因式定理与余式定理优秀课件
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因式定理与余式定理பைடு நூலகம்
7.18
1
1 因式定理
•设f（x）是一个多项式，c为一个常数 •如果x-c是f（x）的因式[即f（x）能够被x-c整 除] •则f(c)=0 反之亦然 *证明 推论：如果ax-b是f（x）的因式则f（b/a）=0
反之亦然
2
关于因式定理的深层推论（理解）
• 设f（x）是一个多项式，c1、c2…..cn为n个 相异常数，并且有f（c1）=f（c2）=…=f（cn） =0
4
2 余式定理
•若f（x）是一个多项式，c是一个常数 则f（x）除以x-c的余式为f（c）
*证明
推论：多项式f（x）除以ax-b的余式为f（b/a） [观察f（x）除以ax-b与f（x）除以x-b/a 的余式]
5
关于如何求f（x）除以一个多项式的余式
•方法：长除法 例题：x³-12x²-42除以x-3
a=-5,所以余式为-5x^2+2x+11
9
综合练习5题
1.设多项式f (x)除以x - 1，x2 - 2x + 3之余式依
次为2，4x + 6，则f (x)除以(x - 1)(x2 - 2x + 3)的
余式为
。
2.设f (x)除以(x - 1)2的余式是x + 2，除以(x - 2)2
的余式是3x + 4，则f (x)除以(x - 1)(x - 2)2的余
8
联招真题模拟
•设f(x)以x-1除之，余式为8，以x2+x+1除之的 余式为7x+16，求x3-1除之的余式为多少? 解：根据题意，得 f(1)=8,f(x)=(x^2+x+1)g(x)+7x+16,
则x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)
f(x)=(x^3-1)g(x)+a(x^2+x+1)+7x+16=(x-1)(x^2+x+1)g(x) +a(x^2+x+1)+7x+16 f(1)=3a+7+16=8
1.将分子的第一项除以分母的最高次项（即次数最高的项，此处为x，结
果写在横线之上 2.将分母乘以刚得到结果（最终商的第一项），乘积写在分子前两项之 下 3.从分子的相应项中减去刚得到的乘积（注意减一个负项相当于加一个 正项），结果写在下面 4.将分子的下一项“拿下来” 5.重复前4步直到无法再除以x-3为止
2007联招19题 12
4.多项式x4+2x3−4x2−2x+3与x³+4x²+x-6的最大 公因式为？
2009联招19题 5.设多项式p(X）=x³+3x²+ax+b与 q(X)=x4+x³+ax²+2x+b有公因式x+3，则p(X)与 q(X)的最大公因式为？
2010联招18题
13
6
余式定理快速反馈练习
1.求多项式2x³-x²+3x+5除以x²-x+3的余式
2.设f (x)为实系数多项式，以x - 1除之，余式
为9；以x - 2除之，余式为16，求f (x)除以(x -
1)(x - 2)的余式为
。
7
关于解决因式以及余式定理问题的一些诀窍
1.审题仔细，熟记因式定理以及余式定理的定 义，做到快速反应出条件背后的内容，注意 文字是“除”还是“除以” 2.善用假设 3.熟练运用长除法 4.克服对于次数较大的多项式的恐惧感 5.除了掌握最基础的方法之外，对付较复杂题 目时可适当运用推广的结论，能够有一定程 度的加快速度并盘活思维
Homework
1.用x²+x+1除多项式 x5+2x4-x3+x+1,余式为？ 2005年联招19题
2.如果以2x²-3x-2除多项式f(X)与g(X)，分别得 到余式2x+3与4x-1，则以2x+1除f（x）-g（x） 的余式为?
2006联招18题 3.如果以x²-5x+6除多项式f(X)得余式2x-5，则f （3）=？
式是
。
*3.求以(x + 1)2除x12的余式
10
4.设多项式h (x)被x2 - 1除后的余式为3x + 4，
并且已知h (x)有因式x。若h (x)被x(x2 - 1)除后
的余式为px2 + qx + r，则p2 - q2 + r2
=
。
5.求以x8 + x4 + 1除x12 + 99的余式
11
• 那么（x-c1）（x-c2）…….（x-cn）是f（x） 的因式，且是其最大的因式。
3
因式定理快速反馈练习
1.请问下列哪一项是 f(x)= 4x5+8x4+7x3−22x2−2x+5的因式？ A.X-1 B.X+2 C.2X-1 D.X-2
2.设f(x)=x4−2x3+4x2+ax+3有一因式为x-3，求a
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1 因式定理
•设f（x）是一个多项式，c为一个常数 •如果x-c是f（x）的因式[即f（x）能够被x-c整 除] •则f(c)=0 反之亦然 *证明 推论：如果ax-b是f（x）的因式则f（b/a）=0
反之亦然
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关于因式定理的深层推论（理解）
• 设f（x）是一个多项式，c1、c2…..cn为n个 相异常数，并且有f（c1）=f（c2）=…=f（cn） =0
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2 余式定理
•若f（x）是一个多项式，c是一个常数 则f（x）除以x-c的余式为f（c）
*证明
推论：多项式f（x）除以ax-b的余式为f（b/a） [观察f（x）除以ax-b与f（x）除以x-b/a 的余式]
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关于如何求f（x）除以一个多项式的余式
•方法：长除法 例题：x³-12x²-42除以x-3
a=-5,所以余式为-5x^2+2x+11
9
综合练习5题
1.设多项式f (x)除以x - 1，x2 - 2x + 3之余式依
次为2，4x + 6，则f (x)除以(x - 1)(x2 - 2x + 3)的
余式为
。
2.设f (x)除以(x - 1)2的余式是x + 2，除以(x - 2)2
的余式是3x + 4，则f (x)除以(x - 1)(x - 2)2的余
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联招真题模拟
•设f(x)以x-1除之，余式为8，以x2+x+1除之的 余式为7x+16，求x3-1除之的余式为多少? 解：根据题意，得 f(1)=8,f(x)=(x^2+x+1)g(x)+7x+16,
则x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)
f(x)=(x^3-1)g(x)+a(x^2+x+1)+7x+16=(x-1)(x^2+x+1)g(x) +a(x^2+x+1)+7x+16 f(1)=3a+7+16=8
1.将分子的第一项除以分母的最高次项（即次数最高的项，此处为x，结
果写在横线之上 2.将分母乘以刚得到结果（最终商的第一项），乘积写在分子前两项之 下 3.从分子的相应项中减去刚得到的乘积（注意减一个负项相当于加一个 正项），结果写在下面 4.将分子的下一项“拿下来” 5.重复前4步直到无法再除以x-3为止
2007联招19题 12
4.多项式x4+2x3−4x2−2x+3与x³+4x²+x-6的最大 公因式为？
2009联招19题 5.设多项式p(X）=x³+3x²+ax+b与 q(X)=x4+x³+ax²+2x+b有公因式x+3，则p(X)与 q(X)的最大公因式为？
2010联招18题
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余式定理快速反馈练习
1.求多项式2x³-x²+3x+5除以x²-x+3的余式
2.设f (x)为实系数多项式，以x - 1除之，余式
为9；以x - 2除之，余式为16，求f (x)除以(x -
1)(x - 2)的余式为
。
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关于解决因式以及余式定理问题的一些诀窍
1.审题仔细，熟记因式定理以及余式定理的定 义，做到快速反应出条件背后的内容，注意 文字是“除”还是“除以” 2.善用假设 3.熟练运用长除法 4.克服对于次数较大的多项式的恐惧感 5.除了掌握最基础的方法之外，对付较复杂题 目时可适当运用推广的结论，能够有一定程 度的加快速度并盘活思维
Homework
1.用x²+x+1除多项式 x5+2x4-x3+x+1,余式为？ 2005年联招19题
2.如果以2x²-3x-2除多项式f(X)与g(X)，分别得 到余式2x+3与4x-1，则以2x+1除f（x）-g（x） 的余式为?
2006联招18题 3.如果以x²-5x+6除多项式f(X)得余式2x-5，则f （3）=？
式是
。
*3.求以(x + 1)2除x12的余式
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4.设多项式h (x)被x2 - 1除后的余式为3x + 4，
并且已知h (x)有因式x。若h (x)被x(x2 - 1)除后
的余式为px2 + qx + r，则p2 - q2 + r2
=
。
5.求以x8 + x4 + 1除x12 + 99的余式
11
• 那么（x-c1）（x-c2）…….（x-cn）是f（x） 的因式，且是其最大的因式。
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因式定理快速反馈练习
1.请问下列哪一项是 f(x)= 4x5+8x4+7x3−22x2−2x+5的因式？ A.X-1 B.X+2 C.2X-1 D.X-2
2.设f(x)=x4−2x3+4x2+ax+3有一因式为x-3，求a