东北大学2013年大学物理下课件机械振动
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东北大学2013年大学物理下课件机械振动

52
3 一质点沿x轴做简谐振动,振幅为0.12m,周期为2s, 当t=0时,质点的位置在0.06m处,且向x轴正方向运动, 求: (1)振动方程(2)t=0.5s时,质点的位置、速度、加速度 (3)质点在x=-0.06m处,且向x轴负方向运动,再回到平 衡位置所需最短时间。
A
A1
1
1 2 T 2 1 2 1
单位时间内强弱变化的次数
O
x
1 2 1 T
30
x1
t x2 t x t
同方向不同频率合成曲线
其合成过程可从上面曲线看到 (设两个分振动初相 1和 2都为-π/2)
31
三.垂直方向同频率简谐振动的合成 1.分振动 2. 合运动 x=A1cos( t+ 1)
对于单摆:
T 2
m k
g 2 l
T 2
l g
13
3.相位
因有:
x A cos(t ) v A sin( t ) 可见: t+是决定t 时刻 状态的物理量 a A 2 cos(t )
(2) 是t =0时刻的相位 ——初相
3
16
2 图象法
x
m o x
A
o
A
t
根据已知曲线可以直观地了解 到各个时刻质点的振动状态.
17
旋转矢量
3.旋转矢量法
t=t
t=0 A
t+
t=t
o x x = A cos( t + )
·
x
t=0
t+
如:一振子在t =0时
o
x
x
A x0 ; v0 0 2
3 一质点沿x轴做简谐振动,振幅为0.12m,周期为2s, 当t=0时,质点的位置在0.06m处,且向x轴正方向运动, 求: (1)振动方程(2)t=0.5s时,质点的位置、速度、加速度 (3)质点在x=-0.06m处,且向x轴负方向运动,再回到平 衡位置所需最短时间。
A
A1
1
1 2 T 2 1 2 1
单位时间内强弱变化的次数
O
x
1 2 1 T
30
x1
t x2 t x t
同方向不同频率合成曲线
其合成过程可从上面曲线看到 (设两个分振动初相 1和 2都为-π/2)
31
三.垂直方向同频率简谐振动的合成 1.分振动 2. 合运动 x=A1cos( t+ 1)
对于单摆:
T 2
m k
g 2 l
T 2
l g
13
3.相位
因有:
x A cos(t ) v A sin( t ) 可见: t+是决定t 时刻 状态的物理量 a A 2 cos(t )
(2) 是t =0时刻的相位 ——初相
3
16
2 图象法
x
m o x
A
o
A
t
根据已知曲线可以直观地了解 到各个时刻质点的振动状态.
17
旋转矢量
3.旋转矢量法
t=t
t=0 A
t+
t=t
o x x = A cos( t + )
·
x
t=0
t+
如:一振子在t =0时
o
x
x
A x0 ; v0 0 2
大学物理 机械振动课件

当 = (2k+1) , k=0,±1,±2...
两振动步调相反,称反相
当0
2 超前于1 或 1 滞后于 2
位相差反映了两个振动不同程度的参差错落
三、简谐振动的旋转矢量表示法
t=t A
t+0
0
A t=0
o
x
x
x Acos(t 0 )
旋转矢量—— 确定 和研究振动合成很方便
t
A
t=0
k J
R2
T 2 2 m J R2
k
例:已知某简谐振动的 速度与时间的关系曲线如图所
示,试求其振动方程。 解:设振动方程为
v(cms 1)
31.4
x Acos(t 0 )
15.7
v0 Asin0 15.7
0 15.7
1
t(s)
x0 Acos0 0
31.4
Q A vm 31.4
sin2 (
t
0 )
1 kA2 2
cos2 (t
0 )
谐振动的动能和势能是时间的周期性函数
动 能
Ek
1 2
mv 2
1 2
kA2
sin2 (
t
0
)
Ek max
1 2
kA2
Ekmin 0
1
Ek T
t T t
Ek dt
1 4
kA2
势
Ep
1 2
kx 2
能
1 2
kA2
cos 2 ( t
0
)
E pmax , E pmin , E p
J
mgh
例4.1 证明竖直弹簧振子的振动是简谐振动(自学)
§4.2 简谐振动的运动学
两振动步调相反,称反相
当0
2 超前于1 或 1 滞后于 2
位相差反映了两个振动不同程度的参差错落
三、简谐振动的旋转矢量表示法
t=t A
t+0
0
A t=0
o
x
x
x Acos(t 0 )
旋转矢量—— 确定 和研究振动合成很方便
t
A
t=0
k J
R2
T 2 2 m J R2
k
例:已知某简谐振动的 速度与时间的关系曲线如图所
示,试求其振动方程。 解:设振动方程为
v(cms 1)
31.4
x Acos(t 0 )
15.7
v0 Asin0 15.7
0 15.7
1
t(s)
x0 Acos0 0
31.4
Q A vm 31.4
sin2 (
t
0 )
1 kA2 2
cos2 (t
0 )
谐振动的动能和势能是时间的周期性函数
动 能
Ek
1 2
mv 2
1 2
kA2
sin2 (
t
0
)
Ek max
1 2
kA2
Ekmin 0
1
Ek T
t T t
Ek dt
1 4
kA2
势
Ep
1 2
kx 2
能
1 2
kA2
cos 2 ( t
0
)
E pmax , E pmin , E p
J
mgh
例4.1 证明竖直弹簧振子的振动是简谐振动(自学)
§4.2 简谐振动的运动学
大学物理学(下册)第9章 机械振动-PPT课件-精选文档

因此在角位移很小的情况下,单摆的振动是简谐振动.
例2 一个轻质弹簧竖直悬挂,下端挂一质量为m的物体。 今将物体向下拉一段距离后再放开, 证明物体将作简谐振动。 弹簧原长 解:求平衡位置 l0
k x g 0 m
mg x0 k
以平衡位置O为原点
F mg k ( x0 x ) mg kx0 kx kx
挂m后伸长 平衡位置
受弹力
x0
o
x x
伸 长
某时刻m位置
f m
因此 , 此振动为简谐振
动。
9.1.2 简谐振动的描述 (1) 振幅 定义:作简谐运动的物体离开平 衡位置的最大位移的绝对值称为 振幅。 A xmax
x
T
A
t
(2) 周期、频率与角频率 定义:物体作一次完全振动所经历的时间为振动的周期T。 定义:单位时间内物体所作的完全振动的次数称为振动的 1 频率ν。
振动发声的乐器
9.1.1 简谐振动的特征
(1) 以弹簧振动系统为例 弹性系数为k的轻质弹簧一端固定,另一端系一质量为m的 物体,这样的弹簧和物体构成的系统称为弹簧振子。 把弹簧振子置于光滑的水平面上。物体所受的阻力忽略不计。 设在O点弹簧没有形变,此处物体所受的合力为零,称O点 为平衡位置。
(2) 动力学特征
F mg sin t
当θ很小时(θ<50),sinθ≈θ,所以
F mg t
由牛顿第二定律,在切线方向上
2 d F m a m l m l 2 m g t t d t d 2 g 即 0 2
dt
l
g 2 设 l
d 2 2 0 2 dt
F
m
大学物理机械振动ppt资料

x
o
to
o
t
t
上一页 下一页
x Acost
A为位移振幅
v
dx dt
Asint
vm
cos(t
2
)
vm A为速度振幅
a
d2x dt 2
2 Acost
am
cos(t
)
am 2 A为加速度振幅
a 2x
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x (a)o
v (b)o
T
t1 t2
t1
t2
a (c)o
t1 t2
t3 t
(2)
将
动
力
学
方
程
变
为d 2x dt 2
2
x
0的
形
式
,
如 果 能 化 为 这 种 形 式 ,也 就 证 明 了 振 动 为 简 谐振 动 。
(3)由动力学方程写出, 求出周期T或频率。
上一页 下一页
例 . 确定单摆固有角频率 及周期T。
解:根据牛顿第二定律
Ft mg sin
当很小时,sin
d 2
dt 2
g
l
0
ml
d 2
dt 2
mg
ml
l
et
d 2
m
dt2 Ft mg
单摆的小角摆
g
l
T 2 l
g
动是简谐振动
微分方程的解为 0 cost
上一页 下一页
上一页 下一页
例: 确定复摆 ( 5 )的固有周期T。
M mgl sin mgl
mgl
J
d 2
dt 2
o
d 2
dt 2
o
to
o
t
t
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x Acost
A为位移振幅
v
dx dt
Asint
vm
cos(t
2
)
vm A为速度振幅
a
d2x dt 2
2 Acost
am
cos(t
)
am 2 A为加速度振幅
a 2x
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x (a)o
v (b)o
T
t1 t2
t1
t2
a (c)o
t1 t2
t3 t
(2)
将
动
力
学
方
程
变
为d 2x dt 2
2
x
0的
形
式
,
如 果 能 化 为 这 种 形 式 ,也 就 证 明 了 振 动 为 简 谐振 动 。
(3)由动力学方程写出, 求出周期T或频率。
上一页 下一页
例 . 确定单摆固有角频率 及周期T。
解:根据牛顿第二定律
Ft mg sin
当很小时,sin
d 2
dt 2
g
l
0
ml
d 2
dt 2
mg
ml
l
et
d 2
m
dt2 Ft mg
单摆的小角摆
g
l
T 2 l
g
动是简谐振动
微分方程的解为 0 cost
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例: 确定复摆 ( 5 )的固有周期T。
M mgl sin mgl
mgl
J
d 2
dt 2
o
d 2
dt 2
大学物理机械振动课件

03 阻尼振动
阻尼振动的定义与特点
定义
阻尼振动是指振动系统受到阻力 作用,使得振动能量逐渐减少的
振动过程。
特点
随着时间的推移,振幅逐渐减小, 频率逐渐降低,直至振动停止。
阻尼力
阻尼振动过程中,系统受到的阻力 称为阻尼力,它与振动速度成正比, 方向与振动速度方向相反。
阻尼振动的描述方法
微分方程
阻尼振动的运动方程通常表示为二阶常微分方程,形式为 `m * d²x/dt² + c * dx/dt + k * x = 0`,其中 m、c、k 分别为质量、
振动压路机
利用共振原理来提高压实效果。
振动输送机
利用共振来输送物料,提高输送效率。
受迫振动与共振的能量转换
能量转换过程
外界周期性力对系统做正 功,系统动能增加;阻尼 使系统能量耗散,系统势 能减小。
转换关系
在振动过程中,外界对系 统的总能量输入等于系统 动能和势能的变化之和。
影响因素
阻尼系数、驱动力频率、 物体固有频率等。
能量耗散途径
阻尼振动的能量耗散途径 主要包括与周围介质之间 的摩擦、空气阻力、内部 摩擦等。
能量耗散的意义
阻尼振动的能量耗散有助 于减小系统振幅,避免因 过大振幅导致的结构破坏 或噪声污染等问题。
04 受迫振动与共振
受迫振动的定义与特点
定义:在外来周期性力的持 续作用下,物体发生的振动
称为受迫振动。
确定各简谐振动的振幅、相位差和频 率,在复平面内绘制振动相量,通过 旋转和位移操作找到合成振动的相量 表示。
振动合成的能量法
描述
能量法是通过分析各简谐振动的能量分布和转化,来研究振 动合成过程中的能量传递和平衡。
大学物理机械振动(课堂PPT)

k , k串k,串, k并k,并
m
.
12
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t :相 位 , 或 位 相(r, ad)或相相 位决定谐振子某
: t 0时的相,称 位为初. 相一瞬时的运动状态
: 相位差,即两个相位之差。
1)对同一简谐运动,相位差可以给出两运动状
态间变化所需的时间.
t t2
t1
(t2) (t1)
4 上一页 下一页
要定义或证明一个运动是简谐振动,可以从 是否满足下面三个方程之一为依据。
Fkx
d2x dt2
2x
0
动力学特点
x A c o t s
运动学特点
某物理量如果满足后两个方程,那么这个物理量
是简谐振动量。
.
5
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A (振幅决定谐振子运动的范围)
振子偏离平衡位 大置 位的 移最 的绝对 m)值
T
对于弹 :簧 k振 , T 子 2 m, 1 k
m
k 2 m
☆ 确定振动系统周期的方法:
(1)分析受力情F况 m,a或M 由J,写出动力学
(2)将动力学方dd2程 t2x变 2x为 0的形式,
如果能化为这种 也形 就式 证, 明了振动 振为 动
(3)由动力学方程 , 求写出出周T或 期频率 。
cos x0 0
A
sin v0 0
2
A
物体的振动 x方 0.1c程 o1st0 为 : m
.
2 19
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振 A 幅 矢 A 的 量长
角频率 矢量逆时针匀角 速速 度 旋转的
周 期 T矢 量 旋 转 一 圈 所 T需 2 时 间
频率 矢量单位时间内圈旋数转的P
机械振动(大学课程).ppt

比较如下两个振动的步调: x A cos( t ), x A cos( t ) 1 1 0 1 2 2 0 2
2 n , n 0 , 1 , 2 ⑴若
1 2 1 2
则相位相同 ( 2 n 1 ) , n 0 , 1 , 2 ⑵若 1 2 则相位相反 A2 A2 , 0 | | ⑶一般 1 2 A2 即超前或落后的角度不大于π
2 1 2 2 2 0
2 2 1 21 2 2 1 E kx kA cos ( t ) m A ( t ) 2 2 0 cos p2 0 0 2
E E E kA m A C k p
1 2
10
例题:将水平弹簧振子从平衡位置拉开4.0×10-2m后释放, 水平拉力为24N,求:⑴总机械能;⑵ x=A/2时的动能和 势能 F x o
6
t=0时的相位α叫初相,用以确定振动的初始状态
x A cos( t ), v A sin( t ) 0 0 0
⒋由初始条件确定A和α
设t=0时,x=x0,v=v0,代入位移和速度表达式 x A cos ① ,v A sin ② 0 0 0
例 x 题 A cos( : 10 t ), t 0 时 x , 1 , v 10 3 , 求 A t ), v 10 A sin( 10 t ) dt 代入初始条件: 1 A cos ① 10 3 , 10 A sin , 即 3 A sin ②
由①②即可求出A和α,注意:A为正值,α要同时 满足①②两式,习惯上π≥|α|≥0
大学物理机械振动和机械波ppt课件

振动系统能量转换关系
动能与势能之间的转换
在振动过程中,物体的动能和势能之间不断 转换。
能量守恒
在理想情况下,振动系统的总能量保持不变 。
能量耗散
在实际情况下,由于阻力的存在,振动系统 的能量会逐渐耗散。
02
机械波传播特性与波动方程
Chapter
机械波产生条件及分类
产生条件
01
振源、介质、传播方向与振动方向关系
天文学
天文学家通过观察恒星光谱的多普勒效应来判断恒星相对于地球的运动速度,进而研究 恒星的运动规律和宇宙结构。
音乐合成
在音乐制作中,可以利用多普勒效应原理来模拟乐器声音的空间感和运动感,使音乐更 加生动和立体。
05
干涉和衍射现象在机械波中表 现
Chapter
干涉现象产生条件及类型划分
产生条件
两列波频率相同,会出现稳定的干涉现 象。
驻波能量分布规律探讨
能量分布
驻波的能量主要集中在波腹处,波节处能量为零。
分布规律
随着时间与空间的变化,能量在波腹与波节之间周 期性传递。
弦线上驻波实验演示
实验装置
弦线、振源、测量仪器等。
实验步骤
激发弦线振动,调整振源频率使弦线上形成驻波,观察并测量驻波 的波形、波腹波节位置等。
实验结果
通过测量得到驻波的波长、频率等参数,验证驻波的产生条件和能量 分布规律。
04
多普勒效应原理及应用举例
Chapter
多普勒效应定义及公式推导
定义
当波源与观察者之间存在相对运动时,观察者接收到的波的频率会发生变化,这种现象 称为多普勒效应。
公式推导
设波源发射频率为f0,波速为v,观察者与波源相对运动速度为vr,则观察者接收到的 频率为f=(v±vr)/v×f0,其中“+”号表示观察者向波源靠近,“-”号表示观察者远离
《机械振动教学》课件

质量块
质量块。质量块的质量大小和分布对系统的动态特性有 重要影响。
阻尼器
阻尼器是机械振动系统中的阻尼元件,它能够吸收和消耗 振动的能量,从而减小振动的幅值。常见的阻尼器有油阻 尼器、橡胶阻尼器等。
02
机械振动的数学模型
建立振动方程
确定振动系统的自由度
振动应用领域的拓展
航空航天领域
随着航空航天技术的不断发展,振动控制在航空航天领域的应用将得到进一步拓展,涉及结构健康监测、减振降噪等 方面的应用。
新能源领域
新能源领域如风能、太阳能等涉及到大量机械振动问题,未来振动控制将在新能源领域发挥重要作用,涉及风力发电 机组振动控制、太阳能电池板减振等领域。
混合控制法
总结词
结合主动和被动控制方法的优点,以提高振 动控制的效率和效果。
详细描述
混合控制法综合了主动和被动控制法的优点 ,既通过主动施加控制力来抵消原始振动, 又通过改变系统结构或增加阻尼来降低系统 的振动响应。这种方法可以实现更好的振动 控制效果,但同时也需要更高的成本和更复 杂的控制系统。
描述机械振动的物理量
描述机械振动的物理量包括位移、速度、加速度、角频率、周期等。这些物理 量在振动分析中具有重要意义,可以帮助我们了解振动的特性和规律。
机械振动的分类
自由振动和受迫振动
根据外界对振动系统的影响,机械振动 可分为自由振动和受迫振动。自由振动 是指系统在没有外界干扰力作用下的振 动,其振动的频率和振幅只取决于系统 本身的物理性质;受迫振动则是在外界 周期性力的作用下产生的振动,其频率 和振幅取决于外界力和系统本身的物理 性质。
振型
描述系统在不同频率下的振动形态。
模态分析
通过分析系统的模态参数,了解系统的动态特性。
质量块。质量块的质量大小和分布对系统的动态特性有 重要影响。
阻尼器
阻尼器是机械振动系统中的阻尼元件,它能够吸收和消耗 振动的能量,从而减小振动的幅值。常见的阻尼器有油阻 尼器、橡胶阻尼器等。
02
机械振动的数学模型
建立振动方程
确定振动系统的自由度
振动应用领域的拓展
航空航天领域
随着航空航天技术的不断发展,振动控制在航空航天领域的应用将得到进一步拓展,涉及结构健康监测、减振降噪等 方面的应用。
新能源领域
新能源领域如风能、太阳能等涉及到大量机械振动问题,未来振动控制将在新能源领域发挥重要作用,涉及风力发电 机组振动控制、太阳能电池板减振等领域。
混合控制法
总结词
结合主动和被动控制方法的优点,以提高振 动控制的效率和效果。
详细描述
混合控制法综合了主动和被动控制法的优点 ,既通过主动施加控制力来抵消原始振动, 又通过改变系统结构或增加阻尼来降低系统 的振动响应。这种方法可以实现更好的振动 控制效果,但同时也需要更高的成本和更复 杂的控制系统。
描述机械振动的物理量
描述机械振动的物理量包括位移、速度、加速度、角频率、周期等。这些物理 量在振动分析中具有重要意义,可以帮助我们了解振动的特性和规律。
机械振动的分类
自由振动和受迫振动
根据外界对振动系统的影响,机械振动 可分为自由振动和受迫振动。自由振动 是指系统在没有外界干扰力作用下的振 动,其振动的频率和振幅只取决于系统 本身的物理性质;受迫振动则是在外界 周期性力的作用下产生的振动,其频率 和振幅取决于外界力和系统本身的物理 性质。
振型
描述系统在不同频率下的振动形态。
模态分析
通过分析系统的模态参数,了解系统的动态特性。
《大学物理振动》课件

調音叉實驗
通过调音叉实验,我们可以直观地观察和测量振动的特征。这个实验对理解 振动现象具有重要意义。
例子和應用
在这个部分,我们将介绍一些与振动有关的具体例子和实际应用。这些例子和应用将帮助我们更好地理解和应 用振动的知识。
結論及問題解答
在这个部分,我们将总结我们在整个课件中学到的关于物体振动的知识,并 回答一些与振动相关的问题。
《大学物理振动》PPT课 件
欢迎来到《大学物理振动》PPT课件。在这个课件中,我们将深入探讨物体振 动的定义、不同种类、振幅、频率和周期之间的关系,以及调音叉实验、例 子和应用。最后,我们将总结并回答一些问题。
簡介
在这个部分,我们将对振动进行简要介绍。振动是指物体周期性地往复运动。它是物理学中一个非常重要的概 念,涉及到许多实际应用。
物體振動的定義
这一部分讨论物体振动的准确定义。物体振动是指物体围绕其平衡位置以往 复运动的现象。
物體振動Байду номын сангаас種類
在这个部分,我们将介绍物体振动的各种类型。这包括机械振动、电磁振动、 声波振动等。
振幅、频率和周期的關係
振幅、频率和周期是描述物体振动的重要参数。在这个部分,我们将讨论它 们之间的关系,并给出具体的数学公式。
大学物理课件0机械振动[优质ppt]
![大学物理课件0机械振动[优质ppt]](https://img.taocdn.com/s3/m/af7ffb6cf01dc281e53af0e1.png)
1 4
kA2
1
Ek Ep 2 E
在一个周期内的平均动能与平均势能相
等,各是总能量的一半。
10.3 简谐运动的合成
一、同频率同方向简谐振动合成
特点: ω1=ω2=ω , x1 // x2 表示: 对如下两个振动
x1 A1 cos(t 1)
x2 A2 cos(t 2)
简谐函数形式,称为简谐运动。
弹簧振子 单摆 复摆
二、基本特征
以弹簧振子为例, 振子受力是
F kx
由牛顿第二定律得
F弹 x
a
d2x dt 2
F m
k m
x
2x
ox
式中: 2 k (ω称为角频率)
m
物体受力和加速度与位移 x 成正比,
且方向相反(动力学特征)
上式可以改写为微分方程形式
对同频情况:φ φ2 φ1
1o Δ 反映两振动的步调情况: Δ =0(或2π整数倍),同步振动 Δ =π(或π奇数倍),振动步调相反 Δ >0, x2振动超前; Δ <0, x1振动超前
2o 两振动到达同一状态的时间差是
(ωt2 φ2 ) (ωt1 φ1 )
t
振动:任何一个物理量在某一数值 定 附近作周期性的变化,称为振动; 义
机械振动:物体在一定位置附近作 来回往复的运动,称为机械振动。
M (t T ) M (t) x(t T ) x(t)
简谐振动; 简谐振动合成; 阻尼振动、受迫振动、共振。
10.1 简谐运动
一、简谐运动(Simple Harmonic Motion) 物体在一定位置附近的位移变化满足
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机械振动与机械波 光的干涉 波动光学 光的衍射
光的偏振
本学期讲授内容 热 学 气体动理论
热力学基础
热辐射与黑体辐射 量子物理 光电效应与康普顿效应 玻尔理论
量子力学基础
1
第九章 振动
振动有各种不同的形式: 机械振动 电磁振动
广义振动:任一物理量(如位移、电流等)在某 一数值附近反复变化。 如心跳等
因此定义: (1) ( t +)是 t 时刻的相位(或称位相)
★利用初始条件确定 已知: t=0时位移为x0 速度为v0. 则求A,
利用:
则有:
x0 A cos v0 A sin v0 1 tan ( ) x0
14
☆相位差
m1 O m2
A1 A2
x1 A1 cos(t 1 )
振动分类:
受迫振动 无阻尼自由振动
无阻尼自由谐振动
(简谐振动)
自由振动
阻尼自由振动
无阻尼自由非谐振动
7
§9-1,2,3,4 简谐振动
一. 简谐振动(Simple harmonic)的特征
1.弹簧振子
m
f kx ma
k 2 令 m
即
动力学及运动学规律 则有
k a x m
d x dt
52
3 一质点沿x轴做简谐振动,振幅为0.12m,周期为2s, 当t=0时,质点的位置在0.06m处,且向x轴正方向运动, 求: (1)振动方程(2)t=0.5s时,质点的位置、速度、加速度 (3)质点在x=-0.06m处,且向x轴负方向运动,再回到平 衡位置所需最短时间。
已知两同方向同频率的简谐振动的运动方程分别为:
x1 0.05 cos(10t 0.75 ) x2 0.06 cos(10t 0.25 )
求:(1)合振动的振幅和初相(2)若有另一同方向同频率的简谐 振动 x3 0.07 cos(10t ) 则 为多少时,x1+x3的振幅最大? 又 为多少时,x2+x3的振幅最小? 二 同方向不同频率的简谐振动的合成
27
3.两种特殊情况
(1)若两分振动同相
2 1=2k (k=0,1,2,…)
则合振幅 A=A1+A2 ,两分振动相互加强 (2)若两分振动反相
2 1=(2k+1) (k=0,1,2,…)
两分振动相互减弱
则合振幅 A=|A1-A2|,
如 A1=A2 , 则 A=0
28
例题:page41 (9-28)
对于单摆:
T 2
m k
g 2 l
T 2
l g
13
3.相位
因有:
x A cos(t ) v A sin( t ) 可见: t+是决定t 时刻 状态的物理量 a A 2 cos(t )
(2) 是t =0时刻的相位 ——初相
x2 A2 cos(t 2 )
x
2 1
当 2 1 2kπ 两振动步调相同,称同相 当 2 1 (2k 1) π 两振动步调相反,称反相
x
x1 x2
同相
T
o
- A2 - A1
t
A1 x A2
x1
x2
反相
o
- A2 - A1
cost ( A1 cos1 A2 cos 2 ) sin t ( A1 sin 1 A2 sin 2 )
由图示可得到
x
A cos A1 cos 1 A2 cos 2 A sin A1 sin 1 A2 sin 2
26
因此
x A cost cos A sin t sin
可依据上述特征证明一些 实验是否为简谐振动 例如:竖直自由弹簧振子;浮子等
11
二 描述简谐振动的特征量
1. 振幅 A 表示物体在振动过程中偏离平衡位置
的最大位移。其大小与初始条件有关 利用
x A cos(t )
v A sin( t )
当t=0时 则有
x0 A cos
2
2 3 5 6 5 t 2 12
o
因此,振动方程为
5 2 x 10 cos( t )cm 12 3
19
练 习
利用旋转矢量法确定下述各种t=0情况下的初相
(1)
( 2)
A x0 , v0 0 2 A x0 , v0 0 2
2 x0 A, v0 0 2
32
= 0
= /4
P
·Q
.
= /2
= 3/4
=
= 5/4
= 3/2
= 7/4
33
四.垂直方向不同频率简谐振动的合成
两分振动频率相差很小 = ( 2- 1) t + ( 2 - 1) 可看作两频率相等而 2- 1随t缓慢变化 合运动轨迹将按上页图依次缓慢变化 两振动的频率成整数比时, 其合成轨迹称为李萨如图形 y
3
16
2 图象法
x
m o x
A
o
A
t
根据已知曲线可以直观地了解 到各个时刻质点的振动状态.
17
旋转矢量
3.旋转矢量法
t=t
t=0 A
t+
t=t
o x x = A cos( t + )
·
x
t=0
t+
如:一振子在t =0时
o
x
x
A x0 ; v0 0 2
则利用旋转矢量法,有:
能0.02J,求(1)振幅;(2)动能恰等于势能时的位移? (3)经过
平衡位置时物体的速度? 练2:一弹簧振子沿x轴作谐振动,已知振动物体最大位移为 xm=0.4m时,最大恢复力为Fm=0.8N ;最大速度为
vm=0.8πm/s;又知t=0时的初位移为+0.2m,且初速度与所选
x轴方向相反。求:(1)振动能量(2)振动方程
2
m cos( t )
10
谐振动特征总结:
(1).回复力或回复力矩 (2).加速度或角加速度
f kx
或M k '
a 2 x 或 2 (3).运动方程 x A cos( t ) 或 0 cos(t )
v A sin( t ) a A 2 cos(t )
则得 : 0 cos(t )
9
3.复摆(物理摆) 任意形状、小角度、无摩擦、自由摆动
M m glsin m gl
d J J 2 dt
2
转动正向
O*
d 2 mgl J 2 dt
令
d 2 2 0 dt 2
*C
mgl J
*该方法在解决位相问 题上具有明显优势.
O
得初相为: 5 或 3 3
18
又如:一谐振子振动图线 如图所示,求振动方程.
解 由图可知: t =0s 时 x0=-5 v0<0
t =2s 时 x=0 v0>0
x(cm) o
-5
-10
利用旋转矢量法,可确定相应时刻旋 转矢量对应位置,如图所示.可知: t(s)
24
练3:有一轻弹簧,当其下端挂一物体时,伸长量为9.8×10-2m。 若使物体上下振动,且规定向下为正方向。则(1)t=0时,物体 在平衡位置上方8.0×10-2m处,由静止开始向下运动,求运 动方程;(2)t=0时,物体在平衡位置处并以0.60m.s-1速度向 上运动,求运动方程。
x 8.0 102 cos(10t ) x 6.0 10 2 cos(10t ) 2
T
t
15
三.谐振动描述方法
1.数学表达式法(解析法):
x A cos(t )
由已知表达式可以得出任意时刻的振动状态 如一质点按 x 10 cos(t ) 规律作简谐振动, 3 求2s时刻振动速度及振动加速度.
解 振动速度 v 10 sin( 2 ) 10 3 3 振动加速度 a 10 2 cos( 2 ) 5 2
A x0 (
2
v0 A sin
)2
12
v0
2 周期T: 指完成一次全振动所需要的时间
频率v: 指单位时间内所发生的全振动的次数
圆频率: 指2秒内所发生的全振动的次数.
1 二者大小只与系统结构有关,根据定义应有: T
2
k 2 对于弹簧振子: m
A1
x y=32
2=0, 1= /4
-A2
o
A2
x
- A1
34
本章测验题
1 利用旋转矢量法确定下述各种t=0情况下的初相。
(1) x0 A , v0 0 2 2 x0 A, v0 0 2 ( 2) x0 A , v0 0 2
(3)
(4)
x0
3 A, v0 0 2
A cos(t )
可见,两个同方向同频率简谐振 动的合成结果仍为简谐振动
其频率仍为
其合成振幅及合振动初相满足下列关系
A A12 A22 2 A1 A2 cos( 2 1 )
A1 sin 1 A2 sin 2 tan A1 cos 1 A2 cos 2
1. 分振动
x1=Acos( 1 t+ 1) x2=Acos( 2t+ 2)
29
2.合振动情况
光的偏振
本学期讲授内容 热 学 气体动理论
热力学基础
热辐射与黑体辐射 量子物理 光电效应与康普顿效应 玻尔理论
量子力学基础
1
第九章 振动
振动有各种不同的形式: 机械振动 电磁振动
广义振动:任一物理量(如位移、电流等)在某 一数值附近反复变化。 如心跳等
因此定义: (1) ( t +)是 t 时刻的相位(或称位相)
★利用初始条件确定 已知: t=0时位移为x0 速度为v0. 则求A,
利用:
则有:
x0 A cos v0 A sin v0 1 tan ( ) x0
14
☆相位差
m1 O m2
A1 A2
x1 A1 cos(t 1 )
振动分类:
受迫振动 无阻尼自由振动
无阻尼自由谐振动
(简谐振动)
自由振动
阻尼自由振动
无阻尼自由非谐振动
7
§9-1,2,3,4 简谐振动
一. 简谐振动(Simple harmonic)的特征
1.弹簧振子
m
f kx ma
k 2 令 m
即
动力学及运动学规律 则有
k a x m
d x dt
52
3 一质点沿x轴做简谐振动,振幅为0.12m,周期为2s, 当t=0时,质点的位置在0.06m处,且向x轴正方向运动, 求: (1)振动方程(2)t=0.5s时,质点的位置、速度、加速度 (3)质点在x=-0.06m处,且向x轴负方向运动,再回到平 衡位置所需最短时间。
已知两同方向同频率的简谐振动的运动方程分别为:
x1 0.05 cos(10t 0.75 ) x2 0.06 cos(10t 0.25 )
求:(1)合振动的振幅和初相(2)若有另一同方向同频率的简谐 振动 x3 0.07 cos(10t ) 则 为多少时,x1+x3的振幅最大? 又 为多少时,x2+x3的振幅最小? 二 同方向不同频率的简谐振动的合成
27
3.两种特殊情况
(1)若两分振动同相
2 1=2k (k=0,1,2,…)
则合振幅 A=A1+A2 ,两分振动相互加强 (2)若两分振动反相
2 1=(2k+1) (k=0,1,2,…)
两分振动相互减弱
则合振幅 A=|A1-A2|,
如 A1=A2 , 则 A=0
28
例题:page41 (9-28)
对于单摆:
T 2
m k
g 2 l
T 2
l g
13
3.相位
因有:
x A cos(t ) v A sin( t ) 可见: t+是决定t 时刻 状态的物理量 a A 2 cos(t )
(2) 是t =0时刻的相位 ——初相
x2 A2 cos(t 2 )
x
2 1
当 2 1 2kπ 两振动步调相同,称同相 当 2 1 (2k 1) π 两振动步调相反,称反相
x
x1 x2
同相
T
o
- A2 - A1
t
A1 x A2
x1
x2
反相
o
- A2 - A1
cost ( A1 cos1 A2 cos 2 ) sin t ( A1 sin 1 A2 sin 2 )
由图示可得到
x
A cos A1 cos 1 A2 cos 2 A sin A1 sin 1 A2 sin 2
26
因此
x A cost cos A sin t sin
可依据上述特征证明一些 实验是否为简谐振动 例如:竖直自由弹簧振子;浮子等
11
二 描述简谐振动的特征量
1. 振幅 A 表示物体在振动过程中偏离平衡位置
的最大位移。其大小与初始条件有关 利用
x A cos(t )
v A sin( t )
当t=0时 则有
x0 A cos
2
2 3 5 6 5 t 2 12
o
因此,振动方程为
5 2 x 10 cos( t )cm 12 3
19
练 习
利用旋转矢量法确定下述各种t=0情况下的初相
(1)
( 2)
A x0 , v0 0 2 A x0 , v0 0 2
2 x0 A, v0 0 2
32
= 0
= /4
P
·Q
.
= /2
= 3/4
=
= 5/4
= 3/2
= 7/4
33
四.垂直方向不同频率简谐振动的合成
两分振动频率相差很小 = ( 2- 1) t + ( 2 - 1) 可看作两频率相等而 2- 1随t缓慢变化 合运动轨迹将按上页图依次缓慢变化 两振动的频率成整数比时, 其合成轨迹称为李萨如图形 y
3
16
2 图象法
x
m o x
A
o
A
t
根据已知曲线可以直观地了解 到各个时刻质点的振动状态.
17
旋转矢量
3.旋转矢量法
t=t
t=0 A
t+
t=t
o x x = A cos( t + )
·
x
t=0
t+
如:一振子在t =0时
o
x
x
A x0 ; v0 0 2
则利用旋转矢量法,有:
能0.02J,求(1)振幅;(2)动能恰等于势能时的位移? (3)经过
平衡位置时物体的速度? 练2:一弹簧振子沿x轴作谐振动,已知振动物体最大位移为 xm=0.4m时,最大恢复力为Fm=0.8N ;最大速度为
vm=0.8πm/s;又知t=0时的初位移为+0.2m,且初速度与所选
x轴方向相反。求:(1)振动能量(2)振动方程
2
m cos( t )
10
谐振动特征总结:
(1).回复力或回复力矩 (2).加速度或角加速度
f kx
或M k '
a 2 x 或 2 (3).运动方程 x A cos( t ) 或 0 cos(t )
v A sin( t ) a A 2 cos(t )
则得 : 0 cos(t )
9
3.复摆(物理摆) 任意形状、小角度、无摩擦、自由摆动
M m glsin m gl
d J J 2 dt
2
转动正向
O*
d 2 mgl J 2 dt
令
d 2 2 0 dt 2
*C
mgl J
*该方法在解决位相问 题上具有明显优势.
O
得初相为: 5 或 3 3
18
又如:一谐振子振动图线 如图所示,求振动方程.
解 由图可知: t =0s 时 x0=-5 v0<0
t =2s 时 x=0 v0>0
x(cm) o
-5
-10
利用旋转矢量法,可确定相应时刻旋 转矢量对应位置,如图所示.可知: t(s)
24
练3:有一轻弹簧,当其下端挂一物体时,伸长量为9.8×10-2m。 若使物体上下振动,且规定向下为正方向。则(1)t=0时,物体 在平衡位置上方8.0×10-2m处,由静止开始向下运动,求运 动方程;(2)t=0时,物体在平衡位置处并以0.60m.s-1速度向 上运动,求运动方程。
x 8.0 102 cos(10t ) x 6.0 10 2 cos(10t ) 2
T
t
15
三.谐振动描述方法
1.数学表达式法(解析法):
x A cos(t )
由已知表达式可以得出任意时刻的振动状态 如一质点按 x 10 cos(t ) 规律作简谐振动, 3 求2s时刻振动速度及振动加速度.
解 振动速度 v 10 sin( 2 ) 10 3 3 振动加速度 a 10 2 cos( 2 ) 5 2
A x0 (
2
v0 A sin
)2
12
v0
2 周期T: 指完成一次全振动所需要的时间
频率v: 指单位时间内所发生的全振动的次数
圆频率: 指2秒内所发生的全振动的次数.
1 二者大小只与系统结构有关,根据定义应有: T
2
k 2 对于弹簧振子: m
A1
x y=32
2=0, 1= /4
-A2
o
A2
x
- A1
34
本章测验题
1 利用旋转矢量法确定下述各种t=0情况下的初相。
(1) x0 A , v0 0 2 2 x0 A, v0 0 2 ( 2) x0 A , v0 0 2
(3)
(4)
x0
3 A, v0 0 2
A cos(t )
可见,两个同方向同频率简谐振 动的合成结果仍为简谐振动
其频率仍为
其合成振幅及合振动初相满足下列关系
A A12 A22 2 A1 A2 cos( 2 1 )
A1 sin 1 A2 sin 2 tan A1 cos 1 A2 cos 2
1. 分振动
x1=Acos( 1 t+ 1) x2=Acos( 2t+ 2)
29
2.合振动情况