昆明理工大学高数(下)复习小结

高数（下）小结一、微分方程复习要点解微分方程时，先要判断一下方程是属于什么类型，然后按所属类型的相应解法求出其通解.一阶微分方程的解法小结：方程编号类型一般形式解法备注1型可分离变量方程)()(yxyϕφ⋅='或)()(=+dyyNdxxM分离变量法有些方程作代换后可化为1型2型齐次方程)(xyyφ='或)(yxxϕ='令化或yxuxyu==为1型求解有时方程写成)(yxxφ='令uyx=化为1型求解3型线性方程)()(xQyxPy=+'或)()(yQxyPx=+'1．常数变易法2．凑导数法：同乘P d xe⎰有时方程不是关于yy',线性方程，而是关于xx',线性方程4型贝努里方程αyxQyxPy)()(=+'或αxyQxyPx)()(=+'令zy=-α1或zx=-α1化为3型求解有时方程不是关于yy',的贝努里方程，而是关于xx',贝努里方程5型全微分方程),(),(=+dyyxQdxyxP其中yPxQ∂∂=∂∂(,)u x y c=(,)u x y为原函数有时乘以一个积分因子可化为5型二阶微分方程的解法小结：类型特征求解方法备注()()xfy n=缺,x y'n次积分求解见上册()'"y,xfy=缺y令'"',y p y p==，降为一降价后是关于p，x的一阶方齐次方程"'0y py qy ++=的通解y 为：判别式两特征根情况 通 解240p q ->相异实根1r ，2r xr xr ec ec y 2121+= 042=-q p二重实根0r ()xr e x c c y 021+=240p q -<共轭复根βαi r ,±=21()x c x c ey xββαsin cos 21+=非齐次方程()y py qy f x '''++=的特解*y 的形式为：()x f 的形式特征根情况*y 的形式()rxm P x er 不是特征根()rxm x eQr 是k 重特征根()xm x x e αkQ 12r k r k =⎛⎫ ⎪=⎝⎭是单根是二重根 ()()cos sin xl n eP x x P x x αββ⎡+⎤⎣⎦i αβ±不是特征根()()()()12cos sin xm meQ x x Q x x αββ⎡⎤+⎣⎦阶方程程()'"y,y f y=缺x令()y p y '=，dydp py''=降为一阶方程降价后是关于p ,y 的一阶方程()p y f dydp p,=()y py qy f x '''++=,p q 常系数通解yy y *+=yy *及见下表i αβ±是特征根()()()()12co s sin xm mxeQ x x Q x x αββ⎡⎤+⎣⎦主要:一阶1、可分离变量方程、线性微分方程的求解； 2、二阶常系数齐次线性微分方程的求解； 3、二阶常系数非齐次线性微分方程的特解二、多元函数微分学复习要点一、偏导数的求法 1、显函数的偏导数的求法 在求xz ∂∂时，应将y 看作常量，对x 求导，在求z y∂∂时，应将x 看作常量，对y 求导，所运用的是一元函数的求导法则与求导公式.2、复合函数的偏导数的求法设()v ,u f z =，()y ,x u ϕ=，()y ,x v ψ=，则xv vz xu uz xz ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂，yv vz yu uz yz ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂几种特殊情况：1）()v ,u f z =，()x u ϕ=，()x v ψ=，则dxdv vz xu dudz dxdz ⋅∂∂+∂∂⋅=2）(),z f x v =，()y ,x v ψ=，则x v vf xf xz ∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂，yv uf yz ∂∂⋅∂∂=∂∂3）()u f z =，()y ,x u ϕ=则xu dudz xz ∂∂⋅=∂∂，yu dudzyz ∂∂⋅=∂∂3、隐函数求偏导数的求法 1）一个方程的情况设()y ,x z z =是由方程()0=z ,y ,x F 唯一确定的隐函数，则()0≠-=∂∂zzx F F F xz ，()0≠-=∂∂zzy F F F yz或者视()y ,x z z =，由方程()0=z ,y ,x F 两边同时对()x y 或求导解出()z z xy∂∂∂∂或.2）方程组的情况由方程组()()⎩⎨⎧==00v ,u ,y ,x G v ,u ,y ,x F 两边同时对()x y 或求导解出()z z xy∂∂∂∂或即可.二、全微分的求法 方法1：利用公式dz zu dy yu dx xu du ∂∂+∂∂+∂∂=方法2：直接两边同时求微分，解出du 即可.其中要注意应用微分形式的不变性：zz d u d vu v d z z z d x d yx y∂∂⎧+⎪∂∂⎪=⎨∂∂⎪+∂∂⎪⎩三、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法1）设空间曲线Г的参数方程为 ()()()⎪⎩⎪⎨⎧===t z t y t x ωψϕ，则当0t t =时，在曲线上对应点()0000z ,y ,x P 处的切线方向向量为()()(){}000t ,t ,t T '''ωψϕ= ，切线方程为()()()000000t z z t y y t x x '''ωψϕ-=-=-法平面方程为 ()()()()()()0000000=-+-+-z z t y y t x x t '''ωψϕ2）若曲面∑的方程为()0=z ,y ,x F ，则在点()0000z ,y ,x P 处的法向量{}P zy xF ,F ,Fn =，切平面方程为()()()()()()0000000000000=-+-+-z z z ,y ,x F y y z ,y ,x F x x z ,y ,x F z y x 法线方程为()()()000000000000z ,y ,x F z z z ,y ,x F y y z ,y ,x F x x z y x -=-=-若曲面∑的方程为()y ,x f z =，则在点()0000z ,y ,x P 处的法向量()(){}10000-=,y ,x f ,y ,x f n y x，切平面方程为()()()()()00000000=---+-z z y y y ,x f x x y ,x f y x 法线方程为()()10000000--=-=-z z y ,x f y y y ,x f x x y x四、多元函数极值（最值）的求法 1 无条件极值的求法设函数()y ,x f z =在点()000y ,x P 的某邻域内具有二阶连续偏导数，由(),0xf x y=，(),0yf x y =，解出驻点()00,x y ，记()0y ,x f A xx=，()00y ,x f B xy=，()00y ,x f C yy =.1）若20A C B ->，则()y ,x f 在点()00,x y 处取得极值，且当0A <时有极大值，当0A >时有极小值.2） 若20A C B -<，则()y ,x f 在点()00,x y 处无极值. 3） 若02=-BAC ，不能判定()y ,xf在点()00,x y 处是否取得极值.2 条件极值的求法函数()y ,x f z =在满足条件()0=y ,x ϕ下极值的方法如下：1）化为无条件极值：若能从条件()0=y ,x ϕ解出y 代入()y ,x f 中，则使函数(,)z z x y =成为一元函数无条件的极值问题.2）拉格朗日乘数法作辅助函数()()()y x y x f y x F ,,,λϕ+=，其中λ为参数，解方程组()()()()()()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=0,0,,,0,,,y x y x y x f y x F y x y x f y x F yy y x x xϕλϕλϕ令令 求出驻点坐标()y ,x ，则驻点()y ,x 可能是条件极值点.3 最大值与最小值的求法若多元函数在闭区域上连续，求出函数在区域内部的驻点，计算出在这些点处的函数值，并与区域的边界上的最大（最小）值比较，最大（最小）者，就是最大（最小）值. 主要:1、偏导数的求法与全微分的求法；2、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法3、最大值与最小值的求法三、多元函数积分学复习要点七种积分的概念、计算方法及应用如下表所示：积分类型 积分记号 定义及几何意义 积分区域 积 分 元 素 被积函数一重积分⎰badxx f )(ii ni x f ∆⋅∑=→)(lim 10ξλ曲边梯形面积区间[,]a bd x =x ∆ 一元函数二重积分⎰⎰Dd y x f σ),(ii i ni f σηξλ∆⋅∑=→),(lim 10 曲顶柱体体积平面区域D⎩⎨⎧=θσrdrd dxdy d二元函数三重积分⎰⎰⎰Ωdvz y x f ),,(ii i i ni v f ∆⋅∑=→),(lim ,10ζηξλ空间区域Ω2sin d xd yd z d v rd rd d z r d rd d θϕθϕ⎧⎪=⎨⎪⎩三元函数第一类曲线积分⎰⎰LLdsz y x f dsy x f ),,(),(ii i ni s f ∆⋅∑=→),(lim 10ηξλ平面或空间曲线Lds=22)()(dy dx +=222122()()x y d t d x y r r d θθθ⎧''+⎪⎪'+⎨⎪⎪'+⎩二元或三元函数第二类曲线积分⎰⎰LLdxz y x f dxy x f ),,(),(ii i ni x f ∆⋅∑=→),(lim 10ηξλ平面或空间曲线Lcos dx ds α=二元或三元函数第一类 曲面积分⎰⎰∑dsz y x f ),,(ii i ni s f ∆⋅∑=→),,(lim 10ζηξλ空间曲面∑221co s x yz z d xd yd s d xd yγ⎧++⎪=⎨⎪⎩三元函数第二类曲面积分⎰⎰∑dxdyz y x f ),,(ii i i ni x f ∆⋅∑=→),,(lim 10ζηξλ空间曲面∑ γcos ⋅=ds dxdy 三元函数*定积分的几何应用计 算 方 法 应 用 转动慣量X I 重心x 其它（面积.体积.功等） 见 上 册表后*所示1）⎰⎰)()(21x x bafdydx ϕϕ or⎰⎰)()(21y y dcfdy dx ϕϕ2)⎰⎰)()(21)sin ,cos (θθβαθθθr r rdr r r f dx I ⎰⎰=Dd y σρ2x ⎰⎰⎰⎰=DDd d x σρσρ1体积⎰⎰-=xyD d z z V σ)(122）曲面面积 A=⎰⎰++xyD y xdxdyz z 2211)⎰⎰⎰),(),(21y x z y x z D fdzd XYσ2)⎰⎰⎰ZD c cfdxdydz 23) 柱面坐标法 4）球面坐标法x I =⎰⎰⎰Ω+dvz yρ)(22x ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=dvdvx ρρ体积V=⎰⎰⎰Ωdv1）22((),())f t t x y d t βαφϕ''+⎰2)dxy x y x f ba'+⎰21))(,(3）22(()co s ,()sin )()()f r r r r d βαθθθθθθθ'+⎰4）化为第二类曲线积分x I =⎰⋅Ldsyρ2x=⎰⎰LLdsdsx ρρ曲线所围面积 A=⎰-Lydxxdy21⎰'βαφϕφdtt t t f )())(),(()1 2）dxx y x f ba))(,(⎰3）⎰-βαθθθθθθd r r r f )sin()sin )(,cos )((4）⎰Ldsy x f αcos ),( 5）green 公式计算法6）折线计算法（积分与路径无关时）；7）连续变形原理计算法； 8）N L -公式计算法1） 功 W=⎰+LQdyPdx求二元函数的“原函数”⎰⎰++XYD y xdxdyz z y x z y x f 221)),(,,(x I =⎰⎰∑⋅+dsz yρ)(22x=⎰⎰⎰⎰∑∑dsdsx ρρ面积S=⎰⎰∑ds1）直接代入法⎰⎰±xyD dxdyy x z y x f )),(,,(2）Gaus 公式计算法 ； 3）投影转移法co s ((,),,))co s yzD f x y z y z d yd z αγ⎰⎰定积分应用的常用公式： (1)面积()()[]⎰-=dxx g x f S b a（X -型区域的面积）()()[]θθθβαd r r S ⎰-=212221（θ-型区域的面积）(2)体积()⎰=dx x A V b a（横截面面积已知的立体体积）()2b xx aV fx d x π=⎰（(),,,0yf x x a x b y ====所围图形绕x 轴旋转所得的立体体积）()x y 2b aV x fx d x π=⋅⎰（(),,,0yf x x a x b y ====所围图形绕y 轴旋转的立体体积）()2()b yc aV fx c d x π==-⎰（(),,,y f x x a x b y c ====所围图形绕轴y c=旋转的立体体积）(3)弧长 ()()()'2'2'22'21b a b a t ty dx S x y dt r r d βαθ⎧+⎪⎪=+⎨⎪⎪+⎩⎰⎰⎰直角坐标形式参数方程形式极坐标形式 计算时注意：（1）正确选择恰当的公式；（2）正确的给出积分上下限；（3）注意对称性使问题简化；（4）注意选择恰当的积分变量以使问题简化．计算多元函数的积分时要注意利用对称性简化积分的计算： 1）、对二、三重及第一类的线面积分，若积分区域关于变量x 对称，则当被积函数关于x 为奇函数时，该积分为0，当被积函数关于变量x 为偶函数时，则该积分为相应一半区域积分的二倍.2）、对第二类的线面积分，关于积分变量的对称性理论与上相同，关于非积分变量 的对称性理论与上相反. 3）、若积分区域,x y 的地位平等（即将表示区域的方程,x y 互换不变），则将被积函 数中,x y 互换积分不变.此称之为轮换对称性.主要1、交换二次积分的积分次序；2、化三重积分为球面坐标或柱面坐标下的三次积分；3、green 公式计算法；4、Gaus 公式计算法；5、两曲面所围体积与旋转体的体积计算． 6.平面图形面积的计算。