高中数学第二章空间向量与立体几何夹角的计算课件北师大版

思考2
当两条直线平行时，它们的夹角是多少？ 答案 0.
梳理
(1)共面直线的夹角
当两条直线 l1 与 l2 共面时，我们把两条直线交角中，范围在[0，π2]内的角 π
叫作两直线的夹角，如图所示，当两条直线垂直时，夹角为 2 .
(2)异面直线的夹角 当直线l1与l2是异面直线时，在直线l1上任取一点A作AB∥l2，我们把直线l1 和直线AB的夹角叫作异面直线l1与l2的夹角，如图所示.
即sin θ＝|cos〈n，a〉|.
题型探究
类型一 直线间的夹角求解
例1 已知直线l1的一个方向向量为s1＝(1，0，1)，直线l2的一个方向向量 为s2＝(－1，2，－2)，求直线l1和直线l2夹角的余弦值. 解答
∵s1＝(1，0，1)，s2来自百度文库(－1，2，－2)，
∴cos〈s1，s2〉＝|ss11|·|ss22|＝
(1)证明：SE＝2EB； 证明
(2)求平面ADE与平面CDE夹角的大小. 解答
类型三 直线与平面的夹角
例3 已知直线l的一个方向向量为s＝(1，0，0)，平面π的一个法向量为 n＝(2，1，1)，求直线与平面夹角的正弦值. 解答
反思与感悟
注意公式sin θ＝|cos〈n，a〉|中，是线面夹角的正弦值等于直线的方向 向量与平面的法向量的夹角的余弦值的绝对值，不要记错.
跟踪训练3 如图所示，已知直角梯形ABCD，其中AB＝BC＝2AD， AS⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，且AS＝AB.求直线SC与底面ABCD 的夹角θ的余弦值. 解答
当堂训练
1.在两个平面内，与两个面的交线都垂直的两个向量分别为(0，－1，3)， (2，2，4)，则这两个平面夹角的余弦值为 答案 解析
－1－2 2× 9＝－
22＜0，
∴〈s1，s2〉＞90°， ∴直线l1与直线l2的夹角为π－〈s1，s2〉，
∴直线
l1
与直线
l2
夹角的余弦值为
2 2.
反思与感悟
利用直线的方向向量求两条直线的夹角时，要注意两条直线的方向向 量的夹角与两条直线的夹角之间的关系.因为两条直线的方向向量的夹 角的范围是[0，π]，而两条直线的夹角的范围是[0，π2 ]，所以这两者不 一定相等，还可能互补. 由于任意两条直线的夹角θ∈[0，π2 ]，所以直线l1和直线l2夹角的余弦值 等于|cos〈s1，s2〉|.
第二章 空间向量与立体几何
§5 夹角的计算
学习目标
1.理解直线间的夹角、平面间的夹角、直线与平面的夹角的概念. 2.掌握直线间的夹角、平面间的夹角、直线与平面的夹角的求解.
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一 直线间的夹角
思考1
设a，b分别是空间两条直线l1，l2的方向向量，则l1与l2的夹角大 小一定为〈a，b〉吗？ 答案 不一定.若l1，l2的方向向量的夹角为[0，π2 ]内的角时，l1与l2的 夹角为〈a，b〉，否则为π－〈a，b〉.
跟踪训练1 如图所示，在三棱柱OAB－O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面 OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝ 3 ，求异 面直线A1B与AO1夹角的余弦值. 解答
类型二 求平面间的夹角
例2 如图，已知ABCD为直角梯形，∠DAB＝∠ABC＝90°，SA⊥平面 ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝1 .求平面SAB与平面SCD的夹角的余弦值.
两条异面直线的夹角的范围为 (0，π2] ，当夹角为π2时，称这两条直线异面 垂直 . 综上，空间两条直线的夹角的范围是 [0，π2] .
(3)直线的方向向量的夹角与两直线夹角的关系 空间两条直线的夹角可由它们的方向向量的夹角来确定.已知直线l1与l2的 方向向量分别为s1，s2. 当 0≤〈s1，s2〉≤π2时，直线 l1 与 l2 的夹角等于〈s1，s2〉； 当π2＜〈s1，s2〉≤π 时，直线 l1 与 l2 的夹角等于 π－〈s1，s2〉.
[0，π2]
.
当夹角等于0时，两个平面
重合
；当夹角等于
π 时，两个平面互相 2
垂直
.
(2)两个平面法向量的夹角与这两个平面的夹角的关系
空间两个平面的夹角由它们的法向量的夹角确定.
已知平面π1与π2的法向量分别为n1与n2.
当0≤〈n1，n2〉≤
π 2
时，平面π1与π2的夹角等于〈n1，n2〉；当
π 2
＜〈n1，
n2〉≤π时，平面π1与π2的夹角等于 π－〈n1，n2〉.
事实上，设平面π1与平面π2的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|.
知识点三 直线与平面的夹角
思考
若直线l与平面的夹角是0，则直线l与平面是否一定平行？ 答案 不一定.
梳理
(1)直线与平面夹角的概念
平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角
2
解答
利用法向量求平面间夹角的大小的一般步骤 (1)建立适当的空间直角坐标系； (2)分别求出两平面的法向量； (3)求出两个法向量的夹角； (4)确定平面间夹角的大小.
反思与感悟
跟踪训练2 如图，在四棱锥S－ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥DC， AD⊥DC，AB＝AD＝1，DC＝SD＝2，E为棱SB上的一点，平面EDC⊥平 面SBC.
知识点二 平面间的夹角
思考
若平面π1与平面π2平行，则它们的夹角是多少？ 答案 0.
梳理
(1)平面间夹角的概念
如图，平面π1与π2相交于直线l，点R为直线l上任意
一点，过点R，在平面π1上作直线l1⊥l，在平面π2上
作直线l2⊥l，则l1∩l2＝R.我们把直线l1和l2的夹角叫
作平面π1与π2的夹角. 由平面间夹角的概念可知，空间中两个平面的夹角的范围是
叫作该直线与此平面的夹角，如图所示.
(2)直线与平面夹角的范围
如果一条直线与一个平面平行或在平面内，我们规定这条直线与平面的
夹角是 0 .
π
如果一条直线与一个平面垂直，我们规定这条直线与平面的夹角是 2 .
由此可得，直线与平面夹角的范围是 [0，π2] .
(3)利用向量计算直线与平面夹角的方法 空间中，直线与平面的夹角由直线的方向向量与平面的法向量的夹角确定. 设平面α的法向量为n，直线l的方向向量为a，直线l与平面α所成的角为θ. 当 0≤〈n，a〉≤π2时，θ＝ π2－〈n，a〉； 当π2＜〈n，a〉≤π 时，θ＝〈n，a〉－π2 .