1.3 自然坐标系及运用

若a=恒量，则
o 2ax
1 2 x ot at 2 2 2
o at
若恒量,则
o t 1 2 ot t
o 2
2 2
2
讨论
对于作曲线运动的物体，以下几种说法中哪一种 是正确的： （A）切向加速度必不为零； （B）法向加速度必不为零（拐点处除外）； （C）由于速度沿切线方向，法向分速度必为零， 因此法向加速度必为零； （D）若物体作匀速率运动，其总加速度必为零；
将两个相互垂直的切向和法向所组成的平面 ˆ ˆ 坐标系称为自然坐标系 ( , n) 。
速度矢量在自然坐标系中表述为：
ds ˆ ˆ v v dt
2 自然坐标系下 加速度的表达式
ˆ dv d dv d ˆ ˆ a (v ) v dt dt dt dt
1.3 自然坐标系及运用
1、自然坐标系 (natural coordinates)
s(t )
利用 t 时刻质点所在处与原点之间轨迹曲线的 s 长度 s(t ) 就可以确定质点的位置， (t ) 称为弧坐 标。弧坐标下的质点运动方程：
s s (t )
质点的速率，为弧坐标对时间的一阶变化率
ds v dt
dv d (r ) a r dt dt
v 2 an r r
2
匀速率圆周运动和匀变速率圆周运动 ① 匀速率圆周运动：速率 v 和角速度 都为 常量 .
at 0
如
ˆ ˆ a an n r 2n
② 匀变速率圆周运动
t 0 时,
常量 0 , 0
0 t
0 0t 1 t 2 2 2 02 2 ( 0 )
圆周运动(circular motion)与直线运动的比较：
直线运动 坐标 x
圆周运动 角坐标
速度 加速度
dx dt d a dt
角速度 角加速度
d dt d dt
2
0 10rad/s
再由 求得
0 t 0 t 5s
例2：质点沿半径R=0.1m作圆周运动，其角坐标与 时间的关系为 2 4t 3 （SI），当切向加速度的 大小恰为总加速度的一半时，则 。
解： 切向加速度大小为总加速度的一半，则 a / an tan 30 30 d 2 v R R 12t R dt 2 a d a R R 2 24tR dt an R 2 144t 4 R a a 24t 3 4 t 3 1/ 2 3 an 144t 3 2 3 3.15rad 2 4t 2 3
质点的加速度
ˆ dv d dv d ˆ ˆ a (v ) v dt dt dt dt
d dt
沿切向 (ˆ) 的速 dv ( )称 率变化率 dt 切向加速度 a dv a ˆ dt d 2s 2 ˆ dt
其中
是 ˆ 的时间变化率,
ˆ 是切向单位矢量,
ˆ 沿法向(n)，称法向加速度 an ˆ v2 d ˆ an v n dt
v dv ˆ a a an ˆ n dt
dv 2 v 2 大小：a a a ( ) ( ) dt
2 2 n 2
2
当质点做直线运动时 ，因此法向加速度为零；
an
（E）若物体的加速度 速率运动 .
a为恒矢量，它一定作匀变
例1： 一飞轮，从静止开始以恒角加速度2 rad s 转动，经过某一段时间后开始计时，在 5s 内飞轮 转过75 rad，问在开始计时以前，飞轮转动了多长时 间？ 1 2 解： 匀角加速运动， 0 t t 2 t 5s 代入 2rad/s 75rad 75 50 25
其大小恒为1（即单位长度） 故
d dt
是指
切线方向的时间变化率
切向变化率
d dt
分析
t 0, 0,
大小 ˆ ＝ ˆ ˆ 方向 n dˆ d d ( ) ˆ ˆ 则 n n dt dt dt 1 ds v ˆ ˆ n n dt
v2
ˆ2
ˆ n2
o
v1
ˆ1
ˆ n1

2
ˆ

ˆ1
ds 曲率半径 . 其中 d
质点的加速度
ˆ dv d dv d ˆ ˆ a (v ) v dt dt dt dt
沿切向 (ˆ) 的速 dv ( )称 率变化率 dt 切向加速度 a dv a ˆ dt d 2s 2 ˆ dt
当质点做圆周运动时， 为圆周运动的半径 R ； 如果 v 为常数，则切向加速度为零，合加速度方 向指向圆心，称为向心加速度；
3 圆周运动的角量描述
一质点A作圆周运动
角坐标 ，其值随时间变化
r
(t )
角位移 ，
(t t ) (t )
有限大角位移 不是 矢量，而无限小角位 移是矢量，用d 表示
定义角速度(angular velocity)为
d dt


以及角加速度为
d d 2 dt dt
2
பைடு நூலகம்

在圆周运动中，角速度、角加速度的方向都 沿转轴，因此一般不用矢量表示，而是写成对转 轴的投影式。
在圆周运动中，线量与角量的关系为：
ds d (r ) v r dt dt