东北大学2013年大学物理下课件机械振动
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大学物理——机械振动.ppt
•周期T 物体完成一次全振动所需时间.
T 2
•频率 单位时间内振动的次数.
•角频率
相位 t 初相位
决定谐振动物体的运动状态
3.振动速度及加速度
x, v, a
简谐振动的加
av x
速度和位移成 正比而反向.
O
t
T
4.振动初相及振幅由初始条件决定
初始条件：当t = 0时, x = x0 ，v = v0
平衡位置：
A O A
弹簧为原长时，振动物体所处的位置. x=0 , F=0
位移为x处:
由牛顿第二定律
2 x
d2x dt 2
2x
0
x Acos(t )
角频率 k 完全由振动系统本身的性质决定。
m
固有角频率 固有周期
固有频率
2. 单摆(simple pendulum)
y
m
A
t +
x
O
P
2.简谐振动的旋转矢量表示法
A
O
x
3.两同频率简谐振动的相位差（phase difference）
两个谐振动
x1 A1 cos(t 1 ) x来自百度文库 A2 cos(t 2 )
相位差
(t 2 ) (t 1 ) 2 1
东北大学2013年大学物理下课件机械振动
27
3.两种特殊情况
(1)若两分振动同相
2 1=2k (k=0,1,2,…)
则合振幅 A=A1+A2 ,两分振动相互加强 (2)若两分振动反相
2 1=(2k+1) (k=0,1,2,…)
两分振动相互减弱
则合振幅 A=|A1-A2|,
如 A1=A2 , 则 A=0
28
例题：page41 (9-28)
因此定义: (1) ( t +)是 t 时刻的相位(或称位相)
★利用初始条件确定 已知: t=0时位移为x0 速度为v0. 则求A,
利用:
则有:
x0 A cos v0 A sin v0 1 tan ( ) x0
14
☆相位差
m1 O m2
A1 A2
x1 A1 cos(t 1 )
振动分类:
受迫振动 无阻尼自由振动
无阻尼自由谐振动
(简谐振动)
自由振动
阻尼自由振动
无阻尼自由非谐振动
7
§9-1,2,3,4 简谐振动
一. 简谐振动(Simple harmonic)的特征
1.弹簧振子
m
f kx ma
k 2 令 m
即
动力学及运动学规律 则有
k a x m
d x dt
52
3 一质点沿x轴做简谐振动，振幅为0.12m，周期为2s， 当t=0时，质点的位置在0.06m处，且向x轴正方向运动， 求: (1)振动方程(2)t=0.5s时，质点的位置、速度、加速度 (3)质点在x=-0.06m处，且向x轴负方向运动，再回到平 衡位置所需最短时间。
3.两种特殊情况
(1)若两分振动同相
2 1=2k (k=0,1,2,…)
则合振幅 A=A1+A2 ,两分振动相互加强 (2)若两分振动反相
2 1=(2k+1) (k=0,1,2,…)
两分振动相互减弱
则合振幅 A=|A1-A2|,
如 A1=A2 , 则 A=0
28
例题：page41 (9-28)
因此定义: (1) ( t +)是 t 时刻的相位(或称位相)
★利用初始条件确定 已知: t=0时位移为x0 速度为v0. 则求A,
利用:
则有:
x0 A cos v0 A sin v0 1 tan ( ) x0
14
☆相位差
m1 O m2
A1 A2
x1 A1 cos(t 1 )
振动分类:
受迫振动 无阻尼自由振动
无阻尼自由谐振动
(简谐振动)
自由振动
阻尼自由振动
无阻尼自由非谐振动
7
§9-1,2,3,4 简谐振动
一. 简谐振动(Simple harmonic)的特征
1.弹簧振子
m
f kx ma
k 2 令 m
即
动力学及运动学规律 则有
k a x m
d x dt
52
3 一质点沿x轴做简谐振动，振幅为0.12m，周期为2s， 当t=0时，质点的位置在0.06m处，且向x轴正方向运动， 求: (1)振动方程(2)t=0.5s时，质点的位置、速度、加速度 (3)质点在x=-0.06m处，且向x轴负方向运动，再回到平 衡位置所需最短时间。
大学物理学(下册)第9章 机械振动-PPT课件-精选文档
分别为 T 2 m
k
1 2
g l
周期和频率也完全决定于振动系统本身的性质，因此常称之
为固有周期和固有频率。
动物的心跳（次/分）
昆虫翅膀振动的频率（Hz）
(3) 相位和初相 A c o s ( t ) A s i n ( t ) 简谐振动： x 可见，当振幅 A 和角频率ω 给定时，物体在 t 时刻的位置
振动发声的乐器
9.1.1 简谐振动的特征
(1) 以弹簧振动系统为例 弹性系数为k的轻质弹簧一端固定，另一端系一质量为m的 物体，这样的弹簧和物体构成的系统称为弹簧振子。 把弹簧振子置于光滑的水平面上。物体所受的阻力忽略不计。 设在O点弹簧没有形变，此处物体所受的合力为零，称O点 为平衡位置。
(2) 动力学特征
因此在角位移很小的情况下，单摆的振动是简谐振动.
例2 一个轻质弹簧竖直悬挂，下端挂一质量为m的物体。 今将物体向下拉一段距离后再放开， 证明物体将作简谐振动。 弹簧原长 解：求平衡位置 l0
k x g 0 m
mg x0 k
以平衡位置O为原点
F mg k ( x0 x ) mg kx0 kx kx
F mg sin t
当θ很小时（θ<50），sinθ≈θ，所以
F mg t
由牛顿第二定律，在切线方向上
k
1 2
g l
周期和频率也完全决定于振动系统本身的性质，因此常称之
为固有周期和固有频率。
动物的心跳（次/分）
昆虫翅膀振动的频率（Hz）
(3) 相位和初相 A c o s ( t ) A s i n ( t ) 简谐振动： x 可见，当振幅 A 和角频率ω 给定时，物体在 t 时刻的位置
振动发声的乐器
9.1.1 简谐振动的特征
(1) 以弹簧振动系统为例 弹性系数为k的轻质弹簧一端固定，另一端系一质量为m的 物体，这样的弹簧和物体构成的系统称为弹簧振子。 把弹簧振子置于光滑的水平面上。物体所受的阻力忽略不计。 设在O点弹簧没有形变，此处物体所受的合力为零，称O点 为平衡位置。
(2) 动力学特征
因此在角位移很小的情况下，单摆的振动是简谐振动.
例2 一个轻质弹簧竖直悬挂，下端挂一质量为m的物体。 今将物体向下拉一段距离后再放开， 证明物体将作简谐振动。 弹簧原长 解：求平衡位置 l0
k x g 0 m
mg x0 k
以平衡位置O为原点
F mg k ( x0 x ) mg kx0 kx kx
F mg sin t
当θ很小时（θ<50），sinθ≈θ，所以
F mg t
由牛顿第二定律，在切线方向上
大学物理-机械振动
交通工具的不舒适
机械振动也会影响交通工具的舒适 度，如火车、汽车等在行驶过程中 产生的振动，会让乘客感到不适。
机械振动在工程中的应用
振动输送
利用振动原理实现物料的输送，如振动筛、振动输送机等。
振动破碎
利用振动产生的冲击力破碎硬物，如破碎机、振动磨等。
振动减震
在建筑、桥梁等工程中，采用减震措施来减小机械振动对结构的影 响，提高结构的稳定性和安全性。
根据实验需求设定振动频率、幅度和波形等 参数。
启动实验
启动振动台和数据采集器，开始记录数据。
数据处理
将采集到的数据导入计算机，进行滤波、去 噪和整理，以便后续分析。
绘制图表
将处理后的数据绘制成图表，如时域波形图、 频谱图等，以便观察和分析。
实验结果分析与解释
01
02
03
04
特征提取
从实验结果中提取出振 动系统的固有频率、阻 尼比等特征参数。
机械振动理论的发展可以追溯到 古代，如中国的编钟和古代乐器 的制作。
近代发展
随着物理学和工程学的发展，人 们对机械振动的认识不断深入， 应用范围也不断扩大。
未来展望
随着科技的不断进步，机械振动 在新能源、新材料、航空航天等 领域的应用前景将更加广阔。
02
机械振动的类型与模型
简谐振动
总结词
简谐振动是最基本的振动类型，其运动规律可以用正弦函数或余弦函数描述。
机械振动也会影响交通工具的舒适 度，如火车、汽车等在行驶过程中 产生的振动，会让乘客感到不适。
机械振动在工程中的应用
振动输送
利用振动原理实现物料的输送，如振动筛、振动输送机等。
振动破碎
利用振动产生的冲击力破碎硬物，如破碎机、振动磨等。
振动减震
在建筑、桥梁等工程中，采用减震措施来减小机械振动对结构的影 响，提高结构的稳定性和安全性。
根据实验需求设定振动频率、幅度和波形等 参数。
启动实验
启动振动台和数据采集器，开始记录数据。
数据处理
将采集到的数据导入计算机，进行滤波、去 噪和整理，以便后续分析。
绘制图表
将处理后的数据绘制成图表，如时域波形图、 频谱图等，以便观察和分析。
实验结果分析与解释
01
02
03
04
特征提取
从实验结果中提取出振 动系统的固有频率、阻 尼比等特征参数。
机械振动理论的发展可以追溯到 古代，如中国的编钟和古代乐器 的制作。
近代发展
随着物理学和工程学的发展，人 们对机械振动的认识不断深入， 应用范围也不断扩大。
未来展望
随着科技的不断进步，机械振动 在新能源、新材料、航空航天等 领域的应用前景将更加广阔。
02
机械振动的类型与模型
简谐振动
总结词
简谐振动是最基本的振动类型，其运动规律可以用正弦函数或余弦函数描述。
大学物理第6章-机械振动
v
2 0 2
由初始条件确定
(2)周期和频率 周期：物体作一次完全运动所经历的时间。
x A cos(t 0 ) A cos[ (T t ) 0 ]
T
2
频率：单位时间内物体所作完全运动的次数。
1 T 2
T 角频率: 物体在 2 秒内所作的完全运动的次数。
简谐振动的矢量图示法
x 0.12 cos(t 3) m
(2) t =T/4时物体的位置、速度和加速度；
dx 1 m s v 0.12 sin( t 3) dt dv 2 2 m s a 0.12 cos(t 3) dt
振幅A
ω
A
M
振动圆频率
O
t 0
x
P
X
逆时针方向 A 旋转的方向 振动相位 A 与参考方向x 的夹角
M 点在 x 轴上投影(P点)的运动规律：
x A cos(t 0 )
简谐振动的矢量图示法
y vm
t
0
an
π t 2
A
vm A
dx v A sin t 0 dt
加速度
d x 2 a 2 A cost 0 dt
2
简谐振动的特征及其表达式
简谐振动中质点位移、速度、加速度与时间的关系:
大学物理机械振动课件
车辆减震系统中的减震器通过阻尼作用减小车辆振动。当 减震器受到振动时，油液在活塞和缸筒间流动，产生摩擦 力，消耗振动能量。
悬挂系统
车辆悬挂系统通过弹簧和减震器的组合，吸收和缓冲来自 路面的冲击。弹簧和减震器的刚度和阻尼系数对悬挂系统 的性能有重要影响。
应用
车辆减震系统的振动原理用于提高乘坐舒适性和安全性， 通过合理设计减震器和悬挂系统可以有效减小车辆振动和 冲击。
机械振动的分类
根据振动的规律性，可以分为 周期性振动和非周期性振动。
根据振动的方向，可以分为一 维振动和多维振动。
根据振动的能量，可以分为无 阻尼振动和有阻尼振动。
机械振动在实际生活中的应用
机械振动在生产中应用广泛，如 振动筛分机、振动破碎机、振动
输送机等。
机械振动在医学中也有应用，如 超声波诊断和治疗设备。
06 机械振动的应用实例
钟摆的振动原理
摆动周期
钟摆的摆动周期与长度和重力加速度 有关，公式为T=2π√(L/g)，其中L是 摆长，g是重力加速度。
摆动规律
应用
钟摆用于计时，通过调节摆长可以改 变摆动周期，从而实现精准计时。
钟摆在摆动过程中受到阻尼作用，摆 幅会逐渐减小，最终会停止摆动。
乐器中的振动原理
确定各简谐振动的振幅、相位差和频 率，在复平面内绘制振动相量，通过 旋转和位移操作找到合成振动的相量 表示。
悬挂系统
车辆悬挂系统通过弹簧和减震器的组合，吸收和缓冲来自 路面的冲击。弹簧和减震器的刚度和阻尼系数对悬挂系统 的性能有重要影响。
应用
车辆减震系统的振动原理用于提高乘坐舒适性和安全性， 通过合理设计减震器和悬挂系统可以有效减小车辆振动和 冲击。
机械振动的分类
根据振动的规律性，可以分为 周期性振动和非周期性振动。
根据振动的方向，可以分为一 维振动和多维振动。
根据振动的能量，可以分为无 阻尼振动和有阻尼振动。
机械振动在实际生活中的应用
机械振动在生产中应用广泛，如 振动筛分机、振动破碎机、振动
输送机等。
机械振动在医学中也有应用，如 超声波诊断和治疗设备。
06 机械振动的应用实例
钟摆的振动原理
摆动周期
钟摆的摆动周期与长度和重力加速度 有关，公式为T=2π√(L/g)，其中L是 摆长，g是重力加速度。
摆动规律
应用
钟摆用于计时，通过调节摆长可以改 变摆动周期，从而实现精准计时。
钟摆在摆动过程中受到阻尼作用，摆 幅会逐渐减小，最终会停止摆动。
乐器中的振动原理
确定各简谐振动的振幅、相位差和频 率，在复平面内绘制振动相量，通过 旋转和位移操作找到合成振动的相量 表示。
机械振动ppt课件
时刻以后的自由振动解为：
xtxco 0st x 0si n 0t
零时刻的初始条件：
x(0) x0
x(0) x0
零初始x(条t)件下x0的c自o由振s0t)动(： x0 0si n0t() Asin0(t)
A
x02
x0
0
2
tg1
x00
x0
单自由度系统自由振动
零初始条件下的自由振动：
x(t)x0cos0t)( x0 0si n0t() Asin0(t)
单自由度系统自由振动
m xkx0 x02x0
0
k m
x(t) c 1co0 ts ) c (2sin 0 t)(Asin0(t)
A c12 c22
x
tg 1 c1
c2
T2/0
A
0
t
0
单自由度系统自由振动
m xkx0 x02x0
0
k m
x(t) c 1co0 ts ) c (2sin 0 t)(Asin0(t)
k 称为广义质量及广义刚度，则弹簧质量系统的有关结论完
全适用于角振动。以后不加特别声明时，弹簧质量系统是广
义的 。
弹簧原长位置
m
0
静平衡位置
k
k
x
I
m xkx0
无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以 0 为振动频率的简谐振动，并且永无休止。
机械振动基础 ppt课件
1) 推断系统的传递特性。(系统辨识) 2) 推断导致该输出的输入量。 (反求) 3) 推断和估计系统的输出量。(预测)
§2.1 振动概述 2.1.1 机械振动及其分类
机械振动分类： 1. 按系统的输入不同分类：
→ 自由振动； → 强迫振动； → 自激振动。 2. 按系统的输出特性分类： → 简谐振动； → 非简谐周期振动； → 瞬态振动； → 准周期振动； → 随机振动。
家里的冰箱电扇空调因振动而产生的噪音使人心烦意乱
§2.1 振动概述 “大振动”现象
印尼海啸汶川大地震美国新奥尔良唐山地震遗址 飓 风
可怕的地震、海啸、飓风使人民生命财产受到巨大损失
§2.1 振动概述 “大振动”现象
振动会使许多机器损坏，飞机和导弹失灵。因大 风引起的桥梁振动和骑兵正步过桥引起的振动会使大 桥震垮。剧烈的振动会加速设备疲劳破坏，固体和气 体的振动会产生噪声等等。总之，振动现象以往主要 是作为不好的现象来加以研究的，它经常是以我们人 类的“敌人”的面貌出现的。
5. 随机振动 不能用精确的数学关系式加以描述，只能根据
随机过程的理论用数理统计的方法对其进行分析处 理。
§2.2 机械振动系统的建模基础 一、建模前的准备
1. 连续系统的离散化 2. 非线性系统的线性化
n1
n2
T1
K (t)
T2
m1
机械振动(大学课程).ppt
2 2 1 24 A 4 . 0 10 m , k 6 10 Nm 解：⑴由题意 2 4 . 0 10
2 2 2 1 21 E kA 6 10 ( 4 . 0 10 ) 0 . 48 J 2 2
2 2 2 2 A 1 1 ⑵ x 时， E kx 6 10 ( 2 . 0 10 ) 0 . 12 J p 2 2 2
x2 x
2s
3s
t
t
6s
15
⒉两个分振动频率很高,又非常接近,即 2 1 2 1 2 1 2 1 x x x A (cos t cos t ) 2 A cos t cos t 21 2 1 2 2
k k k 有频率为： 0 M m m ' m m / 3
S
13
§9.4 简谐振动的合成
振动与其它运动形式一样也可以进行合成与分解，如 琴弦的振动是由若干种频率的简谐振动合成的，我们 研究几种基本而重要的简谐振动的合成
㈠同方向、同频率简谐振动的合成
x A cos( t ), x A cos( t ) 1 1 0 1 2 2 0 2 合振动：x A cos( t ) 0
A A A 2 A A cos[ ( )] 1 2 2 1
2 1 2 2 2 2
2 2 2 1 21 E kA 6 10 ( 4 . 0 10 ) 0 . 48 J 2 2
2 2 2 2 A 1 1 ⑵ x 时， E kx 6 10 ( 2 . 0 10 ) 0 . 12 J p 2 2 2
x2 x
2s
3s
t
t
6s
15
⒉两个分振动频率很高,又非常接近,即 2 1 2 1 2 1 2 1 x x x A (cos t cos t ) 2 A cos t cos t 21 2 1 2 2
k k k 有频率为： 0 M m m ' m m / 3
S
13
§9.4 简谐振动的合成
振动与其它运动形式一样也可以进行合成与分解，如 琴弦的振动是由若干种频率的简谐振动合成的，我们 研究几种基本而重要的简谐振动的合成
㈠同方向、同频率简谐振动的合成
x A cos( t ), x A cos( t ) 1 1 0 1 2 2 0 2 合振动：x A cos( t ) 0
A A A 2 A A cos[ ( )] 1 2 2 1
2 1 2 2 2 2
机械振动
第四讲 机械振动
1 .简谐振动的受力分析
2 .等效法研究简谐振动
3 .三角函数法描述振动
第一部分：振动的受力特点以及参数
知识点睛 一、模型引入 1．什么是振动？
振动是自然界和工程技术领域常见的一种运动，广泛存在于机械运动、电磁运动、热运动、原子运动等运动形式之中．从狭义上说，通常把具有时间周期性的运动称为振动．如钟摆、发声体、开动的机器、行驶中的交通工具都有机械振动．
如图：振动演示实验：当振子往复振动时，匀速的拉动纸带，就可以研究振子离开中心位置的位移与时间的关系。
广义地说，任何一个物理量在某一数值附近作周期性的变化，都称为振动．变化的物理量称为振动量，它可以是力学量，电学量或其它物理量．例如：交流电压、电流的变化、无线电波电磁场的变化等等．
2．什么是机械振动？
机械振动是最直观的振动，它是物体在一定位置附近的来回往复的运动，口语称为“来回晃悠”。如活塞的运动，钟摆的摆动等都是机械振动．
产生机械振动的条件是：物体受到回复力的作用； 回复力：
使振动物体返回平衡位置的力叫回复力．回复力时刻指向平衡位置．回复力是以效果命名的力，它是振动物体在振动方向上的合外力，可能是几个力的合力，也可能是某个力或某个力的分力，可能是重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力等．
3．简谐运动
物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力作用下的振动，叫简谐运动．表达式为：F kx =-．做简谐运动物体的位移是相对于平衡位置的，位移的方向总是由平衡位置指向物体，而回复力总由物体是指向平衡位置，所以回复力总跟位移方向相反，式中的负号表示了这种相反关系． 4．描述简谐运动的物理量
机械振动的PPT精选全文
其中，
A
x02
x0
n d
x0
2
,
arctan d x0 x0 n x0
亚临界阻尼（ 1 ）
响应： x Aent sin dt
响应由两部分组成：①指数衰减因子；②正弦函数 亚临界阻尼系统自由运动具有振动特征，且振幅逐渐衰减
三种阻尼情况的比较：
欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动 过阻尼是一种按指数规律衰减的非周期蠕动，没有振动发生 临界也是按指数规律衰减的非周期运动，但比过阻尼衰减快
些 x(t)
1.4
பைடு நூலகம் 1
0.2
t
按产生的原因分类:受迫振动、自激振动和自由振动。 按产生的效果分类：有益振动、有害振动。 按自由度分类：单自由度振动、二自由度振动和多自由 度振动。
单自由度阻尼系统自由振动
无阻尼系统——理想系统
阻尼系统——实际系 统
阻尼系统自由振动特征： 机械能被阻力损耗，振幅衰
减。 阻力来源： 滑动面摩擦力 环境介质阻力 材料内部损耗
n 2 1 t 2
x e C e C e nt
i 1 2nt
1
i 1 2nt 2
临界阻尼（ 1）
运动方程的通解为
x C1 C2t ent
（6）
设系统的初始条件为
x 0 x0, x 0 x0
对应该初始条件的解为
大学物理第五章机械振动
mechanical vibration
1. 机械振动 物体在一定位置附近所做的周期性往复运动.
2. 广义的振动 描述物体运动状态的物理量在某一数值附近做周期性
的变化.
5.1 简谐运动
回复力：力的方向始终指向平衡位置.
线性回复力：力的方向始终指向平衡位置，且力的大小与位移
成正比.
简谐运动: 物体在线性回复力作用下所做的运动.
T 2 T 2 而 k / m
T 2 m
k
单位时间内物体所完成的全振动的次数称为频率，
用 表示：
1
T
单位: 赫兹(Hz)，记作s-1.
T 2 2 2 单位: rad·s-1
T
①周期和频率都是反映振动快慢的物理量;
② 一个系统自由振动的周期和频率完全由这个系统
本身的性质决定的.
x Acos(t )
2
振动系统的总能量：E
Ep
Ek
1 2
k A2
弹性势能Ep:
E pE
1 2
kA2
cos2
(
t
)
动能EEk k:12 E
kA2 sin 2 ( t
Ep Ek
)
1 2
k
A2
Ek
Ep
o
x T 4 T 2 3T 4 T
A
t
x Acos(t )
1. 机械振动 物体在一定位置附近所做的周期性往复运动.
2. 广义的振动 描述物体运动状态的物理量在某一数值附近做周期性
的变化.
5.1 简谐运动
回复力：力的方向始终指向平衡位置.
线性回复力：力的方向始终指向平衡位置，且力的大小与位移
成正比.
简谐运动: 物体在线性回复力作用下所做的运动.
T 2 T 2 而 k / m
T 2 m
k
单位时间内物体所完成的全振动的次数称为频率，
用 表示：
1
T
单位: 赫兹(Hz)，记作s-1.
T 2 2 2 单位: rad·s-1
T
①周期和频率都是反映振动快慢的物理量;
② 一个系统自由振动的周期和频率完全由这个系统
本身的性质决定的.
x Acos(t )
2
振动系统的总能量：E
Ep
Ek
1 2
k A2
弹性势能Ep:
E pE
1 2
kA2
cos2
(
t
)
动能EEk k:12 E
kA2 sin 2 ( t
Ep Ek
)
1 2
k
A2
Ek
Ep
o
x T 4 T 2 3T 4 T
A
t
x Acos(t )
大学物理课件：机械振动
振动和波是物理学研究的重要领域之一，研究振动和 波的意义并不限于某一学科分支范围，已远远超过力学的 范围。它的基本原理是波动光学、电工学、无线电技术、 近代物理、声学、建筑学、地震学等物理学科分支和技术 科学的基础。所以，振动和波的研究无论在理论上还是实 际应用上都有重要意义。
本篇仅介绍机械振动和机械波。
旋转矢量——简谐振动全部信息
Fra Baidu bibliotek
v A sin(t ) A cos(t ） 2 t vm A
t
A, (T , ), , x, v, a
vm投影 v
T
2
1 T 2
t
v a A 2 am A t
x 0, v 0
Ⅰ
x 0, v 0
Ⅱ
A
x A, v 0
x A, v 0
Ⅲ Ⅳ
x
x 0, v 0
x 0, v 0
O
v A
x
三.简谐振动的函数图线表示 简谐振动运动规律和信息在x-t、v-t、a-t函数图线可以 完整地反映出来。
特征量：
A、T（ω、 ）在图中直接看出 ；
sin 0
3
3
位移、速度、加速度：
位移—— x t曲线纵坐标x
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A1
x y=32
2=0, 1= /4
-A2
o
A2
x
- A1
34
本章测验题
1 利用旋转矢量法确定下述各种t=0情况下的初相。
(1) x0 A , v0 0 2 2 x0 A, v0 0 2 ( 2) x0 A , v0 0 2
(3)
(4)
x0
3 A, v0 0 2
3
16
2 图象法
x
m o x
A
o
A
t
根据已知曲线可以直观地了解 到各个时刻质点的振动状态.
17
旋转矢量
3.旋转矢量法
t=t
t=0 A
t+
t=t
o x x = A cos( t + )
·
x
t=0
t+
如:一振子在t =0时
o
x
x
A x0 ; v0 0 2
则利用旋转矢量法,有:
(3)
(4)
3 x0 A, v0 0 2
20
四.简谐振动的能量(以水平弹簧振子为例)
1.简谐振动系统的能量特点
(1)振动动能
(2)振动势能
1 2 1 Ek mv m 2 A2 sin 2 ( t ) 2 2 1 2 2 kA sin ( t ) 2 1 2 1 2 E p kx kA cos2 ( t )
24
练3:有一轻弹簧,当其下端挂一物体时,伸长量为9.8×10-2m。 若使物体上下振动,且规定向下为正方向。则(1)t=0时,物体 在平衡位置上方8.0×10-2m处，由静止开始向下运动，求运 动方程；(2)t=0时,物体在平衡位置处并以0.60m.s-1速度向 上运动,求运动方程。
x 8.0 102 cos(10t ) x 6.0 10 2 cos(10t ) 2
2
2
(3)机 械 能
1 2 1 E Ek E p kA m 2 A2 2 2
22
简谐振动系统机械能守恒
(1/2)kA2 Ep O
E
Ek T
E p Ek
t
2. 由能量可求振幅
2E A k
23
练习题
练1：一物体质量为0.25kg,在弹性力作用下做简谐振动,弹 簧的劲度系数k=25N/m,如果起始振动时具有势能0.06J和动
2
2
x
2
x A cos(t )
8
2.单摆
l
转动正向
动力学及运动学规律:
d M mgl sin ml dt 2
2 2
d 2 g 2 sin dt l
令
g l
2
mg
( 5 )
g 2 l
即
d 2 dt 2
2
2 3 5 6 5 t 2 12
o
因此,振动方程为
5 2 x 10 cos( t )cm 12 3
19
练 习
利用旋转矢量法确定下述各种t=0情况下的初相
(1)
( 2)
A x0 , v0 0 2 A x0 , v0 0 2
2 x0 A, v0 0 2
A
A1
1
1 2 T 2 1 2 1
单位时间内强弱变化的次数
O
x
1 2 1 T
30
x1
t x2 t x t
同方向不同频率合成曲线
其合成过程可从上面曲线看到 (设两个分振动初相 1和 2都为-π/2)
31
三.垂直方向同频率简谐振动的合成 1.分振动 2. 合运动 x=A1cos( t+ 1)
A cos(t )
可见,两个同方向同频率简谐振 动的合成结果仍为简谐振动
其频率仍为
其合成振幅及合振动初相满足下列关系
A A12 A22 2 A1 A2 cos( 2 1 )
A1 sin 1 A2 sin 2 tan A1 cos 1 A2 cos 2
机械振动与机械波 光的干涉 波动光学 光的衍射
光的偏振
本学期讲授内容 热 学 气体动理论
热力学基础
热辐射与黑体辐射 量子物理 光电效应与康普顿效应 玻尔理论
量子力学基础
1
第九章 振动
振动有各种不同的形式: 机械振动 电磁振动
广义振动：任一物理量(如位移、电流等)在某 一数值附近反复变化。 如心跳等
振动分类:
受迫振动 无阻尼自由振动
无阻尼自由谐振动
(简谐振动)
自由振动
阻尼自由振动
无阻尼自由非谐振动
7
§9-1,2,3,4 简谐振动
一. 简谐振动(Simple harmonic)的特征
1.弹簧振子
m
f kx ma
k 2 令 m
即
动力学及运动学规律 则有
k a x m
d x dt
27
3.两种特殊情况
(1)若两分振动同相
2 1=2k (k=0,1,2,…)
则合振幅 A=A1+A2 ,两分振动相互加强 (2)若两分振动反相
2 1=(2k+1) (k=0,1,2,…)
两分振动相互减弱
则合振幅 A=|A1-A2|,
如 A1=A2 , 则 A=0
28
例题：page41 (9-28)
A x0 (
2
v0 A sin
)2
12
v0
2 周期T： 指完成一次全振动所需要的时间
频率v： 指单位时间内所发生的全振动的次数
圆频率： 指2秒内所发生的全振动的次数.
1 二者大小只与系统结构有关,根据定义应有: T
2
k 2 对于弹簧振子: m
25
§9 .5 简谐振动的合成
一.同方向同频率的简谐振动的合成
1.分振动 2.合振动
O
A
x1=A1cos( t+ 1) x2=A2cos( t+ 2)
A2 2
A1
1
x x1 x2 A1 cos(t 1 ) A2 cos(t 2 )
A1 cost cos1 A1 sin t sin 1 A2 cost cos 2 A2 sin t sin 2
可依据上述特征证明一些 实验是否为简谐振动 例如：竖直自由弹簧振子；浮子等
11
二 描述简谐振动的特征量
1. 振幅 A 表示物体在振动过程中偏离平衡位置
的最大位移。其大小与初始条件有关 利用
x A cos(t )
v A sin( t )
当t=0时 则有
x0 A cos
已知两同方向同频率的简谐振动的运动方程分别为：
x1 0.05 cos(10t 0.75 ) x2 0.06 cos(10t 0.25 )
求:(1)合振动的振幅和初相(2)若有另一同方向同频率的简谐 振动 x3 0.07 cos(10t ) 则 为多少时，x1+x3的振幅最大？ 又 为多少时,x2+x3的振幅最小？ 二 同方向不同频率的简谐振动的合成
cost ( A1 cos1 A2 cos 2 ) sin t ( A1 sin 1 A2 sin 2 )
由图示可得到
x
A cos A1 cos 1 A2 cos 2 A sin A1 sin 1 A2 sin 2
26
因此
x A cost cos A sin t sin
因此定义: (1) ( t +)是 t 时刻的相位(或称位相)
★利用初始条件确定 已知: t=0时位移为x0 速度为v0. 则求A,
利用:
则有:
x0 A cos v0 A sin v0 1 tan ( ) x0
14
☆相位差
m1 O m2
A1 A2
x1 A1 cos(t 1 )
T
t
15
三.谐振动描述方法
1.数学表达式法(解析法):
x A cos(t )
由已知表达式可以得出任意时刻的振动状态 如一质点按 x 10 cos(t ) 规律作简谐振动, 3 求2s时刻振动速度及振动加速度.
解 振动速度 v 10 sin( 2 ) 10 3 3 振动加速度 a 10 2 cos( 2 ) 5 2
*该方法在解决位相问 题上具有明显优势.
O
得初相为: 5 或 3 3
18
又如:一谐振子振动图线 如图所示,求振动方程.
解 由图可知: t =0s 时 x0=-5 v0<0
t =2s 时 x=0 v0>0
x(cm) o
-5
-10
利用旋转矢量法,可确定相应时刻旋 转矢量对应位置,如图所示.可知: t(s)
则得 : 0 cos(t )
9
3.复摆（物理摆） 任意形状、小角度、无摩擦、自由摆动
M m glsin m gl
d J J 2 dt
2
转动正向
O*
d 2 mgl J 2 dt
令
d 2 2 0 dt 2
*C
mgl J
对于单摆:
T 2
m k
g 2 l
T 2
l g
13
3.相位
因有:
x A cos(t ) v A sin( t ) 可见: t+是决定t 时刻 状态的物理量 a A 2 cos(t )
(2) 是t =0时刻的相位 ——初相
能0.02J,求(1)振幅;(2)动能恰等于势能时的位移? (3)经过
平衡位置时物体的速度? 练2：一弹簧振子沿x轴作谐振动，已知振动物体最大位移为 xm=0.4m时，最大恢复力为Fm=0.8N ；最大速度为
vm=0.8πm/s；又知t=0时的初位移为+0.2m，且初速度与所选
x轴方向相反。求:(1)振动能量(2)振动方程
1. 分振动
x1=Acos( 1 t+ 1) x2=Acos( 2t+ 2)
29
2.合振动情况
如图所示,由于1和2不同,二矢量在旋转 过程中,时而同向重叠(合成振幅最大),时 2 而反向重叠(合成振幅最小).可见,其合成 A 2 振幅呈现出周期性变化规律,这种现象称 2 为拍;通常用拍频和拍周期来描述. 1 拍周期 拍 频
2
m cos( t )
10
谐振动特征总结:
(1).回复力或回复力矩 (2).加速度或角加速度
f kx
或M k '
a 2 x 或 2 (3).运动方程 x A cos( t ) 或 0 cos(t )
v A sin( t ) a A 2 cos(t )
32
= 0
= /4
P
·Q
.
= /2
= 3/4
=
= 5/4
= 3/2
= 7/4
33
四.垂直方向不同频率简谐振动的合成
两分振动频率相差很小 = ( 2- 1) t + ( 2 - 1) 可看作两频率相等而 2- 1随ｔ缓慢变化 合运动轨迹将按上页图依次缓慢变化 两振动的频率成整数比时， 其合成轨迹称为李萨如图形 y
x2 A2 cos(t 2 )
x
2 1
当 2 1 2kπ 两振动步调相同,称同相 当 2 1 (2k 1) π 两振动步调相反,称反相
ຫໍສະໝຸດ Baidu
x
x1 x2
同相
T
o
- A2 - A1
t
A1 x A2
x1
x2
反相
o
- A2 - A1
4 1 ; 2
3 ;
3
4
2 3 3 5 7 4 , 6 6
51
x(m)
2 利用振动图像确定振动 方程,并求出1秒时刻振动 速度和振动加速度。
0.05
0
0.10
2
t (s )
5 x 0.1cos( t ) 12 3 5 v sin 120 12 25 2 a cos 1440 12
52
3 一质点沿x轴做简谐振动，振幅为0.12m，周期为2s， 当t=0时，质点的位置在0.06m处，且向x轴正方向运动， 求: (1)振动方程(2)t=0.5s时，质点的位置、速度、加速度 (3)质点在x=-0.06m处，且向x轴负方向运动，再回到平 衡位置所需最短时间。
y=A2cos( t+ 2)
x2 y2 x y 2 2 cos( 2 1 ) sin 2 ( 2 1 ) A12 A2 A1 A2
(1) 合运动一般是在 2A1 (x方向),2A2 (y方向) 范围内的一个椭圆 (2) 椭圆的性质 (方位、长短轴、左右旋) 在 A1 、A2确定之后, 主要决定于 = 2- 1