量子力学习题第一部分
第1章 量子力学基础-习题与答案
一、是非题1. “波函数平方有物理意义， 但波函数本身是没有物理意义的”。
对否 解：不对2. 有人认为，中子是相距为10-13 cm 的质子和电子依靠库仑力结合而成的。
试用测不准关系判断该模型是否合理。
解：库仑吸引势能大大地小于电子的动能, 这意味着仅靠库仑力是无法将电子与质子结合成为中子的，这个模型是不正确的。
二、选择题1. 一组正交、归一的波函数123,,,ψψψ。
正交性的数学表达式为 a ，归一性的表达式为 b 。
()0,()1i i i i a d i jb ψψτψψ**=≠=⎰⎰2. 列哪些算符是线性算符------------------------------------------------------ (A, B, C, E )(A) dxd(B) ∇2 (C) 用常数乘 (D) (E) 积分3. 下列算符哪些可以对易-------------------------------------------- (A, B, D )(A) xˆ 和 y ˆ (B) x∂∂和y ∂∂ (C) ˆx p和x ˆ (D) ˆx p 和y ˆ 4. 下列函数中 (A) cos kx (B) e -bx(C) e -ikx(D) 2e kx -(1) 哪些是dxd的本征函数；-------------------------------- (B, C ) (2) 哪些是的22dx d 本征函数；-------------------------------------- (A, B, C )(3) 哪些是22dx d 和dxd的共同本征函数。
------------------------------ (B, C )5. 关于光电效应，下列叙述正确的是：(可多选) ------------------（C,D ）(A)光电流大小与入射光子能量成正比 (B)光电流大小与入射光子频率成正比 (C)光电流大小与入射光强度成正比 (D)入射光子能量越大，则光电子的动能越大6. 提出实物粒子也有波粒二象性的科学家是：------------------------------（ A ）(A) de Bröglie (B) A.Einstein (C) W. Heisenberg (D) E. Schrödinger7. 首先提出微观粒子的运动满足测不准原理的科学家是：--------------（ C ）(A) 薛定谔 (B) 狄拉克 (C) 海森堡 (D) 波恩 8. 下列哪几点是属于量子力学的基本假设(多重选择)：---------------（ AB）(Ａ)电子自旋(保里原理) (Ｂ)微观粒子运动的可测量的物理量可用线性厄米算符表征 (Ｃ)描写微观粒子运动的波函数必须是正交归一化的 (Ｄ)微观体系的力学量总是测不准的，所以满足测不准原理9. 描述微观粒子体系运动的薛定谔方程是：------------------------------（ D ） (A) 由经典的驻波方程推得 (B) 由光的电磁波方程推得(C) 由经典的弦振动方程导出 (D) 量子力学的一个基本假设三、填空题：1. 1927年戴维逊和革未的电子衍射实验证明了实物粒子也具有波动性。
量子力学习题及解答
量子力学习题及解答第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv e chv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1）以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）(有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kThc kT hc e kT hc e hcλλλλλπρ ⇒ 0115=-⋅+--kT hce kThc λλ ⇒ kThce kT hc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为x e x =--)1(5:这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λhP =】如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph =λ nmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及,eVc e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
第一章 量子力学基础 例题与习题
第一章量子力学基础例题与习题一、练习题1．立方势箱中的粒子，具有的状态量子数，是A． 211 B． 231 C． 222 D． 213。
解：(C)。
2．处于状态的一维势箱中的粒子，出现在处的概率是多少？A．B．C．D．E．题目提法不妥，以上四个答案都不对。
解：(E)。
3．计算能量为100eV光子、自由电子、质量为300g小球的波长。
( )解：光子波长自由电子300g小球。
4．根据测不准关系说明束缚在0到a范围内活动的一维势箱中粒子的零点能效应。
解：。
5．链状共轭分子在波长方向460nm处出现第一个强吸收峰，试按一维势箱模型估计该分子的长度。
解：6．设体系处于状态中，角动量和有无定值。
其值是多少？若无，求其平均值。
解：角动量角动量平均值7．函数是不是一维势箱中粒子的一种可能的状态？如果是，其能量有没有确定值？如有，其值是多少？如果没有确定值，其平均值是多少？解：可能存在状态，能量没有确定值，8．求下列体系基态的多重性。
(2s+1) (1)二维方势箱中的9个电子。
(2)二维势箱中的10个电子。
(3)三维方势箱中的11个电子。
解：(1)2，(2)3，(3)4。
9．在0－a间运动的一维势箱中粒子，证明它在区域内出现的几率。
当，几率P怎样变？解：10．在长度l的一维势箱中运动的粒子，处于量子数n的状态。
求 (1)在箱的左端1/4区域内找到粒子的几率？(2)n为何值，上述的几率最大？(3)，此几率的极限是多少？(4)(3)中说明什么？解：11．一含K个碳原子的直链共轭烯烃，相邻两碳原子的距离为a，其中大π键上的电子可视为位于两端碳原子间的一维箱中运动。
取l＝(K－1)a，若处于基组态中一个π电子跃迁到高能级，求伴随这一跃迁所吸收到光子的最长波长是多少？解：12．写出一个被束缚在半径为a的圆周上运动的质量为m的粒子的薛定锷方程，求其解。
解：13．在什么条件下?解：14．已知一维运动的薛定锷方程为：。
和是属于同一本征值得本征函数，证明常数。
大学物理 第16章量子力学基本原理-例题及练习题
∴ n = 2,6,10...... 时概率密度最大
nhπ 6 × 10 = =1时 (3) n=1时： E = =1 2mL L
2 2 2 2 2 −38
A 例题3 例题3 设粒子沿 x 方向运动，其波函数为 ψ ( x ) = 方向运动， 1 + ix
( n = 1,2,3,...)
E n=4
p2 E = 2m p= nπh nh 2 mE = = a 2a
n=3 n=2 n=1
h 2a λ= = p n
二者是一致的。 二者是一致的。
( n = 1, 2, 3,...)
o a
x
例题2 粒子质量为m, 在宽度为L的一维无限 的一维无限深势 例题2 P516例1：粒子质量为m, 在宽度为 的一维无限深势 中运动，试求( 粒子在0 阱中运动，试求(1)粒子在0≤x≤L/4区间出现的概率。并 ≤ / 区间出现的概率。 求粒子处于n=1 状态的概率。 在哪些量子态上， 求粒子处于 1和n=∞状态的概率。(2)在哪些量子态上， 状态的概率 (2)在哪些量子态上 Ｌ/4处的概率密度最大？(3)求n=1时粒子的能量 补充 。 /4处的概率密度最大 (3)求 =1时粒子的能量(补充 处的概率密度最大？ =1时粒子的能量 补充)。 2 nπ x 由题得： 解:(1) 由题得： 概率密度 |ψ | = sin
2 2 2 2 0
2
2
2
2
0
0
k
0
2
2
2 k
0
k
k
k
0
h ∴λ = = p
hc 2E m c + E
2 k 0
基本习题和答案解析量子力学
WORD格式整理量子力学习题(一)单项选择题 1. 能量为100ev 的自由电子的De Broglie 波长是 0 0 0 0 A. 1.2 A. B. 1.5 A. C. 2.1 A. D. 2.5 A. 2. 能量为0.1ev 的自由中子的De Broglie 波长是 0 0 0 0 A.1.3 A. B. 0.9 A. C. 0.5 A. D. 1.8 A. 3. 能量为0.1ev ，质量为1g 的质点的De Broglie 波长是 0A.1.4 A.B.1.9 0C.1.17 10J 2 A.D. 2.04.温度T=1k 时, 具有动能 010J 2 A. 0 A. =—k B T ( k B 2 为Boltzeman 常数）的氦原子的DeBroglie 波长是 0 A.8 A. B. 5.6 5.用 Bohr-Sommerfeld 0 A. 0 A. D. 12.6 0A. A. E n 二 n ，.B.C. 10 的量子化条件得到的一维谐振子的能量为（n 二0,1,2,…） E n = （n ：）；. 2 C. E n =（n 1） ? ■ .D. E n =2n •. 6.在0k 附近，钠的价电子的能量为3ev ，其 0 0A.5.2 A.B. 7.1 A.C. 8.4 De Broglie 波长是 0 A. 7. 钾的脱出功是2ev ，当波长为 最大能量为 A. 0.25 10J 8J. B. 1.25 C. 0.25 1046 J.D. 1.25 0A. D. 9.4 03500 A 的紫外线照射到钾金属表面时，光电子的 10」8J. 10J 6J. 8. 当氢原子放出一个具有频率--的光子，反冲时由于它把能量传递给原子而产生 的频率改变为 h A. . B. 2 . C.2七 2心 9. C ompton 效应证实了A.电子具有波动性.B.C.光具有粒子性.D. -2 '2走.D. PC .光具有波动性• 电子具有粒子性. 10. D avisson 和Germer 的实验证实了 A.电子具有波动性.B.光具有波动性. C.光具有粒子性.D. 电子具有粒子性. U （x ）斗0,0：X7中运动，设粒子的状态由 [°°,x E0,X11.粒子在一维无限深势阱 J(x)二Csin 描写，其归一化常数C 为aA ^r 1. B. . C. .a• a■ a12.设t(x)—(x)，在x-x ，dx 范围内找到粒子的几率为 22.D.13.设粒子的波函数为2A.屮（x, y, z） dxdydz.'■ （x, y,z），在x—x • dx范围内找到粒子的几率为2B.屮（x, y,z） dx.2 2C.( '- (x, y, z) dydz)dx .D. . dx dy dz'- (x, yz)14.设：Mx）和：2（x）分别表示粒子的两个可能运动状态，则它们线性迭加的态c「i（x）dd）的几率分布为2 2A.|汕1 +对2 .2 2 *B. |G屮l| +C2屮2 +C1C2屮1屮2.2 2 *C.k 屮1 +C2 屮2 +2GC2屮1屮2.2 2 * * * *D.- c^;2 +。
量子力学(第1-4章)考试试题
第一至四章 例题一、单项选择题1、普朗克在解决黑体辐射时提出了 【 】A 、能量子假设B 、光量子假设C 、定态假设D 、自旋假设2、若nn n a A ψψ=ˆ，则常数n a 称为算符A ˆ的 【 】 A 、本征方程 B 、本征值 C 、本征函数 D 、守恒量3、证实电子具有波动性的实验是 【 】A 、 戴维孙——革末实验B 、 黑体辐射C 、 光电效应D 、 斯特恩—盖拉赫实验4、波函数应满足的标准条件是 【 】A 、 单值、正交、连续B 、 归一、正交、完全性C 、 连续、有限、完全性D 、 单值、连续、有限 5、已知波函数 )exp()()exp()(1Et ir Et i rϕϕψ+-=, )exp()()exp()(22112t E i r t E i rϕϕψ+-=,)exp()()exp()(213Et ir Et i r-+-=ϕϕψ,)exp()()exp()(22114t E ir t E i r-+-=ϕϕψ其中定态波函数是 【 】 A 、ψ2 B 、ψ1和ψ2 C 、ψ3 D 、3ψ和ψ46、在一维无限深势阱⎩⎨⎧≥∞<=a x ax x U ,,0)(中运动的质量为μ的粒子的能级为 【 】A. πμ22222 n a B. πμ22224 n a C. πμ22228 n a D. πμ222216 n a. 7、量子力学中用来表示力学量的算符是 【 】 A 、线性算符 B 、厄米算符 C 、幺正算符 D 、线性厄米算符8、]ˆ ,ˆ[x p x= 【 】 A 、0 B 、 i C 、 i - D 、29、守恒量是 【 】A 、处于定态中的力学量B 、处于本征态中的力学量C 、与体系哈密顿量对易的力学量D 、其几率分布不随时间变化的力学量10、某体系的能量只有两个值1E 和2E ，则该体系的能量算符在能量表象中的表示为【 】A 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡1221E E E E B 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡2100E E C 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡0021E E D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡2211E E E E 11、)(r nlmψ为氢原子归一化的能量本征函数，则=''⎰τψψd m l n nlm 【 】A 、0B 、1C 、m m l l ''δδD 、m l lm ''δδ 二、填空题 1、19世纪末20世纪初，经典物理遇到的困难有（举三个例子） 。
量子力学练习参考解答
量子力学练习参考解答第一章 波函数与薛定谔方程1.1，1.2，1.3题解答略。
1.4（a ）设一维自由粒子的初态为一个Gauss 波包，222412)(1)0,(απαψxx p i e e x -=证明：初始时刻，0=x ，0p p =[]2)(12α=-=∆x x x[]α2)(12=-=∆p p p2 =∆⋅∆p x证：初始时刻012222===-+∞∞-+∞∞-⎰⎰dx exdx x x x απαψ2122222222απαψα===-∞+∞-∞+∞-⎰⎰dx exdx x x x()22122α=-=∆xx x)0,(x ψ的逆变换为⎰+∞∞--=dx ex p ipx/)0,(21)(ψπϕ＝⎰+∞∞---dx eeeipx x x p i/2412220)(121απαπ＝2220()22214(/)p p eααπ--22202()()p p p eααϕπ--=因此02)(p dp p p p ==⎰+∞∞-ϕ2222222)(0αϕ +==⎰∞+∞-p dp p p p()α22122 =-=∆p p p2 =∆⋅∆p x注：也可由以下式子计算p 和2p ：2222(,0)()(,0)(,0)()(,0)dp x ix dx dxd p x x dxdx ψψψψ+∞*-∞+∞*-∞=-=-⎰⎰1.5 设一维自由粒子的初态为)0,(x ψ，证明在足够长时刻后，()[]⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-=t mx t imx i t m t x ϕπψ2exp 4exp ,2式中()()⎰+∞∞--=dx e x k ikx0,21ψπϕ是)0,(x ψ的Fourier 变换。
提示：利用()x e e x i i δπααπα=-∞→24/lim。
证：依照平面波的时刻转变规律 ()t kx i ikxe e ω-→ ， m k E 22==ω，任意时刻的波函数为()()()dk e k t x mtkkx i 2/221, -+∞∞-⎰=ϕπψ()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅=⎰∞+∞-22/2ex p 212t mx k m t i k dk etimx ϕπ（1） 那时刻足够长后（所谓∞→t ），上式被积函数中的指数函数具有δ函数的性质，取m t 2 =α ， （2）参照此题的解题提示，即得()()⎰+∞∞--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅≈k d t mx k k e t m et x i timx δϕππψπ4/2221,2⎪⎭⎫⎝⎛=-t mx e e t m t imx i ϕπ2/4/2 （3） 1.6 依照粒子密度散布ρ和粒子流密度散布j的表示式， ()()()t r t r t r ,,,*ψψρ=()()()()()[]t r t r t r t r mi t r j ,,,,2,**ψψψψ∇-∇-=概念粒子的速度散布v()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∇-∇-==t r t r t r t r m i j v ,,,,2**ψψψψρ 证明：0=⨯∇v 。
量子力学习题汇集
量⼦⼒学习题汇集第⼀章习题１．证明下列算符等式[][][][][][][][][][][][][][][]0,,,,,,,,,,,,,,,=+++=+=+=+B A C A C B C B A BC A C B A C AB CB AC A B BC A C A B A C B A２．设粒⼦波函数为),,(z y x ψ，求在()dx x x +, 范围内找到粒⼦的⼏率．３．在球坐标中，粒⼦波函数为()??ψ,,r ，试求：１）在球壳(r,r+dr)中找到粒⼦的⼏率；２）在()??,⽅向的⽴体⾓Ωd 中找到粒⼦的⼏率．４．已知⼒学量F 的本征⽅程为n n n F ?λ?=求在状态波函数332211ψc c c ++=下测⼒学量F 的可能值，相应的⼏率及平均值（假设波函数ψ已归⼀或不归⼀的情况）．第⼆章习题１．⼀粒⼦在⼆维势场∞=,,0),(y x V 其它by a x <<<<0,0中运动，求粒⼦的能级和波函数．能级是否简并２．由哈密顿算符()2232222212222z y x m m H ωωω+++?-=η所描述的体系，称各向异性谐振⼦．求其本征态和本征值．３．利⽤递推关系--=+-11212)(n n n n n x dx d ψψαψ证明()22222)2)(1()12()1(2并由此证明在n ψ态下2,0nE T P ==第四章习题１．证明 )cos sin (cos i A +=ψ为2L 和y L 的共同本征态，并求相应的本征值。
说明当体系处在此状态时，z L 没有确定值。
２．对于⼀转动惯量为I 的平⾯转⼦，其能量算符为IL H z 2=，求体系的能量本征态。
如??ψsin )0,(A =，求),(t ?ψ。
３．量⼦化对称陀螺的哈密顿量可写成()222212121z y x L I L L I H ++=试求该对称陀螺的能量本征值。
４．⼀质量为m 的粒⼦被限制在半径为a r = 和b r =的⼆个不可穿透同⼼球⾯之间运动，不存在其它势。
量子力学练习一+解答
量子力学练习一1．爱因斯坦在解释光电效应时，提出 概念；爱因斯坦光电效应方程为 ；电子的康普顿波长为 。
光量子（光子）21v 2h m A ν=+ 20 2.4310Ac h m cλ-==⨯ 2．玻尔氢原子理论的三个基本假设是：（1）（2） （3） 。
定态假设 跃迁假设 角动量量子化假设3．能量为100eV 的电子，其德布罗意物质波的波长为 。
101.210m -⨯4．在量子力学中，描述系统的运动状态用波函数()r ψ，一般要求波函数满足三个条件即 ； ； 。
根据玻恩对波函数的统计解释，电子呈现的波动性只是反映客体运动的一种统计规律，称为 波，波函数模的平方()2r ψ表示粒子在空间的几率分布，称为 。
而()2r d ψτ表示 ，要表示粒子出现的绝对几率，波函数必须 。
单值的、连续的、平方可积的；几率或概率 几率密度或概率密度；在空间体积d τ中找到粒子的几率或概率；归一化 5．测不准关系/2x x p ∆∆≥ 表明，微观粒子的位置（坐标）和动量 ，这是 的反映，当0→ 时，量子力学将回到经典力学，或者说 可以忽略。
而/2E t ∆∆≥ 说明原子处于激发态时有一定的时间限制，则原子激发能级有一定 ，这是原子光谱存在 的根源。
不能同时具有完全确定的值 粒子的波动－粒子两重性 量子效应 宽度 自然宽度6．在量子力学中，力学量通常用算符表示，在坐标表象中，动量变为动量算符即ˆp = ，在动量表象中，坐标变为坐标算符，即ˆr=。
i -∇ p i ∇7．设波函数()22xx Aeαψ-=，α为常数，求归一化常数A()222222222*21x x x x dx A e Ae dx Ae dx Aαααψ∞∞∞----∞-∞-∞====⎰⎰⎰其中利用2xe dx ∞--∞=⎰A ＝1/41/22απ⎛⎫⎪⎝⎭8．已知做直线运动的粒子处于状态()11x ixψ=- （1）将()x ψ归一化；（2）求出粒子坐标取值几率为最大处的位置和最大几率密度。
量子力学习题第一部分
量子力学习题第一部分量子力学习题第一部分一基本概念: Plank量子论，Bohr量子论，德布罗意关系，Bohr 量子化条件，波函数的统计诠释，量子力学基本假设，坐标波函数和动量波函数的关系，不确定关系，定态，守恒量，全同性原理。
二基本实验现象及规律: 黑体辐射，光电效应，Davisson和Germer 实验，正常Zeeman效应，反常Zeeman效应，光谱精细结构，Stark 效应，自旋存在的实验证据，Stern-Gerlach实验，自旋单态，自旋三重态。
三简单证明：1. 若坐标波函数是归一化的，则动量波函数也是归一化的。
2. 由薛定谔方程证明几率守恒。
3. 证明定态的叠加不是定态。
4. 证明在定态下，任意力学量的平均值不随时间改变。
5. 证明在定态下，任意力学量的测值几率分布不随时间变化。
6. 证明对一维运动，若一函数是薛定谔方程的解，则其复共轭也是解，且对应于同一能级。
7. 证明对一维束缚态总可以取实函数描述。
8. 证明对于一维定态问题，若粒子处于有限阶梯形方势阱中运动，则波函数及其一阶导数连续。
9. 证明对于一维运动，若势函数具有反射不变性，则体系有确定的宇称。
10. 证明坐标和动量的对易关系。
11. 证明角动量间的对易关系。
12. 证明坐标和角动量的对易关系。
13. 证明动量和角动量的对易关系。
14. 证明厄米算符的本征值是实数。
15. 证明在任何态下平均值为实数的算符必为厄米算符16. 证明厄米算符的本征值必为实数。
17. 证明若体系有两个彼此不对易的力学量，则体系的能级一般是简并的。
18. 证明书中求和规则（两题）。
19. 证明（σ ?A ）(σ ?B ) =B A ?+ i σ ?(B A ?)20. 证明a 和a + 分别为下降和上升算符，并求它们在占有数表象下的表示。
四计算：1. 设一维运动粒子具有确定动量，验证不确定关系。
2. 设一维运动粒子具有确定位置，验证测不准关系。
3. 设一维运动粒子用gauss 波包描述，验证测不准关系。
量子力学习题集
量⼦⼒学习题集量⼦⼒学习题第⼀章绪论1.1 由⿊体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极⼤值所对应的波长λm 与温度T 成反⽐，即λm T=b (常量）；并近似计算b 的数值，准确到⼆位有效数字。
1.2 在0K 附近，钠的价电⼦能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
1.3 氦原⼦的动能是E=3kT/2（k 为玻⽿兹曼常数），求T=1K 时，氦原⼦的德布罗意波长。
1.4 利⽤玻尔－索末菲的量⼦化条件，求：（1）⼀维谐振⼦的能量；（2）在均匀磁场中作圆周运动的电⼦轨道的可能半径。
已知外磁场H =10特斯拉，玻尔磁⼦M B =9×10-24焦⽿/特斯拉，试计算动能的量⼦化间隔?E ，并与T =4K 及T =100K 的热运动能量相⽐较。
1.5 两个光⼦在⼀定条件下可以转化为正负电⼦对。
如果两光⼦的能量相等，问要实现这种转化，光⼦的波长最⼤是多少？第⼆章波函数和薛定谔⽅程2.1 由下列两定态波函数计算⼏率流密度： (1) ψ1=e ikr /r , (2) ψ2=e -ikr /r .从所得结果说明ψ1表⽰向外传播的球⾯波，ψ2表⽰向内（即向原点）传播的球⾯波。
2.2 ⼀粒⼦在⼀维势场ax a x x x U >≤≤∞∞=00,,0,)(中运动，求粒⼦的能级和对应的波函数。
2.3 求⼀维谐振⼦处在第⼀激发态时⼏率最⼤的位置。
2.4 ⼀粒⼦在⼀维势阱ax a x U x U ≤>??>=,0,0)(0中运动，求束缚态(02.5 对于⼀维⽆限深势阱(0x 和?x ，并与经典⼒学结果⽐较。
2.6 粒⼦在势场xa a x x V x V ≤<<≤??-∞=00,0,,)(0中运动，求存在束缚态(E <0)的条件( ，m ，a ，V 0关系)以及能级⽅程。
2.7 求⼆维各向同性谐振⼦[V =21k (x 2+y 2)]的能级，并讨论各能级的简并度。
2.8粒⼦束以动能E =mk222从左⽅⼊射，遇势垒00,,0)(0≥=x x V x V求反射系数、透射系数。
第一章量子力学基础习题
第一章 量子力学基础一．选择题1. 已知某色光照射到一金属表面、产生了光电效应，若此金属的逸出电势是0U （使电子从金属逸出需做功0eU ）则此单色光的波长λ必须满足： A（A ）0/eU hc ≤λ （B ）()o hc eU λ≥（C ）()()0/eU hc λ≤ （D ）()()0/eU hc λ≥2. 用强度为I ，波长为λ的X 射线（伦琴射线）分别照射锂（Z=3）和铁（Z=26），若在同一散射角下测得康普顿散射的X 射线波长分别Li λ和()11,Fe L F λλλλ>，它们对应的强度分别为1L I 和Fe I ，则（A ）11,L Fe L Fe I I λλ>< （B ）11,L Fe L Fe I I λλ== （C ）11,l Fe L Fe I I λλ=>（D ）11,L Fe L Fe I I λλ<> [ C ]3. 根据玻尔氢原子理论，氢原子中的电子在第一和第三轨道上运动时速度大小之比21:v v 是： （A ）1； （B ）19； （C ）3；（D ）9 。
[ C ]4. 若外来单色光将氢原子激发至第三激发态，则当氢原子跃迁回低能态时，可发出的可见光光谱的条数是： C （A ）1； （B ）2； （C ）3； （D ） 65. 电子显微镜中的电子从静止开始通过电势差为U 的静电场加速后，其德布罗意波长是0.40A ，则U 约为（A ）150V （B ）330V （C ）630V （D ）940V（普朗克常量34606310.h j s -=⨯） [ D ] 6. 若α粒子（电量为2e ）在磁感应强度为B 均匀磁场中沿半径为R 的圆形轨道运动，则α粒子的德布罗意波长是 （A ）()2h eRB （B ）()h eRB（C ）()12eRBh （D ）)1eRBh [ A ] 7. 已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为：()32x x a πφ=（-a ≤x ≤a ）那么粒子在x=5a/6处出现的几率密度为： （A ）1/（2a ） （B ）1/a（C） （D） [ ]解答：()2222531516cos cos 242ax a a aπρϕπ====， 故选（A ）。
量子力学习题1
量子力学部分
2011年12月27日
一.量子力学基本原理之一——波函数
微观粒子的运动状态可以用波函数 完全描述。t 时 刻，波函数在空间某点的绝对值的平方与该时刻在该点附近找 到粒子的概率密度成正比。
表示 t 时刻, 微观粒子在空间 r 点出现的相对概率密度。
波函数 r , t 本身没有直接的物理意义。它并不像经典 波那样代表什么实在的物理量的波动。
2 2 U r C r EC r 2m 2 2 U r r C r EC r 2m
将U(r)+c代入方程中
EC C E
故波函数与时间无关的部分不改变,能量本征值 改变.
( x)
2
2 2 nπ sin x a a
n
2
16E1
n3
9E1
n2
n 1
4E1 E1
x0
5
a
x0
a
Ep 0
b. 线性谐振子 势能U x 1 m 2 x 2 1 kx2 , k
线性谐振子定态波函数为
2
2
m
n x An e
2 x2
2
H n x
其中An
2 n n!
能量本征值和零点能
c. 方势垒的穿透
1 零点能(基态能量)为: E0 2
1 E n , 2
n 0,1, 2,3
隧道效应
隧道效应是微观粒子波动性的体现 已完全被实验证实, 并制成扫描隧道显微镜 （STM )
N n 2(2l 1) 2 6 10 ... 2[2(n 1) 1]
量子力学作业习题
第一章 量子力学的诞生[1] 在宏观世界里，量子现象常常可以忽略．对下列诸情况，在数值上加以证明： ( l ）长l=lm ，质量M=1kg 的单摆的零点振荡的振幅；( 2 ）质量M=5g ，以速度10cm/s 向一刚性障碍物（高5cm ，宽1cm ）运动的子弹的透射率；( 3 ）质量M= 0.1kg ，以速度0.5m/s 运动的钢球被尺寸为1×1.5m 2时的窗子所衍射．[2] 用h,e,c,m （电子质量）, M （质子质量）表示下列每个量，给出粗略的数值估计： ( 1 ）玻尔半径（cm ) ; ( 2 ）氢原子结合能（eV ) ; ( 3 ）玻尔磁子；( 4 ）电子的康普顿波长（cm ) ; ( 5 ）经典电子半径（cm ) ; ( 6 ）电子静止能量（MeV ) ; ( 7 ）质子静止能量( MeV ) ; ( 8 ）精细结构常数；( 9 ）典型的氢原子精细结构分裂[3]导出、估计、猜测或背出下列数值，精确到一个数量级范围内，( 1 ）电子的汤姆逊截面；( 2 ）氢原子的电离能；( 3 ）氢原子中基态能级的超精细分裂能量；( 4 ）37Li ( z=3 ）核的磁偶极矩；( 5 ）质子和中子质量差；( 6 )4He 核的束缚能；( 7 ）最大稳定核的半径；( 8 ）Π0介子的寿命；( 9 ）Π-介子的寿命；( 10 ）自由中子的寿命．[4]指出下列实验中，哪些实验表明了辐射场的粒子性？哪些实验主要证明能量交换的量子性？哪些实验主要表明物质粒子的波动性？简述理由．( 1 ）光电效应；( 2 ）黑体辐射谱；( 3 ) Franck – Hertz 实验；( 4 ) Davisson -Ger - mer 实验；( 5 ) Compton 散射．[5]考虑如下实验：一束电子射向刻有A 、B 两缝的平板，板外是一装有检测器阵列的屏幕，利用检测器能定出电子撞击屏幕的位置．在下列各种情形下，画出入射电子强度随屏幕位置变化的草图，给出简单解释． ( 1 ) A 缝开启，B 缝关闭； ( 2 ) B 缝开启，A 缝关闭； ( 3 ）两缝均开启． [6]验算三个系数数值：（1）h 2e m ；（2）h 2nm ；（3）hc第二章 波函数与Schr ödinger 方程[1] 试用量子化条件,求谐振子的能量[谐振子势能2221)(x m x V ω=] [2] 一维运动的粒子处在⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(x x Axe x x 当当λψ的状态，其中0>λ，求：（1）粒子动量的几率分布函数；（2）粒子动量的平均值。
量子力学第一章课外练习题
第一章绪论一、填空题1、1923年，德布洛意提出物质波概念，认为任何实物粒子，如电子、质子等，也具有波动性，对于质量为1克，速度为1米/秒的粒子，其德布洛意波长为0.123A〔保留三位有效数字〕。
2、自由粒子的质量为m,能量为E,其德布罗意波长为h/p=h/√2mE(不考虑相对论效应)。
3、写出一个证明光的粒子性的：康普顿效应的发现,从实验上证实了光具有粒子性。
4、爱因斯坦在解释光电效应时，提出光的频率决定光子的能量，光的强度只决定光子的数目概念。
5、德布罗意关系为p=h/λ n〔没有写为矢量也算正确〕。
7、微观粒子具有波粒二象性。
8、德布罗意关系是粒子能量E、动量P与频率ν、波长λ之间的关系，其表达式为E=hv9、德布罗意波长为λ，质量为m的电子，其动能为已知。
10、量子力学是反映微观粒子运动规律的理论。
11、历史上量子论的提出是为了解释的能量分布问题。
用来解释光电效应的爱因斯坦公式为已知。
12、设电子能量为4电子伏，其德布罗意波长为待定nm。
13、索末菲的量子化条件为在量子理论中，角动量必须是h的整数倍，E待定。
应用这个量子化条件可以求得一维谐振子的能级=n14、德布罗意假说的正确性，在1927年为戴维孙和革末所做的电子衍射实验所证实，德布罗意关系〔公式〕为见P11。
15、1923年，德布洛意提出物质波概念，认为任何实物粒子，如电子、质子等，也具有波动性。
根据其理论，质量为 ，动量为p的粒子所对应的物质波的频率为，波长为若对于质量为1克，速度为1米/秒的粒子，其德布洛意波长为待定〔保留三位有效数字〕。
16、1923年，德布罗意提出物质波概念，认为任何实物粒子，如电子、质子等，也具有波动性，对于经过电压为100伏加速的电子，其德布洛意波长为0.123A〔保留三位有效数字〕。
二、选择题1、利用爱因斯坦提出的光量子概念可以成功地解释光电效应。
A. 普朗克B. 爱因斯坦C. 玻尔D. 波恩2、1927年C和等人所做的电子衍射试验验证了德布洛意的物质波假设。
量子力学第一章例题
第一章例题
1.2利用玻尔一索末菲的量子化条件求一维谐振子的能量。
解方法一：
按经典力学，质量为，角频率为的一维谐振子的能量
（a）
可改写成如下形式
（b）
上式是椭圆方程（右图），两半轴a、b分别为
利用量子化条件
（c）
但椭圆面积=
代入（c）得
方法二：
设谐振子位置可表示为
（d）
显然（e）
谐振子能量
将p、q代入上式得
利用（d）、（e）计算
半此代入量子化条件
得
即
代入（f），即得谐振子能量 E=nhv
1.3用玻尔一索末菲量子化条件求质量为的料子在长为l的一维盒子中作自由运动的能量。
解如图所示，设粒子开始时以速度v向右运动，设与右壁作弹性撞碰，动量数值不变方向相反，由量子化条件
得
粒子能量。
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量子力学习题第一部分
一基本概念: Plank量子论，Bohr量子论，德布罗意关系，Bohr量子化条件，波函数的统计诠释，量子力学基本假设，坐标波函数和动量波函数的关系，不确定关系，定态，守恒量，全同性原理。
二基本实验现象及规律: 黑体辐射，光电效应，Davisson和Germer实验，正常Zeeman效应，反常Zeeman效应，光谱精细结构，Stark效应，自旋存在的实验证据，Stern-Gerlach实验，自旋单态，自旋三重态。
三简单证明：
1. 若坐标波函数是归一化的，则动量波函数也是归一化的。
2. 由薛定谔方程证明几率守恒。
3. 证明定态的叠加不是定态。
4. 证明在定态下，任意力学量的平均值不随时间改变。
5. 证明在定态下，任意力学量的测值几率分布不随时间变化。
6. 证明对一维运动，若一函数是薛定谔方程的解，则其复共轭也是解，且对应于同一能级。
7. 证明对一维束缚态总可以取实函数描述。
8. 证明对于一维定态问题，若粒子处于有限阶梯形方势阱中运动，则波函数及其一阶导数连续。
9. 证明对于一维运动，若势函数具有反射不变性，则体系有确定的宇称。
10. 证明坐标和动量的对易关系。
11. 证明角动量间的对易关系。
12. 证明坐标和角动量的对易关系。
13. 证明动量和角动量的对易关系。
14. 证明厄米算符的本征值是实数。
15. 证明在任何态下平均值为实数的算符必为厄米算符
16. 证明厄米算符的本征值必为实数。
17. 证明若体系有两个彼此不对易的力学量，则体系的能级一般是简并的。
18. 证明书中求和规则（两题）。
19. 证明（）() =+ i()
20. 证明a和a+ 分别为下降和上升算符，并求它们在占有数表象下的表示。
四计算：
1. 设一维运动粒子具有确定动量，验证不确定关系。
2. 设一维运动粒子具有确定位置，验证测不准关系。
3. 设一维运动粒子用gauss波包描述，验证测不准关系。
4．一维自由运动粒子，求波函数。
5. 粒子处于一维无限深势阱中，求能级和波函数。
6. 二维无限深势阱中运动的粒子，求能级和波函数，并讨论简并度。
7. 求平面转子的能级和波函数。
8. 求角动量z分量的本征值和本征态。
9. 粒子处于一维无限深势阱中，求坐标和动量的平均值，并对结果给予解释。
10. 求带电谐振子处于外电场中时的能级和波函数。
11. 确定三维中心力场中运动粒子体系的力学量的完全集。
12. 对正常Zeeman效应，确定体系的守恒量。
13. 对反常Zeeman 效应，确定体系的守恒量。
14. 计及自旋-轨道耦合，确定中心立场中运动粒子的守恒量。
15. 利用周期性边界条件，求自由运动粒子的波函数。
16. 利用不确定关系估算谐振子的基态能量。
17. 证明在离散的能量本征态（束缚态）下，动量平均值为零。
18. 证明在Lz 的本征态下，求Lx ，Ly ，Lz 的平均值。
19. 设体系处于态C1Y11 + C2Y20，求Lz的可能测值及平均值；求L2的可能测值及相应几率。
20. 求力学量的平均值随时间的演化规律。
21. 设有两个全同的自由粒子，都处于动量的本征态，分别讨论不计交换对称性、波色子和费米子情况下它们在空间的相对距离的概率分布。
22. 三个全同粒子体系，设单粒子有三个态，确定对称化和反对称化态的个数，并写出这些态。
23. 求氢原子能级的简并度（计及自旋和不计自旋）。
24，求氢原子的电流分布和磁矩。
25. 求坐标算符和动量算符在坐标表象中的表示。
26. 求坐标算符和动量算符在动量表象中的表示。
27. 中心力场中的自旋为1/2的粒子，考虑到轨道于自旋耦合，写出体系的哈密顿量，确定体系力学量完全集合，求体系耦合表象下的基。
28. 定量解释碱金属原子光谱的双线结构。
29. 定量分析正常塞曼效应。
30. 定量解释反常塞曼效应。
31. 求两自旋为1/2全同例子体系的波函数。
32. 求自旋单态和自旋三重态下，S2和Sz的本征值。
33. 在z表象下，求x的本证态。
34. 在z表象下，求n的本证态。
35. 在z本征态下，求（ΔSx）2和（ΔSy）2的平均值。
36. 对在外电场中的线性谐振子，用微扰论和精确解分别求解。
37. 定量分析氢原子的一级Stark效应。