崇文区2009-2010学年度第二学期统一练习(文)答案

崇文区2009－2010学年度第二学期统一练习（一）
高三数学（文科）参考答案及评分标准 2010.4
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
（9）34-
（10）1- （11）313
（12）13，21 （13）1
1
(1)
(2)n n
n T n b T n T -=⎧⎪
=⎨≥⎪⎩ ；()2
2
1(1)(2)
1n n b n n n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩
（14）②③④
三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共12分） 解：（Ⅰ）∵,55
2sin
=A π<<A 0 ∴cos
2A =
. ∴4
sin 2sin cos 225
A A A ==. ∵2sin 2
1
==
∆A bc S ABC ， ∴5=bc . --------------------6分
（Ⅱ）∵,5
52sin
=A ∴5
3
2sin
21cos 2
=-=A A . ∵5=bc ，6=+c b ，
∴A bc c b a cos 2222-+=)cos 1(2)(2
A bc c b +-+=20=.
∴52=a . -----------12分 （16）（共13分）
解：（Ⅰ）根据直方图可知产品件数在[)20,25内的人数为
50.066m ⨯⨯=，则20m =（位）． ---------------- 6分
（Ⅱ）根据直方图可知产品件数在 [)10,15，[)15,20，组内的人数分别为2，4.
设这2位工人不在同一组为A 事件，则8
()15
P A =
． 答：选取这2人不在同组的概率为
8
15
． ---------------- 13分 （17）（共14分）
（Ⅰ）证明： 连结1BC ，1AC ，
,M N 是AB ，C A 1的中点 ∴||MN 1BC ．
又 MN ⊄平面11B BCC ，
∴||MN 平面11B BCC ． --------------------4分
（Ⅱ） 三棱柱111C B A ABC -中，侧棱与底面垂直，
∴四边形11B BCC 是正方形． 11BC BC ∴⊥． 1MN B C ∴⊥．
连结1,A M CM ，1AMA
AMC ≅． 1A M CM ∴=，又N 中1AC 的中点，
1
MN AC ∴⊥． 1B C 与1AC 相交于点
C ， ∴⊥MN 平面C B A 11． --------------------9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知MN 是三棱锥-M C B A 11的高．
在直角MNC 中，1
MC AC ==
MN ∴=
又11A B C
S
=
11111
4
3
3
M A B C A B C
V MN S
-=⋅=
． --------------------14分 （18）（共14分）
解：（Ⅰ）2
2
'()31293()(3)0f x x ax a x a x a =-+=--<
（1）当3a a =，即0a =时，2
'()30f x x =>，不成立．
（2）当3a a >，即0a <时，单调减区间为(3,)a a ．
（3）当3a a <，即0a >时，单调减区间为(,3)a a ．--------------------5分
（Ⅱ）22'()31293()(3)f x x ax a x a x a =-+=--，
()f x 在(0,)a 上递增，在(,3)a a 上递减，在(3,)a +∞上递增．
（1）当3a ≥时，函数()f x 在[0,3]上递增， 所以函数()f x 在[0,3]上的最大值是(3)f ，
若对[]0,3x ∀∈有()4f x ≤恒成立，需要有(3)4,
3,
f a ≤⎧⎨
≥⎩解得a ∈∅．
（2）当13a ≤<时，有33a a <≤，此时函数()f x 在[0,]a 上递增，在[,3]a 上递
减，所以函数()f x 在[0,3]上的最大值是()f a ，
若对[]0,3x ∀∈有()4f x ≤恒成立，需要有()4,
13,
f a a ≤⎧⎨
≤<⎩ 解得1a =．
（3）当1a <时，有33a >，此时函数()f x 在[,3]a a 上递减，在[3,3]a 上递增， 所以函数()f x 在[0,3]上的最大值是()f a 或者是(3)f ．
由2()(3)(3)(43)f a f a a -=--， ①3
04
a <≤
时，()(3)f a f ≤， 若对[]0,3x ∀∈有()4f x ≤恒成立，需要有(3)4,30,4
f a ≤⎧⎪
⎨<≤⎪⎩
解得3
[1]4
a ∈-． ②
3
14
a <<时，()(3)f a f >， 若对[]0,3x ∀∈有()4f x ≤恒成立，需要有()4,
31,4
f a a ≤⎧⎪
⎨<<⎪⎩ 解得3(,1)4a ∈．
综上所述，[1a ∈-． -------------14分 （19）（共14分）
解：
（Ⅰ）由已知，2,a b ==．
所以椭圆方程为 22
143
x y +=． -------------5分 （Ⅱ）设直线l
方程为y kx =．令0y =
，得A ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
．
由方程组
2
2
3412
y kx x y ⎧=+⎪⎨
+=⎪⎩ 可得
(
2
23412x k x +=，即
(
)
22
340k x ++=．
所以
2
34M x k =-
+，
所以
M ⎛+ ⎝，
N ⎛- ⎝．
所以
34DN
k k =
=． 直线DN 的方程为
3
4y x k
=
+ 令0y =
，得B ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
．
所以 OA OB ⋅
=4=． ---------------- 14分 （20）（共13分）
解：（Ⅰ）当1n =时, 116a S ==
当2n ≥时, 2
211
11111
()[(1)(1)]52
222
n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=+. 而当1n =时, 56n +=
∴5n a n =+
又2120n n n b b b ++-+=即211n n n n b b b b +++-=-，
∴{}n b 是等差数列，又311b =，129153b b b ++
+=，解得15,3b d ==．
∴32n b n =+． ---------------- 4分
（Ⅱ）3
(211)(21)n n n c a b =
--1111()(21)(21)22121
n n n n ==--+-+
∴12n T c c =++…n c +1111[(1)()2335=
-+-+…11()]2121n n +--+21
n n =+
∵111
02321(23)(21)
n n n n T T n n n n ++-=
-=>++++ ∴n T 单调递增，故min 11()3
n T T ==
． 令
1357
k >，得19k <，所以max 18k =. ---------------- 9分 （Ⅲ）,(21,),
(),(2,),
n n a n l l f n b n l l *
*
⎧=-∈⎪=⎨=∈⎪⎩N N （1）当m 为奇数时，15m +为偶数，
∴347525m m +=+，11m =．
（2）当m 为偶数时，15m +为奇数， ∴201510m m +=+，5
7
m *=
∉N （舍去）． 综上，存在唯一正整数11m =，使得(15)5()f m f m +=成立． ----------1 3分。