历届高考数学真题汇编专题14_复数_理(2000-2006)

【2006高考试题】一、选择题（共11题）2．（北京卷）在复平面内，复数1ii+对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 解：1i i +111i i i （＋）＝＝－－故选D 3．（福建卷）设a 、b 、c 、d ∈R ，则复数(a +b i)(c +d i)为实数的充要条件是 A.ad －bc =0 B.ac －bd =0 C. ac +bd =0 D.ad +bc =04．（广东卷）若复数z 满足方程220z +=，则3z =A.±-- D. ± 解析：由i z i z z 2220232±=⇒±=⇒=+，故选D.5．（江西卷）已知复数z 3i ）z ＝3i ，则z ＝（ ）A ．322 B. 344－ C. 322i D.344＋解：333124i i z ）＝＝故选D 。

6．（全国卷I ）如果复数2()(1)m i mi ++是实数，则实数m =A ．1B ．1-C ．解析：复数2()(1)m i mi ++=(m 2－m)+(1+m 3)i 是实数，∴ 1+m 3=0，m=－1，选B.8．(陕西卷)复数(1+i)21－i等于( )A.1－iB.1+iC.－1+ iD.－1－i解析: 复数(1+i)21－i =2(1)11i i i i i=+=-+-，选C ．11．（浙江卷）已知=+-=+ni m i n m ni im是虚数单位，则是实数，，，其中11 (A)1+2i (B) 1-2i (C)2+i (D)2- i 【考点分析】本题考查复数的运算及性质，基础题。

解析：()()i n n m ni i m-++=⇒-=+1111，由m 、n 是实数，得⎩⎨⎧=+=-mn n 101 ∴i ni m m n +=+⇒⎩⎨⎧==221，故选择C 。

二、填空题（共4题） 12．（湖北卷）设,x y 为实数，且511213x y i i i+=---，则x y += 。

解：(1)(12)2()()112252525x y x i y i x y x y i i y +++=+=+++--， 而55(13)13131022i i i +==+- 所以123252252x y x y +=+=且，解得x ＝－1，y ＝5，所以x ＋y ＝4。

13．(上海卷)若复数z 同时满足z －-z ＝2i ，-z ＝iz （i 为虚数单位），则z ＝ ．解：已知2211i Z iZ i Z i i⇒-=⇒==--；14．(上海卷)若复数z 满足(2)(1)z m m i =-++（i 为虚数单位），其中m R ∈则____z =。

【2005高考试题】1（广东卷）若(2)a i i b i -=-，其中a 、b R ∈，i 使虚数单位，则22a b +=(D)（Ａ）０（Ｂ）２（Ｃ）52（Ｄ）５ 2.（北京卷）若 12z a i =+, 234z i =-，且12z z 为纯虚数，则实数a 的值为 38 ．3. （福建卷）复数iz -=11的共轭复数是（ B ）A ．i 2121+B ．i 2121-C ．i -1D ．i +14. （湖北卷）=++-i i i 1)21)(1(（ C ）A ．i --2B ．i +-2C ．i -2D ．i +25. （湖南卷）复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋i 4的值是 （B ）A ．－1B ．0C ．1D ．i6. （辽宁卷）复数.111-++-=iiz 在复平面内，z 所对应的点在 （B ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7. (全国卷II) 设a 、b 、c 、d ∈R ，若iia b c d ++为实数，则 ( A) (A) 0bc ad +≠ (B) 0bc ad -≠ (C) 0bc ad -= (D) 0bc ad +=8. (全国卷III) 已知复数=+=++=z z z z z z i z 则复数满足复数,3,23000i 231-. 9. （山东卷）（1）()()221111iii i -++=+- （ D ）（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-10. （天津卷）2．若复数ii a 213++（a ∈R，i 为虚数单位位）是纯虚数，则实数a 的值为（ C ）A ．－2B ．4C ．－6D ．6 11. （浙江卷）在复平面内，复数1i i+＋(1＋3i )2对应的点位于( B ) (A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D)第四象限 12. (重庆卷)=-+2005)11(ii（ A ）A ．iB ．－iC ．20052D ．－2005213. （江西卷）设复数：12121,2(),z i z x i x R z z =+=+∈若为实数，则x =（ A ）A ．－2B ．－1C ．1D ．214.（上海）在复数范围内解方程iii z z z +-=++23)(2(i 为虚数单位)【2004高考试题】 1.（北京）当231<<m 时，复数z m m i =-+-()()321在复平面上对应的点位于（ D ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2．（上海）若复数z 满足2)1(=+i z ，则z 的实部是 1 。

3．（湖北）复数ii 31)31(2++-的值是（ A ）A ．－16B ．16C ．41-D ．i 4341- 4．（湖南）复数4)11(i+的值是 （ D ）A ．i 4B ．－i 4C ．4D ．－4【2003高考试题】※3.（2002京皖春，4）如果θ∈（2π，π），那么复数（1＋i ）（cos θ＋i sin θ）的辐角的主值是（ ）A.θ＋49πB.θ＋4π C.θ4π-D.θ＋47π 4．（2002全国，2）复数（2321+i ）3的值是（ ） A. －iB.iC.－1D.15.（2002上海，13）如图12—1，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合是（ ）※6.（2001全国文，5）已知复数ｚ＝i 62+，则arg z1是（ ）A.6π B.611πC.3π D.35π※9.（2000上海理，13）复数z ＝)5sin5(cos3ππi --（i 是虚数单位）的三角形式是（ ）A.3［cos （5π-）＋i sin （5π-）］ B.3（cos5π＋i sin5π）C.3（cos 54π＋i sin 54π）D.3（cos 56π＋i sin 56π）10.（2000京皖春，1）复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z ＝z 1·z 2在复平面内的对应点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限※12.（1998全国，8）复数－i 的一个立方根是i ，它的另外两个立方根是（ ） A.i 2123±B.i 2123±-C.±i 2123+D.±i 2123-13.（1996全国，4）复数54)31()22(i i -+等于（ ）A.1+3iB.－1+3iC.1－3iD.－1－3i14.（1994上海，16）设复数z =－2321+i （i 为虚数单位），则满足等式z n=z 且大于1的正整数n 中最小的是（ ）A.3B.4C.6D.715.（1994全国，9）如果复数z 满足|z +i |+|z －i |=2，那么|z +i +1|的最小值是（ ） A.1B.2C.2D.5二、填空题16.（2003上海春，6）已知z 为复数，则z +z ＞2的一个充要条件是z 满足 . 17.（2002京皖春，16）对于任意两个复数z 1＝x 1＋y 1i ，z 2＝x 2＋y 2i （x 1、y 1、x 2、y 2为实数），定义运算“⊙”为：z 1⊙z 2＝x 1x 2＋y 1y 2．设非零复数w 1、w 2在复平面内对应的点分别为P 1、P 2，点O 为坐标原点．如果w 1⊙w 2＝0，那么在△P 1OP 2中，∠P 1OP 2的大小为 ．18.（2002上海，1）若z ∈C ，且（3＋z ）i ＝1（i 为虚数单位），则z ＝ ． 19.（2001上海春，2）若复数z 满足方程z i =i －1（i 是虚数单位），则z =_____. 20.（1997上海理，9）已知a =ii 213+--（i 是虚数单位），那么a 4=_____.21.（1995上海，20）复数z 满足（1+2i ）z =4+3i ，那么z =_____. 三、解答题26.（2001上海理，20）对任意一个非零复数z ，定义集合M z ＝｛w |w ＝z 2n－1，n ∈N ｝．（Ⅰ）设α是方程x ＋21=x的一个根，试用列举法表示集合M α； （Ⅱ）设复数ω∈M z ，求证：M ω⊆M z ．27.（2001上海文，20）对任意一个非零复数z ，定义集合M z ＝｛w |w ＝z n，n ∈N ｝．（Ⅰ）设z 是方程x +x1=0的一个根，试用列举法表示集合M z ．若在M z 中任取两个数，求其和为零的概率P ；（Ⅱ）若集合M z 中只有3个元素，试写出满足条件的一个z 值，并说明理由． 28.（2000上海春，18）设复数z 满足|z |＝5，且（3＋4i ）z 在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，|2z －m |＝52（m ∈R ），求z 和m 的值.※30.（1999全国理，20）设复数z ＝3cos θ＋i ·2sin θ.求函数y ＝θ－arg z （0＜θ＜2π）的最大值以及对应的θ值.※31.（1999上海理，19）已知方程x 2＋（4＋i ）x ＋4＋ai ＝0（a ∈R ）有实数根b ，且z =a +bi ，求复数z （1－ci ）（c ＞0）的辐角主值的取值范围.※32.（1999上海文，19）设复数z 满足4z +2z =33+i ，ω=sin θ－i cos θ（θ∈R ）.求z 的值和|z －ω|的取值范围.※33.（1998上海文，18）已知复数z 1满足（z 1－2）i =1+i ，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求复数z 2的模.※34.（1998上海理，18）已知向量OZ 所表示的复数z 满足（z －2）i =1+i ，将OZ 绕原点O 按顺时针方向旋转4π得1OZ ，设1OZ 所表示的复数为z ′，求复数z ′+2i 的辐角主值.※35.（1997全国文，20）已知复数z =2321+i ，w =2222+i ，求复数zw +zw 3的模及辐角主值.38.（1996上海理，22）设z 是虚数，w =z +z1是实数，且－1＜ω＜2. （Ⅰ）求|z |的值及z 的实部的取值范围； （Ⅱ）设u =zz+-11，求证：u 为纯虚数； （Ⅲ）求w －u 2的最小值.39.（1995上海，22）已知复数z 1、z 2满足|z 1|=|z 2|＝1，且z 1+z 2=2321+i .求z 1、z 2的值.※40.（1995全国文，22）设复数z =cos θ+i sin θ，θ∈（π，2π）.求复数z 2+z 的模和辐角.※41.（1995全国理，21）在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z 1，Z 2，Z 3，O （其中O 是原点），已知Z 2对应复数z 2=1+3i ，求Z 1和Z 3对应的复数.※42.（1994全国理，21）已知z =1+i ，（Ⅰ）设w =z 2+3z －4，求w 的三角形式.（Ⅱ）如果122+-++z z bax z =1－i ，求实数a ，b 的值.43.（1994上海，22）设w 为复数，它的辐角主值为43π，且ωω4)(2-为实数，求复数w .●答案解析2.答案：A解析：由已知z =51)21)(21()21)(2(212=-+--=+-i i i i m i i m ［（m －4）－2（m +1）i ］在复平面对应点如果在第一象限，则⎩⎨⎧<+>-0104m m 而此不等式组无解.即在复平面上对应的点不可能位于第一象限.3.答案：B解析：（1＋i ）（cos θ＋i sin θ）＝2（cos4π＋i sin4π）（cos θ＋i sin θ）＝2［cos （θ＋4π）＋i sin （θ＋4π）］∵θ∈（2π，π） ∴θ＋4π∈（43π，45π）∴该复数的辐角主值是θ＋4π．6.答案：D 解法一：35arg 21arg ),3sin 3(cos 22)2321(22ππππ=-=+=+=z z i i z 解法二：)31(2i z +=∴22311iz -=∴z 1,0223,0221<->应在第四象限，tan θ＝3-，θ＝arg z 1．∴argz 1是35π．8.答案：B解析：根据复数乘法的几何意义，所求复数是i i i i i 32)2321)(33()]3sin()3)[cos(33(-=--=-+--ππ．9.答案：C解法一：采用观察排除法.复数)5sin5(cos3ππi z--=对应点在第二象限，而选项A 、B中复数对应点在第一象限，所以可排除.而选项D 不是复数的三角形式，也可排除，所以选C.解法二：把复数)5sin5(cos3ππi z--=直接化为复数的三角形式，即).54sin 54(cos 3)]5sin()5[cos(3)5sin5cos(3ππππππππi i i z +=-+-=+-=12.答案：D解法一：∵－i =cos23π+i sin 23π∴－i 的三个立方根是cos 3223sin 3223ππππk i k +++（k =0，1，2）当k =0时，i i i =+=+2sin 2cos 323sin 323cos ππππ；当k =1时，i i i 212367sin 67cos 3223sin 3223cos--=+=+++ππππππ； 当k =2时，i i i 2123611sin 611cos 3423sin 3423cos -=+=+++ππππππ. 13.答案：B解法一：)4sin4(cos2222ππi i +=+，故（2+2i ）4=26（cos π+i sin π）=－26，1－)3sin3(cos23ππi i -=，故3sin3cos 2)31(55ππi i +=-.于是i i i i i 31)2321(22)35sin 35(cos2)31()22(5654+=--=+-=-+ππ, 所以选B.解法二：原式=i i i i i 23212)2321()2(21)2321(2)1(1622554--=+--=+--+i i i314)31(4314+-=--=+-=∴应选B14.答案：B解析：z =－2321+i 是z 3=1的一个根，记z =ω，ω4=ω，故选B.17.答案：2π解析：设i y x z i y x z OP OP221121,+=+=∵w 1⊙w 2＝0 ∴由定义x 1x 2＋y 1y 2＝0 ∴OP 1⊥OP 2 ∴∠P 1OP 2＝2π．21.答案：2+i 解析：由已知i ii i i i z -=-++=+-+=++=25)83(6441)21)(34(2134，故z =2+i .22.解法一：设z ＝a ＋bi （a ，b ∈R ），则（1＋3i ）z ＝a －3b ＋（3a ＋b ）i ． 由题意，得a ＝3b ≠0． ∵|ω|＝25|2|=+iz， ∴|z |＝10522=+b a ．将a ＝3b 代入，解得a ＝±15，b ＝±15． 故ω＝±ii++2515＝±（7－i ）． 解法二：由题意，设（1＋3i ）z ＝ki ，k ≠0且k ∈R ， 则ω＝)31)((i i k ki++．∵|ω|＝52，∴k ＝±50．故ω＝±（7－i ）． 23.解：∵z ＝1＋i ，∴az ＋2b z ＝（a ＋2b ）＋（a －2b ）i ，（a ＋2z ）2＝（a ＋2）2－4＋4（a ＋2）i ＝（a 2＋4a ）＋4（a ＋2）i ， 因为a ，b 都是实数，所以由az ＋2b z ＝（a ＋2z ）2得⎩⎨⎧+=-+=+).2(42,422a b a a a b a 两式相加，整理得a 2＋6a ＋8＝0， 解得a 1＝－2，a 2＝－4， 对应得b 1＝－1，b 2＝2．所以，所求实数为a ＝－2，b ＝－1或a ＝－4，b ＝2．（Ⅱ）z 7＝1，z ＝cos α＋i sin α∴z 7＝cos7α＋i sin7α＝1，7α＝2k πz ＋z 2＋z 4＝－1－z 3－z 5－z 6＝－1－［cos （2k π－4α）＋i sin （2k π－4α）＋cos （2k π－2α）＋i sin （2k π－ 2α）＋cos （2k π－α）＋i sin （2k π－α）］＝－1－（cos4α－i sin4α＋cos2α－i sin2α＋cos α－i sin α） ∴2（cos α＋cos2α＋cos4α）＝－1， cos α＋cos2α＋cos4α＝－21解法二：z 2·z 5＝1，z 2＝551-=z z同理z 3＝4-z，z ＝6-z∴z ＋z 2＋z 4＝－1－4-z－2-z －z∴z ＋＋2-z＋z ＋4-z ＋z ＝－1∴cos2α＋cos α＋cos4α＝21-解法二：|z |＝1可看成z 为半径为1，圆心为（0，0）的圆.而z 1可看成在坐标系中的点（2，－2）∴|z －z 1|的最大值可以看成点（2，－2）到圆上的点距离最大.由图12—2可知：|z －z 1|max＝22＋126.（Ⅰ）解：∵α是方程x 2－2x ＋1＝0的根∴α1＝22（1＋i ）或α2＝22（1－i ） 当α1＝22（1＋i ）时，∵α12＝i ，α12n －1＝1121)(αααnni =∴)}1(22),1(22),1(22),1(22{}1,,1,{11111i i i i i iM -+---+=--=ααααα当α2＝22（1－i ）时，∵α22＝－i ∴12}1,,1,{2222ααααααM i i M =--=∴M α＝)1(22),1(22),1(22),1(22{i i i i -+---+｝28.解：设z ＝x ＋yi （x 、y ∈R ），∵|z |＝5，∴x 2＋y 2＝25，而（3＋4i ）z ＝（3＋4i ）（x ＋yi ）＝（3x －4y ）＋（4x ＋3y ）i ， 又∵（3＋4i ）z 在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上， ∴3x －4y ＋4x ＋3y ＝0，得y ＝7x ∴x ＝±22，y ＝±227 即z ＝±（22＋227i ）；2z ＝±（1＋7i ）．当2z＝1＋7i时，有|1＋7i－m|＝52，即（1－m）2＋72＝50，得m=0，m=2.当2z＝－（1＋7i）时，同理可得m＝0，m＝－2．解：∵该直线上的任一点P（x，y），其经变换后得到的点Q（x＋3y，3x－y）仍在该直线上，∴3x－y＝k（x＋3y）＋b，即－（3k＋1）y＝（k－3）x＋b，30.解：由0＜θ＜2π得tan θ＞0．由z ＝3cos θ＋i ·2sin θ，得0＜arg z ＜2π及tan （arg z ）＝32cos 3sin 2=θθtan θ故tan y ＝tan （θ－arg z ）＝θθθθθtan 2tan 31tan 321tan 32tan 2+=+-∵θtan 3＋2tan θ≥26 ∴θθtan 2tan 31+≤126 当且仅当θtan 3＝2tan θ（0＜θ＜2π）时，即tan θ＝26时，上式取等号.所以当θ＝arctan26时，函数tan y 取最大值126 由y ＝θ－arg z 得y ∈（2,2ππ-）．由于在（2,2ππ-）内正切函数是递增函数，函数y 也取最大值arctan126． 评述：本题主要考查复数的基本概念、三角公式和不等式等基础知识，考查综合运用所学数学知识解决问题的能力.明考复数实为三角.语言简练、情景新颖，对提高考生的数学素质要求是今后的命题方向.∴复数z （1－ci ）的辐角主值在［0，2π) 范围内，有arg ［z （1－ci ）］＝arctanc c 2222+-＝arctan （c+12－1），∵0＜c ≤1，∴0≤c+12－1＜1， 有0≤arctan（c +12－1）＜4π，∴0≤arg［z （1－ci ）］＜4π．32.解：设z =a +bi （a ，b ∈R ），则z =a －bi ，代入4z +2z =33+i得4（a +bi ）+2（a －bi ）=33+i .∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2123b a .∴z =2123+i . |z －ω|=|2123+i －（sin θ－i cos θ）| =)6sin(22cos sin 32)cos 21()sin 23(2πθθθθθ--=+-=-+- ∵－1≤sin（θ－6π）≤1，∴0≤2－2sin （θ－6π）≤4.∴0≤|z －ω|≤2.评述：本题考查了复数、共轭复数的概念，两复数相等的充要条件、复数的模、复数模的取值范围等基础知识以及综合运用知识的能力.34.解：由（z －2）i =1+i 得z =ii+1+2=3－i ∴z ′=z ［cos （－4π）+i sin （－4π）］=（3－i ）（2222-i ）=2－22i z ′+2i =2－2i =2（2222-i ）=2（cos 47π+i sin 47π） ∴arg（z 1+2i ）=47π评述：本题考查复数乘法的几何意义和复数辐角主值的概念. 35.解法一：zw +zw 3=zw （1+w 2）=（2321+i ）（2222+i ）（1+i ） =22（1+i ）2（2321+i ）=)2123(2)2321(222i i i +-=+⋅ )65sin 65(cos2ππi += 故复数zw +zw 3的模为2，辐角主值为65π. 解法二：w =2222+i =cos 4π+i sin 4πzw +zw 3=z （w +w 3）=z ［（cos4π+i sin 4π）+（cos4π+i sin 4π）3］=z ［（cos4π+i sin 4π）+（cos43π+i sin 43π）］=z （i i 22222222+-+）=)2123(22)2321(i i i +-=⨯+)65sin 65(cos 2ππi += 故复数zw +zw 3的模为2，辐角主值为65π.评述：本题主要考查复数的有关概念及复数的基本运算能力.又因为|OP |=|ωz |=1，|OQ |=|z 2ω3|=|z |2|ω|3=1∴|OP |=|OQ |.由此知△OPQ 为等腰直角三角形. 证法二：∵z =cos （－6π）+i sin （－6π）.∴z 3=－i 又ω=4sin 4cos 2222ππi i +=+. ∴ω4=－1于是i z z z z z z ===2433232||ωωωωωωωω 由此得OP ⊥OQ ，|OP |=|OQ | 故△OPQ 为等腰直角三角形.（2）由z 1=1+mi （m ＞0），z 12=z 2得z 2=（1－m 2）+2mi∴ω=－（1+m 2）+2mi tan θ=－mm m m 12122+-=+ 由m ＞0，知m +m1≥2，于是－1≤tan θ≤0 又 －（m 2+1）＜0，2m ＞0，得43π≤θ＜π 因此所求θ的取值范围为［43π，π）. 38.解：（Ⅰ）设z =a +bi ，a 、b ∈R ，b ≠0 则w =a +bi +i ba bb b a a a bi a )()(12222+-+++=+ 因为w 是实数，b ≠0，所以a 2＋b 2=1， 即|z |=1.于是w =2a ，－1＜w =2a ＜2，－21＜a ＜1， 所以z 的实部的取值范围是（－21，1）. （Ⅱ）i a bb a bi b a bi a bi a z z u 1)1(2111112222+=++---=++--=+-=. 因为a ∈（－21，1），b ≠0，所以u 为纯虚数.39.解：由|z 1＋z 2|=1，得（z 1+z 2）（21z z +）=1，又|z 1|=|z 2|=1，故可得z 12z +1z z 2=－1，所以z 12z 的实部=1z z 2的实部=－21.又|1z z 2|=1，故1z z 2的虚部为±23， 1z z 2=－21±23i ，z 2=z 1)2321(i ±-. 于是z 1+z 1i i 2321)2321(+=±-， 所以z 1=1，z 2=i 2321+-或z 1=i 2321+-，z 2=1.所以⎪⎩⎪⎨⎧+-==i z z 2321121，或⎪⎩⎪⎨⎧=+-=1232121z i z 40.解法一：z 2+z =（cos θ+i sin θ）2+cos θ+i sin θ=cos2θ+i sin2θ+cos θ+i sin θ =2cos23θcos 2θ+i ·2sin 23θcos 2θ=2cos 2θ（cos 23θ+i sin 23θ） =－2cos2θ［cos （π+23θ）+i sin （π+23θ）］ ∵θ∈（π，2π），∴2θ∈（2π，π），∴－2cos 2θ＞0 ∴复数z 2+z 的模为－2cos2θ，辐角为2k π+π+23θ（k ∈Z ）解法二：设Z 1、Ｚ3对应的复数分别是z 1、z 3，根据复数加法和乘法的几何意义，依题意得⎩⎨⎧=-=+213231iz z z z z z ∴z 1＝21z 2（1－i ）＝21（1－3i ）（1－i ）＝213231-++i z 3＝z 2－z 1＝（1＋3i ）－（213231-++i ）＝231231++-i42.解：（Ⅰ）由z =1+i ，有w =（1+i ）2＋3（1－i ）－4=－1－i ，所以w 的三角形式是2（cos ππ45sin 45i +）43.解：因为w 为复数，arg w ＝π43，所以设w =r （cos π43＋i sin π43），则R,])4(4[22)4)(1(22)4)(2222(1]4)23sin 23(cos )[43sin 43(cos 14)(222222∈-++=-+=---=---=-i r r ri r i r i r i r i r i r w w ππππ，从而4－r 2＝0，得r =2.因此w ＝2（cos )43sin43ππi +＝－2＋2i ．。