中考复习专题：中考中“将军饮马”问题的常见模型及典型例题课件(共38张PPT)

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2020中考数学复习最值问题-将军饮马问题 (51张PPT)

02、将军饮马模型系列 ————“一定两动”之点到点
当P'、N、M、P''共线时，得△PMN周长的最小值，即线段P'P''长，连接OP'、 OP''，可得△OP'P''为等边三角形，所以P'P''=OP'=OP=8．
02、将军饮马模型系列 ————“两定两动”之点到点
在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。
05、将军过桥
【分析】考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可。问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与 NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A 点落在A'位置。
问题化为求A'N+NB最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置．
05、将军过桥
通过几何变换将若干段原本彼此分离线段组合到一起，是解决问题的关键~
此处M点为折点，作点P关于OA对称的点P'，将折线段PM+MN转化为 P'M+MN，即过点P'作OB垂线分别交OA、OB于点M、N，得PM+MN 最小值（点到直线的连线中，垂线段最短）
03、几何图形中的将军饮马
寻找几何图形中端点关于折点所在直线的对称点位置
03、几何图形中的将军饮马 ----正方形中的“将军饮马”
则PC+PD的最小值为（）
A．4
B．5 C．6
D．7
03、几何图形中的将军饮马 ----正方形中的“将军饮马”
【分析】作点C关于P点所在直线AB的对称点C'，当C'、P、D共线时， PC+PD最小，最小值为5，故选B．

中考培优竞赛专题经典讲义最值问题之将军饮马问题

最值问题之将军饮马问题最值问题是老师们最爱考的热门题型之一，综合性较强，需要一定的基本功，一般考察时一般放在压轴位置。

模型讲解【基本模型】问题：在直线l上找一点P，使得P A＋PB的值最小解析：连接AB，与直线l交点即为点P(两点之间线段最短)【拓展模型1】问题：在直线/上找一点P，使得P A＋PB的值最小解析：点A作关于l的对称点A'，连接BA'，与直线l的交点即为点P，此时P A＋PB的最小值即为线段BA′的长度．【练习】1、尺规作图：在直线MN上找一点P，使得∠APN＝∠BPN．(保留作图痕迹)【模型拓展2】1、如图，已知点P为定点，定长线段AB在直线MN上运动，在什么位置时，P A＝PB最小？思维转化：将线段AB移动，点P不动，理解为线段AB不动，点P在直线CD上移动，将模型转化为最基本模型【模型拓展3】问题：∠MON内一定点A，点P、Q分别为OM、ON上的动点，求△APQ周长的最小值．解析：点A作关于ON和OM的对称点A1、A2，，连接A1A2，与ON、OM交点即为Q、P，线段A1A2的长度即为△APQ周长的最小值．基本结论：①△A1OA2必为等腰三角形，且腰长等于线段OA的长．②∠A1OA2＝2∠MON．四边形ABPQ周长最小的模型，最小值即为线段AB＋A'B'的长度和．【模型拓展4】问题：求AB＋BC＋CD的最小值问题解析：作点A关于ON的对称点A'，点D关于OM的对称点D′，连接A'D′，最小值即为线段A'D'的长度．(作点A和点D的对称点的过程中，也可以直接将OM、ON整个对称过去，使得图形更加完整)【模型拓展5】MN垂直两平行线，求AM＋MN＋NB的最小值模型．其中MN 为定值，故只需求AM ＋NB 的最小值，将点A 向下平移MN 的长度得到A ′，连接A ′B ，线段A ′B 的长度即为AM ＋NB 的最小值直线l 上有一长度不变线段MN 移动，求AM ＋MN ＋NB 最小值的模型．将A 点向右平移MN 的长度，以此转化为基本模型，最小值即为MN ＋A 2B【例题讲解】例题1、如图，在平面直角坐标系中，Rt △OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点B 的坐标为(3，点C 的坐标为(12，0)，点P 为斜边OB 上的一动点，则P A ＋PC 的最小值为．解：作A 关于OB 的对称点D ，连接CD 交OB 于P ，连接AP ，过D 作DN ⊥OA 于N ，则此时P A ＋PC 的值最小，∵DP ＝P A ，∴P A ＋PC ＝PD ＋PC ＝CD ，∵B (3，∴AB OA ＝3，∵tan ∠AOB ＝AB OA AOB ＝30°，∴OB ＝2AB ＝由三角形面积公式得：12×OA ×AB ＝12×OB ×AM ，∴AM ＝32，∴AD ＝2×32＝3，∵∠AMB ＝90°，∠B ＝60°，∴∠BAM ＝30°，∵∠BAO ＝90°，∴∠OAM ＝60°，∵DN ⊥OA ，∴∠NDA ＝30°，∴AN ＝12AD ＝32，由勾股定理得：DN ，∵C (12，0)，∴CN ＝3﹣12﹣32＝1，在Rt △DNC 中，由勾股定理得：DC ，即P A＋PC．【思考】若把题中条件点“C的坐标为(12，0)”改为“点C为OA边上一动点”，其它条件不变，那么此时P A＋PC最小值又是多少呢？解答：∵P A＋PC＝PC＋PD＝CD≥DN，∴P A＋PC．例题2、某长方体的长、宽、高分别为4、3、5，(1)如图1，点A、B分别为该长方体的两个顶点，已知蚂蚁从点A沿长方体侧面爬到点B，则最短路线长是多少？(2)如图2，点A、C分别为该长方体的两个顶点，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点C，那么所用细线最短长度是．(3)如图2，点A、C分别为该长方体的两个顶点，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕三圈到达点C，那么所用细线最短长度是．(4)如图3，已知圆柱高4米，底面周长1米．如果用花圈从上往下均匀缠绕圆柱3圈(如图)，那么螺旋形花圈的长至少米．答案：例题3、如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝120°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC＝1，AE＝DE＝2，在BC、DE上分别找一点M、N．(1)当△AMN的周长最小时，∠AMN＋∠ANM＝；(2)求△AMN的周长最小值．解：作A 关于BC 和ED 的对称点A ′，A ″，连接A ′A ″，交BC 于M ，交ED 于N ，则A ′A ″即为△AMN 的周长最小值．⑴作EA 延长线的垂线，垂足为H ，∠BAE ＝120°，∴∠AA ′A ″＋∠AA ″A ′＝60°，∠AA ′A ″＝∠A ′AM ，∠AA ″A ′＝∠EAN ，∴∠CAN ＝120°－∠AA ′A ″－∠AA ″A ′＝60°，也就是说∠AMN ＋∠ANM ＝180°－60°＝120°.⑵过点A ′作EA 延长线的垂线，垂足为H ，∵AB ＝BC ＝1，AE ＝DE ＝2，∴AA ′＝2BA ＝2，AA ″＝2AE ＝4，则Rt △A ′HA 中，∵∠EAB ＝120°，∴∠HAA ′＝60°，∵A ′H ⊥HA ，∴∠AA ″H ＝30°，∴AH ＝12AA ′＝1，∴A ′H ，A ″H ＝1＋4＝5，∴A ′A ″＝例题4、如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在边BC 上且CE ＝1MN 在AC 上运动．(1)求四边形BMNE 周长最小值；(2)当四边形BMNE 的周长最小时，则tan ∠MBC 的值为．解：作EF ∥AC 且EF DF 交AC 于M ，在AC 上截取MN DF 交BC 于P ，作FQ ⊥BC 于Q ，作出点E 关于AC 的对称点E ′，则CE ′＝CE ＝1，将MN 平移至E ′F ′处，则四边形MNE ′F ′为平行四边形，当BM ＋EN ＝BM ＋FM ＝BF ′时，四边形BMNE 的周长最小，由∠FEQ ＝∠ACB ＝45°，可求得FQ ＝EQ ＝1，∵∠DPC ＝∠FPQ ，∠DCP ＝∠FQP ，∴△PFQ ∽△PDC ， ∴PQ PQ QE EC ++＝PQ CD ，∴2PQ PQ +＝14，解得：PQ ＝23，∴PC ＝83，由对称性可求得tan∠MBC＝tan∠PDC＝23．例题5、在平面直角坐标系中，已知点A(一2，0)，点B(0，4)，点E在OB上，且∠OAE＝∠OB A．如图，将△AEO沿x轴向右平移得到△AE′O′，连接A'B、BE'．当AB＋BE'取得最小值时，求点E'的坐标．【提示】将△AEO向右平移转化为△AEO不动，点B向左平移，则点B移动的轨迹为一平行于x轴的直线，所以作点E关于该直线的对称点E1，连接AE1，与该直线交点F即为最小时点B的位置，求出BF长度即可求出点E向右平移的距离．例题6、如图，已知正比例函数y＝kx(k＞0)的图像与x轴相交所成的锐角为70°，定点A的坐标为(0，4)，P为y轴上的一个动点，M、N为函数y＝kx(k＞0)的图像上的两个动点，则AM＋MP＋PN的最小值为．解：如图所示，直线OC 、y 轴关于直线y ＝kx 对称，直线OD 、直线y ＝kx 关于y 轴对称，点A ′是点A 关于直线y ＝kx 的对称点．作A ′E ⊥OD 垂足为E ，交y 轴于点P ，交直线y ＝kx 于M ，作PN ⊥直线y ＝kx 垂足为N ，∵PN ＝PE ，AM ＝A ′M ，∴AM ＋PM ＋PN ＝A ′M ＋PM ＋PE ＝A ′E 最小(垂线段最短)，在RT △A ′EO 中，∵∠A ′EO ＝90°，OA ′＝4，∠A ′OE ＝3∠AOM ＝60°，∴OE ＝12OA ′＝2，A ′E ．∴AM ＋MP ＋PN 的最小值为【巩固练习】1、如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD ＋PE 的和最小，则这个最小值为．2、在菱形ABCD 中，对角线AC ＝6，BD ＝8，点E 、F 、P 分别是边AB 、BC 、AC 上的动点，PE ＋PF 的最小值是．3、如图，在边长为2的等边△ABC 中，D 为BC 的中点，E 是AC 边上一点，则BE ＋DE 的最小值为．4、如图，钝角三角形ABC 的面积为9，最长边AB ＝6，BD 平分∠ABC ，点M 、N 分别是BD 、BC 上的动点，则CM ＋MN 的最小值为．5、如图，在△ABC 中，AM 平分∠BAC ，点D 、E 分别为AM 、AB 上的动点，(1)若AC ＝4，S △ABC ＝6，则BD ＋DE 的最小值为(2)若∠BAC ＝30°，AB ＝8，则BD ＋DE 的最小值为．(3)若AB ＝17，BC ＝10，CA ＝21，则BD ＋DE 的最小值为．AB C DEM6、如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝4，S △ABC ＝，点P 、Q 、K 分别为线段AB 、BC 、AC 上任意一点，则PK ＋QK 的最小值为．7、如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝8，点M 在⊙O 上，∠MAB ＝20°，N 是弧MB 的中点，P 是直径AB 上的一动点，则PM ＋PN 的最小值为．B8、如图，在锐角△ABC 中，AB ＝4，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM ＋MN 的最小值是．9、如图，圆柱形玻璃杯高为12cm 、底面周长为18cm ，在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为cm ．10、如图，菱形OABC中，点A在x轴上，顶点C的坐标为(1，动点D、E分别在射线OC、OB上，则CE＋DE＋DB的最小值是．11、如图，点A(a，1)、B(－1，b)都在双曲线y＝－3x(x＜0)上，点P、Q分别是x轴、y轴上的动点，当四边形P ABQ的周长取最小值时，PQ所在直线的解析式是．12、如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是．13、如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝1，ON＝3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP＋PQ＋QN的最小值是．14、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，过D作DE⊥BC于点E．(1)点P是边BC上的一个动点，在线段BC上找一点P，使得AP＋PD最小，在下图中画出点P；(2)在(1)的条件下，连接CD交AP于点Q，求AQ与PQ的数量关系；AC E D15、在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，G 为边AD 的中点．(1)如图1，若E 为AB 上的一个动点，当△CGE 的周长最小时，求AE 的长．(2)如图2，若E 、F 为边AB 上的两个动点，且EF ＝4，当四边形CGEF 的周长最小时，求AF 的长．16、图1，图2为同一长方体房间的示意图，图2为该长方体的表面展开图．(1)蜘蛛在顶点A ′处，①苍蝇在顶点B 处时，试在图1中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行的最近路线；②苍蝇在顶点C 处时，图2中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花板ABCD 爬行的最近路线A 'GC 和往墙面BB 'C 'C 爬行的最近路线A 'HC ，试通过计算判断哪条路线更近？(2)在图3中，半径为10dm 的OM 与D 'C '相切，圆心M 到边CC ′的距离为15dm ，蜘蛛P 在线段AB 上，苍蝇Q 在OM 的圆周上，线段PQ 为蜘蛛爬行路线．若PQ 与OM 相切，试求PQ 的长度的范围．17.如图，抛物线21242y x x =-++交y 轴于点B ，点A 为x 轴上的一点，OA =2，过点A 作直线MN ⊥AB 交抛物线与M 、N 两点.（1）求直线AB 的解析式；（2）将线段AB 沿y 轴负方向平移t 个单位长度，得到线段11A B ，求11MA MB +取最小值时实数t 的值.参考答案1.解：连接BD，∵点B与D关于AC对称，∴PD＝PB，∴PD＋PE＝PB＋PE＝BE最小．∵正方形ABCD的面积为12，∴AB＝又∵△ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝．2.解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC＝6，BD＝8，∴AB＝5，作E关于AC的对称点E′，作E′F⊥BC于F交AC于P，连接PE，则E′F即为PE＋PF的最小值，∵12⋅AC⋅BD＝AD⋅E′F，∴E′F＝245，∴PE＋PF的最小值为245.3.解：作B关于AC的对称点B′，连接BB′、B′D，交AC于E，此时BE＋ED＝B′E＋ED＝B′D，根据两点之间线段最短可知B′D就是BE＋ED的最小值，∵B、B′关于AC的对称，∴AC、BB′互相垂直平分，∴四边形ABCB′是平行四边形，∵三角形ABC是边长为2，D为BC的中点，∴AD⊥BC，AD BD＝CD＝1，BB′＝2AD＝，作B′G⊥BC的延长线于G，∴B′G＝AD，在Rt△B′BG中，BG＝3，∴DG＝BG﹣BD＝3﹣1＝2，在Rt△B′DG中，B′D故BE ＋ED4.解：过点C 作CE ⊥AB 于点E ，交BD 于点M ，过点M 作MN ⊥BC 于N ，∵BD 平分∠ABC ，ME ⊥AB 于点E ，MN ⊥BC 于N ，∴MN ＝ME ，∴CE ＝CM ＋ME ＝CM ＋MN 是最小值．∵三角形ABC 的面积为9，AB ＝6，∴12×6 CE ＝9，∴CE ＝3．即CM ＋MN 的最小值为3．5.H E'A C DEM提示：作点E 关于AM 的对称点E ′，BH ⊥AC 于H ，易知BD ＋DE 的最小值即为BH 的长.答案：(1)3；(2)4；(3)8．6.解：如图，过A 作AH ⊥BC 交CB 的延长线于H ，∵AB ＝CB ＝4，S △ABC ＝AH ＝∴cos ∠HAB ＝AH ABHAB ＝30°，∴∠ABH ＝60°，∴∠ABC ＝120°， ∵∠BAC ＝∠C ＝30°，作点P 关于直线AC 的对称点P ′，过P ′作P ′Q ⊥BC 于Q 交AC 于K ，则P′Q的长度＝PK＋QK的最小值，∴∠P′AK＝∠BAC＝30°，∴∠HAP′＝90°，∴∠H＝∠HAP′＝∠P′QH＝90°，∴四边形AP′QH是矩形，∴P′Q＝AH＝即PK＋QK的最小值为7.解：作点N关于AB的对称点N′，连接OM、ON、ON′、MN′，则MN′与AB的交点即为PM＋PN的最小时的点，PM＋PN的最小值＝MN′，∵∠MAB＝20°，∴∠MOB＝2∠MAB＝2×20°＝40°，∵N是弧MB的中点，∴∠BON＝12∠MOB＝12×40°＝20°，由对称性，∠N′OB＝∠BON＝20°，∴∠MON′＝∠MOB＋∠N′OB＝40°＋20°＝60°，∴△MON′是等边三角形，∴MN′＝OM＝OB＝12AB＝182⨯＝4，∴PM＋PN的最小值为4，8.解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′＋M′N′为所求的最小值．∵AD是∠BAC的平分线，∴M′H＝M′N′，∴BH是点B到直线AC的最短距离，∵AB＝4，∠BAC＝45°，∴BH＝AB⋅sin45°＝4＝∵BM＋MN的最小值是BM′＋M′N′＝BM′＋M′H＝BH＝9.解：沿过A 的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH ，过C 作CQ ⊥EF 于Q ，作A 关于EH 的对称点A ′，连接A ′C 交EH 于P ，连接AP ，则AP ＋PC 就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，∵AE ＝A ′E ，A ′P ＝AP ，∴AP ＋PC ＝A ′P ＋PC ＝A ′C ，∵CQ ＝12×18cm ＝9cm ，A ′Q ＝12cm ﹣4cm ＋4cm ＝12cm ，在Rt △A ′QC 中，由勾股定理得：A ′C ＝15cm ，故答案为：15．10.解：连接AC ，作B 关于直线OC 的对称点E ′，连接AE ′，交OC 于D ，交OB 于E ，此时CE ＋DE ＋BD 的值最小，∵四边形OCBA 是菱形，∴AC ⊥OB ，AO ＝OC ，即A 和C 关于OB 对称，∴CE ＝AE ，∴DE ＋CE ＝DE ＋AE ＝AD ，∵B 和E ′关于OC 对称，∴DE ′＝DB ，∴CE ＋DE ＋DB ＝AD ＋DE ′＝AE ′，过C 作CN ⊥OA 于N ，∵C (1)，∴ON ＝1，CN由勾股定理得：OC ＝2，即AB ＝BC ＝OA ＝OC ＝2，∴∠CON ＝60°，∴∠CBA ＝∠COA ＝60°， ∵四边形COAB 是菱形，∴BC ∥OA ，∴∠DCB ＝∠COA ＝60°，∵B 和E ′关于OC 对称，∴∠BFC ＝90°，∴∠E ′BC ＝90°﹣60°＝30°，∴∠E ′BA ＝60°＋30°＝90°，CF ＝12BC ＝1，由勾股定理得：BF E ′F ，在Rt △EBA 中，由勾股定理得：AE ′＝4，即CE ＋DE ＋DB 的最小值是4．11.解：把点A(a，1)、B(﹣1，b)代入y＝﹣3x(x＜0)得a＝﹣3，b＝3，则A(﹣3，1)、B (﹣1，3)，作A点关于x轴的对称点C，B点关于y轴的对称点D，所以C点为(﹣3，﹣1)，D点为(1，3)，连结CD分别交x轴、y轴于P点、Q点，此时四边形P ABQ的周长最小，设直线CD的解析式为y＝kx＋b，则313k bk b-+=-⎧⎨+=⎩，解得12kb=⎧⎨=⎩，所以直线CD的解析式为y＝x＋2．12.解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，∴PM＝DM，OP＝OD，∠DOA＝∠POA；∵点P关于OB的对称点为C，∴PN＝CN，OP＝OC，∠COB＝∠POB，∴OC＝OP＝OD，∠AOB＝12∠COD，∵△PMN周长的最小值是5cm，∴PM＋PN＋MN＝5，∴DM＋CN＋MN＝5，即CD＝5＝OP，∴OC＝OD＝CD，即△OCD是等边三角形，∴∠COD＝60°，∴∠AOB＝30°；13.解：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M ′N ′，即为MP ＋PQ ＋QN 的最小值．根据轴对称的定义可知：∠N ′OQ ＝∠M ′OB ＝30°，∠ONN ′＝60°，∴△ONN ′为等边三角形，△OMM ′为等边三角形，∴∠N ′OM ′＝90°，∴在Rt △M ′ON ′中，M ′N ′14.A'AB PC EDQA'A B P C E D解：(1)作点A 关于BC 的对称点A ′，连DA ′交BC 于点P.(2)由(1)可证得PA 垂直平分CD ，∴AQCQ ＝3PQ15.解：(1)∵E 为AB 上的一个动点，∴作G 关于AB 的对称点M ，连接CM 交AB 于E ，那么E 满足使△CGE 的周长最小； ∵在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，G 为边AD 的中点，∴AG ＝AM ＝4，MD ＝12，而AE ∥CD ，∴△AEM ∽△DCM ，∴AE ：CD ＝MA ：MD ，∴AE ＝CD MA MD＝2； (2)∵E 为AB 上的一个动点，∴如图，作G 关于AB 的对称点M ，在CD 上截取CH ＝4，然后连接HM 交AB 于E ，接着在EB 上截取EF ＝4，那么E 、F 两点即可满足使四边形CGEF 的周长最小．∵在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，G 为边AD 的中点，∴AG ＝AM ＝4，MD ＝12，而CH ＝4，∴DH ＝2，而AE∥CD，∴△AEM∽△DHM，∴AE：HD＝MA：MD，∴AE＝HD MAMD⨯＝23，∴AF＝4＋23＝143．16.解：(1)①根据“两点之间，线段最短”可知：线段A′B为最近路线，如图1所示．②Ⅰ．将长方体展开，使得长方形ABB′A′和长方形ABCD在同一平面内，如图2①．在Rt△A′B′C中，∠B′＝90°，A′B′＝40，B′C＝60，∴ACⅡ．将长方体展开，使得长方形ABB′A′和长方形BCC′B′在同一平面内，如图2②．在Rt△A′C′C中，∠C′＝90°，A′C′＝70，C′C＝30，∴A′C＝ABCD爬行的最近路线A′GC更近；(2)过点M作MH⊥AB于H，连接MQ、MP、MA、MB，如图3．∵半径为10dm的⊙M与D′C′相切，圆心M到边CC′的距离为15dm，BC′＝60dm，∴MH＝60﹣10＝50，HB＝15，AH＝40﹣15＝25，根据勾股定理可得AM，MB∴50≤MP∵⊙M 与PQ 相切于点Q ，∴MQ ⊥PQ ，∠MQP ＝90°，∴PQ当MP ＝50时，PQ当MP时，PQ55．∴PQ 长度的范围是≤PQ ≤55dm ．17.解：（1）依题意，易得B （0，4），A （2，0），则AB 解析式：42+-=x y（2）∵AB ⊥MN∴直线MN ：121-=x y 与抛物线联立可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++-=12142212x y x x y 解得：M （-2，-2）将AB 向负方向平移t 个单位后，A 1（2，-t ），B 1（0，4-t ）则A 1关于直线x =-2的对称点A 2为（-6，-t ）当A 2、M 、B 1三点共线时，11MA MB +取最小值 ∴314=t。

2020年中考复习将军饮马问题讲义

将军饮马(作对称点求最短线段终极版)背景知识：早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．常用知识点：两点之间线段最短，垂线段最短，三角形三边关系，轴对称，平移；解题思路：找对称点，变折线为直线。

常见模型：一、两定点一动点型：如图：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB最小。

解题思路：连接AB，与直线的交点为点Q，即此时点P运动到点Q处，最小值为AB.证明：运用三角形三边关系：两边之和大于第三边，当A、P、B三点共线可取等于。

在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB的和最小.解题思路：作定点B关于直线l的对称点C,连接AC,交直线于点Q，当点P运动到点Q，最小值为AC.证明：关键是作其中一个定点的对称点，使得PB=PC，求PA+PB的最小值，即求PA+PC的最小值。

再转化为上述题型。

PA-值最大。

引申1：此题型也可以求PB解题思路：延长AB交直线l于点Q,当点P运动到点Q，PBPA-最大值为AB.证明：三角形任意两边之差小于第三边，当A、B、P三点共线可取等于.(提示：如果两定点不在直线的同侧，可以作其中一个定点关于直线l的对称点)PA-值最小。

引申2：此题型也可以求PB解题思路：连接AB，作AB的垂直平分线角l于点P.证明：垂直平分线上的点到线段的两端距离相等，可得PA=PB二.两动点一定点型（两动点在角的两边上）如图，在∠MON 的内部有一点A ，在OM 上找一点B ，在ON 上找一点C ，使得△BAC 周长最短．解题思路：作点A 关于OM 的对称点'A ，作点A 关于ON 的对称点''A ，连接'''A A ，与OM 交于点B ，与ON 交于点C ，连接AB ，AC ，此△ABC 周长最短．证明：两点之间，线段最短变式1：如图：在∠MON 的内部有一点A ，在OM 上找一点B ，在ON 上找一点C ，使得AB ＋BC 最短．解题思路:作点A 关于OM 的对称点'A ，过点'A 作C A '⊥ON ，交OM 于点B ，交ON 于点C,即为所求。

九年级中考数学复习课件第7单元数学文化——将军饮马

如图⑦，已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为 x＝1，且抛物线经过 A(－1,0)、 C(0，－3)两点，与 x 轴交于另一点 B.在抛物线的对称轴上找到一点 M，使△ACM 周长最小，请求出此时点 M 的坐标与△ACM 周长的最小值．(结果保留根号)
解：(1)答案依次是：CB′，C′B′，AB′；
赢在中考
讲练通
第一部分教材同步复习
第七单元图形的变化
数学
数学文化——将军饮马
数学Βιβλιοθήκη 栏目导航【模型介绍】古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸一侧的两个军营 A、B，他总是先去 A 营，再到河边饮马，之后再去 B 营，如图①，他时常想，怎么走才能使每天的路程之和最短呢？
(2)答案依次是：DE， 5；
图⑤：作 B 关于 CD 的对称点 E，则 E 正好在圆周上，
连接 OA、OB、OE、AE，AE 交 CD 于 P，则 AP＋BP 最短，
︵
∵∠AOD＝60°，B 为AD 的中点，
︵︵
︵
∴AB ＝BD ，且AB 的度数是 30°，
∴∠AEB＝15°(圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半)，
大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这个问题
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如图②，作 B 关于直线 l 的对称点 B′，连接 AB′与直线 l 交于点 C，点 C 就是所求的位置．请你在下列的阅读、应用的过程中，完成解答．
(1)理由：如图③，在直线 l 上任取一点 C′，连接 AC′，BC′，B′C′. ∵直线 l 是点 B，B′的对称轴，点 C，C′在 l 上． ∴CB＝________，C′B＝________ ∴AC＋CB＝AC＋CB′＝________. 在△AC′B′中，∵AB′＜AC′＋C′B′. ∴AC＋CB＜AC′＋C′B′.∴AC＋CB＜AC′＋C′B′即 AC＋CB 最小

中考重难点易错专题最值模型之将军饮马11个常考模型(模型精讲)

最值模型之将军饮马(11个常考模型)模型背景【模型来历】早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．【考点】两点之间线段最短，垂线段最短；三角形两边三边关系；轴对称；平行四边形--平移；【解题思路】学会化归，移花接木，化折为直【核心思想】共线与垂线段最短。

模型精讲一.两动一定型(2种模型)：两定点到直线上一动点的距离和最小。

1如图1-1在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB最小.【证明】图1-2。

PA+PB的最小值即为线段AB的长度理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´，在△ABP'中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小.反思：解决本题很简单，但却点明了将军饮马的解题思路。

1.1如图1-3，如图，定点A和定点B在定直线l的同侧要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小。

作法：图1-41.作A关于直线CD对称点A'。

2.连A'B。

3.交点P就是要求点。

连线长A'B就是PA+PB最小值。

【证明】：图1-5在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´，在△ABP'中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小.二.造桥选址，移花接木。

1已知：如图2-1，直线a∥b,A、B分别为a上方和b下方的定点，(直线AB不与a垂直)要求：在a、b之间求作垂线段PQ，使得AP+PQ+BQ最小。

将军饮马专题ppt课件

第8题图
返回
1 综合训练
1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点E为AB的中点，M、N是CD上的两动点，且MN＝1，则EM＋EN的最小值为____。
1 综合训练
2. 如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则下列线段的长等于AP＋EP最小值的是 ____。
之
间
，
线
段
最
短
2
用模型战试题
每一个试题都是模型，每一种模型都有方法
综合训练
针对训练1
2
1. 如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AB 边上一点，且AE＝2，则线段EF＋CF的最小值为( B ) A. 3 B. 2 3 C. 2 D. 2
第1题图
返回
2 针对训练2
两动一定型 2
例7
在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得△BAC周长
最短．
在 OM上找一点C，在 ON上找一点D，使得四边形ABCD周长最短．
例9
在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得AB ＋BC最短．
【传说】
早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．
将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．
从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．
A. 3 B. 2 3 C. 3 1 D. 3 2

初中数学-将军饮马问题-公开课课件课件全文

抽象：如图，在直线MN上找一点P, 使得PA+PB最小？
A
M
B
P
N
思考:在前面研究几何问题的过程中，你是否遇到过与此相类似求线段的距离最短或者线段和最小的问题？请举例说明.
垂线段最短 m
思考:在前面研究几何问题的过程中，你是否遇到过与此相类似求线段的距离最短或者线段和最小的问题的问题？请举例说明.
使AC+CD+BD+AB最短。
问题特征：两线两定两动
解决方法：依据两点之间，线段最短,通过两次轴对称, 将三条折线段化为一条直线段.
8/25/ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ024
联系中考
(2019中考) 如图，∠AOB=30°,角内有一点P，PO=10cm，两边上各有一点Q、R（均不同于点O），则 △PQR的周长的最小值是＿＿
Q A
P
O
B
R
如图所示，直线MN表示一条铁路，铁路两旁各有一点A和B，表示两个工厂．要在铁路上建一货站，使
´
它到两厂距离之和最短，这个货站应建在何处？
P´ P
方法:在解决选择位置、求最短距离等问题时，通常转化为“两点之间线段最短”
问题:如图,另一位将军也骑马从城堡A到城堡B，途中马也要到小溪边饮水一次.问这位将军怎样走路程最短？
M
P
连接AP, 则PA´=PA，
A´
则PA+ PB= PA ´+ PB= A´B
在直线MN上任意取一点P´ 连接AP´,BP´,A´P´,
则AP´=A´P´，则AP´+BP´= A´P´+ BP´
△BA´P´中，A ´B < BP´+A´P´，

中考数学复习：“将军饮马”类题型大全

中考数学复习：“将军饮马”类题型大全一、求线段和最值1.两定一动型例1：在图中，AM⊥EF，BN⊥EF，垂足为M、N，MN＝12m，AM＝5m，BN＝4m，P是EF上任意一点，则PA＋PB的最小值是多少？分析：这是最基本的将军饮马问题，A，B是定点，P是动点，属于两定一动将军饮马型。

根据常见的“定点定线作对称”，可作点A关于EF的对称点A’，根据两点之间，线段最短，连接A’B，此时A’P＋PB即为A’B，最短。

而要求A’B，则需要构造直角三角形，利用勾股定理解决。

解答：作点A关于EF的对称点A’，过点A’作A’C⊥BN的延长线于C。

易知A’M＝AM＝NC＝5m，BC＝9m，A’C＝MN＝12m，在Rt△A’BC中，A’B＝15m，即PA＋PB的最小值是15m。

变式：在边长为2的正三角形ABC中，E，F，G为各边中点，P为线段EF上一动点，则△BPG周长的最小值为多少？分析：考虑到BG为定值是1，则△BPG的周长最小转化为求BP＋PG的最小值，又是两定一动的将军饮马型，考虑作点G关于EF的对称点，这里有些同学可能看不出来到底是哪个点，我们不妨连接AG，则AG⊥BC，再连接EG，根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”，可得AE＝EG，则点A就是点G关于EF的对称点。

最后计算周长时，别忘了加上BG的长度。

解答：连接AG，易知PG＝PA，BP＋PG＝BP＋PA，当B，P，A三点共线时，BP＋PG＝BA，此时最短，BA＝2，BG＝1，即△BPG周长最短为3.2.一定两动型例2：在△ABC中，AB＝AC＝5，D为BC中点，AD＝5，P为AD上任意一点，E为AC上任意一点，求PC＋PE的最小值。

分析：这里的点C是定点，P，E是动点，属于一定两动的将军饮马模型。

由于△ABC是等腰三角形，AD是BC中线，则AD垂直平分BC，点C关于AD的对称点是点B，PC＋PE＝PB＋PE，显然当B，P，E三点共线时，BE更短。

中考复习专题：中考中“将军饮马”问题的常见模型及典型例题优质课件

y
A B′
CO
Px
B
中考复习专题：中考中“将军饮马” 问题的常见模型及典型例题优质课件
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数学活动室
1.如图，正方形ABCD中，AB=8,AC与BD交于点O，N是AO的中
点,点M在BC边上,且BM=6.P为对角线BD上一动点，求|PM-PN|
B A
图1
C
图2
D
中考复习专题：中考中“将军饮马” 问题的常见模型及典型例题优质课件
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小小设计家
1.如图所示,钱塘江的一侧有A，B两个工厂。现要在江边建造一个水厂C，把水送到这两个工厂，要使供水管路线最短。这样可
以节省成本。
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梳理体系
"将军饮马问题”的模型
【将军饮马问题模型6】异侧两点差的最大值问题
A B′ l P B
|PA-PB|最大问题
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梳理体系
"将军饮马问题”的模型
【将军饮马问题模型5】同侧两点差的最值问题
A
B l
P （1）
|PA-PB|最大问题
A
B
P
l
（2）
|PA-PB|最小问题
中考复习专题：中考中“将军饮马” 问题的常见模型及典型例题优质课件

中考复习专题：中考中“将军饮马”问题的常见模型及典型例题课件(共38张PPT)

x （1）求a，b的值；
（2）点P、Q分别是x轴、y轴上的动点,当四边形PABQ的周长取最小值时.
①求直线PQ的解析式；②求四边形PABQ周长的最小值。
y
y
B．
A
Q
PO
x
B ． B′
A
Q
PO
x
A′
中考复习专题：中考中“将军饮马” 问题的常见模型及典型例题课件(共38张PPT)
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典例探究
例7
如图，已知点A（
1 2
，y1），B（2，y2）为反比例函数
y
1 的图 x
象上的两点，动点P（x，0）在x轴正半轴上运动，当AP-BP最大时，点
P的坐标是（ D ）
A、（ 1 ，0） B、（ 1 ，0） 2
C、（ 3 ，0） 2
D、（ 5 ，0） 2
y
A
y x 5 2
B
O
P
P
x
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梳理体系
【将军饮马问题模型5】同侧两点差的最值问题
A
B l
P （1）
|PA-PB|最大问题
A
B
P
l
（2）
|PA-PB|最小问题
中考复习专题：中考中“将军饮马” 问题的常见模型及典型例题课件(共38张PPT)
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y A
D E OC B x
y
A
C
D
E
C′O C

中考复习专题：中考中“将军饮马”问题的常见模型及典型例题课件

使得△PBC的周长最小，如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请
说明理由。
y
C
P
A
B
O
x
【技巧】此类问题有一个动点在一条直线上运动，在直线的一侧有两个定点，先找出其中一个定点关于这条直线的对称点，然后连接这个对称点和另一个定点，与已知直线有个交点，这个交点就是使得这个动点到两个定点距离之和最小的点。
y A
D E OC B x
y
A
C
D
E
C′O C
B
x
数学活动室
1.一次函数 y kx b 的图象与x、y轴分别交于点A（2，0）、B
（0，4）.
学（1）求该函数的解析式；
（2）O为坐标原点，设OA的中点为C，D、P分别为AB、OB上一
以动点，求△PCD的最小值，并求取得最小值时P点坐标。
y
致
B
用
D P
O CA
x
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梳理体系
【将军饮马问题模型4】双动点双对称（四边形周长的最小值问题）
P1
M
a
A
B b
N
P2
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数学活动室
1.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线 y x 4 与x轴交于点A，过点A的抛物线 y ax2 bx与直线 y x 4 交于
另一点B，且点B的横坐标为1．

几何模型-将军饮马模型(将军饮马、将军遛马、造桥选址等)-中考数学第二轮总复习课件(全国通用)

复杂的几何最值问题都是在基本图形的基础上进行变式得到的,在解决这一类问题的时候,常常需要通过几何变换进行转化,逐渐转化为“基本图形”,再运用“基本图形”的知识解决.常运用的典型几何变换有： (1)翻折---将军饮马； (2)平移---造桥选址； (3)旋转---费马点问题； (4)相似---阿氏圆问题； (5)三角---胡不归问题； (6)多变换综合运用。
是OC上的一点,当△ADE的周长最小时,点E的坐标是( B )
A.(0，4 ) B.(0，5 ) C.(0,2) D.(0，10 )
3
3
3
河边
y
A
C
E E
B
DO
D´ x
针对训练
将军饮马---两定一动
知识点二
如图:已知⊙O的直径CD为2,︵AC的度数为60º,点B是A︵C的中点,在直
径CD上作出点P,使BP＋AP的值最小,则BP＋AP的最小值为__2___
A
B CP
B＇
D O 河边
知识点
01 线段之差最短(长)
02
将军饮马
03
将军遛马
04
造桥选址
05
垂线段最短
情境导入
将军遛马---两定两动
知识点三
【引例1】如图,A,B均为驻地,将军某 B´
一天要从驻地A出马,先到草地边某处 M 牧马,再到河边饮马,然后回到驻地B,
这位怎样走路程最短？
图形特征：两定两动；适用模型：将军遛马(台球两次碰壁)；基本策略：同侧化异侧、折线化直线；基本方法：N个动点N条河,N次对称跑不脱；基本原理：两点之间线段最短；解题关键：根据结论抓点、线.
D 河流 N
草地
C
A´

中考必会几何模型：将军饮马模型

将军饮马模型“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现．模型1：直线与两定点模型作法结论lB A当两定点A 、B 在直线l 异侧时，在直线l 上找一点P ，使P A ＋PB 最小．lPAB连接AB 交直线l 于点P ，点P即为所求作的点．P A ＋PB 的最小值为ABl AB当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使得P A ＋PB 最小．lPB'AB作点B 关于直线l 的对称点B '，连接AB '交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点．P A ＋PB 的最小值为AB 'l AB当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使得PA PB -最大．lPAB连接AB 并延长交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点．PA PB -的最大值为ABlAB当两定点A 、B 在直线l 异侧时，在直线l 上找一点P ，使得PA PB -最大．l B'AB P作点B 关于直线I 的对称点B '，连接AB '并延长交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点．PA PB -的最大值为AB 'l AB当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使得PA PB -最小．l PAB连接AB ，作AB 的垂直平分线交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点．PA PB -的最小值为0模型实例例1：如图，正方形ABCD 的面积是12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，则PD ＋PE 最小值是．EBC ADP解答：如图所示，∵点B 与点D 关于AC 对称，∴当点P 为BE 与AC 的交点时，PD ＋PE 最小，且线段BE 的长． ∵正方形ABCD 的面积为12，∴其边长为23∵△ABE 为等边三角形，∴BE ＝AB ＝23PD ＋PE 的最小值为3例2：如图，已知△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC ＝4，∠BCD ＝15°，P 为CD 上的动点，则PA PB -的最大值是多少？DPPA'B解答：如图所示，作点A 关于CD 的对称点A ′，连接A ′C ，连接A ′B 并延长交CD 于点P ，则点P 就是PA PB -的值最大时的点，PA PB -＝A ′B ．∵△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC 等于4，∴∠ACB ＝90°． ∵∠BCD ＝15°，∴∠ACD ＝75°．∵点A 、A ′关于CD 对称，∴AA ′⊥CD ，AC ＝CA ′， ∵∠ACD ＝∠DCA ′＝75°，∴∠BCA ′＝60°．∵CA ′＝AC ＝BC ＝4，∴△A ′BC 是等边三角形，∴A ′B ＝BC ＝4．∴PA PB -的最大值为4．练习1．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，D 是BC 边的中点，E 是AB 边上一动点，则EC ＋ED 的最小值是．DACB E解：解：过点C 作CO⊥AB 于O ，延长CO 到C '，使O C '=OC ，连接D C '，交AB 于E ，连接C 'B ，此时DE+CE=DE+E C '=D C '的值最小．连接B C '，由对称性可知∠C 'BE=∠CBE=45°，∴∠CB C '=90°，∴B C '⊥BC， ∠BC C '=∠B C 'C=45°，∴BC=B C '=2，∵D 是BC 边的中点，∴BD=1，根据勾股定理可得：D C '=5，故EC+ED 的最小值是5．2．如图，点C 的坐标为（3，y ），当△ABC 的周长最短时，求y 的值．xyB (2,0)A (0,3)O解：解：（1）作A 关于x=3的对称点A ′，连接A ′B 交直线x=3与点C ． ∵点A 与点A ′关于x=3对称，∴AC=A ′C ．∴AC+BC=A ′C+BC ．当点B 、C 、A ′在同一条直线上时，A ′C+BC 有最小值，即△ABC 的周长有最小值． ∵点A 与点A ′关于x=3对称，∴点A ′的坐标为（6，3）．设直线BA′的解析式y=kx+b，将点B和点A′的坐标代入得：k＝34，b＝−32．∴y=34x-32．将x=3代入函数的解析式，∴y的值为3 43．如图，正方形ABCD中，AB＝7，M是DC上的一点，且DM＝3，N是AC上的一动点，求|DN－MN|的最小值与最大值．C解：解：当ND=NM时，即N点DM的垂直平分线与AC的交点，|DN-MN|=0，因为|DN-MN|≤DM，当点N运动到C点时取等号，此时|DN-MN|=DM=3，所以|DN-MN|的最小值为0，最大值为3于D ，点C 、点D 即为所求．PB OAQ点P 、Q 在∠AOB 内部，在OB 边上找点D ，OA 边上找点C ，使得四边形PQDC周长最小．分别作点P 、Q 关于OA 、OB 的对称点P ′、Q ′，连接P ′Q ′，分别交OA 、OB 于点C 、D ，点C 、D 即为所求．PC ＋CD ＋DQ 的最小值为P ′Q ′，所以四边形PQDC 周长的最小值为PQ ＋P ′Q ′模型实例如图，∠AOB=30°，∠AOB 内有一定点P ，且10OP .在OA 上有一点Q ，OB 上一点R ．若立△PQR 周长最小，则最小周长是多少？解答如图，作点P 分别关于OA 、OB 的对称点E 、F ，连接EF ，分别交OA 、OB 于点Q 、R ，连接OE 、OF 、PE 、PF .EQ OP =，FR RP ．△PQR 的周长的最小值为EF 的长.由对称性可得∠EOQ=∠POQ ，∠FOR=∠POR ， ∠EOF=2∠AOB=60°． △EOF 是正三角形．10EF OE OP ===．即△PQR 周长最小值为10.OBAP模型2/角与定点1．已知，40MON ，P 为MON 内一定点，A 为OM 上的点，B 为ON 上的点，当△PAB 的周长取最小值时：(1)找到A 、B 点，保留作图痕迹；(2)求此时APB 等于多少度.如果∠MON =θ，∠APB 又等于多少度？ON1.解答（1）做点P 分别关于OM ON 、的对称点E F 、，连接EF 分别交OM ON 、于点A B 、．点A B 、即为所求，此时△PAB 的周长最小．（２）∵点E 与点P 关于直线OM 对称，点F 与点P 关于ON 对称， ∴∠E ＝∠APE ，∠F =∠BPF ，∠CPD =180°-∠MON =140°． ∴在△EFP 中，∠E +∠F =180°-140°=40°，∴∠CPA +∠BPD =40°．∴∠APB =100°．如果∠MON =θ， ∴∠CPD =180°-θ，∠E +∠F =θ．又∵∠PAB =2∠E ，∠PBA =2∠F∴∠PAB +∠PBA =2（∠E +∠F ）=2θ ∴∠APB =180°-2θ．ON2．如图，四边形中ABCD ，110BAD ,90BD ，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 周长最小，并求此时+AMN ANM ∠∠的度数．A DBMN2．解答如图，作点A关于BC的对称点A'，关于CD的对称点A''，连接A A'''与BC、CD的交点即为所求的点M、N．此时△AMN周长最小．∵∠BAD=110°，∴∠A'+∠A''=180°-110°=70°．由轴对称的性质得：∠A'=∠A AM'，∠A''=∠A AN''，∴∠AMN+∠ANM=2(∠A'+∠A'')=2×70°=140°．3．如图，在x轴上找一点C，在y轴上找一点D，使AD CD BC最小，并求直线CD的解析式及点C、D的坐标．yxOB(3,1)A(1,3)3．解答作点A关于y轴的对称点A'，点B关于x轴的对称点B'，连接A B''分别交x轴、y轴于点C、D，此时AD CD BC++最小．由对称性可知A'（-1,3），B'（3，-1）．易求得直线A B''的解析式为2y x=-+，即直线CD的解析式2y x=-+．当0y=时，2x=，∴点C坐标为（2,0）．当0x=时，2y=，∴点D坐标为（0,2）．4．如图，20MON，A 、B 占分别为射线OM 、ON 上两定点，且2OA ，4OB ，点P 、Q 分别为射线OM 、ON 上两动点，当P 、Q 运动时，线段AQ PQ PB 的最小值是多少？ONB4．解答作A 点关于ON 的对称点A '，点B 关于OM 的对称点B '，连接A B ''，分别交OM ON 、于点P Q 、，连接OA '、OB '．则AQ PQ PB A Q PQ PB A B ''''++=++=，此时AQ PQ PB ++最小．由对称可知，PB PB '=，AQ A Q '=，2OA OA '==，4OB OB '==，20MOB NOA MON ''∠=∠=∠=︒． 60A OB ''∠=︒．作A D '⊥OB '于点D ，在Rt △ODA'中，∴1OD =，A D '=∴413B D '=-=，A B ''=∴AQ PQ PB ++的最小值是模型3两定点一定长模型作法结论如图，在直线l 上找M 、N 两点 (M 在左)，使得AM ＋MN ＋NB 最小，且MN ＝d .将A 向右平移d 个单位到A ′，作A ′关于l 的对称点A "，连接A "B 与直线l 交于点N ，将点N 向左平移d 个单位即为M ，点M ，N 即为所求.AM ＋MN ＋NB 的最小值为A "B ＋d如图，l 1∥l 2，l 1、l 2间距离为d ，在l 1、l 2分别找M 、N 两点，使得MN ⊥l 1，且AM ＋MN ＋NB 最小．将A 向下平移d 个单位到A ，连接A ′B 交直线l 2于点N ，过点N 作MN ⊥l 1，连接AM .点M 、N 即为所求．AM ＋MN ＋NB 的最小值为A 'B ＋d .例题：在平面直角坐标系中，矩形OABC 如图所示，点A 在x 轴正半轴上，点C 在y 轴正半轴上，且OA ＝6，OC ＝4，D 为OC 中点，点E 、F 在线段OA 上，点E 在点F 左侧，EF ＝2.当四边形BDEF 的周长最小时，求点E 的坐标．ABl 2 l 1 A ′NMABl 2 l 1 BAlMNA ′A "BAld解答：如图，将点D 向右平移2个单位得到D '(2，2)，作D '关于x 轴的对称点D "(2，－2)，连接BD "交x 轴于点F ，将点F 向左平移2个单位到点E ，此时点E 和点F 为所求作的点，且四边形BDEF 周长最小. 理由：∵四边形BDEF 的周长为BD ＋DE ＋EF ＋BF ，BD 与EF 是定值. ∴BF ＋DE 最小时，四边形BDEF 周长最小， ∵BF ＋ED ＝BF ＋FD '＝BF ＋FD "＝BD "设直线BD "的解析式为y ＝kx ＋b ，把B (6，4)，D "(2，－2)代入，得6k ＋b ＝4，2k ＋b ＝－2，解得k ＝32，b ＝－5，∴直线BD "的解析式为y ＝32x －5．令y ＝0，得x ＝103，∴点F 坐标为(103，0)．∴点E 坐标为(43，0)．练习1．在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A (3，0)，B (0，4)，D 为边OB 的中点． (1)若E 为边OA 上的一个动点，求△CDE 的周长最小值；(2)若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF ＝1，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标．解答：(1)如图，作点D 关于x 轴的对称点D '，连接CD '与x 轴交于点E ，连接DE ，由模型可知△CDE 的周长最小．∵在矩形OACB 中，OA ＝3，OB ＝4，D 为OB 的中点， ∴D (0，2)，C (3，4)，D '(0，－2).设直线CD '为y ＝kx ＋b ，把C (3，4)，D '(0，－2)代入，得3k ＋b ＝4，b ＝－2，解得k ＝2，b ＝－2， ∴直线CD '为y ＝2x －2. 令y ＝0，得x ＝1，学如逆水行舟,不进则退 11 ∴点E 的坐标为(1，0).∴OE ＝1，AE ＝2.利用勾股定理得CD ＝13，DE ＝5，CE ＝25，∴△CDE 周长的最小值为13＋35．(2)如图，将点D 向右平移1个单位得到D '(1，2)，作D '关于x 轴的对称点D ″(1，－2)，连接CD ″交x 轴于点F ，将点F 向左平移1个单位到点E ，此时点E 和点F 为所求作的点，且四边形CDEF 周长最小．理由：∵四边形CDEF 的周长为CD ＋DE ＋EF ＋CF ，CD 与EF 是定值，∴DE ＋CF 最小时，四边形BDEF 周长最小，∴DE ＋CF ＝D 'F ＋CF ＝FD ″＋CF ＝CD ″，设直线CD ″的解析式为y ＝kx ＋b ，把C (3，4)，D (1，－2)代入，得3k ＋b ＝4，k ＋b ＝－2，解得k ＝3，b ＝－5．∴直线CD ″的解析式为y ＝3x －5，令y ＝0，得x ＝53，∴点F 坐标为(53，0)，∴点E 坐标为(23，0)．2．村庄A 和村庄B 位于一条小河的两侧，若河岸彼此平行，要架设一座与河岸垂直的桥，桥址应如何选择，才使A 与B 之间的距离最短？解答：设l 1和l 2为河岸，作BD ⊥l 2，取BB '等于河宽，连接AB '交l 1于C 1，作C 1C 2⊥l 2于C 2，则A →C 1→C 2→B 为最短路线，即A 与B 之间的距离最短.为大家整理的资料供大家学习参考，希望对大家能有帮助，非常感谢大家的下载，以后会为大家提供更多实用的资料。

2021届中考数学精品冲刺复习 “将军饮马”模型

∵D是OB的中点，∴D(－2，0)．设直线DA′的解析式为y＝kx＋b，
∴ 5 3
∴直线DA′的解析式为
当x＝0时，y＝ 5 ， 3
∴E(0，5 )，故选B. 3
问题简化】如图，在直线上找一点P使得PA＋PB最小？
【问题分析】这个问题的难点在于PA＋PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．
【问题解决】作点A关于直线的对称点A′，连接PA′，则PA′＝PA，所以PA＋PB＝ PA′＋PB.
菱形的高，可用面积法
＝AB·E′M.
【规范解答】解：如图，作点E关于AC的对称点E′，过点E′作E′M⊥AB
于点M，交AC于点P，则点P，M即为使PE＋PM取得最小值，
其PE＋PM＝PE′＋PM＝E′M.
∵四边形ABCD是菱形，
∴点E′在CD上，
∵AC＝6 2 ，BD＝6， ∴AB＝
1 由S菱形ABCD＝ 2
矩形、菱形中的“将军饮马”
例3 如图，在菱形ABCD中，AC＝6 2，BD＝6，点E是BC的中点，P，M分别
是AC，AB上的动点，连接PE，PM，则PE＋PM的最小值是(
)
【思路分析】此处点P为折点，作点E关于AC的对称点E′，恰好在CD上，化折线PE＋PM为PE′＋PM.当E′，P，M共线时，PE＋PM最小，最小值即为
【思路分析】M点为折点，作B点关于AD的对称点，即C点，连接CN，即为所求的最小值．
【规范解答】解：如图，连接CN，与AD交于点M，则CN就是BM＋MN的最小值．如图，取BN中点E，连接DE. ∵等边△ABC的边长为9，AN＝3， ∴BN＝AB－AN＝9－3＝6， ∴BE＝EN＝AN＝3. 又∵AD⊥BC， ∴DE是△BCN的中位线， ∴CN＝2DE，CN∥DE.

初中数学北师大七年级下册生活中的轴对称-“将军饮马”问题PPT

变式：若△PMN的最小值是5cm,OP=5cm,求∠AOB=______°
类型3：两线两点问题
例3.两个定点A、B，两条定直线m、n，在直线m、n上分别找点P、Q，使 PA+PQ+QB最小
(一)两个定点A、B在两条定直线m、n的外侧
(二)两定点A、B，一个在两直线m、n外侧，一个在两直线m、n内侧
为了解决“将军饮马”问题，我们先看下面的问题。类型1：两点一线问题

(一)点A、B在直线m的异侧，在直线 m上，求一点P，使PA+PB最小
(二)点A、B在直线m的同侧，在直线m上，求一点P，使PA+PB最小
方法点拨：作A关于直线m的对称点A’(做B的对称点也一样)，则将同侧的两点A、B转化到了异侧两点A’、B。此时，连接A’B与直线m交于点P，即为所求。综上，我们可知“将军饮马”问题转化为对称点，则问题就轻松解决了。
故事引入
从“将军饮马”说起话说在古罗马时代，在亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名
叫海伦。一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题:将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧B 地开会，应该怎样走才能使路程最近?从此，这个被称为“将军饮马” 的问题广泛流传。
这个问题的解决并不难，据说海伦略作思考就解决了它。
类型2：两线一点问题
例2.已知点A位于直线m、n的内侧，在直线m、n上分别求点P、Q，使得点 △APQ周长最短。
方法点拨： ①作点A关于直线n的对称点A';作点A关于直线m的对称点A''； ②连接A'A'',，分别与直线m与直线n交于点P、Q; ③此时PA+PQ+QB最小。

2019中考「干货」：将军饮马问题，有答案，

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将军饮马问题相信大家都不陌生，我们常简称为“牛饮水”、“牛吃草”问题，有几个模型图我们一起再来了解下。

常见的模型有：
1.两定一动型：两定点到一动点的距离和最小
如果两个定点在直线两侧，我们直接连接这两个定点，与直线的交点就是我们要求的点；如果两个定点在直线的同侧，那么我们就需要作对称点。

2.两动一定型
两个动点的题目，我们一般需要作两次对称
3.两定两动型最值
这种类型的题目相对来说比较难一点，首先我们需要构造平行四边形，然后再转化为“两动一定型”问题来解决
4.求PA-PB的最大值
快来对照着看一下，有没有讲这类问题掌握呢？。

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