高中数列求和方法大全

1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。 （1）等差数列的求和公式：d n n na a a n S n n 2

)

1(2)(11-+=+=

（2）等比数列的求和公式⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)

1(1)1()1(11q q

q a q na S n

n （切记：公比含字母时一定要讨论）

3．错位相减法：比如{}{}.,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++ 4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。 常见拆项公式：

111)1(1+-=+n n n n ；

1111()(2)22

n n n n =-++ )1

21

121(21)12)(12(1+--=+-n n n n !)!1(!n n n n -+=⋅

5．分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。 6．合并求和法：如求22222212979899100-++-+- 的和。 7．倒序相加法：

8．其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法等 （二）主要方法：

1．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式； 2．求和过程中注意分类讨论思想的运用； 3．转化思想的运用； （三）例题分析：

例1．求和：①

个

n n S 111111111++++= ②22222)1

()1()1(n n n x

x x x x x S ++++++

= ③求数列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，…前n 项和n S 思路分析：通过分组，直接用公式求和。 解：①)110(9

110101011112

-=++++==k

k

k k a

个

]

)101010[(9

1

)]110()110()110[(9122n S n n n -+++=-++-+-= 81

10910]9)110(10[911--=--=+n n n n ②)21()21()21(224422+++++++++

=n

n

n x x x x x x S

n x x x x x x n

n 2)111(

)(242242++++++++= （1）当1±≠x 时，n x x x x n x x x x x x S n n n n n n 2)

1()

1)(1(21)1(1)1(2

2222222222+-+-=+--+--=+--- （2）当n S x n 4,1=±=时 ③

k

k k k k k k k k k a k 2

3

252)]23()12[()]1()12[()12(2)12(2-=-+-=

-+-+++++-=

2

)

1(236)12)(1(25)21(23)21(2522221+-++⋅=+++-+++=

+++=n n n n n n n a a a S n n

)25)(1(6

1

-+=

n n n 总结：运用等比数列前n 项和公式时，要注意公比11≠=q q 或讨论。 2．错位相减法求和

例2．已知数列)0()12(,,5,3,11

2

≠--a a

n a a n ，求前n 项和。

思路分析：已知数列各项是等差数列1，3，5，…2n-1与等比数列1

2

,,,,-n a a a a 对应项

积，可用错位相减法求和。 解

：

()1)12(5311

2--++++=n n a n a a S

()2)12(5332n

n a n a a a aS -++++=

()()n n n

a n a a a a S a )12(22221)1(:21132--+++++=---

当

n

n n n a a a S a a )12()

1()1(21)1(,12

1----+=-≠-时 2

1

)

1()12()12(1a a n a n a S n n n --++-+=+ 当2

,1n S a n ==时

3.裂项相消法求和

例3.求和)

12)(12()2(5343122

22+-+

+⋅+⋅=n n n S n 思路分析:分式求和可用裂项相消法求和.

解

:

)1

21

121(211)12)(12(11)12)(12(11)2()12)(12()2(22+--+=+-+=+-+-=+-=k k k k k k k k k k a k

1

2)1(2)1211(21)]121121()5131()311[(2121++=

+-+=+--++-+-+=+++=n n n n n n n n a a a S n n 练习:求n n a n a a a S ++++= 32321 答案: ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧≠----=+=)1()1()1()1()1(2)

1(2a a a a n a a a n n S n n n

4.倒序相加法求和

例4求证：n

n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=+++++ 思路分析：由m

n n m n C C -=可用倒序相加法求和。

证：令)1()12(53210n

n

n n n n C n C C C S +++++=

则)2(35)12()12(0

121n

n n n n n n n C C C C n C n S ++++-++=- m

n n m n C C -=

n

n n n n n C n C n C n C n S )22()22()22()22(2:)2()1(210++++++++=+∴ 有 n n n n n n n n C C C C n S 2)1(])[1(210⋅+=+++++=∴ 等式成立

5．其它求和方法

还可用归纳猜想法，奇偶法等方法求和。

例5．已知数列{}n n

n n S n a a 求],)1([2,---=。

思路分析：n

n n a )1(22---=，通过分组，对n 分奇偶讨论求和。

解：n

n n a )1(22-+-=，若∑=-+++++-===m

k k

m n m S S m n 21

2)

1(2

)2321(2,2 则

)1(2)12()2321(2+-=+-=++++-=n n m m m S n

若

)

12(22)12(])1(2[22)12(,1222212-++-=--++-=-==-=-m m m m m m a S S S m n m m m m n 则

22)1()1(224222---=-+++-=-+-=n n n n m m

⎩⎨⎧---+-=∴)

(2)()

1(2

为正奇数为正偶数n n n n n n S n 预备：已知n n

n a a a a x a x a x a x f ,,,,)(321221且+++=成等差数列，n 为正偶数，