第四章 参数估计
社会统计学_参数估计
总体参数的点估计公式
1．样本均值 2．样本方差 3．样本成数
x
1 n
x
s2 1 (x x)2 n 1
p
1 n
x
m n
即用样本的 X，S 2，P 作为总体的参 数的点估计值。
例1. 根据抽样调查，以下是8名同学“社 会统计学”考试得分
学生
A B C D E F G H
[x 1.96 , x 1.96 ]
n
n
当置信度为1-=0.99时，置信区间为
[x–2.58 n
，x+2.58 n ]
区间估计原理 0.6827
落在 x SE 范围内的概率 为68.27%
区间估计原理 0.9545
落在 x 2SE 范围内的概率 为95.45%
参数估计是先看样本的情况，再问总体的 情况。
假设检验则是先假设总体的情况，再以一 个随机样本的统计值来检验这个假设是否 正确。即要先构思总体情况，才进行抽样 和分析样本的资料。
第四章 参数估计
参数估计有两种做法
一 是 点 值 估 计 （ 或 称 点 估 计:point estimation）
成绩
70 71 72 74 74 76 77 78
求：总体的均值、方差、标准差的点估计值。
解：
根据抽样调查，可以求出样本
x
1 n
x
1 8
592
74
s2 1 (x x)2 1 58 8.29
n 1
7
第四章中心极限定理与参数估计
当 n 很大时,近似地服从正态分布.
第四章 中心极限定理与参数估计
例 1、对敌人的防御工事进行 80 次轰炸，每次轰炸命中目标炸弹 数目的数学期望为 2，方差为 0.8，且各次轰炸相互独立，求在 80 次轰炸中有 150 颗～170 颗炸弹命中目标的概率。 解：第 i 次轰炸命中目标炸弹的数目 X i (i 1,2,,80) 都是离散型随机
根据随机变量数学期望的性质，计算数学期望
80
80
80
E( X ) E( X i ) E( X i ) 2 160
i 1
i 1
i 1
第四章 中心极限定理与参数估计
由于离散型随机变量变量 X 1 , X 2 ,, X 80 相互独立，根据随机
变量方差的性质，计算方差
80
80
80
D( X ) D( X i ) D( X i ) 0.8 64 82
分大时，离散型随机变量 X 近似服从参数为 np, npq ( p q 1)
的正态分布，即近似有离散型随机变量 X ～ N(np, npq) 定理4.22表明:
正态分布是二项分布的极限分布, 当n充分大时, 可 以利用该定理来计算二项分布的概率.
随机变量 X 的取值在数学期望 E(X ) 附近的密集程度越低。
第四章 中心极限定理与参数估计
（3）在使用切贝谢夫不等式时，要求随机变量 X 的数学期望 E( X ) 与方差 D( X ) 一定存在，这时无论随机变量 X 的概率分布已知或未
知，都可以对事件 X E(X ) 发生的概率进行估计。 2、切贝谢夫不等式的应用举例 例1、 已知电站供电网有电灯 10000 盏，夜间每一盏灯开灯的概率 皆为 0.8，且它们开关与否相互独立，试利用切贝谢夫不等式估计夜 晚同时开灯的灯数在 7800 盏～8200 盏之间的概率。
第四章线性系统参数估计的最小二乘法
下面讨论更为一般的情况。 假设在t1, t2, …, tm时刻对Y及X的观测值序列已经被我们获得，并且用
y(i), x1(i), x2(i), x3(i), … i = 1,2, …, m 来表示这些观测数据。显然，可以用 m 个方程组来表示量测数据与估计值之间的关系
⎧ y(1) = θ1x1(1) +θ 2 x2 (1) +L+θ n xn (1)
从图中可看到，前两条线都仅能满足两个点的要求，而对其它点的误差都很大，其 6 个点的 误差平方累计分别为 0.49 和 0.42。第三条线能满足三个点的要求，但误差平方累计更大，为 1.58。 显然我们需要找到一条更为理想的直线来取得较小的误差。例如图中的红色短划线，它的方程 为 y=1.697 + 0.294x，误差平方累计为 0.25。这条线是怎样得到的呢？它是用最小二乘法得到的。
z
−2
，在其输入端加入 M 序列输入后
所得到的输出输入数据见下表，请利用这些数据辨识出系统的传递函数的系数。
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
输入 u
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
输出 y -0.45 -0.01
1.15
2.56
1.92
-0.30 -0.80 0.91 2.92 2.40
解： 已知系统阶数 n=2，有 4 个未知数。将式（4.4）展开 y(k) = −a1 y(k −1) − a2 y(k − 2) + b0u(k) + b1u(k −1) 根据要求，观测次数 N>2n+1，取 N 为 6，k=3
第四章参数估计
z x ~ N(0,1)
n
• 根据式4-1可以得出总体均值 所在的1 置信水平下的置信区
间为：
x z 2
n
其中，x z 2 n 称为置信下限， x z 2
n
称为置信上限；
是事先所
确定的总体均值不包括在置信区间的概率； 1 称为置信水平。
总体均值的估计
总体方差未知且为小样本情况下估计
• 实验4-1：下面以2008年某地区20户家庭年收入数据为例进行均值估计， 20户家庭年收入的原始数据如图4.1所示，通过样本数据来估计该地区 家庭年收入的均值。
• 我们可以在EXCEL2003中“公式”选项卡中选择“插
入函数”按钮，打开如图4.2所示的“插入函数”对话
框来进行总体均值估计。
EXCEL 2003 统计应用
总体均值的估计
总体方差未知且为小样本情况下估计
• 使用函数进行总体均值估计的 步骤如下：
（1）计算样本个数
• 选择单元格D3并依次选择“公 式”|“插入函数”，打开“插 入函数”对话框；选择计数函 数COUNT，单击“确定”按钮， 打开“函数参数”对话框；在 Value1中输入数据范围 “A2:A21”如图4.3所示，单击 确定得到如图4.4所示的样本个 数。
EXCEL 2003 统计应用
参数估计概述
评价参数估计的标准
• 在参数估计时，人们可以构造很多个估计量，但不是所有的估计 量都一样优良。例如，要估计总体平均数，估计量有算术平均数、 中位数、众数等，到底用哪一个估计量更合适，就需要有评价的 标准。通常，评价估计量好坏的标准有三个：无偏性、有效性、 一致性。
第四章 参数估计
x
n
总体标准差，若 未知，可用样本
标准差代替
36
总体均值的置信区间引例
(２ 未知)
例：某商场从一批袋装食品中随机抽取10袋，测得 每袋重量（单位：克）分别为789，780，794， 762，802，813，770，785，810，806，要 求以95%的把握程度，估计这批食品的平均每袋 重量的区间范围。假定食品重量服从正态分布。
0.95，Ｚ/2=1.96
x Z 2
n
,
x
Z
2
n
26 1.96 6 ,26 1.96 6
100
100
24.824,27.176
我们可以95％的概率保证平均每天 参加锻炼的时间在24.824～ 27.176 分钟之间。
一般置信水平
一般使用的置信水平是：90%, 95%, 99%
Confidence Level
▪ 总体服从正态分布,且总体方差（２）已知 ▪ 如果不是正态分布，可以由正态分布来近似 (n 30)
2. 使用正态分布统计量Ｚ
Z
x s
m ~ N (0,1)
n
3. 总体均值 在1-置信水平下的置信区间为
s
s
x
Za 2
,x n
Za 2 n
总体均值的置信区间
(２ 已知)
抽样极限误差:
s x Za 2 n
❖ 定理1
当总体 X ~ N ( m , s 2 ) 时，抽自该总体
的简单随机样本 x1 , x 2 , , x n 的样本平均数
服从数学期望为 ，方差为 s2的正态分布，
n
即 x ~ N (m, s2 ) 。
n
Z x ~ N (0,1) n
第四章参数的最小二乘法估计
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 第四章参数的最小二乘法估计第四章参数的最小二乘法估计第四章最小二乘法与组合测量 1 概述最小二乘法是用于数据处理和误差估计中的一个很得力的数学工具。
对于从事精密科学实验的人们来说，应用最小乘法来解决一些实际问题，仍是目前必不可少的手段。
例如，取重复测量数据的算术平均值作为测量的结果，就是依据了使残差的平方和为最小的原则，又如，在本章将要用最小二乘法来解决一类组合测量的问题。
另外，常遇到用实验方法来拟合经验公式，这是后面一章回归分析方法的内容，它也是以最小二乘法原理为基础。
最小二乘法的发展已经经历了 200 多年的历史，它最先起源于天文和大地测量的需要，其后在许多科学领域里获得了广泛应用，特别是近代矩阵理论与电子计算机相结合，使最小二乘法不断地发展而久盛不衰。
本章只介绍经典的最小二乘法及其在组合测量中的一些简单的应用，一些深入的内容可参阅专门的书籍和文献。
2 最小二乘法原理最小二乘法的产生是为了解决从一组测量值中寻求最可信赖值的问题。
对某量 x 测量一组数据 x1, x2, , xn，假设数据中不存在系统误差和粗大误差，相互独立，服从正态分布，它们的标准偏1 / 22差依次为：1, 2, n 记最可信赖值为，相应的残差 vi xi 。
测值落入(xi, xi dx) 的概率。
vi21Pi exp( 2) dx 2 i i2 根据概率乘法定理，测量x1, x2, , xn 同时出现的概率为 P Pi vi211n exp[ () ](dx) n2ii i() 显然，最可信赖值应使出现的概率 P 为最大，即使上式中页指数中的因子达最小，即ivi22 i Min 2 o1 权因子：wi 2 即权因子 wi2，则i i 2[wvv] wvii Min 再用微分法，得最可信赖值wxi 1 nii 即加权算术平均值w i 1i 这里为了与概率符号区别，以i 表示权因子。
(04)第4章 参数估计
（2）99%的置信区间是多少？
（3）若样本容量为40，而观测的数据不变，则 95%的置信区间又是多少？
5 - 31
统计学
STATISTICS
总体均值的区间估计
(例题分析)
12, s 4.1
解:(1)已知n=15, 1- = 95%， =0.05 ，x
统计学
STATISTICS
总体均值的区间估计
统计学
STATISTICS
大样本的估计方法
不论总体是不是服从正态分布，在大样本 （n 30）时，样本均值均服从正态分布。 若已知 2 x
x ~ N ( ,
总体均值 在1- 置信水平下的置信区间为
n
)
z
n
~ N (0,1)
z 2
有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计量， 有更小标准差的估计量更有效
ˆ P( )
ˆ1 的抽样分布
B A
ˆ2 的抽样分布
ˆ
5 - 11
ˆ ˆ1 是比 2 更有效，是一个更好的估计量
统计学
STATISTICS
有效性
(efficiency)
x1 x2 x3 样本均值 x 3 x1 2 x2 3x3 和 x1 6
统计学
STATISTICS
第 4 章 参数估计
4.1 参数估计的基本原理 4.2 一个总体参数的区间估计 4.4 样本容量的确定
5-1
统计学
STATISTICS
4.1 参数估计的一般问题
4.1.1 估计量与估计值 4.1.2 点估计与区间估计 4.1.3 评价估计量的标准
医学统计学-参数估计
反复从该总体中随机抽取n＝120的若干样本，用样本均
数作为观察值，称该120个样本指标值的频数分布为抽 样分布(sampling distribution)。
t分布、F分布、χ2分布等均为常见的抽样分布。
每次摸到红球的比例分别为12.5％，20.0％，35.5％，… 等，将其频率分布列于表4-2。
表4-2 总体概率为30％时的随机抽样结果(n＝40)
红球比例(％)
样本频数
频率(％
10.0～
1
1
15.0～
2
2
20.0～
15
15
25.0～
23
23
30.0～
31
31
35.0～
20
20
40.0～
5
5
45.0～50.0
应总体概率间的差异，因而说明了率的抽样误差
大小。
＝
p
1
n
s
＝
p
p 1 p n＝
pq n
四、二项分布和泊松分布的应用
(一)二项分布 1.二项分布的成立条件 2.二项分布的特征 3.二项分布的应用
(二)泊松分布 1.泊松分布的概率密度函数 2.泊松分布的特征 3.泊松分布的应用
(一) 二项分布（贝努利分布） （Bernoulli distribution）
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 X
图D n=30,π=0.3
二项分布总体不同样本例数时的抽样分布
2.二项分布的特征
⑵二项分布的均数和标准差
第四章统计假设检验与参数估计.ppt
验等。尽管这些检验方法的用途及使用条件 不同，但其检验的基本原理是相同的。
参数估计有点估计（point
estimation）和区 间 估计（interval
estimation）。 2020-11-9
感谢你的观看
2
上一张 下一张 主 页 退 出
1 统计假设检验概述
了黑球，那么，自然会使人对H0的正确性产生 怀疑，从而否定H0。也就是说箱中不止1个黑 球。
2020-11-9
感谢你的观看
4
以上这几种问题的判断均是由样本去推断
总体的，属于统计假设检验问题，均是来判断 数据差异、分布差异是由处理引起，还是由于 随机误差引起的。
样本虽然来自于总体，但样本平均数并非 是总体平均数。由于抽样误差的影响（随机误 差的存在），样本平均数与总体平均数之间往 往有偏差。因此，仅由表面效应 x 0 是不能 判断它们之间是否有显著差异。其根本原因在 于 试 验 误差（或抽样误差）的不可避免性。
例3：小麦良种的千粒重x~N（33.5，1.62），现 由外地引进一高产品种，在8个小区种植，得千粒 重（g）：35.6，37.6，33.4，35.1，32.7，36.8
，35.9，34.6，平均数为 x＝35.2，试问新引进
的品种千粒重与当地品种有无显著差异？如果有
显著差异，是否显著高于当地品种？
曲种好于原曲种？
食醋醋酸含量的差异是由于采用新曲种引起的还是由于试验误差引起的？
2020-11-9
感谢你的观看
3
上一张 下一张 主 页 退 出
例2：A，B两种肥料，在相同条件下各施用于5 个小区的水稻上，水稻产量平均分别为
xA＝500 kg，xB＝520 kg ，二者相差20kg，那么 20kg差异究竟是由于两种肥料的不同而造成的 还是由试验的随机误差造成的？
第4章参数估计和假设检验
第4章参数估计和假设检验第四章参数估计与假设检验掌握参数估计和假设检验的基本思想是正确理解和应⽤其他统计推断⽅法的基础，后⾯将要学习的⽅差分析、⾮参数检验、回归分析、时间序列等统计推断⽅法都是在此基础上展开的。
需要特别指出的是，所有的统计推断都要以随机样本为基础。
如果样本是⾮随机的，统计推断⽅法就不适⽤了。
由于相关知识在先修课程中已经学习过，本章主要在回顾相关知识的基础上，补充讲解必要样本容量的计算、p值、参数估计和假设检验⽅法的软件操作和结果分析等内容。
本章的主要内容包括：（1）参数估计的基本思想和软件实现。
（2）简单随机抽样情况下样本容量的计算。
（3）假设检验的基本原理。
（4）假设检验中的p值。
（5）⼏种常⽤假设检验的软件实现。
第⼀节参数估计⼀、参数估计的基本概念参数估计是指利⽤样本信息对总体数字特征作出的估计。
例如，我们可以通过估计⼀部分产品的合格率对整批产品的合格率作出估计，通过调查⼀个样本的⼈⼝数来对全国的⼈⼝数作出估计，等等。
参数估计可以分为点估计和区间估计。
点估计是指根据样本数据给出的总体未知参数的⼀个估计值。
对总体参数进⾏估计的⽅法可以有多种，例如矩估计法、极⼤似然估计法等，得到的估计量（样本统计量）并不是唯⼀的。
例如我们可以使⽤样本均值对总体均值作出估计，也可以使⽤样本中位数对总体均值进⾏估计。
因此，在参数估计中我们需要对估计量的好坏作出评价，这就涉及到估计量的评价准则问题。
常⽤的估计量评价准则包括⽆偏性、有效性、⼀致性等。
⽆偏性是指估计量的数学期望与总体参数的真实值相等；有效性的含义是，在两个⽆偏估计量中⽅差较⼩的估计量较为有效，⽅差越⼩越有效；⼀致性是指随着样本容量的增⼤，估计量的取值应该越来越接近总体参数。
样本的随机性决定了估计结果的随机性。
由于每⼀个点估计值都来⾃于⼀个随机样本，所以总体参数真值刚好等于⼀个具体估计值的可能性极⼩。
区间估计的⽅法则以概率论为基础，在点估计的基础上给出了⼀个置信区间，并给出了这⼀区间包含总体真值的概率，⽐点估计提供了更多的信息。
No.11-第4章-时间序列模型的参数估计与检验
所示，拟合AR(2)模型 t对 X t3 和 t对 t1 的散点图如图2、3所示。图1
有微弱的负相关趋势，说明AR(1)不是适应模型，而图2、3看不出有相关 趋势，说明AR(2)是适应模型。
图1
图2
图3
（2）估计相关系数法
1 j m
检验统计量
T
nm
ˆ j j a jj Q(~)
~ t(n m)
取检验水平 ，可得检验的拒绝域为
t t1 2 n m
小结：时间序列模型的检验
当我们对模型进行识别并估计出模型参数之后，所得到的时间序列模型 是否可用，还需要进行检验。
模型是否适用，可以检验残差序列是否为白噪声序列。 参数是否合适，可以构造统计量做假设检验，以使模型结构更为精简、 有效。 检验通过之后就可以利用所得到的模型进行预测和预报了。
(*)
令
Xt Xt ˆ1Xt1 ˆ2 Xt2 ˆp Xtp
于是(*)可以写成：
X~t t 1t1 2t2 qtq
构成一个MA模型。按照估计MA模型参数的方法，可以得到 1,2, ,q
以及
2
的估计值。
需要说明的是，在上述模型的平稳性、识别与估计的讨论中， ARMA(p,q)模型中均未包含常数项。
然后利用Yule Walker方程组，求解模型参数的估计值 ˆ1,ˆ2,...,ˆp
ˆ1 ˆ0 ˆ1
ˆ2
ˆ1
ˆ0
ˆ
p
ˆ
p 1
ˆ p2
ˆ p1 1 ˆ1
ˆ
p
管理统计学课件第四章
4.3 样本容量的确定
估计总体均值u时样本容量的确定
• 重置抽样下，样本容量的确定
样本均值 x 的方差
2
V(x)
n
则有
d Z 2 V (x) Z 2 n
从中可求得
n
Z
2
2
2
d2
不重置抽样下，样本量的确定
• 样本均值 x的方差 V(x) 2 (1 n ) ，则： nN
d Z 2
V (x) Z 2
• 点估计的缺点是通过此方法所得的估计值与真值 之间的偏差以及估计的可靠性均未知。
4.1 点估计
• 样本统计量是一个随机变量，不同的样本会得到 不同的估计量。
• 为了保证用于估计总体指标估计量的准确可靠， 需要通过一些标准来衡量所求的估计量是否为优 良估计量。
• 常用的标准主要有无偏性、有效性和相合性等。
sn1 n
3
2.26
2 4.43 10
4.2 区间估计(总体比例的区间估计 )
• 大样本情形下，样本比例 P ~ N[P, P(1 P) / n] ,
• 经标准化变换可得 Z p P ~ N(0,1)
P(1 P) n
给定的置信度1－ ，可得大样本情形下总体比例
的置信区间为：
p Z 2
p(1 n
t x ~ t(n 1)
Sn
根据t分布的原理，在1-α的置信度下,可知
总体均值μ的置信区间为：
x t 2
s n
x t
2
s n
4.2 区间估计（总体均值的区间估计 ）
例 某仓库有150箱食品，每箱食品均装100个，随机 抽取10箱进行检查，得每箱食品的变质个数为：1，6 ，3，0，2，4，1，5，3，5，假定每箱食品变质个数 的概率分布为正态分布，给定置信概率95％，求平均 每箱食品变质个数的双侧置信区间。
第4章 参数估计与假设检验
2 2Leabharlann y 14.36, n2 2000, 2 1.16
, 2 （2 ）
2 1
2
2 2 2 未知但 1 2
（2） 2 未知
S S 或 X t S f＝n－1 , X t 2 X t 2 2 n n n
X ~ t (n 1) 选取样本函数 t S n P t t P t t 1 2 2 X P t 1 2 S n 得 的置信度为 1 的置信区间为
23.67,62.27
此题因为是大样本，故用两种方法计算结果相同， 而公式**较简便。如果是小样本，只能按小样本的 公式*计算。若按大样本公式计算，结果误差偏大。
（2 ） , 2 未知且
2 1 2
2 1
2
2
若为小样本，取样本函数 t
2 1 2
X Y 1 2
n
2
n
2
n
0 5 1.960 u 0.0 1 2.576 u0.1 1.645 u0.2 2
例2 伤寒论用桂枝39张处方,桂枝用量服从σ=3g的正 态分布,根据样本均数8.14g,显著水平0.05,估计桂枝用 量μ的置信区间 解：μ 的置信度0.95的置信区间为
3 8.14 1.96 ＝(7.1984，9.0816)g 39
2 x （1 ） 已知 2 e X u ~ N 0,1 2 / n
2
统计学第4章 参数估计
无偏性
(unbiasedness)
无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被
估计的总体参数
抽样分布
中，样本 P(ˆ)
均值、比 率、方差
无偏
有偏
分别是总
A
B
体均值、
比率、方
差的无偏
估4计- 2量3
ˆ
统计学
STATISTICS
有效性
(efficiency)
有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计
置信水平（1-α）表达了区间估计的可靠性。 它是区间估计的可靠概率。
显著性水平α表达了区间估计的不可靠的概 率。
4 - 20
统计学§4.2 点估计的评价标准
STATISTICS
对于同一个未知参数,不同的方法得到的估 计量可能不同,于是提出问题
应该选用哪一种估计量? 用何标准来评价一个估计量的好坏?
常用 标准
4 - 21
(1) 无偏性 (2) 有效性 (3) 一致性
统计学 定义 STATISTICS
无偏性
(unbiasedness)
若 E(ˆ)
则称 ˆ是 的无偏估计量.
定义的合理性
我们不可能要求每一次由样本得到的
估计值与真值都相等，但可以要求这些估 计值的期望与真值相等.
4 - 22
统计学
量，有更小标准差的估计量更有效
P(ˆ)
ˆ1 的抽样分布
B
无偏估计量还 必须与总体参 数的离散程度
比较小
4 - 24
A
ˆ2 的抽样分布
ˆ
统计学
有效性
STATISTICS
定义 设 ˆ1 1(X1, X 2, , X n )
最新第4章-参数估计思考与练习参考答案
第4章 参数估计 思考与练习参考答案一、最佳选择题1.关于以0为中心的t 分布，错误的是（ Ｅ ）A. t 分布的概率密度图是一簇曲线B. t 分布的概率密度图是单峰分布C. 当ν→∞时，t 分布→Z 分布D. t 分布的概率密度图以0为中心，左右对称E. ν相同时，t 值越大，P 值越大2.某指标的均数为X ，标准差为S ，由公式()1.96, 1.96X S X S -+计算出来的区间常称为（ Ｂ ）。
A. 99%参考值范围B. 95%参考值范围C. 99%置信区间D. 95%置信区间E. 90%置信区间3.样本频率p 与总体概率π均已知时，计算样本频率p 的抽样误差的公式为（ Ｃ ）。
4．在已知均数为μ, 标准差为 σ 的正态总体中随机抽样， X μ->（ Ｂ ）的概率为5%。
A.1.96σB.1.96X σC.0.05/2,t S νD.0.05/2,X t S νE.0.05/2,X t νσ5. （ Ｃ ）小，表示用样本均数估计总体均数的精确度高。
A. CVB. SC. X σD. RE. 四分位数间距 6. 95%置信区间的含义为（ Ｃ ）：A. 此区间包含总体参数的概率是95%B. 此区间包含总体参数的可能性是95%C. “此区间包含总体参数”这句话可信的程度是95%D. 此区间包含样本统计量的概率是95%E. 此区间包含样本统计量的可能性是95%二、思考题1. 简述标准误与标准差的区别。
答: 区别在于：（1）标准差反映个体值散布的程度，即反映个体值彼此之间的差异；标准误反映精确知道总体参数（如总体均数）的程度。
（2）标准误小于标准差。
（3）样本含量越大，标准误越小，其样本均数更有可能接近于总体均数，但标准差不随样本含量的改变而有明显方向性改变，随着样本含量的增大，标准差有可能增大，也有可能减小。
2. 什么叫抽样分布的中心极限定理？答: 样本含量n越大，样本均数所对应的标准差越小，其分布也逐渐逼近正态分布，这种现象统计学上称为中心极限定理（central limit theorem）。
统计学 第四章 参数估计
由样本数量特征得到关于总体的数量特征 统计推断(statistical 的过程就叫做统计推断 的过程就叫做统计推断 inference)。 统计推断主要包括两方面的内容一个是参 统计推断主要包括两方面的内容一个是参 数估计(parameter estimation)，另一个 数估计 另一个 假设检验 。 是假设检验(hypothesis testing)。
ˆ P(θ )
无偏 有偏
A
B
θ
ˆ θ
估计量的无偏性直观意义
θ =µ
•
•
•
• •
• • • •
•
2、有效性(efficiency)
有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计 有效性： 量，有更小标准差的估计量更有效 。
ˆ P(θ )
ˆ θ1 的抽样分布
B A
ˆ θ2 的抽样分布
θ
ˆ θ
பைடு நூலகம்
3、一致性(consistency)
置信区间与置信度
1. 用一个具体的样本 所构造的区间是一 个特定的区间， 个特定的区间，我 们无法知道这个样 本所产生的区间是 否包含总体参数的 真值 2. 我们只能是希望这 个区间是大量包含 总体参数真值的区 间中的一个， 间中的一个，但它 也可能是少数几个 不包含参数真值的 区间中的一个
均值的抽样分布
总体均值的区间估计(例题分析)
25, 95% 解 ： 已 知 Ｘ ~N(µ ， 102) ， n=25, 1-α = 95% ， zα/2=1.96。根据样本数据计算得： x =105.36 96。 总体均值µ在1-α置信水平下的置信区间为 σ 10 x ± zα 2 = 105.36 ±1.96× n 25 = 105.36 ± 3.92
统计建模与R软件-第四讲-(2017)
极大似然法
定义1：设总体X的概率密度函数或分布律为 f ( x, ), 是未知参数，X1 , X 2 ,, X n 为来自总体X的样本，称
L( ; x) L( ; x1, x2 ,, xn ) f ( xi , )
i 1 n
为θ的似然函数(likelihood function). 定义2：设总体X的概率密度函数或分布律为 f ( x, ),
i
~ N (
2
, 2 )
2
n1S1n1 (n2 1) 2 2 ~ F (n1 1, n2 1) 2 n2 S2 n 2 (n1 1)1
两个完全不同的正态分布母体诱导F分布
i ~ N (1 , 2 )
i
~ N (
2
, )
2
( ) ( 1 2 )~ t (n1 n2 2) 1 1 S n1 n2
主函数：
x<-rbinom(100, 20, 0.7); n<-length(x) M1<-mean(x); M2<-(n-1)/n*var(x) source("moment_fun.R"); source("Newtons.R") K0,p0 p<-c(10,0.5); Newtons(moment_fun, p) f,J $root [1] 20.9158983 0.6564385 $it [1] 5
2
(x ) 0
i
L n 1 2 2 2 2 4
( xi ) 0
2
1 n ˆ Xi x n i 1 1 n 2 ˆ ( X i X )2 n i 1
ARMA模型的参数估计
rˆ1 rˆp1 ˆ1
rˆ2
rˆ1
rˆ0 rˆp2 ˆ2
rˆp rˆp1 rˆp2 rˆ0 ˆ p
(1.3)
和 决定。
p
ˆ 2 rˆ0 ˆ jrˆj j 1
则(1.3),(1.4)式可写为
Γˆ pαˆ p bˆ p
实际应用中，对于较大的p,为了加快计算速度可采用
如下的Levison递推方法
ˆ
2 0
rˆ0
aˆˆ1k21
rˆ1
/
ˆ
2 0
ˆ
2 k 1
(1
aˆk2,k
)
k
k
ˆ
k
1,k
1
(rˆk1
(1.4)
令
rˆ0
rˆ1 rˆp1
rˆ1
ˆ1
Γˆ p
rˆ1
rˆ0
rˆp2
,
bˆ
p
rˆ2
, αˆ p
ˆ 2
rˆp1 rˆp2 rˆ0
rˆp
ˆ p
rˆk 1 j aˆkj )(rˆ0
j 1
rˆj aˆkj )1
j 1
aˆk1, j aˆk, j aˆk 1,k1aˆk,k 1 j 1 j k, k p
递推最后得到矩估计
(ˆ1,,ˆ p )T
(aˆ p,1, aˆ p,2,, aˆ p, p )T ,ˆ 2
第四章参数的最小二乘法估计分解
第四章参数的最小二乘法估计分解在这种方法中，我们假设有一个已知的数学模型，该模型包含一些未知参数。
我们的目标是根据已有的观测值，找到最优的参数值，使得模型给出的理论预测值与实际观测值之间的误差最小。
最小二乘法的核心思想是根据实际观测值和模型的预测值之间的差异，定义一个误差函数，并通过最小化该误差函数，确定最优的参数值。
常用的误差函数是残差平方和，也称为平方误差和。
在最小二乘法中，我们假设有一组实际观测值y(y)，y=1,2,…,y，以及一个数学模型y(y)=y(y;y1,y2,...,yy)，其中y是自变量，yyyy(y)为因变量，y1,y2,...,yy为未知参数。
我们的目标是找到最优的参数值y1^*,y2^*,...,yy^*，使得误差函数ℒ(y1,y2,...,yy)最小化。
误差函数的定义为：ℒ(y1,y2,...,yy)=Σ(y(y)-y(y(y);y1,y2,...,yy))^2其中y(y)为实际观测值，y(y(y);y1,y2,...,yy)为模型的理论预测值。
为了找到最优参数值，我们需要对误差函数进行最小化，即求解参数值使得误差函数的导数为零。
这可以通过求解误差函数的偏导数，并解一个线性方程组得到最优参数值。
最小二乘法估计分解的关键步骤如下：1.根据已有的观测值和数学模型，定义误差函数。
2.对误差函数进行偏导数求解，得到一组方程。
3.将方程转化为矩阵形式，并求解线性方程组，得到最优参数值。
4.将最优参数值代入数学模型，得到对观测值的理论预测值。
5.检验预测值与实际观测值之间的差异，评估参数估计的好坏。
最小二乘法估计分解是一种非常常用的参数估计方法，广泛应用于各个领域，包括统计学、经济学、物理学、工程学等。
它的优点是计算简单，对异常值的影响较小。
然而，最小二乘法也有一些局限性，例如对于非线性模型，其参数估计可能无法得到最优解。
在实际应用中，最小二乘法估计分解可以结合其他方法一起使用，例如正则化方法、加权最小二乘法等，以提高参数估计的准确性和稳定性。
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第四章 参数估计
一、填空题：
1.参数估计方法有两种，即 和 。
2. 是根据样本资料以一定可靠程度推断总体参数所在的区间范围。
3. 评价估计量优劣的标准有三个，分别是 、 和 。
4. 是为了使抽样误差，不超过所给定的最大允许误差，至少应抽取的样本单位数目。
5．样本量越大，抽样误差越 ，但调查工作量大，成本越 。
6. 在参数估计中，用来估计总体参数的统计量，称为 。
二、单项选择题：
1. 在抽样调查中，要提高推断的可靠程度即提高概率，必须（ ）。
A 、缩小误差范围
B 、确定总体指标所在的范围
C 、扩大误差范围
D 、是绝对可靠的范围
2. 在同等条件下，重复抽样与不重复抽样相比较，其抽样平均误差（ ）。
A 、前者小于后者
B 、前者大于后者
C 、两者相等
D 、无法确定哪一个大
3. 在其他条件同等的情况下，抽选5%和10%的单位样本，那么重置抽样平均误差和不重置抽样平均误差对比关系是（ ）。
1
90.0195.0.15.1185.01.10.1105.11.90
.0195.01.：和：：和：：和：：和：D C B A 三、多项选择题：
1. 关于区间估计，正确的有（ ）。
A 、根据样本指标和抽样平均误差，确定总体指标的可能范围
B 、区间估计所表明是一个可能范围
C 、区间估计所表明是一个绝对可靠的范围
D 、欲提高推断的可靠程度，必须扩大误差范围
E 、要提高推断的概率，要缩小误差
2. 在区间估计中，如果其他条件保持不变，概率保证程度与精确度之间存在下列关系（ ）。
A 、前者愈低，后者也愈低
B 、前者愈高，后者也愈高
C 、前者愈低，后者愈高
D 、前者愈高，后者愈低
E、两者呈相反方向变化
3．要提高抽样推断的精确度可采用的方法有（）。
A、增加样本数目
B、减少样本数目
C、缩小总体被研究标志的变异程度
D、改善抽样的组织方式
E、改善抽样的方式
4. 影响抽样单位数目的因素有（）。
A、总体方差(或标准差)
B、概率保证程度
C、抽样方法
D、允许误差范围
E、抽样组织方式
四、计算题：
1. 某工厂有1500个工人，用简单随机重复抽样的方法抽出50个工人作为样本，调查其工资水平，如下表：
月工资水平（元）124 134 140 150 160 180 200 260
工人人数（人） 4 6 9 10 8 6 4 3 要求：（1）计算样本平均数；
（2）以95.45%的可靠性估计该厂工人的月平均工资和工资总额的区间。
2. 某学校共有3000名学生。
该校对学生的电话费月支出进行了一次抽样调查。
随机抽取100名学生调查的结果是：平均电话费月支出为38元，标准差为15.5元。
试在95%的置信度水平下估计该校学生人均电话费月支出的置信区间。
3. 某企业从长期实践得知，其产品直径X是一随机变量，服从标准差为0.05的正态分布。
从某日产品中随机抽取6个，测得其直径分别为1
4.8，1
5.3，15.1，15，14.7，15.1（单位：厘米）。
在0.95的置信度水平下，试求该产品直径均值的置信区间。
4. 已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一批灯泡中随机抽取16只，测得其使用寿命（小时）如下：
1510 1450 1480 1460 1520 1480 1490 1460 1480 1510 1530
1470 1500 1520 1510 1470
试在95%的置信度水平下估计这批灯泡平均寿命的置信区间。
5. 2008年对悉尼995名成人的随机调查发现，有216人每天都抽烟。
试在90%的置信度水平下估计悉尼成人中每天都抽烟比率的置信区间。
6. 根据以往的生产统计，某种产品的合格率约为90%，现要求允许误差为5%，在95%的置信度水平下，应抽取多少个产品作为样本？。