2010年四川省高考数学试卷(理科)答案与解析

故选B 【点评】本题考查数列的极限和性质，解题时要认真审题，仔细解答． 9．（5分）（2010•四川）椭圆 的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A．在椭圆上存在点P满足线段
AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A．（0， ] ] B．（0， C．[ D．[
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，1） 【考点】椭圆的简单性质． 【专题】计算题；压轴题． 【分析】由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F， 即F点到P点与A点的距离相等，根据|PF|的范围求得|FA|的范围，进而求 得
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4．（5分）（2010•四川）函数f（x）=x2+mx+1的图象关于直线x=1对 称的充要条件是（ ） A．m=﹣2 B．m=2 C．m=﹣1 D．m=1 【考点】函数的图象． 【专题】计算题．
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【分析】根据二次函数对称轴定义和互为充要条件的条件去判断即可． 【解答】解：函数f（x）=x2+mx+1的对称轴为x=﹣ ⇔﹣ =1⇒m=﹣2． 答案：A． 【点评】本题考查了互为充要条件的关系和二次函数的对称轴问题． 5．（5分）（2010•四川）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外， ， ，则 =（ ） A．8 B．4 C．2 D．1 【考点】向量的线性运算性质及几何意义． 【分析】先求出| |=4，又因为 =| |=2 =4，可得答案． 【解答】解：由 =16，得| |=4， ∵ =|
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，进而利用均值不等式求得原式的最小值． 【解答】解： = = ≥0+2+2=4 当且仅当a﹣5c=0，ab=1，a（a﹣b）=1时等号成立 如取a= ，b= ，c= 满足条件． 故选B 【点评】本题主要考查了基本不等式的应用．主要口考查了运用基本不 等式求最值的问题． 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分） 13．（4分）（2010•四川） 的展开式中的第四项是 ﹣ ． 【考点】二项式定理． 【专题】计算题． 【分析】利用二项式的展开式的通项公式求出第4项． 【解答】解：T4=
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Sn=a1+2a1+22a1++2n﹣1a1=（2n﹣1）a1，由此可知答案． 【解答】解：由Sn+1=2Sn+a1，且Sn+2=2Sn+1+a1 作差得an+2=2an+1 又S2=2S1+a1，即a2+a1=2a1+a1Þa2=2a1 故{an}是公比为2的等比数列 Sn=a1+2a1+22a1++2n﹣1a1=（2n﹣1）a1 则
②若S为封闭集，则一定有0∈S； ③封闭集一定是无限集； ④若S为封闭集，则满足S⊆T⊆C的任意集合T也是封闭集． 其中真命题是 ①② ．（写出所有真命题的序号） 【考点】集合的包含关系判断及应用；子集与真子集；复数的基本概 念． 【专题】计算题；综合题；压轴题；新定义． 【分析】由题意直接验证①即可判断正误；令x=y可推出②是正确的； 找出反例集合S={0}，即可判断③的错误．S={0}，T={0，1}，推出﹣1 不属于T，判断④是错误的． 【解答】解：两个复数的和是复数，两个复数的差也是复数，所以集合 S={a+bi|（a，b为整数，i为虚数单位）}为封闭集，①正确． 当S为封闭集时，因为x﹣y∈S，取x=y，得0∈S，②正确 对于集合S={0}，显然满足所有条件，但S是有限集，③错误 取S={0}，T={0，1}，满足S⊆T⊆C，但由于0﹣1=﹣1不属于T，故T不 是封闭集，④错误． 【点评】本题考查复数的基本概念，集合的子集，集合的包含关系判断 及应用，是中档题． 三、解答题（共6小题，满分74分） 17．（12分）（2010•四川）某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一 瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为 中奖，中奖概率为
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①若5在十位或十万位，则1、3有三个位置可排，有A32种，然后剩下 的两个位置全排列，共有2A32A22=24个； ②若5排在百位、千位或万位，则1、3只有两个位置可排，有A22种， 然后剩下的两个位置全排列，共3A22A22=12个 根据分步计数原理知共计3（24+12）=108个 故选C 【点评】本题考查分步计数原理，考查分类计数原理，考查排列组合的 实际应用，是一个数字问题，这种问题的限制条件比较多，注意做到不 重不漏． 11．（5分）（2010•四川）半径为R的球O的直径AB垂直于平面α，垂足 为B，△BCD是平面α内边长为R的正三角形，线段AC、AD分别与球面 交于点M、N，那么M、N两点间的球面距离是（ ）
A． B． C． D． 【考点】球面距离及相关计算． 【专题】计算题；压轴题． 【分析】求解本题需要根据题意求解出题目中的角MON的余弦，再代 入求解，即可求出MN的两点距离． 【解答】解：由已知，AB=2R，BC=R， 故tan∠BAC=
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cos∠BAC= 连接OM，则△OAM为等腰三角形 AM=2AOcos∠BAC= ， 同理AN= ，且MN∥CD 而AC=
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B．y=sin（2x﹣ C．y=sin（
D．y=sin（
倍进行横向变换． 【解答】解：将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动
个单位长度，所得函数图象的解析式为y=sin（x﹣ ） 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的 函数解析式是y=sin（ x﹣ ）． 故选C． 【点评】本题主要考查三角函数的平移变换．平移的原则是左加右减、 上加下减． 7．（5分）（2010•四川）某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由 乙车间加工出B产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7 千克A产品，每千克A产品获利40元．乙车间加工一箱原料需耗费工时6 小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天 共能完成至多70多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超 过480小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为（ ） A．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱 B．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱 C．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱 D．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱 【考点】简单线性规划的应用． 【专题】计算题；压轴题． 【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，根据题意列出不等 式组，找出目标函数 【解答】解：设甲车间加工原料x箱， 乙车间加工原料y箱， 则
R，CD=R 故MN：CD=AM：AC MN= ， 连接OM、ON，有OM=ON=R 于是cos∠MON= 所以M、N两点间的球面距离是 ． 故选A．
【点评】本题考查学生的空间想象能力，以及学生对球面上的点的距离 求解，是中档题． 12．（5分）（2010•四川）设a＞b＞c＞0，则 的最小值是（ ） A．2 B．4 C． D．5 【考点】基本不等式． 【专题】计算题；压轴题． 【分析】先把 整理成
【考点】平面与平面之间的位置关系；与二面角有关的立体几何综合 题． 【专题】计算题；压轴题． 【分析】过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线．垂足 为D，连接AD，从而∠ADC为二面角α﹣l﹣β的平面角，连接CB，则 ∠ABC为AB与平面β所成的角，在直角三角形ABC中求出此角即可． 【解答】解：过点A作平面β的垂线，垂足为C， 在β内过C作l的垂线．垂足为D 连接AD，有三垂线定理可知AD⊥l， 故∠ADC为二面角α﹣l﹣β的平面角，为60° 又由已知，∠ABD=30° 连接CB，则∠ABC为AB与平面β所成的角 设AD=2，则AC=
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|=4， 而 ∴ =2 故选C． 【点评】本题主要考查平面向量的线性运算，属基础题． 6．（5分）（2010•四川）将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不 变），所得图象的函数解析式是（ ） A．y=sin（2x﹣ ） ） x﹣ ） x﹣ ） 【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【专题】分析法． 【分析】先根据左加右减进行左右平移，然后根据横坐标伸长到原来的 2倍时w变为原来的
【解答】解：由复数性质知：i2=﹣1 故i+i2+i3=i+（﹣1）+（﹣i）=﹣1 故选A 【点评】本题考查复数幂的运算，是基础题． 2．（5分）（2010•四川）下列四个图象所表示的函数，在点x=0处连续 的是（ ） A．
B．
C．
D．
【考点】函数的连续性． 【专题】数形结合． 【分析】根据连续的定义，函数f在x=0连续，满足两个条件f不仅在x=0 处有极限且有定义，而且等于它的函数值．根据图象可知A函数在x=0 无定义，B有间断点即极限不存在，C虽然有极限但是极限不等于 f（0），得到正确答案即可． 【解答】解：由图象及函数连续的性质知，A中的函数在x=0处无意 义，所以不连续；B中的函数x趋于0无极限，所以不连续；C中虽然有 极限，但是不等于f（0），所以不连续；只有D满足连续的定义，所以 D中的函数在x=0连续．所以D正确． 故选D 【点评】考查学生掌握连续的定义，会利用数学结合的数学思想解决实 际问题． 3．（5分）（2010•四川）2log510+log50.25=（ ） A．0 B．1 C．2 D．4 【考点】对数的运算性质． 【分析】根据对数运算法则可直接得到答案． 【解答】解：∵2log510+log50.25 =log5100+log50.25 =log525 =2 故选C． 【点评】本题主要考查对数的运算法则．
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的范围即离心率e的范围． 【解答】解：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点 F，即F点到P点与A点的距离相等 而|FA|= |PF|∈[a﹣c，a+c] 于是 ∈[a﹣c，a+c] 即ac﹣c2≤b2≤ac+c2 ∴
又e∈（0，1） 故e∈ ． 【点评】本题主要考查椭圆的基本性质．属基础题． 10．（5分）（2010•四川）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且 1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（ ） A．72 B．96 C．108 D．144 【考点】排列、组合的实际应用． 【专题】计算题． 【分析】本题是一个分步计数原理，先选一个偶数字排个位，有3种选 法，对于5要求比较多，需要分类，若5在十位或十万位，则1、3有三个 位置可排，若5排在百位、千位或万位，则1、3只有两个位置可排，根 据分步计数原理得到结果． 【解答】解：由题意知，本题是一个分步计数原理， 先选一个偶数字排个位，有3种选法，
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故答案为：﹣
【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问 题的工具． 14．（4分）（2010•四川）直线x﹣2y+5=0与圆x2+y2=8相交于A、B两 点，则|AB|= 2 ． 【考点】直线与圆的位置关系． 【分析】可以直接求出A、B然后求值；也可以用圆心到直线的距离来 求解． 【解答】解：圆心为（0，0），半径为2
2010年四川省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）（2010•四川）i是虚数单位，计算i+i2+i3=（ ） A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i 【考点】复数代数形式的混合运算． 【分析】利用复数i的幂的运算，容易得到答案．
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目标函数z=280x+200y
结合图象可得：当x=15，y=55时z最大． 故选B． 【点评】在解决线性规划问题是，我们常寻找边界点，代入验证确定最 值 8．（5分）（2010•四川）已知数列{an}的首项a1≠0，其前n项的和为 Sn，且Sn+1=2Sn+a1，则 =（ ） A．0 B． C．1 D．2 【考点】极限及其运算；等比数列的前n项和． 【专题】计算题． 【分析】由题意知an+2=2an+1，再由S2=2S1+a1，即 a2+a1=2a1+a1Þa2=2a1，知{an}是公比为2的等比数列，所以
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，CD=1 AB= =4 ∴sin∠ABC= ； 故答案为 ．
【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及直线与平面 所成角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题． 16．（4分）（2010•四川）设S为复数集C的非空子集．若对任意x， y∈S，都有x+y，x﹣y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题： ①集合S={a+bi|（a，b为整数，i为虚数单位）}为封闭集；
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， 圆心到直线x﹣2y+5=0的距离为d= ， 故 ， 得|AB|=2 ． 故答案为：2 ． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的理解能力，是基础 题． 15．（4分）（2010•四川）如图，二面角α﹣l﹣β的大小是60°，线段 AB⊂α．B∈l，AB与l所成的角为30°．则AB与平面β所成的角的正弦值 是 ．