圆的认识的讲义

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对于任意两个相交的圆，它们的交点满足两圆的方程，因此可以用两圆的方程解出交点坐标。
交点的求法
将两个圆的方程联立，解出交点坐标。
圆的组合图形
圆与直线的组合图形
当直线与圆相切或相交时，会形成一些特殊的组合图形，如扇形、弓形等。
圆与圆之间的组合图形
两个或两个以上的圆可以形成一些特殊的组合图形，如椭圆、双曲线等。
圆与其他图形的组合图形
圆与其他图形也可以组合成一些复杂的图形，如圆形花坛、圆形水池等。
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05
圆的拓展知识
圆的切线
01
02
03
切线的定义
切线是指与圆只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。
切线的判定
若直线与圆心的距离为零，则该直线为圆的切线。
切线的性质
切线垂直于过切点的半径，且切线长度等于半径长度。
圆的交点
交点的定义
两个或两个以上的圆相交于某一点，该点叫做交点。
交点的性质
04
圆的定理
圆内角定理
总结词
圆内角定理描述了圆内角与其所对应的弧之间的关系。
详细描述
圆内角定理指出，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对应的弧相等，相等的圆周角所对应的弧也相等。这个定理是圆的基本性质之一，是解决与圆相关问题的重要依据。
圆外角定理
总结词
圆外角定理描述了圆外角与其所对应的弦之间的关系。
半径
从圆心到圆上任意一点的线段称为半径，半径的长度等于直径的一半。点沿圆周移动一圈的距离之和，计算公式为 C = 2πr ，其中 r 是圆的半径。
面积
圆的面积是圆所占平面的大小，计算公式为 A = πr^2，其中 r 是圆的半径。

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理解圆的基本概念和性质
通过学习，学生应能理解并掌握圆的基本概念和性质，如圆上各点到圆心的距离相等、直径是半径的两倍等。
培养空间观念和推理能力
通过观察、操作和推理，培养学生的空间观念和推理能力，为后续学习奠定基础。
02
圆的基本性质
圆的定义
总结词
圆的定义是平面内到定点距离等种非常有用的几何图形，它在日常生活和工业生产中有着广泛的应用。例如，轮胎的设计就是利用了圆的旋转不变性，使得车辆能够平稳地行驶；钟表的设计也是利用了圆的知识，才能够准确地计量时间；餐具中的盘子、碗等也是利用了圆的知识来设计
，使得它们能够方便地使用和清洗。
05
圆的切线和半径的关系
生活品质。
圆在日常生活中的应用还体现在艺术和装饰方面，如圆形图案的运用，增添了物品的美感和时尚
感。
圆在科学实验中的应用
圆在科学实验中具有广泛的应用，如物理学中的圆周运动、化学中的分子结构、生物学中的细胞结构等。
圆在科学实验中的应用能够简化实验设计和数据分析过程，提高实验的准确性和可靠性。
圆在科学实验中的应用还体现在工程技术和科学研究方面，如航天器轨道的设计、天体运行规律的探索等。
切线的定义和性质
切线的定义
切线是一条与圆只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。
切线的性质
切线与半径垂直，切线与半径相交于切点。
切线和半径的关系
切线与半径垂直
切线与经过切点的半径垂直，这是切线的基本性质。
切线与半径相交于切点
切线与半径在切点处相交，这是切线的另一个重要性质。
切线定理的应用
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• 引言 • 圆的基本性质 • 圆的周长和面积 • 圆的对称性和旋转不变性 • 圆的切线和半径的关系 • 圆的综合应用

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很多交通工具如轮胎、轮毂和车盖等都采用圆形设计，因为这种形状可以减少摩擦和风阻，提高行驶效率。
管道
在建筑和家庭装修中，圆形管道通常被用来连接水管、电线和暖气管道等，因为这种形状可以保证液体或气体流畅地流动，减少堵塞和磨损。
艺术中的圆的应用
雕塑
许多雕塑作品如球体、花瓶和头像等都采用圆形设计，因为这种形状可以增强作品的美感和立体
对未来进一步学习和研究圆的展望
01
深入研究圆的性质
进一步学习和研究圆的性质，包括圆与其他图形的联系和区别，以及圆在各种不同情况下的表现。
02
探讨圆的实际应用
通过研究和实践，进一步探索圆在各个领域中的应用，如建筑设计、机械设计、包装设计等。
03
圆的拓展学习
学习与圆有关的其他知识，如立体几何、解析几何等，以更全面地了解圆的性质和应用。
平面图形。
圆的相关公式和定理
圆的中心位置由圆心决定，圆心到圆周上任意一点的距离都相等。圆的面积和周长与半径有关，半径越大，面积和周长也越大。
圆的性质
包括圆的周长公式（C=2πr）、圆的面积公式（S=πr²）以及垂径定理、圆周角定理等
。
圆的应用
圆在现实生活中有着广泛的应用，如车轮、方向盘、钟表等都采用了圆形的形状，因为它具有旋转不变性和对称性。
04
发展圆的创新应用
通过研究和创新，发展更多具有创新性和实用性的圆的应用，推动科学技术的发展。
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使用铅笔和尺子，从圆心开始，以确定的半径为长度，绘制出一条弧线。
完成绘制
在完成绘制后，检查是否符合所需的形状和大小。
使用代码绘制圆
定义圆心和半径

圆的认识PPT教学课件

2、在同圆或等圆中，所有半径都（），所有直径都（），直径是半径的（），半径是直径的（）。
3、怎样用圆规画圆？
（5分钟后，比谁会做与例题类似的检测题。）
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圆的认识
• 当堂检测（限时4分钟）课本 58页“做一做”第1、2题。
问题： 1、你是怎样画圆的？画圆的依据是什么？ 2、圆的位置和大小分别由什么确定？
圆的认识
• 学习目标 1、认识圆，知道圆的各部分名称。 2、掌握圆的特征，理解并掌握在同圆或等圆中半径和直径的关系。 3、学会用圆规画圆。
2020/12/09
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圆的认识
• 自学指导
认真看课本第57-58页的内容，理解并识记什么叫做圆心、半径、直径。思考：
1条半径、
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圆的认识
1、画圆的方法：
定点（圆心）——定长（半径）——旋转
2、画圆的依据：半径都相等。
3、圆心（O） → 位置
半径（r）
大小
2020/12/09
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PPT精品课件
谢谢观看
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2020/12/09
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圆的认识说课稿（精选10篇）

圆的认识说课稿圆的认识说课稿（精选10篇）作为一名教学工作者，常常要写一份优秀的说课稿，说课稿有利于教学水平的提高，有助于教研活动的开展。

那么你有了解过说课稿吗？下面是小编整理的圆的认识说课稿，希望对大家有所帮助。

圆的认识说课稿篇1一、说教材1、教学内容：本节课的教学内容是人教版数学第十一册第四单元《圆》的第一节内容《圆的认识》，主要内容有：用圆规画圆、了解圆各部分名称、掌握圆的特征等。

2、教学内容及其所处的位置与作用“圆的认识”是“人教版”六年级上册第四单元的内容，它是几何初步知识内容，既是一节起始课，也是后继学习“圆的周长”、“圆的面积”、“圆柱”、“圆锥”的基础。

3、教材简析：圆是一种常见的平面图形，也是最简单的曲线图形。

《圆的认识》是在学生学习了直线图形的认识和面积计算，以及对圆有了初步的感性认识的基础上进行教学的。

学生从学习直线图形的知识，到学习曲线图形的知识，不论是内容本身，还是研究问题的方法，都有所变化。

教材通过对圆的研究，使学生初步认识到研究曲线图形的基本方法。

同时，也渗透了曲线图形和直线图形的关系。

这样不仅扩展了学生的知识面，而且从空间观念方面来说，进入了一个新的领域。

因此，通过对圆的认识，不仅能加深学生对周围事物的理解，提高解决简单实际问题的能力，也为今后学习圆的周长、圆的面积、圆柱、圆锥等知识打好基础。

二、说教学目标：根据《数学课程标准》对“空间与图形”领域提出了这样一条具体目标：通过观察，操作、认识平行四边形、梯形和圆，会用圆规画圆；结合本节课的内容特点，本人确定了以下的教学目标：1、知识与技能：通过画一画、折一折、量一量等活动，观察、体会圆的特征，认识圆的各部分名称，理解在同圆或等圆中直径与半径之间的关系。

了解、掌握多种画圆的方法，并初步学会用圆规画圆。

2、过程与方法：通过想象与验证、观察与分析、动手操作、合作交流等活动，使学生体会到圆的各点分布均匀性和广泛的对称性，同时获得思维的进一步发展与提升。

《圆的认识》教材解读

《圆的认识》教材解读第一篇：《圆的认识》教材解读《圆的认识》教材解读教材分析：《圆的认识》是苏教版五年级下册，第六单元的内容。

也是小学阶段“空间与图形”部分重要内容之一，它是在学生学习了长方形、正方形、三角形的基础上进行教学的，同时这部分内容为学生进一步学习圆的周长、圆的面积，圆柱、圆锥奠定基础。

教学目标分析：1.通过观察体会圆的特征，认识圆的各部分名称，会用圆规画圆。

2.经历认识圆的学习过程,进一步积累认识图形的经验.增强空间观念。

3.通过学生进一步体验图形与生活的联系，感受平面图形的学习价值，提高数学学习的兴趣和学好数学的信心。

教学重点和难点分析：教学重点：认识圆的各部分名称，会用圆规画圆；教学难点：理解“圆上”的概念，归纳圆的特征.教学内容分析：这部分内容是在学生已经直观认识圆的基础上，引导他们进一步认识圆的圆心，半径和直径，探索并发现圆的基本特征，学会用圆规画圆，并初步认识扇形。

例1安排了两个层次的学习活动。

第一层次，让学生充分的感知圆，教材首先呈现了日常生活中常见的几个圆形物体，引导学生进行观察。

通过观察，激活学生已有的关于圆的认知经验，帮助他们初步抽象出圆的图形，引导他们初步体会圆与多边形的异同。

接下来，鼓励学生自主地画圆，初步感知圆的基本特征。

教材只要求学生画出圆，至于用什么工具和用什么方法画则没有任何限制。

第二层次，结合学生尝试用圆规画圆的过程，分别介绍圆的圆心，半径和直径，引导他们进一步认识圆。

教材首先要求学生试着用圆规画一个圆，鼓励他们在自主尝试中探索并掌握用圆规画圆的基本方法，并通过交流，进一步明确用圆规画圆时需要注意的关键环节。

接着，教材借助学生用圆规画圆的体会分别介绍圆心，半径和直径这几个概念，并用字母在图形上做了具体的标注，最后教材还要求学生在自己所画的圆上标出圆心，画出一条半径和一条直径，并分别用字母表示，以帮助他们及时巩固对这几个概念的认识。

例2通过组织富有针对性的振作活动，引导学生探索并发现圆的一些特征。

2024版《圆的认识》圆PPT优秀教学课件

描点法
在坐标系中描出满足圆的方程的若干个点，然后用平滑的曲线连接这些点，即可得到圆的图形表示。
03
圆的性质定理与证明
切线长定理及证明
切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。
证明
设点P为圆外一点，PA、PB为圆的两条切线，切点分别为A、B。连接圆心O到A、B、 P三点，由于OA、OB为半径，所以∠OAP和∠OBP均为直角。根据HL全等条件，可证△OAP≌△OBP，从而PA=PB。
04
圆的综合应用举例
求解切线方程问题
切线定义及性质
典型例题解析
回顾切线定义，阐述切线与半径垂直的性质。
选取具有代表性的切线方程问题，详细解析求解过程。
切线方程求解方法
通过圆心坐标和切线斜率，利用点斜式或斜截式求解切线方程。
求解切线长问题
切线长定义及性质
回顾切线长定义，阐述切线与半径、切线长与弦长的关系。
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求解割线性质问题
割线性质概述
总结割线的性质，如割线与半径的关系、割线定理等。
割线性质应用
利用割线性质解决与圆相关的角度、长度等问题。
典型例题解析
选取具有代表性的割线性质问题，详细解析求解过程。
05
与圆相关的数学问题拓展
点到直线距离公式推导及应用
点到直线距离公式推导
通过构造直角三角形，利用勾股定理和相似三角形性质推导出点到直线距离公式。
半径
03
一般方程中，半径$r=frac{sqrt{D^{2}+E^{2}-4F}}{2}$。
圆的参数方程
01 02
定义
以点$O(a,b)$为圆心，$r$为半径的圆的参数方程为 $left{ begin{array}{l} x=a+rcostheta y=b+rsintheta end{array} right.$，其中$theta$为参数。

初三数学圆的经典讲义

圆之杨若古兰创作目录一．圆的定义及相干概念二．垂经定理及其推论三．圆周角与圆心角四．圆心角、弧、弦、弦心距关系定理五．圆内接四边形六．会用切线, 能证切线七．切线长定理八．三角形的内切圆九．了解弦切角与圆幂定理（选学）十．圆与圆的地位关系十一．圆的有关计算十二．圆的基础综合测试十三．圆的最终综合测试一．圆的定义及相干概念【考点速览】考点1：圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中间对称图形.经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.圆心是它的对称中间.考点2：确定圆的条件；圆心和半径①圆心确定圆的地位，半径确定圆的大小；②不在同一条直线上的三点确定一个圆；考点3：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.经过圆心的弦叫做直径.直径是圆中最大的弦.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.弧：圆上任意两点间的部分叫做弧.弧分为半圆，优弧、劣弧三种.（请务必留意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形.弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段.（请务必留意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）固定的曾经不克不及再固定的方法：求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形.如下图：考点4：三角形的外接圆：锐角三角形的外心在，直角三角形的外心在,钝角三角形的外心在.考点5点和圆的地位关系设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ，则点与圆的地位关系有三种.①点在圆外⇔d ＞r ；②点在圆上⇔d=r ；③点在圆内⇔ d ＜r ；【典型例题】例1 在⊿ABC 中，∠ACB=90°,AC=2,BC=4，CM 是AB 边上的中线，以点C 为圆心，觉得5半径作圆，试确定A,B,M 三点分别与⊙C 有如何的地位关系，并说明你的理由.例2．已知，如图，CDB ，且AB=OC ，求∠A 的度数.例3 ⊙O 平面内一点P 和⊙O 最大为8cm ，则这圆的半径是例4 在半径为5cm CD=8cm ，则AB 和CD 例5 如图,⊙O 的直径AB 和弦CD 订交于点E ，已知AE=6cm ，EB=2cm, 30=∠CEA ，求CD 的长．例6.已知：⊙O 的半径0A=1，弦AB 、AC 的长分别为3,2，A BDC O · E求BAC的度数．【考点速练】1.以下命题中，准确的是（）A．三点确定一个圆B．任何一个三角形有且仅有一个外接圆C．任何一个四边形都有一个外接圆D．等腰三角形的外心必定在它的内部2．如果一个三角形的外心在它的一边上，那么这个三角形必定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．钝角三角形3．圆的内接三角形的个数为（）A．1个B．2 C．3个D．有数个4．三角形的外接圆的个数为（）A．1个B．2 C．3个D．有数个5．以下说法中，准确的个数为（）①任意一点可以确定一个圆；②任意两点可以确定一个圆；③任意三点可以确定一个圆；④经过任一点可以作圆；⑤经过任意两点必定有圆．A．1个B．2个C．3个D．4个6.与圆心的距离不大于半径的点所构成的图形是( )A.圆的内部(包含鸿沟)；B.圆的内部(不包含鸿沟)；C.圆；D.圆的内部(包含鸿沟)7.已知⊙O的半径为6cm,P为线段OA的中点,若点P在⊙O 上,则OA的长( )8.如图,⊙O的直径为10cm,弦AB为8cm,P是弦AB上一点,若OP的长为整数, 则满足条件的点P有( )9.如图,A是半径为5的⊙O内一点,且OA=3,过点A且长小于8的弦有( )10.要浇铸一个和残破轮片同样大小的圆形轮片，须要晓得它的半径，用圆规和直尺在图中作出它的一条半径．（请求保存作图痕迹）11.如图，已知在ABC∠90A，AB=3cm，AC=4cm，以=∆中，︒点A为圆心，AC长为半径画弧交CB的耽误线于点D，求CD的长．CB12、如图，有一圆弧开桥拱，拱的跨度AB ＝16cm ，拱高CD ＝4cm ，那么拱形的半径是＿＿13、△ABC 中，AB=AC=10，BC=12，则它的外接圆半径是＿＿.14、如图，点P 是半径为5的⊙O 内一点，且OP ＝3，在过点P 的所有的⊙O 的弦的条数为＿＿.如图所示,已知⊙O 的半径为10cm ，直径AB 上一点,弦CD 过点CD 引垂线AE 和BF,求AE-BF 的值.【功课】日期姓名完成时间成绩1、在半径为2的圆中，弦长等于2____2. △ABC的三个顶点在⊙O上,且AB=AC=2,∠BAC=120º,则⊙O的半径=__,BC=___.3． P 为⊙O 内一点，OP=3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最短弦长为_________；•最长弦长为_______．4. 如图,A,B,C 三点在⊙O 上,且AB 是⊙O 的直径,半径OD⊥AC,垂足为F,若∠A=30º,OF=3,则OA=______ ,AC=______,BC=_________.B FA DC B O5.如图5,为直径是52cm圆柱形油槽,装入油后,油深CD为16cm,那么油面宽度AB=____6.如图6, ⊙O中弦AB⊥AC,D,E分别是AB,AC的中点.⑴若AB=AC,则四边形OEAD是形;⑵若OD=3,半径5 r,则AB=_cm,AC=___ _cm7.如图7，⊙O的直径AB和弦CD订交于点E，已知AE=8cm，EB=4cm，∠CEA=30°，则CD的长为_________．(5) (6) (7)二．垂径定理及其推论【考点速览】考点1垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，而且平分弦所对的两条孤．推论1：①平分弦（不是直径）的直径重直于弦，而且平分弦所对的两条孤．②弦的垂直平分线经过圆心，而且平分弦所对的两条孤．③平分弦所对的一条孤的直径,垂直平分弦，而且平分弦所对的另一条孤．推论2．圆的两条平行弦所夹的孤相等．垂径定理及推论1中的三条可概括为：① 经过圆心；②垂直于弦；③平分弦(不是直径)；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧．以上五点已知其中的任意两点，都可以推得其它两点【典型例题】例1 如图AB 、CD 是⊙O 的弦，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，且CNM AMN ∠=∠．求证：AB=CD ．例2已知，不过圆心的直线l 交⊙O 于C 、D 两点，AB 是⊙O 的直径，AE⊥l 于E ，BF⊥l 于F.求证：CE=DF ．例3 如图所示，⊙O 的直径AB ＝15cm ，有一条定长为9cm 的动弦CD 在弧AmB 上滑动（点C 与点A ，点D 与B 不重合），且CE⊥CD 交AB 于E ，DF⊥CD 交AB 于F.（1）求证：AE ＝BF（2）在动弦CD 滑动的过程中，四边形CDEF 的面积是否是，请说明理由. 例4 如图，在⊙O 内，弦CD 与直径弦CD 交直径AB 于点P ，且⊙O 半径为1 是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.【考点速练】 ABC D P O .. AB DC O · N M1.已知⊙O 的半径为2cm ，弦AB 长cm 32，则这条弦的中点到弦所对劣孤的中点的距离为（）.A ．1cm B.2cm C.cm 2 D.cm 3cm 3．如图1，⊙O 的半径为6cm ，AB 、CD 为两弦，且AB⊥CD，垂足为点E ，若CE=3cm ，DE=7cm ，则AB 的长为（）A ．10cm B.8cm C.cm 24 D.cm 28 4.有以下判断：①直径是圆的对称轴；②圆的对称轴是一条直径；③直径平分弦与弦所对的孤；④圆的对称轴有有数条.其中准确的判断有（）5．如图2，同心圆中，大圆的弦交AB 于C 、D 若AB=4，CD=2，圆心O 到AB 的距离等于1，那么两个同心圆的半径之比为（）A ．3:2 B.5:2 C.5:2 D.5:46.等腰三角形腰长为4cm,底角为 30,则外接圆直径为（）A ．2cm B.4cm C.6cmD.8cm7.如图,⊙O 的直径为10,弦AB=8,P 是弦AB 上的一个动点,A DE C B ·图1 A ·OC D B那么OP 长的取值范围是.8.如图,已知有一圆弧形拱桥,拱的跨度AB=16cm,拱高CD=4cm,那么拱形的半径是____m.9.如图，直径为1000mm 的圆柱形水管有积水（暗影部分）水面的宽度AB 为800mm ，求水的最大深度10.如图，已知△ABC 中，∠ACB=90°，以C 为圆心，CA 为半径作圆交斜边AB 于为. 11.已知:如图,在⊙O 中,弦AB 的长是半径弧AB 的中点,AB 、OC 订交于点M.试判断四边形OACB 的外形,并说明理由. 12.如图所示，在⊙O 中，弦AB⊥AC，弦BD⊥BA，AC 、BD 交直径MN 于E 、F.求证：ME=NF.13.（思考题）如图，1o Θ与2o Θ交于点A ，B ，过A 的直线分别交1o Θ，2o Θ于M,N ，C 为MN 的中点，P 为21O O 的中点，求证：PA=PC.【功课】日期姓名完成时间成绩 1.已知⊙O 的直径AB=10cm ，弦CD⊥AB，垂足为M.且OM=3cm ，则CD=.2．D 是半径为5cm 的⊙O 内的一点，且D0=3cm ，则过点D CA M CB A O ·O A B DC E F M N 1O A B 2O M N C PD 的所有弦中，最小的弦AB=cm.3.若圆的半径为2cm ，圆中一条弦长为32cm ，则此弦所对应弓形的弓高是.4.已知⊙O 的弦AB=2cm,圆心到AB 的距离为n,则⊙O 的半径R=，⊙O 的周长为. ⊙O 的面积为.5．在⊙O 中，弦AB=10cm ，C 为劣孤AB 的中点，OC 交AB 于D ，CD=1cm ，则⊙O 的半径是. 6．⊙O 中，AB 、CD 是弦，且AB∥CD，且AB=8cm ，CD=6cm ，⊙O 的半径为5cm ，连接AD 、BC ，则梯形ABCD 的面积等于. 7．如图，⊙O 的半径为4cm ，弦AB 、CD 交于E 点，AC=BC ，OF⊥CD 于F ，OF=2cm ，则 ∠BED=.8．已知⊙O 的半径为10cm ，弦MN∥EF，且MN=12cm ，EF=16cm ，则弦MN 和EF 之间的距离为. 三．圆周角与圆心角【考点速览】考点1圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数.Eg: 判别以下各图中的角是不是圆心角，并说明理由. 圆周角：顶点在圆周上，角两边和圆订交的角叫圆周角.两个条件缺一不成．Eg: 判断以下图示中，各图形中的角是不是圆周角，并说明理由· A EFBCDO考点2定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．Eg: 如下三图，请证实.考点34. 推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．②半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 90的圆周角所对的弦是直径．③如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．经典例题例1：下图中是圆周角的有.是圆心角的有.例2：如图，∠A是⊙O的圆周角，且∠A＝35°,则∠OBC=_____.O例3：如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB=．例４：如图１，AB 是⊙O 的直径，点C D E ，，都在⊙O 上，若C D E ==∠∠∠，则A B +=∠∠º．例5：如图2，⊙O 的直径CD 过弦EF 的中点G ，40EOD ∠=，则DCF ∠=．例6：已知：如图，AD•是⊙O 的直径，∠ABC= 30 °，则∠CAD=_______．例7：已知⊙O 中，30C ∠=，2cm AB =，则⊙O 的半径为cm ．例8 已知：如图所示，ABC ∆是⊙O 的内接三角形，⊙O 的直径BD 交AC 于E ，AF⊥BD 于F ，耽误AF 交BC 于G ．求证：BC BG AB ⋅=2考点练习1.如图，已知ACB ∠是⊙O 的圆周角，50ACB ∠=︒，则圆心角AOB ∠是（）（例１）A BEFCD G O 例２CA· OBDCGF1 EA ．40︒ B. 50︒C. 80︒D. 100︒2.已知：如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，点P 是劣弧CD ⌒上分歧于点C 的任意一点，则∠BPC 的度数是（）A ．45° B．60° C．75° D．90° 3.△ABC 中，∠A＝30°，∠B＝60°，AC ＝6，则△ABC 外接圆的半径为（） A ．32B ．33C ．3D ．34.圆的弦长与它的半径相等，那么这条弦所对的圆周角的度数是（）A ．30° B．150° C．30°或150° D．60° 5.如图所示，AB 是⊙O 的直径，AD ＝DE ，AE 与BD 交于点C ，则图中与∠BCE 相等的角有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个6.以下命题中，准确的是（）①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③90的圆周角所对的弦是直径；④不在同一条直线上的三个点确定一个圆；⑤同弧所对的圆周角相等A ．①②③B ．③④⑤C ．①②⑤B EDA COD ．②④⑤7.如图，⊙O 是等边三角形ABC 的外接圆，⊙O 的半径为2，则等边三角形ABC 的边长为（）A ．3B ．5C ．23D ．258.如图，△ABC 内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC ，BD 为 ⊙O 的直径，AD=6，则BC ＝.9.如图9，有一圆形展厅，在其圆形边沿上的点A 处安装了一台监视器，它的监控角度是65．为了监控全部展厅，起码需在圆形边沿上共安装如许的监视器台.10.如图，量角器外沿上有A 、B 两点，它们的读数分别是70°、40°，则∠1的度数为.11.如图,AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠BAC=30°，点P 在线段OB 上活动.设∠ACP=x，则x 的取值范围是. 12.如图所示，小华从一个圆形场地的A 点出发，沿着与半径OA 夹角为α的方向行走，走到场地边沿B 后，再沿着与半径OB 夹角为α的方向折向行走.按照这类方式，小华第五次走到场地边沿时处于弧AB 上，此时∠AOE＝56°，则α的度数是.13.如图，已知A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四个点，AB ＝BC ，BD 交AC 于点E ，连接CD 、AD ．（第9题） A65°°OABO C x P（1）求证：DB 平分∠ADC；（2）若BE ＝3，ED ＝6，求AB 的长．14.如图所示，已知AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，且AB ⊥CD 于点E ．连接AC 、OC 、BC ．（1）求证：∠ACO=∠BCD ．（2）若EB=8cm ，CD=24cm ，求⊙O15.如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，，AD 是△ABC 的角平分线，过A 、C 、D AB 交于点E ，连接DE. （1）求证：AC ＝AE ；（2）求△ACD 16.已知：如图等边ABC △点（端点除外），耽误BP 至D （1）若AP 过圆心O 形？并说明理由．（2）若AP 不过圆心O ，如图②，PDC △又是什么三角形？为何？【考点速览】圆心角, 弧,弦,:B在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的孤相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等推论：在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.（务必留意前提为：在同圆或等圆中）例1．如图所示，点O 是∠EPF 的平分线上一点，以O 为圆心的圆和角的两边分别交于A 、B 和C 、D ，求证：AB=CD ．例2、已知：如图，EF 为⊙O的直径，过EF 上一点P 作弦AB 、CD ，且∠APF=∠CPF. 求证：PA=PC.例3．如图所示，在ABC ∆中，∠A=︒72，⊙O 截ABC ∆的三条例4．如图，⊙O 的弦CB 、ED BC=DE ．求证：AC=AE ．例5．如图所示，已知在⊙O 中，︒，OD⊥AB 于D ，OE⊥BC 于E ．求证：ODE ∆是等边三角形．综合练习一、选择题ABE FO PC12DAB C 1．以下说法中准确的是（）A 、相等的圆心角所对的弧相等B 、相等的弧所对的圆心角相等C 、相等的弦所对的弦心距相等D 、弦心距相等，则弦相等2．如图，在⊙O 中，AB 的度数是︒50，∠OBC=︒40，那么∠OAC 等于（）A 、︒15B 、︒20C 、︒25D 、︒303．P 为⊙O 内一点，已知OP=1cm ，⊙O 的半径r=2cm ，则过P 点弦中，最短的弦长为（）A 、1cmB 、3cmC 、32cmD 、4cm4．在⊙O 中，AB 与CD 为两平行弦，AB >CD ，AB 、CD 所对圆心角分别为︒︒60,120，若⊙O 的半径为6，则AB 、CD 两弦相距（）A 、3B 、6C 、13+D 、333±5.如图所示，已知△ABC 是等边三角形，以BC 为直径的⊙O 分别交AB 、AC 于点D 、E. （1）试说明△ODE 的外形；（2）如图2，若∠A=60º，AB≠AC，则①的结论是否仍然成立，说明你的理由.6 如图，△ABC 过点、CA 交BC 的耽误线于点（1）求证：△BEF·O 图A BCA B C如图 3如图4如图5（2）BA=4，CG=2，求BF 的长.7 已知：如图，∠AOB=90°，C 、D 是弧AB 的三等分点，AB 分别交OC 、OD 于点E 、F.求证：AE=BF=CD.【功课】日期姓名完成时间成绩 1.如图1，ABC ∆内接于⊙O ，445==∠，ABC则⊙O 的半径为（）. A ．22B ．4C ．32D ．52.如图2，在⊙O 中，点C 是AB 的中点，40=∠A ，则BOC ∠等于（）. A ．40B ． 50C ． 70D ．803.如图3，A 、B 、C 、D 是⊙O 上四点，且D 是AB 的中点，CD 交OB 于E ， 55,100=∠=∠OBC AOB ，OEC ∠= 度.4.如图4，已知AB 是⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的两点，130=∠D ，则BAC∠的度数是 .5.如图5，AB 是半圆O 的直径，E 是BC 的中点，OE 交弦BC 于点D ，已知BC=8cm,DE=2cm ，则AD 的长为 cm. 6．如图所示，在⊙O 中，AB 是直径，CO⊥AB，D 是CO 的中点，DE∥AB．求证:EC=2EA五．圆内接四边形【考点速览】圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.·A O BE DCGF 如图1 如图2ABOD E C圆内接梯形为等腰梯形，圆内接平行四边形为矩形. 判断四点共圆的方法之一：四边形对角互补即可. 【典型例题】例1 （1）已知圆内接四边形ABCD 中，∠A:∠B:∠C=2:3:4，求∠D 的度数．（2）已知圆内接四边形ABCD 中，如图所示，AB 、BC 、CD 、AD 的度数之比为1:2:3:4,求∠A、∠B、∠C、∠D 的度数．例2 四边形ABCD 内接于⊙O，点P 在CD 的耽误线上，且AP∥BD．求证：AD AB BC PD ⋅=⋅例3 如图所示，ABC ∆是等边三角形，D 是BC 上任一点．求证：DB+DC=DA ．例4AB 是⊙O的直径，弦DE⊥AB，弦AF 和DE 的耽误线交于C ，连结DF 、EF ，求证：FE FD FA FC ⋅=⋅例5 如图所示，在ABC ∆中，AB=AC ，过A 点的直线与ABC ∆的外接圆交于E ，与BC 的耽误线交于D ．求证：ED AD AC AD ⋅=-22【考点速练】1．圆内接四边形的对角，而且任何一个外角都它的内对角．2．已知四边形ABCD 内接于⊙O ，则∠A:∠B:∠C:∠D=3:2::7，且最大的内角为． 3．如右图，已知四边形ABCD 内接于⊙O，AE⊥CD 于E ，若∠ABC=︒130，则∠DAE=．·A D C BOPA ·BC DO · A B C D O · A B C DEO· ABCDO4．已知圆内接四边形ABCD的∠A、∠B、∠C的外角度数比为2:3:4，则∠A=，∠B=．5．圆内接梯形是梯形，圆内接平行四边形是．6．若E是圆内接四边形ABCD的边BA的耽误线上一点，BD=CD，∠EAD=︒55，则∠BDC=．7．四边形ABCD内接于圆，∠A、∠C的度数之比是5:4，∠B比∠D大︒30，则∠A=.∠D=．8．圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数比是2：3：6,则∠D的度数是（）A、︒5.67B、︒135C、︒5.112D、︒1109．如图1所示，圆的内接四边形ABCD，DA、CB耽误线交于P，AC和BD交于Q，则图中类似三角形有（）A、1对B、2对C、3对D、4对10．如果圆的半径是15，那么它的内接正方形的边长等于（）A、215B、315C、2315D、221511．以下四边形中，有外接圆的四边形是（）A、有一个角为︒60的平行四边形B、菱形C、矩形D、直角梯形12．如图2，四边形ABCD是圆的内接四边形，如果BCD 的度数为︒240，那么∠C等于（）A 、︒120B 、︒80C 、︒60D 、︒4013．若四边形ABCD内接于圆，且∠A:∠B:∠C:∠D=5:m:4:n，则（） A 、5m=4n B 、4m=5n C 、m+n=9 D、m=n=︒18014．如图，已知⊙O 的半径为2，弦AB 的长为32，点C与点D 分别是劣弧AB 与优弧ADB 上任一点（点C 、D 均不与A 、B 重合）. (1)求ACB ∠；(2)求三角形ABD 的最大面积． 15．如图所示，已知△ABC 内接于⊙O，AB=AC ，点D 为劣弧BC 上一动点（不与B 、A 、C 重合），直线AD 与BC交于E 点，连结BD 、DC.（1）求证:BD·DC=DE·DA；（2）若将D 改为优弧BAC 上一动点（不与B 、A 、C 重合），其他条件均不改变，则（1）中的结论还成立吗？请画图并证实你的结论.【功课】日期 1．过四边形ABCD 、，若∠B+∠D ︒>180，则DA 、圆上 B2．如图1，若 A C BPQ图1AD B C· O图2ABCODAA数共有（）A 、5对B 、6对C 、7对D 、8对3．如图2，已知ABC ∆的外角∠BCD 的平分线CE 交ABC ∆的外接圆于E ，则ABE ∆是（） A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、等腰三角形 4．如图3，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AE 是⊙O 的弦，且AE⊥CD，若∠B=︒120，则∠DAE 为（） A 、︒60 B 、︒30 C 、︒50 D 、︒705．已知：如图所示，四边形ABCD 内接于⊙O，BD 是⊙O 直径，若∠DAC=︒60，BC=337，AD=5．求AC 的长．六．会用切线，能证切线考点速览：考点1直线与圆的地位关系考点2A BCD图1A ·BCDE O图3ABCDE 图2 ·ABDCO切线：经过半径外端而且垂直于这条半径的直线是圆的切线.符号说话Array∵ OA⊥ l 于A，OA为半径∴ l 为⊙O的切线考点3判断直线是圆的切线的方法：①与圆只要一个交点的直线是圆的切线.②圆心到直线距离等于圆的半径的直线是圆的切线.③经过半径外端，垂直于这条半径的直线是圆的切线.（请务必记住证实切线方法：有交点就连半径证垂直；无交点就做垂直证半径）考点4切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.（请务必记住切线主要用法：见切线就要连圆心和切点得到垂直）经典例题：例1.如图，△ABC 内接于⊙O， AB 是 ⊙O 的直径，∠CAD＝ ∠ABC，判断直线AD 与⊙O 的地位关系，并说明理由.例2.如图,OA=OB=13cm ，AB=24cm ，⊙O 的半径为5cm ，AB 与⊙O 相切吗？为何? 例3.如图,PA 、PB 是⊙O 的切线，切点为A 、B ，C 是⊙O 上一点，若∠P＝40.，求∠C 的度数.例4．如图所示，ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，以AC 为直径作⊙O 交AB 于D ，E 为BC 中点.求证：DE 是⊙O 的切线．例5．（2010深圳）如图10，以点M 与y 轴、x 轴分别交于点A 、B 、C x － 533与⊙M 相切于点H ，交x 轴于点E ，交y 轴于点F ．（1）请直接写出OE 、⊙M 的半径r 、CH 的长；（3分）（2）如图11，弦HQ 交x 轴于点P ，且DP:PH ＝3:2，求cos∠QHC 的值；（3分）（3）如图12，点K 为线段EC 上一动点（不与E 、C 重BB合），连接BK 交⊙M 于点T ，弦AT 交x 轴于点N ．是否存在一个常数a ，始终满足MN·MK＝a ，如果存在，请求出a 的值；如果不存在，请说明理由．（3分）中考链接1.如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，AB 经过圆心O ，且与小圆订交于点A ，与大圆订交于点B ，小圆的切线AC 与大圆订交于点D ，且CO 平分∠ACB.试判断BC 所在直线与小圆的地位关系，并说明理由. 2. 如图，在Rt△ABC 中，∠C=90. ，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AC 、AB 分别交于点D 、E ，且∠CBD= ∠A，判断BD 与⊙O 的地位关系，并证实你的结论.3. (2009深圳)如图，AB 是⊙O 的直径，AB=10，DC 切⊙O 于点C ，AD⊥DC，垂足为D ，AD 交⊙O 于点E.图10图11图12（1）求证：AC平分∠BAD；（2）若sin∠BEC=3，求DC的长.54．（2008深圳）如图，点D是⊙O点，点B在⊙O上，且AB＝AD＝（1）求证：BD是⊙O的切线．（2）若点E是劣弧BC上一点，且△BEF的面积为8，2，求△ACFcos∠BFA＝3课堂速练（1）1．判断①垂直于半径的直线是圆的切线.………………………………（）②过半径外端的直线是圆的切线.………………………………（）③与圆有公共点的直线是圆的切线.……………………………（）④圆的切线垂直于半径.…………………………………………（）2．如图，AC切⊙O于点A，∠BAC＝37.，则∠AOB的度数为（）A. 64.B. 74.C. 83.D. 84.3. 如图，AB与⊙O相切于B，AO的耽误线交⊙O于点C，连接BC，若∠A＝36.．则∠C＝______4．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，ABCD，5C，∠BAC＝50.，∠ACD=______6．如图，AB为⊙O的直径，BC切⊙O于B，CO交⊙O 于点D，BC于的度数．7．（2006xoy中，点M 在x⊙M交x y轴于C D、两点，且C为弧AE的中点，AE交y轴于G点，若点A的坐标为（－2，0），AE8(1)求点C的坐标.(2)连结MG BC、，求证：MG∥BC(3)如图10-2，过点D作⊙M的切线，交x轴于点P.动点F在⊙M的圆周上活动时，PFOF的比值是否发生变更，若不变，求出比值；若变更，说明变更规律.七．切线长定理考点速览：考点1B切线长概念：经过圆外一点做圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．切线长和切线的区别切线是直线，不成度量；而切线长是切线上一条线段的长，而圆外一已知点到切点之间的距离，可以度量．考点2切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．要留意：此定理包含两个结论，如图，PA 、PB 切⊙O 于A 、B 两点，①PA=PB ②PO 平分APB ∠．考点3两个结论：圆的外切四边形对边和相等；圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长．经典例题：例1 已知PA 、PB 、DE 分别切⊙O 于A 、B 、C 三点，若PO=13㎝，PED ∆的周长为24㎝，求：①⊙O 的半径；②若40APB ∠=︒，EOD ∠的度数．例2 如图，⊙O 分别切ABC ∆E 、F ，若,,BC a AC b AB c ===．（1）求AD 、BE 、CF 的长；（2径r ．例ABCD则四边形的周长为？例4 如图甲，直线343+-=x y 与x 轴订交于点A ，与y 轴订交于点B ，点C ()n m ,是第二象限内任意一点，以点C 为圆心与圆与x 轴相切于点E ，与直线AB 相切于点F. （1）当四边形OBCE 是矩形时，求点C 的坐标；（2）如图乙，若⊙C 与y 轴相切于点D ，求⊙C 的半径r ；（3）求m 与n 之间的函数关系式；（4）在⊙C 的挪动过程中，能否使OEF ∆是等边三角形（只回答“能”或“不克不及”）？考点速练1：1．如图，⊙O 是ABC ∆的内切圆，D::4:3:2A B C∠∠∠=，则DEF ∠=．FEC ∠=．2．直角三角形的两条直角边为53．如图，直线AB 、BC 、CD 分别与⊙O相切于点E 、F 、G ，且AB∥CD，若OB=6㎝，OC=8㎝，则BOC ∠=，⊙O 的半径=㎝，BE+CG=㎝．4．如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，AB 交OP 于点M ，若2,OM cm AB PB ==，则⊙O 的半径是㎝．考点速练（2）1．如图，在Rt ABC ∆中，90,3,C AC BC ∠=︒=点O 为圆心作⊙O 与AB 相切于E⊙O 与BC 的另一个交点D ，则线段BD 的长．2．如图，ABC ∆内接于⊙O，AB 为⊙O 直径，过C 点的切线交直径AB 的耽误线于P ，25BAC ∠=︒，则P ∠=．4、（广西）PA 、PB 是⊙O 切线，A 、B 切点，∠APB＝780，点C 是⊙O 上异于A 、B 任一点，那么∠ACB＝＿＿＿＿＿.5、（山西）若直角三角形斜边长为10cm ，其内切圆半径为2cm ，则它的周长为_______.6、（贵阳）如图，⊙O 是Rt△ABC 的内切圆，∠ACB＝900，且AB ＝13，AC ＝12，则图中暗影部分的面积是（）A 、π-30B 、π230-C 、π330-D 、π430-7．连结圆的两条平行切线的切点的线段，是这个圆的．8.如图1，AB 是⊙O 的直径，直线MN 切半圆于C ，AM⊥MN，BN⊥MN，若AM=a ，BN=b ，则AB=.9．如图2，AB 是⊙O 的直径，耽误AB 到D ，使BD=OB ，DC 切⊙O 于C ，则∠D=，∠ACD=，若半径为r ，AC=．10．经过圆的直径两端点的切线必互相．11.如图，在ABC ∆，10,8,90===∠AB AC C ，点P 在AC 上，AP=2，若⊙O 的圆心在线段BP 上，且⊙O 与AB 、AC 都相切，则⊙O 的半径是（）. A ．1 B ．45 C ．712D ．49 · A ED B O C题1 · AP B O C 题2 · A B D C O图2 M · CA OB N图112.如图，四边形ABCD是直角梯形，以垂直于底的腰AB 为直径的⊙O与腰CD相切于E，若此圆半径为6㎝，梯形ABCD的周长为38㎝，求梯形的上、下底AD、BC的长．八．三角形内切圆考点速览考点1概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．概念推广：和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．考点2三角形外接圆与内切圆比较：名称确定方法图形性质外心（三角形外接圆的圆心）三角形三边中垂线的交点（1）OA=OB=OC；（2）外心纷歧定在三角形的内部．内心（三角形内切圆的圆心）三角形三条角平分线的交点（1）到三边的距离相等；（2）OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、·AODB CE考点3求三角形的内切圆的半径1、直角三角形△ABC内切圆⊙O的半径为2cbar -+=.2、普通三角形①已知三边，求△ABC内切圆⊙O的半径r.（海伦公式S△＝)c s)(b s)(a s(s---，其中s=2cba++)经典例题：例1．浏览材料：如图（1），△ABC的周长为L，内切圆O 的半径为r，连结OA，OB，△ABC被划分为三个小三角形，用S△ABC暗示△ABC的面积．∵S△ABC =S△OAB +S△OBC +S△OCA又∵S△OAB =12AB·r，S△OBC =12BC·r，S△OCA=12AC·r∴S△ABC =12AB·r+12BC·r+12CA·r=12L·r（可作为三角形内切圆半径公式）（1）理解与利用：利用公式计算边长分为5，12，13的三角形内切圆半径；（2）类比与推理：若四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆，如图（2）•且面积为S，各边长分别为a，b，c，d，试推导四边形的内切圆半径公式；（3）拓展与耽误：若一个n边形（n为不小于3的整数）存在内切圆，且面积为S，各边长分别为a1，a2，a3，…an，合理猜测其内切圆半径公式（不需说明理由）．例2．如图，△ABC中，∠A=m°．（1）如图（1），当O是△ABC的内心时，求∠BOC 的度数；（2）如图（2），当O是△ABC的外心时，求∠BOC 的度数；（3）如图（3），当O是高线BD与CE的交点时，求∠BOC的度数．例3．如图，Rt△ABC中，AC=8，BC=6，∠C=90°，⊙I 分别切AC，BC，AB于D，E，F，求Rt△ABC的内心I与外心O之间的距离．考点速练1：1．如图1，⊙O内切于△AB C，切点为D，E，F．已知∠B=50°，∠C=60°，•连结OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于（）A．40° B．55° C．65° D．70°图 1 图 2 图32．如图2，⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F是切点，∠A=50°，∠C=60°，•则∠DOE=（）A．70° B．110° C．120° D．130°3．如图3，△ABC中，∠A=45°，I是内心，则∠BIC=（）A．112.5° B．112° C．125° D．55°4．以下命题准确的是（）A．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等B．三角形的内心纷歧定在三角形的内部C．等边三角形的内心，外心重合D．一个圆必定有独逐个个外切三角形5．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，则它的内切圆与外接圆半径分别为（）6．如图，在△ABC中，AB=AC，内切圆O与边BC，AC，AB分别切于D，E，F．（1）求证：BF=CE；（2）若∠C=30°，AC的长．7．如图，⊙I切△ABC的边分别为D，E，F，∠B=70°，∠C=60°，M是弧DEF上的动点（与D，E不重合），∠DMF的大小必定吗？若必定，求出∠DMF的大小；若纷歧定，请说明理由．考点速练21．如图，在半径为R的圆内作一个内接正方形，•然后作这个正方形的内切圆，又在这个内切圆中作内接正方形，依此作到第n个内切圆，它的半径是（）A．（2）nR B．（12）nR C．（12）n－1RD．（2）n－1R2．如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C=90°，AO的耽误线交BC于点D，AC=4，•DC=1，则⊙O的半径等于（）A．45B．54C．34D．563．如图，已知△ABC的内切圆⊙O分别和边BC，AC，AB切于D，E，F，•如果AF=2，BD=7，CE=4．（1）求△ABC的三边长；（2）如果P为弧DF上一点，过P作⊙O的切线，交AB 于M，交BC于N，求△BMN的周长．4．如图，⊙O与四边形ABCD的各边顺次切于M，N，G，H．（1）猜测AB+CD与AD+BC有何数量关系，并证实你的猜测；（2）若四边形ABCD添加条件AD∥BC而成为梯形，梯形的中位线长为m，其他条件不变，试用m暗示梯形的周长．5、思考题（选作）：如图，已知正三角形ABC的边长为2a．（1）求它的内切圆与外接圆构成的圆环的面积；（2）根据计算结果，请求圆环的面积，•只需测量哪一条弦的大小就可算出圆环的面积；（3）将条件中的“正三角形”改为“正方形”“正六边形”，你能得出如何的结论？（4）已知正n边形的边长为2a，请写出它的内切圆与外接圆构成的圆环面积．九．了解弦切角与圆幂定理（选学）【考点速览】。

ppt课件圆的认识

当圆心角为90度时，扇形就变成了正方形，此时扇形的面积等于圆的半径的平方。
05 圆的对称性
圆心对称
总结词
圆心对称是指以圆心为中心，将圆进行上下或左右翻转的对称形式。
详细描述
圆心对称是圆的一种基本对称形式，它将圆分成两个完全相等的部分，每个部分都是原圆的镜像。在圆心对称中，圆心是唯一的对称中心，所有的点和线段都关于圆心对称。
详细描述
圆与圆心对称是两个圆之间的一种基本对称形式，它将两个圆分成两个完全相等的部分，每个部分都是原圆的镜像。在圆与圆心对称中，两个圆的圆心是唯一的对称中心，所有的点和线段都关于这两个圆心对称。
06 圆的拓展知识
圆的切线与半径的关系
切线与半径垂直
圆的切线与经过切点的半径垂直，这是切线的基本性质。
这个公式是通过将圆周长展开成一条直线，然后测量其长度得到的。
圆的周长反映了圆的大小，与半径的长度直接相关。
圆与扇形的关系
圆可以被分割成若干个小的扇形，每个扇形的角度相等，都等于360度除以扇形的数量。
扇形的面积与圆的半径和圆心角有关，扇形面积占整个圆面积的比例等于圆心角占整个圆周角的比例。
ppt课件圆的认识
• 圆的基本概念 • 圆的绘制方法 • 圆的度量 • 圆的面积和周长 • 圆的对称性 • 圆的拓展知识
01 圆的基本概念
圆的定义
01
圆是平面内到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点组成的图形。
02
圆上任一点到圆心的距离等于半径，并且半径是唯一的。
圆的性质
圆是中心对称图形，圆心是对称中心。
切线与半径相交
切线与半径在切点处相交，且切线与半径的交角为直角。
圆的切线的判定与性质

圆的认识知识点总结

圆的认识知识点总结圆的定义：圆是一种几何图形。

当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时，它的另一个端点的轨迹叫做圆。

在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

相关定义:1 在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。

这个定点叫做圆的圆心。

图形一周的长度，就是圆的周长。

2 连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径，字母表示为r。

3 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，字母表示为d。

直径所在的直线是圆的对称轴。

4 连接圆上任意两点的线段叫做弦。

最长的弦是直径,直径是过圆心的弦。

5 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

大于半圆的弧称为优弧，优弧是用三个字母表示。

小于半圆的弧称为劣弧，劣弧用两个字母表示。

半圆既不是优弧，也不是劣弧。

优弧是大于180度的弧，劣弧是小于180度的弧。

6 两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。

7 弦和它所对的一段弧围成的图形叫做弓形。

8 顶点在圆心上的角叫做圆心角。

9 顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。

10 圆周长度与圆的直径长度的比值叫做圆周率。

它是一个无限不循环小数，通常用π表示，π=……在实际应用中，一般取π≈。

11圆周角等于相同弧所对的圆心角的一半。

12 圆是一个正n边形，边长无限接近0但不等于0。

圆的集合定义：圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，其中定点是圆心，定长是半径。

圆的字母表示：以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作O”。

圆—⊙；半径—r或R；弧—⌒；直径—d ；扇形弧长—L ；周长—C ；面积—S。

圆的性质:圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。

圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。

逆定理：平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。

有关圆周角和圆心角的性质和定理①在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。

第5讲圆-六年级上册数学讲义(含答案)

第5讲圆（思维导图+知识梳理+例题精讲+易错专练）一、思维导图二、知识点梳理知识点一：圆的认识1.圆心、半径、直径用圆规画圆时，针尖所在的点叫做圆心，一般用字母O表示，连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，一般用字母r表示，通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，一般用字母d表示。

在任意一个圆中都可以画出无数条半径和无数条直径。

2.同圆或等圆中半径、之间的关系在同圆或等圆中，所有的半径都相等，所有的直径也都相等，直径是半径的2倍；圆心相同，半径不同的圆叫做同心圆；圆是轴对称图形，它有无数条对称轴。

3.用圆规画圆用圆规画圆的方法：先定好两脚之间的距离，再把带有针尖的脚固定在一点上，最后把装有铅笔的脚旋转一周，就画出了一个圆。

知识点二：圆的周长1.意义：围成圆的曲线的长叫做圆的周长，周长一般用字母C来表示。

2.测量方法：滚动法、绕绳法、直接测量法。

3.圆周率：圆的周长总是它的直径的3倍多一些，这个固定的比值叫做圆周率，用字母Π来表示，Π是一个无线不循环小数。

C=Πd或2Πr。

已知圆的半径，求周长时，用C=2Πr进行计算；已知圆的直径，求周长时，用C=Πd进行计算。

知识点三：圆的面积1.意义：圆所占平面的大小叫做圆的面积，圆的面积一般用S表示。

2.已知圆的半径为r，S=Πr2已知直径或周长求面积时，都要先求出半径，再求出面积。

3.圆环：两个半径不相等的同心圆之间的部分叫做圆环，也叫做环形。

S=ΠR2-Πr23.圆与正方形组合的面积问题的应用（1）“外方内圆”图形中，圆的直径等于正方形的边长。

如果圆的半径为r，那么正方形和圆之间部分的面积为0.86r2。

（2）“外圆内方”图形中，这个正方形的对角线等于圆的直径。

如果圆的半径为r，那么圆和正方形之间部分的面积为1.14r2。

知识点四：扇形1.意义：圆上两点之间的部分叫做弧；一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。

注意：扇形的大小由圆心角的度数和半径的长短决定。

人教版数学六年级上册易错专项练第10讲圆的认识(讲义)(含答案)

第10讲圆的认识（讲义）小学数学六年级上册易错专项练（知识梳理+易错汇总+易错精讲+易错专练）1.圆的各部分名称。

2.圆的特征。

（1）圆是由一条曲线围成的封闭图形，无顶点。

（2）在同一圆内，有无数条半径且长度都相等；有无数条直径且长度都相等。

（3）在同圆或等圆中，直径是半径的２倍，半径是直径的一半，用字母表示为ｄ＝2ｒ或ｒ＝ｄ÷２。

（4）圆是轴对称图形，它有无数条对称轴。

圆的每条直径所在的直线都是它的对称轴。

3.用圆规画圆的方法。

第一步：确定半径。

把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离。

第二步：确定圆心。

把圆规有针尖的一脚固定在一点。

第三步：旋转一周。

把圆规装有铅笔的那只脚旋转一周就画出一个圆。

1.直径必须过圆心。

2.圆有无数条对称轴，每一条直径所在的直线都是它的对称轴。

半圆只有1条对称轴。

3.在同一个圆内，一条直径的长度等于两条半径的长度和，但只有在同一条直线上的两长半径才能组成一条直径。

【易错一】以同一个点为圆心，画两个大小不同的圆，这个图形有（）条对称轴。

A．0 B．1 C．2 D．无数【解题思路】假设同一点为A点，先以A点为圆心画一个小圆，再同样以A点为圆心画一个较大的圆，据此解答。

【完整解答】作图如下：观察图形发现，过圆心A的直线都是该图形的对称轴。

故答案为：D【易错点】解答本题的关键要注意该图形是同一个点为圆心。

【易错二】(1)在同一个圆内，有( )条半径，( )条直径。

(2)如果在下面的长方形纸中画一个最大的圆，这个圆的半径是( )厘米。

【解题思路】根据圆的认识和意义，可知在同一个圆内，有无数条半径和直径。

在一个长方形中画一个最大的圆，这个圆的直径一定是长方形的宽，据此解答。

【完整解答】（1）在同一个圆内，有无数条半径，无数条直径。

（2）12＞99÷2＝4.5（厘米）如果在下面的长方形纸中画一个最大的圆，这个圆的半径是4.5厘米。

【易错点】本题主要考查了圆的认识以及长方形和圆的关系。

《圆的初步认识》讲义

《圆的初步认识》讲义一、引言在我们的日常生活中，圆无处不在。

从汽车的轮胎到时钟的表盘，从美味的披萨到璀璨的月亮，圆以其独特的魅力和广泛的应用，成为了数学世界中一个重要的图形。

那么，究竟什么是圆呢？让我们一起来初步认识一下这个神奇的图形。

二、圆的定义圆是平面内到一定点的距离等于定长的点的集合。

这个定点称为圆心，定长称为半径。

简单来说，圆就是由无数个到圆心距离相等的点组成的封闭曲线。

我们可以用一个简单的例子来理解。

想象一下，你用一根绳子的一端系上一支铅笔，另一端固定在一个点上。

然后，你拉紧绳子，让铅笔围绕着固定点旋转一周，所画出的图形就是一个圆。

固定点就是圆心，绳子的长度就是半径。

三、圆的各部分名称1、圆心圆心是圆的中心，通常用字母“O”表示。

它决定了圆的位置。

2、半径连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，通常用字母“r”表示。

半径的长度决定了圆的大小。

同一个圆中，所有的半径长度都相等。

3、直径通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，通常用字母“d”表示。

直径是圆中最长的线段，同一个圆中，直径的长度是半径的 2 倍，即 d ＝ 2r 。

四、圆的特征1、圆是轴对称图形圆有无数条对称轴，任何一条通过圆心的直线都是圆的对称轴。

这意味着，如果我们沿着对称轴将圆对折，两边的部分能够完全重合。

2、圆是中心对称图形圆的圆心就是它的对称中心。

绕着圆心旋转任意角度，圆都能与自身重合。

五、圆的周长圆的周长是指绕圆一周的长度。

圆的周长计算公式是 C ＝2πr 或 C＝πd ，其中π（读作“派”）是一个常数，约等于 314 。

为了更好地理解圆的周长，我们可以做一个小实验。

拿一个圆形的物体，比如一个圆盘，在它的边缘上做一个标记。

然后将圆盘在一条直线上滚动一圈，测量标记点经过的距离，这个距离就是圆的周长。

六、圆的面积圆的面积是指圆所占平面的大小。

圆的面积计算公式是 S ＝πr² 。

我们可以通过将圆分割成无数个小扇形，然后将这些小扇形拼成一个近似的长方形来推导圆的面积公式。