九级数学上册第二十二章二次函数复习讲义

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九年上第二十二章二次函数全章知识点总结

二次函数二次函数的定义：一般地，形如()0,,2≠++=a c b a c bx ax y 是常数的函数，叫做二次函数，x 是自变量，c b a ,,分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。

开口方向：二次函数c bx ax y ++=2图像是一条抛物线，二次项系数()0≠a a 决定二次函数图像的开口方向，当0>a ，二次函数图像开口向上，当0<a ，二次函数图像开口向下。

在直角坐标系中画出二次函数221x y =，2x y =，22x y =的图像，观察图像可知三个二次函数图像的顶点坐标，对称轴都相同，开口大小逐渐减小。

规律：0>a ，a 越大，抛物线的开口越小。

在直角坐标系中画出二次函数221x y -=，2x y -=，22x y -=的图像，观察图像可知三个二次函数图像的顶点坐标，对称轴都相同，开口大小逐渐减小。

规律：0<a ，a 越小，抛物线的开口越小。

抛物线的开口大小与a 有关，a 越大，开口越小；a 越小，开口越大。

对称轴：二次函数()0,,2≠++=a c b a c bx ax y 是常数图像是轴对称图形，关于对称轴对称。

它的对称轴是ab x 2-= 二次函数的单调性：二次函数图像在对称轴左、右两边单调性是相反的。

0>a ，当a b x 2-<时，y 随x 的增大而减小，当a bx 2->时，y 随x 的增大而增大。

0<a ，当abx 2-<时，y 随x 的增大而增大，当abx 2->时，y 随x 的增大而减小。

二次函数的顶点：二次函数对称轴与二次函数图像的交点便是二次函数的顶点。

二次函数的顶点坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22，当0>a 时，二次函数的顶点是图像的最低点。

0<a 时，二次函数的顶点是图像的最高点。

二次函数的最值：若二次函数的自变量是全体实数，二次函数在图像的顶点处取得最值。

九年级数学上册第22章二次函数小结与复习课件新版新人教版

∴当x=87时，W有最大值，此时W=-(87-90)2+900=891.
针对训练
11.一家电脑公司推出一款新型电脑，投放市场以来3个月的利润情况如图所示，该图可以近似看作为抛物线的一部分，请结合图象，解答以下问题：
(1)求该抛物线对应的二次函数解析式； (2)该公司在经营此款电脑过程中，第几月的利润最大？最大利润是多少？ (3)若照此经营下去，请你结合所学的知识，对公司在此款电脑的经营状况 (是否亏损？何时亏损？)作预测分析．
【解析】
方法一：配方，得y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，则
顶点坐标为(1,2)．
方法二代入公式
x2ba2211，y4ac4ab2
41322
41
2，
则顶点坐标为(1,2)．
方法归纳解决此类题目可以先把二次函数y＝ax2＋bx ＋c配方为顶点式y＝a(x－h)2＋k的形式，得到：对称轴是直线x＝h，最值为y＝k，顶点坐标为(h，k)；也可以直接利用公式求解.
解得, a=2,b=－3,c=5.
待定系数法
∴ 所求的二次函数为y＝2x2－3x＋5.
针对训练 5.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=－x2－3x+7
的形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离
为5,请写出满足此条件的抛物线的表达式.
解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=－x2－3x+7的形状
＋2bx＋c的对称轴应在直线x=1的左侧而抛物线y=－x2
＋2bx＋c的对称轴
x b b 2(1)
，即b≤1，故选择D .
考点四抛物线的几何变换
例4 将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移 2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是( )

人教版数学九年级上册第二十二章《二次函数》章节知识点归纳复习总结

人教版数学九年级上学期《二次函数》章节知识点归纳总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：（1）一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数。

（2）这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a ≠0，而b c ，可以为零．二次函数的定义域(x)是全体实数．2. 二次函数 2y ax bx c =++ 的结构特征：（1）等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．（2）a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．3. 二次函数解析式的几种形式（1）一般式：y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）（2）顶点式：y=a(x-h)2+k [抛物线的顶点P （ h ，k ）]（3）交点式：y=a(x-x 1)(x-x 2)[仅限于与x 轴有交点A （x 1，0）和 B （x 2，0）的抛物线]其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax 2+bx+c ＝0的两个根，a ≠0. x 1,x 2 = (-b ±ac 4b 2-)/2a在三种形式的互相转化中，有如下关系:h= -b / 2a ； k=(4ac-b 2) / 4a ； x 1,x 2 = (-b ±ac 4b 2-) / 2a说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)；(2) 当h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y轴上；当k＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点；(3) 如果图像经过原点，并且对称轴是y轴，则设y=ax2；如果对称轴是y轴，但不过原点，则设y=ax2+k4.抛物线的性质（1）.抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线 x = -b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

第22章二次函数(二)二次函数与一元二次方程讲义人教版数学九年级上册

第二十二章二次函数（二）二次函数与一元二次方程知识点一二次函数与一元二次方程的关系要点1.一元二次方程是二次函数的函数值y=0时的情况，反映在图象上就是一元二次方程的根为对应二次函数的图象与x轴交点的横坐标.求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y=0，求ax2+bx+c=0中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程.要点2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。

这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根.因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数；二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况，它们的关系如下表：要点3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象与x轴的交点的个数由∆=b2-4ac的值来确定的.（1）当二次函数的图象与x轴有两个交点时，∆=b2-4ac＞0，方程有两个不相等的实根；（2）当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，∆=b2-4ac=0，方程有两个相等的实根；（3）当二次函数的图象与x轴没有交点时，∆=b2-4ac＜0，方程没有实根.课堂练习1.在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2-4x的图象与x轴的交点坐标是（）A.(0，0)B.(4，0)C.(4，0)、(0，0)D.(2，0)、(-2，0)2.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数是（）A.0B.1C.2D.33.若函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A.k<3B.k<3且k≠0C.k≤3D.k≤3且k≠04.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，那么关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个解为（）A.-1，3B.-2，3C.1，3D.3，45.二次函数y=x2-6x-7的图象与x轴的交点坐标是，与y轴的交点坐标是.6.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(-1，0)，B(5，0)，则一元二次方程ax2+bx+c =0(a≠0)的根是.7.若二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行与y轴的直线，则关于x的方程x2+bx=5的解为（）A.x1=0，x2=4B.x1=1，x2=5C.x1=1，x2=-5D. x1=-1，x2=58.已知抛物线y=2(k+1)x2+4kx+2k-3，求k为何值时，抛物线与x轴有两个交点、有唯一交点、没有交点.9.已知关于x 的一元二次方程：x 2-(t -1)x +t -2=0. （1）求证：对于任意实数t ，方程都有实数根；（2）当t 为何值时，二次函数y =x 2-(t -1)x +t -2的图象与x 轴的两个交点的横坐标互为相反数？请说明理由.知识点二抛物线与x 轴两交点之间的距离要点1.抛物线与x 轴两交点之间的距离公式：若抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)与x 轴两交点为A (x 1，0)，B (x 2，0)由于x 1、x 2是方程ax 2+bx +c =0的两个根，.有2121acx x a b x x =-=+，则结合两点之间的距离公式：22)()(B A B A x x y y AB -+-=（勾股定理）.a a acb a ca b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+=-=-=444)()(222122122121.课堂练习1.已知抛物线y =43x 2415-x +3经过与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于C 点，顶点为D 点，分别求出△ABC 和△ABD 的面积.知识点三利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解要点1.我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的解.由于作图或观察可能有误差，由图象求得的解一般是近似的.利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解的一般步骤如下：（1）作出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，由图象确定与x轴交点的个数，即方程解的个数；（2）观察图象与x轴的交点在哪两个数之间，即确定交点的横坐标的取值范围；（3）在两个数之间取值估计，并用计算器估算近似解近似解出现在对应y值正负交替的地方.当x由x1到x2，对应的y值出现y1>0，y2<0(或y1<0<y2)时，则x1，x2中必有一个是方程的近似解.再比较|y1|和|y2|，若|y1|<|y2|，则x1是方程的近似解；若|y1|>|y2|则x2是方程的近似解.利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解的常用方法如下表：方法步骤结论方法一直接作出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象图象与x轴的交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根方法二先将一元二次方程变为ax2+bx=-c(a≠0)，再在同一直角坐标系中画出抛物线y=ax2+bx和直线y=-c两图象交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根方法三先将一元二次方程化为ax2=-bx-c(a≠0)移项后得再在同一直角坐标系中画出抛物线y=ax2和直线y=-bx-c两图象交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根课堂练习1.已知二次函数y=x2-2x-3.（1）请你将函数解析式化成y=a(x-h)2+k的形式，并在平面直角坐标系中画出y=x2-2x-3的图象（2）利用（1）中的图象结合图象变换表示x2-2x-1=0的根，要求保留作图痕迹，指出方程的图形意义.2.如图，点A （2.18，-0.51），B （2.68，0.54），在二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象上，则方程ax 2+bx +c ＝0的一个近似值可能是（） A.2.18 B.2.68C.-0.51D.2.453.根据下列表格的对应值，判断ax 2+bx +c =0（a ≠0，a ，b ，c 为常数）的一个解x 的取值范围是 .知识点四二次函数与一元二次不等式的关系要点1.二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)与一元二次不等式ax 2+bx +c >0(a ≠0)及ax 2+bx +c <0(a ≠0)之间的关系如下(x 1<x 2)：（1）a ＜0时：判别式a >0抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴的交点不等式ax 2+bx +c >0 的解集不等式ax 2+bx +c <0的解集△＞01x x <或2x x > 12x x x <<△＝01x x ≠（或2x x ≠）无解△＜0全体实数无解x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax 2+bx +c-0.06-0.020.030.09（2）a＜0时：利用二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象解不等式：不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象位于x轴上方的所有点的横坐标.不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象位于x轴下方的所有点的横坐标；当二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值y>0时，其自变量x的取值范围是不等式ax2+bx+c>0的解集；当二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值y<0时，其自变量x的取值范围是不等式ax2+bx+c<0的解集.要点2.利用二次函数图象解一元二次不等等式的步骤：（1）将一元二次不等式化为ax2+bx+c>0(或<0)的形式；（2）明确二次项系数a的正负、对称轴在y轴哪侧，并计算b2-4ac的值；（3）作出不等式对应的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的草图；（4）二次函数在x轴上方的图象对应的函数值大于零，在x轴下方的图象对应的函数值小于零.课堂练习1.解不等式-x2+5x+3>7.2.已知二次函数y=x2-4x+3.（1）求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；（2）在坐标系中画出该函数的图象；（3）根据图象直接写出不等式x2-4x+3>0的解集.3.已知二次函数y=-x2+2x+3.（1）求其开口方向、对称轴、顶点坐标，并画出这个函数的图象；（2）根据图象，直接写出；①当函数值y为正数时，自变量x的取值范围；②当-2＜x＜2 时，函数值y的取值范围．4.函数y=ax2+2ax+m(a<0)的图象过点(2，0)，则使函数值y<0成立的x的取值范围是（）A.x<-4或x>2B.-4<x<2C.x<0或x>2D.0<x<2。

九年级数学上册第二十二章二次函数高频考点知识梳理(带答案)

九年级数学上册第二十二章二次函数高频考点知识梳理单选题1、已知a是不为0的常数，函数y＝ax和函数y＝﹣ax2+a在同一平面直角坐标系内的图象可以是（）A．B．C．D．答案：C分析：根据题意分a>0,a<0两种情况讨论，结合函数图象即可求解．解：A.正比例函数中a<0，二次函数开口向上，−a>0，与y轴的交点在y轴正半轴，则a>0，矛盾，故A 不正确；B.正比例函数中a>0，二次函数开口向上，−a>0，与y轴的交点在y轴正半轴，则a>0，矛盾，故B不正确；C.正比例函数中a>0，二次函数开口向下，−a<0，与y轴的交点在y轴正半轴，则a>0，故C正确；D. .正比例函数中a<0，二次函数开口向下，−a<0，与y轴的交点在y轴正半轴，则a>0，矛盾，故D不正确；故选C小提示：本题考查了正比例函数与二次函数的图象的性质，掌握正比例函数与二次函数的图象的性质是解题的关键．2、函数y＝ax与y＝ax2+a（a≠0）在同一直角坐标系中的大致图象可能是（）A．B．C．D．答案：D分析：先根据一次函数的性质确定a>0与a<0两种情况分类讨论抛物线的顶点位置即可得出结论．解：函数y＝ax与y＝ax2+a（a≠0）A. 函数y＝ax图形可得a＜0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向下正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴负半轴，而不是交y轴正半轴，故选项A不正确；B. 函数y＝ax图形可得a＜0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向下正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴负半轴，而不是在坐标原点上，故选项B不正确；C. 函数y＝ax图形可得a＞0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向上正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴正半轴，故选项C不正确；D. 函数y＝ax图形可得a＜0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向上正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴正半轴正确，故选项D正确；故选D．小提示：本题考查的知识点是一次函数的图象与二次函数的图象，理解掌握函数图象的性质是解此题的关键．3、在平面直角坐标系中，若抛物线y=2(x+5)(x−3)经一次变换后得到抛物线y=2(x+3)(x−5)，则这个变换可以是（）A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位C．向上平移8个单位D．向下平移8个单位答案：B分析：先将两解析式化成顶点式，然后根据平移前后的两抛物线的顶点坐标即可解答．解：y=2（x+5）（x-3）=2x2+4x-30=2（x+1）2-32，顶点坐标是（-1，-32）．y=2（x+3）（x-5）=2x2-4x-30=2（x-1）2-32，顶点坐标是（1，-32）．所以将抛物线y=2（x+5）（x-3）向右平移2个单位长度得到抛物线y=2（x+3）（x-5）．故选：B．小提示：本题主要考查了二次函数图像与平移变换，掌握平移的规律“左加右减，上加下减”是解答本题的关键．4、若y＝（a﹣2）x2﹣3x+2是二次函数，则a的取值范围是（）A．a≠2B．a＞0C．a＞2D．a≠0答案：A分析：根据二次函数的二次项系数不为0可得关于a的不等式，解不等式即得答案．解：由题意得：a−2≠0，则a≠2．故选：A．小提示：本题考查了二次函数的定义，属于基础题型，掌握二次函数的概念是关键．5、某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获利润y（元）与降价x（元）之间的关系是y＝－2x2＋60x＋800，则利润获得最多为（）A．15元B．400元C．800元D．1250元答案：D分析：将函数关系式转化为顶点式，然后利用开口方向和顶点坐标即可求出最多的利润．解：y＝－2x2＋60x＋800＝－2（x－15）2＋1250∵－2＜0故当x＝15时，y有最大值，最大值为1250即利润获得最多为1250元故选：D．小提示：此题考查的是利用二次函数求最值，掌握将二次函数的一般式转化为顶点式求最值是解决此题的关键．6、从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．则下列结论不正确的是（）A．小球在空中经过的路程是40mB．小球运动的时间为6sC．小球抛出3s时，速度为0D．当t=1.5s时，小球的高度ℎ=30m答案：A分析：选项A、B、C可直接由函数图象中的信息分析得出答案；选项D可由待定系数法求得函数解析式，再将t＝1.5s代入计算，即可作出判断．解：A、由图象可知，小球在空中达到的最大高度为40m，则小球在空中经过的路程一定大于40m，故选项A 错误；B、由图象可知，小球6s时落地，故小球运动的时间为6s，故选项B正确；C、小球抛出3秒时达到最高点，即速度为0，故选项C正确；D、设函数解析式为ℎ=a(t−3)2+40，将（0，0）代入得：0=a(0−3)2+40，解得a=−40，9∴函数解析式为ℎ=−40(t−3)2+40，9∴当t＝1.5s时，ℎ=−40(1.5−3)2+40=30，9∴选项D正确．故选：A．小提示：本题考查了二次函数在物体运动中的应用，会用待定系数法求函数解析式并数形结合进行分析是解题的关键．7、某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，该商品每月的销售量y（件）与销售单价x （元）之间满足函数关系式y=−5x+550，若要求销售单价不得低于成本，为每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？每月最大利润是多少？（）A．90元，4500元B．80元，4500元C．90元，4000元D．80元，4000元答案：B分析：设每月所获利润为w，按照等量关系列出二次函数，并根据二次函数的性质求得最值即可．解：设每月总利润为w，依题意得：w=y(x−50)=(−5x+550)(x−50)=−5x2+800x−27500=−5(x−80)2+4500∵−5<0，此图象开口向下，又x≥50，∴当x=80时，w有最大值，最大值为4500元．故选：B．小提示：本题考查了二次函数在实际生活中的应用，根据题意找到等量关系并掌握二次函数求最值的方法是解题的关键．8、下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：B．这个函数的图象与x轴无交点C．这个函数的最小值小于-6D．当x>1时，y的值随x值的增大而增大答案：C分析：利用表中的数据，求得二次函数的解析式，再配成顶点式，根据二次函数的性质逐一分析即可判断．解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，依题意得：{4a −2b +c =6c =−4a +b +c =−6 ，解得：{a =1b =−3c =−4， ∴二次函数的解析式为y =x 2−3x −4=(x −32)2−254，∵a =1>0，∴这个函数的图象开口向上，故A 选项不符合题意；∵△=b 2−4ac =(−3)2−4×1×(−4)=25>0，∴这个函数的图象与x 轴有两个不同的交点，故B 选项不符合题意；∵a =1>0，∴当x =32时，这个函数有最小值−254<−6，故C 选项符合题意；∵这个函数的图象的顶点坐标为(32，−254)，∴当x >32时，y 的值随x 值的增大而增大，故D 选项不符合题意；故选：C ．小提示：本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质，利用二次函数的性质解答是解题关键．9、抛物线y =x 2+x +c 与x 轴只有一个公共点，则c 的值为（）A ．−14B ．14C ．−4D ．4答案：B分析：根据抛物线与x 轴只有一个公共点，得到根的判别式等于0，即可求出c 的值．解：∵y =x 2+x +c 与x 轴只有一个公共点，∴x 2+x +c =0有两个相等的实数根， ∴△=1-4c =0，解得：c =14．故选：B ．小提示：此题考查了抛物线与x 轴的交点，弄清根的判别式的意义是解本题的关键．10、小嘉说：将二次函数y =x 2的图象平移或翻折后经过点(2,0)有4种方法：①向右平移2个单位长度 ②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度③向下平移4个单位长度④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度你认为小嘉说的方法中正确的个数有( )A．1个B．2个C．3个D．4个答案：D分析：根据二次函数图象的平移可依此进行求解问题．解：①将二次函数y=x2向右平移2个单位长度得到：y=(x−2)2，把点(2,0)代入得：y=(2−2)2=0，所以该平移方式符合题意；②将二次函数y=x2向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到：y=(x−1)2−1，把点(2,0)代入得：y=(2−1)2−1=0，所以该平移方式符合题意；③将二次函数y=x2向下平移4个单位长度得到：y=x2−4，把点(2,0)代入得：y=22−4=0，所以该平移方式符合题意；④将二次函数y=x2沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度得到：y=−x2+4，把点(2,0)代入得：y=−22+4=0，所以该平移方式符合题意；综上所述：正确的个数为4个；故选D．小提示：本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键．填空题11、某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从点A向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝−1（x﹣5）2＋66（1）雕塑高OA的值是____m；（2）落水点C，D之间的距离是____m．答案： 116##156 22 分析：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A 的坐标，进而可得出雕塑高OA 的值；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点D 的坐标，进而可得出OD 的长度，由喷出的水柱为抛物线且形状相同，可得出OC 的长，结合CD ＝OC +OD 即可求出落水点C ，D 之间的距离；解：（1）当x ＝0时，y =−16×（0﹣5）2+6=116，∴点A 的坐标为（0，116），∴雕塑高116m ．所以答案是：116．（2）当y ＝0时，−16（x ﹣5）2+6＝0，解得：x 1＝﹣1（舍去），x 2＝11，∴点D 的坐标为（11，0），∴OD ＝11m ．∵从A 点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，∴OC ＝OD ＝11m ，∴CD ＝OC +OD ＝22m ．所以答案是：22．小提示：本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出点A 的坐标；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出点D 的坐标；．12、已知抛物线y =(x −1)(x −5)与x 轴的公共点坐标是A(x 1,0),B(x 2,0)，则x 1+x 2=_______．答案：6分析：令y=0，可得(x−1)(x−5)=0，解出即可求解．解：∵抛物线y=(x−1)(x−5)与x轴的公共点坐标是A(x1,0),B(x2,0)，令y=0，则(x−1)(x−5)=0，解得：x1=1,x2=5，∴x1+x2=1+5=6．所以答案是：6．小提示：本题主要考查了二次函数的图象与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．13、如图，某单位的围墙由一段段形状相同的抛物线形栅栏组成，为了牢固，每段栅栏间隔0.2米设置一根立柱（即AB间间隔0.2米的7根立柱）进行加固，若立柱EF的长为0.28米，则拱高OC为_____米答案：0.64分析：根据抛物线，建立直角坐标系，求出抛物线解析式，即可求得OC的长．解：如图，以点C为坐标系原点，OC所在直线为y轴，建立直角坐标系．设抛物线的解析式为y=ax2(a≠0)，由题意可知：点A的横坐标为－0.8，点F的横坐标为－0.6，代入y=ax2(a≠0)，有y F=(−0.6)2a=0.36a，y A=(−0.8)2a=0.64a，点A 的纵坐标即为OC 的长，∴0.36a ＋0.28＝0.64a ，解得a ＝1，∴抛物线解析式为y =x 2，y A =(−0.8)2=0.64，故OC 的长为：0.64m ．小提示：本题考查根据抛物线构建直角坐标系，解决实际问题，熟练掌握二次函数相关知识点是解题的关键．14、已知二次函数y =ax 2+bx +c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：答案：y =2x 2+2x −74 分析：将点(−1,−74)，(0,−74)，(1,94)代入y =ax 2+bx +c 中，进行计算即可得．解：将点(−1,−74)，(0,−74)，(1,94)代入y =ax 2+bx +c 中，得{ a −b +c =−74c =−74a +b +c =94解得，{a =2b =2c =−74，则二次函数的解析式为：y =2x 2+2x −74，所以答案是：y =2x 2+2x −74．小提示：本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握待定系数法．15、如图，已知抛物线y =−2x 2+4x +6与x 轴相交于于点A ，B ，与y 轴的交于点C ．点P(m ，n)在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设ΔPBC 的面积为S ．下列结论：①AB =4；②OC =6；③S 最大值=274，其中，正确结论的序号是________．（所有正确的序号都填上）答案：①②③分析：y=−2x2+4x+6中令y=0得：−2x2+4x+6=0，得A（-1，0），B（3，0），从而判断①；y=−2x2+4x+6中令x=0得：y=6，得C（0，6），从而判断②；过点P作PF//y轴，交BC于点F，求出BC的函数关系式，得出点P的坐标为(m,−2m2+4m+6)，点F的坐标为(m,−2m+6)，再列出S关于m的函数关系式，最后求出其最大值，从而判断③．∵抛物线y=−2x2+4x+6与x轴相交于于点A，B，∴令y=0得：−2x2+4x+6=0，解得：x1=−1,x2=3，∴A（-1，0），B（3，0），∴AB=4故①正确；∵抛物线y=−2x2+4x+6与y轴相交于于点C，∴令x=0得：y=6，∴C（0，6），∴OC=6，故②正确；过点P作PF//y轴，交BC于点F，如图1所示．设直线BC 的解析式为y =kx +c ，将B(3,0)、C(0,6)代入y =kx +c ，得{3k +c =0c =6 ，解得{k =−2c =6， ∴直线BC 的解析式为y =−2x +6．∵点P(m,n)在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，∴点P 的坐标为(m,−2m 2+4m +6)，则点F 的坐标为(m,−2m +6)，∴PF =−2m 2+4m +6−(−2m +6)=−2m 2+6m ，∴S =12PF ⋅OB =−3m 2+9m =−3(m −32)2+274， ∴当m =32时，ΔPBC 面积取最大值，最大值为274．故③正确，所以答案是：①②③．小提示：本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，二次函数的性质，坐标与图形的性质等知识，熟练运用方程思想及分类讨论思想是解题的关键．解答题16、跳绳是一项很好的健身活动，如图是小明跳绳运动时的示意图，建立平面直角坐标系如图所示，甩绳近似抛物线形状，脚底B 、C 相距20cm ，头顶A 离地175cm ，相距60cm 的双手D 、E 离地均为80cm ．点A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内，脚离地面的高度忽略不计．小明调节绳子，使跳动时绳子刚好经过脚底B 、C 两点，且甩绳形状始终保持不变．(1)求经过脚底B、C时绳子所在抛物线的解析式．(2)判断小明此次跳绳能否成功，并说明理由．答案：(1)y=110x2−90.(2)不成功，理由见解析分析：（1）建立如图所示的坐标系：结合题意可得：D(−30,0),E(30,0),由双手D、E离地均为80cm，可得C 点坐标为：(10,−80),再利用待定系数法求解解析式即可；（2）由175−80=95>80,可得跳绳不过头顶A，从而可得答案．（1）解：建立如图所示的坐标系：结合题意可得：D(−30,0),E(30,0),∵双手D、E离地均为80cm．∴C点坐标为：(10,−80),设抛物线为：y=ax2−80,{0=900a+b−80=100a+b,解得：{a=110b=−90,所以抛物线为y=110x2−90.（2）解：∵y=0.1x²－90，∴顶点为（0，－90）.即跳绳顶点到手的距离是90cm，∵175−90=85>80,∴跳绳不过头顶A，∴小明此次跳绳能不成功．小提示：本题考查的是二次函数的实际应用，理解题意，建立合适的坐标系是解本题的关键．17、如图，抛物线的顶点为A(h，－1)，与y轴交于点B(0,−12)，点F(2，1)为其对称轴上的一个定点．（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）已知直线l是过点C(0，－3)且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P(m，n)到直线l的距离为d，求证：PF＝d；（3）已知坐标平面内的点D(4，3)，请在抛物线上找一点Q，使△DFQ的周长最小，并求此时△DFQ周长的最小值及点Q的坐标．答案：（1）y=18(x−2)2−1；（2）见解析；（3）2√2+6，(4,−12)分析：（1）由题意抛物线的顶点A（2，-1），可以假设抛物线的解析式为y=a（x-2）2-1，把点B坐标代入求出a即可．（2）由题意P（m，18m2−12m−12），求出d2，PF2（用m表示）即可解决问题．（3）如图，过点Q作QH⊥直线l于H，过点D作DN⊥直线l于N．因为△DFQ的周长=DF+DQ+FQ，DF是定值=√22+22=2√2，推出DQ+QF的值最小时，△DFQ的周长最小，再根据垂线段最短解决问题即可．解：（1）设抛物线的函数解析式为y=a(x−ℎ)2+k,由题意,抛物线的顶点为A(2,−1),∴y=a(x−2)2−1.又∵抛物线与y轴交于点B(0,−12)∴−12=a(0−2)2−1∴a=18∴抛物线的函数解析式为y=18(x−2)2−1（2）证明：∵P（m，n），∴n=18(m−2)2−1=18m2−12m−12，∴P（m，18m2−12m−12），∴d=18m2−12m−12−(−3)=18m2−12m+52，∵F（2，1），∴PF=√(m−2)2+(18m2−12m−12−1)2=√164m4−18m3+78m2−52m+254，∵d2=164m4−18m3+78m2−52m+254，PF2=164m4−18m3+78m2−52m+254，∴d2=PF2，∴PF=d．（3）如图，过点Q作QH⊥直线l于H，过点D作DN⊥直线l于N．∵△DFQ的周长=DF+DQ+FQ，DF是定值=√22+22=2√2，∴DQ+QF的值最小时，△DFQ的周长最小，∵QF=QH，∴DQ+DF=DQ+QH，根据垂线段最短可知，当D，Q，H共线时，DQ+QH的值最小，此时点H与N重合，点Q在线段DN上，∴DQ+QH的最小值为6，∴△DFQ的周长的最小值为2√2+6，此时Q（4，-1）．2小提示：本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，两点间距离公式，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用转化的思想思考问题．18、某宾馆有240间标准房，当标准房价格150元时，每天都客满，市场调查表明，当房价在150~225元之间（含150元，225元）浮动时，每提高25元，日均入住客房数减少20间．如果不考虑其它因素，宾馆将标准房价格提高到多少元时，客房的日营业收入最大？答案：每间租金225元时，客房租金总收入最高，日租金40500元分析：首先设宾馆客房租金每间日租金提高x个25元，以及客房租金总收入为y，建立y与x的关系式，并通过二次函数求解最大值．解：设宾馆客房租金每间日租金提高x个25元，将有20x间客房空出，客房租金总收入为y．由题意可得：y＝（150＋25x）（240−20x）＝−500x2＋3000x＋36000＝−500（x−3）2＋40500当x＝3时，y最大值＝40500．因此每间租金150＋25×3＝225元时，客房租金总收入最高，日租金40500元．小提示：本题考查根据实际问题选择函数类型，通过实际问题，抽象出函数模型，并通二次函数计算最大值，考查对知识的综合运用能力，属于中档题．。

第22章+二次函数+章末复习+课件+2023-2024学年人教版九年级数学上册

无解
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次不等式的关系
b2-4ac的取值
b2-4ac>0
b2-4ac=0
b2-4ac<0
y=ac2+bx+c(a≠0)与x 轴的交点情况
a<0
不等式ax2+bx+c>0 (a≠0)的解集
不等式ax2+bx+c<0 (a≠0)的解集
有两个交点 x1<x<x2
考点精练
1.下列函数中，y是关于x的二次函数的是（ C ） 1
A.y=x3+2x2+3 B. x 2 C.y=x2+x D.y=mx2+x+1
2.若函数y=(m-1)x2+3x+1是二次函数，则有（ B ）
A. m≠0
B. m≠1
C. x≠0
D. x≠1
2y=.二ax2次函数的图象a和>0 性质
考点精练
10.某公司研发了一款成本为50元的新型玩具，投放市场进行试销售，其销售单价不低于成本.按照物价部门规定，销售利润率不得高于90％ .市场调研发现，在一段时间内，每天的销售数量y(单位：个)与销售单价x(单位：元)符合一次函数关系，其图象如图所示.
（1）根据图象，直接写出y关于x 的函数解析式.
a<0
图象
位置开口方向
开口向上，在x轴上方
开口向下，在x轴下方
对称性
关于y轴对称，对称轴是直线x=0
顶点最值
顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
增减性
当x<0时, y随着x的增大而减小; 当x>0时, y随着x的增大而增大.

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思维导图例题示范
例1
如图，已知二次函数 y 1 x2 bx c 的图象经过A（2，0）、 2
B（0，-6）两点。
（1）求这个二次函数的解析式；
解：（1）将点A（2，0）、B（0，-6）代入得：c226b c 0 ，
解得：bc
4 6
解：（3）存在，点P的坐标为 (0, 2) 。 3
AD长度固定，只需找到点P使AP+PD最小即可，找到点A关于y轴的对称点A'，连接A'D，则A'D与y轴的交点即是点P的位置。
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思维导图例题示范
例2
某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/ 千克销售，一个月可售出500千克，销售价每涨价1元，月销售量就减少10千克。（1）写出月销售利润y与售价x之间的函数关系式。
人教版九年级上册数学课件第二十二章二次函数复习课件(共20张PPT)
思维导图例题示范
例2
某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/ 千克销售，一个月可售出500千克，销售价每涨价1元，月销售量就减少10千克。（2）销售单价定为55元时，计算月销售量与销售利润。

九年级数学人教版第二十二章二次函数22.1.1二次函数定义(同步课本知识图文结合例题详解)

九年级数学第22章二次函数
问题3: 某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两
年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两
年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x
之间的关系应怎样表示？
这种产品的原产量是20件，一年后的产量是_2_0_(_1_+_x_)件，
再经过一年后的产量是_____2_0_(_1_+_x_)_(_1件+x，) 即两年后的
2
是二次函数关系.
九年级数学第22章二次函数
4.某工厂计划为一批长方体形状的产品涂上油漆,长方体的长和宽相等,高比长多0.5m. (1)长方体的长和宽用x(m)表示,长方体需要涂漆的表面积 S(m2)如何表示? (2)如果涂漆每平米所需要的费用是5元,涂漆每个长方体所需要费用用y(元)表示,那么y的表达式是什么? 解析：（1）S=2x2+x(x+0.5)×4=6x2+2x （2）y=5S=5×(6x2+2x)
2.如果函数y=(k-3)xk2 3k 2 +kx+1是二次函数,则k的值
一定是__0____.
九年级数学第22章二次函数
3.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m²)与矩形一边长a(m)之间的关系是什么？是函数关系吗？是哪一种函数？解析：S=a( 60 -a)=a(30-a)=30a-a²=-a²+30a.
函数
关系Leabharlann 一次函数y=kx+b(k≠0)
正比例函数 y=kx(k≠0)
反比例函数
y= k (k≠0)
x
二次函数
九年级数学第22章二次函数
问题1：
正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x ，表面积为 y ，则 y 关于x 的关系式为＿y＿=6＿x2＿＿＿＿.

人教版九年级数学上册第22章二次函数章末复习课件 (共68张ppt)

(4)当图像与x轴有两个交点时, b2-4ac>0；当图像与x轴只有一个交点时, b2-4ac=0；当图像与x轴没有交点时, b2-4ac<0. (5)图像过点(1, a+b+c)和点(-1, a-b+c), 再根据图像上的点的位置可确定式子a+b+c和a-b+c的符号.
例1 已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图22-Z-1所示, 那么下
二次函数的图像和
性质
开口方向
a>0, 图像开口向上 a<0, 图像开口向下
对称轴
a, b同号, 对称轴在y轴左侧 a, b异号, 对称轴在y轴右侧
烦烦烦鬼鬼鬼鬼鬼鬼鬼鬼跟鬼鬼鬼鬼鬼g鬼鬼
二次函数的图像和
性质
a>0 增减性
a<0
最值
二次函数的解析式
y=ax²+bx+c(a≠0)(一般式) y=a(x-h)²&#(a≠0)(交点式)
【要点指导】研究二次函数的图像的平移、轴对称变换过程, 实际就是确定变换后所得图像的二次函数解析式, 研究变换后的图像和性质的过程, 关键是找到变换后图像上的特殊点(如抛物线的顶点), 从而得出函数解析式, 最后利用二次函数的性质解答.
例4 如图22-Z-3, 在平面直角坐标系 xOy中, 将抛物线y=2x2沿y轴向上平移1个单位长度, 再沿x轴向右平移2个单位长度, 平移后所得抛物线的顶点记作A, 直线x=3与平移后的抛物线相交于点B, 与直线OA相交于点C. (1)求平移后的抛物线的函数解析式； (2)求点C的坐标及△ABC的面积．
例2 已知二次函数的图像以A(-1, 4)为顶点, 且过点B(2, -5). (1)求该函数的解析式； (2)求该函数图像与坐标轴的交点坐标.

人教版九年级数学第22章二次函数 22.1 二次函数讲义

人教版九年级数学第22章二次函数 22.1 二次函数讲义合作探究探究点1 二次函数的概念情景激疑我们知道形如b k b kx y ,(+=是常数,k ≠0)的式子是一次函数，那么什么样的函数是二次函数呢?判断二次函数又需要消足哪些条件?知识讲解一般地，形如c b a c bx ax y ,,(2++=是常数,a ≠0)的函数，叫做二次函数。

其中，x 是自变量,a,b,c 分别是函数解析式的次项系数、一次项系数和常数项，如73,23,32222+-=+=+-=x y x x y x x y 等都是二次函数。

（1）c b a c bx ax y ,,(2++=是常数,a ≠0)叫做二次函数的-般式任何一个二次函数的解析式都可以化为c b a c bx ax y ,,(2++=是常数,a ≠0)的形式.(2)在二次函数c b a c bx ax y ,,(2++=是常数,a ≠0)中，a 必須不等于O,因为若a=0的话，此式子则变为c bx y +=的形式，就不是二次函数了.(3)在二次函数c b a c bx ax y ,,(2++=是常数,a ≠0)中,若y=0.则二次函数可以转化为一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 典例剖析例1 下列哪些函数是二次函数?解析判断一个函数是不是二次函数，先把关系式化简整理，再分三个步骤来判断:(1)看它的等号两边是否都是整式，如果不都是整式，则必不是二次函数:(2)当它的等号两边都号林式时，再看它是否含有自变量的二次式，如果含有自变量的二安式，那就可能是二次函数，否则就不是:(3)看它的二次项系数是否为0,如果不为0，那就是二次函教.只要按上述三步来分析。

即可作出正确判断.答案 ①③④是二次函数.⑤不一定是二次函数，只有当a ≠0时，才是二次函数②不是整式，故不是二次函数，易错警示二次涵数关系式的等号两边都是整式.答案 (1)设一次购买x 只.才能以最低价购买，则有0.1(x-10)=20-16,解这个方程得x=50.答:一次至少买50只，才能以最低价购买。

人教版初三数学上册二十二章二次函数

AO
M1
3
x
B
y =M-x32+2x+3
课堂知识梳理
本节课你回顾了哪些知识？学到了什么？有什么收获和大家一起分享……
收获
作业布置感谢各位老师与同学的参与！
x22x3m
一元二次方程的解
﹒ 交点的横坐标 y
2x

3
-1
x1 O
﹒
3
x
x2
y =-x2+2x+3
数
形
讨论：一元二次方程 x 2 2 x 3 m 根的情况
问题3、结合图象思考：当m为何值时，
方程 x22x3m
与 y 轴交于点 C(0，3)．
y x=1
（1）点M是抛物线第一象限内一动点，
M（1,4）
C
M
①当M点运动到何处时，
3
△AMB 的面积最大？求出
△AMB的最大面积及此时点 M的坐标；
-1
N3
x
AO
B
②当 M 点运动到何处时， △MCB 的面积最大？并求出最大面积及此时点 M 的坐标．
y =-x2+2x+3
四、能力提升
若该抛物线 y = -x2+2x+3 与 x轴交于 A，B 两点，
与 y 轴交于点 C(0，3)．
y
(2)设抛物线的对称轴交抛
5 E
物线于点E，交直线BC于点F，
问在抛物线上是否存在一点
M，使S△MCB= S△ECB ，若存在，请在图中找出,并求出
各点的坐标。
C 3 M2 F -1 1
y
一看a的值，二看顶点坐标
O

九年级数学上册第二十二章二次函数知识点总结新人教版

第22章二次函数知识点归纳及相关典型题第一部分基础知识1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2ax y =的性质（1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系.①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =）（0≠a . 3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线. 4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，.5. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ①2axy =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 越大，抛物线的开口越小；a 越小，抛物线的开口越大。

②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线ab x 2-=.（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.（3）抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线a b x 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>ab（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<a b（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧，“左同右异”.（3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴.10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2ax y = 当0>a 时开口向上当0<a 时开口向下0=x （y 轴）（0,0） k ax y +=2 0=x （y 轴） (0, k ) ()2h x a y -=h x =(h ,0) ()k h x a y +-=2h x = (h ,k )c bx ax y ++=2abx 2-= (ab ac a b 4422--，) 11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 12.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah++2).（3）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组cbx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故acx x a b x x =⋅-=+2121,()()a a ac b a c a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫⎝⎛-=--=-=-=444222122122121中考回顾1.(天津中考)已知抛物线y=x 2-4x+3与x 轴相交于点A ,B (点A 在点B 左侧),顶点为M.平移该抛物线,使点M 平移后的对应点M'落在x 轴上,点B 平移后的对应点B'落在y 轴上,则平移后的抛物线解析式为( A )A.y=x 2+2x+1B.y=x 2+2x-1C.y=x 2-2x+1D.y=x 2-2x-12.(四川成都中考)在平面直角坐标系xOy 中,二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示,下列说法正确的是( B )A. abc<0, b 2-4ac>0B. abc>0, b 2-4ac>0C. abc<0, b 2-4ac<0D. abc>0, b 2-4ac<03.(内蒙古赤峰中考)如果关于x 的方程x 2-4x+2m=0有两个不相等的实数根,那么m 的取值范围是 m<2 .4.(内蒙古赤峰中考)如图,二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图象交x 轴于A ,B 两点,交y 轴于点D ,点B 的坐标为(3,0),顶点C 的坐标为(1,4).备用图(1)求二次函数的解析式和直线BD 的解析式;(2)点P 是直线BD 上的一个动点,过点P 作x 轴的垂线,交抛物线于点M ,当点P 在第一象限时,求线段PM 长度的最大值;(3)在抛物线上是否存在异于B ,D 的点Q ,使△BDQ 中BD 边上的高为2,若存在求出点Q 的坐标;若不存在请说明理由.解:(1)设二次函数的解析式为y=a (x-1)2+4.∵点B (3,0)在该二次函数的图象上, ∴0=a (3-1)2+4,解得:a=-1.∴二次函数的解析式为y=-x 2+2x+3.∵点D 在y 轴上,所以可令x=0,解得:y=3. ∴点D 的坐标为(0,3).设直线BD 的解析式为y=kx+3,把(3,0)代入得3k+3=0,解得:k=-1. ∴直线BD 的解析式为y=-x+3.（2）设点P 的横坐标为m (m>0), 则P (m ,-m+3), M (m ,-m 2+2m+3),PM=-m 2+2m+3-(-m+3)=-m 2+3m=-, PM 最大值为(3)如图,过点Q 作QG ∥y 轴交BD 于点G ,作QH ⊥BD 于点H ,则QH=2设Q(x,-x2+2x+3),则G(x,-x+3),QG=|-x2+2x+3-(-x+3)|=|-x2+3x|.∵△DOB是等腰直角三角形,∴∠3=45°,∴∠2=∠1=45°.∴sin∠1=,∴QG=4.得|-x2+3x|=4,当-x2+3x=4时,Δ=9-16<0,方程无实数根.当-x2+3x=-4时,解得:x1=-1,x2=4,Q1(4,-5),Q2(-1,0).模拟预测1.已知二次函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有交点,则k的取值范围是(D)A.k<3B.k<3,且k≠0C.k≤3D.k≤3,且k≠02.若点M(-2,y1),N(-1,y2),P(8,y3)在抛物线y=-x2+2x上,则下列结论正确的是(C)A.y1<y2<y3B.y2<y1<y3C.y3<y1<y2D.y1<y3<y2解:x=-2时,y1=-x2+2x=-(-2)2+2×(-2)=-2-4=-6,x=-1时,y2=-x2+2x=-(-1)2+2×(-1)=--2=-2,x=8时,y3=-x2+2x=-82+2×8=-32+16=-16.∵-16<-6<-2,∴y3<y1<y2.故选C.3.已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两个实数根x1,x2满足x1+x2=4和x1·x2=3,则二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象有可能是()解析:∵x1+x2=4,∴-=4.∴二次函数的对称轴为x=-=2.∵x1·x2=3,=3.当a>0时,c>0,∴二次函数图象交于y轴的正半轴.4.小明在用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c的图象时,列了如下表格:x…-2 -1 0 1 2 …y…-6-4 -2-2 -2…根据表格中的信息回答问题:该二次函数y=ax2+bx+c在x=3时,y=-4.5.若关于x的函数y=kx2+2x-1与x轴仅有一个公共点,则实数k的值为k=0或k=-1.6.抛物线y=-x2+bx+c的图象如图,若将其向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,则平移后的解析式为.解析:由题中图象可知,对称轴x=1, 所以- =1,即b=2.把点(3,0)代入y=-x2+2x+c,得c=3.故原图象的解析式为y=-x2+2x+3,即y=-(x-1)2+4,然后向左平移2个单位,再向下平移3个单位,得y=-(x-1+2)2+4-3,即y=-x2-2x. 答案:y=-x2-2x7.如图①,若抛物线L1的顶点A在抛物线L2上,抛物线L2的顶点B也在抛物线L1上(点A与点B不重合),我们把这样的两抛物线L1,L2互称为“友好”抛物线,可见一条抛物线的“友好”抛物线可以有很多条.(1)如图②,已知抛物线L3:y=2x2-8x+4与y轴交于点C,试求出点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标;(2)请求出以点D为顶点的L3的“友好”抛物线L4的解析式,并指出L3与L4中y同时随x增大而增大的自变量的取值范围;(3)若抛物线y=a1(x-m)2+n的任意一条“友好”抛物线的解析式为y=a2(x-h)2+k,请写出a1与a2的关系式,并说明理由.解:(1)∵抛物线L3:y=2x2-8x+4,∴y=2(x-2)2-4.∴顶点为(2,-4),对称轴为x=2,设x=0,则y=4,∴C(0,4).∴点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标为(4,4).(2)∵以点D(4,4)为顶点的L3的友好抛物线L4还过点(2,-4),∴L4的解析式为y=-2(x-4)2+4.∴L3与L4中y同时随x增大而增大的自变量的取值范围是2≤x≤4.(3)a1=-a2,理由如下:∵抛物线L1的顶点A在抛物线L2上,抛物线L2的顶点B也在抛物线L1上, ∴可以列出两个方程由①+②,得(a1+a2)(m-h)2=0,∴a1=-a2.。

人教版九年级数学上册第22章二次函数考点

第22章二次函数考点☆考点1、二次函数的定义定义：y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，aH0)定义要点：①aH0②最高次数为2③代数式一定是整式练习：1、y=-x2,y=2x2-2/x,y=100-5x2,y=3x2-2x3+5，其中是二次函数的有个。

m2-m2._____ 当m时，函数y=(m+1)x-2x+1是二次函数？☆考点2、二次函数的图像及性质表达式、对称轴、顶点坐标、位置、增减性、最值、练习：1、已知二次函数(1)求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。

(2)设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C,A,B的坐标。

(3)x为何值时，y随的增大而减少，x为何值时，y有最大(小)值，这个最大(小)值是多少？(4)x为何值时，y<0?x为何值时，y>0?2、直线y=ax+c与抛物线y=ax2+bx+c在同一坐标系内大致的图象是()1,一般式：已知抛物线上的三点，通常设解析式y=ax2+bx+c(aH0)2,顶点式：已知抛物线顶点坐标(h,k)，通常设抛物线解析式y=a(x-h)2+k(aH0)3,交点式:已知抛物线与x轴的两个交点(x1,0)、(x2,0)，通常设解析式y=a(x-x1)(x-x2)(aH0)练习：1、根据下列条件，求二次函数的解析式。

(1)、图象经过(0,0)，(1，-2)，(2，3)三点；(2)、图象的顶点(2,3)，且经过点(3,1)；(3)、图象经过(0,0),(12,0)，且最高点的纵坐标是3。

2、已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2,图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点(3,—6)。

求a、b、c。

☆考点4、a,b,c符号的确定。

人教版数学九年级上册第二十二章《二次函数》章节知识点归纳总结

《二次函数》章节知识点归纳总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：（1）一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数。

（2）这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a ≠0，而b c ，可以为零．二次函数的定义域(x)是全体实数．2. 二次函数 2y ax bx c =++ 的结构特征：（1）等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x 的最高次数是2．（2）a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．3. 二次函数解析式的几种形式（1）一般式：y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）（2）顶点式：y=a(x-h)2+k [抛物线的顶点P （ h ，k ）]（3）交点式：y=a(x-x 1)(x-x 2)[仅限于与x 轴有交点A （x 1，0）和 B （x 2，0）的抛物线]其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax 2+bx+c ＝0的两个根，a ≠0. x 1,x 2 = (-b ±ac 4b 2-)/2a 在三种形式的互相转化中，有如下关系:h= -b / 2a ； k=(4ac-b 2) / 4a ； x 1,x 2 = (-b ±ac 4b 2-) / 2a说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y ＝a(x-h)2+k ，抛物线的顶点坐标是(h,k)；(2) 当h ＝0时，抛物线y ＝ax 2+k 的顶点在y 轴上；当k ＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x 轴上；当h ＝0且k ＝0时，抛物线y ＝ax 2的顶点在原点；(3) 如果图像经过原点，并且对称轴是y 轴，则设y=ax 2；如果对称轴是y 轴，但不过原点，则设y=ax 2+k4、抛物线的性质：（1）.抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线 x = -b/2a 。

九年级数学上册第二十二章二次函数章末小结讲义(新人教版).ppt

1
一、整体把握
实际问题
二次函数
二次函数的概念二次函数的图象
用函数观点看一元二次函数
实际问题与二次函数
y=x²，y=-x²
Y=ax²（a≠0） Y=ax²+k（a≠0） Y=a（x-h）²+k（a≠0） Y=ax²+bxc（a≠0）
二次函数的对称轴、顶点坐标
一元二次方程与二次函数的关系
4
（1）a的符号决定抛物线的开口方向；反之，由抛物线的开口方向可确定a的符号.
（2）利用抛物线的对称轴通常可以解决两个方面的问题：①结合a的符号及对称轴所处的位置判别b的符号；②利用对称轴即开口方向确定函数的增减性.
（3）利用抛物线的顶点，可确定函数的最大（小）值，但对自变量x有限制时，相应的函数值的最大（小）值就应利用函数的性质来确定.
5
（4）抛物线与x轴的交点及对应的一元二次方程的关系：抛物线与x轴有两个交点，一个交点，没有交点，可由其对应的一元二次方程的根的判别式来判别. 有两个交点<==> Δ =b²-4ac＞0 有一个交点<==> Δ =b²-4ac=0 没有交点<==> Δ =b²-4ac＜0 至于其交点的横坐标，则可由对应的一元二次方程得到.
12
四、归纳小结
通过这节课的学习你对本章知识你有哪些新的认识？你有哪些体会？
13
数学方法渗透并支配着一切自然科学的理论分支。它愈来愈成为衡量科学成就的主要标志了。
――冯纽曼
14
6
三、复习新知
例1 已知二次函数的图象如图，则下列结论中正确的
是（ D ）
A.abc>0
B.b2-4ac<0

人教版九年级数学上册课件：第22章二次函数全章复习

（2）请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个设计费用．
练习巩固
问题4 某广告公司设计一幅周长为 12 m 的矩形广告牌，广告设计费为每平方米 1 000 元，设矩形的一边长为 x m，面积为 S m2．（1）求出 S 与 x 之间的函数关系式；
S=x(6-x)= -x²+6x
练习巩固
问题4 某广告公司设计一幅周长为 12 m 的矩形广告牌，广告设计费为每平方米 1 000 元，设矩形的一边长为 x m，面积为 S m2．（1）求出 S 与 x 之间的函数关系式；
S=x(6-x)= -x²+6x （0<x<6）
练习巩固
问题4 某广告公司设计一幅周长为 12 m 的矩形广告牌，广告设计费为每平方米 1 000 元，设矩形
代入坐标（1，3）和（0，1）得：
解得：ak
1, 3 4
.
∴解析式为 y (x
9
4 1
4
a a
k k
1)2 3. 24
3, 1.
练习巩固
问题4 某广告公司设计一幅周长为 12 m 的矩形广告牌，广告设计费为每平方米 1 000 元，设矩形的一边长为 x m，面积为 S m2．（1）求出 S 与 x 之间的函数关系式；
衫降低 1 元，商场平均每天可多售出 2 件，但每
件最低价不得低于 108 元．若每件衬衫降低 x 元
（x 取整数），回答下列问题：
（1）设商场平均每天盈利 y 元，试写出 y 与
x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；
问题5
练习巩固
某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出
20 件，进价是每件 80 元，售价是每件 120 元，