26.2二次函数图像与性质y=a(x-h)^2+k华东师大版
26.二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质PPT课件(华师大版)
向下 （0，－4） y轴
x＞0时，y随x的增大而减小； 4
x＜1时，y随x的增大而减小； y最小
向上 （1，0） 直线x＝1
x＞1时，y随x的增大而增大； 0
x＜－3时，y随x的增大而增大；y最大
向下 （－3，0）直线x＝－3
x＞－3时，y随x的增大而减小； 0
2
1个单位
平移方法2:
1 2 向左平移
1
y x
y ( x 1) 2
2
2
1个单位
再
向下平移 y 1 ( x 1) 2 1
2
1个单位
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
x=－1
x
抛物线y= 2(x-1)2+2的开口方向、对称轴和顶点坐标分别
是什么? 它可以由抛物线y=2x2经过怎样的平移得到?
抛物线
y=a(x-h)2+k(a>0)
y=a(x-h)2+k(a<0)
顶点坐标
（h，k）
（h，k）
对称轴
直线x=h
直线x=h
位置
由h和k的符号确定
开口方向
向上
增减性
最值
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.
在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
当x=h时,最小值为k.
由h和k的符号确定
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.
1
y
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
-1
-2
-3
-4
-5
华东师大版数学九年级下册 26.2.4 二次函数y=a(x-h)^2 k的图象与性质课件
4.如图，在平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系
不正确的是( B )
A. h = m
B. h = n
C. k > n
D. h > 0 ， k > 0
【解析】 由题中图象，可知 h > 0 ， k > 0 ，故D中的关系正确；因为两
条抛物线有相同的对称轴，所以 h = m ，故A中的关系正确；由 h > 0 ，
如图2所示.
26.2 二次函数的图象与性质
课时4 二次函数y=a x − h
2
+ k的图象与性质
过能力 学科关键能力构建
1.教材P16练习T2变式 [2023泰安模拟]抛物线的函数关系式为
y = 3(x − 2)2 + 1 ，若将 x 轴向上平移2个单位，将 y 轴向左平移3个单位，
则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数关系式为( C )
2
+ 2a − 1 的顶点坐标为
−a, 2a − 1 ，设 x = −a ①， y = 2a − 1② ，
① × 2 + ② ，得 2x + y = −1 ，即 y = −2x − 1 ，故这条
直线的关系式是 y = −2x − 1 .
5.已知二次函数 y1 = − x + 1
2
+ 4 的图象如图所示.
素养提升
6.运算能力[2023湖州期中]如图，已知点 M x1 , y1 ， N x2 , y2 在二次函
数 y = a(x − 2)2 − 1 a > 0 的图象上，且 x2 − x1 = 3 ．
（1）若 a = 2 ， y1 = y2 ，求顶点到 MN 的距离.
华东师大版九年级下册数学学案：26.2.2二次函数y=a(x-h)2+k的图象及性质
26.2.2二次函数()k h x a y +-=2的图象及性质【学习目标】1.掌握二次函数()k h x a y +-=2的性质；2.掌握把抛物线2ax y =平移至2)(h x a y -=+k 的规律； 【学习重点】二次函数()k h x a y +-=2的性质及应用【学习过程】一、温故知新（5分钟）：1.将二次函数2-5y x =的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为 。
2.将抛物线2y x =-的图象向左平移3个单位后的抛物线的解析式为 。
3.抛物线372-=x y 的开口向 对称轴是 ,顶点坐标是 ，当_____ 时,y 随x 的增大而增大，当x= 时，Y取得最 值 。
4. 函数()2321--=x y 的开口向 对称 轴是 ，顶点坐标是 ，当_____ 时y 随x 的增大而减小，当x= 时，Y 取得最 值 。
二、画图探究（25分钟）（在附页纸上） 三、学以致用（20分钟） 1.二次函数的图象可由的图象（ ） A.向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到 B.向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到 C.向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到 D.向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到2.写出下列函数y ＝－2(x ＋1)2－1中的a ＝ ，h ＝ ，k ＝ .开口向 对称轴是 ，顶点坐标是 当X=_____时函数值y 有最 值是 .3.抛物线()21653y x =--+开口 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，当x ＝ 时，y 有最 值为 ,当_____ 时,y 随x 的增大而增大。
4.函数()2231y x =--的图象可由函数22y x =的图象沿x 轴向 平移 个单位，再沿y 轴向 平移 个单位得到。
5.若把函数()2523y x =-+的图象分别向下、向左移动2个单位，则得到的函数解析式为 。
221x y =6. 顶点坐标为（－2，3），开口方向和大小与抛物线212y x =相同的解析式为（ ） A ．()21232y x =-+B ．()21232y x =+-C ．()21232y x =++D ．()21232y x =-++ 四、反馈检测（20分钟）：1.抛物线22(+1)3y x =--开口向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，当x ＝ 时，y 有最 值为 。
九年级数学下册262二次函数的图象与性质3教案华东师大版
二次函数的图象与性质（3）y＝a(x—h)2的图象与性质【教学目标】1．使学生能利用描点法画出二次函数y＝a(x—h)2的图象；2．让学生经历二次函数y＝a(x－h)2性质探究的过程，理解函数y＝a(x－h)2的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系。
【重点难点】重点：会用描点法画出二次函数y＝a(x－h)2的图象，理解二次函数y＝a(x－h)2的性质，理解二次函数y ＝a(x－h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系是教学的重点。
难点：理解二次函数y＝a(x－h)2的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的相互关系是教学的难点。
【教学过程】一、提出问题1．在同一直角坐标系内，画出二次函数y＝－x2，y＝－x2－1的图象，并回答：(1)两条抛物线的位置关系。
(2)分别说出它们的对称轴、开口方向和顶点坐标。
(3)说出它们所具有的公共性质。
2．二次函数y＝2(x－1)2的图象与二次函数y＝2x2的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗?这两个函数的图象之间有什么关系?二、分析问题，解决问题问题1：你将用什么方法来研究上面提出的问题?(画出二次函数y＝2(x－1)2和二次函数y＝2x2的图象，并加以观察)问题2：你能在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝2x2与y＝2(x－1)2的图象吗?教学要点1．让学生完成下表填空：2．让学生在直角坐标系中画出图来；3．教师巡视、指导。
问题3：现在你能回答前面提出的问题吗?教学要点1．教师引导学生观察画出的两个函数图象．根据所画出的图象，完成以下填空：2．让学生分组讨论，交流合作，各组选派代表发表意见，达成共识：函数y＝2(x－1)2与y＝2x2的图象、开口方向相同、对称轴和顶点坐标不同；函数y＝2(x一1)2的图象可以看作是函数y＝2x2的图象向右平移1个单位得到的，它的对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，0)。
华东师大版九年级数学下册26.2《二次函数的图像与性质》平移与抛物线的求法
平移与抛物线的求法抛物线的平移题型一般有两种情况：(1)已知抛物线关系式及要平移的单位和方向，求平移后所得的抛物线关系式；(2)已知原抛物线和经过平移后所得抛物线，说明平移的方向和单位．解决这两类问题的关键是正确找出抛物线平移的规律．抛物线平移规律可由其顶点坐标y=a(x-h)2+k 来判断．当h 增大时．图象向右平移；当h 减小时，图象向左平移．当k 增大时，图象向上平移；当k 减小时，图象向下平移．反之，易成立．下面举例说明有关的平移问题．一、已知抛物线的关系式求平移后所得抛物线例1 将抛物线y=2x 2先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线的关系式为________．析解：抛物线y=2x 2的顶点坐标为(0，0)， 向右平移3个单位，再向下平移2个单位所得抛物线的顶点坐标为(3，-2)，所以所得抛物线的关系式为y=2(x-3)2-2． 例2 将抛物线y=-3(x-1)2-3先向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得抛物线关系式为_______．析解： 因为抛物线y=-3(x-1)2-3的顶点坐标为(1，-3)， 所以向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度后所得抛物线的顶点坐标是(1-2，-3+5)，即(-1，2)，所以所得抛物线的关系式为y=-3(x+1)2+2．二、已知平移后的抛物线的关系式求原抛物线的关系式例3 将抛物线y=a(x-h)2+k 先向左平移5个单位，再向下平移4个单位后得抛物线为y=-21(x+2)2-3，则原抛物线的关系式为_______． 与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。
金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。
”于是看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。
清代称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。
可见，“教师”一说是比较晚的事了。
如今体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。
26.2.2 二次函数y=a(x-h) +k 的图象与性质 教案-华东师大版九年级数学下册
班级：______姓名：___________ 年级九年级科目数学课型性质探究课课时 1主备主讲课题()khxay+-=2的图象与性质教研组长签字教学副校长签字一、教学目标1、使学生掌握二次函数y=a(x-h) 2+k的图象的作法及性质，进一步了解二次函数y=a(x-h) 2+k (h≠0，k≠0)与二次函数y=ax2（a≠0）图象的位置关系，进一步培养学生数形结合的思想和动手操作能力。
2、通过引导学生作图、观察、分析进一步理解二次函数图象与性质，向学生渗透事物总是不断运动、变化和发展的观点.二、教学过程知识回顾1、说说函数221xy=、()2122y x=-、2112y x=+的图象间的关系；2、思考：（1）将抛物线()2122y x=-向上平移一个单位得到的函数关系式是。
（2）将抛物线2112y x=+向左平移一个单位得到的函数关系式是。
自主探究（一）画一画：在同一坐标系中画出函数221xy=，()2122y x=-、2112y x=+、()12212+-=xy的图象。
x …-2 -1 0 1 2 …221xy=…-2 -210 -21-2 …x ……2112y x=+……x ……()2221-=xy……（二）请结合函数列表和图象，填写下表，并观察图象变化。
x ……()12212+-=xy……。
华师版九年级数学下册第26章二次函数【说课稿】二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
y=a(x-h) 2的图像和性质（说课稿）各位领导，各位老师：大家好，今天我说课的题目是二次函数y=a(x-h) 2+k的图像和性质第二课时y=a(x-h) 2。
下面我将围绕“教什么”，“怎么教”，“为什么这样教”三个问题，从教材分析，教法学法分析，教学过程分析，教学评价分析和板书设计这五个方面进行分析说明。
一，教材分析1 教材的地位和作用本课内容是华师版九年级下册第二十六章二次函数y=a(x-h) 2+k图像和性质第二课时。
而在本节课之前，学生已学习了二次函数的概念和二次函数y=ax2、y=ax2+h、的图象和性质。
因此本课的教学是在学生学过二次函数知识的基础上，运用图象变换的观点把二次函数y=ax2的图象经过一定的平移变换，而得到二次函数y=a(x-h) 2(h≠0)的图象和性质。
从特殊到一般，最终得到二次函数y=y=a(x-h) 2+k的图象。
这样不仅符合学生的认知规律，而且还使学生进一步体会了数形结合的思想方法，培养了学生的创造性思维的能力和动手实践能力，突出体现了辩证唯物主义观点。
所以本课的教学起着承上启下的作用。
2教学目标：①、知识与技能：使学生掌握二次函数y=a(x-h) 2的图象的作法及性质，进一步了解二次函数y=a(x-h) 2(h≠0)与二次函数y=ax2（a≠0）图象的位置关系；②、过程与方法：通过引导学生作图、观察、分析进一步理解二次函数图象与性质；③、情感态度价值观：向学生渗透事物总是不断运动、变化和发展的观点；进一步培养学生数形结合的思想和动手操作能力。
3 重点和难点：教学重点：掌握二次函数y=a(x-h) 2(h≠0)图象的作法和性质；教学难点：二次函数y=ax2的图象向二次函数y=a(x-h) 2(h≠0)的图象的转化过程。
二，教法学法分析根据《新课程标准》，本节课设计时体现“问题情境创设—建立数学模型—解释、应用—回顾、延伸”的教学理念。
特别在探究时通过学生动手操作和教师课件演示，让学生经历了知识的形成、发展与应用的过程，在教学过程中，鼓励学生自主探究与合作交流，引导学生观察、猜想、验证、推理与交流等数学活动。
华师大版数学九年级下册26.2.2 第2课时 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质
当c > 0 时，向上平移c个单位长度得到.
当c < 0 时，向下平移-c个单位长度得到.
问题3 函数 y 1 (x 2)2 的图象，能否也可以由函数
y
1
2
x 2平移得到？
2
答：应该可以.
新课讲解
1 二次函数y=a（x-h）2的图象和性质
例1 在如图所示的坐标系中，画出二次函数 y 1 x2
二次函数y=a（x-h)2的图象与y=ax2 的图象的关系 可以看作互相平移得到.
y=ax2
当向右平移 ︱h︱ 时 当向左平移 ︱h︱ 时
y=a(x-h)2 y=a(x+h)2
左右平移规律： 括号内左加右减；括号外不变.
新课讲解
例1 抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点(－1，4)， 求a的值和平移后的函数关系式．
课堂小结
图象的画法 描点法
探索y=a(x-h)2 的图象及性质
平移法
y=ax2
图象的特征
平移规律：
开口方向 a>0,开口向上
顶点坐标（h,0）
a<0,开口向下 对称轴
直线x=h
括号内：左加右减；括号外不变.
►给我五个系数,我讲画出一头大象;给我六个系数,大象将会摇动尾巴。—— A·L·柯西 ►数学是一种精神,一种理性的精神。正是这种精神,激发、促进、鼓舞并驱使 人类的思维得以运用到最完善的程度,亦正是这种精神,试图决定性地影响人类 的物质、道德和社会生活;试图回答有关人类自身存在提出的问题;努力去理解 和控制自然;尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻的和最完美的内涵。— —克莱因《西方文化中的数学》 ►无限!再也没有其他问题如此深刻地打动过人类的心灵。——希尔伯特 ►整数的简单构成,若干世纪以来一直是使数学获得新生的源泉。——G·D·伯 克霍夫 ►数论是人类知识最古老的一个分支,然而他的一些最深奥的秘密与其最平凡的 真理是密切相连的。——史密斯
26.2.2第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质(课件)九年级数学下册(华东师大版)
开口向上，顶点坐标是 (0，0)，对称轴是 y 轴，y最大值 = 0
向上平移3个单位长度
3.把 y = -2x2的图象 向左平移2个单位长度
y=-2x2+3 y=-2(x+2)2
4. 请猜测一下，二次函数 y = -2(x + 2)2 + 3 的图象是否 可以由 y = -2x2 平移得到？学完本课时你就会明白.
讲授新新课课讲授
例1 画出函数 y 1 (x 1)2 1的图象，并指出它的 2
开口方向、对称轴和顶点坐标.
x
… -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
y 1 (x 1)2 1 2
…
-5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 …
y 1 (x 1)2 1 2
y -4 -2 O 2 4 x
解：先列表；
-2
再描点、连线.
-4
开口向下； 对称轴是直线 x = -1；
-6 y 1 (x 1)2 1
2
顶点坐标是 (-1，-1).
直线 x = -1
变式
y
画出二次函数 y = 2(x + 1)2 - 2
8
的图象，并说出它的开口方向、
对称轴和顶点坐标.
6
4
开口向上；
2
对称轴是直线 x = -1； 顶点坐标是 (-1，-2).
O
-4 -2
24 x
-2
知识总结 二次函数 y=a(x-h)2+k（a ≠ 0）的性质
y=a(x-h)2+k 开口方向 对称轴 顶点坐标
a＞0 向上 直线 x = h （h，k）
a＜0 向下 直线 x = h （h，k）
二次函数y=a(x-h)2的图象和性质+课件+++2023-2024学年华东师大版九年级数学下册
【选自教材P14 练习 第3题】
3. 试说出函数 y=a（x -h）2（a、h是常数，a≠0）的图象的开口 方向、对称轴和顶点坐标，并填写下表：
y=a(x-h)2
开口方向
a>0
向上
a<0
向下
对称轴 顶点坐标 直线x=h （h，0）
课堂小结
通过这节课的学习活动，你有什么收获？
y=ax2
h>0，向右平移 |h| 个单位 h<0，向左平移 |h| 个单位
–1
当 x > -2 时，函数值 y 随 x 的
–2
增大而减小；
–3
y = - 1 x2
3
–4
当 x = -2 时，函数取得最大值， y =0.
–5 y = - 1（x + 2）2 3
二次函数y = a(x-h)2的图象和性质:
a的符号
a>0
a<0
h>0 图象
h<0
开口方向 对称轴 顶点坐标
函数的增减性
–1
（2）
函数 y = 1 x2 的图象开口向上，对
3
称轴是 y 轴，顶点坐标是（0,0）.
函数 y = 1（x + 3）2 的图象开
3
口向上，对称轴是直线 x =
-3，顶点坐标是（-3,0）.
6
y y = 1（x + 3）2 3
y = 1 x2 3
5
4
y = 1（x - 3）2
3
3
函数
y
=
1（x 3
y = - 1 x2
3
–4
–5 y = - 1（x + 2）2 3
函数 y = - 1（x + 2）2 的图象可以看
九年级数学下册 26_2_2 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 华东师大版
在同一坐标系中作出下列二次函6 数:
y 1 x 2 y 1(x2)2
2
2
观察三条抛物线的 y 1 x 22 2
相互关系,并分别指
y
1 5(x
2)2
2
4
y 1 x2
2
3
出它们的开口方向,
2
对称轴及顶点.
1
y 1 x 22
2
-8
-6
y 1(x2)2 向左平移
2
2个单位
-4
-2 B
2
4
6
（3）已知二次函数图像的顶点在x轴上， 且图像经过点（2，-2）与（-1，-8）。求此 函数解析式。
用配方法把下列函数化成y=a（x-h）
2的形式，并说出开口方向，顶点坐标和
对称轴。
(1)yx26x9
(2)y1x22x2 2
1.抛物线y=ax2+k、抛物线y=a(x－h)2和抛 物线y=ax2的形状完全相同,开口方向一致;
2
(1)抛物线 y 1(x1)2 与的
y 1
y
1
(x1)2
2
开口方向、对称轴、
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1
2
3
4
5
2
顶点?
(2)抛物线
y 1(x1)2 2
y 1(x1)2 2
-2
-3 -4
y 1( 2
-5
y 1 x2 有什么关系？以及 增2减性是怎么变化的？
-6 -7 -8
-9
x=－1-10
a>0
a<0
图象
开口 对称性 顶点 增减性
h>0
h<0
开口向上
华师大版九年级数学下册第二十六章《二次函数y=a(x-h)2的图象与性质》课件
新课标（HS）数学 ·九年级下册
第26章 二次函数
26.2 二次函数的图像与性质
2.二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象与性质
第 2 课时 二次函数 y＝a(x－h)2 的图象与性质
26.2 二次函数的图像与性质
探究新知 活动1 知识准备 (1)抛物线 y＝－x2－2 可由抛物线 y＝－x2向__下____平移__2___
26.2 二次函数的图像与性质
[归纳总结] 二次函数 y＝a(x－h)2 的图象的对称轴是直线 x＝h，列表时应在直线 x＝h 的左右两边对称地取值，才能
较好地画出函数图象．
26.2 二次函数的图像与性质
探究问题二 二次函数y＝a(x－h)2 的性质
例 2(1)二次函数 y＝2(x－3)2 的图象与二次函数 y＝2x2 的图
联系：都是开口向下的抛物线且开口大小相同．
区别：y＝－(x－1)2 的图象的对称轴是直线 x＝1，而 y＝－x2 的对称轴是 y 轴，前者顶点坐标是(1，0)，后者顶点坐标是(0，
0)．
y＝－(x－1)2 的图象是由 y＝－x2 的图象向右平移 1 个单位得到
的．
y＝－(x－1)2 的性质：当 x＞1 时，y 随 x 的增大而减小；当 x ＜1 时，y 随 x 的增大而增大；当 x＝1 时，函数有最大值为 0.
右)平移而得到．
当 h>0 时，抛物线 y＝ax2 向__右____平移 h 个单位，得到抛物 线 y＝a(x－h)2； 当 h<0 时，抛物线 y＝ax2 向__左____平移|h|个单位，得到抛 物线 y＝a(x－h)2.
26.2 二次函数的图像与性质
知识点二 二次函数y＝a(x－h)2 的图象与性质
华东师大初中数学九年级下册二次函数y=a(x-h)^2+k(a≠0)的图象与性质—知识讲解(基础)
二次函数y=a （x-h)2+k(a ≠0)的图象与性质—知识讲解（基础）【学习目标】1.会用描点法画出二次函数2()y a x h k =-+(a 、h 、k 常数，a ≠0)的图象．掌握抛物线2()y a x h k =-+与2y ax =图象之间的关系；2.熟练掌握函数2()y a x h k =-+的有关性质，并能用函数2()y a x h k =-+的性质解决一些实际问题；3.经历探索2()y a x h k =-+的图象及性质的过程，体验2()y a x h k =-+与2y ax =、2y ax k =+、2()y a x h =-之间的转化过程，深刻理解数学建模思想及数形结合的思想方法．【要点梳理】要点一、函数2()(0)y a x h a =-≠与函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象与性质1.函数2()(0)y a x h a =-≠的图象与性质2.函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象与性质要点诠释：二次函数2()+(0y a x h k a =-≠）的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题．要点二、二次函数的平移 1.平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：2.平移规律：在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 要点诠释：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿x 轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）【典型例题】类型一、二次函数2()(0)y a x h k a =-+≠图象及性质1．（2016•潮南区模拟）二次函数y=﹣（x ﹣3）2+2的顶点的坐标是 ，对称轴是 ． 【思路点拨】根据二次函数顶点式解析式分别解答即可． 【答案】（3，2），直线x=3． 【解析】二次函数y=﹣（x ﹣3）2+2；顶点坐标是（3，1），对称轴是直线x=3． 故答案为：（3，2），直线x=3．【总结升华】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用二次函数顶点式形式求解对称轴和顶点坐标的方法是解题的关键．举一反三：【高清课程名称：函数2()(0)y a x h a =-≠与函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象与性质高清ID 号： 391919 关联的位置名称（播放点名称）：练习2】【变式】将抛物线23y x =-向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线解析式为 ． 【答案】23127y x x =-+-.2．将抛物线y=x 2﹣6x+5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，求得到的抛物线解析式.【答案与解析】解：y=x 2﹣6x+5=（x ﹣3）2﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（3，﹣4），把点（3，﹣4）向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为（4，﹣2）， ∴平移后得到的抛物线解析式为y=（x ﹣4）2﹣2．【总结升华】由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 举一反三：【高清课程名称：函数2()(0)y a x h a =-≠与函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象与性质高清ID 号： 391919 关联的位置名称（播放点名称）：练习2】 【变式】二次函数21(3)42y x =-+的图象可以看作是二次函数212y x =的图象向 平移4个单位，再向 平移3个单位得到的．【答案】上；右.类型二、二次函数2()(0)y a x h k a =-+≠性质的综合应用3．二次函数y 1=a （x ﹣2）2的图象与直线y 2交于A （0，﹣1），B （2，0）两点． （1）确定二次函数与直线AB 的解析式．（2）如图，分别确定当y 1＜y 2，y 1=y 2，y 1＞y 2时，自变量x 的取值范围．【答案与解析】解：（1）把A （0，﹣1）代入y 1=a （x ﹣2）2，得：﹣1=4a ，即a=﹣，∴二次函数解析式为y 1=﹣（x ﹣2）2=﹣a 2+a ﹣1； 设直线AB 解析式为y=kx+b ， 把A （0，﹣1），B （2，0）代入得：，解得：k=，b=﹣1，则直线AB 解析式为y=x ﹣1；（2）根据图象得：当y 1＜y 2时，x 的范围为x ＜0或x ＞2；y 1=y 2时，x=0或x=2，y 1＞y 2时，0＜x ＜2． 【总结升华】可先由待定系数法建立方程组求出两个函数的解析式，然后利用函数图象写出自变量的取值范围．4．在同一直角坐标系中，画出下列三条抛物线：212y x =，2132y x =+，2132y x =-． （1）观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）请你说出抛物线212y x c =+的开口方向，对称轴及顶点坐标． 【答案与解析】 （1）列表：描点、连线，可得抛物线22y x =． 将212y x =的图象分别向上和向下平移3个单位，就分别得到2132y x =+与2132y x =-的图象（如图所示）．抛物线212y x =，2132y x =+与2132y x =-开口都向上，对称轴都是y 轴，顶点坐标依次 是（0，0）、（0，3）和（0，-3）．（2）抛物线212y x c =+的开口向上，对称轴是y 轴（或直线0x =），顶点坐标为（0，c ）． 【总结升华】先用描点法画出212y x =的图象，再用平移法得到另两条抛物线，并根据图象回答问题．规律总结：2y ax k =+k ←−−−−−向上平移个单位2y ax =k −−−−→向下平移个单位2(0)y ax k k =->．。
华东师大初中数学九年级下册二次函数y=a(x-h)^2+k(a≠0)的图象与性质—知识讲解(基础)
二次函数y=a （x-h)2+k(a ≠0)的图象与性质—知识讲解（基础）【学习目标】1.会用描点法画出二次函数2()y a x h k =-+(a 、h 、k 常数，a ≠0)的图象．掌握抛物线2()y a x h k =-+与2y ax =图象之间的关系；2.熟练掌握函数2()y a x h k =-+的有关性质，并能用函数2()y a x h k =-+的性质解决一些实际问题；3.经历探索2()y a x h k =-+的图象及性质的过程，体验2()y a x h k =-+与2y ax =、2y ax k =+、2()y a x h =-之间的转化过程，深刻理解数学建模思想及数形结合的思想方法．【要点梳理】要点一、函数2()(0)y a x h a =-≠与函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象与性质1.函数2()(0)y a x h a =-≠的图象与性质2.函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象与性质要点诠释：二次函数2()+(0y a x h k a =-≠）的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题．要点二、二次函数的平移 1.平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：2.平移规律：在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 要点诠释：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿x 轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）【典型例题】类型一、二次函数2()(0)y a x h k a =-+≠图象及性质1．（2016•潮南区模拟）二次函数y=﹣（x ﹣3）2+2的顶点的坐标是 ，对称轴是 ． 【思路点拨】根据二次函数顶点式解析式分别解答即可． 【答案】（3，2），直线x=3． 【解析】二次函数y=﹣（x ﹣3）2+2； 顶点坐标是（3，1），对称轴是直线x=3． 故答案为：（3，2），直线x=3．【总结升华】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用二次函数顶点式形式求解对称轴和顶点坐标的方法是解题的关键．举一反三：【高清课程名称：函数2()(0)y a x h a =-≠与函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象与性质 高清ID 号： 391919 关联的位置名称（播放点名称）：练习2】【变式】将抛物线23y x =-向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线解析式为 ． 【答案】23127y x x =-+-.2．将抛物线y=x 2﹣6x+5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，求得到的抛物线解析式.【答案与解析】解：y=x 2﹣6x+5=（x ﹣3）2﹣4， ∴抛物线的顶点坐标为（3，﹣4），把点（3，﹣4）向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为（4，﹣2），∴平移后得到的抛物线解析式为y=（x ﹣4）2﹣2．【总结升华】由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 举一反三：【高清课程名称：函数2()(0)y a x h a =-≠与函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象与性质 高清ID 号： 391919 关联的位置名称（播放点名称）：练习2】【变式】二次函数21(3)42y x =-+的图象可以看作是二次函数212y x =的图象向 平移4个单位，再向 平移3个单位得到的．【答案】上；右.类型二、二次函数2()(0)y a x h k a =-+≠性质的综合应用3．二次函数y 1=a （x ﹣2）2的图象与直线y 2交于A （0，﹣1），B （2，0）两点． （1）确定二次函数与直线AB 的解析式．（2）如图，分别确定当y 1＜y 2，y 1=y 2，y 1＞y 2时，自变量x 的取值范围．【答案与解析】解：（1）把A （0，﹣1）代入y 1=a （x ﹣2）2，得：﹣1=4a ，即a=﹣，∴二次函数解析式为y 1=﹣（x ﹣2）2=﹣a 2+a ﹣1； 设直线AB 解析式为y=kx+b ， 把A （0，﹣1），B （2，0）代入得：，解得：k=，b=﹣1，则直线AB 解析式为y=x ﹣1；（2）根据图象得：当y 1＜y 2时，x 的范围为x ＜0或x ＞2；y 1=y 2时，x=0或x=2，y 1＞y 2时，0＜x ＜2． 【总结升华】可先由待定系数法建立方程组求出两个函数的解析式，然后利用函数图象写出自变量的取值范围．4．在同一直角坐标系中，画出下列三条抛物线：212y x =，2132y x =+，2132y x =-． （1）观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）请你说出抛物线212y x c =+的开口方向，对称轴及顶点坐标．【答案与解析】描点、连线，可得抛物线22y x =． 将212y x =的图象分别向上和向下平移3个单位，就分别得到2132y x =+与2132y x =-的图象（如图所示）．抛物线212y x =，2132y x =+与2132y x =-开口都向上，对称轴都是y 轴，顶点坐标依次 是（0，0）、（0，3）和（0，-3）．（2）抛物线212y x c =+的开口向上，对称轴是y 轴（或直线0x =），顶点坐标为（0，c ）． 【总结升华】先用描点法画出212y x =的图象，再用平移法得到另两条抛物线，并根据图象回答问题．规律总结：2y ax k =+k ←−−−−−向上平移个单位2y ax =k −−−−→向下平移个单位2(0)y ax k k =->．。
26.2.2 第2课时 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质(课件)九年级数学下册(华东师大版)
向下 直线 x = h (h，0)
最值 增减性
当 x = h 时，y最小值 = 0 当 x = h 时，y最大值 = 0
当 x＜h 时，y 随 x 的 当 x＜h 时，y 随 x 的 增大而减小；x＞h 时，增大而增大；x＞h 时， y 随 x 的增大而增大. y随 x 的增大而减小.
练一练 若抛物线 y＝3(x＋ 2 )2 的图象上有三个点
C BO x 2 -1 2
知识点3 二次函数 y = ax2 与 y = a(x - h)2 (a≠0) 的关系
想一想
y y 1 x 12
2
抛物线 y 1 x 12，y 1 x 12
2
2
与抛物线 y 1 x2 有什么关系？
−4
−2 -2
2 4x
2
形状、大小、开口方向都相同，
5.已知A(－1，y1)，B(－2，y2)，C(3，y3)三点都在二 次函数y＝a(x＋1)2(a＜0)的图象上，则y1，y2，y3的大 小关系是_y_3_＜__y_2_＜__y1___．
课堂总课结堂小结
复习 平移规律： y=ax2+k 自变量 左加右减， y = ax2 括号外 保持不变.
探索 y =a(x±h)2的 图象及性质
向上
对称轴 y轴
直线 x = 2
顶点坐标 (0，0) (2，0)
试一试 画出二次函数y
1 2
x
1
2，
-4
y
O
-2
2
x 4
y 1 x 1 2 的图象，并考察它们
-2
2
-4
的开口方向、对称轴和顶点．
y
1 x 12
-6
y 1 x 12
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y
1 ( x 2) 2 1 2
1 y ( x 2) 2 2
向 上 平 移 1 个 单 位
y
1 2 x 2
y
1 ( x 2) 2 2
y
1 ( x 2) 2 1 2
y
1 2 上平移1 x 2
个单位
1 y x2 1 2
右平移2
个单位 上平移1 个单位
y
1 ( x 2) 2 1 2 1 ( x 2) 2 1 2
26.2.4二次函数的图像与性质
y a ( x h) k
2
抛物线y ax 抛物线y ax k
2 2
有怎样的关系?
开口方向
y ax2
y ax k
2
对称轴
顶点坐标
a>0 向上 a<0 向下 向上 a<0 向下 a>0
y轴
y轴
（0，0） （0，k） 2
2
y ax
2
移|k|个单位 抛物线y=a(x－h)2+k有如下特点: (1)当a>0时, 开口向上; 当a<0时,开口向下; (2)对称轴是直线x=h; (3)顶点是(h,k).
向左(右)平 y=a(x－h)2+k 移|h|个单位
1.完成下列表格:
二次函数 开口方向 向上 向下 向上 向下 对称轴 顶点坐标
y=2(x+3)2+5
？
1 2 y ( x 2 ) 1 画出函数 的图像 .指出它的开口 2
方向、顶点与对称轴、 解: 先列表
x
1 y ( x 2) 2 1 2
… …
-1
0
1
2
3
4
5
… …
5.5 3 1.5
1
1.5
3 5.5
再描点画图.
画图
x
1 y ( x 2) 2 1 2
… …
-1 5.5
y=－3(x－1)2－2
直线x=－3 (－3, 5) 直线x=1 ( 1 , －2) 直线x=3 ( 3 , 7) 直线x=2 ( 2 , －6 )
y = 4(x－3)2＋7
y=－5(2－x)2－6
2.请回答抛物线y = 4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎 样平移得到?
灵活变通
若二次函数
(-2,3)
y
1 2 上平移1 x 2
个单位
1 y x2 1 2
右平移2
个单位 上平移1 个单位
y
1 ( x 2) 2 1 2 1 ( x 2) 2 1 2
1 2 右平移2 y x 2 个单位
1 y ( x 2) 2 2
y
开口方向
y
y
对称轴
顶点坐标 (0,0)
1 2 x 2
1 2 x 1 2
y轴
1 y ( x 2) 2 2
y 1 ( x 2) 2 1 2
向 上
(0,1) (2,0) (2,1)
直线 x=2
思考
(1)抛物线
1 ? y 的开口方向、对称轴、顶点 ( x 1) 2 1 2
1
y
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 1 -4 y ( x 1) 2 1 2 -5 -6 -7 -8 直线x=－1 -9 -10
1 2 y x 2
y
1 ( x 2) 2 1 2
y
1 2 x 1 2
1 2 y x 2
1 y ( x 2) 2 1 2
1 2 y x 2
向上平移 1个单位
y
1 2 x 1 2
向右平移2 个单位
y
1 ( x 2) 2 1 2
1 2 y x 2
向 右 平 移 2 个 单 位
1 2 可以看出,抛物线 y ( x 1) 1 的开口向下, 2 y 对称轴是直线x=－1, 1
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 顶点是(－1, －1). -1 1 -2 y ( x 1) 1 平移方法1: 2 -3 -4 1 2向下平移 1 2 y x y x 1 -5 2 1个单位 2 -6 -7 向左平移 y 1 ( x 1) 2 1 -8 2 1个单位 -9 -10 平移方法2: x=－1
1 2 ,则平移后的函数解析式为 y ( x 2) .3 2
1 2 y x 2
经过平移变换后顶点坐标为
在平面直角坐标系中，如果抛物线 y 2 x2 不动,
而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在
新坐标系下抛物线的解析式是 y 2( x 2)
2
.2
不画图像，直接说出 y 3x 6 x 8的图像
0 3
1 1.5
2 1
3 1.5
4 3
5 5.5
… …
1 y ( x 2) 2 1 2
顶点坐标
（2,1）
；
对称轴
直线x=2
；
当x >2 ，y随x的增大而增大； 当x ,y随x的增大而减小。 当x <2 ,函数值取得最 值， 小 最 =2 值是 。 小 1
1 2 y x 2
y
1 ( x 2) 2 1 2
2
的开口方向、对称轴、 和顶点坐标
解：y 3( x 1) 11
2
2
2
有怎样的关系?
开口方向
y ax2
y a ( x h)
2
对称轴
顶点坐标
a>0 向上 a<0 向下
y轴
（0，0）
a>0
向上
a<0 向下
y ax
2
若h 0，向右平移 h个单位
直线 （h, 0） 2 x=h y a ( x h)
k
2
y a ( x h)
若h 0，向左平移h 个单位
2
4 5
x
1 1 2 向左平移 1 2 2 向下平移 y ( x 1 ) 1 y x y ( x 1) 2 2 1个单位 2 1个单位
不画图你知道抛物线y=2(x-1)² +1的对称轴， 顶点坐标吗？
返回
y
y=2(x-1)2+1
y=2x2 5 4. 3. 2. 1.
1 2 右平移2 y x 2 个单位
1 y ( x 2) 2 2
y
相同点: (1)图像都是抛物线, 形状相同, 开口方向相同. (2)都是轴对称图形.
(3)顶点都是最低点.
(4) 在对称轴左侧,都随 x 的增大而减小,在对称 轴右侧,都随 x 的增大而增大. 不相同. 不同点: (1)对称轴不同. (2)顶点不同. (3)最小值
例：观察y a( x h)2图像用 、 或 填空。
a > 0,h > 0 a > 0,h < 0
a<
0,h<
0
a < 0,h > 0
新知探究
1 2 y x 2 1 2 y x 2 1 2 y x 2
向上平移1个单位
1 2 y x 1 2
向右平移2个单位
1 y ( x 2) 2 2 1 y ( x 2) 2 1 2
向上 向下 向上 a>0 向上 a<0 向下
1 y ( x 1) 2 1 2
y 2( x 1)2 1
y a ( x h) k
2
直线x=h
(h,k)
一般地,抛物线y=a(x－h)2＋k与y=ax2形状相同, 位置不同.把抛物线y=ax2向上(下)向右(左)平移,可以 得到抛物线y=a(x －h)2＋k.平移的方向、距离要根 据h、k的值来决定. 平移方法: 向左(右)平 向上(下)平 2 2 y=ax y=a(x－h) y=a(x－h)2+k 移|h|个单位 移|k|个单位 y=ax2 向上(下)平 y=ax2+k
若k 0，向上平移 k个单位
y a ( x h) k
y ax k
若k 0，向下平移k 个单位
例：观察y ax2 k图像用 、 或 填空。
a > 0,k > 0 a > 0,k < 0
a<
0,k <
0
a < 0,k > 0
抛物线y ax 抛物线y a( x h)
y=2(x-1)2
-3.
-2
-1
0. -1
1.
2.
3.
x
y
y=2x2 +1
5 4. 3. 2. 1.
y=2x2
y=2(x-1)2+1
-3.
-2
-1
0. -1
1.
2.
3.
x
返回
开口方向
y 1 ( x 2) 2 1 2
对称轴
直线x=2 直线x=-1 直线x=1,1)