因式定理与余式定理优秀课件

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余式定理及因式定理的应用

初二数学竞赛培训专题:

余式定理及因式定理的应用

初二( )班姓名：______________________________ 学号：_

一、知识要点：

1、f X的意义：已知多项式f x，若把x用c带入所得到的值，即称为f x在x = c的多项式值，用f C表示。

2、被除式、除式、商式、余式之间的关系：设多项式 f X除以g x所得的商式为q x，余式为r x，则：f x =g x x q x +r x

3、余式定理：多项式f(x)除以x-b之余式为f(b)；多项式f(x)除以ax-b之余式f(b)。

4、因式定理：设a, b R , a=0 , f (x)为关于x的多项式，则x「b为f (x)的因式

=f(b)=0;

ax -b 为f(x)的因式=f ( )=0。

二、余式定理应用：

1、( 1)已知f(x) =2x33x -1 ,求f (x)除以(x -1)、2x 1 所得的余式；

(2)设f (x)=2 x2+kx+10 除以2x - 1 余5，求k 的值；

(3)以x2- 3x - 4除多项式f(x)与g(x)，分别得余式3x+2与-4x+7,求以x - 4除f(x)+g(x) 所得的余式。

2、设f (x) = x5- 6x4- 4x3- 25x230x - 6，求f ⑺。

3、计算：

(1)125 -7 124-58 12316 122-460 12 -200 ；

(2)115 - 4 114- 72 113-56 11215 11

-L 5，则以 2x+1 除 f (x ).g (x ) 2 2 之余式是什么？

余数定理与因式定理

专题：因式定理与因式分解

1、余数定理与因式定理

通常：

)(x f =0111a x a x a x a n n n n ++++-- ， )(a f 表示这个多项式在a x =时的值。如果我们用一次多项式c x -作除式去除多项式)(x f ，那么余式是一个数。设这时商式为多项式)(x g ，余式（余数）为r ，则有：

r x g c x x f +-=)()()(

即：被除式等于除式乘以商式再加余式在上式中令c x =，便得到：r r c f =+=0)(

因此：我们有：

)(x f 除以c x -，所得余数为)(c f 。这个结论我们称余数定理

如果余数为0，那么)(x f 就被c x -整除，也就是c x -是)(x f 的因式。反过来，如果c x -是)(x f 的因式，那么)(x f 就被c x -整除，余数为0。因此，我们有：如果)(c f =0，那么c x -是)(x f 的因式。反之，如果c x -是)(x f 的因式，那么)(c f =0。这个结论通常称为因式定理及其逆

定理。

需要掌握的基本技能：长除法

计算：

3(27)(2)x x x +-÷- 解：32232322226

2027

2222467

612

5x x x x x x x x x x x x x x ++-++-----+

所以，32

27(2)(26)5x x x x x +-=-+++

注：若被除式多项式缺少了某些项，可以用0补足。

例1 分解因式：6116)(23+++=x x x x f 因为0)1(=-f ，根据上面的结论 1)1(+=--x x 就是)(x f 的一次因式。知道这个因式，运用多项式除法就可以将商式求出来，再进一步分解。

因式定理与余式定理PPT课件

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若x=a时f(x)=0,即f(a)=0,则称a为多项式f(x)的根.试通过整除分析法给出寻找关于x的整系数多项式
f (x) an xn an1xn1 a2x2 a1x a0
的有理根的方法.(这是个非常重要的方法,也是在因式分解中是寻找多项式一次因式的方法)
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练习:求解 f x x3 6x2 11x 6 的有理根.
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思考题: 已知关于x的三次多项式f(x)除以 x2 1 时, 余式是2x-5;除以 x2 4 时,余式是-3x+4, 求这个三次多项式.
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f x x 2x 3x 2 • 已知
3
除2以整系数多项式 g（x ）所得商式及余式均为
例：若f（x）÷（x-a）=p （x）……r
则r=f（a）证明：f（x）=（x-a）·p（x）+r
则f（a）=（a-a）·p（a）+r 即f（a）=r
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1.多项式f（x）除以x-1，x-2所得的余数分别为3和5，求f（x）除以（x-1）·（x-2）所得的余式.
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• 练习:多项式f(x)除以x-1,x-2,x-3所得的余数分别为1,2,3,试求f(x)除以(x-1)(x2)(x-3)所得的余式.
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因式定理如果x-a是f（x）的因式,即f（x）能够被(x-a) 整除,则f(a)=0 反之亦然.

因式定理和余式定理

数学作为一门学科，有着悠久的历史，历经时代的变迁，发展至今。其中，因式定理和余式定理都是数学史上非常重要的定理，被誉为“二定理”。本文就因式定理和余式定理进行具体介绍，以加深我们对它们的了解。

因式定理，又称费马小定理，它的发现者是德国数学家孔因斯费马，他于1824年发明了该定理。它的正式名称叫做“一个整数的N 次方等于一个循环的形式的定理”。该定理定义为：对于给定的质数p和正整数a满足ap a mod p（其中，a≠0 mod p），若x是正整数，设X x mod p，则满足下列关系：

ax X mod p

说明，如果知道了一个质数p和一个满足ap a mod p（其中，a ≠0 mod p）的整数a，那么我们就可以通过X（即x mod p）来计算ax mod p的值，当X为非常大的时候，计算成本也会非常高，因式定理能够解决这一问题。

余式定理也是一种数学定理，它发现者是著名的法国拉格朗日，他在1750年发明了该定理。它的正式名称叫做“关于自由变量的多项式的系数的定理”。它的意思是，在多项式中系数的值可以由以下公式来计算：

a_n=p^n%c_1*p^(n-1)%c_2*...*p^1%c_n*1%c_(n+1) 其中，P表示多项式的本原，c_1，c_2，…，c_n+1表示多项系数的值，a_n表示系数的值，n表示多项式的次数。

由费马小定理和拉格朗日余式定理可知，如果满足它们相应的条件，那么就能够计算出多项式中系数的值。这对我们学习数学和计算机科学有着重要的意义。它们能够为我们解决很多复杂的数学问题，为我们的学习和研究提供了强大的支持。

第六节：整式的除法及余数定理

整式的除法及余数定理

【教学目标】

1.综合除法：多项式除法时，我们有带余除法：)()()()(x r x q x g x f +⋅= 其中)(x f 表示被除式，)(x g 表示除式，)(x q 表示商式，)(x r 表示余式，且余式)(x r 的次数小于除式)(x g 的次数．

2．余数定理和因式定理：

余数定理：多项式)(x f 除以)(a x -所得的余数等于)(a f 因数定理：若多项式)(x f 能被a x -整除，亦即)(x f 有一个因式a x -，则0)(=a f ；反之，如果,0)(=a f 那么a x -必为多项式)(x f 的一个因式．

【经典例题】

例1．求6532234++--x x x x 除以)1(+x 所得的商式和余数．

例2．求多项式)(x f 除以,1-x 2-x 所得的余数分别为3和5，求)(x f 除以)2)(1(--x x 所得的余式．

例3．证明：当b a ,是不相等的常数进，若关于x 的整式)(x f 被a x -和b x -整除，则)(x f 也被))((b x a x --整除．

例4．试确定a 和b 的值，使b x ax x x x f +++-=532)(234被)2)(1(-+x x 整除．

例5. 已知关于x 的整式)(x f 除以3+x 时余数为-5；所得的商再除以12-x 时余数为4，求)(x f 除以12-x 时的余数、除以3522-+x x 时的余式．

整式的除法及余数定理练习

一、选择题

1．化简3

422222++⋅⋅-n n

n ，得（） A 、8121-+n B 、87 C 、12+-n D 、4

余式定理

余式定理与因式定理

例1. (1)求242)(+--=x x x x f 除以1+x 之余式。

(2)设1537935699357)(2

345+++--=x x x x x x f ，求)2(f 。

类1. 15)(2

4-++=bx ax x x f 以3-x ，1-x 除之，余式分别为45，-15求以1+x 除之，余式为。

类2. 求=-⨯-⨯+⨯-⨯-2001246012161258127123

。

类3. 以1+x 除5102610019992000

++-+x x x x

的余式为。

类4. 设)(),(x g x f 均为多项式，)(x f 除以12-x 之余式为23+x ，)(x g 除以322

-+x x 之

余式为25+x ，则)()15()()3(2

x g x x f x +++除以1-x 的余式为。

类5. 已之3

221)(x x x x f -+-=，且)2()1(+=+x f x g ，)2()(+=x g x h ，求

)()(x xg x h +除以1+x 的余式。

Ans: 1. –19，2. 40，3. –12，4. 62，5. -8。

例2. (1)多项式)(x f 除以1-x ，2-x 之余式分别为5,7，求)(x f 除以)2)(1(--x x 之余式。

(2)多项式)(x f 除以2-x ，322

++x x 之余式分别为5，65+x ，求)(x f 除以

)32)(2(2++-x x x 之余式。

类1. 设多项式)(x f 以2-x 除之余3，以4+x 除之余-9，则以)4)(2(+-x x 除之余式为。

余式定理因式定理

1.长除法：求多项式42

(1)(1)x x x +++除以的余式.

练习：(1)求多项式4322(352)(3)x x x x -+++除以的余式. (2)求多项式3

(428)(21)x x x -+-除以的余式.

2.综合除法：设多项式f (x )=1250x 6-2790x 5-3125x 4+707x 3+100x 2+45x -62，则f (3)=217

练习：求115-4⋅114-72⋅113-56⋅112+15⋅11+7之值为。Ans ：51

因式定理：设f(x)为一多项式，则x-α为f(x) 的因式⇔f(α)=0 .

推广：ax-b为f(x)的因式⇔f( b

a)=0

一次因式检验定理：

设f(x)=2x+3，g(x)=5x2-x+7，h(x)=f(x)⋅g(x)=10x3+13x2+11x+21，10x3是2x⋅5x2 来的，21是3⋅7来的，因此观察一次式2x+3|h(x)，而2|10，3|21，这个结果对于一般整系数的多项式也是成立，我们将它写成下面的定理：

定理：设f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0为一个整系数n次多项式，

若整系数一次式ax-b是f(x)的因式，且a,b互质，则a|a n且b|a0。

注意：①一次因式检验定理的逆叙述不成立。

例如：f(x)=3x3+5x2+4x-2，f(-1

3)≠0。

②由此定理，可知若一次式cx-d中c不为a n的因子或d不为a0的因子的话，则cx-d必不为f(x)的因式。故只有满足a|a n且b|a0的一次式ax-b才有可能成为f(x)的因式，因此我们只要从满足a|a n且b|a0这些ax-b去找一次因式就可以了。

§42余式定理,因式定理

§4−2 餘式定理、因式定理

(甲)餘式定理

除法原理：f(x)=g(x)⋅q(x)+r(x)，deg r(x)

餘式定理：多項式f(x)除以x−a的餘式等於f(a)。

證明：由多項式的除法原理得知，恰有兩多項式q(x)及r(r為常數多項式)滿足f(x)=(x−a)⋅q(x)+r，而此等式為恆等式，

因此將x=a代入上式，得f(a)=(a−a)⋅q(a)+r = r。

推廣：多項式f(x)除以ax+b的餘式等於f(−b a)。

f(a)的雙重意義：!多項函數f(x)在x=a的函數值。

"多項式f(x)除以x−a的餘式。

[例題1] 求下列二小題：

(1)求(x3+2x2−x−4)3除以x+3的餘式。

(2)設f(x)=1250x6-2790x5−3125x4+707x3+100x2+45x−62，則f(3)=？

Ans：(1)−1000 (2)217

[例題2] 二次式ax2+bx−4以x+1除之，得餘式3，以x−1除之，得餘式1，若以x−2除之，所得的餘式為。Ans：18

(練習1) 試求115−4⋅114−72⋅113−56⋅112+15⋅11+7之值為。Ans：51

(練習2) 設二多項式f(x),g(x)以2x2−3x−2除之，餘式分別為3x+2,−4x+7，則

f(x)+g(x)以2x+1除之，其餘式為何？ Ans：19 2

(練習3) f(x)=2x4+3x3+5x2−6，求2x−1除f(x−3)的餘式。 Ans：113 2

Hint：可令g(x)=f(x−3)，再利用餘式定理。

[例題3] 試求下列各小題：

因式分解-余式定理

因式分解1 —余式定理整系数多项式f (x)除以(x -a)商为q(x)，余式为r，则f (x)二(x -a) q(x) r。

因式定理

如果多项式f (a) = 0，那么多项式f (x)必定含有因式(x -a)。反过来，如果f (x)含有因式(x —a)，那么，f (a) =0。

余式定理

当一个多项式f(x)除以(x-a)时，所得的余数等于f(a)。

〖例题〗当f (x^ x2 x 2除以(x -1)时，余数f (1) = 12T • 2 = 4

推论2

当一个多项式f (x)除以(mx「n)时,所得的余数等于f (丄)。

〖例题〗求当f (x) =9x 6x-l除以(3x 1)时所得的余数。

1 1

2 1

解: f( ) =9 ( )26 ( ) -7 =-8

3 3 3

〖例题〗设f (x)以(x -1)除之，余式为8,以(x2 x 1)除之的余式为(7x 16)，求(x3 -1)除之

的余式为多少？(全国港澳台华侨联合招生考试题)

解：根据题意，得f (1) =8 ........... ( 1)

f(x)=(x2 x 1)g(x) 7x 16 (2)

3 2

又T X「1 =(X「1)(X x 1)

设f(x) =(x3 -1)f(x) a(x2 x 1) 7x 16

f (1) = a(x2 x 1) 7x 16 =8 ....................... ( 3)

解得a - -5

所以余式为-5x2 2x 11 o

综合除法与余数定理

3 x -1 一般的竖式除法x 2 3x25^7

综合除法是用简便的方式表达：-7

因式定理与余式定理

因式定理适用于所有多项式，而余式定理只适用于某些具有特定值的多项式。
因式定理与余式定理的区别
因式定理与余式定理在数学中的地位和作用
因式定理和余式定理是多项式理论中的基本定理，对于理解多项式的性质和结构至关重要。
它们在数学分析、代数、几何等领域中有着广泛的应用，例如在求解方程、研究函数的性质、计算定积分等方面都有重要的应用。
总结词
余式定理的证明
03
因式定理与余式定理的关系
01
02
因式定理与余式定理的联系
余式定理是因式定理的一种特殊情况，即当多项式在某点取值为零时，其导数在该点的值等于余式。
两者都是多项式理论中的重要定理，用于研究多项式的因式分解和余数性质。
因式定理主要关注多项式的因式分解，即通过多项式的根来寻找多项式的因式；而余式定理则关注多项式在某点的余数性质，即通过多项式在该点的值和导数来计算余数。
03
因式定理和余式定理可以帮助我们证明某些代数恒等式，例如二项式定理和多项式恒等式。
在代数中的应用
通过将几何形状的面积或体积表示为多项式的形式，我们可以使用因式定理和余式定理来找到这些面积或体积的公式。
面积和体积计算
在几何变换中，因式定理和余式定理可以帮助我们找到变换后的几何形状的表达式，这对于理解几何变换的性质非常有用。
详细描述
总结词：因式定理的证明通常基于代数的基本性质和定理，如零因子定理和整除定理等。

余数定理与因式定理

1 专题：因式定理与因式分解

1、余数定理与因式定理

通常：

r x g c x x f +-=)()()(

即：被除式等于除式乘以商式再加余式在上式中令c x =，便得到：r r c f =+=0)(

因此：我们有：

)(x f 除以c x -，所得余数为)(c f 。这个结论我们称余数定理

因式定理与余式定理-课件(PPT演示)PPT15页

因式定理与余式定理-课件（PPT演示）
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不穿。(名言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者的牢骚，这是羊群中的瘟疫，我不能被它传染。我要尽量避免绝望，辛勤耕耘，忍受苦楚。我一试再试，争取每天的成功，避免以失败收常在别人停滞不前时，我继续拼搏。
33、如果惧怕前面跌宕的山岩，生命就永远只能是死水一潭。 34、当你眼泪忍不住要流出来的时候，睁大眼睛，千万别眨眼!你会看到世界由清晰变模糊的全过程，心会在你泪水落下的那一刻变得清澈明晰。盐。注定要融化的，也许是用眼泪的方式。
35、不要以为自己成功一次就可以了，也不要以为过去的光荣可以被永远肯定。
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
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因式定理

解：(1)令x=
將x分別乘以10和100，得
10x= 10× =
100x= 100× =
100x–10x= -
90x= 56-5
∴x=
即 =
(2)令x=
將x分別乘以10和1000，得
10x= 10× =
1000x= 1000× =
1000x–10x= -
990x= 432-4
∴x=
即 =
4.無பைடு நூலகம்數
兩股長均為1的直角三角形，其斜邊長是，它不能寫成分數，故不是有理數，我們稱它為無理數，其他的如、、等都是無理數。圓周率π為不循環的無限小數，因為它不能改成分數，所以π也是一個無理數。
解：根據實數的性質，得
x+4 = 0且y-7= 0
x= 4且y=7
1-1-3 絕對值
絕對值其幾何意義為在數線上表示x的點到原點的距離，一個實數x的絕對值記作|x|，且
當x> 0時，|x| =x
當x= 0時，|x| = 0
當x< 0時，|x| =-x
或
若|x| =a
例題7
|x+ 2| = 6，求x值
解：去掉絕對值符號後，可得
自然數是人類最早用來計算物品的數，如1個人、8隻羊、30頭牛等，故自然數又稱為計物數，依大小順序排列有：
1,2,3,……20,21,……100,……

余式定理

§4-2 餘式定理、因式定理

除法原理：f(x)=g(x)⋅q(x)+r(x)，deg r(x)

餘式定理：多項式f(x)除以x-a的餘式等於f(a)。

證明：由多項式的除法原理得知，恰有兩多項式q(x)及r(r為常數多項式)滿足f(x)=(x-a)⋅q(x)+r，而此等式為恆等式，

因此將x=a代入上式，得f(a)=(a-a)⋅q(a)+r = r。

推廣：多項式f(x)除以ax+b的餘式等於f(-b a)。

f(a)的雙重意義：①多項函數f(x)在x=a的函數值。

②多項式f(x)除以x-a的餘式。

[例題1]求下列二小題：

(1)求(x3+2x2-x-4)3除以x+3的餘式。

(2)設f(x)=1250x6-2790x5-3125x4+707x3+100x2+45x-62，則f(3)=？

Ans：(1)-1000 (2)217

[例題2]二次式ax2+bx-4以x+1除之，得餘式3，以x-1除之，得餘式1，若以x-2除之，所得的餘式為。Ans：18

(練習1)試求115-4⋅114-72⋅113-56⋅112+15⋅11+7之值為。Ans：51

(練習2)設二多項式f(x),g(x)以2x2-3x-2除之，餘式分別為3x+2,-4x+7，則

f(x)+g(x)以2x+1除之，其餘式為何？Ans：19 2

(練習3)f(x)=2x4+3x3+5x2-6，求2x-1除f(x-3)的餘式。Ans：113 2

Hint：可令g(x)=f(x-3)，再利用餘式定理。

[例題3]試求下列各小題：

(1)求多項式f(x)=x7-50x5+8x4-5x3-19x2+41x+6除以(x-1)(x-7)之餘式。