备战2017高考黄金100题解读与扩展系列之三角函数：6 求解三角函数问题常用的数学思想 含解析
备战2017高考黄金100题解读与扩展系列之三角函数：3 诱导公式及其应用 含解析
I ．题源探究·黄金母题 【例1】化简：()()()()()11sin 2cos cos cos 229cos sin 3sin sin 2πππαπαααππαπαπαα⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫----+ ⎪⎝⎭．【解析】原式()()()()()()sin cos sin cos 52cos sin sin sin 42παααπαπαπαπαπα⎡⎤⎛⎫---+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=⎡⎤⎛⎫---+++⎡⎤ ⎪⎣⎦⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ()()2sin cos cos 2cos sin sin sin 2sin tan .cos παααπααααααα⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=⎛⎫---+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭=-=- 精彩解读【试题来源】人教版A 版必修4第27页例4． 【母题评析】本题考查了本题考查了诱导公式．【思路方法】利用口诀熟记诱导公式：符号看象限，奇变偶不变．II ．考场精彩·真题回放【例2】【2016高考上海理数】设[)π2,0,,∈∈c R b a ，若对任意实数x 都有()c bx a x +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-sin 33sin 2π，则满足条件的有序实数组()c b a ,,的组数为 ． 【答案】4 【解析】 试题分析：()2sin 3s 2,3in ,3x a bx a b c π⎛⎫-=+∴ ⎪⎝⎭=±=±．当,a b 确定时，c 唯一． 若2a =，3b =，则5π3c =；若2a =，3b =-，则4π3c =； 若2a =-，3b =-，则π3c =；若2a =-，3b =，则【命题意图】本题主要考查三角函数的诱导公式；三角函数的图象和性质．本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等． 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏易，考查基础知识的识记与理解．【难点中心】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，首先确定得到,a b 的可能取值，利用分类讨论的方法，进一步得到c 的值，从而根据具体的组合情况，使问题得解．本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等．2π3c =； 故有4种组合．【例3】【2015新课标全国I 卷】sin20cos10cos160sin10︒︒-︒︒=（ ） A．2-B．2 C ．12- D ．12【答案】D ． 【解析】 原()sin 20cos10cos20sin10sin 2010=︒︒+︒︒=︒+︒=．【命题意图】本题考查三角函数诱导公式、两角和与差的三角函数公式．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度较小，考查考生的基础知识的识记、基本计算能力．【难点中心】解决问题的关键是观察20︒与160︒之间的联系，会用诱导公式将不同角化为同角． III ．理论基础·解题原理 三角函数的诱导公式：()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：符号看象限，函数名称不变．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭；()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．口诀：符号看象限，正弦与余弦互换． IV ．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，一般难度较小，往往考查对基础知识的识记与理解． 【技能方法】（1）必须牢记特殊角的三角函数值，做到“见角知值，见值知角”；（2）求解三角函数值的关键是先观察角，后看函数名．一般顺序：负化正，大化小，小化锐角再计算． 【易错指导】（1）利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负号——脱周期——化锐角．特别注意函数名称和符号的确定． （2）在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． （3）注意求值与化简后的结果尽可能有理化、整式化．V ．举一反三·触类旁通考向1 利用诱导公式化简、求值【例4】【2016届湖北省黄冈中学高三5月一模理科数】设,(0,)2παβ∈，且1t a n t a n c o s αββ-=，则（ ） A ．32παβ+= B ．22παβ+=C ．32παβ-=D ．22παβ-=【答案】D【例5】【2015-2016学年甘省天水一中高一下期末理科数学】已知3tan()4απ-=，且3(,)22ππα∈，则s i2πα+=（ ） A 、45 B 、45- C 、35 D 、35-【答案】A【解析】因为3tan()4απ-=，所以3sin tan 4cos ααα== ，又由22sin cos 1αα+= 可得4cos 5α=±，又因为3(,)22ππα∈，所以4cos 5α=-，sin()2πα+=4cos 5α-=故选A ．【例6】【2015-2016学年湖南衡阳一中高一下期末数学】已知sin 2cos θθ=，则s i n ()c o s ()2s i n ()s i n ()2πθπθπθπθ+-+=---（ ）A ．2B ．2-C ．0D ． 23【答案】B【解析】因sin()cos()2sin()sin()2πθπθπθπθ+-+=---cos cos 2cos 2cos sin cos 2cos θθθθθθθ+==--- ，故应选B ． 【例7】【2016届河北省衡水中学高三下六调文科数学】已知cos ,,,2k k R πααπ⎛⎫=∈∈ ⎪⎝⎭，则()sin πα+=（ ）A．C． D ．k - 【答案】A 【解析】由于cos ,,,2k k R πααπ⎛⎫=∈∈ ⎪⎝⎭，因此()sin πα+=221cos 1sin k --=--=-αα，应选A ．【例8】【2016届安徽省淮南市高三下学期二模文科数学】已知sin()2sin()2ππαα-=-+，则tan α的值为（ ） A ．12 B ． 2 C ．12- D ．-2 【答案】D【解析】由题意得，sin()2sin()sin 2cos 2ππαααα-=-+⇒=-，所以tan 2α=-，故选D ．【例9】【2016届湖北省龙泉中学等校高三9月联考文科数学】若sin()cos(2)1sin cos()2πθθπθπθ-+-=++，则t θ=（ ）A ．1B ．1-C ．3D ．3- 【答案】D【解析】利用三角函数的诱导公式可知21cos sin cos sin )cos(sin )2cos()sin(=-+=++-+-θθθθθπθπθθπ，显然0cos ≠θ，所以有211tan 1tan =-+θθ，可求得3tan -=θ，故正确选项为D ．【例10】已知sin()4πα-=-，sin 20α>，则tan α=________．【解析】sin()sin παα-==，sin 22sin 0,cos 0cos αααα=><，3cos 4α==-，sin tan cos 3ααα==． 【例11】若点()cos ,sin P αα在直线2y x =-上，则3cos 2πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值等于________． 【答案】552±【解析】 点)sin ,(cos ααP 在直线x y 2-=上，ααc o s 2s i n -=∴，又απαs i n )23c o s (=+∴，当点P 在第二象限时，1cos sin 22=+αα，即1s i n 41s i n 22=+αα，得552s in =α；当点P 在第四象限时，1c os sin 22=+αα，即1sin 41sin 22=+αα，得552sin -=α；故答案为552±．【例12】【2016届浙江省杭州高中高三上学期月考三理科数学】已知倾斜角为α的直线l 与直线230x y +-=垂直，则2015cos 22πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为 ．【答案】45-【例13】【2016届辽宁省实验中学分校高三上学期期中文科数学】已知(,)62ππα∈，且1sin()63πα-=，则=αsin _____，cos()3πα+=_____． 【答案】6223+，31-【解析】根据(,)62ππα∈，可以求得cos()6πα-=，从而有sin sin[()]sin()cos cos()sin666666ππππππαααα=-+=-+-1132==； 1cos()cos[()]sin()36263ππππααα+=-+=--=-．【例14】若3sin()25πθ+=，则cos2θ＝________．【答案】725-【解析】因为3sin()cos 25πθθ+==，所以27cos 22cos 125θθ=-=-．【例15】【2016届北京市海淀区高三上学期期中考试文科数学】若点)sin ,(cos ααP 在直线x y 2-=上，则)232cos(πα+的值等于 ．【答案】54-【解析】由题意得：tan 2α=-，)232cos(πα+2222sin cos 2tan 44sin 2.sin cos tan 1415ααααααα-=====+++ 【例16】若角α的终边过点（1，-2），则cos()2πα+=_____．【答案】5【解析】角α的终边过点(1,2)-，由三角函数的定义得sin α=，由诱导公式得cos()sin 2παα+=-=． 考向2 诱导公式的综合应用【例17】【2016届陕西省西安市铁一中学高三下学期开学考试文科数学】若3sin()5πα+=，α是第三象限的角，则si n c o s 22sin cos22παπαπαπα++-=--- （ ） A ．12 B ．12- C ．2 D ．2- 【答案】B【解析】()33sin ,sin 55παα+=∴=-，又α是第三象限角，4cos 5α∴==-，则si n c 22sin cos22παπαπαπα++----c o s s22cos sin 22αααα+=-222cos sin 1sin 22cos cos sin 22αααααα⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==- 3115425-==--，故选B ． 【例18】【2016高考上海文科】设a ÎR ，[0,2π]b Î．若对任意实数x 都有πsin(3)=sin()3x ax b -+，则满足 条件的有序实数对(),a b 的对数为 （ ）(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 【答案】B【解析】5sin(3)sin(32)sin(3)333πππx x πx -=-+=+，5(,)(3,)3πa b =，又4sin(3)sin[(3)]sin(3)333πππx πx x -=--=-+，4(,)(3,)3πa b =-，注意到[0,2)b π∈，只有这两组．故选B ．【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，利用分类讨论的方法，确定得到,a b 的可能取值．本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等．【例19】【2016届河南省豫北重点中学高三下第二次联考文科数学】已知,02πα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，且 cos 2sin 2παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则tan 2α等于______．【答案】3-【解析】因为cos 2sin 2παα⎛⎫=-⎪⎝⎭，所以，22coscos 10αα+-=，解得1cos 2α=，而,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，得3πα=-，故tan tan 26απ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故答案为3-．【例20】【2016届黑龙江省牡丹江市一中高三上学期期末文科数学】函数)23sin()2(sin 223)2sin()2(sin 2cos 2)(223x x x x x x f --++-++-+=ππππ，则)3(πf = ．【答案】41-【解析】()x x x x x x f cos cos 223cos sin 2cos 2223++-++=，413432121223212322123223-=-=+⎪⎭⎫⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛πf 【例21】已知3110,tan 4tan 3παπαα<<+=-． （1）求tan α的值； （2）求)sin(4)2sin()2cos(4)sin()(ααπαπαπα----++=g 的值．【答案】（1）1tan 3α=-；（2）13-．【例22】已知sin()cos(2)tan()()tan()sin()f παπααπααππα---+=-----．（1）化简()f α；（2）若α是第三象限角，且31cos()25πα-=，求()f α的值． 【答案】（1）αcos -；（2）562． 【解析】 试题分析：（1）()fα利用诱导公式化简，再利用同角三角函数间基本关系变形，即可得到结果；（2）已知等式左边利用诱导公式化简求出αsin 的值，再利用同角三角函数基本关系求出αcos 的值，即可确定出()αf 的值．试题解析：（1）sin()cos(2)tan()()tan()sin()f παπααπααππα---+=-----()ααααααcos sin tan tan cos sin -=⋅-⋅=；（2））∵α为第三象限角，且31cos()25πα-=，∴51s i n -=α，∴562s i n 1c o s 2-=--=αα，则()562cos =-=ααf ．【例23】已知)3tan()2cos()2sin()cos()2cos()sin()(απαπαπαππααπα++++--=f（1）化简()f α．（2）若α是第三象限角， 且31)sin(=+απ，求()f α的值． 【答案】（1）()cos f αα=（2）3-【解析】试题分析：（1）由三角函数诱导公式可求解()f α；（2）由1sin()3πα+=可得sin α，进而求得cos α得到()fα的值试题解析：（1）ααααααααcos tan )sin (cos )cos (sin sin )(=--=f ．（2）由31)sin(=+απ得31sin -=α，又已知α是第三象限角，.322)31(1cos )(2-=--==∴ααf【例24】已知()()()3cos cos 2sin 223sin sin 2f αααααα⎛⎫⎛⎫+⋅-⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫--+ ⎪⎝⎭πππππ． （1）化简()fα；（2）若α是第三象限角，且31cos 25α⎛⎫-=⎪⎝⎭π，求()f α的值． 【答案】（1）()cos f αα=-；（2）． 【解析】试题分析：（1）由题为三角函数的化简问题，可运用诱导公式进行变形化简；注意口诀（奇变偶不变，符号看象限）的准确运用；（2）由（1）化简已得，化简条件可得：运用诱导公式的正弦，求余弦可运用同角三角函数的平方关系，注意角的终边所在的象限决定角的正负．试题解析：（1）()()()3cos cos 2sin sin cos cos 22cos 3sin cos sin sin 2f αααααααααααα⎛⎫⎛⎫+⋅-⋅-+ ⎪ ⎪-⋅⋅-⎝⎭⎝⎭===--⎛⎫--+ ⎪⎝⎭πππ（）ππ； （2）31cos 25α⎛⎫-=⎪⎝⎭π得：1s i n 5α=-，又若α是第三象限角，则：cos α==， 所 以()cos f αα=-= 【例25】化简： （1）sin 260cos800+．()sin80cos80sin cos tan 22a a a ππ-+-⋅-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）+()13sin cos tan 22a a a πππ⎛⎫⎛⎫-⋅-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】（1）1-；（2）1-．【解析】（1）利用诱导公式化简已知条件，求解即可；（2）利用二倍角公式以及以下条件诱导公式化简求解即可． 试题解析：（1）原式=sin80cos80-+sin80cos80-+====﹣1．（2）∵tan （﹣α）=﹣tan α，sin （﹣α）=cos α，cos （α﹣π）=cos （π﹣α）=﹣sin α，tan（π+α）=tan α，∴原式=+()1cos sin tan a a a⋅-⋅=+==﹣=﹣1．。
备战2017高考黄金100题解读与扩展系列之三角函数：2 同角三角函数基本关系式 含解析
I ．题源探究·黄金母题 【例1】已知3sin 5α=-，求cos ,tan αα的值． 【解析】sin 0,sin 1,ααα<≠-∴Q 是第三或第四象限角．由22sin cos 1αα+=得222316cos 1sin 1525αα⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭．若α是第三象限角，则cos 0α<，于是164cos 255α==-，从而sin 353tan cos 544ααα⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；若α是第四象限角，则43cos ,tan 54αα==-． 精彩解读【试题来源】人教版A 版必修4第19页例6．【母题评析】同角三角函数基本关系式．【思路方法】解决问题的关键是熟记同角三角函数基本关系式．II ．考场精彩·真题回放【例2】【2016新课标全国II 卷】若π3cos 45⎛⎫-= ⎪⎝⎭α，则sin2=α （A ）725 （B ）15（C ）15-（D ）725-（ ） 【答案】D ．【解析】解法1：由已知得)23cos cos cos sin sin sin cos ,44425πππααααα⎛⎫-=+=+= ⎪⎝⎭()23218sin cos sin cos ,525αααα∴+=∴+=1871sin 2,sin 22525αα∴+=∴=-． 解法2：23ππ7cos ,sin2cos 22cos 1452425παααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=∴=-=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Q ，故选D ．【命题意图】本题主要考查两角差的三角函数公式，倍角公式以及同角三角函数基本关系式．本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏易，考查基础知识的识记与理解．【难点中心】解答此类问题的关键在于熟记有关公式．三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示：（1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差；（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余互补”关系．III ．理论基础·解题原理 （1）商数关系：sin tan cos ααα=；（2）平方关系：22sin cos 1αα+=． 说明：①注意“同角”，至于角的形式无关重要，如22sin 4cos 41αα+=等； ②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的；③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：cos α=22sin 1cos αα=-，sin cos tan ααα=等． IV ．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，一般难度较小，往往考查对基础知识的识记与理解．若为新定义题，则难度加大． 【技能方法】（1）求解此类问题的关键是：通过平方关系明确sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+-⋅之间的联系．若令sin cos t αα+=，则21sin cos ,sin cos 2t αααα-=-=据的α范围选取正、负号），这种关系在三角函数式的化简、求值、证明中十分有用． （2）利用22sincos 1αα+=可以实现角α的正弦、余弦的互化；利用sin tan cos ααα=可以实现角α的弦切互化．（3）注意公式逆用及变形应用：2222221sin cos ,sin 1cos ,cos 1sin αααααα=+=-=-．【易错指导】（1）“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是代表“任意”一个使三角函数有意义的角．“同角”的概念与角的表达式无关，如：22sin2sin 3cos 31,tan 2cos 2ααααα+==．（2）由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，由于利用“平方关系”公式求平方根会出现两解，所以需根据角的终边所在的象限判断符号，当角的终边所在的象限不明确时，要进行分类讨论．V ．举一反三·触类旁通考向1 利用同角三角函数的关系式化简、求值【例3】【2015-2016福建师大附中高一下期中考数学】已知sin 3cos 53cos sin αααα+=-，则2sin sin cos ααα-的值是（ ）A ．25B ．2-5C ．-2D ．2 【答案】A 【解析】由已知sin 3cos 53cos sin αααα+=-可得2tan =α，故2sin sin cos ααα-52tan 1tan tan 22=+-=ααα．应选A ． 【例4】【2015-2016学年甘省天水一中高一下期末理科数学试卷】已知3tan()4απ-=，且3(,)22ππα∈，则sin()2πα+=（ ） A 、45 B 、45- C 、35 D 、35- 【答案】A【解析】因为3tan()4απ-=，所以3sin tan 4cos ααα== ，又由22sin cos 1αα+= 可得4cos 5α=±，又因为3(,)22ππα∈，所以4cos 5α=-，sin()2πα+=4cos 5α-=故选A ．【例5】【2015-2016学年湖北沙市中学高一下第五次半月考】已知[0,2),cos 3sin 10απαα∈+=，则tan α=（ ）A ． -3B ． 3或13C ． 3D ． 13【答案】C【例6】【2016届河北省衡水中学高三下六调文数】已知cos ,,,2k k R πααπ⎛⎫=∈∈⎪⎝⎭，则()sin πα+=A ．21k -- B ．21k - C ．21k ±- D ．k - 【答案】A 【解析】由于cos ,,,2k k R πααπ⎛⎫=∈∈ ⎪⎝⎭，因此()sin πα+=221cos 1sin k --=--=-αα，应选A ．【例7】【2016届宁夏银川二中高三5月适应性训练理科数学】已知α是第四象限角，且3tan α4=-，则sin α=（ ） （A ）35-（B ）35 （C ）45 （D ）45- 【答案】A【解析】222222sin tan 9sin sin cos tan 125αααααα===++，因为α为第四象限角，故3sin 5α=-．【例8】【2016届安徽省安庆市高三第三次模拟考试数学】已知,02πα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，且cos 2sin 2παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则tan 2α等于______．【答案】33-【例9】【2016届河南省豫北重点中学高三下第二次联考文数】已知7sin()πα-=，sin 20α>，则tan α=________．【解析】sin()sin 4παα-==-，sin 22sin 0,cos 0cos αααα=><，3cos 4α==-，sin tan cos 3ααα==． 【例10】【2017届河北省定州中学高三上周练一数学试卷】已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4cos 5α=，则()sin πα-=_____________． 【答案】35【解析】因为α是锐角，所以()3sin sin 5παα-====．【方法点晴】本题主要考查的是三角函数求值和诱导公式的应用，属于容易题．根据诱导公式()sin sin παα-=，所以需求sin α的值．根据同角间的基本关系式：22sin cos 1αα+=，且0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin α=即可求出，再将其代入()3sin sin 5παα-====即得出结果．【例11】【2016届浙江省杭州市学军中学高三5月模拟理科数学】若2sin cos αα-=则sin α= ，tan 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭．【解析】222sin cos 4sin 4sin cos cos 5αααααα-=-+=22sin 4sin cos 4cos 0sin 2cos 0αααααα⇒++=⇒+=，因此sin tan 2ααα===-；21tan 341(2)1πα--⎛⎫-== ⎪+-⨯⎝⎭【例12】【2016新课标全国1卷】已知θ是第四象限角，且sin （θ+π4）=35，则tan （θ–π4）= ． 【答案】43-【解析】由题意得，π3π4sin(),cos(),4545θθ+=+=ππ3sin sin cos cos ,445ππ4cos cos sin sin ,445θθθθ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪-=⎪⎩解得sin ,52cos ,52θθ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪⎩所以1tan 7θ=-，1π1tan tan π474tan().π1431tan tan 1147θθθ----===-+-⨯ 【名师点睛】三角函数求值，若涉及开方运算，要注意根式前正负号的取舍，同时要注意角的灵活变换．【例13】【2015-2016学年黑龙江鹤岗一中高二下期末文科数学试卷】已知α为第三象限角，()3sin()cos()tan()22tan()sin()f ππααπαααπαπ-+-=----． （1）化简()fα；（2）若31cos()25πα-=，求()f α的值． 【答案】（1）αcos -；（2）562．【例14】【2015-2016学年黑龙江鹤岗一中高二下期末理科数学】已知3110,tan 4tan 3παπαα<<+=-． （1）求tan α的值； （2）求)sin(4)2sin()2cos(4)sin()(ααπαπαπα----++=g 的值．【答案】（1）1tan 3α=-；（2）13-．【解析】试题分析：（1）借助题设建立方程求解；（2）借助题设条件和诱导公式及同角关系求解． 试题解析:（1）由110tan tan 3αα+=-得23tan 10tan 30αα++=，即tan 3α=-，或1tan 3α=-，又34παπ<<，1tan 3α=-．（2）sin 4cos tan 4()cos 4sin 14tan x x x g x x x x-+-+===++—13 【例15】【2015-2016学年广东东莞东华高中高一4月月考数学】已知)23sin()sin()23sin()2cos()2cos()(a f +--+--+=παππααπαπα． （1）化简)(αf ；（2）若α是第三象限角，且51)23cos(=-πα，求)(αf 的值． 【答案】（1）()cos f αα=-；（2）()f α= ． 【解析】试题分析：本题考查诱导公式的应用．（1）利用诱导公式把式子中每个函数的角都化为α，就可得结论；（2）首先由诱导公式化简已知33cos()cos()cos()sin 222πππαααα-=-=--=-，即得1sin 5α=-，再用平方关系22sin cos 1αα+=求得cos α（注意在第三象限内cos 0α<），然后可得()f α．试题解析：（1）原式=αααααααπαπαπααcos cos sin cos cos sin )2sin()sin()2sin()cos(sin -=-=++⎥⎦⎤⎢⎣⎡----；（2）由51)23cos(=-πα得51sin =-α，即51sin -=α，因为α是第三象限角，所以 562sin 1cos 2-=--=αα， 所以562cos )(=-=ααf ．【例16】【2015-2016学年湖南师大附中高二下期中理科数学】已知4sin ,052παα=<<，求cos α和sin 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值． 【答案】35．【解析】试题分析：利用三角函数的基本关系式22sincos 1αα+=，即可求解cos α的值，由两角和的正弦公式展开后，代入sin ,cos αα后，即可求解． 试题解析：4sin ,052παα=<<Q ，3cos 5α∴=，sin sin cos cos sin 44410πππααα⎛⎫∴+=+=⎪⎝⎭． 考向2 同角三角函数的关系、诱导公式在三角形中的应用【例17】【2016宝鸡一中】在ABC ∆中，若2tan tan 2tan tan A B A B =++，则cos C = ．【答案】5． 【解析】由已知得()()tan tan 2tan tan 2tan tan tan 2,cos 1tan tan 1tan tan A B A B C A B A B C A B A B π+-=--=-+=-=-=∴=--．考向3 sin cos ,sin cos ,sin cos θθθθθθ+-⋅之间的互化【例18】【2016届安徽省淮北一中高三最后一卷理科数学试卷】已知()1sin cos ,0,2αααπ+=∈，则1tan 1tan αα-=+（ ）A ．7-B ．7C ．3D ．3- 【答案】A【例19】【2016届湖北省武汉市武昌区高三5月调研考试文数】已知()sin cos 2,0,αααπ-=∈，则tan α=（ ）A ．-1B ．1C ．33 【答案】A【解析】因为sin cos 2)24αααπ-=-=，即sin()14απ-=．又sin cos 21αα-=>，所以cos 0α<，所以,2αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以42αππ-=，即4α3π=，所以tan 1α=-，故选A ． 【例20】【2015-2016学年江西玉山一中高一下第一次月考文科数学】已知2sin()cos()()2ππαπααπ--+=<<．求下列各式的值： （1）sin cos αα-；（2）33sin ()cos ()22ππαα-++． 【答案】（1）34；（2）2722-．【解析】试题分析：（1）利用诱导公式将32)cos()sin(=+--απαπ变为32cos sin =+αα，然后将等式两边同时平方结合恒等式得187cos sin -=⋅αα，再求916)cos (sin 2=-αα，结合α的范围得解；（2）诱导公式及立方差公式))((2233b ab a b a b a ++-=-展开得结果． 试题解析：（1）由32)cos()sin(=+--απαπ，得32cos sin =+αα．①将①式两边平方，得92cos sin 21=⋅+αα，故97cos sin 2-=⋅αα，又παπ<<22π，∴0sin >α，0cos <α，sin cos 0αα∴->，916)97(1cos sin 21)cos (sin 2=--=⋅-=-αααα，4sin cos 3αα∴-=．（2）αααπαπ3333sin cos )2(cos )2(sin -=++-224722(cos sin )(cos sin cos sin )()(1)31827αααααα=-++=-⨯-=-．【例21】【2015-2016学年四川省遂宁市高一上学期期末考试数学】已知1sin cos 5αα+=-． (1) 求sin()cos()22+⋅-ππαα的值； (2) 若2παπ<<，求()11sin()cos παπα+--的值．【答案】（1）1225-；（2）3512． 【解析】 试题分析：（1）由已知得2221(sin cos )sin cos 2sin cos =12sin cos =25αααααααα+=+++，所以1112sin()cos()=cos sin =1=2222525⎛⎫+⋅-⋅-- ⎪⎝⎭ππαααα．（2）由已知得，当2παπ<<时，2221249(sin cos )sin cos 2sin cos =1-2sin cos =1-2=2525αααααααα⎛⎫-=+-⨯- ⎪⎝⎭，7sin cos 5αα-=，所以()()1111cos sin 35sin cos sin cos sin cos 12ααπαπααααα-+=-==--．试题解析：解：（1）∵1sin cos 5αα+=-，∴21(sin cos )25αα+=，即112sin cos 25αα+=， ∴12sin()cos()=sin cos 2225+⋅-⋅=-ππαααα． （2）由（1）得，249(sin cos )12sin cos 25αααα-=-=，又2παπ<<，sin cos 0αα∴->， 7sin cos 5αα∴-=，()()1111sin cos sin cos παπααα+=---cos sin 35sin cos 12αααα-==． 【例22】【2015-2016学年山西省怀仁县一中高一上学期期末数学】（1）已知πααα<<=+0,54cos sin ，求ααcos sin -； （2）已知2tan =α，求ααααcos 3sin cos sin 2+-．【答案】（1）5；（2）35． 【解析】试题分析：（1）已知式与待求值式之间的关系是22(sin cos )(sin cos )2αααα++-=，利用它可求值，注意sin α与cos α的大小，即sin cos αα-的正负；（2）对分子分母是关于sin ,cos αα的齐次式可把分子分母同除以cos α，从而把式子化为tan α的分式，再求值．试题解析：（1）∵54cos sin =+αα，∴2516)cos (sin 2=+αα，259cos sin 2-=αα， ∴2534cos sin 21)cos (sin 2=-=-αααα，又∵πα<<0且259cos sin 2-=αα，∴παπ<<2， ∴534cos sin =-αα． （2）53321223tan 1tan 2cos 3sin cos sin 2=+-⨯=+-=+-αααααα． 考点：同角间的三角函数关系．【名师点睛】1．运用同角关系，已知sin cos αα-，sin cos αα+，sin cos αα中一个，可求得其它两个，进而可求得sin α，cos α，tan α．2．关于sin α，cos α的齐次式，不管是等式还是给定条件后的分式，可采用同除cos α化成α的正切函数进行相关运算．在解题过程中有时要注意“1”的代换，即把1用22sin cos αα+代替得齐次式．。
备战2017高考黄金100题解读与扩展系列之三角函数：4 齐次式的应用 Word版含解析
I ．题源探究·黄金母题【例1】已知1tan 3α=-，计算：（1）sin 2cos 5cos sin αααα+-；（2）212sin cos cos ααα+．【解析】（1）1tan ,cos 0,3αα=-∴≠原式分子分母都除以cos α，得原式12tan 25315tan 1653αα-++===-⎛⎫-- ⎪⎝⎭． （2）原式222sin cos 2sin cos cos ααααα+=+，分子分母都除以2cos α，得原式2211tan 110312tan 13213αα⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭===+⎛⎫⨯-+ ⎪⎝⎭． 精彩解读【试题来源】人教版A 版必修4第71页B 组习题第4题．【母题评析】本题主要考查关于sin ,cos αα齐次式的应用．【思路方法】应用“1”的代换及商关系实现弦化切．II ．考场精彩·真题回放【例2】【2016高考新课标3理数】若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B)4825 (C)1(D)1625【答案】A 【解析】由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或【命题意图】本题主要考查关于sin ,cos αα齐次式的应用，考查考生基本计算能力及转化与化归能力等．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，中等偏易．【难点中心】解答此类问题的关键是利用“1”的代换及商关系实现弦化切．34sin ,cos 55αα=-=-，2161264cos 2sin 24252525αα∴+=+⨯=，故选A ．III ．理论基础·解题原理（1）商数关系：sin tan cos ααα=；（2）平方关系：22sin cos 1αα+=． （2）利用22sin cos 1αα+=可以实现角α的正弦、余弦的互化；利用sin tan cos ααα=可以实现角α的弦切互化．（3）注意公式逆用及变形应用：2222221sin cos ,sin 1cos ,cos 1sin αααααα=+=-=-．IV ．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，一般难度较小，往往考查对基础知识的识记与理解，公式的活用．【技能方法】若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次式的值，则可以通过分子分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，这是同角三角函数关系中的一类典型题．【易错指导】这类题经常使用“1”的代换，即221sin cos αα=+，在使用时要注意根据问题的实际情况灵活处理，防止错误的代换． V ．举一反三·触类旁通 考向1 “弦化切”的运用【例3】【2016届宁夏银川二中高三5月适应性训练理科数学】已知α是第四象限角，且3tan α4=-，则sin α=（ ）（A ）35- （B ）35 （C ）45 （D ）45-【答案】A【解析】222222sin tan 9sin sin cos tan 125αααααα===++，因为α为第四象限角，故3sin 5α=-． 【例4】【2015-2016学年湖南衡阳一中高一下期末数学】已知sin 2cos θθ=，则s i n ()c o s ()2s i n ()s i n ()2πθπθπθπθ+-+=---（ ）A ．2B ．2-C ．0D ． 23【答案】B【解析】因sin()cos()2sin()sin()2πθπθπθπθ+-+=---cos cos 2cos 2cos sin cos 2cos θθθθθθθ+==--- ，故应选B ． 【例5】【2015-2016学年河北冀州中学高一下期末理科数学】若()3sin 5πα+=，α是第三象限的角，则sincos22sin cos22παπαπαπα++-=---（ ） A ．12 B ．12- C ．2 D ．-2【答案】B【解析】因为()3sin 5πα+=，α是第三象限的角， 34sin ,cos 55αα∴=-=-， ∴22231sin cos cos sin (cos sin )1sin 152222224cos 2sin cos cos sin cos sin 2222225παπααααααπαπαααααα++--+++=====------．故选B ．【例6】已知tan 3α=，则sin cos αα的值是 ． 【答案】310． 【解析】222sin cos tan 33sin cos sin cos tan 19110αααααααα====+++．【例7】【2016届宁夏银川二中高三三模拟理科数学试卷】已知1cos 21sin cos ααα-=，则tan α的值为 ． 【答案】12． 【解析】21cos 22sin 2tan 1sin cos sin cos ααααααα-===，1tan 2α=． 【例8】【2016届宁夏六盘山高级中学高三第一次模拟考试文科数学】已知tan 2α=，则sin cos sin cos αααα+=-_________．【答案】3【解析】对ααααcos sin cos sin -+的分子分母同时除以αcos ，可将正余弦化简为正切，sin cos sin cos αααα+=-31-2121-tan 1tan =+=+αα．【例9】【2015-2016福建师大附中高一下期中考数学】已知角α的的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则sin cos sin cos αααα+-的值等于 ．【答案】3【解析】由题设可知2tan =α，故sin cos sin cos αααα+-312121tan 1tan =-+=-+=αα．故应填3．【例10】【2016届宁夏银川二中高三三模拟理科数学】已知1cos 21sin cos ααα-=，则tan α的值为 ． 【答案】12【解析】21cos 22sin 2tan 1sin cos sin cos ααααααα-===，1tan 2α=． 【例11】【2016届四川省南充高中高三4月模拟三理科数学】已知3tan 2α=-，α为第二象限角．（1）求3sin()cos()tan()22tan()sin()παπαπααππα--+-----的值； （2+【答案】(1)13132；(2)2．考向2 “‘1’的代换”的运用【例12】【2015-2016福建师大附中高一下期中考】已知s i n 3c o s53c o s s i nαααα+=-，则2sin sin cos ααα-的值是（ ）A ．25 B ．2-5C ．-2D ．2 【答案】A 【解析】由已知sin 3cos 53cos sin αααα+=-可得2t a n =α，故2si ns i n c o sααα-52t a n 1t a n ta n 22=+-=ααα．应选A ． 【例13】【2016届安徽省淮北一中高三最后一卷理科数学】已知()1sin cos ,0,2αααπ+=∈，则1tan 1tan αα-=+（ ）A． BCD． 【答案】A ．【解析】21(sin cos )4αα+=，3sin cos 8αα=-，所以cos 0,sin 0αα<>，27(cos sin )12sin cos 4αααα-=-=，cos sin αα-=，1tan cos sin 211tan cos sin 2αααααα--∴===++A ． 【例14】【2015-2016学年河北省武邑中学高二4月月考理科数学】若1tan 4tan θθ+=，则sin 2θ=（ ）A ．15B ．14C ．13D ．12【答案】D【解析】由1tan 4tan θθ+=有sin cos 4cos sin θθθθ+=，左边通分有22sin cos 4sin cos θθθθ+=，141sin 22θ=，所以1sin 22θ=，故选D ． 【例15】【2016届四川省南充高中高三4月模拟三理科数学】已知tan 3α=，则3sin sin 2παα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是 ．【答案】310-． 【解析】3sin sin 2παα⎛⎫-⎪⎝⎭222sin cos tan sin cos sin cos 1tan αααααααα=-=-=-++310=-． 【例16】【2016届陕西省西北工大附中高三第四次考试文科数学】若tan 2α=，则sin cos αα=________．【答案】25． 【解析】22222222sin cos sin cos tan 22cos sin cos sin cos sin cos tan 1215cos αααααααααααααα=====++++． 【例17】【2015-2016学年山东省济宁一中高一下期中数学】若tan 3θ=，则2c o s s i nc o s θθθ+= _________．【答案】25． 【解析】t θ=，2222cos sin cos cos sin cos sin cos θθθθθθθθ+∴+=+221tan 132tan 1315θθ++===++． 【例18】【2015-2016学年江西省南昌市八一中学等高一上学期期末联考】已知A ，B ，C 三点的坐标分别是)23,2(),sin ,(cos ),3,0(),0,3(ππααα∈C B A ，若1A C B C⋅=-，则ααα2s i n s i n 2t a n12++=__________． 【答案】 59-【例19】已知tan 3α=，则3sin sin 2παα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是 ． 【答案】310-【解析】3sin sin 2παα⎛⎫-⎪⎝⎭222sin cos tan sin cos sin cos 1tan αααααααα=-=-=-++310=-． 【例20】【2015-2016学年山西大学附中高一下学期3月模块诊断】已知角α的终边经过点)1,1(-P ，（1）求sin 2cos()5sin()sin()2απαπαπα--+++的值；（2）求212sin cos cos ααα+的值． 【答案】（1）61；（2）2-【解析】试题分析：（1）本题可由任意角三角函数定义直接求得αtan 值，然后利用诱导公式把原式化简，分式上下每一项都除以αcos ，代入αtan 值即可；（2）利用平方关系将分子中的“1”化为αα22cos sin+，这样原式就化为了一个齐次分式，然后分式上下每一项都除以αcos ，代入αtan 值即可．试题解析：（1）∵角α的终边经过点()1,1P -∴1tan -=α， ∴sin 2cos()5sin()sin()2απαπαπα--+++=61tan 52tan sin cos 5cos 2sin =-+=-+αααααα；（2）212sin cos cos ααα+= 21tan 21tan cos cos sin 2cos sin 2222-=++=++ααααααα．。
备战2017高考技巧大全之高中数学黄金解题模板专题17三角函数的图像和性质问题Word版含解析
【高考地位】近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是高考的重点和难点。
要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法。
在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题.【方法点评】类型一 求三角函数的单调区间使用情景：一般三角函数类型解题模板：第一步 先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意参数的正负；,A ω第二步 利用三角函数的辅助角公式一般将其化为同名函数，且在同一单调区间；第三步 运用三角函数的图像与性质确定其单调区间.例1 函数的单调递增区间是（ ）cos(2)4y x π=-A ．kπ＋，kπ＋π] B ．kπ－π，kπ＋]8π85838πC ．2kπ＋，2kπ＋π]D ．2kπ－π，2kπ＋]（以上k∈Z）8π85838π【答案】B.考点：三角函数单调性.【点评】本题解题的关键是将作为一个整体，利用余弦函数的图像将函数24x π-的单调递增区间转化为在区间上递减的.cos(2)4y x π=-24x πθ=-[]2,2k k πππ-+【变式演练1】已知函数直线是图像的),062sin()(>+=ωπωx x f 21,x x x x ==)(x f y =任意两条对称轴，且的最小值为．求函数的单调增区间；21x x -2π)(x f 【答案】.Z k k k ∈++-],6,3[ππππ【解析】试题分析：根据两条对称轴之间的最小距离求周期，根据周期求，根据公式求此函数的单ω调递增区间.试题解析：由题意得则由,π=T 1,()sin(2).6f x x πω=∴=+解得故的单调增区间222,262k x k πππππ-+≤+≤+.,63Z k k x k ∈+≤≤+-ππππ)(x f 是.Z k k k ∈++-],6,3[ππππ考点：1．的单调性；()ϕω+=x A y sin 【变式演练2】已知函数的一系列对应值()sin()+(00 )2f x A x B A πωϕωϕ=+>><，，如下表：6π-3π56π43π116π73π176πy2-2-（1）根据表格提供的数据求函数的解析式；()f x （2）求函数的单调递增区间和对称中心；()f x 【答案】（1）（2）()3sin 13f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭52 2()66k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，.+1(3k k ππ∈Z)（，）（2）当，即时，函22()232k x k k πππππ-≤-≤+∈Z 52 ()266x k k k ππππ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦∈Z ，数单调递增．令，得，所以函数的对称中()f x =(3x k k ππ-∈Z)=+(3x k k ππ∈Z)()f x 心为．+1(3k k ππ∈Z)（，）考点：1．三角函数解析式及基本性质；2．数形结合法类型二 由的图象求其函数式sin()y A x ωϕ=+使用情景：一般函数求其函数式sin()y A x ωϕ=+解题模板：第一步 观察所给的图像及其图像特征如振幅、周期、与轴交点坐标等；第二步 利用特殊点代入函数解析式计算得出参数中一个或两个或三个；,,A ωϕ第三步 要从图象的升降情况找准第一个零点的位置，并进一步地确定参数；第四步 得出结论.例2 已知函数 的图象如图所示，sin()y A x ωϕ=+),2,0)(sin(R x x A y ∈π<ϕ>ωϕ+ω=则该函数的解析式是（ ）（A ） （B ）)48sin(4π-π-=x y )48sin(4π-π=x y （C ）（D ）)48sin(4π+π=x y 48sin(4π+π-=x y 【答案】D考点：的图像()ϕω+=x A y sin 【点评】本题的解题步骤是：首先根据已知图像与轴的交点坐标可得其周期为，进而可得T 的大小；然后观察图像知其振幅的大小；最后将图像与轴的交点坐标代入函数的解析式ωA 即可得到的大小.【变式演练3】已知函数（其中）的部分图象如()()sin f x A x ωϕ=+0,0,2A πωϕ>><图所示，则的解析式为（ ）()f xA ．B ．()2sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．D ．()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭()2sin 46f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】B 【解析】考点：由的部分图像确定解析式。
备战2017高考黄金100题解读与扩展系列之三角函数：5 三角函数的图象与性质(1)——图象变换 含解析
III ．理论基础·解题原理（1）先相位变换后周期变换：函数sin y x =的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的()10ωω>倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y A x ωϕ=+的图象．（2）先周期变换后相位变换：函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的()10ωω>倍（纵坐标不变），得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移ϕω个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y A x ωϕ=+的图象．①先平移后伸缩 ②先伸缩后平移IV ．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题或解答题的形式出现，一般难度中等偏易． 【技能方法】（1）利用三角函数图象变换求解析式方法：由sin y x =的图象向左（0ϕ>）或向右（0ϕ<）平移ϕ个单位，得到函数()sin y x ϕ=+，将图象上各点的横坐标变为原来()10ωω>倍，便得到函数()sin y x ωϕ=+，将图象上各点的纵坐标变为原来的()0A A >倍，便得到函数()sin y A x ωϕ=+．（2）由()sin y A x B ωϕ=++的图象求其解析式（知图求式）：利用图像特征，当1x x =时，取得最小值为miy ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则()()()m a x m i n ma x m i n 211211,,.222TA y yB yyx x x x =-=+=-< ω要根据周期来求：2,Tπωϕ=可以用图像的关键点来求． （3）求ϕ常用的方法有：①代入法：把图像上的一个已知点代入（此时,,A B ω已知）或代入图象与直线y B =的交点求解（此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上）；②五点法：由函数()sin y A x B ωϕ=++最开始与x 轴交点的横坐标ϕω-（即令0x ωϕ+=得,,0x ϕϕωω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭为第一关键点）来确定ϕ，也可以利用第二或第三或第四关键点来确定ϕ．【易错指导】（1）在解决函数图象变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的,x y 变换”的原则，写出每次变换所得图象对应的解析式，避免出错；（2）若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响；（3）在解决图象变换问题时，要分清变换的对象及平移（伸缩）的大小，避免出错； （4）特别提醒：进行图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是相对自变量本身而言；要注意变换前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数． V ．举一反三·触类旁通 考向1 三角函数的图象变换【例5】【2016高考新课标1文数】若将函数y=2sin (2x+π6)的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为（ ） （A ）y=2sin(2x+π4) （B ）y=2sin(2x+π3) （C ）y=2sin(2x –π4) （D ）y=2sin(2x –π3)【答案】D【例6】【2016高考四川文科】为了得到函数sin()3y x π=+的图象，只需把函数sin y x =的图象上所有的点( )(A)向左平行移动3π个单位长度 (B) 向右平行移动3π个单位长度 (C) 向上平行移动3π个单位长度 (D) 向下平行移动3π个单位长度【答案】A【解析】由题意，为得到函数sin()3y x π=+，只需把函数sin y x =的图象上所有点向左移3π个单位，故选A ．【例7】 【云南省2015届高三第一次复习统测数学文7】已知平面向量22(2cos ,sin )a x x =，22(cos ,2sin )b x x =-，()f x a b =⋅，要得到sin 2y x x =的图象，只需要将()y f x =的图象（ ）A.向左平行移动6π个单位 B ．向右平行移动6π个单位C ．向左平行移动12π个单位D ．向右平行移动12π个单位 【答案】D ． 【解析】试题分析：由题意得：442222()2cos 2sin 2(cos sin )(cos sin )2cos 22sin(2)2f x a b x x x x x x x x π=⋅=-=+-==+，而sin 222sin(2)3y x x x π=+=+，而2sin(2)2sin[2()]3122x x πππ+=-+，故向左平移6π个单位即可．【例8】【内蒙古赤峰市宁城县2015届高三3月统一考试（一模）文10】函数)sin()(ϕω+=x x f （其中2||πϕ<）的图象如图所示，为了得到x y ωsin =的图象，只需把)(x f y =的图象上所有点（ ） （A ） 向左平移6π个单位长度 （B ）向右平移12π个单位长度 （C ） 向右平移6π个单位长度 （D ）向左平移12π个单位长度【答案】C 【解析】由图可知74123T T πππ=-⇒= 则22πωπ== ，又sin(2)03πφ⨯+=，结合2||πϕ<可知3πϕ=，即()sin 3(2)f x x π=+，为了得到sin 2y x =的图象，只需把()sin(2)si 3n 26y f x x x ππ⎡⎤⎛⎫==+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象上所有点向右平移6π个单位长度【例9】【2016高考新课标3理数】函数sin y x x =错误！未找到引用源。
备战2017高考黄金100题解读与扩展系列之三角函数：1 三角函数定义的应用 含解析
,,,421tan 23θ+=∴=-⎪-⎭III ．理论基础·解题原理 任意角αα−−−−→唯一对应的终边的位置−−−−→唯一对应终边与单位圆的交点坐标，即任意角α−−−−→唯一对应终边与单位圆的交点坐标．一、三角函数的单位圆定义法设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(),P x y ，那么：正弦sin y α=；余弦cos x α=；正切tan (0)yx xα=≠． 即：正弦、余弦、正切都是以角（实数）为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们称它们为三角函数．（单位圆定义法） 二、三角函数的终边定义法设α是一个任意角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()0r r =，则()sin ,cos ,tan 0y x yx r r xααα===≠． 三、三角函数线如图（I ）～（IV ），设任意角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合且与单位圆交于点A ，终边与单位圆交于点(),P x y ，过点P 作PM 垂直x 轴于点M ，过点A 作x 轴垂线与角α的终边或其延长线交于点T ，则有向线段,,MP OM AT 分别称为角α的正弦线、余弦线、正切线，即正弦线：sin MP y α==；余弦线：cos OM x α==；正切线：tan (0)yAT x xα==≠．正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线． IV ．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，一般难度较小，考查对基础知识的识记与理解，考查考生基本计算能力． 【技能方法】（1）已知角α的终边上一点P 的坐标求角α的三角函数值，可先求出点P 到原点的距离r ，然后利用三角函数的终边定义法求解；（2）已知角α的终边所在的直线方程求角α的三角函数值，则可先设出终边上一点的坐标，求出点到原点的距离，然后利用三角函数的终边定义法求解相关的问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可以直接写出角α的三角函数值；（3）各象限三角函数值符号规律的口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 【易错指导】当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况讨论，机械地使用三角函数的定义会出现错误．V ．举一反三·触类旁通【例3】【2016新课标Ⅱ学易大联考三】已知函数()sin 2()f x x ＝＋ϕ（0ϕ<<π），若角ϕ的终边经过点，则()4f π的值为（ ）A ．2 D ．【命题意图】本题考查诱导公式、三角函数的定义等基础知识，意在考查数形结合思想和基本运算能力． 【答案】A【例4】【2016年湖北龙泉中学高三月考】已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边在直线2y x =上，则sin 24πθ⎛⎫+⎪⎝⎭的值为（ ）A ．10-B ．10C ．10-D ．10【答案】D 【解析】由题意可知2tan =θ，))2sin 2sin 2cos 2sin cos cos 422πθθθθθθ⎛⎫+=+=+- ⎪⎝⎭102221tan )1(tan 222)1(tan cos 222=-++=-+=θθθθ，所以本题的正确选项为D ． 【例5】【2016届湖南省四大名校高三3月联考数学（理）试卷】在直角坐标系中，P 点的坐标为34,,55Q ⎛⎫⎪⎝⎭是第三象限内一点，1OQ =， 且34POQ π∠=，则Q 点的横坐标为 （ ）A ．10-B ．5-．12- D ．13-【答案】A【解析】由题设可设)sin ,(cos ),sin ,(cos ααθθP Q ，则Z k k ∈+=-==,245,54sin ,53cos ππαθαα，所以Z k k ∈++=,245παπθ，所以cos(cos =θ102754225322)45-=⨯-⨯-=+απ，故应选A ． 【例6】【2015-2016福建师大附中高一下期中考数学】若点(sin cos ,2cos )P θθθ位于第三象限，那么角θ终边落在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B【解析】由题设0sin ,0cos ><θθ，故角θ的终边在第二象限．故应选B ．【例7】【2015-2016学年湖南衡阳一中高一下期末数学试卷】已知角α的终边过点(8,3)P m ，且4cos 5α=-，则m 的值为（ ）A ．12-B ．12C ．2-D ． 2【答案】A【解析】由题设549648cos 2-=+=m mα可得21±=m ，经检验21-=m 成立，应选A ．【例8】【2015-2016学年西藏山南二中高一下期末数学试卷】若角600的终边上有一点(4,)a -，则a的值是（ ）A ．．- C ．± D ．0 【答案】B【解析】由题意得tan 6004tan 60434aa =-⇒=-=-，选B ． 【方法点睛】利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x ，纵坐标y ，该点到原点的距离r ．若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况（点所在象限不同）．【例9】【2015-2016学年黑龙江鹤岗一中高二下期末理科数学试卷】已知角α的终边过点()m m P 34，-()0m <，则ααcos sin 2+的值是（ ）A ．1B ．52C ．52- D ．－1 【答案】C【解析】因m m m r 591622-=+=，故54cos ,53sin =-=αα，所以52cos sin 2-=+αα，故选C ．【例10】【2015-2016学年西藏日喀则一中高二下期末文科数学试卷】已知角α终边与单位圆221x y +=的交点为1,2y ⎛⎫P ⎪⎝⎭，则sin 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．12-B ．12C ．．1 【答案】A 【解析】因21cos =α，故sin 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭211cos 22cos 2-=-=αα，故应选A ． 【例11】【2016届吉林四平一中高三五模文科数学试卷】已知锐角α的终边上一点(1cos40,sin 40)P +，则锐角α=（ ）A ．80B ．70C ．20D ．10【答案】C 【解析】sin 4040tan tan tan 20,201cos 402αα====+．【例12】【2015-2016学年海南省国兴中学高一下第一次月考数学试卷】已知()P y 为角β的终边上的一点，且sin β=，则y的值为（ ） A ．12±B ．12C ．12- D ．2± 【答案】B 【解析】13133sin 2=+=y y β，解得21=y ，故选B ．【例13】【2015-2016学年湖北省黄冈市蕲春县高一下期中数学试卷】已知α为锐角，且α5的终边上有一点)130cos ),50(sin(00-P ，则α的值为（ ）A ．08 B ．044 C ．026 D ．040 【答案】B【解析】利用诱导公式，可以将点P 化简为P （cos220°，sin220°），因为0°＜α＜45°， 所以5α=220°，所以α=44°．故选B【例14】【2015-2016学年湖南省株洲市十八中高一下期中理科数学试卷】若,54cos ,53sin -==αα则在角α终边上的点是（ ）A ． )3,4(-B ． )4,3(-C ． )3,4(-D ． )4,3(- 【答案】A【解析】由三角函数定义可知，角终边上的点(),x y满足3445y r x r r ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩，所以43x y =-⎧⎨=⎩，点为)3,4(-．【例15】【2015-2016学年湖南省株洲市十八中高一下期中理科数学试卷】已知点P （ααcos ,tan ）在第三象限，则角α在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】因为点P （tan α，cos α）在第三象限，所以，tan α＜0，cos α＜0，则角α的终边在第二象限．【例16】【2015-2016学年湖南省醴陵二中、四中高一下期中数学试卷】若点(s i n c o s ,t a n P ααα-在第一象限，则在[0,2)π内α的取值范围是（ ）A ．5(,)(,)424ππππ B ．35(,)(,)244ππππ C ．)23,45()2,4(ππππ D ．33(,)(,)244ππππ 【答案】A 【解析】由题意得sin cos 0tan 0ααα->⎧⎨>⎩，由[0,2)απ∈可得α的取值范围是5(,)(,)424ππππ 【例17】【2015-2016学年福建省晋江市季延中学高一下期中数学试卷】已知正角α的终边上一点的坐标为（32cos ,32sinππ），则角α的最小值为（ ） A ．65π B ．32π C ．35π D ．611π【答案】D【解析】由题点坐标为；（32cos ,32sinππ），1)2-， 则：111sin ,26y r παα==-=【例18】【2016届湖北省襄阳五中高三5月高考模拟一文科数学试卷】在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点(1)P -，则s i n(2)2πα-=（ ）A ．2 B ．2-．12 D ．12-【答案】D 【解析】因33tan =α，则67πα=，故sin(2)2πα-21-=，选D ．【例19】【2015-2016学年吉林省松原市扶余一中高一下期中数学试卷】若角α的终边过点P（2cos120°，sin225°），则cos α=（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】【例20】【2016届河北省衡水中学高三下学期猜题理科数学试卷】若点55(sin,cos )66ππ在角α的终边上，则sin α的值为（ ） A．2-B ．12- C ．12 D．2 【答案】A ．【解析】根据任意角的三角函数的定义，5cos 6sin 12πα==-，故选A ． 【例21】【2015-2016学年贵州花溪清华中学高一5．28周练】若角α和β的终边关于直线0x y +=对称， 且3πα=-，则β角的集合是 ．【答案】|2,6k k Z πββπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭【解析】根据象限角可得3-πα=关于0=+y x 对称的一个角是6πβ-=，那么根据终边相同的角的集合的表示为|2,6k k Z πββπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭． 【例22】【2015-2016学年江苏省连云港东海县房山高中高一下期中数学试卷】已知角的终边过点(1,2)P -，则sin α的值为 ．【解析】由题角的终边过点(1,2)P -： 因为：sin y r α=，r ==则；sin α= 【例23】【2015-2016学年北京市怀柔区高一上期末数学试卷】已知角α的终边经过点1(,22P ，则tan α的值为____________．【答案】3 【解析】3tan ==xyα 【例24】【2015-2016学年福建师大附中高二下期末文科数学试卷】设0<a ，角α的终边经过点(3,4)P a a -，则αsin =__________． 【答案】45-【解析】44sin 55a a α===--． 【例25】【2015-2016学年广东仲元中学高二上期末数学试卷】在平面直角坐标系xoy 中，以x 的非负半轴为始边作两个锐角βα,，它们的终边分别与单位圆交于点A ，B ，已知A 的横坐标为55，B 的纵坐标为102，则=+βα2______． 【答案】43π【解析】由三角函数的定义可知：cos 5α=，sin 10β=，sin 5α∴=，cos 10β=， 4sin 25α∴=，23cos 2125α=-⨯=-，43sin(2)()55αβ∴+=+-=，324παβ∴+=． 【例26】【2015-2016学年内蒙古赤峰二中高一上第二次月考文数学卷】已知角α的终边上一点(),0Py y ≠，且sin y α=，求cos ,tan αα的值．【答案】tan y αα===或tan y αα===．【例27】【2015-2016学年甘肃省金昌市永昌一中高一上学期期末考】已知角α的终边在直线y=x 上，求sin α，cos α，tan α的值．【答案】sin α=﹣，cos α=﹣，tan α=【解析】试题分析：分类讨论，取特殊点的坐标，由三角函数定义可得． 试题解析：直线y=x ，当角α的终边在第一象限时，在α的终边上取点（1，），则sin α=，cos α=，tan α=；当角α的终边在第三象限时，在α的终边上取点（﹣1，﹣），则sin α=﹣，cos α=﹣，tan α=．【例28】【2015-2016学年福建省清流县一中高一上学期期中考试数学试卷】 （1）已知角α的终边经过一点)0)(3,4(>-a a a P ，求ααcos sin 2+的值； （2）已知角α的终边在一条直线x y 3=上，求αsin ，αtan 的值． 【答案】（1）25-；（2）3tan =α，当0>a 时，23sin =α；当0<a 时，23sin -=α．。
备战2017高考黄金100题解读与扩展系列之三角函数：4 齐次式的应用 Word版含解析
I ．题源探究·黄金母题【例1】已知1tan 3α=-，计算：（1）sin 2cos 5cos sin αααα+-；（2）212sin cos cos ααα+．【解析】（1）1tan ,cos 0,3αα=-∴≠原式分子分母都除以cos α，得原式12tan 25315tan 1653αα-++===-⎛⎫-- ⎪⎝⎭． （2）原式222sin cos 2sin cos cos ααααα+=+，分子分母都除以2cos α，得原式2211tan 110312tan 13213αα⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭===+⎛⎫⨯-+ ⎪⎝⎭． 精彩解读【试题来源】人教版A 版必修4第71页B 组习题第4题．【母题评析】本题主要考查关于sin ,cos αα齐次式的应用．【思路方法】应用“1”的代换及商关系实现弦化切．II ．考场精彩·真题回放【例2】【2016高考新课标3理数】若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B)4825 (C)1(D)1625【答案】A 【解析】由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或【命题意图】本题主要考查关于sin ,cos αα齐次式的应用，考查考生基本计算能力及转化与化归能力等．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，中等偏易．【难点中心】解答此类问题的关键是利用“1”的代换及商关系实现弦化切．34sin ,cos 55αα=-=-，2161264cos 2sin 24252525αα∴+=+⨯=，故选A ．III ．理论基础·解题原理（1）商数关系：sin tan cos ααα=；（2）平方关系：22sin cos 1αα+=． （2）利用22sin cos 1αα+=可以实现角α的正弦、余弦的互化；利用sin tan cos ααα=可以实现角α的弦切互化．（3）注意公式逆用及变形应用：2222221sin cos ,sin 1cos ,cos 1sin αααααα=+=-=-．IV ．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，一般难度较小，往往考查对基础知识的识记与理解，公式的活用．【技能方法】若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次式的值，则可以通过分子分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，这是同角三角函数关系中的一类典型题．【易错指导】这类题经常使用“1”的代换，即221sin cos αα=+，在使用时要注意根据问题的实际情况灵活处理，防止错误的代换． V ．举一反三·触类旁通 考向1 “弦化切”的运用【例3】【2016届宁夏银川二中高三5月适应性训练理科数学】已知α是第四象限角，且3tan α4=-，则sin α=（ ）（A ）35- （B ）35 （C ）45 （D ）45-【答案】A【解析】222222sin tan 9sin sin cos tan 125αααααα===++，因为α为第四象限角，故3sin 5α=-． 【例4】【2015-2016学年湖南衡阳一中高一下期末数学】已知sin 2cos θθ=，则s i n ()c o s ()2s i n ()s i n ()2πθπθπθπθ+-+=---（ ）A ．2B ．2-C ．0D ． 23【答案】B【解析】因sin()cos()2sin()sin()2πθπθπθπθ+-+=---cos cos 2cos 2cos sin cos 2cos θθθθθθθ+==--- ，故应选B ． 【例5】【2015-2016学年河北冀州中学高一下期末理科数学】若()3sin 5πα+=，α是第三象限的角，则sincos22sin cos22παπαπαπα++-=---（ ） A ．12 B ．12- C ．2 D ．-2【答案】B【解析】因为()3sin 5πα+=，α是第三象限的角， 34sin ,cos 55αα∴=-=-， ∴22231sin cos cos sin (cos sin )1sin 152222224cos 2sin cos cos sin cos sin 2222225παπααααααπαπαααααα++--+++=====------．故选B ．【例6】已知tan 3α=，则sin cos αα的值是 ． 【答案】310． 【解析】222sin cos tan 33sin cos sin cos tan 19110αααααααα====+++．【例7】【2016届宁夏银川二中高三三模拟理科数学试卷】已知1cos 21sin cos ααα-=，则tan α的值为 ． 【答案】12． 【解析】21cos 22sin 2tan 1sin cos sin cos ααααααα-===，1tan 2α=． 【例8】【2016届宁夏六盘山高级中学高三第一次模拟考试文科数学】已知tan 2α=，则sin cos sin cos αααα+=-_________．【答案】3【解析】对ααααcos sin cos sin -+的分子分母同时除以αcos ，可将正余弦化简为正切，sin cos sin cos αααα+=-31-2121-tan 1tan =+=+αα．【例9】【2015-2016福建师大附中高一下期中考数学】已知角α的的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则sin cos sin cos αααα+-的值等于 ．【答案】3【解析】由题设可知2tan =α，故sin cos sin cos αααα+-312121tan 1tan =-+=-+=αα．故应填3．【例10】【2016届宁夏银川二中高三三模拟理科数学】已知1cos 21sin cos ααα-=，则tan α的值为 ． 【答案】12【解析】21cos 22sin 2tan 1sin cos sin cos ααααααα-===，1tan 2α=． 【例11】【2016届四川省南充高中高三4月模拟三理科数学】已知3tan 2α=-，α为第二象限角．（1）求3sin()cos()tan()22tan()sin()παπαπααππα--+-----的值； （2+【答案】(1)13132；(2)2．考向2 “‘1’的代换”的运用【例12】【2015-2016福建师大附中高一下期中考】已知s i n 3c o s53c o s s i nαααα+=-，则2sin sin cos ααα-的值是（ ）A ．25 B ．2-5C ．-2D ．2 【答案】A 【解析】由已知sin 3cos 53cos sin αααα+=-可得2t a n =α，故2si ns i n c o sααα-52t a n 1t a n ta n 22=+-=ααα．应选A ． 【例13】【2016届安徽省淮北一中高三最后一卷理科数学】已知()1sin cos ,0,2αααπ+=∈，则1tan 1tan αα-=+（ ）A． BCD． 【答案】A ．【解析】21(sin cos )4αα+=，3sin cos 8αα=-，所以cos 0,sin 0αα<>，27(cos sin )12sin cos 4αααα-=-=，cos sin αα-=，1tan cos sin 211tan cos sin 2αααααα--∴===++A ． 【例14】【2015-2016学年河北省武邑中学高二4月月考理科数学】若1tan 4tan θθ+=，则sin 2θ=（ ）A ．15B ．14C ．13D ．12【答案】D【解析】由1tan 4tan θθ+=有sin cos 4cos sin θθθθ+=，左边通分有22sin cos 4sin cos θθθθ+=，141sin 22θ=，所以1sin 22θ=，故选D ． 【例15】【2016届四川省南充高中高三4月模拟三理科数学】已知tan 3α=，则3sin sin 2παα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是 ．【答案】310-． 【解析】3sin sin 2παα⎛⎫-⎪⎝⎭222sin cos tan sin cos sin cos 1tan αααααααα=-=-=-++310=-． 【例16】【2016届陕西省西北工大附中高三第四次考试文科数学】若tan 2α=，则sin cos αα=________．【答案】25． 【解析】22222222sin cos sin cos tan 22cos sin cos sin cos sin cos tan 1215cos αααααααααααααα=====++++． 【例17】【2015-2016学年山东省济宁一中高一下期中数学】若tan 3θ=，则2c o s s i nc o s θθθ+= _________．【答案】25． 【解析】t θ=，2222cos sin cos cos sin cos sin cos θθθθθθθθ+∴+=+221tan 132tan 1315θθ++===++． 【例18】【2015-2016学年江西省南昌市八一中学等高一上学期期末联考】已知A ，B ，C 三点的坐标分别是)23,2(),sin ,(cos ),3,0(),0,3(ππααα∈C B A ，若1A C B C⋅=-，则ααα2s i n s i n 2t a n12++=__________． 【答案】 59-【例19】已知tan 3α=，则3sin sin 2παα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是 ． 【答案】310-【解析】3sin sin 2παα⎛⎫-⎪⎝⎭222sin cos tan sin cos sin cos 1tan αααααααα=-=-=-++310=-． 【例20】【2015-2016学年山西大学附中高一下学期3月模块诊断】已知角α的终边经过点)1,1(-P ，（1）求sin 2cos()5sin()sin()2απαπαπα--+++的值；（2）求212sin cos cos ααα+的值． 【答案】（1）61；（2）2-【解析】试题分析：（1）本题可由任意角三角函数定义直接求得αtan 值，然后利用诱导公式把原式化简，分式上下每一项都除以αcos ，代入αtan 值即可；（2）利用平方关系将分子中的“1”化为αα22cos sin+，这样原式就化为了一个齐次分式，然后分式上下每一项都除以αcos ，代入αtan 值即可．试题解析：（1）∵角α的终边经过点()1,1P -∴1tan -=α， ∴sin 2cos()5sin()sin()2απαπαπα--+++=61tan 52tan sin cos 5cos 2sin =-+=-+αααααα；（2）212sin cos cos ααα+= 21tan 21tan cos cos sin 2cos sin 2222-=++=++ααααααα．。
《推荐》备战2017高考黄金100题解读与扩展系列之三角函数5三角函数的图象与性质(1)——图象变换Word版含
I ．题源探究·黄金母题 【例1】利用图象变换画出函数12sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象．【解析】先把正弦曲线上所有点向右平行移动6π个单位长度，得到sin 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象；再把后者所有点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），得到1sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象；再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）而得到函数12sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象．精彩解读【试题来源】改编自人教版A 版必修4第53页例1．【母题评析】本题考查三角函数图象变换，是历年来高考的一个常考点． 【思路方法】分清先相位变换后周期变换与先周期变换后相位变换的差异．II ．考场精彩·真题回放【例2】【2016年高考四川理数】为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点( )（A ）向左平行移动π3个单位长度（B ）向右平行移动π3个单位长度（C ）向左平行移动π6个单位长度（D ）向右平行移动π6个单位长度【答案】D【解析】由题意，为了得到函数sin(2)sin[2()]36y x x ππ=-=-，只需把函数sin 2y x =的图象上所有点向右移6π个单位，故选D ．【命题意图】本题主要考查考生对三角函数图象变换规律的理解与掌握． 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，中等偏易．【难点中心】解答此类问题的关键是分清先相位变换后周期变换与先周期变换后相位变换平移量的差异．【例3】【2016年高考北京理数】将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移s（0s >）个单位长度得到点'P ，若'P 位于函数sin 2y x =的图象上，则 （ ）A ．12t =，s 的最小值为6πB．t = ，s 的最小值为6πC ．12t =，s 的最小值为3πD．t =，s 的最小值为3π【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，1sin(2)432t ππ=⋅-=，故此时'P 所对应的点为1(,)122π，此时向左平移4126πππ-=个单位，故选A ． 【命题意图】本题考查三角函数图象平移．【考试方向】这类试题通常以选择题或填空题的形式出现，属容易题． 【难点中心】在函数()sin()f x A ωx φ=+的图象平移变换中要注意“ω”的影响，变换有两种顺序：一种sin y x =的图象向左（或右）平移φ个单位得sin()y x φ=+，再把横坐标变为原来的1ω倍，纵坐标不变，得sin()y ωx φ=+的图象，另一种是把sin y x =的图象横坐标变为原来的1ω倍，纵坐标不变，得sin y ωx =的图象，向左（或右）平移φω个单位得sin()y ωx φ=+的图象．III ．理论基础·解题原理（1）先相位变换后周期变换：函数sin y x =的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的()10ωω>倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y A x ωϕ=+的图象．（2）先周期变换后相位变换：函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的()10ωω>倍（纵坐标不变），得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移ϕω个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y A x ωϕ=+的图象．①先平移后伸缩 ②先伸缩后平移IV ．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题或解答题的形式出现，一般难度中等偏易． 【技能方法】（1）利用三角函数图象变换求解析式方法：由sin y x =的图象向左（0ϕ>）或向右（0ϕ<）平移ϕ个单位，得到函数()sin y x ϕ=+，将图象上各点的横坐标变为原来()10ωω>倍，便得到函数()sin y x ωϕ=+，将图象上各点的纵坐标变为原来的()0A A >倍，便得到函数()sin y A x ωϕ=+．（2）由()sin y A x B ωϕ=++的图象求其解析式（知图求式）：利用图像特征，当1x x =时，取得最小值为miy ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则()()()m a x m i n ma x m i n 211211,,.222TA y yB yyx x x x =-=+=-< ω要根据周期来求：2,Tπωϕ=可以用图像的关键点来求． （3）求ϕ常用的方法有：①代入法：把图像上的一个已知点代入（此时,,A B ω已知）或代入图象与直线y B =的交点求解（此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上）；②五点法：由函数()sin y A x B ωϕ=++最开始与x 轴交点的横坐标ϕω-（即令0x ωϕ+=得,,0x ϕϕωω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭为第一关键点）来确定ϕ，也可以利用第二或第三或第四关键点来确定ϕ．【易错指导】（1）在解决函数图象变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的,x y 变换”的原则，写出每次变换所得图象对应的解析式，避免出错；（2）若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响；（3）在解决图象变换问题时，要分清变换的对象及平移（伸缩）的大小，避免出错； （4）特别提醒：进行图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是相对自变量本身而言；要注意变换前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数． V ．举一反三·触类旁通 考向1 三角函数的图象变换【例5】【2016高考新课标1文数】若将函数y=2sin (2x+π6)的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为（ ） （A ）y=2sin(2x+π4) （B ）y=2sin(2x+π3) （C ）y=2sin(2x –π4) （D ）y=2sin(2x –π3)【答案】D【例6】【2016高考四川文科】为了得到函数sin()3y x π=+的图象，只需把函数sin y x =的图象上所有的点( )(A)向左平行移动3π个单位长度 (B) 向右平行移动3π个单位长度 (C) 向上平行移动3π个单位长度 (D) 向下平行移动3π个单位长度【答案】A【解析】由题意，为得到函数sin()3y x π=+，只需把函数sin y x =的图象上所有点向左移3π个单位，故选A ．【例7】 【云南省2015届高三第一次复习统测数学文7】已知平面向量22(2cos ,sin )a x x =，22(cos ,2sin )b x x =-，()f x a b =⋅，要得到sin 22y x x =+的图象，只需要将()y f x =的图象（ ）A.向左平行移动6π个单位 B ．向右平行移动6π个单位 C ．向左平行移动12π个单位 D ．向右平行移动12π个单位【答案】D ． 【解析】试题分析：由题意得：442222()2cos 2sin 2(cos sin )(cos sin )2cos 22sin(2)2f x a b x x x x x x x x π=⋅=-=+-==+，而sin 222sin(2)3y x x x π=+=+，而2sin(2)2sin[2()]3122x x πππ+=-+，故向左平移6π个单位即可． 【例8】【内蒙古赤峰市宁城县2015届高三3月统一考试（一模）文10】函数)sin()(ϕω+=x x f （其中2||πϕ<）的图象如图所示，为了得到x y ωsin =的图象，只需把)(x f y =的图象上所有点（ ） （A ） 向左平移6π个单位长度 （B ）向右平移12π个单位长度（C ） 向右平移6π个单位长度 （D ）向左平移12π个单位长度【答案】C 【解析】由图可知74123T T πππ=-⇒= 则22πωπ== ，又sin(2)03πφ⨯+=，结合2||πϕ<可知3πϕ=，即()sin 3(2)f x x π=+，为了得到sin 2y x =的图象，只需把()sin(2)si 3n 26y f x x x ππ⎡⎤⎛⎫==+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象上所有点向右平移6π个单位长度【例9】【2016高考新课标3理数】函数sin y x x =的图象可由函数sin y x x =的图象至少向右平移_____________个单位长度得到．【答案】32π【解析】s n3c o3y x x x π=+=+，sin 2sin()2sin[()]333y x x x x ππ2π==-=+-，所以函数sin cos y x x =的图象可由函数sin y x x =的图象至少向右平移32π个单位长度得到． 【例10】【吉林省吉林市2015届高三第三次模拟考试文15】把函数x x x x f 221+3=c o s c o s s i n )(的图象上各点向右平移)(0>ϕϕ个单位，得到函数x x g 2=sin )(的图象，则ϕ的最小值为 ．【答案】12π考向2 由三角函数图象变换求函数的解析式【例11】【2016山东押题卷1】将函数)63sin(2)(π+=x x f 的图象向左平移4π个单位，再向上平移3个单位，得到函数)(x g 的图象，则)(x g 的解析式为（ ）A ．3)43sin(2)(--=πx x gB ．3)43sin(2)(++=πx x g C ．3)123sin(2)(+-=πx x g D ．3)123sin(2)(--=πx x g【答案】B【解析】根据三角函数图象的平移变换理论可得，将)(x f 的图象向左平移4π个单位得到函数)4(π+x f 的图象，再将)4(π+x f 的图象向上平移3个单位得到函数3)4(++πx f 的图象，因此=)(x g 3)4(++πx f 3)43sin(23]6)4(31sin[2++=+++=πππx x ．【例12】【2016新课标I学易大联考三】已知函数21()cos cos 22f x x x x =+，将函数()y f x =的图象向下平移14个单位，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数()y g x =的图象，则使1()2g x >成立的x 的取值集合为 ． 【答案】π{|ππ,}3x k x k k <<+∈Z ．【解析】因为21()cos cos 22f x x x x =+12(1cos 2)44x x =++1112cos 22224x x ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭1π1sin 2264x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，将函数()y f x =的图象向下平移14个单位，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），可得π()sin26 g x x⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，由1()2g x>，得π1sin262x⎛⎫+>⎪⎝⎭，则ππ5π2π22π666k x k+<+<+（k∈Z），所以πππ3k x k<<+（k∈Z）．故x的取值集合为π{|ππ,}3x k x k k<<+∈Z．。
备战2020高考黄金100题解读与扩展系列之三角函数：6 三角函数的图象与性质(2)——单调性、值域与最值
y sin x, y cos x, y tan x 的单调区间对应的不等式方向相同（反）．
3
3
C． [kπ 5 π, kπ π ] ， k Z
12
12
D．[kπ 5 π, kπ π ] ， k Z
6
6
【命题意图】本题主要考查三角函数的图象变换、三角函数的图象与性质，考查运算求解能
力，是基础题．
【答案】A
【例 4】【2016 届河南省洛阳市高三毕业班三练数学（文）】设函数
方程为 x ，则函数 f (x) 的最大值为___________． 6
【命题意图】本题考查三角变换、三角函数的对称性与最值，意在考查逻辑思维能力、运算
求解能力、转化思想与方程思想．
【答案】1
【解析】∵ f (x) 1 a sin 2x 1 cos 2x 1 1 a sin 2x 1 cos 2x ，∴ f (x) 最值是
1 2
x
3
x
R
的单调递增区间
考点． 【思路方法】限定区间上三角函数单
为 B ．由 2k 1 x 2k ，得
调区间的求法：先用整体思想求
22 3
2
y Asin x B
4k
5 3
x
4k
, B 3
分离常数法求解；分式型 y a sin x b , y a cos x b 可以用数形结合法求值域． c cos x d c sin x d
考数学黄金100题解读与扩展系列之三角函数：6 三角函数的图象与性质(2)——单调性、值域与最值(含解析)
I ．题源探究·黄金母题【例1】求函数[]1sin ,2,223y x x πππ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭的单调递增区间． 【解析】设[]2,2A ππ=-，函数()1sin 23y x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭的单调递增区间为B ．由1222232k x k πππππ-≤+≤+，得()5544,4,43333k x k B k k k Z ππππππππ⎡⎤-≤≤+∴=-+∈⎢⎥⎣⎦．易知5,33AB ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦．精彩解读【试题来源】人教版A 版必修4第39页例5．【母题评析】本题考查三角函数单调区间的求法，是历年来高考的一个常考点．【思路方法】限定区间上三角函数单调区间的求法：先用整体思想求()sin y A x Bωϕ=++()0,A x R >∈的单调区间，再与已知区间求交集即可．II ．考场精彩·真题回放 【例2】【2019高考北京文数】已知函数)0(2cos cos sin 2)(>+=ωωωωx x x x f 的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求)(x f 的单调递增区间．【答案】（Ⅰ）1ω=；（Ⅱ）3,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）．【分析】（Ⅰ）运用两角和的正弦公式对)(x f 化简整理，由周期公式求ω的值；（Ⅱ）根据函数x y sin =的单调递增区间对应求解即可． 【解析】（I ）因为()2sin cos cos 2f x x x xωωω=+sin 2cos 2x x ωω=+24x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期22ππωωT ==．依题意，ππω=，【命题意图】本题考查两角和的正弦公式、周期公式、三角函数的单调性．考查学生分析问题解决问题能力、转化与化归能力．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题或解答题的形式出现，难度中等． 【难点中心】解答此类问题的关键是能综合运用三角公式化为形式()sin y A x Bωϕ=++，再进一步讨论相关性质．解得1ω=．（II ）由（I ）知()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．函数sin y x =的单调递增区间为2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）．由222242k x k πππππ-≤+≤+，得388k x k ππππ-≤≤+．所以()f x 的单调递增区间为3,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）．III ．理论基础·解题原理考点一 三角函数的单调性x y sin =在)(22,22Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππ上单调递增，在)(223,22Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ上单调递减，当Zk k x ∈+=,22ππ时，1max=y ；当Zk k x ∈+-=,22ππ时，1min -=y ；x y cos =在[])(2,2Z k k k ∈+-πππ上单调递增，在[])(2,2Z k k k ∈+πππ上单调递减，当Z k k x ∈=,2π时，1max =y ；当Z k k x ∈+=,2ππ时，1min -=y ；x y tan =在)(2,2Z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛++-ππππ上单调递增．考点二 三角函数的最值与值域有如下几种类型： （1）一次型：()()sin cos ,sin ,cos y a x b x y A x B y A x Bωϕωϕ=+=++=++，值域分别为,,,,A B A B A B A B ⎡-++-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣；（2）二次型：2222 sin sin,cos cos,sin sin cos cosy a x b x c y a x b x c y a x b x x c x=++=++=++等；（3）分式型：sin cos sin cos,,,sin cos cos sina xb a x b a x b a x by y y yc xd c x d c x d c x d++++====++++等．IV．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，一般难度较小，往往考查对基础知识的识记与理解．若为新定义题，则难度加大．【技能方法】（1）讨论()()() sin,cos,tany A x B y A x B y A x B ωϕωϕωϕ=++=++=++的单调性可用整体思想：把()0xωϕω+>视为一个整体，()00A A><所列不等式的方向与sin,cos,tany x y x y x===的单调区间对应的不等式方向相同（反）．（2）利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小，必须先看两角是否同属于这一函数的同一单调区间内，若不属于，可先化至同一单调区间内；若不是同名三角函数，则应考虑化为同名三角函数或用差值法（例如与0比较、与1比较等）求解．（3）二次型22sin sin,cos cosy a x b x c y a x b x c=++=++可化为区间上的二次函数来求值域；二次型22sin sin cos cosy a x b x x c x=++可先用倍角公式、降幂扩角公式及辅助角公式化为一次型来求解；（4）分式型sin cos,sin cosa xb a x by yc xd c x d++==++可以用sin x或cos x的有界性求值域，或利用分离常数法求解；分式型sin cos,cos sina xb a x by yc xd c x d++==++可以用数形结合法求值域．【易错指导】（1）对于三角函数()()sin0y A x Aωϕ=+>求其单调区间，要注意ω的正负，若ω为负，则需先化正，化为()siny A xωϕ=---的形式，若求其单调递增区间，应把xωϕ--放在正弦函数的单调减区间内；若求其单调递减区间，应把xωϕ--放在正弦函数的单调增区间内．（2）解答时不要遗漏“k Z∈”，另外三角函数存在多个单调区间时不能用“”联结．（3）求解三角函数的最值（值域）时一定要注意自变量的取值范围，由于三角函数的周期性，正弦函数、余弦函数的最大值和最小值可能不在自变量区间的端点处取得，因此要把这两个最值点弄清楚，不然极易出错误．V．举一反三·触类旁通考向1 三角函数的单调性（单调区间）【例3】【2019新课标I 学易大联考四】已知函数)(x f =)sin(ϕω+x A π(0,0,||)2A ωφ>><的部分图象如图所示，则)cos(ϕω+=x A y 的单调增区间为()A ．2π[ππ,π]36k k --，Z k ∈ B ．]3ππ,31π[+-k k π，Z k ∈ C ．]12ππ,π125π[--k k ，Z k ∈ D ．]6ππ,π65π[--k k ，Z k ∈【命题意图】本题主要考查三角函数的图象变换、三角函数的图象与性质，考查运算求解能力，是基础题． 【答案】A【例4】【2019届河南省洛阳市高三毕业班三练数学（文）】设函数()sin(2),[,]32f x x x πππ=-∈-，则以下结论正确的是（ ）A ．函数()f x 在[,0]2π-上单调递减 B ．函数()f x 在[0,]2π上单调递增 C ．函数()f x 在5[,]26ππ上单调递减 D ．函数()f x 在5[,]6ππ上单调递增【答案】C【解析】4[,0]2[,]2333x x ππππ∈-⇒-∈--，所以函数()f x 先减后增；2[0]2[]2333x x ππππ∈⇒-∈-，，，所以函数()f x 先增后减；524[,]2[]26333x x πππππ∈⇒-∈，，所以函数()f x 单调递减；545[,]2[]6333x x πππππ∈⇒-∈，，所以函数()f x 先减后增；选C ．【例5】【2019学年陕西省西安市一中高一下期末考试数学】函数)42cos(2)(π+-=x x f 的单调增区间别为 ．【答案】)(,8,83Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ．【解析】Q函数()2cos(2)2cos(2)44f x x x ππ=-+=-，由222,4k x k k Zππππ-+≤-≤∈，得：3,88k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，∴函数)42cos(2)(π+-=x x f 的单调增区间别为： )(,8,83Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ．故答案应填：)(,8,83Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ．【例6】【2019学年西藏日喀则一中高二下期末】函数2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭（[]0,x π∈）为增函数的区间是 ．【答案】5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【易错点晴】本题以函数2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的表达式的单调区间为背景，考查的是三角函数中形如)sin()(ϕω+=x A x f 的正弦函数的图象和性质．解答时先从题设中的条件增函数入手，对函数2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭进行变形，将其变形为一般式)62sin(2π--=x y ，将其转化为求函数)62sin(2π-=x y 的减区间．最后将其转化为正弦函数的单调递减区间的求法．通过解不等式使得本题获解．考向2 三角函数的值域与最值【例7】【2019新课标I 押题卷1】已知函数21()sin cos sin 2f x a x x x =-+的一条对称轴方程为6x π=，则函数()f x 的最大值为___________．【命题意图】本题考查三角变换、三角函数的对称性与最值，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、转化思想与方程思想． 【答案】1【解析】∵11cos 2111()sin 2sin 2cos 222222x f x a x a x x -=-+=+，∴)(x f 最值是．∵6x π=是函数)(x f 图象的一条对称轴，∴()6f π=，即11sin cos 2323a ππ+＝，整理得2(02a -=，∴3=a ，所以函数()f x 的最大值为1=．【例8】【2019届湖南省湘西自治州高三第二次质量检测数学（文）】若5,412x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则 ()f x =的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】()cos (sin cos )sin cos 112sin cos 2sin 2tan 2x x x x x f x x x x x ++====+，5,412x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴1tan 2x ≤≤+，121tan x ∴≤≤，∴当1=1tan x 时，()1max f x =．故选A ．【例9】【2019届河北沧州市高三4月调研数学（文）】函数sin (cos )(0)2y x x x x π=-≤≤的值域为（）A ．+B ．[-C ．[0,1]D ．[【答案】D【解析】因2111cos 2sin 2sin 2sin(2)2223x y x x x x π-===+-，且由02x π≤≤，得42333x πππ≤+≤，sin(2)13x π≤+≤，1y ≤≤-，故应选D ． 【例10】【2019届安徽省安庆市高三第三次模拟考试数学（文）】已知()()sin ,,,22f x x x x R ππϕϕ⎛⎫=++∈∈- ⎪⎝⎭的图像过,42π⎛⎫⎪⎝⎭点，则()f x 在区 间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为（ ）A ．[]5,5- B ．[]3,5 C ．[]3,4D ．[]2,5【答案】B【解析】由42f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，有sin 422ππϕ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，得sin ϕ=，而,22ππϕ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以()(),sin 3cos 4sin 5sin 44f x x x x x x ππϕθ⎛⎫=-=-+=+=+ ⎪⎝⎭，其中34sin ,cos 55θθ==，故64ππθ<<，由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦知，02x πθθ≤+≤+，故()35sin 5sin 5x θθ=≤+≤，即()f x的值域为[]3,5，故选B ．【方法点晴】本题考查两角和与差的正弦公式、三角函数的图象及三角函数的最值，属于难题．求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成2sin sin y a x b x c =++的形式利用配方法求最值；②形如sin sin a x by c x d +=+的可化为sin ()x y φ=的形式利用三角函数有界性求最值；③sin cos y a x b x =+型，可化为)y x φ=+求最值．本题是利用方法③的思路解答的．【例11】【2019福建师大附中高一下期中考数学（实验班）】函数cos 2sin y θθ=+(R θ∈)的值域为 ．【答案】]33,33[-【解析】由函数cos 2sin y θθ=+可得θθcos sin 2=+y y ，即θθsin cos 2y y -=，令1sin ,11cos 22+=+=y yy αα，则y y 2)cos(12=++θα，所以1|12|2≤+y y ，解之得33||≤y ．故其值域为]33,33[-．应填]33,33[-．【易错点晴】本题考查的是三角函数的有关知识及综合运用．解答时先依据题设条件借助辅助角α的引入将其转化为y y 2)cos(12=++θα，然后在借助三角函数中余弦函数的值域为]1,1[-建立不等式1|12|2≤+y y ，通过解不等式1|12|2≤+y y 求出函数cos 2sin y θθ=+的值域为]33,33[-．体现数学中的转化与化归的数学思想和方法，整个解答过程充满了化归与转化的数学思想的交替使用．【例12】【2019届黑龙江哈尔滨一中高三第二次模拟考试数学（理）】已知函数()()R x x x x x f ∈--=21cos cos sin 232．（Ⅰ）当5,1212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 取得最大值和最小值时x 的值； （Ⅱ）设锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对应边分别是,,a b c ，且*1,a c N =∈，若向量()11,sin A =n 与向量()22,sin B =n 平行，求c 的值．【答案】（Ⅰ）3x π=，()f x 取得最大值0；12x π=-，()f x取得最小值1；（Ⅱ）2．（Ⅱ）∵向量()1,sin A =n 与向量()2,sin B =n 平行，所以sin 2sin B A =，根据正弦定理的推论，得2b a =，∴1,2a b ==，由余弦定理214212cos 54cos c C C =+-⨯⨯=-，∵02C π<<，∴0cos 1C <<，∴215c <<，∴1c <<，∵*c N ∈，∴2c =，经检验符合三角形要求，∴c 的值为2．【例13】【2019届天津市和平区高三第四次模拟理科数学】已知3sin tan 2αα=，且0απ<<．（Ⅰ）求α的值；（Ⅱ）求函数()()4cos cos f x x x α=-在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．【答案】（1）3πα=（2）[]2,3【解析】试题分析：（Ⅰ）由3sin tan 2αα=，得22sin 3cos αα=，即22cos 3cos 20αα+-=．所以1cos 2α=或cos 2α=-（舍去）．因为0απ<<，所以3πα=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得()()()4cos cos 4cos cos cos sin sin f x x x x x x ααα=-=+14cos cos 2x x x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭22cos cos 1cos 22x x x x x=+=+12sin 26x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ ．由0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得22663x πππ≤+≤，当0x =时，()()min 02f x f ==；当6x π=时， ()max 36f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭．所以，函数()f x 在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]2,3． 考向3 已知三角函数的单调性求参数的值或范围【例14】【2019届安徽省安庆市高三第三次模拟考试数学（理）】若函数()()sin 0f x x ωω=>在区间20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，且2536f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ω的一个可能值是（ ）A ．12B ．35C ．34D ．32【答案】C【解析】因为由函数()()sin 0f x x ωω=>在区间20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，得23324ππωω≤⇒≤．由2536f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得53,625ππωω>>．所以3354ω<≤所以，故选C ．【例15】【2019福建师大附中高一下期中考数学（实验班）】已知函数sin()4y x πω=+（0ω>）是区间3[,]4ππ上的增函数，则ω的取值范围是 ．【答案】159(0,][,]434 【解析】由题设因0>ω且ππ≤≤x 43，则44434πωππωωππ+≤+≤+x ，结合正弦函数的图象可知240ππωπ≤+<或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≥+ππωππωππ25423434，解之得410≤<ω或4935≤≤ω．故应填159(0,][,]434．【易错点晴】本题考查的是三角函数中正弦函数的图象和性质等有关知识及综合运用．本题是一道与单调性有关的逆向型的问题，具有一定的难度．解答时先依据题设条件求出44434πωππωωππ+≤+≤+x ，然后再借助函数在区间3[,]4ππ上单调递增这一条件，建立不等式求解．这里务必要借助正弦函数x y sin =的图象，分类建立不等式组240ππωπ≤+<和⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≥+ππωππωππ25423434辅，通过解这两个不等式组求出了参数ω的取值范围是159(0,][,]434． 考向4 已知三角函数的值域或最值求参数的值或范围【例16】【2019届湖北七市教研协作体高三4月联考试数学（理）】已知函数()sin cos f x a x b x =-（,a b 为常数，0a ≠，x R ∈）在4x π=处取得最大值，则函数()4y f x π=+是（ ） A ．奇函数且它的图象关于点(,0)π对称B ．偶函数且它的图象关于点3(,0)2π对称 C ．奇函数且它的图象关于点3(,0)2π对称 D ．偶函数且它的图象关于点(,0)π对称【答案】B。
备战2017高考黄金100题解读与扩展系列之三角函数：3 三角函数求值题型举例 含解析
研究三角函数式的求值，解题的关键都是找出条件中的角与结论中的角的联系，依据函数名称的变换特点，选择合适的公式求解.一、用三角函数定义求值例1.已知角α的终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)且cos α＝36x ，求sin α＋tan α的值．例2.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos θ＝( )。
A.－45B.－35C.35D.45【解析】取终边上一点(a,2a )(a ≠0)，根据任意角的三角函数定义，可得cos θ＝±55. 点评:用定义法求三角函数值的两种情况:①已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解；②已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解.二、用诱导公式求值例3.【2016高考四川文科】错误！未找到引用源。
.【解析】由三角函数诱导公式错误！未找到引用源。
.例4.已知α∈错误！未找到引用源。
，sin α＝55，则tan(π－α)＝________. 【解析】因为α∈错误！未找到引用源。
，sin α＝55， 所以cos α＝－25 5.所以tan α＝sin αcos α＝－12. 所以tan(π－α)＝－tan α＝12. 点评:诱导公式的应用原则：负化正、大化小，化到锐角为终了。
诱导公式用角度制和弧度制表示都可，运用时应注意函数名称是否要改变以及正负号的选取.三、用同角三角函数间的关系求值例5.【2016高考新课标Ⅲ文数】若错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
（ ） A.错误！未找到引用源。
B.错误！未找到引用源。
C.错误！未找到引用源。
D.错误！未找到引用源。
【解析】错误！未找到引用源。
．例6.已知错误！未找到引用源。
为第二象限角,错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
,则错误！未找到引用源。
备战2017高考黄金100题解读与扩展系列之三角函数：8 三角函数的图象与性质的综合应用 含解析
I ．题源探究·黄金母题【例1】已知()22sin cos 2cos y x x x =++．①求它的递减区间；②求它的最大值和最小值． 【解析】()22sin cos 2cos 12sin cos 1cos22sin 2cos2224y x x x x x x x x x π=++=+++⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭①令πππππk x k 2234222+≤+≤+，解得ππππk x k +≤≤+858，即函数的单调区间为 )(85,8Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ． ②由题意得22max +=y ，22min +-=y ． 精彩解读【试题来源】人教版A 版必修4第147页第9题．【母题评析】本题综合考查三角恒等变换与三角函数的图像与性质，是历年来高考的一个常考点．【思路方法】灵活选择三角公式化为形式()sin y A x Bωϕ=++或()cos y A x B ωϕ=++，再讨论相关性质． II ．考场精彩·真题回放【例2】【2016高考新课标1卷】已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在51836ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调，则ω的最大值为( )（A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5 【答案】B 【解析】4x π=-为()f x 的零点，4x π=为()f x 图象的对 称轴，()444TkT ππ∴--=+，即 41412244k k T ππω++==⋅，41(*)k k N ω∴=+∈，又【命题意图】本题主要考查三角函数的周期性、对称性、单调性、零点等． 【考试方向】这类试题可以是以选择题或填空题或解答题的形式出现，难度中等． 【难点中心】注意本题解法中用到的两个结 论: ①()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的单调区间长度是半个周期；②若()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的图象关于直线0x x = 对称，则()f x 在5,1836ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调，5236181222T ππππω∴-=≤=，即12ω≤，由此ω的最大值为9．故选B ．()0f x A = 或 ()0f x A =-．【例3】【2016高考新课标2理数】若将函数2sin 2y x =的图象向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ） （A ）()26k x k Z ππ=-∈ （B ）()26k x k Z ππ=+∈（C ）()212k x k Z ππ=-∈ （D ）()212k x k Z ππ=+∈【答案】B【解析】由题意，将函数2sin 2y x =的图象向左平移12π个单位得2sin 2()2sin(2)126y x x ππ=+=+，则平移后函数的对称轴为2,62x k k Z πππ+=+∈，即,62k x k Z ππ=+∈，故选B ．【命题意图】本题考查三角函数的图象变换与对称性． 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏易．【难点中心】平移变换和伸缩变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于x ω加减多少值． III ．理论基础·解题原理1．正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：R。
备战2017高考黄金100题解读与扩展系列之三角函数：9 三角恒等变换 含解析
I．题源探究·黄金母题【例1】求函数siny x x=的周期，最大值和最小值．【解析】1sin2sin2y x x x x⎛⎫=+=+⎪⎝⎭2sin cos cos sin2sin333x x xπππ⎛⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故所求函数的周期为2π最大值为2，最小值为2-．精彩解读【试题来源】人教版A版必修4第140页例3．【母题评析】本题考查简单的三角恒等变换、三角函数的性质（周期性、最值）．【思路方法】运用辅助角公式化为一个角的三角函数．II．考场精彩·真题回放【例2】【2016高考新课标2理数】若3cos()45πα-=，则sin2α=（）（A）725（B）15（C）15-（D）725-【答案】D【解析】试题分析：2237cos22cos12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⋅-=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，且cos2cos2sin242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D．【命题意图】本题主要考查倍角公式、诱导公式．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏易，考查基础知识的识记与理解．【难点中心】三角函数求值：①给角求值：将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示：(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余互补”关系．【例3】【2016高考浙江理数】已知2cos2x+sin2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0)，则A=______，b=________．1．【命题意图】本题考查降幂公式、辅助角公式，考查学生分析问题与解决【解析】22cos sin 2)14x x x π+++，1.A b ∴==问题的能力．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏易，往往是高中数学主要知识的交汇题．【难点中心】解答本题时先用降幂公式化简2cos x ，再用辅助角公式化简cos 2sin 21x x ++，进而对照()sin x b ωϕA ++可得A 和b ．III ．理论基础·解题原理1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式：（1）()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；（2）()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； （3）()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；（4）()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； （5）()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；（6）()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．2．二倍角的正弦、余弦和正切公式：（1）sin 22sin cos ααα= 变形： 12sin cos sin 2ααα=． （2）2222cos2cossin 2cos 112sin ααααα=-=-=-．变形如下 升幂公式：221cos 22cos 1cos 22sin αααα⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ 降幂公式：221cos (1cos 2)21sin (1cos 2)2αααα=+=-⎧⎪⎨⎪⎩（3）22tan tan 21tan ααα=-． 3．简单的三角恒等变换：（1）注意正切化弦、平方降次；（2）辅助角公式：)sin(cos sin 22ϕ++=+=x b a x b x a y （其中辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定，tan baϕ=)． IV ．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】这类试题在考查题型上，可以是以选择题或填空题的形式出现，难度中等，也可以是解答题，此时难度较大，主要考查学生的分析问题解决问题、转化与化归等综合能力． 【技能方法】解决此类问题的基本思想是“变换”，通过适当的变换达到由此及彼的目的．在三角函数问题中，变换的基本方向有两个，一是“变名”，二是“变角”．变换函数名称可以使用诱导公式、同角三角函数基本关系式、倍角公式等；变换角的形式，可以使用两角和与差的三角函数公式、倍角公式等． 【易错指导】三角函数的解答题往往从三角函数的图象到性质，再到三角恒等变换等综合设计，其中对三角函数式进行变换是解题的先决条件，在解题时一定要注意变换的等价性和变换的准确性． V ．举一反三·触类旁通考向1 两角和与差的三角函数公式【例4】【2016江苏学易大联考二】已知1sin tan(),(,)72ααβαπ=+=∈π，那么tan β的值为_______.【命题意图】本小题主要考查同角三角函数关系，两角差正切公式等基础知识，意在考查分析问题的能力、基本运算能力． 【答案】3 【解析】由sin (,)2ααπ=∈π得cos tan 2αα==-，因此127t a nt a n ()3.1()7βαβα+=+-==+- 【例5】【2016江苏押题卷3】设α为锐角，若31)6sin(=-πα，则αcos 的值为 ． 【命题意图】考查三角变换的数学思想及运算求解的能力．【例6】【2016届湖北省黄冈中学高三5月一模理科数学试卷】设,(0,)2παβ∈，且1tan tan cos αββ-=，则（ ）A ．32παβ+= B ．22παβ+= C ．32παβ-= D ．22παβ-=【答案】D 【解析】因)24cot()24sin()24cos()24cos()24sin(2)24(cos 2)2sin()24(cos 2cos sin 122βπβπβπβπβπβπβπβπββ-=--=---=--=+，即)]24(2tan[tan βππα--=，也即)24tan(tan βπα+=，故βπα+=22，所以应选D ．【例7】【2017届广州省惠州市高三第一次调研文科数学】若11tan ,tan()32ααβ=+=，则tan =β（ ）（A ）17 （B ）16 （C ）57 （D ）56【答案】A【解析】11tan()tan 123tan tan[()]111tan()tan 7123αβαβαβααβα-+-=+-===+++⨯，故选A ．【例8】【2017届河北省定州中学高三上周练一数学】式子cos cos sin sin 126126ππππ-的值为（ ） A ．12 BD ．1 【答案】B 【解析】由两角和与差的余弦公式得coscossinsincos cos 1261261264πππππππ⎛⎫-=+==⎪⎝⎭，选B ． 考向2 二倍角公式【例9】【2016年高考四川理数】22cossin 88ππ-= ．【答案】2【解析】由二倍角公式得22cossin 88ππ-=cos42=π【名师点睛】这是一个来自于课本的题，直接利用课本公式解题，这告诉我们一定要立足于课本．有许多三角函数的求值问题一般都是通过三角函数的公式把函数化为特殊角的三角函数值而求解．【例10】【2016届山西右玉一中高三下学期模拟考试数学（理）】对于函数()2sin cos 2f x x x =+，下列选项中正确的个数是（ ）①()f x 在(,)42ππ上是递增的；②()f x 的图象关于原点对称；③()f x 的最小正周期为2π； ④()f x 的最大值为3．A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】A【解析】因22sin )(+=x x f ，故22222ππππ+≤≤-k x k ，即其增区间为)](44[Z k k x k ∈+≤≤-ππππ，故①是错误的；由于x 2sin 是奇函数，其图象关于原点对称，因此22sin )(+=x x f 的图象不是关于原点对称的，故②是错误的；因为函数22sin )(+=x x f 的最小正周期 是ππ==22T ，因此③不正确；当12sin =x 时，函数22sin )(+=x x f 取到最大值321=+．故④是正确的，应选A ．【例11】【2016届宁夏六盘山高中高三四模理科数学】已知31sin =α，则=α2cos （ ） A ． 167 B ．167- C ．97D ．97-【答案】C【解析】979121sin 212cos 2=⨯-=-=αα，故选C ． 【例12】【2016届湖南省郴州市高三第四次教学质量检测理科】已知()20,,sin cos 324x x x πππ⎛⎫⎛⎫∈-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan x 等于 （ ）A ．12 B ．2- C ．2D【答案】D【解析】由已知，得cos()12sin cos cos sin332xx xπ++ππ-=，即111o s s i n s i n222x x x-=--+，所以cos x=．因为()0,xπ∈，所以tan x=故选D．【例13】【2016届河南新乡名校学术联盟高三高考押题四文】已知函数()21cos cos2f x x x x=--．（1）求函数()y f x=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；（2）在C∆A B中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，满足2c=，3a=，()0f B=，求sin A的值．【答案】（1）最大值为0，最小值为32-；（2）sin14A=．（2）因为()0f B=，即sin216π⎛⎫B-=⎪⎝⎭． ()0,πB∈，∴112,666πππ⎛⎫B-∈- ⎪⎝⎭，∴262ππB-=，∴3πB=，又在C∆A B中，由余弦定理得，22212cos49223732b c a c aπ=+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=，所以CA=，由正弦定理得sin sinb a=B A，即3sinsin3π=A，所以sin A=考向3 辅助角公式【例14】【2016届江西省高三毕业班新课程教学质监数学（文）】已知sin()sin 3παα++=02πα-<<，则2cos()3πα+等于（ ） A ．45-B ．35- C ．35 D ．45【答案】D ．【解析】由题意得，13sin sin sin 22ααααα+=∴=14cos 25αα+=-，∴214cos()cos 325πααα+=-=，故选D ． 【例15】【2015-2016学年甘省天水一中高一下期末理科数学】当θ=x 时，函数x x x f cos 3sin )(+=取得最大值，则θcos ＝ ．【答案】23．【解析】由于函数()sin 2sin()3f x x x x π=+=+，()232x k k Z πππ∴+=+∈，即 ()26x k k Z ππ=+∈时，函数取得最大值，()26k k Z πθπ∴=+∈，cos cos(2)cos 662k ππθπ=+==，()k Z ∈，故答案应填：23．考向4 公式的活用（降幂扩角公式、升幂缩角公式、正切公式的活用）【例16】【2016高考天津文数】已知函数)0(21sin 212sin)(2>-+=ωωωx xx f ，R x ∈．若)(x f 在区间)2,(ππ内没有零点，则ω的取值范围是（ ）（A ）]81,0( （B ）)1,85[]41,0( （C ）]85,0( （D ）]85,41[]81,0(【答案】D【名师点睛】对于三角函数来说，常常是先化为y ＝Asin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再利用三角函数的性质求解．三角恒等变换要坚持结构同化原则，即尽可能地化为同角函数、同名函数、同次函数等，其中切化弦也是同化思想的体现；降次是一种三角变换的常用技巧，要灵活运用降次公式．【例17】【2015-2016学年河北冀州中学高一下期末】()()01tan181tan 27++的值是（ ）A ．B ．1C ．2D ．()002tan18tan 27+【答案】C【解析】由题意得，00000tan18tan 27tan(1827)1tan18tan 27++=-，即0000tan18tan 2711tan18tan 27+=-，所以 0000tan18tan 271tan18tan 27+=-，所以()()00001tan181tan 271tan18tan 27++=++ 00tan18tan 272+=，故选C ．【方法点晴】本题主要考查了两角和的正切函数、三角函数的化简求值、三角恒等变换等知识的综合应用，其中根据两角和的正切函数的公式，运算得到0tan18tan 271tan18tan 27+=-，代入()()01tan181tan 27++是解答本题的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．【例18】【2016高考江苏卷】在锐角三角形ABC 中，若s i n 2s i ns i n A B C =，则t a n t a n t a n A B C 的最小值是 ▲ ．【答案】8．【解析】sin sin(B C)2sin sin tan tan 2tan tan A B C B C B C =+=⇒+=，因此tan tan tan tan tan tan tan 2tan tan tan tan tan 8A B C A B C A B C A B C =++=+≥≥，即最小值为8．【名师点睛】消元与降次是高中数学主旋律，利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据是本题突破口，斜三角形ABC 中恒有tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++，这类同于正余弦定理，是一个关于切的等量关系，平时多总结积累常见的三角恒等变形，提高转化问题能力，培养消元意识．【例19】【2016江苏学易大联考四】已知sin 2cos αα+=，那么tan2α的值为_______. 【命题意图】本小题主要考查同角三角函数基本关系式，二倍角的正、余弦公式等基础知识，意在考查分析问题的能力、基本运算能力．【答案】34-【解析】由sin 2cos αα+=平方得225sin +4sin cos +4cos ,2αααα=因此1cos21cos25+2sin 2+4,222ααα-+⨯=即3cos22sin 2+02αα=，即3tan 2.4α=- 考向5 三角函数知角求值【例20】【2016届江西省吉安市一中高三上学期期中考试文科】000sin 47sin17cos30cos17-（ ）A ．-．12- C ．12 D【答案】D【解析】0000sin 47sin17cos30cos17-sin()sin cos cos 1730173017︒+︒-︒︒=︒sin cos cos sin sin cos cos 17301730173017︒︒+︒︒-︒︒=︒cos 302=︒=．故选D ．【例21】【2015-2016学年云南省蒙自一中高二上学期开学考试文科】sin20°cos10°-cos160°sin10°=A ．．12- D ．12【答案】D【解析】原式()1sin 20cos10cos 20sin10sin 20102=+=+=． 考向6 三角函数知值求值【例22】【2016届黑龙江大庆铁人中学高三上学期期中理科】设α、β都是锐角，且cos α＝13，sin （α＋β）＝45，则cos β等于（ ）A D ．以上都不对【答案】A【解析】由α是锐角及1cos 3α=知sin α=且3πα>，又β是锐角及4sin()5αβ+= ，可得3cos()5αβ+=±，若3cos()5αβ+=，则αβ+为锐角，又4sin()52αβ+=<知3παβ+<，又3πα>，所以3παβ+>，与3παβ+<矛盾，3cos()5αβ+=-，可得[]cos cos ()βαβα=+-cos()cos sin()sin αβααβα=+++=3145353-⋅+⋅=315，故选 A ． 【易错点晴】本题主要考查两角和与差的正弦、余弦函数及角的变换技巧，属于中等难度题，在由4sin()5αβ+=，得出3cos()5αβ+=±时，要注意进行讨论，特别对角的范围要进行限制，否则容易出错，常见角的凑配技巧（原则上用题目中的已知角来表示所需要求的未知角）有：22αα=⋅()αββ=+-()()22ααββ=++-22αβαβ+-=+()ββα=--，2()()ααβαβ=++-，()424πππαα+=--等．【例23】【2015-2016学年陕西省西安市长安一中高二下期中】已知5sin(),413x π+=-则sin 2x的值等于（ ） A ．169120 B ．169119 C ．169120- D ．119169-【答案】D【解析】555sin(),sin sin cos 413441313x xcos x x x πππ+=-∴+=-+=- ，即sin cos 13x x +=-，两边同时平方可得，119sin 22sin cos 169x x x ==-，选D ．【例24】【2016届四川省成都市七中高三1月第一次周练】若02πα<<，02πβ-<<，1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，sin 42πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 2βα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．． 【答案】C【易错点晴】本题重点考查了三角函数的两角和与差的三角公式，同角三角函数的基本关系式，属于基础题．已知角的三角函数值，求另外角的三角函数值，属于给值求值；这类题型关键在于：用已知角和特殊角将未知角表示出来，本题中，其关键就在于将角2βα+表示成了()442ππβα⎛⎫+-- ⎪⎝⎭然后利用已知条件及余弦的差角公式即可求解，在求角的过程中一定要注意角的取值范围，利用平方关系时，一定要注意符号的判断，这是本题的易错点． 【例25】【2016届广西河池高中高三上第五次月考理科】若[]0,θπ∈，3cos 4θ=，则t a n 2θ=（ ）A ．．17 C ．7 D．7【答案】D【解析】因为[]0,θπ∈，所以0,22θπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以cos 2θ=，所以sin 2θ以tan2θ=D ．【一题多解】由题意，得sin θ=tan θ[]0,θπ∈，所以0,22θπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以由tan θ＝22tan21tan 2θθ=-tan 2θtan 2θ=，故选D ． 【例26】【2016江苏学易大联考一】（本小题满分14分）已知角α终边逆时针旋转6π与单位圆交于点 且2tan()5αβ+=． （1）求sin(2)6πα+的值，（2）求tan(2)3πβ-的值．【命题意图】本题考查三角函数定义，二倍角公式、同角三角函数关系等基础知识，意在考查分析问题、解决问题的能力、基本运算能力． 【解析】（1）设6πθα=+，则sin θθ==．……2分于是3sin 22sin cos 2,5θθθ===214cos212sin 12,105θθ=-=-⨯=……6分 故sin(2)sin[2()]sin(2)sin 2cos cos2sin 666666ππππππαθθθθ+=-+=-=-341552=-⨯=8分 （2）由（1）知1tan()tan 63παθ+==……10分所以21tan()tan()1653tan()tan[()()].2166171tan()tan()1653παβαππβαβαπαβα+-+--=+-+===++++⨯……12分 于是22tan()176tan(2)tan 2()361441tan ()6πβππββπβ--=-==--……14分 考向7 三角函数知值求角【例27】【2016高考上海理数】方程3sin 1cos 2x x =+在区间[]π2,0上的解为___________ ． 【答案】566ππ或 【解析】3sinx 1cos 2x =+，即23sinx 22sin x =-，所以22sin x 3sinx 20+-=，解得1sinx 2=或sinx 2=-（舍去），所以在区间[]π2,0上的解为566ππ或． 【名师点睛】已知三角函数值求角，基本思路是通过化简 ，得到角的某种三角函数值，结合角的范围求解．． 本题难度不大，能较好地考查考生的逻辑推理能力、基本计算能力等． 【例28】【2015-2016学年内蒙古赤峰二中高一上期末】若锐角,αβ满足(1t a n 3t a n )4αβ=，则αβ+= ．【答案】3π【解析】由(1tan )(1tan )4αβ=得1tan )3tan tan 4αβαβ++=，所以tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++==-,αβ都是锐角，所以3παβ+=．考向8 三角恒等变换与三角函数性质的综合【例29】【2015-2016学年黑龙江鹤岗一中高二下期末理科数学】已知函数)0,0(12sin 2)sin(3)(2πϕωϕωϕω<<>-+++=x x x f 为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为2π． （1）当)4,2(ππ-∈x 时，求)(x f 的单调递减区间； （2）将函数)(x f y =的图象沿x 轴方向向右平移6π个单位长度，再把横坐标缩短到原来的21（纵坐标不变），得到函数)(x g y =的图象．当]6,12[ππ-∈x 时，求函数)(x g 的值域．【答案】（1）]4,2[ππ--；（2）]3,2[-．【解析】试题分析：（1）借助题设逆用两角差的正弦公式求解；（2）借助题设条件和正弦函数的图象性质求解． 试题解析:（1）解：由题意可得：)6sin(2)cos()sin(3)(πϕωϕωϕω-+=+-+=x x x x f ，因为相邻两对称轴间的距离为2π，所以π=T ，2=ω，因为函数为奇函数，所以6,6ππϕππϕ+==-k k ，因为πϕ<<0，所以6πϕ=，函数为x x f 2sin 2)(=．要使)(x f 单调减，需满足42,22ππππ-≤≤--≤≤-x x ，所以函数的减区间为]4,2[ππ--． （2）由题意可得：)34sin(2)(π-=x x g ，∵]6,12[ππ-∈x ，∴33432πππ≤-≤-x ， ∴]3,2[)(,23)34sin(1-∈≤-≤-x g x π，即函数)(x g 的值域为]3,2[-． 【易错点晴】三角函数的图象和性质是高中数学中重要的内容和考点．解答本题时要充分利用题设中提供的解析表达式，运用三角变换中的二倍角公式及变形将其化为)6s i n (2πϕω-+=x y 的形式，再借助两对称轴之间的距离即为半个周期求出2=ω，再利用奇函数的定义求出6πϕ=．第二问中的求解一定要注意然]6,12[ππ-∈x ，这是容易忽视的地方．其次是当得到33432πππ≤-≤-x 后，一定要理解这是正弦函数中的变量的取值范围，最终求出最大值和最小值，从而使得问题获解． 考向9 三角恒等变换与平面向量的综合【例30】【2016江苏高考押题卷1】（本小题满分14分）已知(c o s ,s i n),(c o a b ααββ==．（1）若67πβα=-，求a b ⋅ 的值；（2）若4,58a b πα⋅== ，且⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈-0,2πβα，求tan()αβ+的值．【命题意图】本题考查平面向量的数量积、两角和与差的三角函数、同角三角函数关系式等基础知识，意在考查分析问题和解决问题的能力、基本运算能力．【解析】（1）解：（1）∵)sin ,(cos ),sin ,(cos ββαα==b a ，∴()2367cos cos -==-=⋅πβαb a ． （2）∵54=⋅∴()54cos =-βα，()53sin -=-βα，()43tan -=-βα，)(4)(2βαπβααβα--=--=+，∴)](4tan[)tan(βαπβα--=+)tan(1)tan(1βαβα-+--==431431-+=7 ．。
备战2017高考黄金100题解读与扩展系列之三角函数：6 求解三角函数问题常用的数学思想 含解析
三角函数是高中数学的重要内容之一,其中蕴含着丰富的数形结合思想、分类讨论思想、等价转换思想、函数与方程思想思想、换元思想、整体代换思想，本文举例说明.一、数形结合思想例1.【2016高考新课标2文数】函数错误!未找到引用源。
的部分图像如图所示，则（ ）A.错误!未找到引用源。
B.错误!未找到引用源。
C.错误!未找到引用源。
D.错误!未找到引用源。
点评:解决这类题目一般是先根据函数图象的最高点、最低点确定A ，h 的值，函数的周期确定ω的值，再根据函数图象上的一个特殊点确定φ值.二、分类讨论思想例2:已知角α的终边上一点P (－3，m )(m ≠0), 且sin α＝2m 4，求sin 2α+tan 2α的值.【解析】 由题设知x ＝－3，y ＝m ， 所以r 2＝|OP |2＝()－32＋m 2(O 为原点)，r ＝3＋m 2. 所以sin α＝m r ＝2m 4＝m 22， 所以r ＝3＋m 2＝22，即3＋m 2＝8，解得m ＝± 5.①当m ＝5时，r ＝22，x ＝－3，y ＝5，所以cos α＝－322＝－64， sin α＝错误!未找到引用源。
,tan α＝－153； 所以sin 2α+tan 2α错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。
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.②当m ＝－5时，r ＝22，x ＝－3，y ＝－5，所以cos α＝－322＝－64， sin α＝错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。
,tan α＝153. 所以sin 2α+tan 2α错误!未找到引用源。
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.点评 :本题中点P (－3，m )(m ≠0)的坐标中有参数错误!未找到引用源。
，由于错误!未找到引用源。
的符号不同，点错误!未找到引用源。
的位置不同，相应的角错误!未找到引用源。
的三角函数值不同，因此求解本题需要对错误!未找到引用源。
备战2017高考黄金100题解读与扩展系列之三角函数：2 例说三角函数的定义的运用 含解析
能用三角函数定义求解的数学问题一般有两种题型，一类是知道角α的终边上一点的坐标；另一类是与单位圆有关.利用三角函数定义可以求三角函数值、参数值、判断角的象限.一、求三角函数值例1. 已知角α的终边上一点P (－3，m )(m ≠0), 且sin α＝2m 4，求cos α， tan α的值．点评：利用三角函数的定义求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x 、纵坐标y 、该点到原点的距离r .若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)．例2.如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α＝____.【解析】因为A 点纵坐标y A ＝45，且A 点在第二象限，又因为圆O 为单位圆，所以A 点横坐标x A ＝－35，由三角函数的定义可得cos α＝－35.点评：在利用三角函数定义时，点P 可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点．|OP |＝r 一定是正值．二、求参数值例 2. 【2016学年湖南衡阳一中高一下期末】已知角α的终边过点(8,3)P m ，且4cos 5α=-，则m 的值为（ ） A ．12- B ．12C ．32-D ． 32【解析】由题设549648cos 2-=+=m mα可得21±=m ,经检验21-=m 成立,应选A. 点评：对于三角函数的定义要牢固记忆，并且与单位圆中的要区分开，要知道只有在单位圆中点的纵坐标才是角θ的正弦．三、三角函数定义下的创新例3.(2014·高考课标全国卷Ⅰ)如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M .将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在的图象大致为( )【解析】如图所示，当x ∈(0,)2π时，则P (cos x ，sin x )，M (cos x ，0)，作MM ′⊥OP ，M ′为垂足， 则||MM ′|OM |＝sin x ，所以f （x ）cos x＝sin x ， 所以f (x )＝sin x cos x ＝12sin 2x ，则当x ＝π4时，f (x )max ＝12； 当x ∈(,)2ππ时，有f （x ）|cos x |＝sin (π－x )，f (x )＝－sin x cos x ＝－12sin 2x ， 当x ＝3π4时，f (x )max ＝12.只有B 选项的图象符合．点评：本题是三角函数与圆的结合，利用三角函数定义首先写出P 、M 坐标，结合图形用x 表示出f (x )，即可判断出结果，此类问题见证了数学中的“以静制动”．近年来高考注重了由“静态数学”向“动态数学”的引导．一般以简单几何图形的平移、滑动、滚动等形式，运用三角知识考查学生分析问题解决问题的能力．。
备战2017高考黄金100题解读与扩展系列之三角函数：4 三角函数的图象与性质 Word版含解析
三角函数的图象与性质一直是高考命题的热点，主要考查三角函数的单调性、最值、奇偶性、周期性、图象对称性以及这些性质的综合运用. 主要考查运用数学知识分析解决问题的能力，考查数形结合思想.主要题型有：五点法作图、图象变换、根据图象求解析式、函数图象的交点问题、三角函数的单调性、 三角函数的奇偶性、三角函数的周期性.题型一：五点法作图【例1】【2015年湖北卷】某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（1）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数()f x 的解析式； （2）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象. 若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值. 【解析】（1）由表中数据得A ＝5，ω×π3+φ＝π2，＝ω×5π6+φ＝3π2，解得ω＝2，φ＝－π6，数据填补如下：故函数()f x 的解析式为f (x )＝5sin(2x －6).（2）由（1）知f (x )＝5sin(2x －π6)，所以由平移得g (x )= 5sin(2x －π6+2θ). 因为y =g (x )图象的一个对称中心为(5π12,0)，所以2×5π12－π6+2θ=k π,k ∈Z, θ=k π2－π3，k ∈Z,又θ＞0，故θmin ＝π6.点评：函数sin()y A x ωϕ=+图象的画法： “五点法”――设X x ωϕ=+，令X ＝0，3,,,222ππππ求出相应的x 值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象.题型二：三角函数的图象变换【例2】【2016高考四川文科】为了得到函数sin()3y x π=+的图象，只需把函数sin y x=的图象上所有的点( )A.向左平行移动3π个单位长度B.向右平行移动3π个单位长度 C.向上平行移动3π个单位长度 D.向下平行移动3π个单位长度【解析】由题意，为得到函数sin()3y x π=+，只需把函数sin y x =的图象上所有点向左移3π个单位，故选A.点评：将sin ()y x x R =∈ 经过下列变换，可得sin()y A x b ωϕ=++(0,0>>∈ωA x ，R )的图象：1sin sin()sin()y x y x y x ωϕωϕ=−−−→=+−−−−−−→=+向左纵坐标不变横坐标变为原来的sin()A y A x ωϕ−−−−−−→=+横坐标不变纵坐标为原来的倍sin()y A x b ωϕ−−−−−→=++向上平移b 单位.题型三：根据图象求解析式【例3】【2016高考新课标2文数】函数=sin()y A x ωϕ+的部分图像如图所示，则（ ）A.2sin(2)6y x π=-B.2sin(2)3y x π=-C.2sin(2+)6y x π=D.2sin(2+)3y x π=【解析】由图知，2A =，周期2[()]36T πππ=--=，所以22πωπ==，所以2sin(2)y x ϕ=+，因为图象过点(,2)3π，所以22sin(2)3πϕ=⨯+，所以2sin()13πϕ+=，所以22(Z)32k k ππϕπ+=+∈，令0k =得，6πϕ=-，所以2sin(2)6y x π=-，故选A.点评：逆用五点法作图的过程是求函数的解析式的关键．五点法作图时，五个点的横坐标求解的方法是，将sin()y x ωϕ=+与函数sin y α=相比较，令0x ωϕ+=，得到x 的值，便是第一个点的横坐标；令2x πωϕ+=，得到第二个点的横坐标，等等．题型四：函数图象的交点问题【例4】【2014年上海卷】设常数a 使方程sin x x a =在闭区间上恰有三个解321,,x x x ，则=++321x x x ．点评：找到恰有三个公共点的位置是解题的关键.在处理方程的根的个数时，往往将方程转化为两个函数的交点的个数.题型五：三角函数的单调性【例5】【2016届河南省洛阳市高三毕业班三练】设函数()sin(2),[,]32f x x x πππ=-∈-，则以下结论正确的是（ ）A ．函数()f x 在[,0]2π-上单调递减 B ．函数()f x 在[0,]2π上单调递增C ．函数()f x 在5[,]26ππ上单调递减D ．函数()f x 在5[,]6ππ上单调递增【解析】4[,0]2[,]2333x x ππππ∈-⇒-∈--，所以函数()f x 先减后增；2[0]2[]2333x x ππππ∈⇒-∈-，，，所以函数()f x 先增后减；524[,]2[]26333x x πππππ∈⇒-∈，，所以函数()f x 单调递减；545[,]2[]6333x x πππππ∈⇒-∈，，所以函数()f x 先减后增；选C.点评：sin y x =在(k∈Z)上递增，在(k∈Z)上递减；cos y x =在(k ∈Z)上递增，在(k∈Z)上递减；tan y x =在开区间()(,)22k k k Z ππππ-++∈内都是增函数，但要注意在整个定义域上不具有单调性.题型六： 三角函数的奇偶性与周期性【例6】已知函数x x x f 2sin )2cos 1()(+=，R ∈x ，则)(x f 是（ ） A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为2π的偶函数题型七：三角函数图象的对称性【例7】【2016届河南新乡名校学术联盟高三高考押题】已知函数()()2sin f x x ωϕ=+（02πϕ<<）与y 轴的交点为()0,1，且图象上两对称轴之间的最小距离为2π，则使()()0f x t f x t +--+=成立的t 的最小值为（ ）A ．6πB ．3πC ．2π D ．23π【解析】因为2ππω=，所以2ω=，所以()02sin 1f ϕ==，所以6πϕ=，所以()2sin(2)6f x x π=+，由题意()()0f x t f x t +--+=，得()()f x t f x t -+=+，所以()f x 关于直线x t =对称， 所以26t π+=2k ππ+，k ∈Z ，所以26k t ππ=+，k ∈Z ， 所以t 的最小值为6π．点评：本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查，叙述方式新颖，是一道考查能力的好题.注意本题解法中用到的两个结论:①()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的单调区间长度是半个周期；②若()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的图象关于直线0x x = 对称,则()0f x A = 或()0f x A =-.对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．。
备战2017高考数学(精讲+精练+精析)专题4.1 三角函数的图象与性质试题 理(含解析)
专题4.1 三角函数的图象与性质【三年高考】1. 【2016高考新课标1卷】已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调,则ω的最大值为( ) （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5 【答案】B2．【2016高考新课标2理数】若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ） （A ）()26k x k Z ππ=-∈ （B ）()26k x k Z ππ=+∈ （C ）()212k x k Z ππ=-∈ （D ）()212k x k Z ππ=+∈ 【答案】B【解析】由题意，将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位得2sin 2()2sin(2)126y x x ππ=+=+，则平移后函数的对称轴为2,62x k k Z πππ+=+∈，即,62k x k Z ππ=+∈，故选B. 3．【2016年高考北京理数】将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移s （0s >） 个单位长度得到点'P ，若'P 位于函数sin 2y x =的图象上，则（ ）A.12t =，s 的最小值为6π B.t = ，s 的最小值为6πC.12t =，s 的最小值为3π D.2t =，s 的最小值为3π【答案】A4．【2016高考江苏卷】定义在区间[0,3]π上的函数sin 2y x =的图象与cos y x =的图象的交点个数是 . 【答案】7【解析】由1sin 2cos cos 0sin 2x x x x =⇒==或，因为[0,3]x π∈，所以3551317,,,,,,,2226666x πππππππ=共7个5．【2016高考天津理数】已知函数f(x)=4tanxsin(2x π-)cos(3x π-.(Ⅰ)求f (x )的定义域与最小正周期； （Ⅱ）讨论f(x)在区间[,44ππ-]上的单调性.【解析】()I 解：()f x 的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭.21=4sin cos 2sin cos 22x x x x x x ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭)()=sin 21-cos 2sin 22=2sin 23x x x x x π+=-.所以, ()f x 的最小正周期2.2T ππ==()II 解：令2,3z x π=-函数2sin y z =的单调递增区间是2,2,.22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦由222232k x k πππππ-+≤-≤+,得5,.1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 设5,,,441212A B x k x k k Z ππππππ⎧⎫⎡⎤=-=-+≤≤+∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，易知,124A B ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦.所以, 当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,()f x 在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间412ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，上单调递减.6. 【2015高考陕西，理3】如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6y x k πϕ=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．10【答案】C7.【2015高考安徽，理10】已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（A ，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ） （A ）()()()220f f f <-< （B ）()()()022f f f <<- （C ）()()()202f f f -<< （D ）()()()202f f f <<- 【答案】A【解析】由题意，()()sin (0,0,0)f x x A ωϕωϕ=A +>>>，22||T πππωω===，所以2ω=，则()()sin 2f x x ϕ=A +，而当23x π=时，2322,32k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得2,6k k Z πϕπ=+∈，所以()sin 2(0)6f x x A π⎛⎫=A +> ⎪⎝⎭，则当2262x k πππ+=+，即,6x k k Z ππ=+∈时，()f x 取得最大值.要比较()()()2,2,0f f f -的大小，只需判断2,2,0-与最近的最高点处对称轴的距离大小，距离越大，值越小，易知0,2与6π比较近，2-与56π-比较近，所以，当0k =时，6x π=，此时|0|0.526π-，|2| 1.476π-，当1k =-时，56x π=-，此时5|2()|0.66π---，所以(2)(2)(0)f f f <-<，故选A. 8.【2015高考湖南，理9】将函数()sin 2f x x =的图像向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后得到函数()g x 的图像，若对满足12()()2f x g x -=的1x ，2x ，有12min 3x x π-=，则ϕ=（ ）A.512πB.3πC.4πD.6π 【答案】D.9.【2015高考福建，理19】已知函数f()x 的图像是由函数()cos g x x =的图像经如下变换得到：先将()g x 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移2p个单位长度. (Ⅰ)求函数f()x 的解析式，并求其图像的对称轴方程；(Ⅱ)已知关于x 的方程f()g()x x m +=在[0,2)p 内有两个不同的解,a b ． （1)求实数m 的取值范围；（2)证明：22cos ) 1.5m a b -=-(【答案】(Ⅰ) f()2sin x x =，(k Z).2x k pp =+?；(Ⅱ)（1）(-；（2）详见解析． 【解析】解法一：(1)将()cos g x x =的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到y 2cos x =的图像，再将y 2cos x =的图像向右平移2p个单位长度后得到y 2cos()2x p =-的图像，故f()2sin x x =，从而函数f()2sin x x =图像的对称轴方程为(k Z).2x k pp =+?(2)1) f()g()2sin cos )x x x x x x +=+)x j +（其中sinj j ==），依题意，sin(x j +在区间[0,2)p 内有两个不同的解,a b 当且仅当|1<，故m 的取值范围是(-.2)因为,a b )=m x j +在区间[0,2)p 内有两个不同的解，所以sin(a j +sin(b j +.当1£+=2(),2();2pa b j a b p b j --=-+当-时,3+=2(),32();2pa b j a b p b j --=-+所以2222cos )cos 2()2sin ()11 1.5m a b b j b j -=-+=+-=-=-(10. 【2014高考湖南卷第9题】已知函数()sin(),f x x ϕ=-且230()0,f x dx π=⎰则函数()f x 的图象的一条对称轴是( ) A.56x π=B.712x π=C.3x π=D.6x π= 【答案】A11．【2014全国1高考理第6题】如图，图O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数)(x f ，则],0[)(π在x f y =的图像大致为（ ）A B C D【答案】C【解析】如图所示，当02xπ≤≤时，在Rt OPM∆中，cos cosOM OP x x==．在R t O M D∆中，MD= sinOM x1cos sin sin22x x x==；当2xππ<≤时，在Rt OPM∆中，cos()cosOM OP x xπ=-=-，在Rt OMD∆中，MD=sin()OM xπ-1cos sin sin22x x x=-=-，所以当0xπ≤≤时，()y f x=的图象大致为C．POAMD12.【2014高考天津第15题】已知函数()2cos sin34f x x x xπ⎛⎫=⋅+-+⎪⎝⎭，x R∈．（Ⅰ）求()f x的最小正周期；（Ⅱ）求()f x在闭区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题, 三角函数的周期性、单调性、最值，三角函数图像变换等是高考的热点，每年文理均涉及到一道三角函数性质与图像的题目，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度属于中、低档；常与三角恒等变换交汇命题，在考查三角函数性质的同时，又考查三角恒等变换的方法与技巧，注重考查函数与方程、转化与化归等思想方法．【2017年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式可以看出 , 高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的图象与性质是本章复习的重点. 从高考试题来看，三角函数的周期性,单调性,对称性,最值,图像变换等是高考的热点，常与三角恒等变换交汇命题，在考查三角函数性质的同时，又考查三角恒等变换的方法与技巧，注重考查函数与方程、转化与化归等思想方法．其特点如下：(1)考小题，重基础：小题其考查重点在于基础知识：解析式；图象与图象变换；两域(定义域、值域)；四性(单调性、奇偶性、对称性、周期性)．(2)考大题，难度明显降低：有关三角函数的大题即解答题，通过公式变形转换来考查思维能力的题目已经很少，而着重考查基础知识和基本技能与方法的题目却在增加．在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法.从2016年高考试题来看，特别是新课标1卷第17题考察了解三角形，故预测2017年高考可能以三角函数的周期性、单调性、最值、奇偶性为主要考点，可能出一个大题．也有可能仍将以三角函数的周期性、单调性、最值、奇偶性中选一个出一道选择题或填空题，难度不大.【2017年高考考点定位】本节内容高考的重点就是利用三角函数性质，如奇偶性、单调性、周期性、对称性、有界性及“五点作图法”等，求解三角函数的值、求参数、求最值、求值域、求单调区间等问题，三角函数的图象主要考查其变换，题型既有选择题也有填空题，也有解答题，难度中等偏下，而小题目综合化是这部分内容的考查一种趋势.【考点1】三角函数的图象与简单性质 【备考知识梳理】 1.三角函数线三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的一种图示方法.利用三角函数线在解决比较三角函数值大小、解三角方程及三角不等式等问题时，十分方便.以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆（注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米）.当角α为第一象限角时，则其终边与单位圆必有一个交点(,)P x y ，过点P 作PM x ⊥轴交x 轴于点M ，根据三角函数的定义：|||||sin |MP y α==；|||||cos |OM x α==.我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角α的终边不在坐标轴时,以O 为始点、M 为终点，规定：当线段OM 与x 轴同向时，OM 的方向为正向，且有正值x ；当线段OM 与x 轴反向时，OM 的方向为负向，且有正值x ；其中x 为P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有： cos OM x α== 同理,当角α的终边不在x 轴上时,以M 为始点、P 为终点，规定：当线段MP 与y 轴同向时，MP 的方向为正向，且有正值y ；当线段MP 与y 轴反向时，MP 的方向为负向，且有正值y ；其中y 为P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有sin MP y α==.像MP OM 、这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段.如上图,过点(1,0)A 作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与α的终边交于点T ,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段OA AT 、,我们有：tan y AT xα==我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP OM AT 、、,分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.2.正弦函数sin y x =,余弦函数cos y x =,正切函数tan y x =的图象与性质3.（五点法），先列表，令30,,,,222x ππωϕππ+=，求出对应的五个x 的值和五个y 值，再根据求出的对应的五个点的坐标描出五个点，再把五个点利用平滑的曲线连接起来，即得到()sin y A x h ωϕ=++在一个周期的图像，最后把这个周期的图像以周期为单位，向左右两边平移，则得到函数()sin y A x h ωϕ=++的图像.【规律方法技巧】用“五点法”作图应抓住四条：①将原函数化为()sin y A x h ωϕ=++()0,0A ω>>或()cos y A x h ωϕ=++()0,0A ω>>的形式；②求出周期2T πω=；③求出振幅A ；④列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点． 【考点针对训练】1. 【河北省衡水中学2016届高三四调】函数cos tan y x x =（22x p p-<<）的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】C 【解析】由于当22x p p-<<时，cos 0x >，sin cos tan cos sin ,(,)cos 22x y x x xx x x p p \===?， 故选C ．2.函数()lg |sin |f x x =是（ ）.A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为2π的奇函数C.最小正周期为π的偶函数D.最小正周期为2π的偶函数 【答案】C【考点2】三角函数图象的变换 【备考知识梳理】1.函数图像的变换（平移变换和上下变换） 平移变换：左加右减，上加下减把函数()y f x =向左平移()0ϕϕ>个单位，得到函数()y f x ϕ=+的图像; 把函数()y f x =向右平移()0ϕϕ>个单位，得到函数()y f x ϕ=-的图像; 把函数()y f x =向上平移()0ϕϕ>个单位，得到函数()y f x ϕ=+的图像; 把函数()y f x =向下平移()0ϕϕ>个单位，得到函数()y f x ϕ=-的图像. 伸缩变换:把函数()y f x =图像的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的1ω，得到函数()()01y f x ωω=<<的图像; 把函数()y f x =图像的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的1ω，得到函数()()1y f x ωω=>的图像;把函数()y f x =图像的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的A ，得到函数()()1y Af x A =>的图像; 把函数()y f x =图像的横坐标不变,纵坐标缩短到原来的A ，得到函数()()01y Af x A =<<的图像. 2.由sin y x =的图象变换出()sin y x ωϕ=+()0ω>的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换.利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少.途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将sin y x =的图象向左()0ϕ>或向右()0ϕ<平移ϕ个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(0ω>)，便得()sin y x ωϕ=+的图象 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换：先将sin y x =的图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(0ω>)，再沿x 轴向左(0ϕ>)或向右(0ϕ<)平移ωϕ||个单位，便得()sin y x ωϕ=+的图象.注意：函数sin() y x ωϕ=+的图象，可以看作把曲线sin y x ω=上所有点向左(当0ϕ>时)或向右(当0ϕ<时)平行移动ϕω个单位长度而得到. 【规律方法技巧】1. 在解决函数图像的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的,x y 变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．2. 图像变换法．若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到，可利用图像变换作出，但要注意变换顺序．对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．3.解决图象变换问题时，要分清变换的对象及平移(伸缩)的大小，避免出现错误．4.特别提醒：进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身. 【考点针对训练】1. 【2016年江西师大附中高三上学期期末】已知函数sin 3y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向右平移3π个单位后 所得的图像与原函数图像关于x 轴对称，则ω的最小正值为（ ） A ．1 B ．2 C ．52D ．3 【答案】D2. 【2016年江西师大附中高三二模】已知函数sin 3y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向右平移3π个单位后，所得的图像与原函数图像关于x 轴对称，则ω的最小正值为（ ） A ．1 B ．2C ．52D ．3【答案】D【解析】原函数向右平移3π个单位后所得函数为)33sin(ωππ-+=wx y 其与原函数关于x 轴对称，则必有)3sin(-)33sin(πωππ+=-+wx wx ，由三角函数诱导公式可知ω的最小正值为3，故本题的正确选项为D. 【考点3】求三角函数解析式 【备考知识梳理】1. 由()sin y A x ωϕ=+的图象求其函数式：已知函数()sin y A x ωϕ=+的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定ϕ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点,0ϕω⎛⎫-⎪⎝⎭作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置． 2.利用图象变换求解析式：由sin y x =的图象向左()0ϕ>或向右()0ϕ<平移ϕ个单位，，得到函数()sin y x ϕ=+，将图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(0ω>)，便得()sin y x ωϕ=+，将图象上各点的纵坐标变为原来的A 倍(0A >)，便得()sin y A x ωϕ=+. 【规律方法技巧】1.根据()sin y A x h ωϕ=++()0,0A ω>>的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑： (1)A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最高点－最低点2；(2)k 的确定：根据图象的最高点和最低点，即k ＝最高点＋最低点2；(3) ω的确定：结合图象，先求出周期T ，然后由T ＝2πω(ω>0)来确定ω；(4)φ的确定：由函数()sin y A x k ωϕ=++最开始与x 轴的交点的横坐标为ϕω-(即令0x ωϕ+=，x ϕω=-)确定ϕ.将点的坐标代入解析式时，要注意选择的点属于“五点法”中的哪一个点.“第一点”（即图象上升时与x 轴的交点）为002x k ωϕπ+=+，其他依次类推即可.2.在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向． 【考点针对训练】1. 【2016届邯郸市第一中学高三十研】已知()2sin()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的表达式为（ ）A ．3()2sin()24f x x π=+B ．35()2sin()24f x x π=+C ．42()2sin()39f x x π=+D ．425()2sin()318f x x π=+【答案】B2. 【2016届山东省东营市胜利一中高三最后一卷】定义22⨯矩阵12142334a a a a a a a a ⎛⎫=-⎪⎝⎭．若()()()sin cos 1x f x x ππ⎛-=⎪+⎝⎭，则()f x 的图象向右平移3π个单位得到的函数解析式为（ ） A ．22sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B ．2sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．2cos y x =D ．2sin y x =【答案】D【考点4】三角函数的单调性 【备考知识梳理】 1.三角函数的单调区间：x y sin =的递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2222ππππk k ，)(Z k ∈，递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡++23222ππππk k ，)(Z k ∈； x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈， x y tan =的递增区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22ππππk k ，)(Z k ∈，2.复合函数的单调性设()y f u =，()[][],,,,u g x x a b u m n =∈∈都是单调函数，则()y f g x =⎡⎤⎣⎦在[],a b 上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数增减性相反，复合函数为减函数，如下表【规律方法技巧】1. 求形如()sin y A x ωϕ=+或()cos y A x ωϕ=+ (其中A≠0，0ω>)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“x ωϕ+ (0ω>)”视为一个“整体”；②A>0(A<0)时，所列不等式的方向与sin y x = (x R ∈)，cos y x = (x R ∈)的单调区间对应的不等式方向相同(反)．2. 如何确定函数sin()(0)y A x A ωϕ=+>当0ω<时函数的单调性对于函数sin()y A x ωϕ=+求其单调区间，要特别注意ω的正负，若为负值，需要利用诱导公式把负号提出来，转化为sin()y A x ωϕ=---的形式，然后求其单调递增区间，应把x ωϕ--放在正弦函数的递减区间之内；若求其递减区间，应把x ωϕ--放在正弦函数的递增区间之内.3.求函数sin()y A x ωϕ=+ (或cos()y A x ωϕ=+，或tan()y A x ωϕ=+)的单调区间的步骤： (1)将ω化为正．(2)将x ωϕ+看成一个整体，由三角函数的单调性求解． 5．特别提醒：解答三角函数的问题时，不要漏了“k z ∈”.【考点针对训练】1. 【2016年安庆市高三二模】已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >,0ω>,π2ϕ<）的部分图象如图所示,则()f x 的递增区间为（ ） A ．π5π2π,2π1212k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭,k ∈Ζ B ．π5ππ,π1212k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭,k ∈ΖC ． π5π2π,2π66k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭,k ∈Ζ D ．5,66k k ππππ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭,k ∈Ζ【答案】B【解析】由图象可知2A =,311ππ3π41264T =-=,所以πT =,故2ω=.由11(π)212f =-,得π2π3k ϕ=-（k ∈Z ）. ∵π2φ=∴π3φ=-,所以π()2sin(2)3f x x =-. 由πππ2(2π2π)322x k k -∈-+，（k ∈Z ）,得π5π(ππ)1212x k k ∈-+，（k ∈Z ）.或：311ππ3π41264T =-=,所以πT =,ππππ646412T -=-=-, πππ5π646412T +=+=,所以()f x 的单增区间是π5ππ,π1212k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭,k ∈Ζ.故选B. 2. 【2016年河南八市高三联考】已知函数2()cos(4)2cos (2)3f x x x π=-+，将函数()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移6π个单位，得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =的一个单调递增区间为（ ） A ．[,]36ππ-B ．[,]44ππ-C ．2[,]63ππD ．3[,]44ππ【答案】B【考点5】三角函数的奇偶性 【备考知识梳理】1．函数的奇偶性的定义； 对定义域内任意x ，如果有()f x -=()f x ，则函数是偶函数，如果有()f x -=-()f x ，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数2．奇偶函数的性质：（1）定义域关于原点对称；（2）偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称； 3．()f x 为偶函数()(||)f x f x ⇔=．4．若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =．5. sin y x =为奇函数，cos y x =为偶函数，tan y x =为奇函数. 【规律方法技巧】1. 一般根据函数的奇偶性的定义解答，首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求()f x -；最后比较()f x -和()f x 的关系，如果有()f x -=()f x ，则函数是偶函数，如果有()f x -=-()f x ，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数.2. 如何判断函数()f x ωϕ+的奇偶性:根据三角函数的奇偶性，利用诱导公式可推得函数()f x ωϕ+的奇偶性，常见的结论如下：(1)若sin()y A x ωϕ=+为偶函数，则有()2k k Z πϕπ=+∈;若为奇函数则有()k k Z ϕπ=∈；(2)若cos()y A x ωϕ=+为偶函数，则有()k k Z ϕπ=∈;若为奇函数则有()2k k Z πϕπ=+∈；(3)若tan()y A x ωϕ=+为奇函数则有()k k Z ϕπ=∈. 【考点针对训练】1. 【2016届湖北省沙市中学高三考前最后一卷】已知函数sin(),0()cos(),0x a x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩是偶函数，则下列结论可能成立的是（ ） A ．,44a b ππ==-B ．,36a b ππ== C ．2,36a b ππ== D ．52,63a b ππ== 【答案】B2. 【2016年淮南高三二模】已知函数()sin(2)f x x ϕ=+满足()()f x f a ≤对x R ∈恒成立，则函数（ ） A ．()f x a -一定为奇函数 B ．()f x a -一定为偶函数 C ．()f x a + 一定为奇函数 D ．()f x a +一定为偶函数 【答案】D【解析】由题意得，()sin(2)1f x a ϕ=+=时，则222a k πϕπ+=+，k ∈Z ，所以()sin(22)sin(22)cos 22f x a x a x k x πϕπ+=++=++=，此时函数为偶函数，故选D ．【考点6】三角函数的周期性 【备考知识梳理】 1. 周期函数的定义一般地，对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得定义域内的每一个x 值，都有()()f x T f x += ，那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期． 2.最小正周期对于一个周期函数()f x ，如果它所有的周期中存在一个最小的正数 ，那么这个最小的正数 就叫做()f x 的最小正周期．2. sin y x =,cos y x =周期为2π,tan y x =周期为π.【规律方法技巧】 1.求三角函数的周期的方法（1）定义法：使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x +T)=f (x ).利用定义我们可采用取值进行验证的思路，非常适合选择题；（2）公式法：()sin()f x A x ωϕ=+和()cos()f x A x ωϕ=+的最小正周期都是2||T πω=，()tan()f x A x ωϕ=+的周期为T πω=.要特别注意两个公式不要弄混； (3)图象法：可以画出函数的图象，利用图象的重复的特征进行确定，一般适应于不易直接判断，但是能够容易画出函数草图的函数；(4)绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定. 如x y x y sin ,sin 2==的周期都是π, 但sin y x =cos x +的周期为2π，而1|2sin(3)|,|2sin(3)2|626y x y x ππ=-+=-+，|tan |y x =的周期不变.2.使用周期公式，必须先将解析式化为sin()y A x h ωϕ=++或cos()y A x h ωϕ=++的形式；正弦余弦函数的最小正周期是2T πϖ=，正切函数的最小正周期公式是T πϖ=；注意一定要注意加绝对值. 【考点针对训练】1. 【2016届辽宁大连八中、二十四中高三模拟】函数)6cos()3sin()(x x x f -+=ππ的最小正周期是（ ） A ．π2 B ．π C ．2πD ．π4 【答案】B【解析】21cos 2()3()sin()cos()sin()cos ()sin ()3632332x f x x x x x x πππππππ++⎡⎤=+-=+-+=+=⎢⎥⎣⎦21cos(2)32x π=++，所以最小正周期为22T ππ==，故选B.2. 【湖南师范大学附属中学2016届高三月考（三）】已知函数2()sin cos )cos f x x x x x ωωωωλ=+--的图象关于直线x π=对称，其中,ωλ为常数，且1,12ω⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若存在030,5x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使0()0f x =，求λ的取值范围．【考点7】三角函数的最值 【备考知识sin y x =,cos y x =的值域为[]1,1-,tan y x =的值域为R .【规律方法技巧】掌握三种类型，顺利求解三角最值:三角函数的最值既是高考中的一个重点，也是一个难点，其类型丰富，解决的方法比较多.但是归纳起来常见的有下面三种类型：（1）可化为sin)y A x B ωϕ=++（型函数值域： 利用三角公式对原函数进行化简、整理，最终得到sin )y A x B ωϕ=++（的形式，然后借助题目中给定的x的范围，确定x ωϕ+的范围，最后利用sin y x =的图象确定函数的值域. 如：①sin y a x b =+，设sin t x =化为一次函数y at b =+在闭区间[1,1]t ∈-上的最值求之； ②sin cos y a x b x c =++，引入辅助角(cos ϕϕϕ==，化为)y x c ϕ=++求解方法同类型①；(2)可化为(sin )y f x =型求函数的值域：首先借助三角公式，把函数化成(sin )y f x =型，然后采用换元法，即令sin [1,1]t x =∈-，构造关于t 的函数，然后根据具体的结构，采取相应的方法求解.如：2sin sin y a x b x c =++,化为二次函数2y at bt c =++在[1,1]t ∈-上的最值求之；sin cos (sin cos )y a x x b x x c =+±+,设sin cos t x x =±化为二次函数2(1)2a t y bt c -=++±在闭区间[t ∈上的最值求之；xax y sin sin +=，tan cot y a x b x =+可转化为对号函数求值域.(3)利用数性结合思想求函数的值域：此类题目需分析函数的结构特征，看能否转化为有几何含义的式子结构，有时也可以把函数图象画出来，直接观察确定函数的值域.如tan cot y a x b x =+，设t a n t x =化为2at by t+=用∆法求值；当0ab >时，还可用平均值定理求最值；sin sin a x by c x d+=+根据正弦函数的有界性，即可分析法求最值，还可“不等式”法或“数形结合”，转化为直线的斜率的几何含义求解.[易错提示] (1)在求三角函数的最值时，要注意自变量x 的范围对最值的影响，往往结合图象求解．(2)求函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，只有当ω＞0时，才可整体代入并求其解，当ω＜0时，需把ω的符号化为正值后求解． 【考点针对训练】1. 【2016届浙江省杭州市高三第二次质检】函数2()3sin cos 4cos 222x x xf x =+（x R ∈）的最大值等于（ ）A ．5B ．92C ．52D ．2 【答案】B【解析】2()3sincos 4cos 222x x x f x =+31cos 3sin 4sin 2cos 2222x x x x +=+⨯=++ ()5sin 22x φ=++，R x ∈ ，()29225max =+=∴x f .故选B.2. 【河北省衡水中学2016届高三七调】已知函数()()2sin sin 02f x x x x πωωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为（ ） A ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ． 13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A【考点8】求函数sin )y A x B ωϕ=++（的对称性（对称轴和对称中心） 【备考知识梳理】 1.对称轴与对称中心：sin y x =的对称轴为2x k ππ=+，对称中心为(,0) k k Z π∈；cos y x =的对称轴为x k π=，对称中心为2(,0)k ππ+k Z ∈；tan y x =对称中心为,02k π⎛⎫⎪⎝⎭k Z ∈. 2.对于sin()y A x ωφ=+和cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系. sin )y A x ωϕ=+（的图象有无穷多条对称轴，可由方程()2x k k Z πωϕπ+=+∈解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与x 轴的交点，可由()x k k Z ωϕπ+=∈，解得()k x k Z πϕω-=∈，即其对称中心为(),0k k Z πϕω-⎛⎫∈⎪⎝⎭．3.相邻两对称轴间的距离为T2，相邻两对称中心间的距离也为T2,函数的对称轴一定经过图象的最高点或最低点．【规律方法技巧】先化成sin)y A x ωϕ=+（的形式再求解．其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心, 关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的对称轴与对称中心． 【考点针对训练】1. 【湖北省八校2016高三第二次联考】若()()()2cos 2+0f x x ϕϕ=>的图像关于直线3x π=对称，且当ϕ取最小值时，00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()0f x a =，则a 的取值范围是（ ）A. (]1,2-B. [)2,1--C. ()1,1-D. [)2,1- 【答案】D2. 【2016年江西高三三校联考】函数2sin y x =的图像的一个对称中心为（ ） A. (0,0) B. (,0)4πC. 1(,)42πD. (,1)2π【答案】C【解析】21cos 2sin 2x y x -==，令2,,242k x k k Z x k Z ππππ=+∈∴=+∈，所以函数2sin y x =的图像的一个对称中心为1(,)42π,选C.【应试技巧点拨】1．如何判断函数()f x ωϕ+的奇偶性根据三角函数的奇偶性，利用诱导公式可推得函数()f x ωϕ+的奇偶性，常见的结论如下： (1)若sin()y A x ωϕ=+为偶函数，则有()2k k Z πϕπ=+∈;若为奇函数则有()k k Z ϕπ=∈；(2)若cos()y A x ωϕ=+为偶函数，则有()k k Z ϕπ=∈;若为奇函数则有()2k k Z πϕπ=+∈；(3)若tan()y A x ωϕ=+为奇函数则有()k k Z ϕπ=∈.2.如何确定函数sin()(0)y A x A ωϕ=+>当0ω<时函数的单调性对于函数sin()y A x ωϕ=+求其单调区间，要特别注意ω的正负，若为负值，需要利用诱导公式把负号提出来，转化为sin()y A x ωϕ=---的形式，然后求其单调递增区间，应把x ωϕ--放在正弦函数的递减区间之内；若求其递减区间，应把x ωϕ--放在正弦函数的递增区间之内. 3.求三角函数的周期的方法（1）定义法：使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x +T)=f (x ).利用定义我们可采用取值进行验证的思路，非常适合选择题；（2）公式法：()sin()f x A x ωϕ=+和()cos()f x A x ωϕ=+的最小正周期都是2||T πω=，()tan()f x A x ωϕ=+的周期为T πω=.要特别注意两个公式不要弄混； (3)图象法：可以画出函数的图象，利用图象的重复的特征进行确定，一般适应于不易直接判断，但是能够容易画出函数草图的函数；(4)绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定. 如x y x y sin ,sin 2==的周期都是π, 但sin y x =cos x +的周期为2π，而1|2sin(3)|,|2sin(3)2|626y x y x ππ=-+=-+，|tan |y x =的周期不变.4.掌握三种类型，顺利求解三角最值三角函数的最值既是高考中的一个重点，也是一个难点，其类型丰富，解决的方法比较多.但是归纳起来常见的有下面三种类型：（1）可化为sin )y A x B ωϕ=++（型函数值域：利用三角公式对原函数进行化简、整理，最终得到sin )y A x B ωϕ=++（的形式，然后借助题目中给定的x 的范围，确定x ωϕ+的范围，最后利用sin y x =的图象确定函数的值域. 如：sin y a x b =+、sin cos y a x b x c =++22sin sin cos cos y a x b x x c x =++等.(2)可化为(sin )y f x =型求函数的值域：首先借助三角公式，把函数化成(sin )y f x =型，然后采用换元法，即令sin [1,1]t x =∈-，构造关于t 的函数，然后根据具体的结构，采取相应的方法求解.如：2sin sin y a x b x c =++、sin cos (sin cos )y a x x b x x c =+±+可转化为二次函数求值域；xax y sin sin +=，tan cot y a x b x =+可转化为对号函数求值域.。
2017年高考数学 考纲揭秘 专题6 三角函数 理
（六）基本初等函数Ⅱ（三角函数）考纲原文1．任意角的概念、弧度制 （1）了解任意角的概念（2）了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化 2．三角函数（1）理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义（2）π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出y =s i n x ，y =c o s x ,y = t a n x 的图象，了解三角函数的周期性（3）理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的性质（如单调性、 最大值和最小值、以及与x 轴的交点等），理解正切函数在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭内的单调性 （4）理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x +cos 2x = 1,sin tan .cos xx x= （5）了解函数sin()y A x ωϕ=+的物理意义；能画出sin()y A x ωϕ=+的图象，了解参数,,A ωϕ对函数图象变化的影响.（6）了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.（十）三角恒等变换1．和与差的三角函数公式（1）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式（2）能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式（3）能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系 2．简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）（十一）解三角形1．正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题 2．应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 高考预测对于三角函数与三角恒等变换的考查：1．涉及本专题的选择题、填空题一般考查三角函数的基本概念、三角恒等变换及相关计算，同时也考查三角函数的图象与性质的应用等，解答题的考查则重点在于三角函数的图象与性质的应用.2．从考查难度来看，本专题试题的难度相对不高，以三角计算及图象与性质的应用为主，高考中通常考查对三角的计算及结合图象考查性质等.3．从考查热点来看，三角恒等变换、三角函数的图象与性质是高考命题的热点，要能够熟练应用三角公式进行三角计算，能够结合正弦曲线、余弦曲线，利用整体代换去分析问题、解决问题.同时要注意两者之间的综合.对于解三角形的考查：1．涉及本专题的选择题、填空题一般利用正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式，考查三角形边、角、面积等的相关计算，同时注重与三角函数的图象与性质、基本不等式等的综合.2．从考查难度来看，本专题试题的难度中等，主要考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式的应用，高考中主要以三角形的方式来呈现，解决三角形中相关边、角的问题.3．从考查热点来看，正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式的应用是高考命题的热点，要能够熟练应用公式进行三角形的边、角求值，三角形形状的判断及面积的相关计算等.注意三角形本身具有的性质的应用. 新题速递1．函数()()cos (0,0,π0)f x A x A ωϕωϕ=+>>-<<的部分图象如图所示，为了得到()sin g x A x ω=的图象，只需将函数()y f x =的图象A ．向左平移π6个单位长度B ．向左平移π12个单位长度 C ．向右平移π6个单位长度 D ．向右平移π12个单位长度2．若π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且πcos24αα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则tan α=__________． 3．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c()cos 2cos A b C =． （1）求角C ； （2）若π,6A ABC =△D 为AB 的中点，求sin BCD ∠． 答案1．B 【解析】由图易知2A =,π22T =，则πT =,2ω=,π203ϕ⨯+=，解得2π3ϕ=-，所以()2π2c o s 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 则()π2sin22cos 22g x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，由π2πππ22223612x x x ⎛⎫-=-+=+ ⎪⎝⎭ 2π3-，根据平移原则，可知将函数()y f x =的图象向左平移π12个单位长度即可得到()g x 的图象，故选B. 2．13【解析】由题意知)22cos sin cos sin αααα-=+，解得cos sin αα-=①，两边平方后可得32sin cos 5αα=，则()28cos sin 12sin cos 5αααα+=+=，即cos sin αα+=②，由①②解得sin 10cos 10αα==⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，则1tan 3α=.（2）因为π6A =，所以ABC △为等腰三角形，且顶角2π3B =，故21sin 2ABCS a B ===△2a =，在DBC △中，由余弦定理得2222cos 7CD DB BC DB BC B =+-⋅=，所以CD =，在DBC △中，由正弦定理可得sin sin CD DBB BCD =∠1sin BCD=∠，所以sin BCD ∠=．。
2017年全国高考考前解答题必考点(理数)命题揭秘之三角函数与解三角形命题热点 含解析
纵观2012到2016年全国的高考试题，对三角函数与解三角形部分的考查基本上集中在以下几个热点问题上：热点一、三角函数的求值问题三角函数的求值问题仍是客观题命题的热点。
求值问题的基本思路主要是运用三角函数的定义，诱导公式或三角函数公式进行恒等变形,完成求值。
需注意角的范围。
从命题形式上看以选择、填空为主.例如以下问题；1.【2014全国大纲高考】已知角a的终边经过点(－4，3），则cos a＝（）A。
错误! B.错误!C．－错误!D．－4 5【答案】D【名师点睛】三角函数的定义和基本关系式是解决三角函数求值问题的基本思路.2。
【2016全国高考课标2】若cos(4π−α）=53，则sin 2α=（ ）A 。
725B.15C.−15D 。
−725【答案】D【解析】2237cos 22cos 12144525αα⎡π⎤π⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⨯-=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，且cos 2cos 2sin 242ααα⎡π⎤π⎛⎫⎡⎤-=-= ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦,故选D.【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示：(1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差． (2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系"或“互余、互补”关系． 3。
【2016全国高考课标3】若3tan 4α=,则2cos 2sin 2αα+=（ )A 。
6425B 。
4825C 。
1D 1625【答案】A【名师点睛】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．【命题的趋势与预测】全国高考三角函数求值问题试题的难度逐步降低，主要体现在对三角恒等变形的要求有所降低.预计2017年高考仍会有三角函数的求值问题，考查考生灵活的公式运用能力，变形能力，联想和计算能力.热点二、三角函数的图像与性质作为高考的必考点，三角函数的图像与性质,主要体现考察点为图像变换，运用三角恒等变形考察y＝A sin（ωx＋φ)型函数的性质。
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三角函数是高中数学的重要内容之一,其中蕴含着丰富的数形结合思想、分类讨论思想、等价转换思想、函数与方程思想思想、换元思想、整体代换思想，本文举例说明.
一、数形结合思想
例1.【2016高考新课标2文数】函数错误！未找到引用源。
的部分图像如图所示，则（ ） A.错误！未找到引用源。
B.错误！未找到引用源。
C.错误！未找到引用源。
D.错误！未找到引用源。
点评:解决这类题目一般是先根据函数图象的最高点、最低点确定A ，h 的值，函数的周期确定ω的值，再根据函数图象上的一个特殊点确定φ值.
二、分类讨论思想
例2:已知角α的终边上一点P [－3，m ][m ≠0], 且sin α＝
2m 4
，求sin 2α+tan 2α的值.
【解析】 由题设知x ＝－3，y ＝m ，
所以r 2＝|OP |2＝()－32＋m 2[O 为原点]，r ＝3＋m 2. 所以sin α＝m r ＝
2m 4＝m 22， 所以r ＝3＋m 2＝22，
即3＋m 2＝8，解得m ＝± 5.
①当m ＝5时，r ＝22，x ＝－3，y ＝5，
所以cos α＝－322＝－64， sin α＝错误！未找到引用源。
,tan α＝－153； 所以sin 2α+tan 2α
错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
.
②当m ＝－5时，r ＝22，x ＝－3，y ＝－5，
所以cos α＝－322＝－64， sin α＝错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
,tan α＝153
. 所以sin 2α+tan 2α
错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
.
点评 :本题中点P [－3，m ][m ≠0]的坐标中有参数错误！未找到引用源。
，由于错误！未找到引用源。
的符号不同，点错误！未找到引用源。
的位置不同，相应的角错误！未找到引用源。
的三角函数值不同，因此求解本题需要对错误！未找到引用源。
进行讨论.
三、对称思想
例3. （2016届湖北七市教研协作体高三4月联考数学（文）试卷）将已知函数错误！
未找到引用源。
（错误！未找到引用源。
为常数，错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
）在错误！未找到引用源。
处取得最大值，则函数错误！未找到引用源。
是（ ） A ．奇函数且它的图象关于点错误！未找到引用源。
对称 B ．偶函数且它的图象关于点错误！未找到引用源。
对称
C ．奇函数且它的图象关于点错误！未找到引用源。
对称 D ．偶函数且它的图象
关于点错误！未找到引用源。
对称
点评:函数错误！未找到引用源。
图象的对称轴方程可由错误！未找到引用源。
求得；对
称中心的横坐标可由错误！未找到引用源。
求得，纵坐标是0.
四、等价转化思想
例4:【2016学年甘省天水一中期末】已知错误！未找到引用源。
，则
错误！未找到引用
源。
__________．
【解析】因为错误！未找到引用源。
，所以错误！未找到引用源。
，
因为错误！未找到引用源。
，
错误！未找到引用源。
所以
错误！未找到引用源。
所以错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
.
点评:本题主要是进行角的转化，常见的角变换有：
错误！未找到引用源。
， 错误！未找到引用源。
， 错误！未找到引用源。
，
错误！未找到引用源。
，
,
错误！未找到引用源。
.
错误！未找到引用源。
五、函数方程思想
例5.若关于x的方程cos2x－2cos x＋m＝0有实数根，则实数m的取值范围是________.
点评本题若令cos x＝t，则可通过换元法将原方程化为关于t的一元二次方程，但求解过程将非常繁琐，而通过分离参数，引进函数，便可通过函数的值域较为简单地求得参数m 的取值范围.
六、整体代换思想
例6.已知函数f[x]＝a sin[πx＋α]＋b cos[πx＋β]，且f[4]＝3，则f[2 017]的值为[ ]
A．－1 B．1
C．3 D．－3
【解析】因为f[4]＝a sin[4π＋α]＋b cos[4π＋β]
＝a sin α＋b cos β＝3，
所以f[2 015]＝a sin[2 017π＋α]＋b cos[2 017π＋β]
＝a sin[π＋α]＋b cos[π＋β]
＝－a sin α－b cos β
＝－[a sin α＋b cos β]
＝－3.
即f[2 017]＝－3.故选D.
点评:本题中字母多，不可能求出每个字母的值，通过f[4]＝3，得到a sin α＋b cos β
＝3，再计算f[2 017]，用整体代换思想求解快捷.。