二阶非线性差分方程的振动性与渐近性质
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＝ ＋ 一 ． 文 总假 设 。 本
（） Ｎ（ｔ） 一 尺关 于 连 续且 单 调 不 减 ， ≠Ｏ时 ， ・ ｒ ｕ ＞０ ｒ Ｎ（ｔ） ｃ厂： ｒ Ｘ尺 。 ｕ ｕ ｔ ） ， ∈ ， ｔ ｒ ． 。 方程 （） １的非 平凡 解 是 指 这样 一 个 实 序列 ｛ ｝它满 足 （ ） 任 给 ｍ∈ Ｎ（ｔ）有 ｓｐ １ ｌ ． 假定 ： １且 ｒ ， ｕ ＞０ 总 。
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还 给 出 了该方 程振 动 的充要 条 件 ． 关键 词 ： 非线性 差 分 方程 ； 动和 非振 动 ； 近性 质 振 渐
大
学
学
报（ 理学版 ）
第 ３ ７卷
关 于 方 程
△（， ｒ ） 凡， ） ＋ ＝０ （） ２
的振动性与渐近性质 ， ｒ ｄｗｃ 和 Ｐｅｄ 给出了（ ） ｒ＝１ｆ 凡 ｕ ＝蹦 ｕ 时存在 Ａ Ｄｏ ｏｉ ｚ ｚ ｏｎａ ２ 当 ＾ ，（ ， ） ） 型非振动解的充 要条件 ； ｅＨ ｏｅ 和 Ｐ ｔａＰｔ ａＳ ａｄ 都研究 了（ ） …Ｈ ， ｏｋｒ ｕ ｌ，ａ ｌ ｚ ｎａ ｕ ｕ，ｍ ２ 及其 特殊情形解 的振动性与渐近性质 ， 给出 了一 些 好 的结 果 ． 圳 但对 于 方程 （） 目前 还 没 有这 方 面 的结 果 ． ［ ２ １， 本文 主要 目的是研究方程 （） 的振动性与渐近性质 ． １解 首先证明 了方程 （ ） １在一 定条件 下非振动解 的渐
考 虑二 阶非线 性 差 分方 程
△（＾ Ａ ） ｒ， ） ０ ｒ Ｎ（ｔ） ｒ ｇ（ ｘ ） ＋ ｔ ＝ ，ｔ ∈ ｒ ， ０ （） １
其 中 Ｎ（ｔ） ｒ ｒ ＝｛ｔ ，ｔ＋２ … ｝ ｒ ∈Ｎ ＝｛，， ｝△ 是差 分算 子 ， 。 。＋ｌ ｒ 。 ， ，。 ｔ ｌ２ … ． 即
方程（） １存在这样 的解 ， 且任 给初始条件 （ｔ ＝口 （ ｏ ） ， ｒ ） ， ｒ ＋１ ＝ｂ 方程 （ ） 。 ｔ １满足初始条 件的解 均可 向右无限 延 展 ． 程 （） 方 １ 的一个 非平 凡 解 称 为非 振 动 的 ， 它 为最 终 为正 或最 终 为负 的 ； 则 称 它 为振 动 的 ． 若 否 方程 （ ） １称 为 振 动 的 ， 它 的每 一 个非 平 凡 解都 是 振 动 的 ． 若
收稿 日期 ：０ １ ３ ３ ２０ —０ —１
基金项 目 ： 国家 自然科学基金 资助项 目（ （７０ ３ １ １ ） １ ４ ０ 作者 简介 ： 郑召文 （ ４ ， ｍ７ 一）博士研究生 ， 主要从 事常微 分方程谱 与振动性理论的研究
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山
东
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第３ ７卷
第 ４期
山 东 大 学 学 报（ 理学 版）
Ｊ ＵＲ Ｌ Ｈ Ｏ ＮＡ ＯＦ Ｓ ＡＮ ＤＯＮ Ｕ ＶＥ Ｓ ＴＹ Ｇ ＮＩ Ｒ Ｉ
２０ ０ ２年 ８月
Ａｕ ｕ ｔ２ ２ ｇ ｓ ＯＯ
Ｖ０ ． ７ Ｎ ． １３ ｏ ４
中 图分 类号 ： ７ Ｏｌ５
文献 标 识码 ： Ａ
Ｏ ｓ ｉ ａ ｏ ｙ ａ ｙ ｐ ｏ ｉ ｅ ｒ ｍｓ ｆ ｒ ｃｌ ｔ ｒ ｎｄ Ａｓ ｍ ｔ ｔｃ Ｔｈ ｏ ｅ ｏ ｌ
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文章编号 ：６ １ ３２￣ｏ ）４一 ２ ３—０ １７ —９ｓ （ ２ ｏ ｏ ８ ６
二 阶非 线 性 差 分 方 程 的 振 动 性 与 渐 近 性 质
郑 召 文
（ 山东大学 数学 与系统科学学院 ， 济南 ２００ ） ５ １０
摘 要 ： 助 于不动 点 定理 ， 究 了非 线性 差 分 方程 借 研 △（ ＾ （ ｒ ｇ
＝ ＋ 一 ． 文 总假 设 。 本
（） Ｎ（ｔ） 一 尺关 于 连 续且 单 调 不 减 ， ≠Ｏ时 ， ・ ｒ ｕ ＞０ ｒ Ｎ（ｔ） ｃ厂： ｒ Ｘ尺 。 ｕ ｕ ｔ ） ， ∈ ， ｔ ｒ ． 。 方程 （） １的非 平凡 解 是 指 这样 一 个 实 序列 ｛ ｝它满 足 （ ） 任 给 ｍ∈ Ｎ（ｔ）有 ｓｐ １ ｌ ． 假定 ： １且 ｒ ， ｕ ＞０ 总 。
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１
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的渐 质与振动 近性 性质． 给出了当 ： － ÷） ∞时 ∑ ： １ ＝ 上述方 ｇ （ 程存在非 振动解的充要条件， 时 同
还 给 出 了该方 程振 动 的充要 条 件 ． 关键 词 ： 非线性 差 分 方程 ； 动和 非振 动 ； 近性 质 振 渐
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第 ３ ７卷
关 于 方 程
△（， ｒ ） 凡， ） ＋ ＝０ （） ２
的振动性与渐近性质 ， ｒ ｄｗｃ 和 Ｐｅｄ 给出了（ ） ｒ＝１ｆ 凡 ｕ ＝蹦 ｕ 时存在 Ａ Ｄｏ ｏｉ ｚ ｚ ｏｎａ ２ 当 ＾ ，（ ， ） ） 型非振动解的充 要条件 ； ｅＨ ｏｅ 和 Ｐ ｔａＰｔ ａＳ ａｄ 都研究 了（ ） …Ｈ ， ｏｋｒ ｕ ｌ，ａ ｌ ｚ ｎａ ｕ ｕ，ｍ ２ 及其 特殊情形解 的振动性与渐近性质 ， 给出 了一 些 好 的结 果 ． 圳 但对 于 方程 （） 目前 还 没 有这 方 面 的结 果 ． ［ ２ １， 本文 主要 目的是研究方程 （） 的振动性与渐近性质 ． １解 首先证明 了方程 （ ） １在一 定条件 下非振动解 的渐
考 虑二 阶非线 性 差 分方 程
△（＾ Ａ ） ｒ， ） ０ ｒ Ｎ（ｔ） ｒ ｇ（ ｘ ） ＋ ｔ ＝ ，ｔ ∈ ｒ ， ０ （） １
其 中 Ｎ（ｔ） ｒ ｒ ＝｛ｔ ，ｔ＋２ … ｝ ｒ ∈Ｎ ＝｛，， ｝△ 是差 分算 子 ， 。 。＋ｌ ｒ 。 ， ，。 ｔ ｌ２ … ． 即
方程（） １存在这样 的解 ， 且任 给初始条件 （ｔ ＝口 （ ｏ ） ， ｒ ） ， ｒ ＋１ ＝ｂ 方程 （ ） 。 ｔ １满足初始条 件的解 均可 向右无限 延 展 ． 程 （） 方 １ 的一个 非平 凡 解 称 为非 振 动 的 ， 它 为最 终 为正 或最 终 为负 的 ； 则 称 它 为振 动 的 ． 若 否 方程 （ ） １称 为 振 动 的 ， 它 的每 一 个非 平 凡 解都 是 振 动 的 ． 若
收稿 日期 ：０ １ ３ ３ ２０ —０ —１
基金项 目 ： 国家 自然科学基金 资助项 目（ （７０ ３ １ １ ） １ ４ ０ 作者 简介 ： 郑召文 （ ４ ， ｍ７ 一）博士研究生 ， 主要从 事常微 分方程谱 与振动性理论的研究
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２０ ０ ２年 ８月
Ａｕ ｕ ｔ２ ２ ｇ ｓ ＯＯ
Ｖ０ ． ７ Ｎ ． １３ ｏ ４
中 图分 类号 ： ７ Ｏｌ５
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文章编号 ：６ １ ３２￣ｏ ）４一 ２ ３—０ １７ —９ｓ （ ２ ｏ ｏ ８ ６
二 阶非 线 性 差 分 方 程 的 振 动 性 与 渐 近 性 质
郑 召 文
（ 山东大学 数学 与系统科学学院 ， 济南 ２００ ） ５ １０
摘 要 ： 助 于不动 点 定理 ， 究 了非 线性 差 分 方程 借 研 △（ ＾ （ ｒ ｇ