第三章45刚体运动方程与转动惯量

2
质量为 m,长为 l 的细棒绕通过其端点合质心的垂 z 直轴的转动惯量
1 2 I 1 ml 2 I ml C 12 3
o
dm
x dx x
质量为 m,半径为 R 的均匀圆盘, 通过盘中心并与 盘面垂直的轴的转动惯量
1 2 I mR 2
R
o
r
dr
4 惯量张量和惯量椭球 对形状规则的刚体，将转动惯量写为积分形式
I xy I yy I zy
I xz x I yz y I zz z
惯量系数是点坐标的函数, 所以用静止的坐标系时 , 刚体转动时,惯量系数随之而变. 通常选取固着在刚体 上、并随着刚体一同转动的动坐标系, 这样, 惯量系数都 是常数．
I xx y 2 z 2 dm I yy I zz
2 2
z x
x2
y
2
dm dm
(3.5.13, 14)
I xy I yx xydm
I xz I zx zxdm
惯量积
I yz I zy yzdm
轴转动惯量
过o点有无穷多个轴，如何来计算绕这些轴的转动 惯量？
2 刚体的转动动能
刚体以作定点转动, 对定点的转动动能为
2 1 1 Ek mi vi mi vi vi 2 i 2 i 1 A B C A B C mi vi ri 2 i 1 1 ri mi vi L （3.5.8） 2 2 i 1 2 2 2 I xx x I yy y I zz z 2 I yz y z 2 I zx z x 2 I xy x y 2
显然可以把惯量积通过选取坐标轴的方向而消除, 如在转动轴上, 截取线段
1 OQ R I
I 为刚体绕该轴的转动惯量, 则Q点的坐标将是
x R , y R , z R
因过O点有很多转轴, 则有很多的Q点，这些点的轨迹是
I xx x I yy y I zz z 2I yz yz 2I zx zx 2I xy xy 1






刚体对定点的转动动能也可以写为
Ek 1 mi vi vi 2 i 1 mi ri ri 2 i 1 2 mi ri 2 sin 2 i 2 i 1 2 1 2 2 mi i I 2 2 i
ri xi i yi j zi k xi y j z k
2 2 2 J x mi x xi yi zi xi x xi y yi z zi i
x mi y z
dJ x dt M x dJ y M y dt dJ z M z dt
i
i
I yz I zy mi zi yi
惯量积
i
刚体对各轴的转动惯量 则刚体动量矩表达式简化为
J x I xxx I xy y I xzz
J y I yxx I yy y I yzz
J z I zxx I zy y I zzz
2 i i
Jy
m x y m x z m y x m z x m y z
2 i y i i i z i i i i
x
i
i i
yBiblioteka Baidu
i
2 i
2 i
i
z
i
i i 2 i
i
i
i
J z x mi zi xi y mi zi yi z mi x y
导读
• 空间力系和平行力系的求和 • 刚体运动微分方程和平衡方程 • 简单转动惯量的计算 •转动惯量的计算
§3.4 刚体运动方程与平衡方程
1 力系的简化
F1 F2
F3
将所有空间力作用点都迁移到一点 .
力是滑移矢量
F
F
F F
力可沿作用线移动，不能随意移动
设F’为作用在刚体A点上的一个力, P为空间任意一 点, 但不在F’的作用线上.
例题
• 均匀长方形薄皮边长为a,b，质量为m,求 绕其对角线转动时的转动惯量
解题要点
• 求出主转动惯量。 • 求出转动轴和主轴的夹角，利用公式
对任意转轴的转动惯量：
I I xx 2 I yy 2 I zz 2
即
I I x 2 I y 2 I z 2
I I x I y
2 i i i i

引入符号
I xx mi yi2 zi2
i
I yy I zz
m z m x
i i i i
2 i
x
2 i
2 i
yi2

（3.5.5，6）
I xy I yx mi yi xi
I xz I zx mi zi xi
回转半径
k I /m
物体的转动惯量决定于物体的质量分布情况, 又 决定于转动轴的位置. 转动轴不同,即使是同一物体转 动惯量也不同.
平行轴定理 若刚体对过质心的轴的转动惯量为 Ic ，则刚 体对与该轴相距为 d 的平行轴 z 的转动惯量 Iz 是
I z I c md
P172, 思考题 3.5
例1、一根均匀的棍子、重为P长为2l. 今将其一端置于 粗糙地面上，又以其上的C点，靠在墙上，墙离地面的 高度为h.当棍子与地面的角度为最小值0时, 棍子在上 述位置仍处于平衡状态，求棍与地面的摩擦系数
解： 受力分析知本题是一共 面力系的平衡问题, 取棍子所 在的平面为xy平面, 则 y B C h O N1 l P l N2 A x
f
Pl cos 0 sin 2 0 / h f N 2 P Pl cos 2 0 sin 0 / h
§3.5 刚体转动惯量(重点）
1 刚体的动量矩 刚体以作定点转动, 其中质点Pi对定点的位矢是ri, 则质点对定点的动量矩为 r m v
A B C B A C C A B
Ek
1 2
I
1
2 x
I 2 y I 3z
2
2

在力学里, 大都是对称的均匀刚体, 而这种刚体的惯量 主轴, 则可根据对称性很方便地求出.
对任意转轴的转动惯量：
I I xx 2 I yy 2 I zz 2
求惯量主轴的方法（重点）
• 均匀刚体，且具有对称轴，那么此轴就 是惯量主轴； • 如有对称面(x-y面），则垂直于对称面的 Z轴就是惯量主轴。
2 2 2
这是一个中心在O点的椭球, 通常叫惯量椭球, 如O为质心 ,又叫中心惯量椭球. 椭球有三个主轴, 如坐标轴选取与之重合, 则惯量积消失.
I1 x 2 I 2 y 2 I 3 z 2 1
I1, I2, I3称为O点上的主转动惯量.
此时有
L I1x i I 2 y j I 3z k
z
rG
上式中i为Pi的位矢 ri 与角速度矢量之间的夹角, i 为自Pi至转动瞬轴的垂直距离，而 I 称为刚体绕 转动瞬轴的转动惯量. 对于质量均匀(或按一定规律）分布，且形状规则的 刚体，则把求和变成积分。
3 刚体的转动惯量 I 认为在转动中，刚体的质量m等效于集中于某一点，该 点到轴线的距离为k,则该点对该轴线的转动惯量 mk2 等 于刚体对此轴线的转动惯量I，即有
在P点添上两个与F’的作用线 平行的力F1及F2, 且
A
r F’
F2
P
F1
F1 F2 0, F1 F2 F '
这样F’可以化为过P点的力F1和F’及F2所组成的 一个力偶.
力偶
方向：永远垂直于力偶的作用面
大小：与o点无关。
因此：力偶矩是一自由矢量，可以平行于
自身任意移动位置，不影响其效应。
叫做惯量张量, 元素叫惯量张量的组元或惯量系数.
利用矩阵乘法,得
I

I xx I yx I zx
I xy I yy I zy
I xz I yz I zz
J I
J x I xx J y I yx J I z zx
所以可以把所有空间力化为过一点的力和力偶.
P点叫简化中心, 力的矢量和叫主矢, 力偶矩的矢量 和叫对简化中心的主矩. 主矢使刚体平动状态发生变化
主矩使刚体转动状态发生变化
P172， 思考题 3.4
2 刚体运动微分方程
如果ri代表刚体中任一质点Pi 对静止系S原点O的位
矢, rC 为质心C对O的位矢, 而ri’ 为Pi 对质心C的位矢, 动
整个刚体对定点的动量矩为



i

i i


J ri mi vi mi ri ri i i 2 mi r ri ri


动量矩一般不与刚体角速度共线. (动量与速度总共线)
i
在直角坐标系下 所以
坐标系S’随质心作平动, 其原点与质心C重合. 则刚体质心C的运动方程为
(e) m r F C Fi
刚体在动坐标系S’中的相对运动对质心C 的总角动量 满足
J' M'
对固定坐标系中的定点O, 上式仍有效, 只需将J’改J (对定点 O的总角动量)，M’改M.
刚体的运动分解随质心的平动＋绕质心的转动
Mxc Fx Myc Fy Mzc Fz
dJ x dt M x dJ y M y dt dJ z dt M z
六个独立的方程
刚体有六个独立变量. 故质心运动及绕质心转动两 组方程式恰好确定刚体的运动情况. 也可应用动能原理， 作为一个辅助方程来代替方程中的任意一个.
注意: 这时刚体内力所作元功之和为零, 故刚体动能的 微分等于刚体在运动过程中外力所作的元功之和.
3 刚体平衡方程 若刚体处于平衡状态：
F 0 M 0
如为共面力系, 且设诸力均位于xy平面内, 则平衡方 程简化为
Fx 0, Fy 0, M z 0
Mx，My=？
2
2
= cos sin
a a 2 b2
I1
b /2
b /2
y dm
2
b /2
b /2
y 2 ad y
m , 面密度 ab
小结
力系的简化规则
刚体运动微分方程 刚体的运动分解随质心的平动＋绕质心的转动
c Fx M x c Fy y M Mzc Fz
一次算出轴转动惯量和惯量积, 通过O点的任一轴线的 转动惯量都可得出.
三个轴转动惯量和六个惯量积作为统一的一个 物理量, 代表刚体转动的惯性的量度，可以写为矩 阵的形式
I xx I yx I zx
I xy I yy I zy
I xz I yz I zz
对通过空间某一点O的轴线, , , 为转动瞬轴相对于 坐标轴的方向余弦, 则 z
P ( d , m)
x , y , z
（3.5.15）
o x
y
z x y
I I xx 2 I yy 2 I zz 2 2I yz 2I zx 2I xy
Fx 0, N1 sin 0 f 0 Fy 0, N1 cos 0 N 2 P 0
Pl cos 0 N1h / sin 0 0 f Pl cos 0 sin 2 0 / h
N 2 P Pl cos 2 0 sin 0 / h
对A点
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