2020高考数学押题卷03(含解析)

高考押题31.选择题属于“小灵通”题，其解题过程“不讲道理”，所以解答选择题的基本策略是：充分地利用题干和选项的两方面条件所提供的信息作出判断．先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，先排除后求解，对于具有多种解题思路的，宜选最简解法等．解题时应仔细审题，深入分析，正确推演，谨防疏漏．初选后认真检验，确保准确．解数学选择题的常用方法，主要分直接法和间接法两大类．直接法是解答选择题最基本、最常用的方法，但高考的题量较大，如果所有选择题都用直接法解答，不但时间不允许，甚至有些题目根本无法解答，因此，我们还要研究解答选择题的一些技巧．总体来说，选择题属小题，解题的原则是：小题巧解，小题不能大做．填空题是高考题中的客观性题型，不要求书写推理或者演算的过程，只要求直接填写结果，具有小巧灵活、结构简单、概念性强、运算量不大等特点．常用的求解方法有：直接运算推理、特值代入法、归纳类比猜想、数形结合法、构造法等．在解答问题时，因为不要求写出解答过程，只要求填写结论，所以每一个步骤都要正确，还要将结论表达得准确、完整．合情推理、优化思路、少算多思都是快速、准确地解答填空题的基本要求．方法一直接法直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密地推理和准确地运算得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，作出相应的选择．当题目涉及概念、性质的辨析或运算较简单时，常用直接法．方法二特例法从题干(或选项)出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，进行判断．特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用．特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等．方法三排除法排除法也叫筛选法、淘汰法．它是充分利用选择题有且只有一个正确的选项这一特征，通过分析、推理、计算、判断，排除不符合要求的选项，从而得出正确结论的一种方法．方法四数形结合法根据命题条件中的函数关系或几何意义，作出函数的图象或几何图形，将数的问题(如解方程、解不等式、判断单调性、求取值范围等)与某些图形结合起来，利用图象的直观性，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到解决，这种方法称为数形结合法．方法五构造法构造法是一种创造性思维，是综合运用各种知识和方法，依据问题给出的条件和结论给出的信息，把问题作适当的加工处理，构造与问题相关的数学模式，揭示问题的本质，从而沟通解题思路的方法．方法六估算法由于选择题提供了唯一正确的选项，解答又无须过程，因此有些题目不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次．方法七推理分析法推理分析法是通过逻辑推断过程，分析4个选项之间的逻辑关系，从而否定干扰项，肯定正确选项的方法推理分析法一般用来解决概念性问题，根据两个概念外延的重合、包含、交叉、互斥等关系进行推理分析2.解答题在高考数学试题中约占一半的分值，试题已由单纯的知识叠加型转化为知识、方法和能力的综合型，尤其是创新能力型试题．试题具有明显的区分度，前3题一般难度中等，最后两题多为把关题．从近几年的高考试题分析来看，题目的设计一般是三角函数或解三角形、立体几何、应用问题(一般以概率和统计为主)、数列、解析几何和函数与导数几个方面．对于考生来说，想要得到高分，必须争取在前3个解答题上不失分或少失分．这就需要考生在做题时计算准确、推理严谨、书写规范、步骤清晰，解决“会而不对，对而不全”的问题．3.高考中涉及圆锥曲线、函数与导数的考题一般难度较大，通常作为压轴题出现，部分考生对此类题目感到无从下手．对这类题目可以采取“多捞分”的策略．1.缺步答题如遇到一个不会做的问题，可将其分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步．特别是那些解题层次明显的题目，即使得不出最后结论，演算到得分点也可以得分2.跳步解答解题过程卡在某一过渡环节时，我们可以先承认中间结论，继续往后推，看能否得到结论．若题目有两问，第(1)问想不出来，可把第(1)问的结论当作“已知”，先做第(2)问，跳一步再解答．3.辅助解答一道题目的完整解答，既有主要的实质性步骤，也有次要的辅助性步骤．当实质性的步骤不好找时，找辅助性的步骤是明智之举．4.逆向解答正面思考问题思维受阻时，用逆向思维的方法去探求新的解题途径，往往能得到突破性的进展，顺向推有困难就逆推，直接证有困难就反证． 一、单选题1．已知集合{|15,}A x x x =-≤≤∈N ，{}|28xB x =≤，则A B =I （ ） A ．{1,0,1,2,3}-B ．{0,1,2,3}C ．[1,3]-D ．[0,3]2．“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样.为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为5的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷200个点，己知恰有80个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是（ ）A ．165B ．325C ．10D ．1853．在复平面内O 为坐标原点，复数112(3),3z z i i z i==-对应的点分别为1Z ，2Z ，则12Z OZ ∠的大小为（ ） A ．512π B ．12πC ．712π D ．11π124．数列{}n a 满足()1111nn n a a n ++=-+-,且601a <<．记数列{}n a 的前n 项和为n S ,则当n S 取最大值时n 为（ ） A ．11B ．12C ．11或13D ．12或135．己知函数()f x 的定义域是R ，对任意的x ∈R ，有()()20f x f x +-=.当[)1,1x ∈-时，()f x x =.给出下列四个关于函数()f x 的命题： ①函数()f x 是奇函数； ②函数()f x 是周期函数；③函数()f x 的全部零点为2x k =，k Z ∈；④当算[)3,3x ∈-时，函数()1g x x=的图象与函数()f x 的图象有且只有4个公共点. 其中，真命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．3481(3)(2)x x x+-展开式中x 2的系数为( ) A ．－1280B ．4864C ．－4864D ．12807．已知正四面体A BCD -的棱长为M ，N 分别是AC ，AD 上的点，过MN 作平面α，使得AB ，CD 均与α平行，且AB ，CD 到α的距离分别为2，4，则正四面体A BCD -的外接球被α所截得的圆的面积为（ ） A ．11πB ．18πC ．26πD ．27π8．已知方程()2sin 2002xx ωωω-=>在区间()0,π内只有一个实根，则ω的取值范围（ ） A ．17,33⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．713,66⎛⎤⎥⎝⎦C ．410,33⎛⎤⎥⎝⎦D ．113,66⎛⎤⎥⎝⎦9．设点O 是面积为4的ABC V 内部一点，且有2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r，则AOC △的面积为（ ）A ．2B ．1C ．12D ．1310．已知M 是抛物线24x y =上一点，F 为其焦点，C 为圆22(1)(2)1x y ++-=的圆心，则||||MF MC +的最小值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．511．已知函数()log ,0(0,1)3,40a x x a a f x x x >>≠⎧=⎨+-≤<⎩，若函数()f x 的图象上有且只有两个点关于y 轴对称，则a 的取值范围是( ) A ．[)4,+∞B ．()()0,11,e ⋃C ．()0,1D ．()1,e12．某软件研发公司对某软件进行升级，主要是软件程序中的某序列{}123,,,A a a a =⋅⋅⋅重新编辑，编辑新序列为*324123,,,a a a A a a a ⋅⋅⋅⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，它的第n 项为1n na a +，若序列()**A 的所有项都是2，且51a =，632a =，则1a 等于（ ）A ．1256B ．1512C ．11024D ．12048第II 卷（非选择题)二、填空题 13．已知当|1|2x <时，有21124(2)12n x x x x =-++-+-L L ，根据以上信息，若对任意1||2x <都有20123,(1)(12)n n xa a x a x a x x x =+++++-+L L 则11a =______． 14．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线C 上一点，Q 为双曲线C 渐近线上一点，P ，Q 均位于第一象限，且22QP PF =u u u r u u u u r ，120QF QF ⋅=u u u r u u u u r，则双曲线C 的离心率为________.15．已知三棱锥A BCD -的棱长均为6，其内有n 个小球，球1O 与三棱锥A BCD -的四个面都相切，球2O 与三棱锥A BCD -的三个面和球1O 都相切，如此类推，…，球n O 与三棱锥A BCD -的三个面和球1n O -都相切（2n ≥，*n N ∈），则球n O 的表面积等于_______． 16．给出下列说法：，3，②当,0()3k ∈-时，不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立； ③函数22sin ()sin ()44y x x ππ=+--是周期为π的奇函数； ④两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内. 其中，正确说法序号是_________.三、解答题17．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且asin sin csin 0sin sin 3A bBC a B C +--= .（1）求角C ；（2）若ABC ∆的中线CE 的长为1，求ABC ∆的面积的最大值.18．如图，正四棱锥S ABCD -的底面边长为2，E 、F 分别为SA 、SD 的中点.（1）当5SA =时，证明：平面BEF ⊥平面SAD ；（2）若平面BEF 与底面ABCD 所成锐二面角为6π，求直线SC 与平面BEF 所成角的正弦值. 19．如图，圆C 与x 轴相切于点()2,0T ，与y 轴正半轴相交于,M N 两点（点M 在点N 的下方），且3MN =．(1)求圆C 的方程；(2)过点M 任作一条直线与椭圆22184x y +=相交于两点AB 、，连接AN BN 、，求证：ANM BNM ∠=∠． 20．自从新型冠状病毒爆发以来，全国范围内采取了积极的措施进行防控，并及时通报各项数据以便公众了解情况，做好防护.以下是湖南省2020年1月23日-31日这9天的新增确诊人数. 日期 23 24 25 26 27 28 29 30 31 时间x1 2 3 4 5 6 7 8 9 新增确诊人数y151926314378565557经过医学研究，发现新型冠状病毒极易传染，一个病毒的携带者在病情发作之前通常有长达14天的潜伏期，这个期间如果不采取防护措施，则感染者与一位健康者接触时间超过15秒，就有可能传染病毒.（1）将1月23日作为第1天，连续9天的时间作为变量x ，每天新增确诊人数作为变量y ，通过回归分析，得到模型ˆˆˆln yb x a =+用于对疫情进行分析.对上表的数据作初步处理，得到下面的一些统计量的值（部分数据已作近似处理）：()()()()99911115,42.2,ln 1.42,384,ln ln 100.869i i i i ii i i x y x x x y y x xy y ======--=--=∑∑∑，()()99221160,ln ln 4.1,ln10 2.3ii i i x x x x==-=-==∑∑.根据相关数据，求该模型的回归方程（结果精确到0.1），并依据该模型预测第10天新增确诊人数.（2）如果一位新型冠状病毒的感染者传染给他人的概率为0.3，在一次12人的家庭聚餐中，只有一位感染者参加了聚餐，记余下的人员中被感染的人数为X ，求X k =最有可能（即概率最大）的值是多少. 附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v …，(),n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆˆˆ,niii nii u u v v v u u u βαβ==--==--∑∑. 21．在直角坐标系xOy 中，曲线221:14x C y +=，曲线222cos :2sin x C y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求1C ，2C 的极坐标方程；（2）射线l 的极坐标方程为()0θαρ=≥，若l 分别与1C ，2C 交于异于极点的A ，B 两点，求OB OA的最大值.22．已知函数()212f x x x =+--，不等式()2f x ≤的解集为M . （1）求M ；（2）记集合M 的最大元素为m ，若a 、b 、c 都是正实数，且11123m a b c++=.求证：239a b c ++≥.一、单选题1．已知集合{|15,}A x x x =-≤≤∈N ，{}|28xB x =≤，则A B =I （ ） A ．{1,0,1,2,3}- B ．{0,1,2,3}C ．[1,3]-D ．[0,3]【答案】B【解析】由题可知{}{|15,}0,1,2,3,4,5A x x x =-≤≤∈=N {}{}|283xB x x x =≤=≤故A B =I {0,1,2,3} 故选：B2．“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样.为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为5的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷200个点，己知恰有80个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是（ ）A ．165B ．325C ．10D ．185【答案】C【解析】设图中阴影部分的面积为s ，正方形的面积为25， 则8025200s =， 解得：10s = 故选：C3．在复平面内O 为坐标原点，复数112(3),3z z i i z i==-对应的点分别为1Z ，2Z ，则12Z OZ ∠的大小为（ ） A ．512π B ．12πC ．712π D ．11π12【答案】B 【解析】因为()1313z ii i ==-+，故(13Z =-，12z =；因为212z i===+，故212Z⎫=⎪⎪⎝⎭.容易知12122,1,OZ OZ Z Z===满足勾股定理，故可得122Z OZπ∠=.故选：B.4．数列{}n a满足()1111nn na a n++=-+-,且601a<<．记数列{}n a的前n项和为n S,则当n S取最大值时n为（）A．11 B．12 C．11或13 D．12或13【答案】C【解析】由题,当n为奇数时, ()1111nn na a n++=-+-,()()1211111nn na a n++++=-++-.故()()()()1211111111211n n nn na a n n++⎡⎤⎡⎤-=-++---+-=--⋅-=⎣⎦⎣⎦.故奇数项为公差为1的等差数列.同理当n为偶数时, ()21213nn na a+-=--⋅-=-.故偶数项为公差为-3的等差数列.又601a<<即2206167a a<-<⇒<<.又()12111119a a+=-+-=.所以123a<<.综上可知,奇数项均为正数,偶数项随着n的增大由正变负.故当n S取最大值时n为奇数.故n为奇数且此时有()()()()1112111110011110nn nnn nna aa a n--+++⎧--+-≥+≥⎧⎪⇒⎨⎨+≤-++-≤⎩⎪⎩,解得1113n≤≤.故11n=或13n=.故选：C5．己知函数()f x的定义域是R，对任意的x∈R，有()()20f x f x+-=.当[)1,1x∈-时，()f x x=.给出下列四个关于函数()f x的命题：①函数()f x是奇函数；②函数()f x是周期函数；③函数()f x的全部零点为2x k=，k Z∈；④当算[)3,3x ∈-时，函数()1g x x=的图象与函数()f x 的图象有且只有4个公共点. 其中，真命题的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】∵对任意的x ∈R ，有()()20f x f x +-=，∴对任意的x ∈R ，()()2f x f x +=， ∴()f x 是周期为2的函数，()()()1121f f f =-=-，又∵当[)1,1x ∈-时，()f x x =，∴()()111f f =-=-，∴函数()f x 不是奇函数，故①错误，②正确. 当[)1,1x ∈-时，()f x x =，∴()00f =，又∵()f x 是周期为2的函数，∴函数()f x 的全部零点为2x k =，k Z ∈，故③正确.∵当[)1,1x ∈-时，()f x x =，令()()1f xg x x==，解得1x =（舍）或1x =-；当[)1,3x ∈时，()()22f x f x x =-=-，令()()f x g x =，则12x x-=，解得1x =1x =（舍）；当[)3,1x ∈--时，()()22f x f x x =+=+，令()()f x g x =，则12x x+=，解得1x =--或1x =-，∴共有3个公共点，故④错误. 因此真命题的个数为2个. 故选：B6．3481(3)(2)x x x+-展开式中x 2的系数为( ) A ．－1280 B ．4864C ．－4864D ．1280【答案】A【解析】根据二项式的展开式得到可以第一个括号里出33x 项，第二个括号里出1x项，或者第一个括号里出4x ，第二个括号里出21x ，具体为：()23174268811322x C x C x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦化简得到-1280 x 2 故得到答案为：A.7．已知正四面体A BCD -的棱长为M ，N 分别是AC ，AD 上的点，过MN 作平面α，使得AB ，CD 均与α平行，且AB ，CD 到α的距离分别为2，4，则正四面体A BCD -的外接球被α所截得的圆的面积为（ ） A ．11π B ．18πC ．26πD ．27π【答案】C【解析】将正四面体A BCD -补形成棱长为6的正方体APBQ ECFD -，则A BCD -的外接球球心O 即为正方体的中心，故球O 的半径6333R ==， 且α与面APBQ ，ECFD 平行，α到面ECFD 的距离分别为2和4，此时O 到α的距离为1，故α被球O 所截圆半径22126r R =-=，从而截面圆的面积为26π.故选：C .8．已知方程()223sin 32002xx ωωω-=>在区间()0,π内只有一个实根，则ω的取值范围（ ） A ．17,33⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．713,66⎛⎤⎥⎝⎦ C ．410,33⎛⎤⎥⎝⎦D ．113,66⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D【解析】由题意，方程()223sin 32002xx ωωω-=>在区间()0,π内只有一个实根，即方程2sin 23322xx ωω-=在区间()0,π内只有一个实根，设()2sin 233sin 32x x x f x x ωωωω==-2sin()3x πω=+，当()0,x π∈，则(,)333x πππωωπ+∈+，要使得()2f x =在区间()0,π内只有一个实根， 则满足5232πππωπ<+≤，解得11366ω<≤， 即ω的取值范围是113,66⎛⎤⎥⎝⎦. 故选：D .9．设点O 是面积为4的ABC V 内部一点，且有2OA OB OC ++=0u u u r u u u ru u u r，则AOC △的面积为（ ） A ．2 B ．1C ．12D ．13【答案】B【解析】设AB 的中点为,2220B D OD OC OA O OC =+++=ru u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，OD OC ∴=-u u u r u u u r，即O 为CD 中点，11124AOC ACD ABC S S S ===△△△. 故选：B.10．已知M 是抛物线24x y =上一点，F 为其焦点，C 为圆22(1)(2)1x y ++-=的圆心，则||||MF MC +的最小值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】B【解析】设抛物线24x y =的准线方程为:1l y =-，C 为圆22(1)(2)1x y ++-=的圆心，所以C 的坐标为(1,2)-，过M 作l 的垂线，垂足为E ，根据抛物线的定义可知||||MF ME =，所以问题求||||MF MC +的最小值，就转化为求||||MF MC +的最小值，由平面几何的知识可知，当C ，M ，E 在一条直线上时，此时CE l ⊥，||||ME MC +有最小值，最小值为2(1)3CE =--=， 故选：B ．11．已知函数()log ,0(0,1)3,40a x x a a f x x x >>≠⎧=⎨+-≤<⎩，若函数()f x 的图象上有且只有两个点关于y 轴对称，则a 的取值范围是( ) A ．[)4,+∞ B ．()()0,11,e ⋃ C ．()0,1 D ．()1,e【答案】A【解析】当1a >时，log a y x =关于y 轴对称的函数为log ()a y x =-， 画出图像如下所示：要满足题意，只需log 41a ≤，解得4a ≥.当01a <<时，log a y x =关于y 轴对称的函数为()log a y x =-， 画出函数图像如下所示：数形结合可知，显然不满足题意. 综上所述：4a ≥. 故选：A.12．某软件研发公司对某软件进行升级，主要是软件程序中的某序列{}123,,,A a a a =⋅⋅⋅重新编辑，编辑新序列为*324123,,,a a a A a a a ⋅⋅⋅⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，它的第n 项为1n na a +，若序列()**A 的所有项都是2，且51a =，632a =，则1a 等于（ ） A ．1256B ．1512C ．11024D ．12048【答案】C【解析】设21a q a =， Q 序列()**A 的所有项都是2，{}2,2,2,A q q q *∴=⋅⋅⋅，即112n n na q a -+=， 12211231n n n n n n n a a a a a a a a a a -----=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅Q ，()()21231211222n n n n n n a q q q a q a -----∴=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=， 64511056121232a q a a q a ⎧==∴⎨==⎩，解得：1110242a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩. 故选：C .第II 卷（非选择题)二、填空题 13．已知当|1|2x <时，有21124(2)12n x x x x =-++-+-L L ，根据以上信息，若对任意1||2x <都有20123,(1)(12)n n xa a x a x a x x x =+++++-+L L 则11a =______． 【答案】910 【解析】Q 当1||2x <时，有21124(2)12n x x x x=-+-⋯+-+⋯+，①∴当1||2x <时，有3693311()1nx x x x x =++++⋯++⋯-，② 又对任意1||2x <，都有20123311(1)(12)121n n x x a a x a x a x x x x x=⋅⋅=+++⋯++⋯-++-， 11a ∴即为11x 的系数，可取①中的10(2)x -，②中的1；或①中7(2)x -，②中的3x ； 或①中的4(2)x -，②中的6x ；或①中的()2x -，②中的9x ； ()107411(2)(2)(2)2910a ∴=-+-+-+-=，故答案为：910．14．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线C 上一点，Q 为双曲线C 渐近线上一点，P ，Q 均位于第一象限，且22QP PF =u u u r u u u u r ，120QF QF ⋅=u u u r u u u u r，则双曲线C 的离心率为________.2【解析】由双曲线的方程22221x y a b-=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线C 上的一点，Q 为双曲线C的渐近线上的一点，且P ，Q 都位于第一象限，且22QP PF =u u u r u u u u r ，120QF QF ⋅=u u u r u u u u r， 可知P 为2QF 的三等分点，且12QF QF ⊥u u u r u u u u r，点Q 在直线0bx ay -=上，并且OQ c =，则(),Q a b ，()2,0F c ， 设()11,P x y ，则()()11112,,x a y b c x y --=--， 解得123a c x +=，123b y =，即22,33a c b P +⎛⎫⎪⎝⎭，代入双曲线的方程可得()2224199a c a +-=，解得2c e a ==，2.15．已知三棱锥A BCD -的棱长均为6，其内有n 个小球，球1O 与三棱锥A BCD -的四个面都相切，球2O 与三棱锥A BCD -的三个面和球1O 都相切，如此类推，…，球n O 与三棱锥A BCD -的三个面和球1n O -都相切（2n ≥，*n N ∈），则球n O 的表面积等于_______．【答案】164n π- 【解析】不妨设n O 的半径为n r ，正四面体的棱长为a ，取CD 中点为E ，球1O 与平面ACD 切于点F ，球2O 与平面ACD 切于点H ， 作截面ABE ，G 为△BCD 的外心，如下图所示：容易知36GE a =，63AG =，32AE a =， 因为1~AFO AGE ∆∆，故可得11r AG r GE AE -=，解得166r ==； 同理由2~AHO AGE ∆∆，故可得2122r AG r r GE AE --=，解得266r ==， 以此类推，总结归纳可得{}n r 是首项为6212的等比数列，故可得16122n n r -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则n O 的表面积212161644224n n n S r πππ--⎤⎛⎫==⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.故答案为：164n π-.16．给出下列说法：，3，②当,0()3k ∈-时，不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立； ③函数22sin ()sin ()44y x x ππ=+--是周期为π的奇函数； ④两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内. 其中，正确说法序号是_________. 【答案】①②③④【解析】① 其被开方数构成一个以3为首项，6为公差的等差数列，② 当(3,0)k ∈-时，230k k ∆=+<， 则函数2328y kx kx =+-的图象开口朝下，且与x 轴无交点， 故不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，故②正确； ③ 22sin ()sin ()44y x x ππ=+-- 22sin ()sin ()442x x πππ=+-+-22sin ()cos ()44x x ππ=+-+cos(2)2x π=-+sin 2x =该函数是周期为π的奇函数，故③正确；④ 设三条直线,,a b c ，a b M =I ，b c N =I ，c a P =I ， 由公理3推论2可知，直线,a b 可确定一个平面α，,,,P a a N b b αα∈⊂∈⊂Q ， ∴,P N α∈，又Q ,P N c ∈∴由公理1可知c α⊂，∴三条直线,,a b c 均在平面α内，故④正确.故答案为：①②③④. 三、解答题17．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且asin sin csin 0sin sin A b B C B C +-= .（1）求角C ；（2）若ABC ∆的中线CE 的长为1，求ABC ∆的面积的最大值.【答案】（1）3π；（2）3.【解析】（1）由sin sin sin 0sin sin a A b B c C B C +-=，得： b sin 3a a b b c c a C ⋅+⋅-⋅=⋅，即22223a b c C ab +-=,由余弦定理得cos 3C C =∴tan C =()0,C π∈，∴3C π= .（2）由余弦定理：22121cos 42c c b CEA =+-⨯⨯⋅∠①，②22121cos 42c c a CEB =+-⨯⨯⋅∠，由三角形中线长定理可得：①+②得22222c b a +=+ 即2222()4b a c +=+∵2222cos c a b ab C =+-⋅，∴2242a b ab ab +=-≥ ∴43ab ≤，当且仅当a b =时取等号所以114S =sinC 223ABC ab ∆≤⨯=. 18．如图，正四棱锥S ABCD -的底面边长为2，E 、F 分别为SA 、SD 的中点.（1）当5SA=时，证明：平面BEF ⊥平面SAD ；（2）若平面BEF 与底面ABCD 所成锐二面角为6π，求直线SC 与平面BEF 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）5. 【解析】（1）连接AC 交BD 于点O ，建立如图所示空间坐标系.∵5SA =3OS =(3S ，)2,0,0A，()0,2,0D -，()2,0B ，23,0,22E ⎛ ⎝⎭，230,22F ⎛- ⎝⎭，设G 是AD 的中点，则2222G ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，22322SG ⎛=-- ⎝u u u r ，22022EF ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，232,22EB ⎛=-- ⎝⎭u u u r ，∵0SG EF ⋅=u u u r u u u r ，0SG EB ⋅=u u u r u u u r，∴SG EF ⊥，SG EB ⊥，EF EB B =Q I ，∴SG ⊥平面BEF ，∵SG ⊂平面SAD ，∴平面BEF ⊥平面SAD ；（2）设OS h =，则()0,0,S h ，2,0,22h E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，20,,22h F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，则220EF ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ,,，2,2,2h EB ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，设平面BEF 的一个法向量为()1,,n x y z =u r ，则1100n EF n EB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u v u v u u u v ，即2202222022x y hz x y ⎧--=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩，令1x =，则1y =-，32z h =-，所以1321,1,n h ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭u r ， 取平面ABCD 的一个法向量为()20,0,1n =u u r，则12123cos 6n n n n π⋅==u r u u ru r u u r ，即23322182h h=+，解得3h =，∴()2,0,3CS =u u u r ， 设直线SC 与平面BEF 所成的角为θ，∴11225sin 5225CS n CS n θ⋅===⋅u u u r u r u u u r u r ，即直线SC 与平面BEF 所成角的正弦值为5. 19．如图，圆C 与x 轴相切于点()2,0T ，与y 轴正半轴相交于,M N 两点（点M 在点N 的下方），且3MN =．(1)求圆C 的方程；(2)过点M 任作一条直线与椭圆22184x y +=相交于两点AB 、，连接AN BN 、，求证：ANM BNM ∠=∠． 【答案】（Ⅰ）()22525224x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭；（Ⅱ）见解析【解析】(1)由题可知圆心的坐标为()2,.r ∵22232553,2,242MN r r ⎛⎫=∴=+== ⎪⎝⎭∴圆C 方程为:()22525224x y ⎛⎫-+-=⎪⎝⎭ (2) 由圆C 方程可得()()0,1,0,4M N①当AB 斜率不存在时，0ANM BNM ∠=∠=o②当AB 斜率存在时，设AB 直线方程为:1y kx =+. 设()()1122,,,A x y B x y()2222112460184y kx k x kx x y =+⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩ 1212246,1212k x x x x k k +=-=-++ ∴()22121212121226423234412120612AN BNk k kx x x x y y k k k k x x x x k ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪-+--++⎝⎭⎝⎭+=+===-+∴0AN BN k k +=综上所述ANM BNM ∠=∠20．自从新型冠状病毒爆发以来，全国范围内采取了积极的措施进行防控，并及时通报各项数据以便公众了解情况，做好防护.以下是湖南省2020年1月23日-31日这9天的新增确诊人数.经过医学研究，发现新型冠状病毒极易传染，一个病毒的携带者在病情发作之前通常有长达14天的潜伏期，这个期间如果不采取防护措施，则感染者与一位健康者接触时间超过15秒，就有可能传染病毒.（1）将1月23日作为第1天，连续9天的时间作为变量x ，每天新增确诊人数作为变量y ，通过回归分析，得到模型ˆˆˆln yb x a =+用于对疫情进行分析.对上表的数据作初步处理，得到下面的一些统计量的值（部分数据已作近似处理）：()()()()99911115,42.2,ln 1.42,384,ln ln 100.869i i i i ii i i x y x x x y y x xy y ======--=--=∑∑∑，()()99221160,ln ln 4.1,ln10 2.3ii i i x x x x==-=-==∑∑.根据相关数据，求该模型的回归方程（结果精确到0.1），并依据该模型预测第10天新增确诊人数.（2）如果一位新型冠状病毒的感染者传染给他人的概率为0.3，在一次12人的家庭聚餐中，只有一位感染者参加了聚餐，记余下的人员中被感染的人数为X ，求X k =最有可能（即概率最大）的值是多少. 附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v …，(),n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆˆˆ,niii nii u u v v v u u u βαβ==--==--∑∑. 【答案】（1）回归方程为ˆ24.6ln 7.3y x =+，估计第10天新增确诊人数为64人；（2）3k =.【解析】（1）()()()91921ln ln 100.8624.6l ˆˆˆl , 4.1n n ln iii i i b x x y y a xyb x x ==--====+∴-∑∑$Q ， $24.6ln 42.224.6 1.427.3ay x =-⨯=-⨯≈， ∴回归方程为ˆ24.6ln 7.3yx =+， 当10x =时，ˆ24.6ln107.324.6 2.37.363.8864y=⨯+=⨯+=≈， ∴估计第10天新增确诊人数为64人；（2）设余下11人中被感染的人数为X ，则(11,0.3)X B :，1111()0.30.7k k k P X k C -∴==⋅，要使()P X k =最大，需()(1)()(1)P X k P X k P X k P X k =≥=-⎧⎨=≥=+⎩，111112111111111011110.30.70.30.70.30.70.30.7k k k k k k k k k k k kC C C C -----++-⎧⋅≥⋅∴⎨⋅≥⋅⎩即0.30.7!(11)!(1)!(12)!0.70.3!(11)!(1)!(10)!k k k k k k k k ⎧≥⎪---⎪⎨⎪≥⎪-+-⎩，3.60.30.70.70.7 3.30.3k kk k-≥⎧⎨+≥-⎩ 得2.6 3.6,,3k k N k ≤≤∈∴=Q ，所以X k =最有可能（即概率最大）的值为3k =.21．在直角坐标系xOy 中，曲线221:14x C y +=，曲线222cos :2sin x C y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求1C ，2C 的极坐标方程；（2）射线l 的极坐标方程为()0θαρ=≥，若l 分别与1C ，2C 交于异于极点的A ，B 两点，求OB OA的最大值.【答案】（1）1C 的极坐标方程为()223sin14ρθ+=，2C 的极坐标方程为4cos ρθ=；（2）3； 【解析】（1）221:44C x y +=，cos ,sin x y ρθρθ==Q故1C 的极坐标方程为()223sin14ρθ+=.而2C 的直角坐标方程为()2224x y -+=，即2240x y x +-=，2C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（2）直线l 分别与1C ，2C 联立得()22314sin ρθθα⎧+=⎪⎨=⎪⎩，则22431OA sin α=+ 4cos ρθθα=⎧⎨=⎩，则2216OB cos α=()2222431OB cos sin OAαα∴=+，()()224131sin sin αα=-+ 24221284OB sin sin OAαα∴=-++由于20sin 1α≤≤，根据二次函数的性质可知，当21sin 3α=时，22OB OA有最大值为163，故OB OA 有最大值3. 22．已知函数()212f x x x =+--，不等式()2f x ≤的解集为M . （1）求M ；（2）记集合M 的最大元素为m ，若a 、b 、c 都是正实数，且11123m a b c++=.求证：239a b c ++≥. 【答案】（1）{}51x x -≤≤；（2）证明见解析. 【解析】（1）()2122f x x x =+--≤Q .当21x <-时，()()()21232f x x x x =-++-=--≤，解得5x ≥-，此时152x -≤<-； 当122x -≤≤时，()()()212312f x x x x =++-=-≤，解得1x ≤，此时112x -≤≤；当2x >时，()()()21232f x x x x =+--=+≤，解得1x ≤-，此时x ∈∅. 故不等式()2f x ≤的解集为{}51x x -≤≤，因此，集合{}51M x x =-≤≤； （2）由（1）可知1m =，111123a b c++=Q， 由柯西不等式得()111232323a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭29≥=， 即239a b c ++≥，当且仅当23a b c ==时，即当3a =，32b =，1c =时取等号.0。