4-1-2 圆的一般方程
人教A版高中数学必修二《圆的一般方程》教学设计
《4.1.2圆的一般方程》教学设计一、教材分析《圆的一般方程》安排在高中数学必修2第四章第一节第二课时.圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用.圆的一般方程属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是思想方法上都有着深远的意义，所以本课内容在整个解析几何中起着承前启后的作用.二、目标分析知识与技能：(1).掌握圆的一般方程及一般方程的特点(2).能将圆的一般方程化成圆的标准方程，进而求出圆心和半径(3).能用待定系数法由已知条件求出圆的方程过程与方法：(1)进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力；(2)加深对数形结合思想的理解和加强对待定系数法的运用，认识研究问题中由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想，充分了解分类思想在数学中的重要地位，强化学生的观察，思考能力。
(3)增强学生应用数学的意识.情感，态度与价值观：(1)培养学生主动探究知识、合作交流的意识；(2)培养学生勇于思考，探究问题的精神。
(3)在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣.教学重点： (1)．圆的一般方程。
(2)．待定系数法求圆的方程。
教学难点： (1)．圆的一般方程的应用。
(2)．待定系数法求圆的方程及选用合适的圆方程。
三、教学内容与过程一、复习引入圆的标准方程为：222()()x a y b r -+-=把圆的标准方程展开，并整理得220x y Dx Ey F ++++=思考：此方程都能表示圆么？二、课堂探究观察下列各式，先将它们分别配方，然后分析它们是否表示圆？（设计意图）通过对这两个问题的探究，.一方面引导学生22(1)2410+-++=x y x y 22(2)2460+--+=x y x y回顾了旧知，另一方面，抓住了学生的注意力，把学生的思维引到研究圆的方程上来，激发了学生的学习兴趣和学习欲望.这样获取的知识，不但易于保持，而且易于迁移。
高一数学必修二 4.1.2 圆的一般方程
知识梳理
12
【做一做2】 已知点P(x0,y0)是圆x2+y2=4上的动点,点M是OP(O
是原点)的中点,则动点M的轨迹方程是
.
答案:x2+y2=1
重难点突破
12
1.圆的标准方程和一般方程的对比 剖析:(1)由圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),可以直接看出圆 心坐标(a,b)和半径r,圆的几何特征明显. (2)由圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),知道圆的 方程是一种特殊的二元二次方程,圆的代数特征明显. (3)相互转化,如图所示.
知识梳理
12
【做一做1-1】 圆x2+y2-2x+4y=0的圆心坐标是 ( ) A.(1,-2) B.(1,2) C.(-1,2) D.(-1,-2)
解析:D=-2,E=4,则圆心坐标为 - -2 ,- 4 , 即(1,-2).
22
答案:A
知识梳理
12
【做一做1-2】 圆x2+y2-6x+8y=0的半径等于 ( ) A.3 B.4 C.5 D.25
高一数学必修二教学课件
第四章 圆与方程
4.1.2 圆的一般方程
学习目标
1.正确理解圆的一般方程及其特点. 2.能进行圆的一般方程和标准方程的互化. 3.会求圆的一般方程以及简单的轨迹方程.
知识梳理
12
1.圆的一般方程 (1)方程:当 D2+E2-4F>0 时,方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 叫做圆的一
;当
Hale Waihona Puke D2+E2-4F<0 时,不表示任何图形.
高中数学 4.14.1.2圆的一般方程课件 新人教A版必修2
种形式的方程中的一种；②根据所给条件，列出关于 D， 栏
目
E，F 或 a，b，r 的方程组；③解方程组．求出 D，E，
链 接
F 或 a，b，r 的值，并把它们代入所设的方程中，得到
所求的圆的方程．
第二十七页，共39页。
跟踪 训练
2．(1)已知圆经过 A(2，－3)和 B(－2，－5)，若圆心 在直线 x－2y－3＝0 上，求圆的方程．
第十九页，共39页。
跟踪 训练
1．求出下列各圆的圆心坐标和半径：
(1)x2＋y2－6x＝0；
(2)x2＋y2＋2by＝0(b≠0)；
栏
目
(3)x2＋y2－2ax－2
3y＋3a2＝0－
6 2 <a<
26.
链 接
解析：(1)原方程化为(x－3)2＋y2＝32，因此该圆的圆 心为(3,0)，半径为 3.
第十四页，共39页。
栏 目 链 接
第十五页，共39页。
题型一 圆的一般方程的概念(gàiniàn)
例1 下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心(yuánxīn)和
半径．
栏
(1)2x2＋y2－7y＋5＝0；
目 链
接
(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；
(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；
(4)2x2＋2y2－5x＝0.
第二十页，共39页。
跟踪 训练
(2)原方程化为 x2＋(y＋b)2＝b2(b≠0)，因此该
圆的圆心为(0，－b)，半径为|b|.
栏
目
(3)原方程化为(x－a)2＋(y－ 3)2＝3－2a2.因为
链 接
表示圆，所以 3－2a2>0，从而该圆的圆心为(a， 3)，
高中数学 第四章 圆与方程 4.1.2 圆的一般方程教案 新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学
圆的一般方程
例3 点P(10,0),Q 为圆x 2+y 2
=16上一动点.当Q 在圆上运动时,求PQ 的中点M 的轨迹方程.
活动:学生回想求曲线方程的方法与步骤,思考讨论,教师适时点拨提示,此题可利用平面几何的知识,见中点作中线,利用中线定长可得方程,再就是利用求曲线方程的办法来求.
图1
解法一:如图1,作MN∥OQ 交x 轴于N, 那么N 为OP 的中点,即N(5,0). 因为|MN|=
2
1
|OQ|=2(定长). 所以所求点M 的轨迹方程为(x-5)2
+y 2
=4.
点评:用直接法求轨迹方程的关键在于找出轨迹上的点应满足的几何条件,然后再将条件代数化.但在许多问题中,动点满足的几何条件较为隐蔽复杂,将它翻译成代数语言时也有困难,这就需要我们探讨求轨迹问题的新方法.转移法就是一种很重要的方法.用转移法求轨迹方程时,首先分析轨迹上的动点M 的运动情况,探求它是由什么样的点控制的. 解法二:设M(x,y)为所求轨迹上任意一点Q(x 0,y 0).
因为M 是PQ 的中点,所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=.2.102,20,2100000y y x x y y x x 即(*) 又因为Q(x 0,y 0)在圆x 2
+y 2
=16上,所以x 02
+y 02
=16.将(*)代入得 (2x-10)2
+(2y)2
=16.
故所求的轨迹方程为(x-5)2
+y 2
=4.
点评:相关点法步骤:①设被动点M(x,y),主动点Q(x 0,y 0).
②求出点M 与点Q 坐标间的关系⎪⎩⎪⎨⎧==).
,(),
,(002001y x f y y x f x (Ⅰ)。
4.1.2 圆的一般方程(新)
5
课前预习
课堂互动
课堂反馈
(2)圆 x2＋y2＋kx＋2y－4＝0 的圆心坐标是(－2k，－1)， 由圆的性质知直线 x－y＋1＝0 经过圆心， ∴－2k＋1＋1＝0 得 k＝4，
圆 x2＋y2＋4x＋2y－4＝0 的半径为12 42＋22＋16＝3， ∴该圆的面积为 9π.
答案
(1)(－a2，a2)，
位置关系 点 M 在圆_外___
代数关系 x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F>0
点 M 在圆_上___
x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F＝0
点 M 在圆_内___
x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F<0
3
课前预习
课堂互动
课堂反馈
@《创新设计》
题型一 圆的一般方程的概念 【例1】 若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求实数m的取值范围，并写出
2|a| 2
(2)9π
@《创新设计》
6
课前预习
课堂互动
课堂反馈
题型二 求圆的一般方程
【例2】 已知A(2，2)，B(5，3)，C(3，－1)，求△ABC外接圆的方程.
解 设△ABC外接圆的方程为：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
由题意得25DD＋ ＋23EE＋ ＋FF＋ ＋83＝ 4＝0， 0，解得DE＝＝－－28，，
所以直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3，且x≠－1).
13
课前预习
课堂互动
课堂反馈
@《创新设计》
法二 同法一，得x≠3，且x≠－1. 由勾股定理，得|AC|2＋|BC|2＝|AB|2， 即(x＋1)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝16， 化简得x2＋y2－2x－3＝0. 所以直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3，且x≠－1).
高中数学人教a版必修二4.1.2《圆的一般方程》
解法一:设所共圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
将A、B、D三点坐标代入得
2D 2E F 8 0, D 8,
5D 3E F 34 0, 解得E 2,
6D F 36 0.
F 12.
故过A、B、D三点的圆的方程为x2+y2-8x-2y+12=0.
把点C(3,-1)代入方程的左边=9+1-24+2+12=0.
(1)x2 y2 2x 4 y 1 0
配方得 ( x 1)2 ( y 2)2 4 以（1，-2）为圆心，以2为半径的圆
(2)x2 y2 2x 4 y 6 0
配方得 ( x 1)2 ( y 2)2 1
不是圆
不一定是 圆
结论：x2 y2 Dx Ey F 0
圆的一般方程 x2 y2 Dx Ey F 0
典例展示
例1.△ABC的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7,－3)，
C(2, －8)，求它的外接圆的方程． y
回顾：
A(5,1)
方法一：待定系数法
O
设圆方程为 (x a)2 ( y b)2 r 2.
x
方法二：几何法
D
B(7,-3)
由两条弦的中垂线的交点得到圆 心，由圆心到圆上一点得到半径
配方，得
x
D 2
2
y
E 2
2
D2
E2 4
4F
（1）当 D2 E2 4F 0 时，表示圆，
圆心
-
D 2
,
E 2
D2 E2 4F r
2
（2）当 D2
E2
4F
0
时，表示点
D 2
4.1.2--圆的一般方程
答案： （1）原点(0,0).
(2)圆心为（， 1 2），半径为 11 的圆；
（3）当a 2 b 2 0时， 圆心为（ a， 0），半径为 a 2 b 2的圆.
当a2 b2 0时，表示一个点（0， 0） .
（4）不表示任何图形
判断下列方程能否表示圆的方程,若能,写出圆心与半径.
【解析】∵x2+y2-2x-4y+4=0, ∴(x-1)2+(y-2)2=1. 圆心(1,2)到直线3x+4y+4=0的距离 3 1 4 2 4 d 3. 2 2 3 4 答案：3
例3.圆C 过点P(1, 2) 和 Q(-2, 3)，且圆C 在两轴 上截得的弦长相等，求圆C 的方程 答案： E = 3D 8，F = 11 7D，|E| = |D| 所求圆的方程为：x2 y2 4x 4y 17 = 0 或 x2 y2 2x 2y 3 = 0
（1）当 D2 E 2 4F 0 时， 方程 x y Dx Ey F 0 表示以
2 2
(
D E , ) 为圆心， 2 2
1 D 2 E 2 4 F 为半径的圆. 2
（2）当 D2 E 2 4F 0 时，
D 2 E 2 D2 E 2 4F 方程 ( x ) ( y ) 2 2 4
(1) x2 y 2 2 x 4 y 4 0
(2)2x2 2 y 2 12x 4 y 4 0
(3) x2 2 y 2 6x 4 y 1 0
(4) x2 y 2 2 x 6 y 50 0
(5) x2 y 2 3xy 5x 2 y 0
练习：已知圆C 过点 A( 1, 2 ) , B( 3, 4 )，且在x 轴上截得的弦长为6，求圆C 的方程
圆的一般方程,标准方程,参数方程总结
1. 圆的标准方程１、已知圆心为),(b a C ,半径为r ， 如何求的圆的方程？ 运用上节课求曲线方程的方法,从圆的定义出发，正确地推导出:222)()(r b y a x =-+- 这个方程叫做圆的标准方程2、圆的标准方程 :222)()(r b y a x =-+-若圆心在坐标原点上,这时0==b a ,则圆的方程就是222r y x =+ ３、圆的标准方程的两个基本要素:圆心坐标和半径圆心和半径分别确定了圆的位置和大小,从而确定了圆,所以,只要r b a ,,三个量确定了且r >０,圆的方程就给定了。
这就是说要确定圆的方程,必须具备三个独立的条件，确定r b a ,,，可以根据条件,利用待定系数法来解决 三、讲解范例:例１ 求以C(1，３)为圆心,并且和直线0743=--y x 相切的圆的方程例2已知圆的方程222r y x =+，求经过圆上一点),(00y x M 的切线方程例3.求过点(3,1)M ，且与圆22(1)4x y -+=相切的直线l 的方程例4.一圆过原点O 和点(1,3)P ，圆心在直线2y x =+上,求此圆的方程例５.已知一圆与y 轴相切,在直线y x =上截得的弦AB长为30x y -=上,求此圆的方程.2. 圆的一般方程1.圆的一般方程将标准方程222()()x a y b r -+-=展开，整理, 得22222220x y ax by a b r +--++-=,反过来, 将①配方得：22224()()224D E D E Fx y +-+++=. ②把方程②和圆的标准方程进行比较，可以看出： (１)当2240DE F +->时,方程①表示以(,)22D E --为圆心为半径的圆;(2)当2240D E F +-=时,方程①表示一个点(,)22D E--; （３)当2240D E F +-<时,方程①不表示任何图形.结论:当2240D E F +->时,方程①表示一个圆,此时,我们把方程①叫做圆的一般方程．2．圆的一般方程形式上的特点：（1)2x 和2y 的系数相同,且不等于0; （2)没有xy 这样的二次项．以上两点是二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的必要条件,但不是充分条件．充要条件是？（Ａ＝C ≠0，B=0,0422>-+FA E D ）说明:１、要求圆的一般方程,只要用待定系数法求出三个系数D 、E 、F 就可以了．2、圆的一般方程与圆的标准方程各有什么优点?（圆的标准方程：有利于作图。
高中数学第四章圆与方程4-1-2圆的一般方程课件新人教A版必修2
一个点;
当m≠2时,原方程表示圆,
此时,圆的圆心为(2m,-m),
1
半径为 r=
2
2 + 2 -4 = √5|m-2|.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解法二原方程可化为(x-2m)2+(y+m)2=5(m-2)2,
2
2
一个点 - 2 ,- 2 ;当 D2+E2-4F<0 时,方程没有实数解,因而它不表示任
何图形.
一
二
3.填空:
当D2+E2-4F>0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程,
2
2
其中圆心为 - ,-
1
,半径为
2
2 + 2 -4.
4.做一做:
(1)圆x2+y2-6x=0的圆心坐标是
2.把x2+y2+Dx+Ey+F=0配方后,将得到怎样的方程?这个方程是
不是就一定表示圆?
2
提示:得到的方程为 + 2
2
+ ư+E2-4F>0 时,该方程表示以 - ,-
=
2 + 2 -4
4
1
为圆心,
2
.
2 + 2 -4
为半径的圆;当 D +E -4F=0 时,方程只有实数解 x=- 2 ,y=-2 ,即只表示
思路分析:由条件知,所求圆的圆心、半径均不明确,故设出圆的一
4.1.2圆的一般方程
必修2
第四章 圆与方程
栏目导引
解析： (1)方法一
设顶点 C(x， y)， 因为 AC⊥BC，
且 A，B，C 三点不共线，所以 x≠3 且 x≠－1. y y 又 kAC＝ ，kBC＝ ，且 kAC· kBC＝－1， x＋1 x－3 y y 所以 · ＝－1，化简得 x2＋y2－2x－3＝0. x＋1 x－3 因此，直角顶点 C 的轨迹方程为 x2＋y2－2x－3＝0(x≠3 且 x≠－1)．
工具
必修2
第四章 圆与方程
栏目导引
待定系数法求圆的方程 已知△ABC 的三个顶点为 A(1,4)，B(－2,3)， C(4，－5)，求△ABC 的外接圆方程、外心坐标和外接圆 半径． [思路探究] 1．题中三点与圆心、半径无直接联系，应怎样设出 圆的方程？ 2．圆的一般方程中含有几个待定系数，在求圆的方 程时如何求出待定系数？
工具
必修2
第四章 圆与方程
栏目导引
(2)设点 M(x，y)，点 C(x0，y0)，因为 B(3,0)，M 是 x0＋3 线段 BC 的中点，由中点坐标公式得 x＝ (x≠3 且 2 y0＋0 x≠1)，y＝ ，于是有 x0＝2x－3，y0＝2y. 2 由(1)知，点 C 在圆(x－1)2＋y2＝4(x≠3 且 x≠－1) 上运动，将 x0，y0 代入该方程得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x －2)2＋y2＝1. 因此动点 M 的轨迹方程为 (x－2)2＋ y2＝ 1(x≠3 且 x≠1)．
工具
必修2
第四章 圆与方程
栏目导引
D＝－8， 解得E＝6， F＝0.
∴所求圆的方程为 x2＋y2－8x＋6y＝0， D E ∴－ ＝4，－ ＝－3，圆心为(4，－3)， 2 2 1 2 半径 r＝ D ＋E2－4F＝5. 2
4.1.2 圆的一般方程 课件(35张)
求圆的一般方程
【例 2】 求经过两点 A(4，2)，B(－1，3)，且在两坐标轴上的 四个截距之和为 2 的圆的方程．
[解] 设圆的一般方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 令 y＝0，得 x2＋Dx＋F＝0， 所以圆在 x 轴上的截距之和为 x1＋x2＝－D； 令 x＝0，得 y2＋Ey＋F＝0， 所以圆在 y 轴上的截距之和为 y1＋y2＝－E；
C.x－y－1＝0
D．x－y＋1＝0
D [由题意知圆心坐标是(－1，0)，故所求直线方程为 y＝x＋1，
即 x－y＋1＝0.]
4．圆 x2＋y2＋2x－4y＋m＝0 的直径为 3，则 m 的值为________．
11 4
[∵(x＋1)2＋(y－2)2＝5－m，∴r＝ 5－m＝32，∴m＝141.]
1．圆的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，来源于圆的标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2.在应用时，注意它们之间的相互转化及表示圆的
条件．
标准方程
一般方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F＞0)
圆心在 x 轴上
(x－a)2＋y2＝r2
x2＋y2＋Dx＋F＝0
[跟进训练] 1．下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径． (1)2x2＋y2－7y＋5＝0； (2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0； (3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0； (4)2x2＋2y2－5x＝0.
[解] (1)∵方程 2x2＋y2－7y＋5＝0 中 x2 与 y2 的系数不相同， ∴它不能表示圆． (2)∵方程 x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0 中含有 xy 这样的项． ∴它不能表示圆． (3)方程 x2＋y2－2x－4y＋10＝0 化为(x－1)2＋(y－2)2＝－5， ∴它不能表示圆． (4)方程 2x2＋2y2－5x＝0 化为x－542＋y2＝542， ∴它表示以54，0为圆心，54为半径的圆．
高中数学必修二导学案-圆的一般方程
4. 1.2 圆的一般方程【教学目标】１．使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．２．使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，培养学生用配方法和待定系数法解决实际问题的能力．３．通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和基本方法打下牢固的基础．【教学重难点】教学重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．教学难点：圆的一般方程的特点．【教学过程】（一）情景导入、展示目标前面，我们已讨论了圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，现将展开可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0．可见，任何一个圆的方程都可以写成x2+y2+Dx+Ey+F=0．请大家思考一下：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆？下面我们来深入研究这一方面的问题．复习引出课题为“圆的一般方程”．（二）检查预习、交流展示1.写出圆的标准方程.2.写出圆的标准方程中的圆心与半径.（三）合作探究、精讲精练探究一：圆的一般方程的定义1．分析方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0左边配方得：(1)(1)当D2+E2-4F＞0时，方程(1)与标准方程比较，可以看出方程半径的圆；(3)当D2+E2-4F＜0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有实数解，因而它不表示任何图形．这时，教师引导学生小结方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的轨迹分别是圆、法．2．引出圆的一般方程的定义当D2+E2-4F＞0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程．探究二：圆的一般方程的特点请同学们分析下列问题：问题：比较二元二次方程的一般形式Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0．(2)与圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，(D2+E2-4F＞0)．(3)的系数可得出什么结论？启发学生归纳结论．当二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0具有条件：(1)x2和y2的系数相同，不等于零，即A=C≠0；(2)没有xy项，即B=0；(3)D2+E2-4AF＞0．它才表示圆．条件(3)通过将方程同除以A或C配方不难得出．强调指出：(1)条件(1)、(2)是二元二次方程(2)表示圆的必要条件，但不是充分条件；(2)条件(1)、(2)和(3)合起来是二元二次方程(2)表示圆的充要条件．例1 求下列圆的半径和圆心坐标：(1)x 2+y 2-8x+6y=0， (2)x 2+y 2+2by=0．解析：先配方，将方程化为标准形式，再求圆心和半径．解：(1)圆心为(4，-3)，半径为5；(2)圆心为(0，-b)，半径为|b|，注意半径不为b ． 点拨：由圆的一般方程求圆心坐标和半径，一般用配方法，这要熟练掌握． 变式训练１：１．方程x 2＋y 2＋2kx ＋4y ＋3k ＋8=0表示圆的充要条件是（ ） Ａ．k ＞4或者k ＜－1 Ｂ．－1＜k ＜4 Ｃ．k =4或者k =－1 Ｄ．以上答案都不对２．圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F =0与x 轴切于原点，则有（ ） Ａ．F =0，DE ≠0 Ｂ．E 2＋F 2=0，D ≠0 Ｃ．D 2＋F 2=0，E ≠0 Ｄ．D 2＋E 2=0，F ≠0 答案：１．Ａ ２．Ｃ例2 求过三点O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)的圆的方程．解析：已知圆上的三点坐标，可设圆的一般方程，用待定系数法求圆的方程． 解：设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，由O 、A 、B 在圆上，则有解得：D=-8，E=6，F=0， 故所求圆的方程为x 2+y 2-8x+6=0． 点拨：1．用待定系数法求圆的方程的步骤： (1)根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式； (2)根据条件列出关于a 、b 、r 或D 、E 、F 的方程；(3)解方程组，求出a 、b 、r 或D 、E 、F 的值，代入所设方程，就得要求的方程． 2．关于何时设圆的标准方程，何时设圆的一般方程：一般说来，如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系，往往设圆的一般方程．变式训练２： 求圆心在直线 l ：x+y=0上，且过两圆C 1∶x 2+y 2-2x+10y-24=0和C 2∶x 2+y 2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程．解：解方程组⎩⎨⎧=+++=++08-2y 2x y x 024-10y 2x -y x 2222，得两圆交点为（－４，０），（０，２）．设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2，因为两点在所求圆上，且圆心在直线l 上所以得方程组为⎪⎩⎪⎨⎧--ａ＋ｂ＝０＝ｒ＋（２－ｂ）ａ＝ｒ＋ｂａ２２２２２2)4( 解得ａ＝－３，ｂ＝３，ｒ＝10． 故所求圆的方程为：(x+3)2+(y-3)2=10． （四）反馈测试 导学案当堂检测（五）总结反思、共同提高1．圆的一般方程的定义及特点； 2．用配方法求出圆的圆心坐标和半径； 3．用待定系数法，导出圆的方程． 【板书设计】一：圆的一般方程的定义1．分析方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹 2．圆的一般方程的定义 二：圆的一般方程的特点 (1) (2) (3) 例1 变式训练１： 例2 变式训练２： 【作业布置】 导学案课后练习与提高4. 1. 2 圆的一般方程课前预习学案一．预习目标回顾圆的标准方程，了解用圆的一般方程及其特点．二．预习内容１．圆的标准方程形式是什么？圆心和半径呢？２．圆的一般方程形式是什么？圆心和半径呢？３．圆的方程的求法有哪些？三．提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中课内探究学案一．学习目标１．掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．２．掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，培养用配方法和待定系数法解决实际问题的能力．３．通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和基本方法打下牢固的基础．学习重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．学习难点：圆的一般方程的特点．二．学习过程前面，我们已讨论了圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，现将展开可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0．可见，任何一个圆的方程都可以写成x2+y2+Dx+E y+F=0．请大家思考一下：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆？下面我们来深入研究这一方面的问题．复习引出课题为“圆的一般方程”．探究一：圆的一般方程的定义1．分析方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹2．引出圆的一般方程的定义探究二：圆的一般方程的特点请同学们分析下列问题：问题：比较二元二次方程的一般形式Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0．（２）与圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，(D2+E2-4F＞0)．（３）的系数可得出什么结论？例1 求下列圆的半径和圆心坐标：(1)x2+y2-8x+6y=0，(2)x2+y2+2by=0．变式训练１：１．方程x2＋y2＋2kx＋4y＋3k＋8=0表示圆的充要条件是（）Ａ．k＞4或者k＜－1 Ｂ．－1＜k＜4Ｃ．k=4或者k=－1 Ｄ．以上答案都不对２．圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0与x轴切于原点，则有（）Ａ．F=0，DE≠0 Ｂ．E2＋F2=0，D≠0Ｃ．D2＋F2=0，E≠0 Ｄ．D2＋E2=0，F≠0例2 求过三点O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)的圆的方程．变式训练２：求圆心在直线l：x+y=0上，且过两圆C1∶x2+y2-2x+10y-24=0和C2∶x2+y2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程．三．反思总结四．当堂检测 １．方程342-+-=x x y 表示的曲线是（ ）Ａ．在x 轴上方的圆 Ｂ．在y 轴右方的圆 Ｃ．x 轴下方的半圆 Ｄ．x 轴上方的半圆２．以（0，0）、（6，－8）为直径端点的圆的方程是 . ３．求经过两圆x 2+y 2+6x-4=0和x 2+y 2+6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程．参考答案：１．Ｄ ２．x 2+y 2-６x+８y=0 ３．x 2+y 2-x+7y-32=0 课后练习与提高１．方程x 2＋y 2－2(m ＋3)x ＋2(1－4m 2)y ＋16m 4+9=0表示圆，则实数m 的取值范围是（ ）Ａ．－71＜m ＜1 Ｂ．－1＜m ＜71Ｃ．m ＜－71或m ＞1 Ｄ．m ＜－1或m ＞71２．方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F =0（D 2＋E 2－4F ＞0）表示的曲线关于直线x ＋y =0对称，则有（ ）Ａ．D ＋E =0 Ｂ．D ＋F =0 Ｃ．E ＋F =0 Ｄ．D ＋E ＋F =0 ３．经过三点A (0，0)、B (1，0)、C (2，1)的圆的方程为（ ）Ａ．x 2＋y 2＋x －3y －2=0 Ｂ． x 2＋y 2＋3x ＋y －2=0 Ｃ． x 2＋y 2＋x ＋3y =0 Ｄ． x 2＋y 2－x －3y =0４．方程220x y x y k +-++=表示一个圆，则实数k 的取值范围是 . ５．过点A （－2，0），圆心在（3，－2）的圆的一般方程为 . ６．等腰三角形的顶点是A(4，2)，底边一个端点是B(3，5)，求另一个端点的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．。
人教版必修二数学4.1.2圆的一般方程优秀课件
(4)2x2+2y2+2ax-2ay=0(a≠0)可化为 (x + a )2 + (y- a )2 = a2 ，表
2
22
示以 (- a , a ) 为圆心， 2 a 为半径的圆.
22
2
知识点2 坐标法求动点的轨迹 1.求轨迹方程的一般步骤 (1)建系:建立适当的直角坐标系. (2)设点:用(x,y)表示轨迹(曲线)上任意一点M的坐标. (3)列式:列出关于x,y的方程. (4)化简:把方程化为最简形式. (5)证明:证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
【误区警示】本题易出现误认为在x轴,y轴上的截距必须是正 值,从而将x轴上的截距和认为是|D|,y轴上的截距和认为是|E| 的错误.
【补偿训练】若经过A(5,0),B(-1,0),C(-3,3)三点的圆为⊙M， 且点D(m,3)在⊙M上，求m的值.
【解析】设过A(5,0),B(-1,0),C(-3,3)的圆的一般方程为
【自主解答】(1)设M(x,y),由已知圆心A(2,-1),则点P(2x-2, 2y+1),将P代入圆的方程得:(2x-2)2+(2y+1)2-4(2x-2)+2(2y+1) -11=0, 即为:x2+y2-4x+2y+1=0. 答案:x2+y2-4x+2y+1=0
(2)设所求轨迹上任一点M(x,y),圆的方程可化为(x-3)2+(y-
【即时练】
1.圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标为 ( )
A.(-2,-3)
B.(2,-3)
C.(2,3)
D.(-2,3)
2.判断下列二元二次方程是否表示圆的方程?如果是,求出圆的 圆心坐标及半径长,并化为标准方程. (1)4x2+4y2-4x+12y+9=0. (2)4x2+4y2-4x+12y+11=0. (3)x2+y2+2ax+a2=0(a≠0). (4)2x2+2y2+2ax-2ay=0(a≠0).
4.1.2圆的一般方程 PPT课件
2
2
4
(D2 E2 4F 0)
圆心: ( D , E )
22
半径: 1 D2 E2 4F
2
圆的一般方程：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2+E2-4F>0)
圆的一般方程与标准方程的关系：
（1）a=-D/2，b=-E/2，r= 1 D2 E 2 4F 2
（2）标准方程易于看出圆心与半径 一般方程突出形式上的特点： ①x2与y2系数相同并且不等于0； ②没有xy这样的二次项
心坐标和半径时,一般用圆的标准方程比较方便;否则,用圆的一般方程较好,
特别是当给出圆上的三点坐标时,用一般方程可以得到关于 D,E,F 的三元一 次方程组,这比用圆的标准方程简便得多,如本题.
三、新知建构，交流展示
题型三
求轨迹方程
【例 3】 等腰三角形的顶点是 A(4,2),底边一个端点是 B(3,5),求另一个端 点 C 的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么. 解:设另一端点 C 的坐标为(x,y).
三、新知建构，交流展示
2 .典例分析：
题型一 圆的一般方程的概念辨析 题型二 求圆的一般方程 题型三 求轨迹方程
三、新知建构，交流展示
题型一
圆的一般方程的概念辨析
【例 1】 判断方程 x2+y2-4mx+2my+20m-20=0 能否表示圆,若能表示圆,求出 圆心和半径. 解法一:由方程 x2+y2-4mx+2my+20m-20=0,
x2+y2-8x+6y=0 即（x-4）2+（y+3）2=25
三、新知建构，交流展示
求圆方程的步骤: (待定系数法) 1.根据题意,选择标准方程或一般方程. 若已知条件与圆心或半径有关,通常设为 标准方程;
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a)2＝a2. 当a＝0时，该方程表示的图形为一个点(0,0)． a 3 当a≠0时，该方程表示的图形为圆，圆心为(－2， 2 a)， 半径长为|a|.
第四章
4.1
4.1.2
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[点评]
对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，
可以通过配方变形为“标准”形式，然后观察等号右边是否 大于零，若大于零，则表示圆；若不大于零，则不表示圆； 也可以由圆的一般方程的定义判断D2＋E2－4F是否大于0，确 定它是否表示圆.
第四章
4.1
4.1.2
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解法2：线段AB的中垂线方程为x＝1，线段AC的中垂线 方程为x＋y＝0
x＝1 由 x＋y＝0
得圆心坐标为M(1，－1)，
半径r＝|MA|＝ 5， ∴圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
第四章
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第四章
4.1
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[解析]
x2＋y2＝9.
(2)(x－32)＋(y－4)2＝25. (3)因为圆的半径 r＝|CP|＝ 5－82＋1＋32＝5， 圆心在点(8，－3)，所以圆的方程是(x－8)2＋(y＋3)2＝25.
第四章
4.1
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2．用待定系数法求圆的标准方程步骤如下： (1)由题意设出标准方程；(2)列出关于a、b、r的方程(或 方程组)；(3)解出a、b、r代入标准方程．
第四章
4.1
4.1.2
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3．由几何意义求圆的标准方程步骤如下： (1)由题意确定圆心和半径长；(2)写出标准方程．
新课引入
我们的祖先很早就发明了建桥技术，现存最早的拱桥是 由著名工匠李春设计建造于1 400年前，横跨在我国河北赵县 的河上的赵州桥．赵州桥又名安济桥，全长50多米，拱圆净 跨37多米，是一座单孔坦拱式桥梁，你能根据拱圆求出拱圆 所在的圆的方程吗？
第四章 4.1 4.1.2
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总结评述：1.第(1)题中，容易发现，利用圆的性质的解 法3比用待定系数法的解法1和解法2计算量小，充分利用圆的 性质可简化解题过程． 2．用待定系数法求圆的方程时，①如果由已知条件容易 求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问 题，一般采用圆的标准方程，求出a、b、r即可．②如果给出 圆上三个点坐标或已知条件与圆心或半径都无直接关系，一 般采用一般方程，求出D、E、F即可．
圆x2＋y2－4x－1＝0的圆心坐标及半径分别为( A．(2,0)，5 C．(0,2)， 5 B．(2,0)， 5 D．(2,2)，5
)
[答案] B
第四章
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4.1.2
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[解析]
(x－2)2＋y2＝5，圆心坐标为(2,0)，半径为 5.
第四章
4.1
4.1.2
自主预习 阅读教材P121～123，回答下列问题． 1．圆的一般方程 (1)方程：当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝ D E C(－ ，－ ) 0叫做圆的一般方程，其中圆心为______________，半径为r＝ 2 2 1 2 D ＋E2－4F __________________. 2 (2)说明：方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不一定表示圆．当且 仅当_____________时，表示圆：当D2＋E2－4F＝0时，表示 D2＋E2－4F>0 D E (－ 2 ，－ 2 ) 一个点___________；当D2＋E2－4F<0时，不表示任何图形．
第四章 4.1 4.1.2
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下列方程各表示什么图形： (1)x2＋y2－4x－2y＋5＝0； (2)x2＋y2－2x＋4y－4＝0； (3)x2＋y2＋ax－ 3ay＝0.
第四章
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[解析]
(1)对方程x2＋y2－4x－2y＋5＝0配方，得(x－2)2
∴圆的方程为x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.
第四章
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解法2：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则 2－a2＋－3－b2＝r2， －2－a2＋－5－b2＝r2， a－2b－3＝0. a＝－1， ⇒b＝－2， r2＝10.
∴圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
第四章
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解法3：线段AB中垂线的方程为2x＋y＋4＝0，它与直线x －2y－3＝0的交点(－1，－2)为圆心，由两点间距离得r2＝ 10， ∴圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
第四章
4.1
第四章
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[破疑点]若一个二元方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆，应满足的条件是：①A＝C≠0；②B＝0；③D2＋E2－ 4F>0. [拓展]1.圆的标准方程和一般方程的对比 (1)由圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，可以直接看出圆 心坐标(a，b)和半径r，圆的几何特征明显．
第四章
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(3)用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤：
标准方程或一般方程 ①根据题意，选择________________________；
方程组 ②根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的________；
③解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程．
2 2
5 5 示以(4，0)为圆心，4为半径的圆．
第四章 4.1 4.1.2
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规律总结：(1)判断一个二元二次方程是否表示圆的步 骤是：先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，即①x2与 y2的系数相等；②不含xy项；当它具有圆的一般方程的特征 时，再看它能否表示圆，此时有两种途径，一是看D2＋E2－ 4F是否大于零，二是直接配方变形，看右端是否为大于零的 常数即可． (2)圆的标准方程指出了圆心坐标与半径的大小，几何特 征明显；圆的一般方程表明圆的方程是一种特殊的二元二次 方程，代数特征明显．
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2．轨迹方程
关系式 点M的坐标(x，y)满足的______称为点M的轨迹方程．
[拓展]当动点M的变化是由点P的变化引起的，并且点P在 某一曲线C上运动时，常用中间量法(又称为相关点法)来求动 点M的轨迹方程，其步骤是：(1)设动点M(x，y)；(2)用点M的 坐标来表示点P的坐标；(3)将所得点P的坐标代入曲线C的方 程，即得动点M的轨迹方程．
三点 4．平面几何中的结论：不共线的_____确定一个圆．
5．圆(x－1)2＋(y＋ 3)2＝2的圆心坐标与半径是( A．(1， 3)，2 C．(1，－ 3)， 2
[答案] C
)
B．(－1， 3)， 2 D．(－1，－ 3)，2
第四章
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4.1.2
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6．求满足下列条件的各圆的方程． (1)圆心在原点，半径是3； (2)圆心在点(3,4)，半径是5； (3)经过点P(5,1)，圆心在点C(8，－3)．
即P(2x,2y)．又P是圆x2＋y2＝4上的动点，则(2x)2＋(2y)2＝4， 即动点M的轨迹方程为x2＋y2＝1.
第四章
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思路方法技巧
第四章
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命题方向
判定二元二次方程是否表示圆
[例1] 和半径．
[解析]
(1)∵方程2x2＋y2－7x＋5＝0中x2与y2的系数不相
同，∴它不能表示圆． (2)∵方程x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0中含有xy这样的项，∴它 不能表示圆． (3)∵方程x2＋y2－2x－4y＋10＝0化为(x－1)2＋(y－2)2＝ －5，∴它不能表示圆． 5 2 2 5 2 (4)∵方程2x ＋2y －5x＝0化为(x－ 4 ) ＋y ＝( 4 ) ，∴它表
4.1.2
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(2)解法1：设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(*) 把A、B、C三点坐标代入方程(*)得 1－D＋F＝0， 9＋3D＋F＝0， 1＋E＋F＝0， D＝－2， ∴E＝2， F＝－3.
故所求圆的方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0
也可利用弦的中垂线过圆心，先确定圆心，再求圆的半径．
第四章
4.1
4.1.2
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[解析] 0，则
(1)解法1：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝
4＋－32＋2D＋－3E＋F＝0， －22＋－52＋－2D＋－5E＋F＝0， E D － － 2 －2· 2 －3＝0. D＝2， ∴E＝4， F＝－5.
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第四章
圆的方程
第四章 必修2
第四章
4．1 圆的方程
第四章 圆的方程
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