山西五校2017届高三11月联考数学(文)
山西省2017届高三下学期名校联考数学(文)试题
山西省2017届高三下学期名校联考数学(文)试题一、选择题(共12小题;共60分)1. 集合A=1,3,5,7,B=x x2−4x≤0,则A∩B= A. 1,3B. 1,3C. 5,7D. 5,7(i为虚数单位),则z的共轭复数的虚部为 2. 已知z=1−3i3+iA. −iB. iC. −1D. 13. 王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲,不破楼兰终不归”,其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的 A. 充要条件B. 既不充分也不必要条件C. 充分条件D. 必要条件4. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A. 32B. 16C. 8D. 82,则判断框内应填入的是 5. 根据此程序框图输出的S的值为1112A. i≤8?B. i≤6?C. i≥8?D. i≥6?6. 已知α,β为平面,a,b,c为直线,下列命题正确的是 A. a⊂α,若b∥a,则b∥αB. α⊥β,α∩β=c,b⊥c,则b⊥βC. a⊥b,b⊥c,则a∥cD. 若a∩b=A,a⊂α,b⊂α,a∥β,b∥β,则α∥β7. 已知角α终边上一点的坐标为P−3,4,则cos−π−α的值是 A. −43B. 45C. 35D. −358. 在△ABC中,D为边BC上一点,且满足AD=12AB+AC,BC=10,AD=12,且AD⋅BC= 0,则AD⋅AC= A. 144B. 100C. 169D. 609. 若直线ax−y−a+3=0将关于x,y的不等式组x−2y+5≥0,x+y−1≥0,x−y+1≤0表示的平面区域分成面积相等的两部分,则z=4x−ay的最大值为 A. −8B. 2C. 4D. 810. 已知函数f x=e x−e−x x,f log5x+f log15x ≤2f1,则x的取值范围是 A. 15,1 B. 1,5C. 15,5 D. −∞,15∪5,+∞11. 已知双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1,F2,若在双曲线上存在点P使得△OPF2是以O为顶点的等腰三角形,又PF1+PF2=22c2−b2c为双曲线的半焦距,则双曲线的离心率为 A. B. +1 C. D. −112. 若函数f x满足f x=x fʹx−ln x,且f1e =1e,则e f e x<fʹ1e+1的解集为 A. −∞,−1B. −1,+∞C. 0,1e D. 1e,+∞二、填空题(共4小题;共20分)13. 圆x+12+y2=1的圆心是抛物线y2=2px p<0的焦点,则p= ______.14. 函数f x=sin−2x+cos2x的单调递增区间为______.15. 定义:若存在实数x1∈−2,−1,x2∈a,32使2−x1=log3x2成立,则称a为指对实数,那么在a∈−20,20上成为指对实数的概率是为______.16. 已知在△ABC中,BC=2,AC=2AB,则△ABC的面积的最大值为______.三、解答题(共7小题;共91分)17. 若等差数列a n的前n项和S n满足S10=100,数列a1,a2−a1,a3−a2,⋯,a n−a n−1的前5项和为9.(1)求数列a n的通项公式;(2)若数列b n的前n项和为T n,b n=a n+3n2+2n2,求证:T n<58.18. 随着网络的发展,人们可以在网络上购物、玩游戏、聊天、导航等,所以人们对上网流量的需求越来越大.某电信运营商推出一款新的“流量包”套餐,为了调查不同年龄的人是否愿意选择此款“流量包”套餐,随机抽取50个用户按年龄分组进行访谈,统计结果如下表.组号年龄访谈人数愿意使用120,3055230,401010340,501512450,60148560,7062参考公式:K2=n ad−bc2a+b c+d a+c b+d,其中n=a+b+c+d.P K2≥k0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828(1)若在第2,3,4组愿意选择此款“流量包”套餐的人中,用分层抽样的方法抽取15人,则各组应分别抽取多少人?(2)若从第5组的被调查访谈人中随机选取2人进行追踪调查,求2人中至少有1人愿意选此款“流量包”套餐的概率;(3)按以上统计数据填写下面的2×2列联表,并判断以50岁为分界点,能否在犯错误不超过1%的前提下认为是否愿意选择此款“流量包”套餐与人的年龄有关.年龄不低于50岁的人数年龄低于50岁的人数合计愿意使用的人数不愿意使用的人数合计19. 如图,五面体ABCDE,四边形ABDE为矩形,△ABC是正三角形,AB=1,AE=2,F是线段BC上一点,直线BC与平面ABD所成角为30∘,CE∥平面ADF.(1)试确定F的位置;(2)求三棱锥A−CDF的体积.20. 已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆上一点,已知∠F1PF2=60∘,S△F1PF2=3,且椭圆的离心率为12.(1)求椭圆方程;(2)已知T−4,0,过T的直线与椭圆交于M,N两点,求△MNF1面积的最大值.21. 已知f x=ln x+ax.(1)求f x的单调区间和极值;(2)若对任意的x>0,均有x2ln a−ln x≤a恒成立,求正数a的取值范围.22. 已知极坐标中曲线C是以点1,π4为圆心,以1为半径的圆,以极点为坐标原点O,极轴为x 轴的非负半轴,且单位长度相同建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为x=1+22t,y=22tt为参数.(1)写出l的普通方程和曲线C的极坐标方程;(2)判断l与C是否相交,若相交,设交点为P,Q两点,求线段PQ的长,若不想交,说明理由.23. 已知函数f x=2+2x+1,g x=x−1.(1)求不等式f x−1<2的解集;(2)当a+b− a−b>2b f x−g x b≠0,a,b∈R的解集非空,求x的取值范围.答案第一部分1. B2. D3. D4. B5. B6. D7. C8. A9. C 10. C11. A 12. A第二部分13. −414. kπ+3π8,kπ+7π8,k∈Z15. 2516. 43第三部分17. (1)因为数列a1,a2−a1,a3−a2,⋯,a n−a n−1的前5项和为9,所以a5=9.因为S10=5a5+a6=100,所以a6=11,所以d=2,a1=1.所以a n=2n−1n∈N+.(2)因为b n=a n+3=2n+222=14n+422=112−12,所以T n=11−1+1−1+1−1+⋯+1−1=11+1−1−1<11+1=5 .18. (1)因为15×1030=5,15×1230=6,15×830=4,所以第2,3,4组愿意选择此款“流量包”套餐的人中,用分层抽样的方法抽取15人,各组分别为5人,6人,4人.(2)设第5组中不愿意选择此款“流量包”套餐人为A,B,C,D,愿意选择此款“流量包”套餐人为a,b,则从6人中选取2人有:AB,AC,AD,Aa,Ab,BC,BD,Ba,Bb,CD,Ca,Cb,Da,Db,ab共15个结果,其中至少有1人愿意选择此款“流量包”Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,Da,Db,ab共9个结果,所以2人中至少有1人愿意选择此款“流量包”套餐的概率P=915=35.(3)2×2列联表:年龄不低于50岁的人数年龄低于50岁的人数合计愿意使用的人数102737不愿意使用的人数10313合计203050所以K2=50×10×3−10×27210+2710+310+1027+3≈9.979>6.635.所以在犯错误不超过1%的前提下认为是否愿意选择此款“流量包”套餐与人的年龄有关.19. (1)连接BE交AD于点O,连接OF,CE∥平面ADF,CE⊂平面BEC,平面ADF∩平面BEC=OF,所以CE∥OF.因为O是BE的中点,所以F是BC的中点.(2)因为BC与平面ABD所成角为30∘,BC=AB=1,所以C到平面ABD的距离为 =BC⋅sin30∘=12.因为AE=2,V A−CDF=V F−ACD=12V B−ACD=12V C−ABD,所以V A−CDF=12⋅13⋅12⋅1⋅2⋅ =112.20. (1)因为ca =12,b2⋅tan60∘2=3,所以b2=3,又1−b2a =14.所以b 2a2=34,所以a2=4.椭圆方程为x 24+y23=1.(2)设l MN:y=k x+4,k≠0,y=k x+4,3x2+4y2=12, 3+4k2x2+32k2x+64k2−12=0,Δ>0,所以k2<14,0<k<12或−12<k<0.设M x1,y1,N x2,y2,x1+x2=32k23+4k ,x1⋅x2=64k2−123+4k,TF1=3.S△MNF1=1×3×y2− y1=3y1−y2=3kx1+4k−kx2−4k=3k ⋅ x1−x2=32k ⋅322k43+4k22−464k2−123+4k2 =18k ⋅1−4k222=18k21−4k23+4k22,令3+4k2=t,t∈3,4,g k=k21−4k23+4k,φt=t−341−t+3t2=t−344−tt2=−t2−7t+12=−141+12t2−7t=−1212−7−1=−312−7−1=−31−72+3×722−1,S△MNF1max =184924×8−14=334,当且仅当k2=328时取到.21. (1)fʹx=1x −ax2=x−ax2.ⅰ)−a≥0时,fʹx>0,即a≤0,f x在0,+∞为增函数,无极值.ⅱ)a>0,0<x<a,fʹx<0,x>a,fʹx>0,f x在0,+∞有极小值,无极大值,f x的极小值f a=ln a+1,f x的单调增区间为a,+∞,单调减区间为0,a.(2)2x ln a−x ln x≤a,2ln a−ln x≤ax,2ln a≤ax+ln x对x>0恒成立由(1)可知,∴2ln a≤ln a+1,ln a≤1,∴0<a≤e.22. (1)l的普通方程为y=x−1,由a=1×cosπ4=22,b=1×sinπ4=22,曲线C圆心的直角坐标为22,22,曲线C的直角坐标方程为 x−222+ y−222=1,由x=ρcosθ,y=ρsinθ,得ρ=2cos θ−π4,所以曲线C的极坐标方程ρ=2cos θ−π4.(2)曲线C圆心的直角坐标为22,22,半径r=1,所以圆心22,22到直线y=x−1的距离为d=22−22−12=22<1,所以l与C是相交,PQ=2 r2−d2=2.23. (1)f x−1<2即x+1−1<2,所以−2<x+1−1<2.所以−1<x+1<3,所以x+1<3,所以−3<x+1<3,所以−4<x<2,所以不等式的解集为−4,2.(2)因为a+b− a−b>2b f x−g x b≠0,a,b∈R的解集非空,所以x+1− x−1< a+b − a−b2 b max,因为 a+b − a−b2 b ≤a+b−a−b2 b=1,所以x+1− x−1<1,所以x<12.。
2017届高三文科数学模拟试卷精彩试题汇编15 含解析
2017届全国各地高三文科数学模拟试卷精彩试题汇编(15)1. (山西省“晋商四校” 2017届高三11月联考数学(文)试题第12题) 已知|a |=2|b |≠0,且关于x 的函数f (x )=13x 3+12|a |x 2+a·bx 在R 上有极值,则a 与b 的夹角范围为( )A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛6,0π B.⎥⎦⎤ ⎝⎛ππ,6 C.⎥⎦⎤ ⎝⎛ππ,3 D.⎥⎦⎤⎝⎛32,3ππ 解:C.2. (河北省景县中学2017届高三上学期摸底考试数学试题第12题) 函数()222)242cos x x xf x x xπ+++=+的最大值为M ,最小值为N 则有( )A.M-N=4 B. M-N=2 C. M+N=4 D. M+N=2 解:D.3. (河南名校联盟2017届高三11月数学(文)第8题)已知函数()f x 是R 上的单调函数,且对任意实数x 都有()21213xf f x ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭,则2(log 3)f =( )A .1 B .45C.12D .0 解:C.4. (湖南省长株潭岳益五市十校2017届高三12月联考数学(文)试题第11题) 圆锥的母线长为L ,过顶点的最大截面的面积为212L ,则圆锥底面半径与母线长的比rL的取值范围是( )A . 102r L << B .112rL≤< C . 202r L << D .21rL≤< 解:D.5. (江西省2017届高三第二次联考测试数学(文)试题第12题)已知定义在R 上函数()f x 的导函数为()'f x ,且()()21'xx f x f x e-+=,若()00f =,则函数()f x 的单调减区间为 ( )A . 35,2⎛⎫--∞ ⎪ ⎪⎝⎭和35,2⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭ B .3535,22⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭ C. (),35-∞-和 ()35,++∞ D .()35,35-+ 解:A.6. (数学(文)卷·2017届福建省福州市第八中学高三上学期第三次质量检查第12题)已知边长为3的正方形ABCD 与正方形CDEF 所在的平面互相垂直,M 为线段CD 上的动点(不含端点),过M 作//MH DE 交CE 于H ,作//MG AD 交BD 于G ,连结GH .设CM x =(03)x <<,则下面四个图象中大致描绘了三棱锥C GHM -的体积y 与变量x 变化关系的是( )解:A.7. (数学(文)卷·2017届广东省潮阳市黄图盛中学高三上学期期中考试试题第12题)已知函数22,0,()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩,若()1f x ax ≥-,则a 的取值范围是( )A. []2,0-B. []2,1-C. []4,0-D. []4,1- 解:C.8. (数学(文)卷·2017届河北省承德实验中学高三上学期期中考试试题第12题)对于数列{x n },若对任意n ∈N *,都有212n n n x x x +++<成立,则称数列{x n }为“减差数列”.设1122n n tn b t --=-,若数列b 3,b 4,b 5,…是“减差数列”,则实数t 的取值范围是( ) A .(-1,+∞) B .(-∞,-1] C .(1,+∞) D .(-∞,1] 解:C.9. (数学(文)卷·2017届江西省吉安县第三中学高三上学期期中考试试题第9题)已知a b >,二次三项式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立,又0x R ∃∈,使20020ax x b ++=成立,)A .1 B .2 D 解:D.10. (数学(文)卷·2017届江西省吉安县第三中学高三上学期期中考试试题第12题)设奇函数)(x f 在R 上存在导数)('x f ,且在),0(+∞上2')(x x f <,若则实数m 的取值范围为( )AB 解:B.11. (数学文卷·2017届广西桂林市桂林中学高三11月月考第12题)已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,当0≥x 时,)3|2||(|21)(222a a x a x x f --+-=,若R ∈∀x ,)()1(x f x f ≤-,则实数a 的取值范围为( )A.]61,61[- B.]66,66[-C. ]31,31[- D. ]33,33[- 解:B.12. (数学文卷·2017届河北武邑中学高三上学期期中考试第11题)已知边长为的菱形ABCD 中,060A ∠=,现沿对角线BD 折起,使得二面角A BD C --为120°,此时点,,,A B C D 在同一个球面上,则该球的表面积为( )A .20π B .24π C .28πD .32π 解:C.13. (数学文卷·2017届江西省九江市十校高三第一次联考第6题)已知等比数列{}n a 的首项为1a ,公比为q ,满足1()10a q -<且0q >,则( ) A.{}n a 的各项均为正数 B.{}n a 的各项均为负数C.{}n a 为递增数列D.{}n a 为递减数列14. (河北省景县中学2017届高三上学期摸底考试数学试题第16题)对于函数y=f (x ),若存在区间,当x ∈时的值域为 (k >0),则称y=f (x )为k 倍值函数,若f (x )=lnx+2x 是k 倍值函数,则实数k 的取值范围是 .解:12,2+e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 15. (辽宁省辽师大附中2017届高三上学期期中考试试题 数学(文)第16题)已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率32e =,,A B 是椭圆的左、右顶点,P 是椭圆上不同于,A B的一点,直线,PA PB 斜倾角分别为,αβ,则|tan tan |αβ-的最小值为 . 解:1.16. (山东省桓台第二中学2017届高三12月摸底考试数学( 文)试题第14题)已知球的直径4PC =,,A B 在球面上,2AB =,45CPA CPB ∠=∠=︒, 则棱锥P ABC - 的体积为______解:33417. (数学文卷·2017届福建省福州市第八中学高三上学期第一次质量检查第16题)若函数m xxx f -+=1)(有零点,则实数m 的取值范围是 . 解:)1,1(-18. (数学文卷·2017届海南省海口一中高三10月月考第16题)已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面,所有棱长都相等,若该三棱柱的顶点都在球O 的表面上,且三棱柱的体积为94,则球O 的表面积为 . 解:7π19. (湖南省长株潭岳益五市十校2017届高三12月联考数学(文)试题第21题)已知函数x ax x x f +-=221ln )(,R a ∈.(1)当0=a 时,求函数)x f (在))1(,1(f 处的切线方程; (2)令)1()()(--=ax x f x g ,求函数)(x g 的极值;(3)若2-=a ,正实数21,x x 满足0)()(2121=++x x x f x f ,证明:21521-≥+x x . 解:(1)当0=a 时,xx x f +=ln )(,则1)1(=f ,所以切点为)1,1(,又11('+=x x f ),则切线斜率21('==)f k ,故切线方程为)1(21-=-x y ,即012=--y x . (2)1)1(21ln )1()()(2+-+-=--=x a ax x ax x f x g ,则x x a ax a ax x x g 1)1()1(1)('2+-+-=-+-=, 当0≤a 时,∵0>x ,∴0)('>x g .∴)(x g 在),0(+∞上是递增函数,函数)(x g 无极值点,当0>a 时,x x a x a x x a ax x g )1)(1(1)1()('2+--=+-+-=,令0)('=x g 得a x 1=.∴当)1,0(a x ∈时,0)('>x g ;当),1(+∞∈a x 时,0)('<x g .因此)(x g 在)1,0(a 上是增函数,在),1(+∞a 上是减函数. ∴a x 1=时,)(x g 有极大值aa a a a a a a g ln 2111)1(121ln )1(2-=+⋅-+⨯-=.综上,当0≤a 时,函数)(x g 无极值;当0>a 时,函数)(x g 有极大值aa ln 21-20. (数学(文)卷·2017届江西省吉安县第三中学高三上学期期中考试试题第20题)如图1,有一建筑物OP ,为了测量它的高度,在地面上选一基线AB ,设其长度为d ,在点A 处测得P 点的仰角为α,在点B 处测得P 点的仰角为β.(1)若40=AB , 030=α,045=β,且030=∠AOB ,求建筑物的高度h ;βαOABP(2)经分析若干测得的数据后,发现将基线AB 调整到线段AO 上(如图2),α与β之差尽量大时,可以提高测量精确度,设调整后AB 的距离为d ,d4tan =β,建筑物的实际高度为21,试问d 为何值时,αβ-最大?21. (数学(文)卷·2017届四川省成都市龙泉驿区第一中学校高三上学期期中考试试题第23题)在平面直角坐标系中,定义点、之间的直角距离为,点,,(1)若,求的取值范围;αβAOPB(2)当时,不等式恒成立,求t 的最小值. 解:(1)由定义得,即,两边平方得,解得;(2)当时,不等式恒成立,也就是恒成立,法一:函数 令,所以,要使原不等式恒成立只要即可,故.法二:三角不等式性质 因为,所以,.22. (数学卷·2017届河北省定州中学高三上学期期中考试第21题)在单调递增数列{}n a 中,122,4a a ==,且21221,,n n n a a a -+成等差数列,22122,n n n a a a ++ 成等比数列,1,2,3,...n =.(1)①求证:数列{}2n a 为等差数列;②求数列{}n a 通项公式;(2)设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ,证明:()4,33nn S n N n *>∈+. 解:(1)①因为数列{}n a 单调递增数列,()120,0n a a n N *=>∴>∈, 由题意 21221,,n n n a a a -+成等差数列,22122,n n n a a a ++ 成等比数列1,2,3,...n =得.222121212222,2n n n n n n a a a a a a -+++=+=,于是222222222n n n n n a a a a a -+=化简得222222n n n a a a -+=所以数列{}2na 为等差数列.②又233214226,9a a a a a a =-===,所以数列{}2na 22a =,公差为4221,1n d a a a n ==∴=+,从而()221n a n =+.结合221222n n na a a --=可得()211n a n n -=+,因此,当n 为偶数时()2124n a n =+,当n 为奇数时()()134n n n a ++=.23. (数学文卷·2017届高河北省石家庄二中高三上学期联考第23题)已知函数22()8161025f x x x x x =+++-+.(1)求不等式()(4)f x f ≥-的解集;(2)设函数()(5)g x k x =-,k R ∈,若()()f x g x >对任意x R ∈都成立,求k 的取值范围.解:(1)|5||4|2510168)(22-++=+-+++=x x x x x x x f ∴()f x ≥)4(-f 即|5||4|-++x x 9≥∴⎩⎨⎧≥+----≤9544x x x ,解得4-≤x ;或⎩⎨⎧≥+-+≤<-95454x x x ,解得54≤<-x ;或⎩⎨⎧≥-++>9545x x x ,解得5>x ,所以()(4)f x f ≥的解集为R .(2)()()f x g x >即|5||4|)(-++=x x x f 的图象恒在()(5)=-g x k x 图象的上方由⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<--≤+-=-++=5,1254,94,12|5||4|)(x x x x x x x x f)5()(-=x k x g 图象为恒过定点)0,5(P 且斜率k 变化的一条直线,作函数(),()y f x y g x ==图象如图,其中2PB k =,(4,9)-A ,∴1PA k =-,由图可知,要使得()f x 的图象恒在()g x 图象的上方,∴实数k 的取值范围为12k -<≤.。
【全国校级联考】山西省名校2017届高三9月联考文数(原卷版)
山西高三名校联考数学试卷(文科)第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.1.设集合2{|20}M x x x =->,集合{0,1,2,3,4}N =,则()R C M N 等于( )A .{4}B .{3,4}C .{0,1,2}D .{0,1,2,3,4} 2.已知函数2ln ,0()1,0x x f x x x ->⎧=⎨+<⎩,则[()]f f e 的值为( ) A .2 B .3 C .4 D .53.若函数()f x 的导函数的图象关于y 轴对称,则()f x 的解析式可能为( )A .()3cos f x x =B .32()f x x x =+C .()1sin 2f x x =+D .()x f x e x =+4.已知2a x =,则命题:“(0,)y ∃∈+∞,1xy =”的否定为( )A .(0,)y ∀∈+∞,1xy ≠B .(,0)y ∀∈-∞,1xy =C. (0,)y ∃∈+∞,1xy ≠D .(,0)y ∃∈-∞,1xy =5.设函数()lg(1)f x x =-,则函数(())f f x 的定义域为( )A .(9,)-+∞B .(9,1)-C .[9,)-+∞D .[9,1)-6.已知集合{|21}x A x =>,集合{|}B x x m =>,则“0m >”是 “A B A = ”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件7.曲线31()(0)f x x x x=->上一动点00(,())P x f x 处的切线斜率的最小值为( )A B .3 C . D .68.若函数20.2()log (54)f x x x =+-在区间(1,1)a a -+上递减,且lg 0.2b =,0.22c =,则( )A .c b a <<B .b c a <<C .a b c <<D .b a c <<9.函数22()(44)log x x f x x -=-的图象大致为( )A .B .C .D .10.函数3()3||1(1)f x x x x =-+≤的零点所在区间为( ) A .11(,)34--和1(,1)2 B .11(,)23--和11(,)32C .11(,)23--和1(,1)2D .11(,)34--和11(,)32 11.旅行社为去广西桂林的某旅游团包飞机去旅游,其中旅行社的包机费为10000元,旅游团中的每人的飞机票按以下方式与旅行社结算:若旅游团的人数在20或20以下,飞机票每人收费800元;若旅游团的人数多于20,则实行优惠方案,每多一人,机票费每张减少10元,但旅游团的人数最多为75,则该旅行社可获得利润的最大值为( )A .12000元B .12500元C .15000元D .20000元12.设函数1()421x x f x +=-+-,2()lg(41)g x ax x =-+,若对任意1x R ∈,都存在2x R ∈,使12()()f x g x =,则实数a 的取值范围为( )A .(0,4]B .(,4]-∞C .(4,0]-D .[4,)+∞第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.设命题:p 若||2x >,则2x <-或2x >.那么p 的逆否命题为__________.14.若函数1()33x x f x m +-=+ 为R 上的奇函数,则()3m f 的值为________. 15.若2()4()log (3)f x f x x +-=+,则(1)f =__________.16.设函数()ln ,0()22,0x a x x f x ax a x +>⎧=⎨++≤⎩,且'(1)'(1)f f -=,则当0x >时,()f x 的导函数'()f x 的极小值为__________. 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(本小题满分10分)已知函数221,0(),0x x f x m x x -⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩,给出下列两个命题: 命题:p 若9m =,则((1))0f f -=.命题:q (,0)m ∃∈-∞,方程()f x m =有解.(1)判断命题p 、命题q 的真假,并说明理由;(2)判断命题p ⌝、p q ∧、p q ∨、()p q ∧⌝的真假.18. (本小题满分12分) 设函数()ln a f x x a x=++为定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的奇函数. (1)求实数a 的值;(2)判断函数()f x 在区间(1,)+∞上的单调性,并用定义法加以证明.19.(本小题满分12分)已知函数3()95f x x x =-+.(1)求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线与坐标轴围成三角形的面积;(2)求()f x 的单调区间和极值.20. (本小题满分12分)已知集合{|2}A x m x m =<<,{|B x y ==,{|2C y y x ==. (1)若3log 1m =,求A B ;(2)若()A B C ≠∅ ,求m 的取值范围.21. (本小题满分12分)已知函数()f x 满足21(1)(3)3f x x f +=-. (1)设|1|()()3x g x f x -=+,求()g x 在[0,3]上的值域;(2)当1(2,)2x ∈--时,不等式2()4(2)()f a a a f x +<+恒成立,求a 的取值范围.22.(本小题满分12分) 已知曲线21()(0,0)f x e x x a ax=+≠≠在1x =处的切线与直线2(1)20160e x y --+=平行. (1)讨论()y f x =的单调性;(2)若()ln kf s t t ≥在(0,)s ∈+∞,(1,]t e ∈上恒成立,求实数k 的取值范围.:。
山西省五校2017届高三第五次联考数学试题(理)含答案
2016—2017年度第五次五校联考数学试卷(理科)第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要求.1.已知,a b R ∈,若3234bi i a i--=+,则a b +等于 A.9- B.5 C.13 D. 92.已知集合{}{}2|450,|42x m A x Z x x B x =∈--<=>,若A B 有三个元素,则实数m 的取值范围是A. [)3,6B. [)1,2C.[)2,4D.(]2,43.已知向量()()2,2sin ,3cos ,1,sin 23a m b θθθ==-=,若//a b ,则实数m 的值为 A. -4 B. -2 C. 2 D. 44.已知随机变量X 满足正态分布()72,4N ,则()7076P X X <>或等于[附:()()0.6826,220.9544P X P X μσμσμσμσ-<<+=-<<+=]A. 0.1815B.0.3174C. 0.4772D.0.8185 5.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点为F ,右顶为A,过F 且与x 轴垂直的直线交双曲线于B,C 两点,若ABC ∆为直角三角形,则双曲线的离心率为D. 26.我国古代数学名著《九章算术》有这样的问题“今有垣厚五尺,两鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠亦一尺.大鼠日自倍,小鼠日自半.问几何日相逢,各穿几何?”意思是“今有一堵墙厚5尺,两只老鼠相向打洞窗墙.大老鼠第一天打洞1 尺,小老鼠第一天也打洞1尺.以后大鼠每天穿墙尺数是前一天的2倍,小老鼠每天穿墙尺数是前一天的12,问大、小老鼠几天后相遇?”若将题中条件“墙厚5尺”和“大鼠每天穿墙尺数是前一天的2倍”分别改为“墙厚10尺”和“大鼠每天穿墙尺数是前一天的32”,问在第几天会出现“大鼠穿墙总尺数是小鼠穿墙总尺数的4倍”情况A. 3B. 4C. 5D. 67.执行如图所示的程序框图,则下列说法正确的是A. ()2,4a ∀∈,输出i 的值为5B. ()4,5a ∃∈,输出i 的值为5C. ()3,4a ∀∈,输出i 的值为5D. ()2,4a ∃∈,输出i 的值为58.某几何体的三视图如下图所示,则该几何体的外接球的表面积为A.13πB. 16πC.17πD.21π9.将函数()2cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移4π个单位得到()g x 的图象,记函数()g x 在区间,4t t π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦内的最大值为t M ,最小值为t m ,设函数()t t h t M m =-,若,42t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则函数()h t 的最小值为1 B. 2110.已知不等式322x e exx x b ex ++-≤对(]0,1x ∀恒成立,b 则实数的取值范围是A. [)1,+∞B. [)1,-+∞C.[]1,1-D.(],1-∞-11.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ,点(00,2p M x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭是抛物线C 上一点,圆M 与线段MF 相交于点A,且被直线2px =MA ,若2MAAF =,则AF等于A.1B. 2C. 3D.412.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ,当2n ≥时,()211n n n n a S S S ---=且11a =,设12log 3n n a b +=,则12341n b b b n +++++的最小值为A. 8B. 9C. 10D. 12第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.()531x ⎛+ ⎝的展开式中常数项为 . 14.若实数,x y 满足不等式组20240250x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩,且()()321x a y -++的最大值为5,则a = .15.已知函数()f x 为偶函数,当0x ≥时,()f x 是减函数,则不等式()()22log 23log 3f x f ->⎡⎤⎣⎦的解集为 .16.在长方体1111ABCD A B C D -中,底面ABCD的正方形,13,AA E =是1AA 的中点,过1C 作1C F ⊥平面BDE 与平面11ABB A 交于点F ,则CF 与平面ABCD 所成角的正切值为 .三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.(本题满分12分)在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且2cos cos 3.ac B bc A b -=(1)求sin sin A B的值; (2)若C角为锐角,3c C ==,求ABC ∆的面积.18.(本题满分12分)如图,在多面体ABCDPE 中,四边形ABCD 和CDPE 都是直角梯形,//,//,,AB DC PE DC AD DC PD ⊥⊥平面ABCD ,2,AB PD DA PE F ===是CE 的中点.(1)求证://BF 平面ADP ;(2)求二面角B DF P --的余弦值.19.(本题满分12分)中学阶段是学生身体发育总重要的阶段,长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康,某校为了解甲、乙两个班每周自我熬夜学习的总时长(单位:小时)分别从这两个班中随机抽取了6名同学进一步调查,将他们最近一周自我熬夜学习的总时长作为样本数据,绘制成茎叶图如图所示(图中的茎表示十位数,叶表示个位数).如果学生平均每周自我熬夜学习的总时长超过21小时,则称为“过度熬夜”.(1)请根据样本数据,估计甲、乙两班的学生平均每周自我熬夜学习时长的平均值;(2)从甲班的样本数据中有放回地抽取2个数据,求恰有1个数据为“过度熬夜”的概率;(3)从甲班、乙班的样本中各随机抽取2名学生的数据,记“过度熬夜”的学生人数为X ,写出X 的分布列和数学期望.20.(本题满分12分)已知右焦点为()2,0F c 的椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭,且椭圆C 关于直线x c =对称的图形过坐标原点. (1)求椭圆C 的方程;(2)过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭作直线l 与椭圆C 交于E,F 两点,线段EF 的中点为M,点A 是椭圆C 的右顶点,求直线MA 的斜率k 的取值范围.21.(本题满分12分)已知函数()ln ,.1ax f x x x R x =-∈+ (1)若()2001,,0x e f x e ⎡⎤∃∈<⎢⎥⎣⎦,求a 的取值范围; (2)当0a =时,函数()()22g x f x x kx =--,设()1212,0x x x x <<是函数()0g x =的两个根,m 是12,x x 的等差中项,求证:()0g m '<(()g x '是函数()g x 的导函数).请考生在第22、23两题中任选一题作答,如果两题都做,则按照所做的第一题给分;作答时,请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。
2016-2017年山西省临汾一中、忻州一中等五校联考高二(上)期末数学试卷(文科)及答案
2016-2017学年山西省临汾一中、忻州一中、长治二中等五校联考高二(上)期末数学试卷(文科)一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.(5分)命题:“若>1,则lnx>0”的否命题为()A.若>1,则lnx≤0B.若≤1,则lnx>0C.若≤1,则lnx≤0D.若lnx>0,则>12.(5分)函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的极大值点为()A.B.1C.1.7D.2.73.(5分)若双曲线﹣=1(m>1)的虚轴长为6,则此双曲线的渐近线方程为()A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x 4.(5分)“a<﹣1”是“直线ax+2y﹣1=0的斜率大于1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.(5分)从区间(0,2)上任取一个实数m,则直线x﹣y=0与圆(x﹣1)2+y2=m(m>0)相交的概率为()A.B.C.D.6.(5分)执行如图的程序框图,若输入的x的值为29,则输出的n的值为()A.1B.2C.3D.47.(5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若bcosA+acosB=c2,且a=,b=,则cosB等于()A.B.C.D.8.(5分)已知P为抛物线y=x2上的动点,A(0,),B(1,2),则|PA|+|PB|的最小值为()A.B.C.D.9.(5分)设命题p:若2m+n=2,则双曲线﹣=1的焦距的最小值为6,命题q:若一圆柱存在的内切球,则此圆柱的表面积与内切球的表面积之比恰好等于圆柱的体积与内切球的体积之比,那么,下列命题为真命题的是()A.p∧q B.(¬p)∧q C.p∧(¬q)D.(¬p)∧(¬q)10.(5分)如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为()A.6B.9C.12D.1811.(5分)若抛物线y2=4x上仅存在3个不同的点到直线x﹣y+m=0的距离为,则m的值为()A.1B.﹣1C.﹣2或3D.﹣1或3 12.(5分)函数f(x)=a|x2﹣1|+x(x2﹣4)(a>0)在(﹣1,+∞)上()A.零点的个数为1B.零点的个数为2C.零点的个数为3D.零点的个数与a的值有关二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)13.(5分)若tanα=2,tanβ=6,则tan(α﹣β)=.14.(5分)已知变量x,y满足约束条件,则z=3x+y的最大值为.15.(5分)定义在R上的偶函数f(x)满足,当x<0时,f(x)=,则曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线的斜率为.16.(5分)已知点M(﹣lna,0),N(lna,0),其中a>1,若圆C:x2+(y﹣2)2=1上不存在点P,使得∠MPN=90°,则实数a的取值范围是.三、解答题(共6小题,满分70分)17.(10分)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且asinB=﹣bcos (B+C)(1)求角A的大小(2)若a=,c=3,求△ABC的面积.18.(12分)已知S n为正项等比数列{a n}的前n项和,且S2=4,S3=13.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设T n为数列{2n﹣1}的前n项和,比较2S10与T243的大小(3)设b n=,求证:b1+b2+…+b n.19.(12分)已知函数f(x)=.(1)求函数f(x)的图象在点(﹣3,f(﹣3))处的切线方程;(2)若函数f(x)的图象与直线y=m恰有2个不同的交点,求实数m的取值范围.20.(12分)如图,直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为正三角形,E、F、G分别是BC、CC1、BB1的中点.(1)若BC=BB1,求证:BC1⊥平面AEG;(2)若D为AB中点,∠CA1D=45°,四棱锥C﹣A1B1BD的体积为,求三棱锥F﹣AEC的表面积.21.(12分)已知椭圆C:+=1(a>b>1)的焦距为2,过短轴的一个端点与两个焦点的圆的面积为π,过椭圆C的右焦点作斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C相交于A、B两点,线段AB的中点为P.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过点P垂直于AB的直线与x轴交于点D,且|DP|=,求k的值.22.(12分)已知函数f(x)=x﹣alnx+a﹣1(a>0),g(x)=x(x2﹣16)+x2(x ﹣lnx)+.(1)讨论函数f(x)在(,+∞)上的单调区间;(2)求证:g(x)>﹣20.2016-2017学年山西省临汾一中、忻州一中、长治二中等五校联考高二(上)期末数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.(5分)命题:“若>1,则lnx>0”的否命题为()A.若>1,则lnx≤0B.若≤1,则lnx>0C.若≤1,则lnx≤0D.若lnx>0,则>1【分析】根据已知中的原命题,结合否命题的定义,可得答案.【解答】解:命题:“若>1,则lnx>0”的否命题为命题:“若≤1,则lnx ≤0”,故选:C.【点评】本题考查的知识点是四种命题,难度不大,属于基础题.2.(5分)函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的极大值点为()A.B.1C.1.7D.2.7【分析】利用函数的图象,判断函数的极值,推出结果即可.【解答】解:由图可知f(x)在(1,1.7)上递增,在(1.7,2)上递减,∴f(x)的极大值点为1.7.故选:C.【点评】本题考查函数的图象的判断与应用,是基础题.3.(5分)若双曲线﹣=1(m>1)的虚轴长为6,则此双曲线的渐近线方程为()A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x【分析】根据题意,由于双曲线的虚轴长为6,分析可得2=6,解可得m的值,即可得双曲线的标准方程,由此计算可得答案.【解答】解:根据题意,双曲线﹣=1(m>1)的虚轴长为6,则有2=6,解可得m=9,则双曲线的方程为:﹣=1,其中a==2,b=3,则其渐近线方程为:y=±x;故选:D.【点评】本题考查双曲线的标准方程,关键是求出m的值.4.(5分)“a<﹣1”是“直线ax+2y﹣1=0的斜率大于1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【分析】而由直线的斜率求出a的范围,进而由充要条件的判断可得答案.【解答】解:若直线ax+2y﹣1=0的斜率大于1,则﹣>1,解得a<﹣2,故“a<﹣1”是“直线ax+2y﹣1=0的斜率大于1的必要不充分条件,故选:B.【点评】本题为充要条件的判断,涉及直线的斜率,属基础题.5.(5分)从区间(0,2)上任取一个实数m,则直线x﹣y=0与圆(x﹣1)2+y2=m(m>0)相交的概率为()A.B.C.D.【分析】求出圆心到直线x﹣y=0的距离d<r时m的取值范围,再用几何概型的概率公式计算即可.【解答】解:根据题意,圆(x﹣1)2+y2=m(m>0)的圆心C(1,0),半径r=;则圆心到直线x﹣y=0的距离为d==<,解得m>;∴直线x﹣y=0与圆(x﹣1)2+y2=m(m>0)相交的概率为:P==.故选:A.【点评】本题考查了点到直线的距离公式以及几何概型的概率计算问题,是基础题.6.(5分)执行如图的程序框图,若输入的x的值为29,则输出的n的值为()A.1B.2C.3D.4【分析】由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.【解答】解:模拟程序的运行,可得x=29,n=0满足条件log<5,执行循环体,x=29+2=31,n=1满足条件log<5,执行循环体,x=31+2=33,n=2不满足条件log<5,退出循环,输出n的值为2.故选:B.【点评】本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确的结论,是基础题.7.(5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若bcosA+acosB=c2,且a=,b=,则cosB等于()A.B.C.D.【分析】由已知等式利用余弦定理可求c的值,进而根据余弦定理即可得解cosB 的值.【解答】解:∵bcosA+acosB=c2,且a=,b=,∴由余弦定理可得:b×+a×=c2,整理可得:c=1,又∵a=,b=,∴由余弦定理可得:cosB===.故选:C.【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题.8.(5分)已知P为抛物线y=x2上的动点,A(0,),B(1,2),则|PA|+|PB|的最小值为()A.B.C.D.【分析】设点P在准线上的射影为D,则根据抛物线的定义可知|PA|=|PD|进而把问题转化为求|PD|+|PB|取得最小,进而可推断出当D,P,B三点共线时|PD|+|PB|最小,答案可得.【解答】解:P为抛物线y=x2上的动点,则p=,故它的焦点为A(,0),设点P在准线上的射影为D,则根据抛物线的定义可知|PA|=|PD|∴要求|PA|+|PB|取得最小值,即求|PB|+|PD|取得最小当D,P,B三点共线时|PD|+|PB|最小,为2﹣(﹣)=故选:C.【点评】本题考查椭圆的定义、标准方程,以及简单性质的应用,判断当D,P,B三点共线时|PD|+|PB|最小,是解题的关键.9.(5分)设命题p:若2m+n=2,则双曲线﹣=1的焦距的最小值为6,命题q:若一圆柱存在的内切球,则此圆柱的表面积与内切球的表面积之比恰好等于圆柱的体积与内切球的体积之比,那么,下列命题为真命题的是()A.p∧q B.(¬p)∧q C.p∧(¬q)D.(¬p)∧(¬q)【分析】根据双曲线的定义和基本不等式判断命题p,设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,高为2R,由此能求出结果,判断命题q的真假,再根据复合命题的真假.【解答】解:双曲线的焦距为2c,2≥2=2=6,当且仅当m=n,n=1时取等号,故命题p为真命题设设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,高为2R,∴V圆柱=πR2×2R=2πR3,V球=πR3.∴==,S圆柱=2πR×2R+2×πR2=6πR2,S球=4πR2.∴==.∴命题q:为真命题∴p∧q为真命题,故选:A.【点评】本题考查了命题的真假的判断,以及双曲线,基本不等式,圆柱,球的体积和表面积,属于中档题.10.(5分)如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为()A.6B.9C.12D.18【分析】由已知中的三视图可得:该几何体是两个三棱柱形成的组合体,进而可得答案.【解答】解:由已知中的三视图可得:该几何体是两个三棱柱形成的组合体,下部的三棱柱,底面面积为:×4×3=6,高为1,体积为:6;上部的三棱柱,底面面积为:×2×3=3,高为1,体积为:3;故组合体的体积V=6+3=9,故选:B.【点评】本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积,简单几何体的三视图,难度中档.11.(5分)若抛物线y2=4x上仅存在3个不同的点到直线x﹣y+m=0的距离为,则m的值为()A.1B.﹣1C.﹣2或3D.﹣1或3【分析】到直线x﹣y+m=0的距离为的点的轨迹为两条平行直线x﹣y+m±2=0,当这两条直线一条与抛物线与抛物线相切时,令一条与抛物线相交时满足题意,联立方程组,求出m的值,再讨论即可求出【解答】解:到直线x﹣y+m=0的距离为的点的轨迹为两条平行直线x﹣y+m ±2=0,当这两条直线一条与抛物线与抛物线相切时,令一条与抛物线相交时满足题意,将x﹣y+m±2=0与y2=4x联立得y2﹣4y+4m±8=0,由△=0,即16﹣4(4m±8)=0,可得m=﹣1,3,当m=3时,两条平行线y+m±2=0一条与抛物线相切,另一条与抛物线相离,当m=﹣1时,两条平行线y+m±2=0一条与抛物线相切,另一条与抛物线相交,故选:B.【点评】本题考查了直线和抛物线的位置关系,考查了转化能力和运算能力,属于中档题.12.(5分)函数f(x)=a|x2﹣1|+x(x2﹣4)(a>0)在(﹣1,+∞)上()A.零点的个数为1B.零点的个数为2C.零点的个数为3D.零点的个数与a的值有关【分析】转化方程,构造函数,画出函数的图象,即可判断函数的零点个数.【解答】解:函数f(x)=a|x2﹣1|+x(x2﹣4)的零点个数,就是方程a|x2﹣1|+x(x2﹣4)=0解的个数,即a|x2﹣1|=﹣x(x2﹣4)解的个数,也就是y=a|x2﹣1|(a>0)在(﹣1,+∞)上,y=﹣x(x2﹣4)图象交点的个数,如图:可知函数的零点有两个.故选:B.【点评】本题考查函数的零点个数的判断考查计算能力以及数形结合思想的应用.二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)13.(5分)若tanα=2,tanβ=6,则tan(α﹣β)=﹣.【分析】由已知利用两角差的正切函数公式即可计算得解.【解答】解:∵tanα=2,tanβ=6,∴tan(α﹣β)===﹣.故答案为:﹣.【点评】本题主要考查了两角差的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用,考查了计算能力,只要熟练掌握相关公式就可以正确的解答,属于基础题.14.(5分)已知变量x,y满足约束条件,则z=3x+y的最大值为18.【分析】作出不等式组对应的平面区域,根据z的几何意义,利用数形结合即可得到最大值.【解答】解:约束条件,对应的平面区域如图:由z=3x+y得y=﹣3x+z,平移直线y=﹣3x+z,则由图象可知当直线y=﹣3x+z经过点A时直线y=﹣3x+z的截距最大,此时z最大,由得A(,4),此时z=3×+4=18,故答案为:18.【点评】本题主要考查线性规划的应用,根据z的几何意义,利用数形结合是解决本题的关键.15.(5分)定义在R上的偶函数f(x)满足,当x<0时,f(x)=,则曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线的斜率为.【分析】设x>0,则f(x)=f(﹣x)==,再求导数,即可得出结论.【解答】解:设x>0,则f(x)=f(﹣x)==,∴x>0,f′(x)=,∴f′(2)=,故答案为.【点评】本题考查导数知识的运用,考查导数的几何意义,考查偶函数的性质,属于中档题.16.(5分)已知点M(﹣lna,0),N(lna,0),其中a>1,若圆C:x2+(y﹣2)2=1上不存在点P,使得∠MPN=90°,则实数a的取值范围是(1,e)∪(e3,+∞).【分析】首先将问题转化为两圆的位置关系的问题,然后结合圆的位置关系得到关于实数a的不等式,求解不等式即可求得最终结果.【解答】解:设以MN位直径的圆为圆O:x2+y2=(lna)2,由题意可得:圆O 与圆C外离或内含(圆C在圆O内部),据此有:lna+1<2或lna﹣1>2,即:0<lna<1或lna>3,求解不等式可得实数a的取值范围是:(1,e)∪(e3,+∞).故答案为:(1,e)∪(e3,+∞).【点评】本题考查圆与圆的位置关系,对数不等式的解法,转化的思想等,重点考查学生对基础概念的理解和计算能力,属于中等题.三、解答题(共6小题,满分70分)17.(10分)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且asinB=﹣bcos (B+C)(1)求角A的大小(2)若a=,c=3,求△ABC的面积.【分析】(1)利用正弦定理,边化角,即可求出角A的大小;(2)根据a=,c=3,A已知,利用余弦定理求出b,结合△ABC的面积S=bcsinA 可得答案.【解答】解:(1)∵asinB=﹣bcos(B+C)由正弦定理:可得sinAsinB=sinBcosA.∵0<B<π,sinB≠0∴sinA=cosA.即tanA=,∵0<A<π,∴A=(2)∵a=,c=3,A=,由余弦定理:可得a2=b2+c2﹣2bccosA即13=b2+9﹣3b,解得:b=4.∴△ABC的面积S=bcsinA=3.【点评】本题考查了正余弦定理的灵活运用和计算能力.三角形内角和定理的计算.属于基础题.18.(12分)已知S n为正项等比数列{a n}的前n项和,且S2=4,S3=13.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设T n为数列{2n﹣1}的前n项和,比较2S10与T243的大小(3)设b n=,求证:b1+b2+…+b n.【分析】(1)设正项等比数列{a n}的公比为q>0,由S2=4,S3=13.可得a3=S3﹣S2=9,S2=+=4,解得q.即可得出.(2)T n=n2.由(1)可得:S n=.即可比较出2S10与T243的大小关系.(3)b n===﹣,利用裂项求和方法与数列的单调性即可证明.【解答】(1)解:设正项等比数列{a n}的公比为q>0,∵S2=4,S3=13.∴a3=S3﹣S2=13﹣4=9,∴S2=+=4,化为:4q2﹣9q﹣9=0,q>0,解得q=3.∴a n==9×3n﹣3=3n﹣1.(2)解:T n==n2.由(1)可得:S n==.∴S10=.T243=2432=310.∴2S10=310﹣1<310=T243.∴2S10<T243.(3)证明:b n===﹣,∴b1+b2+…+b n=++…+=﹣<.【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法与数列的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.19.(12分)已知函数f(x)=.(1)求函数f(x)的图象在点(﹣3,f(﹣3))处的切线方程;(2)若函数f(x)的图象与直线y=m恰有2个不同的交点,求实数m的取值范围.【分析】(1)求出x≤1时的导函数,可得f′(﹣3),再求出f(﹣3),由直线方程的点斜式得答案;(2)画出函数f(x)的图象,数形结合得答案.【解答】解:(1)当x≤1时,f(x)=x3﹣3x,f′(x)=3x2﹣3,∴f′(﹣3)=24,又f(﹣3)=﹣18,∴函数f(x)的图象在点(﹣3,f(﹣3))处的切线方程为y+18=24(x+3),即y=24x+54;(2)当x≤1时,令f′(x)=3x2﹣3<0,解得﹣1<x<1,令f′(x)=3x2﹣3>0,解得x<﹣1.∴f(x)在(﹣∞,﹣1)上单调递增,在(﹣1,1)上单调递减,∴f(x)的极大值为f(﹣1)=2;由当x>1时,f(x)=1﹣lgx单调递减,且f(1)=﹣2,1﹣lg1=1.结合图象可得,当m∈(﹣∞,﹣2)∪[1,2)时,函数f(x)的图象与直线y=m恰有2个不同的交点.故m∈(﹣∞,﹣2)∪[1,2).【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,考查函数零点的判定方法,是中档题.20.(12分)如图,直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为正三角形,E、F、G分别是BC、CC1、BB1的中点.(1)若BC=BB1,求证:BC1⊥平面AEG;(2)若D为AB中点,∠CA1D=45°,四棱锥C﹣A1B1BD的体积为,求三棱锥F﹣AEC的表面积.【分析】(1)证明AE⊥平面B1BCC1,则AE⊥BC1,证明BC1⊥GE,因为GE∩AE=E,所以BC1⊥平面AEG;(2)证明CD⊥平面A1ABB1,所以CD⊥A1D,利用条件求出AB,即可求三棱锥F﹣AEC的表面积.【解答】(1)证明:如图,因为三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,所以AE⊥BB1,又E是正三角形ABC的边BC的中点,所以AE⊥BC,又BC∩BB1=B,所以AE⊥平面B1BCC1,则AE⊥BC1,…(3分)连接B1C,易知四边形B1BCC1为正方形,则BC1⊥B1C,又GE∥B1C,则BC1⊥GE,因为GE∩AE=E,所以BC1⊥平面AEG.…(6分)(2)解:因为△ABC是正三角形,所以CD⊥AB,又三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,所以CD⊥AA1,所以CD⊥平面A1ABB1,所以CD⊥A1D.…(7分)设AB=a,由题意,∠CA1D=45°,所以CD=A1D=a,∴AA1=a,∴=,∴a=2,故三棱锥F﹣AEC的表面积.…(12分)【点评】本题考查线面垂直的判定与性质,考查三棱锥体积的计算,考查学生的计算能力,属于中档题.21.(12分)已知椭圆C:+=1(a>b>1)的焦距为2,过短轴的一个端点与两个焦点的圆的面积为π,过椭圆C的右焦点作斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C相交于A、B两点,线段AB的中点为P.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过点P垂直于AB的直线与x轴交于点D,且|DP|=,求k的值.【分析】(1)根据题意,在三角形中由勾股定理列出等式,根据已知的焦距大小,即可求得椭圆方程;(2)先设直线方程y=k(x﹣1),联立椭圆方程求得P点坐标,根据已知条件求出直线PD的方程,从而求得D点坐标,又|DP|=,根据两点间的距离公式,即可求得k的值.【解答】解:(1)过短轴的一个端点与两个焦点的圆的半径为,设右焦点的坐标为(c,0),依题意知,2c=2,即c=1,,又b>1,解得:a=2,b=,∴椭圆C的方程为;(2)设过椭圆C的右焦点的直线l的方程为y=k(x﹣1),(k≠0),设A(x1,y1),B(x2,y2),,整理得:(4k2+3)x2﹣8k2x+4k2﹣12=0,由韦达定理得x1+x2=,x1•x2=,y1+y2=k(x1+x2)﹣2k=﹣,∵P为线段AB的中点,则可得点P(,﹣),又直线PD的斜率为﹣,直线PD的方程为y+=﹣(x﹣),令y=0得,x=,又∵点D(,0),∴丨PD丨===,化简得17k4+k2﹣18=0,解得:k2=1,故k=1或k=﹣1,k的值±1.【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质,考查直线与椭圆的位置关系,韦达定理,中点坐标公式及两点之间的距离公式,考查计算能力,属于中档题.22.(12分)已知函数f(x)=x﹣alnx+a﹣1(a>0),g(x)=x(x2﹣16)+x2(x ﹣lnx)+.(1)讨论函数f(x)在(,+∞)上的单调区间;(2)求证:g(x)>﹣20.【分析】(1)求出函数的导数,通过讨论a的范围,求出函数的单调区间即可;(2)令a=1,设h(x)=x3+x2﹣16x(x>0),根据函数的单调性证明即可.【解答】(1)解:令f′(x)=1﹣=0,解得:x=a,令0<a≤1时,≥a>0,∵x>,∴f′(x)≥0,∴f(x)在(,+∞)递增,a>1时,a>>0,(i)x>a时,f′(x)>0,∴f(x)在(a,+∞)递增,(ii)<x<a时,f′(x)<0,∴f(x)在(,a)递减;(2)证明:令a=1得f(x)=x﹣lnx,当x>1时,f′(x)>0,当0<x<1时,f′(x)<0,∴x﹣lnx≥f(1)=1,∴g(x)=x3+x2(x﹣lnx)﹣16x+≥x3+x2﹣16x+,设h(x)=x3+x2﹣16x(x>0),则h′(x)=3x2+2x﹣16=(3x+8)(x﹣2),令h′(x)>0,解得:x>2,令h′(x)<0,解得:0<x<2,故h(x)min=h(2)=﹣20,∵>0,∴g(x)>h(x)≥﹣20,故g(x)>﹣20.【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及分类讨论思想,转化思想,是一道中档题.。
山西省等五校2017届高三第五次联考数学试题(文)含答案
2 名同
19. (本题满分 12 分)
如图,在多面体 ABCDPE 中,四边形 ABCD 和 CDPE 都是直角梯形,
AB // DC , PE // DC , AD DC , PD 平面 ABCD , AB PD DA 2PE, F 是 CE 的
中点 .
( 1 )求证: BF // 平面 ADP ; ( 2 )已知 O 是 BD 的中点,求证: BD
一点, 圆 M与线段 MF相交于点 A, 且被直线 x
p
截得的弦长为
2
MA 3 MA ,若
AF
2 ,则
AF 等于
A.1 B. 2 C. 3 D.4
12. 设 min m, n 表示 m, n 二者中较小的一个,已知函数
f x x2 8x 14,
x2
1 g x min
,log 2 4x , x 0 ,若 x1
2016 —2017 年度第五次五校联考
数学试卷(文科)
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分 . 在每个小题给出的四个选项中,有 且只有一项符合题目要求 .
1. 已知 a,b R ,若 3 4i3 2 bi ,则 a b 等于 ai
A. 9 B.5 C.13 D. 9
8. 执行如图所示的程序框图,则下列说法正确的是
A. a 2,4 ,输出 i 的值为 5
B. a 4,5 ,输出 i 的值为 5
C. a 3,4 ,输出 i 的值为 5
D. a 2,4 ,输出 i 的值为 5
9. 某几何体的三视图如下图所示,则该几何体的外接球的表面积为
A. 13 B. 16 C. 17 D. 21
山西省太原五中2017-2018学年高三下学期11月月考数学试卷(文科) Word版含解析
山西省太原五中2017-2018学年高三下学期月考数学试卷(文科)一.选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一选项是符合题目要求的)1.已知集合A={1,2,},集合B={y|y=x2,x∈A},则A∩B=()A.{} B.{2} C.{1} D.∅2.在复平面内,复数z=的共轭复数的虚部为()A.B.﹣C.i D.﹣i3.函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个可能的值为()A.B.C.0D.4.阅读程序框图,若输入m=4,n=6,则输出a,i分别是()A.a=12,i=3 B.a=12,i=4 C.a=8,i=3 D.a=8,i=45.已知双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F,O坐标原点,以OF直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于O,A两点,且|OA|=2|AF|,则双曲线的离心率等于()A.B.C.D.6.已知a n是由正数组成的等比数列,S n表示a n的前n项的和.若a1=3,a2a4=144,则S10的值是()A.511 B.1023 C.1533 D.30697.下列说法正确的是()A.“若x<1,则﹣≤x≤1”的逆否是“若x≥1,则x<﹣1或x≥1”B.“∀x∈R,e x>0”的否定是“∀x∈R,e x≤0”C.“a>0”是“函数f(x)=|(ax﹣1)x|在区间(﹣∞,0)上单调递减”的充要条件D.已知p:∀x∈R,lnx<lgx;q:∃x0∈R,x03=1﹣x02,则“(¬p)∨(¬q)为真”.8.某四面体的三视图如图所示,正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形,则此四面体的外接球的体积为()A.B.3πC.D.π9.已知点M是△ABC的重心,若A=60°,•=3,则||的最小值为()A.B.C.D.210.学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,则这一组学生最多有()A.2人B.3人C.4人D.5人11.设x1,x2分别是方程xa x=1和xlog a x=1的根(其中a>1),则x1+2x2的取值范围()A.(2,+∞)B.[2,+∞)C.(3,+∞)D.[3,+∞)12.已知F为抛物线y2=x的焦点,点A、B在该抛物线上且位于x轴两侧,=6(O为坐标原点),则△ABO与△AOF面积之和的最小值为()A.4B.C.D.二.填空题(本题共4个小题,每小5分,满分20分)13.若x,y满足,则z=x+y的最小值为.14.若样本数据x1,x2,x3…,x10的平均数是10,方差是2,则数据2x1+1,2x2+1,2x3+1,…,2x10+1的平均数与方差分别是.15.已知数列{a n}的前n项和为S n,满足S n++2=a n(n≥2),a1=﹣,S n.16.已知函数f(x)=(a为常数,e为自然对数的底数)的图象在点A(e,1)处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点,则实数a的取值范围是.三.解答题(本大题共5小题,满分60分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a,b,c,且a>c,已知•=2,cosB=,b=3,求:(Ⅰ)a和c的值;(Ⅱ)cos(B﹣C)的值.18.设不等式x2+y2≤2确定的平面区域为U,|x|+|y|≤1确定的平面区域为V(Ⅰ)定义坐标为整数的点为整点(1)在区域U内任取1个整点P(x,y),求满足x+y≥0的概率(2)在区域U内任取2个整点,求这两个整点中恰有1个整点在区域V内的概率(3)在区域U内任取一个点,求此点在区域V的概率.19.如图,在三棱锥P﹣ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,AP=BP=AB,PC⊥AC.(1)求证:PC⊥AB;(2)求点C到平面APB的距离.20.已知椭圆C:=1(a>b>0)上的点到两焦点的距离和为,短轴长为,直线l 与椭圆C交于M,N两点.(Ⅰ)求椭圆C方程;(Ⅱ)若直线MN与圆O:x2+y2=相切,证明:∠MON为定值;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求|OM||ON|的取值范围.21.已知函数f(x)=x2﹣ax3(a>0),x∈R.(Ⅰ)求f(x)的单调区间和极值;(Ⅱ)若对于任意的x1∈(2,+∞),都存在x2∈(1,+∞),使得f(x1)•f(x2)=1,求a 的取值范围.四、选做题:请考生在22,23,24题中任选一题作答,如果多选则按所做的第一题记分,作答时,请涂明题号.选修4-1:几何证明选讲22.如图,⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P,E为⊙O上一点,AE=AC,DE交AB于点F,且AB=2BP=4,(1)求PF的长度.(2)若圆F与圆O内切,直线PT与圆F切于点T,求线段PT的长度.五、选修4-4:坐标系与参数方程23.已知直线l的参数方程是(t为参数),圆C的极坐标方程为ρ=2cos(θ+).(Ⅰ)求圆心C的直角坐标;(Ⅱ)由直线l上的点向圆C引切线,求切线长的最小值.六、选修4-5:不等式选讲24.已知函数f(x)=|x﹣2|,g(x)=﹣|x+3|+m.(1)解关于x的不等式f(x)+a﹣1>0(a∈R);(2)若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方,求m的取值范围.山西省太原五中2015届高三下学期5月月考数学试卷(文科)一.选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一选项是符合题目要求的)1.已知集合A={1,2,},集合B={y|y=x2,x∈A},则A∩B=()A.{} B.{2} C.{1} D.∅考点:交集及其运算.专题:集合.分析:将A中的元素代入集合B中的等式中求出y的值,确定出B,求出A与B的交集即可.解答:解:当x=1时,y=1;当x=2时,y=4;当x=时,y=,∴B={1,4,},∴A∩B={1}.故选:C.点评:此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.2.在复平面内,复数z=的共轭复数的虚部为()A.B.﹣C.i D.﹣i考点:复数代数形式的乘除运算.专题:数系的扩充和复数.分析:由复数代数形式的除法运算化简复数z,求出其共轭复数,则答案可求.解答:解:∵z==,∴,∴复数z=的共轭复数的虚部为.故选:A.点评:本题考查了复数代数形式的除法运算,考查了复数的基本概念,是基础题.3.函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个可能的值为()A.B.C.0D.考点:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.专题:三角函数的图像与性质.分析:利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换可得函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移个单位后的解析式,利用其为偶函数即可求得答案.解答:解:令y=f(x)=sin(2x+φ),则f(x+)=sin[2(x+)+φ]=sin(2x++φ),∵f(x+)为偶函数,∴+φ=kπ+,∴φ=kπ+,k∈Z,∴当k=0时,φ=.故φ的一个可能的值为.故选B.点评:本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换,考查三角函数的奇偶性,属于中档题.4.阅读程序框图,若输入m=4,n=6,则输出a,i分别是()A.a=12,i=3 B.a=12,i=4 C.a=8,i=3 D.a=8,i=4考点:程序框图.专题:阅读型;图表型;算法和程序框图.分析:由程序框图依次计算第一、第二、第三次运行的结果,直到满足条件满足a被6整除,结束运行,输出此时a、i的值.解答:解:由程序框图得:第一次运行i=1,a=4;第二次运行i=2,a=8;第三次运行i=3,a=12;满足a被6整除,结束运行,输出a=12,i=3.故选A.点评:本题考查了直到型循环结构的程序框图,解答的关键是读懂程序框图.5.已知双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F,O坐标原点,以OF直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于O,A两点,且|OA|=2|AF|,则双曲线的离心率等于()A.B.C.D.考点:双曲线的简单性质.专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:以OF直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于O,A两点,且|OA|=2|AF|,可得=,利用e=,求出双曲线的离心率.解答:解:∵以OF直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于O,A两点,且|OA|=2|AF|,∴=,∴e==,故选:D.点评:本题考查双曲线的离心率,考查双曲线的性质,考查学生的计算能力,属于中档题.6.已知a n是由正数组成的等比数列,S n表示a n的前n项的和.若a1=3,a2a4=144,则S10的值是()A.511 B.1023 C.1533 D.3069考点:等比数列的前n项和.专题:计算题.分析:由等比数列的性质可得,a2•a4=a32=144且a3>0可求a3=12由已知a1=3可得q=2代入等比数列的前n项和公式可求解答:解:由等比数列的性质可得,a2•a4=a32=144因为数列是由正数组成的等比数列,则a3>0所以a3=12 又因为a1=3,所以q=2代入等比数列的前n项和公式可得,故选D点评:本题主要考查了等比数列的性质及前n项和公式的运用,属于基础试题.7.下列说法正确的是()A.“若x<1,则﹣≤x≤1”的逆否是“若x≥1,则x<﹣1或x≥1”B.“∀x∈R,e x>0”的否定是“∀x∈R,e x≤0”C.“a>0”是“函数f(x)=|(ax﹣1)x|在区间(﹣∞,0)上单调递减”的充要条件D.已知p:∀x∈R,lnx<lgx;q:∃x0∈R,x03=1﹣x02,则“(¬p)∨(¬q)为真”.考点:的真假判断与应用.专题:函数的性质及应用.分析:根据复合以及函数的单调性分别对A、B、C、D各个选项进行判断即可.解答:解:“若x<1,则﹣≤x≤1”的逆否是“若x<﹣1或x≥1,则x≥1”,故A错误;“∀x∈R,e x>0”的否定是“∃x∈R,e x≤0,故B错误;函数f(x)=|(ax﹣1)x|在区间(﹣∞,0)上单调递减”的充要条件是:a≥0,故C错误;已知p:∀x∈R,lnx<lgx;由lnx﹣lgx=lnx﹣=lnx(1﹣),∵1﹣>0,∴x>1时,lnx>lgx,0<x<1时,lnx<lgx,故p是假,¬p是真;故不论¬q真假,则“(¬p)∨(¬q)总为真,故D正确;故选:D.点评:本题考查了复合的判断,考查函数的单调性问题,是一道综合题.8.某四面体的三视图如图所示,正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形,则此四面体的外接球的体积为()A.B.3πC.D.π考点:由三视图求面积、体积.专题:计算题;空间位置关系与距离.分析:由于正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形,所以此四面体一定可以放在棱长为1的正方体中,所以此四面体的外接球即为此正方体的外接球,由此能求出此四面体的外接球的体积.解答:解:由于正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形,所以此四面体一定可以放在正方体中,所以我们可以在正方体中寻找此四面体.如图所示,四面体ABCD满足题意,所以此四面体的外接球即为此正方体的外接球,由题意可知,正方体的棱长为1,所以外接球的半径为R=,所以此四面体的外接球的体积V==.故选C.点评:本题的考点是由三视图求几何体的体积,需要由三视图判断空间几何体的结构特征,并根据三视图求出每个几何体中几何元素的长度,代入对应的体积公式分别求解,考查了空间想象能力.9.已知点M是△ABC的重心,若A=60°,•=3,则||的最小值为()A.B.C.D.2考点:平面向量数量积的运算.专题:平面向量及应用.分析:根据已知及向量夹角的定义可得∴=6.又因为点M是△ABC的重心,所有有,结合基本不等式即可求出||的最小值.解答:解:∵A=60°,•=3,cosA=,∴=6.又∵点M是△ABC的重心,∴.∴||=||==≥==.∴||的最小值为.故选:B.点评:本题考查向量的模,三角形的重心,基本不等式等知识的综合应用,属于中档题.10.学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,则这一组学生最多有()A.2人B.3人C.4人D.5人考点:进行简单的合情推理.专题:推理和证明.分析:分别用ABC分别表示优秀、及格和不及格,根据题干中的内容推出文成绩得A,B,C的学生各最多只有1个,继而推得学生的人数.解答:解:用ABC分别表示优秀、及格和不及格,显然语文成绩得A的学生最多只有1个,语文成绩得B得也最多只有一个,得C最多只有一个,因此学生最多只有3人,显然(AC)(BB)(CA)满足条件,故学生最多有3个.故选:B.点评:本题主要考查了合情推理,关键是找到语句中的关键词,培养了推理论证的能力.11.设x1,x2分别是方程xa x=1和xlog a x=1的根(其中a>1),则x1+2x2的取值范围()A.(2,+∞)B.[2,+∞)C.(3,+∞)D.[3,+∞)考点:根的存在性及根的个数判断.专题:计算题;函数的性质及应用.分析:由题意可得a x1=,=x2,从而可得=x2,x2>1;再由函数的单调性求解.解答:解:由题意可得,x1a x1=1,x2log a x2=1;故a x1=,=x2,又∵y=a x在(0,+∞)上单调递增,故=x2,x2>1;故x1+2x2=+2x2,而y=+2x2在(1,+∞)上是增函数,故+2x2>3;故选C.点评:本题考查了方程的根的确定及函数的性质的应用,属于中档题.12.已知F为抛物线y2=x的焦点,点A、B在该抛物线上且位于x轴两侧,=6(O 为坐标原点),则△ABO与△AOF面积之和的最小值为()A.4B.C.D.考点:抛物线的简单性质.专题:平面向量及应用;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:先设直线方程和点的坐标,联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程,再利用韦达定理及=6消元,最后将面积之和表示出来,探求最值问题.解答:解:设直线AB的方程为:x=ty+m,点A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB与x轴的交点为M(m,0),x=ty+m代入y2=x,可得y2﹣ty﹣m=0,根据韦达定理有y1•y2=﹣m,∵=6,∴x1•x2+y1•y2=6,从而(y1•y2)2+y1•y2﹣6=0,∵点A,B位于x轴的两侧,∴y1•y2=﹣3,故m=3.不妨令点A在x轴上方,则y1>0,又F(,0),∴S△ABO+S△AFO=×3×(y1﹣y2)+×y1=y1+≥2=,当且仅当y1=,即y1=时,取“=”号,∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是,故选:.点评:求解本题时,应考虑以下几个要点:1、联立直线与抛物线的方程,消x或y后建立一元二次方程,利用韦达定理与已知条件消元,这是处理此类问题的常见模式.2、求三角形面积时,为使面积的表达式简单,常根据图形的特征选择适当的底与高.3、利用基本不等式时,应注意“一正,二定,三相等”.二.填空题(本题共4个小题,每小5分,满分20分)13.若x,y满足,则z=x+y的最小值为1.考点:简单线性规划.专题:不等式的解法及应用.分析:由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,由图得到最优解,联立方程组求出最优解的坐标,代入目标函数得答案.解答:解:由约束条件作出可行域如图,化目标函数z=x+y为,由图可知,当直线过C(0,1)时直线在y轴上的截距最小.此时.故答案为:1.点评:本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.14.若样本数据x1,x2,x3…,x10的平均数是10,方差是2,则数据2x1+1,2x2+1,2x3+1,…,2x10+1的平均数与方差分别是21,8.考点:极差、方差与标准差.专题:概率与统计.分析:根据平均数与方差的公式即可求出数据2x1+1,2x2+1,2x3+1,2x10+1的平均数与方差.解答:解:∵样本数据x1,x2,x3,x10的平均数是10,方差是2,∴=(x1+x2+x3+x10)=10,s2=[+++]=2;∴数据2x1+1,2x2+1,2x3+1,2x10+1的平均数是=[(2x1+1)+(2x2+1)+(2x3+1)+(2x10+1)]=2×(x1+x2+x3+x10)+1=21,方差是s′2={+…+}=22•[+++]=4×2=8.故答案为:21,8点评:本题考查了计算数据的平均数与方差的问题,解题时应根据公式进行计算,也可以利用平均数与方差的性质直接得出答案.15.已知数列{a n}的前n项和为S n,满足S n++2=a n(n≥2),a1=﹣,S n﹣.考点:数列递推式.专题:点列、递归数列与数学归纳法.分析:利用S n=﹣及a1=﹣,写出前几项的值,进而猜测:S n=﹣,再用数学归纳法证明即可.解答:解:∵S n++2=a n(n≥2),∴S n﹣1+2+=0,即S n=﹣,∵a1=﹣,即S1=﹣,∴S2=﹣=﹣=﹣,S3=﹣=﹣=﹣,猜测:S n=﹣.下面用数学归纳法来证明:①当n=1时,显然成立;②假设当n=k时,有S k=﹣,∵Sn++2=a n(n≥2),∴S k+1=﹣=﹣=﹣=﹣=﹣=﹣,即当n=k+1时也成立;由①、②可知:S n=﹣.故答案为:﹣.点评:本题考查数列的前n项和,考查运算求解能力,考查数学归纳法,注意解题方法的积累,属于中档题.16.已知函数f(x)=(a为常数,e为自然对数的底数)的图象在点A(e,1)处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点,则实数a的取值范围是.考点:根的存在性及根的个数判断.专题:函数的性质及应用.分析:利用导数的几何意义求出切线方程,利用分段函数与切线有三个不同的交点,得到当x<1时,切线和二次函数有两个不同的交点,利用二次函数根的分布建立不等式关系,即可求得a的取值范围.解答:解:当x≥1,函数f(x)的导数,f'(x)=,则f'(e)=,则在A(e,1)处的切线方程为y﹣1=(x﹣e),即y=.当x≥1时,切线和函数f(x)=lnx有且只有一个交点,∴要使切线与该函数的图象恰好有三个公共点,则当x<1时,函数f(x)==,有两个不同的交点,即(x+2)(x﹣a)=x,在x<1时,有两个不同的根,设g(x)=(x+2)(x﹣a)﹣x=x2+(1﹣a)x﹣2a,则满足,即,∴,解得或,即实数a的取值范围是.故答案为:.点评:不同主要考查导数的几何意义,以及函数交点问题,利用二次函数的根的分布是解决本题的关键.考查学生分析问题的能力,综合性较强.三.解答题(本大题共5小题,满分60分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a,b,c,且a>c,已知•=2,cosB=,b=3,求:(Ⅰ)a和c的值;(Ⅱ)cos(B﹣C)的值.考点:余弦定理;平面向量数量积的运算;两角和与差的余弦函数.专题:三角函数的求值.分析:(Ⅰ)利用平面向量的数量积运算法则化简•=2,将cosB的值代入求出ac=6,再利用余弦定理列出关系式,将b,cosB以及ac的值代入得到a2+c2=13,联立即可求出ac 的值;(Ⅱ)由cosB的值,利用同角三角函数间基本关系求出sinB的值,由c,b,sinB,利用正弦定理求出sinC的值,进而求出cosC的值,原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后,将各自的值代入计算即可求出值.解答:解:(Ⅰ)∵•=2,cosB=,∴c•acosB=2,即ac=6①,∵b=3,∴由余弦定理得:b2=a2+c2﹣2accosB,即9=a2+c2﹣4,∴a2+c2=13②,联立①②得:a=3,c=2;(Ⅱ)在△ABC中,sinB===,由正弦定理=得:sinC=sinB=×=,∵a=b>c,∴C为锐角,∴cosC===,则cos(B﹣C)=cosBcosC+sinBsinC=×+×=.点评:此题考查了正弦、余弦定理,平面向量的数量积运算,以及同角三角函数间的基本关系,熟练掌握定理是解本题的关键.18.设不等式x2+y2≤2确定的平面区域为U,|x|+|y|≤1确定的平面区域为V(Ⅰ)定义坐标为整数的点为整点(1)在区域U内任取1个整点P(x,y),求满足x+y≥0的概率(2)在区域U内任取2个整点,求这两个整点中恰有1个整点在区域V内的概率(3)在区域U内任取一个点,求此点在区域V的概率.考点:几何概型;列举法计算基本事件数及事件发生的概率.专题:概率与统计.分析:(1)利用列举法求出对应事件,结合古典概型的概率公式进行求解.(2)利用列举法求出对应事件,结合古典概型的概率公式进行求解.(3)求出对应区域的面积,结合几何概型的概率公式进行求解.解答:解:(1)满足x2+y2≤2的整点有:(﹣1,﹣1),(﹣1,0),(﹣1,1),(0,﹣1)(0,0),(0,1),(1,﹣1),(1,0)(1,1)共9个.满足|x|+|y|≤1的整点有(﹣1,0),(0,﹣1),(0,0),(0,1),(1,0)共5个满足x+y≥0的整点有:(﹣1,1),(0,0),(0,1)(1,﹣1),(1,0)(1,1)共6个,所求的概率P=.(2)在区域内任取2个整点,有36个,2个整点中恰有1个整点在区域V内有:20个,则所求概率为P=.(3)区域U的面积为π×2=2π,区域V的面积为,在区域U内任取一点,该点在区域V内的概率为P=.点评:本题主要考查概率的计算,涉及古典概型和几何概型,利用列举法是解决古典概型的基本方法,利用图象法是解决几何概型的基本方法.19.如图,在三棱锥P﹣ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,AP=BP=AB,PC⊥AC.(1)求证:PC⊥AB;(2)求点C到平面APB的距离.考点:点、线、面间的距离计算;直线与平面垂直的性质.专题:空间位置关系与距离;空间角.分析:(1)取AB中点D,连结PD,CD.证明AB⊥平面PCD,然后证明PC⊥AB;(2)过C作CH⊥PD,垂足为H.说明CH的长即为点C到平面APB的距离,通过求解Rt△PCD,即可求点C到平面APB的距离.解答:解:(1)取AB中点D,连结PD,CD.∵AP=BP,∴PD⊥AB.∵AC=BC,∴CD⊥AB.∵PD∩CD=D,∴AB⊥平面PCD.∵PC⊂平面PCD,∴PC⊥AB.(2)由(1)知AB⊥平面PCD,∴平面APB⊥平面PCD.过C作CH⊥PD,垂足为H.∵平面APB∩平面PCD=PD,∴CH⊥平面APB.∴CH的长即为点C到平面APB的距离.由(1)知PC⊥AB,又PC⊥AC,且AB∩AC=A,∴PC⊥平面ABC.∵CD⊂平面ABC,∴PC⊥CD.在Rt△PCD中,,,∴..∴点C到平面APB的距离为.点评:本题考查点到平面的距离的求法,直线与平面垂直的判定定理的应用,考查空间想象能力以及逻辑推理能力.20.已知椭圆C:=1(a>b>0)上的点到两焦点的距离和为,短轴长为,直线l与椭圆C交于M,N两点.(Ⅰ)求椭圆C方程;(Ⅱ)若直线MN与圆O:x2+y2=相切,证明:∠MON为定值;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求|OM||ON|的取值范围.考点:椭圆的简单性质.专题:综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:(1)利用椭圆的定义进行求解;(2)利用圆心到直线的距离,求出直线的斜率与截距的关系,再利用平面向量的数量积求证角为定值;(3)利用三角换元进行求解.解答:解:(Ⅰ)由椭圆C:=1(a>b>0)上的点到两焦点的距离和为,得2a=,即a=;由短轴长为,得2b=,即b=所以椭圆C方程:9x2+16y2=1(Ⅱ)当直线MN⊥x轴时,因为直线MN与圆O:x2+y2=相切,所以直线MN方程:x=或x=﹣,当直线方程为x=,得两点分别为(,)和(,﹣),故•=0,所以∠MON=;同理可证当x=﹣,∠MON=;当直线MN与x轴不垂直时,设直线MN:y=kx+b,直线MN与圆O:x2+y2=的交点M (x1,y1),N(x2,y2),由直线MN与圆O相切得d==,即25b2=k2+1,①联立y=kx+b与椭圆方程,得(9+16k2)x2+32kbx+16b2﹣1=0,∴△>0,x1+x2=﹣,x1x2=,•=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+b)(kx2+b)=,②由①②,得•=0,即∠MON=,综上,∠MON=为定值.(Ⅲ)不妨设∠XOM=θ,则∠XON=θ±,由三角函数定义可知:M(|OM|cosθ,|OM|sinθ),N(±|ON|sinθ,±|ON|cosθ)因为点M、N都在9x2+16y2=1上,所以=9cos2θ+16sin2θ,=9sin2θ+16cos2θ•=(9cos2θ+16sin2θ)(9sin2θ+16cos2θ)=9×16+(9﹣16)2sin2θcos2θ=9×16+(9﹣16)2sin22θ,又sin22θ∈[0,1],故•∈[9×16,],∴|OM||ON|的取值范围是[,].点评:本题考查椭圆方程的求法,考查角为定值的证明,考查线段的取值范围的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意函数与方程思想的合理运用.21.已知函数f(x)=x2﹣ax3(a>0),x∈R.(Ⅰ)求f(x)的单调区间和极值;(Ⅱ)若对于任意的x1∈(2,+∞),都存在x2∈(1,+∞),使得f(x1)•f(x2)=1,求a 的取值范围.考点:导数在最大值、最小值问题中的应用;函数在某点取得极值的条件;利用导数研究函数的极值.专题:导数的综合应用.分析:(Ⅰ)求导数,利用导数的正负,可得f(x)的单调区间,从而求出函数的极值;(Ⅱ)由f(0)=f()=0及(Ⅰ)知,当x∈(0,)时,f(x)>0;当x∈(,+∞)时,f(x)<0.设集合A={f(x)|x∈(2,+∞)},集合B={|x∈(1,+∞),f(x)≠0},则对于任意的x1∈(2,+∞),都存在x2∈(1,+∞),使得f(x1)•f(x2)=1,等价于A⊆B,分类讨论,即可求a的取值范围.解答:解:(Ⅰ)f′(x)=2x﹣2ax2=2x(1﹣ax),令f′(x)=0,解得x=0或x=.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:x (﹣∞,0)0 (0,)(,+∞)f′(x)﹣0 + 0 ﹣f(x)递减0 递增递减所以,f(x)的单调递减区间为:(﹣∞,0)和,单调递增区间为,当x=0时,有极小值f(0)=0,当x=时,有极大值f()=;(Ⅱ)由f(0)=f()=0及(Ⅰ)知,当x∈(0,)时,f(x)>0;当x∈(,+∞)时,f(x)<0.设集合A={f(x)|x∈(2,+∞)},集合B={|x∈(1,+∞),f(x)≠0},则对于任意的x1∈(2,+∞),都存在x2∈(1,+∞),使得f(x1)•f(x2)=1,等价于A⊆B,显然A≠∅下面分三种情况讨论:①当>2,即0<a<时,由f()=0可知,0∈A,而0∉B,∴A不是B的子集;②当1≤≤2,即时,f(2)≤0,且f(x)在(2,+∞)上单调递减,故A=(﹣∞,f(2)),∴A⊆(﹣∞,0);由f(1)≥0,有f(x)在(1,+∞)上的取值范围包含(﹣∞,0),即(﹣∞,0)⊆B,∴A⊆B;③当<1,即a>时,有f(1)<0,且f(x)在(1,+∞)上单调递减,故B=(,0),A=(﹣∞,f(2)),∴A不是B的子集.综上,a的取值范围是[].点评:利用导数可以求出函数的单调区间和极值;解决取值范围问题,很多时候要进行等价转化,分类讨论.四、选做题:请考生在22,23,24题中任选一题作答,如果多选则按所做的第一题记分,作答时,请涂明题号.选修4-1:几何证明选讲22.如图,⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P,E为⊙O上一点,AE=AC,DE交AB于点F,且AB=2BP=4,(1)求PF的长度.(2)若圆F与圆O内切,直线PT与圆F切于点T,求线段PT的长度.考点:圆的切线的判定定理的证明.专题:计算题.分析:(1)连接OC,OD,OE,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系,结合题中条件弧长AE等于弧长AC可得∠CDE=∠AOC,从而得到△PFD∽△PCO,最后再结合割线定理即可求得PF的长度;(2)根据圆F与圆O内切,求得圆F的半径为r,由PT为圆F的切线结合割线定理即可求得线段PT的长度.解答:解:(1)连接OC,OD,OE,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系结合题中条件弧长AE等于弧长AC可得∠CDE=∠AOC,又∠CDE=∠P+∠PFD,∠AOC=∠P+∠OCP,从而∠PFD=∠OCP,故△PFD∽△PCO,∴由割线定理知PC•PD=PA•PB=12,故.(2)若圆F与圆O内切,设圆F的半径为r,因为OF=2﹣r=1即r=1所以OB是圆F的直径,且过P点圆F的切线为PT则PT2=PB•PO=2×4=8,即点评:本小题主要考查圆的切线的判定定理的证明、同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系、割线定理等基础知识,考查运算求解能力转化思想.属于基础题.五、选修4-4:坐标系与参数方程23.已知直线l的参数方程是(t为参数),圆C的极坐标方程为ρ=2cos(θ+).(Ⅰ)求圆心C的直角坐标;(Ⅱ)由直线l上的点向圆C引切线,求切线长的最小值.考点:简单曲线的极坐标方程.专题:计算题.分析:(I)先利用三角函数的和角公式展开圆C的极坐标方程的右式,再利用直角坐标与极坐标间的关系,即利用ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,进行代换即得圆C的直角坐标方程,从而得到圆心C的直角坐标.(II)欲求切线长的最小值,转化为求直线l上的点到圆心的距离的最小值,故先在直角坐标系中算出直线l上的点到圆心的距离的最小值,再利用直角三角形中边的关系求出切线长的最小值即可.解答:解:(I)∵,∴,∴圆C的直角坐标方程为,即,∴圆心直角坐标为.(II)∵直线l的普通方程为,圆心C到直线l距离是,∴直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是点评:本题考查点的极坐标和直角坐标的互化,能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化.六、选修4-5:不等式选讲24.已知函数f(x)=|x﹣2|,g(x)=﹣|x+3|+m.(1)解关于x的不等式f(x)+a﹣1>0(a∈R);(2)若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方,求m的取值范围.考点:绝对值不等式的解法;函数恒成立问题.专题:计算题;压轴题.分析:(1)不等式转化为|x﹣2|+|a﹣1>0,对参数a进行分类讨论,分类解不等式;(2)函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方,可转化为不等式|x﹣2|+|x+3|>m恒成立,利用不等式的性质求出|x﹣2|+|x+3|的最小值,就可以求出m的范围.解答:解:(Ⅰ)不等式f(x)+a﹣1>0即为|x﹣2|+a﹣1>0,当a=1时,解集为x≠2,即(﹣∞,2)∪(2,+∞);当a>1时,解集为全体实数R;当a<1时,解集为(﹣∞,a+1)∪(3﹣a,+∞).(Ⅱ)f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方,即为|x﹣2|>﹣|x+3|+m对任意实数x恒成立,即|x﹣2|+|x+3|>m恒成立,又由不等式的性质,对任意实数x恒有|x﹣2|+|x+3|≥|(x﹣2)﹣(x+3)|=5,于是得m<5,故m的取值范围是(﹣∞,5).点评:本题考查绝对值不等式的解法,分类讨论的方法,以及不等式的性质,涉及面较广,知识性较强.。
【山西省怀仁县第一中学】2017届高三上学期第三次月考(11月月考)数学(文科)试卷-答案
(1)设两类产品的收益与投资额的函数关系分别为:
;
(2)设:投资债券产品 万元,则股票类投资为 万元
另 ,则
所以,当 ,即 万元时,收益最大, 万元
19.解:(1)因为 ,
由正弦定理得: ,
即: ,
,又由C为 的内角,故而
所以 ,又由B为 的内角,故而
(2)因为点D为AC边的中点,故而 ,
21.
3.
4.【解析】
试题分析:不难发现 ; , ,故 .
5.【解析】B、C选项条件“正”不具备,故错误;A选项等号取不到,不完美;而D“正、定、等”都能取到,故选D.
6.
7.【解析】
试题分析: ,故可以将函数 的图象向右平移 个单位.
8.
9.【解析】
试题分析:由 得 ,则直线 的斜率最小时, 最大,若 是目标函数取得最大值的最优解,即直线 过点 ,且在 轴上的截距 最小,得 .即 的取值范围是 ,故答案为: .
(3)由(1)知: 在区间 上是增函数,
在区间 上的最大值为 ,
要使 对 恒成立,
只要 ,即 恒成立.
设 对 , 恒成立,
则有 即
即实数t的取值范围为
21.解:(Ⅰ)
即数列 是首项、公比均为2的等比数列.
(Ⅱ) 是等比数列,首项为2,通项 ,
故
,
当 时, ,符合上式.
数列 的通项公式为 .
(Ⅲ)解: ,
19.【解析】试题分析:(1)由正弦定理,三角形内角和定理,三角函数恒等变换化简已知可得 ,又 ,从而可求 ,结合 为三角形内角,即可得解 的值;(2)由点 为边 的中点,可得 ,两边平方,设 ,可得 ,结合基本不等式的应用可得 的最大值,利用三角形面积公式即可得解.
山西省2017届高三下学期名校联考数学(文)试题
⼭西省2017届⾼三下学期名校联考数学(⽂)试题⼭西省2017届⾼三下学期名校联考数学(⽂)试题⼀、选择题(共12⼩题;共60分)1. 集合A=1,3,5,7,B=x x2?4x≤0,则A∩B=A. 1,3B. 1,3C. 5,7D. 5,7(i为虚数单位),则z的共轭复数的虚部为2. 已知z=1?3i3+iA. ?iB. iC. ?1D. 13. 王昌龄《从军⾏》中两句诗为“黄沙百战穿⾦甲,不破楼兰终不归”,其中后⼀句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的A. 充要条件B. 既不充分也不必要条件C. 充分条件D. 必要条件4. 某⼏何体的三视图如图所⽰,则该⼏何体的体积为A. 32B. 16C. 8D. 82,则判断框内应填⼊的是5. 根据此程序框图输出的S的值为1112A. i≤8?B. i≤6?C. i≥8?D. i≥6?6. 已知α,β为平⾯,a,b,c为直线,下列命题正确的是A. a?α,若b∥a,则b∥αB. α⊥β,α∩β=c,b⊥c,则b⊥βC. a⊥b,b⊥c,则a∥cD. 若a∩b=A,a?α,b?α,a∥β,b∥β,则α∥β7. 已知⾓α终边上⼀点的坐标为P?3,4,则cos?π?α的值是A. ?43B. 45C. 35D. ?358. 在△ABC中,D为边BC上⼀点,且满⾜AD=12AB+AC,BC=10,AD=12,且AD?BC= 0,则AD?AC=A. 144B. 100C. 169D. 609. 若直线ax?y?a+3=0将关于x,y的不等式组x?2y+5≥0, x+y?1≥0,等的两部分,则z=4x?ay的最⼤值为A. ?8B. 2C. 4D. 810. 已知函数f x=e x?e?x x,f log5x+f log15x ≤2f1,则x的取值范围是A. 15,1 B. 1,5C. 15,5 D. ?∞,15∪5,+∞11. 已知双曲线x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1,F2,若在双曲线上存在点P使得△OPF2是以O为顶点的等腰三⾓形,⼜PF1+PF2=22c2?b2c为双曲线的半焦距,则双曲线的离⼼率为A. B. +1 C. D. ?112. 若函数f x满⾜f x=x f?x?ln x,且f1e =1e,则e f e xe+1的解集为A. ?∞,?1B. ?1,+∞C. 0,1e D. 1e,+∞⼆、填空题(共4⼩题;共20分)15. 定义:若存在实数x1∈?2,?1,x2∈a,32使2?x1=log3x2成⽴,则称a为指对实数,那么在a∈?20,20上成为指对实数的概率是为______.16. 已知在△ABC中,BC=2,AC=2AB,则△ABC的⾯积的最⼤值为______.三、解答题(共7⼩题;共91分)17. 若等差数列a n的前n项和S n满⾜S10=100,数列a1,a2?a1,a3?a2,?,a n?a n?1的前5项和为9.(1)求数列a n的通项公式;(2)若数列b n的前n项和为T n,b n=a n+3n2+2n2,求证:T n<58.18. 随着⽹络的发展,⼈们可以在⽹络上购物、玩游戏、聊天、导航等,所以⼈们对上⽹流量的需求越来越⼤.某电信运营商推出⼀款新的“流量包”套餐,为了调查不同年龄的⼈是否愿意选择此款“流量包”套餐,随机抽取50个⽤户按年龄分组进⾏访谈,统计结果如下表.组号年龄访谈⼈数愿意使⽤120,3055230,401010340,501512450,60148560,7062参考公式:K2=n ad?bc2a+b c+d a+c b+d,其中n=a+b+c+d.P K2≥k0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828(1)若在第2,3,4组愿意选择此款“流量包”套餐的⼈中,⽤分层抽样的⽅法抽取15⼈,则各组应分别抽取多少⼈?(2)若从第5组的被调查访谈⼈中随机选取2⼈进⾏追踪调查,求2⼈中⾄少有1⼈愿意选此款“流量包”套餐的概率;(3)按以上统计数据填写下⾯的2×2列联表,并判断以50岁为分界点,能否在犯错误不超过1%的前提下认为是否愿意选择此款“流量包”套餐与⼈的年龄有关.年龄不低于50岁的⼈数年龄低于50岁的⼈数合计愿意使⽤的⼈数不愿意使⽤的⼈数合计19. 如图,五⾯体ABCDE,四边形ABDE为矩形,△ABC是正三⾓形,AB=1,AE=2,F是线段BC上⼀点,直线BC与平⾯ABD所成⾓为30°,CE∥平⾯ADF.20. 已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆上⼀点,已知∠F1PF2=60°,S△F1PF2=3,且椭圆的离⼼率为12.(1)求椭圆⽅程;(2)已知T?4,0,过T的直线与椭圆交于M,N两点,求△MNF1⾯积的最⼤值.21. 已知f x=ln x+ax.(1)求f x的单调区间和极值;(2)若对任意的x>0,均有x2ln a?ln x≤a恒成⽴,求正数a的取值范围.22. 已知极坐标中曲线C是以点1,π4为圆⼼,以1为半径的圆,以极点为坐标原点O,极轴为x 轴的⾮负半轴,且单位长度相同建⽴平⾯直⾓坐标系,直线l的参数⽅程为x=1+22t,y=22tt为参数.(1)写出l的普通⽅程和曲线C的极坐标⽅程;(2)判断l与C是否相交,若相交,设交点为P,Q两点,求线段PQ的长,若不想交,说明理由.23. 已知函数f x=2+2x+1,g x=x?1.(1)求不等式f x?1<2的解集;(2)当a+b? a?b>2b f x?g x b≠0,a,b∈R的解集⾮空,求x的取值范围.答案5. B6. D7. C8. A9. C 10. C11. A 12. A第⼆部分13. ?414. kπ+3π8,kπ+7π8,k∈Z15. 2516. 43第三部分17. (1)因为数列a1,a2?a1,a3?a2,?,a n?a n?1的前5项和为9,所以a5=9.因为S10=5a5+a6=100,所以a6=11,所以d=2,a1=1.所以a n=2n?1n∈N+.(2)因为b n=a n+3=2n+222=14n+422=11所以T n=11?1+11+11+?+11=11+111<11+1=5 .18. (1)因为15×10 30=5,15×1230=6,15×8所以第2,3,4组愿意选择此款“流量包”套餐的⼈中,⽤分层抽样的⽅法抽取15⼈,各组分别为5⼈,6⼈,4⼈.(2)设第5组中不愿意选择此款“流量包”套餐⼈为A,B,C,D,愿意选择此款“流量包”套餐⼈为a,b,则从6⼈中选取2⼈有:AB,AC,AD,Aa,Ab,BC,BD,Ba,Bb,CD,Ca,Cb,Da,Db,ab共15个结果,其中⾄少有1⼈愿意选择此款“流量包”Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,Da,Db,ab共9个结果,所以2⼈中⾄少有1⼈愿意选择此款“流量包”套餐的概率P=915=35.(3)2×2列联表:年龄不低于50岁的⼈数年龄低于50岁的⼈数合计愿意使⽤的⼈数102737不愿意使⽤的⼈数10313合计203050所以K2=50×10×3?10×27210+2710+310+1027+3≈9.979>6.635.所以在犯错误不超过1%的前提下认为是否愿意选择此款“流量包”套餐与⼈的年龄有关.19. (1)连接BE交AD于点O,连接OF,CE∥平⾯ADF,CE?平⾯BEC,平⾯ADF∩平⾯BEC=OF,所以CE∥OF.因为O是BE的中点,所以F是BC的中点.(2)因为BC与平⾯ABD所成⾓为30°,BC=AB=1,所以C到平⾯ABD的距离为 =BC?sin30°=12.因为AE=2,V A?CDF=V F?ACD=12V B?ACD=12V C?ABD,所以V A?CDF=12?131212 =1122=3,所以b2=3,⼜1?b2a =14.所以b 2a2=34,所以a2=4.椭圆⽅程为x 24+y23=1.(2)设l MN:y=k x+4,k≠0,y=k x+4,3x2+4y2=12, 3+4k2x2+32k2x+64k2?12=0,Δ>0,所以k2<14,02或?12设M x1,y1,N x2,y2,x1+x2=32k23+4k ,x1?x2=64k2?123+4k,TF1=3.S△MNF1=1×3×y2? y1==3k ? x1?x2=32k ?322k43+4k22464k2?123+4k2 =18k ?1?4k222=18k21?4k23+4k22,令3+4k2=t,t∈3,4,g k=k21?4k2 3+4k,φt=t?341?t+3t2=t?344?tt2=?t2?7t+121+12t27t=?121271=?31271=?3172+3×7221,S△MNF1max =184924×814=334,当且仅当k2=3时取到.21. (1)f?x=1x ?ax2=x?ax2.ⅰ)?a≥0时,f?x>0,即a≤0,f x在0,+∞为增函数,⽆极值.ⅱ)a>0,0a,f?x>0,f x在0,+∞有极⼩值,⽆极⼤值,f x的极⼩值f a=ln a+1,f x的单调增区间为a,+∞,单调减区间为0,a.(2)2x ln a?x ln x≤a,2ln a?ln x≤ax,2ln a≤ax+ln x对x>0恒成⽴由(1)可知,∴2ln a≤ln a+1,ln a≤1,∴022. (1)l的普通⽅程为y=x?1,由a=1×cosπ4=22,b=1×sinπ4=22,曲线C圆⼼的直⾓坐标为22,22,曲线C的直⾓坐标⽅程为 x?2222=1,由x=ρcosθ,y=ρsinθ,得ρ=2cos θ?π4,所以曲线C的极坐标⽅程ρ=2cos θ?π4.(2)曲线C圆⼼的直⾓坐标为22,22,半径r=1,所以圆⼼22,22到直线y=x?1的距离为d=222212=22<1,所以l与C是相交,PQ=2 r2?d2=2.23. (1)f x?1<2即x+1?1<2,所以?2所以?1所以x+1<3,所以?3所以?4所以不等式的解集为?4,2.(2)因为a+b? a?b>2b f x?g x b≠0,a,b∈R的解集⾮空,所以x+1? x?1< a+b ? a?b因为 a+b ? a?b2 b ≤a+b?a?b2 b=1,所以x+1? x?1<1,所以x<1 2.。
山西省临汾一中等五校2017届高三上学期第五次联考文科数学试题含答案
2016~2017年度高三第五次联合考试(期末)数学试卷(文科)第I卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合A={-1,0,l,2,3,4),B={x|x2<16,z∈N),则A B 等于A.{一1,0,1,2,3)B。
{0,1,2,3,4) C.{1,2,3} D.{0,l,2,3)2.复数21ii++的共轭复数在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.变量x,y之间的一组相关数据如下表所示:若x,y之间的线性回归方程为y=b x+12. 28,则b的值为A. —0. 92B. -0。
94C. —0. 96 D。
—0。
98 4.在平行四边形ABCD中,AB=3,AD=4,则等于A.-7 B.1 C.7 D.255.在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中,有一道数学名题叫“宝塔装灯”,内容为“远望巍巍塔七层,红灯点点倍加增;共灯三百八十一,请问顶层几盏灯?"(“倍加增"指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为2的等比数列递增).根据此诗,可以得出塔的顶层和底层共有A .3盏灯B .192盏灯C .195盏灯D .200盏灯6.执行如图所示的程序框图,若输出的k=8,则输入的k 为 A .0 B .1 C .2 D .37.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为A 。
8(3+1)+B .8(3+1)+2C .8(3+1)一D .8(3+l)8.将函数y=cos (2x+3π)的图象向左平移6π个单位后,得到f (x)的图象,则A .f (x)=-sin 2xB .f(x )的图象关于x=一3π对称C.f(73π)=12D .f (x)的图象关于(1,0)对称9.已知奇函数f(x )满足f (x 一2)=f (x ),当0〈x<l 时,f(x )=2x ,则f (log 29)的值为 A 。
2017届高三上学期第三次月考(11月月考)数学(文科)试卷-答案
两边平方得 ,
又由(1)知 ,设 ,即 ,
所以 ,即 ,当且仅当 时取等号.
又 ,
故而当且仅当 时, 取到最大值 .
20.解(1)任取 ,
则 ,
,
又 ,
,即函数 在区间 上是增函数.
(2) 函数 是定义在区间 上的奇函数,且在区间 上是增函数,
则不等式可转化为
根据题意,则有 ,解得 .
即不等式的解集为 .
18.解:
(1)设两类产品的收益与投资额的函数关系分别为:
;
(2)设:投资债券产品 万元,则股票类投资为 万元
另 ,则
所以,当 ,即 万元时,收益最大, 万元
19.解:(1)因为 ,
由正弦定理得: ,
即: ,
,又由C为 的内角,故而
所以 ,又由B为 的内角,故而
(2)因为点D为AC边的中点,故而 ,
15.【解析】试题分析:原式
.
16.
三、解答题
17.
18.【解析】试题分析:(1)由投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比,结合函数图象,我们可以利用待定系数法来求两种产品的收益与投资的函数关系;(2)由(1)的结论,我们设设投资债券类产品 万元,则股票类投资为 万元.这时可以构造出一个关于收益 的函数,然后利用求函数最大值的方法进行求解.
.
故 .
若 ,使 成立,由已知,有 ,解得 ,所以m的取值范围为 .
22.解:(1) 的定义域为 , ,
令 ,得 ,
当 ,即 时, 在 内单调递增,
当 ,即 时,由 解得
, ,且 ,
在区间 及 内, ,在 内, ,
在区间 及 内单调递增,在 内单调递减.
【山西省怀仁县第一中学】2017届高三上学期第三次月考(11月月考)数学(文科)试卷
(1)证明: ;
(2)若不等式 的解集为非空集,求a的取值范围.
18.(本小题满分12分)
某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健性产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元.
14.数列 的前n项和为 ,已知 ,且对任意正整数m,n都有 ,若 恒成立,则实数t的最小值为________________.
15. ________________.
16.已知平面向量 , 的夹角为120°,且 ,则 的最小值为________________.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
D.若 ,则
6.设等比数列 的前n项和为 ,已知 ,且 ,则 ()
A.2011B.2012C.1D.0
7.为了得到函数 的图像,可以将函数 的图像()
A.向右平移 个单位B.向左平移 个单位
C.向右平移 个单位D.向左平移 个单位
8.设函数 ,且其图像关于直线 对称,则()
A. 的最小正周期为 ,且在 上为增函数
B. 的最小正周期为 ,且在 上为减函数
C. 的最小正周期为 ,且在 上为增函数
D. 的最小正周期为 ,且在 上为减函数
9.如图,已知点 在 所包围的阴影部分区域内(包含边界),若 是使得 取得最大值的最优解,则实数a的取值范围为()
A. B. C. D.
10.在 中,a,b,c分别为角A,B,C所对应的三角形的边长,若 ,则 ()
山西省怀仁县第一中学2017届高三上学期第三次月考(11月月考)
山西省临汾一中、忻州一中、长治二中等五校2017届高三第三次五校联考数学(文)试题答案
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2017届山西省高三9月名校联考数学(文)试题
2017届山西省高三9月名校联考数学(文)试题数学试卷(文科)第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合2{|20}M x x x =->,集合{0,1,2,3,4}N =,则()R C M N 等于( )A .{4}B .{3,4}C .{0,1,2}D .{0,1,2,3,4} 2.已知函数2ln ,0()1,0x x f x x x ->⎧=⎨+<⎩,则[()]f f e 的值为( ) A .2 B .3 C .4 D .53.若函数()f x 的导函数的图象关于y 轴对称,则()f x 的解析式可能为( )A .()3cos f x x =B .32()f x x x =+C .()1sin 2f x x =+D .()x f x e x =+4.已知2a x =,则命题:“(0,)y ∃∈+∞,1xy =”的否定为( )A .(0,)y ∀∈+∞,1xy ≠B .(,0)y ∀∈-∞,1xy =C. (0,)y ∃∈+∞,1xy ≠D .(,0)y ∃∈-∞,1xy =5.设函数()lg(1)f x x =-,则函数(())f f x 的定义域为( )A .(9,)-+∞B .(9,1)-C .[9,)-+∞D .[9,1)-6.已知集合{|21}x A x =>,集合{|}B x x m =>,则“0m >”是“A B A = ”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件7.曲线31()(0)f x x x x=->上一动点00(,())P x f x 处的切线斜率的最小值为( )A B .3 C . D .68.若函数20.2()log (54)f x x x =+-在区间(1,1)a a -+上递减,且lg 0.2b =,0.22c =,则( )A .c b a <<B .b c a <<C .a b c <<D .b a c <<9.函数22()(44)log x x f x x -=-的图象大致为( )A .B .C .D .10.函数3()3||1(1)f x x x x =-+≤的零点所在区间为( ) A .11(,)34--和1(,1)2 B .11(,)23--和11(,)32C .11(,)23--和1(,1)2D .11(,)34--和11(,)32 11.旅行社为去广西桂林的某旅游团包飞机去旅游,其中旅行社的包机费为10000元,旅游团中的每人的飞机票按以下方式与旅行社结算:若旅游团的人数在20或20以下,飞机票每人收费800元;若旅游团的人数多于20,则实行优惠方案,每多一人,机票费每张减少10元,但旅游团的人数最多为75,则该旅行社可获得利润的最大值为( )A .12000元B .12500元C .15000元D .20000元12.设函数1()421x x f x +=-+-,2()lg(41)g x ax x =-+,若对任意1x R ∈,都存在2x R ∈,使12()()f x g x =,则实数a 的取值范围为( )A .(0,4]B .(,4]-∞C .(4,0]-D .[4,)+∞第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.设命题:p 若||2x >,则2x <-或2x >.那么p 的逆否命题为__________.14.若函数1()33x x f x m +-=+ 为R 上的奇函数,则()3m f 的值为________. 15.若2()4()log (3)f x f x x +-=+,则(1)f =__________.16.设函数()ln ,0()22,0x a x x f x ax a x +>⎧=⎨++≤⎩,且'(1)'(1)f f -=,则当0x >时,()f x 的导函数'()f x 的极小值为__________.三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(本小题满分10分)已知函数221,0(),0x x f x m x x -⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩,给出下列两个命题: 命题:p 若9m =,则((1))0f f -=.命题:q (,0)m ∃∈-∞,方程()f x m =有解.(1)判断命题p 、命题q 的真假,并说明理由;(2)判断命题p ⌝、p q ∧、p q ∨、()p q ∧⌝的真假.18. (本小题满分12分) 设函数()ln a f x x a x=++为定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的奇函数. (1)求实数a 的值;(2)判断函数()f x 在区间(1,)+∞上的单调性,并用定义法加以证明.19. (本小题满分12分)已知函数3()95f x x x =-+.(1)求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线与坐标轴围成三角形的面积;(2)求()f x 的单调区间和极值.20. (本小题满分12分)已知集合{|2}A x m x m =<<,{|B x y ==,{|2C y y x ==. (1)若3log 1m =,求A B ;(2)若()A B C ≠∅ ,求m 的取值范围.21. (本小题满分12分)已知函数()f x 满足21(1)(3)3f x x f +=-. (1)设|1|()()3x g x f x -=+,求()g x 在[0,3]上的值域;(2)当1(2,)2x ∈--时,不等式2()4(2)()f a a a f x +<+恒成立,求a 的取值范围.22.(本小题满分12分)已知曲线21()(0,0)f x e x x a ax=+≠≠在1x =处的切线与直线2(1)20160e x y --+=平行. (1)讨论()y f x =的单调性;(2)若()ln kf s t t ≥在(0,)s ∈+∞,(1,]t e ∈上恒成立,求实数k 的取值范围.山西高三名校联考数学试卷参考答案(文科)一、选择题1. C2.A3.C4.A5.B6.A7.C8.D9.A 10.D 11.C 12.B二、填空题13. 若22x -≤≤ ,则||2x ≤ 14. -8 15.21516.2 三、解答题17.解:(1)若9m =,则((1))(3)0f f f -==,故命题p 为真命题.……………………………………2分18.解:(1)∵()ln a f x x a x =++为定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的奇函数, ∴()()f x f x -=-, ∴ln (ln )a a x a x a x x--+=-++, ∴ln 0a =, ∴1a =.…………………………………………………………………………………………………………4分 (2)1()f x x x =+在区间(1,)+∞上是增函数.…………………………5分 证明:设121x x <<, 则121212121212121212111()()()x x x x f x f x x x x x x x x x x x x x ---=-+-=--=-.………………………………9分∵121x x <<,∴120x x -<,121210x x x x -> . ∴12()()0f x f x -<,即12()()f x f x <.∴()f x 在区间(1,)+∞上是增函数.…………………………………………………………………………12分19.解:(1)∵2'()39f x x =-,∴'(2)3f =.∵(2)5f =-,…………………………………………2分 ∴曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为53(2)y x +=-,即311y x =-.………………………4分 令0x =得11y =-;令0y =得113x =.故所求三角形的面积为11112111236⨯⨯=.……………………6分 (2)令'()0f x =得x =.……………………………………7分令'()0f x >得x <或x >'()0f x <得x <<.………………………………………8分∴()f x的增区间为(,-∞,)+∞,减区间为(.………………………………………10分∴()f x的极大值为(5f =+,()f x的极小值为5f =-.…………………………12分20.解:(1)若3log 1m =,则3m =.…………………………………………………………………………1分∴{|36}A x x =<<,又{|4}B x x =≤,∴{|6}A B x x =< .…………………………………………4分(2(0)t t =≥,∴21x t =+.………………………………………………………………………5分∴2211522(1)2()48y x t t t ==+-=-+,…………………………………………………………7分 当14t =,即1716x =时,2y x =-158.…………………………………8分 故15[,)8C =+∞,从而15[,4]8B C = ,……………………………………………………………………9分 ∵()A B C ≠∅ ,∴415152(,4)8162m m m m m<⎧⎪⎪>⇒∈⎨⎪<⎪⎩.………………………………………………………12分21.解:(1)令2x =,得1(3)4(3)3f f =-,∴(3)3f =, 令1x t +=,则1x t =-,∴22()(1)12f t t t t =--=-,∴2()2f x x x =-.……………………………3分∵|1|3x y -=与()y f x =都在[0,1)上递减,(1,3]上递增,∴()g x 在[0,1)上递减,(1,3]上递增, ∴min ()(1)0g x g ==,max ()(3)12g x g ==,∴()g x 在[0,3]上的值域为[0,12].………………………6分(2)由(1)知2()4(2)()f a a a f x +<+即为222(2)()a a a f x +<+.当20a +=时,222(2)()a a a f x +<+,即为0a <,不合题意.…………………………………………7分当20a +>时,222(2)()a a a f x +<+可转化为222()(1)1a f x x <=--. ∵1(2,)2x ∈--,∴21(,4)4x ∈,∵222()(1)1f x x =--,∴当21x =即1x =-时,2()f x 取得最小值-1.∴1a <-,∵20a +>,∴21a -<<-.……………………………………………………………………10分当20a +<时,222(2)()a a a f x +<+可转化为2()a f x >. ∵当1(2,)2x ∈--时,2()8f x <,∴8a ≥,又2a <-,∴不合题意.…………………………………11分 综上,a 的取值范围为(2,1)--.………………………………………………………………………………12分22.解:(1)由条件可得221'(1)1f e e a =-=-,∴1a =. 由21()f x e x x=+可得2222211'()e x f x e x x -=-=. 由'()0f x >可得2210,0,e x x ⎧->⎨≠⎩解之得1x e >或1x e <-; 由'()0f x <可得2210,0,e x x ⎧-<⎨≠⎩解之得10x e -<<或10x e <<. ∴()f x 在1(,)e -∞-,1(,)e +∞上单调递增,在1(,0)e -,1(0,)e上单调递减 (5)分(2)令()ln g t t t =,当(0,)s ∈+∞,(1,]t e ∈时,()0f s >,()ln 0g t t t =>, 由()ln kf s t t ≥可得ln ()t t k f s ≥在(0,)s ∈+∞,(1,]t e ∈时恒成立. 即max max ln ()[][]()()t t g t k f s f s ≥=,故只需求出()f s 的最小值和()g t 的最大值. 由(1)可知,()f s 在1(0,)e 上单调递减,在1(,)e +∞上单调递增,故()f s 的最小值为1()2f e e =.由()ln g t t t =可得'()ln 10g t t =+>在区间(1,]e 上恒成立.∴()g t 在(1,]e 上的最大值为()ln g e e e e ==, ∴只需122e k e ≥=, ∴实数k 的取值范围是1[,)2+∞ (12)分。
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高三数学试卷(文科)一、选择题1.设全集{}{}{}0,1,2,3,4,1,2,1,3U U C A B ===,则A B 等于( ) A .{}2 B . {}1,2,3 C . {}0,1,3,4 D .{}0,1,2,3,42.在等比数列{}n a 中,1241,23a a a ==,则5a 等于( ) A .43 B . 63 C . 83 D .1633.在ABC ∆中,0,120a A ==,则角B 的大小为( ) A . 30° B . 45° C . 60° D .90° 4.已知命题2:4,log 2p x x ∀≥≥;命题:q 在ABC ∆中,若3A π>,则sin A >.则下列命题为真命题的是( )A . p q ∧B . ()p q ∧⌝C . ()()p q ⌝∧⌝D .()p q ⌝∨5.已知曲线()21ax f x x =+在点()()1,1f 处切线的斜率为1,则实数a 的值为( )A .32 B . 32- C . 34- D .436.已知非零向量a b 、满足23,22a b b a b =-=+,则a 与b 的夹角的余弦值为( ) A .23 B . 34 C .13 D .147.若数,x y 满足1030270x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩,则2z x y =-的最小值是( )A . -3B .-4C . 6D .-6 8.若13tan ,,tan 242ππααα⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭,则cos 2α的值为( )A .45 B .45- C . 35 D .35- 9.已知函数()()sin ,08f x x x R πωω⎛⎫=+∈> ⎪⎝⎭的最小正周期为π,为了得到函数()cos g x x ω=的图象,只要将()y f x =的图象( )A . 向左平移34π个单位长度 B .向右平移34π个单位长度 C .向左平移316π个单位长度 D .向右平移316π个单位长度10.函数()32xy x x =-的图象大致是( )A .B .C .D .11.如图,在ABC ∆中,,3,1AD AB BC BD AD ⊥==,则AC AD 的值为( )A .1B .2C .3D .4 12.设函数()f x 在R 上存在导函数()f x ',对于任意的实数x ,都有()()23f x x f x =--,当(),0x ∈-∞时,()132f x x '+<,若()()27392f m f m m +--≤+,则实数m 的取值范围是( ) A . 3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ B .12⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭, C . [)1-+∞,D .[)2-+∞, 二、填空题13.已知函数()3sin ,021log ,06x x f x x x π⎧≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩,则(f f ⎡⎤=⎣⎦__________.14.设,x y R ∈,向量()()(),2,1,,2,6a x b y c ===-,且,b//c a c ⊥,则a b +=__________.15.设实数,m n满足64m n+=mn 的最小值为 ____________. 16.已知数列{}n a 的通项公式()(),14182,2nn a n a n a n =⎧⎪=⎨+--≥⎪⎩,若对任意1,n n n N a a ++∈<恒成立,则a 的取值范围是_____________ .三、解答题17.(本小题满分10分)设数列{}n a 满足14n n a a +=+,且11a =. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若n b 为n a 与1n a +的等比中项,求数列21n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 18.(本小题满分12分)在锐角ABC ∆中,设角,,A B C 所对边分别为,,a b c ,已知向量()()2,,,1m b c a bc n b c =++=+-,且0m n = .(1)求角A 的大小 ;(2)若3a =,求ABC ∆的周长的最大值. 19.(本小题满分12分)已知函数()2cos 22sin 2sin f x x x x =++.(1)将函数()2f x 的图像向右平移6π个单位得到函数()g x 的图像,若,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,求函数()g x 的值域;(2)已知,,a b c 分别为锐角三角形ABC 中角,,A B C 的对边,且满足()2,2sin b f A b A ==+=,求ABC ∆的面积.20.(本小题满分12分)设数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a =,且对任意正整数n ,满足1220n n a S ++-=.(1)求数列{}n a 的通项公式.(2)设2n n b na =,求数列{}n b 的前n 项和n T .21. (本小题满分12分)设p :()1f x ax =+,在(]0,2上()0f x ≥恒成立;q :函数()2ln ag x ax x x=-+在其定义域上存在极值.(1)若p 为真命题,求实数a 的取值范围;(2)如果“p 或q ”为真命题,“p 且q ”为假命题,求实数a 的取值范围. 22.(本小题满分12分) 已知曲线 ()xaxf x e =在0x =处的切线方程为y x b =+. (1)求,a b 的值;(2)若对任意()2131,,2263x f x m x x ⎛⎫∈< ⎪+-⎝⎭恒成立,求m 的取值范围.参考答案一、选择题二、填空题 13. 14. ()3,5 三、解答题17.解:(1)由14n n a a +=+可得14n n a a +-=,所以,数列{}n a 是公差为4的等差数列, 又11a =,所以()11443n a n n =+-⨯=-.......................4分(2)因为n b 为n a 与1n a +的等比中项,所以21n n n b a a += ,.........................6分 所以()()21111111434144341n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭,..................8分 所以()()1211111111111111155991343414559434111144141n n n T a a a a n n n n n n n +⎛⎫=++=++++=-+-++- ⎪⨯⨯⨯-⨯+-+⎝⎭⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭又()0,A π∈,所以23A π=........................6分 (2)由(1)及3a =,得()()()2222222324b c a b c bc b c bc b c b c +⎛⎫=++=+-≥+-=+ ⎪⎝⎭,所以()212b c +≤,.....................................9分所以3b c a b c +≤++≤+,............................11分故ABC ∆的周长的最大值3+............................12分 19.解:()2cos 22sin 2sin f x x x x =++()cos 21cos 22sin x x x =+-+.......................1分12sin x =+,.........................3分 (1)平移可得()2sin 213g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,.................................4分 ∵,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,∴22,363x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦,...................5分 当12x π=时,()min 0g x =;当512x π=时,()max 3g x =.............6分 ∴所求值域为[]0,3........................7分(22sin b A =2sin sin A B A =,................8分∴sin B =,∵02B π<<,∴3B π=,由()1f A =得sin A =4A π=..................................10分由正弦定理得:a =........................11分∴11sin 222ABC S ab C ∆===................12分 20.解:(1)因为1220n n a S ++-=,所以,当2n ≥时,1220n n a S -+-=,.....................1分 两式相减得11220n n n n a a S S +--+-=,即111220,2n n n n n a a a a a ++-+==.............3分又当1n =时,212122220a S a a +-=+-=,所以211122a a ==,..................4分所以{}n a 是以首项11a =,公比12q =的等比数列, 所以数列{}n a 的通项公式为112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭.......................6分(2)由(1)知,214n n n nb na -==,...................................7分 则22123114444n n n n nT ---=+++++ ,①3231442444n n n n nT ---=+++++ ,②.......................8分 ②—①得321111354444n n n n nT ---=++++- ,..........................10分 11634334n n -+=-⨯,.......................................11分 所以,数列{}n b 的前n 项和为11634994n n n T -+=-⨯.....................12分 21.解:(1)因为10ax +≥对(]0,2x ∈恒成立,所以1a x ≥-,所以max 112a x ⎛⎫≥-=- ⎪⎝⎭,即a 的取值范围为1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭..................4分 (2)对于q ,()()222222ln ,a a ax x ag x ax x g x a x x x x++'=-+=++=, 若()()0,0,a g x g x '≥>在定义域单调递增,在其定义域上不存在极值,不符合题意; 若0a <,则10a->,由2440a ∆=->,解得10a -<<, 所以,若q 为真命题,则10a -<<,............................ 8分 因为“p 或q ”为真命题,“p 且q ”为假命题,所以命题p 与q 一真一假,①p 真q 假时,1201a a a ⎧≥-⎪⎨⎪≥≤-⎩或,解得0a ≥, ②p 假q 真时,1210a a ⎧<-⎪⎨⎪-<<⎩,解得112a -<<-,综上所述,a 的取值范围为[)11,0,2⎛⎫--+∞ ⎪⎝⎭..........................12分22.解:(1)由题意得()()1xa x f x e -'=,因曲线()y f x =在0x =处的切线方程为y x b =+,所以,得()011af '==,即1a =,又()00f =,从而0b =................... 4分 (2)由(1)知()2163x x f x e m x x =<+-对任意13,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立, 所以2630m x x +->,即236m x x >-,对任意13,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭恒成立,从而94m ≥-.............6分 又不等式整理可得236x e m x x x <+-,令()236x e g x x x x=+-,所以()()()()2216116x x e x e g x x x x x -⎛⎫'=+-=-+ ⎪⎝⎭,令()0g x '=,得1x =..................9分当31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0g x '>,函数()g x 在31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,同理,函数()g x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,所以()()min 13m g x g e <==-,.................11分综上所述,实数m 的取值范围是9,34e ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭...............................12分。