2020年云南省曲靖二中高考数学一模试卷(理科)

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云南省曲靖市高考数学一模试卷(理科)

高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2+x-2＜0}，B={x|x＞0}，则集合A∪B等于（）A. {x|x＞-2}B. {x|0＜x＜1}C. {x|x＜1}D. {x|-2＜x＜1}2.已知i为虚数单位，则复数的虚部是（）A. -1B. 1C. iD. -i3.一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则球的表面积是（）A. 8πcm2B. 12πcm2C. 16πcm2D. 20πcm24.已知，则sin2x的值为（）A. B. C. D.5.二项式（x+1）n（n∈N*）的展开式中x3项的系数为10，则n=（）A. 8B. 6C. 5D. 106.假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进人同一部手机，若这两条短信进人手机的时间之差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为（）A. B. C. D.7.函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，则该函数图象（）A. 关于直线x=对称B. 关于直线x=对称C. 关于点（，0）对称D. 关于点（，0）对称8.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A.B.C.D.9.已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直．l与C交于A，B两点，|AB|=12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为（）A. 18B. 24C. 36D. 4810.某程序框图如图所示，若运行该程序后输出（）A.B.C.D.11.已知F2、F1是双曲线-=1（a＞0，b＞0）的上、下焦点，点F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（）A. 3B.C. 2D.12.已知函数f（x）=ln（|x|+1）+，则使得f（x）＞f（2x-1）的x的取值范围是（）A. B.C. （1，+∞）D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知不共线向量、，=t-（t∈R），=2+3，若A、B、C三点共线，则实数t等于______．14.若x，y满足约束条件，则z=2x-y的最大值为______．15.△ABC外接圆半径为，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A=60°，b=2，则c的值为______．16.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说:我没去过C城市;丙说:我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为____.三、解答题（本大题共8小题，共94.0分）17.已知数列{a n}的前n项和S n=2n2+n，n∈N*．（1）求{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足a n=4log2b n+3，n∈N*，求数列{a n•b n}的前n项和T n．18.甲、乙、丙三人参加微信群抢红包游戏，规则如下：每轮游戏发50个红包，每个红包金额为x元，x∈[1，5]．已知在每轮游戏中所产生的50个红包金额的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求a的值，并根据频率分布直方图，估计红包金额的众数；（Ⅱ）以频率分布直方图中的频率作为概率，若甲、乙、丙三人从中各抢到一个红包，其中金额在[1，2）的红包个数为X，求X的分布列和期望．19.如图四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD=CD=2，BC=4，PA=2，点M在线段PD上．（1）求证：AB⊥PC．（2）若二面角M-AC-D的大小为45°，求BM与平面PAC所成的角的正弦值．20.已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦距为2，椭圆C上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx-2与椭圆C交于A，B两点，点P（0，1），且|PA|=|PB|，求直线l的方程．21.已知函数f（x）=ln x，g（x）=x-1．（1）求函数y=f（x）图象在x=1处的切线方程；（2）证明：f（x）≤g（x）；（3）若不等式f（x）≤ag（x）对于任意的x∈（1，+∞）均成立，求实数a的取值范围．22.如图，AB是⊙O的直径，C、F是⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD交AB的延长线于点D．连接CF交AB于点E．（1）求证：DE2=DB•DA；（2）若DB=2，DF=4，试求CE的长．23.已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标，曲线C的极坐标方程ρ=2cos（θ+）．（Ⅰ）判断直线l与曲线C的位置关系；（Ⅱ）设M为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．24.设函数f（x）=|2x+2|-|x-2|．（1）求不等式f（x）＞2的解集；（2）x∈R，f（x）≥t2-t恒成立，求实数t的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵集合A={x|x2+x-2＜0}={x|-2＜x＜1}，B={x|x＞0}，∴集合A∪B={x|x＞-2}．故选：A．利用并集的性质求解．本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．2.【答案】A【解析】解：===-i．∴复数的虚部是-1．故选：A．利用复数的代数形式的乘除运算，求得=-i．由此能求出复数的虚部．本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．3.【答案】B【解析】【分析】由题意正方体的外接球的直径就是正方体的对角线长，求出正方体的对角线长，即可求出球的表面积．本题是基础题，考查正方体的外接球的不面积的求法，解题的根据是正方体的对角线就是外接球的直径，考查计算能力，空间想象能力．【解答】解：正方体的顶点都在球面上，则球为正方体的外接球，则2=2R，R=，S=4πR2=12π故选：B．4.【答案】D【解析】解：法1：由已知得，两边平方得，求得；法2：令，则，所以．故选：D．解法1：利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简已知的等式，然后将化简后的等式两边平方，利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，即可求出sin2x的值；解法2：令，求出x，原式变形为sinα的值为，把x的值代入所求式子中，利用诱导公式化简后，再利用二倍角的余弦函数公式化简，将sinα的值代入即可求出值．此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式及诱导公式，熟练掌握公式是解本题的关键．5.【答案】C【解析】解：由二项式（x+1）n（n∈N*）的展开式的通项T r+1=x n-r得：令n-r=3，得r=n-3，所以==10，所以n（n-1）（n-2）=60，解得n=5，故选：C．由二项式定理得：==10，所以n（n-1）（n-2）=60，解得n=5，得解．本题考查了二项式定理，属中档题．6.【答案】C【解析】解：分别设两个互相独立的短信收到的时间为x，y．则所有事件集可表示为0≤x≤5，0≤y≤5．由题目得，如果手机受则到干扰的事件发生，必有|x-y|≤2．三个不等式联立，则该事件即为x-y=2和y-x=2在0≤x≤5，0≤y≤5的正方形中围起来的图形即图中阴影区域而所有事件的集合即为正方型面积52=25，阴影部分的面积25-2×（5-2）2=16，所以阴影区域面积和正方形面积比值即为手机受到干扰的概率为．故选：C．根据几何概型的概率公式求出对应的测度，即可得到结论．本题主要考查几何概型的概率的计算，分别求出对应区域的面积是解决本题的关键，比较基础．7.【答案】D【解析】解：由于函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为=π，∴ω=2，f（x）=sin（2x+），当x=时，f（x）=0，故该函数图象关于点（，0）对称，故选：D．由条件根据函数y=A sin（ωx+φ）的周期为，求得ω的值，再根据正弦函数的图象的对称性，得出结论．本题主要考查函数y=A sin（ωx+φ）的周期性，利用了函数y=A sin（ωx+φ）的周期为，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：由三视图知原几何体是一个棱长为2的正方体挖去一四棱锥得到的，该四棱锥的底为正方体的上底，高为1，如图所示：所以该几何体的体积为23-×22×1=．故选：B．由三视图知原几何体是一个棱长为2的正方体挖去一四棱锥得到的，根据所提供的数据可求出正方体、锥体的体积，从而得到答案．本题考查三视图，考查柱体、锥体的体积计算，解决该类问题的关键是由三视图还原得到原几何体，画三视图的要求为：“长对正，高平齐，宽相等”．9.【答案】C【解析】解：设抛物线的解析式为y2=2px（p＞0），则焦点为F（，0），对称轴为x轴，准线为x=-∵直线l经过抛物线的焦点，A、B是l与C的交点，又∵AB⊥x轴∴|AB|=2p=12∴p=6又∵点P在准线上∴DP=（+||）=p=6∴S△ABP=（DP•AB）=×6×12=36故选：C．首先设抛物线的解析式y2=2px（p＞0），写出次抛物线的焦点、对称轴以及准线，然后根据通径|AB|=2p，求出p，△ABP的面积是|AB|与DP乘积一半．本题主要考查抛物线焦点、对称轴、准线以及焦点弦的特点；关于直线和圆锥曲线的关系问题一般采取数形结合法．10.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了循环结构的当型循环，同时考查了程序框图的应用，属于基础题.模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n的值，当n＞5时退出循环，输出S 的值．【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=1，n=1；不满足条件n＞5，S=1+，n=2；不满足条件n＞5，S=1++，n=3；不满足条件n＞5，S=1+++，n=4；不满足条件n＞5，S=1++++，n=5；不满足条件n＞5，S=1+++++，n=6；满足条件n＞5，退出循环，输出S的值．由于S=1+++++=．故选：D．11.【答案】C【解析】解：由题意，F1（0，-c），F2（0，c），一条渐近线方程为y=x，则F2到渐近线的距离为=b．设F2关于渐近线的对称点为M，F2M与渐近线交于A，∴|MF2|=2b，A为F2M的中点，又0是F1F2的中点，∴OA∥F1M，∴∠F1MF2为直角，∴△MF1F2为直角三角形，∴由勾股定理得4c2=c2+4b2∴3c2=4（c2-a2），∴c2=4a2，∴c=2a，∴e=2．故选：C．首先求出F2到渐近线的距离，利用F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，可得直角三角形MF1F2，运用勾股定理，即可求出双曲线的离心率．本题主要考查了双曲线的几何性质以及有关离心率和渐近线，考查勾股定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：∵函数f（x）=ln（|x|+1）+为定义域R上的偶函数，且在x≥0时，函数单调递增，∴f（x）＞f（2x-1）等价为f（|x|）＞f（|2x-1|），即|x|＞|2x-1|，两边平方得x2＞（2x-1）2，即3x2-4x+1＜0，解得＜x＜1；∴使得f（x）＞f（2x-1）的x的取值范围是（，1）．故选：A．判断函数f（x）是定义域R上的偶函数，且在x≥0时单调递增，把不等式f（x）＞f（2x-1）转化为|x|＞|2x-1|，求出解集即可．本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，也考查了转化思想的应用问题，是综合性题目．13.【答案】【解析】【分析】本题考查了向量共线定理、向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．利用向量共线定理、向量基本定理即可得出．【解答】解：∵=t-（t∈R），=2+3，A、B、C三点共线，∴存在实数k使得，t-=k（2+3），化为（t-2k）+（-1-3k）=，∵向量、不共线，∴，解得t=-．故答案为：-．14.【答案】9【解析】解：如图，作出可行域，作出直线l0：y=2x，将l0平移至过点A处时，函数z=2x-y有最大值9．首先作出可行域，再作出直线l0：y=2x，将l0平移与可行域有公共点，直线y=2x-z在y轴上的截距最小时，z有最大值，求出此时直线y=2x-z经过的可行域内的点的坐标，代入z=2x-y中即可．本题考查线性规划问题，考查数形结合思想．15.【答案】【解析】解：∵△ABC外接圆半径为，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A=60°，b=2，∴由正弦定理可得：，解得：a=3，∴利用余弦定理：a2=b2+c2-2bc cos A，可得：9=4+c2-2c，即c2-2c-5=0，∴解得：c=1+，或1-（舍去）．故答案为：．由已知及正弦定理可解得a，利用余弦定理可得：c2-2c-5=0，解方程即可得解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和计算能力，属于基础题．16.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查简单的合情推理，要抓住关键，逐步推断，是一道基础题．可先由乙推出，可能去过A城市或B城市，再由甲推出只能是A，B中的一个，再由丙即可推出结论．【解答】解：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为A．故答案为A．17.【答案】解：（1）当n=1时，a1=S1=3；当n≥2时，．经检验，n=1时，上式成立．∴a n=4n-1，n∈N*．（2）∵a n=4log2b n+3=4n-1，∴b n=2n-1．∴，n∈N*．∴，①①×2得：，②∴．故．【解析】（1）根据a n=解出；（2）求出b n，使用错位相减法求和．本题考查了数列的通项公式的解法，数列求和，属于中档题．18.【答案】解：（I）由频率分布直方图可得：（0.18+0.2+0.32+a）×1=1，解得a=0.3．众数为2.5．（II）由频率分布直方图可得，红包金额在[1，2）的概率为，则X～B，∴X的取值为0，1，2，3．利用P（X=k）=，（k=0，1，2，3），可得P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=．∴E（X）=3×=．【解析】（I）由频率分布直方图的性质可得：（0.18+0.2+0.32+a）×1=1，解得a．众数为2.5．（II）由频率分布直方图可得，红包金额在[1，2）的概率为，则X～B，X的取值为0，1，2，3．利用P（X=k）=，（k=0，1，2，3），可得分布列，进而定点数学期望．本题考查了频率分布直方图的性质、二项分布列的计算公及其数学期望与方差，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】（1）证明：设E为BC的中点，连接AE，则AD=EC，AD∥EC，∴四边形AECD为平行四边形，∴AE⊥BC∵AE=BE=EC=2，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴AB⊥AC，∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴AB⊥PA∵AC∩PA=A，∴AB⊥平面PAC，∴AB⊥PC．（2）设AC∩BD=O，连接OP，过点M作MN⊥AD，过点N作NG⊥AC于G，连接MG，则MN∥PA，由PA⊥平面ABCD，可得MN⊥平面ABCD，∴MN⊥AC，∵NG⊥AC，MN∩NG=N，∴AC⊥平面MNG，∴AC⊥MG，∴∠MGN是二面角M-AC-D的平面角，即∠MGN=45°设MN=x，则NG=AG=x，∴AN=ND=x，可得M为PD的中点，连接PO交BM于H，连接AH，由（1）AB⊥平面PAC，∴∠BHA是BM与平面PAC所成的角在△ABM中，AB=4，AM=PD=，BM=3，∴cos∠ABM=，∵∠BHA与∠ABM互余，∴BM与平面PAC所成的角的正弦值为．【解析】（1）设E为BC的中点，连接AE，证明AB⊥PC，只需证明AB⊥平面PAC，只需证明AB⊥AC，AB⊥PA．（2）设AC∩BD=O，连接OP，过点M作MN⊥AD，过点N作NG⊥AC于G，连接MG，证明∠MGN是二面角M-AC-D的平面角，即∠MGN=45°，M为PD的中点，连接PO交BM于H，连接AH，证明∠BHA是BM与平面PAC所成的角，即可求BM与平面PAC 所成的角的正弦值．本题考查线面垂直，线线垂直，考查面面角，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，正确作出线面角是关键．20.【答案】解：（Ⅰ）由椭圆的定义可得2a=6，2c=2，解得a=3，c=，所以b2=a2-c2=3，所以椭圆C的方程为+=1．（Ⅱ）由得（1+3k2）x2-12kx+3=0，由于直线与椭圆有两个不同的交点，所以△=144k2-12（1+3k2）＞0解得．设A（x1，y1），B（x2，y2）则，，，所以，A，B中点坐标E（，），因为|PA|=|PB|，所以PE⊥AB，即k PE•k AB=-1，所以•k=-1解得k=±1，经检验，符合题意，所以直线l的方程为x-y-2=0或x+y+2=0．【解析】（Ⅰ）由椭圆的定义可得a，由焦距的概念可得c，再由a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）直线l：y=kx-2代入椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由中点坐标公式和两直线垂直的条件，可得k的方程，解方程可得直线方程．本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的定义和焦距的概念，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，由两直线垂直的条件，考查运算能力，属于中档题．21.【答案】解：（1）∵，∴f'（1）=1．又由f（1）=0，得所求切线l：y-f（1）=f'（1）（x-1），即所求切线为y=x-1．（2）设h（x）=f（x）-g（x）=ln x-x+1，则，令h'（x）=0，得x=1，得下表：（），即（）（）．max（3）∀x∈（1，+∞），f（x）＞0，g（x）＞0．（ⅰ）当a≥1时，f（x）≤g（x）≤ag（x）；（ⅱ）当a≤0时，f（x）＞0，g（x）≤0不满足不等式；（ⅲ）当0＜a＜1时，设φ（x）=f（x）-ag（x）=ln x=a（x-1），，令φ'（x）=0，得．得下表：）（增函数极大值减函数∴．即不满足不等式．综上，a≥1．【解析】（1）求出导函数，求出切线的斜率，然后求解函数y=f（x）图象在x=1处的切线方程；（2）求出函数的导数，求解f（x）的最大值，函数g（x）的最小值即可；（3）∀x∈（1，+∞），f（x）＞0，g（x）＞0．通过（ⅰ）当a≥1时，（ⅱ）当a≤0时，判断是否满足题意；（ⅲ）当0＜a＜1时，设φ（x）=f（x）-ag（x）=ln x=a（x-1），，利用函数的导数的符号判断函数的单调性求解函数的极值，推出结果．本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的单调性以及函数的极值的求法，考查转化思想以及计算能力．22.【答案】（1）证明：连接OF．因为DF切⊙O于F，所以∠OFD=90°．所以∠OFC+∠CFD=90°．因为OC=OF，所以∠OCF=∠OFC．因为CO⊥AB于O，所以∠OCF+∠CEO=90°．所以∠CFD=∠CEO=∠DEF，所以DF=DE．因为DF是⊙O的切线，所以DF2=DB•DA．所以DE2=DB•DA．（2）解：∵DF2=DB•DA，DB=2，DF=4．∴DA=8，从而AB=6，则OC=3．又由（1）可知，DE=DF=4，∴BE=2，OE=1．从而在Rt△COE中，．【解析】（1）连接OF，利用切线的性质及角之间的互余关系得到DF=DE，再结合切割线定理证明DE2=DB•DA，即可求出DE．（2）求出BE=2，OE=1，利用勾股定理求CE的长．本题主要考查了与圆有关的比例线段、圆的切线的性质定理的应用，属于中档题．23.【答案】解：（Ⅰ）由，消去t得：y=x+．由，得，即，∴，即．化为标准方程得：．圆心坐标为，半径为1，圆心到直线x-y+=0的距离d=＞1．∴直线l与曲线C相离；（Ⅱ）由M为曲线C上任意一点，可设，则x+y=sinθ+cosθ=，∴x+y的取值范围是．【解析】（Ⅰ）由直线的参数方程消去t得直线的直角坐标方程，化圆的极坐标方程为直角坐标方程，再由圆心到直线的距离与圆的半径的关系得到直线与圆的位置关系；（Ⅱ）设出曲线C上的点的参数方程，由x+y=sinθ+cosθ，利用两角和的正弦化简后可得x+y的取值范围．本题考查了简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，考查了由点到直线的距离判断直线和圆的位置关系，训练了圆的参数方程的应用，是基础题．24.【答案】解：（1）函数f（x）=|2x+2|-|x-2|=，当x＜-1时，不等式f（x）＞2，即-x-4＞2，求得x＜-6，∴x＜-6;当-1≤x＜2时，不等式f（x）＞2，即3x＞2，求得x＞，∴＜x＜2;当x≥2时，不等式f（x）＞2，即x+4＞2，求得x＞-2，∴x≥2．综上所述，不等式的解集为{x|x＞或x＜-6}；（2）由f（x）的单调性可得f（x）的最小值为f（-1）=-3，若∀x∈R，f（x）≥t2-t恒成立，只要-3≥t2-t，即2t2-7t+6≤0，∴求得≤t≤2．【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．（1）求出函数f（x）的分段函数，分类讨论，求得f（x）＞2的解集．（2）由f（x）的单调性求得f（x）的最小值为f（-1）=-3，再根据f（-1）≥t2-t，求得实数t的取值范围．。

2020年云南省曲靖二中高考数学一模试卷(理科)(含解析)

2020年云南省曲靖二中高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项符合要求.）1.若复数z=i1−i（i是虚数单位），则|z|＝（）A.12B.√22C.1D.√22.已知集合A＝{0, 1, 2}，集合B={x|x−1x−2≤0}，则A∩B＝（）A.{0, 1}B.{1, 2}C.{1}D.{2}3.已知平面α∩β＝l，m是α内不同于l的直线，那么下列命题中错误的是（）A.若m // β，则m // lB.若m // l，则m // βC.若m⊥β，则m⊥lD.若m⊥l，则m⊥β4.已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n+1＝a n+a（n∈N∗，a为常数），若平面内的三个不共线的非零向量OA→，OB→，OC→满足OC→=a1005OA→+a1006OB→，A，B，C三点共线且该直线不过O点，则S2010等于（）A.1005B.1006C.2010D.20125.执行如图所示的程序框图，令y＝f(x)，若f(a)>1，则实数a的取值范围是（）A.(−∞, 2)∪(2, 5]B.(−∞, −1)∪(1, +∞)C.(−∞, 2)∪(2, +∞)D.(−∞, −1)∪(1, 5]6.已知m ∈R ，“函数y =2x +m −1有零点”是“函数y =log m x 在(0, +∞)上为减函数”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.已知某班学生的数学成绩x （单位：分）与物理成绩y （单位：分）具有线性相关关系，在一次考试中，从该班随机抽取5名学生的成绩，经计算：∑=i=15 xi 475,∑=i=15 yi 320，设其线性回归方程为：y ^=0.4x +a ^．若该班某学生的数学成绩为105，据此估计其物理成绩为（） A.66 B.68 C.70 D.728.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝2，S 3＝−6，则S 5＝（） A.18 B.10 C.−14 D.−229.函数f(x)＝2x −4sinx ，x ∈[−π2, π2]的图象大致是（） A.B.C.D.10.已知直线x +y −a ＝0与圆x 2+y 2＝2交于A 、B 两点，O 是坐标原点，向量OA →、OB →满足条件|OA →+OB →|＝|OA →−OB →|，则实数a 的值为（）A.√2B.−√2C.±√2D.±111.已知F1，F2是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的左、右焦点，设双曲线的离心率为e．若在双曲线的右支上存在点M，满足|MF2|＝|F1F2|，且esin∠MF1F2＝1，则该双曲线的离心率e等于（）A.54B.53C.√5D.5212.定义在R上的可导函数f(x)满足f(1)=1，且2f′(x)>1，当x∈[−π2, 3π2]时，不等式f(2cosx)+2sin2x2>32的解集为()A.(π3, 4π3) B.(−π3, 4π3) C.(0, π3) D.(−π3, π3)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.）13.已知二项式(x2+ax)5展开式所有项的系数和为−1，则展开式中x的系数为________．14.已知x>0，y>0，且x+2y＝xy，若x+2y>m2+2m恒成立，则xy 的最小值为________，实数m的取值范围为________．15.某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中选出3人代表本班参加“学生对教师满意程度调查”的座谈会，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率是________．16.如图，平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD=√2，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A′−BCD，使平面A′BD⊥平面BCD．四面体A′−BCD顶点在同一个球面上，则该球的体积为________．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：共60分.17.已知向量a→=(sinx, cosx)，b→=(√3cosx, cosx)，f(x)=a→⋅b→．（1）求f(x)的单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.a=√7,sinB=3sinC，若f(A)＝1，求△ABC的周长．18.“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2020年春节前夕，某市质检部门随机抽取了100包某品牌的速冻水饺，检测某项质量指标，检测结果如频率分布直方图所示．（1）求所抽取的100包水饺该项质量指标值的样本平均数．（2）由直方图可以认为，水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(μ, σ2)，其中μ近似为样本平均数，经计算得σ=√142.75≈11.95，求Z落在(14.55, 38.45)内的概率．（3）将频率视为概率，若某人买了3包该品牌水饺，记这3包水饺中质量指标值位于(10, 30)内的包数为X，求X的分布列和数学期望E(X)．附：若Z∼N(μ, σ2)，则：P(μ−σ<ξ≤μ+σ)＝0.6826，P(μ−3σ<ξ≤μ+3σ)＝0.9974．19.如图直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC＝CC1＝2，AB＝BC，D是BA1上一点，且AD⊥平面A1BC．（1）求证：BC⊥平面ABB1A1；（2）在棱BB1是否存在一点E，使平面AEC与平面ABB1A1的夹角等于60∘，若存在，试确定E点的位置，若不存在，请说明理由．20.已知P是圆F1:(x+1)2+y2=16上任意一点，F2(1, 0)，线段PF2的垂直平分线与半径PF1交于点Q，当点P在圆F1上运动时，记点Q的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点M(−√3,0)的直线l与（1）中曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，求△AOB面积的最大值及此时直线l的方程．21.已知函数f(x)＝(x−1)lnx，g(x)=x−lnx−3．e(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)令ℎ(x)＝mf(x)+g(x)(m >0)两个零点x 1，x 2(x 1<x 2)，证明：x 1+e >x 2+1e ．请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，已知圆C:{x =2cosθy =2sinθ （θ为参数），点P 在直线l:x +y −4＝0上，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系． (Ⅰ)求圆C 和直线l 的极坐标方程；(Ⅱ)射线OP 交圆C 于R ，点Q 在射线OP 上，且满足|OP|2＝|OR|⋅|OQ|，求Q 点轨迹的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]（本题满分0分） 23.已知函数f(x)＝|x −1|−|x +2|．(Ⅰ)若不等式f(x)≥|m −1|有解，求实数m 的最大值M ；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若正实数a ，b 满足3a 2+b 2＝M ，证明：3a +b ≤4．2020年云南省曲靖二中高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项符合要求.） 1.若复数z =i 1−i（i 是虚数单位），则|z|＝（） A.12 B.√22C.1D.√2【解答】z =i1−i =i(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i 2=−12+12i ．所以|z|=√(−12)2+(12)2=√22． 2.已知集合A ＝{0, 1, 2}，集合B ={x|x−1x−2≤0}，则A ∩B ＝（） A.{0, 1} B.{1, 2} C.{1} D.{2}【解答】∵集合A ＝{0, 1, 2}，集合B ={x|x−1x−2≤0}， ∴B ＝{x|1≤x <2}， ∴A ∩B ＝{1}．3.已知平面α∩β＝l ，m 是α内不同于l 的直线，那么下列命题中错误的是（）A.若m // β，则m // lB.若m // l ，则m // βC.若m ⊥β，则m ⊥lD.若m ⊥l ，则m ⊥β 【解答】A 选项是正确命题，由线面平行的性质定理知，可以证出线线平行；B 选项是正确命题，因为两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面；C 选项是正确命题，因为一个线垂直于一个面，则必垂直于这个面中的直线；D 选项是错误命题，因为一条直线垂直于一个平面中的一条直线，不能推出它垂直于这个平面；综上D 选项中的命题是错误的4.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n+1＝a n +a （n ∈N ∗，a 为常数），若平面内的三个不共线的非零向量OA→，OB→，OC→满足OC→=a1005OA→+a1006OB→，A，B，C三点共线且该直线不过O点，则S2010等于（）A.1005B.1006C.2010D.2012【解答】由a n+1＝a n+a得，a n+1−a n＝a；∴{a n}为等差数列；由OC→=a1005OA→+a1006OB→，所以A，B，C三点共线；∴a1005+a1006＝a1+a2010＝1，∴S2010=12×2010＝1005．5.执行如图所示的程序框图，令y＝f(x)，若f(a)>1，则实数a的取值范围是（）A.(−∞, 2)∪(2, 5]B.(−∞, −1)∪(1, +∞)C.(−∞, 2)∪(2, +∞)D.(−∞, −1)∪(1, 5]【解答】执行该程序的功能是计算并输出分段函数f(x)={x2,x≤22x−3,2<x≤51x,x>5，当a≤2时，由f(a)＝a2>1，解得：a∈(−∞, −1)∪(1, 2]，当2<a≤5时，由f(a)＝2a−3>1，解得a∈(2, 5]；当a>5时，由f(a)=1a>1，解得a∈⌀；综上所述，a的取值范围是(−∞, −1)∪(1, 5]．6.已知m∈R，“函数y=2x+m−1有零点”是“函数y=log m x在(0, +∞)上为减函数”的（)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解答】解：若函数y=2x+m−1有零点，即y=2x的图象与y=1−m的图象有交点，则1−m>0，即m<1，当m≤0时，函数y=log m x在(0, +∞)上为减函数不成立，即充分性不成立；若y=log m x在(0, +∞)上为减函数，则0<m<1，此时函数y=2x+m−1有零点成立，即必要性成立.故“函数y=2x+m−1有零点”是“函数y=log m x在(0, +∞)上为减函数”的必要不充分条件.故选B.7.已知某班学生的数学成绩x（单位：分）与物理成绩y（单位：分）具有线性相关关系，在一次考试中，从该班随机抽取5名学生的成绩，经计算：∑= i=15xi 475,∑=i=15yi320，设其线性回归方程为：y^=0.4x+a^．若该班某学生的数学成绩为105，据此估计其物理成绩为（）A.66B.68C.70D.72【解答】由题意知，x=15∑5i=1x i=15×475＝95，y=15∑5i=1y i=15×320＝64，代入线性回归方程y^=0.4x+a^中，得64＝0.4×95+a^，解a^=26；所以线性回归方程为y^=0.4x+26，当x＝105时，y^=0.4×105+26＝68，即该班某学生的数学成绩为105时，估计它的物理成绩为68．8.等比数列{a n}的前n项和为S n，若S2＝2，S3＝−6，则S5＝（）A.18B.10C.−14D.−22【解答】根据题意得，q≠1∴a1+a 2＝2①a 3＝−8②又a 1(1+q)＝2，a 1q 2＝−8 ∴q 2＝−4−4q 解得q ＝−2，a 1＝−2 ∴S 5＝−229.函数f(x)＝2x −4sinx ，x ∈[−π2, π2]的图象大致是（） A.B.C.D.【解答】∵函数f(x)＝2x −4sinx ，∴f(−x)＝−2x −4sin(−x)＝−(2x −4sinx)＝−f(x)，故函数f(x)为奇函数，所以函数f(x)＝2x −4sinx 的图象关于原点对称，排除AB ，函数f′(x)＝2−4cosx ，由f′(x)＝0得cosx =12，故x ＝2kπ±π3(k ∈Z)，所以x ＝±π3时函数取极值，排除C ，10.已知直线x +y −a ＝0与圆x 2+y 2＝2交于A 、B 两点，O 是坐标原点，向量OA →、OB →满足条件|OA →+OB →|＝|OA →−OB →|，则实数a 的值为（） A.√2 B.−√2 C.±√2D.±1【解答】由|OA →+OB →|＝|OA →−OB →|，两边平方，得OA →⋅OB →=0，所以∠AOB ＝90∘，则△AOB 为等腰直角三角形，而圆x 2+y 2＝2的半径AO =√2，则原点O 到直线的x +y −a ＝0的距离为1，所以1+1=1，即a 的值为√2或−√2．11.已知F 1，F 2是双曲线x 2a −y 2b =1(a >0, b >0)的左、右焦点，设双曲线的离心率为e ．若在双曲线的右支上存在点M ，满足|MF 2|＝|F1F2|，且esin∠MF1F2＝1，则该双曲线的离心率e等于（）A.54B.53C.√5D.52【解答】依题设，|MF2|＝|F1F2|＝2c，∵esin∠MF1F2＝1，∴sin∠MF1F2=1e =2a2c，∴等腰三角形MF1F2底边上的高为2a，∴底边MF1的长为2√(2c)2−(2a)2= 4b，由双曲线的定义可得4b−2c＝2a，∴2b＝a+c，∴4b2＝(a+c)2，即4b2＝a2+2ac+c2，∴3e2−2e−5＝0，解得e=53（−1舍去）．12.定义在R上的可导函数f(x)满足f(1)=1，且2f′(x)>1，当x∈[−π2, 3π2]时，不等式f(2cosx)+2sin2x2>32的解集为()A.(π3, 4π3) B.(−π3, 4π3) C.(0, π3) D.(−π3, π3)【解答】解：令g(x)=f(x)−12x−12，则g′(x)=f′(x)−12>0，∴g(x)在定义域R上是增函数，且g(1)=f(1)−12−12=0，∴g(2cosx)=f(2cosx)−cosx−12=f(2cosx)−cosx−12，令2cosx>1，则g(2cosx)>0，即f(2cosx)>12+cosx，又∵x∈[−π2, 3π2]，且2cosx>1，∴x∈(−π3, π3 ).故选D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.）13.已知二项式(x2+ax)5展开式所有项的系数和为−1，则展开式中x的系数为________．【解答】在(x2+ax)5的展开式中，令x＝1，可得所有项的系数之和为(1+a)5＝−1，∴a＝−2，∴展开式的通项为T r+1＝(−2)r C5r x10−3r，令10−3r＝1，解得r＝3，∴展开式中x的系数为(−2)3C53＝−80，14.已知x>0，y>0，且x+2y＝xy，若x+2y>m2+2m恒成立，则xy的最小值为________，实数m的取值范围为________．【解答】∵x>0，y>0，x+2y＝xy，∴2x +1y=1，∴1=2x +1y≥2√2x⋅1y，∴xy≤8，当且仅当x＝4，y＝2时取等号，∴x+2y≥2√≥8（当x＝2y时，等号成立），∴m2+2m<8，解得−4<m<215.某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中选出3人代表本班参加“学生对教师满意程度调查”的座谈会，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率是________．【解答】由于甲已经选中，故需从剩余的5个人中再选出2个，问题转化为古典概率来求．所有的选法有∁52=10种，则女生乙被选中的选法有∁11⋅∁41=4种，故在男生甲被选中的情况下，则女生乙也被选中的概率等于410=25，16.如图，平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD=√2，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A′−BCD，使平面A′BD⊥平面BCD．四面体A′−BCD顶点在同一个球面上，则该球的体积为________√32π．【解答】平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD=√2，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A′−BCD，使平面A′BD⊥平面BCD．四面体A′−BCD顶点在同一个球面上，△BCD和△A′BC都是直角三角形，BC的中点就是球心，所以BC=√3，球的半径为：√32；所以球的体积为：4π3×(√32)3=√32π；三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：共60分.17.已知向量a→=(sinx, cosx)，b→=(√3cosx, cosx)，f(x)=a→⋅b→．（1）求f(x)的单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.a=√7,sinB=3sinC，若f(A)＝1，求△ABC的周长．【解答】因为a→=(sinx, cosx)，b→=( √3cosx, cosx)，f(x)=a→⋅b→=√3sinxcosx+cos2x=√32sin2x+12cos2x+12=sin(2x+π6)+12，由−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z，可得：−π3+kπ≤x≤π6+kπ，k∈Z，可得f(x)的单调递增区间是：[−π3+kπ, π6+kπ]，k∈Z，由题意可得：sin(2A+π6)=12，又0<A<π，所以π6<2A+π6<13π6，所以2A+π6=5π6，解得A=π3，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，则：a2＝b2+c2−2bccosA，所以a ＝BC =√7，又sinB ＝3sinC ，可得b ＝3c ，故7＝9c 2+c 2−3c 2，解得c ＝1，所以b ＝3，可得△ABC 的周长为4+√7．18.“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2020年春节前夕，某市质检部门随机抽取了100包某品牌的速冻水饺，检测某项质量指标，检测结果如频率分布直方图所示．（1）求所抽取的100包水饺该项质量指标值的样本平均数．（2）由直方图可以认为，水饺的该项质量指标值Z 服从正态分布N(μ, σ2)，其中μ近似为样本平均数，经计算得σ=√≈11.95，求Z 落在(14.55, 38.45)内的概率．（3）将频率视为概率，若某人买了3包该品牌水饺，记这3包水饺中质量指标值位于(10, 30)内的包数为X ，求X 的分布列和数学期望E(X)．附：若Z ∼N(μ, σ2)，则：P(μ−σ<ξ≤μ+σ)＝0.6826，P(μ−3σ<ξ≤μ+3σ)＝0.9974．【解答】所抽取的100包水饺该项质量指标值的样本平均数x 为：x =5×0.1+15×0.2+25×0.3+35×0.25+45×0.15=26.5． ∵Z 服从正态分布N(μ, σ2)，且μ＝26.5，σ=√142.75≈11.95，∴P(14.55<Z <38.55)＝P(26.55−11.95<Z <26.5+11.95)＝0.6826， ∴Z 落在(14.55, 38.45)内的概率为0.6826．根据题意得：X ∼B(3, 12)，P(X ＝0)=C 30(12)3=18；P(X ＝1)=C 31(12)3=38； P(X ＝2)=C 32(12)3=38；P(X ＝3)=C 33(12)3=18．∴X的分布列为：E(X)=3×12=32．19.如图直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC＝CC1＝2，AB＝BC，D是BA1上一点，且AD⊥平面A1BC．（1）求证：BC⊥平面ABB1A1；（2）在棱BB1是否存在一点E，使平面AEC与平面ABB1A1的夹角等于60∘，若存在，试确定E点的位置，若不存在，请说明理由．【解答】证明：∵AD⊥平面A1BC，BC⊂平面A1BC∴AD⊥BC．∵ABC−A1B1C1是直三棱柱，∴AA1⊥平面ABC，∵BC⊂平面ABC，∴AA1⊥BC．∵AD∩AA1＝A，AD⊂平面ABB1A1，AA1⊂平面ABB1A1，∴BC⊥平面ABB1A1．∵BC⊥平面ABB1A1，AB⊂平面ABB1A1∴BC⊥AB．又BB1⊥AB，BB1⊥BC，于是可建立如图所示的空间直角坐标系B−xyz．∵△ABC是等腰直角三角形，且斜边AC＝2，∴AB=BC=√2．从而，A(√2,,0,0),B(0,0,0),C(0,√2,0)设存在满足条件的点E坐标为(0, 0, a)(0<a<2)由（1）知平面ABB 1A 1的法向量BC →=(0,√2,0)，令平面ACE 的法向量n ⇀=(x,y,z)，由{n ⇀⋅AC ⇀=0n ⇀⋅AE ⇀=0，可得{−√2x +√2y =0−√2x +az =0 令z =√2得n ⇀=(a,a,√2)．∵平面AEC 与平面ABB 1A 1的夹角等于60∘ ∴|cos⟨n,⇀BC ⇀⟩|=√2a√2√2a 2+2=12，解得a ＝1所以当E 为棱BB 1中点时平面AEC 与平面ABB 1A 1的夹角等于60∘．20.已知P 是圆F 1:(x +1)2+y 2=16上任意一点，F 2(1, 0)，线段PF 2的垂直平分线与半径PF 1交于点Q ，当点P 在圆F 1上运动时，记点Q 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）过点M(−√3,0)的直线l 与（1）中曲线相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求△AOB 面积的最大值及此时直线l 的方程．【解答】由已知|QF 1|+|QF 2|＝|QF 1|+|QP|＝|PF 1|＝4，所以点Q 的轨迹为以为F 1，F 2焦点，长轴长为4的椭圆，则2a ＝4且2c ＝2，所以a ＝2，c ＝1，则b 2＝3，所以曲线C 的方程为x 24+y 23=1；设直线l 的方程为x ＝ty −√3与椭圆x 24+y 23=1交于点A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，联立直线与椭圆的方程消去x ，得(3t 2+4)y 2−6√3ty −3＝0，则y 1+y 2=6√33t 2+4，y 1y 2=−33t 2+4，则S △AOB =12|OM|⋅|y 1−y 2|=√32⋅√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√32⋅√(6√33t 2+4)2+4⋅33t 2+4=63t 2+4√3t 2+1，令3t 2+2＝u ，则u ≥1，上式可化为6uu 2+3=6u+3u≤2√3=√3，当且仅当u =√3，即±√63时等号成立，因此△AOB 面积的最大值为√3，此时直线l 的方程为x ＝±√63y −√3．21.已知函数f(x)＝(x −1)lnx ，g(x)=x −lnx −3e ． (Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)令ℎ(x)＝mf(x)+g(x)(m >0)两个零点x 1，x 2(x 1<x 2)，证明：x 1+e >x 2+1e ．【解答】（1）由题可知f ′(x)=lnx +1−1x ，f ′(x)单调递增，且f ′(1)＝0，当0<x <1时，f ′(x)<0，当x ≥1时，f ′(x)≥0；因此f(x)在(0, 1)上单调递减，在[1, +∞)上单调递增．（2）证明：由ℎ(x)=m(x −1)lnx +x −lnx −3e 有两个零点可知由ℎ(x)=m(1+lnx −1x )+1−1x 且m >0可知，当0<x <1时，ℎ′(x)<0，当x ≥1时，ℎ′(x)≥0；即ℎ(x)的最小值为ℎ(1)=1−3e <0，因此当x =1e 时，ℎ(1e )=m(1e −1)(−1)+1e −(−1)−3e =m(e−1)+e−2e>0，可知ℎ(x)在(1e ,1)上存在一个零点；当x ＝e 时，ℎ(e)=m(e −1)+e −1−3e >0，可知ℎ(x)在(1, e)上也存在一个零点；因此x 2−x 1<e −1e ，即x 1+e >x 2+1e ．请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，已知圆C:{x =2cosθy =2sinθ （θ为参数），点P 在直线l:x +y −4＝0上，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．(Ⅰ)求圆C和直线l的极坐标方程；(Ⅱ)射线OP交圆C于R，点Q在射线OP上，且满足|OP|2＝|OR|⋅|OQ|，求Q 点轨迹的极坐标方程．【解答】（1）圆C:{x=2cosθy=2sinθ（θ为参数），可得直角坐标方程：x2+y2＝4，∴圆C的极坐标方程ρ＝2．点P在直线l:x+y−4＝0上，直线l的极坐标方程ρ=4sinθ+cosθ．（2）设P，Q，R的极坐标分别为(ρ1, θ)，(ρ, θ)，(ρ2, θ)，因为ρ1=4sinθ+cosθ,ρ2=2，又因为|OP|2＝|OR|⋅|OQ|，即ρ12=ρ⋅ρ2，∴ρ=ρ12ρ2=16(sinθ+cosθ)2×12，∴ρ=81+sin2θ．[选修4-5：不等式选讲]（本题满分0分）23.已知函数f(x)＝|x−1|−|x+2|．(Ⅰ)若不等式f(x)≥|m−1|有解，求实数m的最大值M；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若正实数a，b满足3a2+b2＝M，证明：3a+b≤4．【解答】（1）若不等式f(x)≥|m−1|有解，只需f(x)的最大值f(x)max≥|m−1|即可．∵|x−1|−|x+2|≤|(x−1)−(x+2)|＝3，∴|m−1|≤3，解得−2≤m≤4，∴实数m的最大值M＝4．（2）根据(Ⅰ)知正实数a，b满足3a2+b2＝4，由柯西不等式可知(3a2+b2)(3+1)≥(3a+b)2，∴(3a+b)2≤16，∵a，b均为正实数，∴3a+b≤4（当且仅当a＝b＝1时取“＝”）．。

云南省曲靖市2020届高三第二次模拟考试数学(理)试题含答案

曲靖市2020届高三第二次模拟考试数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项符合要求.）1. 已知集合{})2lg(x y x A -==，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=4241x xB ，则B A ⋂=（） A ．{}2-≥x x B ．{}22<<-x xC ．{}22<≤-x xD ．{}2<x x 2. 若复数)(122R a iia ∈++是纯虚数，则i a 22+在复平面内对应的点在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3. 定义运算⎩⎨⎧>≤=⊗）（）（b a b b a a b a ，则函数xx f 21)(⊗=的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．4. 抛物线方程为x y 42=，一直线与抛物线交于B A 、两点，其弦AB 的中点坐标为（1,1），则直线的方程为（）A ．012=--y xB ．012=-+y xC ．012=+-y xD ．012=---y x5. 在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（）A ．2550100,,777 B ．252550,,1477 C ．100200400,,777 D ．50100200,,7776. 若p 是q ⌝的充分不必要条件，则p ⌝是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 7. 阅读右边程序框图，为使输出的数据为31，则①处应填的数字为（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．68. 已知y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥-100x y x y x ，则32y x --的取值范围为（）A ．3[,4]2B ．(1]，2 C ．(,0][2)-∞⋃+∞，D ．(,1)[2)-∞⋃+∞， 9. 已知点(30),(03)A B -，，，若点P 在曲线21x y --=上运动，则PAB △面积的最小值为（）A ．6B ．22329+ C ．3 D ．22329- 10．已知双曲线()2222:100x y a b a bΓ-=>>，的右焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线Γ的左、右两支分别交于A B ，两点，延长BF 交右支于C 点，若AF FB ⊥，3CF FB =，则双曲线Γ的离心率是（） A ．173B ．32C ．53D ．10211. 已知)172(log 22+-=x x y 的值域为),[+∞m ,当正数b a ,满足m ba b a =+++2132时,则b a 47+的最小值为（） A ．49B ．5C ．4225+ D ．912. 已知函数)()(R x e x x f x∈=,若关于x 的方程01)(=+-m x f 恰好有3个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为（）A ．），（122e e B ．），（e e 220 C ．），（111+e D ．)1221(+e e ，第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.） 13. 522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为______.14. 在平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =,则AC BD ⋅的值为_____.15. 在直三棱柱111ABC A B C -内有一个与其各面都相切的1O ，同时在三棱柱111ABC A B C -外有一个外接球2O .若AB BC ⊥,3AB =，4BC =,则球2O 的表面积为______. 16. 在数列}{n a 中，11=a ，n n a n a -=+21，则数列}{n a 的通项公式=n a ______. 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）17.（本小题满分12分）已知函数)(,212cos sin 23)(2R x x x x f ∈-+= (1) 当],0[π∈x 时，求函数的值域；(2) ABC △的角C B A ,,的对边分别为c b a ,,且 ,1)(,3==C f c 求AB 边上的高h 的最大值.18.（本小题满分12分）如图，三棱锥ABC P -中，3===PC PB PA ,BC AC CB CA ⊥==,2(1) 证明：ABC PAB 面面⊥； (2) 求二面角B PA C --的余弦值．19.（本小题满分12分）治疗某种慢性病的创新药研发成了当务之急．某药企加大了研发投入，市场上治疗一类慢性病的特效药品A 的研发费用x （百万元）和销量y （万盒）的统计数据如下：研发费用x （百万元） 2 3 6 10 13 15 18 21 销量y （万盒）1122.53.53.54.56（1）求y 与x 的相关系数r 精确到0.01，并判断y 与x 的关系是否可用线性回归方程模型拟合？（规定：0.75r ≥时，可用线性回归方程模型拟合）；（2）该药企准备生产药品A 的三类不同的剂型1A ，2A ，3A ，并对其进行两次检测，当第一次检测合格后，才能进行第二次检测．第一次检测时，三类剂型1A ，2A ，3A 合格的概率分别为12，45，35，第二次检测时，三类剂型1A ，2A ，3A 合格的概率分别为45，12，23．两次检测过程相互独立，设经过两次检测后1A ，2A ，3A 三类剂型合格的种类数为X ，求X 的数学期望．附：（1）相关系数1222211ni ii n ni i i i x y nx yr x nx y ny ===-=⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑（2）81347i ii x y==∑，8211308i i x ==∑，82193i i y ==∑，178542.25≈．20.（本小题满分12分）如图所示，设椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，离心率N M e ,,22=是直线ca x l 2:=上的两个动点，且满足021=⋅N F M F .(1) 若5221==N F M F ，求b a ,的值；(2) 证明：当MN 取最小值时，N F M F 21+与21F F 共线．21.（本小题满分12分）设函数）），（（其中∞+∈-++=0,1)1()(2-x kx e e x f x，且函数)(x f 在2=x 处的切线与直线0)2(2=-+y x e 平行. (1) 求k 的值；(2) 若函数x x x g ln )(-=，求证：)()(x g x f >恒成立.请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分.22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】已知直线l 的参数方程：12x ty t =⎧⎨=+⎩（t 为参数）和圆C 的极坐标方程：2sin ρθ=（1）将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）已知点()1,3M ，直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，求MA MB +的值.23.（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】已知函数b x a x x f -++=)(，（其中0,0>>b a ） (1) 求函数)(x f 的最小值M .(2) 若M c >2，求证：ab c c a ab c c -+<<--22.曲靖市2020届高三第二次模拟考试数学（理科）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.40 14. -3 15. 29π 16. ⎩⎨⎧-)(1)(为偶数为奇数n n n n三、解答题（本大题共6个小题，共70分） 17.（本小题满分12分）解：(1)21cos 2121sin 23)(-++=x x x f =)6sin(π+x π≤≤x 0 ππ676≤≤∴x 1)6sin(21≤+≤-∴πx ∴函数的值域为]1,21[-∴(6分)(2) 1)6sin()(=+=πC C f26ππ=+∴C 3π=∴C2123cos 22-=-+=ab b a C ab ab b a 2322≥-=+∴ 3≤∴ab≤==C ab h S sin 2132134323323=⨯⨯ 23≤∴h h ∴的最大值为23(12分)18.（本小题满分12分）解：(1)取AB 中点O ，连结PO ，OC . ∵PA ＝PB ，∴PO ⊥AB ， ∵PB=AP ＝ 3∴PO ＝2，CO ＝1 ∴∠POC 为直角 ∴PO ⊥0C∴PO ⊥平面ABC ，∴面PAB ⊥面ABC （6分）(2)如图所示，建立空间直角坐标系O －xyz ，则A (1,0,0)，P (0,0，2)，C (0,1,0)，可取m ＝OC →＝(0,1,0)为平面PAB 的一个法向量．设平面PAC 的一个法向量为n ＝(l ，m ，n )．则PA →·n ＝0，AC →·n ＝0，其中PA →＝(1,0，－2)，AC →＝(－1,1,0)，∴⎩⎨⎧l －2n ＝0，－l ＋m ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝22l ，m ＝l .不妨取l ＝2，则n ＝(2，2，1)．cos 〈m ，n 〉＝m ·n|m ||n |＝0×2＋1×2＋0×102＋12＋02·22＋22＋12＝105. ∵C －PA －B 为锐二面角， ∴二面角C －PA －B 的余弦值为105.（12分） 19.（本小题满分12分）【详解】解：（1）由题意可知2361021131518118x +++++++==，112 2.56 3.5 3.5 4.538y +++++++==，由公式0.983402121785r ==≈⨯，0.980.75r ≈>，∴y 与x 的关系可用线性回归模型拟合；（2）药品A 的每类剂型经过两次检测后合格的概率分别为1142255A P =⨯=，2412525A P =⨯=，3322535A P =⨯=，由题意，235XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭, ， ()26355E X ∴=⨯=.20.（本小题满分12分）解：由e ＝22，得b ＝c ＝22a ，所以焦点F 1(－22a,0)，F 2(22a,0)，直线l 的方程为x ＝2a ，设M (2a ，y 1)，N (2a ，y 2)，(1)∵|F 1M →|＝|F 2N →|＝25，∴12a 2＋y 22＝20，92a 2＋y 21＝20，消去y 1，y 2，得a 2＝4，故a ＝2，b ＝ 2.（6分）(2)|MN |2＝(y 1－y 2)2＝y 21＋y 22－2y 1y 2≥－2y 1y 2－2y 1y 2＝－4y 1y 2＝6a 2.当且仅当y 1＝－y 2＝62a 或y 2＝－y 1＝62a 时，|MN |取最小值6a ，此时，F 1M →＋F 2N →＝(322a ，y 1)＋(22a ，y 2)＝(22a ，y 1＋y 2)＝(22a,0)＝2F 1F 2→，故F 1M →＋F 2M→与F 1F 2→共线.（12分）21.（本小题满分12分）解：(1)k e e x f x++='-)1()(22)1()2(222+=++='-e k e e f ，解得1=k .(4分)(2) )()(x g x f >得x x x e e xln 1)1(2-->-++，变形得x x x e e x ln 1)1(2--->+令函数x x x x h ln 1)(--=x x h ln 2)(--='令0ln 2=--x 解得2-=e x当),0(2-∈e x 时0)(>'x h ，),(2+∞∈-e x 时0)(<'x h .∴函数)(x h 在),0(2-e 上单调递增，在),(2+∞-e 上单调递减∴221)()(--+=≤e e h x h而函数xe e x F )1()(2-+=在区间),0(+∞上单调递增∴)1()0()(2-+=>e F x F∴x x x x h e F x F ln 1)()1()0()(2--=≥+=>-即x x x e e xln 1)1(2-->+- 即x x x e e x ln 1)1(2->+-+-∴)()(x g x f >恒成立（12分）22．（本小题满分10分）解：（1）消去参数t ，得直线l 的普通方程为21y x =+，将2sin ρθ=两边同乘以ρ得22sin ρρθ=，()2211x y +-=，∴圆C 的直角坐标方程为()2211x y +-=；（2）经检验点()1,3M 在直线l 上，12x t y t =⎧⎨=+⎩可转化为1535x y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩①，将①式代入圆C 的直角坐标方程为()2211x y +-=得2212155t ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得240t ++=，设12,t t是方程240t ++=的两根，则12t t +=-124t t =， ∵1240t t =>，∴1t 与2t 同号，由t的几何意义得1212MA MB t t t t +=+=+=23.（本小题满分10分）解: (1)b a b a b x a x b x a x +=+=--+≥-++)()(- 11 - b a M +=∴(2)证明：为要证c a c <<+只需证a c <-<即证a c -<，也就是22()a c c ab -<-，即证22a ac ab -<-，即证2()ac a a b >+，∵0,2,0a c a b b >>+>，∴2a b c +>≥，故2c ab >即有20c ab ->，又由2c a b >+可得2()ac a a b >+成立，∴所求不等式c a c -<<+成立．。

云南省曲靖市第二中学2020届高三第一次模拟考试数学(理)试题Word版含答案

A. -22
B.-14
C.10
D.18
9.函数 f ( x ) 2 x 4sin x ， x
, 的图像大致是 ( ) 22
2
2
10.已知直线 x y a 0 与圆 x y 2 交于 A、B 两点 . O 是坐标原点， OA,OB 满足条
件
|OA OB | |OA OB |，则实数 a 的值为 ( )
点，则 S2010 等于 ( )
A. 1005
B.1006
C.2010
D.2012
5.如图所示的程序框图 ,令 y= f ( x) ,若 f ( x) >1,则 a 的取值范围是 ( )
A.( -∞,2)∪ (2,5]
B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(-∞,2)∪ (2, +∞)
D.(-∞,-1)∪ (1,5]
6.已知 m R ， “函数 y 2x m 1 有零点 ”是 “函数 y log m x在
（0，+ ）上为减函数 ”的 ( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C.充要条件 7.已知某班学生的数学成绩
D. 既不充分也不必要条件
x （单位：分）与物理成绩 y （中，从该班随机抽取
5 名学生的成绩，经计算：
5
xi
i1
5
475, yi
i1
320 ，设其线
性回归方程为： y^＝ 0.4x＋ a^ .若该班某学生的数学成绩为 105，据此估计其物理成绩为 ( )
A.66
B.68
C.70
D.72
8.等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 S2 2, S3 6, 则 S5 ＝ ( )

2020年云南省高考数学一模试卷(理科)含答案解析

2020年云南省高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知i为虚数单位，复数z1=1+i，z2=1﹣i，则=（）A．B．C．﹣i D．i2．已知平面向量，如果，那么=（）A．B．C．3 D．3．函数y=2sinxcosx﹣2sin2x的最小值为（）A．﹣4 B．C．D．﹣24．（﹣+）10的展开式中x2的系数等于（）A．45 B．20 C．﹣30 D．﹣905．若运行如图所示程序框图，则输出结果S的值为（）A．94 B．86 C．73 D．566．如图是底面半径为1，高为2的圆柱被削掉一部分后剩余的几何体的三视图（注：正视图也称主视图，侧视图也称左视图），则被削掉的那部分的体积为（）A．B．C．﹣2 D．27．为得到y=cos（2x﹣）的图象，只需要将y=sin2x的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位8．在数列{a n}中，a1=，a2=，a n a n+2=1，则a2020+a2020=（）A．B．C．D．59．“a+b=2”是“直线x+y=0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2相切”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件10．已知变量x、y满足条件，则z=2x+y的最小值为（）A．﹣2 B．3 C．7 D．1211．在长为3m的线段AB上任取一点P，则点P与线段两端点A、B的距离都大于1m的概率是（）A．B．C．D．12．已知双曲线M的焦点F1，F2在x轴上，直线是双曲线M的一条渐近线，点P在双曲线M上，且，如果抛物线y2=16x的准线经过双曲线M的一个焦点，那么=（）A．21 B．14 C．7 D．0二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数f（x）的定义域为实数集R，∀x∈R，f（x﹣90）=则f（10）﹣f（﹣100）的值为．14．已知三棱锥P﹣ABC的顶点P、A、B、C在球O的表面上，△ABC是边长为的等边三角形，如果球O的表面积为36π，那么P到平面ABC距离的最大值为．15．△ABC中，内角A、B、C对的边分别为a、b、c，如果△ABC的面积等于8，a=5，tanB=﹣，那么=．16．已知实数a、b常数，若函数y=+be2x+1的图象在切点（0，）处的切线方程为3x+4y﹣2=0，y=+be2x﹣1与y=k（x﹣1）3的图象有三个公共点，则实数k的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．设数列{a n}的前n项和为S n，对任意正整数n，3a n﹣2S n=2．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求证：S n+2S n＜．18．某市教育与环保部门联合组织该市中学参加市中学生环保知识团体竞赛，根据比赛规则，某中学选拔出8名同学组成参赛队，其中初中学部选出的3名同学有2名女生；高中学部选出的5名同学有3名女生，竞赛组委会将从这8名同学中随机选出4人参加比赛．（Ⅰ）设“选出的4人中恰有2名女生，而且这2名女生来自同一个学部”为事件A，求事件A的概率P（A）；（Ⅱ）设X为选出的4人中女生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．19．如图，在三棱锥A﹣BCD中，CD⊥BD，AB=AD，E为BC的中点．（I）求证：AE⊥BD；（Ⅱ）设平面ABD⊥平面BCD，AD=CD=2，BC=4，求二面角B﹣AC﹣D的正弦值．20．已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点O，离心率等于，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4，直线l：y=kx+m与y轴交于点P，与椭圆E交于A、B两个相异点，且=λ．（I）求椭圆E的方程；（Ⅱ）是否存在m，使+λ=4？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．21．已知f（x）=2x+3﹣．（I）求证：当x=0时，f（x）取得极小值；（Ⅱ）是否存在满足n＞m≥0的实数m，n，当x∈[m，n]时，f（x）的值域为[m，n]？若存在，求m，n的值；若不存在，请说明理由．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，BC是⊙O的直径，EC与⊙O相切于C，AB是⊙O的弦，D是的中点，BD 的延长线与CE交于E．（Ⅰ）求证：BC•CD=BD•CE；（Ⅱ）若，求AB．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=．（I）直接写出直线l、曲线C的直角坐标方程；（II）设曲线C上的点到直线l的距离为d，求d的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）=|x﹣2|+|x+1|+2|x+2|．（Ⅰ）求证：f（x）≥5；（Ⅱ）若对任意实数都成立，求实数a的取值范围．2020年云南省高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知i为虚数单位，复数z1=1+i，z2=1﹣i，则=（）A．B．C．﹣i D．i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由z1=1+i，z2=1﹣i，得=，故选：D．2．已知平面向量，如果，那么=（）A．B．C．3 D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平行向量的坐标关系便可求出x=，从而得出，这便可得出的值．【解答】解：∵；∴3•（﹣1）﹣6x=0；∴；∴；∴．故选B．3．函数y=2sinxcosx﹣2sin2x的最小值为（）A．﹣4 B．C．D．﹣2【考点】三角函数的最值．【分析】利用倍角公式降幂，然后利用辅助角公式化积，则答案可求．【解答】解：y=2sinxcosx﹣2sin2x=sin2x﹣（1﹣cos2x）=sin2x+cos2x﹣1==，∴函数y=2sinxcosx﹣2sin2x的最小值为．故选：C．4．（﹣+）10的展开式中x2的系数等于（）A．45 B．20 C．﹣30 D．﹣90【考点】二项式定理的应用．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得展开式中x2的系数．【解答】解：（﹣+）10的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）10﹣r•，令=2，求得r=2，可得展开式中x2的系数为=45，故选：A．5．若运行如图所示程序框图，则输出结果S的值为（）A．94 B．86 C．73 D．56【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算S值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案．【解答】解：模拟执行程序，可得i=1，S=1i=2，S=4不满足条件i＞5，i=3，S=10，不满足条件i＞5，i=4，S=22，不满足条件i＞5，i=5，S=46，不满足条件i＞5，i=6，S=94，满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为94．故选：A．6．如图是底面半径为1，高为2的圆柱被削掉一部分后剩余的几何体的三视图（注：正视图也称主视图，侧视图也称左视图），则被削掉的那部分的体积为（）A．B．C．﹣2 D．2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是半圆锥体与直三棱锥的组合体，求出该几何体的体积，再求出圆柱的体积，即可求出被削掉的那部分体积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面半径为1，高为2的半圆锥体，与底面为等腰三角形高为2的三棱锥的组合体，其体积为•πr2h+Sh=π×12×2+××2×1×2=；又圆柱的体积为πr2h=π×12×2=2π，所以被削掉的那部分的体积为2π﹣=．故选：B．7．为得到y=cos（2x﹣）的图象，只需要将y=sin2x的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件利用诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：∵y=cos（2x﹣）=sin（2x﹣+）=sin（2x+）=sin2（x+），∴将y=sin2x 的图象向左平移个单位，可得y=cos （2x ﹣）的图象，故选：D ．8．在数列{a n }中，a 1=，a 2=，a n a n+2=1，则a 2020+a 2020=（） A ．B ．C ．D ．5【考点】数列递推式．【分析】a 1=，a 2=，a n a n+2=1，可得：a 4n ﹣3=，a 4n ﹣1=2，a 4n ﹣2=，a 4n =3．即可得出．【解答】解：∵a 1=，a 2=，a n a n+2=1， ∴a 3=2，a 5=，…，可得：a 4n ﹣3=，a 4n ﹣1=2．同理可得：a 4n ﹣2=，a 4n =3． ∴a 2020+a 2020=3+=．故选：C ．9．“a +b=2”是“直线x +y=0与圆（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2=2相切”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据直线与圆相切的充要条件，可得“直线x +y=0与圆（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2=2相切”的等价命题“a +b=±2”，进而根据充要条件的定义，可得答案．【解答】解：若直线x +y=0与圆（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2=2相切则圆心（a ，b ）到直线x +y=0的距离等于半径即=，即|a +b |=2即a +b=±2故“a +b=2”是“直线x +y=0与圆（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2=2相切”的充分不必要条件故选A10．已知变量x 、y 满足条件，则z=2x +y 的最小值为（）A ．﹣2B ．3C ．7D ．12【考点】简单线性规划．【分析】先由约束条件画出可行域，再求出可行域各个角点的坐标，将坐标逐一代入目标函数，验证即得答案．【解答】解：如图即为满足不等式组的可行域，将交点分别求得为（1，1），（5，2），（1，）当x=1，y=1时，2x+y=3当x=1，y=时，2x+y=当x=5，y=2时，2x+y=12∴当x=1，y=1时，2x+y有最小值3．故选：B11．在长为3m的线段AB上任取一点P，则点P与线段两端点A、B的距离都大于1m的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由题意可得，属于与区间长度有关的几何概率模型，试验的全部区域长度为3，基本事件的区域长度为1，代入几何概率公式可求【解答】解：设“长为3m的线段AB”对应区间[0，3]“与线段两端点A、B的距离都大于1m”为事件A，则满足A的区间为[1，2]根据几何概率的计算公式可得，故选：B12．已知双曲线M的焦点F1，F2在x轴上，直线是双曲线M的一条渐近线，点P在双曲线M上，且，如果抛物线y2=16x的准线经过双曲线M的一个焦点，那么=（）A．21 B．14 C．7 D．0【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得抛物线的焦点，可得c=4，即a2+b2=16，由渐近线方程可得=，解得a，b，运用双曲线的定义和直角三角形的勾股定理，化简整理，即可得到所求值．【解答】解：抛物线y2=16x的准线为x=﹣4，由题意可得双曲线M的一个焦点为（﹣4，0），设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），可得c=4，即a2+b2=16，直线是双曲线M的一条渐近线，可得=，解得a=3，b=，可设P为右支上一点，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a=6，①由勾股定理可得，|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=64，②②﹣①2，可得|PF1|•|PF2|=14．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数f（x）的定义域为实数集R，∀x∈R，f（x﹣90）=则f（10）﹣f（﹣100）的值为﹣8．【考点】函数的值．【分析】根据所给解析式凑数计算f（10）和f（﹣100）．【解答】解：f（10）=f=lg100=2，f（﹣100）=f（﹣10﹣90）=﹣（﹣10）=10．∴f（10）﹣f（﹣100）=2﹣10=﹣8．故答案为：﹣8．14．已知三棱锥P﹣ABC的顶点P、A、B、C在球O的表面上，△ABC是边长为的等边三角形，如果球O的表面积为36π，那么P到平面ABC距离的最大值为．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】求出球心O到平面ABC的距离，即可求出P到平面ABC距离的最大值．【解答】解：△ABC是边长为的等边三角形，外接圆的半径为1，球O的表面积为36π，球的半径为3，∴球心O到平面ABC的距离为=2，∴P到平面ABC距离的最大值为．故答案为：．15．△ABC中，内角A、B、C对的边分别为a、b、c，如果△ABC的面积等于8，a=5，tanB=﹣，那么=．【考点】正弦定理．【分析】求出sinB，利用三角形的面积公式求出c的长度，进一步利用余弦定理求出b的长度，在应用正弦定理和等比性质求出结果．【解答】解：△ABC中，∵tanB=﹣，∴sinB=，cosB=﹣．又S==2c=8，∴c=4，∴b==．∴==．故答案为：．16．已知实数a、b常数，若函数y=+be2x+1的图象在切点（0，）处的切线方程为3x+4y﹣2=0，y=+be2x﹣1与y=k（x﹣1）3的图象有三个公共点，则实数k的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）．【考点】函数与方程的综合运用；根的存在性及根的个数判断．【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义求出a，b的值，利用数形结合判断两个函数的交点个数进行求解即可．【解答】解：当x＜1时，函数y=+be2x+1=+be2x+1，则函数的导数f′（x）=+2be2x+1，∵若函数y=y=+be2x+1的图象在切点（0，）处的切线方程为3x+4y﹣2=0，∴f（0）=，且f′（0）=﹣，即a+be=，﹣a+2be=﹣，得a=1，b=0，即y=+be2x+1=，由=k（x﹣1）3得当x=1时，方程成立，当x≠1时，若x＞1得=k（x﹣1）3得=k（x﹣1）2，若x＜1得﹣=k（x﹣1）3得﹣=k（x﹣1）2，若k=0，则两个方程无解，若k＞0时，作出对应函数的图象如右图：此时满足当x＞1时，有一个交点，当x＜1时，有一个交点，此时满足两个函数共有3个交点．若k＜0时，作出对应函数的图象如图：此时满足当x＞1时，没有交点，当x＜1时，则需要有2个交点，由﹣=k（x﹣1）2，得k（x+2）（x﹣1）2+1=0，x＜1，设g（x）=k（x+2）（x﹣1）2+1，则g′（x）=3k（x﹣1）（x+1），x＜1，k＜0，由g′（x）=0，x=﹣1，当x＜﹣1时，g′（x）＜0，当﹣1＜x＜1时，g′（x）＞0，即当x=﹣1函数取得极小值g（﹣1）=4k+1，要使当x＜1时，则g（x）要有2个交点，则极小值g（﹣1）=4k+1＜0，得k＜﹣，此时满足两个函数共有3个交点．综上k的取值范围是k＞0或k＜0，故答案为：（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．设数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意正整数n ，3a n ﹣2S n =2．（I ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）求证：S n+2S n ＜．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I ）对任意正整数n ，3a n ﹣2S n =2，可得3a 1﹣2a 1=2，解得a 1．当n ≥2时，3a n ﹣1﹣2S n ﹣1=2，可得a n =3a n ﹣1，利用等比数列的通项公式即可得出．（2）证明：由（I ）可得：S n =3n ﹣1．作差代入S n+2S n ﹣＜0，即可证明．＜．【解答】（I ）解：∵对任意正整数n ，3a n ﹣2S n =2，∴3a 1﹣2a 1=2，解得a 1=2．当n ≥2时，3a n ﹣1﹣2S n ﹣1=2，可得3a n ﹣3a n ﹣1﹣2a n =0，化为a n =3a n ﹣1， ∴数列{a n }是等比数列，公比为3，首项为2． ∴a n =2×3n ﹣1．（2）证明：由（I ）可得：S n ==3n ﹣1．∴S n+2S n ﹣=（3n+2﹣1）（3n ﹣1）﹣（3n+1﹣1）2=﹣4×3n ＜0， ∴S n+2S n ＜．18．某市教育与环保部门联合组织该市中学参加市中学生环保知识团体竞赛，根据比赛规则，某中学选拔出8名同学组成参赛队，其中初中学部选出的3名同学有2名女生；高中学部选出的5名同学有3名女生，竞赛组委会将从这8名同学中随机选出4人参加比赛．（Ⅰ）设“选出的4人中恰有2名女生，而且这2名女生来自同一个学部”为事件A，求事件A的概率P（A）；（Ⅱ）设X为选出的4人中女生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）利用互斥事件概率加法公式能求出事件A的概率．（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4．分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和随机变量X的数学期望．【解答】解：（Ⅰ）∵中学选拔出8名同学组成参赛队，其中初中学部选出的3名同学有2名女生；高中学部选出的5名同学有3名女生，竞赛组委会将从这8名同学中随机选出4人参加比赛，设“选出的4人中恰有2名女生，而且这2名女生来自同一个学部”为事件A，由已知，得，所以事件A的概率为．…（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4．由已知得．…P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==，所以随机变量X的分布列为：X 1 2 3 4P…随机变量X的数学期望．…19．如图，在三棱锥A﹣BCD中，CD⊥BD，AB=AD，E为BC的中点．（I）求证：AE⊥BD；（Ⅱ）设平面ABD⊥平面BCD，AD=CD=2，BC=4，求二面角B﹣AC﹣D的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）根据线面垂直的性质定理进行证明即可．（2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用向量法进行求解．【解答】证明：（I）∵AB=AD，E为BC的中点，∴取BD的中点0，连接AO，OE，则OA⊥BD，OE是△BCD的中位线，∴OE∥CD，∵CD⊥BD，∴OE⊥BD，∵BD∩OA=O，∴AE⊥BD；（Ⅱ）设平面ABD⊥平面BCD，∵OA⊥BD，∴OA⊥面BCD，建立以O为坐标原点，OE，OD，OA分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：∵AD=CD=2，BC=4，∴OA=OB=OD=，OE=1，则B（0，﹣，0），D（0，，0），E（1，0，0），A（0，0，），C（2，，0），则=（0，，），=（2，，﹣），=（﹣2，0，0），设平面ABC的一个法向量为=（x，y，z），则，令y=1，则z=﹣1，x=﹣，即=（﹣，1，﹣1），设平面ACD的一个法向量为=（x，y，z），则，令y=1，则z=1，x=0，则=（0，1，1），cos＜，＞==0，即＜，＞=90°则二面角B﹣AC﹣D的正弦值sin90°=1．20．已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点O，离心率等于，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4，直线l：y=kx+m与y轴交于点P，与椭圆E交于A、B两个相异点，且=λ．（I）求椭圆E的方程；（Ⅱ）是否存在m，使+λ=4？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），运用离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）运用向量的加减运算，可得λ=3，由题意可得P（0，m），且﹣2＜m＜2，设A（x1，y1），B（x2，y2），运用向量共线的坐标表示和直线方程代入椭圆方程，运用韦达定理，可得m2==1+，再由不等式的性质，可得所求范围．【解答】解：（I）设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得e==，4=4，a2﹣b2=c2，解得a=2，b=1，c=，即有椭圆的方程为+x2=1；（Ⅱ）=λ，可得﹣=λ（﹣），+λ=（1+λ），由+λ=4，可得λ=3，由题意可得P（0，m），且﹣2＜m＜2，设A（x1，y1），B（x2，y2），由=3，可得﹣x1=3x2，①由直线y=kx+m代入椭圆方程y2+4x2=4，可得（4+k2）x2+2kmx+m2﹣4=0，即有x1+x2=﹣，x1x2=，②由①②可得m2==1+，由1+k2≥1，可得0＜≤3，即有1＜m2≤4，由于m∈（﹣2，2），当m=0时，O，P重合，λ=1显然成立．可得m的取值范围是（﹣2，﹣1）∪（1，2）∪{0}．21．已知f（x）=2x+3﹣．（I）求证：当x=0时，f（x）取得极小值；（Ⅱ）是否存在满足n＞m≥0的实数m，n，当x∈[m，n]时，f（x）的值域为[m，n]？若存在，求m，n的值；若不存在，请说明理由．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】（I）求函数的导数，利用函数极值和导数的关系即可证明当x=0时，f（x）取得极小值；（Ⅱ）判断函数的单调性，根据函数的单调性和值域之间的关系转化为f（x）=x有两个不同的解，构造函数，利用数形结合进行判断即可．【解答】解：（I）由2x+1＞0得x＞﹣，函数的导数f′（x）=2﹣=2﹣==，设g（x）=8x2+8x+2ln（2x+1），则g′（x）=16x+8+=8（2x+1）+，∵2x+1＞0，∴g′（x）＞0，即g（x）在x＞﹣上为增函数，∵g（0）=0，∴当x＞0时，g（x）＞g（0）=0，此时f′（x）＞0，函数f（x）递增，当x＜0时，g（x）＜g（0）=0，此时f′（x）＜0，函数f（x）递减，故当x=0时，f（x）取得极小值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知当x＞0时，函数f（x）递增，若存在满足n＞m≥0的实数m，n，当x∈[m，n]时，f（x）的值域为[m，n]，则满足，即m，n是方程f（x）=x的两个不同的根，即2x+3﹣=x，则x+3=．即（x+3）（2x+1）=ln（2x+1），设y=（x+3）（2x+1），y=ln（2x+1），作出两个函数的图象，由图象知当x＞﹣时，两个函数没有交点，即方程f（x）=x不存在两个不同的根，即不存在满足n＞m≥0的实数m，n，当x∈[m，n]时，f（x）的值域为[m，n]．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，BC是⊙O的直径，EC与⊙O相切于C，AB是⊙O的弦，D是的中点，BD 的延长线与CE交于E．（Ⅰ）求证：BC•CD=BD•CE；（Ⅱ）若，求AB．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）根据切线的性质、直径所对的圆周角是直角得到角之间的关系，由三角形相似判定定理和性质，证明结论成立；（Ⅱ）根据等弧所对的圆周角相等得∠ABD=∠CBD，由直径所对的圆周角、三角形全等判定定理得△BDC≌△BDF，得到CD=FD，BC=BF，根据勾股定理、射影定理求出CD、BC，由割线定理得求出AB．【解答】证明：（Ⅰ）∵BC是⊙O的直径，EC与⊙O相切于C，D是AC弧的中点，∴∠CBD=∠ECD，∠BDC=∠CDE=∠BCE=90°，∴△BCD∽△CED．…∴，∴BC•CD=BD•CE．…解：（Ⅱ）设BA的延长线与CD的延长线交于F，∵D是AC弧的中点，∴∠ABD=∠CBD，∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC=∠BDF=90°，∴△BDC≌△BDF．∴CD=FD，BC=BF，在Rt△CDE中，．∴．∵∠BDC=∠BCE=90°，∴CD2=BD•DE，∴，∴，∴BF=4．…由割线定理得（FB﹣AB）•FB=FD•FC，即，解得．∴．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=．（I）直接写出直线l、曲线C的直角坐标方程；（II）设曲线C上的点到直线l的距离为d，求d的取值范围．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）将直线的参数方程相减消去参数t，得到直线l的普通方程，将曲线的极坐标方程两边平方，得出曲线C的普通方程；（II）求出曲线C的参数方程，把参数方程代入点到直线的距离公式，利用三角函数的性质解出d的最值．【解答】解：（I）∵（t为参数），∴x﹣y=﹣3，即x﹣y+3=0．∴直线l的直角坐标方程是x﹣y+3=0．∵ρ=，∴ρ2=，即ρ2+2ρ2cos2θ=3．∴曲线C的直角坐标方程为3x2+y2=3，即．（II）曲线C的参数方程为（α为参数），则曲线C上的点到直线l的距离d==．∴当cos（）=1时，d取得最大值，当cos（）=﹣1时，d取得最小值．∴d的取值是[，]．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）=|x﹣2|+|x+1|+2|x+2|．（Ⅰ）求证：f（x）≥5；（Ⅱ）若对任意实数都成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，得到关于f（x）的分段函数，从而求出f（x）的最小值即可；（Ⅱ）根据基本不等式的性质求出a的范围即可．【解答】（Ⅰ）证明：∵，∴f（x）的最小值为5，∴f（x）≥5．…（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：15﹣2f（x）的最大值等于5．…∵，“=”成立，即，∴当时，取得最小值5．当时，，又∵对任意实数x，都成立，∴．∴a的取值范围为．…2020年8月2日。

2020年云南曲靖高三一模数学试卷(理科)

(
，
)，求证：
．
【答案】 1. B
解析: 集合 ∵ 集合 ∴ 故正确．
2. D 解析: ∵复数满足则
．．
．
，
， ∴复数在复平面内对应点所在象限为第四象限．故选．
3. C 解析: ∵ ∴ 得
又
，，
，，
7
而
，
代入
，
得
，
∴
．
故选：．
4. A
解析:
∵对数函数
14. 若二项式
的展开式中的一次项的系数是，则
．
4
相切，．
15. 已知函数
围为
．
与
的图象有三个不同交点，则实数的取值范
16. 在四面体
中，
此四面体，得到截面四边形
，则四边形
，
，用平行于，的平面截
面积的最大值为
．
三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）
17. 某市在开展创建“全国文明城市”活动中，工作有序扎实，成绩显著，尤其是城市环境卫生大为改
由
，
，解得
，
．
，
消去整理得根据题设有：
，，
且
，
，
因为
，
所以
，
将
，
代入，化简得：
，
∵
，∴
，
此时
且
，解得
．
故
，
15
又
，为定值． ∴
，
当且仅当综上：
即
时等号成立．
的最小值为．
22.（ 1 ）
，
．
（2）．
解析:

2020年云南省曲靖二中高考数学一模试卷

2020年云南省曲靖二中高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项符合要求.）1．（5分）若复数z＝（i是虚数单位），则|z|＝（）A．B．C．1D．【分析】利用复数的除法运算化简后利用模的公式计算．【解答】解：z＝＝．所以|z|＝．故选：B．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．2．（5分）已知集合A＝{0，1，2}，集合，则A∩B＝（）A．{0，1}B．{1，2}C．{1}D．{2}【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合A＝{0，1，2}，集合，∴B＝{x|1≤x＜2}，∴A∩B＝{1}．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．（5分）已知平面α∩β＝l，m是α内不同于l的直线，那么下列命题中错误的是（）A．若m∥β，则m∥l B．若m∥l，则m∥βC．若m⊥β，则m⊥l D．若m⊥l，则m⊥β【分析】由题设条件，平面α∩β＝l，m是α内不同于l的直线，结合四个选项中的条件，对结论进行证明，找出不能推出结论的即可【解答】解：A选项是正确命题，由线面平行的性质定理知，可以证出线线平行；B选项是正确命题，因为两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面；C选项是正确命题，因为一个线垂直于一个面，则必垂直于这个面中的直线；D选项是错误命题，因为一条直线垂直于一个平面中的一条直线，不能推出它垂直于这个平面；综上D选项中的命题是错误的故选：D．【点评】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，解题的关键是有着较强的空间想像能力以及熟练掌握点线面位置关系判断的一些定义，定理及条件，并能灵活组织这些材料作出证明，故也考查了推理论证的能力．4．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n+1＝a n+a（n∈N*，a为常数），若平面内的三个不共线的非零向量，，满足＝，A，B，C三点共线且该直线不过O点，则S2010等于（）A．1005B．1006C．2010D．2012【分析】先可判断数列{a n}为等差数列，而根据＝，及三点A，B，C共线即可得出a1+a2010＝1，从而根据等差数列的前n项和公式即可求出S2010的值．【解答】解：由a n+1＝a n+a得，a n+1﹣a n＝a；∴{a n}为等差数列；由＝，所以A，B，C三点共线；∴a1005+a1006＝a1+a2010＝1，∴S2010＝×2010＝1005．故选：A．【点评】考查等差数列的定义，三点A，B，C共线的充要条件：＝x+y，且x+y ＝1，等差数列的通项公式，及等差数列的前n项和公式．5．（5分）执行如图所示的程序框图，令y＝f（x），若f（a）＞1，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2）∪（2，5]B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣∞，2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，5]【分析】执行该程序的功能是计算并输出分段函数f（x），讨论a的取值情况，求出f（a）＞1时的解集即可．【解答】解：执行该程序的功能是计算并输出分段函数f（x）＝，当a≤2时，由f（a）＝a2＞1，解得：a∈（﹣∞，﹣1）∪（1，2]，当2＜a≤5时，由f（a）＝2a﹣3＞1，解得a∈（2，5]；当a＞5时，由f（a）＝＞1，解得a∈∅；综上所述，a的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（1，5]．故选：D．【点评】本题考查了程序框图与分段函数的应用问题，也考查了不等式与分类讨论的应用问题，是综合题．6．（5分）已知m∈R，“函数y＝2x+m﹣1有零点”是“函数y＝log m x在（0，+∞）上为减函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据函数的性质求出m的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若函数y＝f（x）＝2x+m﹣1有零点，则f（0）＝1+m﹣1＝m＜1，当m≤0时，函数y＝log m x在（0，+∞）上为减函数不成立，即充分性不成立，若y＝log m x在（0，+∞）上为减函数，则0＜m＜1，此时函数y＝2x+m﹣1有零点成立，即必要性成立，故“函数y＝2x+m﹣1有零点”是“函数y＝log m x在（0，+∞）上为减函数”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数零点和对数函数的性质求出等价条件是解决本题的关键．7．（5分）已知某班学生的数学成绩x（单位：分）与物理成绩y（单位：分）具有线性相关关系，在一次考试中，从该班随机抽取5名学生的成绩，经计算：，设其线性回归方程为：＝0.4x+．若该班某学生的数学成绩为105，据此估计其物理成绩为（）A．66B．68C．70D．72【分析】由题意求出、，代入线性回归方程求得，再计算x＝105时的值．【解答】解：由题意知，＝x i＝×475＝95，＝y i＝×320＝64，代入线性回归方程＝0.4x+中，得64＝0.4×95+，解＝26；所以线性回归方程为＝0.4x+26，当x＝105时，＝0.4×105+26＝68，即该班某学生的数学成绩为105时，估计它的物理成绩为68．故选：B．【点评】本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题，是基础题．8．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，若S2＝2，S3＝﹣6，则S5＝（）A．18B．10C．﹣14D．﹣22【分析】运用等比数列的通项公式和前n项和公式列方程解方程可解决此问题．【解答】解：根据题意得，q≠1∴a+a2＝2 ①a3＝﹣8 ②又a1（1+q）＝2，a1q2＝﹣8∴q2＝﹣4﹣4q解得q＝﹣2，a1＝﹣2∴S5＝﹣22故选：D．【点评】本题考查等比数列的通项公式和前n项和公式的应用及二元一次方程的解法．9．（5分）函数f（x）＝2x﹣4sin x，x∈[﹣，]的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】先验证函数是否满足奇偶性，由f（﹣x）＝﹣2x﹣4sin（﹣x）＝﹣（2x﹣4sin x）＝﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除AB，再由函数的极值确定答案．【解答】解：∵函数f（x）＝2x﹣4sin x，∴f（﹣x）＝﹣2x﹣4sin（﹣x）＝﹣（2x﹣4sin x）＝﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，所以函数f（x）＝2x﹣4sin x的图象关于原点对称，排除AB，函数f′（x）＝2﹣4cos x，由f′（x）＝0得cos x＝，故x＝2k（k∈Z），所以x＝±时函数取极值，排除C，故选：D．【点评】本题主要考查函数的性质，结合函数的奇偶性得出函数图象的对称性，是解决函数图象选择题常用的方法．10．（5分）已知直线x+y﹣a＝0与圆x2+y2＝2交于A、B两点，O是坐标原点，向量、满足条件|+|＝|﹣|，则实数a的值为（）A．B．﹣C．±D．±1【分析】根据|+|＝|﹣|，可知∠AOB＝90°，故原点O到直线的x+y﹣a＝0的距离为1，可求得a的值．【解答】解：由|+|＝|﹣|，两边平方，得•＝0，所以∠AOB＝90°，则△AOB为等腰直角三角形，而圆x2+y2＝2的半径AO＝，则原点O到直线的x+y﹣a＝0的距离为1，所以＝1，即a的值为或﹣．故选：C．【点评】本题考查了直线与圆相交的性质，熟练正确运用已知条件以及点到直线的距离是解决此问题的关键．11．（5分）已知F1，F2是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，设双曲线的离心率为e．若在双曲线的右支上存在点M，满足|MF2|＝|F1F2|，且e sin∠MF1F2＝1，则该双曲线的离心率e等于（）A．B．C．D．【分析】由题意可得sin∠MF1F2＝＝，运用双曲线的定义可得4b﹣2c＝2a，结合a，b，c的关系，以及离心率公式，可得e的方程，解方程可得e．【解答】解：依题设，|MF2|＝|F1F2|＝2c，∵e sin∠MF1F2＝1，∴sin∠MF1F2＝＝，∴等腰三角形MF1F2底边上的高为2a，∴底边MF1的长为2＝4b，由双曲线的定义可得4b﹣2c＝2a，∴2b＝a+c，∴4b2＝（a+c）2，即4b2＝a2+2ac+c2，∴3e2﹣2e﹣5＝0，解得e＝（﹣1舍去）．故选：B．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是离心率公式的运用，考查定义法和转化思想，以及运算能力，属于中档题．12．（5分）定义在R上的可导函数f（x）满足f（1）＝1，且2f'（x）＞1，当x∈[﹣，]时，不等式的解集为（）A．（，）B．（﹣，）C．（0，）D．（﹣，）【分析】构造函数g（x）＝f（x）﹣，可得g（x）在定义域R上是增函数，且g （1）＝0，进而根据f（2cos x）＞﹣2sin2可得2cos x＞1，解得答案．【解答】解：令g（x）＝f（x）﹣，则g′（x）＝f′（x）＞0，∴g（x）在定义域R上是增函数，且g（1）＝f（1）＝0，∴g（2cos x）＝f（2cos x）﹣cos x＝f（2cos x）﹣cos x，令2cos x＞1，则g（2cos x）＞0，即f（2cos x）＞+cos x，又∵x∈[﹣，]，且2cos x＞1∴x∈（﹣，），故选：D．【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，余弦函数的图象和性质，难度中档．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.）13．（5分）已知二项式展开式所有项的系数和为﹣1，则展开式中x的系数为﹣80．【分析】根据所有项的系数之和为（1+a）5＝﹣1，求得a＝﹣2，可得展开式中x的系数【解答】解：在的展开式中，令x＝1，可得所有项的系数之和为（1+a）5＝﹣1，∴a＝﹣2，∴展开式的通项为T r+1＝（﹣2）r C5r x10﹣3r，令10﹣3r＝1，解得r＝3，∴展开式中x的系数为（﹣2）3C53＝﹣80，故答案为：﹣80【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，属于中档题．14．（5分）已知x＞0，y＞0，且x+2y＝xy，若x+2y＞m2+2m恒成立，则xy的最小值为8，实数m的取值范围为（﹣4，2）．【分析】x+2y＝xy等价于+＝1，根据基本不等式得出xy≥8，再次利用基本不等式求出x+2y的最小值，进而得出m的范围．【解答】解：∵x＞0，y＞0，x+2y＝xy，∴+＝1，∴1＝+≥，∴xy≤8，当且仅当x＝4，y＝2时取等号，∴x+2y≥2≥8（当x＝2y时，等号成立），∴m2+2m＜8，解得﹣4＜m＜2故答案为：8；（﹣4，2）【点评】考查了基本不等式的应用和恒成立问题的转换．应注意基本不等式中等号成立的条件．15．（5分）某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中选出3人代表本班参加“学生对教师满意程度调查”的座谈会，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率是．【分析】需从剩余的5个人中再选出2个，所有的选法有种，女生乙被选中的选法有种，由此求得要求事件的概率．【解答】解：由于甲已经选中，故需从剩余的5个人中再选出2个，问题转化为古典概率来求．所有的选法有＝10种，则女生乙被选中的选法有•＝4种，故在男生甲被选中的情况下，则女生乙也被选中的概率等于＝，故答案为．【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题．16．（5分）如图，平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD．四面体A′﹣BCD顶点在同一个球面上，则该球的体积为．【分析】由题意可知，四面体A'﹣BCD顶点在同一个球面上，BC的中点就是球心，求出球的半径，即可得到球的体积．【解答】解：平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A'﹣BCD，使平面A'BD⊥平面BCD．四面体A'﹣BCD顶点在同一个球面上，△BCD和△A'BC都是直角三角形，BC的中点就是球心，所以BC＝，球的半径为：；所以球的体积为：＝；故答案为：．【点评】本题是基础题，考查四面体的外接球的体积的求法，找出外接球的球心，是解题的关键，考查计算能力，空间想象能力．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：共60分.17．（12分）已知向量＝（sin x，cos x），＝（cos x，cos x），f（x）＝•．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.，若f（A）＝1，求△ABC的周长．【分析】（1）利用平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用可求函数解析式f （x）＝sin（2x+）+，利用正弦函数的单调性即可计算得解．（2）由题意可得sin（2A+）＝，结合范围0＜A＜π，可求A的值，设角A，B，C 的对边分别为a，b，c，由正弦定理利用sin B＝3sin C，可得b＝3c，根据余弦定理可求c 的值，进而可求b的值，从而可求三角形的周长．【解答】解：（1）因为＝（sin x，cos x），＝（cos x，cos x），f（x）＝•＝sin x cos x+cos2x ＝sin2x+cos2x+＝sin（2x+）+，由﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，可得：﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，可得f（x）的单调递增区间是：[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z，（2）由题意可得：sin（2A+）＝，又0＜A＜π，所以＜2A+＜，所以2A+＝，解得A＝，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，则：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，所以a＝BC＝，又sin B＝3sin C，可得b＝3c，故7＝9c2+c2﹣3c2，解得c＝1，所以b＝3，可得△ABC的周长为4+．【点评】本题主要考查了平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．（12分）“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2020年春节前夕，某市质检部门随机抽取了100包某品牌的速冻水饺，检测某项质量指标，检测结果如频率分布直方图所示．（1）求所抽取的100包水饺该项质量指标值的样本平均数．（2）由直方图可以认为，水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，经计算得σ＝≈11.95，求Z落在（14.55，38.45）内的概率．（3）将频率视为概率，若某人买了3包该品牌水饺，记这3包水饺中质量指标值位于（10，30）内的包数为X，求X的分布列和数学期望E（X）．附：若Z～N（μ，σ2），则：P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）＝0.9974．【分析】（1）所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数．（2）通过正态分布，求出标准差，然后求解P（14.55＜Z＜38.45）＝0.6826，（3）根据题意得X～B（3，），求出概率得到分布列，然后求解期望值．【解答】解：（1）所抽取的100包水饺该项质量指标值的样本平均数为：．（2）∵Z服从正态分布N（μ，σ2），且μ＝26.5，σ＝≈11.95，∴P（14.55＜Z＜38.55）＝P（26.55﹣11.95＜Z＜26.5+11.95）＝0.6826，∴Z落在（14.55，38.45）内的概率为0.6826．（3）根据题意得：X～B（3，），P（X＝0）＝；P（X＝1）＝＝；P（X＝2）＝＝；P（X＝3）＝＝．∴X的分布列为：X0123PE（X）＝＝．【点评】本题考查了统计的基础知识，正态分布，以及分布列和期望的求法，属于中档题．19．（12分）如图直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝CC1＝2，AB＝BC，D是BA1上一点，且AD⊥平面A1BC．（1）求证：BC⊥平面ABB1A1；（2）在棱BB1是否存在一点E，使平面AEC与平面ABB1A1的夹角等于60°，若存在，试确定E点的位置，若不存在，请说明理由．【分析】（1）证明BC⊥平面ABB1A1，利用线面垂直的判定，证明AD⊥BC，AA1⊥BC 即可；（2）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，设存在满足条件的点E坐标为（0，0，a）（0＜a＜2），求出平面ABB1A1的法向量＝，平面ACE的法向量，利用平面AEC与平面ABB1A1的夹角等于60°，结合向量的夹角公式，即可求得结论．【解答】（1）证明：∵AD⊥平面A1BC，BC⊂平面A1BC∴AD⊥BC．∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴AA1⊥平面ABC，∵BC⊂平面ABC，∴AA1⊥BC．∵AD∩AA1＝A，AD⊂平面ABB1A1，AA1⊂平面ABB1A1，∴BC⊥平面ABB1A1．（2）解：∵BC⊥平面ABB1A1，AB⊂平面ABB1A1∴BC⊥AB．又BB1⊥AB，BB1⊥BC，于是可建立如图所示的空间直角坐标系B﹣xyz．∵△ABC是等腰直角三角形，且斜边AC＝2，∴．从而，设存在满足条件的点E坐标为（0，0，a）（0＜a＜2）由（1）知平面ABB1A1的法向量＝，令平面ACE的法向量，由，可得令得．∵平面AEC与平面ABB1A1的夹角等于60°∴，解得a＝1所以当E为棱BB1中点时平面AEC与平面ABB1A1的夹角等于60°．【点评】本题考查线面垂直，考查面面角，考查利用空间向量解决立体几何问题，正确掌握线面垂直的判定定理，合理建立空间直角坐标系是关键．20．（12分）已知P是圆上任意一点，F2（1，0），线段PF2的垂直平分线与半径PF1交于点Q，当点P在圆F1上运动时，记点Q的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点的直线l与（1）中曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，求△AOB面积的最大值及此时直线l的方程．【分析】（1）根据垂直平分线的性质，利用定义法可求得曲线C的方程；（2）设直线l的方程为x＝ty﹣与椭圆交于点A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆的方程消去x，利用韦达定理结合三角形的面积，经验换元法以及基本不等式求解最值，然后推出直线方程．【解答】解：（1）由已知|QF1|+|QF2|＝|QF1|+|QP|＝|PF1|＝4，所以点Q的轨迹为以为F1，F2焦点，长轴长为4的椭圆，则2a＝4且2c＝2，所以a＝2，c＝1，则b2＝3，所以曲线C的方程为；（2）设直线l的方程为x＝ty﹣与椭圆交于点A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆的方程消去x，得（3t2+4）y2﹣6ty﹣3＝0，则y1+y2＝，y1y2＝﹣，则S△AOB＝|OM|•|y1﹣y2|＝•＝•＝，令3t2+2＝u，则u≥1，上式可化为＝≤＝，当且仅当u＝，即±时等号成立，因此△AOB面积的最大值为，此时直线l的方程为x＝±y﹣．【点评】本小题考查圆锥曲线中的问题等知识．考查分析问题解决问题的能力．21．（12分）已知函数f（x）＝（x﹣1）lnx，．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）令h（x）＝mf（x）+g（x）（m＞0）两个零点x1，x2（x1＜x2），证明：．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的导数，利用导函数的符号判断函数的单调性，求出单调区间；（Ⅱ）求出h（x）＝mf（x）+g（x）（m＞0）的导数，求解函数的最小值，通过零点判断定理，转化两个零点x1，x2（x1＜x2），所在位置，即可证明：．【解答】解：（Ⅰ）由题可知，f'（x）单调递增，且f'（1）＝0，当0＜x＜1时，f'（x）＜0，当x≥1时，f'（x）≥0；因此f（x）在（0，1）上单调递减，在[1，+∞）上单调递增．（Ⅱ）证明：由有两个零点可知由且m＞0可知，当0＜x＜1时，h'（x）＜0，当x≥1时，h'（x）≥0；即h（x）的最小值为，因此当时，，可知h（x）在上存在一个零点；当x＝e时，，可知h（x）在（1，e）上也存在一个零点；因此，即．【点评】本小题考查函数与导数的相关知识．函数的单调性以及函数的最值的求法，零点判断定理的应用，是难题．请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，已知圆C：（θ为参数），点P在直线l：x+y﹣4＝0上，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C和直线l的极坐标方程；（Ⅱ）射线OP交圆C于R，点Q在射线OP上，且满足|OP|2＝|OR|•|OQ|，求Q点轨迹的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）圆C：（θ为参数），可得直角坐标方程：x2+y2＝4，利用互化公式可得圆C的极坐标方程．点P在直线l：x+y﹣4＝0上，利用互化公式可得直线l 的极坐标方程．（Ⅱ）设P，Q，R的极坐标分别为（ρ1，θ），（ρ，θ），（ρ2，θ），由，又|OP|2＝|OR|•|OQ|，即可得出．【解答】解：（Ⅰ）圆C：（θ为参数），可得直角坐标方程：x2+y2＝4，∴圆C的极坐标方程ρ＝2．点P在直线l：x+y﹣4＝0上，直线l的极坐标方程ρ＝．（Ⅱ）设P，Q，R的极坐标分别为（ρ1，θ），（ρ，θ），（ρ2，θ），因为，又因为|OP|2＝|OR|•|OQ|，即，∴，∴ρ＝．【点评】本题考查了参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]（本题满分0分）23．已知函数f（x）＝|x﹣1|﹣|x+2|．（Ⅰ）若不等式f（x）≥|m﹣1|有解，求实数m的最大值M；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正实数a，b满足3a2+b2＝M，证明：3a+b≤4．【分析】（Ⅰ）不等式f（x）≥|m﹣1|有解，只需f（x）的最大值f（x）max≥|m﹣1|即可；（Ⅱ）3a2+b2＝4，由柯西不等式可得（3a2+b2）（3+1）≥（3a+b）2．【解答】解：（Ⅰ）若不等式f（x）≥|m﹣1|有解，只需f（x）的最大值f（x）max≥|m﹣1|即可．∵|x﹣1|﹣|x+2|≤|（x﹣1）﹣（x+2）|＝3，∴|m﹣1|≤3，解得﹣2≤m≤4，∴实数m的最大值M＝4．（Ⅱ）根据（Ⅰ）知正实数a，b满足3a2+b2＝4，由柯西不等式可知（3a2+b2）（3+1）≥（3a+b）2，∴（3a+b）2≤16，∵a，b均为正实数，∴3a+b≤4（当且仅当a＝b＝1时取“＝”）．【点评】本题考查了绝对值不等式有解问题和柯西不等式，考查了转化思想，属中档题．。

2020年云南省曲靖二中高考数学一模试卷(理科)(有解析)

2020年云南省曲靖二中高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. i 是虚数单位，复数5−2i2+5i =( )A. −iB. iC. −2129−2029iD. −421+1021i2. 已知集合，，则A ∩B 为( )A. B.C.D.3. 若直线a 平行于平面α，则下列结论错误的是( )A. 直线a 上的点到平面α的距离相等B. 直线a 平行于平面α内的所有直线C. 平面α内有无数条直线与直线a 平行D. 平面α内存在无数条直线与直线a 成90°角4. 已知A ，B ，C 三点不共线，且点O 满足16OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −12OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则( ) A. OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −3AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3AC⃗⃗⃗⃗⃗ D. OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −3AC⃗⃗⃗⃗⃗ 5. 如图所示的程序框图中，若f(x)=sinx ，g(x)=cosx ，x ∈[0,π2]，且ℎ(x)≥m 恒成立，则m 的最大值是( )A. 1B. √22C. 12 D. 06. “a <1”是“函数f(x)=log a x 在区间(0,+∞)上为减函数”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.由变量x与y相对应的一组数据(3,y1)，(5,y2)，(7,y3)，(12,y4)，(13,y5)得到的线性回归方程为ŷ=12x+20，则∑y i5i=1=()A. 25B. 125C. 120D. 248.等比数列{a n}的前n项和为S n，若S4=2,S8=6，则S16为()A. 18B. 30C. 54D. 149.函数f(x)=cosxx−sinx ,x∈[−3π2,0)∪(0,3π2]的图象大致是()A. B.C. D.10.已知直线x−y+a=0与圆心为C的圆x2+y2+2x−4y−4=0相交于A，B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为()A. 6B. 0C. 6或0D. −6或011.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线上一点，且|PF1|=2|PF2|，若sin∠F1PF2=√154，则该双曲线的离心率等于()A. √6B. 2C. √6或2D. √52或√612.已知函数f(x)满足f(0)=1，且f′(x)cosx>f(x)sinx，则不等式f(x)cosx−1>0的解集为()A. (−∞,−1)B. (1,+∞)C. (−∞,0)D. (0,+∞)二、填空题（本大题共2小题，共10.0分）13.已知高一年级某班有63名学生，现要选1名学生作为标兵，每名学生被选中的概率是相同的，若“选出的标兵是女生”的概率是“选出的标兵是男生”的概率的1011，则这个班男生的人数为________．14.已知四面体A−BCD的顶点都在球O的球面上，AD=AC=BD=2，CD=2√2，∠BDC=90°，平面ADC⊥平面BDC，则球O的体积为______．三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）15.正实数x，y满足xy+x+2y=6，则xy的最大值为，x+y的最小值为．四、解答题（本大题共8小题，共87.0分）16.若(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5，则a=______ ．17.已知向量m⃗⃗⃗ =(2cosx,1),n⃗=(cosx,2√3sinxcosx−1)，函数f(x)=m⃗⃗⃗ ⋅n⃗．(Ⅰ)求函数f(x)的单调递增区间；(Ⅱ)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(B)=1，b=√7，sinA=3sinC，求△ABC的面积．18.某工厂在两个车间A，B内选取了12个产品，它们的某项指标分布数据的茎叶图如图所示，该项指标不超过19的为合格产品．(1)从选取的产品中在两个车间分别随机抽取2个产品，求两车间都至少抽到一个合格产品的概率；(2)若从车间A，B选取的产品中随机抽取2个产品，用X表示车间B内产品的个数，求X的分布列与数学期望．19.如图，已知三棱柱ABC−A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，BA=BC=√2，D为AB中点，A1A=A1B=A1C=AC．(Ⅰ)证明：A1B⊥AC；(Ⅱ)求直线C1D与平面A1BC所成角的正弦值．20.已知点A是圆C：(x−4)2+y2=36上的动点，点B的坐标是(−2,−4)，线段AB中点的轨迹为M．(1)求轨迹M的方程；(2)斜率为1的直线l交轨迹M于P，Q两点．设点D(1,−2)．①若OP⊥OQ，求直线l的方程；②当△DPQ面积取最大值时，求直线l的方程．21. 设a >0，函数．(1)当a =1时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数y =f(x)在区间(0,+∞)上有唯一零点，试求a 的值．22. 在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为{x =2−2cosφy =2sinφ,(参数φ∈R).以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系， (1)求圆C 的极坐标方程；(2) 直线l ，射线OM 的极坐标方程分别是ρcos(θ−π6)=3√3，θ=π3，若射线OM 分别与圆C 分别交于O ，P 两点，与直线l 的交点为Q ，求|PQ|的值．23.已知函数f(x)=|2x−a|(a∈R)．(1)当a=4时，解不等式f(x)<8−|x−1|；(2)若不等式f(x)>8+|2x−1|有解，求a的取值范围．【答案与解析】1.答案：A解析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．解：5−2i2+5i =(5−2i)(2−5i)(2+5i)(2−5i)=−29i29=−i．故选：A．2.答案：A解析：本题考查集合的交集运算，属于基础题．根据交集的定义即可求解．解：因为集合，，所以，故选A．3.答案：B解析：利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．本题考查命题真假的判断，是容易题．解析：解：直线a上的点到平面α的距离相等，故A正确；∵直线a平行于平面α，∴a与平面α内的直线平行或异面，故B错误；α内有无数条直线与a平行，故C正确；α内存在无数条直线与a成90°角，故D正确．故选：B．解析：解：由题意，可知：对于A ：OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+3(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −15OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，整理上式，可得：16OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −12OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，这与题干中条件相符合，故选：A ．本题可将四个选项中的式子进行转化成与题干中式子相近，再比较，相同的那项即为答案．本题主要考查向量加减、数乘的运算，属基础题．5.答案：B解析：解：由已知中的程序框图可得该程序的功能是：计算并输出分段函数：ℎ(x)={f(x)f(x)≥g(x)g(x)f(x)<g(x)的值，利用正弦函数，余弦函数的图象和性质可知：当x ∈[0,π4)时，f(x)=sinx ∈[0,√22)，g(x)=cosx ∈(√22,1]，g(x)>f(x)，由题意：ℎ(x)=cosx ∈(√22,1]，当x ∈[π4,π2]，f(x)=sinx ∈[√22,1]，g(x)=cosx ∈[0,√22]，g(x)≤f(x)，由题意：ℎ(x)=sinx ∈[√22,1]，综上，可得x ∈[0,π2]时，ℎ(x)的最小值为sin π4=√22，又∵ℎ(x)≥m 恒成立， ∴m 的最大值是√22，故选：B ．由已知中的程序框图可得该程序的功能是计算并输出分段函数：ℎ(x)={f(x)f(x)≥g(x)g(x)f(x)<g(x)的值，分类讨论即可求出ℎ(x)的最小值，可得答案．本题主要考查了程序框图，分段函数的应用，考查了函数恒成立的应用，属于基本知识的考查．解析：解：函数f(x)=log a x 在区间(0,+∞)上为减函数，则0<a <1，因此“a <1”是“函数f(x)=log a x 在区间(0,+∞)上为减函数”的必要不充分条件．故选：B ．函数f(x)=log a x 在区间(0,+∞)上为减函数，可得0<a <1，即可得出．本题考查了对数函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.答案：C解析：利用已知求得x ，将样本中心点(x,y)代入线性回归方程y ̂=12x +20求得y ，再由y =15∑y i 5i=1即可求得∑y i 5i=1的值．本题考查线性回归方程的应用，考查线性回归方程必过样本中心点(x,y)，考查计算能力，属于基础题．解：由x =3+5+7+12+135=8，∵线性回归方程必过样本中心点(x,y)， ∴y =12x +20，解得y =24，即y =15∑y i 5i=1=24， ∴∑y i 5i=1=120，故选C ．8.答案：B解析：本题考查了等比数列的前n 项和公式，属于基础题．由题意可知，q ≠1，故S 8S 4=1+q 4=3⇒q 4=2，则S16S 8=1+q 8=1+(q 4)2，即可求解．解：由题意可知，q ≠1，故S 8S 4=a 1(1−q 8)1−q 141−q=1+q 4=3⇒q 4=2，则S16S8=1+q8=1+(q4)2=5，∴S16=30，故选B．9.答案：C解析：解：函数f(x)=cosxx−sinx ,x∈[−3π2,0)∪(0,3π2]满足f(−x)=−f(x)，故函数图象关于原点对称，排除A、B，当x∈(0,π2)时，f(x)=cosxx−sinx>0，故排除D，故选：C．分析函数的奇偶性，及x∈(0,π2)时，函数值的符号，利用排除法可得答案．本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的图象，难度中档．10.答案：C解析：本题主要考查点到直线的距离公式的应用，利用条件求出圆心和半径，结合距离公式是解决本题的关键．根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直线的距离公式即可得到结论．解：由x2+y2+2x−4y−4=0得(x+1)2+(y−2)2=9，所以圆C的圆心坐标为C(−1,2)，半径为3，由AC⊥BC，可知△ABC是直角边长为3的等腰直角三角形，故可得圆心C到直线x−y+a=0的距离为3√22，由点到直线的距离公式可得√2=3√22，解得a=0或a=6．故选C．11.答案：C解析：本题考查了双曲线的性质，离心率的计算，属于基础题．根据余弦定理列方程得出a ，c 的关系，再计算离心率．解：由双曲线定义可知：|PF 1|−|PF 2|=|PF 2|=2a ，∴|PF 1|=4a ，由sin∠F 1PF 2=√154可得cos∠F 1PF 2=±14，在△PF 1F 2中，由余弦定理可得：4a 2+16a 2−4c 22×2a×4a=±14，解得：c 2a2=4或c 2a 2=6，∴e =c a=2或√6．故选：C ．12.答案：D解析：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，构造函数是解题的关键，属于中等题．构造函数，利用导函数研究g(x)的单调性，然后即可求解．解：根据题意，设，则．由题f′(x )cosx >f (x )sinx ，知g ′(x)>0，即g(x)单调递增，因为f(0)=1，所以g(0)=1，则不等式f(x)cosx −1>0，即g(x)>g(0)， ∵函数g(x)单调递增，∴x >0．即不等式解集为(0,+∞)．故选D ．13.答案：33解析：本题考查古典概型概率的计算，属于基础题目．解：根据题意，设该班的男生人数为x，则女生人数为63−x，因为每名学生被选中的概率是相同的，根据古典概型的概率计算公式知，“选出的标兵是女生”的概率是63−x63，“选出的标兵是男生”的概率是x63，故63−x63=1011×x63，解得x=33，故这个班男生的人数为33．故答案为33．14.答案：4√3π解析：本题考查球O的体积，考查学生的计算能力，求出球O的半径是关键，属于中档题．由题意，BC的中点O′是△DBC外接圆的圆心，设球心为O，OO′=d，球的半径为R，则由勾股定理求出球的半径，即可求出球O的体积．解：由题意，BC的中点O′是△DBC外接圆的圆心，设球心为O，OO′=d，球的半径为R，则由勾股定理可得R2=d2+(√3)2=12+(√2−d)2，∴R=√3，∴球O的体积为故答案为4√3π.15.答案：24√2−3解析：解：∵正数x，y满足xy+x+2y=6，∴x=6−2yy+1>0，解得0<y<3．∴xy=y(6−2y)y+1=−2(y+1+4y+1)+10≤−2×2√(y+1)⋅4y+1+10=2，当且仅当y=1，x=2时取等号．∴xy的最大值为2．x+y=6−2yy+1+y=(y+1)+8y+1−3≥2√(y+1)⋅8y+1−3=4√2−3，当且仅当y=2√2−1，x=2√2−2时取等号．∴x+y的最小值为4√2−3．故答案为：2，4√2−3．正数x，y满足xy+x+2y=6，可得x=6−2yy+1>0，解得0<y<3.可得xy=y(6−2y)y+1，x+y=6−2yy+1+y，化简整理利用基本不等式即可得出．本题考查了基本不等式的性质，考查了变形能力、推理能力，属于中档题．16.答案：−1解析：解：∵(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为C52+a⋅C51=10+5a=5，∴a=−1，故答案为：−1．根据二项式的展开式通项公式求得展开式中x2的系数，再根据展开式中x2的系数为5求得a的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题17.答案：解：(Ⅰ)∵m⃗⃗⃗ =(2cosx，1)，n⃗=(cosx,2√3sinxcosx−1)，∴f(x)=m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=2cos2x+2√3sinxcosx−1=√3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6)，∵2x+π6∈[−π2+2kπ,π2+2kπ](k∈Z)，∴x∈[−π3+kπ,π6+kπ](k∈Z)，∴函数f(x)的单调递增区间为[−π3+kπ,π6+kπ](k∈Z)；(Ⅱ)∵f(B)=2sin(2B+π6)=1，∴sin(2B+π6)=12，即2B+π6=5π6，即B=π3，∵sinA =3sinC ，∴a =3c ， ∵b =√7，b 2=a 2+c 2−2accosB ， ∴a =3，c =1， ∵S =12acsinB ， ∴△ABC 的面积为3√34．解析：(Ⅰ)由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出f(x)解析式，整理为一个角的正弦函数，由正弦函数的单调性求出函数f(x)的单调递增区间即可；(Ⅱ)由f(B)=1，求出B 的度数，把sinA =3sinC 利用正弦定理化简得到a =3c ，利用余弦定理列出关系式，把b ，cos B ，a =3c 的值代入求出a 与c 的值，再由sin B 的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC 面积．此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．18.答案：解：(1)由茎叶图知，车间A 内合格的产品数为4，车间B 内合格的产品数为2，则所求概率P =(1−C 42C 82)(1−C 22C 42)=5584．(2)由题意知，X 的所有可能取值为0，1，2．则P(X =0)=C 82C 122=1433，P(X =1)=C 41C 81C 122=1633，P(X =2)=C 42C 122=111，所以X 的分布列为：所以E(X)=0×1433+1×1633+2×111=23．解析：本题考查茎叶图的应用，离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力． (1)利用茎叶图，求出两个车间的产品数，然后求解概率．(2)求出X 的所有可能取值为0，1，2.得到分布列，然后求解期望即可．19.答案：(Ⅰ)证明：如图所示，取AC 中点O ，连接BO ，A 1O ，∵BA=BC，A1A=A1C，∴BO⊥AC，A1O⊥AC，又∵A1O∩OB=O，∴AC⊥平面A1OB，又∵A1B⊂平面A1OB，∴A1B⊥AC;(Ⅱ)解：∵平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC=AC，A1O⊥AC ∴A1O⊥面ABC，又∵OB⊆面ABC，∴A1O⊥OB，建立如图所示空间直角坐标系：O−xyz，∵A 1A=A1B，，得OA=OB=OC，∴AB⊥BC，又∵BA=BC=√2，∴AC=2，A1O=√3，A 1(0,0,√3)，A (0,1,0)，C (0,−1,0)，B (1,0,0)，D (12,12,0)， ∴BC →=(−1,−1,0)，CA 1→=(0,1,√3)，CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,√3)⇒C 1(0,−2,√3)⇒C 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,52,−√3)，设平面A 1BC 的法向量n ⃗ =(x,y,z)， {n ⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ·CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则{x +y =0y +√3z =0，不妨取z =1，则n ⃗ =(√3,−√3,1)所以cos ⟨n⃗ ⋅C 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩=n ⃗⃗ ⋅C 1D⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ |⋅|C 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12×√3+52×(−√3)+(−√3)×1√3+3+1×√14+254+3=−3√798133所以直线C 1D 与平面A 1BC 所成角正弦值为3√798133．解析：本题考查线线垂直的判定，考查空间角的求法，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题． (1)利用线面垂直判定定理得出AC ⊥平面A 1OB 即可;(2)建立空间直角坐标系，求出平面A 1BC 的法向量，利用向量法求线面角的余弦值即可． 20.答案：解：(1)设点M(x,y)，点A(x 0,y 0)，依题意得{x =x 0−22y =y 0−42，即{x 0=2x +2y 0=2y +4 ∵点A(x 0,y 0)是圆C ：(x −4)2+y 2=36上的动点，∴(x 0−4)2+y 02=36∴(2x +2−4)2+(2y +4)2=36整理可得(x −1)2+(y +2)2=9∴轨迹M 的方程为：(x −1)2+(y +2)2=9； (2)①假设存在直线l ，设y =x +m A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2) ∵OP ⊥OQ ，∴x 1⋅x 2+y 1⋅y 2=0由{y =x +m (x −1)2+(y +2)2=9，得2x 2+2(m +1)x +m 2+4m −4=0，由△>0得，−3√2−3<m <3√2−3． x 1+x 2=−m −1，x 1⋅x 2=m 2+4m−42∴y 1⋅y 2=(x 1+m)(x 2+m)=x 1⋅x 2+m(x 1+x 2)+m 2 ∴x 1⋅x 2+y 1⋅y 2=0即m 2+3m −4=0 解得：m =1或m =−4；∴直线l 的方程为y =x +1或y =x −4 ②设圆心(1,−2)到直线y =x +m 的距离为d∴AB =2√9−d 2∴△DPQ 面积S =12×2√9−d 2×d =√9d 2−d 4=√814−(d 2−92)2≤92此时d =3√22=√2解得：m =0或m =−6，∴直线l 的方程为y =x 或y =x −6．解析：(1)设点M(x,y)，点A(x 0,y 0)是圆C ：(x −4)2+y 2=36上的动点，根据线段AB 中点的轨迹为M.结合中点坐标可得轨迹方程．(2)①设出直线方程，设而不求的思想，根据OP ⊥OQ ，即可求解．②设圆心(1,−2)到直线y =x +m 的距离为d ，即AB =2，那么△DPQ 面积S =12×2√9−d 2×d ，转化为二次函数问题，即可求解．考查了直线与圆锥曲线的位置关系，是中档题．21.答案：解：(1)函数f(x)=x 2−2ax −2alnx ，当a =1时，f(x)=x 2−2x −2lnx ，(其中x >0)； ∴f′(x)=2x −2−2x =2x 2−2x−2x，令f′(x)=0，即x 2−x −1=0，解得x =1+√52或x =1−√52(小于0，应舍去)；∴x ∈(0,1+√52)时，f′(x)<0，x∈(1+√52,+∞)时，f′(x)>0；∴f(x)的单调减区间是(0,1+√52)，单调增区间是(1+√52,+∞)；(2)f(x)=x2−2ax−2alnx，则f′(x)=2x−2a−2ax =2x2−2ax−2ax，令f′(x)=0，得x2−ax−a=0，∵a>0，∴Δ=a2+4a>0，∴方程的解为x1=a−√a2+4a2<0(舍)，x2=a+√a2+4a2>0；∴函数f(x)在(0,x2)上单调递减，在(x2,+∞)上单调递增，∴f(x)的大致图象如图所示，则f(x)min=f(x2)，若函数y=f(x)在区间(0,+∞)上有唯一零点，则f(x2)=0，而x2满足x22=ax2+a，∴f(x2)=ax2+a−2ax2−2alnx2=a(x2+1−2x2−2lnx2)=0，得1−x2−2lnx2=0，∵g(x)=2lnx+x−1在(0,+∞)是单调递增的，∴g(x)至多只有一个零点，而g(1)=0，∴用x2=1代入x22−ax2−a=0，得1−a−a=0，解得a =12．解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性，也考查了函数零点以及不等式的应用问题，是较难题．(1)求出a =1时的f(x)，利用导数f′(x)判断f(x)的单调性，并求出单调区间；(2)求f(x)的导数f′(x)，利用导数判断f(x)的单调性，求出最值，利用最值等于0，求出a 的值．22.答案：解：(1)∵圆C 的参数方程为{x =2−2cosφy =2sinφ,(参数φ∈R)，∴(ρcosθ−2)2+(ρsinθ)2=(−2cosφ)2+(2sinφ)2=4， ∴ρ=4cosθ，∴圆C 的极坐标方程为ρ=4cosθ；(2)∵直线l 的极坐标方程是ρcos(θ−π6)=3√3，射线OM 的极坐标方程是θ=π3， ∴联立两方程：ρcos(π3−π6)=3√3，ρ=6， ∴Q(6,π3)，∵射线OM 分别与圆C 分别交于O ，P 两点， ∴联立两方程：ρ=4cos π3 即P(2,π3)， ∴|PQ|=6−2=4．解析：本题考查圆的极坐标方程的求法，考查弦长的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． (1)由圆C 的参数方程，能求出圆C 的极坐标方程．(2)推导出ρcos(π3−π6)=3√3，ρ=6，Q(6,π3)，P(2,π3)，由此能求出|PQ|．23.答案：解：(1)当a =4时，f(x)=|2x −4|，原不等式可化为：|2x −4|+|x −1|<8，当x <1时，4−2x +1−x <8，得x >−1，∴−1<x <1，当1≤x ≤2时，4−2x +x −1<8，得x >−5，∴1≤x ≤2，当x >2时，2x −4+x −1<8，得x <133，∴2<x <133，综上，不等式的解集为(−1,133)；(2)原不等式有解，即不等式|2x−a|−|2x−1|>8有解，令g(x)=|2x−a|−|2x−1|，∵|2x−a|−|2x−1|≤|2x−a−2x+1|=|a−1|，∴g(x)max=|a−1|，令|a−1|>8，解得a>9或a<−7，∴a的取值范围为a>9或a<−7．解析：本题考查了不等式和绝对值不等式，是中档题．(1)当a=4时，原不等式可化为：|2x−4|+|x−1|<8，去绝对值符号解不等式即可；(2)原不等式有解，即不等式|2x−a|−|2x−1|>8有解，令g(x)=|2x−a|−|2x−1|，由绝对值不等式得g(x)max=|a−1|，令|a−1|>8，解出即可．。

云南省2020年高考数学一模试卷(理科)D卷

云南省2020年高考数学一模试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合，则（）A .B . (-1,1]C .D . (0,1)2. （2分）(2019·十堰模拟) 设i为虚数单位，则复数的共扼复数（）A .B .C .D .3. （2分）已知等差数列中，若，则数列的前5项和等于（）A . 186B . 90C . 45D . 304. （2分） (2018高三上·深圳月考) 已知向量，满足，，，则向量在方向上的投影为（）A .B .C .D .5. （2分）已知函数f（x）=若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c 的取值范围是（）A . （1，2015）B . （1，2016）C . （2，2016）D . [2，2016]6. （2分） (2020高二上·唐山月考) 下图是一个边长为2的正方形区域，为了测算图中阴影区域的面积，向正方形区域内随机投入质点600次，其中恰有225次落在该区域内，据此估计阴影区域的面积为（）A . 1.2B . 1.5C . 1.6D . 1.87. （2分）(2016·赤峰模拟) 某程序框图如图所示，若输出i的值为63，则判断框内可填入的条件是（）A . S＞27B . S≤27C . S≥26D . S＜268. （2分）(2018·吕梁模拟) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A .B .C .D .9. （2分） (2018高三上·湖南月考) 已知点(x，y)是不等式组表示的平面区域内的一个动点，且目标函数的最大值为7，最小值为1，则（）A . 1B . －1C . 2D . －210. （2分）(2017·静安模拟) 已知椭圆C1 ，抛物线C2焦点均在x轴上，C1的中心和C2顶点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于表中，则C1的左焦点到C2的准线之间的距离为（）x3﹣24y0﹣4-2A . -1B . -1C . 1D . 211. （2分）已知函数f（x）满足下列条件：①定义域为[1，+∞）；②当1＜x≤2时f（x）=4sin（ x）；③f（x）=2f（2x）．若关于x的方程f（x）﹣kx+k=0恰有3个实数解，则实数k的取值范围是（）A .B .C .D .12. （2分） (2016高二下·南城期中) 已知直线x﹣9y﹣8=0与曲线C：y=x3﹣px2+3x相交于A，B，且曲线C在A，B处的切线平行，则实数p的值为（）A . 4B . 4或﹣3C . ﹣3或﹣1D . ﹣3二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2019高一下·东莞期末) 已知向量，向量，若与垂直，则x=________．14. （2分） (2019高二上·南京期中) 在平面直角坐标系中，双曲线的焦距为________.若双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则实数的值为________.15. （1分）已知三棱锥P﹣ABC，若PA，PB，PC两两垂直，且PA=PB=PC=1，则三棱锥P﹣ABC的内切球半径为________．16. （1分）(2017·吴江模拟) 若Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1=1，S10=55．记bn=[lnan]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1．则数列{bn}的前2017项和为________．三、解答题 (共7题；共55分)17. （10分）(2020·江西模拟) 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点M在边BC上，已知．（1）求A；（2）若AM是角A的平分线，，且，求三角形ABC的面积．18. （5分）(2017·贵阳模拟) 医学上某种还没有完全攻克的疾病，治疗时需要通过药物控制其中的两项指标H和V．现有..三种不同配方的药剂，根据分析，A，B，C三种药剂能控制H指标的概率分别为0.5，0.6，0.75，能控制V指标的概率分别是0.6，0.5，0.4，能否控制H指标与能否控制V指标之间相互没有影响．（Ⅰ）求A，B，C三种药剂中恰有一种能控制H指标的概率；（Ⅱ）某种药剂能使两项指标H和V都得到控制就说该药剂有治疗效果．求三种药剂中有治疗效果的药剂种数X的分布列．19. （10分）(2016·太原模拟) 如图所示，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是梯形，AD∥BC，侧面ABB1A1为菱形，∠DAB=∠DAA1 ．（1）求证：A1B⊥AD；（2）若AD=AB=2BC，∠A1AB=60°，点D在平面ABB1A1上的射影恰为线段A1B的中点，求平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值．20. （10分） (2015高三上·苏州期末) 如图，已知椭圆O： +y2=1的右焦点为F，点B，C分别是椭圆O 的上、下顶点，点P是直线l：y=﹣2上的一个动点（与y轴交点除外），直线PC交椭圆于另一点M．（1）当直线PM过椭圆的右焦点F时，求△FBM的面积；（2）①记直线BM，BP的斜率分别为k1 ， k2 ，求证：k1•k2为定值；②求的取值范围．21. （10分） (2016高二下·晋中期中) 已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，曲线y=f（x）在x=1处的切线为l：3x﹣y+1=0，当x= 时，y=f（x）有极值．（1）求a、b、c的值；（2）求y=f（x）在[﹣3，1]上的最大值和最小值．22. （5分）(2017·石家庄模拟) 在极坐标系中，已知曲线C1：ρ=2cosθ和曲线C2：ρcosθ=3，以极点O 为坐标原点，极轴为x轴非负半轴建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线C1和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P是曲线C1上一动点，过点P作线段OP的垂线交曲线C2于点Q，求线段PQ长度的最小值．23. （5分） (2019高二下·九江期末) 设函数（）.(Ⅰ)当时，求不等式的解集；(Ⅱ)求证: ，并求等号成立的条件.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共55分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、23-1、。

云南省曲靖市第二中学2020届高三数学第一次模拟考试试题文(含解析)

A. B。2C. 2 D. ﹣2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据 ⊥ 可得tanθ,而sin2θ+6cos2θ ，分子分母同除以cos2θ，代入tanθ可得答案。
【详解】因为向量 (1，cosθ），（sinθ，﹣2），
所以
因为 ⊥ ，
所以，即tanθ=2，
所以sin2θ+6cos2θ 2.
故选:B。
4。已知数列{an｝的前n项和为Sn，且an+1=an+a（n∈N＊，a为常数),若平面内的三个不共线的非零向量满足，A，B,C三点共线且该直线不过O点,则S2010等于（）
A。 1005B。1006C. 2010D. 2012
【答案】A
【解析】
【分析】
根据an+1=an+a，可判断数列｛an｝为等差数列，而根据 ,及三点A，B，C共线即可得出a1+a2010=1，从而根据等差数列的前n项和公式即可求出S2010的值。
2。已知集合 ,集合，则（）
A。 B. C。 D。
【答案】C
【解析】
【分析】
由分式不等式的解法可求得集合 ,根据交集定义可求得结果。
【详解】由得：，解得: , ,
.
故选：。
【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，涉及到分式不等式的求解，属于基础题.
3。已知平面α∩β=l，m是α内不同于l的直线,那么下列命题中错误的是（）
【详解】由an+1=an+a,得，an+1﹣an=a;
∴{an}为等差数列；
由，
所以A，B,C三点共线；
∴a1005+a1006=a1+a2010=1，

2020年云南省高考数学一模试卷(理科)-普通用卷

高考数学一模试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合S={0，1，2}，T={0，3}，P=S∩T，则P的真子集共有（）A.0个B.1个C.2个D.3个2.已知i为虚数单位，则=（）3.A. B. C. D.设向量=（x-1，x），=（-1，2），若，则x=（）A. B.-1 C. D.4.在（x-）的二项展开式中，x的系数等于（）A.-180B.C.D.1805.执行如图所示的程序框图，则输出S的值等于（）6.A. B. C. D.如图，网格纸上小正方形的边长为1（单位mm），粗实线画出的是某种零件的三视图，则该零件的体积（单位：mm）为（）1063A.108+24πB.72+16πC.96+48πD.96+24π7.为得到函数 y =sin3x - x 的图象，只需要将函数 y =2cos3x 的图象（）A.C.向左平行移动个单位向左平行移动个单位B.D.向右平行移动个单位向右平行移动个单位8.9.已知 α，β 都为锐角，若 tanβ= ，cos （α+β）=0，则 cos2α 的值是（）A.B. C. D.已知 M 是抛物线 C ：y =2px 上的任意一点，以 M 为圆心的圆与直线 x =-1 相切且经过点 N （1，0），设斜率为 1 的直线与抛物线 C 交于 P ，Q 两点，则线段 PQ 的中点的纵坐标为（）A. 2B. 4C. 6D. 810. 在△ABC 中，内角 A ，B ，C 对的边分别为 a ，b ，c ，∠ABC = ，BD 平分∠ABC 交AC 于点 D ，BD =2， △则ABC 的面积的最小值为（）A. 3B. 4C. 5D. 611. 双曲线 M 的焦点是 F，F ，若双曲线 M 上存在点 P ， △使PF F 是有一个内角为的等腰三角形，则 M 的离心率是（）A. B. C.D.12. 已知 e 是自然对数的底数，不等于 1 的两正数 x ，y 满足 log y +log x = ，若 log y ＞l ，xyx则 x ln y 的最小值为（）A.-1B. C. D.-二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）2 1 2 1 213. 若x，y满足约束条件，则目标函数z=y-x的最大值等于______．14. 已知随机变量ξ服从正态分布N（1，2），则D（2ξ+3）=______15. 已知函数f（x）=，若f（m）=-6，则f（m-61）=______．16. 已知P，A，B，C，D是球O的球面上的五个点，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，AB=DC=AD=2，BC=4，PA⊥PD，平面PAD⊥平面ABCD，则球O的表面积为______三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 数列{an }中，a=2，（n+1）（a-a）=2（a+n+1）．1n+1nn（1）求a，a的值；23（2）已知数列{a }的通项公式是a=n+1，a=n+1，a=n+n中的一个，设数列{}n n n n的前n项和为S，{a-a }的前n项和为T，若＞360，求n的取值范围．n n+1n n18. 为降低汽车尾气排放量，某工厂设计制造了A、B两种不同型号的节排器，规定性能质量评分在[80，100]的为优质品．现从该厂生产的A、B两种型号的节排器中，分别随机抽取500件产品进行性能质量评分，并将评分分别分成以下六个组；[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，绘制成如图所示的频率分布直方图：（1）设500件A型产品性能质量评分的中位数为M，直接写出M所在的分组区间；（2）请完成下面的列联表（单位：件）（把有关结果直接填入下面的表格中）；A型节排器B型节排器总计优质品非优质品总计500500100022（3）根据（2）中的列联表，能否有 99%的把握认为 A 、B 两种不同型号的节排器性能质量有差异？附：K =．其中 n =a +b +c +d ．P （K 2≥k ） 00.100.0100.001 k 02.7066.63510.82819. 在四棱锥 P -ABCD 中，四边形 ABCD 为菱形，且∠ABC = ，M ，N 分别为棱 AP ，CD 的中点．（1）求证：MN ∥平面 PBC ；（2）若 P D ⊥平面 ABCD ，PB =2AB ，求平面 PBC 与平面 PAD 所成二面角的正弦值．20. 已知椭圆 E 的中心在原点，左焦点 F、右焦点 F 都在 x 轴上，点 M 是椭圆 E 上的 1 2动点 △，F MF 的面积的最大值为，在 x 轴上方使个．（1）求椭圆 E 的方程；=2 成立的点 M 只有一（2）过点（-1，0）的两直线 l ，l 1 2 分别与椭圆 E 交于点 A ，B 和点 C ，D ，且 l ⊥l 1 2，比较 12（|AB |+|CD |）与 7|AB ||CD |的大小．2 1 221. 已知e是自然对数的底数，函数f（x）=与F（x）=f（x）-x+的定义域都是（0，+∞）．（1）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求证：函数F（x）只有一个零点x，且x∈（1，2）；00（3）用min{m，n}表示m，n的最小值，设x＞0，g（x）=min{f（x），x- }，若函数h（x）=g（x）-cx在（0，+∞）上为增函数，求实数c的取值范围．222. 已知常数a是实数，曲线C的参数方程为（t为参数），以原点O为1极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cosθ=a sinθ．2（1）写出C的普通方程与C的直角坐标方程；12（2）设曲线C与C相交于A，B两点，求|AB|的最小值．1223. 已知函数f（x）=|2x-a|+|x-2a+3|．（1）当a=2时，解关于x的不等式f（x）≤9；（2）当a≠2时，若对任意实数x，f（x）≥4都成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵S ={0，1，2}，T ={0，3}； ∴P =S ∩T ={0}；∴P 的真子集为：∅，共 1 个．故选：B ．根据集合 S ，T ，即可求出 P ={0}，从而得出集合 P 的真子集为∅，共 1 个．考查列举法的定义，以及交集的运算，真子集的定义．2.【答案】C【解析】解：====故选：C ．分子分母同乘以分母的共轭复数 1-i ，化简即可．本题考查复数的代数形式的乘除运算，属基础题． 3.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查向量坐标的概念，以及平行向量的坐标关系，属于基础题．根据即可得出 2（x -1）+x =0，解出 x 即可．【解答】解：∵， ∴2（x -1）+x =0，．∴故选 C ．4.【答案】D【解析】解：（x - ）的二项展开式的通项公式为 T = r +1•（-2） •x ，令 10-2r =6，求得 r =2，可得 x 的系数为•（-2） =180，故选：D ．在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 6，求出 r 的值，即可求得 x 的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．5.【答案】C第 6 页，共 16 页10 r 10-2r 6 2 6【解析】解：模拟执行程序框图，可得第1次运行，S=，a=2第2次运行，S=，a=3第3次运行，S=，a=4…第2019次运行，S=，a=2020刚好满足条件a＞2019，则退出循环，输出S的值为．故选：C．模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，a的值，当a=2020时，刚好满足条件a ＞2019，则退出循环，输出S的值为．本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的S，a的值是解题的关键，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，左右两边均为圆柱，上部圆柱的底面半径为2，母线长为6，下部是底面边长为6，高为3的长方体．∴该零件的体积V=π×22×6+6×6×3=108+24π．故选：A．由三视图还原原几何体，可知该几何体为组合体，上部是圆柱，下部是长方体，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．7.【答案】D【解析】解：函数y=sin3x-x，转换为y=2sin（3x-）的图象．将y=2cos3x的图象转换为y=2sin（3x+），该图象向右平移个单位，即可得到y=2sin（3x-）的图象．故选：D．直接利用三角函数关系式的平移变换和伸缩变换和诱导公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：由 β 为锐角，且 tan β= ，联立，可得 sin β= ，cos再由 α，β 都为锐角，可得 0＜α+β＜π，又 cos （α+β）=0，得 α+β= ，则 cos α=sin β= ．．∴cos2α=2cosα-1=．故选：B ．由已知求得 sin β，进一步求得 cos α，利用二倍角的余弦求解 cos2α 的值．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及倍角公式的应用，是基础题．9.【答案】A【解析】解：设 M （x ，y ），0 0∵以 M 为圆心的圆与直线 x =-1 相切且经过点 N （1，0），∴x 0+1=，又 y =2px ．∴p =2．即可得抛物线方程为 y =4x ．由y +y =4，12⇒y -4y -4b =0．∴线段 PQ 的中点的纵坐标为故选：A ．=2设 M （x ，y ），可得 x +1=，又 y =2px ．求得 p =2．联立直线与抛物线方程，利用韦达定理求得答案．本题考查了抛物线方程，直线与抛物线的位置关系，属于中档题． 10.【答案】B【解析】解：设∠A =α，则0＜α＜，∠C =π- -α= -α，∵∠ABC = ，BD 平分∠ABC交 AC 于点 D ，BD =2，∴∠ABD =∠CBD =在三角形 ABD 中，∠ADB =π- -α= -α，由正弦定理可得=，2 20 0 22 2∴AB==，在三角形CBD中，∠CDB=π--（-α）=+α，由正弦定理可得，∴BC=∴△ABC面积=，S=AB•BCsin=××=•=•，=（2+）=（2+），∵0＜α＜，∴＜2α+＜，∴＜sin（2α+）≤1，∴当sin（2α+）=1时，即α=时，△ABC面积S最小，最小值为•（2+6）=4，故选：B．设∠A=α，则0＜α＜，根据正弦定理表示出AB，BC，即可表示出三角形的ABC的面积，再根据三角函数的化简和正弦函数的图象和性质即可求出本题考查了正弦定理的应用，三角形函数的化简，三角函数的图象和性质，考查了运算能力和转化能力，属于难题．11.【答案】C【解析】解：设双曲线的焦点在x轴上，且P为左支上一点，∠PF F=120°，且|PF|=|F F |=2c，12121可得|PF|=2=2c，则|PF|-|PF|=2a，即为221c-2c=2a，可得e= = =．故选：C．可设双曲线的焦点在x轴上，且P为左支上一点，运用余弦定理和双曲线的定义，以及离心率公式可得所求值．本题考查双曲线的定义和性质，主要是离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：log y+log x=，可得log y+x y x解得log=2或log=，x x=，∵logx y＞l，y y∴log xy =2，∴ =2，即 ln y =2lnx ， ∴x ln y =2x lnx ，令 f （x ）=2x lnx ，x ∈（0，+∞）， ∴f ′（x ）=2（1+ln x ），当 0＜x ＜时，f ′（x ）＜0，函数 f （x ）单调递减，当 x ＞时，f ′（x ）＞0，函数 f （x ）单调递增，∴f （x ） =f （）=- ，min故 x ln y 的最小值为- ，故选：D ．由题意可得 log =2，即可得到 x ln y =2x lnx ，令 f （x ）=2x lnx ，x ∈（0，+∞），求导，根据导数和函数最值得关系即可求出本题考查了导数和函数的最值得关系，考查了运算求解能力，属于中档题． 13.【答案】2【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由 z =y -x 得 y =x+z ，平移直线 y =x +z ，由图象可知当直线 y =x +z 经过点 A 时，直线 y =x+z 的截距最大，此时 z 最大，由，解得 A （1，3），此时 z =3-1=2，故答案为：2．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意义，结合数形结合是解决本题的关键． 14.【答案】8【解析】解：∵随机变量 ξ 服从正态分布 N （1，2），∴D （ξ）=2，则 D （2ξ+3）=2 ×D （ξ）=8．故答案为：8．由已知求得 D （ξ），再由 D （2ξ+3）=2 ×D （ξ）得答案．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查方差的求法，是基础题． 15.【答案】-4【解析】【分析】当 m ＜3 时，f （m ）=3 -5=-6，无解；当 m ≥3 时，f （m ）=-log （m +1）=-6，由此能求2出 m 的值．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【解答】y x2 2 m -2解：∵函数 f （x ）=，f （m ）=-6，∴当 m ＜3 时，f （m ）=3 -5=-6，无解；当 m ≥3 时，f （m ）=-log （m +1）=-6，2解得 m =63，∴f （m -61）=f （2）=3 -5=-4．故答案为：-4． 16.【答案】16π【解析】解：如图，∵PA ⊥PD ，∴△APD 为 △R t ，∵平面 PAD ⊥平面 ABCD ，取 AD 中点 G ，在平面 ABCD 内，过 G 作 AD 的垂线，则四棱锥 P-ABCD 的外接球的球心在该垂线上，又 AD=DC =AB =2，BC =4，求得∠ADC =120°，过 D 作 AC 的垂线，两垂线相交于 O ，则O △为ADC 外接圆的圆心，也是四棱锥 P -ABCD 的外接球的球心，△则ADC 外接圆的半径即为四棱锥 P -ABCD 的外接球的半径，设为 R ，由，得 R =2．∴球 O 的表面积为 S =4π×2 =16π．故答案为：16π．由题意画出图形，可 △知ADC 外接圆的圆心即为四棱锥 P -ABCD 的外接球的球心，由正弦定理求得半径，代入球的表面积公式求解．本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题． 17.【答案】解：（1）数列{a }中，a =2，（n +1）（a -a ）=2（a +n +1）．n1n +1 nn则：，．（2）由数列{a }的通项公式是 a =n +1，a =n +1，a =n +n 中的一个和 a =6， n n n n 2得到数列{a }的通项公式为：n=n （n +1）．所以：则：所以：，=（1- ）+（．）+…+（）=1-．由于（a -a ）+（a -a ）+…+（a -a ）=a -a ，a =n （n +1）， 213 2 n +1 nn+1 1n所以：（a -a ）+（a -a ）+…+（a -a ）=n （n +3）．2 13 2 n +1 n即：，由：，m -2 2-2 2 2 2 2解得：n＞17或n＜-21故n的取值范围是：n＞17且为正整数．【解析】（1）首先利用数列的通项公式求出第二项和第三项．（2）利用裂项求和和叠加法，求出前n项和，进一步建立不等式求出n的取值范围．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，叠加法和裂项求和在数列中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.【答案】解：（1）M所在的分组区间为[70，80）．（2）列联表如下：优质品非优质品总计A型节排器180320500B型节排器140360500总计3206801000（3）由于K==≈7.352＞6.635，故有99%的把握认为A，B两种不同型号的节排器性能质量有差异．【解析】（1）根据中位数的定义进行判断即可（2）根据条件完成列联表（3）根据表中数据得到K的值，结合独立性检验的性质进行判断即可本题主要考查独立性检验的应用，根据列联表中的数据进行计算是解决本题的关键．考查学生的计算能力．19.【答案】（1）证明：设PB的中点为G，连接MG，GC，∵M，G分别为AP，PB的中点，∴MG∥AB，且MG=，由已知得CN=，且CN∥AB，∴MG∥CN，且MG=CN．∴四边形MGCN是平行四边形，∴MN∥GC．∵MN⊄平面PBC，CG⊂平面PBC，∴MN∥平面PBC；（2）解：连接AC，BD，设AC∩BD=O，连接CO，OG，设菱形ABCD的边长为a，由题设得，PB=2a，PD=，OG∥PD，OG⊥平面ABCD，分别以OA，OB，OG为x轴，y轴，z轴的非负半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则P（0，0），∴设，），A（，0，0），D（0，-，0），B（0，，0），C（，0，，，是平面PBC的一个法向量，22则，令x=1，得．同理可求得平面PAD的一个法向量为．∴cos＜＞==．则平面PBC与平面PAD所成二面角的正弦值为=．【解析】（1）设PB的中点为G，连接MG，GC，由三角形中位线定理可得MG∥AB，且MG=，结合已知得到MG∥CN，且MG=CN，则四边形MGCN是平行四边形，求得MN∥GC，再由线面平行的判定可得MN∥平面PBC；（2）连接AC，BD，设AC∩BD=O，连接CO，OG，设菱形ABCD的边长为a，由题设得，PB=2a，PD=，OG∥PD，OG⊥平面ABCD，分别以OA，OB，OG为x轴，y轴，z轴的非负半轴建立空间直角坐标系，分别求出平面PBC与平面平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面PBC与平面PAD所成二面角的正弦值．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．20.【答案】解：（1）根据已知设椭圆的E的方程为+=1，（a＞b＞0），c=，∵在x轴上方使∴在x轴上方使=2成立的点M只有一个，=2成立的点M是椭圆E的短轴的端点，当点M是短轴的端点时，由已知可得，解得a=2，b=，∴椭圆E的方程为+=1，（2）12（|AB|+|CD|）=7|AB||CD|．若直线AB的斜率为0或不存在时，|A B|=2a=4，且|C D|==3，或|C D|=2a=4，且|A B|==3，由12（|AB|+|CD|）=12（3+4）=84，7|AB||CD|=7×3×4=84，∴12（|AB|+|CD|）=7|AB||CD|．若AB的斜率存在且不为0时，设AB=k（x+1），k≠0，由可得（4k+3）x+8k x+4k-12=0，设A（x，y），C（x，y），则x+x=-1 12212•∴|AB|=|x-x|=12，x x=12=，，2222同理可得|CD|==，∴+= =，∴12（|AB|+|CD|）=7|AB||CD|．综上所述12（|AB|+|CD|）=7|AB||CD|．【解析】（1）由题意可知：由已知可得，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（2）对k分类讨论，把直线方程代入椭圆方程得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系、斜率计算公式、弦长公式即可得出结论．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.【答案】（1）解：∵f′（x）=，∴切线的斜率k=f′（1）=，又f（1）=，∴函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=；（2）证明：∵F（x）=f（x）-x+，f（x）=，∴F（1）=＞0，F（2）=＜0，∴F（1）•F（2）＜0，则在（1，2）上存在x，使得F（x）=0成立，00∵F′（x）=，∴当x≥2时，F′（x）＜0，当0＜x＜2时，由x（2-x）≤，得F′（x）≤∴F（x）在（0，+∞）上是减函数，＜0．∴若x1＞0，x＞0，x≠x，则F（x）≠F（x），21212∴函数F（x）只有一个零点x，且x∈（1，2）；00（3）解：g（x）=∵函数F（x）只有一个零点x，，∴F（x）=0，即．∴，故h（x）=．∴h（x）在（0，+∞）上为增函数⇔h′（x）≥0在（0，x0），（x，+∞）上恒成立．0当x＞x时，h′（x）=0，即在（x，+∞）上恒成立．0设u（x）=（x＞x），只需c≤[u（x）]，minu′（x）=，u（x）在（x，3）上单调递减，在（3，+∞）上单调递增，u（x）的最小值，则c．当0＜x＜x时，h′（x）=1+恒成立．，由上述得，c＜0，则h′（x）＞0在（0，x）上综上所述，实数c的取值范围是（-∞，]．【解析】（1）求出原函数的导函数，得到切线的斜率f′（1），再求出f（1），利用直线方程的点斜式求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）由F（x），得F（1）=＞0，F（2）=＜0，可得（1，2）上存在x，使得F（x）=0成立，然后利用导数证明F（x）在（0，+∞）上是减函数，可得函数F（x）0只有一个零点x，且x∈（1，2）；00（3）由题意写出h（x）=，由函数F（x）只有一个零点x，可得．把h（x）在（0，+∞）上为增函数转化为h′（x）≥0在（0，x），0（x，+∞）上恒成立．然后分类求解得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，考查函数零点的判定，考查数学转化思想方法，属难题．22.【答案】解：（1）曲线C的参数方程为1（t为参数），转换为直角坐标法方程为：y-8x-16=0．曲线C的极坐标方程为cosθ=a sinθ．2转换为极坐标方程为：ρcosθ=aρsinθ．转换为直角坐标方程为：x-ay=0．（2）设A（ay，y）B（ay，y），1122由于得到：y-8ay-16=0，所以：y+y=8a，y y =-16，1212，所以：：|AB|=．=当a=0时，|AB|=8，所，22第15 页，共16 页【解析】（1）直接利用转换关系把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数的关系求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.【答案】解：（1）当a=2时，f（x）=3|x-1|，由f（x）≤9得|x-1|≤3，由|x-1|≤3得-3≤x-1≤3，解得：-2≤x≤4，故a=2时，关于x的不等式的解集是{x∈R|-2≤x≤4}；（2）①当a＞2时，＜2a-3，f（x）=，故f（x）在（-∞，）递减，在（，+∞）递增，故f（x）=f（）= -3，min由题设得-3≥4，解得：a≥；②当a＜2时，＞2a-3，f（x）=，故f（x）在（-∞，）递减，在（，+∞）递增，故f（x）=f（）= +3，min由题设得-+3≥4，解得：a≤-综上，a的范围是（-∞，-]∪[，，+∞）．【解析】（1）代入a的值，解绝对值不等式，求出不等式的解集即可；（2）通过讨论a的范围，求出函数的最小值，得到关于a的不等式，解出即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查函数的单调性，最值问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．。

2020年曲靖二中高考数学一模试卷(理科)(含答案解析)

2020年曲靖二中高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 复数z =3i1−2i (i 是虚数单位)的虚部为( )A. −65iB. −65C. 35iD. 352. 已知集合，，则A ∩B 为( )A. B.C.D.3. 已知α表示平面，l ，m ，n 表示直线，下列结论正确的是( )A. 若l ⊥n ，m ⊥n ，则l//mB. 若l ⊥n ，m ⊥n ，则l ⊥mC. 若l//α，m//α，则l//mD. 若l ⊥α，m//α，则l ⊥m4. 已知A ，B ，C 三点不共线，且点O 满足16OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −12OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则( ) A. OA⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. OA⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −3AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3AC⃗⃗⃗⃗⃗ D. OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −3AC⃗⃗⃗⃗⃗ 5. 执行如图的程序框图，如果输出的y 值为1，则输入的x 的值为( )A. 0B. eC. 0或eD. 0或16. “a ≤0”是“函数f(x)=lnx +ax +1x 在[1,+∞)上为减函数”的( )A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要7.具有线性相关关系的两变量x，y满足的一组数据如表，若y与x的回归直线方程为ŷ=3x−32，则m的值为()x0123y−11m7A. 4B. 92C. 5D. 68.等比数列{a n}的前n项和为S n，若S4=2,S8=6，则S16为()A. 18B. 30C. 54D. 149.函数f(x)=cosxx−sinx ,x∈[−3π2,0)∪(0,3π2]的图象大致是()A. B.C. D.10.已知直线x−y+a=0与圆心为C的圆x2+y2+2x−4y−4=0相交于A，B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为()A. 6B. 0C. 6或0D. −6或011.已知双曲线x236−y2b=1(b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=53，点P是双曲线上的一点，且|PF1|=15，则|PF2|等于()A. 27B. 3C. 27或3D. 912.函数f(x)的定义域为R，f(−1)=2，对任意x∈R，导函数f’(x)>2，则f(x)>2x+4的解集为()A. (−1,1)B. (−1,+∞)C. (−∞,−1)D. (−∞,+∞)二、填空题（本大题共2小题，共10.0分）13.从5名学生中选2名学生参加周六、周日社会实践活动，学生甲被选中而学生乙未被选中的概率是______ ．14.三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB=1，BC=√2，若三棱锥P−ABC的四个顶点在同一个球面上，则这个球的表面积为_____三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）15.已知x，y>0，且x+4y=1，则xy的最大值是(1)，1x +1y的最小值是(2)．四、解答题（本大题共8小题，共87.0分）16.若(x2−12x)n的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数之和是________．17.已知向量a⃗=(cosωx,sinωx)，b⃗ =(cosωx,√3cosωx)，ω>0，函数f(x)=a⃗⋅b⃗ −12，其最小正周期为π．(1)求函数f(x)的表达式及单调递增区间；(2)在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，S为其面积，若f(A2)=1，b=1，S△ABC=√3，求a的值．18.某工厂在两个车间A，B内选取了12个产品，它们的某项指标分布数据的茎叶图如图所示，该项指标不超过19的为合格产品．(1)从选取的产品中在两个车间分别随机抽取2个产品，求两车间都至少抽到一个合格产品的概率；(2)若从车间A，B选取的产品中随机抽取2个产品，用X表示车间B内产品的个数，求X的分布列与数学期望．19.如图，已知三棱柱ABC−A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，BA=BC=√2，D为AB中点，A1A=A1B=A1C=AC．(Ⅰ)证明：A1B⊥AC；(Ⅱ)求直线C1D与平面A1BC所成角的正弦值．20.已知点A是圆C：(x−4)2+y2=36上的动点，点B的坐标是(−2,−4)，线段AB中点的轨迹为M．(1)求轨迹M的方程；(2)斜率为1的直线l交轨迹M于P，Q两点．设点D(1,−2)．①若OP⊥OQ，求直线l的方程；②当△DPQ面积取最大值时，求直线l的方程．21.已知函数f(x)=2ln x−x2+ax(a∈R).若函数g(x)=f(x)−ax+m在[1,e]上有两个零点，e 求实数m的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1：{x=3−t,(t为参数)，曲线C2：x2+(y−1)2=1，以坐标y=3+t原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；(2)若射线l：θ=α(ρ>0)分别交C1，C2于A，B两点，求|OB|的最大值．|OA|23.已知函数f(x)=|x+1|−|x−4|．(1)若f(x)≤−m2+6m恒成立，求实数m的取值范围；(2)在(1)的条件下，设m的最大值为m0，a，b，c均为正实数，当3a+4b+5c=m0时，求a2+b2+c2的最小值．【答案与解析】1.答案：D解析：解：∵z=3i1−2i =3i(1+2i)(1−2i)(1+2i)=−65+35i，∴复数z=3i1−2i 的虚部为35．故选：D．利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.答案：A解析：本题考查集合的交集运算，属于基础题．根据交集的定义即可求解．解：因为集合，，所以，故选A．3.答案：D解析：解：垂直于同一直线的两条直线平行、相交或异面，故A，B不正确；平行于同一平面的两条直线平行、相交或异面，故C不正确；当l⊥α，m//α，根据线面平行的性质知，必有l⊥m，故D正确，故选：D利用线面平行、垂直的判定定理与性质定理判断即可．本题考查线面平行、垂直的判定定理与性质定理的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．4.答案：A解析：解：由题意，可知：对于A ：OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+3(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −15OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，整理上式，可得：16OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −12OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，这与题干中条件相符合，故选：A ．本题可将四个选项中的式子进行转化成与题干中式子相近，再比较，相同的那项即为答案．本题主要考查向量加减、数乘的运算，属基础题．5.答案：C解析：根据程序框图，转化为分段函数进行计算即可．本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件转化为分段函数是解决本题的关键．解：程序对应的函数为y ={e x ,x ≤02−lnx,x >0，若x ≤0，由y =1得e x =1，得x =0，满足条件．若x >0，由y =2−lnx =1，得lnx =1，即x =e ，满足条件．综上x =0或e ，故选：C ．6.答案：C解析：解：函数f(x)=lnx +ax +1x ，在[1,+∞)在为减函数， ∴f′(x)=1x +a −1x 2≤0，在[1,+∞)上恒成立， ∴a ≤1x 2−1x ，设g(x)=1x 2−1x ， ∴g′(x)=x−2x 3，当x ∈[1,2]，g′(x)<0，g(x)为减函数，当x ∈[2,+∞)，g′(x)>0，g(x)为增函数，∴g(x)min =g(2)=14−12=−14， ∴a ≤−14，∴当a ≤−14，函数f(x)=lnx +ax +1x 在[1,+∞)上为减函数，∴“a ≤0”是“函数f(x)=lnx +ax +1x 在[1,+∞)上为减函数”的必要不充分条件，故选：C ．先根据导数和函数单调性的关系求出a 的范围，再结合充分条件，必要条件的定义即可判断．本题考查了导数和函数的单调性的关系和充分必要条件的定义，属于中档题．7.答案：C解析：本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题，是基础题．由表中数据计算x −、y −，把样本中心点代入线性回归方程中，求得m 的值．解：由表中数据，计算x −=14×(0+1+2+3)=1.5， y −=14×(−1+1+m +7)=m+74，把样本中心点(1.5,m+74)代入线性回归方程y ̂=3x −32中，得m+74=3×1.5−32，解得m =5．故选C ．8.答案：B解析：本题考查了等比数列的前n 项和公式，属于基础题．由题意可知，q ≠1，故S 8S 4=1+q 4=3⇒q 4=2，则S16S 8=1+q 8=1+(q 4)2，即可求解．解：由题意可知，q ≠1，故S 8S 4=a 1(1−q 8)1−q a 1(1−q 4)1−q=1+q 4=3⇒q 4=2，则S16S8=1+q8=1+(q4)2=5，∴S16=30，故选B．9.答案：C解析：解：函数f(x)=cosxx−sinx ,x∈[−3π2,0)∪(0,3π2]满足f(−x)=−f(x)，故函数图象关于原点对称，排除A、B，当x∈(0,π2)时，f(x)=cosxx−sinx>0，故排除D，故选：C．分析函数的奇偶性，及x∈(0,π2)时，函数值的符号，利用排除法可得答案．本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的图象，难度中档．10.答案：C解析：本题主要考查点到直线的距离公式的应用，利用条件求出圆心和半径，结合距离公式是解决本题的关键．根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直线的距离公式即可得到结论．解：由x2+y2+2x−4y−4=0得(x+1)2+(y−2)2=9，所以圆C的圆心坐标为C(−1,2)，半径为3，由AC⊥BC，可知△ABC是直角边长为3的等腰直角三角形，故可得圆心C到直线x−y+a=0的距离为3√22，由点到直线的距离公式可得√2=3√22，解得a=0或a=6．故选C．11.答案：A解析：解：双曲线x236−y2b2=1(b>0)的a=6，c=√36+b2，由e=ca =√36+b26=53，解得b=8，c=10．由双曲线的定义可得2a=||PF1|−|PF2||，即有12=|15−|PF2||，解得|PF2|=27或3，若P在左支上，可得|PF1|≥c−a=4，|PF2|≥a+c=16；若P在右支上，可得|PF1|≥c+a=16>15，不成立．综上可得，|PF2|=27．故选：A．求得双曲线的a，c，运用离心率公式可得b=8，c=10，运用双曲线的定义，可得|PF2|=27或3，讨论P在左支和右支上，结合双曲线的图象即可得到所求距离．本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是离心率的运用，考查运算能力，属于基础题和易错题．12.答案：B解析：本题主要考查不等式的求解，利用条件构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键，属于中档题．构造函数F(x)=f(x)−2x−4，根据F(x)的单调性即可求解．解：设F(x)=f(x)−2x−4，则F′(x)=f′(x)−2，因为f′(x)>2恒成立，所以F′(x)=f′(x)−2>0，即函数F(x)在R上单调递增，因为f(−1)=2，所以F(−1)=f(−1)−2(−1)−4=2+2−4=0，所以由F(x)=f(x)−2x−4>0，即F(x)=f(x)−2x−4>F(−1)，所以x>−1，即不等式f(x)>2x+4解集为(−1,+∞)．故选B．13.答案：310解析：解：所有的选法共有C52=10种，而学生甲被选中而学生乙未被选中的选法有C31=3种，，由此可得学生甲被选中而学生乙未被选中的概率为310．故答案为310所有的选法共有C52种，而学生甲被选中而学生乙未被选中的选法有C31种，由此可得学生甲被选中而学生乙未被选中的概率．本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题．14.答案：4π解析：本题主要考查了三棱锥的结构特征，三棱锥外接球表面积的求法，采用等价转化法是解决本题的关键，属于基础题．根据题意，将三棱锥P−ABC外接球转化到长方体外接球中，外接球的直径即为长方体的体对角线长，然后运用球的表面积公式求解即可．解：因为三棱锥P−ABC的顶点都在球O的球面上，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且PA=AB=1，BC=√2，所以三棱锥P−ABC的外接球与长为√2，宽为1，高为1的长方体外接球相同，几何关系如下图：易知长方体的体对角线的长为PC=√12+(√2)2+1=2，所以外接球球的半径R=1，所以球的表面积为S=4π⋅R2=4π⋅12=4π．故答案为4π．15.答案：1169解析：本题考查基本不等式的运用：求最值，注意乘1法的运用和基本不等式等号成立的条件，考查运算能力，属于基础题．根据已知利用基本不等式求出xy 的最大值及1x +1y 的最小值即可．解：因为x ，y >0，且x +4y =1，所以xy =14x ·4y ≤14×(x+4y 2)2=116，当且仅当x =4y =12时，等号成立，所以xy 的最大值为116，1x +1y =(x +4y)(1x +1y) =1+4+x y +4y x ≥5+2√x y ⋅4y x =9，当且仅当x =2y =13时，等号成立，则1x +1y 的最小值为9．故答案为116；9． 16.答案：164解析：本题考查了二项式中求展开式的特定项、求展开式的系数和问题，属于基础题．求出展开式的通项，令r =3求出展开式第4项的二项式系数，由题意：展开式中只有第4项的二项式系数最大求出n ；令二项式中的x =1求出展开式的所有项的系数和．解：展开式的通项为T r+1=(−12)r C nr x 2n−3r ，当r =3时是展开式中第4项的二项式系数为C n 3，且展开式中只有第4项的二项式系数最大，解得n =6．令二项式中的x =1得，展开式中所有项的系数之和为(12)6=164.故答案为：164.17.答案：解：(1)∵a ⃗ =(cosωx,sinωx)，b ⃗ =(cosωx,√3cosωx)，ω>0，∴函数f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ −12=cos 2ωx +√3sinωxcosωx −12=12(1+cos2ωx)+√32sin2ωx −12=sin(2ωx +π6)， ∵T =π，∴ω=1，∴f(x)=sin(2x +π6)，令−π2+2kπ≤2x +π6≤π2+2kπ，k ∈Z ，得到−π3+kπ≤x ≤π6+kπ，k ∈Z ，则f(x)的增区间为[−π3+kπ,π6+kπ](k ∈Z)；(2)由f(A 2)=sin(A +π6)=1，得到A +π6=π2，即A =π3，∵S △ABC =12bcsinA =√3，b =1，∴c =4，由余弦定理得：a 2=b 2+c 2−2bccosA =1+16−4=13，则a =√13．解析：(1)由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，整理即可表示出f(x)解析式，利用正弦函数的单调性确定出f(x)的递增区间即可；(2)由f(A 2)=1以及(1)确定出的解析式，求出A 的度数，利用三角形面积公式列出关系式，把b ，sin A ，以及已知面积代入求出c 的值，再利用余弦定理即可求出a 的值．此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键． 18.答案：解：(1)由茎叶图知，车间A 内合格的产品数为4，车间B 内合格的产品数为2，则所求概率P =(1−C 42C 82)(1−C 22C 42)=5584． (2)由题意知，X 的所有可能取值为0，1，2．则P(X =0)=C 82C 122=1433，P(X =1)=C 41C 81C 122=1633，P(X =2)=C 42C 122=111，所以X 的分布列为：X012P 14331633111所以E(X)=0×1433+1×1633+2×111=23．解析：本题考查茎叶图的应用，离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力．(1)利用茎叶图，求出两个车间的产品数，然后求解概率．(2)求出X的所有可能取值为0，1，2.得到分布列，然后求解期望即可．19.答案：(Ⅰ)证明：如图所示，取AC中点O，连接BO，A1O，∵BA=BC，A1A=A1C，∴BO⊥AC，A1O⊥AC，又∵A1O∩OB=O，∴AC⊥平面A1OB，又∵A1B⊂平面A1OB，∴A1B⊥AC;(Ⅱ)解：∵平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC=AC，A1O⊥AC∴A1O⊥面ABC，又∵OB⊆面ABC，∴A1O⊥OB，建立如图所示空间直角坐标系：O−xyz，∵A 1A =A 1B ，，得OA =OB =OC ，∴AB ⊥BC ，又∵BA =BC =√2，∴AC =2，A 1O =√3，A 1(0,0,√3)，A (0,1,0)，C (0,−1,0)，B (1,0,0)，D (12,12,0)，∴BC →=(−1,−1,0)，CA 1→=(0,1,√3)，CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,√3)⇒C 1(0,−2,√3)⇒C 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,52,−√3)，设平面A 1BC 的法向量n⃗ =(x,y,z)， {n ⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ·CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则{x +y =0y +√3z =0，不妨取z =1，则n ⃗ =(√3,−√3,1) 所以cos ⟨n ⃗ ⋅C 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩=n ⃗⃗ ⋅C 1D⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ |⋅|C 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12×√3+52×(−√3)+(−√3)×1√3+3+1×√14+254+3=−3√798133所以直线C 1D 与平面A 1BC 所成角正弦值为3√798133．解析：本题考查线线垂直的判定，考查空间角的求法，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．(1)利用线面垂直判定定理得出AC ⊥平面A 1OB 即可;(2)建立空间直角坐标系，求出平面A 1BC 的法向量，利用向量法求线面角的余弦值即可．20.答案：解：(1)设点M(x,y)，点A(x 0,y 0)，依题意得{x =x 0−22y =y 0−42，即{x 0=2x +2y 0=2y +4 ∵点A(x 0,y 0)是圆C ：(x −4)2+y 2=36上的动点，∴(x 0−4)2+y 02=36∴(2x +2−4)2+(2y +4)2=36整理可得(x −1)2+(y +2)2=9∴轨迹M 的方程为：(x −1)2+(y +2)2=9；(2)①假设存在直线l ，设y =x +mA(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)∵OP ⊥OQ ，∴x 1⋅x 2+y 1⋅y 2=0由{y =x +m (x −1)2+(y +2)2=9，得2x 2+2(m +1)x +m 2+4m −4=0，由△>0得，−3√2−3<m <3√2−3．x 1+x 2=−m −1，x 1⋅x 2=m 2+4m−42∴y 1⋅y 2=(x 1+m)(x 2+m)=x 1⋅x 2+m(x 1+x 2)+m 2∴x 1⋅x 2+y 1⋅y 2=0即m 2+3m −4=0解得：m =1或m =−4；∴直线l 的方程为y =x +1或y =x −4②设圆心(1,−2)到直线y =x +m 的距离为d∴AB =2√9−d∴△DPQ 面积S =12×2√9−d 2×d =√9d 2−d 4=√814−(d 2−92)2≤92此时d =3√22=√2解得：m =0或m =−6，∴直线l 的方程为y =x 或y =x −6．解析：(1)设点M(x,y)，点A(x 0,y 0)是圆C ：(x −4)2+y 2=36上的动点，根据线段AB 中点的轨迹为M.结合中点坐标可得轨迹方程．(2)①设出直线方程，设而不求的思想，根据OP ⊥OQ ，即可求解．②设圆心(1,−2)到直线y =x +m的距离为d ，即AB =2√9−d 2，那么△DPQ 面积S =12×2√9−d 2×d ，转化为二次函数问题，即可求解．考查了直线与圆锥曲线的位置关系，是中档题． 21.答案：解：g(x)=2ln x −x 2+m ，则g′(x)=2x −2x =−2(x+1)(x−1)x ．因为x ∈[1e ,e]，所以当g′(x)=0时，x =1．当1e ≤x <1时，g′(x)>0；当1<x ≤e 时，g′(x)<0．故g(x)在x =1处取得极大值g(1)=m −1．又g (1e )=m −2−1e 2，g(e)=m +2−e 2，g(e)−g (1e )=4−e 2+1e 2<0，则g(e)<g (1e)，所以g(x)在[1e ,e]上的最小值是g(e)．g(x)在[1e ,e]上有两个零点的充要条件是：{g(1)=m −1>0,g (1e )=m −2−1e 2≤0,解得1<m ≤2+1e ，所以实数m 的取值范围是(1,2+1e 2]．解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查函数的零点问题，是一道综合题．求出函数的导数，得到函数的单调性，求出g(x)的最大值和最小值，得到关于m 的不等式组，解出即可；22.答案：解：(Ⅰ)曲线C 1：{x =3−t y =3+t (t 为参数)，普通方程为x +y =6，极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=6；曲线C 2：x 2+(y −1)2=1，即x 2+y 2−2y =0，∴ρ=2sinθ；(Ⅱ)设A(ρ1,α)，B(ρ2,α)，0<α<3π4，则ρ1=6cosα+sinα，ρ2=2sinα，|OB||OA|=13sinα(cosα+sinα) =16(sin2α+1−cos2α)=16[√2sin(2α−π4)+1]，当α=3π8时，|OB||OA|取得最大值16(√2+1)．解析：本题考查的知识点是直线与圆的极坐标方程，圆的参数方程，三角函数的最值，难度中档． (Ⅰ)由曲线C 1普通方程为x +y =6可得曲线C 1的极坐标方程；先将曲线C 2化为x 2+y 2−2y =0，进而可得曲线C 2的极坐标方程；(Ⅱ)设A(ρ1,α)，B(ρ2,α)，0<α<3π4，则ρ1=6cosα+sinα，ρ2=2sinα，可得|OB||OA|=13sinα(cosα+sinα)，进而得到答案． 23.答案：解：(1)不等式f(x)≤−m 2+6m 恒成立等价于：f(x)max ≤−m 2+6m ，而f(x)=|x +1|−|x −4|≤|x +1−(x −4)|=5，∴−m 2+6m ≥5，∴1≤m ≤5即实数m 的取值范围为[1,5]；(2)在(1)的条件下，m 的最大值为m 0=5，即3a +4b +5c =5由柯西不等式得：(a 2+b 2+c 2)⋅(9+16+25)≥(3a +4b +5c)2，即50(a 2+b 2+c 2)≥25， ∴a 2+b 2+c 2≥12，当且仅当a =310，b =410，c =510时取等号， ∴a 2+b 2+c 2的最小值为12．解析：本题考查绝对值不等式的最值，柯西不等式的应用，属于中档题．(1)求出f(x)=|x +1|−|x −4|的最大值，f(x)max ≤−m 2+6m 即可;(2)由柯西不等式(a2+b2+c2)(32+42+52)≥(3a+4b+5c)2=25．。

2020年云南省曲靖市高考数学一模试卷(理科)(有解析)

2020年云南省曲靖市高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|1≤x≤4}，B={x2≥9}，则A∩(∁R B)=()A. [3,4]B. (−3,4]C. [1,3)D. (−∞,−3]∪[1,+∞)2.复数z=i，复平面内z的对应点的坐标为()A. (0,1)B. (1,0)C. (0,0)D. (1,1)3.已知向量a⃗=(−1,2),b⃗ =(m,−1),c⃗=(3,−2),若(a⃗−b⃗ )⊥c⃗，则m的值是()A. 72B. −53C. −3D. 34.若a=log21.5,b=log20.1 , c=20.2，则()A. c<b<aB. b<c<aC. a<b<cD. b<a<c5.等差数列{a n}中，若a5=6，a3=2，则公差为()A. 2B. 1C. −2D. −16.5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C=Wlog2(1+SN)，它表示：在受高斯白噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SN叫做信噪比．按照香农公式，在不改变W的情况下，将信噪比SN从1999提升至λ，使得C：大约增加了20％，则λ的值约为()(参考数据：1g2≈0.3，103.96≈9120)A. 7596B. 9119C. 11584D. 144697.过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点且斜率为1的直线与C相交于A，B两点，若|AB|=4，则抛物线C的方程为()A. y2=xB. y2=2xC. y2=4xD. y2=8x8.如图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为A1，A2，…，A14.如图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个程序框图.那么程序框图输出的结果是()A. 7B. 8C. 9D. 109.函数f(x)=xlg|x−1||x|的函数图象是()A. B.C. D.10.一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的外接球的表面积为()A. 4π3B. 4πC. 2π3D. 2π11.已知双曲线C1:x24−y2k=1与双曲线C2:x2k−y29=1有相同的离心率，则双曲线C1的渐近线方程为()A. y=±√32x B. y=±√62x C. y=±√34x D. y=±√64x12.已知函数f(x)=e x(sin x−a)有极值，则实数a的取值范围为()A. (−1,1)B. [−1,1]C. [−√2,√2]D. (−√2,√2)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知数列{a n }为等比数列．若a 1=2，且a 1，a 2，a 3−2成等差数列，则{a n }的前n 项和为____．14. (√x +1x )10的展开式中x 2的系数是______．15. 已知函数f(x)={2+x , −2≤x ≤0 ,12f(x −2) , 0<x ≤4.若函数y =f(x)−log 2(a −x)恰有两个零点，则实数a 的取值范围为______．16. 如图，在四面体ABCD 中，AB =CD =2，AC =BD =√3，AD =BC =√5，E,F 分别是AD,BC 的中点若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. “移动支付、高铁、网购、共享单车”被称为中国的“新四大发明”.为了帮助50岁以上的中老年人更快地适应“移动支付”，某机构通过网络组织50岁以上的中老年人学习移动支付相关知识．学习结束后，每人都进行限时答卷，得分都在[50,100]内．在这些答卷(有大量答卷)中，随机抽出200份，统计得分绘出频率分布直方图如图．(1)求出图中a 的值，并求样本中，答卷成绩在[80,90)上的人数；(2)以样本的频率为概率，从参加这次答卷的人群中，随机抽取4名，记成绩在80分以上(含80分)的人数为X ，求X 的分布列和期望．18.已知函数f(x)=cosx(√3sinx−cosx)．(1)求函数f(x)的最小正周期．(2)记△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且f(B)=1，a+c=1，求b的取值范2围．19.如图，四边形ABCD与四边形BDEF均为菱形，∠DAB=∠DBF=60∘，且FA=FC．(1)求证：平面ACF⊥平面ABCD;(2)求二面角A−FC−B的余弦值．20.已知函数f(x)=xlnx．(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(Ⅱ)求证：f(x)≥x −1．21. 椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)的离心率为√32，长轴端点与短轴端点间的距离为√5． (1)求椭圆C 的方程；(2)过点D(0,4)的直线l 与椭圆C 交于E ，F 两点，O 为坐标原点，当∠EOF 为直角时，求直线l 的斜率．22. 在平面直角坐标系xOy 中，C 1:{x =1−t 21+t 2y =(1+t)21+t 2(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2:ρ=2√3cosθ，射线l ：θ=π6(ρ>0).(1)求C 1的极坐标方程；(2)若C 1与y 轴的交点为P(异于原点)，射线l 与C 1，C 2分别交于A ，B 两点，求△PAB 的面积．23.设函数f(x)=|2x−a|．(1)当a=3时，解不等式，f(x)<|x−2|．(2)若f(x)≤1的解集为[0,1]，1m +12n=a(m>0,n>0)，求证：m+2n≥4．【答案与解析】1.答案：C解析：解：B={x|x≤−3，或x≥3}；∴∁R B={x|−3<x<3}；∴A∩(∁R B)=[1,3)．故选：C．可求出集合B，然后进行交集、补集的运算即可．考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集、补集的运算．2.答案：A解析：本题考查了复数的代数表示及其几何意义，是基础题．根据复数的代数表示及其几何意义直接写出即可．解：复数z=i，复平面内z的对应点的坐标为(0,1)，故选A．3.答案：C解析：解：由题意知，a⃗=(−1,2),b⃗ =(m,−1)，∴a⃗−b⃗ =(−1−m,3)，∵(a⃗−b⃗ )⊥c⃗，c⃗=(3,−2)，∴−3(1+m)−6=0，解得m=−3，故选C．根据向量的减法运算，求出a⃗−b⃗ 的坐标，再由向量垂直的等价条件求出m的值．本题考查了向量的坐标运算和向量垂直的坐标等价条件，根据题意代入公式求解即可．4.答案：D解析：解：log20.1<log21.5<log22=1，20.2>20=1；∴b<a<c．故选：D．容易得出log20.1<log21.5<1,20.2>1，从而得出a，b，c的大小关系．考查对数函数、指数函数的单调性，以及增函数的定义．5.答案：A解析：解：∵a5=6，a3=2，则公差=a5−a32=6−22=2．故选：A．利用等差数列的通项公式及其性质即可得出．本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.答案：B解析：解：由题意得：Wlog2(1+λ)−Wlog2(1+1999)Wlog2(1+1999)≈20%，则log2(1+λ)log22000≈1.2，1+λ≈20001.2，∵lg20001.2=1.2lg2000=1.2(lg2+3)≈1.2(0.3+3)=3.96，故20001.2≈103.96≈9120，∴λ≈9119，故选：B．由题意可得λ的方程，再由对数的运算性质求解即可．本题主要考查了函数模型的实际应用，以及对数的运算性质，是基础题．7.答案：B解析：本题考查了抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，考查直线与抛物线相交问题、焦点弦长问题、弦长公式，属于中档题．设直线AB的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系可得x A+x B.再利用弦长公式|AB|= x A+x B+p，得到p，即可求此抛物线的方程．解：抛物线y 2=2px 的焦点F(p 2,0)，∴直线AB 的方程为y =x −p 2，代入y 2=2px 可得4x 2−12px +p 2=0∴x A +x B =3p ，由抛物线的定义可知，|AB|=|AF|+|BF|=x A +x B +p =4p =4∴p =1，∴此抛物线的方程为y 2=2x ．故选：B ． 8.答案：D解析：解析：本题考查了本题考查了循环结构及茎叶图的认识．解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加14次考试成绩超过90分的人数；根据茎叶图的含义可得超过90分的人数为10个，故选D ．9.答案：A解析：解：函数的定义域为{x|x ≠0且x ≠1}，当x =3时，f(3)=3lg23=lg2>0，故排除D ；当x =−3时，f(−3)=−3lg43=−lg4<0，故排除C ；当x =12时，f(12)=12lg 1212=lg 12<0，故排除B ；故选：A ．取特殊值验证即可．本题考查函数图象的确定，考查数形结合思想，属于基础题．10.答案：B解析：解：由题意可知，几何体是三棱锥，底面等腰直角三角形的底边长为2，底面三角形的高为：1，棱锥的一条侧棱垂直底面的三角形的一个顶点，棱锥的高为：1．其外接球的球心是底面斜边的中点，故外接球的半径R=1，∴外接球的表面积S=4πR2=4π，故选：B．通过三视图，判断几何体的形状，利用三视图的数据，求出外接球的表面积，可得答案．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，球的表面积公式，根据已知，求出球的直径(半径)是解答的关键．11.答案：B解析：解：双曲线C1：x24−y2k=1与双曲线C2：x2k−y29=1有相同的离心率，可得√4+k2=√k+9√k，解得k=6，双曲线C1：x24−y26=1的渐近线方程为：y=±√62x．故选：B．求出双曲线的离心率，得到k的方程求出k，然后求解双曲线C1的渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．12.答案：D解析：本题考查了函数单调性的运用求解参数问题，利用了导函数研究原函数的极值，属于中档题．利用导函数研究其单调性即可得答案．解：若函数f(x)=e x(sin x−a)有极值，则有根，因为e x>0，所以有根，因为，所以a∈[−√2,√2]，当a=√2时，f(x)单调递减，没有极值，当a=−√2时，f(x)单调递增，没有极值，所以实数a的取值范围为(−√2,√2)．13.答案：2n+1−2解析：本题考查等比数列求和，涉及等差中项的应用，属于基础题．由题意和等差数列的性质易得数列{a n}的公比q，然后由等比数列的求和公式可得答案．解：因为数列{a n}为等比数列，且a1=2，a1，a2，a3−2成等差数列，所以2a2=a1+a3−2=2+a3−2=a3，所以公比q=a3a2=2，所以{a n}的前n项和为2×(1−2n)1−2=2n+1−2．故答案为2n+1−2．14.答案：45解析：解：∵(√x+1x )10的展开式的通项公式为Tr+1=C10r⋅x10−3r2，令10−3r2=2，求得r=2，故展开式中x2的系数是C102=45，故答案为：45．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得x2的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．15.答案：(1,3]解析：本题考查了函数零点与函数图象的关系，考查函数解析式的求解，属于中档题．求出f(x)的解析式，做出f(x)的函数图象，令y=log2(a−x)与f(x)的图象有两个交点，列出不等式组解出a的范围．解：当0<x ≤2时，−2<x −2≤0，∴f(x)=12f(x −2)=12(2+x −2)=12x ，当2<x ≤4时，0<x −2≤2，∴f(x)=12f(x −2)=14(x −2)，作出y =f(x)的函数图象如图所示：∵函数y =f(x)−log 2(a −x)恰有两个零点，∴y =f(x)与y =log 2(a −x)的函数图象在[−2,4]上有两个交点．又y =log 2(a −x)是减函数，且与x 轴的交点横坐标为a −1，∴{0<log 2a ≤20<a −1≤2或{0<log 2a ≤2log 2(a −2)>12<a −1<4或{log 2a >20<log 2(a −2)≤12<a −1≤4，解得1<a ≤3．故答案为：(1,3]．16.答案：√62解析：本题考查了四面体的特征以及平面得基本性质与应用. 将四面体补成长、宽、高分别为√3,√2,1的长方体，在长方体中可解决问题．：解：补成长、宽、高分别为√3,√2,1的长方体，，∴截面为平行四边形MNKL ，可得KL +KN =√5，设异面直线BC 与AD 所成的角为θ，则，可得，，当且仅当NK =KL 时取等号，故答案为√62． 17.答案：解：(1)依题意，(2a +3a +7a +6a +2a )×10=1⇒a =0.005，故成绩在[80,90)上的频率为60a =0.3，答卷成绩的人数为200×0.3=60人，(2)由样本的频率分布直方图成绩在80分以上的频率为80a =25，由题得X ∼B (4,25)，故P (X =0)=C 40(25)(35)4=81625,P (X =1)=C 41(25)(35)3=216625，P (X =2)=C 42(25)2(35)2=216625, P (X =3)=C 43(25)3(35)=96625,P (X =4)=C 44(25)0(35)4=16625，所以X 的分布列为X 的数学期望为E (X )=4×25=85．解析：本题考查频率分布直方图及离散型随机变量的期望和分布列问题，属于一般题．(1)利用频率分布直方图求a 和人数问题； (2)离散型随机变量求分布列和期望．18.答案：解：(1)∵函数f(x)=cosx(√3sinx −cosx)=√3sinxcosx −cos 2x =√32sin2x −12cos2x −12=sin(2x −π6)−12， ∵ω=2，∴T =π；(2)∵f(B)=12， ∴sin(2B −π6)=1，∵B 为三角形内角，∴2B −π6=π2，即B =π3，由b 2=a 2+c 2−2accosB,a +c =1,cosB =12，得b 2=3(a −12)2+14，又a +c =1，则0<a <1，∴14≤b 2<1，即b ∈[12,1)．解析：(1)根据倍角公式和和差角(辅助角)公式，将函数解析式化为正弦型函数的形式，进而根据ω=2，得到函数f(x)的最小正周期．(2)由f(B)=12，可得B =π3，结合a +c =1及余弦定理，结合二次函数的图象和性质，得到b 的取值范围．本题考查的知识点是正弦型函数的图象与性质，余弦定理，其中利用倍角公式和和差角(辅助角)公式，将函数解析式化为正弦型函数的形式，是解答的关键． 19.答案：(1)证明：AC 与BD 交于点O ，连接FO 、FD ，∵FA =FC ，O 是AC 中点，且O 是BD 中点，∴FO ⊥AC ，∵四边形BDEF 为菱形，∠DBF =60°， ∴FD =FB ，∴FO ⊥BD ，又AC ∩BD =O ，AC ⊂平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴FO ⊥平面ABCD ，∵FO ⊂平面ACF ，∴平面ACF ⊥平面ABCD ．(2)解：易知OA ，OB ，OF 两两垂直，以O 为原点，OA 、OB 、OF 分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AB =2，∵四边形ABCD 为菱形，∠DAB =60°，则BD =2，∴OB =1，OA =OF =√3，故O(0,0，0)，B(0,1，0)，C(−√3,0,0)，F(0,0,√3)，∴CF⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0,√3)，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,0)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)，设平面BFC 的一个法向量为n⃗ =(x,y,z)，则{n ⃗ ⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x +√3z =0n ⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x +y =0，取x =1，得n ⃗ =(1,−√3,−1)，显然，OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)为平面ACF 的一个法向量， ∴cos <OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=−√155，由图知，二面角A −FC −B 的平面角为锐角，∴二面角A −FC −B 的余弦值为√155．解析：(1)AC 与BD 交于点O ，连接FO 、FD ，证明FO ⊥AC ，FO ⊥BD ，推出FO ⊥平面ABCD ，然后证明平面ACF ⊥平面ABCD ．(2)以O 为原点，OA 、OB 、OF 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，求出平面BFC 的一个法向量，平面ACF 的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角A −FC −B 得余弦值即可．本题考查直线与平面垂直，平面与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20.答案：(Ⅰ)解：设切线的斜率为k ，f′(x)=lnx +1，k =f′(1)=ln1+1=1因为f(1)=1⋅ln1=0，切点为(1,0)．切线方程为y −0=1⋅(x −1)，化简得：y =x −1．(Ⅱ)证明：要证：f(x)≥x −1只需证明：g(x)=xlnx −x +1≥0在(0,+∞)恒成立，g′(x)=lnx +1−1=lnx当x ∈(0,1)时f′(x)<0，f(x)在(0,1)上单调递减；当x ∈(1,+∞)时f′(x)>0，f(x)在(1,+∞)上单调递增；当x =1时g(x)min =g(1)=1⋅ln1−1+1=0g(x)=xlnx −x +1≥0在(0,+∞)恒成立所以f(x)≥x −1．解析：(Ⅰ)设切线的斜率为k ，利用导数求解切线斜率，然后求解切线方程．(Ⅱ)要证：f(x)≥x −1，需证明：g(x)=xlnx −x +1≥0在(0,+∞)恒成立，利用函数的导数，通过函数的单调性以及函数的最值，证明即可本题考查切线方程的求法，函数的最值以及函数的单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力．21.答案：解：(1)由已知c a =√32，a 2+b 2=5，又a 2=b 2+c 2，解得a 2=4，b 2=1，所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.(4分)(2)根据题意，过点D(0,4)满足题意的直线斜率存在，设l ：y =kx +4，联立，{x 24+y 2=1 y =kx +4，消去y 得(1+4k 2)x 2+32kx +60=0， △=(32k)2−240(1+4k 2)=64k 2−240，令△>0，解得k 2>154.(6分) 设E ，F 两点的坐标分别为(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，则x 1+x 2=−32k 1+4k 2 , x 1x 2=601+4k 2，(8分)因为∠EOF 为直角，所以OE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即x 1x 2+y 1y 2=0，所以(1+k 2)x 1x 2+4k(x 1+x 2)+16=0，(10分)所以15×(1+k 2)1+4k 2−32k 21+4k 2+4=0，解得k =±√19.(12分)解析：(1)利用椭圆的离心率，以及长轴端点与短轴端点间的距离为√5，求出a ，b ，得到椭圆方程．(2)设l ：y =kx +4，联立，{x 24+y 2=1 y =kx +4，消去y 得(1+4k 2)x 2+32kx +60=0，令△>0，设E ，F 两点的坐标分别为(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，利用韦达定理，转化求解即可．本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力． 22.答案：解：(1)由题意，曲线C 1：{x =1−t 21+t 2y =(1+t)21+t 2(t 为参数)，由x =1−t 21+t 2，可得x =21+t 2−1∈(−1,1]，又由y =(1+t)21+t 2，可得y −1=2t 1+t 2，所以y ∈[0,2]，所以x 2+(y −1)2=(1−t 2)2(1+t 2)2+4t 2(1+t 2)2=1，即x 2+(y −1)2=1，又由x =ρcosθ，y =ρsinθ，可得ρ2cos 2θ+(ρsinθ−1)2=1⇒ρ=2sinθ(除外)， (2)射线l ：θ=π6(ρ>0)，C 1与y 轴的交点为，当θ=π6时，，，又点P到射线l的距离为√3，所以S△PAB=S△OPB−S△OPA=12×√3(ρA−ρB)=√3，即△PAB的面积为√3．解析：本题考查参数方程与普通方程，以及直角坐标方程与极坐标方程的互化，以及极坐标方程的应用，考查分析问题和解答问题的能力，属于中档题．(1)消去参数求得曲线C1的直角坐标方程为x2+(y−1)2=1，x∈(−1,1]，再结合极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解；(2)当θ=π6时，ρA=1，ρB=3，再由S△PAB=S△OPB−S△OPA，即可求解．23.答案：解：(1)当a=3时，不等式变形为|2x−3|<|x−2|，两边平方整理得3x2−8x+5<0，解得1<x<53，所以不等式的解集为{x|1<x<53}(2)证明：由f(x)≤1，得a−12≤x≤a+12，由f(x)≤1的解集为[0,1]，可得a−12=0，a+12=1，解得a=1，则1m +12n=1，所以m+2n=(1m +12n)(m+2n)=2+2nm +m2n≥2+2√2nm⋅m2n=4，当且仅当m=2n=2，取得等号．解析：本题考查绝对值不等式的解法，注意运用两边平方的方法；同时考查不等式的证明，注意运用乘1法和基本不等式，属于中档题．(1)对不等式两边平方、整理，再由二次不等式的解法即可得到；(2)求出f(x)≤1的解集，由题意解得a=1，即1m +12n=1，再运用乘1法和基本不等式即可得证．。

云南省曲靖市第二中学2020届高三数学第一次模拟考试试题文(含解析)

B. 若 m∥l，则 m∥β
C. 若 m⊥β，则 m⊥l
D. 若 m⊥l，则 m⊥β
【答案】D
【解析】【分析】
A 由线面平行的性质定理判断.B 根据两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行
于另一个平面判断.C 根据线面垂直的定义判断.D 根据线面垂直的判定定理判断.
【详解】A 选项是正确命题，由线面平行的性质定理知，可以证出线线平行；
双曲线的离心率 e 等于
5 A. 4
5 B. 3
C. 5
【答案】B
【解析】
依题设，
MF2
F1F2
2c
，
∵ esinMF1F2 1，
sinMF1F2
∴
1 e
2a 2c
，
∴等腰三角形 MF1F2 底边上的高为 2a ， ∴底边 MF1 的长为 4b ，
由双曲线的定义可得 4b 2c 2a ，∴ 2b a c ，
a1
1 q2 1 q
2
①，
S3
a1
1 q3 1 q
6
②
② ①
1 q3 可得 1 q2
1 q q2 1 q
6 2
3 ，解得 q 2 ，
代回①可得 a 1 2 ，
S5
a1
1 q5 1 q
2 1 25 1 2
22
故选 D．
【点睛】本题考查等比数列的求和公式，属基础题．
10.函数
f
x
考点：1.指数函数的单调性；2.对数函数的单调性；3.充分必要条件.
8.已知某班学生的数学成绩 x(单位:分)与物理成绩 y(单位:分)具有线性相关关系，在一次
考试中，从该班随机抽取 5 名学生的成绩，经计算:，设其线性回归方程为: yˆ 0.4x aˆ .若

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