第1讲 必修1第一章集合的基本含、集合间的基本关系以及基本运算-教师版

教学课题人教版必修1第一章集合的基本含、集合间的基本关系以及基本运算

教学目标知识目标：

（1）掌握集合的表示方法，能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题（2）运用类比的方法，对照实数的相等与不等的关系，探究集合之间的包含与相等关系

（3）能利用Venn图表达集合间的关系；探索直观图示（Venn图）对理解抽象概念的作用

(4)通过探讨集合与集合间的关系，对照数或式的算术运算和代数运算，探究集合之间的运算.

能力目标：

(1)发展运用数学语言的能力，感受集合语言的意义和作用，学习从数学的角度认识世界

(2)初步经历使用最基本的集合语言表示有关数学对象的过程，体会集合语言，发展运用数学语言进行交流的能力

(3)使用最基本的集合语言表示有关的数学对象的过程，体会集合语言，发展运用数学语言进行交流的能力 .

教学重点与难点重点：集合间的基本关系以及基本运算

难点：子集、真子集的判断、空集与非空集合的分类谈论

教学过程

课堂导学

1．集合与元素

(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．

(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或∉表示．

(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．

(4)常见数集的记法

集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集

符号N N*(或N＋)Z Q R 2.集合间的基本关系

关系自然语言符号语言Venn图

子集集合A中所有元素都在集合B中(即若

x∈A，则x∈B)

A⊆B(或B

⊇A)

真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至

少有一个元素不在集合A中

A B(或

B A)

【点评】含字母的两个集合相等，并不意味着按序对应相等，要分类讨论，同时也要考虑集合中的

元素的互异性和无序性。

★★★变式2：集合{|2,}A x x k k Z ==∈，{|21,}B x x k k Z ==+∈，{|41,}C x x k k Z ==+∈，又,a A b B ∈∈，则有（ ） A ．a b A +∈ B ．a b B +∈

C ．a b C +∈

D ．a b +不属于,,A B C 中的任一个

答案：B 解：设Z k k a ∈=11,2，2221,b k k Z =+∈，

∴12122212()1a b k k k k B +=++=++∈。

新知三： 子集、真子集、空集

①如果集合A B ⊆，并且存在元素x B ∈且x A ∉，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作：A B 。

②不含任何元素的集合叫做空集，记作∅，并规定：空集是任何集合的子集。 ★例3：写出集合{1,0,1}-的所有子集，并指出哪些是它的真子集.

解：子集为：∅，{1}-，{0}，{1}，{1,0}-，{1,1}-，{0,1}，{1,0,1}-。

真子集为：∅，{1}-，{0}，{1}，{1,0}-，{1,1}-，{0,1}。

【点评】若有限集A 有n 个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有21n -，非空子集有21n -个，非

空真子集有22n -个。

★★变式3：已知集合{}{}1,21,2,3,4,5P ⊆⊆，那么满足条件的集合P 的个数是（ ）

A ．5

B ．6

C ．7

D ．8

答案：D 解：满足条件的集合P 可为：{}1,2,{}1,2,3,{}1,2,4,{}1,2,5,{}1,2,3,4,{}1,2,3,5,

{}1,2,4,5,{}1,2,3,4,5，共8个。

★★例4：已知集合{13}A x x =-≤≤，2{,}B y y x x A ==∈，{2,}C y y x a x A ==+∈，若满足C B ⊆，求

实数a 的取值范围。

解：2{,}{09}B y y x x A y y ==∈=≤≤，

{2,}{26}C y y x a x A y a y a ==+∈=-+≤≤， ∵C B ⊆，∴20

2369a a a -⎧⇒⎨

+⎩

≥≤≤≤。 ★变式4：集合{}1,2,3,4A =，2{0}B x N x a =∈-=，若满足B A ⊆，求实数a 的值组成的集合。

答案：{}1,4,9,16

★★例5：已知集合A ={|25}x x -<≤，{|121}B x m x m =+-≤≤且B A ⊆，求实数m 的取值范围。

解：∵B A ⊆

（1）当B =∅时，则121m m +>-，解得2m <。

（2）当B ≠∅时，则12121512m m m m +-⎧⎪

- ⎨⎪+>-⎩

≤≤，解得23m ≤≤。

综上所述，实数m 的取值范围是m ≤3。

【点评】当出现“A B ⊆”这一关系时，首先是讨论A 有没有可能为空集，因为A =∅ 时满足

A B ⊆。

★★★(2015·湖北)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则A B 中元素的个数为()

A．77 B．49 C．45 D．30

答案 C

解析如图，集合A表示如图所示的所有圆点“”，集合B表示

如图所示的所有圆点“”＋所有圆点

“”，集合A B显然是集合{(x，y)||x|≤3，|y|≤3，x，y∈Z}中除去四个点{(－3，－3)，(－3,3)，(3，－3)，(3,3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点)，即集合A

B表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点