高二数学期中复习圆锥曲线

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高二圆锥曲线基本知识点

高二圆锥曲线基本知识点圆锥曲线是高中数学中的一个重要内容，主要包括椭圆、双曲线和抛物线。

它们有着广泛的应用和深刻的数学内涵。

本文将介绍高二学生需要掌握的圆锥曲线基本知识点。

一、椭圆椭圆是平面上一个固定点F（焦点）与平面上的一条固定距离之和等于常数2a的动点M（动点到焦点的距离之和等于2a）所构成的图形。

其数学表达式如下：（x - h）² / a² + （y - k）² / b² = 1其中（h，k）为椭圆的中心坐标，a与b分别为椭圆的长半轴和短半轴。

椭圆的性质有很多，比如对称性、离心率、焦点与准线等等。

在解决实际问题中，我们可以利用椭圆的性质进行分析和计算。

二、双曲线双曲线是平面上一个固定点F（焦点）与平面上的一条距离之差的绝对值等于常数2a的动点M（动点到焦点的距离之差的绝对值等于2a）所构成的图形。

其数学表达式如下：（x - h）² / a² - （y - k）² / b² = 1其中（h，k）为双曲线的中心坐标，a与b分别为双曲线的半轴长度。

双曲线同样具有很多性质，比如渐近线、离心率、焦点与准线等。

对于双曲线上的点，我们可以通过运用这些性质来求解和描述。

三、抛物线抛物线是一种二次曲线，其形状像一个开口朝上或朝下的U字形。

其数学表达式如下：y = ax² + bx + c其中a，b，c为常数，a不等于0。

抛物线也有很多重要的性质，比如焦点、准线、对称性等。

抛物线在物理学、工程学等领域有广泛的应用，如抛物线轨道、抛物线反射。

四、曲线的参数方程以上所述的椭圆、双曲线和抛物线都可以用参数方程表示，参数方程以参数t作为自变量，通过给定参数t的取值范围，可以得到曲线上的点的坐标。

以椭圆为例，其参数方程为：x = a cos(t)y = b sin(t)对于双曲线和抛物线，其参数方程的表达式类似，通过参数方程，我们可以更加灵活地描述曲线上的点和曲线的性质。

高二圆锥曲线复习

圆锥曲线复习一．轨迹方程1.到直线0,0x y x y -=+=与2的距离相等的点的轨迹方程为 .2.已知点(2,0),(2,0),M N -以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程为 .3.已知等腰三角形ABC 的顶点A （4,2），底角顶点B （-3,5），则点C 的轨迹方程为 .4.已知△ABC 的面积为10，点A(-1，0)、点B （2,4），动点C 的轨迹方程为 .5.(1)动点M 与距离为4的两个定点A,B 满足5MA MB ∙=,建立适当的坐标系，求动点M的轨迹方程。

（2）已知定点M （4，3），动点P 在曲线22159x y +=上运动，求线段MP 的中点N 的轨迹方程。

二．椭圆1.动点P 到两个定点1F （- 4，0）.2F （4，0）的距离之和为8，则P 点的轨迹为（） A.椭圆 B.线段12F F C.直线12F F D.不能确定2.已知椭圆22159x y +=上一点P 到椭圆的一焦点的距离为3，则P 到另一焦点的距离是 .3.如果22212x y a a +=+表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围为（） A.(2,)-+∞ B.()()2,12,--⋃+∞ C.(,1)(2,)-∞-⋃+∞ D.任意实数R4．离心率为32，长轴长为6的椭圆的标准方程是 . 5.方程22221x y ka kb +=（a ＞b ＞0,k ＞0且k ≠1)与方程22221x y a b+=（a ＞b ＞0)表示的椭圆（） A.有相同的离心率；B.有共同的焦点；C.有等长的短轴.长轴； D.有相同的顶点. 6．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 .7.已知椭圆C 与椭圆：221169x y +=具有的焦点且经过点P （4，-2），则曲线C 的方程为。

8. 已知椭圆C 与椭圆：221169x y +=具有的离心率且经过点P （4，-2），则椭圆C 的标准的方程为。

圆锥曲线全复习

圆锥曲线复习（对高中生而言，再做一次就是一切）一.弦长1.已知抛物线y 2=2px(p>0)，过焦点的弦AB 倾斜角为θ，求证：|AB|=2p sin 2θ，并求|AF|，|BF|。

2.已知圆M ：（x+1）2+y 2=1,圆N ：（x-1）2+y 2=9,动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C 。

（1）求C 的方程；（2）l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|3. 已知点A （0，-2），椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>，F 是椭圆的焦点，直线AF O 为坐标原点.（Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当O P Q ∆的面积最大时，求l 的方程.4. 设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E.（Ⅰ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（Ⅱ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.二：中点弦1.已知椭圆x 24+y 29=1，一组平行直线的斜率是32，求这组直线与椭圆相交时，弦中点的轨迹方程。

2.已知直线l:x-y-2=0,抛物线C:y 2=2px(p>0).(1)若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线的方程；（2）已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P ，Q ，求证：线段PQ 的中点为(2-p,-p)并求p 的取值范围。

三：对称1.已知椭圆: x 24＋y 23＝1,试确定m 的取值范围,使得椭圆上的两个不同的点关于直线y=4x+m 对称2.已知椭圆E 经过点A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F 1,F 2在x 轴上，离心率e=12。

高二文科圆锥曲线专题复习(含答案)

圆锥曲线文科专题复习知识回顾：一、圆锥曲线的两个定义：1、椭圆：第一定义：椭圆中，与两个定点F，F的距离的和等于常数，且此常数一定要大于，（当常数等于时，轨迹是线段FF；当常数小于时，无轨迹）第二定义：与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（0<e<1）2、双曲线：第一定义：双曲线中，与两定点F，F的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于|F-F|，（定义中的“绝对值”与＜|F-F|不可忽视。

若＝|FF|，则轨迹是以F，F为端点的两条射线；若﹥|FF|，则轨迹不存在；若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

）第二定义：与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（e>1）3、抛物线：与定点和直线的距离相等的点的轨迹.二、圆锥曲线的标准方程（1）椭圆：焦点在轴上时（）（为参数），焦点在轴上时＝1（）（2）双曲线：焦点在轴上： =1，焦点在轴上：＝1（）。

（3）抛物线：开口向右时，开口向左时，开口向上时，开口向下时。

三：圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：（1）椭圆：由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。

如已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是__（答：）（2）双曲线：由,项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。

【特别提醒】在椭圆中，最大，，在双曲线中，最大，。

四、圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆（以（）为例）：①范围：；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），四个顶点，其中长轴长为2，短轴长为2；④准线：两条准线；⑤离心率：，椭圆，（越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁。

）（2）双曲线（以（）为例）：①范围：或；②焦点：两个焦点；对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），两个顶点，其中实轴长为2，虚轴长为2，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为；④准线：两条准线；⑤两条渐近线：⑥离心率：，双曲线，（越小，开口越小，越大，开口越大；）（3）抛物线（以为例）-----的几何意义是：焦点到准线的距离：①范围：；②焦点：一个焦点，③对称性：一条对称轴，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线；⑤离心率：，抛物线。

(完整版)圆锥曲线知识点归纳总结

完整版)圆锥曲线知识点归纳总结1.圆锥曲线的定义和构造圆锥曲线是在平面上由一个固定点（焦点）和一个固定直线（准线）决定的点集。

三种经典的圆锥曲线分别为椭圆、抛物线和双曲线。

构造圆锥曲线需要确定焦点和准线的位置以及确定参数值。

2.椭圆的特性椭圆是圆锥曲线中最常见的一种形式，由两个焦点和一个大于等于焦距的参数决定。

椭圆的离心率小于1，且离心率等于焦点到准线的距离除以准线长度。

椭圆的焦缩比为焦点到椭圆上某一点的距离与该点到准线的距离的比值。

重要公式：椭圆的标准方程为(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1；焦缩比为e = c/a，其中c^2 = a^2 – b^2.3.抛物线的特性抛物线是圆锥曲线中的一种形式，由一个焦点和一个参数决定。

抛物线的离心率为1，焦缩比为1.抛物线的轴是准线，顶点是焦点和准线的交点。

重要公式：抛物线的标准方程为(x^2/4a) = y。

4.双曲线的特性双曲线是圆锥曲线中的一种形式，由两个焦点和一个焦距决定。

双曲线的离心率大于1，离心率等于焦点到准线的距离除以准线长度。

双曲线的焦缩比为c^2 = a^2 + b^2.重要公式：双曲线的标准方程为(x^2/a^2) – (y^2/b^2) = 1.5.圆锥曲线的应用圆锥曲线在数学和物理学中都有广泛的应用。

椭圆的应用包括轨道运动、天体力学以及密码学等领域。

抛物线的应用包括抛物面反射器、人工卫星的轨道设计等。

双曲线的应用包括电磁波的传播、双曲线钟的标定等。

6.圆锥曲线的性质圆锥曲线有许多共同的性质，如对称性、切线性质和焦点性质等。

对称性：椭圆和双曲线关于x轴和y轴都有对称性，抛物线关于y轴有对称性。

切线性质：圆锥曲线上任意一点的切线与焦点到该点的连线垂直。

焦点性质：圆锥曲线上的任意一点到焦点的距离与焦缩比成正比。

此文档总结了圆锥曲线的定义、特性、应用和性质等重要知识点，并提供了相关公式和图示。

熟悉了这些知识后，我们可以更加深入地理解和应用圆锥曲线的概念。

高二圆锥曲线知识点

高二圆锥曲线知识点圆锥曲线是数学中的重要概念，广泛应用在几何、物理和工程学中。

在高二阶段，学生需要掌握圆锥曲线的基本知识点，包括椭圆、双曲线和抛物线。

椭圆是一种圆锥曲线，它具有两个焦点和一个长轴。

椭圆的定义是所有到两个焦点距离之和等于常数的点的集合。

椭圆可以看作是一个拉伸的圆，其长轴与短轴之比称为离心率，离心率小于1。

在学习椭圆时，我们需要掌握椭圆的标准方程、焦点、顶点、长轴、短轴，以及椭圆的性质。

双曲线也是一种圆锥曲线，它具有两个焦点和两个分离的极限位置。

双曲线的定义是所有到两个焦点距离之差等于常数的点的集合。

双曲线可以看作是一个拉伸的开口向左右两个方向的椭圆，其离心率大于1。

学习双曲线时，我们需要了解双曲线的标准方程、焦点、顶点、渐近线、分支、离心率，以及双曲线的性质。

抛物线是一种特殊的圆锥曲线，它具有一个焦点和一个直线。

抛物线的定义是所有到焦点和直线距离相等的点的集合。

抛物线可以看作是一个拉伸的开口向上或向下的U形曲线。

在学习抛物线时，我们需要了解抛物线的标准方程、焦点、顶点、焦半径、准线，以及抛物线的性质。

在学习圆锥曲线时，我们还需要掌握一些基本的图像特征、方程的转化与图像的转变，以及曲线与直线的位置关系。

圆锥曲线的应用非常广泛，例如在天文学中描述行星的轨道、在物理学中描述物体的抛射运动、在工程学中描述天线的方向性等等。

高二阶段的圆锥曲线知识点包括椭圆、双曲线和抛物线的定义、方程、焦点、顶点、长轴、短轴、渐近线、准线、离心率以及性质等。

掌握这些知识点将帮助我们更好地理解和应用圆锥曲线。

浙江省2024-2025学年高二上学期期中专题复习圆锥曲线解答题部分(含解析)

浙江省高二上学期期中专题复习圆锥曲线部分本资料以2023年浙江省各大市区期中考试题目汇编而成，旨在为学生期中复习理清方向！1．（23-24高二上·浙江金华·期中）已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且经过点M，(1)求双曲线C 的标准方程(2)已知直线与曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆上，求实数m 的值.2．（23-24高二上·浙江绍兴·期中）已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆的左、右顶点，、分别为椭圆的左、右焦点，．(1)求椭圆的方程；(2)设与轴不垂直的直线交椭圆于、两点（、在轴的两侧），记直线，，，的斜率分别为，，，．（i ）求的值；（ii ）若，求面积的取值范围．3．（23-24高二上·浙江宁波·期中）已知双曲线的左右顶点分别为点，其中，且双曲线过点．(1)求双曲线的方程；(2)设过点的直线分别交的左、右支于两点，过点作垂直于轴的直线，交线段于点，点满足．证明：直线过定点，并求出该定点．4．（23-24高二上·浙江·期中）已知双曲线C 的渐近线方程是，点在双曲线C上.(1)求双曲线C 的离心率e 的值；(2)若动直线l ：与双曲线C 交于A ，B 两点，问直线MA ，MB 的斜率之和是否为定22221(00)y x a b a b -=>>，22142x y -=0x y m -+=2220x y +=2222:1(0)x y C a b a b+=>>121A 2A C 1F 2F C 112A F =C x l C P Q P Q x 1A P 2A P 2A Q 1AQ 1k 2k 3k 4k 12k k ()142353k k k k +=+2F PQ △()2222Γ:10,0x y a b a b -=>>,A B 2AB =()2,3C Γ()1,1P Γ,D E E x l BC F G EF FG =DG y =()2,3M 1y kx =+值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.5．（23-24高二上·浙江·期中）已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点为，且长轴长是倍．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设过焦点F 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，是椭圆的另一个焦点，若内切圆的半径l 的方程．6．（23-24高二上·浙江·期中）已知椭圆的离心率，且椭圆经过点.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点且斜率不为零的直线与椭圆交于两点，关于轴的对称点为，求证：直线与轴交于定点.7．（23-24高二上·浙江·期中）已知椭圆，、为椭圆的左右焦点，、为椭圆的左、右顶点，直线与椭圆交于、两点.(1)若，求；(2)设直线和直线的斜率分别为、，且直线与线段交于点，求的取值范围.8．（23-24高二上·浙江·期中）已知椭圆，且过点，点分别是椭圆的左､右顶点.(1)求椭圆的方程；(2)过点的直线与椭圆交于两点（在之间），直线交于点，()10F ,1F 1ABF V r =2222:1(0)x y C a b a b +=>>e =C⎛⎝C ()2,0P C ,BD B x A AD x Q 221:4T x y +=1F 2F C D1:2l y x m =+T A B 12m =-AB AD BC 1k 2k l 12F F M 12k k ()2222:10x y C a b a b +=>>12D ⎫⎪⎭,A B C C ()4,0E l C ,P Q P ,E Q ,AP BQ M记的面积分别为，求的取值范围.9．（23-24高二上·浙江温州·期中）如图，已知椭圆的焦点为，，离心率的上、下顶点分别为，右顶点为，直线过点且垂直于轴，点在椭圆上（且在第一象限），直线与交于点，直线与轴交于点.(1)求椭圆的标准方程；(2)判定（为坐标原点）与的面积之和是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.10．（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）已知双曲线过点，它的渐近线方程是．(1)求双曲线的标准方程；(2)若直线交于两点，直线的倾斜角互补，求直线的斜率．11．（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）已知点，，平面内一动点满足直线与的斜率乘积为．(1)求动点的轨迹的方程；(2)直线交轨迹于两点，若直线的斜率是直线的斜率的倍，求坐标原点到直线的距离的取值范围．12．（23-24高二上·浙江衢州·期中）若双曲线E ：y ＝kx －1与双曲线E 的右支交于A ，B 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若C 是双曲线上一点，且，求k ，m 的值．13．（23-24高二上·浙江宁波·期中）已知，分别是椭圆E:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，且焦距为MN 平行于x 轴，且．(1)求椭圆E 的方程；,ABM PQM V V 12,S S 12S S C ()11,0F -()21,0F C ,A B D l D x Q C AQ l N BQ x M C AOM V O ADN △(A 20x y ±=l C ,P Q ,AP AQ l (2,0)A -(2,0)B M AM BM 14-M C l C ,P Q AP BQ 4O l 2221(0)x y a a -=>AB =()OC m OA OB =+1F 2F 114F M F N +=(2)设A ，B 为椭圆E 的左右顶点，P 为直线上的一动点（点P 不在x 轴上），连AP 交椭圆于C 点，连PB 并延长交椭圆于D 点，试问是否存在，使得成立，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．14．（23-24高二上·浙江·期中）平面上的动点到定点的距离等于点P 到直线的距离，记动点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)直线与曲线C 相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M .是否存在这样的直线l ，使得，若存在，求实数m 的值，若不存在，请说明理由.15．（23-24高二上·浙江·期中）已知双曲线，斜率为k 的直线l 过点M .(1)若，且直线l 与双曲线C 只有一个交点，求k 的值；(2)已知点，直线l 与双曲线C 有两个不同的交点A ，B ，直线的斜率分别为，若为定值，求实数m 的值.16．（23-24高二上·浙江·期中）已知椭圆的离心率为，左焦点F与原点O 的距离为1，正方形PQMN 的边PQ ，MN 与x 轴平行，边PN ，QM 与y 轴平行，，过F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中垂线为l .已知直线AB 的斜率为k ，且.(1)若直线l 过点P ，求k 的值;(2)若直线l 与正方形PQMN 的交点在边PN ，QM 上，l 在正方形PQMN 内的线段长度为s ，求的取值范围.17．（23-24高二上·浙江·期中）已知是椭圆C ：的一个焦点，:4l x =λACD BCD S S λ=V V λ(,)P x y (0,1)F 1y =-:l y x m =+MF AB ⊥()22:1,,24x C y M m -=0m =(2,0)T ,TA TB 12,k k 12k k +(2222:10)x y C a b a b+=>>122112,,,7777P M ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0k >sABF 2222+1(0)x y a b a b=>>点在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线与椭圆C 分别相交于A ，B 两点，且(O 为坐标原点)，求直线l的斜率的取值范围参考答案：12M l 12OA OB k k +=-1．(1)(2)【详解】（1）设双曲线的方程为,代入,得,解得,所以双曲线的方程为．（2）由,得,设,,,,则中点坐标为,,由韦达定理可得,所以,所以中点坐标为,因为点在圆上，所以,解得．2．(1)(2)（i ）；（ii ）【详解】（1）由于椭圆的离心率为，故，又，所以，，，2212x y -=2m =±C 22142x y -=M 2242λ-=12λ=-2212x y -=2212y x m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩222204x mx m +-+=1(A x 1)y 2(B x 2)y AB 12(2x x +122y y +124x x m +=-1212()22y y x x m m +=++=-AB (2,)m m --(2,)m m --2220x y +=()()22220m m -+-=2m =±2211612x y +=34-⎛ ⎝2222:1(0)x y C a b a b+=>>1212c a =112A F a c =-=4a =2c =22212b a c =-=所以椭圆的方程为.（2）（i ）设与轴交点为，由于直线交椭圆Ｃ于、两点（、在轴的两侧），故直线的的斜率不为，直线的方程为，联立，则，则，设，，则，，又，，故，同理．（ii ）因为，则，．又直线交与轴不垂直可得，所以，即．所以，，于是，，整理得，解得或，因为、在轴的两侧，所以，，又时，直线与椭圆有两个不同交点，因此，直线恒过点，C 2211612x y +=l x D l P Q P Q x l 0l x my t =+2211612x my tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩222(34)63480t y mty m +++-=2248(1216)0t m ∆=-+>11(,)P x y 22(,)Q x y 122634mt y y t -+=+212234834m y y t -=+1(4,0)A -2(4,0)A 122211111222111134444163PA PA y y y y k k k k x x x y ==⋅===-+---123434QA QA k k k k ==-()142353k k k k +=+2323335()443k k k k --=+23232335()43k k k k k k +-⋅=+l x 230k k +≠23920k k =-22920PA QA k k =-121294420y y x x ⋅=---1212209(4)(4)0y y ty m ty m ++-+-=221212(920)9(4))(9(4)0t y y t m y y m +++-+-=222226(920)9(4)9(4)03483434m t t m mtt t m -+⋅+-+--+⋅=+2340m m --=1m =-4m =P Q x 2122348034m y y t -=<+44m -<<1m =-l C 1m =-l (1,0)D -此时，，，，由直线交与轴不垂直可得，故，因为在上为减函数，所以面积的取值范围为.3．(1)(2)证明见解析，【详解】（1）由，则，又，则，所以，故双曲线的方程为：.（2）如图，由，则方程为，显然直线DE 的斜率存在，设直线方程为：，则，则，由，则，122634ty y t +=+1224534y y t -=+221212F PQS F D y y =⋅-=V λ=l x λ>2272721313F PQλλλλ===++△S 7213y λλ=+)+∞2F PQ △2213y x -=(1,0)B ||22AB a ==1a =22491a b -=229413b a =-=23b =Γ2213y x -=),,(10)(23,B C BC 33y x =-DE ()()()1122,1,1,,y k x D x y E x y =-+233F y x =-()2233,F x x -EF FG =()222,66G x x y --则，，联立，则，则所以，故，故过定点.4．(1)2(2)是，3【详解】（1）由双曲线C 的渐近线方程是，故设C ：，因为在双曲线C 上，所以，所以：，所以，，所以；（2）设，，联立得，则得且，，，又，，所以()11111111111BD k x y k k x x x -+===+---()()()222222261611116111BG x y x k x k k x x x ------===-----()()()()222221132113033y k x k x k k x k x y ⎧=-+⇒------=⎨-=⎩()()2121222211,333k k k x x x x kk----+=⋅=--()()()()2122121212222122113621111321133k k x x k k x x x x x x k k k k k --+--+===----++-----+--(6)620BD BG k k k k k -=--+-=BD BG k k =DG (1,0)B y =223x y λ-=()2,3M 1293λ=-=C 2213y x -=1a =b =2c ==2ce a==()11,A x y ()22,B x y 22331x y y kx ⎧-=⎨=+⎩()223240k x kx ---=248120k ∆=->24k <23k ≠12223kx x k +=-12243x x k -=-111113132222222MA y kx k k k k k x x x -+--+-===+---222223132222222MB y kx k k k k k x x x -+--+-===+---()121122222MA MB k k k k x x ⎛⎫+=+-+ ⎪--⎝⎭.即直线MA ，MB 的斜率之和是3.5．(1)(2)【详解】（1）由题可得，焦点在x 轴上，，，解得，，所以椭圆：.（2）设，，设直线的方程为，的根为，，，，且，又∵，，，所以直线的方程为：.()()()212121222244322122142424233kx x k k k k k k x x x x k k -+--=+-=+--+-++---()()()()()()()22222232124262212121341244221k k k k k k k k k k k k k k k k k k +--++-=+-=--=--=-+--+-+-2212x y +=1x y =±+1c =22ab=a =)221b ∴=+21b =22a =C 2212x y +=()11,,A x y ()22,B x y l 1x ty =+()22222222101x y t y ty x ty ⎧+=⇒++-=⎨=+⎩1y 2y 12222ty y t +=-+12212y y t -=+2880t ∆=+>12121122ABFS c y y y y =⋅⋅-=-==△11144223ABF S a r =⋅⋅=⨯=△413t =⇒=±l 1x y =±+6．(1)(2)证明见解析【详解】（1）由离心率可得将点代入椭圆方程可得，又；解得，所以椭圆C 的方程为（2）设点，，则，直线的方程为，直线与椭圆联立，消去，得，则可得，，易知，得由题意，直线的方程为，令，所以点的横坐标，所以直线与轴交于定点7．(2)【详解】（1）解：设、，当时，直线的方程为，联立直线与椭圆方程，可得，2212x y +=c e a ==⎛ ⎝221121ab+=222a b c =+2221a b ⎧=⎨=⎩2212x y +=()11,B x y ()22,D x y ()11,A x y -PB 2x my =+PB 22:12x C y +=x 222420m y my +++=（）12242my y m -+=+12222y y m =+28160m ∆=->22m >AD 212221()y y y x x y x x +=-+-0y =Q 1221121212221Q x y x y my y x y y y y +==+=++AD x ()1,0Q 7⎡-+⎣()11,A x y ()22,B x y 12m =-l 1122y x =-l 22112244y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩22230x x --=，由韦达定理可得，，（2）解：联立直线与椭圆方程，消去，得，则，解得，设、，由韦达定理可得，，因为，易知，直线交线段于点，则，所以，.8．(1)(2)【详解】（1）由题意可知离心率为将点代入椭圆方程可得，又，解得；4423280∆=+⨯⨯=>121x x=+2132x x=-==l221214y x mxy⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩y222220x mx m++-= ()222481840m m m∆=--=->m<<()11,A x y()22,B x y122x x m+=-21222x x m=-()()()()11212211211222112122121122222211222222yx m x x x mx x my xk xyk y x x x mx x mx m xx⎛⎫+++++⎪+-⎝⎭====-⎛⎫+--+-⎪+⎝⎭()()22222222111111122111221111m m xm mx m x m m xmm mx x m m m m x m m x-+--+--+++-===⋅-+++--+++-+111211111m m xm mm m x m+----=⋅=-+-++l12F F()2,0M m-2≤-≤m m 12112217111k m mk m m m-+-⎡=-=-=-+∈-+⎣+++2214xy+=()0,1cea==12D⎫⎪⎭223114a b+=222a b c=+2224,1,3a b c===所以椭圆方程为（2）易知，设直线的方程为，，且，联立直线和椭圆方程，整理可得，，可得，且可得直线的方程为，直线的方程为，解得点到直线的距离为所以的面积为的面积为；所以，又可得，即可得的取值范围是.2214x y +=()()2,0,2,0A B -l 4x my =+()()1122,,,P x y Q x y 12x x <22144x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()2248120m y my +++=()()22841240m m ∆=-⨯+>212m >121222812,44m y y y y m m +=-=++PA ()()11112226y yy x x x my =+=+++QB ()2222y y x my =-+12121221212262,33my y y y y y M y y y y ⎛⎫++ ⎪--⎝⎭PQ ===M PQ d PQM V 1122S PQ d =⋅=ABM V 121221212231432S y y y y B y A y y y =⋅-=-212221216144S m m m S -===-++212m >()21610,14m -∈+12S S ()0,19．(1)(2)【详解】（1）设椭圆方程为，焦距为，则，所以，所以椭圆的标准方程为.（2）由题意得，，直线：设点，，则x202+y 20=1①，直线：，令，，直线：，令，则，所以，由①得，所以10．(1)(2)【详解】（1）若双曲线焦点在轴上，设方程为，2212x y +=C 22221x y a b +=2c 1c =c a =a =2221b a c =-=C 2212x y +=()0,1A ()0,1B -l x =()00,Q x y 00x <<001y <<AQ 0011y y x x --=x =1y =1BQ 0011y y x x ++=0y =001x x y =+001x OM y =+001111212AOM ADNx S S y ⎤+=⋅⋅+⋅⎥+⎥⎦V V ()2200002221x y x y +-=+2200220x y +-=AOM ADN S S +=V V 2214x y -=x 22221x y a b-=则有，解得，所以双曲线方程为；若双曲线焦点在轴上，设方程为，则有，无解；综上双曲线方程为.（2）易知，直线的斜率一定存在，设方程为，联立，消去可得，，，可得，由韦达定理可得，，，，因为直线的倾斜角互补，所以,，即，整理得，，解得，时，直线为过定点，不满足题意，所以2281112a b b a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2241a b ⎧=⎨=⎩2214x y -=y 22221y x ab-=2218112a b a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2214x y -=l 1122,(,),(,)y kx m P x y Q x y =+2244x y y kx m⎧-=⎨=+⎩y 222(14)8440k x kmx m ----=22222140Δ6416(14)(1)0k k m k m ⎧-≠⎨=+-+>⎩221,142k m k ≠±+>2121222844,1414km m x x x x k k ++==---121222()214my y k x x m k +=++=-()()122112211212282()14kx y x y x kx m x kx m kx x m x x k -+=+++=++=-,AP AQ 0AP AQ k k +=0==()(()(122111y x y x --+--12211212())x y x y x x y y =+-+-++0==1)0m ++-=k =1m =-1m =-y kx m =+1y kx -=-(A k =11．(1)(2)【详解】（1）设，则且化简得.（2）如图，设，若，则关于轴对称，有，不合题意故，同理可知，故由化简整理可得所以，且由可知，故即于是解得，满足坐标原点到直线的距离.12．（1）．（2）【详解】(1)由得故双曲线E 的方程为x2－y 2＝1.2214x y +=(0)y ≠6(0,)5(),Mx y 1224AM BMy y k k x x =⨯=-+-2x ≠±()22:1,04x C y y +=≠()()1122,,,P x y Q x y :l x ty n=+0PQ k =,P Q y AP BQ k k =-0PQ k ≠0t ≠20t >2244x y x ty n⎧+=⎨=+⎩()2224240t y tny n +++-=()()()22222244441640t n t n n t ∆=-+-=-+>12221222444tn y y t n y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩P C ∈14AP BP k k =-144APBQ BP k k k =-=116BP BQ k k =-()()()()()()()()()(212121222222121212124222222422BP BQy y y y y y n k k x x ty n ty n t y y n t y y n t n t n n n -====--+-+-+-++----+-65n =-0∆>l 60,5d ⎛⎫==⎪⎝⎭(14k m ==±221ca a c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩2212a c ⎧=⎨=⎩设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由得 (1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.①因为直线与双曲线右支交于A ,B 两点,所以.即,即,即k 的取值范围是．(2)由①得,.整理得,所以或,又,所以,所以x 1＋x 2＝y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2＝8.设C(x 3,y 3),由得(x 3,y 3)＝m(x 1＋x 2,y 1＋y 2)＝,因为点C 是双曲线上一点,所以80m 2－64m2＝1,得,故.13．(1)(2)存在，3【详解】（1）因为焦距为，所以，由椭圆的对称性得．又因为，所以．则，．所以椭圆E 的方程为.（2）设，又A (−2,0)，则，故直线AP 的方程为：，代入方程并整理得：．2211y kx x y =-⎧⎨-=⎩1212000x x x x +>⎧⎪⋅>⎨⎪∆>⎩()()22144120k k k >⎧⎪⎨∆=--⋅->⎪⎩1k <<(12122222,11k x x x x k k +==--==422855250k k -+=257k =254k =1k <<k =()OC m OA OB =+(),8m 14m =±14k m ==±2214x y +=12F M F N =114F M F N +=214F N F N +=24a =2a =2214x y +=()()004,0P y y ≠06AP y k =()026y y x =+2214x y +=()222200944360y xy x y +++-=由韦达定理：即，∴同理可解得：，，∴故直线CD 的方程为，即，化简可得：，直线CD 恒过定点．∴，因为，，所以14．(1)；(2)不存在，理由见解析.【详解】（1）由题意，动点P 的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，故，所以曲线C 的方程为.（2）设，联立，得，且，则，故，所以，所以，又，即，不满足，所以不存在满足要求的直线l .2020429A C Cy x x x y +=-+=-+20201829C y x y -=+02069C y y y =+2020221D y x y -=+02021Dy y y -=+02023C D CD C D y y y k x x y -==--()CD C C y k x x y =-+200022200021826399y y y y x y y y ⎛⎫-=-+ ⎪-++⎝⎭()()2003210y y y x -+-+=()1,0E 11sin sin 2211sin sin 22ACD AEC AEDBCD BCE BEDAE CE AEC AE DE AEDS S S S S S EB CE BEC BE DE BED ⋅∠+⋅∠+==+⋅∠+⋅∠V V V V V V sin sin AEC AED ∠=∠sin sin BEC BED ∠=∠ACDBCD S S =V V sin 33sin 1CD AE AEC AE CD EB BEC EB λ⋅⋅∠====⋅⋅∠24x y =(0,1)F 1y =-2p =24x y =112200(,),(,),(,)A x y B x y M x y 24x y y x m⎧=⎨=+⎩2440x x m --=16160m ∆=+>1m >-12124,4x x x x m +==-1242y y m +=+(2,2)M m +MF AB ⊥11132m m +⨯=-⇒=-1m >-15．(1)或(2).【详解】（1）由题设，设直线，联立双曲线，得，所以，当，即时，直线与双曲线只有一个交点，当，交点为；当，交点为；当，此时，则当，切点为；当；综上，或（2）由题设直线，联立双曲线方程，得，则，故，所以①，设，则，，由12k =±k =2m =()02,M :2l y kx =+224(2)4x kx -+=22(14)16200k x kx ---=2140k -=12k =±12k =53(,24-12k =-53(,)242140k -≠2225680(14)0k k ∆=+-=k =k =1()2-k =1)2-12k =±k =:()22l y k x m kx mk =-+=+-22424()x kx mk +--=222241)8(2)4(45)0(k x k mk x m k mk -+-+-+=222264(2)164)[(2)]0(11k mk k mk -+⨯--+⨯=>∆22(2)41mk k ->-1122()A x y B x y ,,(,)1228(2)41k mk k x x -+=-212224(45)41x mk x m k k -+-=121221211212121212121212(2)(2)2()222()42()4x k y y y x y x x y x y y y x x x x x x x x x k -+-+-+=+==---++++-+又，，为定值，所以，此时为定值.16．(1)(2)【详解】（1）设椭圆C的半焦距为，由题意可得：，解得，所以椭圆.因为，则直线，，联立方程，消去y得，则，可得，则，，即线段AB的中点为，112y kx mk=+-222y kx mk=+-12k k+121212122(22)()482()4kx x mk k x x mkx x x x+--++-=-++222222222(22)48244(45)8(2)41414(45)8(2)4141m k mk k mmk mk k mkkk km k k k mkk k-+---⋅+--⋅+-=-+----⋅+22(84)8(41616)(3216)16m km m k m k-+=-++-+24161602m m m-+=⇒=1212k k+=1k=17⎛⎝c>222112cceaa b c=⎧⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎩12cab⎧=⎪=⎨⎪=⎩22:143x yC+=()1,0F-():1AB y k x=+()()1122,,,A x yB x y()221143y k xx y⎧=+⎪⎨+=⎪⎩()22224384120k x k x k+++-=()()()()22222844341214410∆=-+-=+>k k k k221212228412,4343k kx x x xk k-+=-=++21224243+=-+x x kk()()1212122113122243+++++⎛⎫==+=⎪+⎝⎭k x b k xy y x x kkk22243,4343⎛⎫- ⎪++⎝⎭k kk k所以直线，即，若直线l 过点，则，整理得，对于，则，即无解，由，解得.（2）由（1）可知：直线，令，可得，即直线l 与PN 的交点坐标为，令，可得，即直线l 与QM 的交点坐标为，由题意可得：，解得，，，，可得，令，则，可得，因为在内单调递增，且，可得，则，可得，，可得.222314:4343⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭k k l y x k k k 22043++=+k x ky k 21,77⎛⎫- ⎪⎝⎭P 22207743-++=+k k k ()()214360-++=k k k 24360++=k k 9446900∆=-⨯⨯=-<24360++=k k ()()214360-++=k k k 1k =22:043++=+k l x ky k 27x =-22743=-+k y k k 222,7743⎛⎫-- ⎪+⎝⎭k k k 17x =21743=--+k y k k 211,7743⎛⎫-- ⎪+⎝⎭k k k 222217743721177437k k k k k k ⎧-≤-≤⎪⎪+⎨⎪-≤--≤⎪+⎩1k ≥()2212143+=+k k =s 128=()()()2222222243891611k k k k k k ++==+++28917t k =+≥298-=t k ()2228964999110188k t t t k k t t +==--⎛⎫++-+ ⎪⎝⎭910=+-y t t [)17,+∞17128|17==t y 91281017+-≥t t ()2228964170,92110k k k t t +⎛⎤=∈ ⎥+⎝⎦+-()222289491616,21k k k +⎛⎤=+∈ ⎥+⎝⎦⎛ ⎝11287⎛= ⎝s AB所以的取值范围.17．（1）；（2）.【详解】（1）由题意，椭圆的左焦点为，根据椭圆的定义，可得点M，即，所以，又因为，可得，所以椭圆C的方程为.（2）当直线l 的斜率不存在时，结合椭圆的对称性可知，，不符合题意．故设直线l 的方程为，联立方程组，可得，则，所以，因为，可得，所以，又由，可得，所以，解得或，综上可得，直线的斜率的取值范围是.s AB 17⎛ ⎝2214x y +=1[,0)(1,)4-+∞ 2222+1(0)x y a b a b=>>(142=24a =2a =c =1b ==2214x y +=0OA OB k k +=1122(0),(,),(,)y kx m k A x y B x y =+≠2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩222(41)84(1)0k x kmx m +++-=212122284(1),4141km m x x x x k k --+==++21212211222121212()()()82224(1)1OA OB y y kx m x kx m x m x x km k k k k k x x x x x x m m ++++--+=+==+=+=--12OA OB k k +=-241m k =+14k ≥-0∆>2216(41)0k m -+>2440k k ->0k <1k >l 1[,0)(1,)4-+∞。

高二圆锥曲线所有知识点

高二圆锥曲线所有知识点圆锥曲线是高中数学中的一个重要概念，由直线与一个固定点（称为焦点）的距离与到一个固定直线（称为准线）的距离之比构成。

在高二数学课程中，学生通常会学习椭圆、双曲线和抛物线这三种特殊的圆锥曲线。

本文将介绍高二圆锥曲线的所有知识点。

一、椭圆（Ellipse）1. 定义与性质：- 椭圆的定义：椭圆是到一个固定点F1、F2的距离之和等于常数2a的点P所构成的图形。

- 椭圆的准线：通过焦点F1、F2并且与椭圆交于两个点的直线称为椭圆的准线，准线的中点称为椭圆的中心。

- 椭圆的离心率：离心率e是椭圆焦点间的距离与椭圆的长轴长度a之比。

- 椭圆的扁率：扁率b是椭圆的短轴长度与长轴长度之比。

2. 方程与图像：- 标准方程：椭圆的标准方程是(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1，其中(h, k)是椭圆的中心坐标。

- 椭圆的图像特点：在标准方程的坐标系下，椭圆的图像关于x轴和y轴对称。

3. 焦点与直径：- 焦点的坐标：椭圆的焦点的坐标为(F1,0)和(-F1,0)，其中F1 = √(a^2 - b^2)。

- 直径：椭圆的焦点之间的距离等于椭圆的长轴长度2a，该距离被称为椭圆的直径。

二、双曲线（Hyperbola）1. 定义与性质：- 双曲线的定义：双曲线是到一个固定点F1、F2的距离之差等于常数2a的点P所构成的图形。

- 双曲线的准线：过焦点F1、F2并交于两个点的直线称为双曲线的准线，准线的中点称为双曲线的中心。

- 双曲线的离心率：离心率e是焦点之间的距离与双曲线的准线长度2a之比。

- 双曲线的扁率：双曲线的扁率b是双曲线主轴与次轴之比。

2. 方程与图像：- 标准方程：双曲线的标准方程是(x-h)^2/a^2 - (y-k)^2/b^2 = 1，其中(h, k)是双曲线的中心坐标。

- 双曲线的图像特点：在标准方程的坐标系下，双曲线有两支，分别与x轴和y轴相交。

3. 焦点与渐近线：- 焦点与中心距离：双曲线的焦点与中心的距离等于常数c，其中c = √(a^2 + b^2)。

高二圆锥曲线单元知识点

高二圆锥曲线单元知识点圆锥曲线是高二数学中的重要内容，本单元将介绍与圆锥曲线相关的各种知识点，包括椭圆、抛物线和双曲线的定义、性质、方程和图像等内容。

下面将分别对这三种圆锥曲线进行详细的介绍。

一、椭圆1. 定义：椭圆是平面上到两个定点F₁和F₂的距离之和等于常数2a的点的轨迹。

2. 性质：椭圆有对称轴、焦点、顶点和准线等特点。

a. 对称轴：椭圆的对称轴是通过两个焦点的直线，是椭圆的对称中心线。

b. 焦点：椭圆有两个焦点，位于椭圆的长轴上，与顶点距离为c的地方。

c. 顶点：椭圆的两个端点称为顶点，位于椭圆的长轴的两端。

d. 准线：与椭圆的焦点和顶点相连的线段，称为准线。

二、抛物线1. 定义：抛物线是平面上到定点F到一条直线l的距离等于距离到直线l的距离的点的轨迹。

2. 性质：抛物线有对称轴、焦点、顶点和准线等特点。

a. 对称轴：抛物线的对称轴是垂直于抛物线的直线，且通过顶点的中垂线。

b. 焦点：抛物线有一个焦点，位于对称轴上，与焦点距离为p的地方。

c. 顶点：抛物线的顶点是抛物线与对称轴的交点。

d. 准线：与焦点和顶点相连的线称为准线。

三、双曲线1. 定义：双曲线是平面上到两个定点F₁和F₂的距离之差的绝对值等于常数2a的点的轨迹。

2. 性质：双曲线由两支曲线组成，分别称为左支和右支，有对称轴、焦点、顶点和渐近线等特点。

a. 对称轴：双曲线的对称轴是通过两个焦点的直线，是双曲线的对称中心线。

b. 焦点：双曲线有两个焦点，分别位于双曲线的左支和右支上。

c. 顶点：双曲线的两个端点称为顶点，位于双曲线的对称轴的两端。

d. 渐近线：与双曲线的曲线极限趋于无穷远的直线，称为渐近线。

通过上述知识点的学习，我们可以更好地理解和应用圆锥曲线的概念和性质。

在解题时，我们可以根据题目给出的信息，推导出相应的方程，并绘制出曲线图像，从而得到所要求的结果。

同时，在数学建模、物理和工程等领域中，圆锥曲线也有广泛的应用，因此熟练掌握圆锥曲线的知识是十分重要的。

高二圆锥曲线必会知识点

高二圆锥曲线必会知识点圆锥曲线是解析几何学中非常重要的一个概念，它由平面与一个圆锥相交而形成。

在高中数学课程中，学习圆锥曲线是必不可少的一部分。

本文将介绍高二阶段学习圆锥曲线所需掌握的几个重要知识点。

1. 椭圆椭圆是圆锥曲线中最常见的一种类型。

在直角坐标系中，椭圆可以通过以下标准方程表示：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$其中，a和b分别代表椭圆的长半轴和短半轴。

椭圆的中心位于坐标原点，长半轴与x轴平行，短半轴与y轴平行。

椭圆的离心率为$\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$，在a=b时为零，表示一个圆。

2. 双曲线与椭圆相比，双曲线更加开放。

在直角坐标系中，双曲线可以通过以下标准方程表示：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$或$\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1$其中，a和b分别代表双曲线的长半轴和短半轴。

双曲线的中心也位于坐标原点，但是其两支分别向x轴和y轴延伸。

不同于椭圆，双曲线的离心率大于1。

3. 抛物线抛物线是另一种常见的圆锥曲线类型。

在直角坐标系中，抛物线可以通过以下标准方程表示：$y=ax^2+bx+c$其中，a、b、c分别代表抛物线方程的系数。

抛物线开口的方向取决于系数a的正负。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

抛物线的顶点可以通过公式$x=-\frac{b}{2a}$计算得到。

4. 渐近线渐近线是指圆锥曲线中的一种特殊直线。

对于双曲线而言，其两支的渐近线分别与x轴和y轴相切；对于抛物线而言，其开口向上或向下的一支的渐近线是y轴。

渐近线的斜率可以通过限制$x$或$y$趋于正无穷或负无穷时来确定。

5. 参数方程除了直角坐标系表示，圆锥曲线还可以通过参数方程来描述。

参数方程由一对相关的参数变量表示，通常用$t$表示。

以椭圆为例，其参数方程可以表示为：$\begin{cases}x=a\cos{t}\\y=b\sin{t}\end{cases}$其中，$0\leq t \leq 2\pi$。

高二数学圆锥曲线(完整版)

第二章：圆锥曲线知识点：1、求曲线的方程（点的轨迹方程）的步骤：建、设、限、代、化①建立适当的直角坐标系；),M x y 及其他的点； ③找出满足限制条件的等式； ④将点的坐标代入等式；⑤化简方程，并验证（查漏除杂）。

2、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F）的点的轨迹称为椭圆。

这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距。

()12222MF MF a a c +=> 3、椭圆的几何性质：焦点在x 轴上4、设M 是椭圆上任一点，点M 到F 对应准线的距离为1d ，点M 到F 对应准线的距离为2d ，则1212F F e d d M M ==。

5、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线。

这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距。

()12222MF MF a a c -=< 6、双曲线的几何性质：7、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。

x129、平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线．11、焦半径公式：若点()00,x y P 在抛物线()220y px p =>上，焦点为F ，则02p F x P =+；、若点()00,x y P 在抛物线()220y px p =->上，焦点为F ，则02pF x P =-+；若点()00,x y P 在抛物线()220x py p =>上，焦点为F ，则02p F y P =+；若点()00,x y P 在抛物线()220x py p =->上，焦点为F ，则02p F y P =-+．12、抛物线的几何性质：关于抛物线焦点弦的几个结论：设AB 为过抛物线22(0)y px p =>焦点的弦，1122(,)(,)A x y B x y 、，直线AB 的倾斜角为θ，则⑴ 221212,;4p x x y y p ==- ⑵ 22;sin p AB θ= ⑶ 以AB 为直径的圆与准线相切； ⑷ 焦点F 对A B 、在准线上射影的张角为2π；⑸112.||||FA FB P+= 知识储备1、直线的方程形式：① 点斜式：已知直线过点(x0,y0),斜率为k,则直线方程为y －y0＝k(x －x0),它不包括垂直于x 轴的直线；② 斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b,斜率为k,则直线方程为y ＝kx ＋b,它不包括垂直于x 轴的直线；③ 两点式：已知直线经过P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点,则直线方程为x-x1/x2-x1＝y-y1/y2-y1,它不包括垂直于坐标轴的直线； ④ 截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为a,b,则直线方程为x/a ＋y/b ＝1,它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线；⑤ 一般式：任何直线均可写成Ax ＋By ＋C ＝0(A,B 不同时为0)的形式.2、与直线相关的重要内容：① 倾斜角与斜率k ：倾斜角与斜率k ：② 点到直线的距离d ：夹角公式：③ 弦长公式：④ 两条直线的位置关系：。

数学高二圆锥曲线知识点

数学高二圆锥曲线知识点在高中数学中，圆锥曲线是一个重要的数学概念，它在几何图形和代数方程中都有广泛的应用。

在高二数学学习过程中，我们会接触到圆锥曲线的基本知识和性质。

本文将详细介绍高二数学中的圆锥曲线知识点，帮助你更好地理解和掌握这一概念。

一、圆锥曲线的定义和分类圆锥曲线是在平面直角坐标系中描述的一类曲线，它们由一个平面和一个与其不重合的点（称为焦点）以及到这个点的距离之比（称为离心率）所确定。

根据离心率的不同取值，圆锥曲线可分为以下三类：1. 椭圆：离心率小于1的圆锥曲线。

在平面上的图形是一个闭合曲线，它以两个焦点为中心，轨迹上的所有点到两个焦点的距离之和等于一个常数。

2. 抛物线：离心率等于1的圆锥曲线。

在平面上的图形是一个开放曲线，它以一个焦点为中心，轨迹上的所有点到焦点的距离等于到其直角坐标轴的距离。

3. 双曲线：离心率大于1的圆锥曲线。

在平面上的图形是一个开放曲线，它以两个焦点为中心，轨迹上的所有点到两个焦点的距离之差等于一个常数。

二、椭圆的性质和方程表示椭圆是一种常见的圆锥曲线，在几何问题和工程应用中经常遇到。

以下是椭圆的一些基本性质和方程表示：1. 长轴和短轴：椭圆的长轴是连接两个焦点并通过中心的线段，短轴是与长轴垂直并通过中心的线段。

2. 焦距和离心率：椭圆的焦距是指两个焦点之间的距离，离心率则是焦距与椭圆长轴之间的比值。

3. 方程表示：椭圆的一般方程形式为(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆长半轴和短半轴的长度。

三、抛物线的性质和方程表示抛物线是另一种常见的圆锥曲线，其形状和特性与开口朝上或朝下的碗形相似。

以下是抛物线的一些基本性质和方程表示：1. 焦点和准线：抛物线的焦点是与准线的距离相等的点，准线是与焦点之间距离相等的直线。

2. 抛物线开口方向：抛物线开口朝上时，其准线在抛物线的上方；开口朝下时，准线在抛物线的下方。

高二数学期中复习专题---圆锥曲线专题(教师版)

高二期中复习专题---圆锥曲线专题一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如果抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，焦点在直线上，那么抛物线的方程是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C2．已知椭圆：的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为（）ABCD ．【答案】A3．已知椭圆，，分别为其左、右焦点，椭圆上一点到的距离是，是的中点，则的长为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D4．“”是“方程表示椭圆”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B5．若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则的离心率为（）A ． BCD ．【答案】A6．已知点，是抛物线的焦点，是抛物线上的动点，当最小时，点坐标是（）A ．B ．C ．D ．x 34120x y --=216y x =-212y x =216y x =212y x =-C 22221x y a b+=(0)a b >>1A 2A 12A A 20bx ay ab -+=C 13221259x y +=1F 2F M 1F 2N 1MF ||ON 123426m <<22+=126x y m m--C:22221x y a b-=0a >0b >22(2)4x y -+=2C 23()3,4A F 28y x =M ||||AM MF +M (0,0)(3,(3,-(2,4)7．设椭圆，双曲线，（其中）的离心率分别为，，则（）A ．B ．C ．D ．与大小不确定【答案】B8．设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于（）A ．B ．C ．D ．【答案】C9．已知点是抛物线：与直线：的一个交点，则抛物线的焦点到直线的距离是（）A ．BC ．D．【答案】B10．若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最大值为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A11．已知是双曲线的左、右焦点，设双曲线的离心率为．若在双曲线的右支上存在点，满足，且，则该双曲线的离心率等于（）A ．B ．CD ．【答案】B12．双曲线，的左、右焦点分别为、，过作圆的切线交双曲线的左、右支分别于点、，且，则双曲线的渐近线方程为（）A ．B ．C ．D ．22221x y m n +=22221x y m n-=0m n >>1e 2e 121e e ⋅>121e e ⋅<121e e ⋅=12e e ⋅11F 2F 22124y x -=P 13||PF 2|4|PF =12PF F △2448()1,2A C 22y px =l (1)y k x =+C l 22O F 22143x y +=P OP FP ⋅632812,F F 22221(00)x y a b a b -=>>，e M 212||||MF F F =12sin 1e MF F ∠=e 545352222210(x y a a b-=>0)b >1F 2F 1F 222x y a +=B C 2||||BC CF =3y x =±y =±1(y x =±1)y x =±二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．中心在原点，焦点在轴上，若长轴长为，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是__________．【答案】14．已知点是抛物线上的动点，点到准线的距离为，且点在轴上的射影是，点，则的最小值是______．【答案】15．已知双曲线：（，）的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于、两点．若，则的离心率为________．16．过抛物线的焦点作斜率为的直线与该抛物线交于，两点，，在轴上的正射影分别为，，若梯形的面积为_____．【答案】三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．（本题满分10分）已知双曲线和椭圆．（1）求双曲线的方程．（2）经过点作直线交双曲线于，两点，且为的中点，求直线的方程．【解析】（1）由题意得椭圆的焦点为，，设双曲线方程为，则，∵，∴，解得，∴， x 182218172x y +=P 22y x =P d P y M 7()2,4A ||||PA PM +92C 22221x y a b -=0a >0b >A A b A A C M N 60MAN ∠=︒C 20)2(y px p =>3A B A B y D C ABCD p =3C 2214x y +=C (2,1)M l C A B M AB l 2214x y +=1(F 2F 22221(0,0)x y a b a b-=>>2223c a b =+=ce a==c =2233c a ==21a =22b =∴双曲线方程为．（2）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，即．由消去整理得，∵直线与双曲线交于，两点，∴，解得．设，，则，又为的中点，∴，解得，满足条件．∴直线的方程为，即． 18．（本题满分12分）已知点是椭圆上的一点，，是椭圆的左、右焦点，若．试求：（1）椭圆的方程；（2）的面积．【解析】（1）因为点在椭圆上，所以，① 又，所以，得，②又，③ 由①②③得，，则椭圆方程为．（2）． 19．（本题满分12分）设双曲线：与直线相交于两点、．（1）求双曲线的离心率的取值范围；2212y x -=l l 1(2)y k x -=-(2)1y k x =-+22(2)112y k x y x =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩x 2222(2)(24)4430k x k k x k k -+-++--=l A B 2222220(24)4(2)(443)0k Δk k k k k ⎧-≠⎪⎨=-+--⋅-->⎪⎩22k ≠11(),A x y 22(),B x y 2122422k k x x k -+=-()2,1M AB 224242k kk -=-4k =4(2)1y x =-+47y x =-()3,4P 222210()x ya b a b+=>>1F 2F 12PF PF ⊥1PF F △P 229161a b+=12PF PF ⊥44133c c⋅=-+-225c =222a b c =+245a =220b =2214520x y +=12121454202||PF F S F F =⨯=⨯=△C 2221()0x y a a-=>l ：1x y +=A B C e（2）设直线与轴的交点为，且，求的值．【解析】（1）联立，消得，即，得，因为与双曲线交于、两点，所以，可得且，所以的取值范围为．（2）由（1）得，因为，所以，则，①，②由①2②得，，结合，则．20.（本题满分12分）已知椭圆：的离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆于，两点，求(为原点)面积的最大值．【解析】（1）由，得，① 由椭圆经过点，得，②联立①②，解得，所以椭圆的方程是．（2）易知直线的斜率存在，设其方程为．将直线的方程与椭圆的方程联立，消去得，令，得，l y P 512PA PB =a 222201a y x a y x ⎧-=+=-⎨⎩y 2222()10x a x a ---=2222122)0(a x a x a -+-=212221222121a x x a a x x a ⎧-+=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩A B 24221048(1)0a a a a ⎧-≠⎪⎨+->⎪⎩202a <<21a ≠e ((2,)2+∞212221222121a x x a ax x a ⎧-+=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩512PA PB =12512x x =222172121a x a -=-222252121a x a -=-2289169a =0a >1713a =C 22221(0)x y a b a b +=>>331(,)22C ()0,2P C A B AOB △O 222222213a b b e a a -==-=b a =C 31(,)222291144a b +=1b =a =C 2213x y +=AB 2y kx =+AB C y 22()131290k x kx +++=2214436130()Δk k =-+>21k >设，，则，，所以，因为，设，则，当且仅当，即时等号成立，此时，△21．（本题满分12分）如图，已知圆：经过椭圆：的左右焦点，，与椭圆在第一象限的交点为，且，，三点共线．（1）求椭圆的方程；（2）设与直线（为原点）平行的直线交椭圆于，两点，当△的面积取最大值时，求直线的方程．21．【解析】（1）∵，，三点共线，∴为圆的直径，且，∴．由，得∵，∴，∴，．∵，∴，∴椭圆的方程为．11(),A x y 22(),B x y 1221213k x x k +=-+122913kx x k =+12121||2||2||AOB POB POA S S S x x x x =-=⨯⨯-=-△△△22221212122222123636(1)41313()()()(13)k k x x x x x x k k k --=+-=--=+++2()10k t t -=>212236363()16(34)4924t x x t t t -==≤=+++169t t =43t =273k =AOB E 22(1)4x y +-=C 2222+1(0)x y a b a b=>>1F 2F C A 1F E A C OA O C M N AMN l 1F E A 1F A E 1||4AF =212AF F F ⊥22(01)4x +-=x =c =2222112||||||16124AF AF F F =-=-=2||2AF =122||||6a AF AF =+=3a =222a b c =+26b =C 22196x y +=（2）由（1）知，点的坐标为，∴直线故设直线的方程为，将方程代入消去得，设，，∴，，，，∴又∵点到直线的距离， ∴ ，当且仅当，即时等号成立，此时直线的方程为． 22．（本题满分12分）已知椭圆：，四点，，，中恰有三点在椭圆上．（1）求的方程；（2）设直线不经过点且与相交于，两点．若直线与直线的斜率的和为，证明：过定点． 22．【解析】（1）由于，两点关于轴对称，故由题设知经过，两点．又由知，不经过点，所以点在上． A 2)OA l y x m =+l 22196x y +=y 2263180x m ++-=11(,)M x y22(,)N xy 12x x +=212132x x m =-2248724320m m ∆=-+>218m <m -<<21|||MN x x =-==A l ||7d m =1=||||27AMN S MN d m ⋅=△==142≤=2289142()9m =-=⨯-3m =±l 3y x =±C 2222=1x y a b +(0)a b >>1(1,1)P 2(0,1)P 3–12(P ，4(1)2P ，C C l 2P C A B 2P A 2P B –1l 3P 4P y C 3P 4P 222211134a b a b +>+C 1P 2P C因此，解得．故的方程为．（2）设直线与直线的斜率分别为，，如果与轴垂直，设：，由题设知，且，可得，的坐标分别为，，则，得，不符合题设，从而可设：将代入，得，由题设可知，设，，则，．而，由题设，故．即，解得，当且仅当时，，所以：，即，所以过定点．222111314b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2241a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩C 2214x y +=2P A 2P B 1k 2k l x l x t =0t ≠||2t <AB (t(,t121k k +==-2t =l (1)y kx m m =+≠y kx m =+2214xy +=222(41)8440k x kmx m +++-=2216(41)0k m ∆=-+>11(,)A x y 22(,)B x y 122841km x x k +=-+21224441m x x k -=+12121211y y k k x x --+=+1212121212112(1)()kx m kx m kx x m x x x x x x +-+-+-+=+=121k k +=-1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=222448(21)(1)04141m kmk m k k --+⋅+-⋅=++12m k +=-1m >-0Δ>l 12m y x m +=-+11(2)2m y x ++=--l (2,1)-。

高二数学第八章圆锥曲线方程知识复习

高二数学第八章圆锥曲线方程知识复习二次曲线系（一）共焦点圆锥曲线系1t y tc x 222=++ 当t>0时，表示共焦点（±c,0）的椭圆系；当-c 2<t<0时，表示共焦点（±c,0）的双曲线系；当t<-c 2时无轨迹。

[例1]已知椭圆的焦点坐标是（0，3），（0，-3），且经过点（1，-2），求椭圆的标准方程。

解：3c ,3c 2=∴= 。

又焦点坐标为（0，3），（0，-3），曲线为椭圆，故设所求方程为)0t (1t3y t x 22>=++ ∵椭圆过点（1，-2），∴()1t 32t 12=+-+。

化简整理得 t 2-2t-3=0。

∴t=3或t =-1（舍去）故所求椭圆方程为16y 3x 22=+。

说明运用共焦点曲线系建立方程时，一是要注意焦点所在的坐标轴，二是应注意参数t 的取值范围。

[例2] 求以椭圆13y 13x 22=+的焦点为焦点，以直线x 21y ±=为渐近线的双曲线方程解由椭圆方程13y 13x 22=+知a 2=13，b 2=3，则c 2=10，焦点在x 轴上。

设共焦点的双曲线系方程为),10t 0(1ty t 10x 22<<=-- 其渐近线方程为,0t yt 10x =±-已知双曲线的渐近线方程为x 21y ±=，41t 10t =-∴，解得t=2。

故所求双曲线方程为.12y 8x 22=- 说明这里由于出现参数t 的二次根式，所以设t>0，但要改变共焦点的二次曲线系方程中相应的符号。

与椭圆1by a x 2222=+共焦点的二次曲线系方程也可以设为 1kb y k a x 2222=-+-（0<b<a ，则a 2>k ≠b 2，k 为参数）。

（二）具有相同离心率的圆锥曲线系[例3]已知椭圆的离心率是21，焦点在x 轴上，且被直线2x 21y +=截得的弦长为53，求椭圆的标准方程。

高二数学《圆锥曲线方程》复习

高二数学《圆锥曲线方程》复习一、本讲进度《圆锥曲线方程》复习二、本讲主要内容1、三种圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质等。

2、直线和圆锥曲线位置关系。

3、求轨迹方程的常规方法。

三、复习指导1、解析几何的基本问题之一：如何求曲线（点的轨迹）方程。

它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。

因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程（等量关系），侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用。

在基本轨迹中，除了直线、圆外，还有三种圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线。

2、三种圆锥曲线的研究（1）统一定义，三种圆锥曲线均可看成是这样的点集：⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=0e ,e d |PF ||P ，其中F 为定点，d 为P 到定直线的距离，F ∉，如图。

因为三者有统一定义，所以，它们的一些性质，研究它们的一些方法都具有规律性。

当0<e<1时，点P 轨迹是椭圆；当e>1时，点P 轨迹是双曲线；当e=1时，点P 轨迹是抛物线。

（2）椭圆及双曲线几何定义：椭圆：{P||PF 1|+|PF 2|=2a ，2a>|F 1F 2|>0，F 1、F 2为定点}，双曲线{P|||PF 1|-|PF 2||=2a ，|F 1F 2|>2a>0，F 1，F 2为定点}。

（3）圆锥曲线的几何性质：几何性质是圆锥曲线内在的，固有的性质，不因为位置的改变而改变。

①定性：焦点在与准线垂直的对称轴上椭圆及双曲线中：中心为两焦点中点，两准线关于中心对称；椭圆及双曲线关于长轴、短轴或实轴、虚轴成轴对称，关于中心成中心对称。

②定量：举焦点在x轴上的方程如下：既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算。