中考数学一轮新优化复习 第一部分 第四章 三角形 第18讲 等腰三角形与直角三角形真题精选
2024年中考数学复习课件 第18讲 等腰三角形与直角三角形
要点梳理
典题精析
备考练习
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第18讲 等腰三角形与直角三角形
（2）如图②， △ 仍是等边三角形，
点 在 的延长线上，连接 ，判
断 ∠ 的度数及线段 ， ，
之间的数量关系，并说明理由．
图3
思路点拨 由等边三角形的性质,可将 转化为 .若能将 转化为 ,
（2）点 是否也在边 的垂直平分线上？请说明理由.
解：点 也在边 的垂直平分线上.
理由如下： ∵ = ， ∴ 点 在边 的垂直平分线上.
要点梳理
典题精析
备考练习
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第18讲 等腰三角形与直角三角形
考点四 直角三角形的性质
名师指导 在直角三角形中求角度时，通常利用“直角三角形的两锐角互
上的中线， 为 的中点．若 = 8 ，
3
= 5 ，则 = ___．
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第18讲 等腰三角形与直角三角形
（2）求 的长.
思路点拨 利用垂直平分线的性质,可将 转化为 .
因此根据勾股定理,求出 长就可以了.
解： ∵ ∠ = 90∘ ， = 12 = 5， ∴ =
，
图6
2 + 2 = 122 + 52 =13.
∵ 是 的垂直平分线， ∴ = = 13
①有一个角是______的三角形是直角三角形
直角
②有两个角______的三角形是直角三角形
互余
判定
2+
③（勾股定理的逆定理）若三角形的三边长 ， ， 满足______
2 = 2
_______，则这个三角形是直角三角形
201X中考数学复习 第18课时 等腰三角形与直角三角形课件
提分必练
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，
则下列结论中不正确的是( D )
A．AD＝AE C．∠ADE＝∠C
B．DB＝EC D．DE＝ 1 BC
2
第1题图
提分必练
2．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝
AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上
截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形
提分必练
3．如图，若∠ABC＝∠ACD＝
90°，AB＝4，BC＝3，CD＝
12，则AD＝( B )
A．5
B．13
C．17
D．18
第3题图
提分必练
4．如图，在△ABC中，∠ACB ＝90°，∠B＝40°，D为线段 AB的中点，则∠ACD＝ ___5_0_°___．
第4题图
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图（3）
(4)勾股定理：若直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边 为c，则有a2 ＋b2＝c2； (5)在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那 么这条直角边所对的角等于30°. 2．判定 (1)有—个角为90°的三角形是直角三角形； (2)勾股定理逆定理：若a2＋b2＝c2，则以a、b、c为三
共有( D ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
第2题图
2．等边三角形(如图(2))
(1)性质： ①三边相等，即AB＝BC＝AC； ②三角相等，且每一个角都等于② _6_0_°___； ③是轴对称图形，有三条对称轴．
图（2）
(2)判定： ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有—个角是60°的③_等__腰___三角形是等边三角形．
2020宁夏中考数学一轮复习课件 第18讲等腰三角形与直角三角形
5.(2019·哈尔滨)如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，∠A=60°，点E 为AD边上一点，连接BD、CE，CE与BD交于点F，且CE∥AB，若AB=8， CE=6，则BC的长为______.
6.(2019·重庆)如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，连接AD，BE 平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F. (1)若∠C=36°，求∠BAD的度数； (2)求证：FB=FE.
［解析］过点A作AD⊥BC于点D(或延长线于D)，根据含30度角的直角三角形 的性质得到AD的长，再根据勾股定理得到BD，CD的长，再分两种情况： 如图1，当AD在△ABC内部时， 如图2，当AD在△ABC外部时，进行讨论即可求解.
变式训练
9cm，1cm或5cm，5cm
16.在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，若一边上的中线长为4，则△ABC的面积 为______________________. 17.如图，已知△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，将△ABC沿射线BC的方向平移 m个单位得到△DEF，顶点A，B，C分别与点D，E，F对应.若以A，D，E为顶 点的三角形是等腰三角形，则m的值是_____________.
方法指导
在三角形中，证明两条线段相等或两个角相等，常用的方法是： （1）如果线段或角在同一个三角形中，先考虑“等边对等角”“等角对等边” 来证明； （2）如果线段和角不在同一个三角形中，可证明两个三角形全等，或者通过 等腰三角形“三线合一”来解决.
焦点2 直角三角形的性质和判定
样题2 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，交BC于点D， 若CD=1，则BD=2. ［解析］根据角平分线性质求出∠BAD的度数， 根据含30度角的直角三角形性质求出AD即可得BD. ∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°. ∵AD平分∠CAB，∴∠BAD=30°，∴BD=AD=2CD=2. ［点评］本题考查了对含30度角的直角三角形的性质和角平分线性质的应用， 求出AD的长是解此题的关键.
河北省中考数学一轮复习第18讲 等腰三角形与直角三角形课件
8.（2023桥西区模拟）如图1，将长为 3+1 ，宽为 2 的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到两个正方形.
图1
图2
（1）图2中小正方形的边长为_ ______（用含 的代数式表示）；（2）当 =1 时，该大正方形的面积是____.
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9.（2023桥西区二模）我们把满足 2 + 2 = 2 的三个正整数 ， ， 称为“勾股数”.若 ， ， << 是一组勾股数， 为正整数.
B
A.9，3 B.6，6 C.9，3或6，6 D.6，3
3.（2023河北一模）如图所标数据，下面说法正确的是 ( )
B
A.①是等腰三角形 B.②是等腰三角形C.①和②均是等腰三角形 D.①和②都不是等腰三角形
定义
①______相等的三角形是等边三角形
性质
（1）三条边②______；（2）等边三角形的三个角都③______，并且每个角都等于④____；（3）它是轴对称图形，它有⑤____条对称轴，对称轴为三边的垂直平分线
A
A. 4 5 B. 3 5 C.4 D. 1 5
11.数学文化 （2023安徽13题5分）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图， 是锐角 △ 的高，则
1.（2023河北5题3分）四边形 的边长如图所示，对角线 的长度随四边形形状的改变而变化.当 △ 为等腰三角形时，对角线 的长为( )
B
A.2 B.3 C.4 D.5
2.（2023河北13题2分）在 △ 和 △′′′ 中， ∠=∠′= 30 ∘ ， =′′=6 ， =′′=4 ，已知 ∠= ∘ ，则 ∠′= ( )
安徽省中考数学总复习第一轮中考考点系统复习第四单元图形的初步认识与三角形第18讲解直角三角形试题
第18讲解直角三角形1．（2016·亳州模拟)如果一个三角形三个内角的度数比为1∶2∶3，那么这个三角形最小角的正切值为( C )A。
错误! B.错误! C.错误! D.错误! 2．(2016·芜湖南陵县模拟）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线,已知CD＝2，AC ＝3，则sinB的值是（ A )A。
错误! B。
错误! C。
错误! D。
错误!3．（2016·乐山）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是（ C )A．sinB＝错误! B．sinB＝错误!C．sin B＝错误! D．sinB＝错误!4．(2014·巴中)在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝错误!，则tanB的值为（ D ）A.错误!B.错误! C。
错误! D。
错误! 5．（2016·益阳)小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C为水平线）,测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为（ A ）A。
错误!米 B。
错误!米 C。
错误!米 D。
错误!米6．(2016·白银）如图,点A(3，t）在第一象限，射线OA与x轴所夹的锐角为α,tanα＝错误!,则t的值是错误!．7．（2016·岳阳）如图,一山坡的坡度为i＝1∶错误!,小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B,则小辰上升了100米．8．（2016·灵璧县模拟）某校加强社会主义核心价值观教育，在清明节期间，为缅怀先烈足迹,组织学生参观滨湖渡江战役纪念馆，渡江战役纪念馆实物如图1所示．某数学兴趣小组同学突发奇想，我们能否测量斜坡的长和馆顶的高度？他们画出渡江战役纪念馆示意图如图2，经查资料，获得以下信息:斜坡AB的坡比i＝1∶3，BC＝50 m，∠ACB＝135°.求AB及过A 点作的高是多少?（结果精确到0。
浙江省中考数学复习第一部分考点研究第四单元三角形第18课时等腰三角形(含近9年中考真题)试题(20
浙江省2018年中考数学复习第一部分考点研究第四单元三角形第18课时等腰三角形（含近9年中考真题）试题编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（浙江省2018年中考数学复习第一部分考点研究第四单元三角形第18课时等腰三角形（含近9年中考真题）试题）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第一部分考点研究第四单元三角形第18课时等腰三角形浙江近9年中考真题精选(2009～2017）命题点1等腰三角形的相关计算（杭州2考,台州3考，绍兴3考)1. （2016杭州9题3分)已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n（m〈n），过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则( ）A。
m2＋2mn＋n2＝0 B. m2－2mn＋n2＝0C. m2＋2mn－n2＝0 D。
m2－2mn－n2＝02。
(2017台州8题4分）如图,已知等腰三角形ABC，AB＝AC.若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（）A. AE＝EC B。
AE＝BEC。
∠EBC＝∠BAC D. ∠EBC＝∠ABE第2题图3。
(2017绍兴8题4分)在探索“尺规三等分角"这个数学名题的过程中，曾利用了上图，该图中，四边形ABCD是矩形，E是BA延长线上一点，F是CE上一点，∠ACF＝∠AFC，∠FAE＝∠FEA。
若∠ACB＝21°，则∠ECD的度数是( ）A. 7°B。
中考数学一轮复习 第四单元 三角形 第18讲 等腰三角形课件
2021/12/9
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变式 等腰三角形ABC中,∠A=80°,求∠B的度数. (1)请你解答(jiědá)以上的变式题; (2)解答(1)后,小敏发现,∠A的度数不同,得到∠B的度数的个数也可能不同,如 果在等腰三角形ABC中,设∠A=x°,当∠B有三个不同的度数时,请你探索x的
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(2018·绍兴(shào xīnɡ))数学课上,张老师举了下面的例题:
例1 等腰三角形ABC中,∠A=110°,求∠B的度数.(答案:35°) 例2 等腰三角形ABC中,∠A=40°,求∠B的度数.(答案:40°或70°或100°)
张老师启发同学们进行变式,小敏编了如下一题:
综上所述,当0<x<90且x≠60时,∠B有三个不同的度数.
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内容 总结 (nèiróng)
第18讲 等腰三角形。以学生熟悉的一副三角板为背景结合中点和垂线求线段的长度,看似简单实 则不易(bù yì),是考查能力的一道好题.。①当点C在线段OB上时,如图1,。②当点C在线段OB的延长线上时,如图2,。错误鉴定
或5
25
2
或
试真题·练易
命题(mìng tí)点 等腰三角形的性质
1.(2016·山西,15,3分)如图,已知点C为线段(xiànduàn)AB的中点,CD⊥AB且CD=AB=4,连 接AD,BE⊥AB,AE是∠DAB的平分线,与DC相交于点F,EH⊥DC于点G,交AD 于点H,则HG的长为3- .5
A.2 cm2 B.3 cm2 C.4 cm2 D.5 cm2
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云南中考数学一轮复习第十八讲等腰三角形和直角三角形课件
【满分技法】在已知等腰三角形的两边长求其周长或已知周长和一边长求等腰三角 形三边长时，需注意： (1)利用分类讨论思想列举出三角形的三边长； (2)利用三角形的三边关系检验是否能构成三角形．
问题 3 如图，AD 是∠BAC 的平分线，且△ ABC 的周长为 20，AD＝6.求△ ACD 的 周长．
问题 3 若 AD⊥BC，BC＝8，∠C＝30°时，BD＝_2__．
【提分要点】含 30°角的直角三角形的性质 (1)在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半； (2)三个角之比为 1∶2∶3； (3)三边之比为 1∶ 3 ∶2.
问题 4 当∠B＝45°，BC＝10 时，求 S△ ABC.
＝__3_6__度．
问题 8 如图，若 BD 是∠ABC 的平分线，交 AC 于点 D，∠A＝36°. 求证：△ BDC 是等腰三角形．
【证明】略 【提分要点】等腰三角形的判定方法
(1)证明三角形有两条边相等； (2)证明三角形有两个角相等(等角对等边).
线段垂直平分线的性质与判定 如图，在△ ABC 中，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 BC 于点 E，连接 AE.
若 BC＝6，AC＝5，则△ ACE 的周长为( B )
A．8 B．11 C．16 D．17
【变式】如图，∠AOB 内一点 P，P1，P2 分别是 P 关于 OA，OB 的对称点，P1P2 交
OA 于 M，交 OB 于 N，若 P1P2＝5 cm，则△ PMN 的周长是__5__cm.
【提分要点】 线段垂直平分线的性质与判定的应用 线段垂直平分线的性质与判定在几何证明中应用广泛．利用尺规作出线段垂直平分线 可用来作一条直线的垂线或找线段的中点等．
中考数学复习讲义课件 第4单元 第18讲 等腰三角形与直角三角形
(4)如图 3，若∠A＝36°，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D，求证：AD＝BC．
图3 [分析]根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠C＝72°，根据角平分线的定 义得到∠ABD＝∠DBC＝36°，∠BDC＝72°，根据等腰三角形的判定即 可得到结论．
(2)写出∠BEC 与∠BDC 之间的关系，并说明理由． 解：∠BEC＋∠BDC＝110°. 理由：设∠BEC＝α，∠BDC＝β. 在△ABE 中，α＝∠A＋∠ABE＝40°＋∠ABE. ∵CE＝BC，∴∠EBC＝∠BEC＝α. ∴∠ABC＝∠ABE＋α＝∠A＋2∠ABE＝40°＋2∠ABE. 在△BDC 中，∵BD＝BC，∴∠BDC＋∠BCD＋∠DBC＝2β＋40°＋ 2∠ABE ＝ 180 ° . ∴ β ＝ 70 ° － ∠ABE. ∴ α ＋ β ＝ 40 ° ＋ ∠ABE ＋ 70° － ∠ABE＝110°，即∠BEC＋∠BDC＝110°.
18．(2021·包头)某工程队准备从 A 到 B 修建一条隧道，测量员在直线 AB 的同一侧选定 C，D 两个观测点，如图．测得 AC 长为322km，CD 长为34( 2 ＋ 6)km，BD 长为32km，∠ACD＝60°，∠CDB＝135°(A，B，C，D 在 同一水平面内)．
(1)求 A，D 两点之间的距离； 解：过 A 作 AE⊥CD 于 E， 则∠AEC＝∠AED＝90°. ∵∠ACD＝60°，∴∠CAE＝90°－60°＝30°. ∴CE＝12AC＝34 2，AE＝ 3CE＝34 6. ∴DE＝CD－CE＝34( 2＋ 6)－34 2＝34 6.
2024年中考数学复习(全国版)第18讲 等腰三角形(讲义)(解析版)
A．3
B．5 或 9
C．5
D．9
【答案】B
【分析】当� = 5 或� = 5 时，即� = 5，代入方程即可得到结论，当� = �时，即Δ = 0，解方程即可得
到结论．
【详解】解：∵m，n，5 分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长
∴当� = 5 或� = 5 时，即� = 5
∴方程为52 − 6 × 5 + � = 0
探索等边三角形的性质定理:等边三角形的各 拉手”模型就是以等腰三角形为特
等边三角形的性质 与判定
角都等于 60°. 探索等边三角形的判定定理:三个角都相等的 三角形(或有一个角是 60°的等腰三角形)是
征总结的.而数学中考中，等腰三 角形单独出题的可能性还是比较 大的，多以选择填空题型出现，但
1. 等腰三角形的边有腰、底之分,角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底还是腰,角没有明是顶 角还是底角，需要分类讨论.
2. 顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，且它的两个底角都为 45°. 3. 等腰三角形是轴对称图形，它有 1 条或 3 条对称轴． 4. 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）． 5. 等腰三角形的三边关系：设腰长为 a，底边长为 b，则�2<a . 6. 等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°-2∠B，∠B=∠C=18002−∠� 7. 底角为顶角的 2 倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形．（即
顶角 36°，底角 72°）. 8. 等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的
相等关系的重要依据．
第18讲 等腰三角形与直角三角形-2023年中考数学一轮复习备考(考点清单+强化演练+答案)
2023年中考数学一轮复习备考第18讲等腰三角形与直角三角形考点清单考点1 等腰三角形的性质与判定性质(1)两底角相等，即∠B＝∠C(等边对等角)；(2)两腰相等，即AB＝AC；(3)是轴对称图形，有一条对称轴，即AD所在的直线；(4)“三线合一”(即顶角的①、底边上的中线和底边上的高互相重合)判定(1)两边相等的三角形是等腰三角形；(2)②相等的三角形是等腰三角形(等角对等边)周长、面积周长：C＝a＋2b；面积：S＝③(其中a是底边长，b是腰长，h是底边上的高)【易错警示】等腰三角形中的分类讨论：(1)当顶角和底角不确定时，需要分类讨论，且需要用三角形内角和定理检验；(2)当腰长和底边长不确定时，需要分类讨论，且需要用三角形三边关系检验．考点2 等边三角形的性质与判定性质(1)等边三角形的三条边相等，即AB＝BC＝AC；(2)等边三角形的三个内角相等且每一个角都等于④，即∠B＝∠C＝∠BAC＝60°；(3)等边三角形是轴对称图形，有⑤条对称轴；(4)等边三角形“三线合一”；(5)等边三角形的内心、外心重合判定(1)三条边都相等的三角形是等边三角形；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角是⑥的等腰三角形是等边三角形周长、面积周长：C＝3a；面积：S＝12ah＝34a2(h＝32a)(其中a是边长，h是任一边上的高)考点3 直角三角形的性质与判定性质(1)两锐角之和等于90°，即∠A＋∠B＝90°；(2)斜边上的中线等于斜边的⑦；(3)30°角所对的直角边等于斜边的⑧；(4)勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么⑨；【拓展】在直角三角形中，如果一条直角边长等于斜边长的一半，那么这条直角边所对的锐角等于⑩；外接圆半径R＝c2，内切圆半径r＝12(a＋b－c)判定(1)有一个角为⑪的三角形是直角三角形；(2)有两个角互余的三角形是直角三角形；(3)勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足⑫，那么这个三角形是直角三角形；【拓展】一条边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形周长、面积周长：C＝a＋b＋c；面积：S△ABC＝12ab＝12ch(其中a，b分别为两个直角边长，c为斜边长，h为斜边上的高)考点4 等腰直角三角形的性质与判定性质(1)两直角边相等，即AC＝BC；(2)两锐角相等且都等于45°；(3)是轴对称图形，有一条对称轴，即CD所在的直线；(4)“三线合一”判定(1)顶角为⑬的等腰三角形是等腰直角三角形；(2)有两个角为⑭的三角形是等腰直角三角形；(3)有一个角为⑮的直角三角形是等腰直角三角形；(4)两直角边相等的直角三角形是等腰直角三角形周长、面积 周长：C ＝2a ＋c ；面积：S ＝12a 2＝12ch ＝22ah (其中a 为直角边长，c 为斜边长，h 为斜边上的高)强 化 演 练基础练1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，过点C 作 CD ⊥AB ，垂足为D ，E 为BC 的中点，AE 与CD 交于点F .若DF 的长为23，则AE 的长为( )A ．2B ．2C ．5D ．2 52．已知a ，b 是等腰三角形的两边长，且a ，b 满足2a －3b ＋5＋(2a ＋3b －13)2＝0，则此等腰三角形的周长为( )A ．8B ．6或8C ．7D ．7或83．如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，AD ⊥AC 交BC 于点D ，则AD 的值为( )A ．125B ．154C ．5D ．2034．如图，AD 是等边三角形ABC 的中线，AE ＝AD ，则∠EDC 的度数为( )A ．30°B ．20°C ．25°D ．15°5．如图是“人字形”钢架，其中斜梁AB ＝AC ，顶角∠BAC ＝120°，跨度BC ＝10 m ，AD 为支柱(即底边BC 上的中线)，两根支撑架DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，则DE ＋DF 等于( )A ．10 mB ．5 mC ．2.5 mD ．9.5 m6．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD 与AC 交于点E ，点F 为BC 的中点，连接EF .若BE ＝AC ＝2，则△CEF 的周长为( )A ．3＋1B ．5＋3C ．5＋1D ．47．如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A ，B ，连接AB ，在网格中再找一个格点C , 使得△ABC 是等腰直角三角形，满足条件的格点C 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．58．如图，在△ABC 中AC ＝BC ，点D 和E 分别在AB 和AC 上，且AD ＝AE .连接DE ，过点A 作AH ⊥BC 于点H ，交DE 于点F .若∠C ＝40°，则∠AFE 的度数为( )A ．60°B ．65°C ．75°D ．80°9．如图，在△ABC 中，点O 是角平分线AD ，BE 的交点．若AB ＝AC ＝10，BC ＝12，则tan ∠OBD 的值是( )A ．12B ．2C ．63D ．6410．如图，在Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的中线．若CD ＝2，则AB ＝ .11．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，P 是BC 上任意一点，PE ⊥AB 于点E ，PF ⊥AC 于点F .若S △ABC ＝1，则PE ＋PF ＝ .12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AF＝EF.若∠CFE＝72°，则∠B＝.13．如图，EA＝EB＝EC，∠AEB＝70°，则∠ACB＝°.14．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于点D，E为垂足，连接CD.若BD＝1，则AC的长是 .15．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，AE⊥BC于点E.已知∠ABC＝60°，∠C ＝45°.(1)求证：AB＝BD；(2)若AE＝3，求△ABC的面积．16．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝CD，延长BC至点E，使得CE＝CA，连接AE.(1)求证：∠B＝∠ACB；(2)若AB＝5，AD＝4，求△ABE的周长和面积．强化练17．如图，在等边三角形ABC中，AB＝10，E为AC的中点，点F，G为AB边上的动点，且FG＝5，则EF＋CG的最小值是()A．57 B．5 6 C．53＋5 D．1518．如图，在△ABC中，AD和BE是高，∠ABE＝45°，F是AB的中点，AD与FE，BE分别交于点G，H，∠CBE＝∠BAD.有下列结论：①FD＝FE；②AH＝2CD；③BC·AD＝2AE2；④S△ABC＝4S△ADF.其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个提升练19．七巧板是大家熟悉的一种益智类玩具，用七巧板能拼出许多有趣的图案．小聪同学将一个直角边长为20 cm的等腰直角三角形纸板，切割七块，正好制成一副七巧板，则图中阴影部分的面积为cm2.20．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，P是BC上的动点，Q是AC上的动点(Q不与A，C重合)．(1)线段P A的最小值为；(2)当△ABP 为直角三角形，△PCQ 也为直角三角形时，CQ 的长度为 .参 考 答 案考点清单①两角 ②两角 ③12ah ④60° ⑤三 ⑥60° ⑦一半 ⑧一半 ⑨a 2＋b 2＝c 2 ⑩30° ⑪90° ⑫a 2＋b 2＝c 2 ⑬90° ⑭45° ⑮45°强化演练1. C2. D3. B4. D5. B6. C7. B8. C9. A 10. 4 11. 1 12. 54° 13. 35 14. 2 3 15. (1)证明：∵BD 平分∠ABC ，∠ABC ＝60°，∴∠DBC ＝12∠ABC ＝30°. ∵∠C ＝45°，∴∠ADB ＝∠DBC ＋∠C ＝75°，∠BAC ＝180°－∠ABC －∠C ＝75°，∴∠BAC ＝∠ADB ，∴AB ＝BD .(2)解：在Rt △ABE 中，∵∠ABC ＝60°，AE ＝3，∴BE ＝AE tan ∠ABC ＝ 3. 在Rt △AEC 中，∵∠C ＝45°，AE ＝3，∴EC ＝AE tan C ＝3，∴BC ＝3＋3，∴S △ABC ＝12BC ·AE ＝9＋332.16. (1)证明：在△ADB 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AD ，∠ADB ＝∠ADC ，BD ＝CD ，∴△ADB ≌△ADC (SAS)，∴∠B ＝∠ACB .(2)解：在Rt △ADB 中，∵AB ＝5，AD ＝4，∴BD ＝AB 2－AD 2＝52－42＝3，∴BD ＝CD ＝3，AC ＝AB ＝CE ＝5，∴BE ＝2BD ＋CE ＝2×3＋5＝11，DE ＝CD ＋CE ＝8. 在Rt △ADE 中，由勾股定理，得AE ＝AD 2＋DE 2＝42＋82＝45，∴C △ABE ＝AB ＋BE ＋AE ＝5＋11＋45＝16＋45，S △ABE ＝12BE ·AD ＝12×11×4＝22.17. A 18. D 19.25420. (1)3 (2)4.5或4或3。
数学中考总复习30讲(一轮复习)第18讲-等腰三角形
第18讲等腰三角形【考点总汇】一、等腰三角形的判定与性质1.判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也（简写“”）。
2.性质（1）等腰三角形的两个底角（简写为“”）。
（2）等腰三角形顶角的、底边上的高和底边上的互相重合（简写成“三线合一”）。
（3）等腰三角形是图形，底边上的中线（或底边上的高或顶角的平分线）所在的直线是它的对称轴。
微拨炉：二、等边三角形的判定与性质1.判定（1）三个角的三角形是等边三角形。
（2）有一个角等于60 的三角形是等边三角形。
2.性质（1）等边三角形的三个内角都，并且每一个角都等于。
（2）等边三角形是轴对称图形，并且有条对称轴。
微拨炉：三、线段的垂直平分线1.性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离。
2.判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的上。
微拨炉：21B C高频考点1、等腰三角形的性质与判定【范例】如图，90=∠ABC，ED,分别在ACBC,上，DEAD⊥，且DEAD=，点F是AE的中点，FD与AB相交于点M。
（1）求证：FCMFMC∠=∠。
（2）AD与MC垂直吗？并说明理由。
得分要领：等腰三角形的“三线合一”，包括以下三个结论：如图，在△ABC中，ACAB=。
1.若BCAD⊥，则DCBD=，21∠=∠。
2.若DCBD=，则BCAD⊥，21∠=∠。
3.若21∠=∠，则BCAD⊥，DCBD=。
【考题回放】1.若等腰三角形的顶角为40 ，则它的底角数为（）A.40B.50C.60D.702.如图，在△ABC中，ACAB=，且D为BC上一点，ADCD=，BDAB=，则B∠的度数为（）A.30 B.36 C.40 D.45第2题第3题3.如图，在△ABC中，ACAB=，40=∠A，点D在AC上，CBD B=，则ABD∠的度数是。
4.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36 ，则该等腰三角形的底角的度数为。
5.如图，在△ABC 中，点E D ,分别在边AB AC ,上，BD 与CE 交于点O ，给出下列三个条件：①DCO EBO ∠=∠；②CD BE =；③OC OB =。
中考数学一轮新优化复习 第一部分 教材同步复习 第四章 三角形 第18讲 等腰三角形与直角三角形真题
第一部分 第四章 第18讲命题点1 等腰三角形(xx 年2考，xx 年2考)1．(xx·百色5题3分)顶角为30°的等腰三角形三条中线的交点是该三角形的( A ) A ．重心 B ．外心 C ．内心D ．中心2．(xx·贺州7题3分)一个等腰三角形的两边长分别为4,8，则它的周长为( C ) A ．12 B ．16 C ．20D ．16或203．(xx·玉林、防城港6题3分)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，DE ∥BC ，则下列结论中不正确的是( D )A ．AD ＝AEB ．DB ＝EC C ．∠ADE ＝∠CD ．DE ＝12BC4．(xx·南宁7题3分)如图，在△ABC 中，AB ＝AD ＝DC ，∠B ＝70°，则∠C 的度数为( A )A ．35°B ．40°C ．45°D ．50°5．(xx·桂林16题3分)如图，在△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，BD 平分∠ABC ，则图中等腰三角形的个数是__3__.6．(xx·柳州23题8分)求证：等腰三角形的两个底角相等．(请根据图用符号表示已知和求证，并写出证明过程)已知： 求证： 证明：证明：已知：在△ABC 中，AB ＝AC ，求证：∠B ＝∠C ；证明：如答图，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为点D ，在Rt △ABD 与Rt △ACD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，AD ＝AD ，∴Rt △ABD ≌Rt △ACD (HL)，∴∠B ＝∠C .命题点2 等边三角形(xx 年玉林考，xx 年2考，xx 年贺州考)7．(xx·玉林9题3分)如图，∠AOB ＝60°，OA ＝OB ，动点C 从点O 出发，沿射线OB 方向移动，以AC 为边在右侧作等边△ACD ，连接BD ，则BD 所在直线与OA 所在直线的位置关系是( A )A ．平行B ．相交C ．垂直D ．平行、相交或垂直8．(xx·南宁16题3分)如图，在正方形ABCD 的外侧作等边△ADE ，则∠BED 的度数是__45°__.命题点3 直角三角形与勾股定理(xx 年4考，xx 年3考)9．(xx·百色3题3分)在△OAB 中，∠O ＝90°，∠A ＝35°，则∠B ＝( B ) A ．35°B ．55°C．65°D．145°10．(xx·柳州6题3分)如图，图中直角三角形共有( C )A．1个B．2个C．3个D．4个11．(xx·河池12题3分)如图，等边△ABC的边长为2，⊙A的半径为1，D是BC上的动点，DE与⊙A相切于E，DE的最小值是( B )A．1 B． 2C． 3 D．212．(xx·柳州14题3分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，则BC＝__4__.13．(xx·玉林17题3分)如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝60°，AB ＝4，则AD的取值范围是__2＜AD＜8__.14．(xx·柳州21题6分)如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC＝4，CD＝5.(1)求DB的长；(2)在△ABC中，求BC边上高的长．解：(1)∵DB⊥BC，BC＝4，CD＝5，∴BD＝52－42＝3.(2)延长CB，过点A作AE⊥CB交CB的延长线CB于点E，∵DB⊥BC，AE⊥BC，∴AE∥DB.∵D为AC边的中点，∴BD＝12 AE，∴AE＝6，即BC边上高的长为6.。
2025年中考数学总复习第一部分考点梳理第18课时三角形、多边形
(4)中线将三角形分割成面积相等(等底同高)的两个三角形
（一）
（二）
（三）
图示
高
性质及重要结论
(1)AD⊥BC，即∠ADB＝∠ADC＝90°；
(2)垂心：三角形三条高的交点
角平分线
(1)∠1＝∠2＝ ∠BAC；
(2)内心：三角形三条角平分线的交点；
(3)内心到三角形三边的距离相等
（一）
（二）
（三）
3. 三角形具有稳定性.
（一）
（二）
（三）
1. 如图，已知△ABC.
(1)若AB＝4，AC＝6，则BC长的取值范围是___________；
2＜BC＜10
（一）
（二）
（三）
(2)若∠2＝75°，∠3＝30°，则∠1的度数为______，∠4的度
75°
数为_______，此时按边分类，△ABC的形状是___________；
；
n
n
(2)每一个外角为
360°
；
n
(3)正n边形是轴对称图形，有n条对称轴；当n为偶数时，正n
边形还是中心对称图形.
（一）
（二）
（三）
5. 如图，六边形ABCDEF为正六边形.
(1)它的内角和为______，每个内角的度数为______，每个外角
120°
720°
的度数为_____；
60°
（一）
（二）
AB外选一点C，连接AC和BC，怎样测算出A，B两地之间的实
际距离？请说明理由.
考点1
考点2
考点3
解：如图，取AC的中点E，BC的中点F，
连接EF，量得EF的长，则A，B两地之间
++2025年中考数学一轮总复习++第18课时 三角形的相关概念与性质+++课件
小于第三边.
任
意两边之和
任意两边
之差
（3）三角形的内（外）角和定理
定
理
三角形三个内角的和等于
推
论
（1）三角形的外角等于
（2）三角形的外角大于任何一个 （3）直角三角形的两个锐角
2∠C＝∠1＋∠2
2∠C＝∠2－∠1
2. 掌握分类的方法，不论是三角形的分
类，还是相关概念，比如：由于三角形
的高不一定在三角形内部，所以三角形
中涉及高的题目可能需要分类讨论.3. 了解三角形的五心中的三心（重心、
内心、外心），知道这三心的基本性质.
考点一 三角形的三边关系例1 （1）从长度为2，4，6，8的四条
AC＝13，BC＝10，则四边形EBFC的
面积为 ；
60
（5）如图5，在△ABC中，∠ABC，
∠ACB的平分线交于点O，∠ACB的外
角平分线所在直线与∠ABC的平分线相
交于点D，与∠ABC的外角平分线相交
于点E，则下列结论一定正确的是
.（填序号） ①∠BOC＝90°＋ ∠A；②∠D＝ ∠A；③∠E＝∠A；④∠E＋∠DCF＝90°＋∠ABD.
①
②④
1. 如图，AD，BE，CF依次是△ABC
的高、中线和角平分线，则下列表达式
中错误的是（ C ）
A. S△BAE＝S△BCE
B. ∠ADC＝90°
C. ∠CAD＝∠CBE
D. ∠ACB＝2∠ACF
C
2. （2024·南开）如图，在Rt△ABC中，
∠ABC＝90°，BD平分∠ABC交AC于
点D，点E为BC边上靠近点C的三等分
点，且AB＝BE，若阴影部分面积为4，
中考数学复习 第一部分 考点研究 第四单元 三角形 第18课时 等腰三角形课件
判
定
(pànd ìng)
2.13__三__个__角___都相等的三角形是等边三角形
3.有一个角是60°的___1_4__等__腰__三__角__形是等边三角形
面积计算公式：S= 1ah＝ a23，h=
a,a为等边三角形的边
3
长，h为边a上的高 2
4
2
第六页，共十七页。
重难点突破
等腰三角形的相关计算(易错)
两相底等角的平分线⑤________，等腰相三等角形顶角的外角平分线
推 与底边(dǐ biān)⑥_________
平行
论
(tuīl
2.等腰三角形底边(或其延长线)上一点到两腰的距离和(或差)等
ùn) 于一腰上的⑦________
高
1.两边相等的三角形是等腰三角形
2.⑧___两__个__角___相等的三角形是等腰三角形
1
2
E F ＝2，∴FC＝6，设BD＝x，则DE＝x，
∴F DC F＝24，－x－6＝18－x，
∴x2＝(18－x)2＋122，
解得：x＝13，则BD＝13.
第十六页，共十七页。
练习(liànxí)4题解图
内容 总结 (nèiróng)
No 第一部分(bù fen) 考点研究。1.两底角相等，即∠B=∠C。4.“三线合一”（即顶角的②________、底
腰，另外一边叫做底
1.两底角相等，即∠B=∠C
2.两腰相等，即AB=AC
性 3.它是轴对称图形，有一条对称轴，即AD所在直线
质
(xìngz hì)
4.“三线合一”（即顶角(dǐnɡ jiǎo)的②_角__平__分__线_、底边上的中线
和底边上的高互相重合）
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第一部分 第四章 第18讲
命题点1 等腰三角形(2018年2考，2016年2考)
1．(2018·百色5题3分)顶角为30°的等腰三角形三条中线的交点是该三角形的( A )
A ．重心
B ．外心
C ．内心
D ．中心
2．(2016·贺州7题3分)一个等腰三角形的两边长分别为4,8，则它的周长为( C ) A ．12 B ．16 C ．20
D ．16或20
3．(2015·玉林、防城港6题3分)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，DE ∥BC ，则下列结论中不正确的是( D )
A ．AD ＝AE
B ．DB ＝E
C C ．∠ADE ＝∠C
D ．D
E ＝1
2
BC
4．(2015·南宁7题3分)如图，在△ABC 中，AB ＝AD ＝DC ，∠B ＝70°，则∠C 的度数为( A )
A ．35°
B ．40°
C ．45°
D ．50°
5．(2018·桂林16题3分)如图，在△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，BD 平分∠ABC ，则图中等腰三角形的个数是__3__.
6．(2016·柳州23题8分)求证：等腰三角形的两个底角相等．(请根据图用符号表示已知和求证，并写出证明过程)
已知： 求证： 证明：
证明：已知：在△ABC 中，AB ＝AC ，
求证：∠B ＝∠C ；
证明：如答图，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为点D ，
在Rt △ABD 与Rt △ACD 中，
∵⎩
⎪⎨
⎪⎧
AB ＝AC ，
AD ＝AD ，
∴Rt △ABD ≌Rt △ACD (HL)，∴∠B ＝∠C .
命题点2 等边三角形(2018年玉林考，2017年2考，2016年贺州考)
7．(2018·玉林9题3分)如图，∠AOB ＝60°，OA ＝OB ，动点C 从点O 出发，沿射线
OB 方向移动，以AC 为边在右侧作等边△ACD ，连接BD ，则BD 所在直线与OA 所在直线的位
置关系是( A )
A ．平行
B ．相交
C ．垂直
D ．平行、相交或垂直
8．(2015·南宁16题3分)如图，在正方形ABCD 的外侧作等边△ADE ，则∠BED 的度数是__45°__.
命题点3 直角三角形与勾股定理(2018年4考，2016年3考)
9．(2018·百色3题3分)在△OAB中，∠O＝90°，∠A＝35°，则∠B＝( B )
A．35°B．55°
C．65°D．145°
10．(2018·柳州6题3分)如图，图中直角三角形共有( C )
A．1个B．2个
C．3个D．4个
11．(2018·河池12题3分)如图，等边△ABC的边长为2，⊙A的半径为1，D是BC上的动点，DE与⊙A相切于E，DE的最小值是( B )
A．1 B． 2
C． 3 D．2
12．(2016·柳州14题3分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，则BC＝__4__.
13．(2018·玉林17题3分)如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝60°，AB＝4，则AD的取值范围是__2＜AD＜8__.
14．(2015·柳州21题6分)如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC＝4，CD＝5.
(1)求DB的长；
(2)在△ABC中，求BC边上高的长．
解：(1)∵DB⊥BC，BC＝4，CD＝5，
∴BD＝52－42＝3.
(2)延长CB，过点A作AE⊥CB交CB的延长线CB于点E，
∵DB⊥BC，AE⊥BC，∴AE∥DB.
∵D为AC边的中点，∴BD＝1
2 AE，
∴AE＝6，即BC边上高的长为6.。