由2009年青岛市物理中考中最后一题引发的猜

归纳式探究能力题和演绎式探究能力题，是青岛市物理中考中必考题，归纳式探究能力题为我们平时的探究课指引了方向；演绎式探究能力题是对探究能力的选拔，改编于大学普通物理课本，掌握一定的方法后是可以做出的。

对于演绎式探究的命题，命题组的创新能力实在是让人敬佩！
2009年中考演绎式探究题（附），考的是关于“电场强度”的微元积分，（圆环积分）。

我本来认为：线积分、面积分和体积分都牵扯到微积分公式，只有环积分可以利用叠加原理进行化简。

由此猜测2010年若继续考微元积分，只能考圆环积分。

这样可改编的大学内容最有可能的是“电磁感应强度”和“万有引力（小行星带是环形的）”。

；为此自编了一道关于“磁感应强度”的演绎式探究题。

编题依据：《物理学难题集萃》(增订本)舒幼生，胡望雨，陈秉乾，高等教育出版社。

第三部分电磁学，第二章 磁场，磁介质，题3：由球面积分变圆环积分。

题目如下：
要研究有关通电导体周围磁场的磁感应强度问题： （1）电流微元产生的磁感应强度：
通电导体周围存在磁场，我们用磁感应强度B 表示通电导体周围磁场的强弱，通电导体周围各点B 大小一般不同，B 越大，表示该点的磁感应强度越强。

不同点B 的方向一般不同。

如图所示，若一段长为l ∆通过它的电流为I 的导体，则在与其垂直距离为r 的A 点处的磁感应强度大小为
2
r l
I k
B ∆=∆(k 为常数)。

距离导线越远，磁感应强度越_________.其方向垂直于纸面向里（与导体l ∆和距离r 均垂直）
(2)环形电流的磁感应强度：
如图，一带电圆环半径为R ，电荷均匀分布在圆环上，圆环绕轴OP 以速度υ高速旋转，从而形成环形电流。

在轴OP 上距圆心O 为x 的P 点的磁感应强度P B 的表达式是怎样的呢？
查资料得知：直线上单位长度的电荷叫线电荷密度；导体中的电流即为单位时间内通过某一截面的电荷。

若圆环的线电荷密度为σ，则圆环转动一周通过某一截面的电荷_________=Q ，圆环转动一周所用的时间t=________，圆环中的电流I=________。

将圆环均匀分割为许多等份，每一等份的长度为l ∆，则每一等份在P 点的磁感应强度B 1=__________，B 1沿着OP 方向的分量=∠=x x B PB Sin B B 1111___________。

B P 的大小等于圆环上所有等份的x B 1大小之和，即____________=p B 。

答案：弱 σπR 2 υπR
2 συ 22x R l k +∆συ 2322)(x R lR k +∆συ 2
3
222)(2x R k R +συπ
然而，2010年中考虽然考了“磁感应强度”，但却不是圆环积分，而是圆盘积分(面积分)，那么，他们是如何避开面积分公式的呢？看了2010年中考题，实在是让人钦佩！
2010年青岛市物理中考14题演绎式探究
14.演绎式探究： (1)磁感应强度：
磁体和通电导体周围存在磁场，磁场的强弱用物理量磁感应强度B 表示。

B 越大，说明磁场越强。

一个半径为r 的细圆环，环中均匀分布着电量为q 的电荷（图甲）。

圆环绕中心轴每秒转动n 圈，则圆心O 点的磁感应强度大小为：2nq
B k
r
π=（k 为常数）。

可见，电量q 和半径r 不变时，圆环转动越快，圆心O 点的磁场越________。

（2）研究转动圆盘中心的磁感应强度：
现在，有一个半径为R 的薄圆盘（厚度不计），在圆盘中均匀分布着电量为Q 的电荷(图乙)。

圆盘绕中心轴每秒转动n 圈，则整个圆盘在圆心O 点的磁感应强度大小度为多少？
首先，将圆盘分割为100个宽度均为r ∆的同心细圆环，取其中一个圆环进行研究(图丙)。

若将这个圆环取出来，并将它展开，可以近似看作是一个宽度为r ∆的长方形（图丁），该长方形的面积为2S r r π∆=∆，则圆环所带的电荷量为
2
2Qr r
q R ∆=
，这样，该圆环在圆心O 点的磁感应强度大小为B ∆=____________，整个圆盘在O 点的磁感应强度大小B 为这100个圆环
在O 点的磁感应强度大小B ∆之和，也即：B=_____________。

答案：强 24nQ r k
R π∆ 4nQ
k R
π
我给出的是电流微元l ∆对某一点的公式2r
l
I k
B ∆=∆（1）
中考中给出的是圆环对圆心O 点的公式2nq
B k r
π=（2） 首先由（1）式推一下（2）式：
电流等于单位时间（1s ）内通过某一截面的电荷，Q I t
= 圆盘绕中心轴每秒转动n 圈 圆环中的电流I nq =
圆环上的任一电流微元l ∆到圆心的距离均为半径r 圆环上的任一电流微元l ∆在圆心的磁感应强度为：
22
I l nq l
B k
k r r ∆∆∆== 圆环上电流微元l ∆的个数为：2r
N l
π=∆ 根据叠加原理
整个圆环在圆心处的磁感应强度为：
222r nq l nq B N B k k l r r ππ∆=∙∆=
∙=∆ 即2nq
B k r
π= 再推一下2010年该中考题的答案： 圆盘面积：2S R π= 单位面积上的电荷量2
Q
R σπ=
每一个圆环面积（圆环看作宽度为r ∆的长方形）2S r r π∆=∆ 每一个圆环所带的电量22
22Q Qr r q S r r R R
σππ∆=∙∆=
∙∆= 每一个圆环在圆心O 点的磁感应强度大小为：
22
2224Qr r
n nq
nQ r R B k
k k r
r R πππ∆∙
∆∆=== 这一步成功的消掉了变量r （每个圆环的半径r 是不同的）成功避免了微积分公式dr
r
⎰
，简化为最简单的积分dr ⎰ 整个圆盘在O 点的磁感应强度大小
210010010044R
nQ
nQ B B k
k R R
ππ=∙∆=⨯=
这一命题直接把选题局面打开，避开了面积分公式。

若再考微元积分，便无法猜测了，符合叠加原理的都可以拿来出题吧！实在是让人敬佩！
附：2009年青岛市物理中考14题演绎式探究
14.演绎式探究：
现在，叶子和小雨要研究有关电场强弱的问题：
(1)电场强度：
我们知道，磁体周围存在磁场；同样，带电体周围存在电场。

我们用电场强度E表示电场的强弱。

在电场中各点E的大小一般是不同的，E越
大，表示该点电场越强。

不同点E 的方向也一般不同。

如图所示，若一个小球带的电量为q ，则与其距离为r 的A 点处的电场强度大小为2r
q
k
E = (k 为常数)，这说明距离带电体越远，电场越_________。

A 点处E 的方向如图中箭头所示。

(2)环形带电体的电场强度：
如图所示，有一个带电均匀的圆环，已知圆环的半径为R ，所带的总电量为Q 。

过圆环中心O 点作一垂直于圆环平面的直线，那么在此直线上与环心相距为x 的P 点处的电场强度p E 的表达式是怎样的呢?
小雨首先把圆环均匀分割为许多等份，每一等份的圆弧长度为l ∆，则每一等份的电量为___________；每一等份可以看作一个带电小球，则每一等份在P 点所产生的电场强度的大小为1E =__________；1E 沿着OP 方向的分量=∠=x x PE E E E 1111cos __________________。

p E 的大小等于圆环上所有等份的x E 1大小之和，即p E =__________________。

答案：弱 R l
Q π2∆ )(222R x R l kQ +∆π 2/322)(2R x R l k Q x +∆π
2
/322)(R x k Q x +。