3.1-3.3全称量词与存在量词 (共43张PPT)

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下列语句是特称命题的是( A．整数 n 是 2 和 7 的倍数
)
B．存在整数 n0，使 n0 能被 11 整除 C．x>7 D．任意 x∈M，p(x)成立
【解析】 A、C 不是命题，D 是全称命题，B 是特称命题．
【答案】 B
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教材整理 3
全称命题与特称命题的否定
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1．全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题． 2．常见关键词的否定： 关键词 词语的否 定 是 > < 都是 所有 有的 至少有 n 个 至多有 n－ 1个
不是 ≤
≥
不都是
有一个
任意Leabharlann 上一页返回首页下一页
[再练一题] 2．写出下列命题的否定并判断其真假： (1)不论 m 取何实数，方程 x2＋mx－1＝0 必有实数根； (2)有些三角形的三条边相等； (3)菱形的对角线互相垂直； (4)存在一个实数，使得 3x<0.
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(2)特称命题的真假判断 要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合 M 中，找到一个 x＝x0，使 p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．
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[再练一题] 1．指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断其真假． (1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点； (2)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (3)对任意实数 x1，x2，若 x1<x2，都有 tan x1<tan x2； (4)存在一个函数，既是偶函数又是奇函数．
【答案】 任意 x∈R，使 x2＋x＋1＞0
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[质疑· 手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑： _____________________________________________________ _______________________________________________________ _____________________________________________________ _______________________________________________________ ______________________________________________________ _______________________________________________________
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[小组合作型]
全称命题与特称命题的判断及真假判断
(1)下列命题是特称命题的是( ①所有的合数都是偶数； ②有一个实数 x0，使 x2 0＋x0＋1＝0； ③存在 x0∈R，x2 0＋1≥1； ④正方形都是矩形． A．①④ B．②③ C．①③
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)
D．②④
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(2)下列命题中的真命题的个数为( 1 ①任意 x∈R，都有 x －x＋1>2；
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【解】
(1)(3)是全称命题，(2)(4)是特称命题．
(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)与平面直角坐标系中的点是 一一对应的，所以该命题是真命题． (2)存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题是真命题． (3)存在 x1＝0，x2＝π，x1<x2，但 tan 0＝tan π，所以该命题是假命题． (4)存在一个函数 f(x)＝0，它既是偶函数又是奇函数，所以该命题是真命题.
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教材整理 2 存在量词与特称命题 阅读教材 P11“3.2 存在量词与特称命题”部分，完成下列问题． “有些”“__________”“________”“存在”都有表示个别或一部分的 含义，这样的词叫作存在量词，含有__________的命题，叫作特称命题．
【答案】 至少有一个 有一个 存在量词
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全称命题、特称命题的否定
写出下列命题的否定： (1)三个给定产品都是次品； (2)数列{1,2,3,4,5}中的每一项都是偶数； (3)方程 x2－8x＋15＝0 有一个根是偶数； (4)有的四边形是正方形. 【导学号：63470009】
【精彩点拨】 先判断是全称命题还是特称命题，再对命题否定．
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【自主解答】 次品．
(1)是全称命题，否定是：三个给定产品中至少有一个不是
(2)是全称命题，否定为：数列{1,2,3,4,5}中至少有一项不是偶数． (3)是特称命题，否定为：方程 x2－8x＋15＝0 的每一个根都不是偶数． (4)是特称命题，否定为：所有四边形都不是正方形．
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2.能成立与恒成立问题的解法： (1)若含有参数的不等式 f(x)≤m 在区间 D 上能成立，则 f(x)min≤m；若不等 式 f(x)>m 在区间 D 上能成立，则 f(x)max≥m. (2)若含有参数的不等式 f(x)≤m 在区间 D 上恒成立，则 f(x)max≤m；若含有 参数的不等式 f(x)≥m 在区间 D 上恒成立，则 f(x)min≥m. (3)特称命题是真命题，可以转化为能成立问题，全称命题是真命题，可以 转化为恒成立问题解决．
阶 段 一
§3 3.1 3.2
全称量词与存在量词 全称量词与全称命题 存在量词与特称命题
阶 段 三
阶 段 二
3.3
全称命题与特称命题的否定
学 业 分 层 测 评
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1．了解全称量词与存在量词的定义． 2．理解全称命题与特称命题的含义．(重点) 3．掌握全称命题与特称命题的否定方法．(重点) 4．掌握各种命题的真假判断及应用．(难点)
f－1≤0， 成立．又由二次函数的图像特征可知， f1≤0，
1 p≥1或p≤－2， 2 4 ＋ 2 p － 2 － 2 p － p ＋ 1 ≤ 0 ， 即 即 2 4－2p－2－2p －p＋1≤0， p≥3或p≤－3. 2 3 ∴p≥2或 p≤－3.
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【解】 (1)存在一个实数 m，使方程 x2＋mx－1＝0 没有实数根； 因为该方程的判别式 Δ＝m2＋4>0 恒成立，故为假命题． (2)所有三角形的三条边不全相等；显然为假命题． (3)有的菱形的对角线不垂直；显然为假命题． (4)对于所有实数 x，都满足 3x≥0；显然为真命题．
阅读教材 P12“练习”以下至 P13“例 2”以上部分，完成下列问题． 1．全称命题的否定 要说明一个全称命题是错误的，只需 __________就可以了．实际上是要说 明这个全称命题的否定是正确的． 全称命题的否定是__________．
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2．特称命题的否定 要说明一个特称命题“存在一些对象满足某一性质”是错误的，就要说明 所有的对象都________这一性质，实际上是要说明这个特称命题的否定是正确 的． 特称命题的否定是________．

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1 1 3 ∵ t ∈ 2，＋∞ ，∴f(t)min＝f(2)＝4.
3 ∴a －a<4.
2
1 3 ∴－2<a<2. 所以 a
1 3 的取值范围是－2，2.
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1.利用含量词的命题的真假求参数取值范围的技巧 (1)含参数的全称命题为真时，常转化为不等式的恒成立问题来处理，最终 通过构造函数转化为求函数的最值问题． (2)含参数的特称命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，最 终借助根的判别式或函数等相关知识获得解决．
不等式求得参数范围．
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【自主解答】
令 2x＝t，∵x∈(－∞，1]，∴t∈(0,2]．
2
t ＋1 ∴原不等式可化为：a －a< t2 . 只使上式在 t∈(0,2]上恒成立， t ＋1 只需求出 f(t)＝ t2 在 t∈(0,2]上的最小值即可． t＋1 12 1 1 12 1 ∵f(t)＝ t2 ＝ t ＋ t ＝ t ＋2 －4.
2，
又∵任意 x∈R，sin x＋cos x>m 恒成立， ∴只要 m<－ 2即可． ∴所求 m 的取值范围是(－∞，－ 2)．
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探究 2 存在实数 x，不等式 sin x＋cos x>m 有解，求实数 m 的取值范围．
【提示】 令 y＝sin x＋cos x，x∈R，
π 2sinx＋4∈[－
【答案】 每一个 任何 任意一条 全称量词
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下列命题中，是全称命题的有________个． (1)任何一个实数乘以 0 都等于 0； (2)自然数都是正整数； (3)每一个向量都有大小； (4)一定存在没有最大值的二次函数．
【解析】 【答案】 (1)(2)(3)中都含有全称量词，是全称命题． 3
∵y＝sin x＋cos x＝
2， 2]．
又∵存在 x∈R，sin x＋cos x>m 有解， ∴只要 m< 2即可， ∴所求 m 的取值范围是(－∞， 2)．
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已知对任意的 x∈(－∞，1]，不等式 1＋2x＋(a－a2)4x>0 恒成立， 求 a 的取值范围．
【精彩点拨】
这是一个全称命题，可以分离参数，通过求函数的最值解
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[探究共研型]
全称命题与特殊命题的应用
探究 1 对于任意实数 x，不等式 sin x＋cos x>m 恒成立，求实数 m 的取值 范围．
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【提示】 令 y＝sin x＋cos x，x∈R， ∵y＝sin x＋cos x ＝
π 2sinx＋4≥－
2
)
②存在 α0，β0，使 cos(α0－β0)＝cos α0－cos β0； ③任意 x，y∈N，都有 x－y∈N. A．0 B．1 C．2 D．3
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【精彩点拨】 (1)先确定命题中有哪种量词，进而确定是哪一种命题． (2)先确定是哪种命题，再通过正面推理证明或举反例的方法说明命题真假．
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[基础· 初探] 教材整理 1 全称量词与全称命题
阅读教材 P11“3.2 存在量词与特称命题”以上部分，完成下列问题． “所有”“________”“______”“________”“一切”都是在指定范围 内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词，含有 ________的命题， 叫作全称命题．
【答案】 (1)B (2)C
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1．判断命题是全称命题还是特称命题，主要是看命题中是否含有全称量词 与存在量词，要注意，有的全称命题不含全称量词，这时要根据命题涉及的意 义去判断． 2．全称命题与特称命题的真假判断的技巧 (1)全称命题的真假判断 要判定一个全称命题是真命题， 必须对限定集合 M 中的每个元素 x 验证 p(x) 成立；但要判定全称命题是假命题，却只要能举出集合 M 中的一个 x＝x0，使得 p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．
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[再练一题] 3．已知函数 f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1 在区间[－1,1]上至少存在一个 实数 c，使得 f(c)>0.求实数 p 的取值范围. 【导学号：63470010】
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【解】
在区间[－1,1]中至少存在一个实数 c，使得 f(c)>0 的否定是在区间[－1,1]上的所有实数 x，都有 f(x)≤0 恒
【自主解答】 (1)①④是全称命题，②③是特称命题． 1 2 1 12 1 1 2 (2)①真命题，因为 x －x＋1－2＝x －x＋2＝x－2 ＋4>0，所以 x －x＋1>2
2
π π 恒成立；②真命题，如 α＝4，β＝2，符合题意；③假命题，如 x＝1，y＝5，x －y＝－4∉N.
【答案】 1.找出一个反例 特称命题 2.不满足 全称命题
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命题：“存在 x0∈R，x2 0＋x0＋1≤0”的否定是________．
【解析】 ∵命题“存在 x0∈R，x2 0＋x0＋1≤0”是特称命题，∴否定命题 为： “任意 x∈R， 使 x2＋x＋1＞0”， 故答案为： “任意 x∈R， 使 x2＋x＋1＞0”．