浙江省普通高中课程数学必修一对数与对数运算2

2
1.则x
M ( 2)2 loga ( M 2 N ) loga M loga N , 则 N
概念清楚 a N b log a N a 0且a 1, N 0
b
(3)化 (logm m n logn m n)(nlogn m logn m mlogm n log1 m) 简
解：我们先推算生物死亡t年后每克组织中的碳14含量。 设生物体死亡时，体内每克组织中碳14的含量为1，1年 后的 残留量为x，由于死亡机体中原有的碳14确定的规律 衰减，所以生物体的死亡年数t与其体内每克组织的碳14 含量P有如下关系：
死亡年数t
1
2
3
„
t
„
t
碳14含量P
x
x
2
x
3
„
x
„
因此，生物死亡年后体内碳 的含量P x t . t 14
loga N
N
2.如果a 0且a 1, M 0, N 0.那么
(1)loga (MN ) loga M loga N.
积的对数=对数之和 商的对数=对数之差
(2)loga M loga M loga N. N
(3)loga M n loga M (n R)
n
3 l og8 16 l og9 27 5
log
5

3 1

ln e.
点评：运用法则或性质，对每一部分先化简或合 并“同类项”，可以化简运算并提高运算的准确 性.
Байду номын сангаас
23 x 23 x 变式演练 : 若x log3 4 1, 则 x ______. x 2 2
题型二：换底公式应用
1 log a b logb a
巩固练习:
提高练习:
p751.2.3
lg x lg a 2lg b 3lg c, 则 x
1 ⑴ 若
______ c3
2 ab
⑵ ⑶
1 log 6 12 log 6 2
2 _____________
1 2 2 的值为______
log 2 8 4 3 log 2 8 4 3
lga lga
a 10

4
如果 , 是关于 x的方程 lg(3 x ) lg(5 x ) 1的两实根 , 则
1 等于 . 15
n
(a 0, b 0, 均不为 1)
lg b lg a 证 : (1) log a b logb a 1 lg a lg b
loga bn n loga b n n (2)log am b loga b m loga a m loga a m
log m N log (a 0, a 1, m 0, m 1) 3、例题分析： a N log m a
t 5730
可写成对数式 log t
5730
1 2
P
湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占 原始含量的 76.7％，即P=0.767,那么 t log 0.767
5730
由计算器可得 t≈2193
1 2
所以，马王堆古墓是近2200年前的遗址。
1、性质:loga 1 0,loga a 1, a
n 推论 : (1) log a b log b a 1 (2) log am b log a b m log8 9 1 1 例1: 计算(1) (2) log 2 3 log3 15 log5 15
n
2 log 2 3 log8 9 log 23 3 2 3 解 : (1) log 2 3 log 2 3 3 log 2 3
(2)5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震的 最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍(精确到1)。
解： (1)
20 M lg 20 lg 0.001 lg 0.001 4 lg 20000 lg 2 lg 10 4.3
因此，这是一次约为里氏4.3级的地震。 (2)由 M lg A lgA0 可得 A A M lg 10M A A 0 10M A0 A0 当M＝7.6时，地震的最大 振幅为 A1A0 107.6 ; 当M＝5 时，地震的最大振幅为 A2 A0 105. 所以，两次地震的最 大振幅之比是
1 1 1 例4 : 设3 4 6 t (t 1) , 求证 z x 2y
x y z
3 4 6 t
x y z
1 l ogt 3 x
1 logt 6 z
1 logt 4 y
例5 : 计算(1)5
1log0.2 3
(2) log4 3 log9 2 log2 4 32
3、换底公式：
log m N log a N (a 0, a 1, m 0, m 1) log m a
4、两个较为常用的推论：
(1) log a b log b a 1 (2) log am
n
(a 0, b 0, 均不为 1)
n n n b log a b log n b log a b log a b a m n
由于大约每过5730年，死亡生物体的碳14含量衰减为原来的 1 一半，所以 x 5730 2 1 1 1 5730 于是，x 5730 2 2 t 1 5730 这样生物死亡 年后体内碳 含量P t 14 2
1 由对数与指数的关系， 指数式P 2
2.求下列各式的值:
1) 4
log2 5
5
log25 7
25 7
2) log6[log4 (log3 81)] 0
3) log 2 8 4 3 log 2 8 48 2
4) (lg5) lg5 lg 2 lg 2 1
2
错题
1 log(1 x ) (1 x )
对 数
（三）
一、复习回顾
1、性质:loga 1 0,loga a 1, a
loga N
N
2.如果a 0且a 1, M 0, N 0.那么
(1)loga (MN ) loga M loga N.
积的对数=对数之和 商的对数=对数之差
(2)loga M loga M loga N. N
例3:已知log18 9=a,18 =5,求log36 45(用a,b表示)
18 解 : log18 9 a log18 1 log18 2 a 2
b
log18 2 1 a
又18b =5log18 5=b
log18 45 log18 9 log18 5 ab ab log36 45 log18 36 11 a 2a 1 log18 2
(3)loga M n loga M (n R)
n
三、讲解新课
1、换底公式：
log m N log a N (a 0, a 1, m 0, m 1) log m a
证 : 设loga N x, 则ax N , 两边取以m为底的对数得 : logm a logm N
(1)原式 5 5
5 5
log0.2 3

5 5
log 0.2 3
5
5
log 1 3
5
1 log 5 3
5 1 3
15
5 4
(2)原式 log22 3 log32 2 log2 2
1 5 3 4 4 2
例6 20世纪30年代，里克特制订了一种表明地震能量 大小的尺度，测震仪衡量地震能量的等级，地震能量 越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大。这就是 我们常说的里氏震级M,其计算公式为 M lg A lgA0, 其中，A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震” 的振幅 (使用标准地震振是为了修正测震仪距实际震 中的距离造成的差)。 (1)假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震 仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是 0.001，计算这次地震的震级(精确到0.1)；
x
log m N x log m a log m N , x log m a
2、两个较为常用的推论：
1 (1) log a b log b a 1 log a b logb a
(2) log am
n n n b log a b log an b log a b log a b m n
例 :已 log8 3 p, log3 5 q, 用p, q表 lg5 3 知 示
3 pq 1 3 pq
题型三：对数与其它知识的综合运用
已知二次函数 f ( x ) (lga ) x 2 2 x 4 lga的最大值为 3， 求a的值 f ( x ) lga( x 1 )2 1 4 lga 1
A1 A0 107.6 102.6 398. A 2 A0 105
例7 科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生 放射性碳14。碳14的衰变极有规律，其精确性可 以称为自然界的“标准时钟”。动植物在生长过程 中衰变的碳14，可以通过与大气的相互作用得到 补充，所以活着的动植物每克组织中碳14含量保 持不变。死亡后的动植物，停止了与外界环境的 相互作用，机体中的碳14按确定的规律衰减，我 们已经知道其“半衰期”为5730年。 湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量 约占 原始含量的76.7％，试推算马王堆古墓的年代。
2
1 1 (2) log15 3 log15 5 1 log3 15 log5 15
例2 : 计算log3 4 log4 8 log8 m log4 2, 求m
lg 4 lg 8 lg m 1 点评：运用换底公式可以把题目中不同底的对数 解: lg m 1 lg 3 m 3 lg 3 lg 4 lg 8 2 2 化为同底对数，进一步运用对数运算的性质。
loga m
a
n N loga N m
n
n
1 1 已知11.2 1000 0.0112 1000 求 的值 , , a b 1
b
例2.化简下列各式 : 1 1 l g 9 l g 240 2 2 2 1 l g 4 l g 25 8 l g 2 l g 5; 2 2 36 1 l g 27 l g 3 5