江苏省海安高级中学2018届高三1月月考数学试卷(含答案)(2018.01)

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2018-2019学年江苏省海安高级中学高一上学期第一次月考数学试题(创新班) 含解析

2018-2019学年江苏省海安高级中学高一上学期第一次月考数学试题（创新班）数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题 1．已知集合，则＝______．2．已知数列的一个通项公式为______． 3．在中，，，，则此三角形的最大边长为______．4．已知角的终边经过点，则的值等于______．5．已知向量，，，则的值为______．6．已知函数则的值为______．7．《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致，根据这一算法解决下列问题：现有一扇形田，下周长（弧长）为20米，径长（两段半径的和）为24米，则该扇形田的面积为______平方米．8．若关于的不等式的解集，则的值为______．9．已知函数在区间上的最大值等于8，则函数的值域为______．10．已知函数是定义在R 上的偶函数，则实数的值等于____． 11．如图，在梯形ABCD 中，，P 为线段CD 上一点，且，E 为BC的中点，若，则的值为______．12．在锐角△ABC 中，若，则边长的取值范围是_________。

13．将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围为____．14．已知为非零实数，，且同时满足：①，②，则的值等于______．二、解答题15．已知函数的图象过点．（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）若，求实数的取值范围．16．（题文）如图，在四边形中，．（1）若△为等边三角形，且，是的中点，求；（2）若，，，求．此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号17．如图，在海岸A处，发现南偏东45°方向距A为(2－2)海里的B处有一艘走私船，在A处正北方向，距A为海里的C处的缉私船立即奉命以10海里/时的速度追截走私船．（1）刚发现走私船时，求两船的距离；（2）若走私船正以10海里/时的速度从B处向南偏东75°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(精确到分钟，参考数据：≈1.4，≈2.5)．18．已知sinα+cosβ=，cosα+sinβ=，求：（1）sin(α+β)的值；（2）cosα sinβ的值．19．已知，函数．（1）求在区间上的最大值和最小值；（2）若，，求的值；（3）若函数在区间上是单调递增函数，求正数的取值范围．20．设为实数，设函数，设．（1）求的取值范围，并把表示为的函数；（2）若恒成立，求实数的取值范围；（3）若存在使得成立，求实数的取值范围．2018-2019学年江苏省海安高级中学高一上学期第一次月考数学试题（创新班）数学答案参考答案1．【解析】，填．2．【解析】【分析】将化为，然后探究分母、分子的规律，然后还有正负的交替出现【详解】由已知可以得到，则有故通项公式为【点睛】本题主要考查了通过观察分析猜想归纳求数列的通项公式的方法，属于基础题。

江苏省海安县2018届高三数学上学期第一次学业质量测试试题(含解析)

=
3BD，所以BD
=
1 4
×
2
=
12⇒h
=
32，所以ΔABC的面积为S
=
1 2
×
2
×
3 2
=
3，应填答案3。
2
2
点睛：解答本题的关键是依据题设条件构建方程12absinC = abcosC⇒sinC = 2cosC，即tanC = 2
，进而借助三角形的三内角之和为π得到tanA = 1,tanB = 3，从而算得ΔABC的AB边上的高h =
3 a
4
+ +
b b
= =
0 ，解之得 0
a b
= =
−127⇒a
+
b
=
5，应填答案5。
10. 已知数列{an}是公差不为 0 的等差数列，其前n项和为Sn，若a1 + a4 + a7 = 0，则Sa56的值为
3
_________.
【答案】−3
【解析】由题意3a1
+
9d
=
0⇒a1
=
−3d，则SS65
所以椭圆C的方程是x52 + y2 = 1.
(2)由(1)知，圆O的方程为x2 + y2 = 5，
因为AQ = 2，设∠OAQ = θ，则cosθ = 55，所以tanθ = 2，从而直线AQ的斜率为 - 2.
则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如
. 其次要熟悉复数相关基本概
念，如复数
的实部为、虚部为、模为
、对应点为、共轭
为
3. 已知一个边长为 2 的正方形及其外接圆.现随机地向圆内丢一粒豆子，则豆子落入正方形

江苏省海安高级中学2018-2019学年高一上学期第一次月考数学试题(创新班) 含解析

高一年级阶段检测一数学（创新班）试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1.已知集合，则＝______．【答案】【解析】，填．2.已知数列的一个通项公式为______．【答案】【解析】【分析】将化为，然后探究分母、分子的规律，然后还有正负的交替出现【详解】由已知可以得到，则有故通项公式为【点睛】本题主要考查了通过观察分析猜想归纳求数列的通项公式的方法，属于基础题。

3.在中，，，，则此三角形的最大边长为______．【答案】【解析】试题分析：首先根据最大角分析出最大边，然后根据内角和定理求出另外一个角，最后用正弦定理求出最大边．因为B=135°为最大角，所以最大边为b，根据三角形内角和定理：A=180°-（B+C）=30°，在△ABC中有正弦定理有：考点：正弦定理4.已知角的终边经过点，则的值等于______．【答案】【解析】，所以，，故，填．5.已知向量，，，则的值为______．【答案】8【解析】，所以，所以，故，填．6.已知函数则的值为______．【答案】2【解析】【分析】先求出的值，然后代入求解【详解】由函数的表达式可知：当时，当时，故答案为2【点睛】本题主要考查了求函数的值，只需代入分段函数中即可得到结果，较为简单。

7.《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致，根据这一算法解决下列问题：现有一扇形田，下周长（弧长）为20米，径长（两段半径的和）为24米，则该扇形田的面积为______平方米．【答案】120【解析】扇形的半径为，故面积为（平方米），填．8.若关于的不等式的解集，则的值为______．【答案】-3【解析】试题分析：显然t<0，且是方程的两根，由韦达定理得，解得．考点：不等式的解法．9.已知函数在区间上的最大值等于8，则函数的值域为______．【答案】【解析】二次函数的对称轴为，故，所以且，对称轴为，故所求值域为，填．10.已知函数是定义在R 上的偶函数，则实数的值等于____．【答案】-1 【解析】因为为偶函数，故，所以，整理得到，即，又当时，有，，故，为偶函数，故填．11.如图，在梯形ABCD 中，，P 为线段CD 上一点，且，E 为BC 的中点，若，则的值为______．【答案】【解析】，整理得到，又，所以，也就是，，填．12.在锐角△ABC 中，若，则边长的取值范围是_________。

江苏省海安高级中学2018届高三下学期开学考试数学试题

开始结束输出SYNn < a （第6题）2018届高三阶段检测（四）数学试卷一、填空题．（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填写在答题卡相应位置上）1. ?函数()π()sin 24f x x =-的最小正周期为 ▲ ．2. ?某同学在7天内每天参加体育锻炼的时间（单位：分钟）用茎叶图表示如图，图中左列表示时间的十位数，右列表示时间的个位数.则这7天该同学每天参加体育锻炼时间（单位：分钟）的平均数为 ▲ . 3. ?已知复数1252i 69i z z =+=-，（i 是虚数单位），12i z z z =⋅+，则复数z 的摸为 ▲ ．4. ? 分别在集合A ={1，2，3，4}和集合B ={5，6，7，8}中各取一个数相乘，则乘积为偶数的概率为 ▲ ．5. 已知曲线4(0)y x x=<的一条切线斜率为4-，则切点的横坐标为 ▲ ． 6．如图是计算101121k k =-∑的值的一个流程图，则常数a 的取值范围是 ▲ ．7. 在平面直角坐标系xOy中，?设点的集合{}222()(1)(1)A xy x y a =-+-=，，3(,)4020x B x y x y x y a ⎧⎫⎧⎪⎪⎪=+-⎨⎨⎬⎪⎪⎪-+⎩⎩⎭≤，≤，≥，且A B ⊆，则实数a 的取值范围是 ▲ ．8. 若等比数列{}n a 的各项均为正数，且510119122e a a a a +=，则1220ln ln ln a a a +++的值为 ▲ ．9. ? 设π02βα<<<，且113cos cos()714ααβ=-=，，则tan β的值为 ▲ ． 10. ?在平面直角坐标系xOy 中，若点(m ，n )在圆224x y +=外，则直线4mx ny +=与椭圆22154y x +=的公共点的个数为 ▲ ．6 7 8 5 5 6 3 4 0 1（第2题）A Q PCNBM D（第16题）11．在等腰梯形ABCD 中，已知AB //DC ，2AB =，1BC =，60ABC ∠=︒．点E 和F 分别在线段BC和DC 上，且23BE BC =，16DF DC =，则AE AF ⋅的值为 ▲ ．12．设0021m n m n >>+=，，，则224m n mn ++的最大值与最小值之和为 ▲ ．13. ?设函数()y f x =是定义域为R ，周期为2的周期函数，且当[)11x ∈-，时，2()1f x x =-；已知函数lg ||0()10x x g x x ≠⎧⎪=⎨=⎪⎩，，，．则函数()()y f x g x =-在区间[]510-，内零点的个数为 ▲ ． 14. ?设函数2()()f x x bx c b c =++∈R ，对任意的x ∈R ，都有()f x '≤()f x 成立．若对满足题设条件的任意b ，c ，不等式22()()()f c f b M c b --≤恒成立，则实数M 的最小值为 ▲ ．二、解答题．（本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos sin A B C a b c+=．（1）证明：sin sin sin A B C =；（2）若22265b c a bc +-=，求tan B 的值．16．如图，一个平面与四面体ABCD 的棱AB ，BC ，CD ，DA 分别相交于点M ，N ，P ，Q ，且截面四边形MNPQ 是正方形．（1）求证：AC // 平面MNPQ ；（2）求证：AC BD ⊥，并求异面直线MP 与BD 所成角的值．17．在某商业区周边有两条公路12 l l ，，在点O 处交汇，该商业区为圆心角3π，半径3km 的扇形.现规划在该商业区外修建一条公路AB ，与12 l l ，分别交于A ，B ，要求AB 与扇形弧相切，切点T 不在12 l l ，上．（1）设km km OA a OB b ==，，，试用a ，b 表示新建公路AB 的长度，求出a ，b 满足的关系式，并写出a ，b 的范围；（2）设AOT α∠=，试用α表示新建公路AB 的长度，并且确定A ，B 的位置，使得新建公路AB的长度最短．18.???在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆T 的中心在原点，焦点在x 轴上，短轴长为2，椭圆T 上的点到右焦点的距离的最小值为23-．（1）求椭圆T 的方程；（2）设点A ，B 分别是椭圆T 的左右顶点，点Q 是x 轴上且在椭圆T 外的一点，过Q 作直线Oxy QBACDP（第18题）?交椭圆T 于C ，D 两点（异于A ，B ），设直线AC 与BD 相交于点P ，记直线PA ，PB ， ?PQ 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，求证：k 3是k 1，k 2的等差中项．19．已知二次函数g （x ）对任意实数x 都满足()()21121g x g x x x -+-=--，且()11g =-．令 ()19()ln (0)28f xg x m x m x =+++∈>R ，．（1）求 g (x )的表达式；（2）若0x ∃>使()0f x ≤成立，求实数m 的取值范围；（3）设1e m <≤，()()(1)H x f x m x =-+，证明:对12[1]x x m ∀∈，，，恒有12|()()| 1.H x H x -<20．下述数阵称为“森德拉姆筛”，记为S ．其特点是每行每列都是等差数列，第i 行第j 列的数记为A ij ．1 4 7 10 13 … 4 8 12 16 20 … 7 12 17 22 27 … 10 16 22 28 34 … 13 20 27 34 41 …… … … …（1）证明：存在常数*C ∈N ，对任意正整数i ，j ，ij A C +总是合数；（2）设?S 中主对角线上的数1，8，17，28，41，…组成数列{}n b ．试证不存在正整数k 和m (1)k m <<，使得1k m b b b ，，成等比数列；（3）对于（2）中的数列{}n b ，是否存在正整数p 和r?(1150)r p <<<，使得1r p b b b ，，成等差数列．若存在，写出p r ，的一组解（不必写出推理过程）；若不存在，请说明理由．数学附加题21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区．．．．．域内．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵11A ⎡=⎢-⎣ 24⎤⎥⎦.求A 的特征值和特征向量.C ．选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的极坐标方程为6cos ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为π4θ=（ρ∈R ），曲线1C ，2C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长度.22. 在1 2 3 9，，，，这9个自然数中，任取3个不同的数．（1）求这3个数中至少有1个数是偶数的概率；（2）求这3个数的和为18的概率；（3）设ξ为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1 2 3，，，则有两组相邻的数1 2，和2 3，，此时ξ的值是2）．求随机变量ξ的分布列及其数学期望()E ξ．23．设数列{}n a 是等比数列，311232CAmm m a +-=⋅，公比q 是()4214x x+的展开式中的第二项（按x 的降幂排列）．（1）用n ，x 表示数列的通项n a 及前n 项和n S ；（2）若1212C C C nn n n n n A S S S =+++，用n ，x 表示n A ．。

江苏省海安中学2018-2019年高一数学第二学期月考试卷(含答案)

海安中学2018-2019年高一数学第二学期月考试卷本试卷分填空题和解答题两部分．考生作答时，将答案答在答题卷上，在本试卷上答题无效．本卷满分160分,考试时间为120分钟．注意事项：1．答题前，考生先将自已的姓名、学校、考试号填写在答题卷规定区域内；2．填空题和解答题均使用0.5毫米的黑色中性签字笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚，作图可用2B铅笔；3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1. 在ABC ∆中，设角,A B 所对边分别为,a b ，若sin cos A Ba b=，则角B = ． 2. 在等差数列{}n a 中，若1120,a =则21S = ． 3. 已知关于x 的不等式11ax x ->0+的解集是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞，则a ＝________. 4.已知等比数列{}n a 公比0q >，若23a =，23421a a a ++=，则345____.a a a ++= 5. 在ABC ∆中，若a =b =30A =︒，则边c ＝________.6.“远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，共灯三百八十一，试问塔顶几盏灯？” 答曰：盏．7. 右图是一个算法的流程图，则输出S 的值是 .7第题图8. 设动点(),P x y 满足24025000x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,则52z x y =+的最大值是．9. 0a <,0b <,则22b a p a b=+与q a b =+的大小关系为． 10. 已知正项等比数列{}n a 满足: 7652a a a =+,若存在两项,m n a a使得14a =,则14m n+的最小值为．11．ABC ∆中，已知cos cos a b c B c A -=-，则三角形的形状为_____________．12．已知圆内接四边形ABCD 中，2,6,4,AB BC AD CD ====则四边形ABCD 的面积为________． 13．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若nnS S 2)(*∈N n 是非零常数，则称该数列为“和等比数列”.若数列{}n C 是首项为1C ，公差为d （0≠d ）的等差数列，且数列{}n C 是“和等比数列”，则d 与1C 的关系式为_________________．14.已知圆心角为120°的扇形AOB 的半径为1，C 为弧AB 的中点，点D ，E 分别在半径OA ，OB 上．若222269CD CE DE ++=，则OD OE +的最大值是________．二、解答题（本大题共6小题，满分90分） 15. （本题满分14分)解关于x 的不等式()()221200ax a x a -++<>.16.（本题满分14分)在ABC ∆中，A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，cos b B 是cos a C ，cos c A 的等差中项． (1)求B 的大小；(2)若a c +=，2b =，求ABC ∆的面积．17.（本题满分15分)对任意函数(),f x x D ∈，可按流程图构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入数据0x D ∈，经数列发生器输出10()x f x =；②若1x D ∉，则数列发生器结束工作；若1x D ∈，则将1x 反馈回输入端再输出21()x f x =,并且依此规律继续下去.现定义42()1x f x x -=+. (1)若输入04965x =，则由数列发生器产生数列{}n x ，请写出数列{}n x 的所有项；(2)若要数列发生器产生一个无穷的常数数列，试求输入的初始数据0x 的值；（3）若输入0x 时，产生的无穷数列{}n x 满足：对任意正整数n ，均有1n n x x +<，求0x 的取值范围.18.（本题满分15分）设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，数列{}n b 满足()*nn n a b m N a m=∈+． (1)若1b ，2b ，8b 成等比数列，试求m 的值；(2)是否存在m ，使得数列{}n b 中存在某项1b 满足1b ，4b ，*5()t b t t ∈≥N ，成等差数列？若存在，请指出符合题意的m 的个数；若不存在，请说明理由．19．（本题满分16分）某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元。

江苏省海安高级中学高三月月考数学试题含答案

阶段性测试（三）数学Ⅰ参考公式：样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差2211()ni i s x x n ==-∑，其中11ni i x x n ==∑．锥体的体积13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 设全集U ={1，2，3，4，5}．若U A =ð{1，2，5}，则集合A = ▲ ． 2. 已知复数z 满足(z 2)i 1i -=+(i 为虚数单位)，则复数z 的实部是 ▲ ．3. 已知样本数据1234a a a a ，，，的方差为2，则数据123421212121a a a a ++++，，，的方差为 ▲ ． 4. 右图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 ▲ ．5. 从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，则该三位数为奇数的概率为 ▲ ．6. 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为10，则双曲线C 的渐近线方程为 ▲ ．7. 将函数f (x )的图象向右平移π6个单位后得到函数()π4sin 23y x =-的图象，则()π4f 的值为 ▲ ．8. 设定义在R 上的奇函数()f x 在区间[0 )+∞，上是单调减函数，且2(3)f x x -(2)f +0>，则实数x 的取值范围是 ▲ ．9. 在锐角三角形ABC 中，若3sin 5A =，1tan()3A B -=-，则3tan C 的值为 ▲ ．10. 设S n 为数列{}n a 的前n 项和．若S n ＝na n －3n (n －1)（n ∈N *），且211a =，则S 20的值为 ▲ ． 11. 设正实数x ，y 满足x yxy x y+=-，则实数x 的最小值为 ▲ ． 12. 如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为27，点E ，F（第4题）CA 1分别为棱1B B ，1C C 上的点（异于端点），且//EF BC ，则四棱锥1A AEFD -的体积为 ▲ ．13．已知向量a ，b ，c 满足++=0a b c ，且a 与b 的夹角的正切为12-，b 与c 的夹角的正切为13-，2=b ，则⋅a c 的值为 ▲ ．14．已知()()()23f x m x m x m =-++，()22x g x =-，若同时满足条件：①x ∀∈R ，()0f x <或()0g x <；②()4x ∃∈-∞-，，()()0f x g x ⋅<，则实数m 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）已知△ABC的面积为()18AC AB CB ?=u u u r u u u ru u u r，向量(tan tan sin 2)A B C =+,m 和(1cos cos )A B =,n 是共线向量.（1）求角C 的大小；（2）求△ABC 的三边长.16．（本题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，已知底面ABCD 为矩形，且 AB ＝2，BC ＝1，E ，F 分别是AB ，PC 的中点，PA ⊥DE ．（1）求证：EF ∥平面PAD ；（2）求证：平面PAC ⊥平面PDE ．17．（本题满分14分）如图，OM ，ON 是某景区的两条道路（宽度忽略不计，OM 为东西方向），Q 为景区内一景点，A 为道路OM 上一游客休息区．已知tan ∠MON ＝－3，OA ＝6(百米)，Q 到直线OM ，ON 的距离分别为3(百米)，6105(百米)．现新修一条自A 经过Q 的有轨观光直路并延伸至道路ON 于点B ，并在B 处修建一游客休息区．（1）求有轨观光直路AB 的长；（2）已知在景点Q 的正北方6 百米的P 处有一大型组合音乐喷泉，喷泉表演一次的时长为9分（第16题）AOBPQMN（第17题）钟．表演时，喷泉喷洒区域以P 为圆心，r 为半径变化，且t 分钟时，r =百米)（0≤t ≤9，0＜a ＜1）．当喷泉表演开始时，一观光车S （大小忽略不计）正从休息区B 沿（1）中的轨道BA 以2(百米/分钟)的速度开往休息区A ，问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并说明理由．18．（本题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>过点(1，（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若A ，B 分别是椭圆E 的左，右顶点，动点M 满足MB AB ⊥，且MA 交椭圆E 于点P ．①求证：OP OM ⋅u u u r u u u u r为定值；②设PB 与以PM 为直径的圆的另一交点为Q ，求证：直线MQ 经过定点．19．（本题满分16分）已知数列{}n a 满足：123a a a k ===（常数k ＞0），112n n n n k a a a a -+-+=（n ≥3，*n ∈N ）．数列{}n b 满足：21n n n n a a b a +++=（*n ∈N ）．（1）求b 1，b 2的值；（2）求数列{}n b 的通项公式；（3）是否存在k ，使得数列{}n a 的每一项均为整数? 若存在，求出k 的所有可能值；若不存在，请说明理由．20．（本题满分16分）设函数f (x )＝(x －a )ln x －x ＋a ，a ∈R ．（1）若a ＝0，求函数f (x )的单调区间；（2）若a ＜0，且函数f (x )在区间()22e e -，内有两个极值点，求实数a 的取值范围；（3）求证：对任意的正数a ，都存在实数t ，满足：对任意的x ∈(t ，t ＋a )， f (x )＜a －1．数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1. 【答案】{3，5}2. 【答案】33. 【答案】84. 【答案】1011 5. 【答案】356. 【答案】y ＝±3x7. 【答案】48. 【答案】（1，2）9. 【答案】79 10. 【答案】1 24011. 【答案1 12. 【答案】9 13．【答案】4514．【答案】()42--，二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）解：（1）因为向量(tan tan sin 2)A B C =+，m 和(1cos cos )A B =，n 是共线向量，所以()cos cos tan tan sin 20A B A B C +-=， ……2分即sin A cos B +cos A sin B －2sin C cos C =0，化简得sin C －2sin C cos C =0，即sin C (1－2cos C )=0. ……4分因为0πC <<，所以sin C >0，从而1cos 2C =，π.3C = ……6分（2）()()218AC AB CB AC BC BA AC =?=?=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r ，于是AC =. ……8分因为△ABC 的面积为1sin 2CA CB C ?，即1πsin 23CB ，解得CB = …… 11分在△ABC 中，由余弦定理得((2222212cos 254.2AB CA CB CA CB C=+-?+-创所以AB = …… 14分16．（本题满分14分）证明：（1）取PD 中点G ，连AG ，FG ，因为F ，G 分别为PC ，PD 的中点，所以FG ∥CD ，且FG ＝12C D ． ……2分又因为E 为AB 中点，所以AE //CD ，且AE ＝12C D ． ……4分所以AE //FG ，AE ＝FG ．故四边形AEFG 为平行四边形．所以EF //AG ，又EF ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD ，故EF //平面PA D ． ……6分（2）设AC ∩DE ＝H ，由△AEH ∽△CDH 及E 为AB 中点得AG CG ＝AE CD ＝12，又因为AB ＝2，BC ＝1，所以AC ＝3，AG ＝13AC ＝33．所以AG AE ＝AB AC ＝23，又∠BAD 为公共角，所以△GAE ∽△BA C ．所以∠AGE ＝∠ABC ＝90︒，即DE ⊥A C ． ……10分又DE ⊥PA ，PA ∩AC ＝A ，所以DE ⊥平面PA C ． ……12分又DE ⊂平面PDE ，所以平面PAC ⊥平面PDE ． ……14分17．（本题满分14分）解：（1）以点O 为坐标原点，直线OM 为x 轴，建立平面直角坐标系，如图所示．则由题设得：A (6，0)，直线ON 的方程为()()003 30y x Q x x =->，，．，解得03x =，所以()3 3Q ，． ……2分故直线AQ 的方程为()6y x =--，由360y x x y =-⎧⎨+-=⎩，得39x y =-⎧⎨=⎩，，即()3 9B -，，故AB == …… 5分答：水上旅游线AB 的长为． ……6分（2）将喷泉记为圆P ，由题意可得P (3，9)，生成t 分钟时，观光车在线段AB 上的点C 处，则BC ＝2t ，0≤t ≤9，所以C (－3＋t ，9－t )．若喷泉不会洒到观光车上，则PC 2＞r 2对t ∈[0，9]恒成立，即PC 2＝(6－t )2＋t 2＝2t 2－12t ＋36＞4at ， ……10分当t ＝0时，上式成立，当t ∈(0，9]时，2a ＜t ＋18t －6，(t ＋18t －6)min ＝62－6，当且仅当t ＝32时取等号，因为a ∈(0，1)，所以r ＜PC 恒成立，即喷泉的水流不会洒到观光车上．……13分答：喷泉的水流不会洒到观光车上． ……14分18．解：（1）设椭圆焦距为2c，所以223121 a b c a ⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪⎩，且222c a b =-，解得224 2 a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，所以椭圆E 的方程为22142x y +=； ……4分（2）设0(2 )M y ，，11( )P x y ，， ①易得直线MA 的方程为：0042y yy x =+，代入椭圆22142x y +=得，()2222000140822y y y x x +++-=，由()201204828y x y --=+得，()20120288y x y --=+，从而012088y y y =+， ……8分所以()20002200288 (2 )88y y OP OM y y y --⎛⎫⋅=⋅ ⎪++⎝⎭u u u r u u u u r ，， ()22002200488488y y y y --=+=++． ……10分 ②直线MQ 过定点(0 0)O ，，理由如下：依题意，()020200208822828PB y y k y y y +==----+，由MQ PB ⊥得，02MQ y k =，则MQ 的方程为：00(2)2y y y x -=-，即02yy x =，所以直线MQ 过定点(0 0)O ，． ……16分 19．（本题满分16分）解：（1）由已知得，41a k =+，所以1312=2a a b a +=，2423121a a k k kb a k k ++++===． ……2分（2）由条件可知：()1213n n n n a a k a a n +--=+≥，①所以()21+12n n n n a a k a a n +-=+≥.② ……4分 ①－②得122111n n n n n n n n a a a a a a a a +-+--+-=-. 即：121121n n n n n n n n a a a a a a a a +-+-+-+=+．因此：2211n n n nn n a a a a a a +-+-++=， ……6分故()23n n b b n -=≥，又因为12b =，221k b k+=，所以221n n b k n k⎧⎪=⎨+⎪⎩，为奇数，为偶数． ……8分（3）假设存在k ，使得数列{}n a 的每一项均为整数，则k 为正整数． ……10分由（2）知21221222122(123)21n n n n n n a a a n k a a a k +-++=-⎧⎪=⎨+=-⎪⎩L ，，③ 由162Z 4Z a k a k k=∈=++∈，，所以k =1或2， ……12分检验：当1k =时，312=+kk 为整数，利用123Z a a a ∈，，结合③，{a n }各项均为整数； ……14分当2k =时③变为21221222122(123)52n n n n n n a a a n a a a +-++=-⎧⎪=⎨=-⎪⎩L ，，消去2121n n a a +-，得：222223(2)n n n a a a n +-=-≥ 由24Z a a ∈，，所以偶数项均为整数，而2221252n n n a a a ++=-，所以21n a +为偶数，故12a k ==，故数列{}n a 是整数列. 综上所述，k 的取值集合是{}12，. ……16分 20．（本题满分16分）解：（1）当a ＝0时，f (x )＝x ln x －x ，f’(x )＝ln x ，令f’(x )＝0，x ＝1，列表分析x (0，1) 1 (1，＋∞)f’(x ) － 0 ＋ f (x ) 单调递减单调递增故f (x )的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)． ……3分（2）f (x )＝(x －a )ln x －x ＋a ，f’(x )＝ln x －ax ，其中x ＞0，令g (x )＝x ln x －a ，分析g (x )的零点情况．g ’(x )＝ln x ＋1,令g ’(x )＝0，x ＝1e ，列表分析g (x )min ＝g (1e )＝－1e －a ， ……5分而f’(1e )＝ln 1e －a e ＝－1－a e ，()2e f -'＝－2－a e 2＝－(2＋a e 2)，f’(e 2)＝2－a e 2＝1e 2(2e 2－a )，①若a ≤－1e ，则f’(x )＝ln x －ax ≥0，故f (x )在()22e e -，内没有极值点，舍；②若－1e ＜a ＜－2e 2，则f’(1e )＝ln 1e －a e ＜0，f’(e －2)＝－(2＋a e 2)＞0，f’(e 2)＝1e 2(2e 2－a )＞0，因此f’(x )在()22e e -，有两个零点，设为1x ，2x ，所以当()21e x x -∈，时，f (x )单调递增，当()12x x x ∈，时，f (x )单调递减，当()22e x x ∈，时，f (x )单调递增，此时f (x )在()22e e -，内有两个极值点；③若－2e 2≤a ＜0，则f’(1e )＝ln 1e －a e ＜0，f’(e －2)＝－(2＋a e 2)≤0， f’(e 2)＝1e 2(2e 2－a )＞0，因此f’(x )在()22e e -，有一个零点，f (x )在()22e e -，内有一个极值点；综上所述，实数a 的取值范围为(－1e ，－2e 2)． ……10分（3）存在1t =：x ∈(1，1＋a )，f (x )＜a －1恒成立． ……11分证明如下：由（2）得g (x )在(1e ，＋∞)上单调递增，且g (1)＝－a ＜0，g(1＋a )＝(1＋a )ln(1＋a )－a ．因为当x ＞1时，ln x ＞1－1x (*)，所以g(1＋a )＞(1＋a )(1－1a ＋1)－a ＝0．故g (x )在(1，1＋a )上存在唯一的零点，设为x 0．由知，x ∈(1，1＋a )，f (x )＜max{f (1)，f (1＋a )}． ……13分又f (1＋a )＝ln(1＋a )－1，而x ＞1时，ln x ＜x －1(**)，所以f (1＋a )＜(a ＋1)－1－1＝a －1＝f (1)．即x ∈(1，1＋a )，f (x )＜a －1．所以对任意的正数a ，都存在实数t ＝1，使对任意的x ∈(t ，t ＋a )，使 f (x )＜a －1． ……15分补充证明（*）：令F (x )＝ln x ＋1x －1，x ≥1．F ’(x )＝1x －1x 2＝x －1x 2≥0，所以F (x )在[1，＋∞)上单调递增．所以x ＞1时，F (x )＞F (1)＝0，即ln x ＞1－1x ．补充证明（**）令G (x )＝ln x －x ＋1，x ≥1．G ’(x )＝1x －1≤0，所以G (x )在[1，＋∞)上单调递减．所以x ＞1时，G (x )＜G (1)＝0，即ln x ＜x －1．……16分数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4－2：矩阵与变换【解】由特征值、特征向量定义可知，A 1α1λ=1α，即11111 a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得11.a b c d -=-⎧⎨-=⎩， ……5分同理可得3212328a b c d +=⎧⎨+=⎩，，解得2321，，， a b c d ====．因此矩阵A 2321 ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． ……10分B ．解：因为A ( 1，π3 )，B ( 9，π3)，所以线段AB 的中点坐标为(5，π3)， ……2分设点P (ρ，θ)为直线l 上任意一点，在直角三角形OMP 中，ρcos(θ－π3)＝5，所以，l 的极坐标方程为ρcos(θ－π3)＝5， ……6分令θ＝0，得ρ＝10，即C (10，0)． …… 8分所以，△ABC 的面积为：12×(9－1)×10×sin π3＝203． ……10分C ．证明：因为|a ＋b |≤2，所以|a 2＋2a －b 2＋2b |＝|a ＋b ||a －b ＋2| ＝|a ＋b ||2a －(a ＋b )＋2| ≤|a ＋b |(|2a |＋|a ＋b |＋2)≤4(|a |＋2)． ……10分22．解：依题意，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A －xyz 则B (1，0，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)，因为DC →＝λAB →，所以C (λ，2，0)， ……2分（1）从而PC →＝(λ，2，－2)，BD →＝(－1，2， 0)，则cos ＜PC →，BD →＞＝PC →·BD →|PC →|·|BD →|＝4－λλ2＋8×5＝1515，解得λ＝2；（第22题）（2）易得PC →＝(2，2，－2)，PD →＝(0，2，－2)，设平面PCD 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则n ·PC →＝0，且n ·PD →＝0，即x ＋y －z ＝0，且y －z ＝0，所以x ＝0，不妨取y ＝z ＝1，则平面PCD 的一个法向量n ＝(0，1，1)， …… 8分又易得PB →＝(1，0，－2)，故cos ＜PB →，n ＞＝PB →·n |PB →|·|n |＝－22×5＝－105，所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为105． ……10分 23．(本小题满分10分)解：（1）S 1＝C 11a 1＝1，S 2＝C 12a 1＋C 22a 2＝3． ……2分（2）记α＝1＋52，β＝1－52．则S n ＝15∑n i ＝1C i n (αi －βi )＝15∑n i ＝0C i n (αi －βi )＝15(∑n i ＝0C i n αi －∑n i ＝0C i n βi)＝15[(1＋α)n －(1＋β)n ]＝15[(3＋52)n －(3－52)n ]． ……6分因为(3＋52)×(3－52)＝1．故S n ＋2＝15{[(3＋52)n ＋1－(3－52)n ＋1][ (3＋52)＋(3－52)]－[(3＋52)n － (3－52)n]}＝3S n ＋1－S n ．所以存在=3λ，使得213n n n S S S +++=恒成立． ……10分。

海安中学2018-2019学年度第一学期第一次质量考试

海安中学2018-2019年度第一学期第一次质量考试高三数学（Ⅰ）试题答案一．填空题（共14小题）1．已知tanα=2，则tan（α+）=﹣3．【解答】解：∵tanα=2，∴tan（α+）===﹣3，2．已知A=（﹣∞，m]，B=（1，2]，若B⊆A，则实数m的取值范围为m≥2．【解答】解：∵A=（﹣∞，m]，B=（1，2]，B⊆A，∴m≥2，∴实数m的取值范围为[2，+∞]．3．若a2x=﹣1，则等于2﹣1．【解答】解：=因为a2x=﹣1，所以4．已知向量=（1，2），=（﹣2，x），若∥，则实数x=﹣4．【解答】解：向量=（1，2），=（﹣2，x），且，可得：x=﹣2×2=﹣4．5．若直线y=x+b（e是自然对数的底数）是曲线y=lnx的一条切线，则实数b的值是0．【解答】解：函数的导数为y′=f′（x）=，设切点为（x0，y0），则切线斜率k=f′（x0）=，则对应的切线方程为y﹣y0=（x﹣x0），即y=x﹣1+lnx0，∵直线y=x+b（e是自然对数的底数）是曲线y=lnx的一条切线，∴=且b=lnx0﹣1，解得x0=e，b=lne﹣1=1﹣1=0，6．“lg x＞lg y”是“＞”的充分不必要条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）．【解答】解：由lg x＞lg y，解得：x＞y＞0，由＞，解得：x＞y≥0，故lg x＞lg y”是“＞”的充分不必要条件，7．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，其中a=1，b=，，则A=．【解答】解：∵a=1，b=，，∴由正弦定理=得：sinA===，又A为三角形的内角，且a＜b，∴0＜A＜，则A=．8．已知sinα•cosα=，且＜α＜，则cosα﹣sinα=﹣．【解答】解：∵＜α＜，∴cosα＜sinα，即cosα﹣sinα＜0，设cosα﹣sinα=t（t＜0），则t2=1﹣2sinαcosα=1﹣=，∴t=﹣，即cosα﹣sinα=﹣．9．函数f（x）=xe x在区间[﹣2，0]上的值域为[﹣，0] ．【解答】解：由f（x）=xe x，得f′（x）=xe x=e x+xe x=（x+1）e x．∴当x∈（﹣2，﹣1）时，f′（x）＜0，当x∈（﹣1，0）时，f′（x）＞0．可得，f（x）在（﹣2，﹣1）上为减函数，在（﹣1，0）上为增函数．而f（﹣2）=，f（﹣1）=，f（0）=0．∴函数f（x）=xe x在区间[﹣2，0]上的值域为[﹣，0]．10．若“∃x∈[，2]，使得2x2﹣λx+1＜0成立”是假命题，则实数λ的取值范围为（﹣∞，2] ．【解答】解：若“∃x∈[，2]，使得2x2﹣λx+1＜0成立”是假命题，即“∃x∈[，2]，使得λ＞2x+成立”是假命题，由x∈[，2]，当x=时，函数y=2x+≥2=2，取最小值2；所以实数λ的取值范围为（﹣∞，2]．11．设函数f（x）=x2﹣，则使f（2x）≤f（4﹣x）成立的x的取值范围是[﹣4，] ．【解答】解：根据题意，函数f（x）=x2﹣，有f（﹣x）=（﹣x）2﹣=x2﹣=f（x），则函数f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣=x2﹣，其导数f′（x）=2x+＞0，则函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，若f（2x）≤f（4﹣x），必有|2x|≤|4﹣x|，即4x2≤x2﹣8x+16，变形可得：3x2+8x﹣16≤0，解可得：﹣4≤x≤，即x的取值范围为；12．已知x=1，x=5是函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0）两个相邻的极值点，且f（x）在x=2处的导数f′（2）＜0，则f（0）=．【解答】解：∵x=1，x=5是函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0）两个相邻的极值点，∴=5﹣1=4，∴T=8，∵ω＞0∴ω=，∵f（x）在x=2处的导数f′（2）＜0，∴函数f（x）在[1，5]上为减函数，故+φ=2kπ，k∈Z，φ=2kπ﹣，k∈Z，∴f（0）=cos=，13．若实数a满足x+lgx=2，实数b满足x+10x=2，函数f（x）=，则关于x的方程f（x）=x解的个数为2．【解答】解：由题意可得：2﹣a=lga，2﹣b=10b，做出y=lgx，y=2﹣x，y=10x的函数图象如图所示：∵y=lgx与y=10x互为反函数，∴y=lgx与y=10x的函数图象关于直线y=x对称，又直线y=2﹣x与直线y=x垂直，交点坐标为（1，1），∴a+b=2，∴f（x）=，做出y=f（x）与y=x的函数图象如图所示：由图象可知f（x）的图象与直线y=x有两个交点，∴f（x）=x有两个解．14．已知函数（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a），若函数f（x）图象上存在点P与函数g（x）图象上的点Q关于y轴对称，则a的取值范围是．【解答】解：由题意可得：存在x0∈（﹣∞，0），满足x02+e x0﹣=（﹣x0）2+ln（﹣x0+a），即e x0﹣﹣ln（﹣x0+a）=0有负根，∵当x趋近于负无穷大时，e x0﹣﹣ln（﹣x0+a）也趋近于负无穷大，且函数h（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a）为增函数，∴h（0）=e0﹣﹣lna＞0，∴lna＜ln，∴a＜，∴a的取值范围是，二．解答题（共10小题）15．（文科学生做）设命题p：函数f（x）=x3+ax2+ax是R上的单调递增函数，命题q：|a ﹣1|≤m（m＞0）．（1）当a=1时，判断命题p的真假，并说明理由；（2）若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）=x3+ax2+ax是R上的单调递增函数，∴f′（x）=3x2+2ax+a≥0，∴△=4a2﹣12a≤0，解得0≤a≤3，∴当a=1时，命题p为真命题，（2）由|a﹣1|≤m，（m＞0），解得1﹣m≤a≤1+m，∵q是p的充分不必要条件，∴q⇒p，∴，解得0＜m≤1．又当m=1时，p≠q，∴实数m的取值范围为（0，1]16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设=（1.1），（﹣cosA，sinA），记f（A）=•．（1）求f（A）的取值范围（2）若与的夹角为，C=，c=，求b的值．【解答】解：（1）∵=（1，1），（﹣cosA，sinA），∴f（A）=•=﹣cosA+sinA=sin（A﹣），∵0＜A＜π，∴﹣＜A﹣＜，∴﹣＜sin（A﹣）≤1，则f（A）的取值范围为（﹣1，]；（2）∵与的夹角为，∴•=||×||×cos=×1×=，即﹣cosA+sinA=sin（A﹣）=，∴sin（A﹣）=，∴A﹣=或A﹣=（舍去），解得：A=，∵C=，∴B=，由正弦定理=，即=，解得：b=2．17．已知函数f（x），g（x）分别为定义域R上的奇函数和偶函数，且f（x）+g（x）=2x+1，F（x）=a•f（x）+g（2x）．（1）求f（x），g（x）的解析式；（2）若a=﹣，求方程F（x）=2的解；（3）求函数F（x）在区间[0，1]上的值域．【解答】解：（1）∵函数f（x），g（x）分别为定义域R上的奇函数和偶函数，且f（x）+g（x）=2x+1，①∴f（﹣x）+g（﹣x）=2﹣x+1，即﹣f（x）+g（x）=2﹣x+1，②，由①②得f（x）==2x﹣2﹣x，g（x）==2x+2﹣x；（2）F（x）=a•f（x）+g（2x）=a（2x﹣2﹣x）+（22x+2﹣2x），令t=2x﹣2﹣x，则t2+2=22x+2﹣2x，则方程等价为F（x）=at+t2+2，若a=﹣，由F（x）=2得﹣t+t2+2=2，即﹣t+t2=0，得t=0（舍）或t=，由2x﹣2﹣x=得2（2x）2﹣3（2x）﹣2=0，即（2x﹣2）（2•2x+1）=0，得2x=2，得x=1，即方程的解为{1}．（3）当0≤x≤1时，t=2x﹣2﹣x，为增函数，则0≤t≤，则y=t2+at+2，其对称轴t=﹣，分4种情况讨论：当﹣≤0即a≥0时，有2≤y≤a+3，函数F（x）在区间[0，1]上的值域[2，a+3]；当0＜﹣＜，即﹣1＜a＜0时，有≤y≤a+3，函数F（x）在区间[0，1]上的值域[，a+3]；当＜﹣＜1，即﹣2＜a＜﹣1时，有≤y≤2，函数F（x）在区间[0，1]上的值域[，2]；当﹣≥1即a≤﹣2时，有a+3≤y≤2，函数F（x）在区间[0，1]上的值域[a+3，2]．18．如图，已知A，B两镇分别位于东西湖岸MN的A处和湖中小岛的B处，点C在A的正西方向1km处，tan∠BAN=，∠BCN=，现计划铺设一条电缆联通A，B两镇，有两种铺设方案：①沿线段AB在水下铺设；②在湖岸MN上选一点P，先沿线段AP在地下铺设，再沿线段PB在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元∕km、4万元∕km．（1）求A，B两镇间的距离；（2）应该如何铺设，使总铺设费用最低？【解答】解：（1）过B作MN的垂线，垂足为D，如图示：在Rt△ABD中，，所以，在Rt△BCD中，，所以CD=BD．则，即BD=3，所以CD=3，AD=4，由勾股定理得，（km）．所以A，B两镇间的距离为5km．（2）方案①：沿线段AB在水下铺设时，总铺设费用为5×4=20（万元）方案②：设∠BPD=θ，则，其中θ0=∠BAN，在Rt△BDP中，，，所以．则总铺设费用为．…（8分）设，则，令f'（θ）=0，得，列表如下：所以f（θ）的最小值为．所以方案②的总铺设费用最小为（万元），此时．而，所以应选择方案②进行铺设，点P选在A的正西方向km处，总铺设费用最低．19．已知函数f（x）=（lnx﹣k﹣1）x（k∈R）．（1）若曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线y=3x平行，求k的值；（2）若对于任意x1，x2∈（0，2]且x1＜x2，都有恒成立，求k 的取值范围．（3）若对于任意，都有f（x）＞3lnx成立，求整数k的最大值．（其中e为自然对数的底数）【解答】解：（1）由题意得：f'（x）=lnx﹣k，又曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线y=3x平行，所以f'（1）=ln1﹣k=3，解得k=﹣3．（2）因为，所以，记，又因为x1，x2∈（0，2]且x1＜x2，所以在（0，2]上单调递增．所以在（0，2]上恒成立，即在（0，2]上恒成立，记，所以，令，解得，因为当时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，所以当时，f（x）取到最大值，所以．（3）若对于任意，都有f（x）＞3lnx成立，所以（lnx﹣k﹣1）x＞3lnx对于任意恒成立，即对于任意恒成立，令，所以，再令u（x）=3lnx+x﹣3，所以在恒成立，所以u（x）=3lnx+x﹣3在上单调递增，又u（2）=3ln2+2﹣3=3ln2﹣1＞0，，所以必存在唯一的解，使得u（x0）=3lnx0+x0﹣3=0，即，所以当时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，所以，因为，所以，又因为k∈Z，所以k+1的最大整数为﹣1，所以整数k的最大值为﹣2．20．已知函数f（x）=ax2+lnx，g（x）=﹣bx，其中a，b∈R，设h（x）=f（x）﹣g（x），（1）若f（x）在x=处取得极值，且f′（1）=g（﹣1）﹣2．求函数h（x）的单调区间；（2）若a=0时，函数h（x）有两个不同的零点x1，x2①求b的取值范围；②求证：＞1．【解答】解：（1）由已知得f，（x＞0），所以，所以a=﹣2．由f′（1）=g（﹣1）﹣2，得a+1=b﹣2，所以b=1．所以h（x）=﹣x2+lnx+x，（x＞0）．则，（x＞0），由h′（x）＞0得0＜x＜1，h′（x）＜0得x＞1．所以h（x）的减区间为（1，+∞），增区间为（0，1）．（2）①由已知h（x）=lnx+bx，（x＞0）．所以h，（x＞0），当b≥0时，显然h′（x）＞0恒成立，此时函数h（x）在定义域内递增，h（x）至多有一个零点，不合题意．当b＜0时，令h′（x）=0得x=＞0，令h′（x）＞0得；令h′（x）＜0得．所以h（x）极大=h（）=﹣ln（﹣b）﹣1＞0，解得．且x→0时，lnx＜0，x→+∞时，lnx＞0．所以当时，h（x）有两个零点．②由题意得lnx1+bx1=0，lnx2+bx2=0∴lnx1x2+b（x1+x2）=0，lnx2﹣lnx1+b（x2﹣x1）=0，∴=，不妨设x1＜x2要证x1x2＞e2，只需要证lnx1x2＞（lnx2﹣lnx1）＞2，即证lnx2﹣lnx1＞，设t=，t＞1，则F （t ）=lnt ﹣=lnt +﹣2，∴F′（t ）=﹣=＞0，∴函数F （t ）在（1，+∞）上单调递增，而F （1）=0， ∴F （t ）＞0，即lnt ＞，∴x 1x 2＞e 2， ∴＞1．海安中学2018-2019年度第一学期第一次质量考试高三数学（Ⅱ）试题答案21．（本小题满分10分）已知函数()x e x f x 212-=-. （1）求函数()x f 的导数()x f '；（2）证明：当R x ∈时，()0≥x f 恒成立.22．如图，已知四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，PA=AB=2，AD=4，M 为侧棱PC 的中点．（1）求异面直线AM 与PB 所成角；（2）求直线AM 与平面BPC 所成角的正弦值．【解答】解：（1）如图所示，以A 为原点，建立空间直角坐标系A ﹣xyz ，则A （0，0，0），B （2，0，0），D （0，4，0），P （0，0，2），C （2，4，0），M （1，2，1）， ∵=（1，2，1），=（2，0，﹣2），∴•=（1，2，1）•（2，0，﹣2）=1×2﹣1×2=0， ∴⊥，则AM ⊥PB ，∴异面直线AM与PD所成角为90°．（2）设平面BPC的法向量为=（x，y，z），∵，并且，∴，令x=1得z=1，y=0，∴平面MBD的一个法向量为=（1，0，1），∵=（1，2，1），∴cos＜，＞===，设直线AM与平面BPC所成角为θ，θ∈（0，），则sinθ=|cos＜，＞|=，∴直线AM与平面BPC所成角的正弦值．23．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，∠BAC=90°，F为棱AA1上的动点，A1A=4，AB=AC=2．（1）当F为A1A的中点，求直线BC与平面BFC1所成角的正弦值；（2）当的值为多少时，二面角B﹣FC1﹣C的大小是45°．【解答】解：（1）如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A1（0，0，4），C1（0，2，4），∵F为AA1r 中点，∴，设是平面BFC1的一个法向量，则，得x=﹣y=z取x=1，得，设直线BC与平面BFC1的法向量的夹角为θ，则，∴直线BC与平面BFC1所成角的正弦值为．（2）设，设是平面BFC1的一个法向量，则，取z=2，得是平面FC1C的一个法向量，，得，即，∴当时，二面角B﹣FC1﹣C的大小是45°．24．（1）若不等式（x+1）ln（x+1）≥ax对任意x∈[0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；（2）设n∈N*，试比较与ln（n+1）的大小，并证明你的结论．【解答】解：（1）原问题等价于对任意x∈[0，+∞）恒成立，令，则，当a≤1时，恒成立，即g（x）在[0，+∞）上单调递增，∴g（x）≥g（0）=0恒成立；当a＞1时，令g'（x）=0，则x=a﹣1＞0，∴g（x）在（0，a﹣1）上单调递减，在（a﹣1，+∞）上单调递增，∴g（a﹣1）＜g（0）=0，即存在x＞0使得g（x）＜0，不合题意；综上所述，a的取值范围是（﹣∞，1]．（2）法一：在（1）中取a=1，得，令，上式即为，即，∴上述各式相加可得（n∈N*）法二：注意到，，…，故猜想（n∈N*），下面用数学归纳法证明该猜想成立．证明：①当n=1时，，成立；②假设当n=k时结论成立，即，在（1）中取a=1，得，令，有，那么，当n=k+1时，，也成立；由①②可知，．。

江苏省海安高级中学2018届高三下学期开学考试数学试题

开始结束输出SYNn < a （第6题）2018届高三阶段检测（四）数学试卷一、填空题．（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填写在答题卡相应位置上）1. ?函数()π()sin 24f x x =-的最小正周期为 ▲ ．2. ?某同学在7天内每天参加体育锻炼的时间（单位：分钟）用茎叶图表示如图，图中左列表示时间的十位数，右列表示时间的个位数.则这7天该同学每天参加体育锻炼时间（单位：分钟）的平均数为 ▲ . 3. ?已知复数1252i 69i z z =+=-，（i 是虚数单位），12i z z z =⋅+，则复数z 的摸为 ▲ ．4. ? 分别在集合A ={1，2，3，4}和集合B ={5，6，7，8}中各取一个数相乘，则乘积为偶数的概率为 ▲ ．5. 已知曲线4(0)y x x=<的一条切线斜率为4-，则切点的横坐标为 ▲ ． 6．如图是计算101121k k =-∑的值的一个流程图，则常数a 的取值范围是 ▲ ．7. 在平面直角坐标系xOy 中，?设点的集合{}222()(1)(1)A x y x y a =-+-=，，3(,)4020x B x y x y x y a ⎧⎫⎧⎪⎪⎪=+-⎨⎨⎬⎪⎪⎪-+⎩⎩⎭≤，≤，≥，且A B ⊆，则实数a 的取值范围是 ▲ ．8. 若等比数列{}n a 的各项均为正数，且510119122e a a a a +=，则1220ln ln ln a a a +++L 的值为 ▲ ．9. ? 设π02βα<<<，且113cos cos()714ααβ=-=，，则tan β的值为 ▲ ． 10. ?在平面直角坐标系xOy 中，若点(m ，n )在圆224x y +=外，则直线4mx ny +=与椭圆22154y x +=的公共点的个数为 ▲ ．6 7 8 5 5 6 3 4 0 1（第2题）A QPCNBM D（第16题）11．在等腰梯形ABCD 中，已知AB 2AB =1BC =60ABC ∠=︒23BE BC =u u u r u u u r 16DF DC =u u u r u u u r AE AF ⋅u u u r u u u r0021m n m n >>+=，，224m n mn ++?设函数()y f x =是定义域为R ，周期为2的周期函数，且当[)11x ∈-，时，2()1f x x =-；已知函数lg ||0()10x x g x x ≠⎧⎪=⎨=⎪⎩，，，．则函数()()y f x g x =-在区间[]510-，内零点的个数为 ▲ ． 14. ?设函数2()()f x x bx c b c =++∈R ，对任意的x ∈R ，都有()f x '≤()f x 成立．若对满足题设条件的任意b ，c ，不等式22()()()f c f b M c b --≤恒成立，则实数M 的最小值为 ▲ ．二、解答题．（本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos sin A B C a b c+=．（1）证明：sin sin sin A B C =；（2）若22265b c a bc +-=，求tan B 的值．16．如图，一个平面与四面体ABCD 的棱AB ，BC ，CD ，DA 分别相交于点M ，N ，P ，Q ，且截面四边形MNPQ 是正方形．（1）求证：AC AC BD ⊥12l l ，3π3km 规划在该商业区外修建一条公路AB ，与12 l l ，分别交于A ，B ，要求AB 与扇形弧相切，切点T 不在12 l l ，上．（1）设km km OA a OB b ==，，，试用a ，b 表示新建公路AB 的长度，求出a ，b 满足的关系式，并写出a ，b 的范围；（2）设AOT α∠=，试用α表示新建公路AB 的长度，并且确定A ，B 的位置，使得新建公路AB的长度最短．18.???在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆T 的中心在原点，焦点在x 轴上，短轴长为2，椭圆T 上的点到右焦点的距离的最小值为23-．（1）求椭圆T 的方程；（2）设点A ，B 分别是椭圆T 的左右顶点，点Q 是x 轴上且在椭圆T 外的一点，过Q 作直线?交椭圆T 于C ，D 两点（异于A ，B ），设直线AC 与BD 相交于点P ，记直线PA ，PB ， ?PQ 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，求证：k 3是k 1，k 2的等差中项．Oxy QBACDP（第18题）19．已知二次函数g （x ）对任意实数x 都满足()()21121g x g x x x -+-=--，且()11g =-．令()19()ln (0)28f xg x m x m x =+++∈>R ，．（1）求 g (x )的表达式；（2）若0x ∃>使()0f x ≤成立，求实数m 的取值范围；（3）设1e m <≤，()()(1)H x f x m x =-+，证明:对12[1]x x m ∀∈，，，恒有12|()()| 1.H x H x -<20．下述数阵称为“森德拉姆筛”，记为S ．其特点是每行每列都是等差数列，第i 行第j 列的数记为A ij ．1 4 7 10 13 … 4 8 12 16 20 … 7 12 17 22 27 … 10 16 22 28 34 … 13 20 27 34 41 …… … … …（1）证明：存在常数*C ∈N ，对任意正整数i ，j ，ij A C +总是合数；（2）设?S 中主对角线上的数1，8，17，28，41，…组成数列{}n b ．试证不存在正整数k 和m (1)k m <<，使得1k m b b b ，，成等比数列；（3）对于（2）中的数列{}n b ，是否存在正整数p 和r?(1150)r p <<<，使得1r p b b b ，，成等差数列．若存在，写出p r ，的一组解（不必写出推理过程）；若不存在，请说明理由．数学附加题21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区．．．．．域内．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵11A ⎡=⎢-⎣ 24⎤⎥⎦.求A 的特征值和特征向量.C ．选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的极坐标方程为6cos ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为π4θ=（ρ∈R ），曲线1C ，2C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长度.22. 在1 2 3 9L ，，，，这9个自然数中，任取3个不同的数．（1）求这3个数中至少有1个数是偶数的概率；（2）求这3个数的和为18的概率；（3）设ξ为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1 2 3，，，则有两组相邻的数1 2，和2 3，，此时ξ的值是2）．求随机变量ξ的分布列及其数学期望()E ξ．23．设数列{}n a 是等比数列，311232CAmm m a +-=⋅，公比q 是()4214x x+的展开式中的第二项（按x 的降幂排列）．（1）用n ，x 表示数列的通项n a 及前n 项和n S ；（2）若1212C C C n n n n n n A S S S =+++L ，用n ，x 表示n A ．。

名校精选题2018-2019学年江苏省海安高级中学高一上学期第一次月考数学试题---精校解析Word版

，则中，，．已知角的终边经过点，则，，则则．《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出．若关于的不等式的解集的值为在区间上的最大值等于，则函数是定义在上的偶函数，则实数的值等于，上一点，且，则中，若，则边长的取值范围是的图象向左平移倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若函数在区间上有且仅有一个零点，则的．已知为非零实数，，且同时满足：①，②，则的值等于的图象过点．）判断函数的奇偶性，并说明理由；）若，求实数．（题文）如图，在四边形中，△为等边三角形，且，的中点，求；）若，，求此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号(2－为10海里精确到分钟，参考数据：≈2.5)，，求：的值；．已知，函数．）求在区间）若，求的值；）若函数在区间上是单调递增函数，求正数为实数，设函数）求的取值范围，并把表示为的函数）若恒成立，求实数）若存在使得成立，求实数，填【解析】化为【详解】可以得到，则有故通项公式为【点睛】中有正弦定理有：考点：正弦定理【解析】，所以，，故，填．，所以，所以，故，填的值，然后代入求解时，时，故答案为2 ，故面积为（平方米），填【解析】二次函数的对称轴为且对称轴为，故所求值域为，填-1为偶函数，所以，整理得到，时，有，故为偶函数，故填【解析】，整理得到，又，所以，也就是，．的范围是故答案为：【解析】的解析式，再由函数在区间个零点，列出不等式组求出的取值范围即可的图象向左平移个单位长度得到再将图象上每个点的横坐标变为原来的得到函数函数在区间上有且仅有一个零点，故答案为【点睛】由题设有，所以，解得或者．而，，所以，所以，填．相关，看成一个整体，把代入另一个方程就能构建关于的方程，解出就能得到的值，注意只有一个解．）为偶函数，理由见解析；（。

）因为的图像过，代入后得到，这样可化简为）不等式可化简为，从而不等式的解．因为的图象过点所以解得所以的定义域为．因为是奇函数．）因为，所以，，所以，．），故，而，故）要计算，可把已知条件变形为可得计算．）法一：因为△为等边三角形，且所以又所以，因为是中点，所以．又，所以法二：如图，以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则，因为△为，且所以所以因为中点，所以 ,所以）因为所以因为所以又．所以17．（中，利用已知条件根据余弦定理求出）在(2－海里，，(）根据正弦定理，可得，易知，．而根据正弦定理，得，解得小时60°方向，需47分钟才能追上走私船．(1)(2)【解析】⑵由⑴中相减得到，然后运用公式进行化简，①②可得：②可得：【点睛】）；（）⑴由题意先表示出的表达式，然后运用辅助角公式化简，求出在区间上的最值⑵由题意得，结合⑶表示出函数的单调增区间，结合题意讨论得到的取值范围，，所以，所以，．）因为，所以，所以，所以令，因为函数在上是单调递增函数，所以存在，使得所以有即因为所以又因为，, 所以从而有，所以，得.，所以所以或.，【点睛】单调性求的取值范围，属于中档题。

2018-2019学年江苏省海安高级中学高一上学期第一次月考数学试题(创新班)Word版含解析

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题 1．已知集合，则＝______．2．已知数列的一个通项公式为______． 3．在中，，，，则此三角形的最大边长为______．4．已知角的终边经过点，则的值等于______． 5．已知向量，，，则的值为______．6．已知函数则的值为______．7．《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致，根据这一算法解决下列问题：现有一扇形田，下周长（弧长）为20米，径长（两段半径的和）为24米，则该扇形田的面积为______平方米．8．若关于的不等式的解集，则的值为______．9．已知函数在区间上的最大值等于8，则函数的值域为______．10．已知函数是定义在R 上的偶函数，则实数的值等于____． 11．如图，在梯形ABCD 中，，P 为线段CD 上一点，且，E 为BC 的中点，若，则的值为______．12．在锐角△ABC 中，若，则边长的取值范围是_________。

13．将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围为____．14．已知为非零实数，，且同时满足：①，②，则的值等于______．二、解答题15．已知函数的图象过点．（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）若，求实数的取值范围．16．（题文）如图，在四边形中，．（1）若△为等边三角形，且，是的中点，求；（2）若，，，求．此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号17．如图，在海岸A处，发现南偏东45°方向距A为(2－2)海里的B处有一艘走私船，在A处正北方向，距A 为海里的C处的缉私船立即奉命以10海里/时的速度追截走私船．（1）刚发现走私船时，求两船的距离；（2）若走私船正以10海里/时的速度从B处向南偏东75°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(精确到分钟，参考数据：≈1.4，≈2.5)．18．已知sinα+cosβ=，cosα+sinβ=，求：（1）sin(α+β)的值；（2）cosα sinβ的值．19．已知，函数．（1）求在区间上的最大值和最小值；（2）若，，求的值；（3）若函数在区间上是单调递增函数，求正数的取值范围．20．设为实数，设函数，设（1）求的取值范围，并把表示为的函数；（2）若恒成立，求实数的取值范围；（3）若存在使得成立，求实数的取值范围．2018-2019学年江苏省海安高级中学高一上学期第一次月考数学试题（创新班）数学答案参考答案1．【解析】，填．2．【解析】【分析】将化为，然后探究分母、分子的规律，然后还有正负的交替出现【详解】由已知可以得到，则有故通项公式为【点睛】本题主要考查了通过观察分析猜想归纳求数列的通项公式的方法，属于基础题。

江苏省海安高级中学2018届高三1月月考数学试卷(含答案)

江苏省海安高级中学2018届高三1月月考（阶段检测三）数学 Ⅰ卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷规定的横线上） 1．已知集合{}1,2A =，{}2,3B a a =+，若{}2A B =I ，则实数a 的值为 ▲ .2．复数11z i=+在复平面内对应的点位于第 ▲ 象限.3．根据如图所示的伪代码，当输入a 的值为4时，输出的S 值为 ▲ .4．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）.若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为 ▲ .5．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 ▲ .6．若命题“存在x R ∈，240ax x a ++≤”为假命题，则实数a 的取值范围是 ▲ .7．已知函数cos y x =与sin(2)y x ϕ=+（0ϕ<π≤），它们的图象有一个横坐标为3π的交点，Read a S ←0 I ←1While I ≤3 S ←S ＋a a ←a ×2 I ←I ＋1 End While Print S第3题第4题第5题则ϕ的值是 ▲ .8．已知双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的一条渐近线方程为340x y -=，则该双曲线的离心率为 ▲ .9．已知向量(1,3)=a ，(3,1)=b ，则a 与b 的夹角的大小为 ▲ . 10．已知一个圆锥母线长为2，其侧面展开图是半圆，则该圆锥的体积为 ▲ . 11．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若367,63S S ==，则789a a a ++= ▲ .12．已知221A B C x y +=，是圆：上的动点，=220AB P x y +-=，是直线上的动点，则PA PB +uu r uu r的最小值为 ▲ .13．若a 是12b +与12b -的等比中项，则22ab a b+的最大值为 ▲ .14．在ABC ∆中，角A B C ，，的对边依次为a b c ，，，若ABC ∆为锐角三角形，且满足22,c b ab -=则112sin tan tan C B C-+的取值范围是 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）如图，在几何体中，四边形ABCD 为菱形，对角线AC 与BD 的交点为O ，四边形DCEF 为梯形，EF ∥CD ，FB FD =．（1）若2CD EF =，求证：OE ∥平面ADF ；（2）求证：平面ACF ⊥平面ABCD ．16．（本小题满分14分）第15题已知函数()2sin()cos 6f x x x π=-.（1）求函数()f x 的最大值和最小正周期；（2）设ABC ∆的角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且c =，1()2f C =，若sin 2sin B A =，求边a ，b 的值.17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，且点在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 为椭圆上第一象限内的点，点P 关于原点O 的对称点为A ，点P 关于x 轴的对称点为Q ，设PD PQ λ=u u u r u u u r，直线AD 与椭圆C 的另一个交点为B ，若PA ⊥PB ，求实数λ的值.18．（本小题满分16分）一块圆柱形木料的底面半径为12cm ，高为32cm ，要将这块木料加工成一只毛笔筒，在木料一第17题端正中间掏去一个小圆柱，使小圆柱与原木料同轴，并且掏取的圆柱体积是原木料体积的三分之一，设小圆柱底面半径为r cm ，高为h cm ，要求笔筒底面的厚度超过2cm ．（1）求r 与h 的关系，并指出r 的取值范围；（2）笔筒成形后进行后续加工，要求笔筒上底圆环面、桶内侧面、外表侧面都喷上油漆，其中上底圆环面、外表侧面喷漆费用均为a （元/ c m 2），桶内侧面喷漆费用为2a （元/cm 2），而桶内底面铺贴金属薄片，其费用是7a （元/ cm 2）（其中a 为正常数）． ①将笔筒的后续加工费用y （元）表示为r 的函数；②求出当r 取何值时，能使笔筒的后续加工费用y 最小，并求出y 的最小值．19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 中，首项11a =，2a a =，12()n n n a k a a ++=+对任意正整数n 都成立，数列{}n a的前n 项和为n S ．（1）若12k =，且18171S =，求实数a 的值；（2）是否存在实数k ，使数列{}n a 是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项n a ，1n a +，2n a +按某顺序排列后成等差数列．若存在，求出所有的k 的值；若不存在，请说明理由；（3）若12k =-，求n S （用a ，n 表示）．20．（本小题满分16分）已知函数1()ln f x a x x=+（0a ≠）. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若存在两条直线1y ax b =+，2y ax b =+（12b b ≠）都是曲线()y f x =的切线，求实数a的取值范围；（3）若{}|()0(0,1)x f x ⊆≤，求实数a 的取值范围.Ⅱ卷（附加题）21．B 【矩阵与变换】（本小题满分10分）已知矩阵32a A d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若1824A ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，求矩阵A 的特征值． C 【坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y tx 221221（t 为参数）．在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的方程为θρcos 4=．①写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；②若点P 坐标为（1，1），圆C 与直线l 交于A ，B 两点，求PA PB +的值．22．（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：40x y --=，抛物线C ：22y px = （0p >）．（1）若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程；（2）已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q ． ①求证：线段PQ 的中点坐标为(4,)p p --； ②求p 的取值范围．23．（本小题满分10分）已知2012(21)n n n x a a x a x a x -=++++L （n N *∈，n 为常数）．（1）求012n a a a a ++++L ；（2）我们知道二项式(1)nx +的展开式0122(1)n n nn n n n x C C x C x C x +=++++L ，若等式两边对x 求导得112321(1)23n n n n n n n n x C C x C x nC x --+=++++L ，令1x =得1231232nn n n n n C C C nC n -++++=⋅L ．利用此方法解答下列问题：①求12323n a a a na ++++L ；②求2222123123n a a a n a ++++L ．答案： 1.2 2.四 3.28 4.3 5.8π 6.a ＞27.6π 8.54 9.6π11.44814.)3 15.【解析】（Ⅰ）证明：取AD 的中点G ，连接OG 、FG ，因为O 为对角线AC 与BD 的交点，则O 为AC 中点，所以OG ∥CD ，且12OG CD =．又因为EF ∥CD ，且2CD EF =，所以OG ∥EF ，OG EF =，则四边形OGFE 为平行四边形，----------3分所以OE ∥FG ．又因为FG ⊂平面ADF ，OE ⊄平面ADF ，OE ∥FG ，所以OE ∥平面ADF ；-------------------------------------------------------------------6分（Ⅱ）证明：因为四边形ABCD 为菱形，所以OC BD ⊥，--------------------------7分又因为FB FD =，O 是BD 的中点，所以OF BD ⊥，------------------8分又有OF OC O OF =⊂I ，平面ACF ，OC ⊂平面ACF ,所以BD ⊥平面ACF ，----------------------------------------------12分又因为BD ⊂平面ABCD ，所以平面ACF ⊥平面ABCD ．----------------------------------------14分16.【解析】（Ⅰ）因为)2()2sin()cos 612cos cos 22cos cos 1cos 2221sin(2)62f x x xx x x x x x x x x ππ=-=-=-+=-=---------------------------------------------------------------------4分当且仅当,3x k k Z ππ=+∈时，max 1()2f x =--------------------------------------6分最小正周期分别为和22T ππ==.------------------------------------------------7分（Ⅱ）因为11()sin(2)622f C C π=--=，即sin(2)16C π-=，因为0C π<<，所以 112666C πππ-<-<，于是262C ππ-=，即3C π=.------------------------------10分因为sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =，-------------------------------------12分由余弦定理得2222cos3c a b ab π=+-，即2212a b ab +-=，联立22212b aa b ab =⎧⎨+-=⎩，解得24a b =⎧⎨=⎩.-------------------------------------------14分17.解:(1)因为点在椭圆C 上，则222112a b+=，------------------------------1分又椭圆C 的离心率为3，可得3c a =，即3c a =，所以()222222314b a c a a a =-=-= ，代入上式，可得22221a a +=，解得24a =，故22114b a ==.所以椭圆C 的方程为2214x y += .............................................................................................. 5分(2)设P (x 0，y 0)，则A (-x 0，-y 0)，Q (x 0，-y 0). 因为=λ,则(0，y D -y 0)=λ(0，-2y 0)，故y D =(1-2λ)y 0.所以点D 的坐标为(x 0，(1-2λ)y 0). ................................................................................................. 7分设B (x 1，y 1)，()()221222101010222210101010114414PB BAx x y y y y y y k k x x x x x x x x ----+-??==--+-- .............................. 9分又()()()()000000121BA AD y y y k k x x x l l ----===--故()001441PB BA x k k y l =-=--.----------------------------------------------------------------------11分又PA ⊥PB ，且0PA x k y =，所以1PB PAk k ?-，即()000141x yx y l -?--，解得34l =.所以34l = ................................................................................................................................... 14分18.【解析】（Ⅰ）据题意，221(1232)3r h ππ=⋅⋅，所以23248h r ⨯=，----------------------3分因为322h ->，所以30h < 即2324830r ⨯<，解得55r >，----------------------------------------------------------5分又012r <<12r <<；----------------------------------------------------------6分（Ⅱ）①据题意，笔筒的后续加工费用22272(2)(1221232)y a r a rh a r πππππ=++⋅-⋅+⋅⋅，整理得2226412763248641276y a r a rh a a r a r a r ππππππ=++⨯⨯=+⋅+⨯ 232326(152)a r rπ⨯=++，定义域为；----------------------11分 ②由①知，33/22323286(2)12r y a r a r r ππ⨯-=-=⋅，令/0y =得8r =∈，由表知，当8r =时，y 取极小值即最小值2064a π.------------------------15分答：当8r cm =时，能使笔筒的后续加工费用y 最小，最小值为2064a π元．----16分19.【解析】（Ⅰ）当12k =时，由12()n n n a k a a ++=+得121()2n n n a a a ++=+，即211n n n n a a a a +++-=-，所以数列{}n a 为等差数列，--------------------1分公差为211d a a a =-=-，数列{}n a 的前n 项和为(1)(1)2n n n S n a -=+⋅-，由18171S =得18(181)17118(1)2a -=+⋅-，解得2a =；---------------------------------------------------------3分（Ⅱ）设数列{}n a 为等比数列，则其公比为21a q a a ==，1n n a a -=，1n n a a +=，12n n a a ++=． 1︒ 若1n a +为等差中项，则122n n n a a a ++=+即112n n n a a a -+=+，解得1a =，与已知不符，舍去；2︒ 若n a 为等差中项，则122n n n a a a ++=+即112n n n a a a -+=+，即220a a +-=，解得2a =-或1a =（舍），此时由12()n n n a k a a ++=+得11()n n n a k a a -+=+即2(1)a k a =+，故2215a k a ==-+； 3︒ 若2n a +为等差中项，则212n n n a a a ++=+即112n n n a a a +-=+，即2210a a --=，解得12a =-或1a =（舍），仿2︒得2215a k a ==-+．---------------------------------------------------8分综上，满足要求的实数k 有且仅有一个，25k =-；---------------------------------9分（Ⅲ）当12k =-时，121()2n n n a a a ++=-+，所以211()n n n n a a a a ++++=-+，于是32n n a a +++=211()n n n n a a a a +++-+=+．----------------------------------------11分1︒ 当n 为偶数时，123456112(1)()()()()()22n n n n n a S a a a a a a a a a a -+=++++++++=+=L ； ---------------------------------------------------------------------------------13分2︒ 当n 为奇数时，1234511231()()()()2n n n n S a a a a a a a a a a --=+++++++=++L 11211[()]1(1)22n n a a a a --=+⋅-+=-+（2n ≥），当1n =时，也适合该式，所以11(1),2(1),2n n a n S n a n -⎧-+⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩为奇数为偶数．-----------------------------------------------16分20.【解析】（Ⅰ）/2211()a ax f x x x x-=-=（0x >）. 当0a <时，/()0f x <，()f x 的递减区间为(0,)+∞；----------------------------1分当0a >时，由/()0f x =得1x a=，列表得：所以，函数()f x 的递减区间为1(0,)a ，递增区间为1(,)a+∞；-----------------------4分（Ⅱ）因为存在两条直线1y ax b =+、2y ax b =+（12b b ≠）都是曲线()y f x =的切线，所以/()f x a =至少有两个不等的正根，-----------------------------------------------5分令/21()ax f x a x-==，得210ax ax -+=，记其两个根为1x 、2x （12x x <），则2124010a a x x a ⎧∆=->⎪⎨=>⎪⎩，解得4a >，------------------------------------------------------------------------------------7分而当4a >时，曲线()y f x =在点11(,())x f x 、22(,())x f x 处的切线分别为11()y ax f x ax =+-、22()y ax f x ax =+-，设()()F x f x ax =-（0x >），由2//1222()()1()()a x x x x ax ax F x f x a x x----+-=-==知，当12x x x <<时，/()0F x >即()F x 在区间12[,]x x 上是单调函数，因此12()()F x F x ≠，所以11()y ax f x ax =+-、22()y ax f x ax =+-不重合，即1y ax b =+、2y ax b =+（12b b ≠）是曲线()y f x =的两条不同的切线，故4a >；----------------10分（Ⅲ）当0a <时，函数()f x 是(0,)+∞内的减函数，因为11111()ln()10aaaaf ea e e e---=+=-<，而1(0,1)ae-∉，不符合题意；----------------------------------------------------------12分当0a >时，由（Ⅰ）知()f x 的最小值为1()ln (1ln )f a a a a a a=-+=-.1︒若1()0f a>即0a e <<时，{}|()0(0,1)x f x φ≤=⊆，所以0a e <<符合题意；2︒若1()0f a =即a e =时，{}1|()0(0,1)x f x e ⎧⎫≤=⊆⎨⎬⎩⎭，所以a e =符合题意；3︒若1()0f a <即a e >时，101a <<，而(1)10f =>，函数()f x 在1(,)a+∞内递增，所以当1x ≥时，()0f x >，又因为()f x 的定义域为(0,)+∞，所以{}|()0(0,1)x f x ≤⊆，符合题意.综上，实数a 的取值范围为(0,)+∞.----------------------------------------------16分【解析】因为131********a a A d d +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以68224a d +=⎧⎨+=⎩，解得21a d =⎧⎨=⎩，所以2321A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，--------------------------------------------------------------------------------5分其特征多项式为223()(2)(1)63421f λλλλλλλ--==---=----，令()0f λ=，解得特征值为11λ=-，24λ=．----------------------------10分【解析】（Ⅰ）直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y tx 221221（t 为参数）．消去参数t 可得直线l 的普通方程为02=-+y x ；---------------------------------------2分圆C 的方程为θρcos 4=，即θρρcos 42=，可得圆C 的直角坐标方程为4)2(22=+-y x ．------------------------------------------4分（Ⅱ）将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y tx 221221代入4)2(22=+-y x得220t +-=，设A 、B 两点对应的参数分别为1t 、2t ，则120t t +=-，1220t t =-<，所以12||4PA PB t t +=-==．------10分另解：由2220(2)4x y x y +-=⎧⎨-+=⎩得2420x x -+=，则2x =---------------------------------------6分不妨取(2A -，则(2B ，---------------------------------------------------------------8分1)2PA ===-1)2PB ===+所以224PA PB +==--------------------------------------------------10分【解析】（Ⅰ）抛物线C ：22y px = （0p >）的焦点为(,0)2p，由点(,0)2p 在直线l ：40x y --=上得0402p--=，即8p =，所以抛物线C 的方程为216y x =；-------------------------------------------------2分（Ⅱ）设11(,)P x y 、22(,)Q x y ，线段PQ 的中点00(,)M x y ．因为点P 和Q 关于直线l 对称，所以直线l 垂直平分线段PQ ，于是PQ 的方程可设为y x b =-+．①证明：由22y px y x b ⎧=⎨=-+⎩得2220y py pb +-=……（﹡），因为P 和Q 是抛物线C 上相异两点，所以12y y ≠，从而2(2)4(2)0p pb ∆=-⨯->，化简得20p b +>，方程（﹡）的两根为1,2y p =-1202y y y p +==-．因为00(,)M x y 在直线l 上，所以04x p =-，因此，线段PQ 的中点坐标为(4,)p p --；--------------------------6分 ②因为(4,)M p p --在直线y x b =-+上，所以(4)p p b -=--+，即42b p =-．由①知20p b +>，于是2(42)0p p +->，所以83p <，即p 的取值范围为8(0,)3．-------------------------------------------10分【解析】（Ⅰ）对于2012(21)n nn x a a x a x a x -=++++L ，取1x =得0121n a a a a ++++=L ；-------------------------------------------------------------2分（Ⅱ）①对2012(21)n nn x a a x a x a x -=++++L 两边求导得 1211232(21)23n n n n x a a x a x na x ---=++++L ，取1x =得1231232n a a a na n ++++=L ；--------------------------------6分 ②将1211232(21)23n n n n x a a x a x na x ---=++++L 两边乘以x 得1231232(21)23n n n n x x a x a x a x na x --⋅=++++L ，两边求导得21222211232[(2(1)(21)(21)]23n n n n n n x x x a a x a x n a x -----+-=++++L ，取1x =得2222212312342n a a a n a n n ++++=-L ．-----------------------10分。

江苏省海安高级中学2018_2019学年高一数学上学期第一次月考试题创新班201810240234

第第11第第江苏省海安高级中学2018-2019学年高一数学上学期第一次月考试题（创新班）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1．已知集合，则＝ ▲ ． {0,1,2},{0,2,4}A B ==A B 2．已知数列的一个通项公式为 ▲ ． 1157,,,221220--3．在中，，，，则此三角形的最大边长为 ▲ ． ABC ∆135B =︒15C =︒5a =4．已知角的终边经过点，则的值等于 ▲ ．α(2,4)P -sin cos αα-5．已知向量，，，则的值为 ▲ ．(,5)AB m = (4,)AC n = (7,6)BC =m n +6．已知函数则))2((f f 的值为 ▲ ． 1232e ,2,()log (1),2,x x f x x x -⎧<⎪=⎨-⎪⎩≥7．《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致，根据这一算法解决下列问题：现有一扇形田，下周长（弧长）为20米，径长（两段半径的和）为24米，则该扇形田的面积为 ▲ 平方米．8．若关于的不等式的解集，则的值为 ▲ ． x 2260tx x t -+<(,)(1,)a -∞+∞ a 9．已知函数在区间上的最大值等于8，则函数2() 2 (0)f x x ax a =++>[0,2]的值域为 ▲ ．() ([2,1])y f x x =∈-10．已知函数是定义在R 上的偶函数，则实数的值等于 ▲ ．2()22x x f x x m -=+-⋅m 11．如图，在梯形ABCD 中，2DC AB = ，P 为线段CD 上一点，且3DC PC =，E 为BC 的中点，若，则的值为 ▲ ． 1212 (,)EP AB AD λλλλ=+∈R 12λλ+12．在锐角△ABC 中，若a =2，b =3，则边长c 的取值范围是 ▲ ． 13．将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变sin y x =3π为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若函数在区间1(0)ωω>()y f x =()y f x =上有且仅有一个零点，则的取值范围为 ▲ ． π(0,)2ω14．已知为非零实数，，且同时满足：①，② ，则,x y ()ππ,42θ∈sin cos y x θθ=22103x y xy=+cos θ的值等于 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）第第17第第已知函数的图象过点． 1()41x f x a =++3(1,)10-（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；()f x （2）若，求实数的取值范围．1()6f x -≤≤0x16．（本小题满分14分）如图，在四边形中，．ABCD 4,2AD AB ==（1）若△为等边三角形，且，是的中点，求；ABC AD BC ∥E CD AE BD ⋅ （2）若，，，求．AC AB =3cos 5CAB ∠=45AC BD ⋅=||DC17．（本小题满分14分）如图，在海岸A 处，发现南偏东45°方向距A 为(2－2)海里的B 处有一艘走私船，在3A 处正北方向，距A 为2海里的C 处的缉私船立即奉命以10海里/时的速度追截走23私船．（1）刚发现走私船时，求两船的距离；（2）若走私船正以10海里/时的速度从B 处向南偏东75°方向逃窜，问缉私船沿什么2方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(精确到分钟，参考数据：≈1.4，26≈2.5)．18．（本小题满分16分）已知sin α+cos β=，cos α+sin β=，求：3545（1）sin(α+β)的值；（2）cos α sin β的值．19．（本小题满分16分）已知，函数．(2cos ,1),cos ,1)x x x ==+-a b ()f x =⋅a b （1）求在区间上的最大值和最小值；()f x π[0,]4（2）若，，求的值； 06()5f x =0[,42x ππ∈0cos 2x （3）若函数在区间上是单调递增函数，求正数的取值范围．()y f x ω=(,)33π2πω20．（本小题满分16分）设为实数，设函数，设a ()5f x a =+++．t =（1）求的取值范围，并把表示为的函数；t ()f x t ()g t（2）若恒成立，求实数的取值范围； ()0g t ≥a （3）若存在使得成立，求实数的取值范围． t ()g t t <a一、填空题：1. 2. 3.{}0,2121(1)(1)n n n n ---⋅+5.86. 7. 8.-3 9. 10.21207[,4]41-11. 12.13.13410(,33二、解答题：15．解：（1）因为的图象过点， ()f x 3(1,10- 所以，解得，所以 ……………………2分 13510a +=-12a =-11(),412x f x =-+的定义域为． ……………………4分()f x R 因为， ……………………7分 114141()()4124122(41)x x xx xf x f x ---=-=-==-+++ 所以是奇函数． …………………………………………8分()f x （2）因为，所以，1()06f x -≤≤11106412x --+≤≤所以， …………………………………………10分1113412x +≤≤所以，所以， ……………………………………12分 2413x ≤+≤142x ≤≤解得． ……………………………………14分 102x ≤≤16．（1）法一：因为△为等边△，且所以．…2分ABC ,AD BC ∥120DAB ∠=︒又所以，因为是中点，所以2,AD AB =2AD BC =E CD 1()2AE AD AC =+1()2AD AB BC =++． ……………………………………4分 11()22AD AB AD =++ 3142AD AB =+又，所以BD AD AB =- AE BD ⋅ 31()()42AD AB AD AB =+⋅-……………………………………6分 22311424AD AB AD AB =--⋅……………………………………8分 311116442()4242=⨯-⨯-⨯⨯⨯-=11.法二：如图，以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则A AB x ，(00)(2,0)A B ，，因为△为等边△，且所以． ………2ABC ,AD BC ∥120DAB ∠=︒分又所以，所以24,AD AB ==2AB AC ==(C D -，因为是中点，E CD 所以 ………………4分1(2E -所以, ……6 分 1(2AE =-，(4BD =-所以1((42AE BD ⋅=-⋅- ． ………………………………8分1()(4)2=-⨯-=11（2）因为所以,因为所以2AB AC AB ==，，2AC =4,5AC BD ⋅= 4(),5AC AD AB ⋅-= 所以 ………………………………10分4.5AC AD AC AB ⋅-⋅= 又所以． (12)312cos 4.55AC AB AC AB CAB ⋅=∠=⨯= 41655AC AD AC AB ⋅=+⋅= 分．所以1422222DC AC AD AC AD AC AD =-=+-⋅ 1641625=+-⨯685=DC = 分17．解：（1）在△ABC 中，∵AB ＝(2－2)海里，AC ＝2海里，∠BAC ＝135°，由余弦定理，得32BC ＝＝4(海(2\r(3)－2)2＋(2\r(2))2－2×22×(2\r(3)－2)cos 135°里)． ……….4分（2）根据正弦定理，可得sin ∠ABC ＝＝.∴∠ABC ＝45°，易知∠ACB ＝AC sin 135°BC 2215°，…2分设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获(在D 点)走私船，则有CD ＝10t (海里)，BD ＝10t (海里)．而∠CBD ＝120°，在△BCD 中，根据正弦定理，可3得sin ∠BCD ＝＝＝，∴∠BCD ＝45°，∠BDC ＝15BD sin ∠CBD CD 102t ·sin 120°103t22°， ………..2分 ∴根据正弦定理，得，解得233104264t=-．………..2分分钟小时4778.0526≈≈+=t 故缉私船沿南偏东60°方向，需47分钟才能追上走私船．19．（1）， …()2cos cos )12cos 2f x x x x x x =⋅=+-=+a b π2sin(26x =+2分因为，所以，所以，π[0,4x ∈ππ2π2663x +≤≤1πsin(2)126x +≤≤所以． …………………………………………4分 max min ()2,()1f x f x ==（2）因为，所以，所以， 06()5f x =0π62sin(265x +=0π3sin(2)65x +=因为，所以， 0ππ[,42x ∈02ππ7π2366x +≤≤所以， ………………………………6分 0π4cos(2)65x +==-所以 0000πππ1πcos2cos[(2))sin(266626x x x x =+-=+++． ………………………………………8分 413()525=-+⨯=（3）令 ()n 26πsi f x x ωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭222,,26πππππ2k x k k ω-++∈Z ≤≤ 得， ……10分 ππ6ππ3k k x ωωωω+-≤≤ 因为函数在上是单调递增函数，所以存在，使得()f x (π2,3π30k ∈Z 002(,)(ππππππ,3336k k ωωωω⊆-+所以有即 …………………………12分00ππππ,33π2.63πk k ωωωω⎧-⎪⎪⎨⎪+⎪⎩≤≥0031,614.k k ωω+⎧⎨+⎩≤≥ 因为所以又因为，所以, 所以0,ω>01,6k >-212332πππ2ω-⋅≤302ω<≤ 14分05.6k ≤ 从而有，所以，所以 …16分 01566k -<≤00k =10.4ω<≤ （另解：由，得. 212332πππ2ω-⋅≤302ω<≤因为，所以，所以或2(,)33x ππ∈242(,63636x ωωωπππππ+∈++4362ωπππ+≤，解得或.又，所以） 23362ωπππ+≥104ω<≤2ω≥302ω<≤10.4ω<≤20．解：1）t =要使有意义，必须且，即， t 10x+≥10x -≥11x -≤≤∴，① 22t =+0t ≥∴的取值范围是t2⎤⎦， 2112t =-∴； 2()3g t t at =++2t ≤≤（2）由恒成立，即有， 0g t≥（）min 0g t ≤（）注意到直线是抛物线的对称轴， 2a t =-2()3gt t at =++分以下几种情况讨论： ①当时，在上为递增函数，2a-≤a ≥-()gt 2⎤⎦即有时，取得最小值，且为；t =5+即时，的最小值为；22a<-<4a -<<-()g t 2()324a a g -=-③当即时，在上为递减函数， 22a-≥4a ≤-()g t 2⎤⎦即有时，取得最小值，且为．2t =72a +则或或，50a ⎧≥-⎪⎨≥⎪⎩24304aa -<⎧-≥<-⎪⎨⎪⎩4720a a ≤-⎧⎨+≥⎩解得：或或，a ≥-a -≤≤-a ∈∅则有；a ≥-。

江苏省海安高级中学2018-2019学年高一上学期第一次月考数学试题(创新班)(解析版)

7.《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致，根据这一算法解决下列问题：现有一扇形田，下周长（弧长）为20米，径长（两段半径的和）为24米，则该扇形田的面积为______平方米．【答案】120【解析】扇形的半径为，故面积为（平方米），填．8.若关于的不等式的解集，则的值为______．【答案】-3【解析】试题分析：显然t<0，且是方程的两根，由韦达定理得，解得．考点：不等式的解法．9.已知函数在区间上的最大值等于8，则函数的值域为______．【答案】【解析】二次函数的对称轴为，故，所以且，对称轴为，故所求值域为，填．10.已知函数是定义在R上的偶函数，则实数的值等于____．【答案】-1【解析】因为为偶函数，故，所以，整理得到，即，又当时，有，，故，为偶函数，故填．11.如图，在梯形ABCD中，，P为线段CD上一点，且，E为BC的中点，若，则的值为______．【答案】【解析】，整理得到，又，所以，也就是，，填．12.在锐角△ABC中，若，则边长的取值范围是_________。

江苏省海安高级中学2017-2018学年高一上1月月考数学试题

高一年级阶段测试（二）数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题纸相应位．．．．．．置上．．． 1．若集合{}{}1,2,1,3M P ==，则MP 等于 ▲ ．2．设扇形的半径长为4cm ，面积为4cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是 ▲ ． 3．oooocos 24cos36cos66cos54-= ▲ ．4．幂函数y =()f x 图像过点1(2,)4 ，则()f x = ▲ ．5．已知π1sin 45α⎛⎫-=⎪⎝⎭，则πcos 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ▲ ．6．方程2lg =+x x 的根()1,0+∈k k x 其中Z k ∈，则k = ▲ ．7．设定义域为R 的偶函数()f x 满足：对任意的12,(0,)x x ∈+∞，1212()[()()]0x x f x f x -->，则(π)f - ▲ (3.14)f . （填“＞”、“＜”或“＝”）．8．设函数()f x 满足21()1()log 2f x f x =+⋅，则(2)f = ▲ ． 9．设25a b m ==，且112a b+=，则m = ▲ ． 10．设1,323a b a b ==-=，则3a b += ▲ ． 11．已知函数1()log (01)axf x a b x-=+＜＜为奇函数，当(1]x a ∈-，时，函数y=()f x 的值域是(1]-∞，，则实数a b +的值为 ▲ ．12．如图,在ABC △中，12021BAC AB AC ∠===°，，，D 是边BC 上一点，2DC BD =，则AD BC ⋅= ▲ ．13．已知角αβ、的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，(0παβ∈，，），角β的终边与ABCD第12题图单位圆交点的横坐标是13-，角αβ+的终边与单位圆交点的纵坐标是45，则cos α=▲ ．14．已知函数()()()2a xb f x x b c-=-+()0,,0a b R c ≠∈>，()()2g x m f x n =-⎡⎤⎣⎦()0mn >，给出下列三个结论：①函数()f x 的图像关于x 轴上某点成中心对称；②存在实数q p ,，使得()p f x q ≤≤对于任意的实数x 恒成立； ③关于x 的方程()0g x =的解集可能为{}4,2,0,3--．其中正确结论的序号为 ▲ ___．（请填写序号，不选、漏选、选错均不给分）．二、解答题：本大题共6题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本题14分)已知向量13,2a ⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭，向量()1,0b =-，向量c 满足0a b c ++=. (1)若d ka b =-，且a d ⊥，求||d 的值； (2)若a kb -与2b c +共线，求实数k 的值.16．(本题14分)已知集合{}216xA x =≤，{}log 2a B x x =≥- .(1)当12a =时，求A B ； (2)若B ⊆A ，求实数a 的取值范围.17．(本题14分)已知函数π()sin()(0,0)3f x A x A ωω=+>>的部分图象如图所示．(1)求函数()y f x =在[0,π]的单调增区间； (2) 已知,αβ都是锐角，且1π3()2265f α-=，()1tan 3αβ-=-. ①求()sin αβ-的值；②求cos β的值.18．(本题16分)某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD 是矩形，其中AB ＝2米，BC ＝0.5米，上部CmD 是个半圆，固定点E 为CD 的中点．△EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗(阴影部分均不通风)，MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB 平行的伸缩横杆(MN 和AB ，DC 不重合)．(1)当MN 和AB 之间的距离为1米时，求此时三角通风窗EMN 的通风面积；(2)设MN 与AB 之间的距离为x 米，试将三角通风窗EMN 的通风面积S (平方米)表示成关于x的函数S ＝f (x )；(3)当MN 与AB 之间的距离为多少米时，三角通风窗EMN 的通风面积最大？并求出这个最大面积．19．(本题16分)如图，在四边形ABCD 中，4AC =，12BA BC ⋅=，E 为AC 的中点. (1)若12cos 13ABC ∠=，求BA BC +的值； (2)若2BE ED =，求DA DC ⋅的值.20．(本题满分16分)对于定义在R 上的函数()f x ，定义同时满足下列三个条件的函数为“Z 函数”： ①对任意(],x a ∈-∞，都有1()f x C =； ②对任意[),x b ∈+∞，都有2()f x C =；③对任意(),x a b ∈，都有12(())(())0f x C f x C --<．（其中12,,a b C C <为常数） (1)判断函数1()131f x x x =---+和2()2f x x x =--是否为R 上的“Z 函数”？ (2)已知函数2()24g x x x mx =-++是否存在实数m ，使得()g x 为R 上的“Z 函数”？若存在，求实数m 的值；否则，请说明理由；(3)设()f x 是(1)中的“Z 函数”，令()()h x f x =，若2(2)(4)h a a h a +=，求实数a 的取值范围．参考答案1.{1,2,3}2.123.124.2x -5.156.17. ＞8.23 9.10 10.23 11.2 12.83-13.382+ 14.①②15.解：（1）111||1,()0222a ab a d a ka b k k =⋅=-∴⋅=⋅-=+=∴=- ………4分 333(,)||442d d ∴=-∴= ………7分（2）2()1b c b a a kb b a k λ+=-∴-=-∴= ………14分16.解：（1）当12a =时，由216x≤得4x ≤，所以{}4A x x =≤， ………2分由12log 2x ≥-得04x <≤，所以{}04A x x =<≤， ………4分所以{}04AB x x =<≤ ； ………6分（2）a >1时，不满足， ………8分0<a<1时，{}{}2log 20a B x x x x a -=≥-=<≤， ………10分因为B⊆A ，所以24a -≤， ………12分所以实数a 的取值范围112a ≤<. ………14分 17.解：⑴2,A =ωπππ421234=-=T ，2=ω 所以()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭……2分 ⑵令πππππk x k 223222+≤+≤+-，Z k ∈得ππππk x k +≤≤+-12125 ……4分又因为∈x ],0[π，所以函数()y f x =在],0[π的单调增区间为]12,0[π和],127[ππ……6分注：区间端点可开可闭，都不扣分． (2)①因为,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以22ππαβ-<-<，又因为()1tan 03αβ-=-<，所以02παβ-<-<. ……8分利用同角三角函数的基本关系可得()()22sincos 1αβαβ-+-=，且()()sin 1cos 3αβαβ-=--，解得()10sin αβ-=. ……10 分 ②由①可得，()()21310cos 1sin 11010αβαβ-=--=-=. 因为α为锐角，3sin 5α=，所以294cos 1sin 1255αα=-=-=. ……12分所以()cos cos cos βααβ=--=⎡⎤⎣⎦()()cos sin sin ααβααβ-+-431031091051051050⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭. ……14分18.19. 解：（1）12cos13ABC∠=，()0,ABCπ∠∈，1212cos,13BA BC BA BC ABC BA BC⋅==⋅∠=⋅……………2分13,BA BC∴⋅=……………4分AC BC BC=-……………6分30BA BC∴+=.……………8分（2）以E 为原点，AC 所在直线为x 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则A (－2,0)，C (2,0)，设D (),x y ， ……………10分由2BE ED =，可得(2,2)B x y --， ……………12分则2212(22,2)(22,2)444,BA BC x y x y x y ⋅==-⋅+=-+224,x y ∴+= ……………14分∴()()222,2,40DA DC x y x y x y ⋅=---⋅--=+-=. ……………16分20. 解：（1）f 1（x ）=|x ﹣1|﹣|x ﹣3|+1=，作出函数f 1（x ）的图象如图：当x ≤1时，f （x ）=﹣1，当x ≥3时，f （x ）=3，当1＜x ＜3时，﹣1＜f （x ）＜3恒成立，故f 1（x ）=|x ﹣1|﹣|x ﹣3|+1是R 上的“Z 函数”， f 2（x ）=x ﹣|x ﹣2|=，则当x ≤2时，函数f （x ）不是常数，不满足条件．②，故f 2（x ）=x ﹣|x ﹣2|不是否为R 上的“Z 函数”．（2）若g（x）=|x﹣2|﹣是R上的“Z函数”，则满足g（x）=|x﹣2|﹣|x+a|的形式，若=|x+a|，则平方得mx+4=2ax+a2，即或，当时，g（x）=|x﹣2|﹣|x﹣2|=0，不满足条件③，故此时g（x）不是“Z函数”，当时，g（x）=|x﹣2|﹣|x+2|=，满足条件①②③，故此时g（x）是“Z函数”，故当m=4时，g（x）为R上的“Z函数”．（3）设f（x）是（1）中的“Z函数”，则f（x）=|x﹣1|﹣|x﹣3|+1=，则h（x）=|f（x）|=，对应的图象如图：若h（2a2+a）=h（4a），则①，即，即﹣1≤a≤时，h（2a2+a）=h（4a）=1，②得即a≥1时，h（2a2+a）=h（4a）=3，③或，此时h（2a2+a）=h（4a）=1，即或，即a=或a=．④2a2+a=4a，即2a2=3a，得a=0或a=，当a=时，⑤2a2+a=﹣4a，即2a2=﹣5a，得a=0或a=﹣，综上﹣1≤a≤或a≥1或=或a=．。

江苏省海安高级中学2018_2019学年高一数学上学期第一次月考试题201810240233

江苏省海安高级中学2018-2019学年高一数学上学期第一次月考试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1. 已知集合，，则= ▲ ． {}13A x x =≤≤{}24B x x =≤≤A B I 2. 函数的定义域是 ▲ ． ()f x =3. 若函数是奇函数，则实数的值为 ▲ ． ()2220x x x f x x ax x ìï-ï=íï-+<ïî，≥0，a 4. 下列对应为函数的是 ▲ ．（填相应序号）①R ；②其中R ,R ；213x x x ®-Î，x y ®，y x =Îy Î③R ；④其中N ,R .x x ®Îx y ®，y x x =Î，y Î5. 已知若，则实数的取值范围是 ▲ ．()110210x x f x x xìï-ïïï=íïï<ïïî，≥，，，()2f a ≤a 6. 设集合，则满足条件的集合的个数是{}M a b =，{}M N a b c d e f =U ，，，，，N ▲ ．7. 已知函数为一次函数，且，若，则函数的解析式为()f x ()21f =-()43f f x x éù=-ëû()f x ▲ ．8. 已知函数在是单调增函数，则实数的取值集合是 ()()2123f x a x x =--+()4-¥，a ▲ ．9. 已知函数满足，则 ▲ ．()f x ()()112223f f x x x -++=()2f -=10.规定记号“”表示一种运算，即，R ，若V a b a b =+V a b Î，，则函数的值域是 ▲ ．13k =V ()()32x f x k x =-V 11. 设函数，R ，且在区间上单调递增，则满足()()()F x f x f x =+-x Î()F x [)0+¥，的取值范围是 ▲ ． ()()211F x F -<x 12. 下列说法中不正确的序号为 ▲ ．①若函数在上单调递减，则实数的取值范围是； ()33ax f x x +=+()3+-¥，a ()1-¥，②函数是偶函数，但不是奇函数；()f x =③已知函数的定义域为，则函数的定义域是； ()21y f x =-[]33-，()y f x =[]12-，④若函数在上有最小值－4，（，为非零常数），则函数()31f x ax bx =++()0-¥，a b b 在上有最大值6． ()y f x =()0+¥，13.如果对于函数f (x )的定义域内任意两个自变量的值，，当时，都有≤ 且存在两个不相等的自变量，，使1x 2x 12x x <()1f x ()2f x 1m 2m 得，则称为定义域上的不严格的增函数．已知函数的定义域、值域分()()12f m f m =()g x 别为，，，且为定义域上的不严格的增函数，那么这样的A B {}123A =，，B A Í()g x A 函数共有 ▲ 个． ()g x14．函数的最小值为 ▲ ．()f x =二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （本小题满分14分）已知全集U =R ，集合，． {}12A x x x =<->，或{}213U B x x p x p =<->+，或ð （1）若，求；12p =A B I （2）若，求实数的取值范围． A B B =I p16. （本小题满分14分）已知函数．()()2321x f x x A x -=Î- （1）若，请根据其图象，直接写出该函数的值域； (()101+2A =¥U ，，（2）若，求证：对任意实数，为定值；()()1122A =-¥+¥U ，，x A Î()()1f x f x +-（3）若，求值：()()1122A =-¥+¥U ，，． (()(()()(()()1234201420152016201720182018201820182018201820182018f f f f f f f f +++++++17. （本小题满分15分）海安市江淮文化园是以江淮历史文化为底蕴的人文景观，整个园区由白龙故里、先贤景区、凤山书院、中国名人艺术馆群四大景区组成．据估计，其中凤山书院景区每天的水电、人工等固定成本为1000元，另每增加一名游客需另外增加成本10元，凤山书院景区门票单价x （元）（x ∈N *）与日门票销售量（张）的关系如下表，并保证凤山书院景区每天盈利．()y g x =x 20 35 40 50 y400250200100（1）在所给的坐标图纸中，根据表中提供的数据，描出实数对的对应点，并确定y 与x 的函数关系式； ()x y ，（2）求出的值，并解释其实际意义；()()1g x g x -+ （3）请写出凤山书院景区的日利润的表达式，并回答该景区怎样定价才能获最大日利()f x 润？18.（本小题满分15分）设函数满足2()3()()b c f x ax g x a b x x =-=+∈R ，，()1(0)(1)0.2f g g +--=（1）求的值；(1)g - （2）判断函数的奇偶性，并说明理由；()f x （3）若b =1，且函数在上是单调增函数，求a 的取值范围.()()()F x f x g x =+)12⎡+∞⎢⎣，19．（本小题满分16分）定义在R 上的函数满足，且当时，，对任意R ，均有()f x ()00f ¹0x >()1f x >a b Î，． ()()()f a b f a f b +=×（1）求证：；()01f =（2）求证：对任意R ，恒有； x Î()0f x >（3）求证：是R 上的增函数；()f x （4）若，求的取值范围． ()()221f x f x x ×->x20．（本小题满分16分）已知函数（，R ，），且对任意实数，恒成2()f x x bx c =++b c ∈0b >x ()2f x x b ≥+立.（1）求证：； 244b c b ≥≥+（2）若当时，不等式对满足条件的，恒成立，求的c b ≠22()()()M c b f c f b ≥--b c M 最小值.高一年级阶段检测一数学试卷答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.答案：1、 2、 3、-2 4、①②③ 5、 6、4个 []23，(]11-，6a ≤7、 8、 9、 10、 11、 ()23f x x =-+Æ34-(32ù-¥û，01x <<12、②③ 13、9 14二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.解：因为，{}213U B x x p x p =<->+，或ð所以.-----------------------------------------------2(){}213U U B B x p x p ==-+≤≤ðð分（1）当时，，所以12p =702B éù=êúëû，(7=22A B ùûI ，-------------------------------------------4分（2）当时，可得.A B B =I B A Í当时，2p -1＞p +3，解得p ＞4，满足题意；B =Æ---------------------------------7分当时，应满足或 B ≠∅21331p p p ì-+ïïíï+<-ïî≤213212p p p ì-+ïïíï->ïî≤ 解得或；即或44p p ìïïíï<-ïî≤432p p ìïïïíï>ïïî≤4p <-.--------------------------------------12分342p <≤综上，实数p 的取值范围．-----------------------------------------------14分342p p <->或16.解：(()(()()(()()1234201420152016201720182018201820182018201820182018ff f f f f f f +++++++. ()23112112x f x x x -==---（1）由图象可知，函数的值域为；()()111+-¥U ，，--------------------------------------5分（2） ------------9()()()11111=112211111f x f x x x x x +--+-=-+=-----分（3）由（2）得：()()12f x f x +-=则：()()()()(()()()((1234201420152016201720182018201820182018201820182018120174201820188f f f f f f f f f f +++++++æö÷ç=+÷çèø=----------------------------------------------------------------------------------------------------------------14分 17. 解:（1）由题表作出四点的对应点，-------------------------------------------2分它们分布在一条直线上，如图所示．设它们共线于，则取两点的坐标代入得： ()0y kx b k =+¹()()2040040200，，，.204001040200600k b k y k b b ìì+==-ïïïï=Þííïï+==ïïîî所以（N*）10600y x =-+160x x <Î≤，且--------------------------------------------------6分经检验，也在此直线上． ()()3525050100，，，故所求函数解析式为（N*）． --------------------7分 ()10600g x x =-+160x x <Î≤，且（2）由（1）可得，实际意义表示：销售单价每上涨元，日销售量减少10()()110g x g x -+=张． -------------------------------------------------------------------------9分（3）依题意:()()()210600101000107007000f x x x x x =-+×--=-+- （N*）160x x <Î≤，且-----------------------------------------------------11分图象开口向下，对称轴为.35x =当时，函数单调递增；当时，函数单调递减. 故当时，有最()135x Î，()3560x Î，35x =()f x 大值，---------------13分5250答：当时，有最大值，故单价定为元时，才能获得日最大利润． 35x =()f x 525035------------------------------------------------------------------------14分 18.解：（1）因为，所以，即.()1(0)(1)02f g g +--=3()(24)0b c b c -++--+=10b c --=所以(1) 1.g b c -=-+=-------------------------------------------------------------------------------3分（2）当时，，即，为偶函数；------------6分0a =()3f x =-()()3f x f x =-=-()f x 当时，0a ¹()()1313f a f a =--=--，，，即函数不是偶函数； ()()()()113360f f a a +-=-+--=-¹ ，即函数不是奇函数；--10分 ()()()()113320f f a a a --=----=¹综上所述：当时，为偶函数；当时，为非奇非偶函数----11分 0a =()f x 0a ¹()f x （3）若b =1，则c =0，于是.1()g x x=所以.1()()()3F x f x g x ax x =+=+-在上是单调减函数，1()3F x ax x =+-)12⎡+∞⎢⎣，任取，且， [)122+x x Î¥，，12x x <.121212121212()(1)11()()330x x ax x F x F x ax ax x x x x --⎛⎫⎛⎫-=+--+-=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为，有，所以.1212x x <≤120x x -<，120x x ×>1210ax x ->即，解得.121a x x >4a ≥故a 的取值范围是. -------------------------------------- 15分 [)4+∞，19．（1）求证：；()01f =（2）求证：对任意R ，恒有； x Î()0f x >（3）求证：是R 上的增函数；()f x （4）若，求的取值范围． ()()221f x f x x ×->x 解：（1）证明：令a ＝b ＝0，得f (0)＝f 2 (0)，又因为f (0) ≠ 0，所以 f (0)＝1.----------------------------------------------------------------3分（2）当x < 0时，－x >0，所以f (0) ＝f (x ) f (－x ) ＝1，即， ()()10f x f x =>-又因为时，， 0x ≥()10f x >≥所以对任意x ∈R ，恒有 f (x )>0.--------------------------------------------------------------9分（3）证明：设，则，所以f (x 2)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]＝f (x 2－x 1) f (x 1)． 12x x <210x x ->因为x 2－x 1>0，所以f (x 2－x 1)>1，又f (x 1) > 0，则f (x 2－x 1) f (x 1) > f (x 1)，即f (x 2) > f (x 1)．所以f (x )是R 上的增函数．---------------------------------------------------------------------13分（4）由f (x )·f (2x －x 2) >1， f (0)＝1得f (3x －x 2) > f (0)，又由f (x ) 为增函数，所以3x －x 2 > 0 ⇒ 0 < x < 3.故x 的取值范围是(0，3)．-------16分 20．解：（1）因为对任意实数x ，恒成立，()2f x x b ≥+所以对任意实数x ，，即恒成立. 22x bx c x b ≥+++2(2)0x b x c b ≥+-+-即，即. --------------------- 4分 2(2)4()0b c b △＝≤---2440b c ≤-+所以，244c b ≥+又因为，即，故--------8分()22+4420b b b ≥-=-24440c b b ≥≥+>c b ≥（2）由c b ≠以及（1）知，0c b >>.所以恒成立，等价于恒成立.--- 12分 22()()()M c b f c f b ≥--22()()f c f b M c b≥--设c t b =，则2222()()()(2)221111f c f b c b c b c b t c b c b c b t t --+++====+--+++.由1c t b =>，知22()()111f c f b c b t -=+-+的取值范围为3(12，. 即32M ≥，M 的最小值为32. ---------------------------------------16分。

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D
第 17 题
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（本小题满分 16 分） 18．
一块圆柱形木料的底面半径为 12cm，高为 32cm，要将这块木料加工成一只毛笔筒，在木料一端正中间掏去一个小圆柱，使小圆柱与原木料同轴，并且掏取的圆柱体积是原木料体积的三分之一，设小圆柱底面半径为 r cm，高为 h cm，要求笔筒底面的厚度超过 2cm．（1）求 r 与 h 的关系，并指出 r 的取值范围；（2）笔筒成形后进行后续加工，要求笔筒上底圆环面、桶内侧面、外表侧面都喷上油漆，其中上底圆环面、外表侧面喷漆费用均为 a（元/ cm2），桶内侧面喷漆费用为130) ，[130,140) ，[140,150] 三组内的学生中，用分层抽样的方法选取 18 人参加一项活动，则从身高在 [140,150] 内的学生中选取的人数应为 ▲ .
5．如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的
黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 ▲ .
▲
．
二、解答题（本大题共 6 小题，共 90 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分 14 分）
如图，在几何体中，四边形 ABCD 为菱形，对角线 AC 与 BD 的交点为 O ，四边形
DCEF 为梯形， EF ∥ CD ， FB FD ．
（1）若 CD 2 EF ，求证： OE ∥平面 ADF ；（2）求证：平面 ACF 平面 ABCD ．
江苏省海安高级中学 2018 届高三 1 月月考（阶段检测三）
数
学
Ⅰ卷
一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请把答案填写在答卷规定的横
线上）
1．已知集合 A 1, 2 ， B a , a 2 3 ，若 A B 2 ，则实数 a 的值为
1 2．复数 z 1 在复平面内对应的点位于第 i
▲
.
13．若 a 是 1 + 2b 与 1- 2b 的等比中项，则
2ab 的最大值为 a +2 b
▲
.
14．在 ABC 中，角 A，B，C 的对边依次为 a，b，c ，若 ABC 为锐角三角形，且满
足 c b ab , 则
2 2
1 1 2sin C 的取值范围是 tan B tan C
（元/cm2），而桶内底面铺贴金属薄片，其费用是 7a （元/ cm2）（其中 a 为正常数）． ①将笔筒的后续加工费用 y （元）表示为 r 的函数； ②求出当 r 取何值时，能使笔筒的后续加工费用 y 最小，并求出 y 的最小值．
19．（本小题满分 16 分）
已知数列 an 中，首项 a1 1 ，a2 a ，an 1 k (an an 2 ) 对任意正整数 n 都成立，数列 an 的前 n 项和为 S n ．（1）若 k
▲ .
11 ．已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 S3 7, S6 63 ，则 a7 a8 a9
▲ .
12 ．已知 A，B是圆C：x 2 y 2 1上的动点， AB = 2，P是直线x y 2 0 上的动点，则
uur uur PA PB 的最小值为
1 ，且 S18 171 ，求实数 a 的值； 2
（2）是否存在实数 k ，使数列 an 是公比不为 1 的等比数列，且任意相邻三项 an ，
an 1 ， an 2 按某顺序排列后成等差数列．若存在，求出所有的 k 的值；若不存
1 ，若 2
sin B 2sin A ，求边 a ， b 的值.
（本小题满分 14 分） 17．
在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：
x2 y2 2 1 ( a b 0) 的离心率为 3 ，且点 2 2 a b
(
2 ， 2 在椭圆 C 上. 2
)
（1）求椭圆 C 的方程；（2）设 P 为椭圆上第一象限内的点，点 P 关于原点 O 的对称点为 A，点 P 关于 x 轴的对称点为 Q，设 PD PQ ，直线 AD 与椭圆 C 的另一个交点为 B，若 PA⊥ PB，求实数λ的值. y P O A B Q x
▲ 象限. ▲ .
▲
.
3．根据如图所示的伪代码，当输入 a 的值为 4 时，输出的 S 值为
Read a S0 I 1 While I≤3 S S＋a a a×2 I I＋1 End While Print S
第4题第3题
4．从某小学随机抽取 100 名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直
第 15 题
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16．（本小题满分 14 分）
已知函数 f ( x ) 2sin( x
) cos x . 6
（1）求函数 f ( x ) 的最大值和最小正周期；（ 2 ）设 ABC 的角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c ，且 c 2 3 ， f (C )
3
2 y2 8．已知双曲线 x 2 - 2 = 1( a > 0, b > 0) 的一条渐近线方程为 3 x - 4 y = 0 ，则该双曲 a b
线的离心率为
▲
. ▲ .
9．已知向量 a (1, 3) ， b ( 3,1) ，则 a 与 b 的夹角的大小为
10 ．已知一个圆锥母线长为 2 ，其侧面展开图是半圆，则该圆锥的体积为
第5题
6 ．若命题 “ 存在 x R ， ax 4 x a ≤ 0 ” 为假命题，则实数 a 的取值范围是
2
▲
.
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已知函数 y cos x 与 y sin(2 x )（ 0 ≤ ），它们的图象有一个横坐标为 7．的交点，则的值是 ▲ .