2018年浙江省中考数学《第5讲：二次根式及其运算》总复习讲解

第5讲二次根式及其运算

1．二次根式的有关概念

2.二次根式的性质

3.二次根式的运算

1．(2015·湖州)4的算术平方根是( )

A ．±2

B ．2

C ．－2

D . 2 2．(2017·宁波)要使二次根式x －3有意义，则x 的取值范围是( ) A ．x ≠3 B ．x ＞3 C ．x ≤3 D ．x ≥3 3．(2016·杭州)下列各式变形中，正确的是( ) A ．x 2·x 3＝x 6 B .x 2＝|x|

C .⎝

⎛⎭⎫x 2－1

x ÷x ＝x －1 D ．x 2

－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122

＋1

4

4．(2017·宁波)实数－8的立方根是____________________． 5．(2017·湖州)计算：2×(1－2)＋8.

【问题】下列各式已给出计算结果：

①8－2＝6； ②（－3）2＝－3；③2×3＝6； ④8÷2＝4 (1)其中正确的是____________； (2)对于错误的结果，请给出正确答案；

(3)通过以上的解答，联想二次根式有哪些性质、运算法则？

【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理二次根式的性质和运算法则，以及注意的问题．

类型一 平方根、算术平方根、立方根

例1 (1)(2015·黄冈)9的平方根是( ) A ．±3 B ．±1

3 C ．3 D ．－3

(2)(2017·黄冈)16的算术平方根是________． (3)(2016·宁波)实数－27的立方根是________．

【解后感悟】一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根；注意算术平方根易与平方根的概念混淆而导致错误；开立方和立方互为逆运算是解题的关键．

1．(1)(2016·唐山模拟)下列式子中，计算正确的是( ) A ．－ 3.6＝－0.6 B .（－13）2＝－13 C .36＝±6 D ．－9＝－3

(2)如果一个正数的两个平方根为a ＋1和2a －7，则这个数为____________________．

类型二 二次根式的有关概念与性质

例2 (1)式子

2x ＋1

x －1

有意义的x 的取值范围是________； (2)(2017·邵阳模拟)将45化成最简二次根式是________．

(3)计算：（1－2）2＝________.

【解后感悟】(1)此类有意义的条件问题主要是根据：①二次根式的被开方数大于或等于零；②分式的分母不为零列不等式组，转化为求不等式组的解集．(2)此题根据二次根式的性质化简，是解本题的关键．

2．(1)(2017·荆州)下列根式是最简二次根式的是( ) A .

1

3

B .0.3

C . 3

D .20 (2)k 、m 、n 为三个整数，若135＝k 15，450＝15m ，180＝6n ，则下列有关于k 、m 、n 的大小关系，何者正确( )

A ．k ＜m ＝n

B ．m ＝n ＜k

C ．m ＜n ＜k

D ．m ＜k ＜n

(3)(2016·金华)能够说明“x 2＝x 不成立”的x 的值是____________________(写出一个即可)．

(4)若实数a 、b 满足||a ＋2＋b －4＝0，则a 2

b

＝____________________.

(5)若整数x 满足|x|≤3，则使7－x 为整数的x 的值是____________________(只需填一个)．

类型三 二次根式的运算与求值

例3 (1)(2017·滨州)下列计算：(1)(2)2＝2，(2)（－2）2＝2，(3)(－23)2＝12，(4)(2＋3)(2－3)＝－1，其中结果正确的个数为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 (2)计算：8－3

1

2

＋2＝______； (3)化简：3(2－3)－24－|6－3|＝________.

【解后感悟】(1)二次根式的加减运算，关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并；(2)二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．

3．(1)下列计算正确的是( )

A ．43－33＝1

B .2＋3＝ 5

C ．2

1

2

＝ 2 D ．3＋22＝5 2 (2)算式(6＋10×15)×3之值为( )

A ．242

B ．12 5

C ．1213

D ．18 2 4．(1)计算(10－3)2018·(10＋3)2017＝____________________； (2)(2016·聊城)计算：27·

8

3

÷1

2

＝ . 类型四 二次根式的大小比较

例4 已知甲、乙、丙三数，甲＝5＋15，乙＝3＋17，丙＝1＋19，则甲、乙、丙的大小关系，下列何者正确( )

A ．丙＜乙＜甲

B ．乙＜甲＜丙

C ．甲＜乙＜丙

D ．甲＝乙＝丙

【解后感悟】比较两个二次根式大小时要注意：(1)负号不能移到根号内；(2)根号外的正因数要平方后才能从根号外移到根号内．

5．(1)(2015·河北)在数轴上标注了四段范围，如图，则表示8的点落在( )

A ．段①

B ．段②

C ．段③

D ．段④ (2)(2015·杭州)若k ＜90＜k ＋1(k 是整数)，则k ＝( )

A ．6

B ．7

C ．8

D ．9 (3)(2017·白银)估计

5－12与0.5的大小关系是：5－1

2

____________________0.5.(填“＞”、“＝”、“＜”)

类型五 二次根式的综合型问题

例5 (1)已知实数x ，y 满足||x －4＋y －8＝0，则以x ，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是________．

(2)在日常生活中，取款、上网都需要密码，有的人把自己的出生年月作为密码，有的人把生活中的重要数字或自己认为吉利的数字作为密码，这样很容易被知情人窃用．有一种用二次根式法产生的密码，如：对于二次根式121，计算的结果是11，取被开方数和计算结果，再在中间加一个数字0，于是就得到一个六个数字的密码“121011”．对于二次根式0.81，用上述方法产生的密码是________．