《导学教程》专题八第3讲分类讨论思想

合集下载

分类讨论思想转化与划归思想ppt课件

解 (1)由已知可得ac22＝a2－a2b2＝12，所以 a2＝2b2，又点 M( 2，1)在椭圆 C 上，所以a22＋b12＝1，联立方程组aa222＋＝b212b＝2，1，解得ab22＝＝42， . 故椭圆 C 的方程为x42＋y22＝1. (2)(ⅰ)当直线 l 的斜率为 0 时，则 k1k2＝4－3 2×4＋3 2＝34；
思想概述·应用点拨
热点聚焦·题型突破
归纳总结·思维升华
在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确
2.中学数学中可能引起分类讨论的因素： (1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等. (2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列{an}的前n项和公式等. (3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等.
思想概述·应用点拨
热点聚焦·题型突破
归纳总结·思维升华
在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0，x1) x1 (x1，x2) x2 (x2，＋∞)
综上所述：当 m≥0 时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增.
当 m≤－1 时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，当－1＜m＜0 时，f(x)
在 0，－1＋m1－m2 和－1－m1－m2，＋∞ 上单调递减，在

一节数学课上关于分类讨论思想的学习

一节数学课上关于分类讨论思想的学习【摘要】本文旨在探讨数学课上关于分类讨论思想的学习。

在文章介绍了背景信息，研究目的和研究意义。

接着在详细阐述了分类讨论思想的基本概念、在数学课上的应用、学习方法、案例分析以及实际意义。

通过对这些内容的深入探讨，可以帮助读者更好地理解分类讨论思想的重要性和应用价值。

最后在总结了文章的要点，展望了未来研究方向，并给出了对学习的启示。

通过本文的阐述，读者可以更好地掌握分类讨论思想在数学课上的应用，提高学习效率和深度，为未来的学习和研究提供理论支持。

【关键词】分类讨论思想、数学课、学习方法、案例分析、实际意义、总结、展望、学习启示、研究方向。

1. 引言1.1 背景介绍在数学课上，分类讨论思想是一种重要的学习方法，通过对不同概念或对象进行分类、比较和讨论，帮助学生更深入地理解和掌握数学知识。

分类讨论思想在数学教学中起着至关重要的作用，它能够帮助学生将抽象的数学内容转化为具体的实例，从而提高他们的学习效果和思维能力。

本文将从分类讨论思想的基本概念、在数学课上的应用、学习方法、案例分析和实际意义等方面进行深入探讨，旨在探讨如何更好地在数学教学中应用分类讨论思想，提升学生的学习效果和兴趣。

通过本文的研究，可以为今后的数学教学提供一定的参考和借鉴，促进学生在数学学习中形成正确的思维方式和学习态度，培养他们的创新能力和解决问题的能力。

1.2 研究目的研究目的是为了探讨在数学课上运用分类讨论思想对学生思维能力和问题解决能力的提升，通过对分类讨论思想在数学教学中的具体应用进行分析和总结，进一步促进学生的数学学习。

通过研究，可以发现分类讨论思想在数学课上的重要性和实际效果，为教师提供有效的教学方法和策略，帮助学生更好地理解和掌握数学知识。

研究还旨在揭示分类讨论思想对学生思维习惯和解决问题的思路的影响，为今后的教学实践提供理论依据和指导。

通过深入探讨分类讨论思想的学习方法和实际意义，可以为数学教育的改革和提升提供有益的借鉴，促进学生的综合素质和学习能力的全面发展。

第3讲分类讨论思想、转化与化归思想1

A.-
3
3 2
B.
3
3 2
C.-
3
4 2
D.
3
4 2
关闭
若 q=1,则有 S3=3a1,S6=6a1,S9=9a1,但 a1≠0,即得 S3+S6≠2S9,与题设矛盾,故 q≠1.又依题意 q3(2q6-q3-1)=0,即(2q3+1)· (q3-1)=0,因为 q≠1, 所以 q3-1≠0,则 2q3+1=0, 解得 q=- 2 . C
第一部分
应用一应用二应用三
一、分类讨论思想
思想方法诠释思想分类应用应用方法归纳
-14-
突破训练x 3若函数f(x)=aex-x-2a有两个零点 ,则实数a的取值范围 x 函数 f(x)=ae -x-2a 的导函数 f'(x)=ae -1, 是( ) 当 a≤0 时,f'(x)≤0 恒成立,函数 f(x)在 R 上单调,不可能有两个零点;
当 a>0 时,g(x)的对称轴 x=-2��<0,g(x)在(0,1)内单调递增,符合题意, 当 a<0 时,需满足 g(x)的对称轴
1 x=-2��
≥1,解得
1 a≥-2,综上
1 a≥-2.
1 - ,+∞ 2
关闭
解析
答案
第一部分
应用一应用二应用三
一、分类讨论思想
思想方法诠释思想分类应用应用方法归纳
1
综上:①当 0<a< 时,f(x)在区间 1, , + ∞ 上单调递增;
1 1 1 1-2 ��
上单调递减,在区间(0,1)和
②当 a=3时,f(x)在定义域(0,+∞)上单调递增; ③当3<a<2时,f(x)在区间

高三数学复习学案：第3讲分类讨论思想

1．分类讨论的思想是一种重要的数学思想方法．其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度．2．分类讨论的常见类型(1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n 项和公式、函数的单调性等．(3)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．(4)由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等．(5)由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．(6)由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用．3．分类讨论的原则(1)不重不漏．(2)标准要统一，层次要分明．(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论．变式训练1 设0<x <1，a >0且a ≠1，比较|log a (1－x )|与|log a (1＋x )|的大小．题型二根据公式、定理、性质的条件分类讨论例2 设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和S n >0 (n ＝1,2,3，…)．(1)求q 的取值范围；(2)设b n ＝a n ＋2－32a n ＋1，记{b n }的前n 项和为T n ，试比较S n 与T n 的大小．变式训练2 在等比数列{a n }中，设前n 项和为S n ，x ＝S 2n ＋S 22n ，y ＝S n (S 2n ＋S 3n )，求证：x ＝y .题型三根据变量式参数的取值情况分类讨论例3 已知m ∈R ，求函数f (x )＝(4－3m )x 2－2x ＋m 在区间[0,1]上的最大值．变式训练3已知函数f (x )＝ax 3－32x 2＋1(x ∈R)，其中a >0. (1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)若在区间[－12，12]上，f (x )>0恒成立，求a 的取值范围．第3讲分类讨论思想(推荐时间：60分钟)一、填空题1．不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对于x ∈R 恒成立，那么a 的取值范围是____________．2．过双曲线2x 2－y 2＝2的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若AB ＝4，则这样的直线有________条．3．设集合A ＝{x |x 2＋x －12＝0}，集合B ＝{x |kx ＋1＝0}，如果A ∪B ＝A ，则由实数k 组成的集合中所有元素的和与积分别为____________．4．在△ABC 中，已知A ＝30°，a ＝8，b ＝83，则S △ABC ＝__________.5．设一双曲线的两条渐近线方程为2x －y ＝0,2x ＋y ＝0，则双曲线的离心率是________．6．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为____________．7．设常数a >0，椭圆x 2－a 2＋a 2y 2＝0的长轴长是短轴长的2倍，则a ＝________.8．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝32，S 3＝92，则a 1的值为__________．14.已知函数f (x )＝2a sin 2x －2 3a sin x cos x ＋a ＋b (a ≠0)的定义域是⎣⎡⎦⎤0，π2，值域是[－5,1]，求常数a ，b 的值．15．已知函数f (x )＝－2x 2－x ，求m 、n 的值，使f (x )在区间[m ，n ]上值域为[2m,2n ] (m <n )．。

第3讲分类讨论思想

x 2 (a x 2 1) 2 1 a 2 ,
即x4-a2x2+a2=0,令t=x2, 则t2-a2t+a2=0(*)且t＞0,
∵a＞0,
∴t1t2=a2＞0,t1+t2=a2＞0.
方程(*)的判别式Δ =a2(a2-4). (1)当Δ <0,即0<a<2时,方程(*)无正实根; (2)当Δ =0,即a=2时,方程(*)有两个相等的正实根 ; 根. (3)当Δ >0时,即a>2时,方程(*)有两个相异正实综上所述,当0<a<2时,
答案
15 (0， ) 3
解析先考查拼成三棱柱(如图(1)所示)全面积：
1 4 S1＝2× ×4a×3a＋(3a＋4a＋5a)× ＝12a2＋48. 2 a 再考查拼成四棱柱(如图(2)所示)全面积： ①若 AC＝5a，AB＝4a，BC＝3a，则该四棱柱的全面积 2 为 S2＝2×4a×3a＋2(3a＋4a)× ＝24a2＋28. a
5.如图所示，矩形ABCD中，AB=1， BC=a（a>0）,PA⊥平面AC,且PA=1, 问BC边上是否存在点Q,使得PQ⊥QD
并说明理由.
解设AQ=x(x>0),则AQ2=x2, QD2=QC2+CD2= (a x 2 1) 2 1. AD2=a2. 若PQ⊥QD则AQ⊥DQ 在Rt△AQD中,由勾股定理得:
则 f(x)是区间[1,2]上的增函数，所以 m＝f(1)＝1－a. ②当 1<a≤2 时，在区间[1,2]上，f(x)＝x2|x－a|≥0，由 f(a)＝0，知 m＝f(a)＝0.
③当 a>2 时，在区间[1,2]上，f(x)＝ax2－x3， f′(x)＝2ax－3x

专题03 分类讨论思想(解析版)

专题03 分类讨论思想思想方法诠释分类讨论思想：是当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答．实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想.【典例讲解】要点一由概念、性质、运算引起的分类讨论[解析] (1)f (1)＝e 1－1＝e 0＝1，要使f (1)＋f (a )＝2，则需f (a )＝1.当a ≥0时，由f (a )＝e a －1＝1得a －1＝0，即a ＝1；当－1<a <0时，由f (a )＝sin(πa 2)＝1得πa 2＝2k π＋π2(k ∈Z )，∴a 2＝2k ＋12(k ∈Z )，由－1<a <0知k 只能取0，此时a 2＝12，∵－1<a <0，∴a ＝－22.综上，a ＝1或－22，故选B. (2)当n ≥2时，∑i ＝2n －1a i 2i －1＝3n，又∑i ＝2n a i 2i －1＝3n ＋1，两式相减，得a n 2n －1＝2×3n ，所以a n ＝6n .由于a 1＝7不符合a n ＝6n，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧7，n ＝1，6n ，n ≥2.[答案] (1)B (2)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧7，n ＝1，6n ，n ≥2解决由概念、法则、公式引起的分类讨论问题的步骤第一步：确定需分类的目标与对象．即确定需要分类的目标，一般把需要用到公式、定理解决问题的对象作为分类目标．第二步：根据公式、定理确定分类标准．运用公式、定理对分类对象进行区分．第三步：分类解决“分目标”问题．对分类出来的“分目标”分别进行处理．第四步：汇总“分目标”．将“分目标”问题进行汇总，并作进一步处理．【训练】1．若椭圆mx 2＋ny 2＝1的离心率为12，则mn＝( )A.34 B.43 C.32或233D.34或43[解析] 若焦点在x 轴上，则方程化为x 21m ＋y 21n ＝1，依题意得1m －1n 1m ＝14，所以m n ＝34；若焦点在y 轴上，则方程化为y 21n ＋x 21m＝1，同理可得m n ＝43.所以所求值为34或43.[答案] D【训练】2．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________．[解析] 当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2；当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1，解得2<m ≤4. 综上，m 的取值范围为(－∞，4]． [答案] (－∞，4]要点二由图形位置或形状引起的分类讨论[解析] (1)当椭圆焦点在x 轴，即0<m <3时，由3m ≥tan ∠AMB 2，得3m≥tan60°，解得0<m ≤1；当椭圆焦点在y 轴，即m >3时，由m 3≥tan ∠AMB 2，得m3≥tan60°，解得m ≥9.综上，m 的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)．(2)函数f (x )＝－⎝⎛⎭⎫x －a 22＋a 24的图象的对称轴为x ＝a 2，应分a 2<－1，－1≤a 2≤1，a 2>1，即a <－2，－2≤a ≤2和a >2三种情形讨论．①当a <－2时，由图(1)可知f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝－1－a ＝－(a ＋1)，由－(a ＋1)＝4，得a ＝－5，满足题意．②当－2≤a ≤2时，由图(2)可知f (x )在[－1,1]上的最大值为f ⎝⎛⎭⎫a 2＝a 24，由a24＝4，得a ＝±4(舍去)．③当a >2时，由图(3)可知f (x )在[－1,1]上的最大值为f (1)＝a －1，由a －1＝4，得a ＝5，满足题意．综上可知，a ＝5或－5. [答案] (1)A (2)5或－5几类常见的由图形的位置或形状变化引起的分类讨论 (1)二次函数对称轴的变化； (2)函数问题中区间的变化； (3)函数图象形状的变化； (4)直线由斜率引起的位置变化；(5)圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化； (6)立体几何中点、线、面的位置变化等．【训练】3．已知变量x ，y 满足的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0，表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k ＝( )A ．－12 B.12 C ．0 D ．－12或0[解析] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0，表示的可行域如图(阴影部分)所示，由图可知，若要使不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0，表示的平面区域是直角三角形，只有当直线y ＝kx ＋1与直线x ＝0或y ＝2x 垂直时才满足．结合图形可知斜率k 的值为0或－12，故选D.[答案] D4．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，△ABC 的面积为2，则a 的值为________．[解析] 由三角形面积公式，得12×3×1·sin A ＝ 2.故sin A ＝223.因为sin 2A ＋cos 2A ＝1，所以cos A ＝±1－sin 2A ＝±1－89＝±13.①当cos A ＝13时，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×13＝8.所以a ＝2 2.②当cos A ＝－13时，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×⎝⎛⎭⎫－13＝12，所以a ＝2 3. 综上a ＝22或2 3. [答案] 22或2 3要点三由参数变化引起的分类讨论[解] (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝2a e 2x ＋(a －2)e x －1＝(a e x －1)(2e x ＋1)． (ⅰ)若a ≤0，则f ′(x )<0，所以f (x )在(－∞，＋∞)单调递减． (ⅱ)若a >0，则由f ′(x )＝0得x ＝－ln a .当x ∈(－∞，－ln a )时， f ′(x )<0；当x ∈(－ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在(－∞，－ln a )单调递减，在(－ln a ，＋∞)单调递增． (2)(ⅰ)若a ≤0，由(1)知，f (x )至多有一个零点．(ⅱ)若a >0，由(1)知，当x ＝－ln a 时，f (x )取得最小值，最小值为f (－ln a )＝1－1a ＋ln a .①当a ＝1时，由于f (－ln a )＝0，故f (x )只有一个零点；②当a ∈(1，＋∞)时，由于1－1a＋ln a >0，即f (－ln a )>0，故f (x )没有零点；③当a ∈(0,1)时，1－1a＋ln a <0，即f (－ln a )<0.又f (－2)＝a e －4＋(a －2)e －2＋2>－2e －2＋2>0，故f (x )在(－∞，－ln a )有一个零点．设正整数n 0满足n 0>ln ⎝⎛⎭⎫3a －1，则f (n 0)＝e n 0(a e n 0＋a －2)－n 0>e n 0－n 0>2n 0－n 0>0. 由于ln ⎝⎛⎭⎫3a －1>－ln a ，因此f (x )在(－ln a ，＋∞)有一个零点．综上，a 的取值范围为(0,1)．由参数变化引起分类讨论的关注点若遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论，本例(1)中f ′(x )＝0会得出a e x ＝1，因e x >0，故应分a ≤0，a >0讨论．(2)中当a >0时，函数f (x )的零点与f (x )的最小值相关，故讨论的依据是f (x )的最小值的正负情况．此种题目为含参型，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想，分类要做到分类标准明确，不重不漏．【训练】5．设函数f (x )＝e x －ax ，a 是常数．(1)若a ＝1，且曲线y ＝f (x )的切线l 经过坐标原点(0,0)，求该切线的方程； (2)讨论f (x )的零点的个数． [解] (1)a ＝1时， f (x )＝e x －x ， f ′(x )＝e x －1设切点坐标是(m ，e m －m )，则k ＝f ′(m )＝e m －1，故切线方程是：y －(e m －m )＝(e m －1)(x －m )．由0－(e m －m )＝(e m －1)(0－m )，得m ＝1，所求切线为：y ＝(e －1)x .(2)f′(x)＝e x－a，①当a>0时，由f′(x)＝0得x＝ln a.若x<ln a，则f′(x)<0；若x>ln a，则f′(x)>0.函数f(x)在区间(－∞，ln a)上单调递减，在区间(ln a，＋∞)上单调递增，f(x)的最小值为f(ln a)＝a(1－ln a)．(ⅰ)0<a<e时，f(ln a)＝a(1－ln a)>0，f(x)无零点．(ⅱ)a＝e时，f(ln a)＝a(1－ln a)＝0，f(x)只有一个零点．(ⅲ)a>e时，f(ln a)＝a(1－ln a)<0，根据f(0)＝1>0与函数的单调性，f(x)在区间(－∞，ln a)和(ln a，＋∞)各有一个零点，f(x)共有两个零点．②a＝0时，f(x)＝e x，f(x)无零点．③a<0时，由f(x)＝0得，e x＝ax，因为曲线y＝e x与y＝ax只有一个交点，所以f(x)只有一个零点．综上所述，0≤a<e时，f(x)无零点；a<0或a＝e时，f(x)有一个零点；a>e时，f(x)有两个零点．【思想方法总结】1．分类讨论的原则(1)不重不漏．(2)标准要统一，层次要分明．(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论．2．分类讨论的思维流程明确讨论的对象和动机―→确定分类的标准―→逐类进行讨论―→归纳综合结论―→检验分类是否完备(即检验分类对象彼此交集是否为空集，并集是否为全集)．分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整”．【强化训练】一、选择题1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3) B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)[解析] 解法一：当a <0时，不等式f (a )<1为⎝⎛⎭⎫12a－7<1，即⎝⎛⎭⎫12a <8，即⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12－3，因为0<12<1，所以a >－3，此时－3<a <0；当a ≥0时，不等式f (a )<1为a <1，所以0≤a <1.故a 的取值范围是(－3,1)，故选C.解法二：取a ＝0, f (0)＝0<1，符合题意，排除A ，B ，D. [答案] C2．已知函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域是实数集R ，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,4)B ．[0,4]C ．(0,4]D ．[0,4)[解析] 因为函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域是实数集R ，所以m ≥0，当m ＝0时，函数f (x )＝1，其定义域是实数集R ；当m >0时，则Δ＝m 2－4m ≤0，解得0<m ≤4.综上所述，实数m 的取值范围是0≤m ≤4.[答案] B3．4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用1名大学生的情况有( )A ．24种B ．36种C ．48种D ．60种[解析] 每家企业至少录用一名大学生的情况有两类：一类是每家企业都录用一名，有C 34A 33＝24(种)；一类是其中一家企业录用了2名，有C 24A 33＝36(种)，所以一共有24＋36＝60(种)，故选D.[答案] D4．以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为π3，则该双曲线的离心率为( )A ．2或 3B ．2或233C.233D ．2[解析] 当双曲线的焦点在x 轴上时，双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，渐近线方程为y ＝±ba x ，所以b a ＝tan π3＝3，故双曲线的离心率e ＝ca＝1＋b 2a2＝1＋3＝2；当双曲线的焦点在y 轴上时，双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，渐近线方程为y ＝±a b x ，所以ab ＝tan π3＝3，则b a ＝33，所以双曲线的离心率e ＝ca＝1＋b 2a2＝ 1＋⎝⎛⎭⎫332＝233.故选B.[答案] B5．已知a ，b >0且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( )A ．(a －1)(b －1)<0B ．(a －1)(a －b )>0C ．(b －1)(b －a )<0D ．(b －1)(b －a )>0[解析] ∵a ，b >0且a ≠1，b ≠1，∴当a >1，即a －1>0时，不等式log a b >1可化为a log a b >a 1，即b >a >1，∴(a －1)(a －b )<0，(b －1)(a －1)>0，(b －1)(b －a )>0.当0<a <1，即a －1<0时，不等式log a b >1可化为a log a b <a 1，即0<b <a <1， ∴(a －1)(a －b )<0，(b －1)(a －1)>0，(b －1)(b －a )>0. 综上可知，选D. [答案] D6．如图，过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1任意两条棱的中点作直线，其中与平面CB 1D 1平行的直线有( )A．18条B．20条C．21条D．22条[解析]设各边的中点如图所示，其中与直线D1B1平行的有F1G1，E1H1，FG，EH，NL，共5条；与直线CD1平行的有G1M，GN，LE1，KE，H1F，共5条；与直线CB1平行的有F1M，FL，HK，NH1，GE1，共5条．分别取CB1，B1D1，CD1的中点如图，连接CO，D1P，B1T，与直线CO平行的有GH1，FE1，共2条；与直线D1P平行的有H1L，NF，共2条；与直线B1T平行的有E1N，GL，共2条．故与平面CB1D1平行的直线共有5＋5＋5＋2＋2＋2＝21条．[答案] C二、填空题7．过点P(3,4)与圆x2－2x＋y2－3＝0相切的直线方程为______________．[解析]圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝4.当直线的斜率不存在时，直线x＝3适合；当直线的斜率存在时，不妨设直线的方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0. 由|k －0＋4－3k |k 2＋1＝2，得k ＝34. 此时直线方程为y －4＝34(x －3)，即3x －4y ＋7＝0. 综上所述，所求切线的方程为x ＝3或3x －4y ＋7＝0.[答案] x ＝3或3x －4y ＋7＝08．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为________．[解析] 当矩形长、宽分别为6和4时，体积V ＝2×3×12×4＝43；当长、宽分别为4和6时，体积V ＝43×233×12×6＝833. 综上所述，所求体积为43或833. [答案] 43或833 9．若函数f (x )＝mx 2－x ＋ln x 存在单调递减区间，则实数m 的取值范围是________． [解析] f ′(x )＝2mx －1＋1x ＝2mx 2－x ＋1x，即2mx 2－x ＋1<0在(0，＋∞)上有解．当m ≤0时显然成立；当m >0时，由于函数y ＝2mx 2－x ＋1的图象的对称轴x ＝14m>0，故需且只需Δ>0，即1－8m >0，故0<m <18. 综上所述，m <18，故实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，18.[答案] ⎝⎛⎭⎫－∞，18 三、解答题10．已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n >60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．[解] (1)设数列{a n }的公差为d ，依题意，2,2＋d,2＋4d 成等比数列，故有(2＋d )2＝2(2＋4d )，化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4.当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2，从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2.(2)当a n ＝2时，S n ＝2n .显然2n <60n ＋800，此时不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立．当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋(4n －2)]2＝2n 2. 令2n 2>60n ＋800，即n 2－30n －400>0，解得n >40或n <－10(舍去)，此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41.综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的n ，其最小值为41.11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B .(1)证明：A ＝2B ；(2)若△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小． [解] (1)证明：由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是sin B ＝sin(A －B )．又A ，B ∈(0，π)，故－π<A －B <π，所以，B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ，因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B .(2)由S ＝a 24得12ab sin C ＝a 24，故有 sin B sin C ＝12sin2B ＝sin B cos B ，因为sin B ≠0，所以sin C ＝cos B .又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝π2±B . 当B ＋C ＝π2时，A ＝π2；当C －B ＝π2时，A ＝π4. 综上，A ＝π2或A ＝π4. 12．已知函数f (x )＝a x＋ln x －2，a ∈R . (1)若曲线y ＝f (x )在点P (2，m )处的切线平行于直线y ＝－32x ＋1，求函数f (x )的单调区间； (2)是否存在实数a ，使函数f (x )在(0，e 2]上有最小值2？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由．[解] (1)∵f (x )＝a x＋ln x －2(x >0)，∴f ′(x )＝－a x 2＋1x(x >0)，又曲线y ＝f (x )在点P (2，m )处的切线平行于直线y ＝－32x ＋1， ∴f ′(2)＝－14a ＋12＝－32⇒a ＝8. ∴f ′(x )＝－8x 2＋1x ＝x －8x 2(x >0)，令f ′(x )>0，得x >8，f (x )在(8，＋∞)上单调递增；令f ′(x )<0，得0<x <8, f (x )在(0,8)上单调递减．∴f (x )的单调递增区间为(8，＋∞)，单调递减区间为(0,8)．(2)由(1)知f ′(x )＝－a x 2＋1x ＝x －a x 2(x >0)． (ⅰ)当a ≤0时， f ′(x )>0恒成立，即f (x )在(0，e 2]上单调递增，无最小值，不满足题意． (ⅱ)当a >0时，令f ′(x )＝0，得x ＝a ，所以当f ′(x )>0时，x >a ，当f ′(x )<0时，0<x <a ，此时函数f (x )在(a ，＋∞)上单调递增，在(0，a )上单调递减．若a >e 2，则函数f (x )在(0，e 2]上的最小值f (x )min ＝f (e 2)＝a e 2＋lne 2－2＝a e 2，由a e 2＝2，得a ＝2e 2，满足a >e 2，符合题意；若a ≤e 2，则函数f (x )在(0，e 2]上的最小值f (x )min ＝f (a )＝a a＋ln a －2＝ln a －1，由ln a －1＝2，得a ＝e 3，不满足a ≤e 2，不符合题意，舍去．综上可知，存在实数a ＝2e 2，使函数f (x )在(0，e 2]上有最小值2.。

分类讨论思想方法

分类讨论思想1、专题概述分类讨论是一种逻辑方法与数学思想，在高考中占有重要位置，其原因有：〔1〕分类讨论问题一般都覆盖较多知识点，具有较强的综合性、探索性，有利于知识面的考查；〔2〕有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性；〔3〕它需要有一定的分析能力与分类技巧，有利于培养学生思维的条理性和概括性；〔4〕分类讨论思想与生产实践和高等数学都紧密相关。

解分类讨论问题的实质是将整体问题化为假设干个部分解决，从而增加了题设条件，它表达了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法，这正是分类讨论的根本原因。

引起分类讨论的原因主要是以下几个方面：〔1〕问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。

如绝对值的定义、指对数函数的定义、直线的斜率与倾斜角等，这种分类讨论题型可以称为概念型。

〔2〕问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法那么有X 围或者条件限制，或者是分类给出的。

如等比数列的前n 项和的公式，分q ＝1和q ≠1两种情况，这种分类讨论题型可以称为性质型。

〔3〕解含有参数的题目时，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或者由于不同的参数值而要不同的求解或证明方法，因此必须根据参数的不同取值X 围进行讨论，这称为含参型。

〔4〕由数学运算要求引起的分类讨论，如利用不等式性质时注意使用条件等。

〔5〕较复杂的或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策略来解决的。

另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都需要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。

进行分类讨论时要遵循的原那么及其须知：〔1〕被分类的对象的集合的全域是确定的；〔2〕每一次分类的标准要统一，要分清主次、科学划分；〔3〕每一次分类必须要“不漏不重〞；〔4〕如需多次分类，必须是逐级进行，不越级讨论；〔5〕要注意简化或避免分类讨论，优化解题过程。

解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：〔1〕确定讨论对象及其X 围；〔2〕确定分类标准，合理分类，分类互斥；〔3〕逐类进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；〔4〕最后进行归纳小结，综合得出结论。

分类讨论思想在数学教学中的应用

分类讨论思想在数学教学中的应用【摘要】本文介绍了分类讨论思想在数学教学中的应用意义。

首先解释了分类讨论思想的基本原理，然后列举了在数学教学中分类讨论思想的应用案例，并详细说明了分类讨论思想在数学教学中的实际操作方法。

接着探讨了分类讨论思想与数学教学的关联以及如何有效结合两者。

最后对分类讨论思想在数学教学中的未来发展方向进行了展望。

通过本文的阐述，读者可以深入了解分类讨论思想在数学教学中的重要性和实际应用价值，帮助教师和学生更好地理解和掌握数学知识，提高数学教学效果和学习成绩。

【关键词】分类讨论思想、数学教学、应用案例、基本原理、实际操作方法、关联、有效结合、未来发展方向1. 引言1.1 分类讨论思想在数学教学中的应用意义分类讨论思想在数学教学中的应用意义是十分重要的。

通过分类讨论思想，学生可以更好地理解数学知识，提高他们的分析和解决问题的能力。

分类讨论思想能够帮助学生将抽象的数学概念具体化，使其更易于理解和掌握。

分类讨论思想也可以帮助学生建立数学思维的逻辑性和系统性，培养他们的思维能力和创造力。

在现代教学中，越来越多的教师开始将分类讨论思想应用到数学教学中。

通过分类讨论，教师可以帮助学生更好地理解数学概念和定理，提升他们的解题能力和思维能力。

分类讨论也可以激发学生的学习兴趣，让他们更加主动地参与到数学学习中。

分类讨论思想在数学教学中的应用意义不言而喻，它可以有效地提高学生的学习效果，促进教育教学的发展。

在未来，我们应该进一步探索和完善分类讨论思想在数学教学中的应用方法，为学生提供更好的数学学习环境，促进其全面发展和成长。

2. 正文2.1 分类讨论思想的基本原理分类讨论思想的基本原理是指根据一定的特征或属性对对象进行分类、比较和讨论。

这种思想源自于逻辑学和认知心理学，通过将问题分解成若干个小问题，然后对这些小问题进行分类讨论，最终得出整体的解决方案。

分类讨论思想的基本原理包括以下几点：要确定分类的标准，即根据哪些特征将对象进行分类。

高三数学(理)二轮专题复习文档：专题八第3讲分类讨论、转化与化归思想

第3讲分类讨论、转化与化归思想数学思想解读 1.分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答.实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想.2.转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式.热点一分类讨论思想的应用应用1 由概念、法则、公式、性质引起的分类讨论【例1】 (1)若函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________. (2)在等比数列{a n }中，已知a 3＝32，S 3＝92，则a 1＝________.解析 (1)若a >1，有a 2＝4，a －1＝m . 解得a ＝2，m ＝12.此时g (x )＝－x 为减函数，不合题意. 若0<a <1，有a －1＝4，a 2＝m ，故a ＝14，m ＝116，检验知符合题意.(2)当q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝32，S 3＝3a 1＝92，显然成立. 当q ≠1时，由a 3＝32，S 3＝92，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝32， ①a 1（1＋q ＋q 2）＝92. ②由②①，得1＋q ＋q 2q 2＝3，即2q 2－q －1＝0，所以q ＝－12或q ＝1(舍去).当q ＝－12时，a 1＝a 3q 2＝6，综上可知，a 1＝32或a 1＝6. 答案 (1)14 (2)32或6探究提高 1.指数函数、对数函数的单调性取决于底数a ，因此，当底数a 的大小不确定时，应分0<a <1，a >1两种情况讨论.2.利用等比数列的前n 项和公式时，若公比q 的大小不确定，应分q ＝1和q ≠1两种情况进行讨论，这是由等比数列的前n 项和公式决定的.【训练1】 (1)(2018·长沙一中质检)已知S n 为数列{a n }的前n 项和且S n ＝2a n －2，则S 5－S 4的值为( ) A.8B.10C.16D.32(2)函数f (x )＝⎩⎨⎧sin （πx 2），－1<x <0，e x －1，x ≥0.若f (1)＋f (a )＝2，则a 的所有可能取值的集合是________.解析 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－2，解得a 1＝2. 因为S n ＝2a n －2，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2，两式相减得，a n ＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1，则数列{a n }为首项为2，公比为2的等比数列，则S 5－S 4＝a 5＝25＝32. (2)f (1)＝e 0＝1，即f (1)＝1. 由f (1)＋f (a )＝2，得f (a )＝1.当a ≥0时，f (a )＝1＝e a －1，所以a ＝1.当－1<a <0时，f (a )＝sin(πa 2)＝1，所以πa 2＝2k π＋π2(k ∈Z ).所以a 2＝2k ＋12(k ∈Z )，k 只能取0，此时a 2＝12，因为－1<a <0，所以a ＝－22.则实数a 取值的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－22，1.答案 (1)D (2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－22，1应用2 由图形位置或形状引起的分类讨论【例2】 (1)已知变量x ，y 满足的不等式组⎩⎨⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k ＝( ) A.－12B.12C.0D.－12或0(2)设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线C 的离心率等于________.解析(1)不等式组⎩⎨⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的可行域如图(阴影部分)所示.由图可知，若要使不等式组⎩⎨⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表平面区域是直角三角形，只有当直线kx －y ＋1＝0与直线y 轴或y ＝2x 垂直时才满足.结合图形可知斜率k 的值为0或－12.(2)不妨设|PF 1|＝4t ，|F 1F 2|＝3t ，|PF 2|＝2t ，其中t ≠0. 若该曲线为椭圆，则有|PF 1|＋|PF 2|＝6t ＝2a ， |F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 6t ＝12；若该曲线为双曲线，则有|PF 1|－|PF 2|＝2t ＝2a ， |F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 2t ＝32. 答案 (1)D (2)12或32探究提高 1.圆锥曲线形状不确定时，常按椭圆、双曲线来分类讨论，求圆锥曲线的方程时，常按焦点的位置不同来分类讨论.2.相关计算中，涉及图形问题时，也常按图形的位置不同、大小差异等来分类讨论.【训练2】设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点.已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1||PF 2|的值为________.解析若∠PF 2F 1＝90°.则|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2，又因为|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝25，解得|PF 1|＝143，|PF 2|＝43，所以|PF 1||PF 2|＝72.若∠F 1PF 2＝90°，则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2，所以|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2＝20，所以|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，所以|PF 1||PF 2|＝2.综上知，|PF 1||PF 2|＝72或2.答案 72或2应用3 由变量或参数引起的分类讨论【例3】已知f (x )＝x －a e x (a ∈R ，e 为自然对数的底数). (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若f (x )≤e 2x 对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围. 解 (1)f ′(x )＝1－a e x ，当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )是(－∞，＋∞)上的单调递增函数；当a >0时，由f ′(x )＝0得x ＝－ln a ，若x ∈(－∞，－ln a )，则f ′(x )>0；当x ∈(－ln a ，＋∞)，则f ′(x )<0.所以函数f (x )在(－∞，－ln a )上的单调递增，在(－ln a ，＋∞)上的单调递减. (2)f (x )≤e 2xa ≥xe x －e x ，设g (x )＝x e x －e x，则g ′(x )＝1－e 2x－x e x .当x <0时，1－e 2x >0，g ′(x )>0， ∴g (x )在(－∞，0)上单调递增.当x >0时，1－e 2x <0，g ′(x )<0， ∴g (x )在(0，＋∞)上单调递减. 所以g (x )max ＝g (0)＝－1，所以a ≥－1. 故a 的取值范围是[－1，＋∞).探究提高 1.(1)参数的变化取值导致不同的结果，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等.(2)解析几何中直线点斜式、斜截式方程要考虑斜率k 存在或不存在，涉及直线与圆锥曲线位置关系要进行讨论.2.分类讨论要标准明确、统一，层次分明，分类要做到“不重不漏”.【训练3】已知函数f (x )＝4x 3＋3tx 2－6t 2x ＋t －1，x ∈R ，其中t ∈R .当t ≠0时，求f (x )的单调区间. 解 f ′(x )＝12x 2＋6tx －6t 2. 令f ′(x )＝0，解得x ＝－t 或x ＝t2. 因为t ≠0，所以分两种情况讨论：①若t <0，则t<－t .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以，f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，t 2，(－t ，＋∞)；f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2，－t .②若t >0，则－t <t.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以，f (x )的单调递增区间是(－∞，－t )，⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2，＋∞；f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－t ，t 2.热点二转化与化归思想应用1 特殊与一般的转化【例4】 (1)过抛物线y ＝ax 2(a >0)的焦点F ，作一直线交抛物线于P ，Q 两点.若线段PF 与FQ 的长度分别为p ，q ，则1p ＋1q 等于( )A.2aB.12a C.4aD.4a(2)(2017·浙江卷)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是________.解析 (1)抛物线y ＝ax 2(a >0)的标准方程为x 2＝1a y (a >0)，焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a . 过焦点F 作直线垂直于y 轴，则|PF |＝|QF |＝12a ， ∴1p ＋1q ＝4a .(2)由题意，不妨设b ＝(2，0)，a ＝(cos θ，sin θ)，则a ＋b ＝(2＋cos θ，sin θ)，a －b ＝(cos θ－2，sin θ). 令y ＝|a ＋b |＋|a －b |＝（2＋cos θ）2＋sin 2θ＋（cos θ－2）2＋sin 2θ ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ，令y ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ，则y 2＝10＋225－16cos 2θ∈[16，20]. 由此可得(|a ＋b |＋|a －b |)max ＝20＝25， (|a ＋b |＋|a －b |)min ＝16＝4，即|a ＋b |＋|a －b |的最小值是4，最大值是2 5. 答案 (1)C (2)4 2 5探究提高 1.一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单.特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果.2.对于某些选择题、填空题，如果结论唯一或题目提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案.【训练4】 (1)如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，那么( ) A.a 1a 8>a 4a 5B.a 1a 8<a 4a 5C.a 1＋a 8>a 4＋a 5D.a 1a 8＝a 4a 5(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等差数列，则cos A ＋cos C 1＋cos A cos C＝________. 解析 (1)取特殊数列{a n }，其中a n ＝n (n ∈N *). 显然a 1·a 8＝8<a 4·a 5＝20.(2)令a ＝b ＝c ，则△ABC 为等边三角形，且cos A ＝cos C ＝12，代入所求式子，得cos A ＋cos C 1＋cos A cos C＝12＋121＋12×12＝45. 答案 (1)B (2)45应用2 函数、方程、不等式之间的转化【例5】已知函数f (x )＝3e |x |.若存在实数t ∈[－1，＋∞)，使得对任意的x ∈[1，m ]，m ∈Z 且m >1，都有f (x ＋t )≤3e x ，试求m 的最大值. 解 ∵当t ∈[－1，＋∞)且x ∈[1，m ]时，x ＋t ≥0， ∴f (x ＋t )≤3e xe x ＋t ≤e x t ≤1＋ln x －x .∴原命题等价转化为：存在实数t ∈[－1，＋∞)，使得不等式t ≤1＋ln x －x 对任意x ∈[1，m ]恒成立.令h (x )＝1＋ln x －x (1≤x ≤m ).∵h ′(x )＝1x －1≤0， ∴函数h (x )在[1，＋∞)上为减函数，又x ∈[1，m ]，∴h (x )min ＝h (m )＝1＋ln m －m . ∴要使得对任意x ∈[1，m ]，t 值恒存在，只需1＋ln m －m ≥－1.∵h (3)＝ln 3－2＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ·3e >ln 1e＝－1，h (4)＝ln 4－3＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ·4e 2<ln 1e ＝－1，又函数h (x )在[1，＋∞)上为减函数，∴满足条件的最大整数m 的值为3.探究提高 1.函数与方程、不等式联系密切，解决方程、不等式的问题需要函数帮助.2.解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围.【训练5】在平面直角坐标系xOy 中，A (－12，0)，B (0，6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上.若P A →·PB →≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________.解析设点P (x ，y )，且A (－12，0)，B (0，6).则P A →·PB →＝(－12－x ，－y )·(－x ，6－y )＝x (12＋x )＋y (y －6)≤20，又x 2＋y 2＝50，∴2x －y ＋5≤0，则点P 在直线2x －y ＋5＝0上方的圆弧上(含交点)，即点P 在上，联立⎩⎨⎧y ＝2x ＋5，x 2＋y 2＝50，解得x ＝－5或x ＝1，结合图形知，－52≤x ≤1.故点P 横坐标的取值范围是[－52，1]. 答案 [－52，1]应用3 正与反、主与次的转化【例6】 (1)设y ＝(log 2x )2＋(t －2)log 2x －t ＋1，若t 在[－2，2]上变化时，y 恒取正值，则x 的取值范围是________.(2)若对于任意t ∈[1，2]，函数g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t ，3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是________.解析 (1)设y ＝f (t )＝(log 2x －1)t ＋(log 2x )2－2log 2x ＋1，则f (t )是一次函数，当t ∈[－2，2]时，f (t )>0恒成立，则⎩⎨⎧f （－2）>0，f （2）>0，即⎩⎨⎧（log 2x ）2－4log 2x ＋3>0，（log 2x ）2－1>0，解得log 2x <－1或log 2x >3，即0<x <12或x >8，故实数x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(8，＋∞). (2)g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t ，3)上总为单调函数，则①g ′(x )≥0在(t ，3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t ，3)上恒成立. 由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x －3x . 当x ∈(t ，3)时恒成立，∴m ＋4≥2t －3t 恒成立，则m ＋4≥－1，即m ≥－5；由②得m ＋4≤2x －3x ，当x ∈(t ，3)时恒成立，则m ＋4≤23－9，即m ≤－373. ∴使函数g (x )在区间(t ，3)上总不为单调函数的m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－5.答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(8，＋∞) (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－5探究提高 1.第(1)题是把关于x 的函数转化为在[0，4]内关于t 的一次函数大于0恒成立的问题.在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的参数，将其看作是“主元”，而把其它变元看作是参数.2.第(2)题是正与反的转化，由于不为单调函数有多种情况，先求出其反面，体现“正难则反”的原则.【训练6】已知函数f (x )＝x 3＋3ax －1，g (x )＝f ′(x )－ax －5，其中f ′(x )是f (x )的导函数.对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0，则实数x 的取值范围为________.解析由题意，知g (x )＝3x 2－ax ＋3a －5，令φ(a )＝(3－x )a ＋3x 2－5，－1≤a ≤1. 对－1≤a ≤1，恒有g (x )<0，即φ(a )<0，∴⎩⎨⎧φ（1）<0，φ（－1）<0，即⎩⎨⎧3x 2－x －2<0，3x 2＋x －8<0，解得－23<x <1. 故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1时，对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1。

分类讨论思想-精品

(2)观察分析，探究新知
（2）假如第一次左重右轻，说明要么1，2，3，4 中有一球重要么5，6，7，8中有一球轻，这时称(1 ，
5 ，6)，(2 ，7 ，8) （第二次） a、假如一样重，说明3号和4号中必有一球重，则称
它俩就可知道。（第三次） b、假如左重右轻，说明要么1号重，要么7，8中有
一球轻，则称7，8即可。（第三次） c、假如左轻右重，说明要么2号重，要么5，6中有
教学重点与难点
教学重点
进行分类讨论要遵循总的原则和解答分类讨论问题的基本步骤
教学难点
“标准统一、不漏不重”
分
内容分析
类
目标分析
讨
论
过程分析
思
教法分析
想
评价分析
目标分析
认知目标
1、了解“分类讨论思想”的意义； 2、理解分类讨论的步骤以及分类讨论法解题必须遵循总的原则； 3、感受“分类讨论思想”在解决相关问题中的作用。
类
目标分析
讨
论
过程分析
思
教法分析
想
评价分析
教学流程图
布置作业，巩固提高整理知识，形成网络
发散训练，反思新知
ห้องสมุดไป่ตู้
师生互动，运用新知
观察分析，探究新知
创设情景，引出新知
(1)创设情景，引出新知
问题1:
设计意图：留一定
有12个金色小球，其中一的时间让学生思考、
讨论，在学生感到
个与其它球除重量不同外再无新奇而又不知所措
有些与图形有关
[例7] 两条异面直线的问题，常常因
参数的取值不同，
在一个平面内的射影影响着图形之间
有哪几种情况？

分类讨论思想学习教育课件PPT

a 0 解析： 1 若f 0 1，则 a a 1 2 a 1 a 1.故a的取值范围是(， 1]．
2 当x a时，f x 3x 2 2ax a 2，
则f x min
2 f a a 0 2a a 2a 2 f a 0 3 3
分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一，在近几年的高考试题中都把分类讨论思想方法列为重要的思想方法来考查，体现出其重要的位置．分类讨论的思想方法不仅具有明显的逻辑性、题型覆盖广、知识点较多、综合性强等特点，而且还有利于对学生知识面的考查、需要学生有一定的分析能力、分类技巧，对学生能力的考查有着重要的作用．分类讨论的思想的实质就是把数学问题中的各种限制条件的制约及变动因素的影响而采取的化整为零、各个突破的解题手段．
分析：分两类n 1与n 2进行解答，但须注
解析：当n 2时，an Sn S n 1
2 2n 2n 2 n 1 2 n 1 4n，所以an 4n(n 2，n N* )． 2
当n 1时，a1 S1 4，满足an 4n，故数列an 的通项公式为an 4n(n N* )．同理，当n 1时，b1 T1 2 b1，所以b1 1. 所以2bn bn 1， 1 所以数列bn 成等比数列，其首项为1，公比为， 2 1 n 1 所以bn ( ) ( n N* )． 2 当n 2时，bn Tn Tn 1 2 bn 2 bn 1 ，
2．引入分类讨论的主要原因
1由数学概念引起的分类讨论：如绝对值的定义、
直线与平面所成的角、定比分点坐标公式等；

专题八第3讲

第3讲分类讨论、转化与化归思想数学思想解读 1.分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答.实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想.2.转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式.热点一分类讨论思想的应用应用1 由概念、法则、公式、性质引起的分类讨论【例1】 (1)若函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________. (2)在等比数列{a n }中，已知a 3＝32，S 3＝92，则a 1＝________. 解析 (1)若a >1，有a 2＝4，a －1＝m . 解得a ＝2，m ＝12.此时g (x )＝－x 为减函数，不合题意. 若0<a <1，有a －1＝4，a 2＝m ，故a ＝14，m ＝116，检验知符合题意.(2)当q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝32，S 3＝3a 1＝92，显然成立. 当q ≠1时，由a 3＝32，S 3＝92，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝32， ①a 1（1＋q ＋q 2）＝92. ②由②①，得1＋q ＋q 2q 2＝3，即2q 2－q －1＝0，所以q ＝－12或q ＝1(舍去).当q ＝－12时，a 1＝a 3q 2＝6，综上可知，a 1＝32或a 1＝6.答案 (1)14 (2)32或6探究提高 1.指数函数、对数函数的单调性取决于底数a ，因此，当底数a 的大小不确定时，应分0<a <1，a >1两种情况讨论.2.利用等比数列的前n 项和公式时，若公比q 的大小不确定，应分q ＝1和q ≠1两种情况进行讨论，这是由等比数列的前n 项和公式决定的.【训练1】 (1)(2018·长沙一中质检)已知S n 为数列{a n }的前n 项和且S n ＝2a n －2，则S 5－S 4的值为( ) A.8B.10C.16D.32(2)函数f (x )＝⎩⎨⎧sin （πx 2），－1<x <0，e x －1，x ≥0.若f (1)＋f (a )＝2，则a 的所有可能取值的集合是________.解析 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－2，解得a 1＝2. 因为S n ＝2a n －2，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2，两式相减得，a n ＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1，则数列{a n }为首项为2，公比为2的等比数列，则S 5－S 4＝a 5＝25＝32.(2)f (1)＝e 0＝1，即f (1)＝1. 由f (1)＋f (a )＝2，得f (a )＝1.当a ≥0时，f (a )＝1＝e a －1，所以a ＝1. 当－1<a <0时，f (a )＝sin(πa 2)＝1，所以πa 2＝2k π＋π2(k ∈Z ).所以a 2＝2k ＋12(k ∈Z )，k 只能取0，此时a 2＝12，因为－1<a <0，所以a ＝－22.则实数a 取值的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－22，1.答案 (1)D (2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－22，1应用2 由图形位置或形状引起的分类讨论【例2】 (1)已知变量x ，y 满足的不等式组⎩⎨⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k ＝( ) A.－12B.12C.0D.－12或0(2)设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线C 的离心率等于________.解析(1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的可行域如图(阴影部分)所示.由图可知，若要使不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表平面区域是直角三角形，只有当直线kx －y ＋1＝0与直线y 轴或y ＝2x 垂直时才满足.结合图形可知斜率k 的值为0或－12.(2)不妨设|PF 1|＝4t ，|F 1F 2|＝3t ，|PF 2|＝2t ，其中t ≠0. 若该曲线为椭圆，则有|PF 1|＋|PF 2|＝6t ＝2a ， |F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 6t ＝12；若该曲线为双曲线，则有|PF 1|－|PF 2|＝2t ＝2a ， |F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 2t ＝32. 答案 (1)D (2)12或32探究提高 1.圆锥曲线形状不确定时，常按椭圆、双曲线来分类讨论，求圆锥曲线的方程时，常按焦点的位置不同来分类讨论.2.相关计算中，涉及图形问题时，也常按图形的位置不同、大小差异等来分类讨论.【训练2】设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点.已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1||PF 2|的值为________.解析若∠PF 2F 1＝90°.则|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2，又因为|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝25，解得|PF 1|＝143，|PF 2|＝43，所以|PF 1||PF 2|＝72.若∠F 1PF 2＝90°，则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2，所以|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2＝20，所以|PF1|＝4，|PF2|＝2，所以|PF1||PF2|＝2.综上知，|PF1||PF2|＝72或2.答案72或2应用3由变量或参数引起的分类讨论【例3】已知f(x)＝x－a e x(a∈R，e为自然对数的底数).(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若f(x)≤e2x对x∈R恒成立，求实数a的取值范围.解(1)f′(x)＝1－a e x，当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)是(－∞，＋∞)上的单调递增函数；当a>0时，由f′(x)＝0得x＝－ln a，若x∈(－∞，－ln a)，则f′(x)>0；当x∈(－ln a，＋∞)，则f′(x)<0.所以函数f(x)在(－∞，－ln a)上的单调递增，在(－ln a，＋∞)上的单调递减.(2)f(x)≤e2x a≥xe x－ex，设g(x)＝xe x－ex，则g′(x)＝1－e2x－xe x.当x<0时，1－e2x>0，g′(x)>0，∴g(x)在(－∞，0)上单调递增.当x>0时，1－e2x<0，g′(x)<0，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递减.所以g(x)max＝g(0)＝－1，所以a≥－1.故a的取值范围是[－1，＋∞).探究提高 1.(1)参数的变化取值导致不同的结果，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等.(2)解析几何中直线点斜式、斜截式方程要考虑斜率k存在或不存在，涉及直线与圆锥曲线位置关系要进行讨论.2.分类讨论要标准明确、统一，层次分明，分类要做到“不重不漏”.【训练3】已知函数f(x)＝4x3＋3tx2－6t2x＋t－1，x∈R，其中t∈R.当t≠0时，求f (x )的单调区间. 解 f ′(x )＝12x 2＋6tx －6t 2. 令f ′(x )＝0，解得x ＝－t 或x ＝t2. 因为t ≠0，所以分两种情况讨论：①若t <0，则t<－t .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，t 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2，－t (－t ，＋∞)f ′(x ) ＋－＋f (x )所以，f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，t 2，(－t ，＋∞)；f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2，－t .②若t >0，则－t <t2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－t ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫－t ，t 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2，＋∞ f ′(x ) ＋－＋f (x )所以，f (x )的单调递增区间是(－∞，－t )，⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2，＋∞；f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－t ，t 2.热点二转化与化归思想应用1 特殊与一般的转化【例4】 (1)过抛物线y ＝ax 2(a >0)的焦点F ，作一直线交抛物线于P ，Q 两点.若线段PF 与FQ 的长度分别为p ，q ，则1p ＋1q 等于( ) A.2aB.12aC.4aD.4a(2)(2017·浙江卷)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是________.解析 (1)抛物线y ＝ax 2(a >0)的标准方程为x 2＝1a y (a >0)，焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a .过焦点F 作直线垂直于y 轴，则|PF |＝|QF |＝12a ，∴1p＋1q＝4a.(2)由题意，不妨设b＝(2，0)，a＝(cos θ，sin θ)，则a＋b＝(2＋cos θ，sin θ)，a－b＝(cos θ－2，sin θ).令y＝|a＋b|＋|a－b|＝（2＋cos θ）2＋sin2θ＋（cos θ－2）2＋sin2θ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ，令y＝5＋4cos θ＋5－4cos θ，则y2＝10＋225－16cos2θ∈[16，20].由此可得(|a＋b|＋|a－b|)max＝20＝25，(|a＋b|＋|a－b|)min＝16＝4，即|a＋b|＋|a－b|的最小值是4，最大值是2 5.答案(1)C(2)42 5探究提高 1.一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单.特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果.2.对于某些选择题、填空题，如果结论唯一或题目提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案.【训练4】(1)如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，那么()A.a1a8>a4a5B.a1a8<a4a5C.a1＋a8>a4＋a5D.a1a8＝a4a5(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则cos A＋cos C1＋cos A cos C＝________.解析(1)取特殊数列{a n}，其中a n＝n(n∈N*).显然a 1·a 8＝8<a 4·a 5＝20.(2)令a ＝b ＝c ，则△ABC 为等边三角形，且cos A ＝cos C ＝12，代入所求式子，得cos A ＋cos C 1＋cos A cos C ＝12＋121＋12×12＝45.答案 (1)B (2)45应用2 函数、方程、不等式之间的转化【例5】已知函数f (x )＝3e |x |.若存在实数t ∈[－1，＋∞)，使得对任意的x ∈[1，m ]，m ∈Z 且m >1，都有f (x ＋t )≤3e x ，试求m 的最大值. 解 ∵当t ∈[－1，＋∞)且x ∈[1，m ]时，x ＋t ≥0， ∴f (x ＋t )≤3e xe x ＋t ≤e x t ≤1＋ln x －x .∴原命题等价转化为：存在实数t ∈[－1，＋∞)，使得不等式t ≤1＋ln x －x 对任意x ∈[1，m ]恒成立.令h (x )＝1＋ln x －x (1≤x ≤m ).∵h ′(x )＝1x －1≤0， ∴函数h (x )在[1，＋∞)上为减函数，又x ∈[1，m ]，∴h (x )min ＝h (m )＝1＋ln m －m . ∴要使得对任意x ∈[1，m ]，t 值恒存在，只需1＋ln m －m ≥－1.∵h (3)＝ln 3－2＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ·3e >ln 1e ＝－1， h (4)＝ln 4－3＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ·4e 2<ln 1e ＝－1，又函数h (x )在[1，＋∞)上为减函数， ∴满足条件的最大整数m 的值为3.探究提高 1.函数与方程、不等式联系密切，解决方程、不等式的问题需要函数帮助.2.解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围.【训练5】在平面直角坐标系xOy 中，A (－12，0)，B (0，6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上.若P A →·PB →≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________.解析设点P (x ，y )，且A (－12，0)，B (0，6).则P A →·PB →＝(－12－x ，－y )·(－x ，6－y )＝x (12＋x )＋y (y －6)≤20，又x 2＋y 2＝50，∴2x －y ＋5≤0，则点P 在直线2x －y ＋5＝0上方的圆弧上(含交点)，即点P 在MCN 上，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋5，x 2＋y 2＝50，解得x ＝－5或x ＝1，结合图形知，－52≤x ≤1.故点P 横坐标的取值范围是[－52，1]. 答案 [－52，1]应用3 正与反、主与次的转化【例6】 (1)设y ＝(log 2x )2＋(t －2)log 2x －t ＋1，若t 在[－2，2]上变化时，y 恒取正值，则x 的取值范围是________.(2)若对于任意t ∈[1，2]，函数g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t ，3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是________.解析 (1)设y ＝f (t )＝(log 2x －1)t ＋(log 2x )2－2log 2x ＋1，则f (t )是一次函数，当t ∈[－2，2]时，f (t )>0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧f （－2）>0，f （2）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧（log 2x ）2－4log 2x ＋3>0，（log 2x ）2－1>0，解得log 2x <－1或log 2x >3，即0<x <12或x >8，故实数x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(8，＋∞).(2)g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t ，3)上总为单调函数，则①g ′(x )≥0在(t ，3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t ，3)上恒成立. 由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x －3x .当x ∈(t ，3)时恒成立，∴m ＋4≥2t －3t 恒成立，则m ＋4≥－1，即m ≥－5；由②得m ＋4≤2x －3x ，当x ∈(t ，3)时恒成立，则m ＋4≤23－9，即m ≤－373. ∴使函数g (x )在区间(t ，3)上总不为单调函数的m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－5.答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(8，＋∞) (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－5探究提高 1.第(1)题是把关于x 的函数转化为在[0，4]内关于t 的一次函数大于0恒成立的问题.在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的参数，将其看作是“主元”，而把其它变元看作是参数.2.第(2)题是正与反的转化，由于不为单调函数有多种情况，先求出其反面，体现“正难则反”的原则.【训练6】已知函数f (x )＝x 3＋3ax －1，g (x )＝f ′(x )－ax －5，其中f ′(x )是f (x )的导函数.对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0，则实数x 的取值范围为________.解析由题意，知g (x )＝3x 2－ax ＋3a －5，令φ(a )＝(3－x )a ＋3x 2－5，－1≤a ≤1. 对－1≤a ≤1，恒有g (x )<0，即φ(a )<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧φ（1）<0，φ（－1）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－x －2<0，3x 2＋x －8<0，解得－23<x <1.故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1时，对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1。

思想方法第3讲分类讨论思想

思想方法第3讲分类讨论思想思想概述分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时，需对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答．实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想．方法一由概念、公式、法则、计算性质引起的讨论概念、定理分类整合即利用数学中的基本概念、定理对研究对象进行分类，如绝对值的定义、不等式的转化、等比数列{a n }的前n 项和公式等，然后分别对每类问题进行解决．例1(1)(2022·滁州质检)已知过点P (0,1)的直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋6＝0相交于A ，B 两点，则当|AB |＝23时，直线l 的方程为( )A ．x ＝0B ．15x －8y －8＝0C ．3x －4y ＋4＝0或x ＝0D ．3x ＋4y －4＝0或x ＝0________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________(2)已知数列{a n }满足a 1＝－2，a 2＝2，a n ＋2－2a n ＝1－(－1)n ，则下列选项不正确的是( )A ．{a 2n －1}是等比数列B.∑i ＝15(a 2i －1＋2)＝－10C ．{a 2n }是等比数列D.∑i ＝110a i ＝52________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________规律方法解题时应准确把握数学概念的本质，根据需要对所有情形分类．本例中，设直线方程需分斜率存在和不存在两种情况，数列中含(－1)n 需分奇偶两种情况，要注意分类讨论要有理有据、不重不漏．方法二由图形位置或形状引起的讨论图形位置、形状分类整合是指由几何图形的不确定性而引起的分类讨论，这种方法适用于对几何图形中点、线、面的位置关系以及解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系的研究．例2设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，点P 为椭圆上一点，已知点P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1||PF 2|＝________. ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________规律方法圆锥曲线的形状、焦点位置不确定时要分类讨论；立体几何中点、线、面的位置变化，三角形和平行四边形的不确定性都要进行分类讨论．方法三由参数变化引起的分类讨论某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等．解决这类问题要根据需要合理确定分类标准，讨论中做到不重不漏，结论整合要周全．例3 (2022·湖北七市(州)联考)已知函数f (x )＝x ＋1x (x >0)，若f (x )[f (x )]2＋a的最大值为25，则正实数a ＝________.________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________规律方法若遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义和对结果的影响进行分类讨论，此类题目为含参型，应全面分析参数变化引起的结论的变化情况，在分类讨论时要遵循分类的原则：一是分类的标准要一致，二是分类时要做到不重不漏，三是能不分类的要尽量避免分类，杜绝无原则的分类讨论．。

探究分类讨论思想在高中数学教学中的应用

探究分类讨论思想在高中数学教学中的应用
分类讨论思想是一种在数学教学中常用的方法和思维方式。

它通过将问题分成不同的
类别或情况来探究问题的本质和解决方法，提高学生的思维能力和解决问题的能力。

以下
将从课堂教学和解题方法两个方面来探究分类讨论思想在高中数学教学中的应用。

在课堂教学中，分类讨论思想可以起到激发学生思考和参与的作用。

在引入新知识或
讲解新概念时，可以通过提出问题并让学生分类讨论的方式来引导学生思考。

在教学平面
几何时，可以提问“如何确定一个三角形？”引导学生根据三条边的关系来分类讨论。

这
样的引导可以激发学生的思考和兴趣，提高他们的学习积极性。

在解题方法中，分类讨论思想可以帮助学生深入理解问题和灵活运用知识。

通过将问
题分成不同的情况或类别，学生可以针对不同情况进行讨论和分析，找出问题的规律和共性。

在解决二元一次方程组时，可以根据系数的大小关系进行分类讨论，得到不同的解法。

这样的分类讨论可以帮助学生更加深入地理解问题，从而提高解题的能力。

分类讨论思想在高中数学教学中具有重要的应用价值。

它可以激发学生的思考和参与，提高他们的学习积极性；可以帮助学生深入理解问题和灵活运用知识；可以帮助解决复杂
问题和拓展思维。

在数学教学中，教师应该灵活运用分类讨论思想，设计相关的教学活动
和问题，提高学生的思维能力和解决问题的能力。