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求导练习题带答案

求导练习题带答案求导是微积分中的一项基本技能，它可以帮助我们理解函数的变化率以及找到函数的极值点。

以下是一些求导的练习题及其答案，适合初学者练习。

练习题1：求函数 f(x) = x^3 的导数。

解：根据幂函数的求导法则，对于函数 f(x) = x^n，其导数为 f'(x) = n * x^(n-1)。

因此，对于 f(x) = x^3，我们有 f'(x) = 3 *x^(3-1) = 3x^2。

练习题2：求函数 g(x) = sin(x) 的导数。

解：根据三角函数的求导法则，sin(x) 的导数是 cos(x)。

所以，g'(x) = cos(x)。

练习题3：求函数 h(x) = 2x^2 + 3x - 1 的导数。

解：根据多项式的求导法则，我们可以分别对每一项求导，然后将结果相加。

对于 h(x) = 2x^2 + 3x - 1，我们有 h'(x) = 2 * 2x^(2-1) + 3 * 1x^(1-1) - 0 = 4x + 3。

练习题4：求函数 k(x) = (x^2 - 1)^3 的导数。

解：这里我们使用链式法则和幂函数的求导法则。

首先，设 u = x^2- 1，那么 k(x) = u^3。

u 的导数是 u' = 2x，而 u^3 的导数是3u^2。

应用链式法则，我们得到 k'(x) = 3u^2 * u' = 3(x^2 - 1)^2 * 2x = 6x(x^2 - 1)。

练习题5：求函数 m(x) = e^x 的导数。

解：根据指数函数的求导法则，e^x 的导数是它自身。

所以，m'(x) = e^x。

练习题6：求函数 n(x) = ln(x) 的导数。

解：自然对数函数 ln(x) 的导数是 1/x。

因此，n'(x) = 1/x。

练习题7：求函数 p(x) = (3x - 2)^5 的导数。

解：使用链式法则和幂函数的求导法则。

(完整版)导数专题练习汇总非常全面(可编辑修改word版)

ln x 1.导数应用之函数单调性题组 1：1.求函数f ( x) =x3 - 3x2 - 9x +12 的单调区间.2.求函数f ( x) =x2 - 3x + ln x 的单调区间.3.求函数f ( x) =x2 + 3x - ln x 的单调区间.4.求函数f ( x) =1x ln x的单调区间.5.求函数f (x) =- ln x + ln(x +1) 的单调区间.1+x题组 2：1.讨论函数f (x) =1x4+1ax3-a2x2+a4 (a > 0) 的单调区间.4 32.讨论函数f ( x) =x3+ 3ax2- 9x -12 的单调区间.3.求函数f ( x) =1mx3 - (2 +m)x2 + 4x + 1 (m > 0) 的单调递增区间.3 24.讨论函数f (x) = (a +1) ln x +ax 2+1的单调性.5.讨论函数f (x) = ln x -ax +1-a-1 的单调性. x题组 3：1.设函数f (x) =x3+ax2+x +1.(1)讨论函数f (x) 的单调区间；2 1(2)设函数f (x) 在区间(- ，-)内是减函数,求a 的取值范围．3 32.(1)已知函数f (x) =ax2+x + ln x 在区间(1, 3) 上单调递增,求实数a 的取值范围.(a>=-2/9)(2)已知函数f (x) =ax2+x + ln x 在区间(1, 3) 上单调递减,求实数a 的取值范围.(a<=-1)3.已知函数f (x) = (x3+ 3x2+ax +b)e-x.(1)若a =b =-3 ,求f (x) 的单调区间；(2)若f (x) 在(-∞,),(2,) 单调递增,在(, 2),(, +∞) 单调递减,证明: -< 6 .4.设函数f (x) =x3+ax2-a2x +1 , g(x) =ax2- 2x +1 ,(1)若a > 0 ,求函数f (x) 的单调区间；(2)若f (x) 与g(x) 在区间(a, a + 2) 内均为增函数,求a 的取值范围．2.导数应用之极值与最值1.设函数f (x) =x2e x-1+ax3+bx2,且x =-2 和x =1 均为f (x) 的极值点．(1)求a ,b 的值,并讨论f (x) 的单调性；(2)设g(x) =2x3-x2,试比较f (x) 与g(x) 的大小．32.设函数f (x) =x2 (x -a) .(1)若f '(1) = 3 ,求曲线y = f (x) 在点(1, f (1)) 处的切线方程；(2)求函数y = f (x) 在区间[0,2]上的最大值.3.设函数f (x) =ax3- 3x 2．(1)若x = 2 是函数y = f (x) 的极值点,求a 的值；(2)若函数g(x)=f(x)+f'(x),x∈[0，2],在x=0处取得最大值,求a 的取值范围．4.已知函数f (x) =1x3+x2- 2 . 3(1)设S 是正项数列{a }的前n 项和, a = 3,且点(a , a2-2a ) 在函数y = f '(x) 的图象上,求证:点n(n, Sn ) 也在y =n 1f '(x) 的图象上；n n+1 n+1(2)求函数f (x) 在区间(a -1, a) 内的极值.5.设函数f (x) =ax3+bx2- 3a2x +1在x =x ,x =x 处取得极值,且x -x = 2 ．1 2 1 2(1)若a =1 ,求b 的值,及函数f (x) 的单调区间；(2)若a > 0 ,求实数b 的取值范围．6.设函数f (x) =1ax3-bx2+ (2 -b)x +1 在x 处取得极大值,在x 处取得极小值,且0 <x <1 <x < 2 .3 1 2 1 2证明: a > 0 ,并求a + 2b 的取值范围.7.已知x =1 是函数f (x) =1ax3-3x2+ (a +1)x + 5 的一个极值点, 3 2(1)求函数f (x) 的解析式；(2)若y =f (x) 的图像与直线y = 2x +m 有三个不同的交点,求实数m 的取值范围.8.已知x = 3 是函数f (x) =a ln(1+x) +x2-10x 的一个极值点.(1)求f (x) 的解析式及其单调区间；(2)若直线y =b 与曲线y = f (x) 有三个交点,求b 的取值范围.9.设函数f (x) =x4+ax3+ 2x2+b(x ∈R) ．(1)若函数f (x) 仅在x = 0 处有极值,求a 的取值范围；(2)若对于任意的a∈[-2，2],不等式f (x) ≤1在[-1，1]上恒成立,求b的取值范围．10.设x = 3 是函数f (x) = (x2+ax +b)e3-x的一个极值点.(1)求a 与b 的关系式(用a 表示b ),并求函数f (x) 的单调区间；(2)设a > 0 ,g(x) = (a2+25)e x.若存在x , x ∈[0, 4],使f (x ) -g(x ) < 1总成立,求a 的取值范围.4 1 2 1 211.已知函数f (x) = kx +1x2+c(c > 0 且c ≠ 1)恰有一个极大值点和一个极小值点,其中一个是x =-c ．(1)求函数f (x) 的另一个极值点；(2)求函数f (x) 的极大值M 和极小值m ,并求M -m ≥1 时k 的取值范围．12.设函数f (x) =ax3+bx2+cx +d 的图像∏上有两个极值点P, Q ,其中P 为坐标原点,(1)当点Q 的坐标为(1, 2) 时,求f (x) 的解析式；(2)当点Q 在线段x +y - 5 = 0 (1 ≤x ≤ 3) 上时,求曲线∏的切线斜率的最大值.13.导数应用之函数的零点题组 1：1. 函数 f (x ) = 3x - x 2 在区间[-1, 0] 内有没有零点？为什么？2. 函数 f (x ) = 2x + 3x 的零点所在的一个区间是【】.A. (-2, -1)B. (-1, 0)C. (0,1)D. (1, 2)3. 函数 f (x ) 的零点与 g (x ) = 4x + 2x - 2 的零点之差的绝对值不超过0.25 ,则 f (x ) 可以是【】.A. f (x ) = e x -1C. f (x ) = (x -1)2B. f (x ) = 4x -1D. f (x ) = ln(x - )24. 若2 < a < 3 < b < 4 ,且函数 f (x ) = log a x + x - b 的零点 x 0 ∈(n , n +1) (n ∈ Z ) ,则 n = 【】.A.1B. 2C. 3D. 4题组2：5. 设函数 y =f (x ) 的图像在[a , b ] 上连续,若满足,则方程 f (x ) = 0 在[a , b ] 上有实根.6. 已知 x 是函数 f (x ) = 2x +1的一个零点.若 x ∈(1, x ) , x ∈(x , +∞) ,则【】.1- x1 02 0A. f (x 1) < 0 , f (x 2 ) < 0C. f (x 1) > 0 , f (x 2 ) < 01B. f (x 1) < 0 , f (x 2 ) > 0D. f (x 1) > 0 , f (x 2 ) > 0 7. 函数 f ( x ) = x +的零点个数为.x8.求证:函数 f (x ) = x 2 - 2 -题组 3：3x -1在区间(0, 2) 内没有零点.9. 函数 f ( x ) = x + log 2 x 在区间(0,1) 内是否有零点？为什么？10. 求证:函数 f (x ) = x 4 - 2x -1在区间[-1, 2] 内至少有两个零点.11. 求证:函数 f (x ) = (x - 3)(x - 8) -1有且只有两个零点.12. 求证:函数 f (x ) = ln x - x 2 + x +1有且只有两个零点.13. 设函数 f (x ) = ax 2+ bx + c ,若 f (1) > 0 , f (2) < 0 ,则 f (x ) 在区间(1,2) 上的零点个数为【】.n1 A.至多有一个 B.有且只有一个 C.有一个或两个 D.一个也没有14.设 m ∈(1, +∞) ,求证:函数 f (x ) = x - ln(x + m ) 有且只有两个零点.15.判断函数 f (x ) = x 2 - lg x 在区间(0,10) 内的零点个数,并说明理由.题组 4：16.设函数 f (x ) = x n + x -1 (n ∈ N *, n ≥ 2) . 1(1)证明: f n (x ) 在区间( 2 ,1) 内存在唯一的零点；1(2) 设 x n 是 f n (x ) 在( 2,1) 内的零点,判断数列 x 2 , x 3 , , x n 的增减性．17. 设函数 f (x ) = x 2 - (a - 2)x - a ln x ．(2) 若函数有两个零点,求满足条件的最小正整数a 的值； (3) 若方程 f (x ) = c 有两个不等实根 x 1 , x 2 ,求证: f '(x 1 + x 2 ) > 0 ．218. 设函数 f (x ) = 2 l n x + mx - x 2有两个零点 x , x ,求证: f '( x 1 + x 2 ) < 0 .219. 设函数 f (x ) = ln x - ax 有两个零点 x , x ,求证: x x> e 2 .121 220. 记函数 f 2 n (x ) = +x + x + + x(n ∈ N ) ,求证:当为偶数时,方程 f (x ) = 0 没有实数根；n11! 2!n ! +nn当 n 为奇数时,方程 f n (x ) = 0 有唯一实数根 x n ,且 x n +2 < x n .xx 2 x 3 x n21.设函数 f n ( x ) = -1 + 12 + 22 + 32 + + n2 ( x ∈ R , n ∈ N + ) ,2(1) 证明:对每个n ∈ N + ,存在唯一的 x n ∈[ 3,1] ,满足 f n ( x n ) = 0 ；1 (2) 证明:对任意 p ∈ N + ,由(1)中 x n 构成的数列{x n }满足0 < x n - x n + p <n.24.导数应用之图像的切线题组 1：1.求平行于直线9x -y +1= 0 ,且与曲线y =x3+ 3x2-1相切的直线方程.2.求垂直于直线x - 3y + 2 = 0 ,且与曲线y =x3+ 3x2-1相切的直线方程.3.求与直线3x -y + 2 = 0 夹角为45︒,且与抛物线y = 2x2相切的直线方程.4.设函数f(x)=sin x图像上动点P处切线的倾斜角为,求的取值范围.题组 2：5.求函数f ( x) = 2x3的图像C 在点P(1, 2) 处的切线l 方程,以及曲线C 与切线l 的所有交点坐标.6.求函数f ( x) = 2x3的图像经过点P(1, 2) 的切线方程.7.求函数f ( x) = 2x3的图像经过点P(1,10) 的切线方程.8.求经过坐标原点,且与函数f (x) = x +9x +5的图像相切的直线方程.9.设函数f (x) =ax -bx,曲线C : y = f (x) 在点(2，f (2)) 处的切线为7x - 4 y -12 = 0 ．(1)求函数f (x) 的解析式；(2)求证:曲线C 上任意一点处的切线与直线y =x ,以及y 轴所围成三角形的面积为定值.10.已知直线2x +y - 3 + ln 2 = 0 是函数f (x) = ln x +(1)求f (x) 的解析式；m的图像C 的一条切线. x(2)若P(s, t) 是曲线C 上的动点,求曲线C 在点P 处的切线纵截距的最小值.题组 3：11.已知直线y =x 是函数f ( x) =x3 - 3x2 +ax -1图像的一条切线,求实数a 的值.12.已知a > 0 ,且过点P(a, b) 可作函数f (x) =x3-x 图像的三条切线,证明: -a <b < f (a) .13.设函数f (x) =1x3-1ax2+bx +c (a > 0) 的图像C 在点P(0, f (0)) 处的切线为y =1.3 2(1)确定b, c 的值；(2)设曲线C 在A( x1, f ( x1 )), B( x2 , f ( x2 )) 处的切线都过Q(0, 2) ,证明:若x1 ≠x2 ,则f '(x1 ) ≠f '(x2 ) ；(3)若过点Q(0, 2) 可作曲线C 的三条不同切线,求a 的取值范围.14.已知函数f (x) =1x3+1ax2+bx 在区间[-1，1),(1，3]内各有一个极值点．3 2(1)求a2- 4b 的最大值；(2)当a2-4b =8 时,设曲线C :y = f (x) 在点A(1，f (1)) 处的切线l 穿过曲线C (穿过是指:动点在点A 附近沿曲线C 运动,当经过点A 时,从l 的一侧进入另一侧),求f (x) 的表达式．15.由坐标原点O(0,0) 向曲线y =x3- 3x 2+x 引切线,切于不同于点O 的点P ( x , y ) ,再由P 引切1 1 1 1线切于不同于P1的点P2( x2, y2) ,如此继续下去……,得到点Pn( xn, yn) ,求xn+1与xn的关系,及xn的表达式.巩固练习：1.求函数f ( x) = 2x3的图像经过点P(1, -8) 的切线方程.2.求函数f (x) = x +3x2+31的图像经过点P(3, ) 的切线方程.23. 如图,从点 P (0, 0) 作 x 轴的垂线交于曲线 y = e x于点Q (0, 1) ,11曲线在Q 1 点处的切线与 x 轴交与点 P 2 ；再从 P 2 作 x 轴的垂线交曲线于点Q 2 ,依次重复上述过程得到一系列的点: P 1 , Q 1 , P 2 , Q 2 ,…, P n , Q n ,记点 P k 的坐标为 P k ( x k , 0) (k = 1, 2,3, , n ) . (1)求 x k +1 与 x k 之间的等量关系；(2) 求 P 1Q 1 + P 2Q 2 + P 3Q 3 +... + P n Q n .5.导数应用之存在与任意a 1.已知函数 f (x ) = x + +b (x ≠ 0) ,其中 a , b ∈ R ．x(1) 若曲线 f (x ) 在点 P (2, f (2)) 处的切线方程为 y = 3x +1,求函数 f (x ) 的解析式；1 1(2) 若对于任意的 a ∈[ , 2] ,不等式 f (x ) ≤ 10 在 x ∈[ ,1] 恒成立,求b 的取值范围．2 42.已知函数 f (x ) = (1+ x )2 - 2ln(1+ x ).(1)求 f (x ) 的单调区间；(2)若 f (x ) < m 对 x ∈[e -1 -1,e -1]恒成立,求m 的取值范围；3. 设函数 f (x ) =1 .x ln x1(1)求 f (x ) 的单调区间；(2)若 2 x> x a 对 x ∈(0,1) 恒成立,求 a 的取值范围.4. 已知函数 f (x ) = ln 2(x +1) -x 2. x +1(1)求 f (x ) 的单调区间；(2)若(1+ 1)n +α ≤ e 对n ∈ N n+都成立,求α 的最大值.5. 设函数 f (x ) = x (e x -1) - ax 2 .1(1)若 a =,求 f (x ) 的单调区间； (2)若当 x ≥ 0 时, f (x ) ≥ 0 ,求 a 的取值范围.26. 设函数 f (x ) = e x - ax 2 - x .(1)若 a = 0 ,求 f (x ) 的最小值；(2)若当 x ≥ 0 时, f (x ) ≥ 1恒成立,求 a 的取值范围.7. 设函数 f ( x ) = e x - ax 的图象与 y 轴交于点 A ,曲线 y = f ( x ) 在点 A 处的切线斜率为-1.(1) 求 f ( x ) 的极值；(2) 证明:当 x > 0 时, x 2 < e x ；(3) 证明:对任意给定的正数c ,总存在 x ,使得当 x ∈(x ，+∞) ,恒有 x 2 < ce x . 8.设函数 f ( x ) = ax + cos x ,(1) 讨论函数 f (x ) 在区间[0,] 内的单调性；(2) 若 f (x ) ≤ 1+ sin x 对 x ∈[0,]恒成立,求实数 a 的取值范围.9. 设函数 f (x ) = x cos x - sin x , x ∈[0, ].2(1)求证: f (x ) ≤ 0 ；sin x(2)若 a < < b 对 x ∈(0, ) 恒成立,求 a 的最大值与b 的最小值.x 210. 已知函数 f (x ) = (a + 1) ln x + ax 2+ 1,(1)讨论函数 f (x ) 的单调性；(2)设 a < -1,且对任意的 x 1 , x 2 ∈ (0,+∞) ,都有| f (x 1 ) - f (x 2 ) ≥ 4 | x 1 - x 2 | ,求 a 的取值范围.11. 已知 x = 3 是函数 f (x ) = (x 2 + ax + b )e 3-x 的一个极值点.(1)求 a 与b 的关系式(用 a 表示b ),并求函数 f (x ) 的单调区间；(2)设 a > 0 , g (x ) = (a 2 +25)e x.若存在 x , x ∈[0, 4],使得 f (x ) - g (x ) < 1成立,求 a 的取值范围.41 2 1 212.已知函数 f (x ) = ax 3 + 1x 2 cos - 2x + c 的图像过点(1,37) ,且在[-2,1] 上递减,在[1, +∞) 上递增. 26(1) 求 f (x ) 的解析式；45 1 1 2 2 1 1 2 2 (2) 若对任意的 x , x ∈[m , m + 3] 都有 f (x ) - f (x ) ≤ 成立,求正实数 m 的取值范围.1212213.设函数 f (x ) = 1 mx 3 - (2 +m )x 2 + 4x + 1, g (x ) = mx + 5 .32(1) 当m > 0 时,求函数 f (x ) 的递增区间；(2) 是否存在负实数 m ,使得对任意的 x 1, x 2 ∈[1, 2],都有 g (x 1 ) - f (x 2 ) ≤ 1？若存在,求 m 的范围；若不存在,请说明理由.6.导数应用之极值点偏移1.(1)设不同的两点 A (x , y ), B (x , y ) 均在二次函数 f (x ) = ax 2 + bx + c ( abc ≠ 0 )的图像上,记直线 AB的斜率为 k ,求证: k =f '(x 1 + x 2) ； 2(2)设不同的两点 A (x , y ), B (x , y ) 均在“伪二次函数” g (x ) = ax 2+ bx + c ln x (abc ≠ 0 )的图像上,记直线 AB 的斜率为 k ,试问: k = g '(x 1 + x 2 ) 还成立吗？22.设函数 f (x ) = ax 2 + (1 - 2a )x - ln x (a ∈ R ) ．(1) 当 a > 0 时,求函数 f (x ) 的单调递增区间；(2) 记函数 y = f (x ) 的图像为曲线C ,设 A (x 1 , y 1 ) , B (x 2 , y 2 ) 是曲线C 上不同的两点, M 为线段 AB 的中点,过点 M 作 x 轴的垂线交曲线C 于点 N ．试问:曲线C 在点 N 处的切线是否平行于直线 AB ？3. 设函数 f (x ) = x 2 - (a - 2)x - a ln x ．(1) 求函数 f (x ) 的单调区间；(2) 若函数有两个零点,求满足条件的最小正整数a 的值； (3) 若方程 f (x ) = c 有两个不等实根 x 1 , x 2 ,求证: f '(x 1 + x 2 ) > 0 ．24.设函数f (x) = 2 ln x +mx -x2.(1)若曲线y =f (x) 在点(1, f (1)) 处的切线方程为y = 2x +n ,求实数m, n 的值；f (a) -f (b)>-2 ；(2)若m >-4 ,求证:当a >b > 0 时,有a2-b2(3)若函数f (x) 有两个零点x1 , x2 (x1 <x2 ) ,且x0 是x1 , x2 的等差中项,求证: f '(x0 ) < 0 .5.设函数f (x) = ln x -ax 有两个零点x ,x ,求证: x x >e2.1 2 1 26.设函数f ( x) =e x-ax +a 的两个零点为x ,x ,求证: x x <x +x .1 2 1 2 1 27.设函数f (x) =e x-ax ,其中a >e ,(1)求证:函数f (x) 有且仅有两个零点x1 ,x2 ,且0 <x1 < 1 <x2 ；(2)对于(1)中的x1 , x2 ,求证: f '(x1 ) +f '(x2 ) > 0 .1 8. 设函数 f (x ) = e x + mx 的图像在点 P (0, f (0)) 处的切线方程为 2x - y +1 = 0 ,求证:对满足 a < b < c 的实数 a , b , c ,都有 f (b ) - f (a ) < f (c ) - f (b )成立.b - ac - b7.导数应用之不等式证明(1)1 1 11.证明:对任意的n ∈ N + ,都有ln( n + 1) > n 2 - n3 .2.已知 m , n ∈ N + ,且1 < m < n ,求证: (1+ m )n > (1+ n )m .3. 设函数 f (x ) =+ a ln(x -1), （1- x )n(1) 当 n = 2 时,求函数 f (x ) 的极值；(2) 当 a = 1 时,证明:对任意的n ∈ N + ,当 x ≥ 2 时,都有 f (x ) ≤ x -1.4. 已知函数 f (x ) = e x - a ln(x +1) -1 在点 P (0, f (0)) 处的切线垂直于 y 轴,(1) 求函数 f (x ) 的单调区间；(2)当 m > n > 0 时,求证: e m -n -1 > ln(m +1) - ln(n +1) .n n +2 n n +15. 设函数 f (x ) = xex,且 f 1 (x ) =f '(x ) , fn +1 (x ) = f n '(x ) (n ∈ N + ) .(1)求 f 1 (x ) , f 2 (x ) , f 3 (x ) , f n (x ) 的解析式；(2)求证:对任意的实数 a , b ,以及任意的正整数 n ,都有 f 2n (a ) - f 2n -1 (b ) <f (n ) .6. 设函数 f (x ) = mx - x ln x 在 x = 1 处取得极值,数列{a }满足e -1 < a < 1 , a= f (a ) (n ∈ N + ) .n1n +1n(1) 求函数 f (x ) 的单调区间；(2) 求证:对任意的 n ∈ N * ,都有e -1 < a <1；(3) 求证:对任意的 n ∈ N * ,都有 a + a < 2a .7. 记函数 f 2 n (x ) = +x + x + + x(n ∈ N ) ,求证:当为偶数时,方程 f (x ) = 0 没有实数根；当n11! 2!n !+nnn为奇数时,方程 f n (x ) = 0 有唯一实数根 x n ,且 x n +2 < x n .xx 2 x 3 x n8.设函数 f n ( x ) = -1 + 12 + 22 + 32 + + n2 ( x ∈ R , n ∈ N + ) ,2(1) 证明:对每个n ∈ N + ,存在唯一的 x n ∈[ 3,1] ,满足 f n ( x n ) = 0 ；1 (2) 证明:对任意 p ∈ N + ,由(1)中 x n 构成的数列{x n }满足0 < x n - x n + p <n.8.导数应用之不等式证明(2)1. 设函数 f (x ) =1- x + ln x .ax(1) 若函数 f (x ) 在[1,+∞) 上为增函数,求正实数 a 的取值范围； (2) 当 a = 1 时,求证:对大于1的任意正整数 n ,都有ln n >1 + 1 + 1 + ⋅⋅⋅ + 1 .234 n2. 设函数 f (x ) = x - ln(x + a ) 的最小值为0 ,其中 a >0 .(1) 若对任意的 x ∈[0,+∞) ,有 f (x ) ≤ kx 2 成立,求实数 k 的最小值； (2) 证明:对大于1的任意正整数 n ,都有1 + 3 1+ + 51 < 2n -1 1 ln(2n +1) .23. 设函数 f (x ) = kx 2 , g (x ) = ln x ,(1) 讨论关于 x 的方程 f (x ) = g (x ) 在区间[e -1, e ] 内的实数根的个数；ln1 ln 2 ln 3 ln 4 ln n 1(2) 求证:对任意的正整数 n ,都有 14 + + 24 34 + 44 + + n 4 < 2e.e 1 1 1 14. 设函数 f ( x ) = x - a ln(1 + x 2 ) ,1 2(1) 若函数 f ( x ) 在区间( , ) 上递增,求实数a 的取值范围；3 3(2)证明:当 x > 0 时, ln(1+ x 2 ) < x ；(3)证明:对大于1的任意正整数 n ,都有(1 +14 )(1 + 24 )(1 + 34 ) (1 + n4 ) < 2e .5.设函数 f (x ) =2x,其中 f (1) = 1 , f ( 1 ) = 2 .在数列{x }中, x = 1,且 x= f (x ) .ax + b(1) 求数列{x n }的通项 x n .2 3n1 12n +1n(2) 求证:对任意的正整数n ,都有 x 1x 2 x 3 x n >2e.6. 设函数 f (x ) = e x - ax -1 ,(1) 若 f (x ) ≥ 0 对 x ∈ R 均成立,求正实数 a 的取值集合；(2)求证:对任意的正整数 n ,都有( 1 )n + ( 2)n + ( 3)n + + ( n )n <e.nn n n e -17. 设函数 f ( x ) = e x - x - 1 ,(1) 求证:函数 f (x ) 有且只有一个零点；1 n 3 n 5 n 2n - 1 n(2) 求证:对任意的正整数 n ,都有( ) 2n + ( ) 2n + ( ) 2n + + ( 2n) < .e - 1k k 1 1 2 2 n n 1 2 1 2 n8.(1)设函数 f (x ) = rx - x r +1- r (x > 0) ,其中0 < r < 1.求函数 f (x ) 的最小值；(2) 用(1)的结果证明命题:设 a ≥ 0 , a ≥ 0 , b , b 为正实数,若b + b = 1,则 a b 1 a b 2 ≤ a b + a b ；121212121 12 2(3) 请将(2)中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法证明你所推广的命题.9.(1)求函数 f (x ) = ln x - x + 1的最大值；(2) 设a , b 均为正实数,证明:若a b + a b+ + a b ≤ b + b + + b ,则a b 1 a b 2 a b n ≤ 1 ；(3) 设a , b 均为正实数,证明:若b + b + + b = 1 ,则 1 ≤ b b b b b b ≤ b 2 + b 2 + + b 2 . k k 1 2 1 2 n n1 2 nn 1 2 nn。

(word完整版)导数的计算(理科)练习题(含答案)[精品],推荐文档

导数的计算（理科）练习题（含答案）一、选择题1．下列求导正确的是（）A ．211)1(xx x +='+ B ．2ln 1)(log 2x x =' C ．3(3)3log x x e '=⋅ D ．2(cos )2sin x x x x '=-2．质点做直线运动的方程是s =，则质点在t=3时的速度是（）（位移单位：m 时间单位：s ）AB C D3．下列结论：①若y=cos x ，则'sin y x =-；②若y=，则'y =；③若21y x =，则32'|27x y ==-中，正确的个数为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．34．已知曲线2ln (0)4x y x x =->的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（） A ．3 B ．2 C ．1 D ．125．下列结论中正确的个数为( )① y ＝ln2，则y ′＝12 ② y ＝21x ，则y ′|x ＝3＝－227 ③ y ＝2x ，则y ′＝2x ln2 ④ y ＝log 2x ，则y ′＝1ln 2x A ．0B ．1C ．2D ．3 6．函数4538y x x =+-的导数是（） A ．3543x + B ．0 C ．3425(43)(38)x x x ++- D ．3425(43)(38)x x x +-+- 7．设曲线1(1)1x y x x +=≠-在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（） A ．2 B ．12 C ．―12D ．―2 二、填空题8．y ＝10x 在(1,10)处切线的斜率为________．9．曲线y=sin x 在点,12π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为________。

10．在曲线y ＝24x上求一点P ，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则P 点坐标为________．11. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y=x 3―10x+3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为________。

导数练习题(含标准答案)

导数练习题(含标准答案)选择题：1.已知 $f(x)=ax+3x+2$，若 $f'(-1)=4$，则 $a$ 的值等于$\frac{19}{3}$。

2.已知直线$y=kx+1$ 与曲线$y=x+ax+b$ 切于点$(1,3)$，则 $b$ 的值为 $-3$。

3.$(x+2a)(x-a)$ 的导数为 $3x$，则函数 $y$ 可以表示为$3(x^2-a^2)$。

4.曲线 $y=\frac{1}{9}x+\sqrt{x}$ 在点$(1,\frac{4}{3})$ 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为$\frac{1}{2}$。

5.已知二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的导数为 $f'(x)$，$f'(0)>0$，对于任意实数 $x$，有 $f(x)\geq f(1)$，则最小值为$\frac{3}{2}$。

6.已知函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处的导数为 $3$，则 $f(x)$ 的解析式可能为 $f(x)=2(x-1)$。

7.下列求导数运算正确的是：$(x+\sqrt{x})' =1+\frac{1}{2\sqrt{x}}$。

8.曲线 $y=2x-x^2+5$ 在 $x=1$ 处的切线的倾斜角为 $-\frac{\pi}{3}$。

9.曲线 $y=x^3-3x^2+5$ 在点 $(1,3)$ 处的切线方程为 $y=-2x+5$。

10.设函数 $y=x\sin x+\cos x$ 的图像上的点 $(x,y)$ 处的切线斜率为 $k$，若 $k=g(x)$，则函数 $k=g(x)$ 的图像大致为$y=\cos x$。

11.一质点的运动方程为 $s=5-3t$，则在一段时间$[1,1+\Delta t]$ 内相应的平均速度为 $-3\Delta t+6$。

12.曲线 $f(x)=\ln(2x-1)$ 上的点到直线 $2x-y+3=0$ 的最短距离是 $5$。

完整版)导数测试题(含答案)

完整版)导数测试题(含答案)1.已知函数y=f(x)=x^2+1，则在x=2，Δx=0.1时，Δy的值为0.41.2.函数f(x)=2x^2-1在区间(1,1+Δx)上的平均变化率为4+4Δx。

3.设f′(x)存在，则曲线y=f(x)在点(x，f(x))处的切线与x 轴相交但不垂直。

4.曲线y=-1/x在点(1，-1)处的切线方程为y=x-2.5.在曲线y=x^2上，且在该点处的切线倾斜角为π/4的点为(2,4)。

6.已知函数f(x)=1/x，则f′(-3)=-1/9.7.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是(2,∞)。

8.“函数y=f(x)在一点的导数值为0”是“函数y=f(x)在这点取极值”的充要条件。

9.函数f(x)在开区间(a,b)内的极小值点有2个。

10.函数f(x)=-x^2+4x+7，在x∈[3,5]上的最大值和最小值分别是f(3)和f(5)。

11.函数f(x)=x^3-3x^2-9x+k在区间[-4,4]上的最小值为-71.12.速度为零的时刻是0,1,4秒末。

13.已知函数 $y=f(x)=ax^2+2x$，且 $f'(1)=4$，则 $a=3$。

14.已知函数 $y=ax^2+b$ 在点 $(1,3)$ 处的切线斜率为 $2$，则 $b=a+1$。

15.函数 $y=x e^x$ 的最小值为 $-1/e$。

16.有一长为 $16$ m 的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是 $64$ $m^2$。

17.(1) $y'=6x+\cos x$；(2) $y'=\dfrac{1}{(1+x)^2}$；(3)$y'=\dfrac{1}{x}-e^x$。

18.(1) 解方程 $x^2+4=x+10$ 得 $x=3$ 或 $x=-2$，故交点为 $(3,13)$ 或 $(-2,0)$；(2) 在交点 $(3,13)$ 处，抛物线的斜率为 $6$，故该点处的切线方程为 $y=6x-5$。

导数测试试卷及答案

导数测试试卷及答案(总5页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--导数测试试卷第I 卷（选择题，共60分）一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。

1.函数y =2)13(1-x 的导数是 A.3)13(6-x B.2)13(6-x C.－3)13(6-x D.－2)13(6-x2.若f (x )在［a ,b ］上连续，在(a ,b )内可导，且x ∈(a ,b )时，f ′(x )>0,又f (a )<0,则(x )在［a ,b ］上单调递增，且f (b )>0 (x )在［a ,b ］上单调递增，且f (b )<0 (x )在［a ,b ］上单调递减，且f (b )<0(x )在［a ,b ］上单调递增，但f (b )的符号无法判断 3.若f (x )=sin α－cos x ,则f ′(α)等于α α α+cos α α4下列说法正确的是.A.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极大值B.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极小值C.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极值D.当f (x 0)为函数f (x )的极值且f ′(x 0)存在时，则有f ′(x 0)=0 5.下列说法正确的是A.函数的极大值就是函数的最大值B.函数的极小值就是函数的最小值C.函数的最值一定是极值D.在闭区间上的连续函数一定存在最值6.物体运动方程为s =41t 4－3,则t =5时的瞬时速率为m/s m/s m/s m/s7. 下列求导运算正确的是 ( )A.211()1x x x B.21(log )ln 2x x C. 2(cos )2sin x x x x D. 3(3)3log x x e8. 函数21x y x的导数为 ( )A.2221(1)x yx B.3211x x yx C.2211x yx D.211x y x 9.下列求导数运算正确的是 A.（x +x 1）′=1+21xB.(log 2x )′=2ln 1xC. (3x )′=3x log 3eD.(x 2cos x )′=－2x sin x 10.过曲线y =11+x 上点P （1，21）且与过P 点的切线夹角最大的直线的方程为－8x +7=0+8x +7=0 +8x －9=0－8x +9=011.函数y =sin32x 的导数为 (cos32x )·32x ·ln3B.(ln3)·32x ·cos32x·cos32x12．已知函数)(()(x f x f x y ''=其中的图象如右图所示))(的导函数是函数x f ，下面四个图象中)(x f y =的图象大致是（）A B C D第II 卷（非选择题，共90分）二填空题：本题共4小题，共16分，把答案填在题中的横线上13.函数y =(1+sin3x )3是由___________两个函数复合而成. 14.函数f (x )=cos 2x 的单调减区间是___________.15.与直线2x －6y +1=0垂直，且与曲线y =x 3+3x 2－1相切的直线方程是____ 16.函数y =2x 3－3x 2－12x +5在［0，3］上的最小值是___________ 三解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

100道求导数计算题

100道求导数计算题1. y = x^3 - 2x^2 + 5x - 3, dy/dx = 3x^2 - 4x + 52. y = 2x^4 + 3x^3 - 5x^2 + 2x - 1, dy/dx = 8x^3 + 9x^2 - 10x + 23. y = (4x^2 + 3x - 2)/(2x - 1), dy/dx = (14x^2 - 4x - 3)/(2x - 1)^24. y = sqrt(x^4 - 1), dy/dx = 2x^3 / sqrt(x^4 - 1)5. y = sin(2x) + cos(3x), dy/dx = 2cos(2x) - 3sin(3x)6. y = ln(x^2 - 3x + 2), dy/dx = (2x - 3)/(x^2 - 3x + 2)7. y = e^(3x^2 + 2x), dy/dx = (6x + 2)e^(3x^2 + 2x)8. y = 1/(x^2 + 1), dy/dx = -2x/(x^2 + 1)^29. y = (x + 2)^(1/3) - 2^(1/3), dy/dx = 1/(3(x + 2)^(2/3))10. y = 3x^2 + 4x - 2/x, dy/dx = 6x + 4 + 2/x^211. y = 5x^3 - 2x^2 + 7x - 3, dy/dx = 15x^2 - 4x + 712. y = cos(5x) + sin(3x), dy/dx = -5sin(5x) + 3cos(3x)13. y = ln(4x - 5), dy/dx = 4/(4x - 5)14. y = e^(2x + 3), dy/dx = 2e^(2x + 3)15. y = 1/x - 2x + 4x^2, dy/dx = -1/x^2 - 2 + 8x16. y = 3sqrt(x) - 1/x^2, dy/dx = (3/2)x^(-1/2) + 2/x^317. y = 2cos(x) - sin(2x), dy/dx = -2sin(x) - 2cos(2x)18. y = ln(x) / x^2, dy/dx = (1 - 2ln(x))/x^319. y = e^(x^2 - 1), dy/dx = 2xe^(x^2 - 1)20. y = x^2sin(x) - 2cos(x), dy/dx = 2xsin(x) + x^2cos(x) + 2sin(x)21. y = 2x^3 + 3x^2 - 4x + 1, dy/dx = 6x^2 + 6x - 422. y = sin(3x) - 2cos(2x), dy/dx = 3cos(3x) + 4sin(2x)23. y = ln(sin(x)), dy/dx = cot(x)24. y = e^(5x + 1), dy/dx = 5e^(5x + 1)25. y = x^3 - 3x^2 + 2x - 1, dy/dx = 3x^2 - 6x + 226. y = cos(4x) - 3sin(x), dy/dx = -4sin(4x) - 3cos(x)27. y = 1/(x^3 + 1), dy/dx = -3x^2/(x^3 + 1)^228. y = sqrt(x) / ln(x), dy/dx = (1/2sqrt(x))(ln(x))^(-1) +sqrt(x)(ln(x))^(-2)29. y = e^(2x)sin(x), dy/dx = 2e^(2x)sin(x) + e^(2x)cos(x)30. y = x^3 - x^2 + x - 1, dy/dx = 3x^2 - 2x + 131. y = cos(3x) + 4sin(2x), dy/dx = -3sin(3x) + 8cos(2x)32. y = ln(cos(x)), dy/dx = -tan(x)/(cos(x))33. y = e^(3x), dy/dx = 3e^(3x)34. y = 1/x^2 + 2x - sqrt(x), dy/dx = -2/x^3 + 2 - 1/(2sqrt(x))35. y = x^2 + sin(x), dy/dx = 2x + cos(x)36. y = ln(x^2 + 1), dy/dx = 2x/(x^2 + 1)37. y = e^(x)cos(2x), dy/dx = e^(x)(cos(2x) - 2sin(2x))38. y = x^2 + 2x - 1/x, dy/dx = 2x + 2 + 1/x^239. y = 2cos(x) + sin(3x) - 4, dy/dx = -2sin(x) + 3cos(3x)40. y = e^(x + 1), dy/dx = e^(x + 1)41. y = x^3 - 3x + 2, dy/dx = 3x^2 - 342. y = sin(2x) + cos(4x) - 3, dy/dx = 2cos(2x) - 4sin(4x)43. y = ln(5x + 2), dy/dx = 5/(5x + 2)44. y = e^(2x)cos(x), dy/dx = 2e^(2x)cos(x) - e^(2x)sin(x)45. y = x^3 + 2x^2 - 5x + 1/x, dy/dx = 3x^2 + 4x - 5 - 1/x^246. y = cos(3x) + 2sin(2x) - 1, dy/dx = -3sin(3x) + 4cos(2x)47. y = ln(2x), dy/dx = 1/x48. y = e^(2x)sin(3x), dy/dx = 2e^(2x)sin(3x) + 3e^(2x)cos(3x)49. y = x^3 + 3x^2 - 4x + 1, dy/dx = 3x^2 + 6x - 450. y = cos(2x) - sin(x), dy/dx = -2sin(2x) - cos(x)51. y = ln(x^2 - 4), dy/dx = 2x/(x^2 - 4)52. y = e^(3x)sin(2x), dy/dx = 3e^(3x)sin(2x) + 2e^(3x)cos(2x)53. y = x^3 + 4x^2 - 2x + 1/x, dy/dx = 3x^2 + 8x - 2 - 1/x^254. y = 2cos(2x) - 3sin(3x) - 2, dy/dx = -4sin(2x) - 9cos(3x)55. y = ln(x + 1), dy/dx = 1/(x + 1)56. y = e^(4x)cos(3x), dy/dx = 4e^(4x)cos(3x) - 3e^(4x)sin(3x)57. y = x^3 + 2sin(x), dy/dx = 3x^2 + 2cos(x)58. y = ln(x^3 + 1), dy/dx = 3x^2/(x^3 + 1)59. y = e^(x)sin(2x), dy/dx = e^(x)(2sin(2x) + cos(2x))60. y = x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 4x + 1, dy/dx = 4x^3 - 6x^2 + 6x - 461. y = cos(3x) - sin(2x) + 2, dy/dx = -3sin(3x) - 2cos(2x)62. y = ln(3x), dy/dx = 1/x63. y = e^(3x)cos(4x), dy/dx = 3e^(3x)cos(4x) - 4e^(3x)sin(4x)64. y = x^3 + 3sin(x), dy/dx = 3x^2 + 3cos(x)65. y = ln(x^2 - 9), dy/dx = 2x/(x^2 - 9)66. y = e^(4x)sin(5x), dy/dx = 4e^(4x)sin(5x) + 5e^(4x)cos(5x)67. y = x^3 - 4x^2 + 5x - 2, dy/dx = 3x^2 - 8x + 568. y = cos(2x) + sin(3x) + 1, dy/dx = -2sin(2x) + 3cos(3x)69. y = ln(2x + 3), dy/dx = 2/(2x + 3)70. y = e^(2x)cos(3x), dy/dx = 2e^(2x)cos(3x) - 3e^(2x)sin(3x)71. y = x^4 + 2cos(x), dy/dx = 4x^3 - 2sin(x)72. y = ln(x^3 - 1), dy/dx = 3x^2/(x^3 - 1)73. y = e^(x)cos(4x), dy/dx = e^(x)(cos(4x) - 4sin(4x))74. y = 2x^3 - x^2 + 3x - 1/x, dy/dx = 6x^2 - 2x + 1/x^275. y = cos(3x) - 2sin(2x) + 3, dy/dx = -3sin(3x) - 4cos(2x)76. y = ln(x - 1), dy/dx = 1/(x - 1)77. y = e^(3x)sin(4x), dy/dx = 3e^(3x)sin(4x) + 4e^(3x)cos(4x)78. y = x^4 + 5sin(x), dy/dx = 4x^3 + 5cos(x)79. y = ln(x^4 + 1), dy/dx = 4x^3/(x^4 + 1)80. y = e^(2x)sin(4x), dy/dx = 2e^(2x)sin(4x) + 4e^(2x)cos(4x)81. y = x^4 - 3x^3 + 4x^2 - x + 2, dy/dx = 4x^3 - 9x^2 + 8x - 182. y = cos(3x) + sin(4x) - 2, dy/dx = -3sin(3x) + 4cos(4x)83. y = ln(x^2 + 3x + 2), dy/dx = (2x + 3)/(x^2 + 3x + 2)84. y = e^(3x)cos(5x), dy/dx = 3e^(3x)cos(5x) - 5e^(3x)sin(5x)85. y = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1, dy/dx = 4x^3 - 12x^2 + 12x - 486. y = cos(4x) + 3sin(3x) + 2, dy/dx = -4sin(4x) + 9cos(3x)87. y = ln(x^3 + 2), dy/dx = 3x^2/(x^3 + 2)88. y = e^(2x)sin(5x), dy/dx = 2e^(2x)sin(5x) + 5e^(2x)cos(5x)89. y = x^4 + 6x^2 - x + 1/x, dy/dx = 4x^3 + 12x - 1/x^290. y = cos(3x) - sin(x) + 2, dy/dx = -3sin(3x) - cos(x)91. y = ln(x^2 - 3x + 1), dy/dx = (2x - 3)/(x^2 - 3x + 1)92. y = e^(3x)sin(6x), dy/dx = 3e^(3x)sin(6x) + 6e^(3x)cos(6x)93. y = x^4 + 7sin(x), dy/dx = 4x^3 + 7cos(x)94. y = ln(x^3 - x^2 + x - 1), dy/dx = (3x^2 - 2x + 1)/(x^3 - x^2 + x - 1)95. y = e^(2x)sin(6x), dy/dx = 2e^(2x)sin(6x) + 6e^(2x)cos(6x)96. y = x^4 - 5x^3 + 9x^2 - 5x + 2, dy/dx = 4x^3 - 15x^2 + 18x - 597. y = cos(3x) + 2sin(4x) - 1, dy/dx = -3sin(3x) + 8cos(4x)98. y = ln(x^4 - 1), dy/dx = 4x^3/(x^4 - 1)99. y = e^(3x)cos(7x), dy/dx = 3e^(3x)cos(7x) - 7e^(3x)sin(7x) 100. y = x^4 + 8sin(x), dy/dx = 4x^3 + 8cos(x)。

(完整版)导数练习题(含答案)

导数概念及其几何意义、导数的运算一、选择题：1 已知，若，则a 的值等于32()32f x ax x =++(1)4f '-=ABCD1931031631332 已知直线与曲线，则b 的值为1y kx =+3y x ax b =++切于点（1，3）A3B-3C5D-53 函数的导数为2y x a a =+2（）(x-)ABCD 222()x a -223()x a +223()x a -222()x a +4 曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为313y x x =+4(1,)3A B C D192913235已知二次函数的导数为，对于任意实数x ，有，则2y ax bx c =++(),(0)0f x f ''>()0f x ≥的最小值为(1)(0)f f 'A3BC 2 D52326 已知函数在处的导数为3，则的解析式可能为()f x 1x =()f x A B2()(1)3(1)f x x x =-+-()2(1)f x x =-CD 2()2(1)f x x =-()1f x x =-7 下列求导数运算正确的是AB211(1x x x'+=+21(log )ln 2x x '=CD 3(3)3log x x e '=⋅2(cos )2sin x x x x'=-8 曲线在处的切线的倾斜角为32153y x x =-+1x =AB C D6π34π4π3π9 曲线在点处的切线方程为3231y x x =-+(1,1)-A BCD 34y x =-32y x =-+43y x =-+45y x =-10设函数的图像上的点处的切线斜率为k ，若，则函数的sin cos y x x x =+(,)x y ()k g x =()k g x =图像大致为11 一质点的运动方程为，则在一段时间内相应的平均速度为253s t =-[1,1]t +∆ABCD 36t ∆+36t -∆+36t ∆-36t -∆-12 曲线上的点到直线的最短距离是()ln(21)f x x =-230x y -+=ABCD 013 过曲线上的点的切线平行于直线，则切点的坐标为32y x x =+-0P 41y x =-0P A B(0,1)(1,0)-或(1,4)(1,0)--或CD (1,4)(0,2)---或(2,8)(1,0)或14 点P 在曲线上移动，设点P 处切线的倾斜角为，则角的取值范围是323y x x =-+ααABC D [0,]2π3[0,)[,)24πππ 3[,)4ππ3(,]24ππ二、填空题15 设是二次函数，方程有两个相等实根，且，则的表达式()y f x =()0f x =()22f x x '=+()y f x =是______________16 函数的导数为_________________________________2sin x y x=17 已知函数的图像在点处的切线方程是，则_________()y f x =(1,(1))M f 122y x =+(1)(1)f f '+=18 已知直线与曲线有公共点，则k 的最大值为___________________________y kx =ln y x =三、解答题19 求下列函数的导数（1）(2) (3)(4) 1sin 1cos xy x-=+y =y =+tan y x x =⋅20 已知曲线与，直线与都相切，求直线的方程21:C y x =22:(2)C y x =--l 12,C C l 21 设函数，曲线在点处的切线方程为()bf x ax x=-()y f x =(2,(2))f74120x y --=（1）求的解析式()f x（2）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，并()y f x =0x =y x =求此定值。

(完整版)导数部分(题目及答案)

导数部分强化训练姓名：组别：1.已知二次函数f (x )的图象如图所示，则其导函数f ′(x )的图象大致形状是( )2.已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则f (x )的图象可能是( )3.如果函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么导函数y ＝f ′(x )的图象可能是( )4.(设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是( )5. 函数f (x )在定义域⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，3内的图象如图所示，记f (x )的导函数为f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12∪[1,2)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，83C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1∪[2,3)D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，43∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，36.已知曲线y ＝18x 2的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．4B ．3C ．2D.127.若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( ) A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．08.曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程为( )A ．y ＝x －1B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝2x －2D ．y ＝－2x ＋2 9.若对任意x ∈R ，f ′(x )＝4x 3，f (1)＝－1，则( )A ．f (x )＝x 4B ．f (x )＝x 4－2C ．f (x )＝4x 3－5D ．f (x )＝x 4＋210.若曲线y ＝x 2的一条切线l 的斜率是4，则切线l 的方程为( )A ．4x －y －4＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y ＋4＝0D ．2x －y ＋3＝0 11.若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－1 12.已知直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点(1,3)，则b 的值为( )A ．3B ．－3C ．5D ．－5 13.函数f (x )＝x 33＋x 2－3x －4在[0,2]上的最小值是( ) A ．－173B ．－103C ．－4D ．－643 14.函数y ＝x 3－2ax ＋a 在(0,1)内有极小值，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,3) B.⎝⎛⎭⎪⎫0，32 C ．(0，＋∞)D ．(－∞，3)15.已知函数f (x )＝12x 3－x 2－72x ，则f (－a 2)与f (－1)的大小关系为( )A ．f (－a 2)≤f (－1)B ．f (－a 2)<f (－1)C ．f (－a 2)≥f (－1)D ．f (－a 2)与f (－1)的大小关系不确定16.函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则( )A ．a ＝－11，b ＝4B ．a ＝－4，b ＝11C ．a ＝11，b ＝－4D ．a ＝4，b ＝－11 17.已知函数f (x )＝x 3－12x ＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M －m 的值为 ( )A ．16B ．12C ．32D ．618.设p ：f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q ：m ≥43，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件19.曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°20.用边长为48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边形折起，就能焊成铁盒，所做铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为( )A ．6 cmB ．8 cmC ．10 cmD ．12 cm21.对于R 上可导的任意函数f (x )，满足(x －1)f ′(x )≥0，则必有( )A ．f (0)＋f (2)<2f (1)B ．f (0)＋f (2)≤2f (1)C ．f (0)＋f (2)≥2f (1)D ．f (0)＋f (2)>2f (1)22.已知对任意x ∈R ，恒有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且当x >0时，f ′(x )>0，g ′(x )>0，则当x <0时有 ( )A ．f ′(x )>0，g ′(x )>0B ．f ′(x )>0，g ′(x )<0C ．f ′(x )<0，g ′(x )>0D ．f ′(x )<0，g ′(x )<023.与直线2x －6y ＋1＝0垂直，且与曲线f (x )＝x 3＋3x 2－1相切的直线方程是( )A ．3x ＋y ＋2＝0B ．3x －y ＋2＝0C ．x ＋3y ＋2＝0D ．x －3y －2＝0 24.设f (x )，g (x )在[a ，b ]上可导，且f ′(x )>g ′(x )，则当a <x <b 时，有 ( )A ．f (x )>g (x )B ．f (x )<g (x )C ．f (x )＋g (a )>g (x )＋f (a )D ．f (x )＋g (b )>g (x )＋f (b )25.三次函数f (x )＝mx 3－x 在(－∞，＋∞)上是减函数，则m 的取值范围是( )A ．m <0B ．m <1C ．m ≤0D ．m ≤126.已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx 的图象如图所示，则x 21＋x 22等于( )A.23 B.43 C.83 D.16327. 已知函数f (x )＝13－8x ＋2x 2，且f ′(x 0)＝4，则x 0的值为________． 28.曲线y ＝2x 2在点(－1,2)处的切线方程为____________． 29.已知f (x )＝x 2＋3xf ′(2)，则f ′(2)＝________.30.已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值为______． 31.曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线方程为________________．32.若f (x )＝x 3＋kx 2在[0,2]上是减函数，则k 的取值范围为__________．33.已知函数f (x )＝－x 3＋ax 在区间(－1,1)上是增函数，则实数a 的取值范围_____． 34.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围__ __． 35.函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为________．36.直线y ＝a 与函数f (x )＝x 3－3x 的图象有相异的三个公共点，则a 的取值范围___． 37.若函数f (x )＝kx 3＋3(k －1)x 2－k 2＋1在区间(0,4)上是减函数，则k 的取值范围是____．38.把一个周长为12 cm 的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为________．39.已知函数f(x)＝14x4＋13ax3－a2x2＋a4 (a>0)．(1)求函数y ＝f(x)的单调区间；(2)若函数y ＝f(x)的图象与直线y ＝1恰有两个交点，求a 的取值范围．1.答案 B解析设二次函数为y ＝ax 2＋b (a <0，b >0)，则y ′＝2ax ，又∵a <0，故选B. 2.答案 D解析当x <0时，由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c <0，知相应的函数f (x )在该区间上单调递减；当x >0时，由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可知，导数在区间(0，x 1)内的值是大于0的，则在此区间内函数f (x )单调递增．只有D 选项满足题意． 3.答案 A解析由y ＝f (x )的图象可知其单调性从左向右依次为增减增减，所以其导数y ＝f ′(x )的函数值依次为正负正负．由此可排除B 、C 、D. 4.答案 C解析利用导函数与原函数的图象关系求解． ∵f (x )在x ＝－2处取得极小值， ∴当x <－2时，f (x )单调递减，即f ′(x )<0；当x >－2时，f (x )单调递增，即f ′(x )>0. ∴当x <－2时，y ＝xf ′(x )>0；当x ＝－2时，y ＝xf ′(x )＝0；当－2<x <0时，y ＝xf ′(x )<0；当x ＝0时，y ＝xf ′(x )＝0；当x >0时，y ＝xf ′(x )>0. 结合选项中图象知选C. 5.答案 C解析不等式f ′(x )≤0的解集即为函数f (x )的单调递减区间，从图象中可以看出函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－13，1和[2,3)上是单调递减的，所以不等式f ′(x )≤0的解集为⎣⎡⎦⎤－13，1∪[2,3)，答案C.6.答案 C解析 y ＝18x 2，得y ′＝14x ＝12，∴x ＝2.7.答案 B解析由题意知f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，可知f ′(x )为奇函数，若f ′(1)＝2，即f ′(1)＝4a ＋2b ＝2，故f ′(－1)＝－f ′(1)＝－4a －2b ＝－2.点评注意到f (x )的导函数是一个奇函数．f ′(－1)＝－f ′(1). 8.答案 A解析 ∵点(1,0)在曲线y ＝x 3－2x ＋1上，且y ′＝3x 2－2，∴过点(1,0)的切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝3×12－2＝1，由点斜式得切线方程为y －0＝1×(x －1)，即y ＝x －1. 9.答案 B解析设f (x )＝x 4＋b ，∵f (1)＝1＋b ＝－1，∴b ＝－2. ∴f (x )＝x 4－2. 10.答案 A解析设切点为P (x 0，y 0)． y ′＝(x 2)′＝2x ，∵切线l 的斜率是4，∴2x 0＝4.∴x 0＝2，y 0＝4，则l 的方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0. 11.答案 A解析 ∵点(0，b )在直线x －y ＋1＝0上，∴b ＝1.又y ′＝2x ＋a ，∴在点(0，b )处的切线的斜率为y ′|x ＝0＝a ＝1. 12.答案 A解析 ∵点(1,3)在直线y ＝kx ＋1上，∴k ＝2. ∴2＝f ′(1)＝3×12＋a ，∴a ＝－1.∴y ＝x 3－x ＋b . 又∵点(1,3)在曲线上，∴b ＝3.点评曲线与直线切于点(1,3)，(1,3)即为切点，既在曲线上，又在直线上． 13.答案 A解析 f ′(x )＝x 2＋2x －3，f ′(x )＝0，x ∈[0,2]只有x ＝1.比较f (0)＝－4，f (1)＝－173，f (2)＝－103.可知最小值为－173.14.答案 B解析令y ′＝3x 2－2a ＝0，得x ＝± 2a3(a >0，否则函数y 为单调增函数)．若函数y ＝x 3－2ax ＋a 在(0,1)内有极小值，则 2a 3<1，∴0<a <32. 15.答案 A解析由题意可得f ′(x )＝32x 2－2x －72.由f ′(x )＝12(3x －7)(x ＋1)＝0，得x ＝－1或x ＝73.当x <－1时，f (x )为增函数；当－1<x <73时，f (x )为减函数．所以f (－1)是函数f (x )在(－∞，0]上的最大值，又因为－a 2≤0，故f (－a 2)≤f (－1)． 16.答案 D解析由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，根据已知条件⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝0，f (1)＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＋3＝0，a 2＋a ＋b ＋1＝10.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－11，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3.(经检验应舍去)17.答案 C解析令f ′(x )＝3x 2－12＝0，得x ＝±2，比较f (－3)，f (－2)，f (2)，f (3)的大小可知： M ＝f (－2)＝24，m ＝f (2)＝－8.∴M －m ＝32. 18.答案 C解析 ∵f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1， ∴f ′(x )＝3x 2＋4x ＋m .由f (x )为增函数⇔f ′(x )≥0在R 上恒成立⇔Δ≤0⇔16－12m ≤0⇔m ≥43.故p 是q 的充分必要条件． 19.答案 B解析 ∵y ＝x 3－2x ＋4，∴y ′＝3x 2－2. ∵y ′|x ＝1＝3×1－2＝1，∴y ＝x 3－2x ＋4在点(1,3)处的切线的斜率为1，即其倾斜角为45°. 20.答案 B解析设截去小正方形的边长为x ，则铁盒容积为V ＝(48－2x )2x (0<x <24)，V ′＝(48－2x )(48－6x )．令V ′＝0，则x 1＝24(舍去)，x 2＝8，当0<x <8时，V ′>0.当8<x <24时，V ′<0.可知x ＝8时，容积最大，故选B. 21.答案 C解析由(x －1)f ′(x )≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1，f ′(x )≥0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，f ′(x )≤0.①函数y ＝f (x )在(－∞，1]上单调递减，f (0)>f (1)；在[1，＋∞)上单调递增，f (2)>f (1)，∴f (0)＋f (2)>2f (1)．②函数y ＝f (x )可为常数函数，f (0)＋f (2)＝2f (1)． 22.答案 B解析由f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，知f (x )为奇函数，g (x )为偶函数．又x >0时，f ′(x )>0，g ′(x )>0，由奇、偶函数的性质知，当x <0时，f ′(x )>0，g ′(x )<0. 23.答案 A解析设切点的坐标为(x 0，x 30＋3x 20－1)，则由切线与直线2x －6y ＋1＝0垂直，可得切线的斜率为－3，又f ′(x )＝3x 2＋6x ，故3x 20＋6x 0＝－3，解得x 0＝－1，于是切点坐标为(－1,1)，从而得切线的方程为3x ＋y ＋2＝0. 24.答案 C解析 ∵f ′(x )－g ′(x )>0，∴(f (x )－g (x ))′>0， ∴f (x )－g (x )在[a ，b ]上是增函数， ∴当a <x <b 时f (x )－g (x )>f (a )－g (a )， ∴f (x )＋g (a )>g (x )＋f (a )． 25.答案 A解析 f ′(x )＝3mx 2－1，依题可得m <0. 26.答案 C解析由图可知f (1)＝0，f (2)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋b ＋c ＝0，8＋4b ＋2c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3，c ＝2.∴f (x )＝x 3－3x 2＋2x ，∴f ′(x )＝3x 2－6x ＋2. 由图可知x 1，x 2为f (x )的极值点， ∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝23.∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝4－43＝83. 27.答案 3 2解析 f ′(x )＝－8＋22x ，f ′(x 0)＝－8＋22x 0＝4， ∴x 0＝3 2.28.答案 4x ＋y ＋2＝0解析 ∵y ＝2x 2，∴y ′＝4x ，y ′|x ＝－1＝－4.故在点(－1,2)处的切线方程为y －2＝－4(x ＋1)，.29.答案－2解析由题意得f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)， ∴f ′(2)＝2×2＋3f ′(2)， ∴f ′(2)＝－2. 30.答案103解析 ∵f ′(x )＝3ax 2＋6x ， ∴f ′(－1)＝3a －6＝4， ∴a ＝103.31.答案 3x －y －2＝0 解析 ∵y ′＝3x 2，k ＝y ′|x ＝1＝3. ∴y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0. 则y ′＝2ax ，又∵a <0，故选B. 32.答案 (－∞，－3]解析 f ′(x )＝3x 2＋2kx ＝x (3x ＋2k )，由题意知⎝⎛⎭⎫0，－2k3是函数的单调减区间，因此－2k3≥2，即k ≤－3.33.答案 a ≥3 34.答案 a <－3或a >6解析本题考查函数的极值概念及二次函数的图象应用，数形结合解答可减少错误；若函数有极值需f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a ＋6的取值有负有正，故由二次函数图象可知只需Δ＝(2a )2－12(a ＋6)>0即可，解得a <－3或a >6. 35.答案 (－1,11)解析 ∵f ′(x )＝3x 2－30x －33＝3(x －11)(x ＋1)，令f ′(x )<0得－1<x <11，∴函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为(－1,11)． 36.答案 (－2,2)解析令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，可得极大值为f (－1)＝2，极小值为f (1)＝－2，如图，观察得－2<a <2时恰有三个不同的公共点． 37.答案 k ≤13解析 f ′(x )＝3kx 2＋6(k －1)x .由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，f ′(4)≤0或⎩⎨⎧k <0，－6(k －1)2×3k <0，解得k ≤13.38.答案 2∶1解析设圆柱高为x ，底面半径为r ，则r ＝6－x 2π，圆柱体积V ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫6－x 2π2x ＝14π(x 3－12x 2＋36x )(0<x <6)， V ′＝34π(x －2)(x －6)．当x ＝2时，V 最大．此时底面周长为6－x ＝4,4∶2＝2∶1.39.思维启迪：(1)求导数f ′(x )→判断f ′(x )>0或f ′(x )<0→确定单调区间；(2)根据单调性→求f (x )的极大、极小值→用数形结合．解 (1)因为f ′(x )＝x 3＋ax 2－2a 2x ＝x (x ＋2a )(x －a )，令f ′(x )＝0得x 1＝－2a ，x 2＝0，x 3＝a ，由a >0，可知f ′(x )在f ′(x )＝0处根的左右的符号如下表所示：x (－∞，－2a ) －2a(－2a ，0) 0 (0，a ) a (a ，＋∞) f ′(x ) － 0 ＋ 0 － 0 ＋ f (x )减函数极小值增函数极大值减函数极小值增函数f (x )的递减区间为(－∞，－2a )与(0，a )．(2)由(1)得到f (x )极小值＝f (－2a )＝－53a 4，f (x )极小值＝f (a )＝712a 4，f (x )极大值＝f (0)＝a 4. 要使f (x )的图象与直线y ＝1恰有两个交点，只要－53a 4<1<712a 4或a 4<1，即a > 4127或0<a <1.探究提高解本题若采用研究初等函数的方法来讨论函数的单调性、最值是十分繁杂的，而采用导数来求函数的单调区间，通过“求导”、“解不等式”、“写单调区间”这三步，简明有效．。

(完整word版)高二数学导数大题练习详细答案

(完整word 版)高二数学导数大题练习详细答案一、解答题1．已知曲线()1f x x=(1)求曲线在点(1,1)P 处的切线方程． (2)求曲线过点(1,0)Q 的切线方程．2．对于正实数a ，b （a b >），我们熟知基本不等式：()()G a b A a b <,,，其中()G a b ,a ，b 的几何平均数，()2a bA a b +=,为a ，b 的算术平均数.现定义a ，b 的对数平均数：(),ln ln a bL a b a b-=-.(1)设1x >，求证：12ln x x x<-，并证明()()G a b L a b <,,；(2)若不等式()()(),,,G a b A a b m L a b +>⋅对任意正实数a ，b （a b >）恒成立，求正实数m 的取值范围.3．已知函数21()ln (1)()22=+-+++∈R x f x a x a x a a 有一个大于1的零点0x ．(1)求实数a 的取值范围；(2)证明：对任意的(]01,x x ∈，都有ln 10-+>a x x 恒成立． 4．已知函数()e (ln 1)(R)ax f x x a =+∈，()f x '为()f x 的导数．(1)设函数()()eax f x g x '=，求()g x 的单调区间；(2)若()f x 有两个极值点，1212,()x x x x <，求实数a 的取值范围5．已知函数()ln f x x =，()21g x x x =-+．(1)求函数()()()h x f x g x =-的单调区间；(2)若直线l 与函数()f x ，()g x 的图象都相切，求直线l 的条数． 6．已知函数2()2ln f x x x =-+，()()ag x x a x =+∈R . (1)求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 与()g x 有相同的极值点，求函数()g x 在区间1[,3]2上的最值. 7．用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若fx 是()f x 的导函数，()f x ''是fx 的导函数，则曲线()y f x =在点()(),x f x 处的曲率()()()3221f x K f x ''='+⎡⎤⎣⎦.(1)若曲线()ln f x x x =+与()g x x ()1,1处的曲率分别为1K ，2K ，比较1K ，2K 大小；(2)求正弦曲线()sin h x x =（x ∈R ）曲率的平方2K 的最大值.8．设函数ln e ()xx f x a x=-，其中a ∈R 且0a ≠，e 是自然对数的底数. (1)设()'f x 是函数()f x 的导函数，若()'f x 在(2,3)上存在零点，求a 的取值范围； (2)若34ea ≥，证明：()0f x <. 9．已知函数()321623f x x ax x =+-+在2x =处取得极值． (1)求()f x 的单调区间；(2)求()f x 在[]4,3-上的最小值和最大值．10．已知函数()222(0)e xmx x f x m +-=>. (1)判断()f x 的单调性；(2)若对[]12,1,2x x ∀∈，不等式()()1224e f x f x -≤恒成立，求实数m 的取值范围.【参考答案】一、解答题1．(1)20x y +-= (2)440x y +-= 【解析】【分析】（1）求得函数的导数()21f x x'=-，得到曲线在点(1,1)P 处的切线的斜率，结合直线的点斜式方程，即可求解；（2）设切线坐标为00(,)A x y ，得出切线的方程为020011()y x x x x -=--，根据点(1,0)Q 在切线上，列出方程求得0x 的值，代入即可求解.(1)由题意，函数()1f x x=，可得()21f x x '=-，所以()11f '=-，即曲线在点(1,1)P 处的切线的斜率为1k =-，所以所求切线方程为1(1)y x -=--，即20x y +-=. (2)解：设切点坐标为00(,)A x y ，则切线的斜率为201k x =-，所以切线的方程为020011()y x x x x -=--，因为点(1,0)Q 在切线上，可得020011(1)x x x -=--，解得012x =，所以所求切线的方程为124()2y x -=--，即440x y +-=. 2．(1)证明见解析 (2)02m <≤ 【解析】【分析】（1）令()11ln 2f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，利用导数证明当1x >时，()0f x <，即可得到12ln x x x<-. 用分析法证明()()G a b L a b <,,.（2）把题意转化为1112ln a a b m a b b -⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭恒成立.令)1t t =>，即为1ln 01t m t t -⋅-<+恒成立.令()()1ln 11t g t m t t t -=⋅->+，分2m >和02m <≤两种情况求出正实数m 的取值范围. (1)令()11ln 2f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，定义域为()0,+∞.则()()222221111212222x x x f x x x x x---'=--==-.所以当1x >时，()0f x '<，()f x 在()1,+∞上单调递减. 又()10f =，所以当1x >时，()0f x <.所以当1x >时，11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，即12ln x x x<-.（*）要证()()G a b L a b <,,ln ln a ba b--，只需证ln a b <令)1t t =>，则由（*），得12ln t t t <-.所以()()G a b L a b <,,.(2)由()()(),,,G a b A a b m L a b +<⋅恒成立，得ln ln 2a b a b m a b -+⋅-恒成立，即1112ln aa b m a b b-⎛⎫⋅<+ ⎪⎝⎭恒成立.令)1t t =>，由()221112ln 2t m t t t -⋅<++恒成立，得()1112ln 2t m t t -⋅<+恒成立. 所以1ln 01t m t t -⋅-<+恒成立. 令()()1ln 11t g t m t t t -=⋅->+，则 ()()()()()()222222121121111mt t t m t g t m t t t t t t-+-+--'=⋅-==++⋅+⋅. （注：()10g =） i.当0∆>，即2m >时，易知方程()22110t m t -+--=有一根1t 大于1，一根2t 小于1，所以()g t 在()11,t 上单调递增.所以()()110g t g >=，不符合题意. ii.当02m <≤时，有()()()222214110mt t t t t -+≤-+=--<，所以()0g t '<，从而()g t 在()1,+∞上单调递减. 故当1t >时，恒有()()10g t g <=，符合题意. 综上可知，正实数m 的取值范围为02m <≤. 【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导函数几何意义求切线方程；（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；（3）利用导数求参数的取值范围.3．(1)1a > (2)证明见解析【解析】【分析】（1）先求导，分1a ≤和1a >进行讨论，1a >时结合零点存在定理说明存在零点即可；（2）先构造函数()ln 1g x a x x =-+，求导证明函数先增后减，故只要说明两个端点大于0即可，化简得到()()0001()1212g x x x a =--+，由(21)0f a ->借助()f x 的单调性说明021<<-a x a ，即可得到0()0g x >. (1)2(1)(1)()()(1)a x a x a x x a f x x a x x x-++--=+-+=='，①若1a ≤，则()0f x '>在(1,)+∞恒成立，即()f x 在(1,)+∞上单调递增，当1x >时，()(1)0f x f >=，与()f x 有一个大于1的零点0x 矛盾．②若1a >，令()0f x '>，解得01x <<或x a >，令()0f x '<，解得1x a <<．所以()f x 在(0,1)和(,)a +∞上单调递增，在(1,)a 单调递减．所以()(1)0f a f <=，当x →+∞时，()f x →+∞，由零点存在性定理，()f x 在(,)a +∞上存在一个零点0x ．综上，1a >． (2)令()ln 1,()1'-=-+=-=a a xg x a x x g x x x，由（1）知01<<a x ，令()0g x '>，解得1x a <<，令()0g x '<，解得0a x x <<，故()g x 在(1,)a 单调递增，在()0,a x 单调递减．(1)0g =，()000ln 1=-+g x a x x因为0x 为函数()f x 的零点，故()20001ln (1)022=+-+++=x f x a x a x a ，即20001ln (1)22=-++--x a x a x a ，所以()()220000000011ln 1112222x x g x a x x a x a x ax a =-+=-++---+=-+-+()()0011212=--+x x a ．又因为2(21)1(21)ln(21)(1)(21)ln(21)2222--=-+-+-++=--+a f a a a a a a a a a ，令()ln(21)22=--+h a a a a ，则21()ln(21)2ln(21)12121=-+-=-+-'--a h a a a a a ，令1()ln(21)121m a a a =-+--， 22224(1)()021(21)(21)a m a a a a -'=-=>---恒成立，所以()h a '在(1,)+∞单调递增，()(1)0h a h ''>=，所以()h a 在(1,)+∞单调递增，()(1)0h a h >=，即(21)0f a ->，由（1）可知()0f a <，所以021<<-a x a ，因为0010,210-<-+<x x a ，所以()()()000112102=--+>g x x x a ，所以()0>g x 在(]01,x x ∈恒成立，故对任意的(]01,x x ∈，都有ln 10-+>a x x 恒成立．【点睛】本题关键点在于构造函数()ln 1g x a x x =-+后，如何说明()()0001()1212g x x x a =--+大于0，由(21)0f a ->借助()f x 的单调性说明021<<-a x a ，即可得到0()0g x >，即可得证. 4．(1)当0a <时，()g x 的减区间为(0,)+∞，无增区间；当0a >时，()g x 的减区间为1(0,)a，增区间为1(,)a +∞ (2)2(e ,).+∞ 【解析】【分析】（1）依题意，()f x 的定义域为(0,)+∞，且()1()ln e ax f x g x a x a x'==++，则21()ax g x x -'=，再对a 进行分类讨论即可得到答案．（2）因为()f x 有两个极值点，所以()g x 有两个零点．由（1）知0a <时不合题意；当0a >时，min 1()()(21)g x g a na a==-，接下来对a 进行讨论即可得到答案． (1)依题意，()f x 的定义域为(0,)+∞，e()e (ln 1)ax axf x a x x'=++,则()1()ln e ax f x g x a x a x'==++，则21().ax g x x -'=①当0a <时，()0g x '<在,()0x ∈+∞上恒成立，()g x 单调递减；②当0a >时，令()0g x '=得，1x a =，所以，当1(0,)x a∈时，()0g x '<，()g x 递减；当1(,)x a ∈+∞时，()0g x '>，()g x 递增；综上，当0a <时，()g x 的减区间为(0,)+∞，无增区间；当0a >时，()g x 的减区间为1(0,)a ，增区间为1(,).a+∞ (2)因为()f x 有两个极值点，所以()g x 有两个零点，由（1）知0a <时不合；当0a >时，min 1()()(21).g x g a na a==-当20e a <<时，1()()0g x g a>>，()g x 没有零点，不合题意；当2e a =时，1()0g a =，()g x 有一个零点1a ，不合题意；当2e a >时，1()0g a<，21()(12ln )g a a a a=+-，设()12ln a a a ϕ=+-，2e a >，则2()10a aϕ'=->，所以22()(e )e 30a ϕϕ>=->，即21()0g a >，所以存在1211(,)x a a∈，使得1()0g x =；又因为1()e 0eg =>，所以存在211(,)ex a ∈，使得2()0.g x =()f x 的值变化情况如下表：e a >()f x 综上，a 的取值范围是2(e ,).+∞5．(1)在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减 (2)两条【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间；（2）设直线l 分别与函数()f x ，()g x 的图象相切于点()11,ln A x x ，()2222,1B x x x -+，依题意可得()()12AB f x g x k '='=，即可得到方程组，整理得()211211ln 204x x x ++-=，令()()221ln 24x F x x x+=+-，利用导数说明函数的单调性，利用零点存在性定理判断零点的个数，即可得解； (1)解：由题设，()()()2ln 1h x f x g x x x x =-=-+-，定义域为()0,∞+，则()()()221112121x x x x h x x x x x+---'=-+=-=- 当01x <<时，()0h x '>；当1x >时，()0h x '<，所以()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减.(2)解：因为()ln f x x =，()21g x x x =-+，所以()1f x x'=，()21g x x '=-，设直线l 分别与函数()f x ，()g x 的图象相切于点()11,ln A x x ，()2222,1B x x x -+ 则()()12AB f x g x k '='=，即21222112ln 1121x x x x x x x -+-=-=- 由2122112ln 11x x x x x x -+-=-，得2121221ln 1x x x x x x -=-+- 即2212211ln 1x x x x x -=-+-，即221221ln 20x x x x x -++-= 由21121x x =-，得12112x x x +=，代入上式，得211112111111ln 20222x x x x x x x ⎛⎫+++-++-= ⎪⎝⎭即()211211ln 204x x x++-=，则()()2221117ln 2ln 4244x F x x x x x x +=+-=++- 设()()()()223332111112102222x x x x F x x x x x x x +---='=--=> 当01x <<时，()0F x '<；当1x >时，()0F x '>，所以()F x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增.因为()()min 110F x F ==-<，()()()222222441e 1e e ln e 204e4eF ++=+-=>，则()F x 在()1,+∞上仅有一个零点.因为()24242e e 7e 4e 7e 2024424F ---=-++-=+>，则()F x 在()0,1上仅有一个零点.所以()F x 在()0,∞+上有两个零点，故与函数()f x ，()g x 的图象都相切的直线l 有两条.6．(1)单增区间为(0,1)，单减区间为(1,)+∞(2)min ()2g x =，max 10()3g x =【解析】【分析】（1）求导之后，分别令()0f x '>，()0f x '<即可求出()f x 的单调区间；（2）由有相同的极值点求出a 的值，再利用对勾函数的单调性求出()g x 在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值. (1)()f x 的定义域：()0,∞+()()22122x f x x x x--'=-+=，由()0f x '>得01x <<，由()0f x '<得1x >， ∴()f x 的单增区间为()0,1，单减区间为()1,+∞. (2)()21ag x x ='-，由（1）知()f x 的极值点为1. ∵函数()f x 与()g x 有相同的极值点， ∴()10g '=，即10a -=，∴1a =，从而()1g x x x =+，()g x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在(]1,3上递增,又1522g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1033g =,∴在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，()()min 12g x g ==，()max 103g x =.7．(1)12K K <； (2)1. 【解析】【分析】（1）对()f x 、()g x 求导，应用曲率公式求出()1,1处的曲率1K ，2K ，即可比较大小；（2）由题设求出()h x 的曲率平方，利用导数求2K 的最大值即可. (1)由()11f x x '=+，()21f x x ''=，则()()()()13332222211112511f K f ''===+'+⎡⎤⎣⎦，由()g x '=，()3214g x x -''=-，则()()()2333222221124511112g K g ''===⎡⎤'+⎡⎤⎛⎫⎣⎦+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以12K K <； (2)由()cos h x x '=，()sin h x x ''=-，则()322sin 1cos xK x =+，()()2223322sin sin 1cos 2sin xxK x x ==+-，令22sin t x =-，则[]1,2t ∈，故232tK t -=，设()32t p t t -=，则()()32643226t t t t p t t t----'==，在[]1,2t ∈时()0p t '<，()p t 递减，所以()()max 11p t p ==，2K 最大值为1. 8．(1)32322e e a <<； (2)证明见解析. 【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的导数，由()0f x '=分离参数并构造函数，求解其值域作答. （2）将不等式等价转化，构造两个函数，并分别探讨它们的最大、最小值即可推理作答. (1)依题意，21(1)e ()x x f x ax x -'=-，由()0f x '=得：21(1)e 1(1)e x xx x ax x a x --=⇔=，令1())(e x x x x ϕ-=，23x <<，则22()(1)e 0xx x x xϕ+'-=>，即()ϕx 在(2,3)上单调递增，当23x <<时，(2)()(3)x ϕϕϕ<<，即23e 2e()23x ϕ<<，由()'f x 在(2,3)上存在零点，则方程1(1)e x x a x-=在(2,3)上有根，因此有23e 12e 23a <<，解得32322e e a <<，所以a 的取值范围是：32322e e a <<. (2) 函数()f x 的定义域为(0,)+∞，当34e a ≥时，2ln e e ln ()000x x x a x f x a x x x<⇔-<⇔->，令2e ()x a g x x =，0x >，求导得：3e ())(2x a x x g x'-=，当02x <<时，()0g x '<，当2x >时，()0g x '>，即函数()g x 在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，当2x =时，22min 3e 4e 1()(2)4e 4ea g x g ==≥⋅=，令ln ()x h x x =，0x >，求导得：21ln ()x h x x -'=，当0e x <<时，()0h x '>，当e x >时，()0h x '<，即函数()h x 在(0,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减，当e x =时，max 1()(e)eh x h ==，因此，0x ∀>，min max 1()()()()eg x g x h x h x ≥≥=≥，而()g x 的最大值与()h x 的最小值不同时取得，即上述不等式中不能同时取等号，于是得：0x ∀>，()()g x h x >成立，即2e ln 0x a x x x ->成立，所以()0f x <.【点睛】思路点睛：证明不等式常需构造辅助函数，将不等式证明转化为利用导数研究函数的单调性、求最值等解决.9．(1)增区间为(),3-∞-，()2,+∞，减区间为()3,2-(2)()max 312f x =，()min 163f x =- 【解析】【分析】（1）根据题意得()20f '=，进而得12a =，再根据导数与单调性的关系求解即可；（2）由（1）知[]4,3x ∈-时，()f x 的增区间为[)4,3--，(]2,3，减区间为()3,2-，进而求解()4f -，()3f -，()2f ，()3f 的值即可得答案.(1)解：（1）()226f x x ax '=+-，因为()f x 在2x =处取得极值，所以()24460f a '=+-=，解得12a =．检验得12a =时，()f x 在2x =处取得极小值，满足条件.所以()26f x x x '=+-，令()0f x '>，解得3x <-或2x >，令()0f x '<，解得32x -<<，所以()f x 的增区间为(),3-∞-，()2,+∞，减区间为()3,2-；(2)解：令()260f x x x '=+-=，解得3x =-或2x =，由（1）知()f x 的增区间为(),3-∞-，()2,+∞，减区间为()3,2-；当[]4,3x ∈-时，()f x 的增区间为[)4,3--，(]2,3，减区间为()3,2- 又()()()()321138444642323f -=⨯-+⨯--⨯-+=， ()()()()321131333632322f -=⨯-+⨯--⨯-+=， ()321116222622323f =⨯+⨯-⨯+=-， ()32115333632322f =⨯+⨯-⨯+=-，所以()max 312f x =，()min 163f x =-． 10．(1)单调增区间为2,2m ⎛⎫-⎪⎝⎭，单调减区间为[)2,,2,m ∞∞⎛⎤--+ ⎥⎝⎦ (2)20,4e ⎛⎤ ⎥-⎝⎦ 【解析】【分析】（1）先对函数求导，然后由导数的正负可求出函数的单调区间，（2）由函数()f x 在[]1,2上为增函数，求出函数的最值，则()()max min 24e 2()()e m g m f x f x -+=-=，然后将问题转化为()224e 24e e m -+≥，从而可求出实数m 的取值范围.(1)()()()()221422(0)e e x x mx m x mx x f x m -+-+-+-=>'=令()0f x '=，解得2x m =-或2x =，且22m-<当2,x m ∞⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦时，()0f x '≤，当2,2x m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '>，当[)2,x ∞∈+时，()0f x '≤即()f x 的单调增区间为2,2m ⎛⎫-⎪⎝⎭，单调减区间为[)2,,2,m ∞∞⎛⎤--+ ⎥⎝⎦ (2)由（1）知，当[]0,1,2m x >∈时，()0f x '>恒成立所以()f x 在[]1,2上为增函数，即()()max min 242()2,()1e e m m f x f f x f +====. ()()12f x f x -的最大值为()()max min 24e 2()()e m g m f x f x -+=-=()()1224e f x f x ⎡⎤≥-⎣⎦恒成立 ()224e 24e e m -+∴≥ 即24e m ≤-，又0m > 20,4e m ⎛⎤∴∈ ⎥-⎝⎦故m 的取值范围20,4e ⎛⎤ ⎥-⎝⎦。

导数的练习题(打印版)

导数的练习题（打印版）### 导数的练习题#### 一、基本概念题1. 定义题：给定函数 $ f(x) = x^2 $，求 $ f'(x) $。

2. 求导公式应用：求函数 $ g(x) = 3x^3 - 2x^2 + x - 5 $ 的导数 $ g'(x) $。

3. 复合函数求导：若 $ h(x) = (2x - 1)^4 $，求 $ h'(x) $。

#### 二、基本运算法则题4. 和差法则：求函数 $ f(x) = x^2 - 4x + 7 $ 和 $ g(x) = 3x - 2 $ 的和的导数。

5. 乘积法则：求函数 $ f(x) = x^2 $ 和 $ g(x) = e^x $ 的乘积的导数。

6. 商法则：求函数 $ f(x) = \frac{x}{e^x} $ 的导数。

#### 三、链式法则与反函数求导题7. 链式法则：求函数 $ f(x) = \sin(3x + 2) $ 的导数。

8. 反函数求导：若 $ y = \sqrt{x + 1} $，求 $ x $ 关于$ y $ 的导数。

#### 四、高阶导数题9. 一阶导数：求函数 $ f(x) = x^3 \ln(x) $ 的一阶导数。

10. 二阶导数：已知 $ f'(x) = 3x^2 + 2x - 1 $，求 $ f''(x)$。

#### 五、应用题11. 速度与加速度：若物体的位移函数为 $ s(t) = 2t^3 - 3t^2 + 5t + 7 $，求其速度 $ v(t) $ 和加速度 $ a(t) $。

12. 几何问题：求曲线 $ y = x^3 - 6x^2 + 9x $ 在 $ x = 2 $ 处的切线斜率。

#### 六、隐函数求导题13. 隐函数：方程 $ xy^2 + y\sin(x) = 1 $ 确定 $ y $ 关于$ x $ 的导数。

(完整word)导数的计算练习题及答案

【巩固练习】一、选择题1．设函数310()(12)f x x =-，则'(1)f =（）A ．0B ．―1C ．―60D ．602．(2014 江西校级一模）若2()2ln f x x x =-，则'()0f x >的解集为( ） A.(0,1） B 。

()(),10,1-∞- C 。

()()1,01,-+∞ D.()1,+∞3．（2014春永寿县校级期中）下列式子不正确的是（）A 。

()'23cos 6sin x x x x +=- B. ()'1ln 22ln 2x x x x-=-C 。

()'2sin 22cos 2x x = D 。

'2sin cos sin x x x xx x -⎛⎫= ⎪⎝⎭4．函数4538y x x =+-的导数是（ ) A ．3543x + B ．0 C ．3425(43)(38)x x x ++- D ．3425(43)(38)x x x +-+- 5．（2015 安徽四模）已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足关系式2'()3(2)ln f x x xf x =++，则'(2)f 的值等于（）A. 2B.-2 C 。

94 D 。

94- 6．设曲线1(1)1x y x x +=≠-在点（3,2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（） A ．2 B ．12 C ．―12D ．―27．23log cos (cos 0)y x x =≠的导数是（）A ．32log tan e x -⋅B ．32log cot e x ⋅C ．32log cos e x -⋅D ．22log cos ex二、填空题8．曲线y=sin x 在点,12π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为________。

9．设y=（2x+a)2，且2'|20x y ==,则a=________.10．31sin x x '⎛⎫-= ⎪⎝⎭____________，()2sin 25x x '+=⎡⎤⎣⎦____________. 11．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y=x 3―10x+3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为________。

导数的计算试题12345(纯答案)

5、解： y ' = 4 e 6、解： y '
x
1 x 1
2
f ( x ) (1 x ) ( x sin x ) ln x (1 x ) ( x sin x ) ln x
' 2 ' 2 '
7、解
(1 x ) ( x sin x ) (ln x )
2 2
4 x ( 3 x 2 ) ( 2 x 3) 3 18 x 8 x 9
2
2
王新敞
奎屯
新疆
4、解： y cos x ( x ) 2 x cos x
2 2
2
5、解：y’=2(cos3 )·3 ·ln3 6、解： y ' cos x /(2 sin x ) 7、解
y (cos x ln x x ) (cos x ) (ln x ) ( x ) sin x
' 4 ' ' ' 4 '
2x
2x
1 x
4x
3
8、解： y '
2 x sin x x cos x
2
sin x
2
9、解： y
1 2
ln 1 x

2

y
/
1
2 1 x

2x
2

x 1 x
3
2
10、解
y ( x ) sin x ln x x (sin x ) ln x x sin x (ln x )
3 3
3 x sin x ln x x cos x ln x x sin x .

(word完整版)导数的运算练习题

导数的运算练习一、常用的导数公式(1)'C = (C 为常数)；（2）()'n x = ; （3）(sin )'x = ；（4）(cos )'x = ；（5）()'x a = ；（6）()'x e = ；（7）_____________; （8)_____________;二、导数的运算法则 1、（1）；（2）；（3）______________________________________；（4）=___________________________________;(C 为常数）2、复合函数的导数设．三、练习1、已知()2f x x =，则()3f '等于（ )A ．0B ．2xC ．6D ．9 2、()0f x =的导数是（）A ．0B ．1C ．不存在D ．不确定 3、32y x = ) A ．23xB ．213x C ．12- D 33x4、曲线n y x =在2x =处的导数是12，则n 等于（）A ．1B ．2C ．3D ．45、若()f x =()1f '等于（）A ．0B ．13- C ．3 D ．136、2y x =的斜率等于2的切线方程是（） A ．210x y -+=B ．210x y -+=或210x y --=C ．210x y --=D ．20x y -= 7、在曲线2y x =上的切线的倾斜角为4π的点是（） A ．()0,0 B ．()2,4 C ．11,416⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．11,24⎛⎫⎪⎝⎭8、设()sin y f x =是可导函数,则x y '等于（）A ．()sin f x 'B ．()sin cos f x x '⋅C ．()sin sin f x x '⋅D ．()cos cos f x x '⋅ 9、函数()22423y x x=-+的导数是（）A ．()2823x x -+B ．()2216x -+ C ．()()282361x x x -+-D ．()()242361x x x -+-10、曲线34y x x =-在点()1,3--处的切线方程是（ ) A ．74y x =+B ．72y x =+C ．4y x =-D ．2y x =-11、点P 在曲线323y x x =-+上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ )A ．0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．30,,24πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．3,24ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦12、求函数212y x =-在点1x =处的导数。