高考数学压轴专题人教版备战高考《平面解析几何》知识点总复习含解析

【最新】《平面解析几何》专题
一、选择题
1．若点O 和点F 分别为椭圆22
143
x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则
OP FP →→
g 的最大值为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
【答案】C 【解析】 【分析】
设(),P x y ，由数量积的运算及点P 在椭圆上，可把OP FP ⋅u u u r u u u r
表示成为x 的二次函数，根
据二次函数性质可求出其最大值. 【详解】
设(),P x y ，()()1,0,0,0F O -，则
()(),,+1,OP x y FP x y ==u u u r u u u r
，则 22OP FP x x y ⋅=++u u u r u u u r
，
因为点P 为椭圆上，所以有：22143
x y +=即2
2334y x =-，
所以()2222
23132244
x x y x x x FP x OP =++=⋅++-=++u u u r u u u r
又因为22x -≤≤，
所以当2x =时，OP FP ⋅u u u r u u u r
的最大值为6 故选：C 【点睛】
本题考查了数量积的坐标运算，求二次函数的最大值，属于一般题.
2．已知直线21y kx k =++与直线1
22
y x =-+的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是（ ）
A ．1
2
k >
B ．16k <-
或1
2
k > C ．62k -<< D ．1162
k -
<< 【答案】D 【解析】 【分析】
联立21
1
22y kx k y x =++⎧⎪⎨=-+⎪⎩
，可解得交点坐标(,)x y ，由于直线21y kx k =++与直线
1
22y x =-+的交点位于第一象限，可得00x y >⎧⎨>⎩
，解得即可． 【详解】
解：联立211
22y kx k y x =++⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得2421
6121k x k k y k -⎧
=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩， Q 直线21y kx k =++与直线1
22
y x =-
+的交点位于第一象限， ∴24021610
21k
k k k -⎧>⎪⎪+⎨+⎪>⎪+⎩
，解得：11
62k -<<．
故选：D ． 【点睛】
本题考查两直线的交点和分式不等式的解法，以及点所在象限的特征．
3．设D 为椭圆22
15
y x +=上任意一点，A （0，－2），B （0，2），延长AD 至点P ，使
得|PD|＝|BD|，则点P 的轨迹方程为（ ） A ．x 2＋（y －2）2＝20 B ．x 2＋（y －2）2＝5 C ．x 2＋（y ＋2）2＝20 D ．x 2＋（y ＋2）2＝5 【答案】C 【解析】 【分析】
由题意得PA PD DA DB DA =+=+=，从而得到点P 的轨迹是以点A 为圆
心，半径为 【详解】
由题意得PA PD DA DB DA =+=+，
又点D 为椭圆2
2
15
y x +=上任意一点，且()()0,2,0,2A B -为椭圆的两个焦点，
∴DB DA +=，
∴PA =
∴点P 的轨迹是以点A
为圆心，半径为 ∴点P 的轨迹方程为()2
2220x y ++=． 故选C ．
本题考查圆的方程的求法和椭圆的定义，解题的关键是根据椭圆的定义得到25PA =，然后再根据圆的定义得到所求轨迹，进而求出其方程．考查对基础知识的理解和运用，属于基础题．
4．如图所示，已知双曲线C ：()22
2210,0x y a b a b
-=>>的右焦点为F ，双曲线的右支上
一点A ，它关于原点O 的对称点为B ，满足120AFB ∠=︒，且3BF AF =，则双曲线
C 的离心率是( )
A ．
27
7
B ．
52
C ．
72
D ．7
【答案】C 【解析】 【分析】
利用双曲线的性质，推出AF ，BF ，通过求解三角形转化求解离心率即可． 【详解】
解：双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右焦点为F ，双曲线C 的右支上一点A ，它关于
原点O 的对称点为B ，满足120AFB ∠=︒，且||3||BF AF =，可得||||2BF AF a -=，||AF a =，||3BF a =，
60F BF ∠'=︒，所以2222cos60F F AF BF AF BF '=+-︒g ，可得22221
4962
c a a a =+-⨯，
2247c a =，
所以双曲线的离心率为：72
e =． 故选：C ．
【点睛】
本题考查双曲线的简单性质的应用，三角形的解法，考查转化思想以及计算能力，属于中
5．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线2
23
2
2
():16C x y x y =+恰好是四叶玫瑰线.
给出下列结论：①曲线C 经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2；③曲线C 围成区域的面积大于4π；④方程
()223221)60(x y x y xy +=<表示的曲线C 在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是
( ) A ．①③ B ．②④ C ．①②③ D ．②③④
【答案】B 【解析】 【分析】
利用基本不等式得2
2
4x y +≤，可判断②；22
4x y +=和()
3
22
2216x y x y +=联立解得
222x y ==可判断①③；由图可判断④.
【详解】
()
2
223
2
222
16162x y x
y
x y ⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭
，
解得2
2
4x y +≤（当且仅当22
2x y ==时取等号），则②正确； 将2
2
4x y +=和(
)
3
2
22216x y
x y +=联立，解得222x y ==，
即圆2
2
4x y +=与曲线C 相切于点
2,2，(2,2-，(2,2，
2,2-，
则①和③都错误；由0xy <，得④正确. 故选：B. 【点睛】
本题考查曲线与方程的应用，根据方程，判断曲线的性质及结论，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.
6．已知双曲线22
22:1(0)x y E a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是双曲线E 上
的一点，且212||PF PF =.若直线2PF 与双曲线E 的渐近线交于点M ，且M 为2PF 的中点，则双曲线E 的渐近线方程为( )
A ．1
3y x =±
B ．12
y x =±
C ．2y x =±
D ．3y x =±
【答案】C 【解析】 【分析】
由双曲线定义得24PF a =，12PF a =，OM 是
12PF F △的中位线，可得OM a =，在2OMF △中，利用余弦定理即可建立,a c 关系，从而得到渐近线的斜率.
【详解】
根据题意，点P 一定在左支上.
由212PF PF =及212PF PF a -=，得12PF a =，24PF a =， 再结合M 为2PF 的中点，得122PF MF a ==，
又因为OM 是12PF F △的中位线，又OM a =，且1//OM PF ， 从而直线1PF 与双曲线的左支只有一个交点.
在2OMF △中222
24cos 2a c a
MOF ac
+-∠=
.——① 由2tan b MOF a ∠=
，得2cos a
MOF c
∠=. ——② 由①②，解得2
25c a
=，即2b a =，则渐近线方程为2y x =±.
故选：C. 【点睛】
本题考查求双曲线渐近线方程，涉及到双曲线的定义、焦点三角形等知识，是一道中档题.
7．已知双曲线22
21(0)2x y b b
-=>的左右焦点分别为12,F F ，其一条渐近线方程为
y x =，点0(3,)P y 在该双曲线上，则12PF PF ⋅u u u r u u u u r
=( )
A ．12-
B ．2-
C ．0
D ．4
【答案】C 【解析】 由题知
，故
，
∴12(23,1)(23,1)3410PF PF ⋅=-±⋅±=-+=u u u r u u u u r
，故选择C ．
8．已知直线()()():21110l k x k y k R ++++=∈与圆()()2
2
1225x y -+-=交于A ，
B 两点，则弦长AB 的取值范围是（ ）
A ．[]4,10
B ．[]3,5
C ．[]8,10
D ．[]6,10
【答案】D 【解析】 【分析】
由直线()()21110k x k y ++++=，得出直线恒过定点()1,2P -，再结合直线与圆的位置关系，即可求解. 【详解】
由直线()()():21110l k x k y k R ++++=∈，可得()210k x y x y ++++=，
又由2010x y x y +=⎧⎨++=⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，即直线恒过定点()1,2P -，圆心()1,2C ，
当CP l ⊥时弦长最短，此时2
2
2
2AB CP r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
，解得min 6AB =，
再由l 经过圆心时弦长最长为直径210r =， 所以弦长AB 的取值范围是[]6,10. 故选：D. 【点睛】
本题主要考查了直线系方程的应用，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟练利用直线的方程，得出直线恒过定点，再结合直线与圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
9．已知抛物线2:6C x y =的焦点为F 直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，若AB 中点的纵坐标为5，则||||AF BF +=（ ） A ．8 B ．11 C ．13 D ．16
【答案】C 【解析】 【分析】
设点A 、B 的坐标，利用线段AB 中点纵坐标公式和抛物线的定义，求得12y y +的值，即可得结果； 【详解】
抛物线2
:6C x y =中p ＝3， 设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），
由抛物线定义可得：|AF |+|BF |＝y 1+ y 2+p ＝y 1+ y 2+3，
又线段AB 中点M 的横坐标为12
2
y y +=5， ∴12y y +＝10， ∴|AF |+|BF |＝13； 故选：C . 【点睛】
本题考查了抛物线的定义的应用及中点坐标公式，是中档题．
10．如图，12,F F 是双曲线22
1:13
y
C x -=与椭圆2C 的公共焦点，点A 是1C ，2C 在第一
象限的公共点，若112F A F F =，则2C 的离心率是（ ）
A ．
1
3
B ．
15
C ．
23
D ．
25
【答案】C 【解析】
由2
2
1:13
y C x -=知2c =，1124F A F F ==
∵122F A F A -= ∴22F A =
∵由椭圆得定义知1226a F A F A =+= ∴2
3,3
c a e a === 故选C
11．已知12,F F 分别双曲线22233(0)x y a a -=>的左右焦点，是P 抛物线28y ax =与双曲线的一个交点，若1212PF PF += ，则抛物线的准线方程为（ ） A ．4x =- B ．3x =-
C ．2x =-
D ．1x =-
【答案】C 【解析】
由题得双曲线的方程为222213x y a a
-=，所以2222
34,2c a a a c a =+=∴=.
所以双曲线的右焦点和抛物线的焦点重合.
由题得12
2
12
12
,6
2
PF PF
PF a
PF PF a
⎧+=
⎪
∴=-
⎨
+=
⎪⎩
.
联立双曲线的方程和抛物线的方程得22
3830,(3
3
a
x ax a x x a
--=∴=-=
舍）或.
由抛物线的定义得6-a=3a-(-2a),所以a=1,所以抛物线的准线方程为x=-2，故选C.
点睛：本题的难点在于如何找到关于a的方程，本题利用的就是抛物线的定义得到6-a=3a-(-2a).在解析几何里，看到曲线上的点到焦点的距离，要联想到圆锥曲线的定义解题,这个技巧大家要理解掌握并做到灵活运用.
12．当点P在圆221
x y
+=上变动时，它与定点(3,0)
Q的连结线段PQ的中点的轨迹方程是（）
A．22
(3)4
x y
++=B．22
(23)41
x y
-+=
C．22
(3)1
x y
-+=D．22
(23)41
x y
++=
【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知条件可设()
00
,
P x y，线段PQ的中点为(),
M x y，再利用中点坐标公式可得到00
23,2
x x y y
=-=，再代入圆的方程221
x y
+=即可得到线段PQ的中点的轨迹方程.【详解】
设()
00
,
P x y，线段PQ的中点为(),
M x y，（如图）
则
3
2
2
x
x
y
y
+
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
即0
23
2
x x
y y
=-
⎧
⎨
=
⎩
，
Q点()
00
,
P x y在圆221
x y
+=上变动，即22
00
1
x y
+=
()()
22
2321
x y
∴-+=即()22
2341
x y
-+=
故选：B
【点睛】
本题考查了中点坐标公式，动点轨迹方程求法，属于一般题.
13．已知,A B 两点均在焦点为F 的抛物线()2
20y px p =>上，若4AF BF +=，线段
AB 的中点到直线2
p
x =
的距离为1，则p 的值为 （ ） A ．1 B ．1或3
C ．2
D ．2或6
【答案】B 【解析】
4AF BF +=1212442422
p p
x x x x p x p ⇒+
++=⇒+=-⇒=-中 因为线段AB 的中点到直线2
p
x =
的距离为1，所以121132
p
x p p -
=∴-=⇒=中或 ，选B. 点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若
00(,)P x y 为抛物线22(0)y px p =>上一点，由定义易得02
p
PF x =+
；若过焦点的弦AB AB 的端点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，则弦长为1212,AB x x p x x =+++可由根与系
数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．
14．已知椭圆22
:195
x y C +=左右焦点分别为12F F 、
，直线):2l y x =+与椭圆C 交于
A B 、两点（A 点在x 轴上方），若满足11AF F B λ=u u u v u u u v
，则λ的值等于（ ）
A
．B ．3
C ．2
D
【答案】C 【解析】
由条件可知，直线l 过椭圆的左焦点()12,0F -.
由)22219
5y x x y ⎧=+⎪
⎨+=⎪⎩消去y 整理得232108630x x ++=，
解得34x =-
或218
x =-． 设1122(,),(,)A x y B x y ，由A 点在x 轴上方可得12321
,48
x x =-
=-． ∵11AF F B λ=u u u v u u u v
，
∴1122(2,)(2,)x y x y λ---=+, ∴122(2)x x λ--=+． ∴321
2()(2)48
λ---=-+， 解得2λ=．选C
15．在圆M ：224410x y x y +---=中，过点(0,1)E 的最长弦和最短弦分别为AC 和
BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ）
A ．6
B ．12
C ．24
D ．36
【答案】B 【解析】 【分析】
先将圆M 的方程化为标准方程,得到其圆心坐标与半径,再结合直线与圆的位置关系可得
AC ､BD 的值,进而求出答案. 【详解】
圆M 的标准方程为:22
(2)(2)9x y -+-=,
其圆心为(2,2)M ,半径3r =, 过点E 最长的弦长是直径,故6AC =,
最短的弦是与ME 垂直的弦,又ME ==
所以
1
22
BD ===,即4BD =, 所以四边形的面积11
641222
S AC BD =⋅⋅=⨯⨯=, 故选:B. 【点睛】
本题考查直线与圆相交的性质,解题关键是明确AC 和BD 的位置关系,难度不大.
16．设P 为椭圆C ：22
x y 173
+=上一动点，1F ，2F 分别为左、右焦点，延长1FP 至点Q ，
使得2PQ PF =，则动点Q 的轨迹方程为( )
A ．22(x 2)y 28-+=
B ．22(x 2)y 7++=
C ．22(x 2)y 28++=
D ．22(x 2)y 7-+= 【答案】C 【解析】 【分析】
推导出12PF PF 2a +==2PQ PF =，从而11PF
PQ FQ +==Q 的轨迹为圆，由此能求出动点Q 的轨迹方程．
【详解】
P Q 为椭圆C ：22
x y 173
+
=上一动点，1F ，2F 分别为左、右焦点， 延长1FP 至点Q ，使得2PQ PF =，
12PF PF 2a ∴+==2PQ PF =，
11
PF PQ FQ ∴+==， Q ∴的轨迹是以()1F 2,0-
为圆心，为半径的圆， ∴动点Q 的轨迹方程为22(x 2)y 28++=．
故选：C ． 【点睛】
本题考查动点的轨迹方程的求法，考查椭圆的定义、圆的标准方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
17．已知点1F ，2F 分别是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，1e ，2e 分别是1C 和2C 的离心率，点P 为1C 和2C 的一个公共点，且1223
F PF π
∠=，若22e =，则1e 的值是（ ） A
B
C
．
7
D
【答案】D 【解析】 【分析】
利用椭圆和双曲线的定义以及余弦定理可得到方程222
1243c a a =+，由此得到关于离心率
的方程求得结果. 【详解】
设椭圆长半轴长为1a ，双曲线实半轴长为2a ，焦点坐标为()1,0F c -，()2,0F c ， 不妨设P 为第一象限内的点，则1212+=PF PF a ，1222-=PF PF a ， 则22
1212PF PF a a =-，
由余弦定理得：2
2
22
2
12121212242cos
3
c PF PF PF PF PF PF PF PF π=+-=++， ()2
222221
1
2
1
2443c a a a
a
a
∴=--=+，
2212314e e ∴
+=，又22e =，2
145
e ∴=，
15
e ∴=
. 故选：D .
【点睛】
本题考查共焦点的椭圆与双曲线问题的求解，关键是能够熟练应用椭圆和双曲线的定义，利用余弦定理构造等量关系，配凑出关于椭圆和双曲线离心率的方程.
18．双曲线定位法是通过测定待定点到至少三个已知点的两个距离差所进行的一种无线电定位.通过船（待定点）接收到三个发射台的电磁波的时间差计算出距离差，两个距离差即可形成两条位置双曲线，两者相交便可确定船位.我们来看一种简单的“特殊”状况；如图所示，已知三个发射台分别为A ，B ，C 且刚好三点共线，已知34AB =海里，20AC =海里，现以AB 的中点为原点，AB 所在直线为x 轴建系.现根据船P 接收到C 点与A 点发
出的电磁波的时间差计算出距离差，得知船P 在双曲线
()2
2
27136
64
x y --=的左支上，若船P 上接到A 台发射的电磁波比B 台电磁波早185.2μs （已知电磁波在空气中的传播速度约为0.3km/μs ，1海里 1.852km =），则点P 的坐标（单位：海里）为（ ）
A ．9011,77⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭
B ．135322,77⎛⎫
± ⎪ ⎪⎝⎭
C ．3217,3⎛
⎫±
⎪⎝⎭
D ．(45,162±
【答案】B 【解析】 【分析】
根据双曲线的定义求出点P 所在的双曲线的标准方程()22
11522564
x y x -=>，将方程与
()
2
227136
64
x y --=联立，求解即可. 【详解】
设由船P 到B 台和到A 台的距离差确定的双曲线方程为()22
221x y x a a b
-=≥，
因为船P 上接到A 台发射的电磁波比B 台电磁波早185.2μs ，
则船P 到B 台和到A 台的距离差为185.20.3
2301.852
a PB PA ⨯===-海里，
故15a =，又=17c ，故8b =，
故由船P 到B 台和到A 台的距离差所确定的双曲线为()22
11522564
x y x -=
>，
联立()()()22
22
27121366411522564x y x x y x ⎧--=<⎪
⎪⎨⎪-=>⎪⎩， 解得135322,77P ⎛⎫
± ⎪ ⎪⎝⎭
，
故选：B . 【点睛】
本题考查了双曲线的定义、圆锥曲线在生活中的应用，考查了理解转化能力，属于中档题.
19．过双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的右焦点F ，作渐近线b y x a =的垂线与双曲线左
右两支都相交，则双曲线离心率e 的取值范围为( ) A ．()1,2 B ．()
1,2
C ．
(
)
2,+∞
D ．()2,+∞
【答案】C 【解析】 【分析】
设过双曲线的右焦点F 与渐近线b
y x a
=
垂直的直线为AF ,根据垂线与双曲线左右两支都相交，得AF 的斜率要小于双曲线另一条渐近线的斜率 ,由此建立关于,a b 的不等式，解之
可得22b a >，从而可得双曲线的离心率e 的取值范围 . 【详解】
过双曲线的右焦点F 作渐近线b
y x a
=
垂线，设垂足为A ， Q 直线为AF 与双曲线左右两支都相交，
∴直线AF 与渐近线b
y x a
=-
必定有交点B ， 因此，直线b
y x a
=-
的斜率要小于直线AF 的斜率，
Q 渐近线b y x a =
的斜率为b a
， ∴直线AF 的斜率a k b =-
，可得b a
a b
-<-， 即
2
2,b a b a a b
>>，可得222c a >， 两边都除以2a ，得22e >，解得2e >，
双曲线离心率e 的取值范围为(
)
2,+∞，故选C.
【点睛】
本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率范围问题应先将 e 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e 的不等式，从而求出e 的范围.
20．已知直线()0y kx k =≠与双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>交于,A B 两点，以AB 为
直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，若ABF ∆的面积为24a ，则双曲线的离心率为 A ．2 B ．3
C ．2
D ．5
【答案】D 【解析】 【分析】
通过双曲线和圆的对称性，将ABF ∆的面积转化为FBF ∆'的面积；利用焦点三角形面积公式可以建立a 与b 的关系，从而推导出离心率. 【详解】
由题意可得图像如下图所示：F '为双曲线的左焦点
AB Q 为圆的直径 90AFB ∴∠=o
根据双曲线、圆的对称性可知：四边形AFBF '为矩形
1
2
ABF AFBF FBF S S S ''∆∆∴=
= 又2
224tan 45
FBF b S b a ∆'
===o
，可得：225c a = 25e ∴= 5e ⇒=
本题正确选项：D
【点睛】
本题考查双曲线的离心率求解，离心率问题的求解关键在于构造出关于,a c的齐次方程，从而配凑出离心率的形式.。