湖南师大附中2013届高三第一次月考试卷理科数学试题

湖南师大附中2013届高三第一次月考试卷
数学（理）试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。

1．在空间，异面直线a ，b 所成的角为α，且1sin ,cos 2
αα=
则=
A ．2
B ．2
-C 2
或2
-
D ．12
-
2．将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，出现“正面向上的点数为6”的概率是
A ．
13
B ．
14
C ．
15
D ．
16
3．某几何体的正视图和侧视图均为如图1所示，则在图2的四个图中可以作为该几何体的俯视图的
是
A ．（1），（3）
B ．（1），（3），（4）
C ．（1），（2），（3）
D ．（1），（2），（3），（4）
4．设集合(,],(,),,,{2},A a B b a N b R A B N a b =-∞=+∞∈∈=+ 且则的取值范围是
A ．（3，4）
B ．[3，4]
C ．[3,4)
D ．(3,4]
5．已知点(,)a b 在10x
y =图象上，则下列点中不可能在此图象上的是 A ．1
(,)a b
-
B ．(1,10)a b -
C ．(1,10)a b +
D ．2
(2,)a b
6．函数38(0)(),()31,[()]09(0)
x
x
x x f x g x f g x e x ⎧-≥⎪==-≥⎨-<⎪⎩则不等式的解集为 A ．[1,)+∞ B ．[ln 3,)+∞ C ．[1,ln 3]
D ．3[log 2,)+∞
7．关于x
的二次方程22210,0,0,x x a b a b ++=≥≥+有实根且则的取值范围是
A ．[4,)+∞
B ．[16,)+∞ C
．)5
+∞ D ．16[,)5
+∞
8．已知函数()M f x 的定义域为实数集R ，满足1,()(0,M x M f x M x M
∈⎧=⎨
∉⎩是R 的非空真子集）
，在R 上有两个非空真子集A ，B ，且()1,()()()1
A B A B f x A B F x f x f x +=∅=
++ 则的值域为
A ．2(0,]3
B ．{1}
C ．12{,
,1}23
D ．[1
,13
]
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共25分。

9．若直线10x y -+=与圆22()2x a y -+=有公共点，则实数a 取值范围是 。

10．在△ABC 中，若,sin ,sin A B A B >则的大小关系为 。

11．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且对()(2),(2,0),x R f x f x x ∈=-+∈-都有当时
()2,(2012)(2011)x
f x f f =-则的值为 。

12．一物体沿直线以()23(v t t t =-的单位：秒，v 的单位：米/秒）的速度做变速直线运动，则该物
体从时刻t=0到5秒运动的路程s 为 米。

13．已知函数22,0
(),()()1
1,02
x x f x g x f x x x x x ->⎧⎪
==+⎨-++≤⎪⎩则函数的零点的个数是 个。

14．已知2
210,0,1,22x y x y m m x
y
>>+
=+>+且
若恒成立，则实数m 的取值范围是 。

15．对于三次函数32
()(0),:()()f x ax bx cx d a f x y f x '=+++≠=给出定义设是函数的导数，
()()f x f x '''是的导数，若方程()0f x ''=有实数解000,(,())x x f x 则称点为函数()y f x =的
“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称
中心，且“拐点”就是对称中心给定函数3
2
115()33
2
12
f x x x x =-
+-
，请你根据上面探究结
果，解答以下问题： （1）函数3
2
115()332
12f x x x x =-
+-的对称中心为 ；
（2）计算12
3
2012(
)(
)(
)(
)2003
20132013
2013
f f f f ++++ = 。

三、解答题；本大题共6小题，共75分。

16．（本小题满分12分）
已知函数2
2
()cos )2sin cos .f x x x x x =
--
（1）求()f x 的最小正周期和单调递增区间； （2）将函数()3
y f x π
=的图象向左平移
个单位，再将所得的图象上各点的横坐标扩大为原来
的4倍，纵坐标不变，得到()y g x =的图象，求3()[,]32
g x ππ
-在上的值域。

17．（本小题满分12分）
如图，四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC ，E 是PC 的中点。

（1）证明：PA//平面BDE ；
（2）在棱PB 上是否存在点F ，使PB ⊥平面DEF ？证明你的结论。

18．（本小题满分12分）
已知数列{},{}n n a b 中，对任何整数n 都有：
1
121321212
2.n n n n n n a b a b a b a b a b n +---+++++=--
（1）若数列{}n a 是首项和公差都有1的等差数列，求证：数列{}n b 是等比数列；
（2）若2n n b =，试判断数列{}n a 是否是等差数列？若是，请求出通项公式，若不是，请说明理
由。

19．（本小题满分13分）
某玩具生产厂家接到一生产伦敦奥运吉祥物的生产订单，据以往数据分析，若生产数量为x
万件，则可获利2
ln 10
x
x -+
万美元，受美联货币政策影响，美元贬值，获利将因美元贬值而损
失mx 万美元，其中m 为该时段美元的贬值指数，且(0,1).m ∈ （1）若美元贬值指数110
m =
，为使得企业生产获利随x 的增加而增长，该企业生产数量应在什
么范围？
（2）若因运输等其他方面的影响，使得企业生产x 万件产品需增加生产成本
10
x 万美元，已知该
企业生产能力为[10,20]x ∈，试问美元贬值指数m 在什么范围内取值才能使得该企业不亏损？
20．（本小题满分13分）
已知椭圆C ：222
2
1(0)x y a b a
b
+
=>>的右顶点为A （2，0），离心率2
e =
，O 为坐标原
点。

（如图）
（1）求椭圆C 的方程；
（2）已知P （异于点A ）为椭圆C 上一个动点。

过O 作线段AP 的垂线l 交椭圆C 于点E ，D ，
求
||||
D E AP 的取值范围。

21．（本小题满分13分） 已知函数*
1(),()ln(1),,(1)
n
f x
g x a x n N a x =
=-∈-其中为常数。

（1）当n=2时，求函数()()()F x f x g x =+的极值；
（2）若对任意的正整数n ，当2,2,()() 1.s x f s g x x ≥≥+≤-时有求a 的取值范围。

参考答案
”
·11·。