2. 由b 2=a 2−c 2，得b 2=3.因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）解法一：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=，a =2，因为AF 2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1. 将x =1代入圆F 2的方程(x −1) 2+y 2=16，解得y =±4. 因为点A 在x 轴上方，所以A (1，4). 又F 1(−1，0)，所以直线AF 1：y =2x +2.由22()22116y x x y =+-+=⎧⎨⎩，得256110x x +-=，解得1x =或115x =-. 将115x =-代入22y x =+，得 125y =-， 因此1112(,)55B --.又F 2(1，0)，所以直线BF 2：3(1)4y x =-.由221433(1)4x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=-⎩=⎪，得276130x x --=，解得1x =-或137x =. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以1x =-. 将1x =-代入3(1)4y x =-，得32y =-. 因此3(1,)2E --.解法二：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=.如图，连结EF 1.因为BF 2=2a ，EF 1+EF 2=2a ，所以EF 1=EB ， 从而∠BF 1E =∠B .因为F 2A =F 2B ，所以∠A =∠B ， 所以∠A =∠BF 1E ，从而EF 1∥F 2A . 因为AF 2⊥x 轴，所以EF 1⊥x 轴.因为F 1(−1，0)，由221431x x y ⎧⎪⎨+==-⎪⎩，得32y =±.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以32y =-. 因此3(1,)2E --.【名师点睛】本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.20．【2019年高考浙江卷】如图，已知点(10)F ，为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记,AFG CQG △△的面积分别为12,S S ． （1）求p 的值及抛物线的准线方程；（2）求12S S 的最小值及此时点G 的坐标．【答案】（1）p =2，准线方程为x =−1；（2）最小值为31，此时G （2，0）． 【解析】（1）由题意得12p=，即p =2. 所以，抛物线的准线方程为x =−1.（2）设()()(),,,,,A A B B c c A x y B x y C x y ，重心(),G G G x y .令2,0A y t t =≠，则2A x t =.由于直线AB 过F ，故直线AB 方程为2112t x y t-=+，代入24y x =，得()222140t y y t---=，故24B ty =-，即2B y t =-，所以212,B tt ⎛⎫- ⎪⎝⎭.又由于()()11,33G A B c G A B c x x x x y y y y =++=++及重心G 在x 轴上，故220c t y t -+=，得242211222,2,,03t t C t t G t t t ⎛⎫⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 所以，直线AC 方程为()222y t t x t-=-，得()21,0Q t-.由于Q 在焦点F 的右侧，故22t >.从而4224221244242222211|2|||322221222211|||1||2|23A ct t t FG y t S t t t t t S t t QG y t t t t-+-⋅⋅--====--+--⋅--⋅-.令22m t =-，则m >0，1221222134342S m S m m m m m=-=--=+++++当m =时，12S S 取得最小值1G （2，0）． 【名师点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.。
北京高考数学第8题经典解析及强化训练
北京高考数学第8题经典解析及强化训练面对创新题，记住一句话：无限变有限，变中找不变。
1、点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2y x =于,A B 两点，|||PA AB =，则称点P 为“点”，那么下列结论中正确的是A ．直线l 上的所有点都是“点”B ．直线l 上仅有有限个点是“点”C ．直线l 上的所有点都不是“点”D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”解析：设(,1)P m m -，2(,)B n n ，PB 中点在抛物线上，得到关于m,n 的关系式，转化为关于n 的方程，发现判别式恒大于0，即表示，对于l 上任意一点都存在点B 使得它们的中点在抛物线上，即直线上所有的点都是点2、如图，正方体ABCD-1111A B C D 的棱长为2，动点E 、F 在棱11A B 上，动点P ，Q 分别在棱AD ，CD 上，若EF=1，1A E=x ，DQ=y ，D Ｐ＝ｚ（ｘ，ｙ，ｚ大于零），则四面体PE ＦＱ的体积 （Ａ）与ｘ，ｙ，ｚ都有关 （Ｂ）与ｘ有关，与ｙ，ｚ无关 （Ｃ）与ｙ有关，与ｘ，ｚ无关 （Ｄ）与ｚ有关，与ｘ，ｙ无关解析：在变化的过程中找到不变的量，不论Q 如何移动，三角形EFQ 的面积是不变的，所以，四面体体积只与P 点位置有关。
3、设()0,0A ,()4,0B ，()4,4C t +,()(),4D t t R ∈.记()N t 为平行四边形ABCD 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数()N t 的值域为（A ）{}9,10,11 （B ）{}9,10,12 （C ）{}9,11,12 （D ）{}10,11,12解析：建立坐标系，线段CD 在直线y=4上移动，在移动的过程中观察整点个数，只有9、11、12三种情况。
此题中线段CD 长度不变。
4、、已知点P 是ABC ∆的中位线EF 上任意一点，且//EF BC ，实数x ，y 满足PA xPB yPC ++=0．设ABC ∆，PBC ∆，PCA ∆，PAB ∆的面积分别为S ，1S ，2S ，3S ， 记11S S λ=，22SS λ=，33S Sλ=．则23λλ⋅取最大值时，2x y +的值为(A)（A ）32 （B ）12（C ） 1 （D ）2 解析：23λλ⋅取最大值时，根据均值定理，23λλ=，即23S S =,此时P 为EF 中点（各自分割为上下两个小三角形的面积之和），所以2PB PC PA →→→+=-. 5、已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数[()1]y f f x =+的零点个数是 （ ）A ．4B ．3C ．2D ．1解析：令()1f x U +=，由()0f U =得10,0U U +=≤,或2log 0,0U x =<，又()1f x U+=，所以()2f x =-或()0f x =，最终得到4个零点。
历年高考数学真题-解析几何
已知ABC △的顶点A B ，在椭圆2234x y +=上，C 在直线2l y x =+：上，且AB l ∥． （Ⅰ）当AB 边通过坐标原点O 时，求AB 的长及ABC △的面积； （Ⅱ）当90ABC ∠=，且斜边AC 的长最大时，求AB 所在直线的方程．解：（Ⅰ）因为AB l ∥，且AB 边通过点(00)，，所以AB 所在直线的方程为y x =． 设A B ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，，．由2234x y y x ⎧+=⎨=⎩，得1x =±．所以12AB x =-=又因为AB 边上的高h 等于原点到直线l 的距离．所以h =122ABC S AB h == △． （Ⅱ）设AB 所在直线的方程为y x m =+，由2234x y y x m⎧+=⎨=+⎩，得2246340x mx m ++-=． 因为A B ，在椭圆上， 所以212640m ∆=-+>．设A B ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，，，则1232m x x +=-，212344m x x -=，所以12AB x =-=．又因为BC 的长等于点(0)m ，到直线l的距离，即BC =．所以22222210(1)11AC AB BC m m m =+=--+=-++．所以当1m =-时，AC 边最长，（这时12640∆=-+>） 此时AB 所在直线的方程为1y x =-．如图，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点为F （1，0），且过点(20)，．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若AB 为垂直于x 轴的动弦，直线l ：4x =与x 轴交 于点N ，直线AF 与BN 交于点M ． （ⅰ）求证：点M 恒在椭圆C 上； （ⅱ）求AMN △面积的最大值．（Ⅰ）由题设2a =，1c =，从而2223b a c =-=．所以椭圆C 的方程为22143x y +=． （Ⅱ）（ⅰ）由题意得(10)F ，，(40)N ，， 设()A m n ，，则()(0)B m n n -≠，，22143m n +=．……① AF 与BN 的方程分别为：(1)(1)0n x m y ---=，(4)(4)0n x m y -+-=．设00()M x y ，，则有0000(1)(1)0(4)(4)0n x m y n x m y ---=⎧⎨-+-=⎩，②，③由②，③得05825m x m -=-，0325ny m =-．由于22220022(58)3434(25)(25)x y m n m m -+=+-- 2222(58)34(25)(25)m nm m -=+-- 222(58)124(25)m n m -+=- 222(58)3694(25)m m m -+-=- 1=．所以点M 恒在椭圆C 上．（ⅱ）设AM 的方程为1x ty =+，代入22143x y +=得22(34)690t y ty ++-=． 设11()A x y ，，22()M x y ，，则有：122634t y y t -+=+，122934y y t -=+．12y y -=令234t +12y y -=因为4λ≥，1104λ<≤，所以当114λ=，即4λ=，0t =时， 12y y -有最大值3，此时AM 过点F ．AMN △的面积12121322AMN S FN y y y y =-=- △有最大值92．08全国2(22)（本大题满分12分）设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)、B(0,1)是它的两个顶点，直线y =kx (k >0)与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点. (Ⅰ)若ED =6DF，求k 的值； (Ⅱ)求四边形AEBF 面积的最大值。
2019年北京市各区高三理科数学试题分类汇编——解析几何
北京市各区高三理科数学分类汇编----圆锥曲线（2017海淀期末）1. 抛物线22y x =的焦点到准线的距离为（ B ）A.12B.1C.2D.3（2017海淀期末）5.已知直线l 经过双曲线2214x y -=的一个焦点且与其一条渐近线平行，则直线l 的方程可能是（ A ） A.152y x =-B.152y x =C.32y x =- D.23y x =-+（2017东城期末）（2）抛物线22y x =的准线方程是（ D ） （A ）1y =-（B ）12y =-（C ）1x =-（D ）12x =- (2017西城期末)3．已知双曲线2221(0)y x b b-=>的一个焦点是(2,0)，则其渐近线的方程为（ B ）（A ）30x y =（B 30x y ±=（C ）30y =（D ）30x y ±=(2017通州期末) 4．“>1m ”是“方程2211x m m =-表示双曲线”的（ A ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件（2017昌平期末）(7) 在焦距为2c 的椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>中，12,F F 是椭圆的两个焦点，则 “b c <”是“椭圆M 上至少存在一点P ，使得12PF PF ⊥”的（ A ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（2017年朝阳一模）（5）设抛物线28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，l PA ⊥，A 为垂足.若直线AF 的斜率为3=PF （ C ）（A ） 34 （B ） 6 （C ） 8 （D ）16(2017年平谷一模)7.已知点M (0，15）及抛物线x y 42=上一动点)(y x N ，，则||MN x +的最小值为（ C ）A ．5B ． 32C ． 3D ． 4(2017年西城二模)5．设双曲线22221(0,0)y x a b a b -=>>的离心率是3，则其渐近线的方程为（ A ） （A）0x ±= （B）0y ±= （C ）80x y ±= （D ）80x y ±=(2017年丰台二模)4. 下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为12y x=±的是（ D ）（A ）2214yx -= （B ）2214xy -=（C ）2214yx -= （D ）2214xy -=填空题部分：（2017东城期末）（11）若点(2,0)P 到双曲线2221(0)x y a a-=>的一条渐近线的距离为1，则a =____1±___．（2017朝阳期末）9．已知双曲线2221(0)4x y b b -=>的一条渐近线方程为320x y +=，则b 等于 3 ． （2017石景山期末）11．若双曲线2214x y m-=的渐近线方程为y x =，则双曲线的焦点坐标是(0) ．（2017丰台期末）10. 设椭圆C ：222+1(0)16x y a a =>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，如果12||+||10PF PF =，那么椭圆C 的离心率为 53 ．(2017年东城一模) （13）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线为等边三角形OAB 的边,OA OB 所在直线，直线AB 过双曲线的焦点，且||2AB =，则a = ___32____． (2017年海淀一模)10.已知12(2,0),(2,0)F F -，满足12||||2PF PF -=的动点P 的轨迹方程为__2213y x -=__.(2017年丰台一模)9. 抛物线22y x =的准线方程是 12x =- ． (2017年石景山一模)11．若抛物线22y px =的焦点与双曲线2214x y -=的右顶点重合，则p = 4 ．(2017年平谷一模)12．在平面直角坐标系xOy 中，若方程142222=+-m y m x 表示双曲线，则实数m 的范围_______ m >0 ______；若此双曲线的离心率为3，则双曲线的渐近线方程为_____x y 2±=___.（2017年朝阳二模）9．双曲线22136x y -=的渐近线方程是 y = ，离心率是(2017年东城二模)（13）在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线24y x =的焦点F ，且与该抛物线相交于,A B 两点，其中点A 在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60o，则||OA(2017年海淀二模)14.已知椭圆G ：22216x y b+=(0b << 的两个焦点分别为1F 和2F ，短轴的两个端点分别为1B 和2B ，点P 在椭圆G 上，且满足1212PB PB PF PF +=+. 当b 变化时，给出下列三个命题： ①点P 的轨迹关于y 轴对称；②存在b 使得椭圆G 上满足条件的点P 仅有两个； ③||OP 的最小值为2，其中，所有正确命题的序号是_______①③______．解答题部分：（2017西城期末）19．（本小题满分14分）已知直线:l x t =与椭圆22:142x y C +=相交于A ，B 两点，M 是椭圆C 上一点．（Ⅰ）当1t =时，求△MAB 面积的最大值；（Ⅱ）设直线MA 和MB 与x 轴分别相交于点E ，F ，O 为原点．证明：||||OE OF ⋅为定值．【解析】将1x =代入22142x y +=，解得2y =±，所以||AB = 当M 为椭圆C 的顶点()2,0-时，M 到直线1x =的距离取得最大值3，所以△MAB 面积的最大值是2．（Ⅱ）设,A B 两点坐标分别为(),A t n ，(),B t n -，从而2224t n +=．设()00,M x y ，则有220024x y +=，0x t ≠，0y n ≠±．直线MA 的方程为00()y ny n x t x t--=--，[8分] 令0y =，得000ty nx x y n -=-，从而000ty nx OE y n-=-．直线MB 的方程为00()y ny n x t x t++=--，[10分] 令0y =，得000ty nx x y n +=+，从而000ty nx OF y n+=+．所以000000=ty nx ty nx OE OF y n y n -+⋅⋅-+222200220=t y n x y n --()()222200224242=n y n y y n----22022044=y n y n -- =4．所以OE OF ⋅为定值．（2017海淀期末）18. （本小题满分13分）已知(0,2),(3,1)A B 是椭圆G ：22221(0)x y a b a b+=>>上的两点.（Ⅰ）求椭圆G 的离心率；（Ⅱ）已知直线l 过点B ，且与椭圆G 交于另一点C （不同于点A ），若以BC 为直径的圆经过点A ，求直线l 的方程．18. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由已知2,b =由点(3,1)B 在椭圆G 上可得29114a +=， 解得212,23a a ==.所以2228,22c a b c =-==（Ⅱ）法1：因为以BC 为直径的圆经过点A ，所以AB AC ⊥，由斜率公式和(0,2),(3,1)A B 可得13AB k =-，所以3Ac k =，设直线AC 的方程为32y x =+.由2232,1124y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2790x x +=，由题设条件可得90,7A C x x ==-，所以913()77C -,-，所以直线BC 的方程为213y x =-. 法2：因为以BC为直径的圆经过点A ，所以AB AC ⊥，由斜率公式和(0,2),(3,1)A B 可得AB k =所以3Ac k =，设C C C x y （，） ,则23C Ac Cy k x -==，即32C C y x =+① 由点C 在椭圆上可得221124C C x y +=②将①代入②得2790C C x x +=，因为点C 不同于点A ，所以97C x =-，所以913()77C -,-，所以直线BC 的方程为213y x =-. 法3：当直线l 过点B 且斜率不存在时，可得点(3,1)C -，不满足条件.设直线BC 的方程为1(3)y k x -=-，点C C C x y （，）由2213,1124y kx k x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得222(31)6(13)3(13)120k x k k x k ++-+--=，显然0∆>，此方程两个根是点B C 和点的横坐标，所以223(13)12331C k x k --=+，即22(13)4,31C k x k --=+所以22361,31C k k y k --+=+因为以BC 为直径的圆经过点A ，所以AB AC ⊥，即0AB AC ⋅=u u u r u u u r. （此处用1AB AC k k ⋅=-亦可）2222963961(3,1)(,)3131k k k k AB AC k k -----⋅=-⋅=++u u u r u u u r 2236128031k k k --=+，即(32)(31)0k k -+=，1221,,33k k ==-当213k =-时，即直线AB ,与已知点C 不同于点A 矛盾，所以12,3BC k k ==所以直线BC 的方程为213y x =-.（2017东城期末）（19）（本小题14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点(2,0)M ，离心率为12．,A B 是椭圆C 上两点，且直线,OA OB的斜率之积为34-，O 为坐标原点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若射线OA 上的点P 满足||3||PO OA =，且PB 与椭圆交于点Q ，求||||BP BQ 的值． 【知识点】圆锥曲线综合 【难度】4 【答案】见解析 【解析】（Ⅰ）由题意得222212.a c a abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，，解得b =所以椭圆C 的方程为22143x y +=．（Ⅱ）设112233(,),(,),(,)A x y B x y Q x y ．因为点P 在直线AO 上且满足||3||PO OA =， 所以11(3,3)P x y ． 因为,,B Q P 三点共线，所以BP BQ λ=u u u r u u u r ．所以12123232(3,3)(,)x x y y x x y y λ--=--，123212323(),3().x x x x y y y y λλ-=-⎧⎨-=-⎩ 解得31231231,31.x x x y y y λλλλλλ-⎧=+⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩因为点Q 在椭圆C 上，所以2233143x y +=．所以2212123131()()143x x y y λλλλλλ--+++=．即2222211222296(1)()()()14343x y x y λλλλλ--+++-=1， 因为,A B 在椭圆C 上，所以2211143x y +=，2222143x y +=．因为直线,OA OB 的斜率之积为34-， 所以121234y y x x ⋅=-，即1212043x x y y +=． 所以2291()1λλλ-+=，解得5λ=． 所以||||5||BP BQ λ==． （2017朝阳期末）18． （本小题满分13分）已知椭圆22:132x y C +=上的动点P与其顶点(A,B 不重合． （Ⅰ）求证：直线PA 与PB 的斜率乘积为定值；（Ⅱ）设点M ，N 在椭圆C 上，O 为坐标原点，当//OM PA ,//ON PB 时，求OMN ∆的面积．解：（Ⅰ）设00(,)P x y ，则2200132x y +=． 所以直线PA 与PB2200220062233(3)3y x x x -===---．……4分 （Ⅱ）依题直线,OM ON 的斜率乘积为23-． ①当直线MN 的斜率不存在时，直线,OM ON的斜率为3±，设直线OM 的方程是3y x =，由22236,,x y y x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩得2x =±，1y =±．取M，则1)N -．所以OMN ∆②当直线MN 的斜率存在时,设直线MN 的方程是y kx m =+,由22,2360y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩得222(32)6360k x kmx m +++-=．因为M ，N 在椭圆C 上，所以2222364(32)(36)0k m k m ∆=-+->，解得22320k m -+>．设11(,)M x y ,22(,)N x y ,则122632kmx x k +=-+，21223632m x x k -=+．MN ===． 设点O 到直线MN 的距离为d，则d =所以OMN ∆的面积为12OMNS d MN ∆=⨯⨯=⋅⋅⋅⋅⋅⋅①． 因为//OM PA ,//ON PB ，直线OM ,ON 的斜率乘积为23-，所以121223y y x x =-．所以2212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m x x x x x x +++++==2222636m k m -=-．由222262363m k m -=--，得22322k m +=．⋅⋅⋅⋅⋅⋅②由①②，得OMNS ∆===．综上所述，2OMN S ∆=． …………………………………13分(2017石景山期末18)18．（本小题共13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，点(2,0)在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点(1,0)P 的直线（不与坐标轴垂直）与椭圆交于A B 、两点，设点B 关于x 轴的对称点为B '．直线B A '与x 轴的交点Q 是否为定点？请说明理由． 解：（Ⅰ）因为点（2,0）在椭圆C 上，所以2a =．又因为c e a ==c =1b ==． 所以椭圆C 的标准方程为：2214x y +=． ……………………5分（Ⅱ）设112222(,),(,),(,),(,0)A x y B x y B x y Q n '-．设直线AB ：(1)(0)y k x k =-≠． ……………………6分联立22(1)440y k x x y =-+-=和，得：2222(14)8440k x k x k +-+-=．所以2122814k x x k +=+，21224414k x x k -=+． ……………8分直线AB '的方程为121112()y y y y x x x x +-=--， ……………9分令0y =，解得112122111212()y x x x y x yn x y y y y -+=-+=++ ………11分又1122(1),(1)y k x y k x =-=-， 所以121212()42x x x x n x x -+==+-．所以直线B A '与x 轴的交点Q 是定点，坐标为(4,0)Q ．………13分 (2017丰台期末)19.（本小题共13分）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，且经过点(12)，A ，过点F 的直线与抛物线C 交于P ，Q 两点.（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）O 为坐标原点，直线OP ，OQ 与直线2px =-分别交于S ，T 两点，试判断FS FT ⋅uu r uu u r 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.解：（Ⅰ）把点(1,2)A 代入抛物线C 的方程22y px =，得42p =，解得2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =. ……………….4分（Ⅱ）因为2p =，所以直线2px =-为1x =-，焦点F 的坐标为(1,0) 设直线PQ 的方程为1x ty =+，211(,)4y P y ，222(,)4y Q y ， 则直线OP 的方程为14y x y =,直线OQ 的方程为24y x y =. ……………….5分 由14,1,y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得14(1,)S y --，同理得24(1,)T y --． ……………….7分 所以14(2,)FS y =--uu r ，24(2,)FT y =--uu u r ，则12164FS FT y y ⋅=+uu r uu u r ． ……………….9分由21,4,x ty y x =+⎧⎨=⎩得2440y ty --=，所以124y y =-， ……………….11分 则164(4)FS FT ⋅=+-uu r uu u r 440=-=．所以，FS FT ⋅uu r uu u r的值是定值，且定值为0. ……………….13分(2017通州期末)19．（本小题满分13分）如图，已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点)23,1(P ，离心率21=e .（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设AB 是经过右焦点F 的任一弦（不经过点P ），直线AB 与直线:4l x =相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，求证：1k ，3k ，2k 成等差数列． 解：（Ⅰ）由点3(1,)2P 在椭圆上得，221914a b+=① 11,22c e a ==又所以②由①②得2221,4,3c a b ===，故椭圆C 的标准方程为22143x y +=……………….4分（Ⅱ）椭圆右焦点坐标F (1,0)，显然直线AB 斜率存在，设,AB k AB 的斜率为则直线的方程为(1)y k x =-③…………….5分代入椭圆方程22143x y +=，整理得2222(43)84(3)0k x k x k +-+-= ……………….6分 设1122(,),(,)A x y B x y ，则有2212122284(3),4343k k x x x x k k -+==++④ ……………….7分在方程③中，令4x =得，(4,3)M k ，从而2121213322,,11y y k k x x --==-- 33312412k k k -==--，……………….9分 又因为B F A 、、共线，则有BF AF k k k ==， 即有k x yx y =-=-112211 所以=+21k k =--+--1231232211x y x y )1111(2311212211-+---+-x x x y x y=2k -121212232()1x x x x x x g +--++⑤ 将④代入⑤得=+21k k 322k g -12134834)3(42348222222-=++-+--+k k k k k k k ，……………….12分又213-=k k ， 所以=+21k k 32k ，即132,,k k k 成等差数列.……………….13分(2017房山期末)19．在平面直角坐标系xOy 中，圆O 的参数方程为（θ为参数），已知圆O 与y 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的负半轴交于点B ，点P 为直线l ：y=4上的动点．直线PA ，PB 与圆O 的另一个交点分别为M ，N ． （Ⅰ）写出圆O 的标准方程；（Ⅱ）若△PAN 与△MAN 的面积相等，求直线PA 的方程； （Ⅲ）求证：直线MN 经过定点． 【解答】（I ）解：由圆O 的参数方程为（θ为参数），利用平方关系可得：x 2+y 2=4．（II ）解：如图所示，A （0，2），B （0，﹣2），设P （t ，4）． 直线PA 方程为：y=x +2，（t ≠0）．联立，化为： +x=0，解得x M =﹣，y M =．可得M ．∵△PAN 与△MAN 的面积相等，∴PA=AM ． ∴0=，解得t=±2．∴直线PA 的方程为：y=±x +2．（III ）证明：直线PB 的方程为：y=x ﹣2．（t ≠0）． 由（II ）同理可得：N．k MN ==．直线MN 的方程为：y ﹣=，令x=0，可得y=1．∴直线MN 经过定点（0，1）．（2017年朝阳一模）(19)（本小题满分14分）已知椭圆222:1(1)x C y a a +=>，离心率63e =．直线:1l x my =+与x 轴交于点A ，与椭圆C 相交于,E F 两点．自点,E F 分别向直线3x =作垂线，垂足分别为11,E F .（Ⅰ）求椭圆C 的方程及焦点坐标；（Ⅱ）记1AEE ∆,11AE F ∆,1AFF ∆的面积分别为1S ,2S ,3S ，试证明1322S S S 为定值. 解：（Ⅰ）由题意可知1b =，又6c a =，即22123a a -=. 解得23a =.即3a =.所以222c a b =-=.所以椭圆C 的方程为2213x y +=，焦点坐标为(2,0)±. …………………4分（Ⅱ）由221,330x my x y =+⎧⎨+-=⎩得22(3)220m y my ++-=，显然m ∈R .设1122(,),(,)E x y F x y ,则12122222,33m y y y y m m --+==++，1112(3,),(3,)E y F y . 因为13112211(3)(3)22S S x y x y =-⋅- 12121(2)(2)4my my y y =--21212121[42()]4m y y m y y y y =-++ 22221222(42)4333m m m m m m ---=-⋅+⋅+++2223(2)(3)m m +=+， 又因为222121[2]2S y y =⨯-21212()4y y y y =+-222248(3)3m m m =+++22=2221224(3)m m +=+. 所以22213222223(2)1(3)12(2)4(3)m S S m m S m ++==++. ………………………………14分(2017年东城一模)（19）（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设,A B 是椭圆C 的左，右顶点，P 为椭圆上异于,A B 的一点，以原点O 为端点分别作与直线AP 和BP平行的射线，交椭圆C 于,M N 两点，求证：△OMN 的面积为定值．解：（Ⅰ）由题意得2222,b c a a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩解得2,a b == 所以椭圆C 的方程为22142x y +=． …………………………5分（Ⅱ）设点00(,)P x y ，11(,)M x y ，22(,)N x y ．①11(,)M x y ，22(,)N x y 在x 轴同侧，不妨设12120,0,0,0x x y y ><>>． 射线OM 的方程为002y y x x =+，射线ON 的方程为002y y x x =-， 所以01102y y x x =+，02202y y x x =-，且2200142x y +=． 过,M N 作x 轴的垂线，垂足分别为'M ，'N ， ΔΔ'Δ'''OMN OMM ONN MM N N S S S S =--四边形 121211221=[()()]2y y x x x y x y +--+ 02011221120011()()2222y x y x x y x y x x x x =-=??-+ 0012121222000441112422y y x x x x x x x y y =⋅=⋅=-⋅--． 由221101101,42,2x y y y x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩得220112()42y x x x +=+， 即220102200004(2)2(2)2x x x x y +==+++， 同理2202x x =-，所以，2222120042x x x y =-=，即120x x =，所以，OMN S ∆=② 11(,)M x y ，22(,)N x y 在x 轴异侧，方法同 ①．综合①②，△OMN ． ………………14分(2017年海淀一模)19.（本小题满分14分）已知椭圆G :2212x y +=，与x 轴不重合的直线l 经过左焦点1F ，且与椭圆G 相交于A ，B 两点，弦AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆G 相交于C ，D 两点． （Ⅰ）若直线l 的斜率为1，求直线OM 的斜率；（Ⅱ）是否存在直线l ，使得2AM CM DM =⋅成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 解：（Ⅰ）由已知可知1(1,0)F -，又直线l 的斜率为1，所以直线l 的方程为1y x =+设A (11,x y )，B (22,x y )，由221,1,2y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1101x y =⎧⎨=⎩，224313x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 所以AB 中点M 21(,)33-，于是直线OM 的斜率为1323=-12-．（Ⅱ）解法1：假设存在直线l ，使得2AM CM DM =⋅成立． 当直线l 的斜率不存在时，AB 的中点(1,0)M -，所以AM =1)1CM DM ⋅==，矛盾； 故可设直线l 的方程为：(1)(0)y k x k =+≠，联立椭圆G 的方程，得：2222(21)42(1)0kx k x k +++-=，设A (11,x y )，B (22,x y )，则212x x +=2于是，1212(1)22y y x x k k ++=⋅+=⋅点M 的坐标为(2222,2121k kk k -++),AB ． 直线CD 的方程为：12y x k=-⋅，联立椭圆G 的方程，得：222421k x k =+，设C (x 0，y 0)，则222200021(1)4OC x y x k=+=+⋅224121k k +=+，由题知，22244(||||)(|||)4(||||)AB CM DM CO OM CM OM CO OM =⋅=+-=-，即：22228(1)(21)k k ⋅++22222241(41)4()21(21)k k k k k ++=-++， 化简，得：212k =，故k =，所以直线l 的方程为：1),1)y x y x =+=+． （II ）解法2：假设存在直线l 使得2AMCM DM =成立由题意直线l 的斜率不与x 轴重合，设直线l 的方程为1x my =-，由22122x my x y =-⎧⎨+=⎩，得22(2)210m y my +--=，设11(,)A x y ，22(,)B x y 则12122221,22m y y y y m m -+==++，2122)2m AB y m +-=+， 212122224()2222m x x m y y m m -+=+-=-=++， 所以AB 中点M 的坐标为222(,)22mm m -++， 所以直线CD 的方程为：2my x =-，由22222m y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，得2242x m =+， 由对称性，设00(,)C x y ，则00(,)D x y --，即20242x m =+2222022(4)(1)(2)M M M m m CM DM x x x x m ++=-+-=+，由||2||AB AM =，2AM CM DM =得，即22222(4)(1)4(2)m m m ++=⨯+⎝⎭， 解得22m =，故m =，所以直线l 的方程为：1,1x x =-=-.(2017年西城一模)19．（本小题满分14分）如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，F 为椭圆C 的右焦点．(,0)A a -， ||3AF =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，P 为椭圆上一点，AP 的中点为M ．直线OM 与直线4x =交于点D ，过O 且平行于AP 的直线与直线4x =交于点E ．求证：ODF OEF ∠=∠．解：（Ⅰ）设椭圆C 的半焦距为c ．依题意，得12c a =，3a c +=． [ 2分] 解得 2a =，1c =．所以 2223b a c =-=，所以椭圆C 的方程是 22143x y +=． [ 4分]（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）得 (2,0)A -．设AP 的中点00(,)M x y ，11(,)P x y ．设直线AP 的方程为：(2)(0)y k x k =+≠，将其代入椭圆方程，整理得2222(43)1616120k x k x k +++-=， [ 6分] 所以 21216243k x k --+=+． [ 7分]所以 202843k x k -=+，0026(2)43k y k x k =+=+，即 22286(,)4343k kM k k -++． [ 8分] 所以直线OM 的斜率是222643843k k k k +=-+[ 9分] 所以直线OM 的方程是 34y x k=-．令4x =，得3(4,)D k -． [10分]直线OE 的方程是 y kx =．令4x =，得(4,4)E k ． [11分] 由(1,0)F ，得直线EF 的斜率是44413k k=-，所以EF OM ⊥，记垂足为H ； 因为直线DF 的斜率是 3141k k-=--，所以DF OE ⊥，记垂足为G ． [13分]在Rt EHO △和Rt DGO △中，ODF ∠和OEF ∠都与EOD ∠互余，所以 ODF OEF ∠=∠． [14分]解法二：由（Ⅰ）得 (2,0)A -．设111(,)(2)P x y x ≠±，其中221134120x y +-=． 因为AP 的中点为M ，所以 112(,)22x y M -． [ 6分] 所以直线OM 的斜率是 112OM y k x =-， [ 7分]所以直线OM 的方程是 112y y x x =-．令4x =，得114(4,)2y D x -． [ 8分] 直线OE 的方程是 112y y x x =+．令4x =，得114(4,)2y E x +． [ 9分] 由(1,0)F ，得直线EF 的斜率是 1143(2)EF y k x =+， [10分]因为 211121114413(2)23(4)EF OMy y y k k x x x ⋅=⋅==-+--， 所以EF OM ⊥，记垂足为H ； [12分] 同理可得 211121114413(2)23(4)DF OEy y y k k x x x ⋅=⋅==--+-， 所以DF OE ⊥，记垂足为G ． [13分] 在Rt EHO △和Rt DGO △中，ODF ∠和OEF ∠都与EOD ∠互余，所以 ODF OEF ∠=∠． [14分](2017年丰台一模)19.（本小题共14分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为，右焦点为F ，点()01，B 在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线交椭圆C 于M ，N 两点，交直线2=x 于点P ，设=PM MF λu u u r u u u r，=PN NF μuuu r uuu r ，求证：λμ+为定值．（Ⅰ）解：因为点(01)B ,在椭圆C ：22221x y a b +=上，所以211b =，即1b =.又因为椭圆C的离心率为，所以c a=， 由222a b c =+，得a所以椭圆C 的方程为2212+=x y . ...………………5分（Ⅱ）证明：由已知得(1,0)F ,直线MN 的斜率存在.设直线MN 的方程为(1)=-y k x ，11(,)M x y ，22(,)N x y ，则(2,)P k . 由λ=u u u u r u u u u rPM MF ，μ=u u u r u u u r PN NF ,得121222,11λμ--==--x x x x ， 所以121212*********()2411()1x x x x x x x x x x x x λμ--+--+=+=---++， .联立221,2(1),y k x x y =-+=⎧⎪⎨⎪⎩得2222(12)4220k x k x k +-+-=. 所以2122412k x x k +=+，21222212k x x k -=+. 因为 221212224223()243241212k k x x x x k k -+--=⨯-⨯-++ 222212444812k k k k -+--=+0=，所以0λμ+=为定值． ...………………14分(2017年石景山一模)19．（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点（0，1．（Ⅰ）求椭圆E 的方程； （Ⅱ）设直线1:2l y x m =+与椭圆E 交于A C 、两点，以AC 为对角线作正方形ABCD ，记直线l 与x 轴的交点为N ，问B 、N 两点间距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由． 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c .因为点（0,1）在椭圆C 上，所以1b =．故221a c -=．又因为2c e a ==，所以c =2a =． 所以椭圆C 的标准方程为：2214x y +=． ……………………5分（Ⅱ） 设1122(,),(,)A x y C x y ，线段AC 中点为00(,)M x y ． 联立 2214402y x m x y =++-=和，得：222220x mx m ++-=． 由222(2)4(22)840m m m ∆=--=->，可得m << 所以122x x m +=-，21222x x m =-． ……………8分 所以AC 中点为1(,)2M m m -． …………9分弦长||AC === ………10分又直线l 与x 轴的交点(2,0)N m -， ………11分所以||MN == ………12分所以2222215||||||||||42BN BM MN AC MN =+=+=． 所以B 、N两点间距离为定值2． ………14分(2017年顺义一模)19.(本小题满分14分)已知椭圆C ：12222=+b y a x )0(>>b a经过点E，离心率为3， O 为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若点P 为椭圆C 上一动点，点(3,0)A 与点P 的垂直平分线交y 轴于点B ，求||OB 的最小值.（Ⅰ）解：离心率为c a =，所以2223c a =，故2213b a =，椭圆C 为2222113x y a a +=把点E 带入得226, 2a b ==，所以椭圆C 的方程为22162x y +=. ……………5分（Ⅱ）解：由题意，直线l 的斜率存在，设点000(,)(0)P x y y ≠，则线段AP 的中点D 的坐标为003(,)22x y +， 且直线AP 的斜率003AP y k x =-，…7分由点(3,0)A 关于直线l 的对称点为P ，得直线l AP ⊥， 故直线l 的斜率为031AP x k y --=，且过点D ，所以直线l 的方程为：000033()22y x x y x y -+-=-， ………9分 令0x =，得2200092x y y y +-=，则220009(0,)2x y B y +-，由2200162x y +=，得220063x y =-， 化简，得20023(0,)2y B y --. …………11分 所以20023||||2y OB y --=003||2||y y =+≥…………13分当且仅当003||2||y y =，即0[y =时等号成立. 所以||OB. ………… 14分（2017年朝阳二模）18．（本小题满分13分）已知椭圆W ：22221x y ab +=(0)a b >>的上下顶点分别为,A B ，且点B (0,1)-．12,F F 分别为椭圆W 的左、右焦点，且12120F BF ∠=o．（Ⅰ）求椭圆W 的标准方程；（Ⅱ）点M 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，过点M 作MN y ⊥轴于N ，E 为线段MN 的中点．直线AE 与直线1y =-交于点C ，G 为线段BC 的中点，O 为坐标原点．求 OEG ∠的大小． 解：(Ⅰ)依题意，得1b =．又12120F BF ∠=︒，在1Rt BFO ∆中，160F BO ∠=︒，所以2a =．所以椭圆W 的标准方程为2214x y +=． …………4分 (Ⅱ)设M 00(,)x y ，00x ≠，则N 0(0,)y ，E 00(,)2x y ．因为点M 在椭圆W 上，所以220014x y +=．即220044x y =-．又A (0,1)，所以直线AE 的方程为002(1)1y y x x --=．令1y =-，得C 00(,1)1xy --．又B (0,1)-，G 为线段BC 的中点，所以G 00(,1)2(1)x y --．所以00(,)2x OE y =u u u r ，0000(,1)22(1)x x GE y y =-+-u u u r ． 因为000000()(1)222(1)x x x OE GE y y y ⋅=-++-u u u r u u u r2220000044(1)x x y y y =-++-20004414(1)y y y -=-+-0011y y =--+0=，所以OE GE ⊥u u u r u u u r．90OEG ∠=︒． ……………………13分(2017年东城二模)（19）（本小题共13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的短轴长为右焦点为(1,0)F ，点M 是椭圆C 上异于左、右顶点,A B 的一点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线AM 与直线2x =交于点N ，线段BN 的中点为E ．证明：点B 关于直线EF 的对称点在直线MF上．解：（Ⅰ）由题意得2221,.b c a b c ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩解得2a =． ……………4分所以椭圆C 的方程为22143x y +=． ………………5分 （Ⅱ）“点B 关于直线EF 的对称点在直线MF 上”等价于“EF 平分MFB Д．……………6分设直线AM 的方程为(2)(0)y k x k =+?，则(2,4),(2,2)N k E k ．……7分设点00(,)M x y ，由22(2),1,43y k x x y ì=+ïíï+=ïî得2222(34)1616120k x k x k +++-=，得2020286,3412.34k x k k y k ì-+ï=ï+íï=ï+î……9分 ① 当MF x ^轴时，01x =，此时12k =?．所以3(1,),(2,2),(2,1)2M N E 北?． 此时，点E 在BFM Ð的角平分线所在的直线1y x =-或1y x =-+， 即EF 平分MFB Ð． ……10分② 当12k 贡时，直线MF 的斜率为0204114MF y k k x k ==--， 所以直线MF 的方程为24(41)40kx k y k +--=． ……11分 所以点E 到直线MF的距离2d =222|2(41)||41|k k k +=+|2|||k BE ==．即点B 关于直线EF 的对称点在直线MF 上． …………………14分(2017年海淀二模)18.（本小题满分14分）已知动点M 到点(1,0)N 和直线l ：1x =-的距离相等. （Ⅰ）求动点M 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）已知不与l 垂直的直线'l 与曲线E 有唯一公共点A ，且与直线l 的交点为P ，以AP 为直径作圆C .判断点N 和圆C 的位置关系，并证明你的结论． 解：（Ⅰ）设动点(,)M x y ，由抛物线定义可知点M 的轨迹E 是以(1,0)N 为焦点，直线l ：1x =-为准线的抛物线， 所以轨迹E 的方程为24y x =. （Ⅱ）法1：由题意可设直线':l x my n =+，由2,4x my n y x=+⎧⎪⎨=⎪⎩可得2440y my n --= （*）， 因为直线'l 与曲线E 有唯一公共点A ， 所以216160m n ∆=+=，即2n m =-. 所以（*）可化简为22440y my m -+=， 所以2(,2)A m m ， 令1x =-得1(1,)nP m+--， 因为2n m =-，所以221(1,2)(2,)22220n NA NP m m m n m+⋅=-⋅--=-+--=u u u r u u u r所以NA NP ⊥，所以点N 在以PA 为直径的圆C 上. 法2：依题意可设直线':,(0)l y kx b k =+≠ ，由2,4y kx b y x=+⎧⎪⎨=⎪⎩可得2222(2)0k x bk x b +-+= （*）， 因为直线'l 与曲线E 有唯一公共点A ，且与直线l 的交点为P ，所以0,0,k ≠⎧⎨∆=⎩即0,1,k bk ≠⎧⎨=⎩所以（*）可化简为222140k x x k -+=， 所以212(,)A kk . 令1x =-得1(1,)P k k--， 因为22212122(1,)(2,)220NA NP k k k k k k-⋅=-⋅--=++-=u u u r u u u r ，所以NA NP ⊥，所以点N 在以PA 为直径的圆C 上.(2017年西城二模)18．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点是原点，以x 轴为对称轴，且经过点(1,2)P ． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）设点,A B 在抛物线C 上，直线,PA PB 分别与y 轴交于点,M N ，||||PM PN =． 求直线AB 的斜率．解：（Ⅰ）依题意，设抛物线C 的方程为2(0)y ax a =≠．[ 1分]由抛物线C 且经过点(1,2)P ， 得4a =，[ 3分]所以抛物线C 的方程为24y x =．[ 4分]（Ⅱ）因为||||PM PN =， 所以PMN PNM ∠=∠，所以 12∠=∠，所以 直线PA 与PB 的倾斜角互补， 所以 0PA PB k k +=．[ 6分]依题意，直线AP 的斜率存在，设直线AP 的方程为：2(1)(0)y k x k -=-≠， 将其代入抛物线C 的方程，整理得22222(22)440k x k k x k k --++-+=．[ 8分]设11(,)A x y ，则 212441k k x k -+⨯=，114(1)22y k x k =-+=-，[10分] 所以22(2)4(,2)k A k k --．[11分]以k -替换点A 坐标中的k ，得22(2)4(,2)k B k k +--．[12分]所以222244()1(2)(2)ABk k k k k k k --==--+-．所以直线AB 的斜率为1-．[14分](2017年丰台二模)19.（本小题共14分）已知椭圆E 的右焦点与抛物线24y x =的焦点重合，点M 3(1)2,在椭圆E 上.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设(40),P -，直线1y kx =+与椭圆E 交于A ,B 两点，若直线P A ,PB 均与圆)0(222>=+r r y x 相切，求k 的值.解：（Ⅰ） 因为抛物线24y x =的焦点坐标为(1,0),所以1c =,..………………1分所以3242a =，..………………3分即2a =.因为222413b a c =-=-=，所以椭圆E 的方程为22143x y +=...………………5分（Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ，因为直线PA , PB 与圆222x y r +=(0)r >相切，所以0AP BP k k +=，..………………7分即1212044y y x x +=++，通分得122112(4)(4)(4)(4)y x y x x x +++=++，所以1221(1)(4)(1)(4)0kx x kx x +++++=，整理，得12122(41)()80kx x k x x ++++=. ①..………………9分联立221431x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，，得22(34)880k x kx ++-=，所以12122288,3434k x x x x k k +=-=-++，..………………11分代入①，得 1k =. ..………………14分(2017年顺义二模)19.（本小题满分13分）已知椭圆:E ()012222>>=+b a b y a x 经过点3(1,)2-，其离心率21=e .（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设动直线m kx y l +=:与椭圆C 相切，切点为T ，且l 与直线4-=x 相交于点S .试问：在x 轴上是否存在一定点，使得以ST 为直径的圆恒过该定点？若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由. 19.解：（Ⅰ）由点3(1,)2-在椭圆上得，221914a b+=-----------------① 依题设知2a c =，则223b c =. ----------------------------------②②代入①解得2221,4,3c a b ===故椭圆E 的标准方程为22143x y +=. ---------------------------------4分（Ⅱ）由⎪⎩⎪⎨⎧=++=13422y x m kx y 消去y ,得 ()0124834222=-+++m kmx x k . -----------------------------------5分 因为动直线l 与椭圆C 相切，即它们有且只有一个公共点T ，可设()00,y x T ，所以0≠m 且0=∆，即()()0124344642222=-+-m k m k ，化简得03422=+-m k ------------③此时，m k k km x 434420-=+-=，m m kx y 300=+=，所以点T 的坐标为43(,)k m m -. 由⎩⎨⎧+=-=mkx y x 4得()m k S +--4,4. -----------------------------------9分假设在x 轴上存在定点满足条件，不妨设为点()0,1x A .则由已知条件知AT AS ⊥,即0=•对满足③式的k m ,恒成立. 因为()m k x AS +---=4,41，⎪⎫ ⎝⎛--=x mkAT 3,41，由0=•得0312********=+-+++m k x x m kx m k 034121=+++x x --------④ 由④式对满足③式的k m ,恒成立，所以⎩⎨⎧=++=+0340441211x x x ，解得11-=x .故在x 轴上存在定点()0,1-，使得以ST 为直径的圆恒过该定点.-----------------13分。
北京高考核心荟萃--解析几何--教师版
北京高考核心荟萃--解析几何2．已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>过点(3,1),(0,2)A B .(Ⅰ) 求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 若过点(4,0)E 的直线与椭圆C 交于点,M N ，直线,MA NA 分别交直线4x =于点,P Q .求证：线段PQ 的中点为定点 .解：(Ⅰ)由题设，得222,911.b a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得2212,4a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩. 所以椭圆C 的方程为：221124x y +=. (Ⅱ)依题意，直线MN 的斜率存在，设其方程为(4)y k x =- .由221124(4)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(31)2448120k x k x k +-+-=. 由248(1)0,k ∆=->得21k <，即11k -<<.设1122(,),(,)M x y N x y ,则22121222244812,3131k k x x x x k k -+==++ . 直线MA 的方程为11111(3)(3)3y y x x x --=-≠-， 令4x =，得点P 的纵坐标11114(3)3P y x y x x +-=≠-.同理可得点Q 的纵坐标22224(3)3Q y x y x x +-=≠-.所以1122124433P Q y x y x y y x x +-+-+=+--21112212(3)[(4)4](3)[(4)4](3)(3)x k x x x k x x x x --+-+--+-=--211212(1)(3)(4)(1)(3)(4)(3)(3)k x x k x x x x +--++--=--211212121212(1)[(3)(4)(3)(4)](3)(3)(1)[27()24].(3)(3)k x x x x x x k x x x x x x +--+--=--+-++=--因为2212122248122427()2427243131k k x x x x k k --++=⨯-⨯+++222241731240,31k k k k --++=⨯=+所以0P Q y y +=. 所以线段PQ 的中点坐标为(4,0)是定点.4．已知曲线W ：221(,3x y m m m +=∈-R 0,m ≠且3m ≠). （Ⅰ）若曲线W 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的取值范围；（Ⅱ）当1m =时，过点(1,0)E 作斜率为k ()0k ≠的直线l 交曲线W 于点,A B （,A B 异于顶点），交直线2x =于P .过点P 作y 轴的垂线,垂足为Q ，直线AQ 交x 轴于C ，直线BQ 交x 轴于D ，求线段CD 中点M 的坐标.解：（Ⅰ）由题意可知30,0,3.m m m m ->⎧⎪>⎨⎪->⎩解得302m <<，所以m 的取值范围为3(0,)2.（Ⅱ）当1m =时，曲线W 为椭圆221,2x y +=由题意，设直线l 的方程为(1)y k x =- ()0k ≠. 2212(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩整理得2222(12)4220.k x k x k +-+-= 设直线l 交椭圆W 于点1122(,),(,)A x y B x y ，则2122412k x x k +=+，21222212k x x k -=+.由直线l 的方程(1)y k x =-，令2,x =解得y k =，所以(2,)P k ，(0,)Q k . 所以直线AQ 的方程为11y ky x k x -=+，10x ≠. 令0,y =解得11kx x k y =-，所以11(,0)kxC k y -.直线BQ 的方程为22y ky x k x -=+，20x ≠. 令0,y =解得22kx x k y =-，所以22(,0)kx D k y -. 11kx k y +-22kx k y -122112[()()]()()k x y k x y k y k y k --+-=--.由于11(2)y k k x -=-，22(2)y k k x -=-. 则11kx k y +-22kx k y -=]1221212[(2)(2)(2)(2)k x k x x k x k x x --+--- 1212122()2(2)(2)x x x x x x +-=--()121212122()224x x x x x x x x +-=-++=22222224222()1222841212k k k k k k k -++--+++=2. 所以线段CD 的中点M 的坐标为(1,0).5．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个顶点为(0,1)P，离心率为2．（I ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点P 作斜率为1k 的直线1l 交椭圆C 于另一点A ，过点P 作斜率为221()k k k ≠的直线2l 交椭圆C 于另一点B ．若121k k =，求证：直线AB 经过定点. 解：（Ⅰ）由题意知2221,,b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩解得a =1b =． 所以椭圆C 的方程为2212x y +=．（Ⅱ）设1122,),()(,y B x A x y ，10x ≠，20x ≠， 则1111y k x -=，2221y k x =-， 若12x x =，则12y y =或12y y =-．当12x x =，12y y =时，12k k =，不合题意， 当12x x =，12y y =-时，12112k k ≠=，不合题意． 所以直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y kx m =+． 由22,220y kx m x y =+⎧⎪⎨+-=⎪⎩得222(12)4220k x kmx m +++-=， 222222164(12)(22)8(21)0k m k m k m ∆=-+-=-+>． 则122412km x x k+=-+，21222212m x x k -=+，且21m ≠． 因为121k k =， 所以2121111y y x x --⋅=，即1212(1)(1)1kx m kx m x x +-+-=， 所以221212(1)(1)()(1)0k x x k m x x m -+-++-=， 所以22222224(1)(1)()(1)01212m km k k m m k k--+--+-=++， 所以(1)(3)0m m ---=， 所以3m =-或1m =（舍）． 所以直线AB 经过定点(0,3)-．6．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的一个焦点为()1,0F ，且过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭．（Ⅰ）求椭圆C 的方程和离心率；（Ⅱ）过点()4,0P 且与x 轴不重合的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，与直线1x =交于点Q ，点M 满足MP x ⊥轴，//MB x 轴，试求直线MA 的斜率与直线MQ 的斜率的比值．解：（Ⅰ）由已知得半焦距1c =，因为椭圆C 过点3(1,)2，由椭圆定义得352422a =+=，所以2a =． 又因为222a b c =+，所以b所以椭圆方程为22143x y +=．离心率e 12c a ==．（Ⅱ）依题可设直线:4l x my =+．由224,1,43x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)24360m y my +++=．令222357640144()144(4)m m m ∆-=-=+>，得2m >或2m <-． 设2121(,),(,)A x y B x y ，21y y ≠， 则1212222436,3434m y y y y m m +=-=++， 所以121223()my y y y =-+．由题得23(4,),(1,)M y Q m-，则22113,43MA MQ y y y m k k x +-=-=．则21212112112123()3()3()333(4)()()MA MQ k y y y y y y k my y y x y my y m m---===---+-+2121121123()3()233()3()22y y y y y y y y y =---==+-．7．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右顶点为()2,0A ，离心率为12．过点(6,0)P 与x 轴不重合的直线l 交椭圆E 于不同的两点,,B C 直线,AB AC 分别交直线6x =于点,M N ．（I ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，求证:90PAN POM ∠∠=︒十．（Ⅰ）由题设，知2222,1,2,a c a abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩解得24a =,23b =.故椭圆E 的方程为22143x y +=． （Ⅱ）由题设知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(6)(0)y k x k =-≠. 由22(6),1,43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得2222(43)48144120+-+-=k x k x k .由2222(48)4(43)(14412)0k k k ∆=--+->及0k ≠，解得k的取值范围为6((0,)8. 设1122(,),(,)B x y C x y ，则21224843k x x k +=+，21221441243-=+k x x k .直线11:(2)2y AB y x x =--，令6x =，得1142y y x =-，点114(6,)2y M x -. 同理，点224(6,)2y N x -. 由题设知，114||2tan 4y x PAN -∠=,226tan 4||2PMO y x ∠=-. 因为2121212124416(6)(6)22(2)(2)y y k x x x x x x --⋅=----21212121216[6()36]2()4k x x x x x x x x -++=-++ 222222222144124816(636)43431441248244343k k k k k k k k k -⋅-⨯+++=--⨯+++24=， 所以tan tan PAN PMO ∠=∠，且1142y x -与2242y x -同号. 依题意，得PAN PMO ∠=∠，且点,M N 位于x 轴同侧. 因为90PMO POM ∠+∠=︒,所以90PAN POM ∠+∠=︒.（Ⅰ）由题设，得2222.⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩c a c a b c 解得21a b ==，.所以椭圆C 的方程为2214x y +=．（Ⅱ）存在直线1x =符合题意. 直线l 的方程为(4)y k x =-.由22(4),14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(41)32(644)0k x k x k +-+-=. 由2222(32)4(41)(644)0k k k ∆=--+->得k << 设112212(,),(,)()A x y B x y x x <，则21223241k x x k +=+，212264441k x x k -=+.设直线x t =与直线l 交于点(,)Q Q t y ， 因为||||||||PA QA PB QB =，所以11224||||4x x t x t x --=--. 由题设，知122x -≤≤，222x -≤≤，12x t x ≤≤. 所以12404->-x x ，120->-x t t x . 所以112244x x tx t x --=--. 整理，得12128(4)()20-+⋅++=t t x x x x所以2222322(644)8(4)04141k k t t k k --+⋅+=++.解得1t =. 所以存在直线1x =符合题意.9．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>，,A B 分别为椭圆E 的上、下顶点，且2AB =.（Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆E 交于,M N （不与点,A B 重合）两点，若直线AM 与直线AN 的斜率之和为2，判断直线l 是否经过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由.，可得23=a c因为,A B 为椭圆的上、下顶点，且2AB =，所以22=b 即1=b ,又222c b a +=， 解得 2=a所以 椭圆E 的标准方程为2214x y +=（Ⅱ） 直线l 经过定点），（11-- ，证明如下： ①当直线l 的斜率存在时，设，(1±≠t )， 由2214y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得， 则 222(8)4(14)(44)0kt k t ∆=-+-> 设1122(,),(,)M x y N x y则，， 则2121212211))(1(211x x x x t x kx x y x y k k AN AM +-+=-+-=+2)1)(1(4)1(8=-+-=t t t k所以1-=k t所以直线的方程为1-+=k kx y ，即11-+=）（x k y 所以 直线l 经过定点），（11--．②当直线l 的斜率不存在时，设，),(M y m M ，),(M y m N -，则211=--+-=+my m y k k M M AN AM ，解得1-=m ， 此时直线l 也经过定点），（11--:l y kx t =+222(14)8440k x ktx t +++-=122814ktx x k -+=+21224414t x x k -=+l :l x m =综上 直线l 经过定点），（11--．10．已知椭圆C，长轴的两个端点分别为()()2,0,2,0A B -． （Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅱ）过点()1,0的直线与椭圆C 交于,M N （不与,A B 重合）两点，直线AM 与直线4x =交于点Q ． 求证：MBNMBQ BN S S BQ=△△． （Ⅰ）由长轴的两个端点分别为 A (－2, 0), B (2,0),可得 a ＝2，可得c a =c =又a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝1所以椭圆C 的标准方程为2214x y += （Ⅱ）方法 1：当直线l 斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1，易得(1,(1,22M N -所以AM k =，直线AM所在的方程为2).y x =+求得QBN QB k k ==所以，N ,B ,Q 三点共线，所以MBNMBQ BN S S BQ∆∆= 当直线 l 斜率存在时，设直线 l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠由22(1)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0 设M (x 1 , y 1), N (x 2 , y 2)，则2122814k x x k +=+，21224414k x x k-⋅=+ 112AM y k x =+，直线AM 的方程为11(2)2y y x x =++，所以116(4,)2y Q x +所以11221112216600223,224222NB BQy y y y x x y k k x x x --++=====---+ 212122213(1)3(1)2222NB BQ y y k x k x k k x x x x ---=-=--+-+ 211221(1)(2)3(1)(1)(2)(2)k x x k x x x x -+---=-+121221[258](2)(2)k x x x x x x -++-=-+222221(44825814140.(2)(2)k k k k k x x ⎡⎤--+-⎢⎥++⎣⎦==-+ 所以，N ,B ,Q 三点共线，所以MBNMBQ BN S S BQ∆∆=方法2：设直线l 的方程为x ＝my ＋1,由221,14x mx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得(m 2＋4)y 2＋2my －3＝0． 设M (x 1, y 1), N (x 2 , y 2)， 则12122223,44m y y y y m m -+=-⋅=++. 112AM y k x =-+，直线AM 的方程为11(2)2y y x x =++.所以116(4,)2y Q x +. 所以11221112216600223,224222NB BQy y y y x x y k k x x x --++=====---+ 21211221213(3)3(1)22(2)(2)NB BQ y y y my y my k k x x x x +---=-=-+-+ 12122123()0(2)(2)my y y y x x -++==-+.11．已知椭圆2222:1x y C a b+=(a >0)b >过点1)（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆C 的右顶点为A ，过点(40)D ,的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N （均异于点A ），直线AM ，AN 分别与直线4x =交于点P ，Q . 求证：DP DQ ⋅为定值.解：（Ⅰ）由题意得22222211c a a b c ab ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩,，解得24a =，22b =.所以椭圆的方程是22142x y +=.（Ⅱ）由题意知，直线l 的斜率存在.设直线l 的方程为(4)y k x =-（0k ≠），11()M x y ,，22()N x y ,，由22(4)142y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(21)163240k x k x k +-+-=.则21221621k x x k +=+，212232421k x x k -=+. 依题意2222(16)4(21)(324)0k k k ∆=--+->，解得6(0)(0)6k ∈,. 因为点A 的坐标为(20),，所以直线AM 的方程为11(2)2y y x x =--. 令4x =，得点P 的纵坐标为111122(4)22y k x y x x -==--， 所以114||2||2x DP k x -=-. 同理，可得224||2||2x DQ k x -=-. 于是21212(4)(4)||||4(2)(2)x x DP DQ k x x --⋅=--2121212124()1642()4x x x x k x x x x -++=-++222222222324164162121432416242121k k k k k k k k k --⨯+++=--⨯+++22222223246416(21)4324324(21)k k k k k k k --++=--++221248k k=⨯6=. 所以||||DP DQ ⋅为定值6.C12．已知椭圆22:13x C y +=，过点(1,0)-的直线l 交椭圆C 于点,A B ．（Ⅰ）当直线l 与x 轴垂直时，求||AB ；（Ⅱ）在x 轴上是否存在定点P ，使PA PB ⋅为定值？若存在，求点P 的坐标及PA PB ⋅的值；若不存在，说明理由．解：（Ⅰ）当直线l 斜率不存在时，其方程为 1x =-.由221,31x y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得1,x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩或1,x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩所以||AB = （Ⅱ）假设存在(,0)P m ，使PA PB ⋅为定值.① 当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为：(1)y k x =+，1122(,),(,),A x y B x y由 2233,(1)x y y k x ⎧+=⎨=+⎩得2222(13)6330k x k x k +++-=.则22121222633,1313k k x x x x k k-+=-=++. 所以1122(,)(,)PA PB x m y x m y ⋅=-⋅-12122212121222221212121222221212()()()(1)(1)()()()()(1)x m x m y y x x m x x m k x x x x m x x m k x x k x x k k m x x k x x k m =--+=-+++++=-++++++=-+++++22222222222222()(6)(1)(33)()(13)131313(361)3.13k m k k k k m k k k k m m k m k --+-++=++++++++-=+若PA PB ⋅为常数，只需22361331m m m ++-=，解得53m =-，此时29PA PB ⋅=-.所以存在点5(,0)3P -，使PA PB ⋅为定值29-.② 当直线l 与x轴垂直时，不妨设((1,A B -- 当点P 坐标为5(,0)3P -时，55462(1(1,33999PA PB ⋅=-+⋅-+=-=-.综上，存在点5(,0)3P -，使PA PB ⋅为定值29-.13．已知椭圆2222:1x y C a b +=（）的左、右顶点分别为，，且||4AB =．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设是椭圆上不同于，的一点，直线，与直线分别交于点M N ，.若||4MN ≤，求点横坐标的取值范围．解：（Ⅰ）由题意得22224a ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，, 解得24a =，21b =.所以椭圆的方程是2214x y +=.（Ⅱ）设()P m n ,（22m -<<）， 由已知得(20)A -,，(20)B ,，所以直线AP ，BP 的方程分别为(2)2n y x m =++，(2)2ny x m =--. 令，得点M 的纵坐标为62M n y m =+，点N 的纵坐标为22N ny m =-，所以62||22n nMN m m =-+-.因为点P 在椭圆C 上，所以2214m n +=，所以2244m n -=-，即4||m MN n-=. 因为4MN ||≤，所以44m n-≤，即22(4)16m n -≤. 所以22(4)4(4)m m ---≤.整理得2580m m -≤，解得805m ≤≤.所以点P 横坐标的取值范围是8[0]5，.0a b >>A B C P C A B PA PB 4x =P C 4x =24(4)4n m m -=-14．已知点(0,1)A -在椭圆C ：22213x y b +=上.（Ⅰ）求椭圆C 的方程和离心率；（Ⅱ）设直线:(1)l y k x =-（其中1k ≠）与椭圆C 交于不同两点,E F ，直线AE ，AF 分别交直线3x =于点M ,N . 当AMN ∆的面积为k 的值.解：（Ⅰ）因为点(0,1)A -在椭圆C ：22213x y b +=上，所以将点(0,1)A -代入椭圆方程，可得20113b+=，所以21b =.所以椭圆C 的方程为2213x y +=.因为222312c a b =-=-=，所以椭圆C=. （Ⅱ）由22(1)13y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得 2222(31)63(1)0k x k x k +-+-=. 42223612(31)(1)24120k k k k ∆=-+-=+>恒成立， 设11(,)E x y ，22(,)F x y ，则2122631k x x k +=+，21223(1)31k x x k -=+. 直线AE 的方程为1111y y x x +=-， 令3x =，得点M 的纵坐标为113(1)1M y y x +=-， 同理可得点N 的纵坐标为223(1)1N y y x +=-， 所以1212113M N y y MN y y x x ++=-=-211212(1)(1)3x y x y x x +-+= 211231k x x x x --=因为AMN ∆的面积13(30)22AMN S MN MN ∆=⨯-==所以MN =1=，化简得220k k -=，解得0k =或2k =.所以k 的值为0或2.15．椭圆:M 22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为(2,0)A -.（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）已知经过点的直线l 交椭圆M 于,B C 两点，D 是直线4x =-上一点. 若四边形ABCD 为平行四边形，求直线l 的方程.解：（Ⅰ）由题意得2222,,a c e a b a c =⎧⎪⎪==⎨⎪⎪=-⎩解得21b =.所以椭圆M 的方程为 2214x y +=.（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，四边形ABCD 不可能为平行四边形 当直线l的斜率存在时，设:l y kx =，由2244y kx x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩得()221410k x ++-=.()()()22241441610k k ∆=++=+>.设()()1122,,,B x y C x y ，则12,214x x k=+所以12x x -=.由四边形ABCD 为平行四边形可得AD BC =，所以12A D x x x x -=-，即2=，解得2102k =或，所以0k=或k =.所以，直线l 的方程为y =或y+或y =+．16．已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的下顶点A和右顶点B都在直线11:(2)2l y x=-上．（Ⅰ）求椭圆方程及其离心率；（Ⅱ）不经过点B的直线2:l y kx m=+交椭圆C于两点,P Q，过点P作x轴的垂线交1l于点D，点P关于点D 的对称点为E．若,,E B Q三点共线，求证：直线2l经过定点．17．已知椭圆C ：22221x y a b += (0)a b >>(2,0)A ．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）直线:l y kx m =+与椭圆C 分别相交于,M N 两点，且AM AN ⊥，点A 不在直线l 上， （i ）试证明直线l 过一定点，并求出此定点；（ii ）从点A 作AD MN ⊥垂足为D ，点8(,2)5B ，写出||BD 的最小值（结论不要求证明）．解：（Ⅰ）c a =，2a =，得1b =，C 的方程：2214x y +=（Ⅱ）（i ）设11(,)M x y ，22(,)N x y 22222(41)844014y kx mk x kmx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩， 由韦达定理得：122841kmx x k -+=+，21224441m x x k -=+11(2,)AM x y =-，22(2,)AN x y =-，由AM AN ⊥，AM ∙AN =0 得：2222(1)(44)(2)(8)(4)(41)0k m km km m k +-+--+++=， 整理得：22121650k km m ++= (65)(2)0k m k m ++= 20k m +≠，65k m =-，直线6:()5l y kx m k x =+=-， 恒过定点6(,0)5Q ．（ii ）||BD 的最小值为85．18．已知椭圆22221x y C a b +=：()0>>b a 上一点P 到两个焦点的距离之和为4，离心率为21.（I ）求椭圆C 的方程；（II ）设椭圆C 的左右顶点分别为B A 、，当P 不与B A 、重合时，直线BP AP ，分别交直线4=x 于点N M 、， 证明：以MN 为直径的圆过右焦点F .解：（I ）由题干可得212==a c ,a ，所以3222=-=c a b ，即椭圆C 的方程13422=+y x . （II ）解法一：设()()()210044y ,N ,y ,M ,y ,x P因为直线AP 交直线4=x 于点M ，所以62010+=x y y ，则26001+=x y y 同理22020x y y -=，则22002-=x y y由于N M 、异于x 轴两侧，因此21y y 、异号.所以()()()()221299330022121-++=+=⋅=⋅x x y y y y ,y ,NF MF又因为12432020=+y x ，所以041292020=-+=⋅x yNF MF即 NF MF ⊥，以MN 为直径的圆过右焦点F .解法二：设直线AP 方程()()02≠+=k x k y ，()()()210044y ,N ,y ,M ,y ,x P()⎩⎨⎧+==+2124322x k y y x ，()0121616432222=-+++k x k x k 得 2204312162k k x +-=-，即2022*********k ky k k x +=+-=，因为直线AP 交直线4=x 于点M ，即()k ,M 64. 因为直线BP 交直线4=x 于点N ，则由三点共线，得k x y y 2322002-=-=，即⎪⎭⎫ ⎝⎛-k ,N 234所以()()09332121=+=⋅=⋅y y y ,y ,NF MF 即 NF MF ⊥，以MN 为直径的圆过右焦点F .19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，O为坐标原点，右焦点坐标为0)F ，椭圆C（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）椭圆C 在y 轴上的两个顶点为A B ，，点P 满足0AP BP ⋅=，直线PF 交椭圆于M N ，两点，且||MN =求此时OPF ∠的大小．解：（Ⅰ）因为右焦点为0)F，所以c =因为离心率c e a ==a 222321b ac =-=-=， 所以椭圆C 的方程为2213x y +=．（Ⅱ）当直线PF 垂直于x轴时，||MN =． 当直线PF 不垂直于x 轴时，设直线PF的方程为(y k x =，由22(13y k x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，，整理得2222(13)630k x x k +-+-=，设1122()()M x y N x y ，，，，由题意0∆>恒成立，所以12x x +=，21226313k x x k -=+，12|||MN x x =-=，解得1k =±， 所以直线PF的方程为(y x =±．因为A B ，为椭圆C 在y 轴上的两个顶点，不妨设(01)(01)A B -，，，， 因为0AP BP ⋅=，设()P m n ，，所以(1)(1)0m n m n -⋅+=，，，即221m n +=，即点P 在以原点为圆心，半径为1的圆上． 法一： 因为原点到直线PF的距离1d =，所以直线PF 与圆221m n +=相切，所以90OPF ∠=．法二：联立221n m m n ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即P，或221n m m n ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，解得m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即P ，因为0OP PF ⋅=，所以90OPF ∠=．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴长等于12e =．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过右焦点F 作斜率为k 的直线l ，与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点P ，判断PF AB是否为定值，请说明理由．解：（Ⅰ）由题意可得2=b，所以b 又12c e a ==，由222=+a b c 得2=1，=a c ， 所以椭圆C 的方程为22143+=x y ． （Ⅱ）PF AB为定值．证明：由题意可知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(1)=-y k x ， 联立22143(1)，，⎧+=⎪⎨⎪=-⎩x y y k x 得2222(3484(3))0+-+-=k x k x k ， 设11()，A x y ，22()，B x y ，则2122834+=+k x x k ，21224(3)34-=+k x x k， 设AB 的中点为00()，Q x y ，则212024234+==+x x k x k ，0023(1)34-=-=+k y k x k ． 当0≠k 时，线段AB 的垂直平分线的方程为222314()3434--=--++k k y x k k k ， 令0=y ，得2234=+k x k，即22(0)34，+k P k ， 所以22223(1|||1|3434)+=-=++k k PF k k ．12|-=AB x x=2212(1)34+=+k k ． 所以22223(113412(1)3)44++==++k k k k PF AB ． 当0=k 时，直线l 的方程为0=y ， 此时，||24==AB a ，||1==PF c ，14=PF AB． 综上PF AB为定值14．解：（Ⅰ）根据题意可得2221b c e a a b c =⎧⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎩，解得24a =，21b =，所以椭圆W 的方程为2214x y +=．（Ⅱ）证明：设(4,)B m ，则1(4,)B m -， 直线AB 的方程为114m y x ++=，即114m y x +=-， 联立2214114x y m y x ⎧+=⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，得22[4(1)]8(1)0m x m x ++-+=，所以228(1)8(1)04(1)4(1)C m m x m m -+++=-=++++，所以28(1)4(1)C m x m +=++，22(1)44(1)C m y m +-=++，用m -代替m ，得28(1)4(1)D m x m -+=+-+，22(1)44(1)D m y m -+-=+-+， 所以222222222222(1)4(1)4[(1)4][4(1)][4(1)][(1)4]4(1)4(1)8(1)8(1)8(1)[4(1)]8(1)[4(1)]4(1)4(1)CDm m m m m m m m k m m m m m m m m +--+--+-+-+-++-+-+++-+==+-+++-+--+++-+++-+ 3232216483m m m m ==++， 所以直线CD 的方程为2222(1)428(1)()4(1)34(1)m m y x m m m +-+-=-+++++，22222228(1)(1)4334(1)4(1)m m y x m m m m ++-=-⋅+++++++， 432432221025328615m m m y x m m m m m +--=++++++222222(5)(25)3(3)(25)m m m y x m m m m -++=+++++ 2222533m y x m m -=+++ 222222382813333m y x x m m m m +-=+=-+++++， 所以221(4)3y x m -=-+，所以直线CD 过定点(4,1)．21．已知椭圆2222:1x y M a b+=的焦点为(2,0)F（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线l 与椭圆M 交于,A B 两点，BC x ⊥轴于点C ，AD x ⊥轴于点D ，直线BD 交直线4x =于点E ，求ECD △与EAB △的面积之比. 解：（Ⅰ）由题设，ab=222a b =. 又因为2c =，222a b c =+，所以2224b b =+. 解得 24b =，28a =. 所以椭圆M 的方程为22184x y +=.（Ⅱ）由题意可知，直线l 斜率存在，设直线l 的方程为(2)y k x =-. 由22(2),28y k x x y =-⎧⎨+=⎩ 得2222(12)8(88)0k x k x k +-+-=. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2122812k x x k +=+，21228812k x x k -=+.因为AD x ⊥轴，所以1(,0)D x . 直线BD 方程为2121()y y x x x x =--，所以2121(4)4,y x E x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭. 因为BC x ⊥轴，所以2(,0)C x . 因为112AC y k x x =-，21212(4)()(4)EC y x k x x x -=--. 所以21121212(4)()(4)EC AC y x y k k x x x x x --=----2112212(4)(4)()(4)y x y x x x x -+-=--2112212(2)(4)(2)(4)()(4)k x x k x x x x x --+--=--1212212[6()216]()(4)kx x x x x x x =⋅+----222221222488[8]()(4)1212k k k x x x k k -=⋅----++ 2222212163112()(4)12k k k k x x x k -+--=⋅--+0=. 所以,,C A E 三点共线.因为//BC AD ，所以ACD ABD S S =△△， 所以ECD EAB S S =△△， 所以:1:1ECD EAB S S =△△.22．已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的左顶点为()2,0A-，圆22:1O x y+=经过椭圆C的上、下顶点．（I）求椭圆C的方程和焦距：（Ⅱ）已知,P Q分别是椭圆C和圆O上的动点（,P Q不在坐标轴上），且直线PQ与x轴平行，线段AP的垂直平分线与y轴交于点M，圆O在点Q处的切线与y轴交于点N．求线段MN长度的最小值．解：（Ⅰ）由题设，c e a ==，2a =，1b =， 所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（Ⅱ）由221,4x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得 222(41)8440k x kmx m +++-=，由222(8)4(41)(44)0km k m ∆=-+->，得22410k m -+>. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122841kmx x k +=-+，212122282()224141k m my y k x x m m k k +=++=-+=++. 所以点M 的横坐标1224241M x x kmx k +==-+， 纵坐标122241M y y m y k +==+. 所以直线MN 的方程为22144141m km y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭. 令0x =，则点N 的纵坐标2341N m y k =-+所以 230,41m N k ⎛⎫- ⎪+⎝⎭.因为(0,)P m ，所以点N 、点P 在原点两侧.因为2MOP MNP ∠=∠，所以MNO OMN ∠=∠，所以OM ON =. 又因为22222222224164141(41)km m k m m OMk k k +⎛⎫⎛⎫=-+=⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭， 2222223941(41)m m ONk k ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭， 所以22222222169(41)(41)k m m m k k +=++，解得21619k +=，所以k =。
北京高考数学解析几何大题答案2019-2019
北京高考数学解析几何大题答案2019-2019（2019北京文）（20）（共14分）解：（I ）W 1={(x , y )| kx 0}，（II ）直线l 1：k x －y ＝0，直线l 2：k x ＋y ＝0，由题意得|k 2x 2-y 2|22=d， =d , 即2k +1 由P (x , y ) ∈W ，知k 2x 2－y 2>0，k 2x 2-y 2=d 2，即k 2x 2-y 2-(k 2+1) d 2=0, 所以 2k +1所以动点P 的轨迹C 的方程为k 2x 2-y 2-(k 2+1) d 2=0；（III ）当直线l 与x 轴垂直时，可设直线l 的方程为x ＝a （a ≠0）．由于直线l ，曲线C 关于x 轴对称，且l 1与l 2关于x 轴对称，于是M 1M 2，M 3M 4的中点坐标都为（a ，0），所以△OM 1M 2，△OM 3M 4的重心坐标都为（2a ，0），即它们的重心重合， 3当直线l 1与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y =mx +n （n ≠0）．⎧k 2x 2-y 2-(k 2+1) d 2=0 由⎨，得(k 2-m 2) x 2-2mnx -n 2-k 2d 2-d 2=0y =mx +n ⎩由直线l 与曲线C 有两个不同交点，可知k 2－m 2≠0且△=(2mn ) +4(k -m ) ⨯(n +k d +d ) >0 设M 1，M 2的坐标分别为(x 1, y 1) ，(x 2, y 2) ，则x 1+x 2=22222222mn, y 1+y 2=m (x 1+x 2) +2n ,k 2-m 2设M 3，M 4的坐标分别为(x 3, y 3) ，(x 4, y 4) ，由⎨⎧y =kx⎧y =-kx n -n, x 4=得x 3= 及⎨k -m k +m ⎩y =mx +n ⎩y =mx +n2mn=x 1+x 2，k 2-m 2从而x 3+x 4=所以y 3+y 4=m (x 3+x 4)+2n ＝m (x 1+x 2)+2n ＝y 1+y 2, 于是△OM 1M 2的重心与△OM 3M 4的重心也重合．（2019北京理）（2019北京文）(19)(共14分) 解法一：(Ⅰ) 因为点P 在椭圆C 上，所以2a =PF 1+PF 2=6，a=3. 在Rt △PF 1F 2中，F 1F 2=从而b 2=a －c 2=4,2PF 2-PF 122=2, 故椭圆的半焦距c =,x 2y 2+ 所以椭圆C 的方程为＝1. 94(Ⅱ) 设A ，B 的坐标分别为（x 1, y 1）、（x 2, y 2）.已知圆的方程为（x +2）2+(y －1) 2=5,所以圆心M 的坐标为（－2，1）. 从而可设直线l 的方程为 y =k (x +2)+1,代入椭圆C 的方程得（4+9k 2）x 2+(36k 2+18k ) x +36k 2+36k －27=0. 因为A ，B 关于点M 对称.x 1+x 218k 2+9k=-=-2. 所以224+9k解得k =8， 98(x +2) +1, 9所以直线l 的方程为y =即8x -9y +25=0.(经检验，所求直线方程符合题意) 解法二：(Ⅰ) 同解法一.(Ⅱ) 已知圆的方程为（x +2）2+(y －1) 2=5,所以圆心M 的坐标为（－2，1）. 设A ，B 的坐标分别为（x 1, y 1）,(x 2, y 2). 由题意x 1≠x 2且x y1+1=1,94x y2+2=1,94由①－②得2222①②(x 1-x 2)(x 1+x 2) (y 1-y 2)(y 1+y 2) +=0.94③因为A 、B 关于点M 对称，所以x 1+ x2=－4, y1+ y2=2, 代入③得 y 1-y 28＝， 9x 1-x 28， 9即直线l 的斜率为所以直线l 的方程为y －1＝8（x+2）， 9即8x －9y +25=0.(经检验，所求直线方程符合题意.)（2019北京理）（19）（共14分）解法一：（Ⅰ）由PM -PN =22知动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，实半轴长a =2又半焦距c=2，故虚半轴长b =c 2-a 2=2x 2y 2-=1, x ≥2 所以W 的方程为22（Ⅱ）设A ，B 的坐标分别为（x 1, y 1），（x 2, y 2）2当AB ⊥x 轴时, x 1=x 2, y 1=-y 2, 从而, =x 1x 2+y 1y 2=x 1-y 12=2当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y=kx+m，与W 的方程联立，消去y 得： (1-k )x22-2kmx -m 2-2=02km m 2+2, x 1x 2=2故x 1+x 2= 1-k 2k -1所以⋅=x 1x 2+y 1y 2()=(1+k )(m2=x 1x 2+(kx 1+m )(kx 2+m )=1+k 2x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 22+2k 2-11-k 22k 2+24=2=2+2k -1k -1)+2k m22+m 2又因为x 1x 2>0, 所以k 2-1>0, 从而0A ⋅0B >2 综上，当AB ⊥x 轴时, ⋅取得最小值2。
2020年高三总复习数学人教旧版(北京专用)[第8讲 解析几何(二)]讲义(教师版)
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（Ⅱ）设点 P（x0，y0），求出直线 AP 的方程为
．求解 M，N 的坐标，表示
出三角形的面积，利用基本不等式求解面积的最小值即可． 本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．
例 2. （2015•西城区二模）设 F1，F2 分别为椭圆 E：
=1（a＞b＞0）的左、
（x﹣c），
当 x=0 时，y=﹣
，即 Q（0，﹣
），
F1Q 的斜率为
=
，
以 PQ 为直径的圆经过点 F1，
即有 F1P⊥F1Q，即有
•
=
•
=﹣1，
化简可得 y02=x02﹣（2a2﹣4）①
又 P 为 E 上一点，在第一象限内，则 +
=1，x0＞0，y0＞0，②
由①②解得 x0= a2，y0=2﹣ a2，
a2 b2 ．
(2)
x2 b2
y2 a2
1,(a
b
0)
，焦点
F1(0, c), F2 (0,c)
，其中 c
a2 b2
2.双曲线的标准方程
(1)
x2 a2
y2 b2
1,(a
0, b
0) ，焦点
F1(c,0), F2 (c,0)
，其中 c
a2 b2 ．
(2)
x2 b2
y2 a2
1,(a
0,b
，右顶点为 A ，离心率为 1 2
.已
知 A 是抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点， F 到抛物线的准线 l 的距离为 1 . 2
（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；
（II）设 l 上两点 P ， Q 关于 x 轴对称，直线 AP 与椭圆相交于点 B （ B 异于点 A ），直
北京市高考数学分类汇编：解析几何(教师版)
x2 a2
y2 b2
1 的离心率为
3 ，则其渐近线方程为 B
（A） y 2x
（B） y 2 x
（C） y 1 x 2
（D） y 2 x 2
（2013 理）（7）直线 l 过抛物线 C : x2 4 y 的焦点且与 y 轴垂直，则 l 与 C 所围成的图形的面
积等于 C
（A） 4 3
北京市高考数学分类汇编：解析几何
（2012 理）（12）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 过抛物线 y2 4x 的焦点 F ，且与该抛物线相交
于 A ， B 两点，其中点 A 在 x 轴上方．若直线 l 的倾斜角为 60 则 △OAF 的面积为
3
．
（2012 文）（ 9） 直线 y x 被圆 x2 ( y 2)2 4 截得的弦长为 2 2
k x2 2 k x1 6
x2
3x1
4 k 2(x1 x2 )
3
x1 x2
4 3
k
2
16k
1 2k2 24
0．
1 2k2
即 kAN kAG ．
（2013 文）（19）（本小题共14 分）
直线 y k x m （ m 0 ）与椭圆W : x2 y 2 1 相交于 A , C 两点， O 是坐标原点． 4
已知曲线 C : (5 m ) x 2 (m 2) y 2 8 （ m R ）．
（Ⅰ）若曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆，求 m 的取值范围； （Ⅱ）设 m 4 ，曲线 C 与 y 轴的交点为 A, B （点 A 位于点 B 的上方），直线 y k x 4 与曲线
C 交于不同的两点 M，N ，直线 y 1 与直线 BM 交于点 G ．求证： A，G，N 三点共线．
北京市高考数学核心板块解析几何、立体几何篇第4讲圆锥曲线综合学案(PDF)
圆锥曲线综合第 1页圆锥曲线综合一、轨迹与方程问题二、定性与定值问题三、范围与最值问题四、探索与存在性问题例1、（轨迹方程问题）设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60o，2AF FB =JJJ G JJJ G . (1)求椭圆C 的离心率；(2)如果|AB |=154，求椭圆C 的方程.~ 第 2页 ~例2、（探索性问题）已知动圆过定点P （1，0），且与定直线l ：x ＝－1相切，点C 在l 上．（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹M 的方程；（Ⅱ）设过点P ，且斜率为3−的直线与曲线M 相交于A ，B 两点．（ⅰ）问：△ABC 能否为正三角形？若能，求点C 的坐标；若不能，说明理由；（ⅱ）当△ABC 为钝角三角形时，求这种点C 的纵坐标的取值范围．例3、设不等式组 00x y x y +>⎧⎨−<⎩， 表示的平面区域为D . 区域D 内的动点P 到直线0x y +=和直线0x y −=的距离之积为2. 记点P 的轨迹为曲线C ，若过点F ，斜率是k 的直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，若以线段AB 为直径的圆与y 轴相切，求直线l 的斜率k 的值。
第 3页例4、（方程与定性问题）设,A B 分别为椭圆22221(,0)x y a b a b+=>的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且4x =为它的右准线。
（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设P 为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线,AP BP 分别与椭圆相交于异于,A B 的点M N 、，证明点B 在以MN 为直径的圆内。
例5、（轨迹与最值问题）已知点M (－2,0),N (2,0),动点P 满足条件|PM |－|PN. 记动点P 的轨迹为W .(Ⅰ)求W 的方程;(Ⅱ)若A ,B 是W 上的不同两点,O 是坐标原点,求·OA OB JJJ G JJJ G 的最小值.。
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【解析分类汇编：北京高考数学理】8：解析几何（2012理）（12）在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线24y x=的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点，其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60︒则OAF△的面积为（2012文）（9）直线y x=被圆22(2)4x y+-=截得的弦长为（2013文）（7）双曲线221yxm-=的充分必要条件是C（A）12m>（B）1m≥（C）1m>（D）2m>（2013文）（ 9 ）若抛物线22y px=的焦点坐标为(1,0)，则p= 2 ；准线方程为1x=-．（2013理）（6）若双曲线22221x ya b-= B（A）2yx=±（B）y=（C）12y x=±（D）2y x=（2013理）（7）直线l过抛物线2:4C x y=的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于C（A）43（B）2数学（理）（北京卷）第1 页（共25 页）数学（理）（北京卷） 第 2 页（共 25 页）（C ）83（D）3（2014文）（7）已知圆22:(3)(4)1C x y -+-=和两点(,0),(,0)A m B m - (0m >)．若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=°，则m 的最大值为B （A ）7 （B ）6 （C ）5（D ）4（2014文）（10）设双曲线C的两个焦点为(0),0)，一个顶点是(1,0)，则C 的方程为 221x y -= ．（2014理）（11）设双曲线C 经过点(2,2)，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为 221312x y -= ；渐近线方程为 2y x =± ．（2015文）（2）圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是D（A ）22(1)(1)1x y -+-= （B ）22(1)(1)1x y +++= （C ）22(1)(1)2x y +++=（D ）22(1)(1)2x y -+-=（2015文）（12）已知(2,0)是双曲线2221(0)y x b b -=>的一个焦点，则b =．（2015理）（10）已知双曲线2221x y a-=(0)a >的一条渐近线为0y +=，则a =____．数学（理）（北京卷） 第 3 页（共 25 页）（2012文）（19）（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个顶点为(2,0)A．直线(1)y k x =-与椭圆C 交于不同的两点M N ，． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）当AMN △时，求k 的值． 解：（Ⅰ）由题意得2222,,a ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩解得b =．所以椭圆C 的方程为22142x y +=．（Ⅱ）由22(1),1,42y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)4240k x k x k +-+-=．设点,M N 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，则11(1)y k x =-，22(1)y k x =-，2122412k x x k +=+，21222412k x x k -=+．所以||MN=数学（理）（北京卷） 第 4 页（共 25 页）=． 又因为点(2,0)A 到直线(1)y k x =-的距离d =，所以AMN △的面积为1||2S MN d =⋅=．=1k =±．（2012理）（19）（本小题共14分）已知曲线22:(5)(2)8C m x m y -+-=（m ∈R ）． （Ⅰ）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的取值范围；（Ⅱ）设4m =，曲线C 与y 轴的交点为,A B （点A 位于点B 的上方），直线4y k x =+与曲线C 交于不同的两点M N ，，直线1y =与直线BM 交于点G ．求证：A G N ，，三点共线． 解：（Ⅰ）曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，当且仅当50,20,88,52m m m m ⎧->⎪⎪->⎨⎪⎪>--⎩ 解得752m <<，所以m 的取值范围是7(,5)2． （Ⅱ）当4m =时，曲线C 的方程为2228x y +=，点A ，B 的坐标分别为(0,2)，(0,2)-．由224,28,y k x x y =+⎧⎨+=⎩得22(12)16240k x k x +++=． 因为直线与曲线C 交于不同的两点，所以22(16)4(12)240k k ∆=-+⨯>，数学（理）（北京卷） 第 5 页（共 25 页）即 232k >． 设点M N ，的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，则114y k x =+，224y k x =+，1221612k x x k -+=+，1222412x x k=+． 直线BM 的方程为1122y y x x ++=，点G 的坐标为113(,1)2x y +．因为直线AN 和直线AG 的斜率分别为222AN y k x -=，1123AG y k x +=-，所以2121223AN AG y y k k x x -+-=+2121263k x k x x x ++=+12122()43x x k x x +=+ 2216241224312kk k k -⨯+=++0=． 即AN AG k k =．（2013文）（19）（本小题共14分）直线y k x m =+（0m ≠）与椭圆22:14x W y +=相交于A , C 两点，O 是坐标原点．（Ⅰ）当点B 的坐标为(0,1)，且四边形OABC 为菱形时，求AC 的长； （Ⅱ）当点B 在W 上且不是W 的顶点时，证明：四边形OABC 不可能为菱形．解：（Ⅰ）因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直平分．所以可设1(,)2A t ，代入椭圆方程得21144t +=，即t =所以||AC = （Ⅱ）假设四边形OABC 为菱形．数学（理）（北京卷） 第 6 页（共 25 页）因为点B 不是W 的顶点，且AC OB ⊥，所以0k ≠． 由2244,x y y k x m ⎧+=⎨=+⎩消y 并整理得222(14)8440k x kmx m +++-=．设11(,)A x y ，22(,)C x y ，则1224214x x km k +=-+，121222214x x y y mk m k ++=⋅+=+． 所以AC 的中点为M 224(,)1414km mk k -++．因为M 为AC 和OB 的交点，且0m ≠，0k ≠，所以直线OB 的斜率为14k-． 因为1()14k k⋅-≠-，所以AC 与OB 不垂直． 所以OABC 不是菱形，与假设矛盾．所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形．（2013理）（19）（本小题共14分）已知A ,B ,C 是椭圆22:14x W y +=上的三个点，O 是坐标原点．（Ⅰ）当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积； （Ⅱ）当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由．解：（Ⅰ）椭圆22:14x W y +=的右顶点B 的坐标为(2,0)．因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直平分．数学（理）（北京卷） 第 7 页（共 25 页）所以可设(1,)A m ，代入椭圆方程得2114m +=，即m =． 所以菱形OABC的面积是11||||22||22OB AC m ⋅=⨯⨯．（Ⅱ）假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的顶点，且直线AC 不过原点，所以可设AC 的方程为y k x m =+（0k ≠，0m ≠）． 由2244,x y y k x m ⎧+=⎨=+⎩消y 并整理得222(14)8440k x kmx m +++-=．设11(,)A x y ，22(,)C x y ，则1224214x x km k +=-+，121222214x x y y mk m k ++=⋅+=+． 所以AC 的中点为M 224(,)1414km mk k-++． 因为M 为AC 和OB 的交点，所以直线OB 的斜率为14k-． 因为1()14k k⋅-≠-，所以AC 与OB 不垂直． 所以OABC 不是菱形，与假设矛盾．所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形． （2014文）（19）（本小题14分）已知椭圆22:24C x y +=． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）设O 为原点．若点A 在直线2y =上，点B 在椭圆C 上，且OA OB ⊥，求线段AB 长度数学（理）（北京卷） 第 8 页（共 25 页）的最小值．解：（Ⅰ）由题意，椭圆C 的标准方程为22142x y +=．所以24a =，22b =，从而2222c a b =-=． 因此2a =，c 故椭圆C的离心率c e a ==（Ⅱ）设点,A B 的坐标分别为00(,2),(,)t x y ，其中00x ≠.因为OA OB ⊥，所以0OA OB −−→−−→⋅=，即0020tx y +=，解得02y t x =-． 又22024x y +=，所以 2AB =2200()(2)x t y -+-2200002()(2)y x y x =++- 22202044y x y x =+++ 222000242(4)42x x x x --=+++ 22002084(04)2x x x =++<≤．因为22002084(04)2x x x +<≥≤，且当204x =时等号成立，所以28AB ≥． 故线段AB长度的最小值为（2014理）（19）（本小题14分）数学（理）（北京卷） 第 9 页（共 25 页）已知椭圆22:24C x y +=． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）设O 为原点．若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，试判断直线AB与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论． 解：（Ⅰ）由题意，椭圆C 的标准方程为22142x y +=．所以24a =，22b =，从而2222c a b =-=． 因此2a =，c 故椭圆C的离心率c e a ==（Ⅱ）直线AB 与圆222x y +=相切．证明如下：设点,A B 的坐标分别为00(,),(,2)x y t ，其中00x ≠． 因为OA OB ⊥，所以0OA OB −−→−−→⋅=，即0020tx y +=，解得02y t x =-． 当0x t =时，202t y =-，代入椭圆C的方程，得t =故直线AB的方程为x =O 到直线AB的距离d ． 此时直线AB 与圆222x y +=相切． 当0x t ≠时，直线AB 的方程为0022()y y x t x t--=--， 即0000(2)()20y x x t y x ty ---+-=． 圆心O 到直线AB 的距离d =．又220024x y +=，02y t x =-，故数学（理）（北京卷） 第 10 页（共 25 页）d ===．此时直线AB 与圆222x y +=相切． （2015文）（20）（本小题14分）已知椭圆22:33C x y +=．过点(1,0)D 且不过点(2,1)E 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，直线AE 与直线3x =交于点M . （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；（Ⅲ）试判断直线BM 与直线DE 的位置关系，并说明理由．解：（Ⅰ）椭圆C 的标准方程为2213x y +=．所以a =1b =，c =所以椭圆C的离心率c e a ==（Ⅱ）因为AB 过点(1,0)D 且垂直于x 轴，所以可设1(1,)A y ，1(1,)B y -．直线AE 的方程为11(1)(2)y y x -=--． 令3x =，得1(3,2)M y -．所以直线BM 的斜率112131BM y y k -+==-．（Ⅲ）直线BM 与直线DE 平行．证明如下：当直线AB 的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知1BM k =．又因为直线DE 的斜率10121DE k -==-，所以//BM DE ． 当直线AB 的斜率存在时，设其方程为(1)(1)y k x k =-≠．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则直线AE 的方程为1111(2)2y y x x --=--． 令3x =，得点1113(3,)2y x M x +--．由2233,(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 得2222(13)6330k x k x k +-+-=．数学（理）（北京卷） 第 11 页（共 25 页） 所以2122613k x x k +=+，21223313k x x k-=+． 直线BM 的斜率11212323BM y x y x k x +---=-． 因为11212121(1)3(1)(2)(3)(2)1(3)(2)BM k x x k x x x x k x x -+--------=-- 121221(1)[2()3](3)(2)k x x x x x x --++-=-- 2222213312(1)(3)1313(3)(2)k k k k k x x -+-+-++=-- 0=， 所以1BM DE k k ==．所以//BM DE ．综上可知，直线BM 与直线DE 平行．（2015理）（19）（本小题14分） 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，点(0,1)P 和点(,)A m n (0)m ≠都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标（用,m n 表示）；（Ⅱ）设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ．问：y 轴上是否存在点Q ，使得OQM ONQ ∠=∠？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．解：（Ⅰ）由题意得2221,.b c aa b c =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩解得22a =． 故椭圆C 的方程为2212x y +=． 设(,0)M M x ．因为0m ≠，所以11n -<<．直线PA 的方程为11n y x m--=，数学（理）（北京卷） 第 12 页（共 25 页） 所以1M m x n =-，即(,0)1m M n-． （Ⅱ）因为点B 与点A 关于x 轴对称，所以(,)B m n -．设(,0)N N x ，则1N m x n=+． “存在点(0,)Q Q y 使得OQM ONQ ∠=∠”等价于“存在点(0,)Q Q y 使得||||||||OM OQ OQ ON =”，即Q y 满足2||||Q M N y x x =． 因为1M m x n =-，1N m x n=+，2212m n +=， 所以222||||21Q M N m y x x n ===-．所以Q y =Q y =．故在y 轴上存在点Q ，使得OQM ONQ ∠=∠．点Q的坐标为或(0,-．（2016理）（13）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线为正方形OABC 的边,OA OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a = ．【答案】2（2016理）（19）（本小题14分） 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，OAB △的面积为1．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ．求证：||||AN BM ⋅为定值．解：（Ⅰ）由题意得22211,2,c a ab a b c ⎧=⎪⎪⎪⎨=⎪⎪=+⎪⎩ 解得2a =，1b =．数学（理）（北京卷） 第 13 页（共 25 页） 所以椭圆C 的方程为2214x y +=． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，(2,0)A ，(0,1)B ．设00(,)P x y ，则220044x y +=． 当00x ≠时，直线PA 的方程为00(2)2y y x x =--． 令0x =，得0022M y y x =--，从而002|||1|12M y BM y x =-=+-． 直线PB 的方程为0011y y x x -=+． 令0y =，得001N x x y =--，从而00|||2|21N x AN x y =-=+-． 所以00002||||2112x y AN BM y x ⋅=+⋅+-- 2200000000004448422x y x y x y x y x y ++--+=--+ 00000000448822x y x y x y x y --+=--+ 4=．当00x =时，01y =-，||2BM =，||2AN =，所以||||4AN BM ⋅=．综上，||||AN BM ⋅为定值．（2016文）（5）圆22(1)2x y ++=的圆心到直线3y x =+的距离为（A ）1（B ）2 （C（D）【答案】C数学（理）（北京卷） 第 14 页（共 25 页）（2016文）（7）已知(2,5),(4,1)A B ．若点(,)P x y 在线段AB 上，则2x y -的最大值为（A ）1-（B ）3 （C ）7（D ）8【答案】C（2016文）（12）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线为20x y +=，一个焦点0)，则a = ；b = ． 【答案】1 2（2016文）（19）（本小题14分） 已知椭圆2222:1x y C a b+=过(2,0),(0,1)A B 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程及离心率；（Ⅱ）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ．求证：四边形ABNM 的面积为定值．解：（Ⅰ）由题意得，2a =，1b =．所以椭圆C 的方程为2214x y +=．又c所以离心率c e a == （Ⅱ）设00(,)P x y 00(0,0)x y <<，则220044x y +=． 又(2,0)A ，(0,1)B ，所以，直线PA 的方程为00(2)2y y x x =--． 令0x =，得0022M y y x =--，从而002||112M y BM y x =-=+-． 直线PB 的方程为0011y y x x -=+． 令0y =，得001N x x y =--，从而00||221N x AN x y =-=+-．数学（理）（北京卷） 第 15 页（共 25 页）所以四边形ABNM 的面积1||||2S AN BM =⋅ 000021(2)(1)212x y y x =++-- 220000000000444842(22)x y x y x y x y x y ++--+=--+ 00000000224422x y x y x y x y --+=--+ 2=．从而四边形ABNM 的面积为定值．（2017理）（ 9 ）若双曲线221y x m -=m = ． 【答案】2（2017理）（18）（本小题14分）已知抛物线2:2C y px =过点(1,1)P ．过点1(0,)2作直线l 与抛物线C 交于不同的两点,M N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线,OP ON 交于点,A B ，其中O 为原点． （Ⅰ）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）求证：A 为线段BM 的中点．解：（Ⅰ）由抛物线2:2C y px =过点(1,1)P ，得12p =． 所以抛物线C 的方程为2y x =． 抛物线C 的焦点坐标为1(,0)4，准线方程为14x =-． （Ⅱ）由题意，设直线l 的方程为12y kx =+(0)k ≠，l 与抛物线C 的交点为 1122(,),(,)M x y N x y ． 由21,2y kx y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得224(44)10k x k x +-+=．数学（理）（北京卷） 第 16 页（共 25 页） 则1221k x x k -+=，12214x x k =． 因为点P 的坐标为(1,1)，所以直线OP 的方程为y x =，点A 的坐标为11(,)x x ． 直线ON 的方程为22y y x x =，点B 的坐标为2112(,)y x x x ． 因为21122112112222y x y x y x x x y x x x +-+-= 122112211()()222kx x kx x x x x +++-= 122121(22)()2k x x x x x -++= 22211(22)42k k k k x --⨯+= 0=， 所以211122y x y x x +=． 故A 为线段BM 的中点．（2017文）（10）若双曲线221-=y x mm = ． 【答案】2（2017文）（11）已知0,0x y ≥≥，且1x y +=，则22x y +的取值范围是 ． 【答案】1[,1]2（2017文）（19）（本小题14分）已知椭圆C 的两个顶点分别为(2,0),(2,0)A B -，焦点在x． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点,M N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E ．求证：BDE △与BDN △的面积之比为4:5．数学（理）（北京卷） 第 17 页（共 25 页）解：（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>．由题意得2, a c a=⎧⎪⎨=⎪⎩解得c ． 所以2221b a c =-=．所以椭圆C 的方程为2214x y +=． （Ⅱ）设(,)M m n ，则(,0)D m ，(,)N m n -．由题设知2m ≠±，且0n ≠．直线AM 的斜率2AM n k m =+，故直线DE 的斜率2DE m k n+=-． 所以直线DE 的方程为2()m y x m n +=--． 直线BN 的方程为(2)2n y x m=--． 联立2(),(2),2m y x m n n y x m +⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩解得点E 的纵坐标222(4)4E n m y m n -=--+． 由点M 在椭圆C 上，得2244m n -=． 所以45E y n =-． 又12||||||||25BDE E S BD y BD n =⋅=⋅△， 1||||2BDN S BD n =⋅△， 所以BDE △与BDN △的面积之比为4:5．（2018理）（7）在平面直角坐标系中，记d 为点(cos ,sin )P θθ到直线20x my --=的距离．当,m θ变化时，d 的最大值为（A ）1（B ）2 （C ）3 （D ）4数学（理）（北京卷） 第 18 页（共 25 页）【答案】C（2018理）（19）（本小题14分）已知抛物线2:2C y px =经过点(1,2)P ．过点(0,1)Q 的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点,A B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． （Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围； （Ⅱ）设O 为原点，QM QO λ−−→−−→=，QN QO μ−−→−−→=，求证：11λμ+为定值． 解：（Ⅰ）因为抛物线22y px =过点(1,2)，所以24p =，即2p =． 故抛物线C 的方程为24y x =． 由题意知，直线l 的斜率存在且不为0． 设直线l 的方程为1(0)y k x k =+≠． 由24, 1y x y k x ⎧=⎨=+⎩得22(24)10k x k x +-+=． 依题意22(24)410k k ∆=--⨯⨯>，解得0k <或01k <<． 又,PA PB 与y 轴相交，故直线l 不过点(1,2)-． 从而3k ≠-．所以直线l 斜率的取值范围是(,3)(3,0)(0,1)-∞--U U ． （Ⅱ）设11(,),A x y 22(,)B x y ． 由（Ⅰ）知12224k x x k -+=-，1221x x k=． 直线PA 的方程为1122(1)1y y x x --=--． 令0x =，得点M 的纵坐标为1111212211M y k x y x x -+-+=+=+--． 同理得点N 的纵坐标为22121N k x y x -+=+-． 由QM QO λ=u u u u r u u u r ，QN QO μ=u u u r u u u r 得1M y λ=-，1N y μ=-． 所以111111M N y y λμ+=+-- 121211(1)(1)x x k x k x --=+--数学（理）（北京卷） 第 19 页（共 25 页）12121212()1x x x x k x x -+=⋅- 222224111k k k k k -+=⋅- 2=． 所以11λμ+为定值．（2018文）（10）已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴．若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为 ．【答案】(1,0)（2018文）（12）若双曲线22214x y a-=(0)a >，则a = ． 【答案】4（2018文）（20）（本小题14分）已知椭圆M ：22221x y a b+=(0)a b >>的离心率为，焦距为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点,A B ． （Ⅰ）求椭圆M 的方程； （Ⅱ）若1k =，求||AB 的最大值； （Ⅲ）设(2,0)P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D ．若,C D 和点71(,)44Q -共线，求k ． 解：（Ⅰ）由题意得222,2a b c c a c ⎧=+⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩解得a =1b =．所以椭圆M 的方程为2213x y +=． （Ⅱ）设直线l 的方程为y x m =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ．数学（理）（北京卷） 第 20 页（共 25 页） 由22,13y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2246330x mx m ++-=． 所以1232m x x +=-，212334m x x -=．||AB当0m =，即直线l 过原点时，||AB． （Ⅲ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ．由题意得221133x y +=，222233x y +=． 直线PA 的方程为11(2)2y y x x =++． 由1122(2),233y y x x x y ⎧=+⎪+⎨⎪+=⎩得22222211111[(2)3]12123(2)0x y x y x y x ++++-+=． 设(,)C C C x y ． 所以22111221111241247(2)3C y x x x x x y --+==+++． 所以2111114121274747C x x x x x x ---=-=++． 所以1111(2)247C C y y y x x x =+=++． 设(,)D D D x y ．同理得2212747D x x x --=+，2247D y y x =+． 记直线,CQ DQ 的斜率分别为,CQ DQ k k ，则数学（理）（北京卷） 第 21 页（共 25 页）121212121147447412771277474474CQ DQy y x x k k x x x x --++-=-----++++12124()y y x x =--+．因为,,C D Q 三点共线， 所以0CQ DQ k k -=． 故1212y y x x -=-． 所以直线l 的斜率12121y y k x x -==-． （2019理）（4）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，则（A ）222a b = （B ）2234a b = （C ）2a b = （D ）34a b =【答案】B（2019理）（8）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线22:1||C x y x y +=+就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：① 曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）② 曲线C③ 曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中，所有正确结论的序号是 （A ）① （B ）② （C ）① ② （D ）① ② ③ 【答案】C（2019理）（18）（本小题14分）已知抛物线2:2C x py =-经过点(2,1)-． （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点,M N ，直线1y =-分别交直线,OM ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点． 解：（Ⅰ）由抛物线2:2C x py =-经过点(2,1)-，得2p =．所以抛物线C 的方程为24x y =-，其准线方程为1y =．数学（理）（北京卷） 第 22 页（共 25 页）（Ⅱ）抛物线C 的焦点为(0,1)F -．设直线l 的方程为1y k x =-（0k ≠）．由21,4y k x x y =-⎧⎨=-⎩ 得2440x k x +-=． 设1122(,),(,)M x y N x y ，则124x x =-． 直线OM 的方程为11y y x x =． 令1y =-，得点A 的横坐标11A x x y =-． 同理得点B 的横坐标22B x x y =-． 设点(0,)D n ，则11(,1)x DA n y =---u u u r ,22(,1)xDB n y =---u u u r ，21212(1)x xDA DB n y y ⋅=++u u u r u u u r2122212(1)()()44x x n x x =++--21216(1)n x x =++24(1)n =-++． 令0DA DB ⋅=u u u r u u u r，即24(1)0n -++=，得1n =或3n =-．综上，以AB 为直径的圆经过y 轴上的定点(0,1)和(0,3)-．（2019文）（5）已知双曲线2221(0)x y a a-=>a =（A（B ）4 （C ）2 （D ）12【答案】D（2019文）（11）设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ．则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为________． 【答案】22(1)4x y -+= （2019文）（19）（本小题14分）数学（理）（北京卷） 第 23 页（共 25 页）已知椭圆2222:1x y C a b +=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A ．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，直线:(1)l y k x t t =+≠±与椭圆 C 交于两个不同点,P Q ，直线AP 与 x 轴交于点 M ，直线AQ 与 x 轴交于点 N ．若||||2OM ON ⋅=，求证：直线l 经过定点． 解：（Ⅰ）由题意得，21b =，1c =．所以2222a b c =+=．所以椭圆 C 的方程为 x 22+y 2=1．（Ⅱ）设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则直线AP 的方程为1111y y x x -=+． 令y =0，得点M 的横坐标111M x x y =--． 又11y k x t =+，从而11||||1||M x OM x k x t ==+-．同理，22||1||x ON k x t =+-．由22,12y k x t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(12)4220k x kt x t +++-=． 则122412ktx x k +=-+，21222212t x x k -=+． 所以||||OM ON ⋅121211||||x x k x t k x t =⋅+-+-12221212(1)()(1)||x x k x x k t x x t =+-++-22222222212224(1)()(1)1212t k t kt k k t t k k||-+=-⋅+-⋅-+-++ 121||tt+=-．又||||2OM ON⋅=，所以1221||tt+=-．解得t=0，所以直线l经过定点(0,0)．数学（理）（北京卷）第24 页（共25 页）- 25 -。