课题一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)(教案)

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一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)

2．已知关于的方程的两个实数根的平方和等于11．求证：关于的方程有实数根．
3．若是关于的方程的两个实数根，且都大于1．
(1)求实数的取值范围；
(2)若，求的值．
答案
A组
1．B2．A3．A4．A5．A
6．
7．38．9或 9．
10． 11．正确12．4
13．
14．
B组
1． (2)不存在
例已知是一元二次方程的两个实数根．
(1)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请您说明理由．
(2)求使的值为整数的实数的整数值．
解：(1)假设存在实数，使成立．
∵一元二次方程的两个实数根
∴ ，
又是一元二次方程的两个实数根
∴
∴
，但．
∴不存在实数，使成立．
(2)∵
2．已知x1，x2是方程2x2－7x＋4＝0的两根，则x1＋x2＝，x1·x2＝，
（x1－x2）2＝
3．已知方程2x2－3x+k=0的两根之差为2，则k=;
4．若方程x2+(a2－2)x－3=0的两根是1和－3，则a=;
5．若关于x的方程x2+2(m－1)x+4m2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m的值为;
(2)若方程的两根为，且满足，求的值．
14．已知关于的方程的两根是一个矩形两边的长．
(1) 取何值时，方程存在两个正实数根？
(2)当矩形的对角线长是时，求的值．
B组
1．已知关于的方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)是否存在实数，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出的值；如果不存在，请您说明理由．

九年级数学上册《一元二次方程的根与系数的关》教案、教学设计

6.课后作业，分层辅导
根据学生的个体差异，布置不同难度的课后作业，使每个学生都能在原有基础上得到提高。同时，针对学生在课堂上的表现，进行有针对性的辅导，解决他们在学习过程中遇到的问题。
7.教学评价，持续改进
通过课堂提问、作业批改、测验等方式，了解学生的学习效果，对教学方法和策略进行调整，以提高教学质量。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对一元二次方程的求解方法有初步的了解。在此基础上，他们对一元二次方程的根与系数之间的关系有一定的探究欲望，但可能对根的判别式和韦达定理的理解还不够深入。因此，在教学过程中，教师应充分调动学生的积极性，引导他们通过观察、思考、总结，逐步理解并掌握一元二次方程的根与系数之间的关系。
1.培养学生对待数学问题的认真态度，严谨治学，克服困难，勇于探索。
2.培养学生用数学的眼光观察世界，认识世界，增强学生的数学应用意识。
3.培养学生的创新精神，激发学生的学习兴趣，使学生在学习过程中体验成功，树立自信心。
在教学过程中，要注意关注学生的个体差异，因材施教，使每个学生都能在原有基础上得到提高。同时，注重培养学生的数学思维和解决问题的能力，为学生的终身发展奠定基础。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
在课堂的开始，我将通过一个贴近学生生活的实际问题来导入新课：“同学们，假设我们班要举行一次篮球比赛，已知比赛场地上有两个篮筐，分别距离地面一定高度。现在我们需要计算出篮球从地面抛起，到达篮筐高度时的速度。这个问题可以通过一元二次方程来求解，那么如何找到这个方程的根呢？”这个问题既能够引起学生的兴趣，又能让学生感受到数学与生活的紧密联系。
此外，学生在解决实际问题时可能会遇到一定的困难，需要教师耐心指导，帮助学生建立数学模型，提高学生的数学应用能力。同时，学生的个体差异较大，教师应关注每个学生的学习进度，针对性地进行教学辅导，使他们在原有基础上得到提高。

一元二次方程根与系数的关系的教学设计和反思

⑤当a≠0，c=0时，方程必有一根为0。
学生交流探讨
本设计采用“实践——观察——发现——猜想——证明”的过程，使学生既动手又动脑，且又动口，教师引导启发，避免注入式地讲授一元二次方程根与系数的关系，体现学生的主体学习特性，培养了学生的创新意识和创新精神。
尝试
发展
根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积（方程两根为x1，x2、k是常数）
4、使学生体会解题方法的多样性，开阔解题思路，优化解题方法，增强择优能力。力求让学生在自主探索和合作交流的过程中进行学习，获得数学活动经验，教师应注意引导。
探索
发现
问题6.在方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a、b、c的作用吗？（引导学生反思性小结）
①二次项系数a是否为零，决定着方程是否为二次方程；
②当a≠0时，b=0，a、c异号，方程两根互为相反数；
③当a≠0时，△=b2-4ac可判定根的情况；
④当a≠0，b2-4ac≥0时，x1+x2=，x1x2=。
问题5.你能证明上面的猜想吗？请证明，并用文字语言叙述说明。
分小组讨论以上的问题，并作出推理证明。
若方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为
x1=，x2=。
则
x1+x2=+=关系；还可以让学生用自己的语言表述这种关系，来加深理解和记忆。
这个关系是一个法国数学家韦达发现的，所以也称之为韦达定理。
教学目标
1、知识目标：要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和与平方数，两根之差。
2、能力目标：通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。

韦达定理教案

一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）教学设计——191403228周小凤1. 韦达公式的定义及推导。

设一元二次方程中ax²＋bx＋c＝0（a,b,c∈R,a≠0），两根x₁、x₂有如下关系：，。

利用求根公式代入推导换算。

2. 韦达定理应用。

（1）简单练习训练求方程两根的和与积（2）经典例题a,已知方程一根，求另一根与待定系数（3）经典例题b,利用两根和，积去求相关代数式的值（4）经典例题c,根与系数的关系与根的判别式综合运用（5）课后巩固师：同学们，在我们已经学习了一元二次方程的基础上，今天我将和大家一起探究一元二次方程根与系数的关系。

首先，老师问一下大家，你们还记的一元二次方程的求根公式么？学：师：好，非常棒！一元二次方程ax²＋bx＋c＝0(a≠0）的求根公式,不仅表示可以由方程的系数a,b,c决定根的值，而且反映了根与系数之间的联系，那么一元二次方程根与系数的联系还有其他表现方式么?学：（同学们大多答不上来）或答不清楚师：同学们，看老师的板书。

同学们最后我们得出了一个这样的关系：，这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比。

以上引出一个概念“韦达定理”，是由法国数学家弗朗索瓦·韦达提出的，设一元二次方程中ax²＋bx＋c＝0（a,b,c∈R,a≠0），两根x₁、x₂有如下关系：。

应用该定理时，我们一定要注意两个前提条件：一是a≠0，二是满足根的判别式b² - 4ac ≥0.如果当a=0，它是一个一元一次方程与我们探究的一元二次方程与根的关系无关，那么如果当b² - 4ac ‹0，无根，就没有关系上的探究了。

（1）简单练习训练求方程两根的和与积师：接下来我们就要运用到这个定理。

请同学们完成例四，有同学敢上黑板来展示么示（较为简单代入，直接对答案，给予同学表扬）（2）经典例题a,已知方程一根，求另一根与待定系数师：大家学的都很不错，下面我们将更深入的去应用韦达定理。

《一元二次方程根与系数的关系》教案

一元二次方程根与系数的关系教学目标：1、掌握一元二次方程根与系数的关系。

2、会利用定理求解一元二次方程两根之和与两根之积。

3、通过学生自己探索，发现根与系数关系，增强学生信心，激发学生对于数学的学习兴趣和探究欲望。

教学重点1、根与系数关系及运用教学难点1、如何通过求根公式发现韦达定理。

2、如何运用韦达定理解决一些一元二次方程的求解问题。

过程一、复习提问（1）写出一元二次方程的一般式和求根公式。

ax 2+bx+c=0 (a ≠0) x= (b 2-4ac ≥0)(2)求一个一元二次方程，使它两根分别为①2和3;②-4和7;③3和-8;④-5和-2 二、新课讲解如果方程x 2+px+q=0有两个根是x 1,x 2 那么有x 1+ x 2=-p, x 1 •x 2=q猜想：2x 2-5x+3=0,这个方程的两根之和，两根之积是与各项系数之间有什么关系？问题2；对于一元二次方程的一般式是否也具备这个特征？设x 1 、x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的两个根，则两根之和与两根之积与各项系数之间有什么样的关系？ x 1+x 2= x 1·x 2=三、巩固练习a acb b 242-±-a b-ac口答下列方程的两根之和和与两根之积。

1）x 2-3x+1=0 2) x 2-2x=2 3) 2x 2-3x=0 4) 3x 2=1 判断对错，如果错了，说明理由。

1) 2x 2-11x+4=0两根之和11,两根之积4。

2） x 2+2=0两根之和0，两根之积2。

3） x 2+x+1=0两根之和-1，两根之积1。

四、能力提高例题1 已知方程x 2+kx+k+2=0的两个实数根是x 1,x 2且x 12+x 22=4求k 的值解：（略）引申:（1、若ax 2+bx +c =0 (a ≠0 且 ∆≥0) （1）若两根互为相反数,则b =0; （2）若两根互为倒数,则a =c;（3）若一根为0,则c =0 ; （4）若一根为1,则a +b +c =0 ;（5）若一根为-1,则a -b +c =0; （6）若a 、c 异号,方程一定有两个实数根例题2 方程mx 2-2mx+m-1=0(m ≠0 ) 有一个正根，一个负根，求m 的取值范围。

教案一元二次方程的根与系数的关系

教案：韦达定理（一）一、教学目标1．通过观察、归纳、探索和训练掌握和理解一元二次方程根与系数的关系式，能运用它判断两数是否为一个方程的根2．通过根与系数的关系的推导，进一步培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力；3．通过本节课的，向学生渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。

二、教学重点、难点1．教学重点：根与系数的关系的发现及其推导． 2．教学难点：正确理解根与系数的关系．三、教学过程（一）323,2310x x αβαβ--=+提出问题：已知是方程的两根，如何求的值你能否写出一个一元二次方程，使它的两个根分别为 1）2和3 2）—4和7问题1：从求这些方程的过程中你发现根与各项系数之间有什么关系？学生：如果方程x2+px+q=0有两个根是x1,x2 那么有x1+ x2=-p, x1 •x2=q. 观察、思考、探索：2x2-5x+3=0,这个方程的两根之和，两根之积与各项系数之间有什么关系？请猜想？学生：教师：如何验证？问题2；对于一元二次方程的一般式ax2+bx+c=0（a≠0）是否也具备这个特征？学生：x1+x2=-，x1·x2=，2．推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系．设x1、x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根．∴a acbbx24 21-+-=，aacbbx2422---=.()042≥-acb由此得出，一元二次方程的根与系数的关系．（一元二次方程两根和与两根积与系数的关系）—韦达定理结论1．如果ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两个根是x 1，x 2，那么x 1韦达（法国1540－1603）我们就可把它写成x 2+px+q=0．结论2．如果方程x 2+px+q ＝0的两个根是x 1，x 2，那么 x 1＋x 2＝-p ，x 1·x 2=q ．结论1具有一般形式，结论2有时给研究问题带来方便．例1、关于x 的方程x 2-2x +m=0 的一根为2 ，求另一根和m 的值。

初中数学初三数学下册《一元二次方程的根与系数关系》教案、教学设计

3.思考拓展题：完成以下题目，鼓励学生进行深度思考，提高学生的几何思维能力。
（1）已知一元二次方程ax^2 + bx + c = 0的两个根分别为α和β。请证明：若α + β为定值，当a > 0时，αβ的最大值为(b^2 - 4ac) / (4a)。
（2）已知抛物线y = ax^2 + bx + c与x轴的交点为（α，0）和（β，0）。请证明：当a > 0时，线段[α，β]的长度为2√[(α + β)^2 - 4αβ]。
3.学会运用韦达定理求解一元二次方程的根，并能解决实际问题中涉及一元二次方程根的计算问题。
4.能够运用一元二次方程的根与系数关系分析解决几何问题，提高学生的几何思维能力。
（二）过程与方法
在本章节的教学过程中，学生将通过以下过程与方法提高数学素养：
1.通过自主探究、合作学习等方式，发现一元二次方程根与系数之间的关系，培养学生的观察能力和逻辑思维能力。
3.重点：培养学生合作学习的意识和能力，通过小组讨论和互助学习，提高学生的问题解决能力。
难点：如何在小组合作中平衡学生的参与度，确保每个学生都能在合作中收获知识和技能。
（二）教学设想
1.引入：通过一个实际问题的情景引入，如设计一个与一元二次方程相关的实际情境，让学生感受到数学知识在解决现实问题中的应用，激发学生的学习兴趣。
（二）讲授新知
1.判别式的概念：讲解判别式的定义，引导学生理解判别式元二次方程的根与系数之间的关系，并总结规律。
3.韦达定理：介绍韦达定理，并用实例讲解其应用方法。
4.数形结合：利用几何图形，如抛物线与x轴的交点，形象地展示一元二次方程的根与系数关系。
二、学情分析
针对初三学生的年龄特点和认知水平，他们对一元二次方程已有一定的了解，具备了一定的数学基础。在此基础上，学生对本章节内容的掌握程度有以下特点：

2.5一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)教案

3.应用能力：将韦达定理应用于解决实际问题，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，加强数学与现实生活的联系。
4.协作能力：通过小组讨论、合作探究，培养学生的团队协作能力，激发学生的学习兴趣和主动性。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）理解一元二次方程的一般形式：ax² + bx + c = 0（a≠0），以及根与系数之间的关系。
举例：
（1）在讲解韦达定理的推导过程时，教师可通过图形、数值等多种方式引导学生观察、分析，从而发现根与系数之间的关系，并解释其背后的原因。
（2）在解决实际问题时，教师可引导学生将问题转化为数学模型，然后运用韦达定理求解。同时，通过举例说明如何根据系数的符号判断根的符号、大小及个数，帮助学生突破这一难点。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了韦达定理的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对一元二次方程根与系数关系的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要解决两个未知数的问题？”（如：两个物品的价格和数量关系）。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索一元二次方程根与系数关系的奥秘。
2.教学难点
（1）理解韦达定理的推导过程：学生需要通过观察、分析、归纳等逻辑推理方法，发现并证明根与系数之间的关系。

《一元二次方程的根与系数的关系》名师教案

21.2.4 一元二次方程根与系数的关系（胡雯雯）一、教学目标（一）核心素养本节是一元二次方程的解法的最后一节课.在之前一元二次方程的解法已经掌握的基础上，学生经历探索，尝试发现韦达定理，感受不完全归纳验证以及演绎证明，培养学生观察、分析和综合判断的能力，激发学生发现规律的积极性，激励学生勇于探索的精神. （二）学习目标1. 熟练掌握一元二次方程的根与系数关系.2. 灵活运用一元二次方程的根与系数关系解决实际问题.3. 提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力. （三）学习重点一元二次方程根与系数的关系（四）学习难点对根与系数关系的理解和推导二、教学设计（一）课前设计预习任务 1：填写下表.你发现的规律是 a =1时，若一元二次方程有实根（∆≥0）两根和等于一次项系数的相反数，两根积等于常数项（文字表达）；结论： a =1时， 1212,x x b x x c +=-⋅=（用字母表达）.2：填写下表.观察上面的计算结果，你发现的规律是若一元二次方程有实根（∆≥0）, 两根之和等于一次项系数除以二次项系数的商的相反数,两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.（文字表达）；结论：若一元二次方程有解x 1，x 2（∆≥0），则1212,b c x x x x a a⋅+=-=（用字母表达）. 预习自测1.解方程2230x x --=,则1x =____,2x =____;1x ＋2x =_____,12x x ⋅=______. 【知识点】解一元二次方程【解题过程】解方程可得1x =3，2x =-1.进而得到1x ＋2x =2，12x x ⋅=-3. 【思路点拨】解出方程的根即可得解. 【答案】1x =3，2x =-1；1x ＋2x =2，12x x ⋅=-32.解方程2230x x --=,则1x =____,2x =____;1x ＋2x =__,12x x ⋅=____. 【知识点】解一元二次方程【解题过程】解方程可得1x =32，2x =-1.进而得到1x ＋2x =12，12x x ⋅=-32.【思路点拨】解出方程的根即可得解.【答案】1x =32，2x =-1； 1x ＋2x =12，12x x ⋅=-32.3.一元二次方程220x x m --=的一个解是-1,则另一个解__________. 【知识点】根与系数的关系【解题过程】∵-1是方程的一个解，而1x ＋2x =2,∴2x =3【思路点拨】根据两根之和和其中一根可求出另一根. 【答案】34.一元二次方程2260x mx --+=的一个解是1, 则m =__________.【知识点】根与系数的关系【解题过程】∵12x x ⋅=-3，1x =1, ∴2x =-3, ∴1x ＋2x =-2 ∴m =4【思路点拨】方程中a ，c 确定，即可确定两根积；从而可得到另一根，进而得出两根和，由此得到m 的值. 【答案】4(二)课堂设计 1.知识回顾（1）一元二次方程的一般形式:)0(02≠=++a c bx ax （2）一元二次方程根的判别式:ac b 42-=∆（3）一元二次方程的求根公式：224(40)2b b ac x b ac a--=-≥ 2.问题探究探究一一元二次方程根与系数的关系定理的猜想与证明 ●活动①大胆猜想，探索新知回顾预习活动中的表格两个根两根和两根积 a 与b 之间的关系a 与c 之间的关系1x2x1x ＋2x 12x x ⋅b ac a2320x x ++= -2 -1 -3 2 3 2 23180x x --=6-33-18-3-18猜想：一元二次方程)0(0≠=++a c bx ax 的两根之和等于一次项系数除以二次项系数的商的相反数,两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 师问：方程220x x ++=,2210x x ++=有上述特征吗？生答：没有.因为上面两个方程的判别式小于0，故方程无实根.总结：上面猜想的规律的前提是一元二次方程有实根，即240b ac -≥【设计意图】鼓励学生大胆猜想，引导学生由观察得到的初步认识，再从特殊到一般，体会数学结论的正确性和逻辑推理的严密性. ●活动② 从特殊到一般，严密推理推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系．（请学生小组讨论，并形成小组结论）设x 1、x 2是方程ax 2＋bx ＋c=0（a ≠0）的两个根．试计算（1）x 1＋x 2（2）12x x ⋅.20(0)ax bx c a ++=≠∆有两个实根，故≥0. 1222b b x x a a-+--==1222b b x x a a -+-∴+=+2b b a -=22b ba a-==- 12x x ∴⋅=()22224444b b acac c a a a--===故有：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠,当240b ac -≥时，它的两根12,x x 满足1212,.b cx x x x a a +=-=注：①使用条件：D ³0②注意符号【设计意图】引导学生从前面的感性认识，逐步推广到一般情况，锻炼数学严密的逻辑思维能力.探究二一元二次方程根与系数的关系定理的应用 ●活动① 熟练掌握根与系数的关系（口答）下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？22121029100x x x x --（）＋＝（）＋＝ 2234710490x x x x --（）＋＝（）＋＝【知识点】一元二次方程根与系数的关系. 【解题过程】（1）∵a =1，b =-2，c =1 ∴1x ＋2x =2，12x x ⋅=1.（2）∵a =1，b =-9，c =10∴1x ＋2x =9，12x x ⋅=10.（3）∵a =4，b =-7，c =1∴1x ＋2x =74，12x x ⋅=14.（4）先整理为一般式：290x x -＝∵a =1，b =-9，c =0∴1x ＋2x =9，12x x ⋅=0.【思路点拨】寻找一元二次方程的两根和与积，首先要化为一般式，找准各项系数，同时，要注意使用定理的前提是判别式Δ≥0.【答案】（1）1x ＋2x =2，12x x ⋅=1.（2）1x ＋2x =9，12x x ⋅=10.（3）1x ＋2x =74，12x x ⋅=14.（4）1x ＋2x =9，12x x ⋅=0.【设计意图】更加熟练掌握根与系数的关系 ●活动② 已知方程一根，求另一根．例1：已知方程2560x kx -=+的根是2，求它的另一根及k 的值．【知识点】一元二次方程根与系数的关系【解题过程】∵2是方程的一个解，而12x x ⋅=65-,∴2x =35-∴1x ＋2x =75=5k-∴k =-7【思路点拨】根据两根之积和其中一根可求出另一根，继而得到两根和并求出待定系数的值. 【答案】-7【设计意图】此题有多种解法，可请同学展示多种方法，从中比较各种方法的优劣性，从而认识到根与系数关系的应用价值. ●活动③ 已知方程两根，求待定系数值.例2：已知方程230x nx m +=-的两个根是1和3，求m ，n 的值．【知识点】一元二次方程根与系数的关系【解题过程】∵1和3是方程的两个解，而12x x ⋅=33m=, ∴9m =∴1x ＋2x =3n=4∴n =12【思路点拨】根据两根可求出两根之积与两根之和，进而得出待定系数的值. 【答案】9m =，n =12【设计意图】复习上例中方法，更多地体现根与系数的关系的应用价值. 探究三综合应用●活动① 由根与系数的关系求相关代数式的值例3：已知2,1x x 是一元二次方程3742+=x x 的两根，则221212121211_____,______________,______,x x x x x x x x +==+=+=， ()()12121221_____,33______,______x x x x x x x x +=--=-=【知识点】一元二次方程根与系数的关系及完全平方公式的应用【解题过程】首先化为一般式24730x x --=，可由根与系数关系得到两根和与两根积1274x x +=，1234x x ⋅=- 22221211227373()2()2()4416x x x x x x =+-=-⨯-=＋，1212121173x x x x x x ++==-⋅ 22211212127312x x x x x x x x ++==-⋅，121212(3)(3)3()93x x x x x x --=⋅-++=【思路点拨】将各式变形为已知的式子，即可解决.【答案】7373773,,,,,3,44163124---练习：已知x 1，x 2是方程22310x x +-＝的两个根，试求：（1）221212x x x x ＋ (2) 112222x x x x +⋅+. 【知识点】一元二次方程根与系数的关系【解题过程】∵1232x x +=-，1212x x ⋅=-12212121223()4x x x x x x x x =+=＋，11221212222()x x x x x x x x +⋅+=++72=- 【思路点拨】将各式变形为已知的式子，即可解决.【答案】37,42-【设计意图】通过前面的训练，同学们已经对根与系数的关系有了初步的了解，此例题的目的在于巩固前面的知识，并能和完全平方公式相关的式子进行灵活求解.●活动2 根与系数的关系中的整体思想例4．设a 、b 是方程220170x x +-=的两实数根，则22_______.a a b ++= 【知识点】根与系数的关系【数学思想】整体思想【解题过程】由根与系数的关系可知，而a 是方程的一个根，故有220170a a +-=，即2=2017a a +.所以222()()a a b a a a b ++=+++=2016.12x x -==【思路点拨】将所求的代数式分解成可求的代数式【答案】2016练习：设21,x x 是方程220160x x --=的两实根，求31220172016x x +-的值.【知识点】根与系数的关系【数学思想】整体思想【解题过程】∵1x 是方程220160x x --=的解，∴21120160x x --=. 即2112016x x =+，故原式=112(2016)20172016x x x ++- =2112201620172016x x x ++- =1122016201620172016x x x +++-=1220172017x x + =2017.【思路点拨】降次，将所求代数式分解成可求的代数式. 【答案】2017【设计意图】能够在较为复杂的代数式中分离出可整体求出的式子，从而整体代入求解.●活动3 含参方程的根与系数的关系例5．已知2(1)40x m x m +--+=的两实根的平方和为2，求m . 【知识点】一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系. 【解题过程】∵22222121212()2(1)2(4)72x x x x x x m m m +=+-=---+=-=，∴m =±3. ∵22(1)4(4)2150m m m m ∆=---+=+-≥，∴m =3【思路点拨】应用一元二次方程根与系数的关系的前提是判别式Δ≥0. 【答案】3.练习：已知22(1)10kx k x k -++-=有两个不相等的实根； ①求k 的取值范围②是否存在k ，使两根的倒数和等于0？【知识点】一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，【解题过程】（1） k ≠0，且24(1)4(1)1240k k k k ∆=+--=+>，∴13k >-且0k ≠.（2）121212110,x x x x x x ++==⋅则122(1)0k x x k++==，即1k =-，故不存在. 【思路点拨】应用一元二次方程根与系数的关系的前提是判别式≥0.【答案】(1) 13k >-且0k ≠. (2)不存在【设计意图】通过对含参方程的分析，提高学生符号计算的能力. 同时，加强对一元二次方程根与系数的关系的应用，注意前提：判别式Δ≥0的理解. 3. 课堂总结知识梳理（1）若一元二次方程有实根（∆≥0）, 两根之和等于一次项系数除以二次项系数的商的相反数,两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. （2）应用一元二次方程根与系数关系的前提是判别式Δ≥0 重难点归纳（1）一元二次方程根与系数的关系（2）隐含条件：二次项系数不为0，判别式非负. （3）常见题型：①不解方程，判断方程两根的和与积；②已知方程和方程一根，求另一个根及字母系数；方法：根据两根之积和其中一根可求出另一根，继而得到两根和并求出待定系数的值.③不解方程求含有方程两根的式子的值.方法：先得出两根和与积，再通过完全平方公式等数学公式，或一些特殊结构整体代入求值.（三）课后作业基础型自主突破1．判定下列各方程后面的两个数是不是它的两个根．（1）2670x x +=-；（-1，7）（2）23520x x --+=；（52,33-）（3）296x x += （3，3）【知识点】根与系数的关系【解题过程】（1）-1×7≠7，故不是；（2）525()333+-≠-，故不是；（3）先化为一般式2690x x +=-， 3+3=-6,3´3=9，故是．【思路点拨】根据一元二次方程的根与系数的关系1212,b cx x x x a a+=-⋅=判断.【答案】（1）、（2）不是，（3）是2. 一元二次方程 x 2+3x +2=0的两个根分别是x 1和x 2，则x 1+x 2= ．【知识点】根与系数的关系．【解题过程】解：∵一元二次方程x 2＋3x ＋2=0的二次项系数a =1，一次项系数b =3，∴x 1+x 2=-ba =-3．【思路点拨】根据一元二次方程的根与系数的关系12bx x a+=-，解答即可【答案】－3．3.已知关于x 的方程 x 2+px +q =0的两根为－3和－1，则p = ，q = ．【知识点】根与系数的关系．【解题过程】解：∵关于x 的方程x 2＋px ＋q =0的两根为－3和－1， ∴－3＋（－1）=－p ，（－3）×（－1）=q ， ∴p =4，q =3．【思路点拨】由根与系数的关系可得出关于p 或q 的一元一次方程，解之即可得出结论．【答案】4；3．4. 已知关于x 的方程20x x a +-=的一个根为2，则另一个根是（） A ．－3 B ．－2 C ．3 D ．6【知识点】根与系数的关系．【解题过程】解：设方程的另一个根为t ，根据题意得2＋t =－1，解得t =－3，即方程的另一个根是－3．【思路点拨】设方程的另一个根为t ，利用根与系数的关系得到2＋t =－1，然后解一元一次方程即可．【答案】A ．5.已知实数x 1，x 2满足121211,30x x x x +==⋅，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是（）A ．211300x x +=-B ． x 2+11x +30=0C. 211300x x +-= D ．211300x x -=-【知识点】根与系数的关系．【解题过程】解：∵实数x 1，x 2满足x 1+x 2=11，x 1x 2=30， ∴一元二次方程中：11b a =-， c a=30．当a =1时，11,30b c =-=．【思路点拨】根据根与系数的关系结合两根之和及两根之积的即可得出,c a =30，当a =1时，即可找出b 、c 的值，此题得解．【答案】A ．6.若x 1，x 2是方程22210x mx m m -+-=- 的两个根，且12121x x x x +=- ，则m 的值为（）A ．－1或2B ．1或－2C ．－2D ．1【知识点】根与系数的关系．【解题过程】解：∵x 1，x 2是方程x 2－2mx ＋m 2－m －1=0的两个根，∴2121221x x m x x m m +=⋅-=-，．∵12121x x x x +=- ，∴2211m m m =---（），即()22210m m m m +-=+-=（），解得：1221m m =-=，．∵方程22210x mx m m -+-=- 有实数根，∴22241440m m m m --∆=-=+≥（-）（），解得：m ≥－1．∴m =1．【思路点拨】根据根与系数的关系结合12121x x x x +=-，即可得出关于m 的一元二次方程，解之即可得出m 的值，再根据方程有实数根结合根的判别式，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围，从而可确定m 的值．【答案】D ．能力型师生共研7.设x 1，x 2是方程 2x 2+4x -3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值（1） (x 1+1)×(x 2+1)；（2）2112x x x x + 【知识点】根与系数的关系．【解题过程】（1）原式=12121x x x x +++=352122--+=- （2）原式=2221212121212()2143x x x x x x x x x x ++-==- 【思路点拨】根据一元二次方程的根与系数的关系可得121232,2x x x x +=-⋅=-. 【答案】52-，143- 8.已知βα，是方程22510x x --=的实数根，求 2a 2+3ab +5b 的值.【知识点】根与系数的关系．【解题过程】解：∵α为22510x x --=的实数根，∴22510--=αα，即 2a 2=5a +1，∴22355135531ααββααββαβαβ++=+++=+++（）， ∵α、β为方程的两个实数根，∴α＋β= 52 ，αβ= -12， ∴2α2＋3αβ＋5β=5× 52＋3×（ -12）＋1=12．【思路点拨】根据一元二次方程解的定义得到，即 2a 2=5a +1，则2a 2+3ab +5b 可表示为5（α＋β）＋3αβ＋1，再根据根与系数的关系得到α＋β=52，αβ= -12，然后利用整体代入的方法计算．【答案】12探究型多维突破9.已知关于x 的一元二次方程0622=--k x x （k 为常数）（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设21,x x 是方程的两个实数根，且,14221=+x x 试求方程的两个实数根和k 值【知识点】根与系数的关系；根的判别式．【解题过程】解：（1）∵∆=2364k +＞0，故方程必有两个不相等的实数根；（2）∵126x x +=，,14221=+x x ∴x 2=8，∴x 1=-2，故有k =±4【思路点拨】（1）根据关于x 的方程0622=--k x x , 得出∆＞0，即证.（2）由两根之和为6，可得x 2=8，进而得出另一根和k 的值.【答案】见解析10.已知关于x 的方程x 2－（2k ＋1）x ＋4（k -12）=0．（1）求证：无论k 取什么实数值，这个方程总有实数根；（2）能否找到一个实数k ，使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出k 的值；若不能，请说明理由．（3）当等腰三角形ABC 的边长a =4，另两边的长b 、c 恰好是这个方程的两根时，求△ABC 的周长．【知识点】根与系数的关系；解一元二次方程－因式分解法；根的判别式；三角形三边关系；等腰三角形的性质．【数学思想】数形结合【解题过程】证明：（1）∵∆=（2k ＋1）2－16（k -12）=（2k －3）2≥0， ∴方程总有实根；解：（2）∵两实数根互为相反数，∴x1＋x2=2k＋1=0，解得k=－0.5；（3）①当b=c时，则 =0，即（2k－3）2=0，∴k=32，方程可化为x2－4x＋4=0，∴x1=x2=2，而b=c=2，∴b＋c=4=a不适合题意舍去；②当b=a=4，则42－4（2k＋1）＋4（k-12）=0，∴k=52，方程化为x2－6x＋8=0，解得x1=4，x2=2，∴c=2，C△ABC=10，当c=a=4时，同理得b=2，∴C△ABC=10，【思路点拨】（1）整理根的判别式，得到它是非负数即可．（2）两实数根互为相反数，让-ba=0即可求得k的值．（3）分b=c，b=a两种情况做．【答案】见解析自助餐1.关于x的方程2x2＋mx＋n=0的两个根是－2和1，则n m的值为（）A．－8 B．8 C．16 D．－16【知识点】根与系数的关系．【解题过程】解：∵关于x 的方程2x 2＋mx ＋n =0的两个根是－2和1，∴ -m 2=－1， n 2=－2， ∴m =2，n =－4，∴n m =24（-）=16．【思路点拨】由方程的两根结合根与系数的关系可求出m 、n 的值，将其代入n m 中即可求出结论．【答案】C ．2.关于x 的一元二次方程22210x a a x a ++--=（）的两个实数根互为相反数，则a 的值为（）A ．2B ．0C ．1D ．2或0【知识点】根与系数的关系．【解题过程】解：设方程的两根为x 1，x 2，根据题意得x 1＋x 2=0，所以-（a 2－2a ）=0，解得a =0或a =2，当a =2时，方程化为x 2＋1=0，∆=－4＜0，故a =2舍去，所以a 的值为0．【思路点拨】设方程的两根为x 1，x 2，根据根与系数的关系得-（a 2－2a ）=0，解得a =0或a =2，然后利用判别式的意义确定a 的取值．【答案】B ．3.已知一元二次方程2320x x -=-的两个实数根为12x x ，，则（x 1－1）（x 2－1）的值是．【知识点】根与系数的关系．【解题过程】解：∵一元二次方程x 2－3x －2=0的两个实数根为x 1，x 2， ∴x 1＋x 2=3，x 1×x 2 =－2， ∴（x 1－1）（x 2－1）=x 1×x 2－（x 1＋x 2）＋1=－2－3＋1=－4．【思路点拨】由根与系数的关系可得x 1＋x 2=3,x 1×x 2 =－2，将其代入 ()()121212111x x x x x x =++--⋅-（）中，即可求出结论．【答案】－4．4.已知a 、b 是方程x 2－x －3=0的两个根，则代数式a 3－a 2＋3b －2的值为．【知识点】根与系数的关系．【解题过程】解：∵a 、b 是方程x 2－x －3=0的两个根，∴a 2－a =3，a ＋b =1，∴a 3－a 2＋3b －2=a （a 2－a ）＋3b －2=3a ＋3b －2=3（a ＋b ）－2=1．【思路点拨】根据一元二次方程的解结合根与系数的关系，即可得出a 2－a =3、a ＋b =1，将其代入a 3－a 2＋3b －2=a （a 2－a ）＋3b －2中，即可求出结论．【答案】1．5.已知关于x 的一元二次方程x 2－（m －3）x －m =0（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）如果方程的两实根为x 1、x 2，且x 12＋x 22－x 1x 2=7，求m 的值．【知识点】根与系数的关系；根的判别式．【解题过程】（1）证明：∵x 2－（m －3）x －m =0，∴∆=[－（m －3）]2－4×1×（－m ）=m 2－2m ＋9=（m －1）2＋8＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）∵x 2－（m －3）x －m =0，方程的两实根为x 1、x 2，且x 12＋x 22－x 1x 2=7，∴21212()37x x x x +-⋅=，∴（m －3）2－3×（－m ）=7，解得，m 1=1，m 2=2，【思路点拨】（1）要证明方程有两个不相等的实数根，只要证明原来的一元二次方程的∆的值大于0即可；（2）根据根与系数的关系可以得到关于m 的方程，从而可以求得m 的值．【答案】见解析6.已知关于x 的方程x 2－（2k ＋1）x ＋k 2＋1=0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；（2）若方程的两根恰好是一个矩形的两边长，且k =4，求该矩形的周长．【知识点】根与系数的关系；根的判别式．【解题过程】解：（1）∵关于x 的方程x 2－（2k ＋1）x ＋k 2＋1=0有两个不相等的实数根，∴∆＞0，∴[－（2k＋1）]2－4（k2＋1）＞0，解得k＞34．（2）当k=4时，原方程可化为x2－9x＋17=0，设方程的两根是x1、x2，则矩形两邻边的长是x1、x2，∵x1＋x2=9，∴该矩形的周长为2（x1＋x2）=18．【思路点拨】（1）根据关于x的方程222110x k x k+++=（）-有两个不相等的实数根，得出∆＞0，再解不等式即可；（2）当k=4时，原方程x2－9x＋17=0，设方程的两根是x1、x2，则矩形两邻边的长是x1、x2，利用根与系数的关系得出x1＋x2=9，再根据矩形的周长公式即可得出该矩形的周长．【答案】k的取值范围是k＞34；矩形的周长是18．。

数学教案一元二次方程的根与系数的关系

数学教案－一元二次方程的根与系数的关系(一)一、教学目标1．掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用它由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数；2．通过根与系数的教学，进一步培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力；3．通过本节课的教学，向学生渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。

教学重点和难点：二、重点·难点·疑点及解决办法1．教学重点：根与系数的关系及其推导。

2．教学难点：正确理解根与系数的关系。

3．教学疑点：一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系。

4．解决办法；在实数范围内运用韦达定理，必须注意这个前提条件，而应用判别式的前提条件是方程必须是一元二次方程，即二次项系数，因此，解题时，要根据题目分析题中有没有隐含条件和。

三、教学步骤（一）教学过程1．复习提问（1）写出一元二次方程的一般式和求根公式。

（2）解方程①，②。

观察、思考两根和、两根积与系数的关系。

在教师的引导和点拨下，由沉重得出结论，教师提问：所有的一元二次方程的两个根都有这样的规律吗？2．推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系。

设是方程的两个根。

∴∴以上一名学生板书，其他学生在练习本上推导。

由此得出，一元二次方程的根与系数的关系。

（一元二次方程两根和与两根积与系数的关系）结论1．如果的两个根是，那么。

如果把方程变形为。

我们就可把它写成。

的形式，其中。

从而得出：结论2．如果方程的两个根是，那么。

结论1具有一般形式，结论2有时给研究问题带来方便。

练习1．（口答）下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）此组练习的目的是更加熟练掌握根与系数的关系。

3．一元二次方程根与系数关系的应用。

（1）验根。

（口答）判定下列各方程后面的两个数是不是它的两个根。

①；②；③；④；⑤。

验根是一元二次方程根与系数关系的简单应用，应用时要注意三个问题：（1）要先把一元二次方程化成一般形式，（2）不要漏除二次项系数，（3）还要注意中的负号。

《一元二次方程根与系数的关系》教案

《一元二次方程根与系数的关系》教案教学目标：1、发现、了解一元二次方程的根与系数的关系，培养学生善于独立思考、合作交流的学习习惯。

2、探索、运用一元二次方程的根与系数关系，由一元二次方程的一个根求出另一个根及未知系数，提升学生的合作意识和团队精神。

3、在不解一元二次方程的情况下，会求直接（或变形后）含有两根积的代数式的值，并从中体会整体代换的数学思想，促进学生数学思维的养成。

教学重点：一元二次方程的根与系数的关系及简单应用。

教学难点：一元二次方程的根与系数的关系的推导。

数学思考与问题解决：通过创设一定的问题情境，注重由学生自己发现、探索，让学生参与“韦达定理”的发现、不完全归纳验证以及演绎证明等整个数学思维过程。

一、自学互研探索发现（每小题10分，共30分）（自主完成，组长检查）【师生活动】：教师引导，巡视，随时发现问题、了解学生导学案完成情况并点拨；评价、鼓励、调动学生参与的主动性和积极性。

学生独立完成导学案，观察、对比、发现问题，逐步由易到难，探索出一元二次方程的根与系数的关系；小组长检查小组成员完成情况；分小组汇报自学成果。

【设计意图】：本环节为“一元二次方程的根与系数的关系”的发现过程，即感性认识过程。

通过几个具体的方程，经过观察、比较、分析、归纳，感性地得出一元二次方程的根与系数的关系的一般规律。

培养学生发现问题、探求规律的学习习惯和注重自主加合作的学习方式。

【学案内容】：1、方程：X2+3X–4=0（1）二次项系数是_____ ，一次项系数是______ ，常数项是______。

（2）解得方程的根X1=______ ，X2=______ 。

（3）则X1+X2=_______，方程中（）二次项系数一次项系数=-(4) X 1·X 2=_______，方程中（）二次项系数常数项= 2、方程3 X 2+X-2=0 （1）二次项系数是_____，一次项系数是______ ，常数项是______。

一元二次方程根与系数的关系教案(完美版)

一元二次方程根与系数的关系一、教学目标（一）知识与技能掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用．（二）过程与方法培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力．（三）情感、态度与价值观1．渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律；2．培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神．二、教学重点、难点、疑点及解决方法1．教学重点：根与系数的关系及其推导．2．教学难点：正确理解根与系数的关系．3．教学疑点：一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系．三、教学过程（一）明确目标一元二次方程x2-5x+6=0的两个根是x1=2，x2=3，可以发现x1＋x2=5恰是方程一次项系数-5的相反数，x1x2＝6恰是方程的常数项．其它的一元二次方程的两根也有这样的规律吗？这就是本节课所研究的问题，利用一元二次方程的一般式和求根公式去推导两根和及两根积与方程系数的关系——一元二次方程根与系数的关系．（二）整体感知一元二次方程的求根公式是由系数表达的，研究一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程的两根的和，两根的积与系数的关系．它是以一元二次方程的求根公式为基础．学了这部分内容，在处理有关一元二次方程的问题时，就会多一些思想和方法，同时，也为今后进一步学习方程理论打下基础．本节先由发现数字系数的一元二次方程的两根和与两根积与方程系数的关系，到引导学生去推导论证一元二次方程两根和与两根积与系数的关系及其应用．向学生渗透认识事物的规律是由特殊到一般，再由一般到特殊，培养学生勇于探索、积极思维的精神．（三）重点、难点的学习及目标完成过程1．复习提问（1）写出一元二次方程的一般式和求根公式．（2）解方程①x2-5x＋6＝0，②2x2＋x-3＝0．观察、思考两根和、两根积与系数的关系．在教师的引导和点拨下，由学生得出结论，教师提问：所有的一元二次方程的两个根都有这样的规律吗？2．推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系．在线分享文档设x 1、x 2是方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两个根．以上一名学生在板书，其它学生在练习本上推导．由此得出，一元二次方程的根与系数的关系．（一元二次方程两根和与两根积与系数的关系）结论1．如果ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两个根是x 1，x 2，那么x 1我们就可把它写成x 2+px+q=0．结论2．如果方程x 2+px+q ＝0的两个根是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝-p ，x 1·x 2=q ．结论1具有一般形式，结论2有时给研究问题带来方便．练习1．（口答）下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？（1）x 2-2x ＋1＝0；（2）x 2-9x ＋10＝0；（3）2x 2-9x ＋5＝0；（4）4x 2-7x ＋1＝0；（5）2x 2-5x ＝0；（6）x 2-1＝0此组练习的目的是更加熟练掌握根与系数的关系． 3．一元二次方程根与系数关系的应用．（1）验根．（口答）判定下列各方程后面的两个数是不是它的两个根．在线分享文档验根是一元二次方程根与系数关系的简单应用，应用时要注意三个问题：（1）要先把一元二次方程化成标准型，（2）不要漏除二次项系数，（3）还要注意-b/a的负号。

一元二次方程的根与系数的关系教案

教案首页22.2．4 一元二次方程根与系数关系第一课时南昌一中赵子锋教学方法：学生经历观察→发现→猜想→证明的思维过程，培养学生的分析能力和解决问题的能力。

组织教学：全班16人，分两大组。

教学过程：一、复习回顾 1.一元二次方程的解法 2.求根公式二、探索新知问题：你发现这些一元二次方程的两根x 1+x 2，与 x 1•x 2系数有什么规律？猜想：当二次项系数为1时，方程x 2+px+q=0的两根为 x 1,, x 21212x x px x q+=-⋅=x 1+ x 2，x 1∙x 2与系数有什么规律?猜想：如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a,b,c 是常数且a ≠0）的两根为x 1,x 2,则12b x x a+=-，12cx x a∙=你们能证明此结论吗？任何一个一元二次方程的根与系数的关系：（韦达定理）如果方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两个根是x 1,x 212bx x a+=-，12c x x a ∙=注：能用根与系数的关系的前提条件为b 2-4ac ≥0 三、当堂训练例1、不解方程，求下列方程两根的和与积.()216150x x --= ()223790x x +-= ()23514x x -=在使用根与系数的关系时，应注意：⑴不是一般式的要先化成一般式；⑵在使用12bx x a+=-时，注意“－ ”不要漏写.例2、设12,x x 是方程22430x x +-=的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值()22121xx+()12112x x + ()()()12311x x ++ ()2212124x x x x + ()12215x x x x + ()()2126x x -四、课内巩固1、如果-1是方程2x 2－x+m=0的一个根，则另一个根是_1.5__，m =__-3_。

2、设 x 1、x 2是方程x 2－4x+1=0的两个根，则 x 1+x 2 = _4__ ,x 1x 2 = _1___， x 12+x 22 = (x 1+x 2)2 - 2x 1x 2__= _14__ (x 1-x 2)2 = ( x 1+x 2_)2 – 4x 1x 2 = _12__3、判断正误：以2和-3为根的方程是x 2－x-6=0 （ × ） 4、已知两个数的和是1，积是-2，则这两个数是_2和-15、已知关于x 的方程2(1)210x m x m -++-=当m= -1 时,此方程的两根互为相反数. 当m= 1 时,此方程的两根互为倒数.6、以方程x 2+3x-5=0的两个根的相反数为根的方程是（ B ） A 、y 2＋3y-5=0 B 、 y 2－3y-5=0 C 、y 2＋3y ＋5=0 D 、 y 2－3y ＋5=0 五、知识延伸1、求一个一元二次方程，使它的两个根是2和3，且二次项系数为1.变式：且二次项系数为52、已知关于x的方程x2+(2k+1)+k2-2=0的两根的平方和比两根之积的3倍少10，求k的值.3、点p(m,n)既在反比例函数2(0)y xx=->的图象上, 又在一次函数2y x=--的图象上,求以m,n为根的一元二次方程.4、甲、乙二人解同一个一元二次方程时，甲看错了常数项所求出的根为1，4；乙看错了一次项系数所求出的根是-2，-3。

专题08 一元二次方程根与系数关系(教案)

专题8 一元二次方程根与系数的关系（教案）前言：设1x 和2x 是一元次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个根，则1212,b cx x x x a a+=-•=（其中a b c 、、均为实数）一、专题知识利用根与系数的关系（韦达定理），可以不直接求方程20(0)ax bx c a ++=≠而知其根的正负性质：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠在240b ac ∆=-≥的条件下：(1)0ca <时，方程的两根必然一正一负；(2)0ba -≥时，方程的正根不小于负根的绝对值；(3)0ba -<时，方程的正根小于负根的绝对值；(4)0ca>时，方程的两根同正或同负.二、例题分析例题1 如是,a b 关于x 的方程的()()1x c x d ++=g 两个根，求()()a c b c ++g 的值。

[解] 由已知2()10x c d x cd +++-=，有()1a b c d ab cd +=-+⎧⎨=-⎩，则()()a c b c ++g 22()1()1ab a b x c cd c d c c =+++=--++=-例题2 方程22320x x --=的实数根为αβ、，求αβαβ+的值。

[解] 原方程22320x x ⇔--=(21)(2)0x x ⇔+-=，由于210x +＞只有=2x ，x=2±，所以 -4==-1+4αβαβ例题3 如果正整数,a b 是关于x 的方程229x 1056013a xb --+++=的两个根，求,a b 的值。

[解] 由已知，有2913a ab -+=，·1056a b b =++从而有213(13b +90a a --=），由于,a b 是正整数，故132a +==213a =-又由·1056a b b =++ 10(+b-9ab a =），a-10b-=•（）（10）91而911917131(91)7(13)=⨯=⨯=-⨯-=-⨯-1011091a b -=⎧⎨-=⎩或1091101a b -=⎧⎨-=⎩或1071013a b -=⎧⎨-=⎩或1013107a b -=⎧⎨-=⎩，即 11101a b =⎧⎨=⎩或10111a b =⎧⎨=⎩或1723a b =⎧⎨=⎩或2317a b =⎧⎨=⎩，经检验2317a b =⎧⎨=⎩满足方程，此时原方程为2403910x x -+=例题4 已知实数,a b 满足条件：423240a a +-=，4230b b +-=，求代数式444a b -+的值。

一元二次方程的根与系数的关系优秀教学设计(教案)

x1 x2
通过归纳，进一步理解韦达定理及其应用。学生归纳，总结阐
3/4
加强教
2 2 x1 x2 ；
○ 4 x1 x2 2 ；○ 5 x2 x1
x1
x2
述，体会，反思。并做出笔记。
学反思，帮助学生养成系统整理知识的学习习惯，加深认识，深化提高，形成学生自己的知识体系。
2/4
加深对韦达定理的理解，培养学生学生独立解的应用意识和决，并交流。能力。
3x²-7x+2=0；3x²-
先观察，尝试选用合适方法
3，则 b=
，c=
。
解题，之后交流，比较解法。通过学生亲自解题的感受与经验，感受数学的严谨性和数学结论学生尝试归的确定性。纳，师生总结。
进一步加强对所学知识的理解和掌握。
D．2x²+15x-8=0
○ 5 两根异号，且正根的绝对值较大的方程是（）。 A．4x²-3=0 D．2x²+ 3 5 xB．-3x²+5x-4=0 C．0.5x²-4x-3=0 学生独立完成，教师巡回检查，师生集体订正。
6 =0
○ 6 。若关于 x 的一元二次方程 2x²-3x+m=0，当 m 时方程有两个正根；当 m 时方程有两个负根；当 m
x1 +x²)x+ x1 x²=0 与 x²+px+ q=0 对比，易知 p=-( x1 +x 去括号、合并 ²)， q= x1 x²。即二次项系数是 1 的一元二次方程如得到一般形式
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果有实数根，则一次项系数等于两根和的相反数，常数项等于两根之积。 2．跟踪练习。求下列方程的两根 x1 、x²。的和与积。 x²+3x+2=0； x²+2x-3=0； 15=0 3．方程 2x²-3x+1=0 的两根的和、积与系数之间有类似的关系吗？分析：这个方程的二次项系数等于 2，与上面情形有所不同，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，检验上面的结论是否成立，若不成立，新的结论是什么？ 4．一般的一元二次方程 ax²+bx+c=0（a≠0）中 x²-6x+5=0； x²-6x-

课题一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)(教案)

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