含参数不等式的解法(含答案)

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含参数的一元二次不等式的解法

1 2a
综上：原不等式的解集为
1a
当 a＞0 时，{x|－a＜x＜2a}；当 a＜0 时，{x|2a＜x＜－a}；
x 2ax a 0
当 a＝0 时，∅ .
x1 2a或x2 a
讨论：(1)当 2a a时，即 a＞0，则－a＜x＜2a， (2)当 2a＜ a时，即a 0, 则 2a＜x＜－a
1 m
1 m 1
x mx m 1 0
x1 m 或x2 m 1
m x m1 口诀：小于取中间
3判断根的大小，画二次函数图像
[点评] 二次项系数不含参数的一元二次不等式的解法： (1)将二次项系数转化为正数； (2)判断相应方程是否有根(如果可以直接分解因式，可省
去此步)； (3)根据根的情况写出相应的解集(若方程有相异根，为了
ax2+bx+c<0 的解集
(a>0)﹛x|x1<x<x2 ﹜
Φ
无实根 R Φ
解一元二次不等式的步骤
1、把一元二次不等式化为标准形式，即不等式的左边是二次函数的解析式，右边是0，二次项的系数大于0；
3、画出对应二次函数的图像，写出不等式的解集。
什么是含参不等式？
通俗的说：不等式中除了变量x或y,还有其他代表常数的字母，这个字母就叫参数。所对应的不等式就叫含参不等式。
2当a 0时，1 2 ax 2x 2 0
再讨论：①当
2
2
a 2
时，即 a
x1
2 a
或x2
2
1 此时原不等式的解
a
集
Hale Waihona Puke x2 ax
2
②当 2＜2时，即 0＜a＜1，此时原不等式的解 a

(完整版)含参数一元一次不等式

含参数一元一次不等式（组）的解法1、若关于x 的不等式2)1(x a ，可化为a x 12，则a 的取值范围是多少？2 、关于x 的方程x kx 21的解为正实数，则k 的取值范围是？3、关于x 的方程x+2m-3=3x+7的解为不大于2的非负数，则m 的整数值是多少？4、关于x 的不等式2x －a ≤－1的解集如图所示，则a 的取值是多少？5、己知不等式)2(211)5(21ax x 的解集是21x ，试求a 的值？0 1-1 -26、关于x 的不等式2x －a ≤0的正整数解恰好是1、2、3、4，则m 的取值是多少？7、已知关于x ，y 的方程组134,123p y x p y x 的解满足x ＞y ，求p 的取值范围．8、已知a 是自然数，关于x 的不等式组02,43x a x 的解集是x ＞2，求a 的值．对应练习1、不等式组1,159m x x x的解集是x ＞2，则m 的取值范围是．对应练习2、若不等式组k x x,21有解，则k 的取值范围是．(A)k ＜2 (B)k ≥2(C)k ＜1 (D)1≤k ＜2 9、关于x 的不等式组123,0x a x 的整数解共有5个，求a 的取值范围．对应练习：若关于x 的不等式组ax x x x 322,3215只有4个整数解，求a 的取值范围．10、k 取哪些整数时，关于x 的方程5x ＋4＝16k －x 的根大于2且小于10?二、应用题1.爆破施工时，导火索燃烧的速度是0.8cm/s ，人跑开的速度是5m/s ，为了使点火的战士在施工时能跑到100m 以外的安全地区，导火索至少需要多长？2、某次数学竞赛活动，共有16道选择题，评分办法是：答对一题给6分，答错一题倒扣2分，不答题不得分也不扣分．某同学有一道题未答，那么这个学生至少答对多少题，成绩才能在60分以上？3、一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程，第一天完成了60土方，现在要比原计划至少提前两天完成，则以后平均每天至少要比原计划多完成多少方土？4.某工人计划在15天里加工408个零件，最初三天中每天加工24个，问以后每天至少要加工多少个零件，才能在规定的时间内超额完成任务？5.王凯家到学校 2.1千米，现在需要在18分钟内走完这段路。

《含参数的不等式解集问题》专题(含解析)

《含参数的不等式解集问题》专题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2018春•宿豫区期末）已知不等式组无解，则a的取值范围是（）A．a≤1 B．a≥1 C．a＜1 D．＞12．（2020春•江都区期末）已知x＝4是关于x的方程kx+b＝0（k≠0，b＞0）的解，则关于x的不等式k（x﹣3）+2b＞0的解集是（）A．x＞11 B．x＜11 C．x＞7 D．x＜7 3．（2020春•吴江区期末）已知关于x的不等式（a﹣1）x＞1，可化为x，试化简|1﹣a|﹣|a﹣2|，正确的结果是（）A．﹣2a﹣1 B．﹣1 C．﹣2a+3 D．14．（2020春•龙华区校级期末）关于x的不等式：a＜x＜2有两个整数解，则a的取值范围是（）A．0＜a≤1 B．0≤a＜1 C．﹣1＜a≤0 D．﹣1≤a＜0 5．（2020•寿光市二模）若不等式组有三个整数解，则a的取值范围是（）A．2≤a＜3 B．2＜a≤3 C．2＜a＜3 D．a＜3 6．（2020春•济源期末）已知关于x的不等式3（x+1）﹣2mx＞2m的解集是x＜﹣1，则m 的取值范围在数轴上可表示为（）A．B．C．D．7．（2020春•蓬溪县期末）关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（）A．a≤5 B．a≥5 C．a＜5 D．a＞58．（2020春•东西湖区期末）若关于x的不等式mx﹣n＞0的解集是x，则关于x的不等式（m+n）x＜n﹣m的解集是（）A．x B．x C．x D．x9．（2020春•南岗区校级月考）如果一元一次不等式（m+2）x＞m+2的解集为x＜1，则m 必须满足的条件是（）A．m＜﹣2 B．m≤﹣2 C．m＞﹣2 D．m≥﹣2 10．（2020秋•武汉月考）对于三个数字a，b，c，用min{a，b，c}表示这三个数中最小数，例如min{﹣2，﹣1，0}＝﹣2，min{﹣2，﹣1，x}．如果min{﹣3，8﹣2x，3x﹣5}＝﹣3，则x的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2019春•沭阳县期末）已知不等式组只有一个整数解，则a的取值范围为．12．（2020春•丛台区校级期末）对任意有理数a，b，c，d，规定ad﹣bc，若10，则x的取值范围为．13．（2020春•仁寿县期末）若关于x的不等式组有四个整数解，则m的取值范围是．14．（2020春•番禺区校级月考）若关于x的不等式组的解集为x＞a，则a取值范围是．15．（2020春•渝中区校级期末）若关于x，y的方程组的解都是正数，则m的取值范围是．16．（2020春•金水区校级月考）若不等式组有两个整数解，则a的取值范围是．17．（2020秋•高新区校级月考）已知关于x的不等式x m＜0有5个自然数解，则m的取值范围是．18．（2020春•高邮市期末）若不等式1≤2﹣x的解集中x的每一个值，都能使关于x的不等式3（x﹣1）+5＞5x+2（m+x）成立，则m的取值范围是．三．解答题（共7小题）19．（2016•大庆）关于x的两个不等式①1与②1﹣3x＞0（1）若两个不等式的解集相同，求a的值；（2）若不等式①的解都是②的解，求a的取值范围．20．（2015春•乐平市期末）已知一元一次不等式mx﹣3＞2x+m．（1）若它的解集是x，求m的取值范围；（2）若它的解集是x，试问：这样的m是否存在？如果存在，求出它的值；如果不存在，请说明理由．21．（2016春•衡阳县校级期末）已知x＝1满足不等式组，求a的取值范围．22．（2020春•麦积区期末）（1）解不等式x+12，并把解集在数轴上表示出来；（2）关于x的不等式组恰有两个整数解，试确定a的取值范围．23．（2014春•福清市校级期末）已知不等式组（1）当k＝﹣2时，不等式组的解集是：；当k＝3时，不等式组的解集是：（2）由（1）可知，不等式组的解集随k的值变化而变化，若不等式组有解，求k的取值范围并求出解集．24．（2017•江阴市自主招生）已知关于x的不等式的解集是x，求m 的值．25．（2017•呼和浩特）已知关于x的不等式x﹣1．（1）当m＝1时，求该不等式的解集；（2）m取何值时，该不等式有解，并求出解集．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2018春•宿豫区期末）已知不等式组无解，则a的取值范围是（）A．a≤1 B．a≥1 C．a＜1 D．＞1【分析】根据不等式的解集的定义即可求出答案．【解析】由不等式组无解可知，两不等式在数轴上没有公共部分，即a≤1故选：A．【点评】本题考查不等式的解集，解题的关键是熟练运用不等式的解集的定义，本题属于基础题型．2．（2020春•江都区期末）已知x＝4是关于x的方程kx+b＝0（k≠0，b＞0）的解，则关于x的不等式k（x﹣3）+2b＞0的解集是（）A．x＞11 B．x＜11 C．x＞7 D．x＜7【分析】将x＝4代入方程，求出b＝﹣4k＞0，求出k＜0，把b＝﹣4k代入不等式，再求出不等式的解集即可．【解析】∵x＝4是关于x的方程kx+b＝0（k≠0，b＞0）的解，∴4k+b＝0，即b＝﹣4k＞0，∴k＜0，∵k（x﹣3）+2b＞0，∴kx﹣3k﹣8k＞0，∴kx＞11k，∴x＜11，故选：B．【点评】本题考查了解一元一次不等式和一元一次方程的解，能求出b＝﹣4k和k＜0是解此题的关键．3．（2020春•吴江区期末）已知关于x的不等式（a﹣1）x＞1，可化为x，试化简|1﹣a|﹣|a﹣2|，正确的结果是（）A．﹣2a﹣1 B．﹣1 C．﹣2a+3 D．1【分析】由不等式的基本性质3可得a﹣1＜0，即a＜1，再利用绝对值的性质化简可得．【解析】∵（a﹣1）x＞1可化为x，∴a﹣1＜0，解得a＜1，则原式＝1﹣a﹣（2﹣a）＝1﹣a﹣2+a＝﹣1，故选：B．【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．4．（2020春•龙华区校级期末）关于x的不等式：a＜x＜2有两个整数解，则a的取值范围是（）A．0＜a≤1 B．0≤a＜1 C．﹣1＜a≤0 D．﹣1≤a＜0【分析】根据题意可知：两个整数解是0，1，可以确定a取值范围．【解析】∵a＜x＜2有两个整数解，∴这两个整数解为0，1，∴a的取值范围是﹣1≤a＜0，故选：D．【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解．解题时特别要注意取值范围中等号的确定．5．（2020•寿光市二模）若不等式组有三个整数解，则a的取值范围是（）A．2≤a＜3 B．2＜a≤3 C．2＜a＜3 D．a＜3【分析】首先解不等式，根据解的情况确定a的取值范围．特别是要注意不等号中等号的取舍．【解析】，解不等式x+a≥0得：x≥﹣a，解不等式1﹣2x＞x﹣2得：x＜1，∴﹣a≤x＜1．∵此不等式组有3个整数解，∴这3个整数解为﹣2，﹣1，0，∴﹣3＜﹣a≤﹣2，∴2≤a＜3．故选：A．【点评】此题考查了一元一次不等式组的解法．解题中要注意分析不等式组的解集的确定．6．（2020春•济源期末）已知关于x的不等式3（x+1）﹣2mx＞2m的解集是x＜﹣1，则m 的取值范围在数轴上可表示为（）A．B．C．D．【分析】根据已知不等式的解集确定出m的范围即可．【解析】不等式3（x+1）﹣2mx＞2m变形为：（3﹣2m）x＞﹣（3﹣2m），∵关于x的不等式3（x+1）﹣2mx＞2m的解集是x＜﹣1，∴3﹣2m＜0，解得：m，在数轴上表示：故选：C．【点评】此题考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式的方法，以及在数轴上表示不等式的解集的方法是解本题的关键．7．（2020春•蓬溪县期末）关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（）A．a≤5 B．a≥5 C．a＜5 D．a＞5【分析】关于x的不等式组无解，根据：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了，求出a的取值范围是多少即可．【解析】关于x的不等式组无解，则a的取值范围是a≥5．故选：B．【点评】此题主要考查了不等式的解集，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．8．（2020春•东西湖区期末）若关于x的不等式mx﹣n＞0的解集是x，则关于x的不等式（m+n）x＜n﹣m的解集是（）A．x B．x C．x D．x【分析】先根据第一个不等式的解集求出m＜0、n＜0，m＝3n，再代入第二个不等式，求出不等式的解集即可．【解析】∵mx﹣n＞0，∴mx＞n，∵关于x的不等式mx﹣n＞0的解集是x，∴m＜0，，∴m＝3n，n＜0，∴n﹣m＝﹣2n，m+n＝4n，∴关于x的不等式（m+n）x＜n﹣m的解集是x，故选：C．【点评】本题考查了解一元一次不等式，能求出m、n的值是解此题的关键．9．（2020春•南岗区校级月考）如果一元一次不等式（m+2）x＞m+2的解集为x＜1，则m 必须满足的条件是（）A．m＜﹣2 B．m≤﹣2 C．m＞﹣2 D．m≥﹣2【分析】根据解集中不等号的方向发生了改变，得出m+2＜0，求出即可．【解析】∵不等式（m+2）x＞m+2的解集是x＜1，∴m+2＜0，∴m＜﹣2，故选：A．【点评】本题考查了解一元一次不等式和一元一次不等式的解集的应用，关键是能根据题意得出m+2＜0．10．（2020秋•武汉月考）对于三个数字a，b，c，用min{a，b，c}表示这三个数中最小数，例如min{﹣2，﹣1，0}＝﹣2，min{﹣2，﹣1，x}．如果min{﹣3，8﹣2x，3x﹣5}＝﹣3，则x的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】根据题中的新定义列出不等式组，求出x的范围即可．【解析】根据题意得：，解得：x，故选：A．【点评】此题考查了解一元一次不等式组，弄清题意是解本题的关键．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2019春•沭阳县期末）已知不等式组只有一个整数解，则a的取值范围为2＜a≤3．【分析】先根据不等式组有解，确定不等式组的解集为1＜x＜a，再根据不等式组只有一个整数解，可知整数解为2，从而可求得a的取值范围．【解析】不等式组有解，则不等式的解集一定是1＜x＜a，若这个不等式组只有一个整数解即2，则a的取值范围是2＜a≤3．故答案为：2＜a≤3【点评】此题考查不等式的解集问题，正确解出不等式组的解集，正确确定a的范围，是解决本题的关键．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．．12．（2020春•丛台区校级期末）对任意有理数a，b，c，d，规定ad﹣bc，若10，则x的取值范围为x＞﹣3．【分析】根据新定义可知﹣4x﹣2＜10，求不等式的解即可．【解析】根据规定运算，不等式10化为﹣4x﹣2＜10，解得x＞﹣3．故答案为x＞﹣3．【点评】本题考查了利用一种新型定义转化为解一元一次不等式的问题，理解题意是解题的关键．13．（2020春•仁寿县期末）若关于x的不等式组有四个整数解，则m的取值范围是﹣3≤m＜﹣2．【分析】解不等式组的两个不等式，根据其整数解的个数得出1≤4+m＜2，解之可得．【解析】解不等式2x+5＞0，得：x，解不等式x≤2，得：x≤4+m，∵不等式组有4个整数解，∴1≤4+m＜2，解得：﹣3≤m＜﹣2，故答案为：﹣3≤m＜﹣2．【点评】本题主要考查不等式组的整数解问题，根据不等式组的整数解的个数得出关于m的不等式组是解题的关键．14．（2020春•番禺区校级月考）若关于x的不等式组的解集为x＞a，则a取值范围是a≥2．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大并结合不等式组的解集可得a的范围．【解析】解不等式2（x﹣1）＞2，得：x＞2，解不等式a﹣x＜0，得：x＞a，∵不等式组的解集为x＞a，∴a≥2，故答案为：a≥2．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．15．（2020春•渝中区校级期末）若关于x，y的方程组的解都是正数，则m 的取值范围是6＜m＜15．【分析】解方程组得出，根据题意列出不等式组，解之可得．【解析】解方程组得，根据题意，得：，解不等式①，得：m＜15，解不等式②，得：m＞6，∴6＜m＜15，故答案为：6＜m＜15．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．16．（2020春•金水区校级月考）若不等式组有两个整数解，则a的取值范围是0＜a≤1．【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出关于a的不等式组即可．【解析】，解不等式①得：x≥a，解不等式②得：x＜3，∴不等式组的解集为a≤x＜3，∵不等式组有两个整数解，∴0＜a≤1，故答案为：0＜a≤1．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，解此题的关键是能根据不等式组的整数解和已知得出关于a的不等式组．17．（2020秋•高新区校级月考）已知关于x的不等式x m＜0有5个自然数解，则m的取值范围是8＜m≤10．【分析】首先解不等式求得不等式的解集，然后根据不等式有5个自然数解即可得到一个关于m的不等式，求得m的值．【解析】解不等式x m＜0得：x m，不等式有5个自然数解，一定是0，1，2，3，4，根据题意得：4m≤5，解得：8＜m≤10．故答案是：8＜m≤10．【点评】本题考查了不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．18．（2020春•高邮市期末）若不等式1≤2﹣x的解集中x的每一个值，都能使关于x的不等式3（x﹣1）+5＞5x+2（m+x）成立，则m的取值范围是m．【分析】求出不等式1≤2﹣x的解，再求出不等式3（x﹣1）+5＞5x+2（m+x）的解集，得出关于m的不等式，求出m即可．【解析】解不等式1≤2﹣x得：x，解关于x的不等式3（x﹣1）+5＞5x+2（m+x），得x，∵不等式1≤2﹣x的解集中x的每一个值，都能使关于x的不等式3（x﹣1）+5＞5x+2（m+x）成立，∴，解得：m，故答案为m．【点评】本题主要对解一元一次不等式组，不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据已知得到关于m的不等式是解此题的关键．三．解答题（共7小题）19．（2016•大庆）关于x的两个不等式①1与②1﹣3x＞0（1）若两个不等式的解集相同，求a的值；（2）若不等式①的解都是②的解，求a的取值范围．【分析】（1）求出第二个不等式的解集，表示出第一个不等式的解集，由解集相同求出a的值即可；（2）根据不等式①的解都是②的解，求出a的范围即可．【解析】（1）由①得：x，由②得：x，由两个不等式的解集相同，得到，解得：a＝1；（2）由不等式①的解都是②的解，得到，解得：a≥1．【点评】此题考查了不等式的解集，根据题意分别求出对应的值利用不等关系求解．20．（2015春•乐平市期末）已知一元一次不等式mx﹣3＞2x+m．（1）若它的解集是x，求m的取值范围；（2）若它的解集是x，试问：这样的m是否存在？如果存在，求出它的值；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）根据不等式的解集，利用不等式的性质确定出m的范围即可；（2）由解集确定出m的范围，求出m的值即可作出判断．【解析】（1）不等式mx﹣3＞2x+m，移项合并得：（m﹣2）x＞m+3，由解集为x，得到m﹣2＜0，即m＜2；（2）由解集为x，得到m﹣2＞0，即m＞2，且，解得：m＝﹣18＜0，不合题意，则这样的m值不存在．【点评】此题考查了不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．（2016春•衡阳县校级期末）已知x＝1满足不等式组，求a的取值范围．【分析】首先对不等式组进行化简，根据不等式的解集的确定方法，就可以得出a的范围．【解析】将x＝1代入3x﹣5≤2x﹣4a，得4a≤4，解得a≤1；将x＝1代入3（x﹣a）＜4（x+2）﹣5，得a．不等式组解集是a≤1，a的取值范围是a≤1．【点评】主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．22．（2020春•麦积区期末）（1）解不等式x+12，并把解集在数轴上表示出来；（2）关于x的不等式组恰有两个整数解，试确定a的取值范围．【分析】（1）依次去分母、移项、合并同类项、系数化为1可得答案；（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解析】（1）∵x+12，∴2x+2≥x+4，2x﹣x≥4﹣2，x≥2，将不等式的解集表示在数轴上如下：（2）解不等式0，得x，解不等式x（x+1）+a，得x＜2a．因为该不等式组恰有两个整数解，所以1＜2a≤2，所以a≤1．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．23．（2014春•福清市校级期末）已知不等式组（1）当k＝﹣2时，不等式组的解集是：﹣1＜x＜1；当k＝3时，不等式组的解集是：无解（2）由（1）可知，不等式组的解集随k的值变化而变化，若不等式组有解，求k的取值范围并求出解集．【分析】（1）把k＝﹣2和k＝3分别代入已知不等式组，分别求得三个不等式的解集，取其交集即为该不等式组的解集；（2）当k为任意有理数时，要分1﹣k＜﹣1，1﹣k＞1，﹣1＜1﹣k＜1三种情况分别求出不等式组的解集．【解析】（1）把k＝﹣2代入，得，解得﹣1＜x＜1；把k＝3代入，得，无解．故答案是：﹣1＜x＜1；无解；（2）若k为任意实数，不等式组的解集分以下三种情况：当1﹣k≤﹣1即k≥2时，原不等式组可化为，故原不等式组的解集为无解；当1﹣k≥1即k≤0时，原不等式组可化为，故原不等式组的解集为﹣1＜x＜1；当﹣1＜1﹣k＜1即0＜k＜2时，原不等式组可化为，故原不等式组的解集为﹣1＜x＜1﹣k．【点评】本题考查的是不等式的解集，特别注意在解（2）时要分三种情况求不等式组的解集．24．（2017•江阴市自主招生）已知关于x的不等式的解集是x，求m 的值．【分析】不等式组整理后表示出解集，根据已知解集确定出m的值即可．【解析】原不等式可化为：4m+2x≤12mx﹣3，即（12m﹣2）x≥4m+3，又因原不等式的解集为x，则12m﹣2＞0，m，比较得：，即24m+18＝12m﹣2，解得：m（舍去）．故m无值．【点评】此题考查了不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键．25．（2017•呼和浩特）已知关于x的不等式x﹣1．（1）当m＝1时，求该不等式的解集；（2）m取何值时，该不等式有解，并求出解集．【分析】（1）把m＝1代入不等式，求出解集即可；（2）不等式去分母，移项合并整理后，根据有解确定出m的范围，进而求出解集即可．【解析】（1）当m＝1时，不等式为1，去分母得：2﹣x＞x﹣2，解得：x＜2；（2）不等式去分母得：2m﹣mx＞x﹣2，移项合并得：（m+1）x＜2（m+1），当m≠﹣1时，不等式有解，当m＞﹣1时，不等式解集为x＜2；当m＜﹣1时，不等式的解集为x＞2．【点评】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．。

含参数的一元二次不等式的解法

含参数的一元二次不等式的解法含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按$x$项的系数$a$的符号分类，即$a>0$，$a=0$，$a<0$。

例1：解不等式$ax+(a+2)x+1>2$分析：本题二次项系数含有参数，$\Delta=(a+2)^2-4a=a+4>0$，故只需对二次项系数进行分类讨论。

解：当$a>0$时，解得方程$ax+(a+2)x+1=0$的两根$x_1=-\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}$，$x_2=-\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}$，因为$a>0$，所以$x_1x_2$或$x<x_1$，即$x\in\left(-\infty,\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}\right)\cup\left(\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a},+\infty\right)$。

当$a=0$时，不等式为$2x+1>2$，解得$x>\frac{1}{2}$，即解集为$x>\frac{1}{2}$。

当$a<0$时，解得方程$ax+(a+2)x+1=0$的两根$x_1=-\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}$，$x_2=-\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}$，因为$a<0$，所以$x_1<x_2$。

所以解集为$x_1<x<x_2$，即$x\in\left(\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a},\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}\right)$。

例2：解不等式$ax-5ax+6a>(a\neq0)^2$分析：因为$a\neq0$，$\Delta>0$，所以我们只需讨论二次项系数的正负。

解：当$a>0$时，解得方程$ax-5ax+6a=0$的两根$x_1=2$，$x_2=3$，因为$a>0$，所以$x_13$，即$x\in\left(-\infty,2\right)\cup\left(3,+\infty\right)$。

一元一次含参不等式的解法

一元一次含参不等式的解法一元一次含参不等式是指不等式中含有一个未知数和一个或多个常数参数的不等式。

其解法主要分为如下几种：1. 移项法移项法是一种常见的解一元一次含参不等式的方法。

其基本思想是将含有未知数的项移到一边，将常数项移到另一边，最终得到未知数的取值范围。

例如，对于不等式 $ax+b>c$，我们可以将常数项 $c$ 移到左侧，得到$ax+b-c>0$，然后将$ax$ 移到右侧，得到$x>\frac{c-b}{a}$。

因此，该不等式的解为 $x>\frac{c-b}{a}$。

2. 分段讨论法分段讨论法是一种常用的解一元一次含参不等式的方法。

其基本思想是根据参数的取值范围，将不等式分成若干个子区间，然后在每个子区间内求解不等式。

例如，对于不等式$ax^2+bx+c>0$，我们可以分别讨论$a>0$ 和$a<0$ 两种情况。

当$a>0$ 时，该不等式的解为$x<\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 或$x>\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；当 $a<0$ 时，该不等式的解为 $\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}<x<\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。

因此，该不等式的解为$a>0$ 时$x<\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 或$x>\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$a<0$ 时$\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}<x<\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。

3. 辅助函数法辅助函数法是一种常用的解一元一次含参不等式的方法。

其基本思想是构造一个辅助函数，使得该函数的取值范围与未知数的取值范围相同，然后根据函数的性质求解不等式。

浙江2020版高考数学第二章不等式专题突破一高考中的不等式问题讲义(含解析)

高考专题突破一高考中的不等式问题题型一含参数不等式的解法例1解关于x 的不等式x 2＋ax ＋1>0(a∈R )．解对于方程x 2＋ax ＋1＝0，Δ＝a 2－4.(1)当Δ>0，即a >2或a <－2时，方程x 2＋ax ＋1＝0有两个不等实根x 1＝－a －a 2－42，x 2＝－a ＋a 2－42，且x 1<x 2，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－a －a 2－42或x >－a ＋a 2－42； (2)当Δ＝0，即a ＝±2时，①若a ＝2，则原不等式的解集为{x |x ≠－1}； ②若a ＝－2，则原不等式的解集为{x |x ≠1}；(3)当Δ<0，即－2<a <2时，方程x 2＋ax ＋1＝0没有实根，结合二次函数y ＝x 2＋ax ＋1的图象，知此时原不等式的解集为R .思维升华解含参数的一元二次不等式的步骤(1)若二次项含有参数应讨论是否等于0，小于0，和大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．(3)当方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．跟踪训练1 (1)若不等式ax 2＋8ax ＋21<0的解集是{x |－7<x <－1}，那么a 的值是________．答案 3解析由题意可知－7和－1为方程ax 2＋8ax ＋21＝0的两个根． ∴－7×(－1)＝21a，故a ＝3.(2)若关于x 的不等式|x －1|＋|x ＋m |>3的解集为R ，则实数m 的取值范围是__________．答案 (－∞，－4)∪(2，＋∞)解析依题意得，|x －1|＋|x ＋m |≥|(x －1)－(x ＋m )|＝|m ＋1|，即函数y ＝|x －1|＋|x ＋m |的最小值是|m ＋1|，于是有|m ＋1|>3，m ＋1<－3或m ＋1>3，由此解得m <－4或m >2.因此实数m 的取值范围是(－∞，－4)∪(2，＋∞)．题型二线性规划问题例2(2018·浙江五校联考)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，x －y ≥－1，2x －y ≤4，且z ＝ax ＋y 的最大值为16，则实数a ＝________，z 的最小值为________．答案 2 1解析如图，作出不等式组所表示的可行域(△ABC 及其内部区域)．目标函数z ＝ax ＋y 对应直线ax ＋y －z ＝0的斜率k ＝－a .(1)当k ∈(－∞，1]，即－a ≤1，a ≥－1时，目标函数在点A 处取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝4，x －y ＝－1，解得A (5,6)，故z 的最大值为5a ＋6，即5a ＋6＝16，解得a ＝2.(2)当k ∈(1，＋∞)，即－a >1，a <－1时，目标函数在点C 处取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝2，x －y ＝－1，解得C (0,1)，故z 的最大值为0×a ＋1＝1，不符合题意．综上，a ＝2.数形结合知，当直线z ＝2x ＋y 经过点C 时，z 取得最小值，z min ＝2×0＋1＝1. 思维升华1．利用线性规划求目标函数的基本步骤为一画二移三求，其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义． 2．常见的目标函数有(1)截距型：如z ＝－2x ＋y ，z ＝2y4x ，z ＝OP →·OM →(其中M (x ，y )为区域内动点，P (－2,1))，等等．(2)距离型：如z ＝(x －2)2＋y 2，z ＝|2x －y |，等等．(3)斜率型：如z ＝y ＋1x ，z ＝x ＋y ＋1x ，z ＝x y ＋1，z ＝y ＋1x ＋x y ＋1＝x 2＋(y ＋1)2xy ＋x ，等等．(4)二次曲线型：如z ＝xy ，z ＝y 2x ，z ＝x 22＋y 2，等等．3．解题时要注意可行解是区域的所有点还是区域内的整点．跟踪训练2 (1)(2018·湖州五校模拟)设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1>0，x ＋y －3<0，y >0，则z ＝2x－y 的取值范围为( ) A ．(－6，－1) B ．(－8，－2) C ．(－1,8) D ．(－2,6)答案 D解析方法一作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示．作出直线y ＝2x ，平移直线，直线z ＝2x －y 在点B (－1,0)处的取最小值为－2，在点C (3,0)处的取最大值为6，所以z ＝2x －y 的取值范围为(－2,6)．方法二三条直线两两联立求出的交点坐标分别是(1,2)，(－1,0)，(3,0)，分别代入z ＝2x －y 求值，得0，－2,6，所以z ＝2x －y 的取值范围为(－2,6)． (2)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ≥0，2x －y ≥0，x ≤5，则不等式组表示的平面区域的面积为________，z ＝(x ＋1)2＋(y －1)2的最小值为________．答案 30 95解析作出⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ≥0，2x －y ≥0，x ≤5表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示，则不等式组表示的平面区域的面积为12×5×2＋12×10×5＝30.z ＝(x ＋1)2＋(y －1)2表示可行域内的点(x ，y )与点M (－1,1)之间的距离的平方，数形结合易知，z ＝(x ＋1)2＋(y －1)2的最小值为点M (－1,1)到直线2x －y ＝0的距离的平方，即z min ＝|2×(－1)－1|2[22＋(－1)2]2＝95. 题型三基本不等式的应用例3 (1)已知x 2＋4xy －3＝0，其中x >0，y ∈R ，则x ＋y 的最小值是( ) A.32B ．3C ．1D ．2 答案 A解析由x 2＋4xy －3＝0，得y ＝3－x24x，即有x ＋y ＝x ＋3－x 24x ＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x .∵x >0，∴x ＋1x ≥2，即x ＋y ≥32，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1，y ＝12时，x ＋y 取得最小值32.(2)已知a >0，b >0，c >1，且a ＋b ＝1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1ab －2·c ＋2c －1的最小值为______．答案 4＋2 2解析 ∵a 2＋1ab ＝a 2＋(a ＋b )2ab ＝2a 2＋2ab ＋b 2ab＝2a b ＋ba＋2≥22a b ·ba＋2＝22＋2，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2a b ＝b a，a ＋b ＝1，即⎩⎨⎧a ＝2－1，b ＝2－2时等号成立，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1ab －2·c ＋2c －1≥22c ＋2c －1＝22(c －1)＋2c －1＋2 2≥222(c －1)·2c －1＋22＝4＋22，当且仅当22(c －1)＝2c －1，即c ＝1＋22时，等号成立．综上，所求最小值为4＋2 2. 思维升华利用基本不等式求最值的方法(1)利用基本不等式求最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要思路有两种：①对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．②条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．(2)有些题目虽然不具备直接应用基本不等式求最值的条件，但可以通过添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式．常用的方法还有：拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换法．跟踪训练3 (1)已知xy ＝1，且0<y <22，则x 2＋4y2x －2y 的最小值为( )A ．4B.92C ．22D ．4 2答案 A解析由xy ＝1且0<y <22，可知x >2，所以x －2y >0.x 2＋4y 2x －2y ＝(x －2y )2＋4xy x －2y ＝x －2y ＋4x －2y≥4，当且仅当x ＝3＋1，y ＝3－12时等号成立． (2)若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________．答案233解析由x 2＋y 2＋xy ＝1，得1＝(x ＋y )2－xy ， ∴(x ＋y )2＝1＋xy ≤1＋(x ＋y )24，解得－233≤x ＋y ≤233(当且仅当x ＝y ＝33时取得最大值)，∴x ＋y 的最大值为233.题型四绝对值不等式的应用例4 (1)(2018·浙江五校联考)已知a ∈R ，则“a ≤9”是“2|x －2|＋|5＋2x |<a 无解”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 2|x －2|＋|5＋2x |＝|2x －4|＋|5＋2x | ≥|2x －4－5－2x |＝9，若2|x －2|＋|5＋2x |<a 无解，则a ≤9，同样若a ≤9，则2|x －2|＋|5＋2x |<a 无解，所以“a ≤9”是“2|x －2|＋|5＋2x |<a 无解”的充要条件．(2)(2019·温州模拟)已知a ，b ，c ∈R ，若|a cos 2x ＋b sin x ＋c |≤1对x ∈R 恒成立，则|a sin x ＋b |的最大值为________．答案 2解析 |a cos 2x ＋b sin x ＋c |≤1，即|a sin 2x －b sin x －(a ＋c )|≤1，分别取sin x ＝1，－1,0，可知⎩⎪⎨⎪⎧|b ＋c |≤1，|b －c |≤1，|a ＋c |≤1，所以|a ＋b |＝|(a ＋c )＋(b －c )|≤|a ＋c |＋|b －c |≤2，且|a －b |＝|(a ＋c )－(b ＋c )|≤|a ＋c |＋|b ＋c |≤2.所以max{|a sin x ＋b |}＝max{|a ＋b |，|a －b |}≤2，当a ＝2，b ＝0，c ＝－1时，取等号．思维升华(1)解绝对值不等式可以利用绝对值的几何意义，零点分段法、平方法、构造函数法等．(2)利用绝对值三角不等式可以证明不等式或求最值．跟踪训练4 (1)已知函数f (x )＝|x －5|＋|x ＋3|＋|x －3|＋|x ＋5|－c ，若存在正实数m ，使f (m )＝0，则不等式f (x )<f (m )的解集是________．答案 (－m ，m )解析由|－x －5|＋|－x ＋3|＋|－x －3|＋|－x ＋5|＝|x －5|＋|x ＋3|＋|x －3|＋|x ＋5|可知，函数f (x )为偶函数，当－3≤x ≤3时，f (x )取最小值16－c .结合题意可得c ≥16.由f (m )＝0得f (x )<0，即|x －5|＋|x ＋3|＋|x －3|＋|x ＋5|－c <0，结合图象(图略)可知，解集为(－m ，m )．(2)不等式|x －2|＋|x ＋1|≥a 对于任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为__________．答案 (－∞，3]解析当x ∈(－∞，－1]时，|x －2|＋|x ＋1|＝2－x －x －1＝1－2x ≥3；当x ∈(－1,2)时，|x －2|＋|x ＋1|＝2－x ＋x ＋1＝3；当x ∈[2，＋∞)时，|x －2|＋|x ＋1|＝x －2＋x ＋1＝2x －1≥3，综上可得|x －2|＋|x ＋1|≥3，∴a ≤3.1．(2018·宁波期末)若a ，b ∈R ，且a <b <0，则下列不等式成立的是( ) A ．2a －b>1B.1a －1>1b －1C ．a 3>b 3D ．a ＋|b |>0答案 B解析由a <b <0得a －1<b －1<0，则(a －1)(b －1)>0，所以(a －1)·1(a －1)(b －1)<(b －1)·1(a －1)(b －1)，即1a －1>1b －1，故选B.2．(2018·浙江绍兴一中期末)若关于x 的不等式|x ＋2|＋|x －a |<5有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－7,7) B ．(－3,3) C ．(－7,3) D ．∅答案 C解析不等式|x ＋2|＋|x －a |<5有解，等价于(|x ＋2|＋|x －a |)min <5，又因为|x ＋2|＋|x －a |≥|(x ＋2)－(x －a )|＝|2＋a |，所以|2＋a |<5，－5<2＋a <5，解得－7<a <3，即实数a 的取值范围为(－7,3)，故选C.3．设集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －1≤0，3x －y ＋1≥0，3x ＋y －1≤0，x ，y ∈R，则M 表示的平面区域的面积是( )A.2B.32C.322D ．2答案 B解析由题意，M 表示的平面区域是以A (0,1)，B (－1，－2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12为顶点的三角形及其内部，如图中阴影部分所示(含边界)，所以其面积为12×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1＝32.4．(2018·杭州质检)若正数x ，y 满足2x ＋y －3＝0，则2x ＋1y的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 B解析由2x ＋y －3＝0，得2x ＋y ＝3，所以2x ＋1y ＝13(2x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2x y ＋2y x≥13⎝⎛⎭⎪⎫5＋2 2x y·2y x ＝3，当且仅当2x y ＝2y x，即x ＝y ＝1时等号成立，故选B.5．(2018·金华十校调研)设x ，y ∈R ，下列不等式成立的是( ) A ．1＋|x ＋y |＋|xy |≥|x |＋|y | B ．1＋2|x ＋y |≥|x |＋|y | C ．1＋2|xy |≥|x |＋|y | D ．|x ＋y |＋2|xy |≥|x |＋|y |答案 A解析对于选项B ，令x ＝100，y ＝－100，不成立；对于选项C ，令x ＝100，y ＝1100，不成立；对于选项D ，令x ＝13，y ＝－12，不成立，故选A.6．(2018·杭州学军中学模拟)设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋m ≤0，y －m ≥0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0>3，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－1,0) B ．(0,1) C ．(－1，＋∞) D ．(－∞，－1)答案 D解析作出满足不等式组的平面区域，如图中阴影部分所示(包含边界)，当目标函数z ＝x －2y 经过直线x ＋m ＝0与y －m ＝0的交点时取得最大值，即z max ＝－m －2m ＝－3m ，则根据题意有－3m >3，即m <－1，故选D.7．(2018·浙江舟山中学月考)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax＋by (a >0，b >0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( ) A ．5B ．4C.5D ．2 答案 B解析画出满足约束条件的可行域如图中阴影部分(包含边界)所示，可知当目标函数过直线x －y －1＝0与2x －y －3＝0的交点A (2,1)时取得最小值，所以有2a ＋b ＝2 5.因为a 2＋b 2表示原点(0,0)到点(a ，b )的距离的平方，所以a 2＋b 2的最小值为原点到直线2a ＋b －25＝0的距离，即(a 2＋b 2)min ＝|－25|22＋12＝2，所以a 2＋b 2的最小值是4，故选B.8．(2018·嘉兴教学测试)若直线ax ＋by ＝1与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，2x －y －1≤0，2x ＋y ＋1≥0表示的平面区域无公共点，则2a ＋3b 的取值范围是( ) A ．(－7,1) B ．(－3,5) C ．(－7,3) D ．R答案 C解析不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，2x －y －1≤0，2x ＋y ＋1≥0表示的平面区域是以A (1,1)，B (－1,1)，C (0，－1)为顶点的三角形区域(包含边界)；因为直线ax ＋by ＝1与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，2x －y －1≤0，2x ＋y ＋1≥0表示的平面区域无公共点，所以a ，b满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －1>0，－a ＋b －1>0，－b －1>0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －1<0，－a ＋b －1<0，－b －1<0，故点(a ，b )在如图所示的三角形区域(除边界且除原点)内，所以2a＋3b 的取值范围为(－7,3)，故选C.9．(2019·诸暨期末)不等式－x 2＋2x ＋3<0的解集为________；不等式|3－2x |<1的解集为________．答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞) (1,2)解析依题意，不等式－x 2＋2x ＋3<0，即x 2－2x －3>0，解得x <－1或x >3，因此不等式－x 2＋2x ＋3<0的解集是(－∞，－1)∪(3，＋∞)；由|3－2x |<1得－1<3－2x <1,1<x <2，所以不等式|3－2x |<1的解集是(1,2)．10．(2018·宁波期末)关于实数x 的不等式x 2－4x >1a＋3在[0,5]上有解，则实数a 的取值范围为______________．答案 (－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解析由x 2－4x >1a ＋3得x 2－4x －3>1a ，则问题等价于1a小于x 2－4x －3在[0,5]上的最大值，又因为x 2－4x －3＝(x －2)2－7，所以当x ＝5时，x 2－4x －3取得最大值2，所以1a<2，解得a <0或a >12，所以a 的取值范围为(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.11．(2018·嘉兴测试)已知f (x )＝x －2，g (x )＝2x －5，则不等式|f (x )|＋|g (x )|≤2的解集为______________；|f (2x )|＋|g (x )|的最小值为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，3 3 解析由题意得|f (x )|＋|g (x )|＝|x －2|＋|2x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧7－3x ，x <2，－x ＋3，2≤x ≤52，3x －7，x >52，所以|f (x )|＋|g (x )|≤2等价于⎩⎪⎨⎪⎧7－3x ≤2，x <2或⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3≤2，2≤x ≤52或⎩⎪⎨⎪⎧3x －7≤2，x >52，解得53≤x ≤3，|f (2x )|＋|g (x )|＝|2x －2|＋|2x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧7－4x ，x <1，3，1≤x ≤52，4x －7，x >52，|f (2x )|＋|g (x )|的图象如图，则由图象易得|f (2x )|＋|g (x )|的最小值为3.12．(2018·浙江镇海中学模拟)已知正数x ，y 满足1x ＋2y ＝1，则1x ＋1＋2y ＋1的最大值是________．答案 34解析设u ＝1x ，v ＝1y ，则问题转化为“已知正数u ，v 满足u ＋2v ＝1，求u u ＋1＋2vv ＋1的最大值”．uu ＋1＋2v v ＋1＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫1u ＋1＋2v ＋1＝3－⎝⎛⎭⎪⎫1u ＋1＋2v ＋1·14[(u ＋1)＋2(v ＋1)]＝3－14⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋2(v ＋1)u ＋1＋2(u ＋1)v ＋1≤3－14(5＋4)＝34. 当且仅当2(v ＋1)u ＋1＝2(u ＋1)v ＋1，即u ＝v ＝13时，取等号．13．(2018·浙江金华十校联考)已知实数x ，y ，z 满足⎩⎪⎨⎪⎧xy ＋2z ＝1，x 2＋y 2＋z 2＝5，则xyz 的最小值为________．答案 911－32 解析将⎩⎪⎨⎪⎧xy ＋2z ＝1，x 2＋y 2＋z 2＝5变形为⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝1－2z ，x 2＋y 2＝5－z 2，由|xy |≤x 2＋y 22知，|1－2z |≤5－z22，即－5－z 22≤1－2z ≤5－z 22，解得2－7≤z ≤11－2.所以xyz ＝(1－2z )z ＝－2z 2＋z 在[2－7，11－2]上的最小值为911－32.14．(2018·宁波模拟)若6x 2＋4y 2＋6xy ＝1，x ，y ∈R ，则x 2－y 2的最大值为________．答案 15解析方法一设m ＝x ＋y ，n ＝x －y ，则问题转化为“已知4m 2＋mn ＋n 2＝1，求mn 的最大值”．由基本不等式，知1＝mn ＋4m 2＋n 2≥mn ＋4|mn |，所以－13≤mn ≤15，当且仅当n ＝2m ，即x ＝－3y 时，取得最大值15.方法二 (齐次化处理)显然要使得目标函数取到最大值，x ≠0.令z ＝x 2－y 2＝x 2－y 26x 2＋4y 2＋6xy＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫y x26＋4·⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2＋6·y x ，设t ＝y x ，则z ＝1－t 26＋4t 2＋6t，则(4z ＋1)t 2＋6zt ＋6z －1＝0对t ∈R 有解．当z＝－14时，t ＝－53.当z ≠－14时，Δ＝36z 2－4(4z ＋1)(6z －1)≥0，解得－13≤z ≤15.当t ＝－3z 4z ＋1＝－13时取最大值．方法三 1＝6x 2＋4y 2＋6×x3×3y ≥6x 2＋4y 2－6×x 23＋3y 22＝5x 2－5y 2，所以x 2－y 2≤15，当且仅当x ＝－3y 时取等号．15．(2019·浙江嘉兴一中模拟)已知点P 是平面区域M ：⎩⎨⎧x≥0，y ≥0，3x ＋y －3≤0内的任意一点，则P 到平面区域M 的边界的距离之和的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3 解析设平面区域M ：⎩⎨⎧x ≥0，y≥0，3x ＋y －3≤0为△ABO 区域(包含边界)，由题意，|AO |＝1，|BO |＝3，|AB |＝2，P 到平面区域M 的边界的距离之和d 就是P 到△ABO 三边的距离之和，设P 到边界AO ，BO ，AB 的距离分别为a ，b ，c ，则P (b ，a )，由题意0≤a ≤3，0≤b ≤1,0≤c ＝12(3－a －3b )≤32，所以d ＝a ＋b ＋c ＝12[a ＋(2－3)b ＋3]，从而d ≥32，当a ＝b ＝0时取等号．如图，P 为可行域内任意一点，过P 作PE ⊥x 轴，PF ⊥y 轴，PP ′⊥AB ，过P ′作P ′E ′⊥x 轴，P ′F ′⊥y 轴，则有PE ＋PF ＋PP ′≤P ′F ′＋P ′E ′，由P (b ，a )，可得P ′⎝⎛⎭⎪⎫3＋b －3a4，3＋3a －3b 4，所以d ＝a ＋b ＋c ≤3＋b －3a 4＋3＋3a －3b 4＝3＋3＋(3－1)(3a －b )4，又0≤a ≤3，0≤b ≤1，则d ≤3，当a ＝3，b ＝0时取等号，因此d 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3. 16．(2018·浙江“七彩阳光”新高考研究联盟联考)若正数a ，b ，c 满足b ＋c a ＋a ＋c b ＝a ＋bc＋1，则a ＋bc的最小值是________．答案1＋172解析由a ，b ，c 为正数，且b ＋c a ＋a ＋c b ＝a ＋b c ＋1得b c ＋1a c ＋a c ＋1b c ＝a c ＋b c ＋1，设m ＝a c ，n ＝bc，则有m >0，n >0，上式转化为n ＋1m ＋m ＋1n ＝m ＋n ＋1，即m 2＋n 2＋m ＋nmn＝m ＋n ＋1，又由基本不等式得m 2＋n 2≥(m ＋n )22，mn ≤(m ＋n )24，所以m ＋n ＋1＝m 2＋n 2＋m ＋n mn ≥(m ＋n )22＋m ＋n (m ＋n )24，令t ＝m ＋n ，则t >0，上式转化为t ＋1≥t 22＋tt 24，即t 2－t －4≥0，解得t ≥1＋172，所以t ＝m ＋n ＝a c ＋bc ＝a ＋b c 的最小值为1＋172.。

含参不等式的解法

不等式(3)----含参不等式的解法当在一个不等式中含有了字母，则称这一不等式为含参数的不等式，那么此时的参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解，首先是对不等式的类型（即是那一种不等式）的影响，其次是字母对这个不等式的解的大小的影响。

我们必须通过分类讨论才可解决上述两个问题，同时还要注意是参数的选取确定了不等式的解，而不是不等式的解来区分参数的讨论。

解参数不等式一直是高考所考查的重点内容。

（一）几类常见的含参数不等式一、含参数的一元二次不等式的解法：例1：解关于的x 不等式2(1)410()m x x m R +-+≤∈分析：当m+1=0时,它是一个关于x 的一元一次不等式；当m+1≠1时，还需对m+1>0及m+1<0来分类讨论，并结合判别式及图象的开口方向进行分类讨论：⑴当m<－1时，⊿=4（3－m ）>0，图象开口向下，与x 轴有两个不同交点，不等式的解集取两边。

⑵当－1<m<3时，⊿=4（3－m ）>0, 图象开口向上，与x 轴有两个不同交点，不等式的解集取中间。

⑶当m=3时，⊿=4（3－m ）=0，图象开口向上，与x 轴只有一个公共点，不等式的解为方程24410x x -+=的根。

⑷当m>3时，⊿=4（3－m ）<0,图象开口向上全部在x 轴的上方，不等式的解集为∅。

解：11,|;4m x x ⎧⎫=-≥⎨⎬⎩⎭当时原不等式的解集为 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-+≤≤+--<<-⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-+≤+--≥-<∆=+-+-≠132132|,31132132|1);34014)1(12m m x m m x m m m x m m x x m m x x m m 原不等式的解集为时当或时，原不等式的解集为则当－（＝的判别式时，当当m=3时，原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21|x x ；当m>3时, 原不等式的解集为∅。

含参的一元二次不等式的解法

含参的一元二次不等式的解法一元二次不等式是指形如ax^2 + bx + c > 0（或< 0）的二次函数的不等式，其中a, b, c是实数，且a ≠ 0。

解一元二次不等式的方法与解一元二次方程类似，但是需要注意的是，不等式的解是满足不等式条件的解集。

下面将介绍一元二次不等式的解法，包括图像法、开方法、配方法、代数法等。

一、图像法：对于一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0（或< 0），我们可以首先绘制二次函数y = ax^2 + bx + c的图像，并找出函数图像在x轴上方（或下方）的区间。

例如，对于不等式x^2 - 4x + 3 > 0，我们可以绘制出y = x^2 - 4x + 3的图像。

首先，找到抛物线的顶点，顶点就是不等式解的中心点。

顶点的横坐标为x = -b/(2a)，纵坐标为y = f(-b/(2a))。

在这个例子中，a = 1，b = -4，c = 3，所以顶点的横坐标为x = -(-4)/(2*1) = 2，纵坐标为y = f(-4/(2*1)) = f(2) = 2^2 - 4*2 + 3= -1。

然后，可以找到函数图像在x轴上方的区间，即函数图像在x < 1和x > 3时，都在x轴上方。

根据图像可知，在x < 1和x > 3时，x^2 - 4x + 3 > 0。

所以，不等式x^2 - 4x + 3 > 0的解为x < 1或x > 3。

二、开方法：对于一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0（或< 0），我们可以考虑将不等式转化为以x为未知数的一元二次方程，并求解方程的根，在不等式的根之间的区间满足不等式。

例如，对于不等式x^2 - 4x + 3 > 0，我们可以通过因式分解或配方法得到方程(x - 1)(x - 3) > 0。

根据求解一元二次方程的方法，可以得到方程的两个根为x = 1和x = 3。

含参不等式解法

例2.解关于x 的不等式：x 2-ax-2a 2＜0例3.解关于x 的不等式：2a x a x --＜0(a ∈R)例4.解关于x 的不等式：2)1(--x x a ＞1 (a ＞0)例5.解关于x 的不等式：22---x x x a ＞0练习：均值不等式的解法：5.若实数x,y 满足11122=+yx ，则222y x +有（） A.最大值223+ B. 最小值223+ C. 最小值6 D.最小值610.若14<<-x ，则2222)(2-+-=x x x x f 有（） A.最小值1 B. 最大值1 C. 最小值-1 D.最大值-113.函数1)(+=x x x f 的最大值为（） A.52 B. 21 C. 22 D. 1 18.若0>x ，则xx 2+的最小值为（1）已知0,0>>b a ，且14=+b a ，求ab 的最大值；（2）已知2>x ，求24-+x x 的最小值；（3）已知0,0>>y x ，且1=+y x ，求y x 94+的最小值.1．凑系数当40<<x 时，求的最大值)28(x x y -=。

2．凑项。

当 ,45<x 求函数54124)(-+-=x x x f 的最大值3．拆项。

求)1(,11072-≠+++=x x x x y 的值域。

4．整体代换（遇到1了）已知a>0, b>0, b a t b a 11,12+==+求的最小值。

5．换元法求函数522++=x x y 的最大值6．试着取平方看看：求函数)2521(,2512<<-+-=x x x y 的最大值。

【练习】1．若,20<<x 求)36(x x y -=的最大值。

2．求函数)3(,31>+-=x x x y 的最小值。

3．求函数)1(,182>-+=x x x y 的最小值。

含参数的一元二次不等式的解法以及含参不等式恒成立问题(专题)

For personal use only in study and research; not for commercialuse含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式：()0122>+++x a ax分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项系数进行分类讨论。

解：∵()044222>+=-+=∆a a a解得方程 ()0122=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=aa a x 24222++--=∴当0>a 时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21|x x 当0<a 时, 解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22例2 解不等式()00652≠>+-a a ax ax分析因为0≠a ，0>∆，所以我们只要讨论二次项系数的正负。

解 ()()032)65(2>--=+-x x a x x a∴当0>a 时，解集为{}32|><x x x 或；当0<a 时，解集为{}32|<<x x二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆；例3 解不等式042>++ax x分析本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。

解：∵162-=∆a∴当()4,4-∈a 即0<∆时，解集为R ；当4±=a 即Δ＝0时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈2a x R x x 且；当4>a 或4-<a 即0>∆,此时两根分别为21621-+-=a a x ，21622---=a a x ，显然21x x >,∴不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----+->21621622a a x a a x x 〈或例4 解不等式()()R m x x m ∈≥+-+014122解因,012>+m ()()2223414)4(m m -=+--=∆所以当3±=m ，即0=∆时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21|x x ；当33<<-m ，即0>∆时，解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+--+-+>1321322222m m x m m x x 〈或；当33>-<m m 或，即0<∆时，解集为R 。

二元一次不等式含参解法

二元一次不等式含参解法
二元一次不等式含参问题的解法主要依赖于参数对不等式的影响。

以下是一些关键步骤：
参数的存在会影响不等式的解集：求含参不等式的解集时，根据参数的情况可能需要分类讨论。

例如，对于不等式 ax<b：
当 a>0 时，不等式的解集是 x<ab；
当 a<0 时，不等式的解集是 x>ab；
当 a=0，b>0 时，不等式的解集是全体实数；
当 a=0，b≤0 时，不等式无解。

已知含参不等式组的解集：可以利用数轴确定参数的取值范围。

解含参不等式组：将参数当作已知数进行求解，用参数表示出两个未知数，然后再根据题意列出等量关系式，求出参数的值。

含参数的一元二次不等式的解法专题训练

含参数的一元二次不等式的解法专题训练本文讲解含参数的一元二次不等式的解法。

解这类不等式通常需要分类讨论，常用的分类方法有三种：一、按$x$ 项的系数$a$ 的符号分类，即$a>0$，$a=0$，$a<0$。

举例来说，对于不等式 $ax+(a+2)x+1>2$，我们可以先分析二次项系数含有参数的情况，即 $\Delta=(a+2)-4a=a+4>0$，因此只需要对二次项系数进行分类讨论。

当 $a>0$ 时，解集为 $x>x_1$ 或 $x<x_2$，其中 $x_1$ 和$x_2$ 是方程 $ax+(a+2)x+1=0$ 的两根。

当 $a=0$ 时，不等式为 $2x+1>0$，解集为 $x>-1/2$。

当 $a<0$ 时，解集为 $x_2<x<x_1$。

二、按判别式 $\Delta$ 的符号分类，即 $\Delta>0$，$\Delta=0$，$\Delta<0$。

举例来说，对于不等式 $x+ax+4>0$，因为 $x$ 的系数大于 $0$，所以只需考虑 $\Delta$ 与根的情况。

当 $\Delta<0$ 时，解集为 $x\in\mathbb{R}$；当 $\Delta=0$ 时，解集为 $x\in\mathbb{R}$ 且 $x\neq a/2$；当 $\Delta>0$ 时，解集为 $x>a_1$ 或 $x<a_2$，其中$a_1$ 和 $a_2$ 是方程 $x+ax+4=0$ 的两根。

三、按不等式左侧的表达式分类，即 $ax^2+bx+c$。

举例来说，对于不等式 $m+1x-4x+1\geq 0$，因为$m+1>0$，所以只需考虑 $\Delta$ 的情况。

当 $\Delta=0$，即 $m=-3$ 或 $m=3$ 时，解集为 $x=1/2$；当 $\Delta>0$，即 $-3(2+m)/(m+2)$ 或 $x<(2-m)/(m+2)$；当 $\Delta3$ 时，解集为 $x\in\mathbb{R}$。

含参数的一元二次不等式的解法

不等式32x－－x1≥1 的解集是(
)
A．{x|34≤x≤2}
B．{x|x≤34或 x＞2}
C．{x|34≤x＜2}
D．{x|x＜2}
[答案] C
[解析] 不等式32x－－x1≥1，化为：42x－－x3≥0， ∴34≤x＜2.
命题方向简单高次不等式解法
*[例 2] 不等式xxx－＋32＜0 的解集为(
)
A．{x|x＜－2，或 0＜x＜3}
B．{x|－2＜x＜2，或 x＞3}
C．{x|x＜－2，或 x＞0}
D．{x|x＜0，或 x＜3}
[答案] A
[分析] 原不等式左端是分式，右端为 0，属于AB<0 型，可
等价转化为 AB<0，即 x(x＋2)(x－3)<0，依次令 x＝0，x＋2＝0，
x－3＝0 得，x1＝0，x2＝－2，x3＝3，将数轴按此三数对应点
(4)由条件知，a＝－2，∴不等式 ax2＋5x＋7>0，即－2x2＋5x＋7>0，∴2x2－5x－7<0， ∴－1<x<72.
1．一元分式不等式一般要转化为整式不等式求解． gfxx＞0⇔f(x)·g(x)＞0； gfxx≥0⇔fgxx·≠gx0≥0 ⇔f(x)·g(x)＞0 或 fx＝0 gx≠0 .
解法二：化为xx2≥＋0x－2>0 (Ⅰ) 或x2－x－2>0 (Ⅱ)
x<0 由(Ⅰ)得，x>1；由(Ⅱ)得，x<－1. ∴原不等式的解集为{x|x<－1 或 x>1}．
(3)将不等式变形为 x－1≥ x＋1，① 显然xx－＋11≥≥00 ，∴x≥1，在此条件下，将不等式①两边平方得 x2－2x＋1≥x＋1，∴ x2－3x≥0，∴x≤0 或 x≥3，又 x≥1，∴x≥3.

含参数的绝对值不等式的解法

含参数的绝对值不等式的解法含参数的绝对值不等式是高中数学中常见的一类问题，解决这类问题需要运用一些特定的方法和技巧。

本文将简要介绍含参数的绝对值不等式的解法，并通过例题进行说明，帮助读者更好地理解和掌握这类问题的解题方法。

一、绝对值不等式的基本概念在开始介绍含参数的绝对值不等式的解法之前，我们先来回顾一下绝对值不等式的基本概念。

对于任意实数x，绝对值|x|的定义如下：当x≥0时，|x|=x；当x<0时，|x|=-x。

绝对值的定义告诉我们，无论x是正数还是负数，绝对值都是非负的。

绝对值不等式则是对绝对值进行不等式的运算，即|x|<a或|x|>a，其中a为正实数。

含参数的绝对值不等式的解法与普通的绝对值不等式有一些区别，需要根据参数的取值范围来进行分类讨论。

1. 当参数的取值范围为正数时，我们可以直接根据绝对值的定义进行求解。

例如，对于不等式|x-2|<a，其中a>0，我们可以得到以下解法步骤：（1）当x-2≥0时，|x-2|=x-2，不等式变为x-2<a，解为x<a+2；（2）当x-2<0时，|x-2|=-(x-2)，不等式变为-(x-2)<a，解为x>2-a。

综合以上两种情况，得到不等式的解集为2-a<x<a+2。

2. 当参数的取值范围为负数时，同样可以根据绝对值的定义进行求解。

例如，对于不等式|x+3|<b，其中b<0，我们可以得到以下解法步骤：（1）当x+3≥0时，|x+3|=x+3，不等式变为x+3<b，解为x<b-3；（2）当x+3<0时，|x+3|=-(x+3)，不等式变为-(x+3)<b，解为x>-3-b。

综合以上两种情况，得到不等式的解集为b-3<x<-3-b。

3. 当参数的取值范围为正负混合时，我们需要分情况讨论。

例如，对于不等式|x-1|<c，其中c可以为正数也可以为负数，我们可以得到以下解法步骤：（1）当x-1≥0时，|x-1|=x-1，不等式变为x-1<c，解为x<c+1；（2）当x-1<0时，|x-1|=-(x-1)，不等式变为-(x-1)<c，解为x>1-c。