2016惠州三调数学(理科)试题 正式稿

惠州市2016届高三第三次调研考试

数 学（理科）

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

1．已知集合2{5,35}M a a =-+，{1,3}N =，若M N ≠∅ ，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．1或2 2．复数321

i

z i i =

+-（i 为虚数单位）的共轭复数为（ ） A ．12i + B ．1i - C ．1i - D ．12i - 3．若函数()y f x =的定义域是[]0,2，则函数(2)

()1

f x

g x x =

-的定义域是（ ） A ．[0,1)(1,2] B ．[0,1)(1,4] C ．[0,1) D ．(1,4] 4．已知34cos sin =

+θθ)4

0(π

θ<<，则θθcos sin -的值为（ ） A ．

3

2

B ．32-

C ．31

D ．31-

5．已知圆O ：224x y +=上到直线:l x y a +=的距离等于1的点至少有2个， 则a 的取值范围为（ ）

A ．(-

B ．(,)-∞-+∞

C ．(-

D ．[-

6．甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利70周年阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻的排法有（ ）种。 A ．24 B ．48 C ．72 D ．120

7．已知向量1

(sin ,)2

m A =

与向量(3,sin )n A A = 共线，其中A 是ABC ∆的内角，

则角A 的大小为（ ）

A. 6π

B. 4π

C. 3π

D. 2π

8．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是（ ）

A ．1007

B ．2015

C ．2016

D ．3024

9．若双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>与直线2y x =无交

点，则离心率e 的取值范围是（ ） A ．(1,2)

B ．(1,2] C

．

D ．

(1

10．某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中最大面积是（ ）

A

． B ．4 C

． D

．11．设实数,x y 满足条件20

3600,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩

，若目标函数

()0,0z ax by a b =+>>的最大值为12，则32

a b

+的最小值为（ ）

A ．

25

6

B ．

83 C ．11

3

D ．4

正视图

侧视图

俯视图

12．若函数()f x 满足：在定义域D 内存在实数0x ，使得)1()()1(00f x f x f +=+成立，则称函数()f x 为“1的饱和函数”。给出下列四个函数：

①1

()f x x

=

； ②x x f 2)(=； ③)2lg()(2+=x x f ； ④()()cos f x x π=． 其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号为（ ）

A ．①③

B ．②④

C ．①②

D ．③④

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个考生都必须做答。 第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．已知02sin a xdx π

=-⎰，则二项式5

2a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为 ．

14

．已知向量(a = ，向量()3,b m = ．若向量b 在向量a

方向上的投影为3，

则实数m ＝ ．

15．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且121a a ==，{}(2)n n nS n a ++为等差数列，

则数列{}n a 的通项公式n a = ． 16．设点P 在曲线x

e y 2

1=

上，点Q 在曲线)2ln(x y =上，则||PQ 的最小值为 ． 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分12分）

如图所示，在四边形ABCD 中， D ∠=2B ∠，且1AD =，3CD =

，cos 3

B =． （Ⅰ）求△ACD 的面积；

AB 的长．

A

B

C

D

某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠。已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的。

（Ⅰ）求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率；

（Ⅱ）用X 表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求X 的分布列和数学期望。

19．（本小题满分12分）

如图，已知四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为菱形，⊥PA 平面ABC D ，

60ABC ∠=︒，F E ,分别是PC BC ,的中点。

（Ⅰ）证明：⊥AE 平面PAD ；

（Ⅱ）取2=AB ，若H 为PD 上的动点，EH 与面PAD

所成最大角的正切值为2

6

，求二面角C

AF E --的余弦值。

20．（本小题满分12分）

已知中心在原点的椭圆22

22:1(0,0)x y C a b a b

+=>>的一个焦点为1(3,0)F ，

点(4,)(0)M y y >为椭圆上一点，1MOF ∆的面积为32

． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）是否存在平行于OM 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 相交于A B 、两点，且以线段

AB 为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出l 的方程，若不存在，说明理由。

D

C

B

A

F

P