2018中考数学总复习第二轮中档题突破专项突破4三角形四边形中的证明与计算课件
2018年广东中考数学总复习：第2部分 专题突破 专题七 三角形及四边形的计算与证明
专题七三角形及四边形的计算与证明考情分析三角形及四边形的计算与证明是每年必考内容，经常与尺规作图、圆、函数等结合考查，偶尔单独考查．主要考查内容为：(1)求角度、线段长度、图形周长及面积、锐角三角函数值；(2)证明线段垂直、相等，三角形全等或相似，图形为特殊三角形或四边形；(3)判断图形形状，线段或角之间的数量关系．类型三角形例1如图1，在△ABD中，∠A＝90°，过点B作BC∥AD，过点C作CE⊥BD于E，AB＝E C.图1(1)求证：△ABD≌△ECB；(2)若AD＝3，AB＝4，求CD的长．训练 1.如图2，在△ABC中，AB＝AC，点P，D分别是BC，AC边上的点，且∠APD ＝∠B.图2(1)求证：AC·CD＝CP·BP；(2)若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．2．如图3，已知点B，C，D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE 交AC于F，AD交CE于H.图3(1)求证：△BCE≌△ACD；(2)求证：FH∥B D.类型四边形例2如图4，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE∥BD，过点D作ED∥AC，两线相交于点E.图4(1)求证：四边形A O DE是菱形；(2)连接BE，交AC于点F.若BE⊥ED于点E，求∠A O D的度数．训练 3.如图5，在菱形ABCD中，延长BD到E使得BD＝DE，连接AE，延长CD交AE于点F.图5(1)求证：AD＝2DF；(2)如果FD＝2，∠C＝60°，求菱形ABCD的面积．4.如图6，将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕EF分别与AB，DC交于点E和点F.图6(1)求证：△ADF≌△AB′E；(2)若AD＝12，DC＝18，求△AEF的面积．5．在正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，且CE＝CD，点F为DE边上一点，连接AF，作FG⊥AF交直线DC于点G.(1)如图7，连接AG，若DF＝EF时，判断△AFG的形状，并证明你的结论；(2)如图8，若DF≠EF时．试探究线段AD，DF，DG三者之间的数量关系，并证明你的结论．图7 图8参考答案例1 (1)证明：∵AD ∥BC ，∴∠ADB ＝∠EBC . ∵∠A ＝∠CEB ＝90°，AB ＝EC ， ∴△ABD ≌△ECB .(2)解：由△ABD ≌△ECB 可知，EC ＝AB ＝4，BE ＝AD ＝3， ∴BD ＝BC ＝42＋32＝5. ∴DE ＝2.∴CD ＝22＋42＝2 5.训练 1.(1)证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C . ∵∠APD ＝∠B ，∴∠APD ＝∠B ＝∠C .∵∠APC ＝∠BAP ＋∠B ，∠APC ＝∠APD ＋∠DPC ， ∴∠BAP ＝∠DPC .∴△ABP ∽△PCD .∴BP CD ＝AB CP .∴AB ·CD ＝CP ·BP .∵AB ＝AC ，∴AC ·CD ＝CP ·BP . (2)解：∵PD ∥AB ，∴∠APD ＝∠BAP . ∵∠APD ＝∠C ，∴∠BAP ＝∠C . ∵∠B ＝∠B ，∴△BAP ∽△BCA .∴BA BC ＝BP BA .∵AB ＝10，BC ＝12，∴1012＝BP10.∴BP ＝253.2．证明：(1)∵△ABC 和△CDE 都是等边三角形， ∴BC ＝AC ，CE ＝CD ，∠BCA ＝∠ECD ＝60°.∴∠BCA ＋∠ACE ＝∠ECD ＋∠ACE ，即∠BCE ＝∠ACD . ∵BC ＝AC ，CE ＝CD ，∴△BCE ≌△ACD .(2)由(1)知△BCE ≌△ACD ，则∠CBF ＝∠CAH ，BC ＝AC .又△ABC 和△CDE 都是等边三角形，且点B ，C ，D 在同一条直线上， ∴∠ACH ＝180°－∠ACB －∠HCD ＝60°＝∠BCF . ∴△BCF ≌△ACH .∴CF ＝CH .又∠ACH ＝60°，∴△CHF 为等边三角形． ∴∠FHC ＝∠HCD ＝60°.∴FH ∥BD . 例2 (1)证明：∵AE ∥BD ，ED ∥AC ， ∴四边形AODE 是平行四边形．∵四边形ABCD 是矩形，∴OA ＝OC ＝12AC ，OB ＝OD ＝12BD ，AC ＝BD .∴OA ＝OD ，∴四边形AODE 是菱形．(2)解：∵四边形ABCD 是矩形，四边形AODE 是菱形， ∴OB ＝OD ，DE ＝OD ，即BD ＝2DE . 又BE ⊥ED ，即∠BED ＝90°， ∴∠DBE ＝30°.∴∠BDE ＝60°. 又ED ∥AC ，∴∠AOD ＝180°－∠BDE ＝180°－60°＝120°. 训练 3.(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ＝AB ，CD ∥AB .∵BD ＝DE ，∴EF ＝F A .∴DF 是△EAB 的中位线． ∴AB ＝2FD .∴AD ＝2DF .(2)解：如图1，过点D 作DM ⊥AB ，图1∵FD ＝2，∴AB ＝4.∴AD ＝4. ∵∠C ＝60°，∴∠DAB ＝60°. ∴DM ＝DA ·sin 60°＝2 3.∴S 菱形ABCD ＝AB ·DM ＝4×2 3＝8 3. 4．(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠D ＝∠C ＝∠B ′＝90°，AD ＝CB ＝AB ′. ∵∠DAF ＋∠EAF ＝90°，∠B ′AE ＋∠EAF ＝90°， ∴∠DAF ＝∠B ′AE .在△ADF 和△AB ′E 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠D ＝∠B ′，AD ＝AB ′，∠DAF ＝∠B ′AE ，∴△ADF ≌△AB ′E (ASA)． (2)解：由折叠性质得F A ＝FC ，设F A ＝FC ＝x ，则DF ＝DC －FC ＝18－x ， 在Rt △ADF 中，AD 2＋DF 2＝AF 2，∴122＋(18－x )2＝x 2，解得x ＝13. ∵△ADF ≌△AB ′E ，∴AE ＝AF ＝13. ∴S △AEF ＝12·AE ·AD ＝12×12×13＝78.5．解：(1)△AFG 是等腰直角三角形； 证明：如图2，连接CF ，图2在Rt △CDE 中，CE ＝CD ，DF ＝EF ， ∴CF ＝DF ＝EF ，∠ECF ＝∠CDE ＝45°. ∴∠ADF ＝∠ADC ＋∠CDF ＝135°， ∠FCG ＝∠GCE ＋∠ECF ＝135°. ∴∠ADF ＝∠GCF .∵AF ⊥FG ，CF ⊥DE ，∴∠AFG ＝∠DFC ＝90°. ∴∠AFD ＝∠GFC .在△ADF 和△GCF 中，⎩⎨⎧∠ADF ＝∠GCF ，DF ＝FC ，∠AFD ＝∠GFC ，∴△ADF ≌△GCF (ASA)． ∴AF ＝FG .∵∠AFG ＝90°，∴△AFG 是等腰直角三角形． (2)DG ＝AD ＋2DF .证明：如图3，过点F 作FH ⊥DE ，图3由(1)知，∠CDE ＝45°，∴DH ＝2DF ，DF ＝HF ，∠DHF ＝45°. 同(1)的方法得出∠ADF ＝∠GHF .在△ADF 和△GHF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DAF ＝∠HGF ，∠ADF ＝∠GHF ，DF ＝HF ，∴△ADF ≌△GHF (AAS)．∴AD ＝GH .∴DG ＝DH ＋GH ＝2DF ＋AD .。
河北省2018年中考数学总复习第二编专题突破篇专题8三角形四边形中的相关证明及计算精讲试题20171207136
专题八 三角形、四边形中的相关证明及计算10此专题是初中几何的重要部分，在历年中考中均有命题，且难易度伸缩性年选择、填空、解答均会出解题策略1．熟练掌握定义、定理，规范推理过程，能够准确运用各种性质、判定定理．2．由已知提供的信息能够快速找到辅助线的做法是突破此类题难点的关键．,重难点突破)三角形的有关计算和证明【例1】(重庆中考B 卷)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，E 为AC 边的中点，过点A 作AD⊥AB 交BE 的延长线于点D.CG 平分∠ACB 交BD 于点G ，F 为AB 边上一点，连接CF ，且∠ACF＝∠CBG.求证：(1)AF＝CG；(2)CF＝2DE.【解析】(1)要证明AF＝CG，可以利用“ASA”证明△ACF≌△CBG来得到；(2)要证明CF＝2DE，由(1)得CF＝BG，则只要证明BG＝2DE，又利用△AED≌△CEG可得DG＝2DE，再证明DG＝BG 即可．【答案】证明：(1)∵∠ACB＝90°，CG平分∠ACB，AC＝BC.∴∠BCG＝∠CAB＝45°.又∵∠ACF＝∠CBG，AC＝BC，∴△ACF≌△CBG(ASA)，∴CF＝BG，AF＝CG；(2)延长CG交AB于点H.∵AC＝BC，CG平分∠ACB，∴CH⊥AB，H为AB中点．又∵AD⊥AB，∴CH∥AD，∠D＝∠EGC.又∵H为AB中点，∴G为BD中点，∴BG＝DG.∵E为AC中点，∴AE＝EC.又∵∠AED＝∠CEG，∴△AED≌△CEG(AAS)，∴DE＝EG，∴DG＝2DE，∴BG＝DG＝2DE.由(1)得CF＝BG，∴CF＝2DE.1．(2017湖南中考)如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE＝∠CBE.(1)线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；(2)求证：BG2－GE2＝EA2.解：(1)BH＝AC.证明：∵∠BDC＝∠BEC＝∠CDA＝90°，∠ABC＝45°，∴∠BCD＝45°＝∠ABC，∴DB＝DC.又∵∠BHD＝∠CHE，∴∠DBH＝∠DCA.∴△DBH≌△DCA，∴BH＝AC；(2)连接GC.则GC2－GE2＝EC2.∵F为BC中点，DB＝DC，∴DF垂直平分BC，∴BG＝GC.∴BG2－GE2＝EC2.∵∠ABE＝∠CBE，∠CEB＝∠AEB，BE＝BE，∴△BCE≌△BAE，∴EC＝EA，∴BG2－GE2＝EA2.【方法指导】熟练应用三角形全等的性质和判定方法，准确判断用哪种方法判定．四边形的有关计算和证明【例2】(邵阳中考)准备一张矩形纸片，按如图所示操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点；将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；(2)若四边形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面积．【解析】(1)由矩形及翻折的性质可证得△EDM≌△FBN，从而证出四边形BFDE 是平行四边形；(2)由菱形及矩形的性质得出∠ABE＝∠DBE＝∠DBC＝30°，利用锐角三角函数可求出AE ，BE ，进而求出AD ，DE ，即可求出菱形BFDE 的面积．【答案】解：(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝∠C＝90°，AB ＝CD.由翻折得：BM ＝AB ，DN ＝DC ，∠A ＝∠EMB，∠C ＝∠DNF，∴BM ＝DN ，∠EMB ＝∠DNF＝90°，∴BN ＝DM ，∠EMD ＝∠FNB＝90°.∵AD ∥BC ，∴∠EDM ＝∠FBN，∴△EDM ≌△FBN(ASA )，∴ED ＝BF ，∴四边形BFDE 是平行四边形； (2)∵四边形BFDE 是菱形，∴∠EBD ＝∠FBD.∵∠ABE ＝∠EBD，∠ABC ＝90°，∴∠ABE ＝13×90°＝30°. 在Rt △ABE 中，∵AB ＝2，∴AE ＝233，BE ＝433， ∴ED ＝433，∴AD ＝2 3. ∴S 菱形BFDE ＝ED·AB＝433×2＝833.2．(襄阳中考)如图，将矩形ABCD 沿AF 折叠，使点D 落在BC 边的点E 处，过点E 作EG∥CD 交AF 于点G ，连接DG.(1)求证：四边形EFDG 是菱形； (2)探究线段EG ，GF ，AF 之间的数量关系，并说明理由；(3)若AG ＝6，EG ＝25，求BE 的长．解：(1)由折叠的性质可得，∠AFD ＝∠AFE，FD ＝FE.∵EG ∥CD ，∴∠EGF ＝∠AFD，∴∠EGF ＝∠AFE，∴EG ＝EF ＝FD ，∴EG 綊FD ，∴四边形EFDG 是平行四边形．又∵FD＝FE ，∴▱EFDG 是菱形；(2)连接ED 交AF 于点H.∵四边形EFDG 是菱形，∴DE ⊥AF ，FH ＝GH ＝12GF ，EH ＝D H ＝12DE. ∵∠FEH ＝∠FAE＝90°－∠EFA，∴Rt △FEH ∽Rt △FAE ，∴EF FH ＝AF EF. 即EF 2＝FH·AF，∴EG 2＝12AF ·GF ； (3)∵AG＝6，EG ＝25，EG 2＝12AF ·GF ， ∴(25)2＝12(6＋GF)GF. ∵GF>0，∴GF ＝4，∴AF ＝10.∵DF ＝EG ＝25，∴AD ＝BC ＝AF 2－DF 2＝45，DE ＝2EH ＝2EG 2－（12GF ）2＝8. ∵∠CDE ＋∠DFA＝90°，∠DAF ＋∠DFA＝90°，∴∠CDE ＝∠DAF，∴Rt △ADF ∽Rt △DCE ，∴EC DF ＝DE AF ，即EC 25＝810，∴EC ＝855， ∴BE ＝BC －EC ＝1255. 【方法指导】熟练掌握特殊四边形的性质和判定，注意三种变换在题中穿插考查．。
中考数学 中档题突破 专项训练五 三角形、四边形中的证明与计算
在Rt△ADE中，
AE＝ AD2＋DE2＝ 42＋82＝4 5，∴C△ABE＝AB＋BE＋AE
＝5＋11＋4 5＝16＋4 5，
1
1
S△ABE＝2BE×AD＝2×11×4＝22.
3．(2022·怀化)如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点， 延长BC至点N，使CN＝AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H.
AD＝AD，
∠ADB＝∠ADC， BD＝CD， ∴△ADB≌△ADC(SAS)，∴∠B＝∠ACB.
(2)若AB＝5，AD＝4，求△ABE的周长和面积． 解：在Rt△ADB中，BD＝ AB2－AD2＝ 52－42＝3，
∴BD＝CD＝3，AC＝AB＝CE＝5，∴DE＝CE＋CD＝8，
∴BE＝2BD＋CE＝2×3＋5＝11，
(1)求证：四边形AECF是菱形；
证明：∵点D是AC的中点，∴AD＝DC， ∵AF∥BC，∴∠FAD＝∠ECD，∠AFD＝∠CED， ∴△AFD≌△CED(AAS)，∴AF＝CE， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵EF⊥AC，点D是AC的中点，即EF垂直平分AC， ∴AF＝FC， ∴四边形AECF是菱形．
专项训练五 三角形、四 边形中的证明与计算
类型一：三角形中的证明 与计算
1．(2022·杭州)如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点M为边AB的中 点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE.已知∠A＝50°，∠ ACE＝30°.
(1)求证：CE＝CM.
证明：∵∠ACB＝90°，点M为边AB的中点， ∴MC＝MA＝MB，∴∠MCA＝∠A，∠MCB＝∠B， ∵∠A＝50°， ∴∠MCA＝50°，∠MCB＝∠B＝40°， ∴∠EMC＝∠MCB＋∠B＝80°， ∵∠ACE＝30°，∴∠MEC＝∠A＋∠ACE＝80°， ∴∠MEC＝∠EMC，∴CE＝CM.
2018年云南中考数学二轮复习课件-专项突破4 三角形、四边形中的证明与计算
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2． (2011·普洱)如图， 在△ABC 中， AC⊥BC， D 是 BC 延长线上的一点，E 是 AC 上的一点，连接 ED，∠A＝∠D. (1)求证：△ABC∽△DEC； (2)若 AC＝3，AE＝1，BC＝4，求 DE 的长．
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1．(2017·重庆 A)在△ABM 中，∠ABM＝45°，AM ⊥BM，垂足为 M，点 C 是 BM 延长线上一点，连接 AC. (1)如图①，若 AB＝3 2，BC＝5，求 AC 的长； (2)如图②，点 D 是线段 AM 上一点，MD＝MC，点 E 是△ABC 外一点， EC＝AC， 连接 ED 并延长交 BC 于点 F， 且点 F 是线段 BC 的中点，求证：∠BDF＝∠CEF.
在△ACD 和△CBE 中，∠3＝∠1， AC＝CB，
∴△ACD≌△CBE(AAS)．
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(2)解：∵△ACD≌△CBE，∴CE＝AD＝4， ∴BE＝CD＝CE－DE＝4－1＝3.∵∠E＝∠ADF， ∠BFE＝∠AFD，∴△BEF∽△ADF， BE EF ∴ ＝ .设 EF＝x，则 DF＝1－x， AD DF 3 x 3 3 ∴ ＝ ，∴x＝ ，即 EF＝ . 4 1 －x 7 7
在△AOF 和△COH 中，∠AOF＝∠COH， OF＝OH，
∴△AOF≌△COH(SAS)，∴∠AFO＝∠CHO， ∴AF∥CH.同理可得：DH∥BF. ∴四边形 EFGH 是平行四边形．
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(2)解：∵菱形 ABCD 对角线互相垂直平分 ， AC ＝2，菱形 ABCD 的面积是 20， BD 1 1 ∴ AC·BD＝20，则 ×2BD×BD＝20， 2 2 ∴BD＝2 5，∴OB＝ 5，OA＝2 5，FH＝AC ＝4 5， OB 1 HG ∴tan∠HFG＝ ＝ ＝ . OA 2 FG 设 HG＝x，则 FG＝2x， 2 2 2 在 Rt△HFG 中，HG ＋FG ＝FH ， 2 2 2 ∴x ＋(2x) ＝(4 5) ， 解得 x1＝4，x2＝－4(舍去)， ∴FG＝8，HG＝4.∴矩形 EFGH 的长是 8，宽 是 4.