第89-90逻辑连接词及全称、存在量词

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简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

5 例1、已知命题p : x R, 使得 sin x ；命题q：x R, 2 C ________ 都有x 2 x 1 0, 下列结论中正确的是 __________D A.命题" p q" 是真命题 B.命题" p q" 是真命题 C.命题" p q" 是真命题 D.命题" p q" 是真命题
“有些” “有一个” “对某个” “有的”等. 通常，将含有变量x的语句用p(x)、q(x)、
r(x)表示，变量x的取值范围用M表示。特称命题“存在 M中的一个x ，使p(x)成立.
简记为:x M,p(x)
读作“存在一个x属于M，使P(x)成立”。
3、全称命题与特称命题的改写
含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论全称命题 p : x M,p(x)
① 是真命题的为________.①p∨q;②p∧q.
5、已知命题P :" x [0,1]，a e x，命题q :" x R， x 2 4 x a 0" 若命题p q是真命题，则实数a的 C 取值范围是 __________ __ A.( 4,) B.[1,4] C.[e,4] D.( ,1]
通常，将含有变量x的语句用p(x)、q(x)、 r(x)表示，变量x的取值范围用M表示。全称命题“对 M中任意一个x，有p(x)成立.
简记为:x M,p(x)
读作“任意x属于M，有P(x)成立”。
2、短语“存在一个”“至少一个” 在逻辑中通常叫做存在量词．用符号“ ”表示。含有存在量词的命题，叫做特称命题。常见的存在量词还有
1.如果命题“p或q”是真命题,命题“p且q” 是假命题,那么( C ) A. 命题p与命题q都是假命题 B. 命题p与命题q都是真命题

逻辑联结词、全称量词与存在量词-备战高考数学(理)一轮复习考点

逻辑连接词、全称量词与存在量词【命题趋势】此考点重点考查方向主要体现在： 1．简单的逻辑联结词了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义. 2．全称量词与存在量词（1）理解全称量词与存在量词的意义. （2）能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 【重要考向】一、判断复合命题的真假二、判断全称命题与特称命题的真假三、含有一个量词的命题的否定判断复合命题的真假1．常见的逻辑联结词：或、且、非一般地，用联结词“且”把命题p 和q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧，读作“p 且q ”；用联结词“或”把命题p 和q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨，读作“p 或q ”；对一个命题p 的结论进行否定，得到一个新命题，记作p ⌝，读作“非p ”． 2．复合命题的真假判断“p 且q ”“p 或q ”“非p ”形式的命题的真假性可以用下面的表（真值表）来确定：【巧学妙记】1．（2021·重庆高三其他模拟）已知“p q ∧”是假命题，则下列选项中一定为真命题的是（） A ．p q ∨ B ．()()p q ⌝∧⌝C ．()p q ⌝∨D ．()()p q ⌝∨⌝【答案】D 【分析】先根据p q ∧的真假判断出,p q 的真假情况，然后逐项分析是否为真命题. 【详解】因为p q ∧为假命题，所以,p q 中至少有一个假命题； A ．当,p q 均为假命题时，p q ∨也为假命题； B ．当,p q 为一真一假时，()()p q ⌝∧⌝为假命题； C ．当p 为真命题，q 为假命题时，()p q ⌝∨为假命题； D ．因为,p q ⌝⌝至少有一个为真，所以()()p q ⌝∨⌝为真命题，故选：D.2．（2021·河南安阳市·高三三模（理））已知命题:p “x ∀∈R ，2220x x a -+>”，命题:q “函数2lg 22a y x ax ⎛⎫=-+⎪⎝⎭的定义域为R ”，若p q ∧为真命题，则实数a 的取值范围是（） A ．()1,4 B ．()1,3 C ．()1,2 D ．()2,4【答案】A 【分析】由p 真得()22min20x x a+>-求出a 的取值范围，由q 真得x ∀∈R ，2202a x ax +>-，求出a 的取值范围，再取它们交集即可．【详解】由x ∀∈R ，2220x x a -+>得()22min20x x a +>-，则221210a -⨯+>，所以1a >或1a <- 由函数2lg 22a y x ax ⎛⎫=-+⎪⎝⎭的定义域为R ，则x ∀∈R ，2202a x ax +>-，所以a =0或2044202a a a a >⎧⎪⇒≤<⎨∆=-⨯⨯<⎪⎩因为p q ∧为真命题，所以,p q 均真，则14a << 故选：A3．（2021·吉林长春市·东北师大附中高三月考（理））已知a ，b ，c 是实数，设有下列四个命题：1p ：“a b >”是“22a b >”的充分条件；2p ：“a b >”是“22a b >”的必要条件； 3p ：“a b >”是“22ac bc >”的充分条件； 4p ：“a b >”是“a b >”的充要条件．则下述命题中所有真命题的序号是______；①14p p ∧；②12p p ∧；③23p p ⌝∨；④34p p ⌝∨⌝．【答案】③④ 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断命题1p 、2p 、3p 、4p 的真假，再根据复合命题真假判断的结论即可求解. 【详解】解：对命题1p 、2p ：因为a b>22a b >，反之22a b >a b >，所以“a b >”是“22a b >”的既不充分也不必要条件，所以1p 、2p 均为假命题；对命题3p ：因为a b>22ac bc >，反之22ac bc >⇒a b >，所以“a b >”是“22ac bc >”的必要不充分条件，所以命题3p 为假命题；对命题4p ：因为a b>a b >，反之a b >a b >，所以“a b >”是“a b >”的既不充分也不必要条件，所以命题4p 为假命题；所以，根据复合命题真假判断的结论可得①②为假命题，③④为真命题. 故答案为：③④.判断全称命题与特称命题1．全称量词和存在量词2．同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可能有不同的表述方法，在实际应用中可以灵活地选择.【巧学妙记】 4．（2021·全国高三其他模拟）下列命题为真命题的是（） A ．2,||10x x x ∀∈-+≤R B ．1,11cos x x∀∈-≤≤R C ．200,(ln )0x x ∃∈≤R D ．00,sin 3x x ∃∈=R【答案】C 【分析】分别判断已知四个命题的真假即可. 【详解】解：对于A ：因为2213||1(||)024x x x -+=-+>恒成立，所以2,||10x x x ∀∈-+≤R 是假命题；对于B ：当3x π=时，12cos x =，所以1,11cos x x∀∈-≤≤R 是假命题；对于C ：当01x =时，0ln 0x =，所以200,(ln )0x x ∃∈≤R 是真命题；对于D ：因为1sin 1x -≤≤，所以00,sin 3x x ∃∈=R 是假命题；故选：C ．5．（2021·浙江高一期末）（多选）已知0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，函数()cos 2f x x x π=+-，则下列选项正确的是（） A ．()000,,02x f x π⎛⎫∃∈> ⎪⎝⎭B ．()000,,02x f x π⎛⎫∃∈< ⎪⎝⎭C ．()000,,02x f x π⎛⎫∀∈> ⎪⎝⎭D ．()000,,02x f x π⎛⎫∀∈< ⎪⎝⎭【答案】BD 【分析】求出导函数()'f x ，确定函数的单调性后判断．【详解】0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()1sin 0f x x '=->，()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上递增，(0)102f π=-<，02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π，所以0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()02f x f π⎛⎫<=⎪⎝⎭恒成立．因此AC 错，BD 正确．故选：BD ．含有一个量词的命题的否定含有一个量词的命题的否定全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，如下所示：命题命题的否定,()x M p x ∀∈ 00,()x M p x ∃∈⌝00,()x M p x ∃∈,()x M p x ∀∈⌝【巧学妙记】一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词或把存在量词改成全称量词，同时否定结论.【典例】6．（2021·浙江高一期末）写出命题的否定，,10x R x ∃∈+≥，____________．【答案】,10x R x ∀∈+<. 【分析】对特称量词的否定用全称量词，直接写出命题的否定. 【详解】由“,10x R x ∃∈+≥”得到命题的否定：“,10x R x ∀∈+<”. 故答案为：,10x R x ∀∈+<. 【点睛】全称量词命题的否定是特称（存在）量词命题，特称（存在）量词命题的否定是全称量词命题．7．（2021·浙江高一期末）命题“20,10x x ax ∀<+-≥”的否定是（） A ．20,10x x ax ∃≥+-”为真，则实数a 的范围是__________ 【答案】30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】将问题转化为“不等式2430ax ax ++>对x ∈R 恒成立”，由此对a 进行分类讨论求解出a 的取值范围. 【详解】由题意知：不等式2430ax ax ++>对x ∈R 恒成立，当0a =时，可得30>，恒成立满足；当0a ≠时，若不等式恒成立则需2016120a a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得304a <<，所以a 的取值范围是30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故答案为：30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】思路点睛：形如()200ax bx c ++<>的不等式恒成立问题的分析思路：（1）先分析0a =的情况；（2）再分析0a ≠，并结合∆与0的关系求解出参数范围；（3）综合（1）（2）求解出最终结果.1．（2021·浙江高三专题练习）下列说法错误的是（） A ．“1a >”是“11a<”的充分不必要条件 B ．“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠” C ．命题p ：x ∃∈R ，使得210x x ++<，则p ⌝：x ∀∈R ，均有210x x ++≥ D ．若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题2．（2021·全国高三专题练习）命题p ：若直线//m 平面α，直线n ⊂α，则//m n ；命题q ：若平面α⊥平面β，直线m α⊂，n β⊂，则m n ⊥．下列命题中为真命题的是（） A ．p q ∨ B ．()p q ∧⌝ C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝3．（2021·全国高三专题练习（理））下列说法中，不正确的是（） A ．已知a ，b ，m ∈R ，命题“若am 2<bm 2，则a 0”的否定是：“∈x ∈R ，x 2＋x －2≤0” C ．命题“p 或q ”为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题 D ．“x >3”是“x >2”的充分不必要条件4．（2021·全国高三专题练习（理））下列选项错误的是（）A ．命题“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”的逆否命题是“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”B ．“x >2”是“x 2－3x ＋2>0”的充分不必要条件C ．若“命题p ：∈x ∈R ，x 2＋x ＋1≠0”，则“⌝p ：∈x 0∈R ，20x ＋x 0＋1＝0”D ．若“p ∈q ”为真命题，则p ，q 均为真命题5．（2021·全国高三专题练习（理））设函数()y f x =的图象由方程142x x y y+=确定，对于函数()f x 给出下列命题：1P ：12,x x R ∀∈，12x x ≠，恒有()()12120f x f x x x -<-成立；2P ：()y f x =的图象上存在一点P ，使得P ；3P ：对于x R ∀∈，()20f x x +>恒成立；则下列正确的是（） A ．12P P ∧B ．13P P ∧C ．23P P ⌝∨D ．13P P ⌝∨6．（2021·全国高三专题练习）已知下列命题：1p ：若直线l 与平面α有两个公共点，则直线l 在平面α内.2p ：若三条直线 a ，b ，c 互相平行且分别交直线l 于 A ， B ，C 三点，则这四条直线共面.3p ：若直线l 与平面α相交，则l 与平面α内的任意直线都是异面直线.4p ：如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交.则下述命题中所有真命题的序号是____________．①14p p ∧ ②12p p ∧ ③23p p ⌝∨ ④34p p ⌝∨⌝7．（2021·全国高三专题练习）命题p ：已知0a >，且满足对任意正实数x ，总有1ax x+≥成立.命题q ：二次函数2()6f x x ax a =-+在区间[]1,2上具有单调性.若“p 或q ⌝”与“q ”均为真命题，则实数a 的取值范围为_________；8．（2021·江苏高三专题练习）已知0m >，命题p ：函数()log (2)m f x mx =-在[0,1]上单调递减，命题q ：函数()g x =R ，若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，求m 的取值范围_____．9．（2021·全国高三专题练习（理））设命题()()2:lg 4p f x ax x a =-+的定义域为R ；命题:q 不等式222x x ax +≥+在(),1x ∈-∞-上恒成立，如果命题“p q ∨”为真命题，命题“p q ∧”为假命题，则实数a 的取值范围为________.10．（2021·全国高三专题练习（理））已知命题11:[1,3],102x p x m -⎛⎫∀∈+-< ⎪⎝⎭，命题2:,40q x R mx x ∃∈+-=.若“p 且q ”为真命题，则实数m 的取值范围为____________________.1．（2013·四川高考真题（理））设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∈x ∈A ，2x ∈B ，则（）A ．￢p ：∈x ∈A ，2x ∈B B ．￢p ：∈x ∈A ，2x ∈BC ．￢p ：∈x ∈A ，2x ∈BD ．￢p ：∈x ∈A ，2x ∈B 2．（2007·山东高考真题（理））命题“对任意的x ∈R ，3210x x -+≤”的否定是 A ．不存在x ∈R ，3210x x -+≤ B ．存在x ∈R ，3210x x -+≤ C ．存在x ∈R ，3210x x -+>D ．对任意的x ∈R ，3210x x -+>3．（2016·浙江高考真题（理））命题“*,x R n N ∀∈∃∈，使得2n x ≥”的否定形式是（） A ．*,x R n N ∀∈∃∈，使得2n x < B ．*,x R n N ∀∈∀∈，使得2n x < C ．*,x R n N ∃∈∃∈，使得2n x <D ．*,x R n N ∃∈∀∈，使得2n x <4．（2016·浙江高考真题（理））命题“*,x R n N ∀∈∃∈，使得2n x ≥”的否定形式是 A ．*,x R n N ∀∈∃∈，使得2n x B ．()**,n N f n N ∀∈∉或()f n n >C ．()**00,n N f n N ∃∈∉且()00f n n >D ．()**00,n N f n N ∃∈∉或()00f n n >6．（2007·海南高考真题（理））已知命题 :p x ∀∈R ，sin 1x ，则 A ．:p x ⌝∃∈R, sin 1x B ．:p x ⌝∀∈R, sin 1x C ．:p x ⌝∃∈R, sin 1x >D ．:p x ⌝∀∈R, sin 1x >7．（2012·湖北高考真题（理））命题“0R x Q ∃∈，30x Q ∈”的否定是 A ．0x ∃∉RQ ，30x Q ∈ B ．0R x Q ∃∈，30x Q ∉ C ．x ∀∉RQ ，30x Q ∈ D ．x ∀∈RQ ，30x Q ∉8．（2020·全国高考真题（理））设有下列四个命题： p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内. p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面. p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行. p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ∈平面α，则m ∈l . 则下述命题中所有真命题的序号是__________. ①14p p ∧②12p p ∧③23p p ⌝∨④34p p ⌝∨⌝9．（2012·北京高考真题（理））已知()(2)(3),()22=-++=-x f x m x m x m g x ，若同时满足条件：①,()0∀∈<x R f x 或()0<g x ；②(,4),()()0∃∈-∞-<x f x g x .则m 的取值范围是________________.1．（2021·四川高三二模（理））已知命题:1p x ∀≥，ln 0x ≥，则p ⌝为（） A ．1x ∃<，ln 0x >”是“22x y >”的必要不充分条件；命题q ：“0x ∀>，21x >”的否定是“0x ∃≤，21x ≤”，则下列命题为真命题的是（） A ．p q ∧B ．()()p q ⌝∧⌝C ．p q ∨D ．()p q ∧⌝3．（2020·陕西西安市·高三二模（理））下列说法中正确的是（） A ．“sin sin αβ=”是“αβ=”的充要条件B ．命题:p x R ∀∈，20x >，则0:p x R ⌝∃∈，020x <C ．命题“若0a b >>，则11a b<”的逆否命题是真命题 D ．“1x >”是“log 0a x >（0a >且1)a ≠）”成立的充分不必要条件4．（2021·四川泸州市·泸县五中高三一模（理））已知命题:0p x ∀≥，1x e ≥或sin 1x ≤，则p ⌝为( )A ．0x ∃<，1x e <且sin 1x >B ．0x ∃<，1x e ≥或sin 1x ≤C ．0x ∃≥，1x e <或sin 1x >D ．0x ∃≥，1x e <且sin 1x >5．（2021·黑龙江大庆市·铁人中学高三一模（理））下列命题为真命题的是（） A ．函数()()11x f x e x x R -=--∈有两个零点B ．“0x R ∃∈，00x ex >”的否定是“0x R ∀∈，00x ex <”C ．若0a b <<，则11a b< D ．幂函数()22231m m y m m x--=--在()0,x ∈+∞上是减函数，则实数1m =-6．（2021·郑州市·河南省实验中学高三其他模拟（理））下列四个命题中，正确的是（）A ．命题“2,0x x x ∃∈->R ”的否定是“2,0x x x ∀∈-<R ”B ．在公差为d 的等差数列{}n a 中，11342,,,a a a a =成等比数列，则公差d 为12- C ．“命题p q ∨为真”是“命题p q ∧为真”的充分不必要条件D ．命题“若a b >，则221a b >-”的否命题为“若a b ，则221a b -”7．（2021·黑龙江大庆市·铁人中学高三其他模拟（理））命题“x R ∀∈，220210x x -+>”的否定是（）A ．0x R ∃∈，00220210x x -+”的一个必要不充分条件是“2018x >”，则下列命题为真命题的是（） A ．q ⌝B ．p q ∧C ．()p q ⌝∧D ．()p q ∨⌝9．（2020·哈尔滨市第一中学校高三一模（理））已知命题p ：棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥；命题q ：棱柱的所有的侧面都是长方形或正方形，下列命题为真命题的是（） A ． p q ∧ B ． p q ⌝∧ C ． p q ∧⌝D ． p q ⌝∧⌝10．（2020·陕西西安市·西安中学高三其他模拟（理））下列命题中错误的是（） A ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题是真命题 B ．命题“0000,ln 1x x x ∃>=-”的否定是“0000,ln 1x x x ∀>≠-” C ．若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题D ．已知00x >，则“00x x a b >”是“0a b >>”的必要不充分条件11．（2020·江西省吉水中学高三月考（理））已知命题:p 函数12x y a +=-(0a >且1a ≠)恒过点(1,2)；命题:q 若函数(1)f x -为偶函数，则()f x 的图像关于直线1x =-对称，则下列命题是真命题的是（） A ．p 且qB ．p 且q ⌝C ．p ⌝且qD ．p ⌝且q ⌝12．（2021·湖南高三其他模拟）（多选）命题“2[1,2],x x a ∃∈≤”为真命题的一个充分不必要条件是（） A ．1a ≥B ．4a ≥C ．2a ≥-D ．4a =参考答案跟踪训练1．D 【分析】根据充分条件和必要条件的定义可判断选项A ，根据逆否命题的定义可判断选项B ，根据特称命题的否定是全称命题即可判断选项C ，根据复合命题的真假判断命题的真假可判断选项D ，进而可得正确选项. 【详解】对于选项A ：1a >可得11a <，但11a <可得1a >或0a <，所以“1a >”是“11a<”的充分不必要条件，所以选项A 说法是正确的，对于选项B ：“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠” 所以选项B 说法是正确的，对于选项C ：命题p ：x ∃∈R ，使得210x x ++<，则p ⌝：x ∀∈R ，均有210x x ++≥，所以选项C 说法是正确的，对于选项D ：若p q ∧为假命题，则p 和q 至少有一个为假命题，不一定都是假命题，所以选项D 说法是错误的，故选：D. 2．D 【分析】先判断命题p 与q 的真假，再根据真值表判断复合命题的真假可得答案. 【详解】命题p ：若直线//m 平面α，直线n ⊂α，则m 与n 平行或异面，故命题p 为假命题．命题q ：若平面α⊥平面β，直线m α⊂，n β⊂，则m 与n 平行或异面或相交，m 与n 不一定垂直，故命题q 为假命题．所以p ⌝，q ⌝为真命题．所以p q ∨为假命题，()p q ∧⌝为假命题，()p q ⌝∧为假命题，()()p q ⌝∧⌝为真命题．故选：D．3．C【分析】m>，即可判定A的正误；根据含有一个量词命题的否定原则，即可判定B的正误；根据20根据p或q为真命题，分析可得p、q的真假，即可判定C的正误；根据充分、必要条件的定义，即可判定D的正误，即可得答案.【详解】m>，若am2<bm2，则a<b为真命题，故A正确；对于A：因为20对于B：因为特称命题的否定就是全称命题，所以命题“∈x0∈R，20x＋x0－2>0”的否定是：“∈x∈R，x2＋x－2≤0”，故B正确；对于C：命题“p或q”为真命题，那么p，q有一个真，或均为真命题，故C错误；对于D：“x>3”是“x>2”的充分不必要条件，故D正确.故选：C4．D【分析】对于A，由逆否命题的定义判断即可；对于B，利用充分条件和必要条件的定义判断即可；对于C，全称命题否定为特称命题；对于D，由“p∈q”为真命题，可得p、q中至少有一个为真命题【详解】解：对于A，命题“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”的逆否命题是“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”，所以A正确；x<，所以“x>2”是“x2对于B，当x>2时，x2－3x＋2>0成立，而当x2－3x＋2>0时，x>2或1－3x＋2>0”的充分不必要条件，所以B正确；对于C，由命题p：∈x∈R，x2＋x＋1≠0，可得⌝p：∈x0∈R，20x＋x0＋1＝0，所以C正确；对于D，若“p∈q”为真命题，则p、q中至少有一个为真命题，所以D错误．故选：D．5．C【分析】分类讨论去绝对值可得函数()f x 的图象，根据图象以及椭圆和双曲线的性质可得答案. 【详解】当0,0x y ≥≥时，方程142x x y y +=化为221(0,0)42x y x y +=≥≥表示椭圆的一部分；当0,0x y ><时，方程142x x y y +=化为22142x y -=(0,0)x y ><表示双曲线的一部分；当0,0x y <>时，方程142x x y y +=化为22124y x -=(0,0)x y <>表示双曲线的一部分；所以函数()y f x =的图象如图所示：1P ：12,x x R ∀∈，12x x ≠，恒有()()12120f x f x x x -<-成立，等价于函数()f x 在R 上为单调递减函数，由图可知，命题1P 正确；2P ：()y f x =的图象上存在一点P ，使得P .根据椭圆性质可知，椭圆22142x y +=短轴端点，根据双曲线的性质可知，双曲线的顶点(2,0)到原点的距离的最小为2，故函数()y f x =的图象上不存在一点P ，使得P ，命题2P 不正确；3P ：对于x R ∀∈，()20f x x +>恒成立等价于对于x R ∀∈，1()2f x x >-.从图象可知，直线12y x =-的斜率大于双曲线22142x y -=的渐近线y x =的斜率，所以直线12y x =-与曲线22142x y -=(0,0)x y ><有交点，故命题3P 不正确.所以12P P ∧、13P P ∧、13P P ⌝∨不正确，23P P ⌝∨正确. 故选：C 【点睛】关键点点睛：分类讨论去绝对值，作出方程142x x y y+=所确定的图象，利用图象求解是解题关键. 6．②④ 【分析】根据空间基本图形的公理、异面直线的概念及空间中点、线、面的位置关系判断所给四个命题的真假，然后判断与逻辑连接词有关的复合命题的真假. 【详解】对于1p ，利用公理1可知，当一条线上有两个点在一个平面内时，则这条线在这个平面内，故1p 正确；对于2p ，由公理2可知，通过一组相交线或一组平行线有且仅有一个平面，所以2p 为真命题；对于3p ，假设直线l 与平面α相交于点A ，则直线l 与平面α内不过点A 的直线为异面直线，故3p 为假命题；对于4p ，当两条异面直线中的一条与一个平面平行时，另一条直线与这个平面有可能平行也有可能相交，故4p 为假命题；所以14p p ∧为假，12p p ∧为真，23p p ⌝∨为假，34p p ⌝∨⌝为真故答案为：② ④. 7．1143a ≤≤或23a ≥【分析】依据题意知p ，q 均为真命题，再计算p ，q 为真命题时a 的取值范围，求公共解即得结果.【详解】若“p 或q ⌝”与“q ”均为真命题，则p ，q 均为真命题.若命题p 为真命题，即0a >，且满足对任意正实数x ，总有1ax x+≥成立，而a x x +≥=a x x =时等号成立，故min 1a x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则14a ≥. 若命题q 为真命题，即二次函数2()6f x x ax a =-+在区间[]1,2上具有单调性，由对称轴3x a =，故31a ≤或32a ≥，故13a ≤或23a ≥. 由p ，q 均为真命题，知14a ≥，且13a ≤或23a ≥，故1143a ≤≤或23a ≥.故答案为：1143a ≤≤或23a ≥.8．[2,)+∞．【分析】直接利用函数的单调性和定义域，分别求得命题,p q 为真命题时m 的取值范围，结合复合命题的真值表，分类讨论，即可求解. 【详解】命题p ：函数()log (2)m f x mx =-在[0,1]上单调递减，由于0m >，设()2u x mx =-，在[0,1]x ∈上单调递减，所以120m m >⎧⎨->⎩，解得12m <<．命题q ：函数()g x =R ，所以22k x x m =++满足440m ∆=-<，解得1m ．由于p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，故①p 真q 假，121m m <<⎧⎨≤⎩，故m φ∈；②p 假q 真，121m m m ≤≥⎧⎨>⎩或，解得2m ≥．综上所述：参数m 的取值范围为[2,)+∞．故答案为：[2,)+∞． 9．[]1,2 【分析】分别求得,p q 为真命题时a 的取值范围，根据复合命题真假性可知,p q 一真一假，由此可构造不等式组求得结果. 【详解】若命题p 为真，则216400a a ⎧-<⎨>⎩，解得：2a >；若命题q 为真，则221a x x≥-+在(),1x ∈-∞-时恒成立， 221y x x =-+在(),1-∞-上为单调递增，2212211x x ⎛⎫∴-+<-++= ⎪⎝⎭，1a ∴≥；若p q ∨为真，p q ∧为假，则,p q 一真一假，若p 真q 假，则21a a >⎧⎨<⎩，解集为∅；若p 假q 真，则21a a ≤⎧⎨≥⎩，解得：12a ≤≤；综上所述：实数a 的取值范围为[]1,2. 故答案为：[]1,2. 【点睛】关键点点睛：本题考查根据复合命题真假性求解参数范围的问题，解题关键是能够根据对数型复合型函数的定义域为R 、函数中的恒成立问题的求解方法求得两个命题分别为真时参数的取值范围. 10．1,016⎡⎫-⎪⎢⎣⎭先判断p 、q 的真假；分别由p 真求出m 的范围、q 真求出m 的范围，取交集. 【详解】若“p 且q ”为真命题，则,p q 均为真命题.11:[1,3],()102x p x m -∀∈+-<，111()2x m -∴<-在[1,3]x ∈恒成立，111()2x y -=-是增函数，所以当x =1时有min 0y =，0m ∴<2:,40q x R mx x ∃∈+-=，240mx x ∴+-=有解，即0m =或01160m m ≠⎧⎨∆=+≥⎩，116m ∴≥-. ,p q 均为真命题，1016m ∴-≤<.故答案为：1[,0)16-【点睛】由复合命题真假求参数的范围:(1) 由复合命题真假判断各个简单命题的真假; (2)分别根据各个简单命题的真假求出参数的范围； (3)对各个范围取交集.真题再现1．D 【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以设x∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∈x∈A ，2x∈B ，则￢p ：∈x∈A ，2x∈B ． 2．C 【详解】注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定．“对任意的x ∈R ，3210x x -+≤”的否定是:存在x ∈R ，3210x x -+> 选C. 3．D试题分析：∀的否定是∃，∃的否定是∀，2n x ≥的否定是2n x <．故选D ．【考点】全称命题与特称命题的否定．【方法点睛】全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．对含有存在（全称）量词的命题进行否定需要两步操作： ①将存在（全称）量词改成全称（存在）量词；②将结论加以否定． 4．D 【详解】试题分析：∀的否定是∃，∃的否定是∀，2n x ≥的否定是2n x <．故选D ．【考点】全称命题与特称命题的否定．【方法点睛】全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．对含有存在（全称）量词的命题进行否定需要两步操作： ①将存在（全称）量词改成全称（存在）量词；②将结论加以否定． 5．D 【详解】根据全称命题的否定是特称命题，可知命题“()**,n N f n N ∀∈∈且()f n n ≤的否定形式是()**00,n N f n N ∃∈∉或()00f n n >故选D.考点：命题的否定 6．C 【详解】试题分析：因为全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，所以,只需将原命题中的条件全称改特称，并对结论进行否定，故答案为C ．考点：全称命题与特称命题的否定． 7．D本题主要考察常用逻辑用语，考察对命题的否定和否命题的区别. 根据对命题的否定知，是把谓词取否定，然后把结论否定．因此选D8．①③④ 【分析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题1p 的真假；利用三点共线可判断命题2p 的真假；利用异面直线可判断命题3p 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题4p 的真假.再利用复合命题的真假可得出结论. 【详解】对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为α；若3l 与1l 相交，则交点A 在平面α内，同理，3l 与2l 的交点B 也在平面α内，所以，AB α⊂，即3l α⊂，命题1p 为真命题；对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题2p 为假命题；对于命题3p ，空间中两条直线相交、平行或异面，命题3p 为假命题；对于命题4p ，若直线m ⊥平面α，则m 垂直于平面α内所有直线，直线l ⊂平面α，∴直线m ⊥直线l ，命题4p 为真命题.综上可知，，为真命题，，为假命题，14p p ∧为真命题，12p p ∧为假命题，23p p ⌝∨为真命题，34p p ⌝∨⌝为真命题.故答案为：①③④. 【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题. 9．()4,2∈--m 【解析】根据()220xg x =-<可解得x<1,由于题目中第一个条件的限制，导致f(x)在1x ≥是必须是()0f x <，当m=0时，()0f x =不能做到f(x)在1x ≥时()0f x <，所以舍掉，因此，f(x)作为二次函数开口只能向下，故m<0,且此时2个根为122,3x m x m ==--，为保证条件成立，只需1221{31x m x m =<=--<1{24m m <⇒>-，和大前提m<0取交集结果为40m -<<；又由于条件2的限制，可分析得出在(,4),()x f x ∃∈-∞-恒负，因此就需要在这个范围内g(x)有得正数的可能，即-4应该比12x x 两个根中较小的来的大，当(1,0)m ∈-时，34m --<-，解得交集为空，舍．当m=-1时，两个根同为24->-，舍．当(4,1)m ∈--时，24m <-，解得2m <-，综上所述，(4,2)m ∈--．【考点定位】本题考查学生函数的综合能力，涉及到二次函数的图像开口，根大小，涉及到指数函数的单调性，还涉及到简易逻辑中的“或”，还考查了分类讨论思想．模拟检测1．B 【分析】根据全称命题的否定可直接求解. 【详解】根据全称命题的否定可知，p ⌝为1,ln 0x x ∃≥<. 故选：B. 2．B 【分析】先判断命题p 和命题q 的真假，再根据复合命题真假的判定方法，即可得出结果. 【详解】根据不等式的性质，若0x y >>，则22x y >；反之，若22x y >，则220x y ->，即()()0x y x y +->，因为,x y 正负不确定，所以不能推出0x y >>，因此“0x y >>”是“22x y >”的充分不必要条件，即命题p 为假命题；所以p ⌝为真命题；命题q ：“0x ∀>，21x >”的否定是“0x ∃>，21x ≤”，故命题q 为假命题；q ⌝为真命题；所以p q ∧为假，p q ∨为假，()p q ∧⌝为假，()()p q ⌝∧⌝为真. 即ACD 错，B 正确. 故选：B. 【点睛】本题主要考查判断复合命题的真假，考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题型. 3．C 【分析】逐项进行判断，对A 取特殊值可得正误，对B 按照命题否定的定义可得正误，对C 利用原命题的真假判断逆否命题真假，对D ，根据对数底数介于0与1之间即可判断. 【详解】对A ，若2,33ππαβ==，可知sin sin αβ=，且αβ≠，故A 错对B ，则0:p x R ⌝∃∈，020x ≤，故B 错对C ，命题“若0a b >>，则11a b<”是真命题，根据原命题与逆否命题同真同假，故C 正确对D ，若01a <<时，当1x >时，log 0a x <，故“1x >”不能推出“log 0a x >，所以D 错故选:C4．D 【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论. 【详解】命题:0p x ∀≥，1x e ≥或sin 1x ≤，为全称命题，则p ⌝为：0x ∃≥，1x e <且sin 1x >，故选：D ． 5．A 【分析】对于A ，用导数法判断；对于B ，由含有一个量词的命题的命题的否定的定义判断；对于C ，作差比较；对于D ，根据幂函数的定义和在()0,x ∈+∞上是减函数求解判断. 【详解】对于A ，函数()()11x f x ex x R -=--∈，()1e 1x f x -'=-，当()0f x '>得1x >，当()0f x '<得1x <，所以()f x 在1x >是单调递增函数，在1x <是单调递减函数，所以()f x 在1x =时有最小值，即()011110f e =--=-<，()3344150f e e =--=->，()3322110f e e ---=+-=+>，所以()f x 有两个零点，正确；对于B ，“0x R ∃∈，00x e x >”的否定是x R ∀∈，x e x ≤，错误；对于C ，11b a a b ab --=，因为0a b <<，所以0,0b a ab ->>，所以110->a b ，11a b>，错误；对于D ，由已知得2211230m m m m ⎧--=⎨--<⎩，无解，幂函数()22231m m y m m x --=--在()0,x ∈+∞上是减函数，则实数1m =-，错误. 故选：A 6．D 【分析】由命题的否定，等差数列的基本量运算，充分必要条件的定义，否命题的定义判断各选项．【详解】命题“2,0x x x ∃∈->R ”的否定是“2,0x x x ∀∈-≤R ”，A 错；在公差为d 的等差数列{}n a 中，11342,,,a a a a =成等比数列，则2(22)2(23)d d +=+，由12d =-或0d =，B 错； “命题p q ∨为真”是真命题，则p 和q 中只要有一个为真即可，若一真一假，则“命题p q ∧为假，故不是充分条件，C 错；命题“若a b >，则221a b >-”的否命题为“若a b ，则221a b -”，D 正确．故选：D ． 7．B 【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解. 【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“x R ∀∈，220210x x -+>”的否定是“0x R ∃∈，20020210x x -+≤”.故选：B. 8．C 【解析】分析：先判断命题p 与命题q 的真假，然后利用真值表作出判断. 详解：命题p ：“001R,01x x ∃∈<-”的否定是“1R,0x 11x x ∀∈≥=-或”；故命题p 为假命题；命题q ：“2019x >”的一个必要不充分条件是“2018x >”，故命题q 为真命题， ∈只有C 选项正确. 故选C点睛：本题主要考查复合命题真假判断，结合条件分别判断命题p ，q 的真假是解决本题的关键．此类问题综合性较强涉及的知识点较多． 9．D 【分析】根据棱柱和棱锥的几何特征，对命题逐一分析，结合复合命题真假的判断原则，即可判断选择. 【详解】对于命题p ，因为棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，故棱锥的侧面为等边三角形，如果该棱锥是六棱锥，则六个侧面顶角的和为360︒，但六棱锥的侧面的顶角和小于360︒，矛盾，故p 为假命题.对于命题q ，斜棱柱有侧面不是长方形，故命题q 为假命题. 故p q ⌝∧⌝为真命题. 故选：D. 【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及棱柱和棱锥的几何特征，属综合基础题. 10．C 【分析】对于A ，根据逆否命题的等价性进行判断；对于B ，根据含有量词的命题的否定进行判断；对于C ，根据复合命题的真假关系进行判断；对于D ，利用必要不充分条件进行判断. 【详解】对于A ，若x=y ，则sinx=siny ，显然原命题正确，则逆否命题也为真命题．故A 正确；对于B ，命题“0000,ln 1x x x ∃>=-”的否定是“0000,ln 1x x x ∀>≠-”，故B 正确；对于C ，若p q ∨为真命题，则p q 与至少有一个是真命题，故p q ∧不一定为真命题，故C 错误；对于D ，充分性：当044b 2x a ==-=，，时，显然0a b >>不成立，即充分性不具备；必要性：因为00x >，0a b >>根据幂函数的单调性，显然00x x a b >，即必要性具备，故D 正确. 故选C 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及复合命题的真假关系，含有量词的命题的否定，充要条件以及幂函数的性质，比较基础． 11．C。

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

第3节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词最新考纲 1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；2.理解全称量词与存在量词的意义；3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.知识梳理1.简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词.(2)命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断2.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示.(2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示.3.全称命题和特称命题[常用结论与微点提醒]1.含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p 与綈p→真假相反.2.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)命题“5>6或5>2”是假命题.()(2)命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是真命题.()(3)“长方形的对角线相等”是特称命题.()(4)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，綈p(x)的真假性相反.()解析(1)错误.命题p∨q中，p，q有一真则真.(2)错误.p∧q是真命题，则p，q都是真命题.(3)错误.命题“长方形的对角线相等”是全称命题.答案(1)×(2)×(3)×(4)√2.(选修1－1P26A组T3改编)命题p：∃x0∈R，x0>1的否定是()A.綈p：∀x∈R，x≤1B.綈p：∃x∈R，x≤1C.綈p：∀x∈R，x<1D.綈p：∃x∈R，x<1解析特称命题的否定为全称命题.∴綈p：∀x∈R，x≤1.答案 A3.(2018·贵阳调研)下列命题中的假命题是()A.∃x0∈R，lg x0＝1B.∃x0∈R，sin x0＝0C.∀x∈R，x3＞0D.∀x∈R，2x＞0解析当x＝10时，lg 10＝1，则A为真命题；当x＝0时，sin 0＝0，则B为真命题；当x ＜0时，x 3＜0，则C 为假命题；由指数函数的性质知，∀x ∈R ，2x ＞0，则D 为真命题.故选C.答案 C4.(2017·山东卷)已知命题p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋1≥0；命题q ：若a 20恒成立，∴p 是真命题，綈p 为假命题.∵当a ＝－1，b ＝－2时，(－1)2<(－2)2，但－1>－2，∴q 为假命题，綈q 为真命题.根据真值表可知p ∧(綈q )为真命题，p ∧q ，(綈p )∧q ，(綈p )∧(綈q )为假命题.答案 B5.若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________. 解析 ∵函数y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增函数，∴y max ＝tan π4＝1，依题意，m ≥y max ，即m ≥1.∴m 的最小值为1.答案 1考点一含有逻辑联结词的命题的真假判断【例1】 (1)设a ，b ，c 是非零向量.已知命题p: 若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是( )A.p ∨qB.p ∧qC.(綈p )∧(綈q )D.p ∧(綈q )(2)(2018·深圳联考)已知命题p ：不等式ax 2＋ax ＋1>0的解集为R ，则实数a ∈(0，4)，命题q ：“x 2－2x －8>0”是“x >5”的必要不充分条件，则下列命题正确的是( )A.p ∧qB.p ∧(綈q )C.(綈p )∧(綈q )D.(綈p )∧q解析 (1)取a ＝c ＝(1，0)，b ＝(0，1)，显然a ·b ＝0，b ·c ＝0，但a ·c ＝1≠0，∴p 是假命题.又a ，b ，c 是非零向量，由a ∥b 知a ＝x b ，由b ∥c 知b ＝y c ，∴a ＝xy c ，∴a ∥c ，∴q 是真命题.综上知p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题.又∵綈p 为真命题，綈q 为假命题.∴(綈p )∧(綈q )，p ∧(綈q )都是假命题.(2)命题p ：当a ＝0时，有1>0恒成立；当a ≠0时，得⎩⎨⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0，解之得0<a <4. ∴实数a ∈[0，4)，因此p 假，綈p 是真命题.命题q ：由x 2－2x －8>0，得x >4或x <－2.因此“x 2－2x －8>0”是“x >5”的必要不充分条件，q 为真命题.故(綈p )∧q 为真命题.答案 (1)A (2)D规律方法 1.“p∨q”、“p∧q”、“綈p”形式命题真假的判断关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解，其操作步骤是：(1)明确其构成形式；(2)判断其中命题p，q的真假；(3)确定“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假.2.p且q形式是“一假必假，全真才真”，p或q形式是“一真必真，全假才假”，非p则是“与p的真假相反”.【训练1】(2018·郑州调研)命题p：函数y＝log2(x－2)的单调增区间是[1，＋∞)，命题q：函数y＝13x＋1的值域为(0，1).下列命题是真命题的为()A.p∧qB.p∨qC.p∧(綈q)D.綈q解析由于y＝log2(x－2)在(2，＋∞)上是增函数，∴命题p是假命题.由3x>0，得3x＋1>1，所以0<13x＋1<1，所以函数y＝13x＋1的值域为(0，1)，故命题q为真命题.所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，p∧(綈q)为假命题，綈q为假命题. 答案 B考点二含有一个量词命题的否定及真假判定【例2】(1)命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是()A.∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)＞nB.∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)＞nC.∃n0∈N*，f(n0)∉N*且f(n0)＞n0D.∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)＞n0(2)(2018·昆明一中质检)已知命题p：∀x∈R，x＋1x≥2；命题q：∃x0∈(0，＋∞)，x20＞x30，则下列命题中为真命题的是()A.(綈p )∧qB.p ∧(綈q )C.(綈p )∧(綈q )D.p ∧q解析 (1)全称命题的否定为特称命题，∴命题的否定是：∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0.(2)对于p ：当x ＝－1时，x ＋1x ＝－2，∴p 为假命题.取x 0∈(0，1)，此时x 20＞x 30，∴q 为真命题.从而綈p 为真命题，(綈p )∧q 为真命题.答案 (1)D (2)A规律方法 1.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论.2.判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立.【训练2】命题p ：存在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，使sin x ＋cos x >2；命题q ：“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是“∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1”，则四个命题：( 綈p )∨(綈q )，p ∧q ，(綈p )∧q ，p ∨(綈q )中，正确命题的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2，所以命题p 是假命题；又特称命题的否定是全称命题，因此命题q 为真命题.则(綈p )∨(綈q )为真命题，p ∧q 为假命题，(綈p )∧q 为真命题，p ∨(綈q )为假命题.∴四个命题中正确的有2个命题. 答案 B考点三由命题的真假求参数的取值范围【例3】 (1)已知命题p ：“∀x ∈[0，1]，a ≥e x ”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋4x 0＋a＝0”.若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A.(4，＋∞)B.[1，4]C.[e ，4]D.(－∞，－1) (2)已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －m ，若对∀x 1∈[0，3]，∃x 2∈[1，2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________.解析 (1)由题意知p 与q 均为真命题，由p 为真，可知a ≥e ，由q 为真，知x 2＋4x ＋a ＝0有解，则Δ＝16－4a ≥0，∴a ≤4.综上可知e ≤a ≤4.(2)当x ∈[0，3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1，2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由f (x )min≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥14.答案 (1)C (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ 规律方法 1.由含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤：(1)求出每个命题是真命题时参数的取值范围；(2)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围.2.全称命题可转化为恒成立问题含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的最值解决.【训练3】本例(2)中，若将“∃x 2∈[1，2]”改为“∀x 2∈[1，2]”，其他条件不变，则实数m 的取值范围是_________________________________________.解析当x ∈[1，2]时，g (x )max ＝g (1)＝12－m ，由f (x )min ≥g (x )max ，得0≥12－m ，∴m ≥12.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞基础巩固题组(建议用时：25分钟)一、选择题1.(2018·咸阳模拟)命题p：∀x<0，x2≥2x，则命题綈p为()A.∃x0<0，x20≥2x0B.∃x0≥0，x20<2x0C.∃x0<0，x20<2x0D.∃x0≥0，x20≥2x0解析全称命题的否定，应先改写量词，再否定结论，∴綈p：∃x0<0，x20<2x0.答案 C2.(2015·全国Ⅰ卷)设命题p：∃n∈N，n2>2n，则綈p为()A.∀n∈N，n2>2nB.∃n∈N，n2≤2nC.∀n∈N，n2≤2nD.∃n∈N，n2＝2n解析命题p的量词“∃”改为“∀”，“n2>2n”改为“n2≤2n”，∴綈p：∀n∈N，n2≤2n.答案 C3.若命题p：∀x∈R，log2x＞0，命题q：∃x0∈R，2x0＜0，则下列命题为真命题的是()A.p∨(綈q)B.p∧qC.(綈p)∧qD.p∨q解析命题p和命题q都是假命题，则命题綈p和命题綈q都是真命题，故选A.答案 A4.第十三届全运会于2017年8月27日在天津市隆重开幕，在体操预赛中，有甲、乙两位队员参加.设命题p是“甲落地站稳”，q是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为()A.(綈p )∨(綈q )B.p ∨(綈q )C.(綈p )∧(綈q )D.p ∨q解析命题“至少有一位队员落地没有站稳”包含以下三种情况：“甲、乙落地均没有站稳”、“甲落地没站稳，乙落地站稳”、“乙落地没有站稳，甲落地站稳”，故可表示为(綈p )∨(綈q ).或者，命题“至少有一位队员落地没有站稳”等价于命题“甲、乙均落地站稳”的否定，即“p ∧q ”的否定选A.答案 A5.(2018·成都调研)已知命题p ：对任意x ∈R ，总有|x |≥0；q ：x ＝1是方程x ＋2＝0的根.则下列命题为真命题的是( )A.p ∧(綈q )B.(綈p )∧qC.(綈p )∧(綈q )D.p ∧q解析由题意知命题p 是真命题，命题q 是假命题，故綈p 是假命题，綈q 是真命题，由含有逻辑联结词的命题的真值表可知p ∧(綈q )是真命题.答案 A6.命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，若綈p 是真命题，则实数a 的取值范围是( )A.(0，4]B.[0，4]C.(－∞，0]∪[4，＋∞)D.(－∞，0)∪(4，＋∞) 解析因为命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，所以命题綈p ：∃x 0∈R ，ax 20＋ax 0＋1<0，则a <0或⎩⎨⎧a >0，Δ＝a 2－4a >0，解得a <0或a >4.答案 D7.以下四个命题：①∀x ∈R ，x 2－3x ＋2>0恒成立；②∃x ∈Q ，x 2＝2；③∃x ∈R ，x 2＋1＝0；④∀x ∈R ，4x 2>2x －1＋3x 2，其中真命题的个数为( )A.0B.1C.2D.4解析 ∵Δ＝(－3)2－4×2>0, ∴当x >2或x <1时，x 2－3x ＋2>0才成立，∴①为假命题；当且仅当x ＝±2时，x 2＝2，∴不存在x ∈Q ，使得x 2＝2，∴②为假命题；对∀x ∈R ，x 2＋1≠0，∴③为假命题；④中，当x ＝1时，4x 2＝2x －1＋3x 2；则④为假命题.答案 A8.(2018·北京朝阳区模拟)已知函数f (x )＝a 2x －2a ＋1.若命题“∀x ∈(0，1)，f (x )≠0”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 B.(1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞) 解析 ∵函数f (x )＝a 2x －2a ＋1，命题“∀x ∈(0，1)，f (x )≠0”是假命题，∴原命题的否定是：“∃x 0∈(0，1)，使f (x 0)＝0”是真命题，∴f (1)f (0)<0，即(a 2－2a ＋1)(－2a ＋1)<0，∴(a －1)2(2a －1)>0，解得a >12，且a ≠1，∴实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞). 答案 D二、填空题9.(2018·河北“五个一”名校联考改编)命题“∃x 0∈R ，1<f (x 0)≤2”的否定是________.答案 ∀x ∈R ，f (x )≤1或f (x )>210.若命题“∃x 0∈R ，使得x 20＋(a －1)x 0＋1＜0”是真命题，则实数a 的取值范围是________.解析 ∵“∃x 0∈R ，使得x 20＋(a －1)x 0＋1＜0”是真命题，∴Δ＝(a －1)2－4＞0，即(a －1)2＞4，∴a －1＞2或a －1＜－2，∴a ＞3或a ＜－1.答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)11.(2018·石家庄调研)已知下列四个命题：①“若x 2－x ＝0，则x ＝0或x ＝1”的逆否命题为“若x ≠0且x ≠1，则x 2－x ≠0”； ②“x <1”是“x 2－3x ＋2>0”的充分不必要条件；③命题p ：存在x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1<0，则綈p ：任意x ∈R ，都有x 2＋x ＋1≥0；④若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题.其中为真命题的是________(填序号).解析显然①③正确；②中，x 2－3x ＋2>0⇔x >2或x <1.∴“x <1”是“x 2－3x ＋2>0”的充分不必要条件，②正确；④中，若p ∧q 为假命题，则p ，q 至少有一个假命题，④错误.答案 ①②③12.已知命题p ：x 2＋2x －3＞0；命题q ：13－x＞1，若“(綈q )∧p ”为真，则x 的取值范围是________.解析因为“(綈q )∧p ”为真，即q 假p 真，而q 为真命题时，x －2x －3＜0，即2＜x ＜3，所以q 为假命题时，有x ≥3或x ≤2；p 为真命题时，由x 2＋2x －3＞0，解得x ＞1或x ＜－3，由⎩⎨⎧x ＞1或x ＜－3，x ≥3或x ≤2，得x ≥3或1<x ≤2或x <－3，所以x 的取值范围是{x |x ≥3或1<x ≤2或x <－3}.答案 (－∞，－3)∪(1，2]∪[3，＋∞)能力提升题组(建议用时：10分钟)13.命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( )A.∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2B.∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 2C.∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2D.∃x 0∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 20解析改变量词，否定结论.∴綈p 应为：∃x 0∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 20.答案 D14.(2018·江西红色七校联考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3x ，x <0，m －x 2，x ≥0，给出下列两个命题：命题p ：∃m ∈(－∞，0)，方程f (x )＝0有解，命题q ：若m ＝19，则f (f (－1))＝0，那么，下列命题为真命题的是( )A.p ∧qB.(綈p )∧qC.p ∧(綈q )D.(綈p )∧(綈q )解析因为3x >0，当m <0时，m －x 2<0，所以命题p 为假命题；当m ＝19时，因为f (－1)＝3－1＝13，所以f (f (－1))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝19－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝0，所以命题q 为真命题，逐项检验可知，只有(綈p )∧q 为真命题.答案 B15.(2018·安徽江南十校联考)已知命题p ：∃x 0∈R ，(m ＋1)(x 20＋1)≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立.若p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围为________.解析由命题p ：∃x 0∈R ，(m ＋1)(x 20＋1)≤0可得m ≤－1；由命题q ：∀x ∈R ，x2＋mx ＋1>0恒成立，即Δ＝m 2－4<0，可得－2<m <2.因为p ∧q 为假命题，所以m ≤－2或m >－1.答案 (－∞，－2]∪(－1，＋∞)16.(2018·郑州质量预测)已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，∃x 2∈[2，3]，使得f (x 1)≤g (x 2)，则实数a 的取值范围是________. 解析依题意知f (x )max ≤g (x )max .∵f (x )＝x ＋4x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上是减函数， ∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝172.又g (x )＝2x ＋a 在[2，3]上是增函数，∴g (x )max ＝8＋a ，因此172≤8＋a ，则a ≥12.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞。

第二讲：逻辑联结词、全称量词与存在量词

第二讲：逻辑联结词、全称量词与存在量词 ★知识梳理★一．逻辑联结词1．逻辑联结词：在数学中，有时会使用一些联结词，如.2．“p 且q ”记作；“p 或q ”记作；“非p ”记作.3．命题q p ∧，q p ∨和p ⌝的真假判断（1）当q p ,都是真命题时，q p ∧为；q p ∨为；p ⌝为.（2）当q p ,有一个是真命题时，q p ∧为；q p ∨为 .(3) 当q p ,都是假命题时，q p ∧为；q p ∨为；p ⌝为.上述语句可以描述为：对于q p ∧而言“一假必假”；对于q p ∨而言“一真必真”；对于p ⌝而言“真假相反”。

可以用下表来判断：二．全称量词与存在量词1．全称量词：短语、在逻辑中通常叫做全称量词，用符号来表示；含有全称量词的命题，叫做.全称命题“对M 中任意一个x ，有)(x p 成立”可用符号简记为.2．存在量词：短语、在逻辑中通常叫做存在量词，用符号来表示；含有存在量词的命题，叫做.存在命题“存在M 中一个x ，使)(x p 成立”可用符号简记为.3．含有一个量词的命题的否定：含有一个量词的全称命题的否定，有以下结论：全称命题p ：)(,x p M x ∈∀，它的否定p ⌝：；即全称命题的否定是.含有一个量词的特称命题的否定，有以下结论：全称命题p ：)(,x p M x ∈∃，它的否定p ⌝：；即全称命题的否定是.说明1．常用的正面叙述词语和它的否定词语的关系（如下表）：2．对逻辑联结词“或”“且”“非”的理解在集合部分中的学习的“并集”“交集”“补集”与逻辑联结词中的“或”“且”“非”关系十分密切，对于理解逻辑联结词“或”“且”“非”很有用处：（1）“或”与日常生活中的用语“或”的意义不同，在日常生活用语中的“或”带有不可兼有的意思，而逻辑用语中的“或”可以同时兼有。

对于逻辑用语“或”的理解我们可以借助于集合中的并集的概念：在A x x B A ∈=|{ 或}B x ∈中的“或”是指 “A x ∈”与“B x ∈”中至少有一个成立，可以是“A x ∈且B x ∉”，也可以是“A x ∉且B x ∈”，也可以是“A x ∈且B x ∈”，逻辑用语中的“或”与并集中的“或”的含义是一样的；（2）对“且”的理解，可以联想到集合中的交集的概念：在A x x B A ∈=|{ 且}B x ∈的“且”是指“A x ∈”、“B x ∈”都要满足的意思，即x 既要属于集合A ，又要属于集合B ；（3）对“非”的理解，可以联想到集合中的补集的概念：“非”有否定的意思，一个命题p 经过使用逻辑联结词“非”构成一个复合命题“非p ”，当p 为真时，非p 为假，当p 为假时，非p 为真。

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

2．正确区别：命题的否定与否命题 “否命题”是对原命题“若 p，则 q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非 p”，只是否定命题 p 的结论．命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系．
[10 分] [12 分]
1 c| <c<1. 综上所述，实数 c 的取值范围是 2
[14 分]
答题模板
第一步：求命题 p、q 对应的参数的范围．第二步：求命题￢p、￢q 对应的参数的范围．第三步：根据已知条件构造新命题，如本题构造新命题 “p 真 q 假”或“p 假 q 真”．第四步：根据新命题，确定参数的范围．第五步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范．
要点梳理
3．命题的否定
忆一忆知识要点
(1)全称命题的否定是存在性命题；存在性命题的否定是全称命题． (2)“p 或 q”的否定为：“非 p 且非 q”； “p 且 q”的否定为：“非 p 或非 q”．
[难点正本疑点清源] 1．逻辑联结词“或”的含义有三种逻辑联结词中的 “ 或 ” 的含义，与并集概念中的 “或”的含义相同．如“x∈A 或 x∈B”，是指： x∈A 且 x∉B；x∉A 且 x∈B；x∈A 且 x∈B 三种情况．再如“p 真或 q 真”是指：p 真且 q 假；p 假且 q 真；p 真且 q 真三种情况．因此，在遇到逻辑联结词“或” 时，要注意分析三种情况．
9 ②若 q 正确，则 ax ＋(a－2)x＋ >0 解集为 R. 8 9 当 a＝0 时，－2x＋ >0 不合题意，舍去； 8 a>0 1 9 当 a≠0 时，则，解得 <a<8. 2 2 (a－2) －4a× <0 8

3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

考点三简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词知识梳理1．简单的逻辑联结词(1) 逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联接词．(2) 用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，读作“p且q”．(3) 用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，读作“p或q”．(4) 一个命题p的否定记作¬p，读作“非p”或“p的否定”．2.复合命题及其真假判断(1) 复合命题：由简单命题再加上一些逻辑联结词构成的命题叫复合命题．(2) 复合命题p∧q，p∨q，非p以及其真假判断：简记为：p∧q中p、q有假则假，同真则真；p∨q有真为真，同假则假；p与¬p必定是一真一假．3. 全称量词与存在量词(1) 全称量词与全称命题短语“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，并用符号“∀”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题．全称命题“对M中任意一个x，都有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．(2) 存在量词与存在性命题短语“有一个”“有些”“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，并用符号“∃”表示．含有存在量词的命题，叫做存在性命题．存在性命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为∃x∈M，p(x)，读作“存在一个x属于M，使p(x)成立”．4. 含有一个量词的命题的否定 "x ∈M ，p (x )典例剖析题型一含有一个量词的命题的否定例1 命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )A ．任意一个有理数，它的平方是有理数B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数C ．存在一个有理数，它的平方是有理数D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数变式训练设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：任意x ∈A,2x ∈B ，则( )A ．Øp ：任意x ∈A,2x ∉B B ．Øp ：任意x ∉A,2x ∉BC ．Øp ：存在x ∉A,2x ∈BD ．Øp ：存在x ∈A,2x ∉B题型二复合命题真假判断例2 下列命题中的假命题是( )A ．存在x ∈R ，sin x ＝52B ．存在x ∈R ，log 2x ＝1C ．任意x ∈R ，(12)x >0 D ．任意x ∈R ，x 2≥0 变式训练已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x >0；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．Øp ∧ØqC ．Øp ∧qD ．p ∧Øq题型三由命题真假求参数范围例3 命题“存在x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则实数a 的取值范围为________．变式训练已知命题p ：“任意x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“存在x ∈R ，使x 2＋2ax ＋2－a ＝0”，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是________．当堂练习1. 命题“对任意x ∈R ,都有20x ≥”的否定为（）A ．对任意x ∈R ,使得20x 2，则下列判断正确的是()A．“p或q”为假，“￢q”为假B．“p或q”为真，“￢q”为假C．“p且q”为假，“￢p”为假D．“p且q”为真，“p或q”为假5．已知命题p：若x＞y，则－x＜－y，命题q：若x＞y，则x2＞y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(￢q)；④(￢p)∨q中，真命题是．课后作业一、选择题1．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0 B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0C．存在x∈R，x3－x2＋1>0 D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>02．下列命题中正确的是()A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题B．“x＝5”是“x2－4x－5＝0”的充分不必要条件C．命题“若x<－1，则x2－2x－3>0”的否定为：“若x≥－1，则x2－2x－3≤0”D．已知命题p：∃x∈R，x2＋x－1<0，则￢p：∃x∈R，x2＋x－1≥03．已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是()A．p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D．p∧￢q4．已知命题p：∃x0∈R，x20＋2x0＋2≤0，则￢p为()A．∃x0∈R，x20＋2x0＋2>0 B．∃x0∈R，x20＋2x0＋2<0C．∀x∈R，x2＋2x＋2≤0 D．∀x∈R，x2＋2x＋2>05．对于下述两个命题p：对角线互相垂直的四边形是菱形；q：对角线互相平分的四边形是菱形．则命题“p∨q”、“p∧q”、“￢p”中真命题的个数为()A．0 B．1 C．2 D．36．下列命题中的假命题是()A. ∀x∈R，2x－1>0B. ∀x∈N*，(x－1)2>0C. ∃x∈R，lg x<1D. ∃x∈R，tan x＝2 7．若命题“∃x0∈R，使得x20＋mx0＋2m－3<0”为假命题，则实数m的取值范围是()A．[2,6] B．[－6，－2] C．(2,6) D．(－6，－2)8．已知命题p：∀x∈R,2x2－2x＋1≤0，命题q：∃x∈R，使sin x＋cos x＝2，则下列判断：①p且q是真命题；②p或q是真命题；③q是假命题；④非p是真命题其中正确的是()A．①④B．②③C．③④D．②④二、填空题9．命题“$x∈R，|x|≤0”的否定是“________________”．10．若命题“∃x∈R使x2＋2x＋m≤0”是假命题，则m的取值范围是_____________．11．命题：“对任意k>0，方程x2＋x－k＝0有实根”的否定是________．12．命题“任意两个等边三角形都相似”的否定为___________________．13．若命题“∀x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________．。

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、基础知识1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”❶叫做逻辑联结词．①用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p且q”，记作p∧q；②用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p或q”，记作p∨q；③对命题p的结论进行否定，得到复合命题“非p”，记作非p.❷❶“且”的数学含义是几个条件同时满足，“且”在集合中的解释为“交集”；“或”的数学含义是至少满足一个条件，“或”在集合中的解释为“并集”；“非”的含义是否定，“非p”只否定p的结论，“非”在集合中的解释为“补集”.❷“命题的否定”与“否命题”的区别(1)命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定其条件，也否定其结论．(2)命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假，而否命题与原命题的真假无必然联系．(2)命题真值表：p q p∧q p∨q非p真真真真假假真假真真真假假真假假假假假真命题真假的判断口诀p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与非p→真假相反.2．全称量词与存在量词量词名称常见量词表示符号全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等∀存在量词存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等∃3.全称命题与特称命题命题名称命题结构命题简记全称命题对M中任意一个x，有p(x)成立∀x∈M，p(x)特称命题存在M中的一个x0，使p(x0)成立∃x0∈M，p(x0) 4．全称命题与特称命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，非p(x0)∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，非p(x)二、常用结论含逻辑联结词命题真假的等价关系(1)p∨q真⇔p，q至少一个真⇔(非p)∧(非q)假．(2)p∨q假⇔p，q均假⇔(非p)∧(非q)真．(3)p∧q真⇔p，q均真⇔(非p)∨(非q)假．(4)p∧q假⇔p，q至少一个假⇔(非p)∨(非q)真．考点一判断含有逻辑联结词命题的真假[典例](1)(2017·山东高考)已知命题p：∀x>0，ln(x＋1)>0；命题q：若a>b，则a2>b2.下列命题为真命题的是()A．p∧q B．p∧非qC．非p∧q D．非p∧非q(2)(2019·安徽安庆模拟)设命题p：∃x0∈(0，＋∞)，x0＋1x0>3；命题q：∀x∈(2，＋∞)，x2>2x，则下列命题为真的是()A．p∧(非q)B．(非p)∧qC．p∧q D．(非p)∨q[解析](1)当x>0时，x＋1>1，因此ln(x＋1)>0，即p为真命题；取a＝1，b＝－2，这时满足a>b，显然a2>b2不成立，因此q为假命题．由复合命题的真假性，知B为真命题．(2)对于命题p，当x0＝4时，x0＋1x0＝174>3，故命题p为真命题；对于命题q，当x＝4时，24＝42＝16，即∃x0∈(2，＋∞)，使得2x0＝x20成立，故命题q为假命题，所以p∧(非q)为真命题，故选A.[答案](1)B(2)A[题组训练]1．(2019·惠州调研)已知命题p，q，则“非p为假命题”是“p∧q是真命题”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B充分性：若非p为假命题，则p为真命题，由于不知道q的真假性，所以推不出p∧q是真命题．必要性：p∧q是真命题，则p，q均为真命题，则非p为假命题．所以“非p为假命题”是“p∧q是真命题”的必要不充分条件．2．已知命题p：“若x2－x>0，则x>1”；命题q：“若x，y∈R，x2＋y2＝0，则xy＝0”．下列命题是真命题的是()A．p∨(非q)B．p∨qC．p∧q D．(非p)∧(非q)解析：选B若x2－x>0，则x>1或x<0，故p是假命题；若x，y∈R，x2＋y2＝0，则x ＝0，y＝0，xy＝0，故q是真命题．则p∨q是真命题．考点二全称命题与特称命题[典例](1)命题∀x∈R，e x－x－1≥0的否定是()A．∀x∈R，e x－x－1≤0B．∀x∈R，e x－x－1≥0C．∃x0∈R，e x0－x0－1≤0D．∃x0∈R，e x0－x0－1<0(2)对命题∃x0>0，x20>2x0，下列说法正确的是()A．真命题，其否定是∃x0≤0，x20≤2x0B．假命题，其否定是∀x>0，x2≤2xC．真命题，其否定是∀x>0，x2≤2xD．真命题，其否定是∀x≤0，x2≤2x[解析](1)改全称量词为存在量词，把不等式中的大于或等于改为小于．故选D.(2)已知命题是真命题，如32＝9>8＝23，其否定是∀x>0，x2≤2x.故选C.[答案](1)D(2)C[题组训练]1．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2”的否定形式是()A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n>x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n>x2C．∃x0∈R，∃n∈N*，使得n>x20D．∃x0∈R，∀n∈N*，使得n>x20解析：选D∀改写为∃，∃改写为∀，n≤x2的否定是n>x2，则该命题的否定形式为“∃x0∈R，∀n∈N*，使得n>x20”．2．已知命题p：∃n∈R，使得f(x)＝nxn2＋2n是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增；命题q：“∃x0∈R，x20＋2>3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋2<3x”．则下列命题为真命题的是()A．p∧q B．(非p)∧qC．p∧(非q)D．(非p)∧(非q)解析：选C当n＝1时，f(x)＝x3为幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故p是真命题，则非p是假命题；“∃x0∈R，x20＋2>3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋2≤3x”，故q是假命题，非q是真命题．所以p∧q，(非p)∧q，(非p)∧(非q)均为假命题，p∧(非q)为真命题，选C.考点三根据命题的真假求参数的取值范围[典例]已知p：存在x0∈R，mx20＋1≤0，q：任意x∈R，x2＋mx＋1>0.若p或q为假命题，求实数m的取值范围．[解]依题意知p，q均为假命题，当p是假命题时，则mx2＋1>0恒成立，则有m≥0；当q是真命题时，则Δ＝m2－4<0，－2<m<2.因此由p，q均为假命题得{m≥0，m≤－2或m≥2，即m≥2.所以实数m的取值范围为[2，＋∞)．[变透练清]1.(变条件)若本例将条件“p或q为假命题”变为“p且q为真命题”，其他条件不变，则实数m的取值范围为________．解析：依题意，当p是真命题时，有m<0；当q是真命题时，有－2<m<2，<0，2<m<2，可得－2<m<0.所以m的取值范围为(－2,0)．答案：(－2,0)2.(变条件)若本例将条件“p或q为假命题”变为“p且q为假，p或q为真”，其他条件不变，则实数m的取值范围为________．解析：若p且q为假，p或q为真，则p，q一真一假．当p真q<0，≥2或m≤－2，所以m≤－2；当p假q≥0，2<m<2，所以0≤m<2.所以m的取值范围为(－∞，－2]∪[0,2)．答案：(－∞，－2]∪[0,2)3.(变条件)若本例将条件q变为：存在x0∈R，x20＋mx0＋1<0，其他条件不变，则实数m 的取值范围为________．解析：依题意，当q是真命题时，Δ＝m2－4>0，所以m>2或m<－2.≥0，2≤m≤2，得0≤m≤2，所以m的取值范围为[0,2]．答案：[0,2][课时跟踪检测]1．(2019·西安摸底)命题“∀x>0，xx－1>0”的否定是()A．∃x0≥0，x0x0－1≤0B．∃x0>0,0≤x0≤1C．∀x>0，xx－1≤0D．∀x<0,0≤x≤1解析：选B∵xx－1>0，∴x<0或x>1，∴xx－1>0的否定是0≤x≤1，∴命题的否定是“∃x0>0,0≤x0≤1”．2．下列命题中，假命题的是()A．∀x∈R,21－x>0B．∃a0∈R，y＝xa0的图象关于y轴对称C．函数y＝x a的图象经过第四象限D．直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝12相切解析：选C对于A，由指数函数的性质可知为真命题；对于B，当a＝2时，其图象关于y轴对称；对于C，当x>0时，y>0恒成立，从而图象不过第四象限，故为假命题；对于D，因为圆心(0,0)到直线x＋y＋1＝0的距离等于12，等于圆的半径，命题成立．3．(2019·陕西质检)已知命题p：对任意的x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是()A．p∧q B．(非p)∧(非q)C．(非p)∧q D．p∧(非q)解析：选D由指数函数的性质知命题p为真命题．易知x>1是x>2的必要不充分条件，所以命题q为假命题．由复合命题真值表可知p∧(非q)为真命题．4．(2018·湘东五校联考)下列说法中正确的是()A．“a>1，b>1”是“ab>1”成立的充分条件B．命题p：∀x∈R,2x>0，则非p：∃x0∈R,2x0<0C．命题“若a>b>0，则1a <1b”的逆命题是真命题D．“a>b”是“a2>b2”成立的充分不必要条件解析：选A对于选项A，由a>1，b>1，易得ab>1，故A正确．对于选项B，全称命题的否定是特称命题，所以命题p：∀x∈R,2x>0的否定是非p：∃x0∈R,2x0≤0，故B错误．对于选项C，其逆命题：若1a<1b，则a>b>0，可举反例，如a＝－1，b＝1，显然是假命题，故C错误．对于选项D，由“a>b”并不能推出“a2>b2”，如a＝1，b＝－1，故D错误．故选A.5．(2019·唐山五校联考)已知命题p：“a>b”是“2a>2b”的充要条件；命题q：∃x0∈R，|x0＋1|≤x0，则()A．(非p)∨q为真命题B．p∧(非q)为假命题C．p∧q为真命题D．p∨q为真命题解析：选D由题意可知命题p为真命题．因为|x＋1|≤x的解集为空集，所以命题q 为假命题，所以p∨q为真命题．6．下列说法错误的是()A．命题“若x2－5x＋6＝0，则x＝2”的逆否命题是“若x≠2，则x2－5x＋6≠0”B．若命题p：存在x0∈R，x20＋x0＋1<0，则非p：对任意x∈R，x2＋x＋1≥0C．若x，y∈R，则“x＝y”是“xy”的充要条件D．已知命题p和q，若“p或q”为假命题，则命题p与q中必一真一假解析：选D由原命题与逆否命题的关系，知A正确；由特称命题的否定知B正确；由xy⇔4xy≥(x＋y)2⇔4xy≥x2＋y2＋2xy⇔(x－y)2≤0⇔x＝y，知C正确；对于D，命题“p或q”为假命题，则命题p与q均为假命题，所以D不正确．7．(2019·长沙模拟)已知命题“∀x∈R，ax2＋4x＋1>0”是假命题，则实数a的取值范围是()A．(4，＋∞)B．(0,4]C．(－∞，4]D．[0,4)解析：选C当原命题为真命题时，a>0且Δ<0，所以a>4，故当原命题为假命题时，a≤4.8．下列命题为假命题的是()A．存在x>y>0，使得ln x＋ln y<0B．“φ＝π2”是“函数y＝sin(2x＋φ)为偶函数”的充分不必要条件C．∃x0∈(－∞，0)，使3x0<4x0成立D．已知两个平面α，β，若两条异面直线m，n满足m⊂α，n⊂β且m∥β，n∥α，则α∥β解析：选C对于A选项，令x＝1，y＝1e，则ln x＋ln y＝－1<0成立，故排除A.对于B选项，“φ＝π2”是“函数y＝sin(2x＋φ)为偶函数”的充分不必要条件，正确，故排除B.对于C选项，根据幂函数y＝xα，当α<0时，函数单调递减，故不存在x0∈(－∞，0)，使3x0<4x0成立，故C错误．对于D选项，已知两个平面α，β，若两条异面直线m，n满足m⊂α，n ⊂β且m∥β，n∥α，可过n作一个平面与平面α相交于直线n′.由线面平行的性质定理可得n′∥n，再由线面平行的判定定理可得n′∥β，接下来由面面平行的判定定理可得α∥β，故排除D，选C.9．若命题p的否定是“∀x∈(0，＋∞)，x＞x＋1”，则命题p可写为________________________．解析：因为p是非p的否定，所以只需将全称量词变为特称量词，再对结论否定即可．答案：∃x0∈(0，＋∞)，x0≤x0＋110．已知命题p：x2＋4x＋3≥0，q：x∈Z，且“p∧q”与“非q”同时为假命题，则x ＝________.解析：若p为真，则x≥－1或x≤－3，因为“非q”为假，则q为真，即x∈Z，又因为“p∧q”为假，所以p为假，故－3＜x＜－1，由题意，得x＝－2.答案：－211．已知p：a<0，q：a2>a，则非p是非q的________条件(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)．解析：由题意得非p：a≥0，非q：a2≤a，即0≤a≤1.因为{a|0≤a≤1}{a|a≥0}，所以非p是非q的必要不充分条件．答案：必要不充分12．已知命题p：a2≥0(a∈R)，命题q：函数f(x)＝x2－x在区间[0，＋∞)上单调递增，则下列命题：①p∨q；②p∧q；③(非p)∧(非q)；④(非p)∨q.其中为假命题的序号为________．解析：显然命题p为真命题，非p为假命题．∵f(x)＝x2－x－1 4，∴函数f(x)在区间1 2，＋∴命题q为假命题，非q为真命题．∴p∨q为真命题，p∧q为假命题，(非p)∧(非q)为假命题，(非p)∨q为假命题．答案：②③④13．设t∈R，已知命题p：函数f(x)＝x2－2tx＋1有零点；命题q：∀x∈[1，＋∞)，1x －x≤4t2－1.(1)当t＝1时，判断命题q的真假；(2)若p∨q为假命题，求t的取值范围．解：(1)当t＝1＝0，1x－x≤3在[1，＋∞)上恒成立，故命题q为真命题．(2)若p∨q为假命题，则p，q都是假命题．当p为假命题时，Δ＝(－2t)2－4<0，解得－1<t<1；当q≤4t2－1，即4t2－1≥0，解得t≤－12或t≥12，∴当q为假命题时，－12<t<12，∴t －1 2，。

第89-90逻辑连接词及全称、存在量词

§89逻辑连接词及全称、存在量词⑴【考点及要求】了解逻辑连接词“或”、“且”、“非”的含义，学会用它们正确表示相关的数学命题；常用的全称、存在量词及全称、存在性命题的基本形式，对全称、存在性命题的否定。

【基础知识】1.常见词语的否定：如：“等于、大于、小于、是、都是、至多一个、至少一个、任意的、所有的、至多n 个、任意两个、或、且”的否定分别是：23全称性命题.【基础训练】1.指出命题“23≤”的形式是，判定它的真假为。

写出该命题的否定为 .2.写出命题“x R ∀∈， 2410ax x ++>”的否定形式 .3. 命题p ：存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根，则“非p ”形式的命题是 _________________．4. 判断下列命题的真假：⑴01,2>++∈∀x x R x ； ⑵714131,22++∈∀x x Q x 是有理数； ⑶βαβαβαsin sin )sin(,,+=+∈∃R ； ⑷1023,,=-∈∃∈∀y x Q y Z x ；⑸R b a ∈∀,，方程0=+b ax 恰有一实数解．【典型例题】例1. 在下列结论中，①""p q ∧为真是""p q ∨为真的充分不必要条件；②""p q ∧为假是""p q ∨为真的充分不必要条件；③""p q ∨为真是""p ⌝为假的必要不充分条件；④""p ⌝为真是""p q ∧为假的必要不充分条件；正确的是________ _______．练习：由下列各组命题构成的“p 或q ”、“p 且q ”“非p ”形式的命题中，“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，“非p ”为真的是（）A ．p ：3是偶数，q ：4是奇数；B p ：3+2=6， q ：5＞3；C ．p ：R Q ⊄， q ：Z N = ；D p ：菱形对角线互相平分，q ：菱形对角线互相垂直例2．写出下列命题的否定并判别真假。

第三讲：逻辑联结词、全称量词与存在量词

第三讲逻辑连接词、全称量词与存在量词【知识要点精解】一、逻辑联结词1、逻辑联结词：逻辑联结词通常是指“且”、“或”、“非2、概念用逻辑联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，得到复合命题p 且q ，记作p ∧q ；用逻辑联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，得到复合命题p 或q ，记作p ∨q; 对命题p 的结论进行否定，得到复合命题非p,记作綈p 。

注意：①、可以借助集合的“交”、“并”、“补”运算来理解逻辑联结词“且”、“或”、“非 {|B x ={|B x ={|U P x x =3、复合命题的真假判断注意：①、判断复合命题真假方法,可以用一句口诀记忆： p 且q 一假即假，p 或q 一真即真，非p 真假相对。

②、命题的否定与否命题之间的区别二者之间的区别在于两点：（1）定义：命题的否定：直接对命题的结论进行否定；否命题：对原命题的条件和结论同时否定。

即原命题是“若p 则q ”的形式，它的否定是“若p 则非q ”，它的否命题是“若非p 则非q ”。

（2）与原命题的真假关系：命题的否定与原命题真假相对；即一真一假；而否命题与原命题的没有必然的联系。

③含有逻辑联结词的命题的否定的方法：p∨q”的否定是“(p⌝)∧(q⌝)”；“p∧q”的否定是“(p⌝∨(q⌝)”二、全称命题和特称命题1、全称量词与存在量词(1) 全称量词与全称命题①、短语“所有”“任意”“每一个”等表示整体或全部的量词在逻辑中称为全称量词，并用符号“"x”表示．②、含有全称量词的命题，叫做全称命题．③、全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为"x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．(2) 存在量词与存在性命题①、短语“有一个”“有些”“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，并用符号“$x”表示．②、含有存在量词的命题，叫做存在性命题．③、存在性命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为$x∈M，p(x)，读作“存在一个x属于M，使p(x)成立”．2、含有一个量词的命题的否定"x∈M，p(x)"x∈M，Øp(x).。

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词[考纲传真]1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.2.理解全称量词和存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．【知识通关】1．简单的逻辑联结词(1)命题中的或、且、非叫做逻辑联结词．(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断2.(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．3．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定1．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律(1)p∨q：p，q中有一个为真，则p∨q为真，即有真为真．(2)p∧q：p，q中有一个为假，则p∧q为假，即有假即假．(3)⌝p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．2．含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．3．命题的否定和否命题的区别：命题“若p，则q”的否定是“若p，则⌝q”，否命题是“若⌝p，则⌝q”．【基础自测】1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)命题“3≥2”是真命题．()(2)若命题p∧q为假命题，则命题p，q都是假命题．()(3)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”．()(4)“全等的三角形面积相等”是全称命题．()[答案](1)√(2)×(3)×(4)√2．命题“∃x0∈R，x20－x0－1＞0”的否定是()A．∀x∈R，x2－x－1≤0B．∀x∈R，x2－x－1＞0C．∃x0∈R，x20－x0－1≤0D．∃x0∈R，x20－x0－1≥0A3．下列命题中的假命题是()A．∃x0∈R，lg x0＝1B．∃x0∈R，sin x0＝0C．∀x∈R，x3＞0D．∀x∈R,2x＞0C4．已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题⌝p，⌝q，p∨q，p∧q中真命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．4B5．若命题“∀x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________．[－8,0]【题型突破】全称命题、特称命题1.命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2”的否定形式是()A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＞x 2B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＞x 2C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＞x 2D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＞x 2 D2．(2019·商丘模拟)已知f (x )＝sin x －x ，命题p ：∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )＜0，则( )A ．p 是假命题，⌝p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0B ．p 是假命题，⌝p ：∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0C ．p 是真命题，⌝p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0D ．p 是真命题，⌝p ：∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0C3．下列四个命题：p 1：∃x 0∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 0；p 2：∃x 0∈(0,1)，log 12x 0＞log 13x 0；p 3：∀x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＞log 12x ；p 4：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＜log 13x .其中的真命题是( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3 D ．p 2，p 4D判断含有逻辑联结词的命题的真假【例1】(1)若命题“p∨q ”是真命题，“⌝p为真命题”，则()A．p真，q真B．p假，q真C．p真，q假D．p假，q假(2)(2019·山师大附中模拟)设命题p：函数f(x)＝2x＋2－x在R上递增，命题q：△ABC中，A＞B⇔sin A＞sin B，下列命题为真命题的是()A．p∧q B．p∨(⌝q)C．(⌝p)∧q D．(⌝p)∧(⌝q)(1)B(2)C[方法总结]“p∨q”“p∧q”“⌝p”形式命题真假的判断步骤(1)确定命题的构成形式；(2)判断命题p，q的真假；(3)根据真值表确定“p∨q”“p∧q”“⌝p”形式命题的真假已知命题p：∃x0∈R，使tan x0＝3，命题q：x2－3x＋2＜0的解集是{x|1＜x＜2}，下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(⌝q)”是假命题；③命题“(⌝p)∨q”是真命题；④命题“(⌝p)∨(⌝q)”是假命题．其中正确的是()A．②③B．①②④C．①③④D．①②③④D由命题的真假确定参数的取值范围【例2】(1)已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝⎝⎛⎭⎪⎫12x－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是()A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12(2)给定命题p：对任意实数x都有ax2＋ax＋1＞0成立；q：关于x的方程x2－x＋a ＝0有实数根．如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则实数a 的取值范围为________．(1)A (2)(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14，4[母题探究] 若将本例(1)中“∃x 2∈[1,2]”改为“∀x 2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m 的取值范围是什么？[解] 当x ∈[1,2]时，g (x )max ＝g (1)＝12－m ，由f (x )min ≥g (x )max ，得0≥12－m ，所以m ≥12，即m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.[方法总结] 根据全(特)称命题的真假求参数的思路与全称命题或特称命题真假有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题，解决此类问题时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围.(2019·辽宁五校联考)已知命题“∃x ∈R ,4x 2＋(a －2)x ＋14≤0”是假命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，0) B ．[0,4] C ．[4，＋∞) D ．(0,4)D【真题链接】1．(2015·全国卷Ⅰ)设命题p ：∃n ∈N ，n 2＞2n ，则⌝p 为( ) A ．∀n ∈N ，n 2＞2n B ．∃n ∈N ，n 2≤2n C ．∀n ∈N ，n 2≤2n D ．∃n ∈N ，n 2＝2nC2．(2013·全国卷Ⅰ)已知命题p ：∀x ∈R ,2x ＜3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．⌝p ∧q C ．p ∧⌝q D ．⌝p ∧⌝qB。

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(含解析)

归纳与技巧：简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词基础知识归纳一、简单的逻辑联结词1．用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，读作“p且q”．2．用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，读作“p或q”．3．对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作綈p，读作“非p”或“p的否定”．4．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断：p∧q中p、q有一假为假，p∨q有一真为真，p与非p必定是一真一假．二、全称量词与存在量词1．全称量词与全称命题(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．(3)全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．2．存在量词与特称命题(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．(2)含有存在量词的命题，叫做特称命题．(3)特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为∃x0∈M，P(x0)，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”．三、含有一个量词的命题的否定基础题必做1．若p是真命题，q是假命题，则()A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．綈p是真命题D．綈q是真命题答案：D2．(教材习题改编)下列命题中的假命题是()A．∃x0∈R，x0＋1x0＝2 B．∃x0∈R，sin x0＝－1C．∀x∈R，x2>0 D．∀x∈R,2x>0答案：C3．命题“∃x0∈∁R Q，x30∈Q”的否定是()A．∃x0∉∁R Q，x30∈Q B．∃x0∈∁R Q，x30∉QC．∀x∉∁R Q，x3∈Q D．∀x∈∁R Q，x3∉Q解析：选D其否定为∀x∈∁R Q，x3∉Q.4．(教材习题改编)命题p：有的三角形是等边三角形．命题綈p：__________________.答案：所有的三角形都不是等边三角形5．命题“∃x0∈R,2x20－3ax0＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围为________．解析：∃x0∈R,2x20－3ax0＋9<0为假命题，则∀x∈R，2x2－3ax＋9≥0恒成立，有Δ＝9a2－72≤0，解得－22≤a≤2 2.答案：[－22，2 2 ]解题方法归纳1.逻辑联结词与集合的关系“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．2．正确区别命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论．命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系．含有逻辑联结词命题的真假判定典题导入[例1]已知命题p：∃x0∈R，使tan x0＝1，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}，给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(綈q)”是假命题；③命题“(綈p)∨q”是真命题；④命题“(綈p)∨(綈q)”是假命题．其中正确的是()A．②③B．①②④C．①③④D．①②③④[自主解答]命题p：∃x0∈R，使tan x0＝1是真命题，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}也是真命题，故①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(綈q)”是假命题；③命题“(綈p)∨q”是真命题；④命题“(綈p)∨(綈q)”是假命题．[答案] D解题方法归纳1．“p∧q”“p∨q”“綈p”形式命题的真假判断步骤(1)准确判断简单命题p、q的真假；(2)判断“p∧q”“p∨q”“綈p”命题的真假．2．含有逻辑联结词的命题的真假判断规律(1)p∨q：p、q中有一个为真，则p∨q为真，即一真全真；(2)p∧q：p、q中有一个为假，则p∧q为假，即一假即假；(3)綈p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．以题试法1．(1)如果命题“非p或非q”是假命题，给出下列四个结论：①命题“p且q”是真命题；②命题“p且q”是假命题；③命题“p或q”是真命题；④命题“p或q”是假命题．其中正确的结论是()A．①③B．②④C．②③D．①④(2) 已知命题p：“∀x∈[0,1]，a≥e x”，命题q：“∃x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是()A．(4，＋∞) B．[1,4]C．[e,4] D．(－∞，1]解析：(1)选A“非p或非q”是假命题⇒“非p”与“非q”均为假命题⇒p与q均为真命题．(2)选C “p ∧q ”是真命题，则p 与q 都是真命题．p 真则∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，需a ≥e ；q 真则x 2＋4x ＋a ＝0有解，需Δ＝16－4a ≥0，所以a ≤4.p ∧q 为真，则e ≤a ≤4.全称命题与特称命题的真假判断典题导入[例2] 下列命题中的假命题是( )A ．∀a ，b ∈R ，a n ＝an ＋b ，有{a n }是等差数列B ．∃x 0∈(－∞，0)，2x 0<3x 0C ．∀x ∈R,3x ≠0D ．∃x 0∈R ，lg x 0＝0[自主解答] 对于A ，a n ＋1－a n ＝a (n ＋1)＋b －(an ＋b )＝a 常数．A 正确；对于B ，∀x ∈(－∞，0)，2x >3x ，B 不正确；对于C ，易知3x ≠0，因此C 正确；对于D ，注意到lg 1＝0，因此D 正确．[答案] B解题方法归纳1．全称命题真假的判断方法(1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；(2)要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M 中的一个特殊值x ＝x 0，使p (x 0)不成立即可．2．特称命题真假的判断方法要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M 中，找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．以题试法2．下列命题中的真命题是( ) A ．∃x 0∈R ，使得sin x 0cos x 0＝35B ．∃x 0∈(－∞，0)，2x 0>1C ．∀x ∈R ，x 2≥x －1D ．∀x ∈(0，π)，sin x >cos x解析：选C 由sin x cos x ＝35，得sin 2x ＝65>1，故A 错误；结合指数函数和三角函数的图象，可知B ，D 错误；因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0恒成立，所以C 正确．全称命题与特称命题的否定典题导入[例3] 命题“所有不能被2整除的整数都是奇数”的否定是( ) A ．所有能被2整除的整数都是奇数 B ．所有不能被2整除的整数都不是奇数 C ．存在一个能被2整除的整数是奇数 D ．存在一个不能被2整除的整数不是奇数[自主解答] 命题“所有不能被2整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个不能被2整除的整数不是奇数”，选D.[答案] D若命题改为“存在一个能被2整除的整数是奇数”，其否定为________．答案：所有能被2整除的整数都不是奇数解题方法归纳1．弄清命题是全称命题还是特称命题是写出命题否定的前提．2．注意命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定． 3．要判断“綈p ”命题的真假，可以直接判断，也可以判断“p ”的真假，p 与綈p 的真假相反．4．常见词语的否定形式有：原语句是都是 >至少有一个至多有一个对任意x ∈A 使p (x )真否定形式不是不都是≤一个也没有至少有两个存在x 0∈A 使p (x 0)假以题试法3．已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≥0，则綈p 是( ) A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0 D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0解析：选C 命题p 的否定为“∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f ( x 1))(x 2－x 1)<0”．1．将a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2改写成全称命题是( ) A ．∃a ，b ∈R ，a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2 B ．∃a <0，b >0，a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2 C ．∀a >0，b >0，a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2 D ．∀a ，b ∈R ，a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2解析：选D 全称命题含有量词“∀”，故排除A 、B ，又等式a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2对于全体实数都成立，故选D.2．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是( )A ．p 为真B ．q 为真C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真解析：选C 命题p ，q 均为假命题，故p ∧q 为假命题．3．已知命题p ：所有有理数都是实数，命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( )A ．(綈p )∨qB ．p ∧qC ．(綈p )∧(綈q )D ．(綈p )∨(綈q )解析：选D 不难判断命题p 为真命题，命题q 为假命题，所以綈p 为假命题，綈q 为真命题，所以(綈p )∨(綈q )为真命题．4．下列命题中，真命题是( )A ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数B ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数C ．∀m ∈R ，函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )`都是偶函数D ．∀m ∈R ，函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是奇函数解析：选A 由于当m ＝0时，函数f (x )＝x 2＋mx ＝x 2为偶函数，故“∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )为偶函数”是真命题．5．下列命题中，真命题是( ) A ．∃x 0∈R ，e x 0≤0 B ．∀x ∈R,2x ＞x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是ab ＝－1D ．a ＞1，b ＞1是ab ＞1的充分条件解析：选D 因为∀x ∈R ，e x ＞0，故排除A ；取x ＝2，则22＝22，故排除B ；a ＋b ＝0，取a ＝b ＝0，则不能推出ab＝－1，故排除C.6．已知命题p 1：∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0；p 2：∀x ∈[1,2]，x 2－1≥0.以下命题为真命题的是( )A ．(綈p 1)∧(綈p 2)B ．p 1∨(綈p 2)C ．(綈p 1)∧p 2D ．p 1∧p 2解析：选C ∵方程x 2＋x ＋1＝0的判别式Δ＝12－4＝－3<0，∴x 2＋x ＋1<0无解，故命题p 1为假命题，綈p 1为真命题；由x 2－1≥0，得x ≥1或x ≤－1，∴∀x ∈[1,2]，x 2－1≥0，故命题p 2为真命题，綈p 2为假命题．∵綈p 1为真命题，p 2为真命题，∴(綈p 1)∧p 2为真命题．7．下列说法中错误的是( )A ．对于命题p ：∃x 0∈R ，使得x 0＋1x 0>2，则綈p ：∀x ∈R ，均有x ＋1x ≤2B ．“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件C ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”D ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题解析：选D 显然选项A 正确；对于B ，由x ＝1可得x 2－3x ＋2＝0；反过来，由x 2－3x ＋2＝0不能得知x ＝1，此时x 的值可能是2，因此“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件，选项B 正确；对于C ，原命题的逆否命题是：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”，因此选项C 正确；对于D ，若p ∧q 为假命题，则p ，q 中至少有一个为假命题，故选项D错误．8．已知命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0，若“p 且q ”为真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．a ＝1或a ≤－2B ．a ≤－2或1≤a ≤2C ．a ≥1D ．－2≤a ≤1解析：选A 若命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0真，则a ≤1.若命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0真，则Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，a ≥1或a ≤－2，又p 且q 为真命题所以a ＝1或a ≤－2.9．命题“存在x 0∈R ，使得x 20＋2x 0＋5＝0”的否定是________．答案：对任何x ∈R ，都有x 2＋2x ＋5≠010．已知命题p ：“∀x ∈N *，x >1x ”，命题p 的否定为命题q ，则q 是“________”；q的真假为________(填“真”或“假”)．解析：q ：∃x 0∈N *，x 0≤1x 0，当x 0＝1时，x 0＝1x 0成立，故q 为真．答案：∃x 0∈N *，x 0≤1x 0真11．若命题“存在实数x 0，使x 20＋ax 0＋1<0”的否定是假命题，则实数a 的取值范围为________．解析：由于命题的否定是假命题，所以原命题为真命题，结合图象知Δ＝a 2－4>0，解得a >2或a <－2.答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)12．若∃θ∈R ，使sin θ≥1成立，则cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6的值为________．解析：由题意得sin θ－1≥0.又－1≤sin θ≤1，∴sin θ＝1. ∴θ＝2k π＋π2(k ∈Z )．故cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝12. 答案：1213．已知命题p ：∃a 0∈R ，曲线x 2＋y 2a 0＝1为双曲线；命题q ：x －1x －2≤0的解集是{x |1<x <2}．给出下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧(綈q )”是真命题；③命题“(綈p )∨q ”是真命题；④命题“(綈p )∨(綈q )”是真命题．其中正确的是________．解析：因为命题p 是真命题，命题q 是假命题，所以命题“p ∧q ”是假命题，命题“p ∧(綈q )”是真命题，命题“(綈p )∨q ”是假命题，命题“(綈p )∨(綈q )”是真命题．答案：②④ 14．下列结论：①若命题p ：∃x 0∈R ，tan x 0＝2；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋12>0.则命题“p ∧(綈q )”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是ab ＝－3；③“设a 、b ∈R ，若ab ≥2，则a 2＋b 2>4”的否命题为：“设a 、b ∈R ，若ab <2，则a 2＋b 2≤4”．其中正确结论的序号为________．(把你认为正确结论的序号都填上)解析：在①中，命题p 是真命题，命题q 也是真命题，故“p ∧(綈q )”是假命题是正确的．在②中l 1⊥l 2⇔a ＋3b ＝0，所以②不正确．在③中“设a 、b ∈R ，若ab ≥2，则a 2＋b 2>4”的否命题为：“设a 、b ∈R ，若ab <2，则a 2＋b 2≤4”正确．答案：①③1．下列说法错误的是( )A ．如果命题“綈p ”与命题“p 或q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题B ．命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是：若“a ≠0，则ab ≠0”C ．若命题p ：∃x 0∈R ，ln(x 20＋1)<0，则綈p ：∀x ∈R ，ln(x 2＋1)≥0D ．“sin θ＝12”是“θ＝30°”的充分不必要条件解析：选D sin θ＝12是θ＝30°的必要不充分条件，故选D.2．命题p ：若a ·b >0，则a 与b 的夹角为锐角；命题q ：若函数f (x )在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数．下列说法中正确的是( )A ．“p 或q ”是真命题B ．“p 或q ”是假命题C ．綈p 为假命题D ．綈q 为假命题解析：选B ∵当a ·b >0时，a 与b 的夹角为锐角或零度角，∴命题p 是假命题；命题q 是假命题，例如f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ≤0，－x ＋2，x >0，综上可知，“p 或q ”是假命题．3．已知命题p ：“∃x 0∈R,4x 0－2x 0＋1＋m ＝0”，若命题綈p 是假命题，则实数m 的取值范围是________．解析：若綈p 是假命题，则p 是真命题，即关于x 的方程4x －2·2x ＋m ＝0有实数解，由于m ＝－(4x －2·2x )＝－(2x －1)2＋1≤1，∴m ≤1.答案：(－∞，1] 4．下列四个命题：①∃x 0∈R ，使sin x 0＋cos x 0＝2；②对∀x ∈R ，sin x ＋1sin x≥2；③对∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan x ＋1tan x≥2；④∃x 0∈R ，使sin x 0＋cos x 0＝ 2. 其中正确命题的序号为________．解析：∵sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈[－2， 2 ]；故①∃x 0∈R ，使sin x 0＋cos x 0＝2错误； ④∃x 0∈R ，使sin x 0＋cos x 0＝2正确； ∵sin x ＋1sin x ≥2或sin x ＋1sin x ≤－2，故②对∀x ∈R ，sin x ＋1sin x≥2错误；③对∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan x >0，1tan x >0，由基本不等式可得tan x ＋1tan x ≥2正确．答案：③④5．设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解：(1)由x 2－4ax ＋3a 2<0，得(x －3a )(x －a )<0. 又a >0，所以a <x <3a ，当a ＝1时，1<x <3，即p 为真命题时，1<x <3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤3，x <－4或x >2，即2<x ≤3.所以q 为真时，2<x ≤3.若p ∧q 为真，则⎩⎨⎧1<x <3，2<x ≤3⇔2<x <3，所以实数x 的取值范围是(2,3)．(2)设A ＝{x |x ≤a ，或x ≥3a }，B ＝{x |x ≤2，或x >3}，因为綈p 是綈q 的充分不必要条件，所以A B .所以0<a ≤2且3a >3，即1<a ≤2.所以实数a 的取值范围是(1,2]．6．已知命题p ：方程2x 2＋ax －a 2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0，若命题“p ∨q ”是假命题，求a 的取值范围．解：由2x 2＋ax －a 2＝0，得(2x －a )(x ＋a )＝0，∴x ＝a 2或x ＝－a ， ∴当命题p 为真命题时， ⎪⎪⎪⎪a 2≤1或|－a |≤1， ∴|a |≤2.又“只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0”，即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点，∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a ＝0或a ＝2.∴当命题q 为真命题时，a ＝0或a ＝2.∴命题“p ∨q ”为真命题时，|a |≤2.∵命题“p ∨q ”为假命题，∴a >2或a <－2.即a 的取值范围为{ a |}a >2，或a <－2.1．有下列四个命题：p 1：若a ·b ＝0，则一定有a ⊥b ；p 2：∃x ，y ∈R ，sin(x －y )＝sin x －sin y ；p 3：∀a ∈(0,1)∪(1，＋∞)，函数f (x )＝a 1－2x ＋1都恒过定点⎝⎛⎭⎫12，2；p 4：方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是D 2＋E 2－4F ≥0.其中假命题的是( )A ．p 1，p 4B ．p 2，p 3C ．p 1，p 3D ．p 2，p 4解析：选A 对于p 1：∵a ·b ＝0⇔a ＝0或b ＝0或a ⊥b ，当a ＝0，则a 方向任意，a ，b 不一定垂直，故p 1假，否定B 、D ，又p 3显然为真，否定C.2．若命题p ：关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx >－b a ，命题q ：关于x 的不等式(x －a )(x －b )<0的解集是{x |a <x <b }，则在命题“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”“綈q ”中，是真命题的有________．解析：依题意可知命题p 和q 都是假命题，所以“p ∧q ”为假、“p ∨q ”为假、“綈p ”为真、“綈q ”为真．答案：綈p ，綈q3．已知p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根；q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围．解：若方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根x 1，x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，x 1＋x 2<0，x 1x 2>0，即⎩⎨⎧Δ＝m 2－4>0，m >0. 解得m >2，即p ：m >2.若方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根，则Δ＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)<0.解得1<m <3，即q ：1<m <3.∵p 或q 为真，p 且q 为假，∴p 、q 两命题应一真一假，即p 为真、q 为假或p 为假、q 为真．∴⎩⎪⎨⎪⎧ m >2，m ≤1或m ≥3或⎩⎨⎧ m ≤2，1<m <3. 解得m ≥3或1<m ≤2.∴m 的取值范围是(1,2]∪[3，＋∞)．。

常用逻辑用语知识点

常用逻辑用语知识点逻辑连接词，全称量词，存在量词知识点一：逻辑联结词：“ ”、“ ”、“ ”这些词叫做逻辑联结词.（1）不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫复合命题. （2）复合命题的构成形式：①p或q；②p且q；③非p（即命题p的否定）. （3）复合命题的真假判断（利用真值表）：真真假假注意：（1）逻辑连结词“或”的理解是难点，“或”有三层含义，以“p或q”为例：一是p成立且q不成立，二是p不成立但q成立，三是p成立且q也成立。

可以类比于集合中“（2）“或”、“且”联结的命题的否定形式：“p或q”的否定是；“p且q” 的否定是 . （3）对命题的否定只是否定命题的结论；否命题，既否定题设，又否定结论。

要注意逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的“并”“交”“补”是相关的例1．已知命题或”.真假真假非p:所有有理数都是实数，命题q:正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（） A．例2．若B．．．p是真命题，q是假命题，则（）是真命题是假命题是真命题是真命题（A）知识点二：全称量词与存在量词：1.（1）短语“ （2）短语“ 存在一个、至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示。

2．全称命题与特称命题（1）含有量词的命题叫全称命题。

全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为： . （2）含有量词的命题叫特称命题。

特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为：2. 对含有一个量词的命题进行否定：（I）对含有一个量词的全称命题的否定全称命题p：，他的否定：全称命题的否定是。

（II）对含有一个量词的特称命题的否定特称命题p：注意：（1）命题的否定与命题的否命题是不同的.命题的否定命题的否命题，他的否定：特称命题的否定是。

题型分析题型一:含有逻辑联结词的命题真假判定例1．已知命题p1：函数在R上为增函数，p2：函数在R 上为减函数，则在命题；；；中真命题是（）A.q1，q3 B．q2，q3 C．q1，q4 D．q2，q4 例2.下列各组命题中，满足“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真的是（） A.；B.p:在△ABC中，若，则；在第一象限是增函数。

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

答案：D
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高考总复习 A 数学（理）
研考向考点探究
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三、命题的否定
4．(2014 年安阳一模)已知命题 p：“∀x∈N*，x>1x”，命题 p 的否
定为命题 q，则 q 是“________”；q 的真假为________(填“真”或“假”)．
解析：q：∃x0∈N*，x0≤x10，当 x0＝1 时，x0＝x10成立，故 q 为真．答案：∃x0∈N*，x0≤x10 真
∈R，使得 sin x0＋cos x0＝2，故 B 错误；对于 C，易知 3x>0，故 C 正确；对于 D，由 lg 1＝0 知，D 正确．综上知选 B.
答案：B
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为(
例3 )
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含有一个量词的命题否定(师生共研) (2013 年高考重庆卷)命题“对任意 x∈R，都有 x2≥0”的否定
D．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数
解析由于当 m ＝ 0 时，函数 f(x) ＝ x2 ＋ mx ＝ x2 为偶函数，故
“∃m0∈R，使函数f(x)＝x2＋m0x(x∈R)为偶函数”是真命题．答案 A
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含有逻辑联结词的命题的真假判断(自主探究)
例1 (1)(2013年高考湖北卷)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员

简单的逻辑联结词全称量词与存在量词

≥ 2,
又对x R, s x 为真命题, 即x 2 mx 1 0恒成立, 有 m 2 4 0,2 m 2.当r x 为真, s x 为假时, m 2,同时m≤ 2或m≥2, 即m≤ 2, 当r x 为假, s x 为真时, m≥ 2且 2 m 2, 即 2≤m 2. 综上, 实数m的取值范围是m≤ 2或 2≤m 2.
2018/11/22
[反思感悟] 解决这类问题时,应先根据题目条件,推出每一个命
题的真假(有时不一定只有一种情况),然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围,最后根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围.
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错源一错误理解命题的否定
【典例1】已知命题p:函数f(x)=-(5-2m)x是减函数.若¬p为真命
3,
而它们都不是有理数.
因此,没有任何一个有理数的平方能等于3.所以命题
[反思感悟] 本例中的(3)是一个典型的特例法,即要说明一个存
在性命题正确,只要找到一个元素使命题成立即可.
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类型三全(特)称命题的否定
解题准备:1.全称命题p:∀x∈M,p(x).它的否定¬p:∃x0∈M,¬p(x0).
第三讲
简单的逻辑联结词､全称量词与存在量词
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回归课本 1.逻辑联结词
命题中的或､且､非叫逻辑联结词.
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2.命题p∧q,p∨q,¬p的真假判断
p 真
q 真
p∧q 真
p∨q 真
¬p 假
真
假假
假
真假
假
假假
真

考点03 逻辑联结词、全称量词与存在量词

考点03 逻辑联结词、全称量词与存在量词此考点重点考查方向主要体现在：1．简单的逻辑联结词了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.2．全称量词与存在量词（1）理解全称量词与存在量词的意义.（2）能正确地对含有一个量词的命题进行否定.一、逻辑联结词1．常见的逻辑联结词：或、且、非∧，读作“p且q”；一般地，用联结词“且”把命题p和q联结起来，得到一个新命题，记作p q∨，读作“p或q”；用联结词“或”把命题p和q联结起来，得到一个新命题，记作p q⌝，读作“非p”．对一个命题p的结论进行否定，得到一个新命题，记作p2．复合命题的真假判断“p且q”“p或q”“非p”形式的命题的真假性可以用下面的表（真值表）来确定：3．必记结论含有逻辑联结词的命题的真假判断：（1）p q ∧中一假则假，全真才真．（2）p q ∨中一真则真，全假才假．（3）p 与p ⌝真假性相反．注意：命题的否定是直接对命题的结论进行否定；而否命题则是对原命题的条件和结论分别否定.不能混淆这两者的概念.二、全称命题与特称命题 1．全称量词和存在量词2．同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可能有不同的表述方法，在实际应用中可以灵活地选择.3．含有一个量词的命题的否定全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，如下所示：考向一判断复合命题的真假1．判断“p q ∧”、“p q ∨”形式复合命题真假的步骤：第一步，确定复合命题的构成形式；第二步，判断简单命题p 、q 的真假；第三步，根据真值表作出判断．注意：一真“或”为真，一假“且”为假．2．不含逻辑联结词的复合命题，通过辨析命题中词语的含义和实际背景，弄清其构成形式． 3．当p q ∨为真，p 与q 一真一假；p q ∧为假时，p 与q 至少有一个为假.典例1 已知命题p ：对任意x ∈R ，总有22x x >；q ：“4ab >”是“2a >，2b >”的充分不必要条件.下列命题p q ∧，p q ∨，p q ∧⌝，p q ⌝∧⌝中，假命题的个数是 A ．1 B ．2 C ．3D ．4【答案】C【解析】命题p ：对任意x ∈R ，总有22x x >，是假命题，例如取x =2时，2 2x x =；命题q :由2a >，2b >可以推出4ab >；反之不成立，例如a =2，b =4，所以“4ab >”是“2a >，2b >”的必要不充分条件，是假命题，所以是真命题的是p q ⌝∧⌝，其他均为假命题. 所以假命题的个数是3个，故选C.【名师点睛】本题主要考查了命题的真假判断，其中解答中先判定命题,p q 的真假，再结合复合命题的真假关系判定真假是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.1．辨别复合命题的构成形式时，应根据组成复合命题的语句中所出现的逻辑联结词，或语句的意义确定复合命题的形式．2．准确理解语义应注意抓住一些关键词．如“是…也是…”，“兼”，“不但…而且…”，“既…又…”，“要么…，要么…”，“不仅…还…”等．3．要注意数学中和生活中一些特殊表达方式和特殊关系式．如：a ≥3是a >3或a ＝3；xy ＝0是x ＝0或y ＝0；x 2＋y 2＝0是x ＝0且y ＝0.1．已知命题p ：∀x ∈R ，x+1x ≥2；命题q ：∃x 0∈π[0,]2，使sin x 0+cos x 0，则下列命题中为真命题的是A ．p ∨(⌝q )B ．p ∧(⌝q )C ．(⌝p )∧(⌝q )D ．(⌝p )∧q考向二判断全称命题与特称命题的真假要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题.要确定一个特称命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该特称命题是假命题.典例2 下列命题中是假命题的是A ．,,αβ∃∈R 使sin()sin sin αβαβ+=+B ．ϕ∀∈R ，函数()sin(2)f x x ϕ=+都不是偶函数C ．m ∃∈R,使243()(1)m m f x m x-+=-是幂函数，且在(0,)+∞上单调递减D ．0a ∀>，函数2()ln ln f x x x a =+-有零点【答案】B【解析】对于选项A ，如当==0αβ时，sin()sin sin ,αβαβ+=+所以选项A 的命题为真命题；对于选项Bcos2x =是偶函数，因此选项B 中的命题为假命题；对于选项C ，如当2m =时，11()=f x x x-=，()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以选项C 中的命题为真命题；对于选项D ，当()0f x =时，2ln ln 0x x a +-=，则22111ln ln (ln )244a x x x =+=+-≥-，所以0a ∀>，函数2()ln ln f x x x a =+-有零点，所以选项D 中的命题为真命题.【名师点睛】全称命题与特称命题的真假判断在高考中出现时，常与数学中的其他知识点相结合，题型以选择题为主，难度一般不大.2．已知命题“x ∃∈R ，210mx x -+<”是假命题，则实数m 的取值范围是_________. 3．设a ∈R ，命题p ：∃x []1,2∈，满足()110a x -->,命题q ：∀x ∈R ，210x ax ++>. （1）若命题p q ∧是真命题，求a 的范围；（2）()p q ⌝∧为假，()p q ⌝∨为真，求a 的取值范围．考向三含有一个量词的命题的否定一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词或把存在量词改成全称量词，同时否定结论.典例3 命题“存在实数x 0,使x 0>1”的否定是 A ．对任意实数x,都有x >1 B ．不存在实数x 0,使x 0≤1 C ．对任意实数x,都有x ≤1 D ．存在实数x 0,使x 0≤1【答案】C【解析】“存在实数x 0”改成“对任意实数x ”；“x 0>1”改成“1x ≤”，则命题“存在实数x 0,使x 0>1”的否定是：对任意实数x,都有x ≤1.故选C.4．已知:0p x ∀>，10x x-≥，则p⌝为 A ．00x ∃>，0010x x -，10x x-< D ．00x ∀≤，10x x-≥1．若“()p q ⌝∧”为真命题，则 A ．p 、q 均为真命题B ．p 、q 均为假命题C ．p 、q 中至少有一个为真命题D ．p 、q 中至多有一个为真命题2．命题p ：存在实数0x ，对任意实数x ，使得()0sin sin x x x +=-恒成立；q ：0a ∀>，()ln a x f x a x+=-为奇函数，则下列命题是真命题的是 A ．p q ∧ B ．()()p q ⌝∨⌝ C ．()p q ∧⌝D ．()p q ⌝∧3．命题“偶函数的图象关于y 轴对称”的否定是 A ．所有偶函数的图象不关于y 轴对称 B ．存在偶函数的图象关于y 轴对称 C ．存在一个偶函数的图象不关于y 轴对称 D ．不存在偶函数的图象不关于y 轴对称 4．已知集合{}228A x x x =-≤,2,0B ,下列命题为假命题的是A ．00,x A xB ∃∈∈ B ．00,x B x A ∃∈∈C ．,x A x B ∀∈∈D ．,x B x A ∀∈∈5．已知命题:p 0x ∃∈R ，002lg x x ->；命题:q π02x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，，1sin 2sin x x +>，则A ．命题p q ∨是假命题B ．命题p q ∧是真命题C ．命题()p q ∧⌝是真命题D ．命题()p q ∨⌝是假命题6．已知命题p ：棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥；命题q ：棱柱的所有的侧面都是长方形或正方形，下列命题为真命题的是 A ．p q ∧ B ．p q ⌝∧ C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝7．已知命题“x ∃∈R ，使212(1)02x a x +-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是A ．(,1)-∞-B ．(1,3)-C ．(3,)-+∞D ．(3,1)-8．下列命题中的假命题是 A ．x ∀∈R ，120x -> B ．x ∀∈*N ，()210x -> C ．x ∃∈R ，lg 1x <D ．x ∃∈R ，tan 2x =9．已知命题2000:,20p x x x a ∃∈++≤R ，命题1:0,q x x a x∀>+>，若p 假q 真，则实数a 的取值范围为A ．(1,)+∞B ．(,2]-∞C ．(1,2)D ．(1,2]-10．下列命题错误的是A ．若“p q ∧”为真命题，则p 与q 均为真命题B ．命题“p q ∧为真”是“p q ∨为真”的必要不充分条件C ．若0:p x R ∃∈，2210x x +->，则:p x R ⌝∀∈，2210x x +-≤D ．“1x =”是“1x ≥”的充分不必要条件11．命题“()01,x ∃∈+∞，2002x x +≤”的否定为__________．12．能够说明“*x ∀∈N ，22x x ≥”是假命题的一个x 值为__________．13．设命题:p 函数sin 2y x =的最小正周期为π．命题:q 函数cos y x =的图象关于直线2x π=对称．则下列结论中真命题的序号是__________． ①p ；②q ；③p q ∧；④p q ∨；⑤q ⌝．1．【2017山东文科】）已知命题p ：,x ∃∈R 210x x -+≥;命题q ：若22a b <,则a <b .下列命题为真命题的是A ．p q ∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝2．【2015湖北文科】命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是 A ．0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠- B ．0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =- C ．(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-D ．(0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =-3．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内． p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面． p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l ．则下述命题中所有真命题的序号是__________． ①14p p ∧ ②12p p ∧③23p p ⌝∨④34p p ⌝∨⌝1．【答案】D【解析】对于命题p ：当x ≤0时，x+1x≥2不成立， ∴命题p 是假命题，则⌝p 是真命题；对于命题q ：当x 0=4π时，sin x 0+cos x 0，则q 是真命题．结合选项只有(⌝p )∧q 是真命题．故答案为D.【点睛】先判断命题p,q 的真假，再判断选项命题的真假.(1)本题主要考查全称命题特称命题的否定及其真假，考查复合命题的真假，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)复合命题真假判定的口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真. 2．【答案】14m ≥【解析】若命题“x ∃∈R ，210mx x -+<”是假命题，则“x ∀∈R ，210mx x -+≥”为真命题，则只需满足0140m m >⎧⎨∆=-≤⎩，解得14m ≥.故答案为：14m ≥. 【点睛】本题考查命题的真假与参数的取值范围求解问题，较易，解答时只需要利用等价命题转化为二次不等式的恒成立问题即可.利用原命题的等价命题进行转化求解，即原命题为假，则其否定为真.3．【解析】(1)p 真，则()102110a a ->⎧⎨-->⎩或()101110a a -<⎧⎨⋅-->⎩得32a >；q 真，则240a -<，得22a -<<，p q ∴∧真，322a <<.(2)由()p q ⌝∧为假，()p q ⌝∨为真p ⇒、q 同时为假或同时为真，若p 假q 假，则3,222a a a ⎧≤-⎪⎨⎪≤-≥⎩或得2a ≤-，若p 真q 真，则3222a a ⎧>⎪⎨⎪-<<⎩，所以，322a << 综上2a ≤-或322a <<．故a 的取值范围是(]3,2,22⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系的应用，利用条件先求出命题p ，q 的等价条件是解决本题的关键．分别求出命题p ，q 成立的等价条件，（1）然后根据若p 、q 为真命题，列式计算，（2）由（￢p ）∧q 为假，（￢p ）∨q 为真⇒p 、q 同时为假或同时为真，分别求出实数m 的取值范围即可． 4．【答案】A【解析】因为1:0,0p x x x∀>-，是全称命题，故p ⌝为：00x ∃>，0010x x -<. 故选：A ．【点睛】本题考查含量词命题的否定，属于基础题．根据含有量词的命题的否定即可得到结论．1．【答案】D 【解析】【分析】由“()p q ⌝∧”为真命题，可得p q ∧为假命题，进而可得结果. 【详解】因为“()p q ⌝∧”为真命题，所以p q ∧为假命题，所以p 、q 中至多有一个为真命题.故选D.【点睛】本题主要考查复合命题的真假，属于基础题型.2．【答案】A【解析】【分析】分别判断命题p 和q 的真假性，然后根据含有逻辑联结词命题的真假性判断出正确选项.【详解】对于命题p ，由于()sin sin x x π+=-，所以命题p 为真命题.对于命题q ，由于0a >，由0a x a x+>-解得a x a -<<，且()()1ln ln ln a x a x a x f x f x a x a x a x --++⎛⎫-===-=- ⎪+--⎝⎭，所以()f x 是奇函数，故q 为真命题.所以p q ∧为真命题，()()p q ⌝∨⌝、()p q ∧⌝、()p q ⌝∧都是假命题.故选A.【点睛】本小题主要考查诱导公式，考查函数的奇偶性，考查含有逻辑联结词命题真假性的判断，属于基础题. 3．【答案】C【解析】【分析】首先对原命题补充全称量词，其否定再改写为特称命题即可.【详解】“偶函数的图象关于y 轴对称”等价于“所有的偶函数的图象关于y 轴对称”，根据全称命题进行否定规则，全称量词改写为存在量词，条件不变，否定结论.所以原命题否定是“存在一个偶函数的图象不关于y 轴对称”.故选C .【点睛】本题考查对命题进行否定.对全(特)称命题进行否定的方法:(1)改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；(2)否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可．4．【答案】C【解析】【分析】先求解集合A ,再根据集合间的关系以及全称与特称量词的性质辨析即可.【详解】{}()(){}{}228|420|24A x x x x x x x x =-≤=-+≤=-≤≤.又2,0B，故当x A ∈时不一定有x B ∈，故,x A x B ∀∈∈不正确.故选C .【点睛】本题主要考查了二次不等式的求解以及集合间的基本关系,同时也考查了全称与特称量词的性质运用.属于基础题.5．【答案】B【解析】【分析】根据特殊值，判定p 是真命题；根据基本不等式，判定q 为真命题；【详解】若03x =，则32g3l ->，所以命题p 是真命题；又π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()sin 0,1x ∈，1sin 2sin x x +≥=，当且仅当1sin sin =x x ，即sin 1x =时等号成立，因为()sin 0,1x ∈，所以1sin 2sin x x +>，即命题q 为真命题；故选B.【点睛】本题主要考查判断复合命题的真假，属于基础题型.6．【答案】D【解析】【分析】先判断命题,p q 的真假，根据复合命题的真假判断法则可得正确的选项.【详解】对于命题p ，因为棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，故棱锥的侧面为等边三角形，如果该棱锥是六棱锥，则六个侧面顶角的和为360︒，但六棱锥的侧面的顶角和小于360︒，矛盾，故p 为假命题.对于命题q ，斜棱柱有侧面不是长方形，故命题q 为假命题.故p q ⌝∧⌝为真命题.故选：D.【点睛】复合命题p q ∨的真假判断为“一真必真，全假才假”，p q ∧的真假判断为“全真才真，一假必假”，p ⌝的真假判断是“真假相反”．7．【答案】B【解析】【分析】原命题等价于212(1)02x a x +-+>恒成立，故2()114202a ∆=--⨯⨯<即可，解出不等式即可. 【详解】因为命题“x ∃∈R ，使212(1)02x a x +-+≤”是假命题，所以212(1)02x a x +-+>恒成立，所以2()114202a ∆=--⨯⨯<，解得13a -<<，故实数a 的取值范围是(1,3)-．故选B ．【点睛】对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数．而二次函数的恒成立问题，也可以采取以上方法，当二次不等式在R 上大于或者小于0恒成立时，可以直接采用判别式法.8．【答案】B【解析】当x =1时，（x -1）2=0,显然选项B 中的命题为假命题，故选B ．9．【答案】C【解析】【分析】由命题p 为假命题，得2,20x x x a ∀∈++>R 为真命题，根据根的判别式可求得1a >；由命题q 为真命题，根据基本不等式得出12x x +≥=，从而求得实数a 的取值范围. 【详解】命题0:p x ∃∈R ，20020x x a ++≤为假命题，则2,20x x x a ∀∈++>R 为真命题，满足2240a ∆=-<，解得1a >；命题1:0,q x x a x ∀>+>为真命题，由12x x +≥=，当且仅当1x =时等号成立，可知2a <，故实数a 的取值范围为(1,2)，故选C.【点睛】本题考查由命题的真假求参数的范围的问题，属于基础题.10．【答案】B【解析】【分析】由复合命题的真假结合充分条件，必要条件的概念可判断A ，B ，D ，由命题否定的概念可判断C.【详解】若“p q ∧”为真命题，则p 与q 均为真命题，故A 正确；若“p q ∧为真，则p 真，q 真，此时“p q ∨为真成立，若“p q ∨为真，则有可能,p q 一真一假，此时“p q ∧为假，所以命题“p q ∧为真”是“p q ∨为真”的充分不必要条件，故B 错误；由特称命题的否定为全称命题可得若0:p x R ∃∈，2210x x +->，则:p x R ⌝∀∈，2210x x +-≤，故C 正确；若“1x =”，则“1x ≥”成立，反之不成立，所以“1x =”是“1x ≥”的充分不必要条件，故D 正确；故选B.本小题主要考查复合命题的真假、全称命题与特称命题的相互转化以及充分条件，必要条件等基础知识，属于基础题.11．【答案】()1,x ∀∈+∞，22x x +>【解析】【分析】根据特称命题的否定形式及定义即可得解.【详解】由特称命题的否定为全称命题，可得命题“()01,x ∃∈+∞，2002x x +≤”的否定为“()1,x ∀∈+∞，22x x +>”.故答案为：()1,x ∀∈+∞，22x x +>.【点睛】本题考查了特称命题的否定，属于基础题.12．【答案】3【解析】【分析】取3x =代入验证即可得到答案.【详解】因为*3x =∈N ，而3223<，∴说明“*x ∀∈N ，22x x ≥”是假命题．故答案为：3.【点睛】本题考查命题与简易逻辑，属于基础题．13．【答案】①④⑤【解析】【分析】由题设条件可先判断出两个命题的真假，再根据复合命题真假的判断规则判断出选项中复合命题的真假即可得出正确选项．由于函数sin 2y x =的最小正周期为π，故命题p 是真命题；函数cos y x =的图象关于直线x k π=对称，k Z ∈，故q 是假命题．结合复合命题的判断规则知：p q ∧为假命题，p q ∨为是真命题，q ⌝为真命题．故答案为：①④⑤．【点睛】本题考查复合命题的真假判断，解题的关键是正确判断所涉及命题的真假及熟练掌握复合命题的真假判断规则，属于基础题．1．【答案】B 【解析】由0x =时，210x x -+≥成立知p 是真命题；由221(2),12<->-可知q 是假命题，所以p q ∧⌝是真命题，故选B.【名师点睛】判断一个命题为真命题,要给出推理与证明；判断一个命题是假命题,只需举出反例．根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假．2．【答案】C【解析】由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-，故应选C.【名师点睛】本题考查特称命题和全称命题的否定形式，属识记基础题.3．【答案】①③④【解析】【分析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题1p 的真假；利用三点共线可判断命题2p 的真假；利用异面直线可判断命题3p 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题4p 的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.【详解】对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为α；若3l 与1l 相交，则交点A 在平面α内，同理，3l 与2l 的交点B 也在平面α内，所以，AB α⊂，即3l α⊂，命题1p 为真命题；对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题2p 为假命题；对于命题3p ，空间中两条直线相交、平行或异面，命题3p 为假命题；对于命题4p ，若直线m ⊥平面α，则m 垂直于平面α内所有直线，直线l ⊂平面α，∴直线m ⊥直线l ，命题4p 为真命题.综上可知，，为真命题，，为假命题，14p p ∧真命题，12p p ∧为假命题，23p p ⌝∨为真命题，34p p ⌝∨⌝为真命题.故答案为①③④.【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.。

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

§1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断2.全称量词和存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．3．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定知识拓展1．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律(1)p∨q：p，q中有一个为真，则p∨q为真，即有真为真．(2)p∧q：p，q中有一个为假，则p∧q为假，即有假即假．(3)非p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．2．含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．3．命题的否定和否命题的区别：命题“若p，则q”的否定是“若p，则非q”，否命题是“若非p，则非q”．题组二教材改编2．[P18B组]已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题非p，非q，p∨q，p∧q中真命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．4答案 B解析p和q显然都是真命题，所以非p，非q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题．3．[P28T6(4)]命题“正方形都是矩形”的否定是____________________．答案存在一个正方形，这个正方形不是矩形题组三易错自纠4．已知命题p，q，“非p为真”是“p∧q为假”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析由非p为真知，p为假，可得p∧q为假；反之，若p∧q为假，则可能是p真q假，从而非p为假，故“非p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件，故选A. 5．(2017·贵阳调研)下列命题中的假命题是()A．∃x0∈R，lg x0＝1 B．∃x0∈R，sin x0＝0C．∀x∈R，x3＞0 D．∀x∈R，2x＞0答案 C解析当x＝10时，lg 10＝1，则A为真命题；当x＝0时，sin 0＝0，则B为真命题；当x＜0时，x3＜0，则C为假命题；由指数函数的性质知，∀x∈R，2x＞0，则D为真命题．故选C.6．已知命题p：∀x∈R，x2－a≥0；命题p：∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0.若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围为__________．答案(－∞，－2]题型一含有逻辑联结词的命题的真假判断1．(2018·济南调研)设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中的真命题是( ) A ．p ∨q B ．p ∧q C ．(非p )∧(非q ) D ．p ∨(非q )答案 A解析如图所示，若a ＝A 1A →，b ＝AB →，c ＝B 1B →，则a ·c ≠0，命题p 为假命题；显然命题q 为真命题，所以p ∨q 为真命题．故选A.2．(2017·山东)已知命题p ：∀x ＞0，ln(x ＋1)＞0；命题q ：若a ＞b ，则a 2＞b 2.下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．p ∧(非q ) C ．(非p )∧q D ．(非p )∧(非q )答案 B解析 ∵x ＞0，∴x ＋1＞1，∴ln(x ＋1)＞ln 1＝0. ∴命题p 为真命题，∴非p 为假命题．∵a ＞b ，取a ＝1，b ＝－2，而12＝1，(－2)2＝4，此时a 2＜b 2，∴命题q 为假命题，∴非q 为真命题．∴p ∧q 为假命题，p ∧(非q )为真命题，(非p )∧q 为假命题，(非p )∧(非q )为假命题．故选B.3．已知命题p ：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q ：在空间中，对于三条不同的直线a ，b ，c ，若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c .对以上两个命题，有以下命题： ①p ∧q 为真；②p ∨q 为假；③p ∨q 为真；④(非p )∨(非q )为假．其中，正确的是________．(填序号) 答案 ②解析命题p 是假命题，这是因为α与γ也可能相交；命题q 也是假命题，这两条直线也可能异面，相交．思维升华 “p ∨q ”“p ∧q ”“非p ”等形式命题真假的判断步骤 (1)确定命题的构成形式； (2)判断其中命题p 、q 的真假；(3)确定“p ∧q ”“p ∨q ”“非p ”等形式命题的真假．题型二含有一个量词的命题命题点1 全称命题、特称命题的真假典例下列四个命题：p 1：∃x 0∈(0，＋∞)，0011()()23x x <；p 2：∃x 0∈(0,1)，101023log log x x >；p 3：∀x ∈(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫12x ＞12log x ；p 4：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，13，⎝⎛⎭⎫12x ＜13log x . 其中真命题是( )A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4答案 D 假命题；对于p 4，结合指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x与对数函数y ＝13log x 在⎝⎛⎭⎫0，13上的图象，可以判断p 4是真命题．命题点2 含一个量词的命题的否定典例 (1)命题“∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x＞0”的否定是( ) A ．∃x 0∈R ，01()3x ＜0 B ．∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x≤0 C ．∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x ＜0 D ．∃x 0∈R ，01()3x ≤0答案 D解析全称命题的否定是特称命题，“>”的否定是“≤”．(2)(2017·河北五个一名校联考)命题“∃x 0∈R ，1＜f (x 0)≤2”的否定形式是( ) A ．∀x ∈R ，1＜f (x )≤2 B ．∃x 0∈R ，1＜f (x 0)≤2 C ．∃x 0∈R ，f (x 0)≤1或f (x 0)＞2D ．∀x ∈R ，f (x )≤1或f (x )＞2 答案 D解析特称命题的否定是全称命题，原命题的否定形式为“∀x ∈R ，f (x )≤1或f (x )＞2”．思维升华 (1)判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立． (2)对全(特)称命题进行否定的方法①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词； ②对原命题的结论进行否定．跟踪训练 (1)下列命题是假命题的是( ) A ．∃α，β∈R ，使cos(α＋β)＝cos α＋cos β B ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数C ．∃x 0∈R ，使x 30＋ax 20＋bx 0＋c ＝0(a ，b ，c ∈R 且为常数)D ．∀a >0，函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点答案 B解析取α＝π2，β＝－π4，cos(α＋β)＝cos α＋cos β，A 正确；取φ＝π2，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x 是偶函数，B 错误；对于三次函数y ＝f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，当x →－∞时，y →－∞，当x →＋∞时，y →＋∞，又f (x )在R 上为连续函数，故∃x 0∈R ，使x 30＋ax 20＋bx 0＋c ＝0，C 正确；当f (x )＝0时，ln 2x ＋ln x －a ＝0，则有a ＝ln 2x ＋ln x ＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋122－14≥－14，所以∀a >0，函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点，D 正确，综上可知，选B.(2)(2017·福州质检)已知命题p ：“∃x 0∈R ，0e x －x 0－1≤0”，则非p 为( ) A ．∃x 0∈R ，0e x －x 0－1≥0 B ．∃x 0∈R ，0e x －x 0－1>0 C ．∀x ∈R ，e x －x －1>0 D ．∀x ∈R ，e x －x －1≥0 答案 C解析根据全称命题与特称命题的否定关系，可得非p 为“∀x ∈R ，e x －x －1>0”，故选C. 题型三含参命题中参数的取值范围典例 (1)已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数，若p ∧q 是真命题，则实数a 的取值范围是________________．答案 [－12，－4]∪[4，＋∞)解析若命题p 是真命题，则Δ＝a 2－16≥0，即a ≤－4或a ≥4；若命题q 是真命题，则－a4≤3，即a ≥－12.∵p ∧q 是真命题，∴p ，q 均为真， ∴a 的取值范围是[－12，－4]∪[4，＋∞)．(2)已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－m ，若对∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________________．答案 ⎣⎡⎭⎫14，＋∞解析当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1,2]时， g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由f (x )min ≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥14.引申探究本例(2)中，若将“∃x 2∈[1,2]”改为“∀x 2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m 的取值范围是___________．答案 ⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 解析当x ∈[1,2]时，g (x )max ＝g (1)＝12－m ，由f (x )min ≥g (x )max ，得0≥12－m ，∴m ≥12.思维升华 (1)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假，利用集合的运算求解参数的取值范围．(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．跟踪训练 (1)已知命题“∃x 0∈R ，使2x 20＋(a －1)x 0＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,3)C ．(－3，＋∞)D ．(－3,1)答案 B解析原命题的否定为∀x ∈R ，2x 2＋(a －1)x ＋12＞0，由题意知，其为真命题，即Δ＝(a －1)2－4×2×12＜0，则－2＜a －1＜2，即－1＜a ＜3.(2)(2017·洛阳模拟)已知p ：∀x ∈⎣⎡⎦⎤14，12，2x <m (x 2＋1)，q ：函数f (x )＝4x ＋2x ＋1＋m －1存在零点，若“p 且q ”为真命题，则实数m 的取值范围是__________．答案 ⎝⎛⎭⎫45，1解析由2x <m (x 2＋1)，可得m >2xx 2＋1，又x ∈⎣⎡⎦⎤14，12时，⎝ ⎛⎭⎪⎫2x x 2＋1max ＝45，故当p 为真时，m >45；函数f (x )＝4x ＋2x ＋1＋m －1＝(2x ＋1)2＋m －2，令f (x )＝0，得2x ＝2－m －1，若f (x )存在零点，则2－m －1>0，解得m <1，故当q 为真时，m <1.若“p 且q ”为真命题，则实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫45，1.常用逻辑用语考点分析有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题几乎在每年高考中都会出现，多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难度中等偏下．解决这类问题应熟练把握各类知识的内在联系．一、命题的真假判断典例1 (1)(2017·佛山模拟)已知a ，b 都是实数，那么“a ＞b ”是“ln a ＞ln b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析由ln a ＞ln b ⇒a ＞b ＞0⇒a ＞b ，故必要性成立．当a ＝1，b ＝0时，满足a ＞b ，但ln b 无意义，所以ln a ＞ln b 不成立，故充分性不成立．(2)(2017·江西红色七校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ＜0，m －x 2，x ≥0，给出下列两个命题：命题p ：∃m ∈(－∞，0)，方程f (x )＝0有解，命题q ：若m ＝19，则f (f (－1))＝0，则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．(非p )∧q C ．p ∧(非q ) D ．(非p )∧(非q )答案 B解析因为3x ＞0，当m ＜0时，m －x 2＜0，所以命题p 为假命题；当m ＝19时，因为f (－1)＝3－1＝13，所以f (f (－1))＝f ⎝⎛⎭⎫13＝19－⎝⎛⎭⎫132＝0，所以命题q 为真命题，逐项检验可知，只有(非p )∧q 为真命题，故选B. 二、充要条件的判断典例2 (1)(2017·湖南五市十校联考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝Aq n ＋B (q ≠0)，则“A ＝－B ”是“数列{a n }是等比数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析若A ＝B ＝0，则S n ＝0，数列{a n }不是等比数列；若数列{a n }是等比数列，则由a 1＝Aq ＋B ，a 2＝Aq 2－Aq ，a 3＝Aq 3－Aq 2及a 3a 2＝a 2a 1，得A ＝－B ，故选B.(2)(2017·湖北七市联考)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r ＞0)．设p ：0＜r ＜3，q ：圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2的圆心(1,0)到直线x －3y ＋3＝0的距离d ＝|1－3×0＋3|2＝2.当r ∈(0,1)时，直线与圆相离，圆C 上没有到直线的距离为1的点；当r ＝1时，直线与圆相离，圆C 上只有1个点到直线的距离为1；当r ∈(1,2)时，直线与圆相离，圆C 上有2个点到直线的距离为1；当r ＝2时，直线与圆相切，圆C 上有2个点到直线的距离为1；当r ∈(2,3)时，直线与圆相交，圆C 上有2个点到直线的距离为1.综上，当r ∈(0,3)时，圆C 上至多有2个点到直线的距离为1，又由圆C 上至多有2个点到直线的距离为1，可得0＜r ＜3，故p 是q 的充要条件，故选C. 三、求参数的取值范围典例3 (1)已知命题p ：∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋4x 0＋a ＝0，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是__________．答案 [e,4]解析命题“p ∧q ”是真命题，p 和q 均是真命题．当p 是真命题时，a ≥(e x )max ＝e ；当q 为真命题时，Δ＝16－4a ≥0，a ≤4，所以a ∈[e,4]．(2)已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎡⎦⎤12，3，∃x 2∈[2,3]使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，0]解析 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤12，3，∴f (x )≥2x ·4x＝4，当且仅当x ＝2时，f (x )min ＝4，当x ∈[2,3]时，g (x )min ＝22＋a ＝4＋a ，依题意知f (x )min ≥g (x )min ，即4≥a ＋4，∴a ≤0.1．已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x ＞0；q ：“x ＞1”是“x ＞2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．(非p )∧(非q ) C ．(非p )∧q D ．p ∧(非q )答案 D解析因为指数函数的值域为(0，＋∞)，所以对任意x ∈R ，y ＝2x ＞0恒成立，故p 为真命题；因为当x ＞1时，x ＞2不一定成立，反之，当x ＞2时，一定有x ＞1成立，故“x ＞1”是“x ＞2”的必要不充分条件，故q 为假命题．则p ∧q ，非p 为假命题，非q 为真命题，(非p )∧(非q )，(非p )∧q 为假命题，p ∧(非q )为真命题，故选D.2．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称，则下列判断正确的是( ) A ．p 为真 B ．非q 为假 C ．p ∧q 为假 D ．p ∨q 为真答案 C解析函数y ＝sin 2x 的最小正周期为2π2＝π，故命题p 为假命题；x ＝π2不是y ＝cos x 的对称轴，故命题q 为假命题，故p ∧q 为假．故选C. 3．下列命题中为假命题的是( ) A ．∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，x ＞sin x B ．∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2 C ．∀x ∈R ，3x ＞0 D ．∃x 0∈R ，lg x 0＝0 答案 B解析对于A ，令f (x )＝x －sin x ，则f ′(x )＝1－cos x ，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f ′(x )＞0.从而f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数，则f (x )＞f (0)＝0，即x ＞sin x ，故A 正确；对于B ，由sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤2＜2知，不存在x 0∈R ，使得sin x 0＋cos x 0＝2，故B 错误；对于C ，易知3x ＞0，故C 正确；对于D ，由lg 1＝0知，D 正确．故选B.4．(2017·豫西五校联考)若定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，则下列命题中一定为真命题的是( )A ．∀x ∈R ，f (－x )≠f (x )B ．∀x ∈R ，f (－x )＝－f (x )C ．∃x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)D ．∃x 0∈R ，f (－x 0)＝－f (x 0)答案 C解析由题意知∀x ∈R ，f (－x )＝f (x )是假命题，则其否定为真命题，∃x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)是真命题，故选C.5．(2017·安庆二模)设命题p ：∃x 0∈(0，＋∞)，x 0＋1x 0＞3；命题q ：∀x ∈(2，＋∞)，x 2＞2x ，则下列命题为真的是( )A ．p ∧(非q )B ．(非p )∧qC ．p ∧qD ．(非p )∨q答案 A解析对于命题p ，当x 0＝4时，x 0＋1x 0＝174＞3，故命题p 为真命题；对于命题q ，当x ＝4时，24＝42＝16，即∃x 0∈(2，＋∞)，使得02x ＝x 20成立，故命题q 为假命题，所以p ∧(非q )为真命题，故选A.6．(2018届东莞外国语学校月考)已知命题p ：∃x 0∈R ，cos x 0＝54；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0.则下列结论正确的是( )A ．命题p ∧q 是真命题B ．命题p ∧(非q )是真命题C ．命题(非p )∧q 是真命题D ．命题(非p )∨(非q )是假命题答案 C解析因为对任意x ∈R ，都有cos x ≤1成立，而54>1，所以命题p ：∃x 0∈R ，cos x 0＝54是假命题；因为对任意的x ∈R ，x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0，所以命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0是真命题．由此对照各个选项，可知命题(非p )∧q 是真命题．7．下列命题中，真命题是( )A ．∃x 0∈R ，0e x ≤0B ．∀x ∈R ，2x ＞x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是a b＝－1 D ．“a ＞1，b ＞1”是“ab ＞1”的充分条件答案 D解析因为y ＝e x ＞0，x ∈R 恒成立，所以A 不正确；因为当x ＝－5时，2－5＜(－5)2，所以B 不正确；“a b＝－1”是“a ＋b ＝0”的充分不必要条件，C 不正确；当a ＞1，b ＞1时，显然ab ＞1，D 正确．8．命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，若非p 是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,4]B ．[0,4]C ．(－∞，0]∪[4，＋∞)D ．(－∞，0)∪(4，＋∞)答案 D解析因为命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，所以非p ：∃x 0∈R ，ax 20＋ax 0＋1＜0，则a ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝a 2－4a ＞0，解得a ＜0或a ＞4. 9．命题p 的否定是“对所有正数x ，x >x ＋1”，则命题p 可写为____________________．答案 ∃x 0∈(0，＋∞)，x 0≤x 0＋1解析因为p 是非p 的否定，所以只需将全称命题变为特称命题，再对结论否定即可．10．已知函数f (x )的定义域为(a ，b )，若“∃x 0∈(a ，b )，f (x 0)＋f (－x 0)≠0”是假命题，则f (a ＋b )＝________.答案 0解析若“∃x 0∈(a ，b )，f (x 0)＋f (－x 0)≠0”是假命题，则“∀x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )＝0”是真命题，即f (－x )＝－f (x )，则函数f (x )是奇函数，则a ＋b ＝0，即f (a ＋b )＝f (0)＝0.11．以下四个命题：①∀x ∈R ，x 2－3x ＋2>0恒成立；②∃x 0∈Q ，x 20＝2；③∃x 0∈R ，x 20＋1＝0；④∀x ∈R,4x 2>2x －1＋3x 2.其中真命题的个数为________．答案 0解析 ∵x 2－3x ＋2＝0的判别式Δ＝(－3)2－4×2>0，∴当x >2或x <1时，x 2－3x ＋2>0才成立，∴①为假命题；当且仅当x ＝±2时，x 2＝2，∴不存在x 0∈Q ，使得x 20＝2，∴②为假命题；对∀x ∈R ，x 2＋1≠0，∴③为假命题；4x 2－(2x －1＋3x 2)＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0，即当x ＝1时，4x 2＝2x －1＋3x 2成立，∴④为假命题．∴①②③④均为假命题．故真命题的个数为0.12．(2017·江西五校联考)已知命题p ：∃x 0∈R ，(m ＋1)·(x 20＋1)≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立．若p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围为____________．答案 (－∞，－2]∪(－1，＋∞)解析由命题p ：∃x 0∈R ，(m ＋1)(x 20＋1)≤0，可得m ≤－1，由命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，可得－2<m <2，因为p ∧q 为假命题，所以m ≤－2或m >－1.13．已知命题p ：x 2＋2x －3>0；命题q ：13－x>1，若“(非q )∧p ”为真，则x 的取值范围是___．答案 (－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)解析因为“(非q )∧p ”为真，即q 假p 真，而当q 为真命题时，13－x －1＝－x －2x －3>0，即2<x <3，所以当q 为假命题时，有x ≥3或x ≤2；当p 为真命题时，由x 2＋2x －3>0，解得x >1或x <－3，由⎩⎪⎨⎪⎧x >1或x <－3，x ≥3或x ≤2，得x ≥3或1＜x ≤2或x <－3，所以x 的取值范围是{x |x ≥3或1＜x ≤2或x ＜－3}．14．下列结论：①若命题p ：∃x 0∈R ，tan x 0＝1；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0，则命题“p ∧(非q )”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是a b＝－3； ③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题是“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”．其中正确结论的序号为________．答案 ①③解析 ①中命题p 为真命题，命题q 为真命题，所以p ∧(非q )为假命题，故①正确；②当b ＝a ＝0时，有l 1⊥l 2，故②不正确；③正确，所以正确结论的序号为①③.15．已知命题p ：∃x 0∈R ，0e x－mx 0＝0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若p ∨(非q )为假命题，则实数m 的取值范围是____．答案 [0,2]解析若p ∨(非q )为假命题，则p 假q 真．由e x －mx ＝0，可得m ＝e x x ，x ≠0，设f (x )＝e x x，x ≠0，则 f ′(x )＝x e x －e x x 2＝(x －1)e xx 2，当x >1时，f ′(x )>0，函数f (x )＝e x x在(1，＋∞)上是单调递增函数；当0<x <1或x <0时，f ′(x )<0，函数f (x )＝e x x在(0,1)和(－∞，0)上是单调递减函数，所以当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝e ，所以函数f (x )＝e x x的值域是(－∞，0)∪[e ，＋∞)，由p 是假命题，可得0≤m <e. 当命题q 为真命题时，有Δ＝m 2－4≤0，即－2≤m ≤2.所以当p ∨(非q )为假命题时，m 的取值范围是0≤m ≤2.16．已知函数f (x )＝x 2－x ＋1x －1(x ≥2)，g (x )＝a x (a >1，x ≥2)． (1)若∃x 0∈[2，＋∞)，使f (x 0)＝m 成立，则实数m 的取值范围为________________；(2)若∀x 1∈[2，＋∞)，∃x 2∈[2, ＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)，则实数a 的取值范围为________________．答案 (1)[3，＋∞) (2)(1，3]解析 (1)因为f (x )＝x 2－x ＋1x －1＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2＋1＝3，当且仅当x ＝2时等号成立，所以若∃x 0∈[2，＋∞)，使f (x 0)＝m 成立，则实数m 的取值范围为[3，＋∞)．(2)因为当x ≥2时，f (x )≥3，g (x )≥a 2，若∀x 1∈[2，＋∞)，∃x 2∈[2，＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤3，a ＞1，解得a ∈(1，3]．。

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

03 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词知识梳理1．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．(2)命题p ∧q 、p ∨q 、非p 的真假判断2.(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用“”表示；含有全称量词的命题叫做全称命题．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用“”表示；含有存在量词的命题叫做特称命题．(3)含有一个量词的命题的否定要点整合1．若p ∧q 为真，则p ，q 同为真；若p ∧q 为假，则p ，q 至少有一个为假；若p ∨q 为假，则p ，q 同为假；若p ∨q 为真，则p ，q 至少有一个为真．2．“p ∧q ”的否定是“(非p )∨(非q )”；“p ∨q ”的否定是“(非p )∧(非q )”．题型一. 含有一个逻辑联结词命题的真假性例1. 已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x >0；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(非p )∧(非q )C ．(非p )∧qD ．p ∧(非q )解析：根据指数函数的图象可知p 为真命题．由于“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，所以q 为假命题，所以非q 为真命题．逐项检验可知只有p ∧(非q )为真命题．故选D.[答案] D判断含有一个逻辑联结词命题的真假性的步骤第一步：先判断命题p 与q 的真假性，从而得出非p 与非q 的真假性．第二步：根据“p ∧q ”与“p ∨q ”的真值表进行真假性的判断．变式1．设命题p ：3≥2，q ：函数f (x )＝x ＋1x (x ∈R )的最小值为2，则下列命题为假命题的是( )A ．p ∨qB ．p ∨(非q )C ．(非p )∨qD ．p ∧(非q )解析：选C.命题p ：3≥2是真命题，命题q 是假命题，∴(非p )∨q 为假命题，故选C.变式2．已知命题p ：x ∈R ，2x <3x ，命题q ：x ∈R ，x 2＝2－x ，若命题(非p )∧q 为真命题，则x 的值为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：选D.∵非p ：x ∈R ，2x ≥3x ，要使(非p )∧q 为真，∴非p 与q 同时为真．由2x ≥3x 得⎝ ⎛⎭⎪⎫23x≥1， ∴x ≤0，由x 2＝2－x 得x 2＋x －2＝0，∴x ＝1或x ＝－2，又x ≤0，∴x ＝－2.变式3．设p ：y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是减函数；q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴有两个不同的交点，若p ∨(非q )为假，则a 的范围为__________．解析：∵p ∨(非q )为假，∴p 假q 真．p 为假时，a >1，q 为真时，(2a －3)2－4>0，即a <12或a >52，∴a 的范围为(1，＋∞)∩⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞ ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞题型二. 含有一个量词的命题的否定例2. 命题“x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是( )A ．x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1B ．x (0，＋∞)，ln x ＝x －1C ．x 0∈(0，＋∞)，ln x 0≠x 0－1D ．x 0(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1解析：由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为全称命题，则所求命题的否定为x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1，故选A.[答案] A(1)特称命题与全称命题否定的判断方法：“”“”相调换，否定结论得命题．对没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；(2)判定全称命题“x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可．变式1．命题p ：x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0的否定为( )A ．非p ：x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2>0B ．非p ：x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0C ．非p ：x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0D ．非p ：x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2＜0解析：选C.根据特称命题的否定形式知非p ：x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，故选C.变式2．设命题p ：任意两个等腰三角形都相似，q ：x 0∈R ，x 0＋|x 0|＋2＝0，则下列结论正确的是 ( )A ．p ∨q 为真命题B ．(非p )∧q 为真命题C ．p ∨(非q )为真命题D ．(非p )∧(非q )为假命题解析：选C.∵p 假，非p 真；q 假，非q 真，∴p ∨q 为假，(非p )∧q 为假，p ∨(非q )为真，(非p )∧(非q )为真，故选C.题型三. 全称命题与特称命题真假性的应用例3. 已知p ：x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(－∞，－2]C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2，2]解析：依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎨⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2. [答案] A根据全称与特称命题的真假性求参数范围的步骤第一步：对两个简单命题进行真假性判断．第二步：根据p ∧q 为真，则p 真q 真，p ∧q 为假，则p与q 至少有一个为假，p ∨q 为真，则p 与q 至少有一个为真，p ∨q 为假，则p 假q 假．第三步：根据p 、q 的真假性列出关于参数的关系式，从而求出参数的范围．变式1．若命题“存在实数x 0，使x 20＋ax 0＋1＜0”的否定是真命题，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－2]B ．[－2，2]C ．(－2，2)D ．[2，＋∞)解析：选B.因为该命题的否定为：“x ∈R ，x 2＋ax ＋1≥0”是真命题，则Δ＝a 2－4×1×1≤0，解得－2≤a ≤2.故实数a 的取值范围是[－2，2]．变式2．(名师原创)若“x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，sin x ≤m ”是真命题，则实数m 的范围为( ) A ．[1，＋∞) B ．(－∞，1]D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 解析：选A.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，12≤sin x ≤1. ∴“x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，sin x ≤m ”为真命题时，m ≥1，故选A.【真题演练】1.【浙江理数】命题“*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x >”的否定形式是（）A ．*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x ，则为( )（A ）2,2n n N n ∀∈> （B ）2,2n n N n ∃∈≤（C ）2,2n n N n ∀∈≤ （D ）2,=2n n N n ∃∈【答案】C【解析】:2,2nn N n ∀∈≤，故选C.3.【高考浙江，理4】命题“**,()n N f n N ∀∈∈且()f n n ≤的否定形式是（） A. **,()n N f n N ∀∈∈且()f n n > B. **,()n N f n N ∀∈∈或()f n n >C. **00,()n N f n N ∃∈∈且00()f n n >D. **00,()n N f n N ∃∈∈或00()f n n >【答案】D.【解析】根据全称命题的否定是特称命题，可知选D.4.【陕西卷】原命题为“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，假，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假【答案】B5.【重庆卷】已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x >0，q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．非p ∧非qC ．非p ∧qD ．p ∧非q【答案】D【解析】根据指数函数的图像可知p 为真命题．由于“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，所以q 为假命题，所以非q 为真命题，所以p ∧非q 为真命题．6.【湖北卷】在一次跳伞中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A ．(⌝p)∨(⌝q)B ．p ∨(⌝q)C ．(⌝p)∧(⌝q)D ．p ∨q【答案】A“至少一位学员没降落在指定区域”即“甲没降落在指定区域或乙没降落在指定区域”，可知选A.。

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词最新考纲 1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；2.理解全称量词与存在量词的意义；3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.知识梳理1.简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词.(2)命题p∧q、p∨q、綈p的真假判断p q p∧q p∨q綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用“?”表示；含有全称量词的命题叫做全称命题.(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用“?”表示；含有存在量词的命题叫做特称命题.3.含有一个量词的命题的否定命题命题的否定x∈M，p(x) ?x0∈M，綈p(x0)x0∈M，p(x0) ?x∈M，綈p(x)诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)命题“5＞6或5＞2”是真命题(√)(2)命题p∧q为假命题，则命题p，q都是假命题.(×)(3)若命题p，q至少有一个是真命题，则p∨q是真命题.(√)(4)已知命题p：?n0∈N，2n0＞1 000，则綈p：?n0∈N，2n0≤1 000.(×)(5)命题“?x∈R，x2≥0”的否定是“?x∈R，x2＜0”.(×)2.(2015·湖北卷)命题“?x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是( )A.?x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1B.?x?(0，＋∞)，ln x＝x－1C.?x0∈(0，＋∞)，ln x0≠x0－1D.?x0?(0，＋∞)，ln x0＝x0－1解析该命题的否定是将存在量词改为全称量词，等号改为不等号即可，故选A.答案 A3.(2015·石家庄模拟)命题p：若sin x＞sin y，则x＞y；命题q：x2＋y2≥2xy.下列命题为假命题的是( )A.p∨qB.p∧qC.qD.綈p解析∵当sin x＞sin y时，无法推出x＞y，∴命题p是假命题.命题q是真命题，∴p∨q是真命题，p∧q是假命题，綈p是真命题.故选B.答案 B4.若命题“?x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________.解析当a＝0时，不等式显然成立；当a≠0时，由题意知解得－8≤a＜0.综上，－8≤a≤0.答案[－8，0]5.(人教A选修1－1P26A3改编)给出下列命题：①?x∈N，x3＞x2；②所有可以被5整除的整数，末位数字都是0；③?x0∈R，x－x0＋1≤0；④存在一个四边形，它的对角线互相垂直.则上述命题的否定中，真命题的序号为________.答案①②③考点一含有逻辑联结词的命题及其真假判断【例1】 (1)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次.设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A.(綈p)∨(綈q)B.p∨(綈q)C.(綈p)∧(綈q)D.p∨q(2)(2015·济南模拟)已知命题p：若x＞y，则－x＜－y；命题q：若x＞y，则x2＞y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是( )A.①③B.①④C.②③D.②④解析(1)命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包含以下三种情况：“甲、乙均没有降落在指定范围”“甲降落在指定范围，乙没有降落在指定范围”“乙降落在指定范围，甲没有降落在指定范围”，故可表示为(綈p)∨(綈q).或者，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”等价于命题“甲、乙均降落在指定范围”的否定，即“p∧q”的否定.选A.(2)由不等式的性质可知，命题p是真命题，命题q为假命题，故①p∧q为假命题，②p∨q为真命题，③綈q为真命题，则p∧(綈q)为真命题，④綈p为假命题，则(綈p)∨q为假命题，所以选C.答案(1)A (2)C规律方法若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”——一真即真，“且”——一假即假，“非”——真假相反，做出判断即可.【训练1】 (1)若命题p：函数y＝x2－2x的单调递增区间是[1，＋∞)，命题q：函数y＝x－的单调递增区间是[1，＋∞)，则( )A.p∧q是真命题B.p∨q是假命题C.綈p是真命题D.綈q是真命题(2)“p∨q”为真命题是“p∧q”为真命题的________条件.解析(1)因为函数y＝x2－2x的单调递增区间是[1，＋∞)，所以p是真命题；因为函数y＝x－的单调递增区间是(－∞，0)和(0，＋∞)，所以q是假命题.所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p为假命题，綈q为真命题，故选D.(2)若命题“p∨q”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题.若命题“p∧q”为真命题，则p，q都为真命题，因此“p∨q”为真命题是“p∧q”为真命题的必要不充分条件.答案(1)D (2)必要不充分考点二全(特)称命题的否定及其真假判定【例2】(1)(2015·郑州质量预测)已知命题p：?x＞0，x3＞0，那么綈p是( )A.?x0≤0，x≤0B.?x＞0，x3≤0C.?x0＞0，x≤0D.?x＜0，x3≤0(2)(2015·太原二模)下列命题中的假命题是( )A.?x0∈R，lg x0＝1B.?x0∈R，sin x0＝0C.?x∈R，x3＞0D.?x∈R，2x＞0解析(1)全称命题“?x∈A，p(x)”的否定形式为“?x0∈A，綈p(x0)”；存在性命题“?x0∈A，p(x0)”的否定形式为“?x∈A，綈p(x)”.故“?x＞0，x3＞0”的否定是“?x0≤0，x≤0”.(2)当x＝10时，lg 10＝1，则A为真命题；当x＝0时，sin 0＝0，则B为真命题；当x＜0时，x3＜0，则C为假命题；由指数函数的性质知，?x∈R，2x＞0，则D为真命题，故选C.答案(1)A (2)C规律方法(1)对全(特)称命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.(2)判定全称命题“?x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M中的一个特殊值x0，使p(x0)不成立即可.要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则就是假命题.【训练2】(1)(2015·海淀区模拟)已知命题p：?x0∈R，x＋x0－1＜0，则綈p为( )A.?x0∈R，x＋x0－1＞0B.?x∈R，x2＋x－1≥0C.?x0?R，x＋x0－1≥0D.?x?R，x2＋x－1＞0(2)(2015·沈阳质量监测)下列命题中的真命题的是( )A.?x∈R，x2＞0B.?x∈R，－1＜sin x＜1C.?x0∈R，2x0＜0D.?x0∈R，tan x0＝2解析(1)含有存在量词的命题的否定，需将存在量词改为全称量词，并将结论否定，即綈p：?x∈R，x2＋x－1≥0.(2)?x∈R，x2≥0，故A错；?x∈R，－1≤sin x≤1，故B错；?x∈R，2x＞0，故C错，故选D.答案(1)B (2)D考点三与逻辑联结词、全(特)称命题有关的参数问题【例3】已知p：?x0∈R，mx＋1≤0，q：?x∈R，x2＋mx＋1＞0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是( )A.[2，＋∞)B.(－∞，－2]C.(－∞，－2]∪[2，＋∞)D.[－2，2]解析依题意知，p，q均为假命题.当p是假命题时，mx2＋1＞0恒成立，则有m≥0；当q是假命题时，则有Δ＝m2－4≥0，m≤－2或m≥2.因此由p，q均为假命题得即m≥2.答案 A规律方法以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假，列出含有参数的不等式(组)求解即可.【训练3】已知命题p：“?x∈[0，1]，a≥ex”；命题q：“?x0∈R，使得x＋4x0＋a＝0”.若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是________.解析若命题“p∧q”是真命题，那么命题p，q都是真命题.由?x∈[0，1]，a≥ex，得a≥e；由?x0∈R，使x＋4x0＋a＝0，知Δ＝16－4a≥0，得a≤4，因此e≤a≤4.答案[e，4][思想方法]1.把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字面上未出现“或”“且”“非”字眼，要结合语句的含义理解.2.含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与綈p→真假相反.3.要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，再对照否定结构去写，否定的规律是“改量词，否结论”.[易错防范]1.命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论.2.几点注意：(1)注意命题是全称命题还是特称命题，是正确写出命题的否定的前提；(2)注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定；。