(沪科版)八年级数学下册名师导学案：二次根式的乘除(1)

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沪科版数学八年级下册16.2《二次根式的运算》教学设计3

沪科版数学八年级下册16.2《二次根式的运算》教学设计3一. 教材分析《二次根式的运算》是沪科版数学八年级下册第16.2节的内容，本节内容是在学生已经掌握了二次根式的性质和二次根式的乘除法运算的基础上进行教学的。

本节的主要内容是二次根式的加减法运算和混合运算。

教材通过例题和练习题的形式，引导学生掌握二次根式的加减法运算规则，以及如何将复杂的二次根式进行简化。

二. 学情分析学生在学习本节内容之前，已经掌握了二次根式的基本性质和乘除法运算，但对于二次根式的加减法运算和混合运算，可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要引导学生通过实例去理解二次根式加减法运算的规则，以及如何将复杂的二次根式进行简化。

三. 教学目标1.让学生掌握二次根式的加减法运算规则。

2.让学生能够熟练地进行二次根式的混合运算。

3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.二次根式的加减法运算规则。

2.复杂二次根式的简化方法。

五. 教学方法采用讲解法、示范法、练习法、小组合作法等教学方法。

通过讲解和示范，让学生理解二次根式加减法运算的规则；通过练习，让学生巩固所学知识；通过小组合作，让学生在讨论中解决问题，提高解决问题的能力。

六. 教学准备1.教学PPT。

2.练习题。

3.粉笔、黑板。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式复习二次根式的性质和乘除法运算，然后引出本节课的内容——二次根式的加减法运算。

2.呈现（15分钟）教师通过PPT呈现二次根式的加减法运算规则，以及复杂二次根式的简化方法。

让学生观察和思考，引导学生在实例中发现规律，总结出运算规则。

3.操练（20分钟）教师布置练习题，让学生独立完成。

教师选取部分学生的作业进行讲解和分析，指出其中的错误，并给出正确的解题方法。

4.巩固（10分钟）教师通过PPT呈现一些典型的例题，让学生独立解答。

教师在旁边指导，帮助学生解决问题。

5.拓展（10分钟）教师引导学生思考：如何将复杂的二次根式进行简化？让学生通过小组合作，共同探讨简化方法。

八下《16.2.1二次根式的乘除》word版教学设计【沪科版初中数学】

《16.2.1二次根式的乘除》课时教学目标：1、经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想的思想方法.2、了解二次根式的上述两个性质.3、会运用上述两个性质进行有关计算. 教学重点：是理解二次根式的上述两个性质；教学难点：是灵活运用上述两个性质进行有关计算. 教学过程：一、回顾与引入1、平方根的概念：一个数的平方等a （a ≥0），则这个数叫做a 的平方根，记做a ±，则()a a =±22、()a a =23、大家抢答填空()=22 ()=213=⎪⎪⎭⎫⎝⎛271 二、新课讲解从熟悉的知识出发先练习、再观察发现总结规律得出性质一 4、性质一：()()02≥=a a a5、能用几何图形作出直观解释吗？用正方形的面积启发诱导数形结合思想6、比较 2a 和a 有何关系？当a ≥0时，2a ＝和a ﹤0，2a ＝梳理知识使条理清楚，及时练习巩固7、积的算术平方根的性质积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积（各因式必须是非负数）．即)0,0(≥≥⋅=b a b a ab8、商的算术平方根的性质.商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根（被除式必须是非负数，除式必须是正数）.即ba ba =).0,0(>≥b a[作用]：运用以上式子可以进行简单的二次根式的除法运算.9、例1 计算1．2（x ≥0） 2．23．24.4035.2723- 6.xy y 422规范书写，知道运算程序、强调性质运用的条件，二次根式运算顺序10、计算：()1()2 （3）b a b a 263++ （4）552--x x ．要求比较先算括号里与直接利用二次根式性质的优劣；强调先判断2a 中的符号. 11、分母有理化两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们说这两个代数式互为有理化因式。

对于有理化因式，要注意以下四点： (1)它们必须是成对出现的两个代数式； (2)这两个代数式都是二次根式； (3)这两个代数式的积不含有二次根式；(4)一个二次根式，可以与几个不同的代数式互为有理化因式. 观察下列各式，通过分母有理化，进行化简：121=--1，=，从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算+）的值．三、引申与提高例4 化简：（1）403；（2）2723-；（3）xy y 422；（4）aa 105；（5）b a b a 263++；（6）552--x x ．四、分享与体会你能说出这节课你的收获和体验与大家分享吗？五、作业课本第10页1.3.5《16.2.1二次根式的乘除》教学目标1、经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、类比的思想方法；2、了解二次根式的上述两个性质；3、会用二次根式的性质将简单二次根式化简.重点：二次根式的乘法、除法的性质与利用性质进行运算.难点：例3（4）和探究活动涉及较复杂的化简过程和一些技巧的运用. 教学程序与策略一、合作学习，引出课题1、复习旧知：二次根式：（1）定义：)0(≥a a （2）两个基本性质2、合作学习：我们继续来探究二次根式的其他性质：填空（可用计算器计算）；，______________94________________94=⨯=⨯ ；，______________54________________54=⨯=⨯；，______________169________________169=÷= ；，______________23________________23=÷= 比较左右两边的等式，你发现了什么？你能用字母表示你发现的规律吗？（学生通过观察，从中得到二次根式的乘法、除法性质.鼓励学生用自己的语言总结出性质.从而引出课题，教师鼓励学生大胆表述意见，然后作适当点评，板书本课课题）. 二、探究新知，体验成功 1、积的算术平方根的性质积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积（各因式必须是非负数）．即)0,0(≥≥⋅=b a b a ab2、商的算术平方根的性质.商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根（被除式必须是非负数，除式必须是正数）.即ba ba =).0,0(>≥b a[作用]：运用以上式子可以进行简单的二次根式的除法运算. 3、例题讲解：例1 化简：；）；（）；（）；（）（72495374222512112⨯⨯注意：一般地，二次根式化简的结果应使根号内的数是一个自然数，且在该自然数的因数中，不含有1以外的自然数的平方数按教师提问，学生回答，教师板书解题过程交替进行的方式教学，例2、先化简，再求出下面算式的近似值（精确到0.01）()() 5.0001.034911224181⨯-•- 合理应用二次根式的性质，可以帮助我们简化实数的运算.按教师提问，学生回答，利用多媒体，教师板书解题过程交替的方式进行教学. 三、总结提高、课内练习 1、课本第9页1、2、3.2、22132138⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛化简3、补充练习若b>0，x <0，化简： 24)(x b -- 四、归纳小结，充实结构由学生总结，教师适当提问补充. 谈一谈：本节课你有什么收获？引导学生从下面的思路总结：二次根式的性质，各式子中的字母的取值范围，以及在应用时应该注意的问题，防止出错.（让学生通过自我评价的方法来检查自己的学习任务有没有完成，便于调节自己的学习进度，培养学生养成良好的学习习惯，发挥自我评价的作用，增强学生学数学的信念）. 五、布置作业：课本第10页作业第4页.《16.2.1二次根式的乘除》教学内容：1.二次根式的乘除运算.2.最简二次根式及分母有理化教学目标：掌握二次根式的乘法法则．（a≥0，b≥0）即：两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变．a≥0，b>0），即两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.重难点知识归纳：二次根式的性质及其运算教学过程：一、复习引入1．填空（1=______；（2=_______．参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．一般地，对二次根式的乘法规定为·＝．（a≥0，b≥0）反过来:（a≥0，b≥0）例1．计算（1（2（3（4例2 化简（1（2（3（4二、二次根式的除法的引入1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式．2．填空（1=________；（2；（3；（4=________．规a≥0，b>0）a≥0，b>0）例1．计算：（1（2（3（4例2．化简：（1（2（3（4两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们说这两个代数式互为有理化因式。

(沪科版)八年级数学下册名师教学设计：二次根式的乘除(2)

（沪科版）八年级数学下册名师教学设计：二次根式的乘除(2)一. 教材分析《二次根式的乘除》是沪科版八年级数学下册的一章内容。

本章主要让学生掌握二次根式的乘除运算法则，进一步深化对二次根式的理解。

在学习本章之前，学生已经掌握了二次根式的概念、性质以及加减运算。

本章的内容既是对前面知识的巩固，又是为后面学习二次根式在实际问题中的应用打下基础。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对二次根式有一定的认识。

但学生在进行二次根式的乘除运算时，容易出错，对运算法则的理解不够深入。

因此，在教学过程中，需要帮助学生深化对运算法则的理解，提高运算能力。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握二次根式的乘除运算法则，能够熟练进行二次根式的乘除运算。

2.过程与方法：通过实例分析，让学生经历探索、发现、总结二次根式乘除运算法则的过程，培养学生的逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生感受数学在生活中的应用。

四. 教学重难点1.重点：二次根式的乘除运算法则。

2.难点：对二次根式乘除运算过程中，如何正确处理各种情况的理解和应用。

五. 教学方法采用“问题驱动”的教学方法，引导学生主动探索、发现、总结二次根式乘除运算法则。

同时，运用小组合作学习的方式，培养学生的团队合作精神。

六. 教学准备1.准备相关的教学素材，如PPT、例题、练习题等。

2.准备教学用的黑板、粉笔等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入二次根式的乘除运算，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）通过PPT展示二次根式的乘除运算法则，引导学生关注运算法则的推导过程。

3.操练（10分钟）让学生分组进行练习，运用刚刚学到的运算法则进行二次根式的乘除运算。

教师巡回指导，及时纠正学生在运算过程中出现的问题。

4.巩固（10分钟）针对学生在操练过程中出现的问题，教师进行讲解，帮助学生深化对运算法则的理解。

【沪科版】八年级数学下册导学案：16.2.1 第1课时二次根式的乘法

16.2 二次根式的运算1.二次根式的乘除第1课时二次根式的乘法一、学习目标a ≥0，b ≥0）（a ≥0，b ≥0），并利用它们进行计算和化简二、学习重点、难点重点：掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质.难点：正确依据二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行二次根式的化简.三、学习过程（一）自学导航（课前预习）1．填空：（1；（2=____；（3．（二）合作交流（小组互助）1、学生交流活动总结规律．2、一般地，对二次根式的乘法规定为反过来例1、计算（1（2（3）3（4例2、化简（1（2（3（4（5巩固练习（1）计算： ①②55×215 ③312a ·231ay（2）化简（三）展示提升（质疑点拨）判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1=（2展示学习成果后，请大家讨论：对于9×27的运算中不必把它变成243 后再进行计算，你有什么好办法？注：1、当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘以单项式法则进行计算：即系数之积作为积的系数，被开方数之积为被开方数.2、化简二次根式达到的要求：（1）被开方数进行因数或因式分解.（2）分解后把能开尽方的开出来.（四）达标检测 A 组1、选择题（1）等式1112-=-∙+x x x 成立的条件是（）A ．x ≥1B ．x ≥-1C ．-1≤x ≤1D ．x ≥1或x ≤-1（2）下列各等式成立的是（）．A ．45×25=85B ．53×42=205C ．43×32=75D ．53×42=206（3）二次根式6)2(2⨯-的计算结果是（）A ．26 B ．-26 C ．6 D ．122、化简与计算：（1）360；（2）432x ；（3）3018⨯；（4）7523⨯B 组1、选择题（1）若04144222=+-++++-c c b b a ，则c a b ∙∙2=（） A ．4 B ．2 C ．-2 D ．1（2）下列各式的计算中，不正确的是（）A ．64)6()4(-⨯-=-⨯-=（-2）×（-4）=8 B ．2222442)(244a a a a =⨯=⨯=C ．5251694322==+=+ D ．12512131213)1213)(1213(121322⨯=-⨯+=-+=-2、计算：（1）68×（-26）；（23、不改变式子的值，把根号外的非负因式适当变形后移入根号内. (1) -332 (2) aa 212-。

八年级下册数学16.2二次根式的乘除导学案

重点
能利用 · ＝（a≥0，b≥0）， = · （a≥0，b≥0）进行计算和化简．
难点
发现规律，导出 · ＝（a≥0，b≥0）．
学习过程
学（教）记录
【自助学习·我尝试新知】
1．下列各式中、、、、、，二次根式的个数是（）．A．4 B．3 C．2 D．1
2．的值是（）． A．0 B． C．4
3．下列各式中计算正确的是（）
A B．
C.
D．
4．若x=-3，则 =
5．轻松计算：
（1）（2）（3）（4）
得到的结论是 __. _.
对二次根式的除法用公式表示为：，
反过来，就得到：。
【互助探究·我参与互研】
1．计算：
（3）（4）
2．阅读下列运算过程：
，数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，那么， =。
3．数学医院：请诊断下列计算是否正确，不正确的请予以治疗.
（1）
（2） × =4× × =4 × =4 =8
【求助交流·我愿意分享】
1．已知直角三角形的一条直角边为9，斜边长为10，则别一条直角边长为（）A、1； B、； C、19； D、
2．计算（1） × （2）3 ×2 （3） ×
3、化简；；；；
得出结论：最简二次根式：条件（1）_______________________________.
条件（2）_________________________________________.
【求助交流·我愿意分享】
1．分母有理化:(1) =___;(2) =___;(3) =__.
2．已知x=3，y=4，z=5，那么的最后结果是_______．

沪科版八年级数学下册课件：16.2.1 二次根式的乘除第1课时(共16张PPT)

讲授新课
例4 计算：
(1)
14 7
(2) 3 5 2 10
(3)
3x
1 xy 3
解： (1)
14 7 14 7
72 2
72 2 7 2
(2) 3 5 2 10 3 2 5 10 6 52 2 6 52 2 30 2
(3)
3
5
(2)
1 3
27
3
1 3
5
27
15
1 27 9 3 3
(2)
讲授新课例2 计算：
（ 1）
16 ；（ 812）
；（3） 12
．
4 a 2b 3
解：（1）（ 2）（ 3）
16 ；81=36
12 = 4 3； =2 3
4 a 2 b 3 = 4 a 2b 2 b ． = 2ab b
（2）会利用
ab
a b (a进行二次根式 0, b 0)
的化简.
1 x
（ 2）
（ 4）
与
3
288
12
1 72
（3） 2 xy
2. 一个矩形的长和宽分别是积. 解：
，求这个矩形的面 10cm 2 2cm
S矩形长宽 2 2 10 4 5 （ cm 2 ）
课时小结
（1）二次根式的乘法法则：
a b
ab (a 0, b 0)
引入新课问题1 当a 是正数或0 时，是实数吗？取a 值分别为1，2，3，4，5试一试！类比有理数的运算，你认为任何两个实数之间可以进行哪些运算？加、减、乘、除四则运算
引入新课问题2 两个二次根式能否进行加、减、乘、除运算？怎样运算？让我们从研究乘法开始．请写出两个二次根式，猜一猜，它们的积应该是多少？

初中数学《二次根式的乘除(第1课时)》教学设计案例

《16.2 二次根式的乘除（第1课时）》教学设计案例一、内容和内容解析1．内容二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质，化简二次根式.2．内容解析二次根式是初中阶段“数与式”内容的最后一章，因此承担着整理“数与式”的内容、方法和基本思想的任务.本节研究二次根式的乘法运算.运算法则是运算的依据，因此教材通过“探究”栏目，引导学生利用二次根式的性质，从具体数字运算中发现规律，进而归纳得出二次根式的乘法法则.基于以上分析，确定本节课的教学重点：探究二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质.二、目标和目标解析1．教学目标（1）经历二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质的形成过程；会进行简单的二次根式的乘法运算；（2）会用公式化简二次根式.2．目标解析（1）学生能通过计算发现规律并对其进行一般化的推广，得出乘法法则的内容；（2）学生能利用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质，化简二次根式.三、教学问题诊断分析本节课的学习中，学生在得出乘法法则和积的算术平方根的性质后，对于何时该选用何公式简化运算感到困难.运算习惯的养成与符号意识的养成、运算能力的形成紧密相关，由于该内容与以前学过的实数内容有较多的联系，例如，整式中的乘法公式在二次根式的运算中也成立，在教学中，要多从联系性上下力气.，培养学生良好的运算习惯.在教学时，通过实例运算，对于将一个二次根式化为最简二次根式，一般有两种情况：（1）如果被开方数是分数或分式（包括小数），可以采用直接利用分式的性质，结合二次根式的性质进行化简（例见教科书例6解法1），也可以先写成算术平方根的商的形式，再利用分式的性质处理分母的根号（例见教科书例6解法2）；（2）如果被开方数不含分母，可以先将它分解因数或分解因式，然后吧开得尽方的因数或因式开出来，从而将式子化简.本节课的教学难点为：二次根式的性质及乘法法则的正确应用和二次根式的化简.四、教学过程设计1．复习引入，探究新知我们前面已经学习了二次根式的概念和性质，本节课开始我们要学习二次根式的乘除.本节课先学习二次根式的乘法.问题1什么叫二次根式？二次根式有哪些性质？师生活动学生回答。

八年级数学下册《16.2.1二次根式的乘除》教案1 (新版)沪科版

《16.2.1二次根式的乘除》教学内容：1.二次根式的乘除运算.2.最简二次根式及分母有理化教学目标：掌握二次根式的乘法法则·＝．（a≥0，b≥0）即：两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变．、二次根式的除法法则=（a≥0，b>0），即两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.重难点知识归纳：二次根式的性质及其运算教学过程：一、复习引入1．填空（1）×=_______， =______；（2）×=_______， =________．参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．×_____，×_____一般地，对二次根式的乘法规定为·＝．（a≥0，b≥0）反过来: =·（a≥0，b≥0）例1．计算（1）×（2）×（3）×（4）×例2 化简（1）（2）（3）（4）二、二次根式的除法的引入1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式．2．填空（1）=________， =_________；（2）=________， =________；（3）=________， =_________；（4）=________， =________．规律： ______； ______；_______； _______一般地，对二次根式的除法规定： =（a≥0，b>0），反过来， =（a≥0，b>0）例1．计算：（1）（2）（3）（4）例2．化简：（1）（2）（3）（4）两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们说这两个代数式互为有理化因式。

对于有理化因式，要注意以下四点：(1)它们必须是成对出现的两个代数式；(2)这两个代数式都是二次根式；(3)这两个代数式的积不含有二次根式；(4)一个二次根式，可以与几个不同的代数式互为有理化因式。

例1. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│++。

沪科版八级数学下册名师导学案：二次根式的加减(1)(1)word版

13.3.2等边三角形：满足什么条件的三角形是等边三角形？三条边都相等的三角形是等边三角形．：等腰三角形与等边三角形有什么区别和联系？教学内容追问：本题还有其他证法吗？教学内容若点D、E 在边AB、ACBC，结论依然成立吗？页练习第1、2题.谈谈你的收获和体会）本节课学习了等边三角形的性质和判本节课主要研究等边三角形的性质及判定，由于等边三角形是特殊的等腰三角形，学生对等边三角形的性质及判定的探究可类比等腰三角形来完成，学生参与的好，讨论热烈，在对其性质及判定的应用上，文字语言符号转化为符号语言时，有部分学生应用的不好，今后要注意性质的应用.课题：§13.3.5等边三角形（二）：等边三角形是轴对称图形，若沿着其中一条对称轴折叠，能产生什么特殊图形？：这个特殊的直角三角形相比一般的你能借助第一个图形，找到含30°角的直BC 与斜边AB 之间有什么数量关系吗？如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.教学内容练习1：如图，在△ABC 中，∠A = 30°，AB =10，则BC 的长为．：如图是屋架设计图的一部分，的中点，立柱BC、DE 垂直于横梁=30°，立柱BC、教学反思：在本课的教学中，学生通过等边三角形的性质，对：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.这一性质的得出及推理证明能狠好的完成，但在课堂练习这一环节中，有部分同学不会用，没有体会到含有30°角的直角三角形与等边三角形的内在联系，在今后教学中应让学生注重两种图形的内在联系（可重复演示思考1：等边三角形是轴对称图形，若沿着其中一条对称轴折叠，能产生什么特殊图形？的操作.）。

沪科版数学八年级下册《二次根式的运算》复习导学案

1．计算：
（1） + （2））
（3）（4）
2．探究：
（1）的有理化因式是，与互为有理化因式，与互为有理化因式.
（2）计算：
①（ ②（x- y）÷（）
☆归纳反思☆
☆达标检测☆
计算：（1）
（2） =；
（3） =；
（4） · =；（5） =.
2．单项式乘以多项式、多项式乘以多项式运算法则：
（1）（2x+y）·（-x）（2）（2x2y+3xy2）（-2x+y）
（3）（2x+3y）（2x-3y）（4）（2x+1）2+（2x-1）2
3．有理化因式及分母有理化的方法：
二、阅读与思考
1．一个二次根式与几个二次根式和相乘，相当于单项式乘以多项式；几个二次根式的和与另几个二次根式的和相乘，相当于多项式乘以多项式，符合乘法公式的，可利用乘法公式；
2．展开后必须化为最简二次根式，有同类二次根式的必须合并.
3．二次根式的除法，一般先写成分式的形式，再进行分母有理化.
☆合作探究☆
16.2 二次根式的运算复习导学案
教学思路
（纠错栏）
教学思路
（纠错栏）
学习目标：
1．能正确的进行二次根式的混合运算；
2．含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用.
学习重点：二次根式的混合运算
预设难点：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算
☆自主学习☆
一、知识链接
1．二次根式的性质：

八年级数学下册 16.1 二次根式导学案 (新版)沪科版

二次根式1．二次根式的概念(1)一般地，我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式．(2)对于a(a≥0)的讨论应注意下面的问题：①二次根号“”的根指数是2，二次根号下的a叫被开方数，被开方数可以是数字，也可以是整式、分式等．②式子a只有在条件a≥0时才叫二次根式．即a≥0是a为二次根式的前提条件．式子－2就不是二次根式，但式子(－2)2是二次根式．③a(a≥0)实际上就是非负数a的算术平方根，既可表示开方运算，也可表示运算的结果．④4是二次根式，虽然4＝2，但2不是二次根式．因此二次根式指的是某种式子的“外在形态”．二次根式有两个要素：一是含有二次根号“”；二是被开方数可以不只是数字，但必须是非负的，否则无意义．【例1－1】当a为实数时，下列各式中哪些是二次根式？a＋10，|a|，a2，a2－1，a2＋1，(a－1)2.分析：因为a为实数，而|a|≥0，a2≥0，a2＋1＞0，(a－1)2≥0，所以|a|，a2，a2＋1，(a－1)2是二次根式．因为a是实数时，并不能保证a＋10，a2－1是非负数，即a＋10，a2－1可能是负数．如当a＜－10时，a＋10＜0；又如当0＜a＜1时，a2－1＜0，因此，a＋10，a2－1不是二次根式．解：|a|，a2，a2＋1，(a－1)2是二次根式．【例1－2】x是怎样的实数时，式子x－3在实数范围内有意义？分析：问题实质上是问当x是怎样的实数时，x－3是非负数，式子x－3有意义．解：由二次根式的定义可知被开方式x－3≥0，即x≥3，就是说当x≥3时，式子x－3在实数范围内有意义．2．二次根式的性质(1)a(a≥0)是一个非负数．．．a(a≥0)既是二次根式，又是非负数的算术平方根，所以它一定是非负数，即a ≥0(a≥0)，我们把这个性质叫做二次根式的非负性．【例2－1】若a＋3＋(b－2)2＝0，则a b的值是__________．解析：由题意可知a＋3＝0，(b－2)2＝0，所以a＋3＝0，b－2＝0，则a＝－3，b＝2.所以a b＝(－3)2＝9.答案：9(2)(a)2＝a(a≥0)由于a(a≥0)是一个非负数，表示非负数a的算术平方根，因此通过算术平方根的定义，将非负数a的算术平方根平方，就等于它本身，即(a)2＝a(a≥0)．【例2－2】化简：①(23)2＝__________；②(x－3)2(x≥3)＝__________.解析：①直接利用公式(a)2＝a(a≥0)，可得(23)2＝23；②因为x≥3，所以x－3≥0，所以由公式(a)2＝a(a≥0)，可得(x－3)2＝x－3(x≥3)．答案：①23②x －3(3)a 2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)，－a (a <0).由算术平方根的定义，可得a2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)，－a (a <0).a 2＝a (a ≥0)表示非负数a 的平方的算术平方根等于a .【例2－3】计算：(1)(－1.5)2；(2)(a －3)2(a ＜3)；(3)(2x －3)2(x ＜32)．错解正解(1)(－1.5)2＝－1.5； (2)(a －3)2＝a －3； (3)(2x －3)2＝2x －3. (1)(－1.5)2＝|－1.5|＝1.5；(2)(a －3)2＝|a －3|＝3－a (a ＜3)；(3)(2x －3)2＝|2x －3|＝3－2x (x ＜32)．错因剖析：本题对性质(a )2＝a (a ≥0)与a 2＝|a |应用混淆，需特别注意被开方数是非负数时，a 2＝a (a ≥0).思路分析：根据a 2＝|a |，首先去掉根号，然后利用绝对值的定义求解.(1)(a )2＝a 的前提条件是a ≥0；而a 2＝|a |中的a 为一切实数．(2)a (a ≥0)，|a |，a 2是三个重要的非负数，即a (a ≥0)≥0，|a |≥0，a 2≥0，在解题时应用较多．(3)a 2＝(a )2成立的条件是a ≥0，否则不成立．(4)(a )2＝a (a ≥0)可以逆用，即任意的一个非负数都可以写成它的算术平方根的平方形式．(5)在利用a 2进行化简时，要先得出|a |，再根据绝对值的性质进行化简，一定要弄清被开方数的底数是正还是负，这是容易出错的地方．3．求二次根式中被开方数字母的取值范围由二次根式的意义可知，a 的取值范围是：a ≥0.即当a ≥0时，a 有意义，是二次根式；当a ＜0时，a 无意义，不是二次根式．(1)确定形如a 的式子中的被开方数中的字母取值范围时，可根据式子a 有意义或无意义的条件，列出不等式，然后解不等式即可．(2)当被开方数是分式时，同时要求分母不等于零．求解此类问题抓住一点，就是由二次根式的定义a (a ≥0)得被开方数必须是非负数，即把问题转化为解不等式．【例3】当字母取何值时，下列各式为二次根式．(1)a 2＋b 2； (2)－3x ；(3)12x ； (4)－32－x. 分析：必须保证被开方数是非负数，以上式子才是二次根式，当分母上有未知数时，分母不能为0，根据这些要求列不等式解答即可．解：(1)因为a ，b 为任意实数时，都有a 2＋b 2≥0，所以当a ，b 为任意实数时，a 2＋b 2是二次根式．(2)－3x ≥0，x ≤0，即当x ≤0时，－3x 是二次根式．(3)12x≥0，且x ≠0，所以x ＞0. 当x ＞0时，12x是二次根式． (4)－32－x≥0，故x －2≥0且x －2≠0，所以x ＞2. 当x ＞2时，－32－x是二次根式． 4．二次根式非负性的应用(1)在实数范围内，我们知道式子a (a ≥0)表示非负数a 的算术平方根，它具有双重非负性：①a ≥0；②a ≥0.运用这两个简单的非负性，再结合非负数的简单性质“若几个非负数的和等于0，则这几个非负数都等于0”可以解决一些算术平方根问题．巧记要点：二次根式，内外一致；即二次根式根号下和根号外一致为非负数． (2)到目前为止，我们已经学过三类具有非负性的代数式：①|a |≥0；②a 2≥0；③a ≥0(a ≥0)．【例4－1】已知x ，y 都是实数，且满足y ＝5－x ＋x －5＋3，求x ＋y 的值．分析：式子中有两个二次根式，它们的被开方数都应该是非负数，由此可得关于x 的不等式组．解：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧5－x ≥0，x －5≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≤5，x ≥5，∴x ＝5.当x ＝5时，y ＝5－5＋5－5＋3＝3.∴x ＋y ＝5＋3＝8.两个算术平方根，当被开方数互为相反数时，只有它们同时为零，这两个式子才能都有意义．【例4－2】已知x ，y 为实数，且y ＝12＋8x －1＋1－8x ，则x ∶y ＝__________.解析：因为y 为实数，所以隐含着两个算术平方根都有意义，即被开方数均为非负数．实际上，若a 和－a 都有意义，则a ＝0.即依题意得⎩⎪⎨⎪⎧8x －1≥0，1－8x ≥0.解得x ＝18，于是y ＝12＋0＋0＝12.故x ∶y ＝1∶4.答案：1∶4,5．式子(a )2的意义和运用二次根式的一个性质是：(a )2＝a (a ≥0)．因为2＝(2)2，35＝(35)2，所以上面的性质又可以写成：a ＝(a )2(a ≥0)．可见，利用这个式子我们可以把任何一个非负数写成一个数的平方的形式．二次根式中的23表示2×3，这与带分数212表示2＋12是不一样的，因此，以后遇到32×3应写成323，而不能写成1123.【例5－1】计算：(1)(23)2；(2)(－212)2；(3)(－5×3)2. 解：(1)(23)2＝22×(3)2＝12.(2)(－212)2＝(－2)2×(12)2＝2.(3)(－5×3)2＝(－1)2×(5×3)2＝15.【例5－2】把多项式n 5－6n 3＋9n 在实数范围内分解因式．分析：按照因式分解的一般步骤，先对多项式n 5－6n 3＋9n 提取公因式，得n (n 4－6n2＋9)，再利用完全平方公式分解，得n (n 2－3)2，要求在实数范围内分解，所以可以将3写成(3)2，再运用平方差公式进行因式分解．解：n 5－6n 3＋9n ＝n (n 4－6n 2＋9)＝n (n 2－3)2＝n (n ＋3)2(n －3)2.6．二次根式与相反数和绝对值的综合应用(1)二次根式具有非负性，一个数的绝对值，完全平方数也是一个非负数，因此可以把这几者结合出题．(2)绝对值、算术平方根、完全平方数为非负数，即：|a |≥0，b ≥0(b ≥0)，c 2≥0.非负数有一个重要的性质，即若干个非负数的和等于零，那么每一个非负数分别为零．即：|a |＋b ＝0⇒a ＝0，b ＝0；|a |＋c 2＝0⇒a ＝0，c ＝0； b ＋c 2＝0⇒b ＝0，c ＝0；|a |＋b ＋c 2＝0⇒a ＝0， b ＝0，c ＝0.【例6－1】若|a －b ＋1|与a ＋2b ＋4互为相反数，则(a ＋b )2 011＝______. 解析：|a －b ＋1|与a ＋2b ＋4互为相反数， ∴|a －b ＋1|＋a ＋2b ＋4＝0. 而|a －b ＋1|≥0，a ＋2b ＋4≥0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋1＝0，a ＋2b ＋4＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1. ∴(a ＋b )2 011＝(－2－1)2 011＝(－3)2 011＝－32 011.答案：－32 011【例6－2】若a 2＋b －2＝4a －4，求ab 的值．分析：通过变形将等式转化为两个非负数的和等于零的形式，即(a －2)2＋b －2＝0，由二次根式的性质可知b －2≥0，由完全平方数的意义可知(a －2)2≥0，而它们的和为零，则a －2＝0，b －2＝0，从而可求出a ，b 的值．解：由a 2＋b －2＝4a －4，得a 2－4a ＋4＋b －2＝0，即(a －2)2＋b －2＝0.∵(a －2)2≥0，b －2≥0且(a －2)2＋b －2＝0， ∴a －2＝0，b －2＝0，解得a ＝2，b ＝2. ∴ab ＝2，即ab 的值为2.7．二次根式(a )2＝a (a ≥0)与a 2＝|a |的区别、运用(a )2＝a (a ≥0)与a 2＝|a |是二次根式的两个极为重要的性质，是正确地进行二次根式化简、运算的重要依据．(1)正确理解(a )2与a 2的意义学习了二次根式的定义以后，我们知道a ≥0(a ≥0)，即a 是一个非负数，a 是非负数a 的算术平方根，那么(a )2就是非负数a 的算术平方根的平方，但只有当a ≥0时，a 才能有意义．对于a 2，则表示a 2的算术平方根，由于a 2中的被开方数是一个完全平方式，所以a 无论取什么值，a 2总是非负数，即a 2总是有意义的．(2)(a )2与a 2的区别和联系区别：①表示的意义不同．(a )2表示非负实数a 的算术平方根的平方；a 2表示实数a 的平方的算术平方根．②运算的顺序不同．(a )2是先求非负实数a 的算术平方根，然后再进行平方运算；而a 2则是先求实数a 的平方，再求a 2的算术平方根．③取值范围不同．在(a )2中，a 只能取非负实数，即a ≥0；而在a 2中，a 可以取一切实数．④写法不同．在(a )2中，幂指数2在根号的外面；而在a 2中，幂指数2在根号的里面．⑤结果不同．(a )2＝a (a ≥0)，而a 2＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ＞0)，0(a ＝0)，－a (a ＜0).联系：①在运算时，都有平方和开平方的运算． ②两式运算的结果都是非负数，即(a )2≥0，a 2≥0.③仅当a ≥0时，有(a )2＝a 2.如果先做二次根式运算，后做平方运算，只有一种可能；如果先做平方运算，再做二次根式运算，答案需分情况讨论．___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________【例7－1】已知x ＜2，则化简x 2－4x ＋4的结果是( )． A ．x －2 B ．x ＋2 C ．－x －2 D ．2－x解析：x 2－4x ＋4＝(x －2)2＝(2－x )2，因为x ＜2,2－x ＞0，所以x 2－4x ＋4＝2－x .答案：D【例7－2】化简1－6x ＋9x 2－(2x －1)2得( )． A ．－5x B ．2－5x C ．x D ．－x 错解正解原式＝(1－3x )2－(2x －1)＝(1－3x )－(2x －1)＝2－5x ，故选B.由2x －1，知2x －1≥0，得x ≥12，从而有3x －1≥0，所以原式＝(1－3x )2－(2x －1)＝(3x －1)2－(2x －1)＝(3x －1)－(2x －1)＝x .故选C. 错因剖析：本题错在忽视了二次根式成立的隐含条件．题目中2x －1有意义，说明隐含了条件2x －1≥0，即x ≥12，可知3x －1≥0. 思路分析：本题主要应用二次根式的性质：(1)a 2＝|a |＝()()0,0.a a a a ≥⎧⎪⎨⎪⎩－＜(2)(a )2＝a (a ≥0) .正确应用二次根式的性质是解决本题的关键.【例7－3】若m 满足关系式3x ＋5y －2－m ＋2x ＋3y －m ＝x －199＋y ·199－x －y ，试确定m 的值．分析：挖掘题目中隐含的算术平方根的两个非负性，并在解题过程中有机地配合应用，是解决本题的关键．解：由算术平方根的被开方数的非负性，得⎩⎪⎨⎪⎧x －199＋y ≥0，199－x －y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥199，x ＋y ≤199.∴x ＋y ＝199.∴x －199＋y ·199－x －y ＝0.∴3x ＋5y －2－m ＋2x ＋3y －m ＝0.再由算术平方根的非负性及两个非负数的和为零，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋5y －2－m ＝0，2x ＋3y －m ＝0.①② 由①－②，得x ＋2y ＝2.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝199，x ＋2y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝396，y ＝－197.∴m ＝2x ＋3y ＝2×396＋3×(－197)＝201.点拨：(1)运用二次根式的定义得出：x ≥a 且x ≤a ，故有x ＝a ，这是由不等关系推出相等关系的一种十分有效的方法，在前面的解题中已用到．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，b ≥0，a ＋b ＝0推出a ＝b ＝0，这也是求一个方程中含有多个未知数的有效方法之。

沪科版八年级数学下册教案16.2.1 第1课时二次根式的乘法

16.2.1二次根式的乘除第1课时二次根式的乘法教学目标1．掌握二次根式的乘法运算法则；(重点)2．会进行二次根式的乘法运算．(重点、难点)教学过程一、情境导入小颖家有一块长方形菜地，长6m ，宽3m ，那么这个长方形菜地的面积是多少？二、合作探究探究点一：二次根式的乘法法则成立的条件式子x ＋1·2－x ＝（x ＋1）（2－x ）成立的条件是( )A ．x ≤2B ．x ≥－1C ．－1≤x ≤2D ．－1＜x ＜2解析：根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2－x ≥0.解得－1≤x ≤2.故选C.方法总结：运用二次根式的乘法法则：a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)，必须注意被开方数是非负数这一条件．探究点二：二次根式的乘法【类型一】二次根式的乘法运算计算：(1)53×27125； (2)918×(－1654)； (3)135·23·(－3416)； (4)2a 8ab ·(－236a 2b )·3a (a ≥0，b ≥0)．解析：第(1)小题直接按二次根式的乘法法则进行计算，第(2)，(3)，(4)小题把二次根式前的系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘．解：(1)原式＝53×27125＝35；(2) 原式＝－(9×16)18×54＝－32182×3＝－273； (3)原式＝－(2×34)85×3×16＝－3245＝－355； (4) 原式＝－2a ×238ab ·6a 2b ·3a ＝－16a 3b .方法总结：二次根式与二次根式相乘时，可类比单项式与单项式相乘，把系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘．最后结果要化为最简二次根式，计算时要注意积的符号．【类型二】化简：(1)196×0.25；(2)（－19）×（－6481）； (3)225a 6b 2(a ≥0，b ≥0)．解析：利用积的算术平方根的性质，把它们化为几个二次根式的积，(2)小题中先确定符号．解：(1)196×0.25＝196×0.25＝14×0.5＝7； (2)（－19）×（－6481）＝19×6481＝19×6481＝13×89＝827； (3)225a 6b 2＝225·a 6·b 2＝15a 3b .方法总结：利用积的算术平方根的性质进行计算或化简，其实质就是把被开方数中的完全平方数或偶次方进行开平方计算，要注意的是，如果被开方数是几个负数的积，先要把符号进行转化，如(2)小题．【类型三】二次根式的乘法的应用小明的爸爸做了一个长为588πcm ，宽为48πcm 的矩形木板，还想做一个与它面积相等的圆形木板，请你帮他计算一下这个圆的半径(结果保留根号)．解析：根据“矩形的面积＝长×宽”“圆的面积＝π×半径的平方”进行计算．解：设圆的半径为r cm.因为矩形木板的面积为588π×48π＝168π(cm)2，所以πr 2＝168π，r ＝242(r ＝－242舍去)．答：这个圆的半径为242cm.方法总结：把实际问题转化为数学问题，列出相应的式子进行计算，体现了转化思想．三、板书设计教学反思本节课学习了二次根式的乘法和积的算术平方根的性质，两者是可逆的，它们成立的条件都是被开方数为非负数．在教学中通过情境引入激发学生的学习兴趣，让学生自主探究二次根式的乘法法则，鼓励学生运用法则进行二次根式的乘法运算。

(沪科版)八年级数学下册示范导学案：二次根式的乘除(1)

二次根式的乘除(1)【学习目标】1．理解a ·b ＝ab(a ≥0，b ≥0)，ab ＝a ·b(a ≥0，b ≥0)，并利用它们进行计算和化简．2．由具体数据发现规律，导出a ·b(a ≥0，b ≥0)，利用逆向思维得出ab ＝a ·b ，并利用它们进行计算或化简．【学习重点】a ·b ＝ab(a ≥0，b ≥0)，ab ＝a ·b(a ≥0，b ≥0)及它们的运用．【学习难点】发现规律，导出a ·b ＝ab(a ≥0，b ≥0)．行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．行为提示：认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识．解题思路：非负数的积的算术平方根等于积中多因式算术平方根的积．归纳：二次根式相乘，根号不变，把被开方数相乘．情景导入生成问题旧知回顾：1．什么是二次根式？二次根式有意义的条件是什么？答：形如a(a ≥0)的式子叫做二次根式．二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0.2．二次根式的性质1、性质2是什么？答：(a)2＝a(a ≥0)，a 2＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ≥0），－a （a ＜0）. 自学互研生成能力知识模块一二次根式的乘法【自主探究】阅读教材P 6～7，完成下列问题：二次根式的乘法公式是怎样的？如何证明？答：二次根式的乘法公式：如果a ≥0，b ≥0，那么有a ·b ＝ab.∵当a ≥0，b ≥0时，(a ·b)2＝(a)2·(b)2＝ab ，又(ab)2＝ab ，ab 的算术平方根只有一个，所以a ·b ＝ab.范例1：计算：(1)18×24(2)15×6 仿例1：下列计算正确的是( D )A ．25×35＝6 5B ．32×33＝3 6C ．42×23＝8 5D ．22×63＝12 6仿例2：等式x ＋1·x －1＝x 2－1成立的条件是( A )A ．x ≥1B ．x ≥－1C ．－1≤x ≤1D ．x ≥1或x ≤－1学习笔记：几个二次根式相乘，被开方数相乘时，可将被开方数分解质因数，然后根据ab ＝a ·b(a ≥0，b ≥0)，将能开得尽方的因数移到根号外．行为提示：教师结合各组反馈的疑难问题分配展示任务，各组在展示过程中，老师引导其他组进行补充、纠错，最后进行总结评分．学习笔记：检测可当堂完成.知识模块二利用积的算术平方根的性质化简二次根式积的算术平方根的性质是什么？如何得到？答：二次根式性质3(即二次根式乘法公式)，a·b＝ab，由等式对称性，性质3也可以写成ab＝a·b(a≥0，b≥0)．范例2：化简：(1)225；(2)49×121；(3)252－242；(4)（－2）2×8×3.解：(1)原式＝152＝15；(2)原式＝72×112＝77；(3)原式＝49×1＝7；(4)原式＝22×22×2×3＝4 6.仿例1：计算：(1)16×25＝20；(2)（－15）×（－27）＝仿例2：已知b＞0，化简－a3b的结果是(A)A．－a－ab B．－a abC．a ab D．a－ab变例1：设2＝a，3＝b，用含有a、b的式子表示54，下列表示正确的是(B) A．6ab B．3ab C．9ab D．10ab变例2：(怀化中考)计算32×12＋2×5的结果估计在(B)A．6至7之间B．7至8之间C．8至9之间D．9至10之间交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的新问题”和通过“自主探究”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一二次根式的乘法知识模块二利用积的算术平方根的性质化简二次根式检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________。

八年级数学下册 16.2 二次根式的运算(第2课时)导学案 (新版)沪科版-(新版)沪科版初中八年级

二次根式的运算1．二次根式的加减(1)几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式．(2)在合并同类二次根式时，只需要把二次根式的系数相加减，根指数和被开方数不变．(3)合并同类二次根式的理论依据是逆用乘法对加法的分配律．(4)二次根式加减的方法二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式进行合并．(5)二次根式的加减法的一般步骤：①将每一个二次根式化成最简二次根式；②找出其中的同类二次根式；③合并同类二次根式．知识点拓展：(1)①当式子中有括号时要先去括号，并且在运算过程中应注意符号；②二次根式的加减与整式的加减相类似，体现了数学中的类比思想，在学习时应注意对比理解和应用．(2)在进行二次根式的加减时，易出现以下几个方面的错误：①去括号时符号错；②合并同类二次根式时易漏掉系数为1的二次根式；③把不是同类二次根式的根式进行了合并，从而导致错误的出现．【例1】计算：(1)32－8；(2)8＋182.解：2(1)二次根式的加减，就是合并同类二次根式．(2)合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似，合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数与被开方数不变．(3)进行二次根式的加减运算时，过去在学习整式的加减运算中的交换律，结合律及去括号，添括号法则仍然适用．二次根式的加减运算结果应写成最简结果或几个被开方数不相同的二次根式的和．【例2】计算：(1)－23－32＋53＋42； (2)(12－13)－( 4.5－0.75)．分析：进行二次根式的加减法可按一化(把二次根式化成最简二次根式)、二看(看被开方数是否相同)、三合并(把被开方数相同的二次根式进行合并)的步骤进行．(1)题中的每个二次根式都是最简二次根式，可直接识别出：－23与53，－32与42被开方数相同，因此可直接进行合并．解：(1)－23－32＋53＋4 2 ＝(－2＋5)3＋(－3＋4)2＝33＋ 2. (2)原式＝(122－133)－(322－123)＝122－133－322＋123 ＝(12－32)2＋(－13＋12) 3 ＝－2＋163. 3．二次根式的混合运算整式混合运算的顺序是：先乘方，再乘除，最后加减；有括号时要先算括号里面的．二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序是完全相同的，其最终结果一定要化为最简形式．并且我们在前面所学习的运算律：加法的交换律、结合律，乘法的交换律、结合律以及分配律在二次根式的混合运算中同样适用；所学习的乘法公式：平方差公式a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )，完全平方公式(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2对于二次根式的混合运算也同样适用，它们可以使二次根式的运算更为简便．名师归纳：(1)二次根式的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减．②有括号时要先算括号里面的．(2)说明：①运算过程中一定要注意符号；②运算结果一定要化为最简形式．(理解并掌握)知识点拓展：(1)在二次根式的运算中，整式运算中的运算律(加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律以及分配律)同样适用．(2)在二次根式的运算中，多项式乘法法则与乘法公式仍然适用，常用的公式有：①平方差公式：a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )；②完全平方公式：(a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2.【例3－1】计算：(1)(2＋23－6)(2－23＋6)； (2)13－2＋25－3－22－55－2. 分析：(1)利用平方差公式计算，把23－6看作一个整体．(2)先把分母去掉，再进行计算．解：(1)(2＋23－6)(2－23＋6) ＝[2＋(23－6)][2－(23－6)] ＝(2)2－(23－6)2＝2－(18－122)＝－16＋12 2. (2)13－2＋25－3－22－55－2＝3＋2(3－2)(3＋2)＋2(5＋3)(5－3)(5＋3)－222·2－5(5＋2)(5－2)(5＋2) ＝3＋2＋5＋3－2－(5＋25) ＝23－5－5.【例3－2】计算：30÷(6－5)．分析：解答本题时易出现如下错解：原式＝30÷6－30÷5＝5－ 6.显然，由5－6＜0，则得出两个正数相除结果为负的错误结果，解法有错，错就错在误用了所谓除法分配律，分配律不能在除法中随意套用．解：原式＝306－5＝30(6＋5)(6＋5)(6－5) ＝306＋30 5.4．二次根式的综合运用二次根式的综合运用，知识面比较广，有化简、求值以及新题型等．解决这类问题的关键是熟练掌握基本知识和常用的数学思想．(1)化简求值题要注意先化简，再求值，此类题常与分式一起综合命题．如果直接代入计算，则计算量较大，而且容易出错．通过观察已知条件和欲求值的式子，发现它们是否都可以化简，这样采取变更问题的条件和结论的方法，然后采取整体代入思想，比较容易求出问题的解来．(2)灵活运用乘法公式，可使计算过程得到简化．形如(52＋35)(52－35)这样的式子，可利用平方差公式计算． (3)利用二次三项式的变形，也可以解决有关分式的求值问题．二次三项式x 2±xy ＋y 2可变为(x ±y )2∓xy 的形式，于是，两个互为倒数的二次根式相加，我们可以套用a b ＋b a ＝(a ＋b )2－2ab ab 这一规律把它化简．形如：“已知x ＝3＋23－2，y ＝3－23＋2时，求x y ＋y x的值．”这样的题目可以利用此法解决．___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ 【例4－1】已知x ＝12(7＋5)，y ＝12(7－5)，求下列各式的值．(1)x 2－xy ＋y 2；(2)x y ＋y x.解：因为x ＝12(7＋5)，y ＝12(7－5)，所以x ＋y ＝7，xy ＝12.(1)x 2－xy ＋y 2＝(x ＋y )2－3xy ＝(7)2－3×12＝512.(2)x y ＋y x ＝x 2＋y 2xy＝(x ＋y )2－2xyxy ＝(7)2－2×1212＝12.【例4－2】已知x ，y 为非负整数，且x ＋y ＝ 2 004，求x ＋y 的值．分析：若a ＋b ＝c (a ，b ，c 为非负数)，则a ，b ，c 是同类二次根式，这是一个常用的性质，由题可知x ，y ， 2 004是同类二次根式，又 2 004＝2501，所以设x ＝a 501，y ＝b 501(a ，b 为非负整数)，再由已知可求得x ，y 的值，从而可求出x ＋y 的值．解：∵x ＋y ＝ 2 004，∴x ，y 与 2 004是同类二次根式．又∵ 2 004＝2501，∴可设x ＝a 501，y ＝b 501，则a 501＋b 501＝2501，∴a ＋b ＝2.由题意可知a ，b 为非负整数， ∴当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝1时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝501，y ＝501，∴x ＋y ＝1 002；当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝2时，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝2 004，∴x ＋y ＝2 004；当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝0时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2 004，y ＝0，∴x ＋y ＝2 004.∴x ＋y 的值为1 002或2 004.点拨：当两个二次根式可以合并时，说明这两个二次根式是同类二次根式，所以x ，y 与 2 004是同类二次根式．5．易错疑难辨析易错点1 判断二次根式是否为同类二次根式时，未化到最简而出错易错点解读：判断几个二次根式是否为同类二次根式，必须先把每一个二次根式化为最简二次根式之后再判断，易出现的错误是不化简直接判断．易错点2 在二次根式的运算中应用运算律不当而出错易错点解读：只有乘法有分配律，除法没有分配律，在运算过程中，易把乘法分配律错误地用在除法上，从而导致错误．易错点3 合并同类二次根式时，易忽略将系数加括号而出错易错点解读：在二次根式的混合运算中，化简、合并二次根式时，很多二次根式的前面是多项式，整个多项式是二次根式的系数，不要忘记加括号，以免导致计算结果的错误．__________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ 【例5－1】判断正误：a2与3a 是同类二次根式．错解：√ 解析：a2不是最简二次根式，由于a2＝a2＝2a 2，所以a 2与3a 不是同类二次根式．正解：×点拨：在判断两个根式是否是同类二次根式时，一定要注意两个条件：(1)根指数是2；(2)被开方式为最简式．【例5－2】计算：12÷(12＋13)．错解：12÷(12＋13)＝122＋123＝6×22＋4×33＝6＋2.正解：12÷(12＋13)＝12÷(22＋33)＝12÷32＋236＝23×632＋23＝123(32－23)(32＋23)(32－23)＝123(32－23)6＝23(32－23)＝66－12.解题策略：乘法有分配律，除法没有分配律，在运算过程中，不能把除法按乘法分配律直接运算．【例5－3】计算12a ＋34a 3－78a a 5－14a2a 7.错解：原式＝12a ＋3a 4a －7a 8a －a 4a ＝12＋3a 4－7a 8－a 4a ＝12－38a a .解析：在二次根式的计算过程中，逆用乘法分配律时忽略了加括号而出错．正解：原式＝12a ＋3a 4a －7a 8a －a 4a ＝(12＋3a 4－7a 8－a 4)a ＝(12－38a )a .解题策略：在合并同类二次根式时，将系数相加的和作为系数．有时二次根式的系数为多项式，那么整个多项式是二次根式的系数，不能忘记加括号．。

沪科版八年级数学下册导学案设计：16.2二次根式的运算(1)(无答案0

班级：组别：姓名：组内评价：教师评价：课题：二次根式的运算（1）【学习目标】1、知道二次根式的性质3，积的算术平方根的性质，并能灵活运用它们进行相关计算。

2、通过对二次根式性质3的推导，体会从特殊到一一般、从具体到抽象的数学思想方法。

‘3、通过对二次根式性质3和积的算术平方根的性质的应用，体会逆向思维的作用。

‘【重点难点】探究和应用二次根式的性质3和积的算术平方根的性质。

【导学过程】学一学：阅读教材P 7“观察”，完成其中的填空，由此猜想：若a ≥0,b ≥0,则b a ⋅（填“＞”、“＝”或“＜”）。

想一想：如何运用所学的的平方根的有关知识说明上述猜想是成立的？解析：归纳总结：二次根式的性质3：如果a ≥0,b ≥0,则b a ⋅= ，即两个二次根式相乘，相乘，根指数。

议一议：性质3能推广3个或3个以上因式的形式吗？如果能请用式子表示。

不能说明理由。

选一选：计算82⨯的结果为（）‘ A.16 B.8 C.4 D.2’ 解析：想一想：将二次根式的性质3等号两边的式子颠倒位置后，可得到什么结果？你能用语言叙述你得到的结果吗？解析：议一议：积的算术平方根的性质能推广3个或3个以上因式的形式吗？如果能请用式子表示。

不能说明理由。

做一做：=⨯=3412 × = ，=⨯=5945 × = ，=27 × = 。

‘学一学：阅读教材P 7“例题1”及后面一段文字，解决下面问题：1、由二次根式的性质3，=⨯276 ，把6×27分解成一个完全平方数与一个非完全平方数的积的形式，有=⨯276 ，再利用积的算术平方根性质，得=⨯276 。

2、做10253⨯-时，可类比的法则，即d c b a ⨯= 。

3、是总结出如何利用积的算术平方根的性质化简二次根式？化简时应该注意什么？ ‘归纳总结：二次根式的性质3和积的算术平方根的性质是互逆的两个过程，其关系可由下列式子表示：‘a ⨯ab （其中 a ≥0，b ≥0）议一议：根据“例题1”，你是总结如何进行二次根式的乘法运算？‘解析： ‘二、合作探究互动探究1：下列计算正确的是（）‘A .6)9()4()9()4(=-⨯-=-⨯-.B .7434322=+=+.C . 9181404122=⨯=-.D .353)5(2-=⨯-.解析：互动探究2：计算：1、200；2、)56(1031-⨯；‘ 3、)64()36(-⨯-；4、2448yz x .‘解：互动探究3：)2()2()2()2(x x x x +⨯-=+⨯-成立的条件是。

新沪科版八年级下册数学《二次根式》导学案1

16.1二次根式导学案教学思路（纠错栏）学习目标：1．理解二次根式的定义；2．记住二次根式有意义的条件；3．理解a（a≥0）是一个非负数，并会运用a（a≥0）的非负性解决实际问题．学习重点：二次根式的定义预设难点：a（a≥0）的非负性的应用☆自主学习☆一、知识链接1．什么叫平方根？什么叫算术平方根？你能求出7的算术平方根吗？2．数a一定有平方根吗？若有，那么对于a的取值有何要求？二、阅读与思考（请仔细阅读教材第2-3页的内容，思考回答下列问题．）1．你知道代数式a的名称吗？2．你知道二次根式a有意义的条件吗？☆合作探究☆1．x为何值时，下列式子有意义①13-x②1132+++xx③1x1x-+教学思路（纠错栏）2．如果04=-++-yxyx，试求x、y的值．☆归纳反思☆1．二次根式有意义的条件是：_________________________；本章中，如无特殊说明，所给的二次根式均是有意义的．2．二次根式是___________数，即a_________0．☆达标检测☆1．在3，21，()22-，()35-，12+x中，二次根式有___个．2．x为何值时，下列式子在实数范围内有意义？（1）2-x；（2）x-11；（3）xx-+-33. 3．已知053=+-+-+yxyx，求2x + y的值．。